Matematica ii software

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UNIVERSIDAD PROVINCIAL DE EZEIZA

Tecnicatura Universitaria en Desarrollo

de Software

MATEMÁTICA II

AÑO 2013

Prof. Marta N. González Chavarría

Con aportes del Prof. Julio R. Brisuela

Universidad Provincial de Ezeiza Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software Matemática II

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Estimados Estudiantes:

Al iniciar la cursada de Matemática II comenzamos a recorrer el Ciclo Técnico de la

Tecnicatura Universitaria en Desarrollo de Software, continuando con lo iniciado en

Matemática I, pero agregando un nivel de abstracción mayor, que les permitirá organizar las

operaciones de pensamiento lógico y el tratamiento de estructuras de razonamientos

necesarias para el quehacer del desarrollo de software.

En este contexto los materiales que les proponemos para trabajar tienen un

presupuesto de tiempo estimado que “deben” dedicarle. Reforzamos lo dicho en Matemática I

respecto a que “deben dedicar tiempo al trabajo autónomo” mucho más cuidadosamente de

lo que lo hicieron durante la cursada de aquella, porque de eso depende en parte el éxito en la

cursada y la aprobación de la materia, así como su transferencia a otras materias de la carrera

en la que se encuentra inserta.

Por supuesto que cada profesor indicará, además, cómo se va a administrar el trabajo

en cada clase en torno de este material.

Los contenidos a desarrollar en el módulo de Matemática II son:

Lógica proposicional y de predicados (LPO):

Introducción a la lógica proposicional (lógica de orden cero).

Proposiciones y operadores lógicos: clasificación.

Conjunción, disyunción, condicionales. Construcción de tablas de verdad. Propiedades.

Negación. Negación de operadores. Leyes de De Morgan.

Equivalencias entre operadores.

Reglas de inferencia: modus ponens, modus tollens, silogismo hipotético, silogismo disyuntivo, dilemas. Pruebas de validez.

Lógica de Primer Orden (LPO): Funciones proposicionales (predicados). Cuantificadores. Negación de cuantificadores. Operaciones.

Aplicaciones en el ámbito computacional. Sistemas de numeración:

Diferentes tipos de sistemas de numeración

Sistema de numeración binario, octal y hexadecimal: características de cada uno de ellos. Conjunto de símbolos y reglas de formación.

Construcción de números en cada uno de ellos.

Pasaje de números de un sistema a otro.

Aplicaciones en el ámbito computacional.

Inducción matemática

Sumatoria. Propiedades. Utilización en demostraciones y resolución de problemas.

Principio de inducción matemática

El material presentado está compuesto por una serie de guías de trabajo articuladas entre

si, lecturas recomendadas que resultan interesantes para “aprender algo más” y las


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actividades necesarias para aplicar lo visto, continuando con la metodología de trabajo de

Matemática I.

Dado que en Matemática II los contenidos presentan una abstracción mayor, les

recordamos la importancia de la lectura de las guías de trabajo con buena predisposición

tratando de resolver las cuestiones que se les plantean y haciendo un esfuerzo individual para

no llegar a la reunión de grupo de trabajo (en clase o en cualquier otro ámbito en el que

decidan reunirse) sin nada para compartir con los demás integrantes del grupo.

Ustedes ya saben de esto, han constatado los beneficios del trabajo grupal y de la

participación activa en el grupo de clase, planteando dudas y alternativas de resolución,

durante la cursada de Matemática I.

Esperamos que la cursada de Matemática II puedan llevarla a cabo exitosamente, sabemos

de las dificultades, por eso los acompañaremos durante el transcurso de la misma, pero

nuestro acompañamiento será vano sin el compromiso de Ustedes. Juntos obtendremos

resultados provechosos, que se verán reflejados en las diversas aplicaciones que harán de todo

lo visto en otras materias de la carrera, tanto en lo inmediato como a futuro.

Hecha esta somera presentación, les damos la bienvenida a Matemática II y nos ponemos

a trabajar.

Atentamente:

Los profesores de Matemática II.


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Introducción

Nuestro lenguaje natural a veces presenta, a la hora de interpretar el significado de lo puesto

en palabras algunos inconvenientes por ambigüedad por ejemplo:

“Noticia leída en una radio: Una mujer habría ganado un sorteo de un millón de pesos y habría perdido el cupón en la casa de su madre la que sería cuidada por una vecina”

La vecina:

¿Cuida a la madre de la mujer?, ¿Cuida la casa?

La respuesta depende de la opinión de cada uno ¿o no?

En Matemática ese problema se ha tratado de reducir al mínimo. ¿Por qué será?

Veamos. A lo largo de la historia de la ciencia que nos ocupa, se han producido problemas cuya

causa fue la interpretación de enunciados, ya sean definiciones, propiedades, teoremas, leyes,

etcétera. Muchos de estos problemas han generado cambios de paradigmas, que provocaron

verdaderas revoluciones dentro de la matemática. ¿Cómo se solucionó esto? Buscando un

lenguaje que no presente ambigüedades o que presente muy pocas. Y ¿Qué lenguaje es éste?

El lenguaje de la Lógica.

En este módulo daremos los primeros pasos en Lógica. Iremos aprendiendo cómo está

conformada: cuáles son las "palabras" que utilizaremos, cuáles son los "conectores" que

permiten relacionarlas para armar "frases", cómo determinar cuando estamos frente a

"verdades" o "falsedades", en fin, aprenderemos lo necesario, para que "todos entendamos

lo mismo" cuando decimos algo en Matemática.

Guía de trabajo nº 1

Que si, que no... Como la Parrala 1

Los siguientes relatos fueron escritos por Juan Jaqueri en la misma hoja de su diario íntimo,

seguramente pensaba borrar algunos relatos pero quedaron escritos todos.

Lean los relatos y luego traten de establecer similitudes y diferencias entre los tres primeros

para discutir con todo el grupo de clase.

1 La Parrala es un mito que nació en España : http://es.wikipedia.org/wiki/La_Parrala

Como casi todos los mitos inspiró una copla popular: http://www.youtube.com/watch?v=H_wPvLY-HiA En 1951 la cantante Concha Piquer cantó esta copla como protagonista de la película “Me casé con una estrella” con la actuación además de Luis Sandrini y Pierina Dialessi http://www.youtube.com/watch?v=aPSVXLfEOqc&feature=related

http://es.wikipedia.org/wiki/La_Parrala

http://www.youtube.com/watch?v=H_wPvLY-HiA

http://www.youtube.com/watch?v=aPSVXLfEOqc&feature=related


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Relato 1 Del diario personal de Juan Jaqueri

Jueves 7 de setiembre de 2009

La llegada del día siete de cada mes es motivo para mi alegría. Hoy se acredita mi sueldo en mi cuenta. Este mes estuvo muy cargado de trabajo y responsabilidades, por eso me parece que merezco premiarme con lo que más me gusta: ir a ver una película al cineclub. Creo que hoy pasan “Me casé con una estrella” con Luis Sandrini. Además como soy soltero y vivo solo (por ahora) una hora más o menos que tarde no importa, así que:

COBRO MI SUELDO Y VOY AL CINE



La llegada del día siete de cada mes es motivo para mi alegría. Hoy se acredita mi sueldo en mi cuenta. Este mes estuvo muy cargado de trabajo y responsabilidades, por eso me parece que merezco premiarme con lo que más me gusta: ir a ver una película al cineclub. Creo que hoy pasan “Me casé con una estrella” con Luis Sandrini. Pero con todo el sueldo encima me da un poco de miedo. Tengo que tomar una decisión:

COBRO MI SUELDO O VOY AL CINE



La llegada del día siete de cada mes es motivo para mi alegría. Hoy se acredita mi sueldo en mi cuenta. Este mes estuvo muy cargado de trabajo y responsabilidades, por eso me parece que merezco premiarme con lo que más me gusta: ir a ver una película al cineclub. Creo que hoy pasan “Me casé con una estrella” con Luis Sandrini. El único problema es que es un poco tarde y hoy debe haber cobrado todo el mundo ¿habrá dinero en el cajero? Bueno será cuestión de ir y probar...

SI COBRO MI SUELDO ENTONCES VOY AL CINE

Al día siguiente Juan escribió en su diario:


Viernes 8 de setiembre de 2009

Ayer mentí en este diario porque...


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Pero cuando iba a terminar tuvo que bajar de apuro del colectivo porque no se dio cuenta de

que estaba por pasarse de parada. En el apuro su diario quedó en el asiento y nosotros lo

encontramos.

Lo que le pasó a Juan Jaqueri nos plantea varios problemas.

Actividad 1

a) ¿Por qué habrá dicho que “mintió” en su diario?

b) Si el relato que pensaba dejar es el 1 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que

mintió?

c) Si el relato que pensaba dejar es el 2 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que

mintió?

d) Si el relato que pensaba dejar es el 3 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que

mintió?

e) ¿En qué relato hay mayor cantidad de posibilidades para “no cumplir” con lo que se

dice?

Vamos a analizar algunas posibles respuestas a estas preguntas pero antes de empezar

será conveniente que discutan en grupos las que propongan ustedes para compararlas con

las que aparecen aquí.


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Introducción

Antes de empezar aclararemos que el lenguaje de la Matemática, con el propósito de evitar

ambigüedades, suele diferenciarse del lenguaje coloquial con el que nos manejamos en forma

cotidiana. La diferencia principal es la precisión con la que deben construirse e interpretarse

los enunciados.

Por ejemplo cuando decimos: “tengo una perra blanca” , aparece inmediatamente la

posibilidad de considerar si el enunciado es verdadero o falso.

Estos enunciados que pueden clasificarse en verdaderos o falsos se llaman proposiciones.

Notemos que para poder clasificar un enunciado como verdadero o falso debe contener una

afirmación fehaciente. Es decir expresiones del tipo:

“lógico”

“Obvio”

“agua hirviendo”

“Cálidos reflejos de tu cabello rizado”

“compremos bebidas”

“¿Eso es todo?”

“¡cómprate las tuyas!”

Entre otras, no son proposiciones

En cambio:

“tengo una perra blanca”

“los amaneceres son hermosos”

“ella caminaba agitadamente”

“Recuerda a su madre “

“Compite consigo mismo”

“3+5=12”

Son todas proposiciones.

Dijimos que una proposición solamente puede tomar dos valores: verdadero o falso. Estos

valores se llaman “valores de verdad”


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Actividad 2

Identifiquen cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones e indiquen el valor de

verdad de las mismas:

a) 20=45-25

b) Comencemos la fiesta.

c) Los ángulos adyacentes son suplementarios

d) Un polinomio de grado 2 tiene 2 raíces

e) Ved en trono a la noble igualdad.

f) 42

4lim

2

2

x

x

x

Actividad 3

Construyan cinco proposiciones con valor de verdad verdadero y cinco con valor de verdad

falso

Actividad 4

Busquen en el Módulo Curso de Ingreso y transcriban indicando página y párrafo en el que se

encuentran, cinco expresiones que no sean proposiciones


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Algunas respuestas

Presentada así la cuestión planteada por el diario de Juan, nos adentraremos en el análisis de

los hechos…

Volvamos a la historia de Juan Jaqueri y los problemas propuestos.

Primer problema

a) ¿Por qué habrá dicho que “mintió” en su diario?

Si mintió, seguramente algo de lo escrito no hizo o no ocurrió.

Por eso será conveniente que analicemos cada relato y construyamos hipótesis sobre

qué habrá sucedido en cada situación.

b) Si el relato que pensaba dejar es el 1 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que

mintió?

En el relato 1, Juan se propone cobrar el sueldo e irse al cine, es decir se propone

hacer las dos cosas. Si en este relato mintió, entonces ¿Por alguna circunstancia no

cobró su sueldo? ¿No fue al cine? O ¿estas cosas sucedieron a la vez?

Por ejemplo, si efectivamente su empleador le depositó el sueldo el día 7, resulta que

Juan mintió si no fue al cine. Pero si su sueldo no fue depositado, le puede haber

resultado imposible ir al cine porque no contaba con dinero suficiente, o también

pudo suceder que aún sin cobrar fue al cine igual.

De este análisis decimos que para que no haya mentido Juan, las dos proposiciones

debieron ser verdaderas a la vez, es decir, cobrar el sueldo e ir al cine, en cualquier

otra situación Juan hubiese “mentido”.

Es decir:

Cobro mi sueldo Voy al cine Cobro mi sueldo y voy al cine

si si “no mintió”

si no “mintió”

no si “mintió”

no no “mintió”

¿Por qué escribo mintió entre comillas? Porque “mentir” es un hecho subjetivo, que tiene

connotaciones morales y/o religiosas. Y también mentir, se da cuando se "falsea" la verdad,

cuando se quiere hacer ver algo como lo que no es "realmente".

Podemos resumir todo este análisis construyendo una tabla:

“Cobro mi sueldo” y “Voy al cine”

V V V

V F F

F F V

F F F


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Una proposición puede ser VERDADERA si ocurre o sucede tal como se ha planteado (ocurre o

sucede verdaderamente). Esto lo representamos con la letra V (así en mayúsculas) o con la

expresión TRUE (como en algunos lenguajes de programación), o con un 1 (algunos lenguajes

también lo usan para hacer marcas o flags (banderas), eso lo verán en otra materia),

Una proposición puede ser FALSA en caso de no ocurrir (o suceder) tal como se la ha

planteado. Esto lo representamos con F, o con la expresión FALSE, o con un 0.

Es decir, las tablas que figuran a continuación son equivalentes a la primera, se usará una u

otra dependiendo del entorno en el que estemos trabajando:


True True True

True False False

False False True

False False False


1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 0 0

Como vemos, pueden darse varias alternativas para decir que Juan “mintió” y que esas

alternativas dependen de la forma en que Juan se ha hecho la propuesta, es decir, en este caso

hacer una cosa y la otra. Un “y” (cuya representación simbólica es ^, o también *, o AND

como se usa en lenguajes de programación), se denomina conjunción, y como hemos visto en

las tablas anteriores, diremos que:

Actividad 5 Reconstruir cada tabla remplazando la “y” con ^ , AND ó * ¿En qué tabla deberán

colocar cada uno?

Actividad 6 Determinar el valor de verdad para cada conjunción, según el valor de verdad de cada

una de las proposiciones involucradas. a) El número 4 es impar y el número 8 es par.

b) El número 4 es raíz cuadrada de 25 y el número ∏ es racional.

c) El cuadrado de -8 es 64 y el cuadrado de 4 es 8.

d) El bit es la menor unidad de memoria y el byte permite almacenar un carácter.

e) Un Kilobyte equivale a 2678 bytes y un Megabyte equivale a 3000000 bytes.

Una conjunción es VERDADERA si los valores de verdad de las proposiciones

que la forman son AMBOS VERDADEROS.


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Continuemos con el Diario de Jaqueri Problema 2

c) Si el relato que pensaba dejar es el 2 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que

mintió?

En el relato 2, por temor a lo que podría suceder, se plantea decidir qué hacer, cobrar

o ir al cine. Entonces, si en este relato mintió, no debería haber hecho ninguna de las

dos cosas ya que al decir “o” con una que hubiera hecho sería suficiente para no

mentir. Si su decisión consistía en tomar una de las alternativas exclusivamente,

evidentemente mintió si hizo las dos cosas o ninguna, ya que de haber sucedido una

de ellas habría dicho la verdad, en cambio si podía elegir una de las dos o ambas, solo

mintió al no realizar ninguna de las dos.

Es decir:

Si podía elegir una o ambas alternativas obtenemos el siguiente cuadro.

Cobro mi sueldo Voy al cine Cobro mi sueldo o voy al cine


si no “no mintió”

no si “no mintió”

no no “mintió”

Si podía elegir una alternativa exclusivamente, se obtiene el siguiente cuadro.

Cobro mi sueldo Voy al cine Cobro mi sueldo ó voy al cine

si si “mintió”

si no “no mintió”


no no “mintió”

Como pueden ver, existe una diferencia entre optar “inclusivamente” por dos opciones

y optar “exclusivamente” por una de ellas. Continuaremos trabajando por el

momento con la opción inclusiva.


“Cobro mi sueldo” o “Voy al cine”

V V V

V V F

F V V

F F F

Las tablas que figuran a continuación son equivalentes a la anterior, se usará una u



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True True True

True True False

False True true

False False False


1 1 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

Como vemos, pueden darse varias alternativas para decir que Juan “no mintió” y que esas


hacer una cosa o la otra. Un “o” (cuya representación es ˅, o también +, u OR, si estamos

usando algún lenguaje de programación), se denomina disyunción incluyente, o simplemente

disyunción y como hemos visto en las tablas anteriores, diremos que:

Actividad 7

Reconstruir cada tabla remplazando la “o” con ˅, OR ó +. ¿En qué tabla usarán cada uno?

Actividad 8

Determinar el valor de verdad para cada disyunción, según el valor de verdad de cada

una de las proposiciones involucradas.

a) El número 4 es impar o la raíz cuadrada de 16 es 8.

b) El número 4 es raíz cuadrada de 16 o -25 es el cuadrado de 5.

c) El software es el soporte lógico de un sistema informático o el software es el

soporte físico del mismo.

d) El bit es la menor unidad de hardware o el byte es un componente lógico del

sistema informático.

e) Un Kilobyte equivale a 1024 bytes o un Megabyte equivale a un Terabyte.

Una disyunción es FALSA sólo si los valores de verdad de las proposiciones

que la forman son AMBOS FALSOS.


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Problema 3

d) Si el relato que pensaba dejar es el 3 ¿qué fue lo que hizo para que luego afirmara que

mintió?

En el relato 3, Juan se plantea “condicionar” su ida al cine al cobro del sueldo. En este

caso, si le han depositado el sueldo (y el cajero tiene dinero para que lo cobre) y va al

cine, no mintió. Si no ha cobrado el sueldo (o no hay dinero en el cajero para que lo

cobre) y no puede ir al cine, tampoco ha mentido. Si no encontró dinero en el cajero,

pero le alcanzaba lo que llevaba en su billetera para la entrada y fue al cine de todos

modos, tampoco mintió (si esto no los convence pensemos que si bien Juan dijo qué

iba a hacer si cobraba su sueldo, nada dijo de lo que haría en caso contrario, si aún les

quedan dudas lo ponemos a discusión en clase). Entonces, ¿qué debió suceder para

que dijese que mintió? Que pudo cobrar su sueldo y no fue al cine.

Es decir:

Cobro mi sueldo Voy al cine si Cobro mi sueldo entonces voy al cine


si no “mintió”


no no “no mintió”


(Si)“Cobro mi sueldo” entonces “Voy al cine”

V V V

V F F

F V V

F V F

Las tablas que figuran a continuación son equivalentes a la anterior, se usará una u


(Si) “Cobro mi sueldo” entonces “Voy al cine”

True True True

True False False

False True true

False True False

(Si) “Cobro mi sueldo” entonces “Voy al cine”

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0


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Como vemos, pueden darse varias alternativas para decir que Juan “no mintió” y que esas


si hace una cosa entonces hace la otra. Un “si… entonces” (cuya representación simbólica es

, o también IF… THEN, si estamos usando un lenguaje de programación), se denomina

condicional. En un condicional la proposición que se encuentra a continuación del “si” se llama

antecedente y la que está a continuación del “entonces” recibe el nombre de consecuente, y

como hemos visto en las tablas anteriores, diremos que:

Actividad 9 Reconstruir cada tabla remplazando el “si… entonces” con , ó IF… THEN.

Actividad 10 Determinar el valor de verdad para cada condicional, según el valor de verdad de cada

una de las proposiciones involucradas.

a) Si el número 4 es impar entonces la raíz cuadrada de 36 es 6.

b) Si el número -4 es raíz cuadrada de 16 entonces25 es el cuadrado de 5.

c) Si un programa es software entonces es soporte lógico de un sistema

informático.

d) Si la RAM es una memoria volátil entonces cuando se apaga la computadora lo

que está en la RAM se borra .

e) Si estoy conectado a Internet entonces estoy interconectado a diversas redes

físicas.

Problema 4

e) ¿En qué relato hay mayor cantidad de posibilidades para no “cumplir” con lo que se

dice?

De todo lo analizado anteriormente, es en el primer relato donde hay más

posibilidades de no poder cumplir con lo propuesto, ya que solo una alternativa le

lleva a no mentir y es aquella en que cumple ambas.

Un condicional es FALSO solamente si el valor de verdad del antecedente es

VERDADERO y el del consecuente es FALSO.


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Resuelto el caso de la mentira de Juan, retomemos el condicional.

¿De qué otra forma podríamos decir SI “cobro el sueldo” ENTONCES “voy al cine”?

Veamos:

Tomemos el caso en que el condicional es Verdadero. Si así es, nos encontramos con las

siguientes posibilidades:

“cobro el sueldo” ENTONCES “voy al cine”

V V V

F V V

F V F

Si “cobro el sueldo” es Falso no puede determinarse el valor de verdad para “voy al cine” ya

que al tener antecedente Falso el condicional es siempre Verdadero independientemente del

valor de verdad del consecuente, por lo tanto, si el condicional es Verdadero, es suficiente

con que el antecedente sea Verdadero para que el valor de verdad del consecuente también

lo sea. Decimos que “cobro el sueldo” verdadera es CONDICIÓN SUFICIENTE para “voy al cine”

verdadera.

Si “voy al cine” es Verdadero no puede asegurarse el valor de verdad de “cobro el sueldo”,

pero es necesario que así sea para que el antecedente sea Verdadero, ya que en los otros dos

casos el valor de verdad resulta ser Falso. Decimos entonces que “voy al cine” verdadera es

CONDICIÓN NECESARIA para “cobro el sueldo” verdadera.

En otras palabras decimos que, “cobrar el sueldo” es CONDICIÓN SUFICIENTE para “ir al cine”

y que “ir al cine” es CONDICIÓN NECESARIA para “cobrar el sueldo” .

Otra forma de expresar lo anterior, partiendo de que el condicional es Verdadero, es:

“Cobro el sueldo” es Verdadero, SÓLO SI “voy al cine” es Verdadero (expresión

equivalente a decir que “voy al cine” es condición necesaria para “cobro el sueldo”)

“Voy al cine” es Verdadero, SI “cobro el sueldo” también lo es (expresión equivalente a

decir que “cobro el sueldo” es condición suficiente para “ir al cine”).

En general, dado el condicional p q, podemos escribirlo como:

y se dice que:

p, SÓLO SI q

q, SI p

p es CONDICIÓN SUFICIENTE para q

q es CONDICIÓN NECESARIA para p


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Respondemos la pregunta con las formas halladas:

Cobro el sueldo, sólo si voy al cine.

Voy al cine si cobro el sueldo.

Es suficiente que cobre el sueldo para ir al cine.

Es necesario que vaya al cine para cobrar el sueldo.

Veamos otro ejemplo.

“Brasil protestará ante la ONU si Argentina se moviliza.” 2 Encontremos las proposiciones simples que forman la expresión dada. Pero, ¿a qué llamamos proposición simple? A toda proposición que consta de un sujeto y de un predicado simple. Entonces en el ejemplo dado, una proposición simple es “Brasil protestará ante la ONU” y otra proposición simple será “Argentina se moviliza”. Representamos a cada una por una letra del siguiente modo:

h:”Brasil protestará ante la ONU” t:”Argentina se moviliza”

Ahora rescribimos la proposición compuesta, y nos queda:

h, si t ¿A qué llamamos proposición compuesta? A toda proposición formada por proposiciones simples unidas por al menos un conectivo lógico. Continuemos con el ejemplo. Tomando en cuenta los recuadros dados anteriormente esta forma se corresponde al condicional: t →h O sea:

Si Argentina se moviliza entonces Brasil protestará ante la ONU

Y si aceptamos que esta condición es Verdadera (t→h es Verdadero), podemos decir que: h es condición necesaria para t, o sea, es necesario conocer el valor de verdad de h para conocer el valor de verdad de t t es condición suficiente para h, o sea, es suficiente conocer el valor de verdad de t para determinar el valor de verdad de h.

2 De Copi Irving. Introducción a la Lógica. Limusa. México 2007, pp. 345


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Si escribimos ahora: “Brasil protestará ante la ONU sólo si Argentina se moviliza.”3 ¿Estamos ante el mismo ejemplo anterior? Piensen y discutan con sus compañeros. Si procedemos a rescribir esta nueva proposición compuesta nos encontramos que se representa como: Si Brasil protestará ante la ONU entonces Argentina se moviliza. Y si utilizamos las mismas letras que usamos antes nos queda: h→t Nos preguntamos si t→h es igual a h→t. ¿Cómo respondemos a este interrogante? Para saber si estas proposiciones compuestas son iguales (si estamos diciendo lo mismo) construimos las tablas de valores de verdad de cada una y comparamos los resultados obtenidos.

Actividad 11

Construir las tablas de valores de verdad para las proposiciones compuestas t→h y

h→t y decir si ambas tablas son iguales.

3 Copi, Irving obra citada


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En las guías anteriores hemos visto la conjunción, disyunción y el condicional, que reciben el

nombre de operaciones lógicas. Cada una de ellas tiene un conector (también llamado

conectivo lógico) que las representa. Usando los conectivos lógicos, podemos escribir

proposiciones compuestas a partir de otras proposiciones, que reciben el nombre de simples.

Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta se construyen tablas de

verdad. Cada una de las operaciones vistas tiene sus tablas de verdad características, que nos

permiten saber, a partir de los valores de verdad dados a cada una de las proposiciones

simples, cuál es el valor de verdad de la compuesta. En todos los casos tratados, las

proposiciones compuestas estaban formadas por dos proposiciones simples, relacionadas a

través de una sola operación.

En esta guía daremos un paso más. Formaremos proposiciones compuestas en las que

intervendrán más de una operación y construiremos sus tablas de verdad correspondientes.

Revisemos las tablas que hemos construido en las guías 3, 4 y 5. Repasemos también el valor

de verdad que puede tomar una proposición simple.

Una proposición admite solo dos valores de verdad posibles, Verdadero o Falso, que

representamos con V y F. Cuando construimos una tabla hemos colocado una columna por

cada proposición, partiendo de las simples y terminando por la compuesta. Pero una tabla

además de columnas tiene filas. En esas tablas contamos cuatro filas. ¿Por qué cuatro?

Veamos: para una proposición p, tenemos dos valores de verdad, V o F, y para cada valor de p,

existen dos valores posibles para q, gráficamente:

p q

V ● V

● F

F● V

F

Tenemos listadas todas las combinaciones posibles para dos proposiciones dadas con dos

valores de verdad cada una, a saber: VV, VF, FV y FF. En total cuatro posibilidades, y como cada

una se escribe en una fila de la tabla, tendremos cuatro filas en ella.

Repitamos este procedimiento considerando ahora tres proposiciones simples, que

llamaremos p, q y r.


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p q r

● V● V● V

F

F● V

F

F● V● V

F

F● V

F

Hemos listado todas las combinaciones posibles para tres proposiciones, con dos valores de

verdad posibles para cada una: VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV Y FFF. Si cada combinación

se coloca en una fila, tendremos ocho filas cuando trabajamos con tres proposiciones.

Antes de armar una tabla con estas características, nos preguntamos si cada vez que

aumentamos la cantidad de proposiciones deberemos hacer un gráfico que muestre todas las

combinaciones.

Repasemos:

a una proposición le corresponde dos filas, escribimos:

1 2

a dos proposiciones le corresponden cuatro filas, escribimos:

2 4

a tres proposiciones le corresponden ocho filas, escribimos:

3 8

Pongamos atención en la última columna, cuyos valores son: 2, 4, 8. Todos múltiplos de 2, pero

no cualquier múltiplo. Estos valores son la primera potencia de 2, la segunda y la tercera.

Entonces, podemos relacionar ambas columnas escribiendo: 21, 22, 23, siendo la base de la

potencia la cantidad de valores de verdad que tiene una proposición simple y el exponente de

la misma, la cantidad de proposiciones simples que intervienen en la proposición compuesta

con la cual trabajaremos. Generalizando diremos entonces que:

A “n” proposiciones simples le corresponden 2n filas en una

tabla de verdad


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Veamos todo lo anterior en un ejemplo:

Dada la siguiente proposición compuesta (p^q)→r , hallar su valor de verdad a través de la

construcción de la tabla.

En esta tabla tendremos 5 columnas, una por cada proposición dada, comenzando por las 3

primeras que se corresponden a cada una de las proposiciones simples p, q y r, para luego

seguir con cada una de las proposiciones compuestas que van apareciendo, siendo la cuarta

para (p^q) y la quinta y última para la proposición (p^q)→r.

① ② ③ ④ ⑤

p q r p^q (p^q)→r

V V V V V

V V F V F

V F V F V

V F F F V

F V V F V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

Lo primero es encontrar los valores de la conjunción, ya que como vemos se encuentra entre

paréntesis. Para hallar los valores de la columna ④ tomamos en cuenta las columnas ① y

②, y aplicamos lo estudiado cuando construimos la tabla de la conjunción (guía de trabajo n°

3).

Para hallar los valores de la columna ⑤ tomamos en cuenta las columnas ④ y ③, en este

orden, ya que el símbolo del condicional indica el sentido en que debemos leer las columnas

en las que se encuentran los valores de verdad que deberemos analizar, y aplicamos lo

estudiado acerca de la tabla del condicional (guía de trabajo n° 5).


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Esta guía está pensada para que apliques lo visto en las guías de trabajo anteriores, por lo que

te proponemos una serie de actividades de diferentes tipos, para que pongas a prueba los

conocimientos que adquiriste en ellas… Manos a la obra!!

Actividad 12

Si a, b y c son enunciados Verdaderos y X, Y, Z son Falsos, determinar cuáles de las

siguientes proposiciones compuestas son Verdaderas:

Y)(cX)](aZ).[(b

X)](YZ).(a

c]X)[(ac]X).[(a

Zc]b).[(a

Z.Y

Y.b

X.a

b.a

8

7

6

5

4

3

2

1

Actividad 13

Si a y b se conocen como Verdaderas y X e Y como Falsas, pero los valores de verdad

de P y Q no se conocen, ¿de cuáles de los siguientes enunciados podemos determinar los

valores de verdad?

)]()[()](.[7

])[()](.[6

).(5

).(4

)(.3

).(2

.1

YQbQYbQ

XaPXaP

YXP

baP

XQX

XPP

aP


22

Actividad 14

En las siguientes expresiones encuentre las proposiciones simples que intervienen

nombrándolas a través de letras minúsculas y rescríbanlas en forma simbólica.

Por ejemplo:

La casa del lago está sucia y deshabitada.

p:”La casa del lago está sucia” q:”La casa del lago está deshabitada”

p q

1. Aprobar los dos parciales es condición necesaria para regularizar la materia.

2. Si mañana es un día soleado, saldré de paseo con mis amigos.

3. Las naranjas y las frutillas poseen vitamina C en cantidad suficiente para el

consumo recomendado.

4. Es suficiente que un cuadrilátero tenga lados paralelos para que sea

paralelogramo.

5. El juego de azar produce adicción o genera pingües ganancias a sus

administradores.

6. Si la cantidad vendida es superior a 500 unidades entonces al vendedor le

corresponde una comisión del 15%.

Actividad 15

Construir las tablas de valores de verdad de cada una de las siguientes proposiciones

compuestas:

))((.5

)().(4

).(3

))((.2

).(1

prqp

pqqp

sqp

prqp

qrp

Actividad 16

Tomando en cuenta las proposiciones compuestas de la actividad anterior, elegir tres

de ellas y dar una interpretación para cada una de las proposiciones simples y rescribirlas en

lenguaje coloquial.

Por ejemplo:

Dada: (p q)→r


23

Escribimos:

p:”El dólar está barato”

q:”Puedo comprar divisas sin problemas”

r:”Viajo de vacaciones a Bélgica”

Rescribimos:

Si el dólar está barato y puedo comprar divisas sin problemas entonces viajo de

vacaciones a Bélgica.


24


Volvamos a la guía de trabajo n° 4. En ella trabajamos la disyunción e hicimos una distinción

entre elegir una opción inclusivamente y elegirla exclusivamente.

Vimos allí en una tabla de elecciones que no obteníamos los mismos resultados.

Sea, por ejemplo, la proposición compuesta:

Estudio leyes o trabajo en administración.

Es evidente que puedo optar por realizar ambas opciones, es decir, puedo elegir

inclusivamente ambas. Pero también puedo optar sólo por una de ellas, o sea, elegir de modo

tal, que una opción excluya a la otra. Por lo tanto si elijo estudiar leyes excluyo la posibilidad

de trabajar en administración. En otras palabras, si estudiar leyes es Verdadero, trabajar en

administración es Falso y viceversa. ¿Cómo nos damos cuenta de que estamos eligiendo de un

modo en particular?

En nuestro lenguaje natural podemos distinguirlas ya que siempre enfatizamos el “o” al

decirlo, o utilizamos expresiones que dan a entender que debemos elegir por una solamente.

En lógica también tenemos forma de hacer esta distinción y es a través del conector ( en

algunos lenguajes de programación se representa con XOR).

La tabla de valores de verdad para esta operación es:

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

No, no, no…. Lo niego terminantemente!

Cuando negamos algo, ¿qué estamos diciendo?

Si decimos “4 es par” estamos ante una proposición Verdadera y si la negamos, decimos “4 no

es par” y estamos ante una proposición Falsa.

Si decimos “5 es un número irracional” estamos ante una proposición Falsa y si la negamos

diciendo que “5 no es un número irracional” estamos ante una proposición Verdadera.

Podemos seguir dando ejemplos y veremos que al negar una proposición con valor de verdad

Verdadero se obtiene otra con un valor de verdad Falso y viceversa. Podemos simbolizar esta

La disyunción excluyente es Verdadera cuando SÓLO UNA de

las proposiciones que la forman también lo es.


25

operación a través de los siguientes conectores: , -, ˜, o también NOT como se usa en

lenguajes de programación.

Por lo anterior, si construimos la tabla de valores de verdad para esta operación obtenemos:

p p

V F

F V

Decimos entonces que:

Actividad 17

Dadas las siguientes proposiciones, escritas en lenguaje coloquial, se pide:

a) Dar su valor de verdad

b) Negarlas y dar su valor de verdad

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

La ROM es una memoria volátil.

La copa libertadores de 2012 la ganó Racing.

La raíz cuadrada de 49 es 2.

No es cierto que 2+2=4.

No se cumple que, el doble de 4 es 8.

Si y sólo si…

Llegados a este punto, presentamos la última operación del cálculo proposicional, llamada

Bicondicional, que se representa con el conector ↔.

Esta operación se expresa en forma coloquial como “si y sólo si”, estableciendo una fuerte

dependencia entre las proposiciones que la forman, de tal forma que una no puede darse sin

la otra. Veamos un ejemplo:

Un triángulo es equilátero si y sólo si tiene sus tres lados congruentes.

Descomponemos esta expresión en cada proposición simple que la forma:

p:”un triángulo es equilátero”

q:”un triángulo tiene sus tres lados congruentes”

Negar una proposición es cambiar su valor

de verdad por el contrario.


26

Representamos simbólicamente la expresión dada:

p↔q

Tenemos frente a nosotros un triángulo, y aseguramos que es equilátero, podemos constatar

que sus lados resultan ser congruentes. Del mismo modo, al ver que un triángulo tiene sus tres

lados congruentes, decimos que es equilátero. Entonces podemos ver que la Verdad de una de

las proposiciones determina la Verdad de la otra.

El triángulo que vemos no es equilátero, podemos constatar que sus tres lados no resultan ser

congruentes entre sí. Del mismo modo, al ver un triángulo cuyos lados no son congruentes

entre sí, decimos que no es equilátero. Entonces podemos ver que la Falsedad de una de las

proposiciones determina la Falsedad de la otra.

La tabla de valores de verdad de esta operación es:

p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

En la tabla observamos que cuando el bicondicional es Verdadero los valores de verdad de

ambas proposiciones son, ambos Verdaderos o ambos Falsos. Es decir, valen lo mismo, o

también que son equivalentes (este concepto lo retomaremos en la segunda parte del

módulo).

Decimos entonces que:

Nos preguntamos el significado de la expresión “si y sólo si”. Veamos.

Podemos escribir lo propuesto de este modo:

Si es equilátero entonces tiene tres lados congruentes. ①

Y también, que:

Si tiene tres lados congruentes entonces es equilátero. ②

De ① decimos que, un triángulo es equilátero, sólo si tiene tres lados congruentes y también

que tiene tres lados congruentes si es equilátero.

De ② decimos que, un triángulo tiene tres lados congruentes, sólo si es equilátero y también

que es equilátero si tiene tres lados congruentes.

Un bicondicional es Verdadero cuando ambas

proposiciones tienen el mismo valor de verdad.


27

Además hemos expresado que ambas condiciones se dan simultáneamente, o sea, se cumple

① y también ②, que ya sabemos, se escribe como ①^②, por lo tanto, decimos que una de

las proposiciones se cumple si y sólo si se cumple la otra.

Lo anterior nos lleva a escribir un bicondicional como la conjunción de dos condicionales (de

ahí su nombre). Entonces:

Al poder escribir el bicondicional como una conjunción entre condicionales, cada proposición

simple resulta ser condición necesaria y suficiente para la otra. Entonces rescribimos el

ejemplo propuesto al inicio como:

Ser triángulo equilátero es necesario y suficiente para tener tres lados congruentes.

O también:

Tener tres lados congruentes es necesario y suficiente para ser equilátero.

Actividad 18

Escribir en lenguaje coloquial tres expresiones bicondicionales, y escribirlas como

condiciones necesarias y suficientes.

p↔q puede ser escrita como [ (p→q) ^ (q→p)]


28


En esta guía debes aplicar todo lo visto en las anteriores… A trabajar!!!!

Actividad 19

Considerando las proposiciones simples siguientes:

a: “El sol es una estrella”

b: ”El sol es un planeta”

c: “El sol brilla con luz propia”

d: “La tierra es calentada por el sol”

Escribir en lenguaje coloquial cada una de las compuestas dadas a continuación:

)(.5

.4

.3

)().(2

)(.1

dcb

ca

ca

dcab

dba

Actividad 20

Construir las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:

)())(.(5

)(.4

)(.3

.2

)(.1

qqp

rsp

pp

pp

p

Actividad 21

Teniendo en cuenta las proposiciones compuestas de la actividad 19 y sabiendo que a,

d y c son Verdaderas y b es Falsa, determinar el valor de verdad de cada una de las compuestas

dadas.


29

Actividad 22

Construir la tabla de valores de verdad para cada una de las proposiciones compuestas

dadas a continuación:

)().(4

)(.3

)(.2

)().(1

pqqp

rpq

rpq

pqqp

Actividad 23

Escribir en forma simbólica la siguiente proposición compuesta que figura en el texto

Hijos en libertad, de A. S. Neill4:

“La chatura y el tedio de ciertas disciplinas escolares se trasmiten a los maestros, y las

escuelas se llenan de hombres y mujeres de mentalidad estrecha, vanidosos, cuyo horizonte

está limitado por el pizarrón y el libro de texto”.

4 De Rojo Armando. Álgebra I. El Ateneo. Buenos Aires 2006, pp. 24


30

Anexo:

Te recomendamos la lectura de esta nota.

El costado lúdico de la matemática

Por Adrián Paenza

Quiero presentar un juego [1]. Es un juego de lógica y tiene un costado detectivesco. No hace falta saber nada de antemano. El único requisito es tener la voluntad de pensar. Y encima es entretenido. Acá va.

En un pueblo arrestan a cuatro sospechosos de haber robado un banco. Los voy a llamar A, B, C y D.

Luego de hacer las investigaciones pertinentes, el jurado tiene estos datos:

1) Si A fuera culpable, B también lo fue.

2) Si B fuera culpable, entonces o bien A es inocente o bien C es culpable.

3) Si D fuera inocente, entonces A tiene que ser culpable y C es inocente.

4) Si D fuera culpable, entonces A también es culpable.

Con estos datos: ¿se puede decidir quién o quiénes de los cuatro fueron culpables (y quiénes son inocentes)?

Antes de avanzar, quiero hacer dos observaciones.

El punto (2) dice que: “o bien A es inocente o bien C es culpable”. Hay que interpretar que por lo menos una de las dos conclusiones es válida.

Es decir, al menos una de las dos afirmaciones (A es inocente, C fue cómplice de B) es verdadera, pero incluso podría pasar que fueran ciertas las dos. Lo que es seguro que NO puede pasar es que ambas sean falsas.

Por último, aunque parezca una perogrullada, prefiero dejarlo escrito (vicios de matemático, supongo): una persona no puede ser culpable e inocente al mismo tiempo.

Obviamente, no hay ninguna trampa. Siéntese en un lugar tranquilo y concédase tiempo para pensar y permítase disfrutar del recorrido.

Página 12. Jueves, 2 de agosto de 2012


31

Solución

Para comenzar, quiero proponerle que hagamos juntos algunas conjeturas.

Tomemos el caso de D. No sabemos (aún) si es culpable o inocente. Por la afirmación (3), si D fuera inocente, entonces se deduce que A tiene que ser culpable [2].

Pero por otro lado, si D fuera culpable, por (4), A también tendría que ser culpable.

Entonces, de las dos reflexiones anteriores hemos deducido que pase lo que pase con D (inocente o culpable) resulta que A ¡tiene que ser culpable!

Sigamos. Como ahora sabemos que A es culpable, por el dato (1) se deduce que B es culpable también.

Usando (2), como B es culpable, quedan dos alternativas: o bien A es inocente, o bien C es culpable. Al menos una de estas dos afirmaciones tiene que ser cierta. Pero como ya sabemos que A no es inocente, entonces no queda más remedio de que C sea culpable.

Resumen: hasta acá hemos deducido que A, B y C son culpables. ¿Qué pasa con D?

Fíjese que de (3) se concluye que si D fuera inocente, entonces tienen que suceder dos cosas simultáneamente: A tiene que ser culpable y C tiene que ser inocente. Pero como ya sabemos que C es culpable, la suposición que involucra el dato (3) no puede ser cierta: D no puede ser inocente. En consecuencia, D es culpable también.

Y esto concluye el análisis. Con los cuatro datos que figuran más arriba, se deduce que ¡los cuatro sospechosos son culpables!

Una reflexión final. No se me escapa que uno nunca tendrá que hacer una evaluación de este tipo al investigar el robo de un banco, pero –obviamente– ésa no es la idea. Lo que pretendo es usar este ejemplo para mostrar cómo uno puede entrenarse a pensar, a conjeturar, a hilvanar ideas, a deducir y a sacar conclusiones un poco más elaboradas, menos inmediatas. Y eso sí que es necesario en la vida cotidiana.

Y de paso sirve para preguntarse por qué este costado lúdico de la matemática no tiene una inserción más evidente en los estadíos iniciales de las escuelas y los colegios.

[1] Hay muchísimas variantes de este tipo de juegos de lógica, popularizados por Raymond M. Smullyan, el célebre matemático nacido en Nueva York en 1919. Smullyan es además mago, concertista de piano, lógico y seguramente algo más que yo no sé. El crédito por este problema le corresponde todo a él.

[2] Se saca además otra conclusión: que C sería inocente, pero eso no es lo que me/nos interesa usar en este momento.


32


Clasificación de proposiciones

En las guías de trabajo anteriores hemos construido tablas de valores de verdad para diversas

proposiciones compuestas, a partir del valor de verdad de cada una de las proposiciones

simples que las formaban, tal como se muestra en los siguientes casos.

1) Construyamos la tabla de valores de verdad para la siguiente proposición compuesta

)()( qpqp

① ②

p q p qp qp ①②

V V F V V V

V F F F F V

F V V F V V

F F V F V V

La última columna de la tabla es el “resultado” final de la misma.

En este caso, encontramos en la última columna que corresponde a la proposición compuesta

que todos los valores de verdad son verdaderos independientemente del valor de verdad de

cada proposición simple. Una proposición que tiene esta característica recibe el nombre de

TAUTOLOGÍA (también llamada LEY LÓGICA, o FÓRMULA VÁLIDA).

Esto significa que, independientemente de las proposiciones que representen p y q el

condicional construido es siempre verdadero. Por ejemplo si

p= “2+3 = 4” y

q= “7 es un número impar”

)()( qpqp

Si “2+3 = 4” ^ “7 es un número impar” entonces “2+3 ≠ 4” v “7 es un número impar”

Es verdadera sin importar que p es falsa y q verdadera ya que el antecedente es siempre falso

(es una conjunción con una de las proposiciones falsa) por lo tanto como han estudiado en la

guía de trabajo n° 5, EL CONDICIONAL ES SIEMPRE VERDADERO.


33

2) Ahora trabajaremos con:

)()( qpqp

① ②

p

q

qp

①

①②

V V V F F

V F F V F

F V F V F

F F F V F

En este caso, encontramos en la última columna correspondiente a la proposición compuesta

que todos los valores de verdad son falsos independientemente del valor de verdad de cada

proposición que la forma. Una proposición que tiene esta característica recibe el nombre de

CONTRADICCIÓN (también llamada FÓRMULA INCONSISTENTE).

La TAUTOLOGÍA y la CONTRADICCIÓN son importantes en Lógica, como veremos más

adelante.

Actividad 24

Construyan un ejemplo y traten de explicar por qué se da esta contradicción.

3) Otro caso. Construyamos la tabla y fijemos nuestra atención en la última columna.

)()( qpqp

① ② ③

p q qp p ② q ①③

V V V F V V

V F F F V V

F V F V V V

F F F V F F


34

Por último, en el caso 3, encontramos en la última columna que corresponde a la proposición

compuesta que los valores de verdad son verdaderos o falsos dependiendo del valor de

verdad de cada proposición que la forma. Una proposición que tiene esta característica recibe

el nombre de CONTINGENCIA.

Por lo anterior diremos que:

Leyes del pensamiento

Existen tres proposiciones fundamentales de la lógica clásica, que son ejemplos de la

importancia de las tautologías y las contradicciones, también conocidas como Leyes del

pensamiento, a saber: Principio de identidad, Principio de Contradicción (también se lo conoce

como Principio de no contradicción) y el Principio del Tercero Excluído. Veamos de qué se

trata cada uno.

Principio de Identidad

Si un enunciado (proposición) es verdadero entonces es verdadero.

En símbolos:

pp

Es una proposición compuesta TAUTOLÓGICA, o es una TAUTOLOGÍA.

Una proposición compuesta es TAUTOLÓGICA si su valor de verdad es

VERDADERO independientemente del valor de verdad de cada una de las

proposiciones que la forman.

Una proposición compuesta es CONTRADICTORIA si su valor de verdad es

FALSO independientemente del valor de verdad de cada una de las


Una proposición compuesta es CONTINGENTE si su valor de verdad es

VERDADERO o FALSO dependiendo del valor de verdad de cada una de las



35

Principio de contradicción

Ningún enunciado (proposición) puede ser verdadero y falso a la vez.

En símbolos:

pp

Es una proposición compuesta CONTRADICTORIA, o es una CONTRADICCIÓN.

Principio del Tercero Excluido

Un enunciado (proposición) es, o bien verdadero o bien falso, y no admite ninguna otra

interpretación.

En símbolos:

pp

Es una proposición compuesta TAUTOLÓGICA, o es una TAUTOLOGÍA.

Actividad 25

Construyan las tablas de valores de verdad para cada uno de los principios enunciados y

verifiquen la clasificación de cada uno.

Actividad 26

Propongan tres proposiciones compuestas que resulten ser tautológicas, contradictorias o

contingentes, respectivamente. Justifiquen por qué los son.


36


Equivalencia lógica

En la Guía de trabajo N° 9 de la primera parte del módulo de Matemática II, hemos tratado el

bicondicional. Hemos construido la tabla de valores de verdad y visto que resulta verdadero

cuando las proposiciones que lo forman tienen el mismo valor de verdad. Es decir, un

bicondicional es verdadero si ambas proposiciones son verdaderas o falsas a la vez, o sea,

ambas “valen igual”. Podemos decir entonces que:

Cuando el bicondicional es verdadero ambas proposiciones son equivalentes.

A la equivalencia demostrada en la tabla de p↔q se la conoce también como equivalencia

material.

En lógica existe otro tipo de equivalencia, de significado más fuerte que el anteriormente

enunciado, como lo es la equivalencia lógica.

“Dos enunciados son lógicamente equivalentes sólo cuando es absolutamente imposible que tengan diferentes valores de verdad, por lo tanto, los enunciados lógicamente equivalentes tienen el mismo significado y se pueden sustituir uno por otro… sin que se modifique el valor el valor de verdad en ese contexto”.4

Dicho de otro modo, todo enunciado (proposición) puede remplazarse por su equivalente sin

cambiar su valor de verdad. Esto es de suma importancia en la demostración de la validez de

los razonamientos o en la simplificación de proposiciones compuestas.

Leyes de equivalencia

En el cuadro siguiente se muestran las leyes de equivalencia usadas en la simplificación de

fórmulas y en la demostración de validez de razonamientos lógicos. Léanlo y complétenlo, en

las siguientes guías de trabajo vamos a utilizarlas, es importante que traten de comprender su

significado y para eso agregamos una columna al final del cuadro para que escriban lo que

cada ley “dice” en lenguaje coloquial.

4 De Copy, obra citada, pp 362

Decimos que dos proposiciones son lógicamente

equivalentes cuando su equivalencia material es una

tautología.


37

Ley Abreviatura Simbolización Forma coloquial

Conmutativa Conm.

)()(

)()(

pqqp

pqqp

p^q equivale a

q^p

y

pvq equivale a

qvp

Asociativa Asoc.

])[()]([

])[()]([

rqprqp

rqprqp

Distributiva Dist.

)]()[()]([

)]()[()]([

rpqprqp

rpqprqp

De Morgan DeM.

)()(

)()(

qpqp

qpqp

Doble negación DN. pp )(

Transposición

( contrarrecíproca)

Trans. )()( pqqp

Implicación

material

Imp. )()( qpqp

Equivalencia

material

Eq. )]()[()( pqqpqp

Tautología

(o idempotencia)

Taut.

)(

)(

ppp

ppp

Actividad 27

Construyan las tablas de valores de verdad para cada una de las leyes de equivalencia y

verifiquen que son tautologías, no se olviden de colocar como título para cada tabla el nombre

o la abreviatura de la ley de equivalencia a la que corresponde. Son unas cuantas, lo ideal es

que trabajen en forma autónoma, luego comparen las tablas construidas con las de todo el

grupo de estudio y traten de determinar cuáles son correctas. Si después de todo este trabajo

aún tienen alguna duda consulten con el profesor.


38

Aplicación

Veamos unos ejemplos de uso de estas leyes:

Ejemplo 1:

Simplificar la siguiente proposición

① ②

)]()[()( rssrqp

La proposición ① es la negación de una disyunción y por ley de De Morgan (vean el cuadro

anterior) esta negación equivale a la conjunción de las negaciones de cada una de las

proposiciones que la forman y la proposición ② es la conjunción de dos condicionales en los

que el antecedente de uno es el consecuente del otro, y por la ley de la equivalencia material

(vean el cuadro) podemos escribir a ésta como un bicondicional. Entonces, aplicando estas

leyes nos quedaría la siguiente proposición:

③ ④

)()]()([ srqp

Por DeM Por Eq.

No continúen leyendo hasta que no estén seguros/as de entender perfectamente lo que se

hizo.

La proposición ③ es la negación de la negación de p y por la ley de la doble negación (¿donde

tendrían que mirar?) equivale a p. Ídem para la proposición ④ que resulta equivalente a q.

Aplicando esta equivalencia nos queda:

)()( srqp

Hemos llegado a una expresión más simple que la dada al comienzo, por lo cual decimos que

ha quedado simplificada.

Otra vez, no continúen leyendo hasta asegurarse de entender perfectamente cómo se logro

esta expresión simplificada.

Ejemplo 2

Negar la siguiente proposición utilizando leyes de equivalencia si fuese necesario:

)( rqp

Se nos pide negar una conjunción, es decir, debemos hacer:

)]([ rqp


39

Entonces debemos usar la ley de De Morgan ¿por qué?

Nos queda:

① ②

)()( rqp

① equivale a p por doble negación y en ② para poder negar el condicional, para lograrlo, lo

escribiremos usando su equivalente por ley de implicación material (vean el cuadro de las

leyes de equivalencia):

)( rqp

De este modo vemos que para negar el condicional ahora debemos negar una disyunción,

entonces escribimos, usando De Morgan:

③

])([ rqp

La expresión ③ equivale a q por la doble negación, entonces escribimos:

)( rqp

Así la expresión anterior debería ser la negación de la proposición dada al comienzo. ¿Cómo

podemos comprobarlo?

Hemos dado algunas aplicaciones de las leyes de equivalencia del cuadro, más adelante

veremos más usos de ellas.


40


En esta guía de trabajo les presentamos actividades en la que podrán utilizar todo lo que

aprendimos hasta este momento.

Vuelvan a trabajar primero solos para luego poder comparar con los trabajos elaborados por el

resto del grupo de estudio al que pertenezcan tratando de determinar si han obtenido

soluciones correctas.

Si después de todo este trabajo aún quedaran dudas pueden consultar con el profesor.

Como se darán cuenta, este es el estilo de trabajo que esperamos que desarrollen durante la

cursada. Creemos que este tipo de trabajo afianza el trabajo en equipo, como también los

lazos que unen a los que integran el grupo. Por otro lado, al darse cuenta de que poco a poco

al comparar su trabajo con el de los demás van obteniendo varias soluciones correctas que

coinciden o son equivalentes con las de sus compañeros, se afianza también la autoestima y

van adquiriendo confianza para el trabajo en Matemática.

Dicho todo esto: ¡A trabajar!

Actividad 28

Usando tablas de valores de verdad clasifiquen las siguientes proposiciones compuestas en tautológicas, contradictorias o contingentes.

r)](rq)[(qp)](qe)[p

q)](q[pd)p

q)](qp[c)p

q)(pq)b)(p

qq)](pa)[p

Actividad 29

Usando tablas de valores de verdad decidan cuáles de los siguientes bicondicionales son tautologías.

)]([)

)]([)

])[())(

)]([)

])[(]))[(

qqppe

qqppd

qqpqpc

qpppb

rpqrqpa


41

Actividad 30

Utilizando las leyes de equivalencia adecuadas, simplifiquen las siguientes proposiciones

compuestas:

)()()

)()

qpqpb

qpa

Actividad 31

Nieguen las siguientes proposiciones, si fuera necesario utilicen leyes de equivalencia:

qpc

srqpb

qpa

)

)]()[

)

Actividad 32

Una empresa cuenta con una base de datos en la que se guarda información de los empleados.

Para cada uno de ellos se guardan los siguientes datos:

Sexo: Masculino, Femenino

Estado Civil: Casado

Hijos: valor numérico entero mayor o igual que 0

Departamento: Ventas, Producción, Finanzas

Salario: valor numérico mayor que 0

Locación de la planta: Nombre de la localidad

Educación: Primaria, Secundaria, Terciaria y Universitaria

Para representar simbólicamente cada uno de los datos anteriores se usa la primera letra en

mayúsculas, por ejemplo: Sexo se simboliza con una S, Masculino se simboliza con una M,

Salario se simboliza con Sa ya que su inicial coincide con Sexo y así sucesivamente.

En el uso de la base se pueden utilizar los símbolos lógicos:

,,


42

Y los símbolos matemáticos:

=, <, >

Por ejemplo para encontrar los empleados casados que trabajan en ventas y ganan más de

$3000, se escribirá la fórmula:

3000 SaVDCEC

Expliquen significado de los símbolos de la fórmula anterior

Antes de comenzar convendrá que escriban los códigos que utilizarán para cada una de las

categorías en las que se almacenará la información de cada empleado, algunas ya las hemos

mencionado al construir la fórmula anterior. Utilizando esos códigos, escriban las fórmulas que

permitan encontrar:

a) Los hombres solteros del departamento de finanzas de Bariloche.

b) Las mujeres que tienen tres hijos y ganan menos de $5000.

c) Los empleados con estudios terciarios o universitarios, que trabajan en La Plata.

d) Los empleados solteros con estudios primarios que no trabajan en producción.

Actividad 33

Propongan una situación similar a la planteada en la Actividad 32 pero considerando que la

base de datos contiene información sobre los alumnos de una universidad.


43


Razonamientos en Lógica

El siguiente texto ha sido extraído del libro Lógica computacional de Enrique Paniagua Arís y

otros, de la editorial Thomson Editores Spain, Paraninfo. España. 2003.

Pepe se encuentra con Juan por la calle y le dice:

-Hola Juan. ¿Cómo te va últimamente?

-Bien, estoy haciendo un curso de Lógica.

-¿Lógica?, y ¿eso qué es?

-Te lo explicaré. ¿A ti te gustan las plantas?

-Sí, claro.

-Y si te gustan las plantas, ¿te gustará la naturaleza?

-Por supuesto.

-Y si te gusta la naturaleza, ¿serás un hombre sociable?

-Sí, muy sociable.

-Y si eres sociable, ¿te gustarán las mujeres?

-Pues sí, me gustan bastante.

-Eso es Lógica. ¿Lo entiendes?

-Sí.

Al cabo de unos días Pepe se encuentra con Antonio y le dice:

-Hola Antonio.

-Hola.

-¿Sabes?, el otro día me encontré con Juan y me comentó que estaba haciendo un curso de

Lógica.

-¿Lógica?

-Sí. Mira, es muy sencillo. ¿A ti te gustan las plantas?

-Pues no mucho, la verdad.

-Ahhhh, ¡entonces eres gay!


44

En este ejemplo vemos cómo Juan realiza, paso a paso, la demostración de que a Pepe le

gustan las mujeres, partiendo de premisas tales como: ”te gustan las plantas”, “si te gustan las

plantas entonces te gusta la naturaleza”, “si te gusta la naturaleza entonces eres un hombre

sociable”, y “si eres un hombre sociable entonces te gustan las mujeres”. En este proceso,

Pepe utiliza premisas y valoraciones de las mismas (sí a todas) que le presenta a Juan en

combinación con una regla de inferencia que se denomina Modus Ponens (que vamos a

estudiar en seguida), para obtener la deducción que realiza.

En el párrafo anterior, usamos las expresiones “premisa”, “regla de inferencia”,

“demostración”, etcétera, a lo largo de esta guía estudiaremos su significado.

Veamos ahora la forma que adopta el razonamiento utilizado por Juan.

“te gustan las plantas” y “si te gustan las plantas entonces te gusta la naturaleza” y “si te gusta

la naturaleza entonces eres un hombre sociable” y “si eres un hombre sociable entonces te

gustan las mujeres”. Entonces “te gustan las mujeres” (1)

Vemos que tenemos un condicional formado por una conjunción de proposiciones, que es el

antecedente del condicional, y una proposición que es el consecuente del mismo. A cada una

de las proposiciones que forman el antecedente las llamamos premisas y a la que forma el

consecuente la llamamos conclusión. A este condicional lo llamamos razonamiento.

Las premisas son verdaderas ya que Pepe responde con un sí a cada una de ellas, por lo que

Juan infiere que la conclusión a la que llega también lo es.

Un condicional, del cual se asegura que de premisas verdaderas se llega a una conclusión

también verdadera, lo llamamos razonamiento válido.

De los razonamientos se dice que son válidos o no, pero nunca que son verdaderos o falsos, ya

que verdaderas o falsas son las proposiciones que lo componen.

Los razonamientos válidos son tautologías. ¿Por qué? ¿Cómo demostramos que lo son?

Representemos simbólicamente el razonamiento de Juan detallado en (1):

p:”te gustan las plantas”

q:”te gusta la naturaleza”

r:”eres un hombre sociable”

s:”te gustan las mujeres”

Se llama razonamiento a cualquier condicional cuyo antecedente es una conjunción

de proposiciones, llamadas premisas, y un consecuente, llamado conclusión.


45

Entonces podemos escribir este razonamiento como el siguiente condicional (también se dice

que lo escribimos de forma condicional):

ssrrqqpp )]()()([

Actividad 34

Construyan la tabla de valores de verdad para el condicional obtenido. (¿Qué propiedad

pueden utilizar para hallar el valor de verdad de la conjunción de más de dos proposiciones

que hay en el antecedente?)

Seguramente, después de un arduo trabajo para confeccionar la tabla, han obtenido una

tautología que consta de 16 filas (¿Por qué 16?) y 11 columnas. Como sabemos cuantas más

proposiciones compongan el razonamiento la tabla más se complica, por lo tanto resultará útil

encontrar otra forma de averiguar si el razonamiento es válido sin recurrir forzosamente a la

tabla.

En la primera parte del módulo hemos usado un procedimiento para hallar el valor de verdad

de una proposición compuesta sin hacer tabla en varias de las actividades propuestas. Revisen

antes de continuar leyendo.

El razonamiento que estamos analizando es válido, entonces el condicional que lo representa

es Verdadero. Si el antecedente (conjunción de las premisas) es verdadero, el consecuente

(conclusión) debe ser verdadero. Necesitamos probar que no existe la posibilidad de que a

partir de premisas Verdaderas lleguemos a una conclusión Falsa. Para lograr esto partimos

suponiendo que el condicional es Falso, siendo Verdadero el antecedente y la conclusión Falsa

para ver qué pasa cuando esto sucede. A este procedimiento se lo llama demostrar por

reducción al absurdo.

Entonces escribimos:

ssrrqqpp )]()()([

V F

F

Para que la conjunción de premisas sea Verdadera, cada una de las premisas que intervienen

en ella debe serlo, es decir:

① ② ③

ssrrqqpp )]()()([

V V V V F

V F


46

Para que el condicional ① sea Verdadero sabiendo que p es Verdadero, debe ser Verdadero

el valor de q.

Para que el condicional ② sea Verdadero sabiendo que q es Verdadero, debe ser Verdadero

el valor de r.

Para que el condicional ③ sea Verdadero sabiendo que r es Verdadero, debe ser Verdadero el

valor de s.

Pero… ¡ATENCIÓN!

Al principio supusimos que s es Falso y hemos demostrado que s es Verdadero. ¡Aquí aparece

el ABSURDO!

Por lo tanto el condicional no puede ser Falso y el razonamiento resulta ser válido.

Fíjense que hemos llegado a esta conclusión sin utilizar una tabla de valores de verdad.

Forma argumental

Los razonamientos pueden escribirse de dos formas: una forma condicional (es la que ya

hemos visto) y otra argumental.

En la forma argumental, cada premisa se escribe en un renglón numerado a partir de 1, y la

conclusión separada de las anteriores por una línea.

La forma argumental del razonamiento que analizamos es:

s

sr

rq

qp

p

.5

_________

.4

.3

.2

.1

Se comprende que cada renglón se une al siguiente a través de la conjunción y la línea

equivale al entonces del condicional.

En el ejemplo trabajado pudimos distinguir fácilmente cuáles eran las premisas y cuál la

conclusión a lo largo del relato, pero cuando leemos un texto cualquiera, a veces no resultan

tan evidentes, por eso existen expresiones que son indicadores de premisas y de conclusiones.

La aparición en un texto de estas expresiones indica que estamos en presencia de ellas, esto

nos facilita encontrarlas para poder traducirlas al lenguaje simbólico.

En su libro Introducción a la Lógica, Irving M. Copi y Carl Cohen escriben que: “… Algunas palabras o frases sirven de manera característica para introducir la conclusión de un argumento. Llamaremos "indicadores de la conclusión" a tales expresiones. La presencia de


47

cualquiera de ellas señala frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la conclusión de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de conclusión:

por lo tanto

de ahí que

así

correspondientemente

en consecuencia

consecuentemente

lo cual prueba que

como resultado

por esta razón

por estas razones

se sigue que

podemos inferir que

concluyo que

lo cual muestra que

lo cual significa que

lo cual implica que

lo cual nos permite inferir que

lo cual apunta hacia la conclusión de que Otras palabras o frases sirven de manera característica para señalar premisas de un argumento. Llamaremos a tales expresiones "indicadores de premisas". La presencia de cualquiera de ellas señala frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la premisa de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de premisas:

puesto que como es indicado por dado que la razón es que a causa de por las siguientes razones porque se puede inferir de pues se puede derivar de se sigue de se puede deducir de como muestra en vista de que…”

Actividad 35

Dados los siguientes razonamientos, se pide expresarlos simbólicamente en forma condicional

y argumental y demostrar si son válidos o no.

a) Los gases se dilatan con el calor y el argón es un gas. Podemos inferir que, o bien el

argón se dilata con el calor o bien no es un gas.

b) Si yo estoy en lo cierto, tú estás equivocado. Tú no estás equivocado. Por lo tanto yo

no estoy en lo cierto.

c) Hace frío. Si hace frío me abrigaré para salir a dar un paseo. Si salgo a pasear me

divertiré con mis amigos. De ahí que, si hace frío me divierto con mis amigos.


48


En la guía de trabajo anterior hemos definido a qué llamamos razonamiento y las formas de

escritura que admite: la forma condicional y la forma argumental. También hemos demostrado

su validez a través de tablas de valores de verdad o bien por reducción al absurdo. En un

razonamiento válido, decimos que la conclusión se deriva del conjunto de premisas, y que el

condicional es un argumento o derivación. En todo el trabajo anterior hemos notado la

dificultad que entraña demostrar esta validez, sea cual sea el modo que elijamos para hacerlo,

sobre todo cuando la cantidad de premisas aumenta.

Existe otro modo de demostrar la validez de un razonamiento y es utilizando reglas de

inferencia.

Una regla de inferencia permite la deducción de nuevas proposiciones a partir de un conjunto

dado de argumentos elementales, siendo la conclusión, la última proposición obtenida que se

deduce lógicamente de las anteriores.

Cuando se utilizan reglas de inferencia para probar la validez de un razonamiento se está

haciendo una prueba formal de validez.

Siguiendo a Copi y Cohen, en su obra citada anteriormente, existen nueve argumentos

elementales, también llamados reglas de inferencia, que se detallan en el cuadro a

continuación:

Regla Abreviatura Forma condicional

Modus Ponens MP. qpqp ])[(

Modus Tollens MT. pqqp ])[(

Adjunción A. )()( qpqp

Silogismo Hipotético S.H. )()]()[( rprqqp

Silogismo Disyuntivo S.D. qpqp ])[(

o también

pqqp ])[(

Dilema Constructivo D.C. )()]()()[( sqrpsrqp

Simplificación S. pqp )(

O también

qqp )(


49

Adición Ad. )( qpp

O también

)( qpq

Absorción Abs. )]([)( qppqp

Actividad 36

Construir para cada una de las reglas de inferencia dadas, una tabla de valores de verdad y

comprobar que son tautologías.

Actividad 37

Para cada regla de inferencia del cuadro, dar una interpretación a cada una de las

proposiciones simples que intervienen y escribirlas en lenguaje coloquial.

Por ejemplo:

Dado el Modus Tollens, sean:

p:”Las rosas son rojas”

q:”Los claveles son blancos”

La forma condicional del Modus Tollens es:

pqqp ])[(

Entonces, para las interpretaciones dadas, puede escribirse:

Si las rosas son rojas entonces los claveles son blancos y los claveles no son blancos. Por lo

tanto las rosas no son rojas.

Otra forma de escribir coloquialmente esta expresión es:

Si las rosas son rojas, los claveles son blancos. Los claveles no son blancos. Por lo tanto las

rosas no son rojas.

Observamos que el y de la primera forma es remplazado por el punto seguido y la expresión

“Por lo tanto” indica que a continuación se escribe la conclusión.


50


Prueba formal de validez

Volvamos al razonamiento de Juan, visto en la guía de trabajo n° 14. Lo demostraremos

utilizando reglas de inferencia y para ello adoptaremos la forma argumental para dar una

prueba formal de validez.

La forma argumental del razonamiento que analizamos es:

s

sr

rq

qp

p

.5

_________

.4

.3

.2

.1

Las líneas de 1 a 4 son el conjunto de premisas y la línea 5 es la conclusión que queremos

demostrar.

Otra forma de escribir la línea de la conclusión en un razonamiento es:

s

sr

rq

qp

p

_________

.4

.3

.2

.1

El símbolo equivale a la expresión “por lo tanto”, o “se infiere”, o a cualquier otro indicador

de conclusión que hemos citado precedentemente. El uso de este símbolo nos permite omitir

el número de línea.

En una prueba formal se procede a escribirlas de este modo:

1.p P (la P indica que la proposición es una Premisa)

2.p→q P

3.q→r P

4.r→s P

s (no utilizamos un código para diferenciar la conclusión ya que esta proposición se

encuentra escrita debajo de la línea)


51

Entonces, a través de la elección conveniente de las premisas y utilizando las reglas de

inferencia que correspondan, se van generando nuevas proposiciones derivadas de ellas, que

pasarán a ocupar una nueva línea en la secuencia.

Veamos la prueba formal de validez:

1.p P

2.p→q P

3.q→r P

4.r→s P

5.p→r S.H. (Silogismo Hipotético) entre 2 y 3

6.p→s S.H. entre 5 y 4

7.s MP.(Modus Ponens) Entre 1 y 6

La línea 7 es la conclusión derivada de las premisas 1 a 4 y de las inferencias 5 y 6.

Es importante notar que en la demostración se han usado todas las líneas de premisas y todas

las líneas de inferencias para llegar a demostrar la conclusión. Siempre en una prueba formal

se han de utilizar todas las líneas dadas y aquellas que se van obteniendo para llegar a la

conclusión.

Asimismo, debemos tener en cuenta que puede haber más de una prueba formal de validez

para llegar a demostrar un razonamiento.

Otra forma de demostrar el razonamiento anterior es:

1.p P

2.p→q P

3.q→r P

4.r→s P

5.q MP. entre 1 y 2

6.r MP. entre 3 y 5

7.s MP. entre 4 y 6

Hasta aquí introdujimos la llamada Lógica discreta o Lógica material o Lógica Proposicional de

Orden cero: LPO0.


52

Actividad 38

Utilizando las reglas de inferencia y las leyes lógicas vistas, dar una prueba formal de validez

para cada uno de los razonamientos dados:

a)

r

rq

p

qp

________

.3

.2

.1

b)

r

rp

s

sp

________

.3

.2

.1

c)

s

ts

tp

tq

qp

__________

.4

.3

.2

)(.1

d)

)(

__________

.3

.2

.1

qp

qs

pr

sr


53


Antes de encarar los temas que cierran el bloque de Lógica, haremos una revisión de lo

expuesto hasta ahora. Es conveniente que tengan a mano las dos partes anteriores a ésta para

ir repasando todo lo visto y así poder aplicarlo.

Actividad 39

Cada una de las siguientes es una prueba formal de validez del argumento indicado. Justifiquen

cada línea que no sea una premisa de la prueba.

a)

s

sr

qp

rP

Psqrp

Psrqp

.6

.5

.4

.3

)().(2

)().(1

b)

tr

tsrp

rp

sPp

tPs

rPq

qPp

.7

)().(6

.5

.4

.3

.2

.1


54

c)

q

qs

rp

qpp

sP

rPqp

Pqsrp

qPp

.8

.7

.6

)(.5

.4

).(3

)().(2

.1

Actividad 40

Construyan una prueba formal de validez para cada uno de los argumentos dados.

a)

vr

uq

xwvu

tsrq

.3

)().(2

)().(1

b)

s

sr

rqp

qp

.3

).(2

.1

Actividad 41

Demuestren que las proposiciones p, q, r y s son equivalentes entre sí, utilizando

convenientemente los condicionales: p→q , q→r , r→s , y s→p. Justifiquen a través de reglas

de inferencia y leyes lógicas.


55

Actividad 42

Construyan una prueba formal de validez para el siguiente argumento, usando las proposiciones sugeridas en este caso. “Si Smith una vez derrotó al fogonero en el billar, entonces Smith no es fogonero. Smith derrotó una vez al fogonero en el billar. Si el guardafrenos es Jones, entonces Jones no es el fogonero. El guardafrenos es Jones. Si Smith no es el fogonero y Jones no es el fogonero, entonces Robinson es el fogonero. Si el guardafrenos es Jones y Robinson es el fogonero, entonces Smith es el maquinista. Por lo tanto, Smith es el maquinista” U: Smith derrotó una vez al fogonero en el billar, M: Smith es el fogonero, G: el guardafrenos es Jones, N: Jones es el fogonero, R: Robinson es el fogonero. S: Smith es el maquinista.

Actividad 43

Utilizando el Modus Ponens, qué conclusión pueden obtener de los siguientes conjuntos de

premisas.

a) Si mañana voy a trabajar, volveré muy cansado. Mañana voy a trabajar…..

b) Recibí una promoción en mi empleo. Si recibo una promoción en mi empleo, mi salario

sufrirá un aumento importante……

c) Tengo una solución al problema. Si tengo una solución al problema, o bien no tengo

problema o bien el problema es otro…….

Actividad 44

Utilizando el Modus Tollens, qué conclusión pueden obtener de los siguientes conjuntos de

premisas.

a) Si sopla el viento del norte, subirá la temperatura. La temperatura no subió………

b) No puedo ir a la reunión mañana. Si tuviese tiempo libre, iría a la reunión mañana…..

c) Si la capacidad de memoria de mi computadora es importante, puedo almacenar más

información en ella. No puedo almacenar más información en ella………..


56

Actividad 45

Utilizando el Silogismo Disyuntivo, qué conclusión pueden obtener de los siguientes conjuntos

de premisas.

a) O bien este hombre es un abogado o bien es un ingeniero. No es ingeniero……..

b) El vuelo se retrasó o Juan tomó otro avión más tarde. El vuelo no se retrasó…..

c) Se presentaron a examen final o promocionaron. No promocionaron…..


57

ANEXO

Citamos en este anexo a Copi y Cohen, en su obra Introducción a la Lógica, antes de comenzar

con el trabajo que realizarán.

“Hasta ahora … hemos centrado nuestra atención en identificar y analizar los argumentos de otras personas. Cuando uno resuelve un problema, debe hacer sus propias inferencias, construir sus propios argumentos. Algunas de las premisas utilizadas describen la situación problemática que uno confronta. Otras premisas contienen información que uno cree que es relevante para la solución del problema. Si el problema es un tanto difícil, uno puede encontrar en el curso de los propios pensamientos que la situación ha sido mal descrita. O uno puede hallar que la información disponible no es suficiente para resolver el problema. Aquí, como en cualquier otra actividad, la práctica hace al maestro. Un tipo útil de ejercicio para ayudar a fortalecer las propias habilidades de solución de problemas son los acertijos lógicos o rompecabezas mentales. En este tipo de ejercicio, la situación problemática se presenta como un conjunto de datos más o menos inconexos o de proposiciones dadas por verdaderas en el enunciado del problema. Y se plantea una pregunta específica o un grupo de preguntas, las respuestas de las cuales constituyen la solución al problema…. A partir de los datos ofrecidos en acertijos de este tipo, quizás solamente unas cuantas inferencias se pueden extraer inmediatamente y, en algunos acertijos particularmente elementales, esto puede ser suficiente para establecer la respuesta a la pregunta planteada”.

Volviendo a nuestro trabajo tomamos un material no académico para esta actividad. Ustedes

tal vez conozcan los libros de Ediciones de Mente. Tomamos del Súper libro de mente N° 14, 1°

edición, Buenos Aires, Juegos & Co., 2011 este acertijo lógico.

Para resolverlo deberán seguir las pistas que se van dando, en la cuadrícula marcarán con una

S, si se cumple, también pueden usar una V, caso contrario, usarán una N o una F. Además

deben tener en cuenta que para cada jugador, solo hay una lesión, un tiempo y una reacción,

que no comparte con otros. Esperamos que su resolución sea además de un desafío un buen

divertimento.

La lógica no solo está en los libros de ciencia… Que disfruten el problema!


58


59

Respuesta:

Jugador Lesión Tiempo Reacción

2 Frente 40´ Maldijo

4 Rodilla 26´ Gritó

5 Tobillo 32´ Se peleó

9 Codo 16’ Lloró

10 Muñeca 20’ Protestó


60


Funciones proposicionales

En el estudio de la Lógica de Orden Cero hemos utilizado proposiciones. Éstas hacían

referencia a cosas u objetos particulares del mundo, como por ejemplo:

p:”el gato maúlla”

q:”2 es impar”

r:”la Tierra gira alrededor del Sol”

etcétera.

Es decir, las proposiciones expresan “algo” acerca del número 2, de un gato, de la Tierra. Pero

a veces es necesario “decir algo” sobre objetos de un determinado conjunto sin especificar un

objeto en particular. Es decir, expresar algo sobre “todos” los objetos de cierto conjunto o

sobre “algunos” de ellos, pero sin nombrarlos uno por uno en particular.

Por ejemplo, podemos decir:

a) Todos los números son mayores que cero.

b) Existen números pares.

¿Qué significa cada una de estas expresiones?

En a) estamos diciendo que cada número es mayor que cero. Cada uno, cualquiera que sea

ese número, sin omitir a ninguno, es mayor que cero.

En b) estamos diciendo que algunos números son pares sin especificar de cuáles se trata.

Algunos números, sin hacer referencia a cuáles, son pares.

En los estos ejemplos hemos nombrado dos “predicados” diferentes sobre el sujeto número.

Estos predicados aluden a propiedades sobre los números que pueden ser escritas de la

siguiente forma:

P(x): “x es mayor que cero”

Q(x): “x es par”

Estos predicados o propiedades se denotan usando letras en mayúscula y están expresadas

en función de un elemento indeterminado x.

Los predicados así escritos no poseen un valor de verdad ya que se desconoce de qué x se

está hablando, por lo tanto, no son proposiciones (recordemos que un proposición siempre

tiene un valor de verdad). Decimos entonces que son esquemas proposicionales ya que se

aplican sobre un objeto indeterminado x.


61

Un esquema proposicional puede convertirse en una proposición reemplazando la

indeterminada x por un elemento del conjunto de referencia. El valor de verdad de la

proposición resultante dependerá del valor específico de la indeterminada x.

Así por ejemplo para P(x)el conjunto universal es el de los números. Si en P(x) remplazamos a x

por el número 5, obtenemos:

P(5):”5 es mayor que cero”

Decimos que P(5) es una proposición Verdadera pues 5 ES un número mayor que cero.

Especifiquemos x en el valor -7, tenemos entonces que:

P(-7): ”-7 es mayor que cero”

En este caso P(-7) es una proposición Falsa ya que -7 NO ES mayor que cero.

Podemos seguir dando valores particulares a la indeterminada x y obtendremos valores de

verdad Verdaderos o Falsos, dependiendo de cada valor en particular asignado.

Se dice que:

De ahí que a los esquemas proposicionales se les denomine también funciones

proposicionales. Al valor particular de la indeterminada x se lo llama especificación, instancia

o sustitución de la variable. Entonces en los ejemplos anteriores, 5 es una especificación de la

variable x, o también que 5 es una instancia de x, o también que 5 es una sustitución de x.

Ídem para -7.

Hemos pasado de un esquema o función proposicional a una proposición, instanciando (o

especificando o sustituyendo) la variable x, hemos observado que las proposiciones así

obtenidas pueden ser Verdaderas o Falsas.

Pero existe otra forma de pasar de un esquema proposicional a una proposición.

Un esquema proposicional es un cierto predicado o propiedad que se aplica a un

objeto indeterminado x, perteneciente a cierto conjunto de referencia.

El conjunto de referencia al que pertenece x es también llamado universo de aplicación

de la variable o conjunto universal.

El valor de verdad de un esquema proposicional es función del valor particular de la

indeterminada x.


62

Cuantificadores

Volvamos a nuestros ejemplos:

En el ejemplo a) hicimos referencia a todos los números y en el b) a algunos números. Hemos

establecido un tipo diferente de generalización para cada predicado: a todos y a cada uno de

los números, en el ejemplo a) y a la existencia de algunos números (al menos uno) en el

ejemplo b). Decimos que hemos cuantificado.

En el ejemplo a) aplicamos una cuantificación universal ya que la propiedad se hace extensiva

a todos los números.

En el ejemplo b), tenemos una cuantificación existencial, al hablar de algunos o de por lo

menos uno.

Podemos rescribir las funciones proposicionales de la siguiente forma:

a) Para todo x, x es mayor que cero.

b) Existe al menos un x, tal que x es par.

La expresión para todo se representa simbólicamente con:

La expresión existe al menos uno (o también existe por lo menos uno, o también existe

alguno, etcétera) se representa simbólicamente con:

Entonces los ejemplos dados quedan escritos simbólicamente del siguiente modo:

)(/)

)(:)

xPxb

xPxa

La notación anterior se usa en matemática, pero en lenguajes de programación que utilizan

esquemas proposicionales cuantificados, se utilizan los cuantificadores con la siguiente

notación:

)())(

)())(

xQxb

xPxa

Los paréntesis indican el alcance del cuantificador. No es obligatorio escribirlos, ya que se

considera que el alcance del cuantificador se aplica al esquema proposicional inmediatamente

posterior. Es decir, en a) el para todo alcanza a lo expresado en P(x) y en b) el existe, alcanza a

lo expresado en Q(x). Por lo tanto podemos escribir:

)(,)

)(,)

xPxb

xPxa

Como ya dijimos el valor de verdad de un esquema o función proposicional depende del

universo de los objetos sobre los que se aplica.


63

Por lo anterior, decimos que:

El ejemplo a), corresponde a una función proposicional cuantificada universalmente P(x) cuyo

valor de verdad es Falso, ya que en el universo de P(x) encontramos una sustitución que no

cumple con la propiedad dada a la variable x (y con encontrar una alcanza porque la

cuantificación es universal es decir “para todos” ). ¿Cuál es esa sustitución encontrada?

El ejemplo b), corresponde a una función proposicional cuantificada existencialmente Q(x)

cuyo valor de verdad es Verdadero, ya que existe por lo menos una instancia que cumple con

la propiedad dada a la variable x. ¿Cuál es la instancia que la cumple?

Otro ejemplo.

Escribir simbólicamente:

Los cuadriláteros tienen cuatro lados.

Aquí hablamos sobre cuadriláteros. ¿Qué decimos de ellos? Que si una figura es un

cuadrilátero entonces tiene cuatro lados.

¿De qué cuadrilátero estamos hablando? De cualquier cuadrilátero, que por serlo decimos que

tiene la propiedad de tener cuatro lados.

Podemos reescribir la afirmación del siguiente modo:

Para todo x, si x es cuadrilátero entonces x tiene cuatro lados.

Llamamos C(x) a “x es cuadrilátero” y L(x) a “x tiene cuatro lados”, entonces nos queda que:

Para todo x, C(x)→L(x)

O también:

)()(, xLxCx

Una función proposicional cuantificada universalmente P(x) es Verdadera sobre un

determinado universo, si P(a) es una proposición Verdadera, para todas y cada una de las

sustituciones “a” de la variable x pertenecientes a dicho conjunto.

Una función proposicional cuantificada existencialmente P(x) es verdadera sobre un

determinado universo, si P(a) es una proposición Verdadera para por lo menos una

sustitución “a” de la variable x perteneciente a dicho conjunto.


64

Actividad 46


a) Existen números menores que cero.

b) Los hombres son mortales.

c) Hay equipos de fútbol que ganan campeonatos.

d) Existen empresarios exitosos y millonarios.

e) Todas las circunferencias tienen un radio.

Actividad 47

Para cada ejercicio de la actividad anterior, establecer un universo para la variable. Hallar el

valor de verdad para cada uno de los esquemas proposicionales según el universo establecido.

Funciones proposicionales con más de una variable

Hasta ahora hemos trabajado con funciones proposicionales de una variable, pero existen

aquellas en las que intervienen más de una variable, como por ejemplo:

R(x;y): “x es múltiplo de y”

En el esquema proposicional anterior se establece que una variable x es múltiplo de otra

variable y.

Como ya vimos, este esquema carece de un valor de verdad, a menos que sustituyamos las

variables en un universo dado.

Por ejemplo, sea 4 una sustitución de la variable x, sea 7 una sustitución de la variable y, para

el universo de los números naturales, entonces:

R(4;7):” 4 es múltiplo de 7” que es una proposición Falsa.

Si ahora sustituimos x por 8 e y por 2, dentro del universo citado, tenemos que:

R(8;2):”8 es múltiplo de 2” que es una proposición Verdadera.

También hemos visto que en vez de sustituir las variables por cada valor particular, podíamos

cuantificar el esquema proposicional, a través de cuantificadores universales o existenciales,

haciendo más sencillo el determinar un valor de verdad dentro de un cierto universo.

Podemos escribir entonces los siguientes esquemas proposicionales cuantificados en el

universo de los números naturales:


65

" ",)

" ",)

ydemúltiploesxyxb

ydemúltiploesxyxa

¿Qué significa cada uno de ellos?

En a) se dice que todo número natural, cualquiera que él sea, es múltiplo de algún número

natural.

En b) se dice que hay al menos un número natural que es múltiplo de todos los números

naturales.

¿Consideran ustedes que ambos esquemas dicen los mismo? Discutan en clase un momento

sobre esto.

Anoten las conclusiones a las que hayan llegado antes de seguir leyendo:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Los esquemas no dicen lo mismo. No es lo mismo que todos los naturales sean múltiplos de

algunos, que hay algún natural que sea múltiplo de todos. ¿En qué radica la diferencia? En el

orden en que están escritos los cuantificadores.

Debemos tener cuidado en el orden en que escribamos los cuantificadores.

Actividad 48


a) Hay un número que es anterior a todo número.

b) Todo número es mayor que algún número.

c) Algunos números tienen inverso multiplicativo.

d) Todos los números tienen opuesto.

Actividad 49

Analizar el valor de verdad de los esquemas de la actividad anterior, para cada uno de los

siguientes universos:

a) El conjunto de los números racionales,

b) El conjunto de los enteros negativos,

c) El conjunto de los números naturales.


66


Negación de cuantificadores

En la guía de trabajo anterior hemos trabajado con funciones proposicionales cuantificadas.

¿Qué sucede si, dado un esquema determinado, se quiere escribir lo contrario?

Veamos algunos casos.

Dados los siguientes esquemas proposicionales cuantificados:

a) Todos los números son pares

b) Existe por lo menos un perro que vuela

Procederemos a negar cada uno:

a) No todos los números son pares…

b) No existe ningún (ni siquiera uno) perro que vuela…

¿Qué estamos diciendo en cada caso? ¿Qué significa “NO todos”? ¿Qué significa “NO existe ni

siquiera uno”?

En a) si NO TODOS los números son pares es porque hay algunos números que NO son pares.

Vemos que:

Negar un cuantificador universal equivale a afirmar un cuantificador existencial en el cual el

predicado aparece negado.

En b) si NO EXISTE un perro que vuela es porque todos los perros NO vuelan.

Es decir

Negar un cuantificador existencial equivale a afirmar un cuantificador universal en el cual el

predicado aparece negado.

Simbólicamente:

)](,[)](,[)

)](,[)](,[)

xPxxPxb

xPxxPxa


67

Observemos en a) que la negación se desplaza hacia el interior de la expresión,

remplazándose el cuantificador universal por el existencial y corriéndose la negación al

esquema proposicional dado. En b) sucede lo mismo.

Veamos algunos ejemplos

Negar los siguientes esquemas:

))]()(()([,)1 xSxQxPx

))]()(()([,))]]()(()([,[ xSxQxPxxSxQxPx

Hemos remplazado el cuantificador universal por el existencial, ahora deberemos negar la

función proposicional que es un condicional (deberán revisar de la parte II del Módulo todas

las leyes de equivalencias dadas), entonces escribimos:

))()(()(,))]()(()([, xSxQxPxxSxQxPx

Observamos como la negación se va desplazando hacia el interior del esquema. Debemos

negar ahora la conjunción y aplicando la ley de De Morgan, llegamos a:

))()(()(,))()(()(, xSxQxPxxSxQxPx

Así la negación que nos han pedido ha sido finalizada.

Entonces:

))()(()(,))]]()(()([,[ xSxQxPxxSxQxPx

)())()((,,)2 xJxTxRyx

La expresión que debemos negar tiene dos cuantificadores. Debe negarse de a un

cuantificador por vez, desplazando la negación hacia el interior del esquema:

)]()()((,[,)]())()((,,[ yJxTxRyxyJxTxRyx

Negamos ahora el siguiente cuantificador:

)]())()([(,,)]()()((,[, yJxTxRyxyJxTxRyx

Negamos el condicional y escribimos:

))()()((,,)]())()([(,, yJxTxRyxyJxTxRyx

La negación pedida ha finalizado.

Entonces:

))()()((,,)]())()((,,[ yJxTxRyxyJxTxRyx


68

Actividad 50

Negar las siguientes funciones proposicionales cuantificadas:

)]()(())()([(,,)

))()(()

))()(()

))())()((()

yTySxQxPyxd

xPxTxc

xRxQxb

xExTxAxa

Actividad 51

Dado el esquema P(x): x2=x+2 y el universo de los números racionales positivos, determinar los

valores de verdad de las siguientes expresiones:

)(,)

)(,)

)(,)

)(,)

)(,)

)(,)

)2()

)3

2()

xPxh

xPxg

xPxf

xPxe

xPxd

xPxc

Pb

Pa

Actividad 52

En la actividad anterior encontrar pares de expresiones en los que una resulte ser negaciones

de la otra.

Actividad 53

Para cada uno de los pares dados, determinar si la negación propuesta es correcta. En caso

contrario escribirla correctamente.

a) Para todo número real x, si x es distinto de 0 entonces x tiene inverso.

Negación: Existe un número real no nulo que no tiene inverso.

b) El producto de los naturales pares es par.

Negación: Existen naturales pares cuyo producto es par.


69


Nuevas Pruebas de validez

En la tercera parte de este Módulo hemos realizado pruebas formales de validez de

argumentos que no estaban cuantificados, utilizando las reglas de inferencia dadas en una

tabla.

En esta guía seguimos a Copi, Irving y Cohen, Carl, en su obra Introducción a la Lógica.

¿Cómo construimos una prueba formal de validez para un razonamiento clásico de la Lógica,

como el que sigue a continuación?

"Todos los humanos son mortales. Sócrates es humano. Por lo tanto, Sócrates es mortal".

Las premisas de este razonamiento son verdaderas, pero debemos llegar a probar la verdad de

la conclusión, o sea, que “Sócrates es mortal”.

Aquí vemos que una de las premisas es una cuantificación universal del esquema

proposicional: “Todos los humanos son mortales”, que puede rescribirse como:

Para todo x, si x es humano entonces x es mortal

o también, si llamamos H(x) a “x es humano” y a “x es mortal” como M(x), podemos escribir:

Para todo x, H(x)→M(x)

La expresión “Sócrates es humano” resulta ser una especificación de H(x). Nos preguntamos

cómo hacemos para pasar de una premisa cuantificada universalmente a una premisa

particular, que resulta ser una especificación de uno de los esquemas que forman a la primera.

Veamos. Escribamos en primer lugar el razonamiento en forma argumental, como ya hemos

estudiado anteriormente:

)(

)(.2

))()((.1

sM

sH

xMxHx

En la línea 1, afirmamos que todos los humanos son mortales y esta proposición universal es

Verdadera si y solo si es Verdadera cada sustitución que se haga en ella, cualquiera que esta

sea, por lo tanto, podemos inferir que la sustitución H(s)→M(s) es también Verdadera. Y si

usamos la línea 2 en conjunción con esta afirmación, llegamos aplicando Modus Ponens a

demostrar que es también Verdadera M(s) y el razonamiento resulta ser válido.

A las reglas de inferencia ya enunciadas, agregamos ahora la Regla de Instanciación Universal

(IU), que expresa que:


70

Si una proposición universal es Verdadera lo es para todos los elementos de un universo

dado

Puede inferirse entonces que también es Verdadera cada una de las instancias particulares de

ella, cualquiera que esta sea, en ese universo.

Entonces, volviendo a nuestra prueba formal, escribimos:

3y 2 entre MP )(4.

de1 IU )()(.3

P )(.2

P ))()((.1

sM

sMsH

sH

xMxHx

Seguimos con otro ejemplo propuesto por los autores nombrados:

"Todos los humanos son mortales. Todos los griegos son humanos. Por lo tanto, todos los griegos son mortales". La forma argumental es:

)()(,

)()(,.2

)()(,.1

xMxGx

xHxGx

xMxHx

Aquí las premisas son proposiciones universales. Sabemos que éstas son verdaderas si y solo si cada una de las instancias particulares lo son. Pero si instanciamos cada premisa tendríamos una lista infinita de sustituciones y esto no es posible en una prueba formal de validez. Debemos contar entonces con un recurso que nos evite esta situación. Consideremos una instancia elegida al azar, una sustitución cualquiera dentro del universo dado, que nombraremos con la letra genérica y, esta letra no denota variable en este entorno, sino un valor específico, particular y arbitrario elegido al azar, que resulta una sustitución verdadera como ya indicamos. Remplazamos:

3y 4 entre SH M(y)5.G(y)

2en IU H(y)4.G(y)

1en IU )()(.3

)()(,.2

)()(,.1

yMyH

xHxGx

xMxHx

Ahora bien, “y” denota a una sustitución arbitrariamente elegida verdadera como todas las instancias del universo dado, por lo tanto podemos inferir que es Verdadera la proposición cuantificada universalmente. Encontramos aquí otra regla de inferencia que agregamos a las anteriores, llamada Principio de generalización Universal (GU), que expresa que:

De la instancia de sustitución de una función proposicional respecto al nombre de cualquier individuo arbitrariamente seleccionado, uno puede inferir válidamente la cuantificación universal de esa función proposicional.


71

Aplicando esta regla, agregamos la línea 6 a nuestra demostración, quedando:

5en GU M(x)G(x)x,6.

3y 4 entre SH M(y)5.G(y)

2en IU H(y)4.G(y)

1en IU )()(.3

)()(,.2

)()(,.1

yMyH

xHxGx

xMxHx

Con lo cual queda demostrado. Siguiendo a estos autores, pasemos a otro ejemplo dado por cuantificaciones existenciales: "Todos los criminales son viciosos. Algunos humanos son criminales. Por lo tanto, algunos humanos son viciosos". Escribimos en forma argumental:

)()(,

)()(,.2

)()(,.1

xVxHx

xCxHx

xVxCx

Recordemos que un esquema cuantificado existencialmente es Verdadero si y solo si se encuentra una instancia de sustitución que sea Verdadera. Si una constante individual (diferente del símbolo especial y) no se ha usado en ningún lugar antes en el mismo contexto, podemos usarla para denotar o bien el individuo que tiene el atributo dado (“Humano y criminal”), o alguno de los individuos que lo tienen, si es que hay varios. Sabiendo que hay un individuo tal, digamos a, tenemos una instancia de sustitución verdadera de la función proposicional dada. Añadimos a nuestra lista de reglas de inferencia el Principio de instanciación existencial (IE), que expresa: Utilizamos esta regla para la demostración:

1 de IU V(a)4.C(a)

2 de IE )()(.3

)()(,.2

)()(,.1

aCaH

xCxHx

xVxCx

A partir de la cuantificación existencial de una función proposicional podemos inferir la

verdad de su instancia de sustitución con respecto a cualquier constante individual

(diferente de y) que no aparezca antes en ese mismo contexto.


72

6y 7 entre Conj. V(a)8.H(a)

3en Simp. 7.H(a)

5y 4 entre MP 6.V(a)

3en Simp. 5.C(a)

La línea 8 es una instancia de sustitución de la conclusión que debemos demostrar. Dado que una proposición cuantificada existencialmente es Verdadera si y solo si encontramos una instancia de sustitución que sea Verdadera, nos encontramos ante una nueva regla de inferencia llamada Principio de generalización existencial (GE), que expresa: Entonces la demostración queda del siguiente modo:

8 de GE V(x)H(x)(x),9.

6y 7 entre Conj. V(a)8.H(a)

3en Simp. 7.H(a)

5y 4 entre MP 6.V(a)

3en Simp. 5.C(a)

1 de IU V(a)4.C(a)

2 de IE )()(.3

)()(,.2

)()(,.1

aCaH

xCxHx

xVxCx

Debemos ser muy cuidadosos al aplicar el principio de instanciación existencial, ya que el símbolo de constante que utilicemos para sustituir no debe haber sido usado anteriormente en el mismo contexto, de ahí que en una demostración en la que haya funciones proposicionales cuantificadas existencialmente siempre se aplique primero este principio, como vimos en el desarrollo de la demostración anterior. Otra cuestión a tener en cuenta es que si las variables de sustitución hacen referencia a individuos de distintos conjuntos referenciales (es decir si hablan de especies diferentes de individuos) no podemos usar las mismas letras para denotarlos. Los autores citados hacen especial referencia a esto y lo muestran en el siguiente ejemplo, que ilustra un argumento no válido. Sea: "Algunos cocodrilos están en cautiverio. Algunos pájaros están en cautiverio. Por lo tanto, algunos cocodrilos son pájaros". Si no tenemos en cuenta la restricción de IE citada anteriormente (de que una instancia de sustitución de una función proposicional inferida mediante IE de la cuantificación existencial de esa función proposicional puede contener solamente un símbolo individual (diferente de y) que no aparezca previamente en el contexto), podríamos construir una "prueba" de la validez de este argumento inválido. Dicha "prueba" errónea sería la siguiente:

Cualquier instancia de sustitución verdadera de una función proposicional nos permite inferir válidamente la cuantificación existencial de esa función proposicional.


73

El argumento anterior se simboliza:

))()((,

)()((,.2

))()((,.1

xBxAx

xCxBx

xCxAx

Sea su demostración:

7 de GE B(x))(A(x)x,8.

6y 5 de Conj. B(a)A(a) 7.

4en Simp. 6.B(a)

3en Simp. 5.A(a)

errónea) ( 2 de IE C(a)4.B(a)

1 de IE )()(.3

)()((,.2

))()((,.1

aCaA

xCxBx

xCxAx

La línea 4 es un instanciación errónea al utilizar la sustitución a para denotar al sujeto “pájaro” cuando en la línea 3 se utilizó para denotar al sujeto “cocodrilo”. Entonces si es necesario usar las IE y la IU en una demostración, primero utilizar la IE, además si las funciones proposicionales hacen referencia a individuos de diferentes universales no se deben usar las mismas letras para hacer sustituciones individuales.

Actividad 54

Construir una prueba formal de validez:

N(x))(Q(x)x,

Q(x))(M(x)x,2.

N(x))(M(x)x,1. d)

G(x))(I(x)x,

H(x))(I(x)x,2.

H(x))(G(x)x,1. c)

D(x)(F(x)x,

E(x))(F(x)x,2.

E(x))(D(x)x,1. b)

B(x))(C(x)x,

A(x))(C(x)x,2..

B(x))(A(x)x,1. a)


74

Actividad 55

Construir una prueba formal de validez para cada uno de los siguientes argumentos, usando la

notación sugerida:

a) Ningún atleta es perezoso. Carlos es perezoso. Por lo tanto, Carlos no es un atleta.

(A(x), P(x), c)

b) Todos los bailarines son ágiles. Algunos esgrimistas no son ágiles. Por lo tanto, algunos

esgrimistas no son bailarines. (B(x), A(x), E(x))

c) Ningún jugador es feliz. Algunos intelectuales son felices. Por lo tanto, algunos

intelectuales no son jugadores. (J(x), F(x), I(x))


75


Sistemas de numeración

Martin Gardner (Tulsa, Oklahoma, 21 de octubre de 1914 – Norman, Oklahoma, 22 de mayo de

2010) fue un divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense, muy popular por sus

libros de matemática recreativa. Tomamos de una de sus obras llamada Matemática para

divertirse, 1° edición, 3° reimpresión, Buenos Aires: Juegos & Co., 2006, el acertijo aritmético

titulado “La barra de plata” (página 20 de la obra citada) para introducirnos en el estudio de

los sistemas de numeración.

LA BARRA DE PLATA

Un buscador de plata no podía pagar la renta del mes de marzo de su habitación por adelantado. Tenía

una barra de plata pura de 31 centímetros de largo, de modo que hizo con su casera el siguiente

arreglo: él cortaría la barra en trozos más pequeños; el primer día de marzo le daría a la casera un cen-

tímetro de la barra, y cada día subsiguiente le agregaría otro centímetro más. Ella conservaría la plata

en prenda. A fin de mes, el buscador esperaba estar en condiciones de pagarle la renta completa, y

ella le devolvería los trozos de la barra de plata.

Marzo tiene 31 días, de modo que una manera de cortar la barra de plata era dividirla en 31

partes, cada una de un centímetro de largo. Pero como era bastante laborioso cortarla, el

buscador deseaba cumplir el acuerdo dividiéndola en el menor número posible de partes. Por

ejemplo, podía darle a la casera un centímetro el primer día, otro centímetro el segundo día, y el

tercer día podía entregarle un trozo de tres centímetros y recibir a cambio los dos trozos anteriores

de un centímetro.

Suponiendo que las porciones de barra fueran entregadas y devueltas de esta manera, ve si puedes

determinar el menor número posible de partes en las que el buscador debe dividir su barra de

plata.

SOLUCIÓN

El buscador puede cumplir el trato cortando su barra de plata de 31 centímetros en cinco partes

de 1, 2, 4, 8 y 16 cm de longitud. El primer día le da a la casera el pedazo de 1 cm, el día

siguiente ella se lo devuelve y él da el pedazo de 2 cm; el tercer día él vuelve a darle el pedazo de

1 cm, el cuarto día ella le devuelve ambas piezas y él le da el pedazo de barra de plata de 4 cm. Al

http://es.wikipedia.org/wiki/Tulsa

http://es.wikipedia.org/wiki/Oklahoma

http://es.wikipedia.org/wiki/21_de_octubre

http://es.wikipedia.org/wiki/1914

http://es.wikipedia.org/wiki/Norman_(Oklahoma)

http://es.wikipedia.org/wiki/22_de_mayo

http://es.wikipedia.org/wiki/2010

http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_ciencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidos

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_recreativa


76

dar y devolver de esta manera, el buscador puede agregar un centímetro por día y cubrir así los

31 días del mes.

La solución de este problema puede expresarse muy simplemente en el sistema binario de la

aritmética. Es un método para expresar números enteros utilizando solamente los dígitos 1 y 0.

En los últimos años es un sistema importante porque la mayoría de los ordenadores

(computadoras) operan sobre una base binaria.

Así es como se escribiría el número 27, por ejemplo, si usamos el sistema binario:

11011

¿Cómo sabemos que éste es el 27? La manera de traducirlo a nuestro sistema decimal es la

siguiente: sobre el dígito de la derecha del número binario, escribimos «1». Sobre el dígito

siguiente, hacia la izquierda, escribimos «2»; sobre el tercer dígito hacia la izquierda escribimos

«4»; sobre el dígito siguiente, «8», y sobre el último dígito de la izquierda, «16» (ver la

ilustración). Estos valores forman la serie 1,2, 4, 8, 16, 32...en la que cada número es el doble

del que lo precede.

16 8 4 2 1

1 1 0 1 1

El paso siguiente consiste en sumar todos los valores que estén sobre los «1» del número binario.

En este caso, los valores son 1, 2, 8 y 16 (4 no se incluye porque está sobre un 0). Sumados dan

27, de modo que el número binario 11011 es igual al 27 de nuestro sistema numérico.

Cualquier número de 1 a 31 puede expresarse de esta manera con un número binario de no más de

cinco dígitos. Exactamente de la misma manera, puede formarse cualquier número de

centímetros de plata, de 1 a 31, con cinco trozos de plata si las longitudes de esas cinco piezas

son de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros.

La tabla siguiente consigna los números binarios para cada día de marzo. Advertirás que para

el 27 de marzo el número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm de plata de la casera estarán

formados por las piezas de 1, 2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuánta rapidez

puedes calcular exactamente cuáles piezas de plata sumadas dan la cantidad que corresponde

al número de días.


77

El texto anterior hace referencia a un sistema de numeración específico, el sistema binario o

de base dos. Pero, ¿a qué nos referimos cuando hablamos de un sistema de numeración?

Días de MARZO

16 8 4 2 1

1 1

2 1 0

3 1 1 4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

16 1 0 0 0 0

17 1 0 0 0 1

18 1 0 0 1 0

19 1 0 0 1 1 20 1 0 1 0 0

21 1 0 1 0 1

22 1 0 1 1 0 23 1 0 1 1 1

24 1 1 0 0 0

25 1 1 0 0 1

26 1 1 0 1 0 27 1 1 0 1 1

28 1 1 1 0 0

29 1 1 1 0 1 30 1 1 1 1 0

31 1 1 1 1 1

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos llamados dígitos y un conjunto

de reglas de formación que nos permite escribir un número dentro del sistema.

A la cantidad de símbolos o dígitos se la denomina base del sistema.


78

Así, nuestro sistema de numeración es decimal porque posee diez dígitos para representar

números (del 0 al 9), el binario tiene dos (0 y 1), el octal tiene ocho (del 0 al 7), el hexadecimal

tiene dieciséis (del 0 al F). ¿Si la base de un sistema de numeración es cinco, cuántos dígitos

tendrá? ¿Cuáles serán?

Anoten su respuesta:

En el módulo de Matemática I hemos visto en la Guía de trabajo N°1, el Anexo 1, en el que se

presentaba el sistema de numeración hexadecimal, como ejemplo de sistema de numeración

posicional y los dígitos que lo componen, les sugerimos volver a su lectura para el trabajo que

sigue más adelante.

Como vemos existen diferentes sistemas de numeración según su base (o conjunto de

dígitos). Además, podemos clasificar a un sistema según el valor relativo que toman sus

dígitos en: sistemas posicionales o no posicionales. Nosotros nos detendremos en los

sistemas posicionales, especialmente en aquellos que se usan en el campo computacional,

como son el binario, el octal, el hexadecimal y por supuesto nuestro sistema de numeración

decimal, que tomaremos como sistema de referencia.

Recordamos que:

Entonces, por ejemplo, el número 32 y el 23 son diferentes aunque tengan los mismos dígitos

ya que en uno, el dígito 2 ocupa el lugar de las unidades y en el otro el de las decenas. Ídem

para el dígito 3.

Hablamos de dígitos y dijimos que eran cada uno de los símbolos que se utilizan para

representar números dentro del sistema. Pero, ¿a qué llamamos número?

En un sistema de numeración, llamamos número a la expresión formada por un conjunto de

dígitos que responden a una regla de formación, cuyo valor absoluto se obtiene por la

sumatoria de los valores relativos de cada uno de los dígitos que lo componen.

Por ejemplo, en el sistema de numeración decimal, el número 2345, que consta de cuatro

dígitos, lo escribimos como:

2345= 2x103+3x102+4x101+5x100

Recordemos que el exponente indica la posición que ocupa dentro del número cada uno de los

dígitos, por ejemplo, el 2 ocupa el lugar de la unidad de mil, de ahí que el exponente es 3, ya

que en ella hay 1000 unidades simples, y así sucesivamente, hasta llegar a el exponente 0, que

indica la cantidad de unidades simples. Llamamos unidad simple a aquella que no es parte de

Un sistema de numeración es posicional cuando sus dígitos tienen un valor relativo según

la posición que ocupan dentro del número.


79

ningún agrupamiento de orden superior a cero. Llamamos agrupamiento de orden superior a,

por ejemplo, 1 unidad de mil, ya que tenemos en ella 10 grupos de 10 centenas, a 1 centena

en la que tenemos 10 grupos de 10 decenas y a 1 decena en al que tenemos un grupo de 10

unidades simples.

Sea ahora el número 178653490876, que consta de doce dígitos, lo escribimos como:

178653490876= 1x1011

+7x1010

+8x109+6x10

8+5x10

7+3x10

6+4x10

5+9x10

4+0x10

3+8x10

2+7x10

1+6x10

0

A medida que el número tiene más dígitos, aumenta la cantidad de términos en el desarrollo

por sus valores relativos y por consiguiente la cantidad de sumandos que lo forman. Si el

número está compuesto por n dígitos, tendremos una suma de n términos, escrita del

siguiente modo:

N= dn-1x10n-1 + dn-2x10n-2 + … + d3x103 + d2x102 + d1 x101+d0x100

Una forma abreviada de escribir esta suma, es a través de un símbolo especial, que se llama

sumatoria, que se representa con la letra griega Σ (sigma mayúscula), muy usado en

matemática.

En el desarrollo general observamos que los dígitos se identifican a través de subíndices, que

varían de 0 a n-1, al igual que los exponentes de la base del sistema. Estas variaciones se

declaran en la sumatoria Σ a través de una variable genérica i cuyo valor inicial será 1 y su valor

final será n, entonces, la suma anterior nos queda:

)( 10)1(

1 )1(

ini

i idN

Siendo d(i-1) uno de los dígitos pertenecientes al conjunto de símbolos del sistema de

numeración decimal (uno cualquiera de 0 a 9).

Si generalizamos aún más, considerando un sistema de numeración genérico de base b, el

desarrollo de un número en dicho sistema se representa como:

)(N bd1)-(ini

1i 1)-(i

Siendo d(i-1) cualquier dígito comprendido entre 0 y b-1.

Vale aclarar que todo lo enunciado anteriormente sobre escritura de números es para

números enteros, la expresión para números decimales no la utilizaremos en este módulo.

No nos detendremos en detallar en qué consisten las reglas de formación de números (excede

al propósito de este módulo), pero sí nos detendremos en detallar cómo se hace el pasaje de

un sistema de numeración a otro.

En párrafo anterior, dijimos que tomamos el sistema decimal de numeración como sistema de

referencia, es decir, partiremos de números en este sistema, que iremos transformando en sus

equivalentes en distintas bases, especialmente tomaremos números enteros.


80

Siempre que hagamos un pasaje de un sistema a otro deberemos indicar a qué sistema

pertenece el número original y sobre qué base haremos la transformación. Ello se indica

escribiendo como subíndice la base original y la destino como se muestra en el siguiente

ejemplo:

a) Transformar el número 23 en base 10 a su equivalente en base 2.

Nos piden hallar el número X en base 2 que cumple la siguiente equivalencia (el

símbolo ≡ significa equivalencia)

23(10 ≡ X(2

Algunos autores escriben las bases entre paréntesis y otros sin ellos, por lo tanto, se da la

siguiente equivalencia:

23(10 ≡ 23(10) ≡ 2310

En el sistema de numeración decimal el número 23 se lee “veintitrés”, expresión que hace

referencia a veintitrés unidades en total, y vimos además que las posiciones relativas que

ocupa cada dígito proviene de una agrupación por cada 10 unidades de la inmediata inferior y

también que agrupar significa dividir la cantidad de unidades totales según indica la base del

sistema, o sea, en el sistema decimal, dividimos por diez.

Por lo tanto, para hacer este pasaje tenemos que realizar una nueva agrupación del total de

unidades dadas (23) pero ahora formando grupos de a dos. Esto nos lleva a dividir el número

dado por dos, como se muestra a continuación:

23 2

① 11

Obtenemos 11 grupos de 2 unidades cada uno y nos sobra 1 unidad simple.

Al cociente lo volvemos a dividir por 2 obteniendo de este modo 5 grupos formados por los

grupos de 2 unidades obtenidos antes, remarcando siempre los restos obtenidos, que

resultarán ser 0 o 1, únicos restos posibles al dividir por 2, hasta que nos quede un cociente

igual a 0.

23 2

① 1 1 2

① 5 2

① 2 2

⓪ 1 2

① 0


81

Finalizada la división procedemos a escribir el número desde el último resto obtenido

(representa el grupo de mayor orden) hasta el primer resto hallado (representa la cantidad de

unidades simples que no pudieron ser agrupadas), tal como muestra la flecha en la división de

arriba.

Entonces, el número 23(10 es equivalente al número 10111(2

Probemos que el número obtenido en base 2 es el dado en base 10.

10111(2= 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20

10111(2= 1x16 + 0x8 +1x4 + 1x2 + 1x1

10111(2= 16 + 0 + 4 + 2 + 1

10111(2 ≡ 23(10

Actividad 56

Pasar los siguientes números expresados en base 10 a sus equivalentes en base 2 y comprobar

la equivalencia entre ellos.

a) 123(10

b) 87(10

c) 255(10

d) 10(10

e) 32(10

Con el mismo criterio trabajado anteriormente, podemos pasar un número en base 10 a base

8, si lo dividimos por 8, y a base 16 si lo dividimos por 16.

b) Transformar el número 23 en base 10 a su equivalente en base 8.

23 8

⑦ 2 8

② 0

23(10 ≡ 27(8


82

Verificamos:

27(8= 2x81 + 7x80

27(8= 2x8 + 7x1

27(8= 16 + 7

27(8= 23(10

c) Transformar el número 23 en base 10 a su equivalente en base 16.

23 16

⑦ 1 16

① 0

23(10 ≡ 17(16

Verifiquen la equivalencia.

Actividad 57

Pasar los siguientes números expresados en base 10 a sus equivalentes en base 8 y comprobar

la equivalencia entre ellos.

a) 123(10

b) 87(10

c) 255(10

d) 10(10

e) 32(10

Actividad 58

Pasar los siguientes números expresados en base 10 a sus equivalentes en base 16 y

comprobar la equivalencia entre ellos.


83

a) 123(10

b) 87(10

c) 255(10

d) 10(10

e) 32(10

Actividad 59

Pasar a base 10 los siguientes números expresados en las bases indicadas.

a) 111100001(2

b) A09CD(16

c) 773(8

d) 935(16

e) 101010101010(2

f) 432(5

g) FBBCDE28(16

Actividad 60

Construir una tabla en la que aparezcan los números del 1 al 15 inclusive, escritos en el sistema

decimal y sus equivalentes en el sistema binario, octal y hexadecimal.


84


En la guía anterior hemos pasado un número escrito en el sistema de numeración decimal a

sus equivalentes en el sistema binario, octal y hexadecimal.

Sea ahora el pasaje entre un número escrito en el sistema binario y su equivalente en el

sistema octal.

Para realizar este pasaje debemos auxiliarnos en el pasaje a base 10, como se muestra en el

siguiente ejemplo:

Sea el número 111001(2, queremos encontrar su equivalente en base ocho. Entonces para ello

escribimos su equivalente en base 10:

111001(2= 1x25 + 1x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20

111001(2= 1x32 + 1x16 + 1x8 + 0 + 0 + 1x1

111001(2=32 + 16 + 8 + 1

111001(2= 57(10

Ahora dividimos el número 57(10 por 8, que es la nueva base en que queremos expresar el

número dado:

57 8

① 7 8

⑦ 0

Obtenemos la siguiente equivalencia:

57(10= 71(8

Por lo tanto, ¿a qué conclusión llegamos?

Escriban aquí la conclusión:

Este procedimiento se aplica cuando se quiere pasar un número escrito en cualquier base a

otro equivalente en cualquier base, entonces siempre nos auxiliamos pasando por la base

diez.


85

Actividad 61

Realizar los siguientes pasajes:

a) 23F(16 ≡ X(8

b) 721(8 ≡ X(2

c) ABC(16 ≡ X(2

d) 21347(8 ≡ X(16

Cuando queremos pasar de un número en base 2 a su equivalente en base 8, o en base 16,

existe un procedimiento que evita pasar por su equivalente en la base 10. Esto puede hacerse

ya que las bases 8 y 16 son potencias de la base 2. ¿Cómo procederemos entonces para

realizar estos pasajes?

Pasaje de binario a octal

Sabemos que 8 es la tercera potencia de 2, y que 2 es la base del sistema binario, entonces

dado un número binario agrupamos los dígitos de a tres contando de derecha a izquierda,

completando con cero si hiciese falta a la izquierda, y escribimos el equivalente de cada grupo,

como se muestra a continuación.

Sea por ejemplo, el número 11100011(2 queremos pasarlo a su equivalente en base 8.

Separamos en grupos de tres dígitos binarios de derecha a izquierda como muestra la figura y

escribimos debajo sus expresiones equivalentes:

011 100 011

3 4 3

El grupo 011 representa al número 3, el grupo 100 representa al número 4, ya que se cumplen

las siguientes equivalencias:

011(2= 0x22+1x21+1x20 = 0+2+1= 3(10 y 3(10 ≡ 3(8

100(2= 1x22+0x21+0x20=4+0+0= 4(10 y 4(10 ≡ 4(8

El número en base 8 buscado es el 343(8

Verifiquemos la equivalencia entre ellos:

11100011(2= 1x27+1x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x20

11100011(2= 1x128+1x64+1x32+0x16+0x8+0x4+1x2+1

11100011(2= 128+64+32+0+0+0+2+1


86

11100011(2 ≡ 227(10

343(8= 3x82 + 4x81 + 3x80

343(8= 3x64 + 4x8 + 3x1

343(8= 192+32+3

343(8 ≡ 227(10

Entonces los números 11100011(2 y 343(8 son equivalentes entre sí.

Actividad 62

Pasar los siguientes números binarios al sistema octal:

a) 10111100011111(2

b) 11100001100111(2

c) 100011100110111(2

Pasaje de binario a hexadecimal

Sabemos que 16 es la cuarta potencia de 2, y que 2 es la base del sistema binario, entonces

dado un número binario agrupamos los dígitos de a cuatro contando de derecha a izquierda,

completando con cero si hiciese falta a la izquierda, y escribimos el equivalente de cada grupo,

como se muestra a continuación.

Sea por ejemplo, el mismo número 11100011(2 del ejemplo anterior y queremos pasarlo a su

equivalente en base 16.

Separamos en grupos de cuatro dígitos binarios de derecha a izquierda como muestra la figura

y escribimos debajo sus expresiones equivalentes:

1110 0011

E 3

El grupo 0011 representa al número 3, el grupo 1110 representa al número E, ya que se

cumplen las siguientes equivalencias:

0011(2= 0x23+ 0x22+1x21+1x20 = 0+0+2+1= 3(10 y 3(10 ≡ 3(16

1110(2= 1x23+ 1x22 +1x21+0x20= 8+4+2+0= 14(10 y 14(10 ≡ E(16

El número en base 16 buscado es el E3(16


87

Verifiquemos la equivalencia entre ellos:

11100011(2= 1x27+1x26+1x25+0x24+0x23+0x22+1x21+1x20

11100011(2= 1x128+1x64+1x32+0x16+0x8+0x4+1x2+1

11100011(2= 128+64+32+0+0+0+2+1

11100011(2 ≡ 227(10

E3(16= Ex161 + 3x160

E3(16= Ex16 + 3x1

E3(16= 14x16+3

E3(16= 224 + 3

E3(16 ≡ 227(10

Entonces los números 11100011(2 y E3(16 son equivalentes entre sí.

Actividad 63

Pasar los números binarios de la Actividad 61 al sistema hexadecimal.

Análogamente podemos pasar un número expresado en base a 8 o en base 16 a su equivalente

en base 2.

Pasaje de octal a binario

Si tenemos en cuenta que cada dígito octal se representa con tres dígitos binarios podemos

pasar de un número en base 8 a su equivalente en base 2 de la siguiente forma:

Sea el número 467(8 escribimos bajo cada dígito su equivalente en binario, como se muestra en

la figura:

4 6 7

100 110 111

El número 467(8 ≡ 100110111(2

Pasaje de hexadecimal a binario

Si tenemos en cuenta que cada dígito hexadecimal se representa con cuatro dígitos binarios

podemos pasar de un número en base 16 a su equivalente en base 2 de la siguiente forma:


88

Sea el número A467(16 escribimos bajo cada dígito su equivalente en binario, como se muestra

en la figura:

A 4 6 7

1010 0100 0110 0111

El número A467(8 ≡ 1010010001100111(2

Actividad 64

Verificar las equivalencias en cada uno de los ejemplos desarrollados en los pasajes de octal a

binario y de hexadecimal a binario.

Actividad 65

Pasar los siguientes números expresados en el sistema octal y hexadecimal a binario.

a) 4766(8

b) 1B3A9(16

c) 521(8

d) FF128(16

e) 700(8

f) 1592(16

g) AADC(16

Los sistemas de numeración binario, octal y hexadecimal encuentran aplicación en el ámbito

computacional.

En el sistema binario a los dígitos binarios 0 y 1 se los suele llamar bits, entonces el dígito

binario 0 recibe el nombre de bit cero o también bit nulo, y el dígito binario 1 recibe el nombre

de bit 1. Estos bits representan dos estados mutuamente excluyentes, como por ejemplo: dos

voltajes diferentes, polaridades magnéticas sobre un disco magnético, un "positivo", un "sí",

etcétera.

A veces se utiliza la numeración octal en vez de la binaria y se suele indicar poniendo 0x

delante del número octal. Así, una cadena de bits binarios puede reducirse en su longitud de

caracteres por su equivalente a octal, ya que de una cadena de tres dígitos binarios se

obtiene un dígito octal.


89

Una agrupación de bits muy utilizada es el byte, que está formado por ocho dígitos binarios,

que permite definir a la unidad básica de memoria, también recibe el nombre de octeto. Una

forma abreviada de escribir un byte es utilizando dígitos hexadecimales, ya que como vimos en

la guía anterior, cada cuatro dígitos binarios podemos definir un dígito hexadecimal.

Cada carácter, ya sea imprimible o de control, que utiliza un sistema informático y puede ser

almacenado en la memoria de un computador, está representado por un código numérico

hexadecimal, llamado Código ASCII. Una tabla de código ASCII pueden encontrarla en el

siguiente enlace http://es.wikipedia.org/wiki/ASCII. Por lo tanto, si imprimiésemos el

contenido de la memoria veríamos una secuencia de letras de la A a la F y dígitos de 0 a 9, que

tomados en grupos de dos (de derecha a izquierda), resultan ser números hexadecimales que

corresponden a algún carácter que aparece en la tabla citada.

Actividad 66

Teniendo en cuenta la tabla de códigos ASCII del link dado, hallar el texto que representa la

cadena dada a continuación:

…

4D75792070726F6E746F20646562657265206573747564696172207061726120656C20657861

6D656E…

http://es.wikipedia.org/wiki/ASCII


90


Sumatoria

En la guía de trabajo n°21 hemos introducido el símbolo de sumatoria que es la letra griega

sigma mayúscula Σ.

La sumatoria (o sumatorio, en algunos autores), no define a una operación, sino que es un

operador que permite escribir en forma general y abreviada una suma de n términos, a partir

del término general de la serie de sumandos.

Por ejemplo, sea la suma de los primeros veinte números naturales:

S= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

Esta suma puede escribirse en forma abreviada indicando que su desarrollo consta de veinte

sumandos, contando de 1 hasta 20 inclusive, y que cada sumando responde a una ley de

formación o fórmula del término general de la serie, que está dada por una expresión

algebraica en la que aparece una variable que representa a cada uno de los lugares que ocupa

cada sumando en la serie y que al remplazarla por los valores de 1 a n permite obtener los

valores específicos de la serie.

En nuestro ejemplo vemos que el número 1 ocupa el lugar 1 de la serie, el 2 ocupa el lugar 2, y

así sucesivamente hasta el número 20 que ocupa el lugar 20 de la serie. Si llamamos i a la

variable que indica el lugar que ocupa un término y que en este ejemplo representa al término

mismo, podemos escribir:

Límite superior de la sumatoria (último lugar de la serie)

20i

1i

i S

Límite inferior de la sumatoria (primer lugar de la serie)

Observemos que la utilización del operador no “resuelve” la suma, solo la expresa en forma

abreviada y genéricamente. Para obtener el resultado de la sumatoria debemos escribir el

desarrollo de la misma y efectuar el cálculo. Entonces:

2019181716151413121110987654321 i S20i

1i

210 S

En el ejemplo tuvimos que sumar los 20 primeros números naturales y si tuviésemos que

calcular la suma de los 400 primeros ¿Qué haríamos? ¿Nos resulta práctico sumar 400

términos? Obviamente que no. Entonces así como encontramos una ley de formación para el

Ley de formación o fórmula general de la serie


91

término general es conveniente encontrar una expresión general para calcular el resultado sin

pasar por la suma de los n términos pedidos.

Sumar los 20 primeros o los 400 primeros números naturales, responde a la suma de los

primeros n términos de una sucesión, que puede calcularse a través de la expresión:

2)(

1

nS aa n

Donde a1 es el primer elemento de la serie, an es el último elemento de la serie y n es la

cantidad de términos a sumar.

En nuestro ejemplo la expresión queda escrita como:

2

nn)(1 S

Verifiquemos remplazando:

2

2020)(1S

1021S

021S

Vemos que obtenemos la misma suma con ambas expresiones, entonces, podemos escribir la

siguiente igualdad:

ni

i

i1 2

n n)(1

El haber encontrado una expresión general para hallar el resultado nos facilita mucho su

cálculo, ya que no es necesario el desarrollo de la sumatoria.

Actividad 67

Resolver los siguientes problemas utilizando la sumatoria del término general encontrado.

1) Se almacenan postes de teléfono en una pila con 25 postes en la primera capa, 24 en la

segunda y así sucesivamente. Si la pila tiene 12 capas ¿Cuántos postes hay en total?

2) A una persona le ofrecen trabajo con un sueldo de $36.000 anuales, y firma un

contrato por el que recibirá aumentos anuales de $2800. Calculen los ingresos totales

al cabo de 10 años en ese trabajo.


92

3) En una playa de estacionamiento hay lugar para estacionar 20 automóviles en la

primera fila, 22 en la segunda, 24 2n la tercera y así sucesivamente. Si en total hay 24

filas calculen la cantidad de autos que pueden estacionarse.

Resolvamos a modo de ejemplo el primer problema:

Tenemos 12 capas en la pila y en cada una de ellas cierta cantidad de postes, como se muestra

en la siguiente tabla:

N° de capa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cantidad de postes 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14

A partir de la capa2 la cantidad de postes disminuye en 1, así en esta capa encontramos 24, es

decir 25-1, en la capa 3 encontramos 24-1 o bien 25-2, etc. Agreguemos una fila más a nuestra

tabla y volquemos en ella estas diferencias:

N° de capa Cantidad de postes Diferencias entre una

capa y la siguiente

Diferencias en función

del número de capa

1 25 25-0 25-(1-1)

2 24 25-1 25-(2-1)

3 23 24-1 25-(3-1)

4 22 23-1 25-(4-1)

5 21 22-1 25-(5-1)

6 20 21-1 25-(6-1)

7 19 20-1 25-(7-1)

8 18 19-1 25-(8-1)

9 17 18-1 25-(9-1)

10 16 17-1 25-(10-1)

11 15 16-1 25-(11-1)

12 14 15-1 25-(12-1)

En general, si tenemos n capas podemos escribir la cantidad de postes por capa como:

25-(n-1) o bien 25-n+1, y la cantidad total de postes, entonces, podemos escribirla como:


93

12n

1n

1)n(25 S

Para hallar la cantidad de postes debemos desarrollar la sumatoria, término a término:

1)12-(251)11-(251)10-(251)9-(251)8-(251)7(25

1)6-(251)5(251)4(251)3-(251)2(25)11(25 S

141516171819202122232425 S

234 S

Ya estamos en condiciones de responder al problema: en total hay 234 postes.

Ahora resuelvan ustedes los problemas que quedan.

Las siguientes actividades han sido extraídas del libro Rojo, Armando O. Álgebra I. 21ª ed. Editorial El Ateneo. Buenos Aires 2006.

Actividad 68

Desarrollar las siguientes sumatorias:

ni

1i

3i

1i

ni

1i

4

1i

a )

1)-(i )

)

)

1i

2.i

)1(

d

c

b

ia

ii

Actividad 69

Expresar como sumatorias las sumas indicadas:

a) 2+4+6+8+10=

b) 1+3+5+7+9+11=

c) 1+8+27+64=


94

Propiedades de la sumatoria:

Demostraremos dos propiedades de la sumatoria:

1) Desarrollamos la siguiente sumatoria:

)(....)()(a )b ( 2211

ni

1i

i nni bababa

Aplicamos ahora las propiedades conmutativa y asociativa de la suma en el conjunto de

números reales en el segundo miembro de la igualdad y obtenemos:

)...()...(a )b ( 2121

ni

1i

i nni bbbaaa

Por definición de sumatoria nos queda:

ni

i

ii ba1

ni

1i

i

ni

1i

i a )b (

Expresen en forma coloquial la propiedad recuadrada:

2) Al igual que en la demostración anterior, procederemos a desarrollar la sumatoria:

nakakak ......)(k.a 21

ni

1i

i

Aplicamos en el segundo miembro de la igualdad propiedad distributiva:

)....()(k.a 21

ni

1i

i naaak

Por definición de sumatoria obtenemos:

ni

i

iak1

ni

1i

i .)(k.a

Expresen en forma coloquial la propiedad recuadrada:


95

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Actividad 70

Comprobar la siguiente igualdad:

nxxni

i

i

ni

i

i

ni

1i

i

1

22

1

x2. )1(

Actividad 71

Se define al promedio como la siguiente igualdad:

nn

xxx n

ni

1i

i

21

x

...x

Comprobar que se cumple:

2ni

1i

22

1

xn. - )x(

i

ni

i

i xx


96


Productoria

Se llama productoria, o también productorio o multiplicatoria o simplemente producto, a un

operador matemático que viene representado por la letra griega pi mayúscula ∏. Este

operador representa la multiplicación de una cantidad finita o infinita de factores. Al igual que

lo visto para la sumatoria, en este operador definimos un valor inicial y otro final para una

variable auxiliar que representa las posiciones que ocupan cada uno de los factores en el

desarrollo de la multiplicación:

n

ni

i

i a...a.aa 21

1

Propiedades:

De las propiedades de este operador, nos interesa la siguiente, llamada propiedad multiplicativa:

Desarrollamos la siguiente productoria:

).)...(.).(.().( 2211

1

nni

ni

i

i babababa

Aplicamos las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación en el conjunto de

números reales y obtenemos:

)....).(.....().( 2121

1

nni

ni

i

i bbbaaaba

Aplicamos ahora la definición de productoria en el segundo miembro de la igualdad:

)).(().(111

ni

i

i

ni

i

ii

ni

i

i baba

Expresen en forma coloquial la propiedad multiplicativa:

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Utilizando este operador podemos definir el factorial de un número, que se representa como

!n , del siguiente modo:

Procedemos a desarrollar la productoria:


97

1).n-2).(n-3).(n-n1.2.3....( 1

ni

i

i

Esta multiplicación es el desarrollo de n!

Por lo tanto se verifica la siguiente igualdad:

ni

i

i1

n!

El concepto del factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. El factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos, llamado permutación simple de n elementos, representada por Pn.

La función factorial es fácilmente de implementar en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativo, es decir, se realiza un bucle en el que se multiplica una variable auxiliar por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.

http://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Bucle_(programaci%C3%B3n)

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_recursivo

Technology

Matematica ii software