Matematica Aplicata II

7/30/2019 Matematica Aplicata II

1/134

1

Date de identificare a cursului

Date de contact tituar curs Date de identificare curs i contact tutoriNume: Conf.univ.dr. Cristian ChifuBirou: Facultatea de Business, Str. Horeanr.7, cam.213

Telefon: 0264-599170Fax: 0264 590110E-mail: [email protected]: vineri 10.00 12.00; rspuns lantrebrile adresate prin e-mail max. 48 deore

Denumire curs: MATEMATIC APALICAT IICod: IAA1209ECTS: 6

An ISemestrul: IITip curs: obligatoriuPagina web: www.tbs.ubbcluj.ro

https://portal.portalid.ubbcluj.roTutori: Lect.dr. Gabriela Petruel

Asist.drd. Ionu Traian Luca

Condiionri i cunotine prerechizite:Pentru a parcurge aceast disciplin, studenii trebuie s aib o serie de cunotineminime, dobndite n cadrul disciplinei Matematic de-a lungul anilor de liceu,

precum i pe parcursul semestrul I la disciplina Matematic Aplicat I. Pentru cei carenu dispun de aceste cunotine, exist o serie de lucrri n acest domeniu disponibile

pentru consultare i mprumut att la Biblioteca Central Lucian Blaga din Cluj-Napoca, ct i la biblioteca facultii, astfel nct s poat s fie parcurse de ctre toiacei studeni care trebuie s ating acest prag minim de cunotine. Susinereaexamenului la aceast disciplin este condiionat de promovarea examenului ladisciplina Matematic Aplicat I.

Descrierea cursului

Cursul presupune dezvoltarea unor abiliti analitice generale prin care studentul s-idezvolte gndirea analitic necesar oricrui om de afaceri. Cursul este creat astfelnct orice ce noiune matematic ce poate prea abstract la nceput i gsete rapidi eficient o aplicaie n domeniul economic.Obiectivele cursului sunt:

dobndirea de cunotine i aptitudini n cteva arii ale matematicii, esenialeaplicaiilor n economie i afaceri;

deprinderea elementelor fundamentale ale teoriei probabilitilor; introducerea studenilor n atmosfera unei noi discipline: statistica dezvoltarea abilitilor de comunicare n limbaj probabilistici statistic.

Organizarea temelor n cadrul cursuluiTemele abordate n cadrul acestui curs sunt structurate astfel nct s permitatingerea principalelor obiective prezentate n descrierea cursului. Cursul estestructurat pe dou pri eseniale n pregtirea oricrui economist i anume:Elementede teoria probabilitilor i Elemente de statistic descriptiv. Parcurgereaconinutului disciplinei conduce la atingerea urmtoarelor obiective:

9 nsuirea principalelor elemente legate de noiunile introductive nmatematicile economice, precum i folosirea acestora n cazul unor modeleeconomice concrete.

9 Deprinderea noiunilor elementare din teoria probabilitilor - experiment,eveniment, probabilitate - i nelegerea acestora ca un prim pas n studiul

statisticii aplicate;9 Deprinderea modului n care acioneaz legile de probabilitate;


2/134

2

9 Deprinderea noiunilor elementare de statistic descriptiv: populaie,eantion, date statistice, variabile statistice, serii statistice;

9 Deprinderea modalitilor de organizare, analizare, prezentareiinterpretare a datelor statistice;

9 Deprinderea modalitilor de calcul a principalilor parametrii cecaracterizeaz o serie statistici nelegerea importanei lor n studiul

seriei;9 Deprinderea modalitilor de aplicare ale tehnicilor statistice n rezolvarea

unor probleme din marketing, finane, economie etc.9 Deprinderea modalitilor de ntocmire a unui raport statistic

Datorit dinamicii informaionale, n fiecare an sursele de informare se vor modifican conformitate cu ultimele evoluii n domeniu i vor fi comunicate n timp util pe

platforma https://portal.portalid.ubbcluj.ro. De asemenea, sursele de informare vor fidisponibile i pe CD-ul care va conine materialele aferente acestui curs.O detaliere a temelor se gsete n calendarul cursului.

Formatul i tipul activitilor implicateCursul este gndit ca unul interactiv; studenii pot s trimit comentariile cu privire latemele abordate i/sau pot s completeze informaiile furnizate cu noi informaii lacare au acces.Studenii dispun de libertatea de a-i gestiona singuri modalitatea i timpul de

parcurgere a cursului. Este, ns, recomandat parcurgerea succesiv a modulelor nordinea indicati ndeplinirea sarcinilor indicate n cadrul fiecrui modul.Studenii vor putea beneficia de consultaii att la sediul facultii, n cadrul orelor

precizate anterior, precum i prin intermediul comunicrii prin e-mail.

Materiale bibliografice obligatorii1. Anderson D., Sweeney D., Williams T., Quantitative Methods for

Business, Thomas Learning, London, 2001.2. Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elemente de

Programare Liniar i Teoria Probabilitilor, Presa UniversitarClujean, Cluj-Napoca, 2004.

3. Coolidge F.L., Statistics, A Gentle Introduction, SAGE Publications, 2000.4. Fleming M.C., Nellis J.G.,Principles of Applied Statistics, Second Edition,

Thomas Learning, 2000.5. McPherson G., Applying and Interpreting Statistics, A Comprehensive

Guide, Second Edition,, Spinger-Verlag, New-York, 2001.6. Piller A., Statistique Descriptive,2e Edition, Maxima, Paris, 2000.Informaiile cuprinse n aceste surse bibliografice de baz sunt destinate atingeriiobiectivelor cursului.

Materialele i instrumentele necesare pentru cursAa cum artam ntr-un paragraf anterior, pe lng materialele puse la dispoziie peCD i/ sau n form tiprit, studenii vor lucra mult cu informaiile disponibile (nmod gratuit) pe Internet, precum i cu studiile de caz i articolele puse la dispoziie decadrul didactic. De asemenea, se vor folosi soft-uri specializate.


3/134

3

Calendarul cursului

n derularea acestei discipline sunt programate 4 ntlniri (fa n fa) cu studeniinscrii. n cadrul primei ntlniri se vor parcurge primele dou uniti; pentru a douantlnire este programat parcurgerea unitilor 3, 4, 5, 6 i 7, n urmtoarea ntlnirese vor parcurge unitile 8, 9 i 10, iar ultima ntlnire este destinat unitilor 11, 12

i 13.Pentru ca aceste ntlniri s devin cu adevrat interactive i pentru a se putea focaliza

pe aspectele importante dari a detaliilor necesare, studenilor li se recomandsparcurg suportul de curs pus la dispoziie la nceputul semestrului, precum iparcurgerea capitolelor corespunztoare temelor abordate la fiecare ntlniredin cel puin una dintre sursele bibliografice indicate; ulterior ntlnirii serecomand rezolvarea sarcinilor indicate.

Tematica cursurilor predate n cadrul acestei discipline cuprinde:1. Tematica cursului:Noiuni fundamentale de teoria probabilitilorImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elementede Programare Liniari Teoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-

Napoca, 2004, pg. 115-131.2. Tematica cursului: Scheme clasice de probabilitateImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice.

Elemente de Programare Liniar i Teoria Probabilitilor, Presa UniversitarClujean, Cluj-Napoca, 2004, pg. 132-139.3. Tematica cursului: Variabile aleatoare de tip discretImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice.

Elemente de Programare Liniar i Teoria Probabilitilor, Presa UniversitarClujean, Cluj-Napoca, 2004, pg. 140-146.4. Tematica cursului: Variabile aleatoare de tip continuuImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elementede Programare Liniari Teoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-

Napoca, 2004, pg. 146-153.5. Tematica cursului: Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoareImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elemente

de Programare Liniari Teoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-Napoca, 2004, pg. 146-153.6. Tematica cursului: Legi de probabilitate discreteImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elementede Programare Liniari Teoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-

Napoca, 2004, pg. 167-170.7. Tematica cursului: Legi de probabilitate continueImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elementede Programare Liniari Teoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-

Napoca, 2004, pg. 170-184.8. Tematica cursului: Statistic descriptiv. Concepte de baz


4/134

4

Implicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Fleming M.C., Nellis J.G., Principles of Applied Statistics,Second Edition, Thomas Learning, 2000, pg. 13-51.9. Tematica cursului: Organizarea datelor. Serii statistice

Implicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;

Referine bibliografice: Fleming M.C., Nellis J.G., Principles of Applied Statistics,Second Edition, Thomas Learning, 2000, pg. 13-51.10. Tematica cursului: Organizarea datelor. Reprezentri graficeImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Fleming M.C., Nellis J.G., Principles of Applied Statistics,Second Edition, Thomas Learning, 2000, pg. 13-51.11. Tematica cursului: Parametrii tendinei centrale i de structurImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Fleming M.C., Nellis J.G., Principles of Applied Statistics,Second Edition, Thomas Learning, 2000, pg. 51-79.12. Tematica cursului: Parametrii variaieiImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Fleming M.C., Nellis J.G., Principles of Applied Statistics,Second Edition, Thomas Learning, 2000, pg. 51-79.13. Tematica cursului: Corelaie. Coeficient de corelaieImplicarea studenilor: parcurgerea referinelor bibliografice indicate;Referine bibliografice: Fleming M.C., Nellis J.G., Principles of Applied Statistics,Second Edition, Thomas Learning, 2000, pg. 13-51.

Politica de evaluare i notareEvaluarea se va face pe parcursul semestrului i la final prin:

1)Realizarea unui raport statistic pe o tem dat, reprezentnd 40% din notafinal;

2)examenul final reprezentnd 60% din nota final.Raportul statistic poate fi trimis fie prin e-mail, fie prin pot la adresa Facultateade Business, str. Horea nr.7, 400174, Cluj-Napoca, Cluj, fie vor fi depuse n cutiile

potale ale profesorilor (n cazul studenilor din Cluj-Napoca) pn cel trziu npenultima sptmn a semestrului.

Examenul din sesiune cu o pondere de 60% din nota final, este consideratpromovat dac s-a obinut minim nota 5 (cinci).

Prin temele de controli proiectele pe care trebuie s le ntocmeasc, studenii vordobndi competenele necesare pentru aplicarea cunotinelor dobndite la nivel

practic.

Rezultatele obinute la aceast disciplin se vor comunica pe parcurs, prin anunareanotelor pariale i la final prin anunarea notei finale. Aceast comunicare se poaterealiza att fa n fa, ct i prin afiarea notelor pe platforma aflat la dispoziiastudenilor la aceast form de nvmnt. Fiecare student poate solicita un feed-backsuplimentar prin contactarea titularului de curs i / sau a tutorilor prin intermediuladresei de e-mail.


5/134

5

Elemente de deontologie academic

Prezena la ntlnirile programate nu este obligatorie. Prezentarea la examen nueste condiionat de un numr minim de prezene la curs sau la seminar. Tocmai deaceea se va da posibilitatea studenilor de a trimite sarcinile de lucru fie on-line fie

prin pot pn la o dat ce se va anuna pe platform.

Se consider plagiat orice lucrare care reproduce n proporie de minim 40%informaii din alte surse nespecificate. Constatarea plagiatului duce la anulareaevalurii lucrrii respective, precum i la alte sanciuni prevzute n regulamentelestudeneti; se poate ajunge pn la neprimirea studentului n sesiunea de examene

programat.n cazul n care se utilizeaz frauda la examen, procesul de examinare va fi sistatimediat, iar lucrarea va fi anulat.Rezultatele procesului de examinare vor fi puse la dispoziia studenilor pe platformadedicat acestora. Contestaiile trebuie s fie depuse n maxim 24 de ore de la afiarea

rezultatelor; rspunsul la contestaii se va da n maxim 48 de ore.

Studenii cu dizabilitiMetodele de transmitere a informaiilor cu privire la aceast disciplin se pot adapta nfuncie de tipul de dizabiliti ntlnite n rndul cursanilor. Accesul egal lainformaie i la activitile didactice pentru cursani se va asigura prin toate msurile(rezonabile) cu putin.

Strategii de studiu recomandateEste recomandat parcurgerea sistematic a modulelor (structurate pe cele 11 unitide curs); se pune accentul pe pregtirea individual continu, prin acumulareconstant a cunotinelor, precum i pe evalurile formative de pe parcursulsemestrului.

Numrul de ore necesare parcurgerii i nsuirii cunotinelor necesare promovriiacestei discipline este, n funcie de capacitile fiecruia, ntre 50 i 55 de ore.Documentarea i elaborarea proiectelor necesit un interval de 25-35 de ore. Acesteore vor fi alocate, pe parcursul semestrului, de fiecare student, n funcie de

preferinele individuale.


6/134

6

SUPORT DE CURS


7/134

7

Modulul I

Elemente de Teoria Probabilitilor

Unitatea 1:Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor

Unitatea 2: Scheme clasice de probabilitateScop i obiective

Scop

Acest modul urmrete s familiarizeze studenii cu anumite noiuni elementare din teoriaprobabilitilor cum ar fi: experiment, prob, eveniment, probabilitate. Totodat acest modulurmrete s formeze studenilor deprinderi n ceea ce privete rezolvarea unor probleme de

probabiliti prin recunoaterea schemelor de probabilitate corespunztoare fiecrui tip deprobleme, cu alte cuvinte deprinderea de ctre studeni a tipologiilor de probleme ce intervinn teoria probabilitilor.

Obiective specifice urmriteDeprinderea noiunilor de experiment, eveniment, probabilitatea unui eveniment.Deprinderea operaiilor cu evenimente.Calculul probabilitilor unor evenimente elementare i a unor evenimente compuse;

Deprinderea schemelor clasice de probabilitate;Dezvoltarea abilitilor de ncadrare a diferitelor probleme n schema corespunztoare.

Concepte de bazExperiment, prob, spaiul probelor, eveniment, operaii cu evenimente, probabilitate,evenimente independente, scheme clasice de probabilitate.

Unitatea 1Noiuni fundamentale de teoria probabilitilor

1.1. Experiment. Eveniment.

Probabilitate sau ans sunt dou cuvinte folosite des n descrierea unor situaiiasupra crora planeaz nesigurana. Deciziile n afaceri se bazeaz adesea pe astfel desituaii:

9 Care sunt ansele ca vnzrile s scad la o cretere a preurilor?9 Care sunt ansele ca aplicarea unei noi tehnologii s conduc la o cretere a

productivitii?

9 Care sunt ansele ca o nou investiie s fie profitabil?Adesea auzim vorbindu-se despre ansele bune sau slabe ca un anumit eveniment s

aib loc. Multe dintre situaiile economice implic un anumit grad de nesiguran, nsestimarea msurii acesteia prin tare sau slab implic o mare doz de eroare.

Probabilitile dau msura numeric a anselor n care un anumit eveniment poates aib loc.

n continuare vom trece n revist cteva noiuni strns legate de noiunea deprobabilitate.

Definiia 1.1.1.Numim experiment aleatorrealizarea unui complex bineprecizat de condiii, ce poate

avea unul sau mai multe rezultate.


8/134

8

Exemplul 1.1.1.

Experiment RezultatAruncarea unei monede Marc Stem

Aruncarea unui zar 1,2,3,4,5,6

Jocul de fotbal Victorie, nfrngere, egalitateAa cum se observ, un experiment efectuat poate avea mai multe rezultate posibile.Primul pas n analiza unui experiment l constituie definirea ct mai clar a

rezultatelor acestuia.

Definiia 1.1.2.Rezultatul unui experiment se numeteprob, iar mulimea tuturor probelor asociate

unui experiment se numete spaiul probelori se noteaz cu .Observm c n cazul celor trei experimente de mai sus spaiul probelor va fi:

1. aruncarea unei monede: ={marc, stem}.2.

aruncarea unui zar: ={1,2,3,4,5,6}.3. jocul de fotbal: ={victorie, nfrngere, egalitate}.

O noiune deosebit de important n teoria probabilitilor este cea de evenimentasociat unui experiment.

Definiia 1.1.3.Numim eveniment asociat unui experiment, o afirmaie relativ la acesta, care poate

fi confirmat sau infirmat n urma realizrii experimentului.

Definiia 1.1.4.Se numete eveniment posibilo submulime a spaiului probelor.

ObservaieEvenimentele se noteaz n general cu A, B, C.... Cum acestea sunt submulimi ale

spaiului probelor vom scrieA, B, CP(), unde prinP() se noteaz mulimea prilor(submulimilor) spaiului .Exemplul 1.1.2.

S se scrie toate numerele de dou cifre diferite formate din cifrele 1, 2i 3.

Soluie:Spaiul al probelor va fi ={11,12,13,21,22,23,31,32,33}. Pot fi formate 6

asemenea numere, adic putem nregistra 6 evenimente. Prin urmare mulimea evenimentelorposibile va fi {12,13,21,23,31,33}.

Exemplul 1.1.3.ntr-o urn se gsesc bile albe i bile negre. Experimentul const n extragerea

simultan a dou bile. Care sunt evenimentele care pot s apar ca rezultate aleexperimentului?

Soluie:Mulimea evenimentelor posibile va fi {(A,A);(A,N);(N,N)}, unde prin A s-a notat

extragerea unei bile albe, iar prinNextragerea unei bile negre.

Definiia 1.1.5.Evenimentul care:

9 apare la fiecare efectuare a experimentului se numete evenimentul sigurise noteaz cu ;


9/134

9

9 nu apare la nici o efectuare a experimentului se numete evenimentulimposibili se noteaz cu ;

9 apare ca rezultat al unui singur experiment se numete eveniment elementar;9 apare ca dou sau mai multe rezultate ale unui experiment se numete

eveniment compus.

Exemplul 1.1.4.S se determine evenimentul ca la aruncarea unui zar s apar o fa care conine un

numr par (evenimentul ZP).Soluie:

n acest caz spaiul probelor este ={1,2,3,4,5,6}, iar evenimentul solicitat A estedefinit prin submulimea A={2,4,6}.

Exemplul 1.1.5.O urn conine trei bile numerotate cu numerele 1, 2, 3. Experimentul const n

extragerea aleatoare a unei bile. S se determine toate evenimentele posibile.

Soluie:Spaiul probelor va fi: = {1,2,3}, iar evenimentele posibile vor fi toatesubmulimile spaiului probelori anume:

{1} {1,2} {1,2,3}= {2} {1,3}{3} {2,3}

1.2. Operaii cu evenimente

Fie A,B,CP() evenimente i evenimentul sigur, respectiv evenimentulimposibil.

Definiia 1.2.1.Spunem c evenimentulA este inclus n evenimentul B (A implic B), dac

realizarea evenimentului A implic realizarea evenimentului B. Vom notaAB.Proprieti

9 A A;9 A;9 DacA BiB C, atunciA C;9 A = B daci numai dacA BiB A.

Definiia 1.2.2.Prin reuniunea evenimentelor A i B se nelege evenimentul, notat cuAB, care se

realizeaz dac se realizeaz cel puin unul din evenimentele A sau B.

Proprieti9 AA=A;9 AAB, BAB;9 AB=BA;9 A=A;9 A=;9 A(BC)=(AB)C;


10/134

10

Definiia 1.2.3.Prin intersecia evenimentelor A i B se nelege evenimentul, notat cuAB, care se

realizeaz numai dac ambele evenimente se realizeaz simultan.

Proprieti9

AA=A;9 ABA, ABB;9 AB=BA;9 A=;9 A=A;9 A(BC)=(AB)C.

Observaii1. Operaiile de reuniune i de intersecie a evenimentelor sunt legate prin proprietatea

de distributivitate, ceea ce nseamn c:A(BC)=(AB)(AC);A(BC)=(AB)(AC).

2. Mai general, dac I este o mulime de indici, iarA, AiP(), iI, sunt evenimente,atunci:

U I

IiiAA =I U

IiiAA

;

I U

IiiAA =U I

IiiAA

.

Definiia 1.2.4.Spunem c dou evenimente A i B suntincompatibile, dacAB=.

Definiia 1.2.5.Prin eveniment contrar (complementar) evenimentului A se nelege evenimentul,

notat cu A, care se realizeaz atunci cnd evenimentul A nu se realizeaz.

Definiia 1.2.6.Prin diferena evenimentelor A i B se nelege evenimentul, notat cu A\B, care se

realizeaz atunci cnd A se realizeaz dar B nu se realizeaz.

Proprieti

9 A =\ A;9 A \ B=AB ;9 AA =;9 AA =;9 A =A;9 =, =;9 Au loc formulele lui DeMorgan:

IUIi

iIi

i AA

= ;

UIIi

i

Ii

i AA

= .


11/134

11

Definiia 1.2.7.Evenimentele AiP(), iI, formeaz un sistem complet de evenimente dac:

9 =U

IiiA ;

9 AiAj=, dac ij.Observaie

Efectund operaii cu evenimente vom obine evenimente compuse. Evenimenteleelementare care alctuiesc un eveniment compus se numesc evenimente favorabile.

Exemplul 1.2.1.Un student are de susinut n sesiunea de var trei examene. Introducem

evenimentele:A - studentul promoveaz primul examen;B - studentul promoveaz al doilea examen;C - studentul promoveaz al treilea examen.

1. S se determine evenimentul ca studentul s promoveze:

A1 - toate examenele;A2 - nici un examen;A3 - doar primul examen;A4 - un singur examen;A5 - doar ultimele dou examene;A6- dou examene;A7- cel puin un examen i contrariul lui A7;A8 - cel mult dou examene.

2. S se studieze compatibilitatea evenimentelor:ABi CA ,AB i BC)(A .

Soluie

1. A1=ABC; A2= CBA ; A3= CBA ;A4= C)BA()CBA()CB(A ; A5= C,BA

A6= ;)CB(AC)B(AC)BA( A7=A4A6A1

;A=A 27 A8=A2A4A6.

2. deoarece =)]BC)[(AB)(Aiar,C)A(B)(A ,

evenimenteleABi CA sunt compatibile, iar evenimentele ABi BC)(A sunt incompatibile.

Exemplul 1.2.2.Se arunc o moned de trei ori. S se determine:1. spaiul al probelor.2. probele care favorizeaz apariia evenimentelor:

A: la prima aruncare s apar marcaB: la ultimele dou aruncri s apar marcaC: marca s apar o singur dat n cele trei aruncri

3. probele care favorizeaz apariia evenimentelorAC, AB, AC, AB,BC, A, B, C, A\C, A\B, C\A.

4.Soluie

1. Notm cu Mapariia mrcii i cu Sapariia stemei. Spaiul al probelor este format dintoate cazurile ce pot s apar la aruncarea monedei, deci:={MMM, MMS, MSM, MSS, SMM, SMS, SSM, SSS}


12/134

12

2. A={MMM, MMS, MSM, MSS}B={MMM, SMM}C={MSS, SMS, SSM}

3.9 ACeste evenimentul prin care marca apare la prima aruncare sau apare o

singur dat, deciAC={MMM, MMS, MSM, MSS, SMS, SSM}.9 AB este evenimentul prin care marca apare la prima aruncare sau laultimele dou, deciAB={MMM, MMS, MSM, MSS, SMM}.

9 AC este evenimentul prin care marca apare la prima aruncare o singurdat, deciAC={MSS}.

9 AB este evenimentul prin care marca apare la prima aruncare i la ultimeledou, deciAB={MMM}.

9 BCeste evenimentul prin care marca apare la ultimele dou aruncri i osingur dat, ceea ce este evident imposibil, deciBC=.

9 A - marca s nu apar la prima aruncare,A ={SMM, SMS, SSM, SSS}.9 B - la ultimele dou aruncri apare stema cel puin odat, B ={MMS, MSM,

MSS, SMS, SSM, SSS}.9 C- marca apare cel puin de dou ori sau niciodat, C={MMM, MMS,

MSM, SMM, SSS}.9 A\C- marca apare la prima aruncare i de cel puin dou ori, A\C={MMM,

MMS, MSM}.9 A\B - marca apare la prima aruncare, i apare de cel mult dou ori,

A\B={MMS, MSM, MSS}.9 C\A - marca s apar o singur dat, dar nu la prima aruncare, C\A={SMS,

SSM}.

1.3. Cmp de evenimenteDefiniia 1.3.1.

O mulimeK P(),K, se numete corp sau algebr boolean, dac:9 AKAK;9 A, BKABK.

Perechea (,K) se numete cmp finit de evenimente.Proprieti

9 , K;9 A, BKABK;9 AiK, i= n,1 U

n

1iiA

=, I

n

1iiA

=K;

9 A, BKA \ BK.Observaie

Dac n definiia 1.3.1. a doua condiie se nlocuiete cu

9 AiK, iI UIi

iA

K, atunci K se numete -corp sau algebrborelian, iar perechea ( ,K) se numete cmp infinit de evenimente.


13/134

13

1.4. Definiii ale noiunii de probabilitate

1.4.1. Definiia clasic a noiunii de probabilitaten cazul experimentelor care genereaz un numr finit de evenimente (posibile) i

dac se poate presupune c evenimentele au anse egale de realizare, noiunea deprobabilitate poate fi definit astfel:

Definiia 1.4.1.Probabilitatea evenimentului A este egal cu raportul dintre numrul

evenimentelor elementare favorabile lui A i numrul total de evenimente elementare. Altfelspus, probabilitatea evenimentului A este raportul dintre "numrul cazurilor favorabile luiA" i "numrul cazurilor posibile". Astfel:

.posibilecazurinumar

favorabilecazurinumar=P(A)

Exemplul 1.4.1.O urn conine 4 bile albe i 6 bile negre. Experimentul const n extragerea unei

bile. Care este probabilitatea extragerii unei bile albe?

SoluieNotnd cu A evenimentul ca bila extras s fie alb, observm c vom avea 4 cazuri

favorabile realizrii acestui eveniment i 10 cazuri posibile. Prin urmare probabilitatea

evenimentului considerat va fiP(A)=5

2

10

4= .

Exemplul 1.4.2.O urn conine 10 bile numerotate de la 1 la 10. Experimentul const n extragerea

aleatoare a unei bile. Care este probabilitatea ca:1. numrul scris pe bila extras s fie un numr impar ?2. numrul scris pe bila extras s fie un numr par ?3. numrul scris pe bila extras s fie divizibil cu 5 ?4. numrul scris pe bila extras s fie numr prim ?

SoluieSpaiul evenimentelor ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} i prin urmare numrul cazurilor

posibile este egal cu 10. Numrul cazurilor favorabile va fi:

1. {1, 3, 5, 7, 9}5;2. {2, 4, 6, 8, 10}5;3. {5, 10}2;4. {2, 3, 5, 7}4;

Probabilitile cutate vor fi:1. 5/10=1/2;2. 5/10=1/2;3. 2/10=1/5;4. 4/10=2/5.


14/134

14

1.4.2.Definiia axiomatic a noiunii de probabilitateDefiniia axiomatic a noiunii de probabilitate a fost introdus deA. N. Kolmogorov

n anul 1933.

Definiia 1.4.2.Fiind dat cmpul de evenimente (,K), numim probabilitate o aplicaieP: KR, care verific urmtoarele axiome:

9 P(A) 0, AK;9 P()=1;9 P(AB)=P(A)+P(B), A, BK, AB=.

Tripletul (,K,P) se numete cmp finit de probabilitate.

ObservaieDac n definiia 1.4.2. a treia condiie se nlocuiete cu condiia:

9 P

U

IiiA =

Ii

i)A(P , AiK, iI, AiAj=, ij,

atunci (,K,P) se numete cmp infinit de probabilitate.Proprieti

9 0 P(A )1, AK;9 P()=0;9 P(A)=1-P(A), AK;9 P(B\A)=P(B) P(AB), A, BK;9 A, BK, A BP(A) P(B);9 P(AB)=P(A)+P(B) P(AB), A, BK;9 P(AB) P(A)+P(B), A, BK;9 P

=Un

1iiA

=

n

1ii )A(P , AiK, i= n,1 ;

9 Formula lui PoincarP

=Un

1iiA =

=

n

1ii)A(P -

=

n

ji1i

ji )AA(P +

=

n

kji1i

kji )AAA(P -+(-1)nP

=In

1iiA ;

9 Inegalitatea lui BooleP

=In

1iiA 1 - ( )

=

n

1iiAP =

=

n

1ii)A(P - (n-1).

1.5. Probabiliti condiionate

Definiia 1.5.1.Fie cmpul de probabilitate (,K,P) i evenimentele A, BK, P(B) > 0. Prin

probabilitatea evenimentului A condiionat de evenimentul B nelegem raportul:

(B)P

B)(AP=)A(P=B)|(AP B

.

Proprieti9 Tripletul (,K,PB) este un cmp de probabilitate.9 DacP(A)P(B) 0, atunci:P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB).


15/134

15

9 Dac P 0An1i

i >

=I , atunci are loc formula de nmulire a

probabilitilor:

P

=I

n

1i i

A = P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P

=I

1n

1i in

AA .

Exemplul 1.5.1.O urn conine 10 bile albei 6 bile negre. Din aceast urn se extrag 2 bile fr a

reintroduce bila extras n urn. Se cere probabilitatea ca :cele dou bile s fie albe.cele dou bile s fie negre.

prima bil s fie albi a doua neagr.prima bil s fie neagri a doua alb.bilele s aib aceeai culoare.bilele s fie de culori diferite.

SoluieFieA evenimentul ca prim bil s fie alb,B evenimentul ca cea de-a doua bil s fie

alb. Cu aceste notaii, evenimentele a cror probabiliti se cer, se exprim astfel: AB,AB, AB, AB, (AB)(AB), (AB)(AB).

P(A)=8

5P(A)=

8

3

P(AB)=P(BA)P(A)=15

9

8

5=

8

3

P(AB)=P(B A)P(A)=

15

5

8

3=

8

1

P(AB)=P(B A)P(A)=15

6

8

5=

4

1

P(AB)=P(BA)P(A)=15

10

8

3=

4

1

Deoarece evenimenteleAB i AB sunt incompatibile, avem:

P[(AB)(AB)]= P(AB)+P(AB)=8

3+

8

1=

2

1

Deoarece evenimenteleAB i AB sunt independente, avem:P[(AB)(AB)]= P(AB)+P(AB)=

4

1+

4

1=

2

1

Formula probabilitii totaleDac evenimentele AiK, i= n,1 , formeaz un sistem complet de evenimente, atunci

pentru orice eveniment AKavem:

P(A)==

n

1ii)A(P P(AAi).


16/134

16

Exemplul 1.5.1Pentru nsmnrile de primvar a fost pregtit o cantitate ce conine semine de

patru caliti: C1, C2, C3i C4. Probabilitatea ca un bob selectat aleator s fie de o calitatedat este: 0,96pentru C1; 0,01pentru C2; 0,02 pentru C3i 0,01 pentru C4. Probabilitileobinerii unui spic de calitate superioar (spic bogat), n funcie de calitatea seminei, sunt 0,5n cazul C1; 0,15 n cazul C2; 0,20 n cazul C3i 0,15 n cazul C4. Care este probabilitatea caun spic recoltat la ntmplare s fie de calitate superioar ?

SoluieFie evenimenteleA1, A2, A3iA4 care definesc apartenena unui bob la o

calitate dintre cele patru. Probabilitile acestora vor fi:P(A1)=0,96; P(A2)=0,01; P(A3)=0,02; P(A4)=0,01.

Se vede uor cA1, A2, A3i A4 formeaz un sistem complet de evenimente.Dac introducem evenimentulA, ca fiind recoltarea unui spic de calitate superioar,

atunci:o P(AA1)=0,5 este probabilitatea ca spicul obinut s conin boabe

obinute din semine C1;

o P(AA2)=0,15 este probabilitatea ca spicul obinut s conin boabeobinute din semine C2;o P(AA3)=0,2 este probabilitatea ca spicul obinut s conin boabe

obinute din semine C3;o P(AA4)=0,15 este probabilitatea ca spicul obinut s conin boabe

obinute din semine C4.

Evenimentul A poate fi exprimat sub forma )A(A=A i4

1=i

, iar evenimentele AAi,

i= 4,1 , sunt incompatibile.Prin urmare,

0,486=)(A)PA|(AP=(A)P ii4

1=i .Formula lui Bayes

Dac evenimentele AiK, i= n,1 , formeaz un sistem complet de evenimente, atuncipentru orice eveniment AK, cu P(A) >0, avem:

P(AiA)=

=

n

1iii

ii

)AA(P)A(P

)AA(P)A(P.

Exemplul 1.5.2.

O societate din domeniul comerului se aprovizioneaz, cu aceeai marf, de la treiproductori P1, P2i P3. Cantitile expediate de la productori sunt proporionale cu 3, 2,respectiv 5. Ponderea produselor, necorespunztoare din punct de vedere calitativ, este 1% la

P1, 2,5% laP2i 2% laP3. Cumprtorii au returnat, din motive de calitate necorespunztoare,produse n valoare de 6.300.000 lei, sum care a fost achitat de comerciant. Presupunnd cnu se cunoate proveniena fiecrui produs refuzat, se cere s se afle care sunt sumele pe carecei trei productori le datoreaz comerciantului?

SoluieVom introduce evenimentele:

A produsul nu este corespunztor din punct de vedere calitativ; Akprodusul provine de la productorulPk.

Cu aceste notaii vom avea: P(AAk) produsul necorespunztor provine de laPk;


17/134

17

P(AkA) marfa produs dePkeste necorespunztoare.Se cunosc probabilitile:

10

5=)A(P;

10

2=)A(P;

10

3=)A(P 321 ;

P(AA1)= 0,01; P(AA2)=0,025; P(AA3)=0,02.

Prin urmare, folosind formula lui Bayes

6

1=

0,020,5+0,0250,2+0,010,3

0,010,3=A)|(AP=p 11

.

Asemntor9

5=A)|(AP=p;

18

5=A)|(AP=p 3322 .

Sumele S1, S2, S3, care trebuie achitate de cei trei productori pentru produsele refuzate, suntproporionale cu probabilitilep1, p2, p3, aadar ele verific relaia:

9

5S=

18

5S=

6

1S 321 ,

de unde prin nmulirea relaiei de mai sus cu 18 vom obine:

10

S=

5

S=

3

S 321 =18

SSS 321 ++ =18

6300000=350000.

Prin urmare, sumele datorate vor fi:S1=1050000 lei, S2=1750000 lei, S3=3500000 lei

1.6. Evenimente independente

n principiu, dou evenimente sunt independente dac nu se influeneaz n modreciproc.

Fie (,K,P) un cmp de probabilitate.Definiia 1.6.1.

Spunem c evenimentele A, BKsuntindependente probabilistic dac:P(AB)=P(A)P(B).

Proprieti9 Dac P(A)=0 sau P(A)=1, atunci BK evenimentele A i B sunt

independente.9 DacA,BKsunt independente atunci:

P(AB)=P(A); P(BA)=P(B).

9 DacA,BK sunt independente, atunci perechile de evenimente (A,B),(A,B), (A,B) sunt perechi de evenimente independente.

Definiia 1.6.2.

Spunem c evenimenteleAiK, i= n,1 , sunt independente n totalitate dac suntindependente cte dou, cte trei,, cte n, adic:

) ( ) ) j


18/134

18

Exemplul 1.6.1.Se arunc trei zaruri, fiecare avnd o fa alb, una neagr i cte dou roii i

galbene. S se determine probabilitatea ca cel puin unul s arate culoarea roie.

Soluie:Fie A evenimentul ca cel puin un zar s arate culoarea roie i Ai evenimentul ca

zarul i s arate culoarea roie, 3,1i = .P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A1A2A3)

-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)

P(Ai)=3

1, 3,1i =

EvenimenteleAi, 3,1i = , sunt independente astfel c avem:

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=27

1,

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)=9

1, 3,1i = , 3,1j = , ij.

Astfel obinem cP(A)=27

19.

Verificarea cunotinelor1. Exemplificai printr-un exemplu urmtoarele noiuni:

o evenimentul imposibil;o evenimentul sigur;o evenimentul contrar;o reuniunea a dou evenimente;o intersecia a dou evenimente;o evenimente incompatibile;o evenimente condiionate;o evenimente independente.

2. Definii clasic, folosind un exemplu, noiunea de probabilitate.3. Se arunc un zari se noteaz cuA evenimentul apariiei unui numr par,B evenimentul

apariiei unui ptrat perfect i cu C evenimentul apariiei unui numr divizibil cu trei.

Scriei i spunei ce nseamn evenimentele: , B , C, AB, AC, BC, ABC,AB, AC, ABC, A\B, A\C, B\C, B\A, C\A, C\B, A(BC), A\(BC).

4. ntr-un birou sunt patru linii telefonice. Se noteaz cu A, B, C, D, respectiv evenimentulca prima, a doua, a treia sau a patra linie telefonic s fie defect. S se exprime cu

ajutorul evenimentelorA, B, CiD evenimentele:1.E- cel puin o component s fie defect.2.F- exact o component s fie defect.3. G- nici o component s nu fie defect.4.H- toate componentele s fie defecte.

5. *Doi trgtori trag cte un foc de arm asupra unei inte. Primul nimerete inta cuprobabilitatea

9

7, iar al doilea cu probabilitatea

11

9. Care este probabilitatea ca inta s

fie atins?6. Cu ocazia srbtorilor de iarn la un magazin cu dulciuri sunt pregtite pachete

pentru copii. tiind c magazinul posed ciocolat n 6 sortimente, cutii cu

bomboane n 10 sortimente, cutii cu biscuii n 9 sortimente i c n fiecare pachetse pun la ntmplare 5 sortimente de dulciuri, s se determine probabilitatea ca un


19/134

19

pachet s conin:1. dou ciocolate, dou cutii de bomboane i o cutie de biscuii.2. trei ciocolate i dou cutii de bomboane.

7. *ntr-o urn sunt 5 bile albe i 7bile negre. Se extrag dou bile una dup alta. Care esteprobabilitatea de a se obine dou bile albe?

8.

O urn conine bile albe i bile negre. Din urn este extras o bil de culoarenecunoscut. Care este probabilitatea ca la o nou extragere s obinem o bil alb?9. *O urn conine 5 bile albe i 4 negre. Se fac trei extrageri succesive fr introducerea

bilei extrase n urn. Se cere probabilitatea ca:1. cele trei bile s fie de aceeai culoare.2. dou bile s fie albe i o bil s fie neagr.

10.*Dintr-o urn cu 5 bile albe i 10 bile negre se extrag succesiv dou bile. Care esteprobabilitatea de a obine:

1. dou bile albe?2. prima albi a doua neagr?3. bile de culori diferite?4. cel puin o bil alb?

5. cel mult o bil alb?6. nici o bil alb?

11.ntr-o urn sunt 5 bile albe, 10 bile negre i 15bile roii. Se scot succesiv trei bile. Careeste probabilitatea de a fi extrase:

1. trei bile albe?2. trei bile de aceeai culoare?3. trei bile de culori diferite?4. primele dou bile albe?5. prima alb, a doua neagr, a treia roie?6. cel puin dou bile albe?

12.ntr-o anumit grup de studeni 85% vorbesc franceza, 95% engleza, iar65% germana.Alegnd la ntmplare un student din aceast grup, s se determine probabilitateaminim ca el s vorbeasc toate cele trei limbi?

13.Un magazin de textile este aprovizionat de trei fabrici cu urmtoarele cantiti: 100 demateriale de la prima fabrici cte 150 de materiale de la celelalte dou fabrici. Cele treifabrici produc rebuturi n procentele: 6%, 10%, 8%. Un client alege la ntmplare unmaterial. S se determine:

1. probabilitatea ca materialul ales s fie rebut.2. probabilitatea de a alege un material bun.3. presupunnd materialul ales un rebut, se cere probabilitatea ca el s provin

de la cea de a doua fabric.14.*Se controleaz periodic activitatea financiar contabil a trei ntreprinderi despre care se

tie c mai au i lucrri greite n medie de 5%, 12%, 8%. Pentru control sunt cerute 3

lucrri de la prima ntreprindere, 5 lucrri de la a doua i 7 lucrri de la a treia. Dinpachetul de lucrri cerute se alege una la ntmplare pentru a fi controlat. Se cere:1. probabilitatea ca lucrarea s fie bun.2. presupunnd c lucrarea este bun, se cere probabilitatea ca ea s provin

de la prima ntreprindere.


20/134

20

Unitatea 2

Scheme clasice de probabilitate

De cele mai multe ori, rezolvarea unei probleme de probabiliti poate ridica anumiteprobleme n ceea ce privete recunoaterea evenimentelor ce apar, exprimarea acestora n

funcie de evenimentele elementare i nu n ultimul rnd n ceea ce privete calculele ceintervin.

Tocmai de aceea au fost dezvoltate anumite scheme, numite scheme clasice deprobabilitate, care furnizeaz formule sau scheme de calcul, fr a mai recurge de fiecare datla procedeele greoaie sugerate de formula dat de definiia clasic a noiuni de probabilitate.

Problema care apare aici este cea a ncadrrii problemei date n schemacorespunztoare.

2.1. Schema lui Bernoulli cu bila revenit (binomial)

Se aplic n cazul n care se fac repetri independente ale unui experiment i la fiecare

repetare se are n vedere apariia unui eveniment bineprecizat. Evenimentul considerat sepresupune c are aceeai probabilitate (p) de apariie la fiecare repetare a experimentului. Secere calcularea probabilitii ca din n repetri ale experimentului, evenimentul precizat sapar de kori.

Model probabilistic:O urn conine un numr precizat de bile de dou culori (albe i negre) ntr-o

proporie cunoscut. Se extrag bile din urn, cu reintroducerea bilei extrase n urn dup ces-a constatat culoarea acesteia. Se cere determinarea probabilitii ca din n bile extrase k sfie albe.

FieAi, i= n,1 , evenimentul ca la extragerea i,bila s fie alb.P(Ai)=p, q=1-p.

Probabilitatea evenimentului considerat se va nota cu P(n,k) i se va calcula cu ajutorulformulei:

knkkn qpC)k,n(P

= .

Exemplul 2.1.1.O familie are ase copii. Se cere probabilitatea ca:

1. doi din cei ase copii s fie fete.2. cel puin doi copii s fie biei.

SoluieProblema se nscrie n schema lui Bernoulli cu bila revenit, binomial,

knkkn qpC)k,n(P = .

1. n cazul nostru n=6, k=2, p=2

1, q=

2

1

4226 2

1

2

1C)2,6(P

= =

64

15

2. FieA evenimentul ca familia s aib cel puin doi biei. n aceste condiii A esteevenimentul ca familia s aib cel mult un biat. Fie A1 evenimentul ca familia s nu aib

biei, iarA2 evenimentul ca familia s aib un singur biat. Avem A =A1A2.P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2). Cum cele dou evenimente A1 i A2 sunt

incompatibile avemA1A2=. AadarP(A)=P(A1)+P(A2).


21/134

21

P(A1)=60

06 2

1

2

1C)0,6(P

= =

64

1;

P(A2)=51

16 2

1

2

1C)1,6(P

= =

64

6.

Astfel obinem cP(A)=641

+646

=647

, de undeP(A)=1 - P(A)=6457

.

2.2. Schema lui Bernoulli cu bila revenit cu mai multe stri (polinomial)

Se aplic atunci cnd la fiecare repetare a unui experiment se urmrete apariia a revenimente. Se dorete calculul probabilitii ca n n repetri independente, cele revenimente

precizate s apar de un numr de ori dat.

Model probabilistic:O urn conine bile de r culori. Se extrag pe rnd bile cu revenirea bilei n urn dup

ce s-a constatat culoarea. Se cere s se calculeze probabilitatea P(n;k1,,kr), ca din n bileextrase, ki s fie de culoarea i, i= n,1 .

r1 kr

k1

r1r1 p...p!k!...k

!n)k,...,k;n(P = ,

unde pi este probabilitatea ca o bil extras s aib culoarea i, i= r,1 .

ObservaieDac se dezvolt polinomul (p1x1++prxr)

n, atunci probabilitatea cutat este

coeficientul lui r1 krk1 x...x .

Exemplul 2.2.1ntr-o urn sunt 5 bile albe, 7 bile negrei 13 bile roii. Se extrag succesiv 10 bile, cu

revenirea bilei extrase n urn, dup stabilirea culorii. S se determine probabilitatea ca din 10bile extrase, dou s fie albe, trei roii i cinci negre.Soluien acest caz avem:

n=10, k1=2, k2=5, k3=3;

p1=25

5, p2=

25

7, p3=

25

13.

Obinem astfel:

P(10;2,5,3)=352

25

13

25

7

25

5

!3!5!2

!10

.

2.3. Schema lui Bernoulli cu bila nerevenit (hipergeometric)

Se aplic atunci cnd se fac repetri ale aceluiai experiment i la fiecare repetare seurmrete apariia unui eveniment bineprecizat, eveniment care apare cu probabiliti diferitela repetri de ranguri diferite.

Model probabilistic:O urn conine N=a+b bile de dou culori, a-albe, b-negre. Se extrag bile din urnfr reintroducerea bilei extrase n urn. Se cere probabilitatea ca din n bile extrase k s fie


22/134

22

de culoare alb.

nba

knb

ka

C

CC)k,n(P

+

= , 0knN=a+b, ka, n-kb.

Exemplul 2.3.1ntr-o urn sunt 20 bile albe i 30 bile negre. Se extrag succesiv 6 bile fr

reintroducerea bilei extrase n urn. Care este probabilitatea de a extrage 3 bile albe?

SoluieProblema se nscrie n schema hipergeometric cu a=20, b=30, n=6, k=3;

650

330

320

C

CC)3,6(P = =0,07.

Observaie

Dac n urn se afl bile de rculori, anume aide culoarea i, r,1i = i se extrag n bilefr revenire, atunci obinem schema lui Bernoulli cu bila nerevenit cu mai multe stri, ncare vom avea:

r1

r1

r

r

1

1

k...ka...a

ka

ka

r1C

C...C)k,...,k;n(P

++++

= .

Exemplul 2.3.2O comisie analizeaz10 dosare de creditare de la banca B1, 20 de la banca B2, 30 de

la banca B3. Se iau la ntmplare 12 dosare. S se determine probabilitatea ca din cele 12dosare, 3 s provin de laB1, 4 de laB2i 5 de laB3.

SoluieNe aflm n condiiileschemei hipergeometrice cu mai multe stri:

a1=10, a2=20, a3=30;

k1=3, k2=4, k3=5, n=12;

P(12;3,4,5)=1260

530

420

310

C

CCC=0,0592.

2.4. Schema lui Poisson

Se aplic n cazul n care se fac repetri independente ale unui experiment i lafiecare repetare se urmrete apariia unui anumit eveniment, care, apare n general cu

probabiliti diferite la repetri de ranguri diferite. Se cere s se calculeze probabilitatea ca nn repetri independente ale experimentului, evenimentul considerat s apar de kori.

Model probabilistic:Se consider un sistem de n urne care conin bile de dou culori, albe i negre, n

proporii diferite. Se extrage cte o bil din fiecare urn i se cere determinareaprobabilitii P(n,k) ca din n bile extrase, k s fie albe .

Fie pi probabilitatea ca bila extras din urna i s fie alb. Probabilitatea P(n,k) se

obine ca fiind coeficientul luixkdin dezvoltarea: =

+n

1iii )qxp( .

Exemplul 2.4.1.Patru fabrici produc acelai tip de rachet de tenis. Produsele celor patru fabrici sunt

rebuturi n procent de 2%, 1%, 5% i 4%. Se ia cte o rachet de tenis produs de fiecarefabric. S se determine probabilitatea ca:

1. din cele patru rachete, dou s fie rebut?2. cel puin una s fie rebut?


23/134

23

Soluie:Problema se nscrie n schema lui Poisson cu n=4, p1=0,02, p2=0,01, p3=0,05,

p4=0,04, q1=0,98, q2=0,99, q3=0,95, q4=0,96.

1. Avem de calculatP(4,2) care este coeficientul luix2din dezvoltarea:(p1x+q1)(p2x+q2)(p3x+q3)(p4x+q4).

P(4,2)=p1p2q3q4+p1p3q2q4+p1p4q2q3+p2p3q1q4+p2p4q1q3+p3p4q1q2=0,0004.

2. FieA evenimentul ca cel puin o rachet de tenis s fie rebut, astfel cA este evenimentulca nici o rachet s nu fie rebut.

P(A)=P(4,0)=q1q2q3q4=0,8848P(A)=1-P(A)=0,1152.

Exemplul 2.4.2Un investitor la burs, cumpr aciuni la trei companii. Probabilitile ca cele trei

investiii s fie profitabile sunt urmtoarele: p1=0,8, p2=0,75, p3=0,82. S se determineprobabilitatea ca:

1. toate cele trei investiii s fie profitabile.2. dou investiii s fie profitabile.3. o investiie s fie profitabil.4. cel mult dou investiii s fie profitabile.5. cel puin una s fie profitabil.

SoluieSuntem n condiiile schemei lui Poisson cu:

p1=0,8, p2=0,75, p3=0,82;q1=0,2, q2=0,25, q3=0,18.

Considerm dezvoltarea:(p1x+q1) (p2x+q2) (p3x+q3).

1. Probabilitatea ca toate cele trei investiii s fie profitabileP(3,3) va fi coeficientul luix3 din dezvoltare.

P(3,3)=p1p2p3=0,4922. Probabilitatea ca dou investiii din cele trei s fie profitabile, va fi coeficientul luix2

din dezvoltare.P(3,2)=p1p2q3+p1q2p3+q1p2p3=0,395

3. Probabilitatea ca o singur investiie s fie profitabil este coeficientul lui x dindezvoltare.

P(3,1)= p1q2q3+p2q1q3+p3q1q2=0,104

4. Fie A evenimentul ca cel mult dou investiii s fie profitabile. Atunci A esteevenimentul ca toate cele trei investiii s fie profitabile.

P(A)=1 P(A)=1 P(3,3)=0,5085. Fie B evenimentul ca cel puin o investiie s fie profitabil. Atunci evenimentul

B este evenimentul ca nici una din cele trei investiii s nu fie profitabil.

P(B)=P(3,0)=q1q2q3=0,009

P(B)=1 P(B)=0,991.


24/134

24

2.5. Schema lui Pascal (binomial cu exponent negativ)

Se consider un experiment care se repet n aceleai condiii. La fiecare repetare seurmrete apariia aceluiai eveniment, care apare cu aceeai probabilitate. Se doretedeterminarea probabilitii ca pn la cea de a n-a apariie a evenimentului considerat s se fi

obinut contrarul evenimentului de kori. Model probabilistic:

O urn conine bile de dou culori, albe i negre. Se extrage pe rnd cte o bil cuntoarcerea bilei n urn dup ce s-a constatat culoarea. La fiecare extragere probabilitateade apariie a unei bile albe este p, iar probabilitatea de apariie a unei bile negre este q=1-p.S se determine probabilitatea ca pn la apariia celei de-a n-a bile albe, s se fi extras kbile negre.

knk1kn qpC)k,n(P += .

ObservaieDacn=1, adic dac se cere probabilitatea ca pn la extragerea primei bile albe s

se fi extras kbile negre, obinem schema geometrici avem:P(1,k)=pqk.

Exemplul 2.5.1n finala Campionatului Mondial de Snooker se ntlnesc Stephen Hendry i Ronnie

OSullivan. Hendry ctig o partid cu probabilitateap=4

1. S se determine probabilitatea

ca:1. a patra partid ctigat Hendry s fie obinut dup cinci partide

pierdute;2. prima victorie a lui Hendry s survin dup cinci partide pierdute.

Soluie1. schema binomial cu exponent negativ knk 1kn qpC)k,n(P += , cu n=4, k=5.

545

154 4

3

4

1C)5,4(P

= + =0,0519.

2. schema geometricpk=pqkunde k=5p5=pq5=

51

4

3

4

1

=0,0593.

Verificarea cunotinelor1. Dai exemplu de problem care se nscrie n schema binomial.2. Dai exemplu de problem care se nscrie n schema polinomial.3. Dai exemplu de problem ce se nscrie n schema hipergeometric.4. Dai exemplu de problem ce se nscrie n schema lui Poisson.5. Dai exemplu de problem ce se nscrie n schema lui Pascal.6. Piesele produse de o main prezint rebut n procent de 5%. Pentru controlul calitii

produselor se iau la ntmplare 12 piese. Care este probabilitatea ca:1. nici o pies s nu fie defect.2. cel mult dou piese s fie defecte.

7. Trei telefoane funcioneaz independent unul de altul i pot fi gsite libere la un momentdat cu probabilitile: p1=

2

1, p2=

3

2, p3=

5

3. Se formeaz simultan cte un numr la

fiecare telefon i se cere probabilitatea de a avea:1. toate telefoanele libere.


25/134

25

2. toate telefoanele ocupate.3. un telefon liberi dou nu.4. cel puin un telefon liber.5. cel mult dou telefoane libere.

8. La un magazin se gsesc articole de mbrcminte dintre care 90% satisfac standardele,7% prezint

defecte retu

abile

i 3% prezint

defecte neretu

abile. S

se determine

probabilitatea ca din 6 articole luate la ntmplare 3 s fie bune, 2 retuabile i 1neretuabil.

9. *Pe o anumit arter de circulaie sunt montate patru semafoare care funcioneazindependent unul de altul i care indic la un moment dat verde cu probabilitile

p1=0,2, p2=0,5, p3=0,6, p4=0,4. Cu ce probabilitate va prinde verde un automobil:1. de patru ori?2. de trei ori?3. cel puin de trei ori?4. niciodat?

10.ntr-o cutie sunt 12 monede de cte un leu, 8 monede de cte 3 lei i ase monede de 5 lei.O persoan ia la ntmplare patru monede. Care este probabilitatea ca suma obinut s fie

cel mult 13.11.*ntr-o urn sunt 6bile albe i 9bile negre. Se scot consecutiv 5 bile punnd napoi bila

extras de fiecare dat. Cu ce probabilitate se vor extrage:1. 3 bile albe i 2 bile negre.2. numai bile albe.3. cel mult 3 bile albe.4. un numr de bile albe mai mare dect cel de bile negre.

12.ntr-o urn sunt 5 bile albe, 10bile roii, 8 bile galbene i 4bile negre. Se extrag 10 bileconsecutiv, punnd napoi bila extras de fiecare dat. Cu ce probabilitate se pot extrage:

1. 1 bil alb, 2 bile roii, 3 bile negre i 4 bile galbene?2. numai bile de aceeai culoare?

13.*ntr-o grup sunt 19 fete i 6biei. La un anumit concurs pot concura deodat doar6.Care este probabilitatea ca s concureze:

1. 3 fete i 3 biei?2. cel mult doi biei?

14.ntr-o cutie sunt 15 mingi de tenis dintre care 9 sunt noi. Pentru primul joc se iau lantmplare 3 mingi, dup care se pun n cutie. Pentru al doilea joc se iau tot trei mingi lantmplare. Care este probabilitatea ca:

1. pentru jocul doi s fie luate trei mingi noi?2. pentru jocul unu s se fi luat trei mingi noi, tiind c pentru al doilea joc s-

au folosit trei mingi noi?


26/134

26

Sumarul Modulului I (concepte cheie)

Experiment: realizarea unui complex bineprecizat de condiii. Prob: rezultatul unui experiment. Spaiul probelor: mulimea tuturor rezultatelor unui experiment. Eveniment: o afirmaie relativ la un experiment care poate fi confirmat sau infirmatn urma realizrii experimentului. Reuniunea evenimentelor: eveniment ce se realizeaz dac cel puin unul din

evenimentele considerate se realizeaz. Intersecia evenimentelor: eveniment ce se realizeaz dac toate evenimentele

considerate se realizeaz simultan. Eveniment contrar: eveniment ce se realizeaz dac nu se realizeaz evenimentul

considerat. Probabilitate: msura numeric a anselor de realizare ale unui eveniment. Evenimente independente: evenimente ce nu se influeneaz reciproc. Scheme clasice de probabilitate: scheme ce furnizeaz formule de calcul ale

probabilitilor unor evenimente ce se nscriu n anumite modele probabilistice.

Bibliografia modulului

Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elemente de Programare Liniar iTeoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-Napoca, 2004, pg. 115-139.

Soluiile problemelor nemarcate

Unitatea 1

n majoritatea problemelor de aici s-au folosit notaiile: AB=A+B, AB=AB3. ={1,2,3,4,5,6}

A={2,4,6}; B={1,4}; C={3,6}; A ={1,3,5}; B ={2,3,5,6}; C={1,2,4,5};AB={4}; AC={6}; BC=; ABC=; AB={1,2,4,6}; AC={2,3,4,6};

ABC={1,2,3,4,6}; A\B=AB ={2,6}; A\C=AC={6}; B\C=BC={1,4};C\A=CA ={3}; C\B=CB ={3,6}; A{BC)={4,6};

A\{BC)=A{ CB )={2}.4. 1. E=ABCD.

2. F={ABCD)(ABCD)(ABCD)(ABCD).3. G=A B CD .

4. H=ABCB.


27/134

27

6. 1. Numrul total de sortimente este 25 deci numrul total de evenimente posibile

este 525C . FieA evenimentul ca intr-un pachet s punem dou ciocolate, doua cutii

cu bomboane i un pachet de biscuii. Numrul evenimentelor favorabile este 26C

pentru a pune dou ciocolate, 210C pentru a pune dou cutii de bomboane i

19Cpentru a pune un pachet de biscuii. Deci numrul total de cazuri favorabile

este 26C 210C

19C iar probabilitatea evenimentului A va fi:

P(A)=525

19

210

26

C

CCC=0,0127.

2. Fie B evenimentul ca un pachet s conin trei ciocolate i dou cutii cu

bomboane. Numrul cazurilor favorabile este: 36C 210C , iar probabilitatea

evenimentuluiB va fi:P(B)=525

210

36

C

CC=0,016.

8. Considerm urmtoarele evenimente:

A - evenimentul ca prima bil s fie alb,P(A)=+

.

B - evenimentul ca a doua bil s fie albC - evenimentul ca a doua bil s fie alb n condiiile n care nu se cunoate culoarea

primei bile, C= ABAB.P(C)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB)-P(AAB)= P(AB)+P(AB)=

=P(BA)P(A)+P(BA)P(A)=1

1

+

+

+1+

+

=+

.

11. Considerm urmtoarele evenimente:

Ai- evenimentul ca prima bil extras s fie de culoarea i, 3,1i = ;Bi- evenimentul ca a doua bil s fie de culoarea i, 3,1i = ;Ci- evenimentul ca a treia bil s fie de culoarea i, 3,1i = ;A- evenimentul ca cele trei bile s fie albe;B- evenimentul ca bilele s aib aceeai culoare;C- evenimentul ca bilele s fie de culori diferite;D- evenimentul ca primele dou bile s fie albe;E- evenimentul ca prima bil s fie alb, a doua neagr iar a treia roie;F- evenimentul ca cel puin dou bile s fie albe.

D= A1B1C1P(D)=P(C1A1B1)P(B1A1)P(A1)=406

1;

E= A1B1C1+ A2B2C2+ A2B2C2P(E)=812

117;

F= A1B2C3+ A1B3C2+ A2B1C3+ A2B3C1+ A3B1C2+ A3B1C3P(F)=406

75;

G= A1B1C1+ A1B1C2+ A1B1C3P(G)=87

2;

H= A1B2C3P(H)= P(C3A1B2)P(B2A1)P(A1)=812

25;

I= A1B1C1+ A1B1C2+ A1B1C3+ A1B2C1+ A1B3C1+ A2B1C1+ A3B1C1.


28/134

28

12. n rezolvarea acestei probleme vom folosi inegalitatea lui Boole. FieAievenimentul ca

studentul ales s vorbeasc limba i, 3,1i = . Avem:P(A1)=0,85, P(A2)=0,95, P(A3)=0,65;P(A1A2A3)P(A1)+P(A2)+P(A3)-2=0,45.

n concluzie probabilitatea minim ca studentul ales s vorbeasc toate cele trei limbi

este 0,45.13. Fie Ai evenimentul ca materialul ales s provin de la fabrica i, 3,1i = , iar A

evenimentul ca produsul s fie un rebut.P(A)=P(AA1)P(A1)+ P(AA2)P(A2)+ P(AA3)P(A3)=0,132,P(A)=0,868.

Folosind formula lui Bayes vom afla c probabilitatea evenimentului de la punctul 3 alproblemei este P(A2A)=0,4545.

Unitatea 2

6. FieA evenimentul ca nici o pies s nu fie defect, iarB evenimentul ca cel mult dou

piese s fie defecte. Problema urmeaz schema binomial cup=0,95; q=0,05, n=12.7. Problema urmeaz schema lui Poisson. Considerm evenimentele:

A - evenimentul ca toate telefoanele s fie libere;B - evenimentul ca toate telefoanele s fie ocupate:C - evenimentul ca un telefon s fie liberi dou ocupate:D - evenimentul ca cel puin un telefon s fie liber:E - evenimentul ca cel mult dou telefoane s fie libere.

P(A)=p1p2p3=5

1;P(B)=q1q2q3=

15

1;P(C)=p1q2q3+p2q1q3+p3q1q2=

10

3;P(D)=1-P(B)=

15

14; P(E)=1-P(A)=

5

4.

8. Problema urmeaz schema polinomialr1 k

rk1

r1r1 p...p!k!...k

!n)k,...,k;n(P = cu n=6,

k1=3, k2=2, k3=1, p1=0,9, p2=0,07, p3=0,03. P(6;3,2,1)=0,006429.10. Problema urmeaz schema hipergeometric. Dac notm cu A evenimentul ca suma

monedelor s fie cel mult 13, atunci A este evenimentul ca suma monedelor s fie celpuin 14. Suma maxim ce se obine cu patru monede este 45=20. Alte posibiliti sunturmtoarele:

35+13=1835+11=1625+23=16

25+13+11=1415+33=14p14=P(4;1,1,2)+P(4;0,3,1)=0,096+0,003=0,099p16=P(4;0,2,2)+P(4;1,0,3)=0,044p18=P(4;0,1,3)=0,01p20=P(4;0,0,4)=0,001

Deci vom obineP(A)=p14+p16+p18+p20=0,154; P(A)=1-P(A)=0,846.

12. Problema urmeaz schema polinomial cu n=10, p1= 27

5, p2=

27

10, p3=

27

8, p4=

27

4.

1. k1=1, k2=2, k3=3, k4=4, P(10;1,2,3,4)=4321

27

4

27

8

27

10

27

5

!4!3!2!1

!10

.


29/134

29

2. FieA evenimentul de a extrage numai bile de aceeai culoare,P(A)=P(10;10,0,0,0)+P(10;0,10,0,0)+P(10;0,0,10,0)+P(10;0,0,0,10)

=4321

27

4

27

8

27

10

27

5

+

+

+

.

14. 1. FieA evenimentul ca la al doilea joc s fie luate mingi noi iarAi evenimentul ca la

primul joc s fie luate i mingi noi, 10,1i = . Folosind formula probabilitii totale

avem: P(A)= =

3

0kkk )A(P)A/A(P .Pentru a determinaP(Ak) vom folosi schema

hipergeometric cu n=3, a=9, b=6, P(Ak)= 315

k36

k9

C

CC .

Astfel obinem:P(A0)=91

4, P(A1)=

91

27, P(A2)=

91

36, P(A3)=

91

12.

Deoarece cele trei mingi folosite la primul joc s-au uzat i sunt puse n cutie,structura cutiei se schimb cu excepia cazului n care la primul joc s-au folosittrei mingi uzate. n concluzie probabilitile condiionate se calculeaz tot cuschema hipergeometric:

P(AAk)= 315

0kb

3ka

C

CC +

Astfel obinem:P(AA0)=65

12, P(AA1)=

65

8, P(AA2)=

65

5, P(AA3)=

65

4. Deci

P(A)=0,09.2. evenimentul cutat este AA3 iar probabilitatea sa se calculeaz cu ajutorul

formulei lui Bayes i se obineP(AA3)=0,12.


30/134

30

Modulul II

Variabile aleatoare. Legi de probabilitate

Unitatea 3: Variabile aleatoare de tip discret

Unitatea 4: Variabile aleatoare de tip continuuUnitatea 5: Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoareUnitatea 6: Legi de probabilitate discreteUnitatea 7: Legi de probabilitate continue

Scop i obiective

Scop

Acest modul urmrete s familiarizeze studenii cu transpunerea numeric a rezultatelor unuiexperiment. Scopul este acela de a familiariza studenii cu noiunea de variabil aleatoare icu diferitele tipuri ale acestora, precum i recunoaterea legilor de probabilitate pe care aceste

variabile le urmeaz.

Obiective specifice urmritenelegerea noiuni de variabil aleatoare ca descriere numeric a rezultatului unuiexperiment.

Deprinderea regulilor de calcul cu variabile aleatoare.Deprinderea noiunilor strns legate de variabilele aleatoare.nelegerea importanei legilor de probabilitate n studierea variabilelor aleatoare.Cunoaterea caracteristicilor numerice ale variabilelor aleatoare ce urmeaz oanumit lege de probabilitate.

Concepte de bazVariabil aleatoare de tip discret, variabil aleatoare de tip continuu, distribuia uneivariabile aleatoare de tip discret, funcia de repartiie, densitatea de probabilitate, valoaremedie, dispersie, abatere medie ptratic.

Unitatea 3

Variabile aleatoare de tip discret

3.1. Noiunea de variabil aleatoare

Am vzut n Modulul I, c un experiment reprezint realizarea unui complex de

condiii al crui rezultat este bine precizat. Vom fi interesai n continuare de procesulatribuirii de valori numerice rezultatului unui experiment.Pentru aceasta vom introduce noiunea de variabil aleatoare.Pentru orice experiment variabila aleatoare poate fi definit astfel nct orice prob a

experimentului genereaz exact o valoare numeric a variabilei aleatoare.Considerm urmtorul experiment: vnzarea dintr-o anumit zi la un magazin de

electronice. Probele acestui experiment vor fi numrul de televizoare vndute n ziuarespectiv. n acest caz dacXeste numrul de televizoare vndute, Xse va numi variabilaleatoare. Aadar observm c valoarea numeric pe care variabila aleatoare o ia depinde derezultatul experimentului.

Vom numi variabil aleatoare, descrierea numeric a rezultatelor unui experiment.Fie (,K,P) un cmp de probabilitate.


31/134

31

Definiia 3.1.1.Numim variabil aleatoare o aplicaie X : R care satisface condiia

xR: {X


32/134

32

luaXsunt 1,2,3,4,5,6, iar aceste valori sunt luate cu aceeai probabilitatep=6

1. n concluzie

distribuia luiXva fi:

X:

616161616161

654321.

3.2.2. Operaii cu variabile aleatoare de tip discretFieX :

i

i

p

x, i= m,1 Y:

j

j

q

y, j= n,1 i fiepij=P(X=xi, Y=yj),

= =

=m

1i

n

1jij 1p .

Observaii9 pij reprezint repartiia probabilistic comun a perechii de variabile

aleatoare (X,Y).9 Numerele pi, qj reprezint repartiia probabilistic marginal sauindividuala variabilei aleatoareX, respectiv Y.

9 Au loc urmtoarele relaii: pi=

=

n

1jijp , i= m,1 ;

qj==

m

1iijp , j= n,1 .

Definiia 3.2.2.Spunem c variabilele aleatoare Xi Y suntindependente dac:

pij=piqj, i= m,1 , j= n,1 .

Definiia 3.2.3.

9 aX:

i

i

p

ax,i= m,1 ;

9 a+X:

+

i

i

p

xa, i= m,1 ;

9 X:

i

i

p

x, i= m,1 ;

9 aX+bY:

+

ij

ji

p

byax, i= m,1 , j= n,1 ;

9 XY:

ij

ji

p

yx, i= m,1 , j= n,1 ;

9Y

X:

ij

ji

p

yx, i= m,1 , j= n,1 .


33/134

33

Exemplul 3.2.2.

Se consider variabilele aleatoare independenteX :

a8a25,0

311, Y :

6,0b

42.

S se determine:1. constantele ai b.2. distribuiile variabilelor:X2, Y

21 , Y-4, X+Y, XY, X-Y.

Soluie1. Avem urmtoarele relaii:

0,5 + 2a + 8a = 1b+ 0,6 = 1

De aici obinem a = 0,05i b= 0,4i prin urmare:

X :

4,01,05,0

311, Y :

6,04,0

42.

2. X2 :

4,01,05,0

31)1( 222

=

4,06,0

31

;

-2

1Y :

6,04,02

4

2

2=

6,04,0

21;

Y - 4 :

6,04,0

4442=

6,04,0

02;

X + Y:

++++++

6,04,04,04,06,01,04,01,06,05,04,05,0

432341214121

=

24,016,006,004,03,02,0

755331 =

24,022,034,02,0

7531 ;

XY :

24,016,006,004,02,03,0

1264224;

X-Y :

16,028,026,03,0

1135.

Exemplul 3.2.3.S se formeze tabloul distribuiei numrului total de puncte ce pot s apar la aruncarea adou zaruri.

SoluieFie Xi Yvariabilele ce indic numrul de puncte artat de fiecare zar. Distribuiile

celor dou variabile vor fi:

X:

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

654321, Y:

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

654321

S=X+Y:

12111098765432 rrrrrrrrrrr

12111098765432

r2=P(X+Y=2)=P(X=1,Y=1)=p11=361 ;


34/134

34

r3=p12+p21=36

2;

r4=p13+p22+p31=36

3;

r5=p14+p23+p32+p41= 36

4;

r6=p15+p24+p33+p42+p51=36

5;

r7=p16+p25+p34+p43+p52+p61=36

6;

r8=p26+p35+p44+p53+p62=36

5;

r9=p36+p45+p54+p63=36

4;

r10=p46+p55+p64=363 ;

r11=p56+p65=36

2;

r12=p66=36

1.

n concluzie distribuia lui Sva fi:

S:

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

112111098765432

3.2.3. Funca de repartiieDefiniia 3.2.4.

Fie X : R o variabil aleatoare i xR. Funcia F :RR, F(x)= P(X


35/134

35

Se observ aadar c funcia de repartiie (F(x)) corespunztoare unei variabilealeatoare de tip discret, este suma probabilitilor valorilor luiX, aflate la stnga luix.

Proprieti9 0 F(x)1, xR;9

P(aX


36/134

36

p31=p1q2q3+p2q1q3+p3q1q2=60

31

p32=p1p2q3+p1p3q2+p2p3q1=4

1

p33=p1p2p3= 30

1

Distribuia luiXva fiX:

30

1

4

1

60

31

5

13210

, iar funcia de repartiie:

F(x)=


37/134

37

X:

3

1p

3

5p

1012 , Y:

30

1

6

1q

5

8q

21012 ?

4. *Se consider variabilele aleatoare independenteX, Yavnd distribuiile:X:

5/25/25/1

210

, Y:

8/14/12/18/1

2101

.

S se determine distribuiile variabilelor aleatoare:X2, 2X, X+Y, X-Y..5. Fie variabila aleatoareXa crei funcie de repartiie este dat prin:

F(x)=


38/134

38

ObservaieFuncia cu proprietile de mai sus se numete densitate de probabilitate a

variabilei aleatoareX.

Proprieti9

F(x) =(x), aproape pentru toi xR;9 Dac a


39/134

39

Rezolvnd sistemul

1=2-b+a

0=2b-a, obinem soluia a = 2, b = 1. Deoarece F este

continu n punctul2

=x

, avem:

F( 02

)= )x(Flim2

x

= xsinclim

2x

=c

F( 02

+

)= )x(Flim

2x

=1x

1xlim

2

2

2x

=1

c=)2

(F

Obinem c c = 1. Prin urmare funcia de repartiie va fi:

2>x1,

2


40/134

40

2.F(x)=

x

dt)t( =2

1

x

tdte .

Avem dou cazuri:

Dacx


41/134

41

Verificarea cunotinelor1. *Fie:[1,3]R,(x)=3x2-1.

1. s se arate cnu poate fi densitate de probabilitate.2. ce corecie trebuie fcut pentru cas fie densitate de probabilitate?3. s se afle i s se reprezinte grafic funcia de repartiieF.

4. s se calculezeP(1X


42/134

42

Unitatea 5

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

5.1. Valoarea medie a unei variabile aleatoareFie Xo variabil aleatoare discret avnd distribuia

...p...pp

...x...xx

n21

n21 .

Definiia 5.1.1.Prin valoarea medie a variabilei aleatoare X se nelege caracteristica numeric:

=M(X)= i

iixp .

Exemplul 5.1.1.S se determine valoarea medie a variabilei aleatoare de tip discret X, care are

repartiia:

X:

2,02,01,03,02,043210 .

SoluieConform definiiei vom avea:

= =

5

1iii xp=(X)M =p1x1+p2x2+p3x3+p4x4+p5x5=0,20+0,31+0,12+0,23+0,24

=0,3+0,2+0,6+0,8=1,9.

Definiia 5.1.2.Prin valoarea medie a variabilei aleatoare de tip continuu X avnd densitatea deprobabilitate, se nelege caracteristica numeric:

=M(X)=

dx)x(x .

Exemplul 5.1.2.S se determine valoarea medie a variabilei aleatoare de tip continuu X, care are

densitatea de probabilitate:RR,(x)= +

restn,0

x,1x221

21

.

SoluieConform definiiei vom avea:

=M(X)=

dx)x(x =

+2

1

21

dx)xx2( 2 =2

1

21

23 x2

1x

3

2

+ =

6

1.

Proprieti9 DacaR, atunci a= M(a)=a;9 Dac variabila X este mrginit, m1Xm2, atunci valoarea medie a lui X

exist i m1m2.9 Daca,bR, iarXi Ysunt dou variabile aleatoare, atunci:

M(aX+bY)=aX+bY= aX+bY.9 DacXi Ysunt variabile aleatoare independente, atunci:

M(XY)=XY=XY.


43/134

43

Exemplul 5.1.3.

Variabila aleatoareX, are distribuiaX:

2,02,01,03,02,0

43210. S se calculeze

[M(X)]2, M(X2), M(X-1),M(X2-X).

SoluieM(X)=0,3+0,2+0,6+0,8=1,9;[M(X]2=3,61;

X2:

2,02,01,03,02,0

169410;

M(X2)= =

5

1ii

2i px =0,3+0,4+1,8+3,2=5,7;

M(X-1)=M(X)-1=0,9M(X2-2X)=M(X2)-2M(X)=5,7-3,8=1,9

5.2. Dispersia i abaterea medie ptratic a unei variabile aleatoarePentru introducerea acestor caracteristici se va lua n considerare "variabila abatere"

(XM(X))2=(X)2, prin care se poate msura abaterea valorilor variabileiXde la valoarea eimedie.

Definiia 5.2.1.Prin dispersia (variaia) variabilei aleatoare X se nelege caracteristica numeric:

D2(X)= 2X =M[(X-M(X))2].

Proprieti9 Dac X este o variabil aleatoare de tip discret avnd distribuia

...p...pp

...x...xx

n21

n21i valoarea medie atunci D2(X)= ( )

ii

2i px ;

9 Dac X este o variabil aleatoare de tip continuu avnd densitatea deprobabilitatei valoarea medie atunci D2(X)= ( ) ( )

dxxx 2 ;

9 D2(X)=M(X2) M2(X);9 D2(aX+b)=a2D2(X);9 Dac variabileleX1,,Xn sunt independente, atunci:

D2(X1+Xn)=D2(X1)++D

2(Xn);9

Dac variabileleXi Ynu sunt independente, atunci:D2(aX+bY)=a2D2(X)+b2D2(Y)+2ab[M(XY)-M(X)M(Y)];

Definiia 5.2.2.Prin abatere medie ptratic sau abaterea standard se nelege caracteristica

numeric ataat variabilei aleatoare X de forma

.(X)D=(X)D= 2

Exemplul 5.2.1.S se determine dispersia i abaterea medie ptratic pentru variabila aleatoare de tip

discretX, care are repartiia:

X:

2,02,01,03,02,0

43210 .


44/134

44

SoluieD2(X)=M(X2) M2(X)

X2:

2,02,01,03,02,0

169410M(X2)= 0,20+0,31+0,14+0,29+0,216

= 0,3+0,4+1,8+3,2= 5,7.

D2(X)=5,7 (1,9)2=5,7 3,61=2,09.

(X)D=(X)D= 2 = 09,2 =1,44..

Exemplul 5.2.2.S se determine dispersia variabilei aleatoare de tip continuu X, care are densitatea de

probabilitate:

:RR,(x)= +

restn,0

x,1x2 21

21

.

SoluieD2(X)=M(X2) M2(X)

M(X2)=

dx)x(x2 =

+2

1

21

dx)xx2( 23 =2

1

21

34 x3

1x

2

1

+ =

12

1.

D2(X)=2

6

1

12

1

=

18

1.

Verificarea cunotinelor1. *Fie X o variabil aleatoare cu valoare medie mi dispersia 2. S se calculeze valoarea

medie i dispersia variabilei Y=

mX.

2. *S se calculeze valoarea medie i dispersia numrului de puncte ce se obine la aruncareaa dou zaruri.

3. *Se consider variabila aleatoareX:

12

1

6

1

4

1

2

14321

.

DacY=aX+b, s se determine a i b astfel nctM(Y)=0, D2(Y)=1.4. S se determine variabilele aleatoare independente

X:

++

p2p3p2a1aa , Y:

qq3q3qb4b3b2b ,

tiind cM(X)=76, M(Y)=52. S se calculeze apoiM(2X+3Y) iD2(3X-2Y).

5. *La patru uniti consumul de ap este normal cu probabilitile 0,9; 0,8; 0,85; 0,7. Senoteaz cuXnumrul unitilor din cele patru la care consumul de ap este normal ntr-ozi fixat. S se determine distribuia luiX, M(X), D2(X), Me, Mo.

6. La o unitate hotelier clieni doresc camere dotate cu televizor sau fr televizor cuaceeai probabilitate. Se noteaz cuXi Yrespectiv numrul celor care solicit camer cutelevizori numrul maxim al clienilor consecutivi care solicit televizor. Se consider

primi patru clieni dintr-o anumit zi. S se determine:

1. distribuiile variabilelor aleatoareX, Y, X+Y, XY.2. valorile medii i dispersiile variabilelor de mai sus.


45/134

45

Unitatea 6

Legi de probabilitate discrete

6.1. Legea binomial

Definiia 6.1.1.Spunem c variabila aleatoare de tip discret X urmeazlegea binomial, dac ea are

distribuia:

X:

nkp

k, n,1k= , unde knkknnk qpCp

= , p(0,1), q=1-p.

Proprieti9 M(X)==np;9 D2(X)= 2X =npq.

ObservaieLegea binomial corespunde schemei binomiale, aadar pentru a tii dac o variabil

aleatoare urmeaz legea binomial va trebui s verificm condiiile schemei binomiale.

Exemplul 6.1.1.FieX o variabil aleatoare ce urmeaz legea binomiala cu n=10 , p=0,10.

1. Care este probabilitatea caXs ia valoarea 0?2. Care este probabilitatea caXs ia valoarea 2?3. Care este valoarea medie a variabileX?4. Cu ct se abat n medie de la valoarea medie valorile variabilei?

Soluie

Deoarece variabila aleatoareXurmeaz legea binomial vom avea

knkk

nnk qpCp

= , cun=10, p=0,10, q=1 p=0,9.1. P(X=0)=P10,0= 100010 qpC =(0,9)10=0,3487.2. P(X=2)=P10,2= 82210 qpC =0,45(0,9)8=0,1937.3. =np=100,1=1

Pentru a vedea cu ct se abat n medie de la valoarea medie, valorile variabilei, vom calculaabaterea medie ptratic.

2X =D

2(X)=npq=100,10,9=0,9

9,0(X)D

= 2 = =0,9487.


46/134

46

6.2. Legea hipergeometric

Definiia 6.2.1.Spunem c variabila aleatoare de tip discret X urmeazlegea hipergeometric, dac

are distribuia:

X:

nkpk , n,1k= , unde pnk= n

ba

knb

ka

CCC

+

, 0knN= a+b, ka, n-kb.

Proprieti

9 M(X)== np, unde p=N

a;

9 D2(X)= 2X =npq 1nN

, unde q=1-p.

Observaie

Legea hipergeometric corespunde schemei hipergeometrice, aadar pentru a tii daco variabil aleatoare urmeaz legea hipergeometric va trebui s verificm condiiile schemeihipergeometrice.

Exemplul 6.2.1.ntr-un clasament al celor mai bine vndute buturi rcoritoare, primele dou locuri

sunt ocupate de Coca - Cola i Pepsi Cola. Dintr-un grup de 10 indivizi, 6 preferCoca Cola, iar4 preferPepsi Cola. Se iau la ntmplare 3 indivizi.

1. Stabilii dac variabila aleatoareX numrul celor care prefer Coca Cola, urmeaz legea hipergeometric.

2. Care este probabilitatea ca 2 indivizi s prefere Coca Cola?3. Care este valoarea medie a variabilei aleatoareX?4. Cu ct se abat n medie de la valoarea medie, valorile variabilei aleatoare

X?Soluie

1. Se observ c suntem n condiiile schemei hipergeometrice cu a=6, b=4, n=3. Aadarvariabila aleatoareX, urmeaz legea hipergeometric.

2.P(X=2)=310

14

26

C

CC=

120

415 =

2

1=0,5.

3.M(X)=np=30,6=1,8.4. Pentru a vedea cu ct se abat n medie de la valoarea medie, valorile variabilei, vom calculaabaterea medie ptratic.

D2(X)=npq1nN

=30,60,497=0,56

56,0(X)D= 2 = =0,7483.

6.3. Legea lui Poisson

Definiia 6.3.1.Spunem c variabila aleatoare de tip discret urmeaz legea lui Poisson, dac are

distribuia:

X:

kp

k, n,1k= , unde pk=

-k

e

!k

, kN, >0.


47/134

47

Proprieti9 M(X)==;9 D2(X)= 2X =.

Observaie

Legea lui Poisson corespunde schemei lui Poisson, aadar pentru a tii dac ovariabil aleatoare urmeaz legea lui Poisson va trebui s verificm condiiile schemei luiPoisson.

Exemplul 6.3.1.FieXo variabil aleatoare ce urmeazlegea lui Poisson cu =3.

1. Determinaipk.2. Care este probabilitatea caXs ia valoarea 1?3. DeterminaiP(X2).

Soluie

1. pk= 3k e!k

3 .

2. P(X=1)= p1 = 3e!1

3 =3e

3=

34,20

3=0,1474.

3. P(X2)=1- P(X2)=1 p2=1 - 32 e!2

3 =1 -3e2

9=1 0,2212=0,7788

Verificarea cunotinelor1. Determinai valoarea medie i dispersia unei variabile aleatoareX, care urmeaz legea lui

Poisson.2. *FieXo variabil aleatoare ce urmeaz legea binomial cu n=9ip=0,2. Determinai:

1. P(X1);2. P(X2);3. P(X3);4. M(X), D2(X).

3. 5% din produsele realizate cu o main, prezint defecte. Se consider un lot de 10produse, din care se iau la ntmplare 3 produse. Fie Xnumrul produselor din cele treicare prezint defecte.

1. descriei condiiile n care situaia prezentat, reprezint un experimentbinomial.

2. calculai P(X=0), P(X=1), P(X=3).3. M(X), D2(X).

4. Fie X o variabil aleatoare ce urmeaz legea hipergeometric cu a=5, b=7, n=5.Determinai:1. P(X1);2. P(X2).

5. FieXo variabil aleatoare ce urmeaz legea lui Poisson cu =1. Determinai:1. P(X=1);2. P(X2);3. M(X), D2(X).

6. *Numrul mediu de companii care dau faliment pe parcursul unui an este 2. tiind cdistribuia companiilor care dau faliment este distribuia lui Poisson, s se determine

probabilitatea ca:

1. exact 5 companii s dea faliment;2. mai mult de 10 companii s dea faliment.


48/134

48

Unitatea 7

Legi de probabilitate continue

7.1. Legea uniform continu

Definiia 7.1.1.Spunem c variabila aleatoare de tip continuu X urmeaz legea uniform continu

dac:

(x)=

]b,a[x,0

]b,a[x,ab

1.

Proprieti

9 F(x)=

>

0, dac:(x)= 22

2)x(

e2

1

, xR.

Observaii9 DacXurmeaz legea normalN(,), atunci:

F(x)=

x

dte2

1 222)t(

9 Pentru calculul luiFse folosete formula:F(x)=

+

x

2

1,

unde

=x

0

dte2

1)x( 2

2t

estefuncia lui Laplace care are urmtoarele proprieti:

(0)=0; (-x)= -(x);

()=2

1;

(-)= -2

1.

Proprieti9 DacXN(,), atunci:

M(X)=; D2(X)=2.

Figura 7.3.1. Graficul densitii de probabilitate

V


51/134

51

Vrful graficului are coordonatele

2

1,V .

Observaii9 Legea normal mai poart numele de legea Gauss Laplace, cei doi

matematicieni fiind cei dinti care au folosit-o n studiul problemelor dinteoria erorilor.

9 Deoarece este o densitate de probabilitate, aria poriunii mrginite degraficul densitii de probabilitate i axa absciselor este 1. Tocmai de aceea s-

a introdus factorul 2

1, numitfactor de scar.

9 Pentru a calculaP(X), va trebui s calculm aria poriunii mrginit degraficul densitii de probabilitate i dreptelex=, x=:

Figura 7.3.2. Forma distribuiei normale standard

Acest lucru nu este ntotdeauna deosebit de facil, innd cont de forma densitii deprobabilitate. Totui, s-a stabilit urmtoarea concentrare a valorilor unei variabile ce urmeazlegea normal:

Figura 7.3.3. Concentrarea valorilor distribuiei normale standard


52/134

52

Aa cum spuneam, calcul probabilitii P(X), nu este foarte uor, tocmai deaceea se introduce urmtoarea lege:

Definiia 7.3.2.Spunem c variabila aleatoare X urmeaz legea normal standard (indus), dac

=0 i =1. Vom scrie XN(0,1).

Observaii9 n general o variabil ce urmeaz legea normal indus se noteaz cuZ.9 P(-Z0)=P(0Z).9 Valorile probabilitilorP(0 Z+), se gsesc ntabelate (Anexa 1), deunde se citesc astfel:

P(0 Z+)=(linia )(coloana ).Exemplul 7.3.1.

Pentru acest exemplu consultai ANEXA 1!1. P(0Z1)=0,3413.2. P(-1Z1)= P(-1Z0)+P(0Z1)=2P(0Z1)= 0,6826.3. P(-2Z2)=2P(0Z2)=20,4772=0,8544.4. P(0Z1,58)= (linia 1,5)(coloana 0,08)=0,4429.5. P(Z1,58)= 0,5 - P(0Z1,58)=0,0571.6.

P(1Z1,58)= P(0Z1,58) - P(0Z1)=0,4429 0,3413=0,1016.7. P(Z2,41)=0,5+P(0Z2,41)=0,5+0,4920=0,9920.

8. P(Z-1,52)=0,5+P(-1,52Z0)=0,5+0,4375=0,9375.Observaii

Tabelele pot fi folosite i invers. Astfel cunoscnd valoarea probabilitii, putemdetermina cu aproximaie plaja de valori pe care o parcurge variabila aleatoareZ.

De exemplu, dac aria poriuni din grafic este 0,4, atunci cutnd n tabel, vom gsi0Z1,28.

Calculul probabilitilor unei variabile ce urmeaz legea normal

Propoziie

95,44%

99,72%

-3 - 2 - + + 2 +368,26%


53/134

53

Dac XN(,), atunci Z=X

N(0,1).

Exemplul 7.3.2.DacXN(10,2), s se determineP(10X14).

Soluie

=

==

=

==

22

1014Z14X

02

1010Z10X

P(10X14)=P(0Z2)=0,4772.

Exemplul 7.3.3.Cifra de afaceri (CA) medie pentru 500 de firme, este 150 mil. lei cu o abatere medie

de 15 mil. lei. Considernd cCA are o distribuie normal, determinai cte firme:1. au CA cuprins ntre 120 i 155 mil. lei.2. au CA mai mare de 185 mil. lei.

Soluie

1.

33,015

150155Z155CA

215

150120Z120CA

=

==

=

==

Figura 7.3.4. Aria

Probabilitatea cutat va fi aria poriunii din grafic mrginit de dreptelex= -2, x=0,33.P(-2Z0,33)=P(-2Z0)+P(0Z0,33)=0,4772+0,1293=0,6065.

Aadar numrul firmelor ce vor avea CA cuprins ntre 120 i 155 mil. lei, va fi5000,6065=303,25.

2. Pentru CA=185 avemZ= 2,33. Astfel vom avea:P(CA185)=P(Z2,33)= 0,5 P(0Z2,33)=0,5 0,4901=0,0099.

Aadar numrul firmelor ce vor avea CA mai mare de 185 mil. lei, va fi 5000,0099=4,95firme.

Exemplul 7.3.4.O companie ce produce cauciucuri lanseaz pe pia un nou produs. nainte de

-2 0,33


54/134

54

lansare, specialitii companiei doresc s estimeze numrul de kilometrii ce pot fi oferii dreptgaranie.

Testele efectuate au artat c numrul mediu de kilometrii a fost 36500, cu abateremedie de 5000 km. n plus datele colectate au artat c variabila numr de kilometrii, urmeazlegea normal.

1. Care este procentajul cauciucurilor care pot rula mai mult de 40000 km?2. Presupunem c societatea se gndete la un sistem de garanie care propune

nlocuirea cauciucurilor la un tarif redus, dac numrul de km parcuri nudepete numrul de km garantat. Care ar trebui s fie numrul de km garantat,tiind c10% dintre acestea au depit acest prag?

Soluie1. FieXvariabila numr de kilometrii.

DacX=40000, atunci Z=5000

3650040000 =0,7.

Figura 7.3.5. Aria

P(Z0,7)= 0,5 P(0Z0,7)= 0,5 0,2580=0,242.Aadar24,2% din numrul cauciucurilor vor depi 40000 km de rulare.

2.Figura 7.3.6. Aria

10%

km. garantai 36500 km. garantai

36500 40000


55/134

55

Deoarece 10% dintre cauciucuri nu ating numrul de km. garantai, nseamn c40% dintreacestea ating acest prag.Valoarea variabilei pentru care aria poriuni din grafic este 0,4, este Z= -1,28. n acestecondiii vom avea:

X= Z

+ = -1,28

+ = -1,285000 + 36500= 30100.n concluzie, societatea poate propune o garanie de 30000 km., caz n care procentajulcauciucurilor ce nu ating acest prag va fi:

Z=5000

3650030000 = -1,3.

P( -1,3Z0) = 0,4032P(X30000)= 0,5 0,4032= 0,0968.Deci procentajul cauciucurilor ce nu ating pragul de rulare garantat va fi 9,68%.


56/134

56

Verificarea cunotinelor1. Variabila aleatoareXeste uniform distribuit ntre 2i 4,5.

1. reprezentai grafic densitatea de probabilitate.2. determinaiP(X=2,25), P(2,5X3,5).3. M(X), D2(X).

2. *Durata unei cltorii ntre dou localiti este uniform distribuit ntre 2hi 2h30.1. reprezentai grafic densitatea de probabilitate.2. determinai probabilitatea ca durata cltoriei s fie mai mic de 2h10.3. determinai probabilitatea ca durata cltoriei s fie mai mare de 2h25.

3. O variabil aleatoareXurmeaz legea exponenial cu =2

1.

1. calculaiP(X2), P(2X4).2. determinaiM(X), D2(X), , .

4. *Durata de funcionare a unui microprocesor este o variabil aleatoare ce urmeaz legeaexponenial cu =

25

1.

1. care este durata medie de funcionare a micoprocesorului?2. care este probabilitatea ca microprocesorul s cedeze dup primele 10 ore

de funcionare?3. care este probabilitatea ca microprocesorul s funcioneze mai mult de 50 ore?

5. FieZo variabil aleatoare ce urmeaz legea normal standard. Calculai:1. P(0Z0,72);2. P(-1,2Z0);3. P(Z


57/134

57

Sumarul Modulului II (concepte cheie)

Variabil aleatoare: descriere numeric a rezultatelor unui experiment. Variabil aleatoare de tip discret: variabil ce poate lua un numr finit sau infinit dar cel

mult numrabil de valori. Variabil aleatoare de tip continuu: variabil ce poate lua orice valoare dintre douvalori date.

Distribuia unei variabile aleatoare de tip discret: un tablou de forma X :

i

i

p

x, unde pi

sunt probabilitile cu care variabila aleatoare X ia valorile x i. Funcia de repartiie: o funcie F:RR, asociat unei variabile aleatoare ale crei

valori F(x) sunt definite de suma probabilitilor evenimentelor ca X s ia valori aflate lastnga lui x.

Densitatea de probabilitate:o aplicaie:RR, avnd valori pozitive i proprietatea cF(x)=

x

dt)t( , xR..

Valoarea medie: i

ii xp=(X)M n caz discret, M(X)=

dx)x(x , n caz continuu.

Dispersie: valoarea medie a variabilei abatere (X M(X))2. Abatere medie ptratic: rdcina ptrat a dispersiei. Legi de probabilitate: anumite legi care sunt urmate de variabilele aleatoare. Cunoscnd

legea de probabilitate pe care o variabil aleatoare X o urmeaz, putem caracterizavariabila.

Bibliografia modulului

Chifu-Oros I.C., Luca I.T., Matematici Economice. Elemente de Programare Liniar iTeoria Probabilitilor, Presa Universitar Clujean, Cluj-Napoca, 2004, pg. 140-184.

Soluiile problemelor nemarcate

Unitatea 3

1. 1. p=0,1.2. p=1/6.

3. p+q=1.3. p=1/3, q=2/5.5. P(2X


58/134

58

p56)=36

28; r4= P(X+Y=7)=p16+ p25+ p34+ p43+ p52+ p61=

36

6;

r12=P(X+Y=2)+P(X+Y=12)= p11+ p66=36

2.

Unitatea 4

2. 1. A=1/2, B=1/.

2. (x)=)x1(

12+

.

3. P(aX

0;9 negativ corelate, dacsxy(xy) 0 ceea ce nseamn c vechimea i venitul suntpozitiv corelate. Acest lucru ne indico legtur liniar direct ntre vechime i venit. nceea ce privete studiul legturii dintre dou variabile acesta va face subiectul unui alt capitol.

Se pune urmtoarea ntrebare: n cazul n care dou variabile sunt corelate ct deputernic este aceast corelaie?

Am putea spune c o valoare pozitiv mare a corelaiei indic o puternic corelaientre cele dou variabile, iar o valoare negativ mic a corelaiei indic o corelaie puternicnegativ ntre cele dou variabile. Pe de alt parte o valoare a corelaiei apropiat de zero

poate indica o slab corelaie ntre cele dou variabile.

Pentru a nltura aceste discuii se calculeaz coeficientul de corelaie.

13.2. Coeficientul de corelaie

Coeficientul de corelaie d msura gradului de asociere dintre dou variabile.La nivel de eantion el se noteaz cu rxyi se calculeaz cu formula:

yx

xyxy ss

sr =

unde sxi sy sunt abaterile medii ptratice ale celor dou variabile la nivel de eantion.

Alternativ poate fi folosit formula:

rxy =

( ) ( )2i2i

2i

2i

iiii

yynxxn

yxyxn


120/134

Documents

Matematica Aplicata II