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7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
http://slidepdf.com/reader/full/trigonometria-covenas 1/30
I
1. Griterios preliminares
Es el resultado de comparar dos cantidades,esta comparación se expresa mediante el cociente de ellas.
Ejemplo:
Hallar la razón entre los lados menor y mayor del triángulo ABC.
Resolución:
Lado menor: 2m
Lado mayor: 5m
2mRazóntr) =# 0,4
Son aquellos símbolos matemáticos que se apli-can a los ángulos. En este capítulo estudiaremos
seis de ellos.
Es el resultado de aplicar un operador trigonomé-trico a un ángulo.
Número
Angulo
Operador
trigonométrico
Seno -)Coseno -+
Tangente -+
Cotangente -+__-lSecante /
.lLOSeCante '
Sen
Cos
Tan o Tg
Cot o Cotg
Sec
Csc o Cosec
N
t_g -g:
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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2. Razones trigonométricas en el triángulo rectáng¡¡loEs el valor que se obtiene al comparar por cociente las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo conrespecto a uno de sus ángulos agudos.
Observa
.-.-. -vt¿
TEOREMA DE PITÁCORAS:
SenA= Cateto Opuesto al{A
cton
Catetoopuesto
Catetoadyacente Hipotenusa
Respecto al < A a b C
Respecto al < B b a C
ANCUTOS AGUDOS: m{A+m{B=90o
Cateto Opuesto al{ B
Hipotenusa
. Cateto Adyacente al{ AC^. A
Hipotenusa
Cateto Opuesto al{ A
Hipotenusa
Cateto Adyacente al{ B
Hipotenusa
Cateto Opuesto al { B
Cateto Adyacenteal {BCateto Adyacente al{ B
Cateto Opuestoal{ B
Hipotenusa
Cateto Adyacente al { B
Hipotenusa
Cateto Opuestoal{ B
C
b
C
a
a
a
b
C
a
C
a
C
b
C
SenB=
CosB=
TgB=
Cotg B =
SecB=
Cosec B =
C
a
C
bTgA=
Cotg A =
SecA=
Cateto Adyacente al{ A
Cateto Adyacente al{ A
Cateto Opuestoal{ A
Hipotenusa
b
b
Cateto Adyacente al{ A. Hipotenusa-^.^- A -
-
Cateto Opuesto al{ A
R.r. (p)
)A5enCf =
-25
7LOS CX, =
-25
24lscx-_7
Cotg cr =
Cosec cx =
En la figura:
coseco=13t =Y5m5Cosec 0 = 2,6
Ejemplo práctico:
senB =+ Cots p=+
cos B=# sec B =#
rsP=+ cosec g=+
3, PropiedaGfuirdamentalesdelasrazones trigpnorÉfuücasTrlil,i Los valores de las razones trigono-
métricas son cantidades numéri-cas, es decir, adimensionales (sin
dimensiones), por tratarse de un
cociente de magnitudes de Ia mis-
ma especie.
208 Quinto año de secundaria
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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ffi Los valores de las razones trigonométricas dependen únicamente de la magnitud del ángulo y no de las
dimensiones del triángulo reitángulo que contiene a dicho ángulo, es decir, que su valor no cambia si Ia
medida del ángulo permanece constante.
B
En el N roc'^3encr=-
5
ACoscr=l
cho triángu lo rectángu lo.
Resolución:
* Del enunciado: (0 < cr)
En el N Rsc'
^93enü=-=-15 s
12.4Loscx,=-=-15 5
93Igü=-=-124
5
3lg0"=4
Ejercicio O Determinar las 6 razones trigonomé-tricas del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo
ABC, recto en C, siendo: a: 15; b : B.Resolución:
", Craficamos:A
Ejercicio A En un triángulo rectángulo se sabe que
el cateto m.yor es el doble del cateto menor. Calcular
las 6 razones trigonométricas delmenor ángulo de di-
b:B
C
Teorema de Pitágoras: c2 = 152 + 82
c = J2Bg
c=17
z, Notamos: a>b -+ m{A>m<B
, Calculamos las R.T. ({A):
a, Por el teorema de Pitágoras:
pR2= (2u), *(u),
pR = J;* -) pR = ^6a,r, Como "F" es el menor ángulo, nos piden:
senB =L=+-JgV5aJs5
CosB = ? =Z='6 Jsa r/s 5
TeB= u -1r 2a 2
Cateto Opuesto _ 15SenA= Hipotenusa 17
Cateto Adyacente _ BCos A =-
Hipotenusa17
^ Cateto Opuesto _ 15r-^ A _o Cateto Adyacente B
, Cateto Adyacente _ BCots.{= -- (rCateto Opuesto 15
CotgB =4=2a
secB=*=+f=
Cosecg=u'u=6a
Ejercicio @ o"l gráfico,calcular *= Tt"l::f P
fuc cr'Cotg BD
HipotenusaSecA=
Cosec A =
17 C
3
B
Cateto Adyacente B
Hipotenusa =yCateto Opuesto 15
a: 15
Quinto año de secundaria 209
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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Resolución:o¿, En el N RgC:
a ?or el teorema de Pitágoras:
AC2 = 42 +32
AC = J25
t AC =Jlfs"no = ]-)J 5
lr".o=IlqEn el N nco'Por el teorema de Pitágoras:
AD2 = 52 +122
1 * 1i 16 ,, ,:-,
an Reernplazando: M=* =+-i'*,j6
45Ejercicio @ En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se cumple que: Tg R = I . Calcular:
Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC,en C, se cumple que: Cos A: 0,96. Calcular:
Tg A+Sec AP_
Resolución:
', Del dato: Cos A
,, También:
252 =a2 +242
a2 =49
cl-/
' Nos piden:
Cotg A+Ccec A
= o,96 = 96 ='4 =b100 25 c
B
lb=24-+J
lc=25
725+_n2424'
2425-
_+_77
A
4
3
32
24D = JTag
Fp=d-+ fto'"tP=T
l.o,sp=+
TgA
4977
4 D- :1--. .t,.t,,.:1,.2'll
9a \40c f u=n
Ic=40
Ejercicio O Del gráfico, calcular: K : Tg a + Tg p
A 4JlResolución:oo, En elN ngo:
z+ Etr el N RBC:
r, En el gráfico:
BD2:AD2-AB2BD2 -_ 52 _ 42
BD:3BC2:AC2_AB2
. _.)BC2 : (+Js )-
_ o,BC:B
B
E*
Resolución:
n, D"lenunciado:
', También:
b2 =g2 +402
b=ú681b=41
', Nos piden:
¡)
¡i)
:F
40 41_+_99* ,"E'!'4,.,J
41 (Sen A + Cos A)
Cotg A+Cosec A
B c:40
210 Quinto año de secundaria
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Ejercicio O A partir del gráfico, indicar las
razones triglnométricas de los ángulos "uy 0"C
Ejercicio g De la figura, calcular el valor de:
B
Tg0 - TgaK:-
Sen0
:i::'l :ir. :i ::',li li:,]': ' i i r: ',r
Ejercicio g En un triángulo rectánguloABC.(B : 90') Se tiene que: b : 3a.
Calcular las 6 razones trigonométricas del ánguloA.
Resolución
Ejercicio !l En un triángulo rectángulo ABC,
recto en "C" , se tiene que:
J6CosecA: ^.Calcular el valor de: E : CosB ' Cos A
Resolución
Rpta: t: JilZpta: R : 1
Ejercicio ftl En un triángulo rectángulo ABC
recto en B, se cumple que:Cosec'A:1,666...Calcular elvalor de:
BTgA - 5CosCN: 3l3c-ssenA
Resolución
Ejercicio @ Del gráfico, calcular el valor de:
6 : ^,frgg:CosB
B
Resolución
Rpta: C : 615
c:60Sencx: lSen0:Cosg: lCos0:Tga: lTg0:Cotga:
lCotg0:Secs: lSec0:Cosecg: lCosec0:
18
D-{
Rpta: N : 3
Quinto año de secundaria 211
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ruEjercicio O En un triángulo rectángulo (rec-
to en B) señmple que:
SecA'SecC : 2,5
Calcular el valor de:
E:Seccr+Tgu
ación
Sencr.Cosec a=9.8=l13 12
coscr.secu=+.p=r13 s
Tgcr'Cotga =+'!=tDe donde concluimos que: Sen cx y Cosec cx; Cos cx
y Sec a; Tan cx y Cot ü son razones trigonométricas
recíprocas y cumplen la siguiente propiedad:El producto de 2 razones trigonométricas recíprocas
es igual a la unidad si y sólo si están aplicadas a unmismo ángulo.
Sen x'Cosecy = 1
Cosx'SecY=1
Tg"'CotgY
= 1
Ejercicio A Deltriángulo rectángulo mostra-
do, calcular el valor de:
Y-(SenA+SenC)2Resolución(2x+2) Resolución
Rpta:Ff3Zl
Razones trigonométricas recíprocasCalculemos las R.T. (cr) en el triángulo rectángulo mostrado:
Observ
;.ffi
Rpta: M:l^el
4"
Seng=
Cos cx =
Tgo =
Cotga =
^13ec cr =-5
13LOS€CC[ =
-12
12
5
5
12
12
13
5
13
Nota
E
x:y
Sen s.Cosec cr ='1
Coscr.Seccr = 1
Tga.Cotgcr = 1
[*no - 1
J Cosec a
la*".cr= 1
I Sena
[.*o - 1
I Seccx
11 5ec o¿ =-I Cosa
(- 1
J 'to=corgs
l-n"=+
212 Quinto año de secundaria
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'
' Sobte razms trigonométricre recípocasl,i-,.i,:t.l:,.':.: ii,.l-.,:,,, " ' lr''i,i lirr:r'.r,:L
ll
Ejercicio O Sabiendo que:
Sen(2x + 1 5")' Cosec 65" = 1
Calcular el valor de "x".
Resolución:
. Aplicando la propiedad de las R.T. recíprocas:
Sen (2x + 1 5')'Cosec 65o = 1
2x+ 15o = 65o
2x = 50o
x=25o
Ejercicio
ASi se cumPle que:
cos(zx2 - 3)" ' Sec (2sx + 9)" -'l = 0, xe Z+
hallar el valor de "x".
Resolución:
De la condición: Cos (r"' -:)''Sec(ZSx + 9)" = 1
De acuerdo a la propiedad de las R.T. recíprocas:
7x2 -3 = 25x+9
7x2 -25x-12 = o
7v,+3v/-\-4(zx+ ¡)(* - 4) = o
i) 7x+3=0
ii) x-4=O
iNo !
Ejercicio 0 Si
Tg(2x + 3y - 20")'Cotg(Sx + 3y -50') = 1, hallar el
valor de "x".
Razona. Hallar "x" en:
Resolución:
o De las RT. recíprocas:Tg (2x+ 3y - 20")'Cotg (sx + 3y - 50') = 1
2x +3f - 20" = 5x +.XY - 50o
30" = 3x
x : 10o
Ejercicio @ Si se cumPle que:
Sen(3x +2y-30')'Cosec(*-y+10")=1 1
Tg(5x+y+20')'Cotg(x+2y+30')=1 2
calcular "*" " "y" .
Resolución:
¡ De1:
Sen(3x + 2y- 30")' Cosec(x-y + 10') : 1
3xt2Y-30':x-Yf2x * 3Y :40' "'
De 2:Tg(Sx+y+20')'Cotg (x+2Y +30")= 1
5x+y+2Oo=X*2Y+30'4x-Y = 10o"' 4
De3 y
2x+3y
4x-y
10"
3
4:-- 40"
= 10o
2x+3Y = 4Oo
(x3) , 12x-3y=30"
t M.A.M. 14x -- 7Oo
[-3x=--lI 7l
F ="])
4 r ReemPlazando en 3 :
z (s") + 40"
30"10'
3y
3y
v
Razona
. En un colegio se distribuyen 1B alumnos por_cada aula,
quedando 6 alumnos de pie; si se distribuyen ]9 alumnos
por cada aula, sobran 4 asientos. si se distribuyeran 20
ulr*nor por cada aula, 2cuántos asientos quedarán vacíos?
RPta' 14
B 3 6 3
7 6 X 9
6 9 1B 15 Rpta. x: 12
Q¡,¡into año de secundaria 213
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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5' Razones trigonométricas de ángulos corurplementarñosCalculemos las R.T. (cx) y R.T. (9) en el triángulo rectángulo mostrado: cx + F = 90o
)4Sencr=-'25
7Coscx = -25
24lsü-_7
Seccr=fs5g6B=4"7
Seng = Cos I
Tgo=Cotg0Seccr = Cosec0
cr+B=90"
Ejercicio O Si Sen (3x + 10') : Cos (2x + 35"),
calcular el valor de "x".
Resolución:
'" Aplicando la propiedad de las R.T. complementarias:
Sen(3x + 1 0") = Cos (Zx + 35")
(3x + 10") + (2x +35o) = 9go
5x+45o=90o
7Cotga=-
^255ecCx--7
25Losec ü - -24
O también:
SenB =l-25)A
Cos B'257
T89 =24
)ACotgP=?
SecB=4'24
Cosec B =47
Observación. | .::::_,: : l: .
)4Sena=CosB=1'25
', ,. , .,¡;,,,,':iiif,)A
Tgcx = Cotgg =:- L:II7
7SenB=Cos o-;
7TgF = Cotgu= !-
-n25eCp=LOSeCü=:-l24
De donde concluimos que: Sen cr y Cos 0; Tg cr y Cotg p; Sec o y Cosec p son razones trigonométricascomplementarias (O co-razones trigonométricas) y cumplen la siguiente propiedad: Toda razón trigonométricade un ángulo agudo es igual a la co-razón trigonométrica del complemento de dicho ángulo.
En general: R.T. (0) : Co-R.T. (90'- q¡
R.T. : razón trigonométrica.Co-R.T. : co-razón trigonométrica.
0 : ángulo agudo.
5x = 45"
x:9o
. Sobre razones trigonométricas de ánguloscomplementarios
Ejercicio 8 Siendors(*'+sx-1)'
= 1, hallarelCotg (6x + 11)'
valor de "x". (xe z-)
Resolución:
,' De la condición tenemos:
TB (*' + 5x - t)' = cotg (6x + 1 1)'
,,' Por la propiedad de las R.T. complementarias:
(*' * sx - r)' + (6x + 1 1)o = 9oo
214 Quinto año de secundaria
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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x2 +11x-80 = 0
x \ n+16*A -5(x+16)("-5)=o
. Ii) x+16=o +p1q]iNot---)
{iir x-5=o -f=slx=5
E.iercicio B Si se cumPle que:
Sen (2x +y+ Bo) : Cos(x + 2Y + 16") 1
Sec (2x + 3y - Bo) : Cosec (x + Y + 20") ... 2
calcular "x" e "Y"
Resolución:
. De 1 : Sen(2x+y+B')=Cos(x+2y+16")
(Zx +y + B') + (x + 2Y + 16') = 90o
3x+3Y =66"
x+y --22"... 3
o De 2 : Sec(2x+3y-B')=Cosec (**y+20")
(Zx + 3y - S")+ (x + Y + 20') = 90o
3x+ 4y =78" 4
4x - 3x: 10
-E=go Reemplazandoen 3: 10o*y=22"
Y =12"
Ejercicio @ Si Tg (2x+1s")'Tg s1o -- 1,
hallar el valor de "x".
Resolución:
r De la condición: Tg(2x + 15o\ - 1
'- Tgt.''
Tg(2x+ 15")=
Cotg 51o
+ 2x+15o+51o=90o
2x-24x =12"
Tg 0'Cotg 0 =
Cotg 0 =
. De 3 y 4:
X+Y =22o
3x+ 4Y =78"
(x4)
Rpta: x:3y1
Notag
4x+4y=BBo
3x+ 4y =7Bo I
1
1
Tgo
ffiEjercicio G Si: Cos(3x-10') 'Sec 50' : 1
Hallar el valor de "x".
Resolución
Eiercicio Q| Hallar los valores de "x" que
verifican la @raldad:
3)" ' Cose c(2x2 * 3)" : 'lSen (Bx -
Resolución
Rpta: x:20o
Quinto año de secundaria 215
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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ffiEjercicio I Calcularx e y si:
Tg(3x - y)" 'Cotg(2x + 3y + 10)' : 1 ... (l)
x + 2Y : 70o... (ll)
Resolución
Ejercicio O Se cumple que:
Tg{2a -B + 10") : Corg(a + 29 - 5') ... (l)
Sec(cx + 15') : Cosec(2p + 30') ...(ll)
Calcular el valor de cx y B.
Resolución
Rpta: u.: 25" Y F: 10'
tjercicio e Sabiendo que:
Tg (2x-y)'' Cotg7O" : 1 ...(l)
Tg(x + y)' : Cotg40" ...(ll)
Calcular el valor de x e y.
Resolución
Rpta: x:4oo ,y:10"
Ejercicio f;! Si:
Sen (5x *40') : Cos (2x -10o), hallar el valor de,rxrr.
Resolución
Rpta: 20"
Ejercicio 0 Calcular el valor de "x", si:
Cos(2xx + 19)'. Cosec(xx - 10)"- 1 : 0
Resolución
Rpta: x : 3
Ejercicio @ Si se cumple que:
Cos40o'Cotg(2x + 10') 'Cosec50o : Tg3x
Calcular el valor de "x".
Resolución
216 Quinto año de secundaria
Rpta: x : '16o
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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. Gasos que se Presentan conen la resolución de triángulosPrimer caso
Datos: Hipotenusa"c" Y un ángulo "u,"
mucha frecuenc¡arectángulos
Datos: Un ángulo agudo "a" y su cateto opuesto "a 'i:
lncógnita: Expresar los catetos en términos de lncógnita: Expresar el otro cateto y la hipotenusa en tér-t'c" y " u."
En el N gCR'
l) Sen cr = 99CB
minos de "a" y "a".
En elN BCA:
ABl) Co sec
BC = c.Sen cr
AC = c.Cos cr
Tercer caso
Datos: Un ángulo "a" y su cateto adyacente "b"'
tncógnita: Expresar el otro cateto y la hipotenusa en
términos de "a" y "b".
En eI \ BCA:
ll) Corgo=49
AC = a'Cotg cr
Ejercicio A De la figu-
ra, hallar "AD" en términosde "a", "g," y "F"
Resolución:
a, E(rel N goc: Sen o =BD -+
a
En el NRos: rsF = P -+'BD
a
AB = a .Co sec ü,
ACll) Cos crC
Ejercicio O Delgráfi-co, hallar "AH" en términos
de "a" y "a".
a-------*Resolución:
,¡, Enel N BAC: Seno =AB -+ AB = a'Sen c[,
a
BHC+- a -----------.1-
t) secg = + ll) Tgu= BCt
AH =19.Coscr
AH = a Seno'Coscr
BD = aSencr
AD=BD.TgB
AD-aSenu Tgp
En el N RHe'AHLosü,=-AB
Quinto año de secundaria 217
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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Ejercicio A En el gráfico, hallar tt\Dtt en términosde "a" ; "cr" y "e"
Resolucién:.' Enel N
,, Enel N
^cCD:Cotg a = 1'-a
BCD:Tgg=E!'a
ABlgcr=-a
B
-+ AB=aTga
-+ AD = AB .Cos 0
AD=aTgcr.Cos0
A1/ ls T aCotgo
"4.'fl1--
B¡.-,N.^/'"\
Resolución:
En el \ ABC:
Enel Nnog:Coso=ADAB
Resolución
Ejercicio S En la figura, hallar BH, en térmi-
nosdeayü.
B
Ejercicio @ En la figura, hallar'AB" en términos de " a" , " a" y "9" .
En la figura: AB=AC-BCAB=aCotgcx-aTgB
AB = a (cotg cr - TS 0)
f.'...i...'.....'l'l.l.]
Ejercicio Q! Delgráfico, hallar BC, en térmi-
nos de a, ay0
--) AC = a.Cotg u
-+ BC = u Tg0
A
218 Quinto año de secundaria
Rpta: BH : aTg2u Rpta: BC : aCoseccx .Cotg0
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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ruEjercicio O De la figura, hallar AB en térmi-
nos de ay aEjercicio g En el gráfico, hallar AE en térmi-
nosdea;a;$y0
Resolución
Rpta: AB : aCos3 cx Rpta: AE : aTg0 ' Seccr' SenB
Observación
al En trigonometría, los operadores no
operaciones algebraicas con ellos, de
C.on AJLrrv= Sen -+ (Absurdo)
e
tienen significado por sí solo, ni tampoco se puede realizar
manera que, es absurdo, considerar las operaciones'
' Sen (a) + Sen (9) + Sen (cx + P)
b1 ) que las razones trigonométricas son números, luego con ellos se puede operar así:Se ha demostradc
f) 5 SecB-3 Sec B+2 Sec 9=4 Sec P
ll) (: Cotg a+2 Cosec o) Sen cr = 3 Cotg cx'Sen a+2 Cosec cx'Sencx
= 3(cosu) r"n a+2( :-l''"n ü = 3 cos cr+2
[SenuJ lsenüJ
Tenga cuidado con la equivalencia. Senn ¡ : (señ x)n; la primera se utiliza continuamente, pero la
seg,Jndu no, porque se corre el riesgo de concluir que:
(Sen x)n = Sen xn -+ y esto es incorrecto'
Quinto afro de secundaria 219
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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lBrkEjercicio O En untriánguloABC, rectoenC,secum-
ple que: Cos A =tt: t
. Calcular P : SecA - Cotg B.5
nl 16-z sl J5-l c) 16+1D) ..6+z E) ..5*s
Resolución:
r Del enunciado:
B
o Por el teorema de Pitágoras:
a2 +b2 = c2
a2 +b2 = 5b2
a2 - 4b2
a=2b. Nos piden:
P=SecA-CotgB
o-c a
bbp=6b -'b -b
A) .6 B) J7
Resolución:
o Tenemos que:
cos A --Cosec B
5
C
q= bc5
5b2 =c2A .5b=.
Ejercicio A Si Cosec o : B; (cr : agudo), calcular el
valor de: r =][c"ts]-c** ")
P'+ :'i''i Rptu. A
c) 2J7 D) 3J7 E) J7 - J5
220 Quinto año de secundaria
ü,b+cbcCote: = =_* - =Cotg Cr+Cosec Cl¿"2 a a a
cots * = Cosec cr + Cotg u"2üo También: fS i = Cosec cr-Cotg cr2
At\l[,,N[j",it.BzJTc
r =l t:,fr-co,". o]
r = ] fcoseco + Cotg cr - Cosec a]
1
E=jCotga1_
E = I .ZJl -+3
Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC(f : 90"), sé cumple que: a2 + b2 + c2 : 2O m2; yCotg A : 9 ' Cotg B. Hallar el área de la región triangular
En el problema:
BC2 =82 -12
BC = J63
BC = 3J7
ABC.
A) 0,25 m2
D) 1m2
Resolución:
. Delenunciado:
.ür'ü'br"
. Del dato:
. Además:
E = J7 Rpta. B
C) O,75 m2) 0,5 m2
E) 1,5 m2
CotgA=9CotgB
!=nle)a (.bl
b2 - 9a2
b=3a
AbC
a2 +b2 +c2 -20+c2 =20
c2 =10c=úo
,2
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o En el N gro:
Sec cr =BD -, BD = EB.Sec crEB
BD = a Cos2tx Secs, Rpta. C
Ejercicio O En un triángulo ABC, recto en "C" se
Tg A'Cotg B TgB'Cotg Atleneque:
1-sen A =-:-cosB
"Tg A + Tg B"
Reemplazandoen: a2 +b2 = c2
a2 +ga2 = 10
1oa2 - 1o
a=1 rll} b=3
Nos piden: S NABC = ub = 1'322'sNABC = 1;5 m2 Rpta. E
Tg A.Cotg B _ TgB'Cotg A
1-Sen A 1-Cos B
Ejercicio @ En la figura, hallar "BD" en términos de,,a,, y ,, a,, .
A) a Sen a Sec 2cr
B) a Sen 2cr Sec a
C) a Cos 2o Sec o
D) a Coscr Sec 2cr
E) a Cos cr Cosec 2cr
Resolución:
a .cos 2cr
E
Delgráfico:
Se prolonga CD hasta un punto "E" tal que CEIBE,además: 0+cx:90o.
En elN BEC: Cos 2cr = Eq + EB = a Cos2üa
A)1 B)2
Resolución:
o De la condición:
c) 3 D) -1 E) -2
a
o
. Obtenemos:
a.a bbb b --q a-
lr-s) lr-g)t c) ( c)
u2 b2J = 7+aa = b4b- a'
. De la expresión incógnita:
"Tg A + Tg B"; obtenemos:
a=b... I
TgA+TgB=l*9 llcrba
. Reemplazamos I en ll :
rgA+TgB=f *f ='' +1=2bb
rs Íjif+$i$i li Rpta. B
E.iercicio @ En el gráfico, hallar "x" en términos de
"u" y "0"
A)aTg0'Sen20C) a Sen0 ' Cos 0
E)a Cos 0 ' Sec 20
Resolución:B
B) aTg0'
Sec 20D) aSen0'Sen20
2e-DA=DH a'Tg 0
20; i Rpta. B
/A
o Enel NOgC: Teg=P=BD')BCaa'Tg 0=BD --> DH=a'Tg0
En el NnHO' Sec
u.fg o.Sei
Quinto año de secundaria 221
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Ejercicio O Del gráfico, obtene r "Tg Q"
H
J7 tz c) J7 13^)
J7
C
B) D)J7t4 E)J7ls
Resolución:
r En el N CBD:
/NPor elteorema de Pitágoras: BC2 = 82 -12
BC = J63
BC = 3J7
r En el N CBA: Tg0 =;: = *
i*l-;.r '
Rpta. C
Ejercicio O Si se cumple que:
Sen (x + 10") ' Cosec (3y + 20') : 1 ... 1
Tg(2x+Y) 'Tgx:1 ...2calcular x - y.
A) 26" B) 24" C) 22" D) 20" E) 1 B"
Resolución:
q De 1 : Sen(x + 10").Cosec (¡y * 2o') - 1
x+10o =3y +20"x-3y=10o... 3
* De 2: Tg (zx+y)=+r8 x
Tg (2x + Y) = Cotg x
2x+y*x=90o3x+Y=90o...4
222 Quinto año de secundaria
* Resolviendo 3 yA:x-3y = 10o------f x-3Y = 10o
I *3x + Y = 90'gqg":-il-:ZO' I -
10x = 280"
^=?8"a Reemplazandoen 4: 3(28') *y=90o
84"+Y=90o
Y =6"
, Nos piden:
Ejercicio
Siendo AP bisectriz.
A) 1 A
B)2
C) 3 1s
D)4
E) s B
Resolución:
*" En el gráfico:
Por Pitágoras:
BC2 =3g2 -1s2BC = JT2%
* Por la propiedad de la bisectriz:
BP PC
x -y -2Bo -6ox-y =22" RPta. C
Delgráfico, calcular:
E=2 Cotg e-ú3 Sen 0
BP\
15
36-BP
1s 39 s 1313BP=180-5BP
- [,8.' il
w En el N ABP: AP2 = 152 + 1o2
AP = JnsAP = s ú3
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Nos piden:
Ejercicio
@P -
T87*Cotg 6x
B)0
Resolución:
u Del dato: Sen 9x
9x+ 4x
13x
E-2f]I)-r'l-gl- L (.rJ "'-[ t {-) )
E=3-2 -) E=1 Rpta.A
Si Sen 9 x - Cos 4x : 0, calcular
c)1 D)2
= Cos 4x
= 90o
= 90o
E)'',/,
w Pero: 7x+6x = 13x
7x+6x = 90o
R.T(7x) = Co - R.T. (6x)
TgTx = Cotg 6x
TgTx _1Cotgi* - '
P: 'l Rpta. C
Ejercicio @ En un triángulo rectángulo ABC,.lecto
en B, se sabEque el perímetro es igual a Bm. Hallar la
hipotenusa, sabiendoque se cumPle:
(t + sen A) (1+ Sen C) = :B
9169169A)o u) n c) G D) T E)t
Resolución:
* Craficando: (
Teorema de Pitágoras a
a2 + cz = b2 B
* Del dato:
a+b*c=B
,--b2- (a+b+.)2 =(B)2t_ _La2 +b2 +12 +2ab+2ac+2bc-64
2b2 +2ab+2ac+2bc-64
b2+ab+ac+bc=32
* Además:
(t + Sen AX1+ Sen C) = ;
[,.;) ['.;)= ;
(b+a)(b+c)=962
b2+ab+ac+b.=9b2
32
B
9. -t
= -b-B
W.!e
b, = 19 RPta' D
r,:ii-*'
Tg20 - 2 rg0.jercicio @ De la figura, hallar R:
A) 112 B) 1
Resolución:
E) 314
Observamos: A ADP: lsósceles
<DPA:{ DAP:0
También: < BDE :20 ({ exterior)
Enel N DBE: Te2o-a+b)a
Enel NRec' Tso- bu2a
Nos piden:
R-a+b-rlg)a \2a)
*-a+b-b -+ ft+1 Rpta.Ba
Quinto año de secundaria 223
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Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC,recto en C, se cumple: Tg B : 2 Sec A. Calcular
E : Cosec2 A-2 Sec B
Resolución
t,',,, I ,':: , :r ', :
',.' . t-,. t'.
t, a''t,..,
,
Ejercicio ffle
cular 3 TS :IResolución
Si Tg 0 : 2,4 (0 : 4 agudo), cal-
Ejercicio O Del gráfico, calcular "Tga,"
Resolución
Ejercicio O En un triángulo ABC (C : 90o)se verifica que: Tg B : Cos A (4 - Cosec A)
Calcular R: TgA * Cosec B.
Resolución
Rpta: rEJ'
Rpta: 7
Ejercicio E Si Sen (3x + 1 0") : Cos (x * 12"),calcular el valor de:
Cos (3x - 2)".Tg (3x - 1)"_Sen x .Tg2x .Cotg 46o
Resolución
Ejercicio fi!ls. /x
S¡ aü 10x= 1, calcular
224 Quinto año de secundaria
Rpta: Tan 68" Rpta: 0
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Ejercicio O
Resolucién:
De la figura, calcular elvalor de:
P:TgB'TgCB
tjercicio @B
Del gráfico, calcular "f 90"
Resolución:
Ejercicio @ De la figura, calcular:
n Cosec0-fSFt
--Cotg P-Sec a
razones trig;nométricas
rJI+-- e ---F 6-l- B
C
Nivel I
c) 2,4De Ia figura, calcular:
IB
D) 2,5E) 2,8
D
Ejercicio O
A)2
B) 3
c)4D) s
E) 6
A) 3/13D) el13
Eiercicio g
- TgcrF--
Tgo
De la figura, calcular:
E=Tgcx*SecoB
A) 1,8 B) 2,2Ejercicio Gl
Ejercicio g En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se cumple que: Cotg X=a
CalcularM:SenA-SenC
A24BA) O,2 B) 0,3 c\ a,4 D) 0,5 E) 0,6
Ejercicio @ Calcular "x", siendo:
Sen (4x + 12'): Cos (3x + B')
A) B" B) 9" c) 10"D)
12"E) 15'
Ejercicio @ Calcular "x" sabiendo que:
Tg (2x + 17')' Cotg (x + 34') : 1
A)12" B)13" c)15' D)17" E)18'
Ejercicio @ Sabiendo que:Tg (x f Y) : Cotg 40' ... 1
Sen (x - Y) ' Cosec 30o : 1 ...2Calcular x/y
c)3 D)4 E) s
B) s/13E) 11113
Delgráfico,
c) 7113
calcular:
B) 3
C
II
Li
:) €6
B
E
Sen g+Cos0
A) z c)4A) 1 B)2
Suinto año de secundaria 225
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Ejercicio s} Del gráfico, hallar "x" en términos dett a't y tt a't
cA) a Sen a'Tg a ,/17B) aSencx'Secc¿ /r/ ll
D) aCos*.",r** AIE) aSeccr'Coseccr A B
Ejercicio @ Calcular "x" entérminos de"a" y "O"
C
;l :[::;;:'¿L,, ,41
C) a Cos cx ' Cosec cx
D) aCosa'Cotga
C) a(Sec0-Tg0)D) a(Cosec0-Sec0)E) a (Cotg 0
-Tg 0)
a¡--* -1e
a
a
ltB
1. A
2.C
Clave de respuestas
3.A s.E 7. D
4. D 6. C B.D
Nivel ll
9.D10. E
Ejercicio O En un triángulo rectángulo
ABC (C - 90o), se cumple: Sen A .Sen B =
B) 0,5 c) 1,25 D) 1,5
6 En el gráfico, calcul ar "Tga"
4
ICalcular: E = JCoGÁ+Corg B
A) 0,25
Ejercicio
A) 213
B) 312
c) 314
D) 413
E) 112
Ejercicio B"Cotg0"A) 1
B)2
c)112
c) .6
D) G'2
E)2
En la figura, CM es mediana. Calcular
226 Quinto año de secundaria
Ejercicio @ En un triángulo rectángulo lahipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la
tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
^)J, B) 2J1 c) 3J1 D) 2
Ejercicio @ Simplificar la expresión:W = Sen 20'.Tg 40o.Tg 50"'Sec 70o
A)O B)1 C)Tg20'
E)4
K_Cos 65o + Cotg 55o + Cosec 66o
A) Tg 84' B) Cotg 84' C) 2 D) 1 E) O
Ejercicio A En un triángulo rectángulo, el períme-
tro es igual a 90 cm y el coseno de uno de sus ángulos12
agudos "r 13. Hallar la longitud de la hipotenusa de
dicho triángulo.
A) 13 B) 26 C) 39 D) sz E) 6s
Ejercicio !} Si Cos (2x - 0) ' Cosec (x * 30) : 1,
Sen 3x -Cos 20calcular P -
-
' Tg(x+o)
D) Sec 20'Ejercicio fil
A) o
Ejercicio
A) 112
B) 314
c) 1
D)2
ilJ'Ejercicio
A) 1
B)2
c) 2,5
D) 3
E)4
1. D
2.D
E) Cotg 40'Reducir la expresión:
Sen 25o+Tg 35'+Sec 24o
B) 1 C)2 D)112
g A partir del gráfico, calcular:
M=Cotgcr-Tg0B
Clave de respuestas
3.C s.B 7. C
4. B 6. D B.A
n 314
Delgráfico, hallar W = T8 20.Cotg 0
E
9.C10. D
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Nivel preuniversitario
Ejercicio O En un triángulo rectángulo
ABC (B : 90o), se cumple que: Sen O =3=,:18jCosec C
Hallar el valor de: U - Tg A + Tg C
A) 1 B) 3 c) s D)4 E) 1,s0
Ejercicio A Sabiendo que:
r-Sec0 442 =2s"ce;(o: {agudo)
Calcular el valor de: E -gTg20-^,F Cosec 0
A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) s
Ejercicio A En un triángulo rectángulo, el cuadra-
do de la hipotenusa es al producto de los catetos como
13 es a 6. Hallar el valor de la tangente del menor án-
gulo de dicho triángulo.
Ejercicio g En la figura: Cos 0 =
Hallar "AB" .
A) 12
B) 13
c) 1s
D) 16
E) 18A
A) 114 B) 413 C) 213 D)
Ejercicio $| En la figura, Tg 0 =
M : CotB cr f Cosec cr
A) 415
B) 3/s
c) 213
D) sl4
E) sl3
Ejercicio p Del gráfico mostrado, hallar:
S:OA+OB+OC+OD+.....
5
13;AD : 52 m.
2 E) 314
. Calcular:
Jl,
3
7
B))
C)
E)
1-Sen 0
1+Sen 0
1-Sen 0
1- Cos 0
1- Cos 0
1+Cos 0D) 1- Cos 0
& A partir del gráfico,
2+Tg0.
A
1+ Cos 0
Ejercicio
hallar E :A) 1
B) \6C) \6D) J6
E) 2JIEjercicio
A) 2ls
B) 314
c) 4ls
D) 2le
E) 317
Ejercicio
^)J'
J14
E) 4J'
Ejercicio
A) 10
B) 11
c) 12
D) 13
E) 14
1. B
2.c
B) €2
U 2J'
ADB
+-4En la figura, calcular el valor de:
"Cotg a"1E
g Del gráfico, calcular el valor de:
"Cotg e" (O y Ol: centros)A
T------.-l,/\[$B
C
2
C
3
De la figura, hallar el valor de:
n 13 C¡sec u-12Cotg Pt
--
O
C¡tg o
Il\'-=''¡l \/lL ' t
A+- 5-----t
C
Clave de respuestas
3.E4.C
s.E6.8
7. c 9.4B. E 10.C
T1
i
Quinto año de secundaria 227
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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7. Estudio del triángulo pitag oricoTodo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados pornúmeros enteros positivos. Dichos lados tienen la siguien-te forma:
Siendo "^" y "n" números enteros positivos.
Además: m > n
Observación {
Ejemplo: Cuando: m : 5 y n : 2
ON
lt
NXro
N
*-22:zl
2mn
(n? - n2)
Si elegimos valores de "m" y "n" (números primos enteros entre sí) tal que (m * n) resulte unnúmero impar, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados también son númerosprimos entre sí.
Ejemplo: Cuando: m : B y n : 3
oO=tlt
aXI
N
82- 32: 5s
Observacion 2,WCuandolosvaloreSde,,m,,Y,,n,,(nosonprimosentresí)ocuyaSumade,,m,,y,,n,,SeaUnnúmero
M pur, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados están expresadas por númerosw¿w¿ffi' que tienen un divisor común.
Ejemplo: Cuando: m : 4y n : 2 Ejemplo: m:7yn:3
rlt
NXvN
uando:
N$
il
GX5N
>?\X
t1
,1:2
Cuando se tiene dos números enteros (m y n), pero consecutivos; entonces se cumplirá:
k2+1 k2-l . r ,m-- y n=-j ;siendok:#impar.
22Luego:
@2- rl )
Ejemplo:
Cuando: k : 5
:il
-l-' l^
nl
52 +113
2
Ejemplo:
Cuando:k:11
rI
e'l-)¿
k2 +1 _u,
42- 22: 12 72- 32: 40
228 Quinto año de secundaria
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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g. Razones trigonométricas de ángulos especialeso notables
Sean los catetos del N ABC: r+-B.G "l-
Por el teorema de Pitágoras:
AC2 =AB2 +BC2
AC2 -É +É -2É
de 45'.
sen45o =h=+=+-+ cosec 45o =i={=O
cos 45o = /=- + --J-? -> sec 45o = + -* = O-\'JTJ -,LJ1-O- 2 'vvv J1 2
rg 45' =f=1=. -+ cotg 45o =1 - I
Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo
AC = Jrt --lrJÉ
BC2 -BH2 +HC:
ú =BH2*lI'l' -Lrr' 'IrJ
ú =BH2 *L -C -L= BH2 -t= BH2444
para hallar las razones trigonométricas de 30" y 60", construimos un triángulo equilátero, veamos:
En el N BHC, calculamos BH, por el teorema de Pitágoras:
B
A--H c
Luego, calculamos las razones trigonométricas de 30'y 60'en el ABHC'
LSen 30o -Z-L
J-tv
cos 3oo =+=
L
rg 3o' =h=+=2
cte 3oo - a= 3S=J¡3
Sec 30o -+=
Csc 30'= 31
J-tv
Sen 60o = 2, - '6L2
v;1
Cos 60o - =- =t/)L
JTv
Tg6o'=+=",5tla
cts 60o -1'/ r
U3
Sec 60o = 2
csc 6oo =2Jt3
s3
Quinto año de secundaria 229
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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Sen 37"
Cos 37o
Tg 37"
Cotg 37"
Sec 37o
Cosec 37o
ASen 53"
5
Cos 53o = 3'5A
Te 53ou3
Cote 53o =3
U4
Sec 53o - 5
3
Cosec 53' = I4
_ Fl-'.-r5t \,/
=vt-i3-i'td \.,'f4l ,/'-^
- t-l ./
B{=ff'.-_t-5] ,/\l;v
lJt
Sen 1 6o
Cos 1 6o
Tg 16"
Cotg 16'
Sec 16o
Co sec 1 6o
)ASen74"
25
Cos 74o - 7
25)A
Ts 74"o7
Cotp 74o -l-)24
Sec 74o --257
cosec 74" =U24
_tri..-l25l \,/_w/\\Wr*=-ll/ñ
=124li \,tE^-l ,/\-Er
_ lzsJ.-W
w,/\Er
Para hallar las razones trigonométricas de los ángulosde 15' y 75'tomamos como referencia el N nota-ble de 30'y 60", luego prolongamos AB (como semuestra en la figura) hasta obtener un triánguloisósceles EBC, siendo: EB : BC: 2.
En el N fAC, calculamos el valor de "x" por mediodel teorema de Pitágoras.
^' = (2* Jt)' * (1)' -+ x2 : 4+ +Jj +Jj2 +tx2=B++Jj
' t i---*, =JB ++Jj-+ ,¡=' .i i'
E
-I-li
i
2
B
lca
A
EC2 =EA2 +AC2
230 Quinto año de secundaria
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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Luego, calculamos las razones trigonométricas de 1 5" Y 75"'
1
sen 15o ='!-6 ¡ "l-2
znJ3Cos 1 5o
Tg 15'
Cotg 15'
Sec 1 5'
Cosec 15o =
.Jo +
Ji1_
-:
- z+Jl_z+^11 _
1
4
Jo +.Jz
4
Sen 75o =
Cos 75o =
J-o + Jj4
J6 -J,4
fg75" =2+$
Cotg 75' -2-Ji
sec 750 =J-a * J1
Cosec 75o = J6 - J1
I _
-ilJa - Jzl= l_i_____-_____i_t--I + lll
-lt
.-.-------..-.--._tl
_lJo+J, i lL* i
-i-'-(z..,6)
J6 -J,
Para hallar las razones trigonométricas de los
ángulos de 22'30' y 67'30' tomamos como
refÉrencia el Nnotable de 45', luego procede-
mos de igual manera que en el caso anterior'
En el N f SR; calculamos el valor de "x" por
medio del teorema de Pitágoras.
EA2 =EB2 +BA2
^' = (Jr+ r)2 + (r)2
x2 - 2 + zJl+ 1 + 1 = 4 + zJl = z(z+ Ji)r._-..-:
- J, ,lz + "lz
-+I c.l
t;
C
1
B
Sen 67o30' =
tr-tlz+ 42
1
r-'--"--'--:
^lz- Jz
Luego, calculamos las razones trigonométricas de 22"30', y 67"30',
z(z + J2)
Sen 22o30'
Cos 22o30'
Tg 22"30'
cotg 22o30'
Sec 22o30'
1,
-\Jz (Jz . Jr)
"12+1
J1 +1
J2 +t
Jr(.re)Cos 67o30' =
Tg 67"30' = Jl+l
Cotg 67"30' - Jl-l_lr-.---:\
sec 67030' = Jzlíz+Jz I\: t
Cosec 6T%a' =.8(.8:iE)
r1(Jr:T'
r, (Jt.T4osec 22o3O'=
Quinto año de secundaria 231
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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ObservaciónPara calcular las razones trigonométricas de la mitad deun ángulo agudo vamos a tener en cuenta lo siguiente:
Ejemplo: De la
A
\
t\,,"L \sc
figura, hallar: " Tg
cr 12 12t^
'61- 13*5-
1B
c[
2
Tg ü2-=-3
CX, A
-=- c+b Tg
Para hallar las razones trigonométricas de los
ángulos de 26"30'y 63"30'tomamos como re-ferencia el Nnotable de 37" y 53" procedien-do como en el ejemplo anterior.
Tg153' t
Ir]Tg 26o30'
A partir de este resul-tado construimos el 1
triángulo rectángulo:
1
2
.6 I
Sen 26'30 =;f,=TI
,"r 63.30,=+=+
2JsCos 63.30 ,
= += fvssTg 63'30' =1=,
..6
Tg 26"30' - 1
Cotg 26'3 0' =4 = 2 I a.,rn 63o3o, = ]7=t Icotg63o30'=It-tvs l- .6Sec26o30'- 'e I S".63"30,-^/f,=^.62 l"--"" 1
FICosec 26"30 = + = S; I aoru. 63.30,= +
Para hallar las razones trigonométricas delos ángulos de 1B'30' y 71"30' tomamoscomo referencia el N notable de 37" y 53"aplicando el mecanismo anterior:
/ ¡-o \ rt.-{r/ l= '2 ) s++
Tg 18o30'= l3
A partir de este resul-tado construimos el
triángulo rectángulo:
1 ú0.sen 1Bo3o' - -+ = -j-
./10 10
cos 1go3o' =j 3fi0 i
Jto= 10 {cos71"30'
Tg 1B'30' = ;Cots1Bo30' =3=31
Sec 18o30' =fi
úo 10
1 .úo
Jm 10
1Ja
1
1
3
t;sec 71o30, _ ./10
= Jt o1
qá^^^'i Jm
3 3úoSen 71 "30'
Tg71o3A'
Cotg 71o30'
Cosec 'lBo30' = = JJ o j cor". 71"30'= t=3
m1
7)4Sen 1 60 - ;Cos 1 60 -
4';T9.16o25 25
16o =4 ,s"r16o = I, cor"c 16o -25724'7
: cots 74o =Z , s". 74o =I, cor" c74o =25 u 24' 7' 24
7=_;cotg24' v
jSen /4"!
)47- - ' ;Cos74"25 25
)4; Ts74"
7
232 Q¡"*into año de secundaria
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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_1.J1Sen B" = ---= = --sJ2 10
7 t"lzCos Bo = -----: = -J2 10
TgB' =1
1
-7
1Cotg Bo =
Sec Bo =SJt
7
Cosec B"=
¡e=
sJÍ1
7 7"t1Sen B2o - --= =
- sJ2 10
1 ",1,Cos B2o = -_= =-.12 10
7Tg 82" =1=7
Cote B2o = ]v7
Sec B2o =+ = s,l|
cosec 82" -5J'
Sen Cos Tg Cotg Sec Cosec
45" :11
2
J1
2
I 1 J' J1
3001
1^.62
.63
.62Jt
32
600.6
2
1
t ^6^63
22.,11
3
37"3
5
T5
I4
4
t ¡4
t3
53" I5
25
4; 1
4:3
t4
15"J6 -Jj
4
Jo *"11
42- J5 2+J5 J6 -J2 Jo+JI
75" Ju *Q4
J6
-J,4 z+Jj 2- Jj Jo +Jj J6 -JT
1607
25
24
25
7
24
24
7u24
25
7
74"24
25
7
25
24'7
7
24
25
7
25
24
80J110
7"lt10
1: 75"1,
7s^11
82"7.12
10
"t,10
717
5JlsJ2
7
22"30',,tt-J2
2
,lz * Jl2 ^ñ
_l JT+t "11(Jr:E) Jrur.Tr)
67"30', ,lz + J1 Jl +t Jj -t rr(J;E)26"30',
t=a/5
5
2"ll5
1
t 2.62
.6
63030'?J5
5"65
21
2,6 .6
2
18030' ^rc10
3.,m"
10
1
t JJio
3Jlb
71o30'3Ji o
10
.,re10
J1
3 úo.Ro
3
Quinto año de secundaria 233
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Ejercicio O Calcular el valor de:
Sec230o.Tg 45'+Cos 60''Cotg 37oP- Cosec45o.Cosec 30o
Resolución:
Recordemos:
Reemplazando:
2J'3 (1) + t;)ti)_
42,_t*5_ 2 1 o_J,' 2J, 2J1 J, '" 2
Ejercicio g Si Sen (3x + 17') : Cos (x * 23"),
calcular el valor de: u - sen (2x + 12')+ Cotg (4x - 5")
Ig (ax + 3')
Resolución:
rz De la condición: Sen (3x +17') = Cos (x + 23")+ 3x+17"+x+23o=90o
4x = 50o
2x * 25"
'r' Reeffiplazando:
E_
E_
Sen (25" +12")+ Cotg (so'- s')Tg (so'+ 3')
Sen 37o + Cotg 45'Tg 53'
3B-
r'l
-'' - )46-) -)-- ..4 - 4- zo "'t5
r=95
Eiercicio g Del gráfico, B
calcular el valor de "Tg 0".
sec 3oo -'JjT945" -1
Cos 60'= f2
(rr)Q)
234 Quinto año de secundaria
A.]_- B -----t B
Ejercicio @ Si se cumple que:
calcular: E - Tg 5x - Cotg 2x
Sec2 3x
Resolución:
¡ De la condición:
Resolución:
'nTrabajando en el gráfico:
Nngr' Norable (37' ;53')
En elNrco' 4a
Tg 0 -4ua
Tg0=4
r Reemplazando: E -
Cotg (eo'- x) .Cotg
[]
* t'ro)
= '',
rs * Cotg[i. fro )=
t
X
x = I +7o30'2
X aolt-:z ¡ü'2
x: 15o
Tg 75'- Cotg 30'
sec2 45o
Eiercicio [| De la figura, hallar "ED"
D
7/15/2019 TRIGONOMETRIA COVEÑAS
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Rer isando el gráfico:[jercicio @ En la figura, calcular: "f ga" siendo ABC
triángulo equiláteroB
Resolución:
' En el gráfico: +_- B --------+ B
En el N ngc, Sec 3 7o =AC
a)o
+AC=Bll)\4 )
AC: 10
En el NcRr' Sec45o = *-+ EC = 10(Jt)
EC = 10.,11
En el NcDE: Cos 3oo - l%10,12
-r€)D=10J2
1-?I
\')ED=5J6
Trazamos
N Nuc,
Enel N
NH -L nc.
Notable (30" ;
AHN: Tg u
60')
_J54
,it rr,'i,r','::'i .',ir',i:'rl
i
hlerctclojercicio tD Calcular el valor de:
A : Cos 53' . Cotg3O'' Sec37''Cotg60''Tg45'Resolución
aE-
Hallar el valor de:
Cotg 75" + Cotg 30o
Sec 60o
RPta:
Quinto año de secundaria
Resolución
I.)
d- -4 E:1pta:
235
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Ejercicio g 5í Cos (4x-17")- Sec(x * 16') :1 calcular el valor de:
K_Cotg (+x + 1)'- Sen (3x + 4)"
Cos (6x - 6)"
Resolución Resolución
Ejercicio f| Del gráfico, hallar "Cotga". Ejercicio ftl De la figura, hallar el valor de
a+bb
(a-b)
ResoluciónResolución
)ARota:' 17 Rpta: B
Ejercicio A De Ia figura, hallar el valor de PQ. Ejercicio O Del gráfico, hallar "Tg0".
Resolución Resolución
1
t
(a+ b)
A
It961
rlB
236 Quinto año de secundaria
Rpta: 28Rpta: