MATEMATICA 5° SECUNDARIA COVEÑAS SOLUCIONARIO

8/16/2019 MATEMATICA 5° SECUNDARIA COVEÑAS SOLUCIONARIO

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Quinto Año de Secundaria

- 1 -

Solucionario

quinto año de educación secundaria



- 2 -

CAPÍTULO 2

ANÁLISIS COMBINATORIO Y POTENCIACIÓN (Pág. 34, 35, 36)

NIVEL I

Factorial de un número

Resolución 2

7! 2 5! 7·6·5! 2·5! 7·6· 5M

6! 10 4! 6·5! 2·5·4!

− × −= = =

− × −! 2· 5− !

6· 5 ! 2· 5− !

2 2M

6 2

4 −=

−

∴ M = 10 Rpta.: E

Resolución 1

E = (n + 2)! – 2(n+1)!

E = (n + 2)(n + 1)! – 2(n + 1)! = (n +1)![n+2–2]

∴ E = n(n + 1)! Rpta.: D

Resolución 3

1 1 1 1E

4! 3! 4· 3! 3! 3!(4 1) 3!· 5= = = =

+ + +

4 4E3!· 4 · 5 5!

= = Rpta.: E

Resolución 4

1 1 (n 1) 1E

n! (n 1)! n!(n 1) (n 1)!

+= − = −

+ + +

+ + −= − =

+ + +n 1 1 n 1 1

E(n 1)! (n 1)! (n 1)!

∴n

E(n 1)!

=+ Rpta.: D

Resolución 5

( )( )

( )( )

[ ]( )

+ −+ − + −= = =− − −

n! n 1 1n 1 ! n! n 1 n! n!Rn 1 ! n 1 ! n 1 !

( ) ( )

2n!n n!· n · n n!nR

n 1 ! n n 1 ! n!= = =

− −

∴ R = n2 Rpta.: B

Resolución 9

( ) ( )− +=

x 1 ! x 2 5

x! 3

3(x – 1)!(x + 2) = 5x · (x – 1)!

3x + 6 = 5x

∴ x = 3 Rpta.: B

Resolución 6

( )n 2 !6

n!

+= à

( )( )n 2 n 1 n!6

n!

+ +=

(n + 1)(n + 2) = 6

Resolviendo:

∴ n = 1 Rpta.: A

Resolución 7

( )

( )

n 3 !1· 10

3 n 1 !

+=

+

(n + 3)! = 30(n + 1)!

(n + 3)(n + 2)(n + 1)! = 30(n + 1)!

(n + 3)(n + 2) = 30

∴ n = 3 Rpta.: B

Resolución 8

(x – 1)! + x! + (x + 1)! = 5880

(x – 1)! + x(x – 1)! + (x + 1)· x ·(x – 1)!= 5880

(x – 1)![1 + x + (x + 1)·x] = 5880

(x – 1)!(x2 + 2x + 1) = 5880

(x – 1)!(x + 1)2 =5! · 7 2

x – 1 = 5

∴ x = 6 Rpta.: B

Resolución 10

( )( )

( )( )

m! n 1 ! m! n 1 n!Em 1 !n! m 1 m!n!

+ += =+ +

∴n 1

Em 1

+=

+ Rpta.: B

Resolución 11

11! 10! 9! 11· 10· 9· 8! 10· 9· 8! 9· 8!R

121· 8! 121· 8!

+ + + += =

11· 10· 9 10· 9 9

R121

+ +=

∴ R = 9 Rpta.: B





- 4 -

Resolución 8

( ) ( )

( ) ( )

+ ⋅ +=

+ + +

n 7 ! n 5 !10!

n 6 ! n 5 !

( ) ( )( ) ( ) ( )

n 7 ! n 5 !10!

n 6 · n 5 ! n 5 !

+ +=

+ + + +

( ) ( )( ) [ ]

n 7 ! n 5 !10!

n 5 ! n 6 1

+ +=

+ + +

( )( )

( )

n 7 n 6 !10!

n 7

+ +=

+ (n + 6)! = 10!

n + 6 = 10

∴ n = 4 Rpta.: E

Resolución 11

( )

( ) ( ) ( )−

++ +

2

2 2

13! 13!

10! 11!12! 2 12!11! 11!

( )

( )

2

2

13! 13!

10! 11!12! 11!−

++

( )

( )

2

2

13·12·11! 13·12·11·10!

10! 11·10!12·11! 11!−

++

Resolución 9

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

a!! 2 ! 2 a!! 1 ! a!! 2 a!! 1 ! 2 a!! 1 !R

a!! 1 ! a!! 1 !

+ − + + + − += =

+ +

( ) ( )( )

a!! 1 ! a!! 2 2R

a!! 1 !

+ + −=

+

∴ R = a!! Rpta.: B

Resolución 10

E = (n!! – 1)!(n!–1)!(n–1)!n–n!!!

E = (n!!–1)!(n!–1)!n! – n!!!

E = (n!!–1)! n!! – n!!!

E = n!!! – n!!!

∴ E = 0 Rpta.: C

Resolución 14

( ) ( )

( )

n 2 ! n 12 !

5n! 11 n !

+ +

= + +

( )( ) ( )( )

( )

n 2 n 1 n! n 12 n 11 !5

n! n 11 !

+ + + += +

+

(n+2)(n+1) = 5+n+12

n2 + 3n+2 = 5+n+ 12

n2 + 2n = 15

∴ n = 3

∴ Suma valores = 3 Rpta.: C

Resolución 12

(119!)x!! (5!) x!! = (5!! 23!)24

(119! 5!)x!! = (5!!) 23!· 24

(119! 120)x!! =(5!!) 24!

(120!)x!! = (5!!) 24!

(5!!)x!! = (5!!) 24!

x!! = 24! x!! = 4!!

∴ x = 4 Rpta.: B

Resolución 13

( )5 5 5

5! 4! 3! 5· 4· 3! 4· 3! 3! 3! 20 4 1= =

+ + + + + +

5 1 4 4

3!· 25 3· 2· 1· 5 5· 4· 3· 2· 1 5!= = = Rpta.: D

( ) ( )2 2

13· 12 11!

( ) ( )+ 2 212 1 11!

−13·12·11· 10!

10! ( )+1 11

( )

( )

2

2

13·12 13·12·11

1213−

(12)2 – 13· 11

∴ 1 Rpta.: A

ANÁLISIS COMBINATORIO (Pág. 45, 46)

NIVEL I

N° maneras = 6 × 4

∴ N° maneras = 24 Rpta.: D

Resolución 1 Resolución 2

5 pantalones 3 blusas

N° maneras = 5 × 3

∴ N° maneras = 15 Rpta.: C




- 5 -

Resolución 5

3 : anillos:

4 : dedos

N° maneras = 4· 3· 2


Resolución 3

m

2V 20=

( )m!

20m 2 !

=−

( ) ( )m m 1 m 2 !− −

( )m 2 !−20=

m(m–1) = 4 × 5

∴ m = 5 Rpta.: C

Resolución 4

A B C D ← asientos

N° maneras = 6 · 5 · 4 · 3

∴ N° maneras = 360 Rpta.: B

5

5

Resolución 9

...................← Personas

--------------- ← asientos

N° maneras = 5· 4· 3· 2· 1


Resolución 6

10 : amigas

6 : invitadas

N° maneras = 106

10· 9· 8· 7C

1· 2· 3· 4=


Resolución 7

n15

4

=

( )( )( )n n 1 n 2 n 315

1· 2· 3· 4

− − −=

n(n–1)(n–2)(n–3) = 6· 5· 4· 3

∴ n = 6 Rpta.: B

Resolución 8

x x5 6C C 28+ =

x x x 15 6 6C C C 28++ = =

( ) ( )( )( )( )+ − − − −=

x 1 x x 1 x 2 x 3 x 428

1· 2· 3· 4· 5· 6

(x+1)x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 8·7·6·5·4·3

∴ x = 7 Rpta.: C

Resolución 14n 1 n

:n n 1

+ −

... (1)

Entonces:

n 1 n 1 n 1n 1

n n 1 n 1

+ + + = = = + + −

n n nn

n 1 n (n 1) 1

= = = − − −

En (1):

∴ n 1n+ Rpta.: D

Resolución 10

Una persona debe estar fija y las otras 4 las permuta-

mos.N° maneras = 4!


Resolución 11

N a b c d 6000= > 6 5 2 3

N° maneras = 1· 3· 2· 1


Resolución 12

84

8· 7· 6· 5C

1· 2· 3· 4=

∴ N° cuadriláteros = 70 Rpta.: B

Resolución 13

N abc=números: {1; 2; 3; 4; 5}

N° maneras = 5· 4· 3




- 6 -

Resolución 15

x5C 21=

( )( )( )( )x x 1 x 2 x 3 x 421

1· 2·3·4·5

− − − −=

x(x–1)(x–2)(x–3)(x–4) = 7· 6· 5· 4· 3

∴ x = 7 Rpta.: E

De ida: 2 + 2·3 + 1= 9 caminosDe venida: 2 + 2· 3 + 1 = 9 caminosN° maneras = 9· 9 = 81Quitamos los 9 caminos de ida.N° maneras = 81 – 9


Resolución 1

Resolución 2

N° maneras = 7· 6 · 5


Resolución 3Números = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

N a bc d e

9 8 7 6 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓

=

N° formas = 9· 8·7· 6· 5

∴ N° formas = 15120 Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 4

L I B R O → 5 letras

N° palabras = 5!

∴ N° palabras = 120 Rpta.: B

Resolución 5

252

25· 24C

1· 2=

∴ N° partidos = 300 Rpta.: D

Resolución 6

N° diagonales = 82C N lados− °

N° diagonales =8 ·7

8

1· 2

−

∴ N° diagonales = 20 Rpta.: B

Resolución 7

( )

( )

( )+ ++

= = + −

p q ! p q !p q

p p! q!p! p q p !

Además:

+ + + = = + −

p q p q p q

q (p q) q p

∴ Son equivalentes I y II Rpta.: B

Resolución 8

4 : biólogos → se escogen 2

3 : químicos → se escogen 2

5 : matemáticos → se escogen 3

N° maneras = 4 3 52 2 3C · C · C

N° maneras =4 · 3 3 · 2 5 · 4 · 3

· ·1· 2 1· 2 1· 2 · 3


Resolución 9

x

010

= ..... (1)

Se sabe que:

m0

n

= ⇔ m < n ∧ m > 0

En (1): x < 10 x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Producto = 1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9

∴ Producto: 9! Rpta.: D

Resolución 10

n 1 n n n 1Q

2 1 n 1 n 1

+ − = + + + − −

Se sabe que:

m m

n m n

= −

+ + = −

n 1 m 1

n 1 2 y

n n

n 1 1

= −

Luego:

( )n 1 nn 1 nQ 2 2 n

2 1 1· 2

++ = + = +

∴ Q = n2 + 3n Rpta.: B

n

+





- 8 -

Resolución 3

A) (2x – y)4

coef(t2) = coef(t1+1) = ( )134 2 1

1 −

∴ coef(t2) = – 32

B) (3a + b)6

coef(t3) = ( ) ( )

=

4 263 4 19440

2

C)

102 2x y

y x−

coef(t9) = coef(t

8+1)= ( ) ( )

10 8 881 1 45

10

− − =

D) (–a + 12)5

coef(t5) = coef(t4+1) = ( ) ( )5 4 4 45

1 12 5·124

− − = −

E) (p2v2–1)14

coef(t8) = coef(t7+1) =14

7

(1)14-7(–1)7 = –3432

F) (2x2y + xy3)8

coef(t5) =

8

4 (2)8-4

(1)4

= 1120

Resolución 2

A) (x – y)11 ; t7 = t

6+1 = 11 6 611

x y6

−

∴ t7 = 462x 5y6

B) (a + b)21 ; t 5 = t 4+1 = 21 4 421a b

4

−

∴ t 5 = 5985 a 17 b 4

C)10

1 1

a b−

; t 10 = t 9+1 =

10 9 910 1 1

9 a b

− −

∴ t10 = – 10a -1 b-9

D)

7

22

2x yxy

−

; t 8 = t 7+1 = ( )7

7 72

27 2x y7 xy

− −

∴ t8 = –128x -7y-14

E) (2a – b)10 ; t 11 = t 10+1 = ( ) ( )10 10 1010

2a b10

− −

∴ t11 = b 10

F)4

11

xyz

−

; t 2 = t 1+1 = ( )

− −

14 14 1

11 xyz

∴t2 = –4x -1y-1z-1

10

8

Resolución 4

( )5 5

2 2 113x 3x x

x

− − = −

52 1

3xx

−

= (3x2)5 – 5(3x 2)4(x -1) + 10(3x2)3(x -1)2 – 10(3x 2)2(x -1)3 + 5(3x 2)(x-1)4 – (x -1)5

52 1

3xx

−

= 243x10 – 405x 7 + 270x 4 – 90x + 15x -2 – x -5

A) coef(t 4) = –90

B) t 3

C) No existe el término independiente de x:

Resolución 5

( )12

123 2 1 3

2

23xy 2x y 3xy

x y

− − − = −

A) tk+1 = ( )12 k

k3

2

12 23xy

k x y

−

−

tk+1 =

12

k

(2)12-k

(–3)k

(x)3k-24

(y)4k-12

Nos piden:

(x)3k-24 = x -3 3k – 24 = –3 k = 7

Luego:

tk+1 = t 7+1 = t 8

B) tk+1 =12

k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y) 4k-12

(y)4k-12 = y 12 4k – 12 = 12 k = 6

∴ tk+1 = t 6+1 = t 7




- 9 -

C) tk+1 =12

k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y) 4k-12

(x)3k-24 = x 0 3k – 24 = 0 k = 8

∴ tk+1 = t 8+1 = t 9

D) t k+1 =12

k

(2)12-k (–3)k (x)3k-24 (y) 4k-12

y4k-12 = y 0 4k – 12 = 0 k = 3

∴ t k+1 = t 3+1 = t 4

= ( ) ( ) ( )3 k k 15 6k3

3 1 qk

− − −

(q)15-6k = q 9 15 – 6k = 9 k = 1

t1+1 = ( ) ( ) ( )3 1 1 15 6·13

3 1 q1

− − −

∴ t2 = –27q 9

Resolución 6

A) (2p + q)11

tk+1 =11

k

(2p)11-k(q)k

qk = q 9 k = 9

tk+1 = t 9+1 = t10 =11

9

(2p)11-9(q)9

∴ t10 = 220 p 2q9

B)

101

qpq

−

tk+1 =

k10 k10 1

qk pq

− −

( ) ( ) ( )k k 10 2k10

1 p q

k

− − = −

(q)10-2k = q 9 10 – 2k = 9

=1

k2

Como k ∈

∴ No existe el término

C) (p2 – q 3)7

tk+1 = ( ) ( )7 k k

2 37p q

k

− −

( ) ( ) ( )k 14 2k 3k7

1 p q

k

− = −

(q)3k = q 9 3k = 9 k = 3

Luego:

t3+1 = ( ) ( ) ( )3 14 2·3 3·37

1 p q3

− −

∴ t4 = –35p 8 q 9

D)

35 1

3qq

−

tk+1 = ( )− −

k3 k

53 13q

k q

Resolución 7

( )10

2 x 3+

( ) ( ) ( ) ( )10 10 910

2 x 3 2x 2 x 31

+ = +

( ) ( )8 210 2 x 32

+

∴ ( )10 10 9 82 x 3 32x 160 6 x 2160x ...+ = + + +

Resolución 8

(1 + 3x2)6

tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( )k6 k k 2k26 6

1 3x 3 xk k

− =

t0+1 = ( ) ( )0 2·06

3 x0

t 1 = 1

t6+1 = ( ) ( )6 2·66

3 x6

t 7 = 729x 12

Luego:

t1 · t 7 = 1· 729x 12

∴ Producto de los coeficientes = 729

NIVEL II

Resolución 1

(x – 3y)5

t6 = t 5+1 = ( ) ( )5 5 55

x 3y5

− −

∴ t6 = – 243y 5 Rpta.: D

Resolución 2

(2 – x)11

t8 = t 7+1 = ( ) ( )11 7 711

2 x7

− −

t8 = –5280x 7

∴ Coeficiente = – 5280 Rpta.: D



- 10 -

Resolución 3

(2a + b)5

t2 = t 1+1 = ( ) ( )−

=

5 1 1 452a b 80 a b

1

∴ Coeficiente = 80 Rpta.: C

Resolución 8

n2 x

x 2

+

t k+1 = ( ) ( )n k K

n 2k 2k nn n2 x2 x

k kx 2

−− − =

Para el término independiente:

(x)2k-n = x 0 2k – n = 0 n = 2k

Pero: k + 1 = 4 k = 3

Entonces: n = 2· 3 n = 6

Luego: tk+2 = t 3+2 = t 5

t5 = ( ) ( )6 8 8 6 26 15

2 x x4 4

− − =

∴ coef(t5) =15

4Rpta.: C

Resolución 9

133 2

5

x 1

2 x

+

( )( ) ( )−

−−+ =

k13 k2 1

131 3 5k 1 kt 2 x x

tk+1 = ( ) ( )−−

26 13kk 133 15

132 x

k

El término indenpendiente:

( )26 13k

03 15x x

−=

26 13k0

3 15− = k = 10

tk+1 = t 10+1 = t 11

Nos piden el t10 k = 9

t10 = ( ) ( )

26 13·99 13

3 15132 x

9

− −

∴ t10 =

13

15715x

16Rpta.: A

Resolución 4

7y

3x2

−

La expresión tiene 7 + 1 = 8 términos

∴ No hay término central Rpta.: E

Resolución 5

(2x – y)6

t4 = t 3+1 = ( ) ( )6 3 36

2x y3

− −

∴ t4 = –160x 3 y 3 Rpta.: D

Resolución 6

4

2

1x

x

−

t k+1 = ( ) ( ) ( )k

4 k k 4 3k

2

4 41x 1 x

k kx

− − − = −

Del dato:

x4-3k = x 0 4 – 3k = 0 4

k3

=

Como k ∈

∴ No hay término independiente

Rpta.: E

Resolución 7

(2x – 1)5

tk+1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − −

− = −

5 k k 5 k k 5 k5 52x 1 2 1 x

k k

t3 = t 2+1 = ( ) ( ) ( )5 2 2 5 2 35

2 1 x 80x2

− − − =

t5 = t 4 + 1 = ( ) ( ) ( )5 4 4 5 4 x5

2 1 x 104

− − − =

Luego:3

5

t72

t=

380x72

10x=

∴ = ±x 3 Rpta.: C

Resolución 10

1201

xx

+

tk+1 = ( )k

120 k 120 2k120 1201x x

k kx

− − =

Como es de grado 100

120 – 2k = 100

k = 10∴ tk+1 = t 10+1 = t 11 Rpta.: E




- 11 -

Resolución 11

92 0,5

0,4xx

+

tk+1= ( )k9 k

29 0,50,4x

k x

−

( ) ( ) ( )9 2k k 9 18 3k9

2 5 xk

− − − =

Término independiente:

(x)18-3k = x 0 18 – 3k = 0 k = 6

Luego: t6+1 = ( ) ( ) ( )9 2·6 6 9 18 3·69

2 5 x6

− − −

t7 = 0,084 Rpta.: C

Resolución 12

(1 + x)3n

tk+1 = ( ) ( )3n k k k3n 3n

1 x xk k

− =

tk+2 =k 13n

xk 1

+ +

t2k-3 =2k 43n

x2k 4

− −

Como los coeficientes son iguales se tiene:

3n 3n

k 1 2k 4

= + −

(k + 1) + (2k – 4) = 3n

3k – 3 = 3n

∴ k = n+1 Rpta.: A

BINOMIO DE NEWTON CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO

Pág. 58

Resolución 5

( )−1

51 2x

( ) ( )1 445

115 4 1 2x5 1 45

4 4t T

16x−

=+ − =

=

4

1 1 1 11 2 3

5 5 5 5·16x

1· 2· 3· 4

− − −

421

16x625

− =

∴ t5 =

4336x

625

−

Resolución 7

3

E33

− =

( )( )( )( ) ( )3 3 1 3 2 3 3 ..... 3 32

E1· 2· 3·4· 5· .....·33

− − − − − − − − −=

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )− − − − − − − −

= =31

3 4 5 6 · ..... · 35 1 34 35E

1· 2· 3· 4· 5 · ..... · 33 1· 2

∴ E = –595

Resolución 8

15 15 15E

3 4 5

− − − = + +

15 1 15E

4 5

− + − = +

14 15E

4 5

− − = +

( )( )( )( )− − − −= 14 15 16 17E1· 2· 3· 4

Resolución 6

11 231

x4

+

t4 = t 3+1 =

313 1

23

1 11

2 2x 32x43 3

− =

− − = = ⋅

4

1 1 11 2

12 2 2t 32x 32x

1· 2· 3 16

∴ t4 = 2x






- 13 -

Resolución 10

log2 a = x

x + 1 = log2 a + log 2 2

∴ x + 1 = log2 2a Rpta.: D

Resolución 9

logx–3 = logx – 3log10 = logx– log103

= logx–log1000

∴ logx–3 =x

log1000

Rpta.: E

Resolución 18

log0,01+0,3

log 0,0081= log10-2 + 4

0.3log (0,3)

= –2log10 + 4(0,3)

log (0,3)

= – 2 + 4 = 2 Rpta.: C

Resolución 19

2 2 2log 0,25 log 0,125 log 0,0625+ −

( )( ) ( )

( )2 2

0,25 0,125 0,03125log log

0,0625 0,0625=

1

2 2 2log (0,5) log 2 1log 2−= = −

= – 1 Rpta.: E

Resolución 20

2 3 5

1 1 1log log log

16 81 125

− +

4 4 3

2 3 5log 2 log 3 log 5− − −− +

2 3 54log 2 4log 3 3log 5− + −

– 4 + 4 – 3

∴ –3 Rpta.: D

Resolución 21

log3 = 0,47 , log5 = 0,70

log75 – log125 + log45 =

375· 45

log log27 log3 3log3125 = = = = 3(0,47)

=1,41 Rpta.: B

Resolución 11

log(a3–b3)= log(a–b)(a2+ab+b2)

log(a3–b3) = log(a–b) + log(a2+ab+b2)

Rpta.: D

Resolución 12

log(x2–x) = logx(x–1)

∴ log(x2–x) = logx + log(x–1)

Rpta.: A

Resolución 13

= =

5

113 2 3

61236 365

6

11 12log 216 6 log 6 : log 6

3 5

55

36= Rpta.: C

Resolución 14

0,4log 0,064 x=

3

0,4log (0,4) x=

0,4

3log 0,4 x=

∴ x = 3 Rpta.: D

Resolución 15

2

3

log x 2= − 2

2x

3

− =

9

x4

=

Rpta.: E

Resolución 16

− −− + = −

22 2

(a b) (a b)log (a 2ab b ) log (a b)

(a b)2 log (a b) 2

−= − = Rpta.: E

Resolución 17

log 100 +2 5

log 128 log 625−

log 102 +7 4

2 5log 2 log 5−

2log 10 + 2 57log 2 4log 5−2 + 7 – 4

5 Rpta.: B

Resolución 22

log2 = 0,30 ∧ log5 = 0,70

log35 – log14 =35

log14

5log log5 log2

2= = −

log 35 – log14 = 0,70 – 0,30

∴ log35 – log14 = 0,40 Rpta.: B



- 14 -

Resolución 25

22log (5x 3) log x 1− − =

−=

2 2

(5x 3)log log 2

x

5x 3

2x

−= 5x – 3 = 2x

∴ x = 1 Rpta.: B

Resolución 26

33log (2x 21) log x 2+ − =

+ =

2

3 3

2x 21log log 3

x

22x 213

x

+=

2x + 21 = 9x

∴ x = 3 Rpta.: A

Resolución 27

log a + logb = log(a + b)

log a · b = log(a+b) a·b = a + b a(b–1) = b

∴b

ab 1

=−

Rpta.: D

Resolución 23

36 362 3

1 1

log (2) log (3)log 36 log 36+ = +

3636log (2· 3) log 6= =

1

2

36 36

1log (36) log 36

2= =

1

2= Rpta.: C

Resolución 24

2

log 3 x=

6

24 24 24log 64 log 2 6log 2= =

2 2

1 16 6

log 24 log (8· 3)

= =

2 2 2

1 16 6

log 8 log 3 3log 2 x

= = + +

6

3 x=

+ Rpta.: B

Resolución 28

( )

log 2log 233 5243 3

=5log 2log 2 5·log 2

3 33 5243 (3) (3) 2= = =

∴log 2

3243 32= Rpta.: E

Resolución 29

logx + log(x–3) = 1

logx (x–3) = log10

x(x–3) = 10

∴ x = 5 Rpta.: C

Resolución 30

logx log310 10 2x 5− = −

x – 3 = 2x – 5

∴ x = 2 Rpta.: B

NIVEL II

Resolución 1

2 2

1log x16

=

( )= x1 2 216

3x4 2

2 2− =

34 x

2− =

∴8

x3

= − Rpta.: A

Resolución 2

(I)2

log 32 5= 32 = 2 5 ... (V)

(II) 2000log 1 0= 1=(2000) 0 .... (V)

(III)2

1log 4

16

= −

41

216

−= ... (V)

∴ VVV Rpta.: D

Resolución 3

12log 27 a=

42 2

62 2 2 2

log 2 4log 2log 16

log 2 log 3 log 2 log 3= =

+ +

62

4log 161 log 3= + ........................... (1)




- 15 -

Resolución 4

2 3 10234 5log 3 · log 4 · log 5 · log 6 ..... log 1024

log3 log4·

log2 log3

log5·

log4

log6·

log5

log1024.....

log1023

10log1024 log210

log2 log2= = Rpta.: B

Resolución 5

log2 = a ∧ log3 = b

( )3 2 22 2log 75 log75 log 5 · 3

3 3= =

[ ]22 2log5 log3 2log5 log33 3

= + = +

2 10

2log log33 2

= +

( )2

2 log10 log2 log33

= − +

( )2

2 1 a b3

= − +

∴ [ ]3 2 2

log 75 b 2a 23

= − + Rpta.: D

Resolución 62 4 6

logx7 5 11 7 11 5

= + −+ + +

( )( )( )0

7 5 11 7 11 5=

+ + +

logx = 0 x = 100

∴ x = 1 Rpta.: B

Pero:12

log 27 a= 2

2 2

3log 3a

2log 2 log 3=

+

2

2

3log 3 a2 log 3 =+

2 2alog 33 a= −

Reemplazando en (1)

6

4log 16

2a1

3 a

=+

−

∴6

12 4alog 16

3 a

−=

+Rpta.: E

Resolución 10

5log 2 a= ∧

5log 3 2b=

( )2

5 5 5

1 1log 300 log 300 log 10 ·3

2 2 = =

[ ]2

55 5 5

1 1

log 10 log 3 2log 10 log 32 2 = + = +

( )5 5 5

12 log 5 log 2 log 3

2 = + +

( )1

2 1 a 2b2

= + +

∴ 5

log 300 a b 1= + + Rpta.: E

Resolución 7

log2 = x 2 = 10 x

2 2 2

2,5

log 2,5 log (0,4) log 0,4

− =

2

22 2

5 5log 2log

22

= =

[ ]2 22 2

102 log 2 log 10 2log 22

= = −

x10

12 log 10 2 2 2

x

= − = −

2 4x

x

−= Rpta.: D

Resolución 8

( )log y

55

log x y=

( )

log y5

5log log x logy =

( )55

log y log log x logy =

( ) =5

log log x log5 5log x 5=

x = 5 5 = 3125

∴ cifras 11∑ = Rpta.: C

Resolución 9

( )

1 2 22 122 25 4

113 3 33

log 4 log 4log 2 log 2

Elog 243 log 81 log 3 log 3

−

−

++

= =+ +

2 2E

5 4

−=

−

∴ E = 0 Rpta.: E

Resolución 11

log(2–x) + log(3–x) = log2 + 1

log(2–x) + log(3–x) – log2 = log10



- 16 -

( )( )2 x 3 xlog log10

2

− −=

( )( )2 x 3 x 102

− − =

Resolviendo: x1 = 7 ∧ x 2 = –2

∴ CS = {7; –2} Rpta.:

Resolución 12

2 2x

log x 8log 2 3− =

log x 8log23

log 2 2log x− =

2(logx)2 – 6· logx· log2 – 8(log2) 2 = 0

2logx 2 log2logx – 4log2

(1) : 2logx + 2log2 = 0 logx = –log2

(2) : logx – 4log2 = 0 logx = log2 4

x = 16

Luego: x 16=

∴ x 4= Rpta.: D

Resolución 13

1log x 21 1 logx

2− = −

1

2log x 21 log10 logx− = −

10

log x 21 logx

− =

10x 21

x− = x(x–21) = 100 = 4· 25

∴ x = 25 Rpta.: A

Resolución 14

x + log(1+2x) = xlog5 + log72

log10x + log(1+2 x) = log5x + log72

log[10x·(1+2x)] = log[5x· 72]

10x(1+2x) = 5x· 72

2x x5 (1+2x) = x5 ·23· 32

2x(1+2x) = 23· 32 2 x(1+2x)=23(1+23)

∴ x = 3 Rpta.: C

Resolución 1522 2log x log x2 x 1024+ =

( )2 2

log x2

log x log x 10

2 x 2+ =

log x log x 102 2x x 2+ =

log x 1022· x 2=

log x

2 9x 2= ( )

log x2 9

2 2log x log 2

=

2 2 2log x · log x 9log 2= ( )

2

2log x 9=

2log x 3= ±

3

3

2 x x 8

12 x x

8

−

= ⇒ =

= ⇒ =

Suma =1

88

+

∴ Suma =65

8Rpta.: D

Resolución 162

2 3x x

log a log a k+ =

x x

1 2log a log a

2 3+ = k

x

6klog a

7=

a

1 6k

log x 7=

∴a

7log x

6k= Rpta.: C

Resolución 17

23 x

logx log16 log2

− =

logx3 – log2 4 = logx 2 – log2

logx3 – logx 2 = 4log2 – log2

33

2

xlog log2

x

=

x = 23

∴ x = 8 Rpta.: E

Resolución 18

= =

6

logx610x 0

x [ ] =

6

logx610log x log

x

6logx · logx 6 log10 log x = −

(logx)2 = 6 – logx

(logx)2 + logx – 6 = 0

Resolviendo:

x1 = 10 2 ∧ x 2 = 10 -3

Luego: x1 · x 2 = 10 2· 10-3

∴x

1 · x

2 = 10 -1 Rpta.: B




- 17 -

Resolución 19

( ) ( )− + − =logn

n 10log 2x 1 log x 1 n

log(2x–1)n + log(x–1) n = n

n log(2x–1) + nlog(x–1) = n

log(2x–1) + log(x–1) = log10

log(2x–1)(x–1) = log10

(2x–1)(x–1) = 10

∴ x = 3 Rpta.: B

Resolución 23

antilogx· antilogx x = 16

antilogxxx = 16

xxx 16=

x 2x 2x 2= x = 2

Resolución 20

x ab x ab ab+ − − =

x ab x ab logy+ + − =

(x + ab)–(x – ab) = ab logy

2ab = ab logy 2 = logy log10 2 = logy

∴ y = 100 Rpta.: E

Resolución 21

2 x

x

log x log 2 5

2 log 2 3

+=

−

22

2

1log x

5log x

1 32

log x

+=

−

( ) ( )2

2 23 log x 3 10 log x 5+ = −

( )2

2 23 log x 10· log x 8 0− + =

Resolviendo: 1x 4= ∧ 32x 2 2=

Luego: x1· x2 = 34 ·2 2

∴ x1· x2 = 38 2 Rpta.: B

Resolución 22

log2 = 0,3 ∧ log3 = 0,472x = 24 2 x = 2 3· 3

log2x = log(2 3· 3)

xlog2 = 3log2 + log3

x(0,3) = 3(0,3) + 0,47

∴ x = 4,5 Rpta.: B

Luego: x3 = 2 3

∴ x3 = 8 Rpta.: E

Resolución 24

4 2 36antilog x antilog · colog 3 log 3=

1

2

3

24 6 3

antilog x antilog · colog · log 3=

24 6antilog x antilog · colog 6=

( ) ( )2

2 24 66antilog x antilog · log 6 antilog · log 6= − = −

( )24

antilog x antilog 2= −

4x = 2 -2 22x = 2 -2

∴ x = –1 Rpta.: D

Resolución 25

2 216 8log x log x 4+ = −

Sea: log2x = a

16 8a a 4+ = − 16 +8a = a2 – 8a + 16

a = 16 log2x = 16 logx = ± 4

logx = log104

∴ x = 104 Rpta.: B

Rsolución 26

( )( )( )Ln Ln Ln Lnx 0=

( )( )( )Ln Ln Ln Lnx Ln1=

( )( )Ln Ln Lnx 1= [ ] 1Ln Lnx e=

Lnx = ee

∴ x=eee Rpta.: D

Resolución 27

Lnx13Lnx 42 Lnx+ =

Lnx · Lnx + 42 = 13· Lnx

(Lnx)2 + 42 = 13· Lnx

(Lnx)2 – 13 · Lnx + 42 = 0

Resolviendo la ecuación de 2do grado:

Lnx1 = 7 ∧ Lnx 2 = 6

Lnx1 = 7 x1 = e 7

Lnx2 = 6 x 2 = e 6

x1· x2 = e 7· e6

∴ x1· x2 = e 13 Rpta.: E

(x)



- 18 -

Resolución 29

x2 – y 2 = 11

logx – logy = 1

xlog log10

y

=

x10

y= x = 10y

Resolución 28

35 5

R colog 0,04 antilog 2= +

2

55 5 5

1 100colog 0,04 log log log 5 2

0,04 4= = = =

2

5antilog 2 5 25= =

Entonces:

3R 2 25= +

∴ R = 3 Rpta.: C

Resolución 30

1+ 2logx – log(x+2) = 0

log10 + logx2 = log(x+2)

log10·x2 = log(x+2) 10x2 = x+2

10x2 – x – 2 = 0

Resolviendo: 11

x2

= ∧ 22

x5

= − (no)

∴ C.S =

1

2Rpta.: C

Entonces:

(10y)2 – y 2 = 11

1y

3= ∧

10x

3=

Por lo tanto:

+ = +10 1

x y3 3

∴11

x y3

+ = Rpta.: D

CAPÍTULO 5

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO (Pág. 157, 158)

Resolución 1

Cambiamos el sentido de giro del ángulo negativo, enton-ces:

(17x – 19)° + (13x – 11)° = 180°

30x – 30 = 180

x = 7 Rpta.: C

Resolución 2

Cambiando el sentido de giro de los ángulos negativostenemos:

• Se observa que:

(–θ)+ x = 180°

x – θ = 180° .... (1)

• Además:

(–α) + 90° + β = 180°

–α + β = 90°

–2α + 2 β = 180° .... (2)

• Igualando 1 y 2 :x – θ = –2 α + 2 β

x = θ + 2 β – 2 α Rpta.: D

Resolución 3

En la figura se observa que:




- 19 -

• Entonces se cumple:

(ax2+bx+c+120)° + (–mx2–nx–p+150)° = 270°

ax2+bx+c–mx2–nx–p+270 = 270

(a–m)x2 + (b–n)x + (c–p) = 0

• Aplicando la definición de polinomios identicamente nulo se tiene:

− = → = − = → = − = → =

a m 0 a m

b n 0 b n

c p 0 c p

• Finalmente:

a b c1 1 1

m n p+ + = + +

a b c3

m n p+ + =

Rpta.: E

Resolución 4

Analizando la figura se tiene que:

θ+(–α)+ β = 2 vueltas

θ – α + β = 2(360°)

θ – α + β = 720° Rpta.: A

Resolución 5

Analizando el gráfico observamos que:

θ + x = –720°– α + x = –360°

θ –(– α) = –360°

θ = –360° – α Rpta.: C

Resolución 6

Dividendo cada uno de los ángulos dados entre 360° seobtiene:

3106 360

134 9

− ° °° −

854 360

134 2

° °°

5186 360

146 14

° °°

Observando los residuos de estas divisiones se concluyeque:

α y β son coterminales Rpta.: A

Resolución 7

De acuerdo al gráfico se debe cumplir que:

(11x + 50°) –(–560°) = 720°11x + 610° = 720°

x = 10° Rpta.: B

Resolución 8

Sean los ángulos coterminales α, β y θ tal que : α < β < θ.

• Luego de acuerdo al enunciado:

i) 0° < a < 90°

ii)1 7 13

α β θ= = 7

13

α = αβ = αθ = α

• Además: θ – β = 360°n

13α – 7 α = 360° n

α = 60° n

n = 0 → α = 0° ¡No!

n = 1 → α = 60° ¡Si !

n = 2 → α = 120° ¡No !

∴ θ = 13(60°)

θ = 780° Rpta.: A

Resolución 9

Sean los ángulos coterminales α y β tal que α > β, enton-

ces:

19

3

α=

β → 19

3α = β ... (1)

α – β = 360°n ... (2)

• Reemplazando (1) en (2):

19360 n

3β − β = °

16360 n

3β = ° → β = 67,5°n

• Pero “β” toma su menor valor positivo, entonces:

n = 1 → β = 67,5°

• Luego en (1) tenemos:

( )19

67,53

α = ° → α = 427,5°

∴ α = 427 30'° Rpta.: A

Resolución 10

Siendo α y β ángulos coterminales, se cumple que:

α – β = 360°n

(7x2 + 1)° – (1 – 3x 2)° = 360°n

10x2 = 360n

x = 6 n



- 20 -

Para que a tome su mínimo valor, x ∈ + tambien debetomar su mínimo valor, entonces:

n = 1 → x = 6 Finalmente:

α = (7·6 2 + 1)°

α = 253° Rpta.: D

Resolución 11Sean α y β ángulos coterminales tal que: α > β , entonces:

α + β = 600° ... (1)

α – β = 360°n ... (2)

• De 1 y 2 :

α = 300° + 180° n

pero: 400° < α < 600°

n = 0 → α = 300° ¡No!

n = 1 → α = 480° ¡Si!n = 2 → α = 660° ¡No!

En 1: 480° + β = 600°

β = 120° Rpta.: C

Resolución 12

En la figura se cumple que:

x + α° + (–β)° = 180°

x = 180° – ( )Suplem.(x)

α°−β°

∴ Suplemento (x) = α° – β° Rpta.: B

Resolución 13 Del enunciado:

3θ + 2x = 18° ... (1)

• En la figura se observa que:

2θ − 3x = 90° ... (2)

• Resolviendo 1 y 2 :

Resolución 14

Siendo α y β ángulos coterminales tal que:

β – α = 360° n ... (1)

1

5

α

=β → β = 5 α ... (2)

• Reemplazando 2 en 1:

5α – α = 360°n

α = 90°n

pero: 100° < α < 200°

n = 2 → α = 180°

• En 2 :

β = 5(180°)

β = 900° Rpta.: E

Resolución 15

Revisemos los residuos que se obtienen al dividir cadaángulo entre 360°:

1370 360

290 3

° °°

2450 360

290 6

° °° °

3310 360

290 10

− ° °

° −

• Observamos que los residuos son iguales, luego:

α, β y θ son coterminales Rpta.: D

3θ + 2x = 18° (x3) → 9 θ + 6x = 54°

2θ – 3x = 90° (x2) → 4 θ – 6x = 180°

13 θ = 234° θ = 18°

• Reemplazando en 1:

3(18°) + 2x = 18°

x = –18°• Finalmente:

E = 18° + (–18°) E = 0° Rpta.: B

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES (Pág. 174, 175, 176)

CAPÍTULO 6

NIVEL I

Resolución 1

• De 1:

36° < > Ag A g = 36° ×g

g1040

9=

°

A = 40

• De 2 :

B° <> 60g B° =g

g

960

10

°× = 54°

B = 54

• Nos piden:

M = 3(54) –4(40) = 162 – 160

M = 2 Rpta.: B

Resolución 2

Realizando las conversiones al sistema sexagesimales:

30g ⇔ 30 g × g

927

10

°= °

rad9

π

< >

18020

9

°= °




- 21 -

• Reemplazando en la expresión pedida:

45 27 72E

20 20

° + ° °= =

° °

E = 3,6 Rpta.: C

Resolución 4 Tenemos que:

S Cn

9 10= = →

S 9n

C 10n

= =

• Reemplazando en la condición dada:

( ) ( )2 9n 9 10n 4

3 2

− +=

6n – 3 = 5n + 2 → n = 5

• Nos piden “S” , entonces:

S = 9(5) → S = 45° Rpta.: C

Resolución 5

• Sabemos que:

180RS

200RC

= π = π


200R 180R3− =

π π20R

3=π

3R

20

π= rad Rpta.: E

Resolución 3 Recordemos que:

S C Rk

180 200= = =

π →S 180k

C 200k

R k

= = = π

Reemplazando en la expresión pedida:

( )( )

( )

2

2

2 200k 180k 2 200k 180kP

400 k

π × + × −=

π

( )( )

2

2 2

580k 220k580 220P

400 k 400

π×= =π

P = 319 Rpta.: A

Resolución 9

• Teniendo en cuenta que:

S = 180K ; C = 200K , R = πK


180K 200K

146 5+ =

70K = 14 → 1

K5

=

∴ 1

R5

= π

R5

π= rad Rpta.: A

Resolución 10

• Calculando la suma tenemos:

( )360 360 1 649802

° +α = = °

Resolución 6

• Se tiene que:

180rad 3,75 3 45'

48 48

π °< > = ° = °

∴ A°B’ = 3°45’ → A 3

B 45==

• Nos piden:

33A3 3

B 45 27 35 5

= × = =

A3

B 35

= Rpta.: C

Resolución 7 Sabemos que:

S C

9 10= → 10S = 9C → 10S – 9C = 0

• Reemplazando en la expresión a reducir tenemos:

[ ]0

E 2R 1= + π =

E = 1 Rpta.: B

Resolución 8

• De la condición tenemos:

S = 2n + 2 (x3) → 3S = 6n + 6

C = 3n – 4 (x2) → 2C = 6n – 8

3S – 2C = 14 ... (I)

• En I se tiene que:

180R 200R3 2 14

− = π π

540R 400R14− =

π π

140R = 14 π

R10

π= rad Rpta.: D



- 22 -

• Expresamos “α” en radianes:

rad64980 361 rad

180

π α = °× = π °

∴ α = 361 πrad Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 1

• Realizando la conversión al sistema sexagesimal te-nemos:

13g90m<> 13,9g <> 13,9 g × g

9

10

°

13g90m <> 12,51° = 12°30’36’’

A°B’C’’ = 12°30’36’’ →

A 12

B 30

C 36

= = =

• Reemplazando en lo pedido:

A C 12 361,6

B 30

+ += = Rpta.: C

Resolución 2

• Sabemos que: S = 180K

C = 200K

R = πK

• Reemplazando en la expresión a reducir:

( )( )

2 2 2

2 2

40000K 32400kU

76 K

− π=

π

2 2

2 2

7600KU 100

76 K

π= =

πRpta.: D

Resolución 3

• En la condición tenemos:

C S 19

SC 72

+=

200K 180K 19

180K·200K 72

+=

2

380K 19

36000K 72= →

1K

25=

∴ 1

R25 25

π = π = rad Rpta.: A

Resolución 4 Del enunciado:

Resolución 5

• Expresando la medida de los ángulos del cuadrilatero

en el sistema sexagesimal tenemos:

m( A ) = (13x + 10)°

m ( B ) = 25(x + 1)g · g

9 45(x 1)

10 2

° = + °

m( C ) = 90°

m( D ) =x 180

rad· 12x15 rad

π ° = ° π

• Aplicando la propiedad de los cuadriláteros tenemos:

m( A )+ m(B )+ m( C ) + m( D ) = 360°

(13x + 10)° +45

2(x+1)° + 90° + 12x° = 360°

13x + 10+45

2x +

45

2+12x = 270

95 475

x2 2= → x = 5 Rpta.: C

Resolución 6

• Trabajando en la condición:

180R 200R4 3 10R 12

− + = + π π π

120R10R 12+ = + π

π

120R + 10Rπ = (12+ π)π

10R(12+π) = (12+π)π

∴ R10

π= rad Rpta.: E

Observación:

El problema también lo podemos resolver aplicando

el siguiente método:

4S – 3C + 10R = 12 + π

Igualamos los términos que presentan la constantes “ π”

10R = π → R10π= rad

ˆˆ ˆA B C 180+ + = °

α – 12° + α + α + 12° = 180°

∴ α = 60°

• Se observa que el menor ángulo es A, entonces:

A = 60° – 12° = 48° <> 48°×rad

180

π

°

4A rad

15

π= Rpta.: D




- 23 -

∆APQ (ángulo exterior)

x = 20° + y

x – y = 20° ·rad

180π

°

x – y = rad9

πRpta.: D

Resolución 10

• Elevando al cuadrado la condición tenemos:

[ ]

2

2R2 3 5

R

π+ =

π

π π+ + = π π 4R R 92 2 3 25

R R

Resolución 7

• De la propiedad de las proporciones notamos que:

2C S 5 9R2C S 5 9R

+ π +=− π − → 2C 5

S 9Rπ=

10 52

9 9R

π = → R

4

π= rad Rpta.: B

Resolución 8

• A partir de la condición hallamos el valor de “x”:

S C

9 10= →

2x 1 9x 2

9 10

− −=

10x2 – 81x + 8 = 0

(10x – 1)(x – 8) = 0 →

1

x 10x 8

= =

pero: x ∈ → x = 8

• Reemplazando tenemos:

S = (8)2 – 1 = 63

R = 63180

π

→ 7

R20

π= rad Rpta.: B

4R 912 25

R

π+ + =

π

4R2 – 13R π + 9 π2 = 0

(R – π)(4R – 9π) = 0

i) R = π → S = 180°

ii)9

R4

π= → = = °

9(180)S 405

4

• Nos piden el mayor valor, entonces

S = 405° Rpta.: C

Resolución 9

• Analizando la figura tenemos:

NIVEL PREUNIVERSITARIO

Resolución 1• Resolviendo la ecuación dada tenemos:

418 S 3 S− =

4S 3 S 18 0+ − =

( )( )4 4S 6 S 3 0+ − =

i) 4 S 6= − ¡Absurdo!

ii) 4 S 3= → S = 81°

∴ 9

R 81

180 20

π π = =

rad Rpta.: A

Resolución 2

• Reemplazando los datos en la igualdad:

S C

9 10= →

2 23x x 8 2x 5x 5

9 10

+ − + +=

12x2 – 35X – 125 =0

(12X +25)(X – 5) = 0 →

25x ¡No!

12

x 5

− = =

• Reemplazando el valor de “x” se obtiene:

S = 3(5)2 + (5) –8 = 72

∴ 2

R 72180 5

π π = = rad Rpta.: C

Resolución 3

• A partir de los datos tenemos:



- 24 -

m( A ) = m( B ) → (5x – 3)° < > (7x – 25) g

5x 3 7x 25

9 10

− −

= → x = 15

• Luego:

m( A ) = (5×15–3)° = 72°

m( B ) = 72°

m( C ) = 180° – 72° – 72° = 36°

∴ m( C ) = 36° ×rad

rad180 5

π π=

°

Rpta.: B

Resolución 4

• De acuerdo al enunciado se tiene que: (α < β < θ)

α = (a – r)° α + β + θ =1

4(180°)

β= a° (a – r)° +a° + (a + r)° = 45°

θ = (a + r)° ∴ a = 15

• Además:

a + r = (a –r)2

15 + r = (15 – r)2

r2 – 31r + 210 = 0

(r – 21)(r – 10) = 0 → r 21 ¡No!

r 10

=

=∴ α = (15 – 10)° = 5°

α = 5°×rad

rad180 36

π π = ° Rpta.: A

Resolución 5

• En la figura se cumple que:

xm <> – y ll →

g 0x y

100 3600

< > −

S C

9 10= →

y x3600 1009 10

−=

y x

162 5

−= →

x 5

y 162= − ... (I)

• Reemplazando (I) en la expresión pedida tenemos:

33375x 75 5 125

4y 4 162 216

= − = −

∴ 375x 5

4y 6

= − Rpta.: E

Resolución 6

• Recordemos la siguiente propiedad algebraica:

ab = 1 → I. b 0 a 0

II. a 1 b

= ∧ ≠= ∧ ∈

• Analizando para el caso I :

C – S – 1 = 0

C – S = 1

200R 180R1− =

π π

R20

π= →

S 9

C 10

=

=

Pero si reemplazamos en la condición del problemase observa que:

× − − =

02 9 10

1 19 10

00 = 1 ¡Absurdo!

• Analizando para el caso II :

2S C1 1

9 10− − =

20S – 9C = 180

180R 200R20 9 180

− = π π

R10π= →

S 18

C 20

=

=

Comprobando en la condición del problema tenemos:

[ ]( 20 18 1)

1 1− −

=

11 = 1 ¿Correcto!

∴ R10

π= rad Rpta.: C

Resolución 7

• De acuerdo al enunciado se cumple que:

aI<>bg →

0a

60

<> b g

ab60

9 10= → a = 54b

• Reemplazando en la expresión pedida:

54b 5bE 49 7

b

−= = = Rpta.: D

Resolución 8

• Analizando la expresión dada tenemos:





- 26 -

2

1

·rS

2

α=

22

2

2 ·(2r)S 4 r

2α= = α

• Nos piden:

2

1

22

·rS 12S 4 r 8

α

= =α

Rpta.: E

Resolución 5

• En el gráfico se cumple que:

S AOB =( ) ( )

2m AOB · OA

2

2·(2x)2x3

2

π

π = → x 2 – 3x = 0

x(x – 3) = 0 →x 0¡No!

x 3

= =

∴ x = 3 Rpta.: C

Resolución 6


i) ( )AB

L m AOB ·OA=

ABL ·12 3 m

4

π= = π

ii) CDL m( COD)·OC=

CDL ·16 4 m

4

π= = π

• Luego: nos piden:

AB CDL L

S ·BD2

+ =

3 4S ·4 14

2π + π = = π

222S 14 44m

7

= =

Rpta.: D

i) ( )1L m CAD ·AC=

1L ·12 4 m3

π

= = π

ii) ( )2L m AOB ·OA=

2L ·24 4 m6

π= = π

Nos piden:

L1 + L 2 = 4 π + 4 π = 8 πm Rpta.: E

Resolución 7

• Analizamos la figura:

S2 =

22(5) 9 16

m2 2 2

− =θ θ θ

• Nos piden:

2

1

16S 16 42

9S 9 3

2

θ= = =

θ Rpta.: A

Resolución 9

• Segun la figura se cumple:

i) ABL · OA= θ

2 = θ · OA

ii) CDL · OC= θ

4 = θ ·(OA + 2)

4 = θ ·OA + 2 θ

4 = 2 + 2θ

∴ θ = 1 Rpta.: A

Resolución 10

• En el gráfico se verifica que:

S ABDC = AB CD

L L·AC

2

+

( ) ( )x 1 x 19 ·x

2

− + +=

9 = x2 → x = {–3; 3}

∴ x = 3 Rpta.: D

Resolución 8

• Del gráfico se obtiene:

i) S1 =

2 22

AB

L (3) 9m2 2 2= =θ θ θ

ii) S2 = S COD – S 1 =

2

CDL 9

2 2−

θ θ




- 27 -

i ) Sector COD: 3L = α · 2r ... (1)

i i) Sector AOB: 2L = ·r2

π − α

... (2)

Dividendo m · a· m (1) : (2)

3L ·2r

2Lr

2

α=

π − α

→ 3 2

2

2

α=

π− α

33 4

2

π− α = α →

3

14

πα = B

OBC: R 2 = r 2 +2

5

R2 – r 2 = 5

• Además:

S ABDC = S COD – S AOB

S ABCD =

2 22 2·R ·r

5 52 2

π π

−

S ABCD = ( )2 2R r (5)5 5π π− =

S ABCD = πm2 Rpta.: A

Resolución 3

• En el sector circular AOB:

( )AB

L m AOB ·OA=

4 = θ · r ........... (1)

• En el sector circular EOF:

EFL m( EOF)·OE=

14 = θ · (r + 5)

Resolución 5

• Analizando la gráfica:

ABD : Isósceles (AB = BD = 2 2 m)

∴ m A m D 45= = °

Asom = A ABD – A Sector BAC

Asomb. =( )

2

· 2 22 2·2 2 4

2 2

π

−

Asomb. =(4 – π)m2 Rpta.: C

• Aplicando la propiedad de ángulos en la circunferen-cia:

m BOC 2m BAC= → m BOC 2= α°

• En el sector BOC:

radL 2 · ·R180π = α° °

Resolución 1

• Analizando la gráfica:

NIVEL II

Resolución 2

• Analizando la figura:

Resolución 4

• Trasladando los datos al gráfico tenemos:

14 = θr + 5θ14 = 4 + 5θ

θ = 2rad• Reemplazando en (1):

4 = 2· r → r = 2m

• En el sector circular COD:

CDL m( COD)·OC=

CDL = θ·(r + 3)

CDL =2(2 + 3)

CDL = 10m

• Nos piden:

L 10m

5r 2m= = Rpta.: B

2α



- 28 -

• Del enunciado:

S AOB 1

S COD 4= →S COD = 4·S AOB

Reemplazando:

2 2

2 1L L4·

2 2=

θ θ → 2 2

2 1L 4L=

L2 = 2L1 → 2

1

L2

L= Rpta.: C

Resolución 6

• Sea: m AOB rad= θ ; entonces:

L R90

απ=

90LR = πα Rpta.: B

Resolución 7

• Sea: m AOB rad= θ ; luego:

ABL ·1 m= θ = θ

CDL · 3 3 m= θ = θ

EFL · 6 6 m= θ = θ

• Además:

21

3S ·2 4 m

2

θ + θ = = θ

22

3 6 27S ·3 m

2 2

θ + θ = = θ

• Nos piden:

1 33

32

S 4 8 2

27S 27 32

θ= = =

θ Rpta.:A

L

Rθ = →

8 10

r r 2θ = =

+

∴ 8r + 16 = 10r → r = 8m

• Luego:

Asomb. = 2AB

L · r 8 · 832m

2 2

= = Rpta.:E

Resolución 8

• En la figura:

Resolución 9

• Sea : = θ = θm CoD rad rad; luego :

( )( )

θ +=

2

1

a 1S ..... 1

2

( )( )

2

2 1

2aS S ..... 2

2

θ= −

Dato: S1 = S2

( )2

1 1

2aS S

2

θ= −

2S1= θ ⋅ 2a2 ..... Reemplazando (1)

2 θ ( )+2

a 1

2= θ ⋅ 22a

a2 + 2a + 1 = 2a2

0 = a2 – 2a – 1

( )2 4 4 1a

2

± − −=

2 8a

2

±=

2 2 2a

2

±=

⇒ a=1+ 2 o a = 1– 2 (absurdo)

a = 1 + 1,41

∴ a = 2,41 Rpta. E

Resolución 10

• De acuerdo al gráfico:

i) S1 =

2x

2

α

ii) S2 = S DOE – S BOC




- 29 -

S2 =

2 2y x

2 2

α α−

• De la condición:S1 = S 2

2 2 2x y x

2 2 2

α α α= −

x2 = y 2 – x 2 → 2x 2 = y 2

2

2

x 1

y 2= →

x 2

y 2=

∴ x

0,71y

= Rpta.: C

• Además:

Asomb. = A AOB – A OBC

Asomb. =( ) ( )

22

2 32 332

2 2

ππ

−

Asomb. = 3 π – 2 π = πm2 Rpta.:D

Asomb. =( )2 2R r

1802

απ−

Asomb. =2·a

360

απ

• Aplicando la fórmula anterior tenemos:

Asomb. =2 21· 2· 8

·1 ·2360 360 360 360

π π π π+ = +

Asomb. =2m

40π Rpta.: D

i) El ∆AOC es equilátero:OA = OC = AC = 12m

m AOC m OAC m ACO 60= = = °

Además:

AC = AD → AD = 12m

ii) En el sector circular AOC:

ACL ·12 4 m

3

π= = π

iii) En el sector circular CAD:

CDL ·12 m

12

π= = π

• Sea 2p el perímetro de la región sombreada, enton-

ces:2p = AD + AC

L + CDL = 12 + 4 π + π

2p = 5π + 12 Rpta.: D

∆BOC: equilátero

m OBC 60= °

Resolución 1

• Analizamos la gráfica:

NIVEL PRE-UNIVERSITARIO

Resolución 2

• Revisando la figura tenemos:

Resolución 4

• Analizamos el siguiente caso general:

Resolución 3


S ABDC = 5

CD2 L

·2 52

+ =

CDL 3m=

• Además:

S ABDC = S COD – S AOB

2 2

CD ABL L

52 2

= −θ θ

10θ = 3 2 – 22 → 10 θ = 5

θ = 0,5 Rpta.: E

Resolución 5

• Del gráfico se obtiene que:

i) 1BCL 2L=

ii) S1 =

21L

2θ

iii) S2 = S DOE – S BOC

S2 = ( ) ( )( )

22

12 2LL2 2 2 2−θ θ



- 30 -

Resolución 7

• Según el enunciado tenemos:

2p = 8

a + b + 2x = 8

a + b = 8 – 2x

• Además:

a bA x

2

+ = →

8 2xA x

2

− =

A = 4x – x2 → A = 4 – (x – 2) 2

Máx Mín = 0

∴ A

máx = 4m 2 Rpta.:D

i) R + r = 4 ; R·r = 2

(R + r)2 = (4) 2

R2 + 2Rr + r 2 = 16

R2 + 2(2) + r 2 = 16

R2 + r 2 = 12

ii) S ABC =4 2·4 2

162

=

iii) S1 =2R

2; S3 =

2r

4

π

S2 =2R

4

π; S4 =

2r

2

• De gráfico se observa que:

Asomb. = S ABC –(S1 + S 2 + S 3 + S 4)

Asomb. = 16 –

2 2 2 2R R r r

2 4 4 2

π π+ + +

Asomb. = 16 –

2 2R r1 1

2 2 2 2

π π + + +

Asomb. =16 –

2 2R r1

2 2

π + +

Asomb. = 16 –12

12 2

π +

Asomb. = 10 – 3π Rpta.: A

S2 =2 2

2 1L L

4−

θ θ

• De la condición se tiene:

S1 = S 2 →

2 2 2

1 2 1L L L

2 4= −

θ θ θ

2 21 23L L

2 4= → 2 2

1 26L L=

1 26 L L= → 1

2

L 6

L 6= Rpta.: D

Resolución 6

• En la figura se observa que:

( )m AOB rad2

π = − θ

De la condición se tiene que:

S1 = 2S 2 → ( ) ( )

2

2· 2 2· 12

22 2

π − θ θ =

42

π − θ = θ

→ 2 π – 4 θ = θ

∴ 2

5

πθ = Rpta.:D

Resolución 8


2p = 2

L + 2r = 2

2 Lr 2−=

Resolución 9

• De acuerdo a los datos:




- 31 -

Resolución 10


• Además:

L rS

2

×=

→

2 LL

2

S 2

−×

=

22 L LS

4

−= →

2

1 2L

2 2S

4

− −

=

Por condición: S → máximo

Entonces:

2

2L

2

−

→ mínimo

∴2

L 02

− = → 2

L2

= Rpta.: E

i) 1

abS

2=

ii)( ) 2

2

a a b ab aS

2 2 2

+= − =

• Nos piden:2

2

1

aS a2

abS b

2

= =

• Además:

AB

L · a= α →

b

aα =

( )

CD

aL a b

a b= α + → α =

+

b a

a a b=

+ → ab + b 2 = a 2

a2 – ab – b 2 = 0

( ) ( ) ( )( )( )

2 2b b 4 1 ba

2 1

− − ± − − −=

b 5 ba

2±= →

1 5a b2

±=

a 1 5

b 2

±= →

2

1

1 5

a 2

b 1 5 S¡No! 0

2 S

+=

− >

∴ 2

1

S 5 1

S 2

+= Rpta.:B

NÚMERO DE VUELTAS EN UN SISTEMA DE RUEDAS (Pág. 202, 203, 204)

Nivel I

Resolución 1

• Del enunciado se tiene:

Longitud del tramo AB = 18 π m = 1 800π cm

Radio de la rueda = 20 cm

Número de vueltas = n

• Por teoría se sabe que:

=π ⋅

longitud del tramo ABn

2 radio

1800 cm

n2 20 cm

π=

π ⋅ n = 45

Rpta. C

Resolución 2

• Del enunciado obtenemos

el siguiente gráfico con sus

respectivos valores.

• Debemos calcular el número de vueltas que da la mo-neda móvil al recorrer completamente a la otra moneda.

( )α +=

π

R rn

2 r; donde:

α = π = =

2 rad

R 4r

r rLuego:

( )π +=

π

2 rad 4r rn

2 rad r

n = 5 Rpta. D

Resolución 3

Del enunciado se tiene:

Ambas ruedas recorren la misma distancia (L), luego:

* Número de vueltas de B = π ⋅L

2 radio

r



- 32 -

( )=

πL

82 3r

L = 48π r

* Número de vueltas de A = π ⋅L

2 radio

( )

π=

π48 r

2 2r = 12

Luego:

ángulo que barre

la rueda menor= 12(360°) = 4 320° Rpta. A

Resolución 4

Del gráfico se obtiene:

• n1 · r

1 = n

3 · r

3 n1 · 10 cm = 3 · 40 cm

n1 = 12

• n1 = n 2 , además

=π2

2

Ln

2 r

( )=

πL

122 35 cm

L = 2 640 cm

• La longitud que asciende el bloque es L

∴ El bloque ascenderá 26,40 m Rpta. C

Resolución 5

Además:

• 11

Ln

2 R=

π • 2

2

Ln

2 r=

π

( )

1L1

2 9 cm= π ( )

2L

3 2 4 cm= π

L1 = 18 π cm L 2 = 24 π cm

Luego: x = 18π cm + 12 cm + 24 π cm

x = 144 cm Rpta. E

Resolución 6

Calculamos el número de vueltas en el tramo AB

( ) ( )

( )AB

R r 9 cm 1cmn

2 r 9 1cm

α − π −= =

π π

n AB = 4

Resolución 7

En la figura se observa que en cada vértice del triánguloequilátero se forma, debido al giro de la rueda, un tercio decircunferencia. Entonces la longitud total recorrida por la

rueda será:

( )( )T

2 1cmL 44 cm 3 44 2 cm

3

π= + = + π

Ahora calculamos el número de vueltas

TL

n2 r

=π

( )44 2 cmn

2 cm

+ π=

π n = 8 Rpta. E

Resolución 8

De la figura se obtiene lo siguiente:

• Las ruedas de radio r y 2r tienen la siguiente relación: n 2r · 2r = n r · r

n 2r · 2r = 50 · r n 2r = 25

• El número de vueltas de las ruedas de radio 2r y 3r soniguales, entonces: n2r = n3r = 25

• Además la rueda de radio 3r es la mayor

∴ El ángulo que barre la rueda mayor es 25 · 2π = 50 π

Rpta. E

Resolución 9

• Sea n el número de vueltas que da la rueda de 7 cm,entonces:

( )AhL

n2 7 cm 14 cm

= =π π

Calculamos el número de vueltas en el tramo BC

( ) ( )

( )BC

7 cm 1cmR r 2n2 r 2 1cm

π+

α += =π π

n BC = 2

Además; el número de vueltas durante el tramo AC es iguala la suma de los números de vueltas de los tramos AB y BC.

∴ Número de vueltas en el tramo AC = 6

Rpta. A

donde N es el número de vueltasde la rueda de 8 cm de radio

Ah 2 N 814 ⋅ = ⋅π

AhN56= π

. . . (1)

• La rueda de radio 7 cm y la rueda de 2 cm dan el mismonúmero de vueltas (n)

• Las ruedas de 2 y 8 centímetros tienen la siguiente relación:

n · 2 = N · 8 ,




- 33 -

• El número de vueltas de las ruedas de 8 y 3 centímetrosson iguales, entonces:

( )BhN

2 3 cm= π BhN

6= π . . . (2)

• Igualando (1) y (2) se obtiene:

=π π

A Bh h

56 6 A

B

h 28

h 3= Rpta. A

Resolución 10

Datos de la 1a rueda:

radio = a

n° de vueltas de = n long. de recorrido = bπ

Datos de la 2a rueda:

n° de vueltas = N

radio = b

long. de recorrido = aπ

Peroa

b es equivalente a

1

2n

= =

1 1 1N

2 2n 4n

∴ La segunda rueda debe dar

1

4n vueltas

Rpta. D

π= =

π

=

b bn

2 a 2 a

a 1

2nb

a aN

2 b 2 b

π= =

π

Resolución 11

Calculamos la longitud del borde de la moneda de 2r deradio (L2r)

L2r = 2 π(2r) L2r = 4 πr

Calculamos el número de vueltas que da la moneda de radio r.

Ln 2 r= π ⋅ , pero L = L 2r = 4 πr

4 rn

2 r

π=

π = 2

∴ La moneda de radio r da 2 vueltas Rpta. B

Nivel II

Resolución 12

Graficando tenemos:

Ahora calculamos el número de vueltas

( )R rn

2 R

α +=

π

( )

( )

π

=π

375r

90n2 4r

37

n144

= Rpta. B

Resolución 13

Graficando tenemos:

• 540° equivalente a una vuelta y media,3

n2

=

• Calculamos la longitud recorrida

L = 2 π r n L = 3π


2d 9 4 cm= π + Rpta. E

Resolución 14

Sea r el radio del cilindro, entonces 5r será el radio deltubo. Ahora calculamos el número de vueltas que da elcilindro.

( )R rn

2 r

α −=

π

( )2 5r rn

2 r

π −=

π n = 4 Rpta. B

Resolución 15Se sabe que:

b

Ln

2 radio=

πL

12 b

=π ⋅ L = 2π b

Además en la pista circular se tiene:

donde: 1

2L a

5

π= ⋅a a

72° < > 2

5

L1



- 34 -

Resolución 16

Tenemos:

1 a rueda: 2 a rueda: 3 a rueda:

radio = a

n° de vueltas = n longitud =

Luego:

2 a 2 b 2 x− =

π π π

1 1 1

a b x− =

abx

b a=

− Rpta. C

radio = b

n° de vueltas = Nlongitud =

radio = x

n° de vueltas = n – Nlongitud =

n2 a

=π

N

2 b=

π

n N

2 x− =

π

Resolución 17

• Sea L el espacio recorrido por la bicicleta

• Calculamos el número de vueltas de la rueda menor

( )L

n2 50 cm

=π

L

n100 cm

=π

• Calculamos el número de vueltas de la rueda mayor

( )

L

N 2 70 cm= π

L

N 140 cm= π

• Del enunciado se tiene:

L L20

100 cm 140 cm− =

π π

L(40π cm) = 20 · 100 π cm · 140 π cm

L = 7 000π cm

L = 70 2 27

m L = 220 m Rpta. D

Graficando tenemos:

Resolución 18

• Calculamos la distancia recorrida

distancia = θ · 1 = θ

• En el PMO se tiene:

PM = sen( θ – 90°) PM = –cosθ

MO = cos( θ – 90°) MO = senθ

• Sea (x; y) las coordenadas del punto P, entonces

x = θ – cos( θ – 90°) x = θ – sec θ

y = 1 + cos( θ – 90°) y = 1 – sec θ

∴ Las coordenadas de P son (θ – sen θ; 1 – cosθ)

Rpta. C

Del enunciado se tiene:

Resolución 19

Además:

R + r = R + ( )2 1− R = 2 R

Luego, el número de vueltas que da la rueda menor es:

( )

( )

32 RR r 2n 2 2

2 r 2 2 1 R

π ⋅ α += =

π π −

3 2

n 2 2 2= −

n se aproxima a 5 Rpta. D

Pero: L = L1 2πb =

2

5

πa

a

5b

= Rpta. E

Donde r = ( )2 1 R−

M





- 36 -

Resolución 4

• En la figura se tiene:

i) AC2 = 152 + 8 2

AC = 17

ii) NC2 = 6 2 + 8 2

NC = 10

• Nos piden:

19117 8csc tg 88 15P

15 10ctg sec

8 8

−β − β= = =

β − α −

.155

8

191

75=

P = 2,5 Rpta.: D

Resolución 5


i) CD2 = 25 2 – 15 2

CD = 20

ii) BC2 = 25 2 – 24 2

BC = 7

• Nos piden:

33

7 2027 325 25Q

5 125 5

+= = =

Q = 0,6 Rpta.: E

Resolución 6

• De acuerdo a las R.T. de ángulos complementariosse cumple que:

(4x + 12°) + (3x + 8°) = 90°

7x = 70° → x = 10° Rpta.: C

Resolución 7

• De acuerdo a las R.T. recíprocas se cumple que:

2x + 17° = x + 34°

x = 17° Rpta.: D

• Nos piden:

x 40

y 10

°=

° →

x4

y= Rpta.: D

Resolución 9

• A partir del gráfico se tiene:

i) ABC:AB

ctga

α = → AB = a· ctgα

ii) AHB:x

cosAB

α = → x

cosa·ctg

α =α

∴ x = acosα ctgα Rpta.: D

Resolución 10


i) ABC:AB

ctga

θ = → AB = a·ctgθ

ii) DBC:BD

tga

θ = → BD = a·tgθ

i ii) x = AB – BD = actgθ – atgθ

∴ x = a(ctgθ − tgθ) Rpta.: E

Resolución 8

• De 1 : x + y + 40° = 90°

x + y = 50° ... 3

• De 2 : x – y = 30° .... 4


x + y = 50° x = 40°

x – y = 30° y = 10°

NIVEL II

Resolución 1

• Del dato tenemos:

senA · SenB =4

9

a b 4·

c c 9=

24a · b c

9=

• Nos piden:

b aE

a b

= + → 2 2b a

E

ab

+=

2

2

cE

4c

9

= →

9 3E

4 2= =

∴ E = 1,5 Rpta.: D

Resolución 2

• En la figura:




- 37 -

(2a) 2 + 2 2 =2

13

4a2 = 9

3a

2=

• Nos piden:2

tg3

2

α = → 4

tg3

α = Rpta.: D

Resolución 3

• Revisando la figura:

Resolución 6

• En el numerador aplicamos las propiedades de las

R.T. de ángulos complementarios:cos65 ctg55 csc66

Kcos65 ctg55 csc66

° + ° + °=

° + ° + °

x = 1 Rpta.: D

CM: mediana

AM = BM = CM

∴ ∆BMC : Isósceles

• En el ACB :1

ctg2

θ = Rpta.: C

AC2 = (3a)2 – (a)2

AC = 2 2 a

• Además “θ” es el mayor ángulo agudo, entonces:

2 2 atg

aθ = → tg 2 2θ =

Rpta.: B

• Además: 2p = 90

5a + 12a + 13a = 90 → a = 3

• Nos piden: AC = 13a = 13(3)

AC = 39 Rpta.: C

Resolución 4

• De acuerdo a los datos tenemos:

Resolución 5

• Aplicando las propiedades respectivas tenemos:

W = sen20° · tg40° · tg50° · sec70°

W= sen20° · tg40° · ctg40° · csc20°

1

1

W = 1 Rpta.: B

Resolución 7


→12a

cos13a

θ =

→ AB2 = (13a)2 – (12a)2

AB = 5a

Resolución 8

• Del dato se cumple que:

cos(2x – θ)·csc(x + 3θ) = 1

sen[90° – (2x – θ)] · csc(x + 3θ) = 1→ 90° – 2x + θ = x + 3θ

3x + 2θ = 90°

∴ sen 3x = cos 2θ

sen 3x – cos 2θ = 0


− θ= =

+ θ + θsen3x cos2 0

Ptg(x ) tg(x )

P = 0 Rpta.: A

Resolución 9


i) ABC:BC

ctga

α = → BC = a· ctgα

ii) ABM: BMtga

θ = → BM = a · tgθ



- 38 -

i) BAF:AB

ctg1

θ = → AB = ctg θ

ii) AB = CD → CD = ctg θ

iii) CDF:3

tg2ctg

θ =θ

→ tg2 θ · ctg θ = 3

∴ W = 3 Rpta.: D

Resolución 10

• Revisando la figura:

• Además: BC = BM + MC

a · ctg α = a · tg θ + a

ctg α = tg θ + 1

ctgα – tg θ = 1

M = 1 Rpta.: C

Resolución 2

• De la condición tenemos:

121 secsec sec 222

sec

2 2 2 22 2

θθ θθ= → ⋅ =

Resolución 1

• De los datos se tiene:

→

c3

a abb

c

−=

a c 3a c·

b b a

− =

a2 = 3ac – c 2

a 2 + c 2 = 3ac

• Nos piden:

a cU

c a= + →

2 2a cU

ac

+=

3acU

ac= → U = 3 Rpta.: B


θ=

3sec

222 2 → 3

sec 22

θ =

4

Sec3

θ =

• Nos piden:

2

7 4E 9 7 7 4

3 7

= − = −

E = 3 Rpta.: C

Resolución 3

• De acuerdo a los datos tenemos:

i)5

cos13

θ = → CD 5

52 13=

∴ CD = 20

ii) AC2 = 52 2 – 20 2

AC = 48

• En el BCD:

48

tg2 52 20

θ=

+ → 2

tg2 3

θ= ... 1

20

tg2 48 x

θ=

− ... 2

• Igualamos 1 y 2 :

2 20

3 48 x=

− → 48 – x = 30

x = 18 Rpta.: E

Resolución 4


i) c2 = a 2 + b 2 ... 1

ii)

2c 13

ab 6=

2 13c ab

6= ... 2


a2 + b 2 = 13ab6




- 39 -

3 3atg

7 7aθ = = → BH 3a

CH 7a

= =

• En el BHC:

(3a)2 + (7a) 2 = ( )2

10 58

58a 2 = 100 · 58

a = 10

• En el AHB:

AH = 86 – 7(10) = 16

BH = 3(10) = 30

AB =2 216 30 34+ =

• Nos piden:16 34 50

M30 30 30

= + =

5M

3= Rpta.: E

6a2 – 13ab + 6b 2 = 0

(2a – 3b)(3a – 2b) = 0

2a – 3b = 0 → a 3b 2

=

3a – 2b = 0 → a 2

b 3=

• Sea A el menor ángulo, entonces

a < b → a

1b

<

Además: tgA =a

b

∴ tgA =2

3Rpta.: C

Resolución 5

• Del gráfico tenemos:

Resolución 6

De la figura se tiene:

OBA:OB

cos1

θ = → OB = cos θ

OCB:

OC

cos cosθ = θ → OC = cos2

θ

En el EPF :

3

2ctg

7

2

α =

3

ctg7

α = Rpta.: E

ODC: 2

ODcos

cosθ =

θ → OD = cos 3θ

• Nos piden:S = 1 + cosθ + cos 2 θ + cos3θ + ...

S = 1 + cosθ [1 + cos θ + cos 2θ + ... ]

S

S = 1 + cosθ · S → S[1 – cos θ] = 1

1S

1 cos=

− θ Rpta.: B

Resolución 7

• En el gráfico se tiene:

CBD :BD

tg

1

θ = → BD = tg θ

ABC: θ =+1

tg4 BD

→ θ =+ θ1

tg4 tg

tg 2θ + 4tg θ = 1

tg 2θ + 4tg θ + 4 = 1 + 4

(tg θ + 2) 2 = 5

E 5= Rpta.: C

Resolución 8


Resolución 9




- 40 -

i) OB = OC → R = r 2 r+ → R – r = r 2

ii) O1NB:1

BN r 2ctg ON rθ = =

ctg 2θ = Rpta.: A

Luego trazamos BH OC, entonces se cumple que:

i) OHB:

BH

sen 12α = → BH = 12sen αOH

cos12

α = → OH = 12 cos α

ii) BHC:HC

ctgBH

β = → HC

ctg12sen

β =α

HC = 12senα · ctg β

Además: OH + HC = OC, reemplazando:

12cosα + 12sen α ctg β = 13

Dividendo entre “senα”

12cos 12sen ·ctg 13

sen sen sen

α α β

+ =α α α

12ctgα + 12ctg β = 13csc α

13csc 12ctg12

ctg

α − β=

α

∴ P = 12 Rpta.: C En el OAC : OC2 = 12 2 + 5 2

OC = 13

Resolución 10

• Trabajando la figura:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II (Pág. 242; 243; 244)

NIVEL I

Resolución 1

• Reemplazando los valores notables:

( )21

A 4 1 32

= + =

B 2 2·2 2= =

∴ A + B = 5 Rpta.: C

Resolución 2

De la condición:

. [ ] [ ]1

ctg 2tg 2αα = → tg α = 2

5 5E 2

1 2

=

E = 5 Rpta.: E

Resolución 3

• Del dato se cumple que:

(5x + 8°) + (2x – 2°) = 90°

7x = 84° → x = 12°

MBC : 3kctg2k

α = → 3ctg2

α = Rpta.: C

Resolución 4



M = tg15° + tg60°

( ) ( )M 2 3 3= − +

M = 2 Rpta.: B

Resolución 5

• A partir del gráfico tenemos:

CDA: sen 45° =CD

b →

2CD

2= b ... 1

CDB: sen 37° =CD

a →

3CD

5= a ... 2


2 3b a2 5

= → b 3 2·a 5 2

=




- 41 -

PHC: sen37° =PH

10 → PH = 10

36

5

=

PHA: csc30° =PA

6 → PA = 6(2) = 12

∴ PA = 12 Rpta.: A

Resolución 9


i) ∆ABC: equilátero

ii) Trazamos PH AC

• PHC: Notable (30° y 60°)

PC = 2 ; PH = 3 ; HC = 1

• AHP:3

tg5

θ = Rpta.: D

B

b 3 2

a 5= Rpta.: C

Resolución 6

• Sean BP = BQ = x ; luego:

ABC: tg74° =38 x

4 x

++ →

24 38 x

7 4 x

+=

+

96 + 24x = 266 + 7x → x = 10

PBQ: sec 45° =PQ

x → PQ = 10 2

Rpta.: E

Resolución 7

• Recordemos que: tg75° = 2 + 3

ctg75° = 2– 3

P = 2 + 3 + 2– 3 → P = 4

Rpta.: B

Resolución 8


Resolución 10

• Del gráfico se tiene:

i) ABC: sec37° = AC12

→ AC = 12 5 154

=

ii) ACD: sec45° =AD

AC

→ AD = 15 ( )2 15 2=

i ii) ADE : sec30° =AE

AD

→ AE =2 3

15 23

AE = 10 6 Rpta.: A

AHB: cos60° =BH

8 → BH = 8

14

2

=

AHC: cos37° =HC

10 → HC = 10

48

5

=

∆ ABC: BC = BH + HC → BC = 4 + 8

BC = 12 Rpta.: A

Resolución 2

• De los datos tenemos:

i) tg3α · ctg(90° – 2β) = 1

3α = 90° – 2β3α + 2β = 90° ... 1

ii)cos2α · sec(3β – 5°) = 1

2α = 3β – 5°

2α – 3β = –5 ... 2


3α + 2β = 90° ( 3)× → 9α + 6β = 270°

2α – 3β = –5 ( 2)× → 4α – 6β = –10°

13α = 260°

α = 20°

En 1 : 3(20°) + 2β = 90°β = 15°

Resolución 1

• Analizamos el gráfico:

NIVEL II



- 42 -

Resolución 3

• Reemplazando los valores notables tenemos:

1x 1

52

1 4x 1

2

+ = −

→ x 2 5

x 2 4

+=

−

4x + 8 = 5x – 10 → x = 18 Rpta.: D

Sea: CD = 5a, entonces:

i) CED notable(37°; 53°)

CD = 5a ; DE = 3a ; CE = 4a

ii) DEB Notable (45°; 45°) DE = 3a; EB = 3a

i) Trazamos: OT AC

ii) El OTA es notable (45° y 45°)

Entonces OT = 1 → OA = 2

iii) AB = OA + OB

AB = 2 + 1

iv) BC = AB

BC = 2 + 1 Rpta.: B

• Reemplazamos en lo pedido:

N = sen230° + tg245° =1

14

+

N = 1,25 Rpta.: E

Resolución 4


Resolución 5


iii) 4a + 3a = 28 → a = 4

∴ CD = 5(4) → CD = 20 Rpta.: A

• PBQ notable (37° y 53°):

PB = 3K ; BQ = 4K; PQ = 5K

• En el DAQ:

° = → =+ +

a 3 atg37

a 4K 4 a 4K

3a + 12K= 4a → a = 12K

• En el ABP:

α = = =3K 3K 1

tga 12K 4

tgα = 0,25 Rpta.: E

i) BHP: PHsenx

θ = → PH = x·senθ

BHcos

xθ = → BH = x·cosθ

ii) PHA: AH = PH → AH = x·senθ

i ii) Luego: AH + BH = AB

xsenθ + xcosθ = a

a

xsen cos

=θ + θ

Rpta.. B

Resolución 6

• Analizamos la gráfica

4K

3K

Resolución 7• Analizamos la figura:




- 43 -

• Trazamos MP AC , entonces:

HP = PC = 8

• En el APM:6

ctg17

θ = Rpta.: A

Resolución 9

• En la figura elegimos convenientemente AM = MC =

5 2

BRM: α =4 2

senBM

BQM:BM

csc5

β =


4 2 BMP 5· ·

BM 5=

P 4 2= Rpta.: D

Resolución 8

• En la figura se observa el ABC notable (37° y 53°),

entonces asignamos valores convenientes a sus la-dos:

• En el AQP:

3 1

ctg 3

+

θ = →

3 3

ctg 3

+θ =

Rpta.: D

i) En la semicircunferencia trazamos HT , entonces

HT BT (propiedad)

ii) Trazamos TP AH , entonces:

TPH es notable (37°; 53°) sea:

PH = 3 ; PT = 4; TH = 5

• Además se cumple:

BTH: sec37° =BH

5 → BH = 5

5 25

4 4

=

BHC: tg37° =HC

25

4

→ 25 3 75

HC4 4 16

= =

TPC: ctgα =

753

164

+ →

123ctg

64α = Rpta.: A

Resolución 10

• En la figura se observa que el PQC es notable (30° y60°) , entonces tenemos:

Resolución 1



Resolución 2

• En la figura el DAE es notable (37°; 53°), enton-ces elegimos sus lados convenientemente: AD = 16; AE = 12; DE = 20






- 45 -

Resolución 9

• En el gráfico se tiene:

Resolución 8


i) En el ACD notable (37°; 53°) elegimos conve-nientemente los lados:

AC = 4 2 ; CD = 3 2 ; AD = 5 2

ii) En el ABC (45°; 45°):

AC = 4 2 → AB = BC = 4

iii) En el CED(45°; 45°)

CD = 3 2 → CE = ED = 3

iv) En el BED:

4 3ctg

3

+θ = →

7ctg

3θ =

Rpta.: C

• OP = OA = OB

OP = 2a

• NP2 = (2a)2 – (a2)

NP = a 3

• En el MHP:

PH = a 3 – a = a ( )3 1−

MH = a

∴ ( )a 3 1PH

ctgMH a

−θ = =

ctg 3 1θ = − Rpta.: A

i) ABC : AM = MC = BM = 2a

ii) ∆ ABM: Equilátero

iii) MPC: Notable(30° y 60°)

MC = 2a → MP = a ; PC = a 3

• En el NPC:

i) NC2 = ( ) ( )22

2a a 3+ → NC 7a=

ii)NP

cosNC

α = → 2a

cos7a

α =

∴ 7 cos 2α = Rpta.: B

Resolución 10

• En la figura se observa:

ÁNGULOS VECTICALES (250, 251, 252)

Resolución 1

De los datos mencionados:

Nivel I

Se nota que: AE = CE = H ( 45° y 4°)

por paralelas BD = AE = H

Ahora: BCD: ( Resolución)

CD = Htgθ

finalmente: x = H – Htgθ

∴ x = H(1–tgθ) Rpta. D

H



- 46 -

Resolución 2

de la figura: AE = H – 3

PEA(30° y 60°): PE = (H – 3 )3

3

(30° y 60°)REA: tg30° =

( )−

+ −

H 33

8 H 33

( )

−=

+ −

3 H 3

3 38 H 3

3

H = 5 3 m Rpta. B

Resolución 3

Graficando:

ADC: DC = Hcotg37°

BDA: BD = Hcotg45°

luego: DC = BD + 80Reemplazando:

Hcotg37° = Hcotg45° + 80

H

4

3 = H(1) + 80

4

3 H – H = 80

H

3 = 80

∴ H = 240 m Rpta. D

Resolución 4

ABC AB = 6Hcotgα . . . (1)

ABD AB = 7Htgα . . . (2)

Igualamos: (1) y (2)7Htgα = 6Hcot α

7tgα = 6 α

1

tg

tgα =6

7

∴ cotg α =7

6 Rpta. D

Resolución 5

En 12h < > 180°

1h < > 15° de 4 a 6 pm

θ = 30°

HOJ (Notable de 30° y 60°)

Lsombra = ( )3 3 ∴ L sombra = 3 m Rpta. C

Resolución 6

Piden cotgα = ?

BCD: (Not de 45° y 45°)

CD = 10

ACD: cotgα =

5 0 +2 10

10

∴ cotg α = 5 2 +1 Rpta. E

Resolución 7

C

D

90°-

B6Hcotg A

6H 7H




- 47 -

de la figura aplicando resolución de triángulos rectángulos:

Ahora en AHC:

Resolución 8Del enunciado:

Triángulos rectángulos notables de 30° y 60°

x = 17 cos60°

1

2 ∴ x =

17

4 m Rpta. C

ABD: AB = H

ECD (Not. de 30° y 60°): H – 9 =H 3

3

H 3 – 9 3 = H

∴ H = ( )9

3 12

+ Rpta. E

Resolución 9

BDC: DC = dcotgθBDE: ED = dtgθ

piden: EC = ED + DC

∴ EC = d(tg θ + cotg θ) Rpta. C

Resolución 10

ABC: tgθ =x

H x = Htgθ ...(1)

ABD = tgθ = Hx H+ tgθ(x + H) = H ...(2)

Reemplazando (1) en (2)

tg θ(Htgθ + H) = H

tg θ2 + tgθ – 1 = 0

Resolviendo mediante la fórmula general tenemos:

1 1 4

tg2

− + +θ =

∴5 1

tg2

−θ = Rpta. E

Resolución 1

Nivel II

BFD: BF = 1,5cotg27°

BFC: CF = 1,5cotg27°tg53°

CF =

3

2(1,95)

4

3

CF = 3,9 m

Longitud del poste = CF + FD

∴ Longitud del poste = 5,4 m Rpta. C

Resolución 2

Dato: cotgθ =

12

5entonces:

de 45° y 45°

50 + 260cosθ + 3K = 4K + 260sen θ

50 + 260

12

13+ 3K = 4K + 260

5

13

50 + 240 + 3K = 4K + 100 K = 190 . . . (1)

B

H

A

C

90 -

Dx H



- 48 -

Resolución 3

de la figura se nota que: α = β

Resolución 4

Resolución 5

Del enunciado del problema graficamos:

Se nota

OPQ: csc θ =+R h

R

h = R(cscθ – 1) . . . (1)

OPT: secθ =

x

R

x = Rsecθ . . . (2)

En el triángulo pintado tenemos:

tgα =

a ( )− θ2 1 tg

a ∴ tg α = ( )−2 1 tgθ Rpta. C

De (1) R =θ −h

csc 1

reemplazando en (2)

θ=

θ −hsec

xcsc 1

Rpta. C

Resolución 6

De las condiciones tenemos:

* AHB (Not. de 45° ): AH = 24

* BHC: HC = 32 (Not. de 37° y 53° )

x = AH + HC

∴ x = 56 m Rpta. A

Resolución 7

Hallamos AD

AD = AB – DB; aplicando resolución

AD = 24cotβ – 24cot α

reemplazando

AD = 24 (4) – 24(3)

AD = 24 m

peroAD

e = V · t

24 = V x 0,8 V = 30 m/s

piden en Km/h: =3 0

Vm

s

1Kmx

1 0 0 0 m

3 6 0x

0 s

1h

∴ V = Km108h

Rpta. A

cotα = 3cotβ = 4

Del enunciado:

t

piden: H = 4K + 260senθ

Reemplazando:

H = 4(190) + 260

513

∴ H = 860 m Rpta. B

Ahora del dato:

α + β =α

tg tg n

tg

tgα =

n

2

piden longitud de AB =π2

(H – h)cotα

∴π2

(H – h)2

n =

− π

H h

n Rpta. A

B

A

h

H-h

h(H-h)cotg

( H - h ) c o t g

45°

a

a

atg

a 2

a 2tg

a 2 1 tg




- 49 -

Resolución 8

ABC(Not de 45°): AB = BC = 28

pero RC = AB (por paralelas)

Ahora PRC:

PR = 21 m

luego: x = PR + RA x = 21 + 28

∴ x = 49 m Rpta. B

Resolución 9

(Not. 45° y 45°) AOC: OA = 10

(Not. 30° y 60°) COB: OB = 10 3

Finalmente:

AOB: Teorema de Pitágoras

x2 = 10 2 + ( )2

10 3

∴ x = 20 m Rpta. B

Resolución 10

De la figura: AB = AC

ÁNGULOS HORIZONTALES

(Pág. 258)

Resolución 1

Del enunciado:

Del gráfico: ∆ PQR: equilátero

PQ = PR = QR = 150 km

∴ Distancia de Q a R = 150 km Rpta. A

Resolución 2

Del enunciado:

PQR: Teorema de Pitágoras

d2 = 96 2 + 28 2

∴ d = 100 m Rpta. B

( ∆ ABC: isósceles)

Además: ∆ ACD: isósceles

AC = CD = d

Finalmente: PCD: PC = dtgθ Rpta. C

10W E

C

10

O

A

x45°

30°

10 3

N

S

B



- 50 -

Resolución 3

PMJ:

Teorema de Pitágoras:

x2 = 100

2 + 240

2

∴ x = 260 m Rpta. C

Resolución 4

ADB: (Not. de 30° y 60°)

BD = H 3

ADE: (Not. de 45° y 45°)

DE = H

Finalmente: Teorema de Pitágoras en BDE

( ) ( )+ + =2 2 2H 3 H 24

4H2 = 242

H = 12 m Rpta. D

∆NHP: isósceles NH = HP = d

Luego: NP = 2dcos20° = 74cos20°

d = 37 kmAhora:

d = 37 km = V · t =185 km

h·t

t =1

5h =

60 min

5

∴ t = 12 min Rpta. C

Resolución 5

AHB: Teorema de Pitágoras:

602 = + +

22d 3d 7

d8 8

d = 40

Luego la altura de la torre es: H = 40 3 m Rpta. B

Resolución 6

RSM: Teorema de Pitágoras:

d2 = 40 2 + 40 2 ∴ d = 40 2 km Rpta. B

Resolución 7

De la figura:

De la figura

tgα = 3 7

2 0 ° 5

8 °

12°

2 0 °

Q 3 8 °

P

58°

1 2 °d

N

1

8

3 7

30 km

5 0 k m

R

M

d

E

S

O

N

10 km 40 km

40 km

40 km

S

E

N

O

S 37°

Juanapunto dellegada

Punto dePartida(Roberto)

S

10 km

( )




- 51 -

∆RBB’: Isósceles BB’ = RB = 200 m

RFB: (Notable de 30° y 60°)

d = 100 m Rpta. A

Resolución 8

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

(Pág. 275; 276; 277; 278)

CAPÍTULO 9

Resolución 1

• En la figura se tiene:

x = –2

y = 1

( ) ( )= − + =2 2r 2 1 5

NIVEL I

Resolución 2


x = –3

y = –1

( ) ( )= − + − =2 2r 3 1 10

• Nos piden:

1 2M 5 ·

5 5

−= → M = –2

Rpta.: D

• Nos piden:

θ =−10

csc1

→ θ = −csc 10

Rpta.: A

Resolución 3

• En la figura se observa:

i) Para“α”

x = –4

y = 3

( ) ( )= − + =2 2r 4 3 5

ii) Para “β”

x = –7

y = –24

( ) ( )= − + − =2 2r 7 24 25

• Nos piden:

3 25 4 25E 8 7

5 24 5 7

− = + − −

E = –5 + 20 → E = 15 Rpta.: D

Resolución 4

• Del gráfico se tiene:

(-5)2 + (y) 2 = (13) 2 ; y > 0

y = 12

∴ α =

y

tg x →

−α =

12tg

5 Rpta.: B



- 52 -

Resolución 10

• Recordemos que:

∴ Tienen signos diferentes en el: Q 2 y Q 4

Rpta.: E

Resolución 1


NIVEL II

( ) ( )2 2

x 2

r 13

y 13 2 3

= − = = − − − = −

Resolución 5

• Según los datos tenemos:

• Nos piden:

23 13

N 4 9 6 132 3

−

= + = + − −

N = 19 Rpta.: C

Resolución 6


±α =9

cos25

→ α =3

cos5

; 4Qα ∈

160° ∈ Q 2 → sen160° : (+)

230° ∈ Q 3 → cos230° : (–)

350° ∈ Q 4 → tg350° : (–)

80° ∈ Q 1 → ctg80° : (+)

200° ∈ Q 3 → sec200° : (–)

300° ∈ Q 4 → csc300° : (–)

• Reemplazando tenemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

+ − − += =

+ − − +

B → B = (+)

Rpta.: A

Resolución 9

• De acuerdo al dato:

θ ∈ Q 3 →

Resolución 7


α +α ∈ →

α −2

sen : ( )Q

cos :( )

β +β∈ →

β +3

tg : ( )Q

ctg : ( )


( ) ( )( ) ( ) ( )( )E ·

+ + + += =− + − → E = (–) Rpta.: B

= =

= − − = −2 2

x 3

r 5

y 5 3 4

Resolución 8

• Analizando los términos de la expresión dada tene-

mos:

Cosθ = (–)

tgθ = (+)


E = (–) – (+) = (–) Rpta.: C

• Nos piden:

= − =− −3 5 2

A4 4 4

→ A = 0,5 Rpta.: E




- 53 -

( ) ( )

= − = − = − + − =

22

x 1

y 2

r 1 2 3

• Nos piden:

M = 2secθ · csc θ + θ3 3 sen

−= + − −

3 3 2M 2 3 3

1 2 3

( ) ( )

= −

= − = − + − =

2 2

x 1

y 8

r 1 8 65

θ =−65

sec1

→ θ = −sec 65 Rpta.: D

Resolución 2


32

tg 2 ; Q1

−θ = = θ∈

−

Resolución 3

• A partir del gráfico se tiene:

i) Para “α”:

x = 7

y = 24

= + =2 2r 7 24 25

ii) Para “β”:

x = –12

y = –5

( ) ( )= − + − =2 2r 12 5 13

• Nos piden:

= + −

25 13R 2

24 12

→ R = 1

Rpta.: A

= −M 3 2 3 2 → M = 0 Rpta.: C

Resolución 4

• De la condición:

[ ] + θ + = 2 2

1 tg 1 2 → + θ + =1 tg 1 4

[ ] θ + = 2 2

tg 1 3 → tg θ + 1 = 9

tgθ = 8 ; θ ∈ Q 3

• Finalmente:

Resolución 5

• Factorizando la expresión dada:

(5senα + 4)(5sen α – 3) = 0

α + = → α = − α − = → α =

45sen 4 0 sen

5

35sen 3 0 sen

5

( ) ( )

=

= − = + − =

2 2

x 60

y 11

r 60 11 61

• Nos piden:

−= +

11 61K

60 60 →

5K

6= Rpta.: E

Pero: α ∈ Q 2 → α =3

sen5

• Nos piden:

= − − + −

3 4 3M

5 5 4

=13

M 20 → M = 0,65 Rpta.: B



- 54 -

• Nos piden:

− =

15 1A 16

4 4

A 15= − Rpta.: D

Resolución 1


tgθ < 0 → tg θ : (–)

θ∈Q4secθ = 4 → sec θ : (+)

• Nos piden:


Resolución 10• Analizando la figura:

Resolución 8

• De acuerdo al dato:

θ ∈Q3

• Nos piden:

− − =

2 1P 10

5 5 → P = 4 Rpta.: B

Resolución 6

• A partir del dato tenemos:

[ ] [ ]θθ =

1

2ctgtg 2 →

θ =

θ =

tg 2

1ctg

2

Resolución 7


senα < 0 → sen α : (–) → α ∈ Q 3 ; Q 4

secα > 0 → sec α : (+) → α ∈ Q 1 ; Q 4

∴ α∈Q4

• Nos piden:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

+ − − += =

− − +E

· → E = (+) Rpta.: A

Resolución 9


R.T.(α) = R.T.(β) = R.T(θ)

• Además:

α =tg 2 → α∈Q1 , Q 3

β = −sec 3 → β∈Q2 , Q 3

∴ α ; β y θ ∈ Q 3

secθ = (–)

tgθ = (+)

• Reemplazando en lo pedido

(–) – (+) = (–) Rpta.: C

−α = = −

2 6sen

33

β = −6

sen3

θ = −6

sen3

• Nos piden:

= − + − + −

6 6 6G 2 3

3 3 3 → = −G 2 6

Rpta.: B

− − = −

21 3

E10 10

→α =4

E10

E = 0,4 Rpta.: D




- 55 -

α +

=ctg 1

32

→ ctgα = 5 ; α∈Q3

• Nos piden:

α =−26

csc1

α = −csc 26 Rpta.: B

+

+

Resolución 2

• De la condición:

[ ] [ ] [ ]ctg 1

ctg 1 31 3 2

22 2 2

2

α+α+ = → =

Resolución 3


secθ : (–) θ∈Q3

tgθ : (+)

• Además:

–1 < cosθ < 0 –1 < senθ < 0

1 < 2+cos θ < 2 0 < –senθ < 1

2< 2–sen θ < 3

• Luego:

Resolución 4• En la figura se cumple:

(2a –1)2+ (a + 4)2 = ( )2

5 2

5a2 + 4a + 17 = 50

5a2 + 4a – 33 = 0

(5a – 11)(a + 3) = 0

Resolución 7

• Analizamos la figura para calcular las coordenadas

de los puntos M y N:

Resolución 5

• Analizando la expresión tenemos:

− α ≥1 cos 0 → sen φ < 0

∴ φ ∈ Q3 y Q 4 Rpta.: B

Resolución 6


x = a + 1

y = a – 1

( ) ( )= + + − = +2 2 2r a 1 a 1 2a 2

• Por condición r es minímo:

r = ( )+22 a 1 → r min = 2

∴ a = 0 →

=

= −

x 1

y 1

• Nos piden:

= −

2 2E

1 1 → E = –2 Rpta.: C

mín

• Nos piden:5 2 5 2

csca 4 3 4

α = =+ − +

α =csc 5 2 Rpta.: E

( ) ( )

( )

( )

( )

+ − −= =

+ +·

R → R = (–) Rpta.: B

→ − = → = + = → = −

115a 11 0 a

5

a 3 0 a 3

Pero: 2a – 1< 0 → <

1

a 2∴ a = –3

• Nos piden:− = − −

3 5k ·

3 1

k = –5 Rpta.: B



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MATEMATICA 5° SECUNDARIA COVEÑAS SOLUCIONARIO