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1
Matematica corso base
a.a.2018/19
Elementi di logica
Algebra lineare
2
OBIETTIVO del corso
Acquisire strumenti matematici utili
per l’analisi e per la soluzione di
problemi concreti
La matematica è un linguaggio
rigoroso e non ambiguo che aiuta a
ragionare sui problemi complessi
3
Elementi di logica
Una proposizione è una frase della quale si
può decidere senza ambiguità se è vera o
è falsa.
Esempi: “la lavagna è nera” (vero)
“la lavagna è triangolare” (falso)
“T è un triangolo rettangolo”
(guardo T e rispondo)
4
implicazione logica
Una frase scritta nella forma
Se (proposizione1) allora (proposizione2)
Costituisce una implicazione logica
5
Gli enunciati dei teoremi sono
implicazioni logiche
Se (proposizione1) allora (proposizione2)
ipotesi tesi
condizione condizione
sufficiente necessaria
6
Se si possono scambiare ipotesi e
tesi
Allora si dice che
• Proposizione 1 è condizione necessaria e
sufficiente per Proposizione 2
• Proposizione 2 è condizione necessaria e
sufficiente per Proposizione 1
7
Esempio (Teorema di Pitagora)
• se (T è un triangolo rettangolo)
• allora (la somma delle aree dei quadrati
costruiti sui cateti è uguale all’area del
quadrato costruito sull’ipotenusa)
8
Si possono considerare teoremi più
complessi
Esempio
Se (proposizione1 e proposizione 2 e proposizione 3 …)
allora (proposizione4 e proposizione 5 …)
In questo caso
• Ipotesi =(proposizione1 e proposizione 2 e
proposizione 3 …)
• Tesi=(proposizione4 e proposizione 5 …)
9
Dimostrare un teorema
Dimostrare un teorema vuol dire trovare la
catena di implicazioni logiche che parte
dalle ipotesi e permette di arrivare alla tesi
mediante regole di implicazione logica (per
esempio i sillogismi (Socrate è uomo, ogni
uomo è mortale, Socrate è mortale))
10
I quantificatori universali
• Per ogni Esiste Negazione
Osservazione sulla negazione di “per ogni”
Esempio:
negare la frase “tutte le pecore sono bianche”:
non “tutte le pecore sono bianche”
esiste una pecora non bianca
Quindi basta almeno un elemento che non verifica la proprietà assegnata per dire che la proprietà non è verificata per tutti.
11
Algebra lineare
• Vettori
Un vettore è una n-pla ordinata di numeri reali
Si indica con lettere latine minuscole.
1 2 3, , , ..., na a a a a
Sn= spazio dei vettori di dimensione n
12
• Esempio: n=4
• Quantità di
mele, pere, pomodori, zucchine
1, 2, 1.5, .5a
13
Somma di due vettori (stessa lunghezza)
, ,…, )( ,
1 2 3, , , ..., na a a a a
1 2 3, , , ..., nb b b b b
1 1 2 2 3 3, , , ..., n na b a b a b a b a b
14
1, 2, 1.5, ..., .5a
3, .7, 1., ..., .2b
4, 2.7, 2.5, ..., .7a b
Esempio
15
0 0, 0, 0, ..., 0
0 0a a a
Il vettore nullo
Osservazione:
16
1 2 3, , , ..., na a a a a
3 3*1, 3*2, 3*1.5, ..., 3*.5
3, 6, 4.5, ..., 1.5
a
Scalari= numeri reali
3, .1, 3.1415…Si indicano con lettere greche α, β, γ, …
Prodotto di un vettore per uno scalare
Esempio
17
Combinazione lineare dei vettori a e b con coefficienti α e β
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
, , , ...,
, , , ...,
, , , ...,
n
n
n n
a b
a a a a
b b b b
a b a b a b a b
18
Esempio
3 2 3, 6, 4.5, 1.5
6, 1.4, 2, .4
9, 7.4, 6.5, 1.9
a b
19
Generalizzazione:
combinazione lineare dei vettori a1, a2, …, am con
coefficienti α1, α2, …, αm
1 21 2 ... mmb a a a
b si dice linearmente dipendente dai vettori a1, a2, …, am
Definizione:
20
Ulteriore esempioDati i due vettori e1=(1,0) ed e2=(0,1)
si osserva che
- Il vettore b=(2,3) si ottiene da 2 e1 +3 e2 , infatti
2* e1 +3* e2 =2*(1,0)+3*(0,1)=(2,0)+(0,3)=(2,3)
- Osservo anche che qualsiasi altro vettore a=(a1,a2) si ottiene
da e1 ed e2 in maniera simile:
a1* e1 +a2* e2 =a1*(1,0)+a2*(0,1)= (a1,0)+(0, a2)=(a1,3)
- Quindi tutti i vettori con due componenti sono linearmente dipendenti da e1 ed e2.
21
Generalizzazione:
combinazione lineare dei vettori a1, a2, …, am con
coefficienti α1, α2, …, αm
1 21 2 ... mmb a a a
b si dice linearmente dipendente dai vettori a1, a2, …, am
Un insieme di vettori a1, a2, …, am si dice linearmente
dipendente se almeno uno di essi è linearmente
dipendente dai rimanenti.
Definizione:
Definizione:
22
Terminologia:
Non dipendenti = indipendenti
Un insieme di vettori a1, a2, …, am si dice linearmente
dipendente se almeno uno di essi è linearmente
dipendente dai rimanenti.
Un insieme di vettori a1, a2, …, am si dice linearmente
INdipendente se NESSUNO di essi è linearmente
dipendente dai rimanenti.
23
Esempio di vettore b indipendente dai vettori
a1 ed a2:
b=(2,3), a1=(0,1), a2=(0,2)
Infatti la seconda componente di b si ottiene
sommando le rispettive II componenti di a1 ed a2, ma
la somma delle prime componenti rimane sempre zero.
Per dire che b, a1 ed a2 costituiscono un insieme di
vettori indipendenti bisogna anche verificare che non
si può scrivere a1 come combinazione lineare di b ed
a2 e che non si può scrivere a2 come combinazione
lineare di b ed a1.
24
(2,3)=a1*(0,1)+a2(0,2)=
(0,a1)+(0,2*a2)=(0,a1+2*a2)
25
Come si caratterizzano dipendenza ed
indipendenza quando b è il vettore nullo e
gli altri vettori a1, a2, … sono vettori
qualsiasi (con lo stesso numero di
componenti)
26
Osservazione: se α1 = α2 = αm=0 allora
1 20 0 ... 0 0mb a a a
Domanda: vale il viceversa? Ovvero
Porre tutti i coefficienti uguali a zero è l’unico
modo per ottenere il vettore nullo?
Esempio: 1*(2,2)-2*(1,1)=(0,0)
Risposta: in alcuni casi si può ottenere il vettore nullo anche con
coefficienti non nulli.
Quindi non è sempre vero che l’unico modo di ottenere il vettore nullo
è di porre i coefficienti uguali a zero.
Quindi il vettore nullo si ottiene ponendo tutti i
coefficienti uguali a zero.
27
Teorema: i vettori a1, a2, …, am sono linearmente
indipendenti se e solo se l’unico modo per ottenere, con
una loro combinazione lineare, il vettore nullo è quello di
prendere tutti i coefficienti uguali a zero.
Il caso in cui l’unico modo di ottenere il vettore nullo è
di porre tutti i coefficienti uguali a zero è strettamente
collegato alla indipendenza.
Non isoliamo più b rispetto ai vettori a1, a2, ma
consideriamolo come uno dei vettori tra a1, a2, …, am.
28
la equivalenza vale anche passando agli
opposti, considerando
contemporaneamente le negazioni di
entrambe le proposizioni.
Proposizione 1 Proposizione 2
Negazione della
Proposizione 1
Negazione della
Proposizione 2
se e solo se
se e solo se
29
Teorema:
i vettori a1, a2, …, am
sono linearmente
indipendenti
negazione
sono linearmente
dipendentialmeno un coefficiente è
diverso da zero.
1 21 2 ... 0mma a a
tutti i coefficienti sono
uguali a zero.se e solo se
se e solo se
30
Teorema: i vettori a1, a2, …, am sono linearmente
dipendenti se e solo se esiste una combinazione
lineare degli m vettori con almeno uno dei
coefficienti diverso da zero, che ha come risultato
il vettore nullo.
La dimostrazione del teorema precedente
equivale alla dimostrazione del seguente:
31
Dimostrazione:
Ipotesi: suppongo che almeno uno dei
coefficienti sia diverso da zero.
Suppongo che sia il primo: se non lo è scambio
i nomi. Quindi da
32
1 21 2 0mma a a
1 21 2 mma a a
1 21 2 mma a a
21 2
1 1
mma a a
si ha che
e quindi che
e quindi
33
1a
},,,,{ 321 maaaa
e pertanto verifica la definizione di
è dipendente perché almeno uno di loro è
dipendente dai rimanenti.
La tesi è quindi dimostrata.
Quindi l’insieme
dipendenza lineare
34
Per dimostrare l’implicazione inversa ripercorro
i passaggi a ritroso.
35
Teorema: i vettori a1, a2, …, am sono linearmente
indipendenti se e solo se l’unico modo per ottenere, con
una loro combinazione lineare, il vettore nullo è quello di
prendere tutti i coefficienti uguali a zero.
36
Definizione: Dato un insieme di vettori a1, a2, …, am
del medesimo spazio Sn il rango è il massimo numero
di vettori indipendenti presenti in tale insieme.
37
Teorema: in uno spazio Sn è sempre possibile trovare n
vettori linearmente indipendenti, ma (n+1) o più vettori
sono sempre linearmente dipendenti
38
1 2 3{ , , , , }ne e e e
1 (1, 0, 0, ,0)e
2 (0,1, 0, ,0)e
Esercizio: dato l’insieme di n vettori
…
(0, 0, 0, ,1)ne
39
1 2 3, , , , n
1 21 2 0mme e e
dimostrare sono indipendenti, cioè che esiste un
unico insieme di scalari
tale che
40
1 21 2
1 1 1 1
2 2 2 2
*1, *0, *0, ..., *0
*0, *1, *0, ..., *0
...
*0, *0, *0, ..., *1
mm
n n n n
e e e
41
1
2
3
, 0, 0, ..., 0
0, , 0, ..., 0
...
0, 0, , ..., 0
0, 0, 0, ..., n
1 2 3, , , ..., 0n
42
MATRICI1.Matrici
Una matrice nxm è una tabella con n righe ed m colonne.
Si indica con lettere latine maiuscole.
I simboli del tipo aij indicano l’elemento sulla riga i, colonna j.
nmnn
m
m
m
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
33231
22221
11211
Se n=m la matrice si dice quadrata e di ordine n.
43
Esempi: Esempi
numerici:
matrice 1x1
matrice 2x2 (p. 51, n.3)
matrice 3x3 (p. 51, n.4)
matrice 2x3
11aA 5A
2221
1211
aa
aaA
45
31A
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
212
101
231
A
232221
131211
aaa
aaaA
262
131A
44
Determinanti
Si indica con il simbolo det(A), oppure |A|.
Si può calcolare solo per matrici quadrate.
45
Esempi: Esempi numerici:
matrice 1x1 →
Attenzione: il calcolo del
determinante NON è il calcolo
del valore assoluto
matrice 2x2
11|| aA
5A 55|| A
2221
1211
aa
aaA
21122211
2221
1211aaaa
aa
aaA
45
31A
11154)5(*)3(4*1
45
31
A
46
matrice 3x3
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
212
101
231
A
47
Regola di Sarrus:si riscrive la matrice.
Accanto si riscrivono le prime due colonne:
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
12212
01101
31231
48
Si tracciano le diagonali
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
12212
01101
31231
49
e si iniziano a sommare i prodotti degli elementi
che cadono sotto la stessa diagonale:
322113312312332211 aaaaaaaaa
8260
)1(*1*22*1*)3(2*0*1
50
Si tracciano poi le altre diagonali:
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
12212
01101
31231
51
e si sottraggono i prodotti degli elementi che
cadono sotto la stessa diagonale:
312213322311332112 aaaaaaaaa
7016
2*0*2)1(*1*12*1*)3(
52
Il determinante di A è
dato da: 178 A
312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
53
Caratteristica di A
Si indica con il simbolo car(A). Si può
calcolare per matrici qualsiasi.
Un minore di A è il determinante di una
sottomatrice ottenuta da A scegliendo gli
elementi in comune a k righe e k colonne.
54
Il numero k prende il nome di ordine del
minore.
La caratteristica di una matrice A è l’ordine
massimo dei suoi minori non nulli. Questo
significa che bisogna trovare i minori di A che
risultano diversi da zero e considerarne uno di
ordine più grande possibile.
55
Esempio 1: Trovare la caratteristica della
seguente matrice:
262
131A
56
A è una matrice con 2 righe e 3 colonne, quindi
posso estrarre sottomatrici quadrate al più di
ordine 2:
57
estraggo i minori di ordine 2
di A:
e li calcolo:
righe:1,2
colonne:1,2
righe:1,2
colonne:1,3
righe:1,2
colonne:2,3
62
311
M
066
)3(*)2(6*1
22
112
M
022
)2(*1)2(*1
26
133
M
066
6*1)2(*)3(
58
Osservazione: (proprietà T2) se una matrice ha
due righe oppure due colonne proporzionali
allora il suo determinante è nullo.
Poiché nessuno dei minori di ordine 2 è diverso
da zero:
59
estraggo i minori di ordine 1
di A:
e li calcolo:
riga: 1
colonna:1
riga: 1
colonna:2
riga: 1
colonna:3
riga: 2
colonna:1
riga: 2
colonna:2
riga: 2
colonna:3
14 M
35 M
16 M
27 M
68 M
29 M
1
3
1
2
6
2
1
60
Esempio 2: Trovare la caratteristica della matrice
242
111
121
A
Estrazione minori:
si possono estrarre minori di ordine 3,2,1, l’ordine
del primo minore non nullo fornisce la
caratteristica.
61
242
111
121
1
M
42242
11111
21121
0244442
)2(*1*14*1*1)2(*1*)2(
4*1*1)2(*1*)2()2(*1*1)det(
A
Si può estrarre un solo minore di ordine 3:
Lo calcolo usando la regola di Sarrus:
62
estraggo i minori di ordine
2 di A:
e li calcolo:
righe:1,2
colonne:1,2
righe:1,2
colonne:1,3
Poiché ho trovato un
minore di ordine 2
non nullo car(A)=2.
Non c’è bisogno di
calcolare gli altri
minori.
righe:1,2
colonne:2,3
11
212
M
11
113 M
11
124
M
03)2(*11*1
63
righe:1,3
colonne:1,2
righe:1,3
colonne:1,3
righe:1,3
colonne:2,3
righe:2,3
colonne:1,2
righe:2,3
colonne:1,3
righe:2,3
colonne:2,3
42
215
M
22
116
M
24
127
M
42
118
M
24
119
M
22
1110
M
64
Esempio 3: Trovare la caratteristica della matrice
0242
0111
0121
A
Soluzione:
Estrazione dei minori : tutti quelli estratti
precedentemente ed inoltre tutti quelli che
contengono la colonna
0
0
0
65
242
111
121
1
M
042
011
021
11
M
022
011
011
12
M
024
011
012
13
M
Osservazione: se una colonna ha solo elementi
nulli il determinante è zero.
66
Estrazione minori di ordine 2: so già che esiste un
minore non nullo → car(A)=2
67
Esempio 4: Trovare la caratteristica della matrice
4242
2111
2121
A
Soluzione:
Estrazione dei minori : tutti quelli estratti
precedentemente ed inoltre i seguenti:
68
estraggo i minori di ordine 2 di
A:
e li calcolo:
righe:1,2,3
colonne:1,2,4
righe:1,2,3
colonne:1,3,4
righe:1,2,3
colonne:2,3,4
0
0
0
442
211
221
14
M
422
211
211
15
M
424
211
212
16
M
69
Tutti i minori di ordine 3 sono nulli perché
ciascuno ha due colonne proporzionali.
Estrazione minori di ordine 2: so già che esiste un
minore non nullo → car(A)=2
70
1242
1111
2121
A
142
111
221
17
M
42
11
21
017 M
Esempio 5: Trovare la caratteristica della matrice
Soluzione:
Estrazione dei minori : tutti quelli estratti
precedentemente ed inoltre :
= 1+4+8+2-4+4 = 15 ≠ 0
→ car(A)=3
71
Esempio 6: Trovare la caratteristica della matrice
23
21
32
72
Esempio 7: Trovare la caratteristica della matrice
723
521
332
73
},,,,{ 321 maaaa
),,,,( 13121111 naaaaa
2 12 22 32 2( , , , , )na a a a a
3 13 23 33 3( , , , , )na a a a a
1 2 3( , , , , )m m m m nma a a a a
RANGO
Insieme di m vettori
…
74
},,,{ 21 maaa
nmnn
m
m
m
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
33231
22221
11211
Matrice delle componenti dei vettori
ciascun vettore è trascritto sulle colonne:
75
},,,{ 21 maaa
nmnn
m
m
m
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
33231
22221
11211
Il rango di
è l’ordine massimo dei minori non nulli di
76
},,,{ 21 maaa
baxaxax mm 2211
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
m m
n n nm m n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Combinazione lineare dei vettori
componente per componente:
sistema di n equazioni lineari in m incognite
77
“sistema”: non una sola equazione
“equazioni”: “=”
“lineari”: sono usate solo somme e prodotti
“incognite”: i valori non sono noti
“Risolvere il sistema”= trovare i valori di
mxxx ,,, 21
che verificano contemporaneamente tutte le
uguaglianze
78
matrice dei coefficienti del sistema
matrice incompleta
nmnn
m
m
m
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
33231
22221
11211
79
matrice completa
nnmnn
m
m
m
baaa
baaa
baaa
baaa
bA
21
333231
222221
111211
|
80
},,,,{ 321 maaaa
},,,,{ 321 maaaa
b
},,,,,{ 321 baaaa m
Esercizio 1:
Insieme di m vettori Ipotesi: dipendenti
Se aggiungo all’insieme
il vettore il nuovo insieme
sarà dipendente o no?
81
},,,,{ 321 maaaa
mm aaa 221
m ,,2
Ricordo che l’insieme
è dipendente se almeno uno di loro è dipendente
dai rimanenti. Suppongo quindi che il primo sia
dipendente dagli altri: se non lo è scambio i nomi:
con almeno uno tra diverso da zero.Posso sempre scrivere
baaa mm 0221
e questo verifica ancora la definizione di
dipendenza.
82
Quindi
se aggiungo un vettore ad un insieme di vettori
dipendenti ottengo ancora un insieme di vettori
dipendenti
83
},,,,{ 321 maaaa
},,,,{ 321 maaaa
);0,1(1 a );1,0(2 a);2,0(3 a
},,{ 321 aaa 3a
},{ 21 aa
Esercizio 2:
Insieme di m vettori
Ipotesi: dipendenti
Se tolgo dall’insieme
un vettore a caso il nuovo insieme sarà dipendente o
no?
Esempio:
tolgo dall’insieme il vettore.
L’insieme è un insieme indipendente.
84
);0,1(1 a );1,0(2 a );2,0(3 a
},,{ 321 aaa .1a
},{ 32 aa
Esempio:
tolgo dall’insieme il vettore
L’insieme
Quindi la risposta esatta all’esercizio è: non lo so
è un insieme dipendente.
85
},,,,{ 321 maaaa
},,,,{ 321 maaaa
b },,,,,{ 321 baaaa m
},,,,{ 321 maaaa
Esercizio 3:
Insieme di m vettori Ipotesi: indipendenti
Se aggiungo all’insieme
il vettore il nuovo insieme
Ricordo che se l’insieme
indipendente allora l’unico modo di ottenere il
vettore nullo come risultato di una loro
combinazione lineare è di porre tutti i coefficienti
uguali a zero.
sarà dipendente o no?
è
86
02211 mm axaxax
0,,, 21 m
Quindi:
con
87
},{ 21 aa
);0,0,1(1 a );0,1,0(2 a
);1,0,0(3 a
},,{ 321 aaa
)1,0,0()0,1,0()0,0,1( 321332211 aaa
),,(),0,0()0,,0()0,0( 321321
)0,0,0(),,( 321
0;0;0 321
Esempio: considero l’insieme
sono indipendenti
abbiamo già dimostrato in un esercizio che
è un insieme indipendente.
se e solo se
Aggiungo il vettore
88
},{ 21 aa
);0,0,1(1 a );0,1,0(2 a
);0,2,0(3 a
)0,2,0()0,1,0()0,0,1( 321332211 aaa
)0,2,()0,2,0()0,,0()0,0( 321321
)0,0,0()0,2,( 321
02;0 321 321 2;0
Esempio: considero l’insieme
sono indipendenti
Allora
se
Quindi
ANCHE NON ZERO
Quindi la risposta esatta all’esercizio è: non lo so
Aggiungo il vettore
89
},,,,{ 321 maaaa
},,,,{ 321 maaaa
02211 mm axaxax
0,,, 21 m
Esercizio 4:
Insieme di m vettori
Se tolgo dall’insieme
un vettore a caso il nuovo insieme sarà dipendente o
no?
con
Ipotesi: indipendenti
90
0112211 mm axaxax
0,,, 121 m
Tolgo un vettore a caso, per esempio l’ultimo.
con
Sono ancora indipendenti.
se tolgo un vettore da un insieme di vettori
indipendenti ottengo ancora un insieme di
vettori indipendenti
Quindi
91
Dipendenti indipendenti
Dipendenti aggiungo
indipendenti tolgo
92
},,,{ 21 maaa
b },,,{ 21 maaa
mxxx ,,, 21
baxaxax mm 2211
},,,{ 21 maaa
Combinazione lineare dei vettori
Osservazione:
dipendente da
se esistono tali che
se aggiungo adun vettore dipendente allora
il massimo numero di vettori indipendenti non
cambia
93
)|( bAcarcarA
vale anche il viceversa.
},,,,{},,,{ 2121 baaarangoaaarango mm
94
1 2 3{ , , , , }ne e e e
1 (1, 0, 0, ,0)e
2 (0,1, 0, ,0)e
(0, 0, 0, ,1)ne
1 2 3, , , , n
1 21 2 mmx e x e x e b
nb R
Esercizio: dato l’insieme di n vettori
…
dimostrare che esiste un unico insieme di scalari
tale che
comunque scelto
95
b
1 21 2 mme e e b
1 21 2 1 2( , , , )mm me e e
1 2 1 2( , , , ) ( , , , )m mb b b b
1 1 2 2; , , m mb b b
Dimostrazione:“esiste”: già visto che dato basta scegliere
Quindi
Calcoliamo per esteso il lato sinistro. Si ha che
Quindi
Poiché due vettori sono uguali quando le loro
componenti sono ordinatamente uguali si ha
“è unico”: si consideri una possibile altra soluzione
96
nmnmnn
mm
mm
mm
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111
nmnn
m
m
m
aaa
aaa
aaa
aaa
A
21
33231
22221
11211
nnmnn
m
m
m
baaa
baaa
baaa
baaa
bA
21
333231
222221
111211
|
bA |
Sistemi lineari
1. Conto il numero di equazioni e lo chiamo n
2. Conto il numero di incognite e lo chiamo m
3. Scrivo
e
( con b”)si legge “A ampliato
Risoluzione:
97
Domanda: n=m ?
1. Se sì → calcolo det(A)
Domanda: det(A) ≠ 0 ?
Se sì →
• Uso il teorema di Cramer: c’è un’unica soluzione
• Uso la regola di Cramer e calcolo la soluzione
Se no → vado comunque al punto 2
2. Se no → uso il teorema di Rouché-Capelli:
Calcolo p=car(A) ; calcolo car(A|b)
Domanda: car(A)=car(A|b) ?
• Se no→ non ci sono soluzioni
(il sistema è incompatibile)
• Se sì → ci sono ∞m-p soluzioni ed uso la
procedura (*) per trovarle.
98
Regola di Cramer
Nel caso in cui n=m e det(A) ≠0, pongo Δ=det(A).
Calcolo Si ha che
nmnn
m
m
m
aab
aab
aab
aab
2
3323
2222
1121
1
1
1x
99
… …
nmnn
m
m
m
aba
aba
aba
aba
1
3331
2221
1111
2
2
2x
100
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
n
n n n
a a b
a a b
a a b
a a b
n
nx
101
Esercizio (Cramer)
Risolvere il seguente sistema:
1) Matrice incompleta
det(A)=3*(-1)-2*5=-13 0 Regola di Cramer
102
103
Verifica: sostituire i valori trovati per x e y
104
Osservazione sulla caratteristica
1) Matrice incompleta
2) Matrice completa
105
det(A)=3*(-1)-2*5=-13 0 car(A)=2
La caratteristica al più può essere uguale a 2 (=il
minimo tra il numero di righe ed il numero di
colonne). C’è almeno un minore non nullo la
caratteristica è 2
car(A)=car(A|b)
-> il sistema ha 2-2= 0 =1 sola soluzione
106
(*) Calcolo delle soluzioni se
p=car(A)=car(A|b)
•Si considera il minore trovato per la caratteristica.
•I suoi elementi individuano k righe e k colonne.
•Le righe della matrice corrispondono ai
coefficienti di alcune equazioni: tali equazioni si
tengono, le altre si cancellano.
107
•Le colonne della matrice corrispondono ai
coefficienti di alcune incognite: tali incognite
rimangono al loro posto, alle altre si assegnano
lettere greche e si portano dal lato dei termini noti.
•Applico la regola di Cramer al nuovo sistema.
Esempi
108
0262
03
zyx
zyx
262
131A
0
0
262
131| bA
Esempio: Risolvere il seguente sistema :
Risoluzione
Innanzitutto n=2, m = 3
;
109
02
01
06
03
02
01
0 0
Si ha che car( A) = 1 (vedi esempio 1)
Inoltre
car(A|b) = 1
Infatti da A|b si possono estrarre tutti i minori, che si
possono estrarre da A, ed in più i seguenti:
che avendo una colonna di zeri sono tutti nulli.
110
Esempio : Risolvere il seguente sistema
0242
0
02
zyx
zyx
zyx
111
242
111
121
A
0
0
0
242
111
121
| bA
Risoluzione
Innanzitutto n = m = 3
112
pm 23
1
car(A) = 2 (vedi esempio 2)
car(A|b)= 2 perché ho aggiunto una colonna
di elementi nulli e tutti i minori di ordine 3
che la contengono risultano uguali a 0 (vedi
esempio 3).
Quindi p = car(A) = car(A/b) = 2
Il sistema è compatibile ed ammette:
= = soluzioni .
113
11
212M
0242
0
02
zyx
zyx
zyx
Per risolverlo bisogna individuare un minore
non nullo, per esempio
che identifica 2 equazioni e 2 incognite
114
•Le righe della matrice corrispondono ai
coefficienti di alcune equazioni: tali equazioni si
tengono, le altre si cancellano.
• Le colonne della matrice corrispondono ai
coefficienti di alcune incognite: tali incognite
rimangono al loro posto, alle altre si assegnano
lettere greche e si portano dal lato dei termini
noti.
115
Assegno quindi all’incognita z un valore
arbitrario: z = α
Il nuovo sistema è:
yx
yx 2
116
Il nuovo sistema
yx
yx 2
si risolve applicando la regola di Cramer :
117
3
2
11
21
1
2
x
0
11
21
1
1
y
118
Verifica: la verifica si effettua mediante la sostituzione di
tutte le incognite in tutte le equazioni del sistema
originario:
2*0 0
0 0
2( ) 4*0 2 0
119
Esempio: Risolvere il seguente
sistema
4242
2
22
zyx
zyx
zyx
120
242
111
121
A
4
2
2
242
111
121
/ bA
Risoluzione
Innanzitutto si osserva che n = m = 3
121
123 pm
11
212
M
car(A) = 2 (vedi esempio 2)
car(A/b) = 2 (vedi esempio
4)
p = car(A/b) = 2
Quindi il sistema è compatibile ed ammette:
.
Per trovare le soluzioni del sistema individuo un
minore non nullo
che contiene i coefficienti di x ed y delle prime due
equazioni.
soluzioni
122
4242
2
22
zyx
zyx
zyx
Assegno valori arbitrari all’ incognita rimanente: z
= α
Il nuovo sistema:
2
22
yx
yx
123
Si risolve con Cramer:
23
242
11
21
12
22
x
03
)2(2
11
21
21
21
y
zyx ,0,2La soluzione del sistema è data da:
124
Verifica:
(2 ) 2*0 2
(2 ) 0 2
2(2 ) 4*0 2 4
125
Esempio: Risolvere il seguente sistema
1242
1
22
zyx
zyx
zyx
126
Risoluzione
Innanzitutto si osserva che n = m = 3
242
111
121
A
car(A) = 2 (vedi esempio 2)
127
1
1
2
242
111
121
/ bA
car(A) = 3 (vedi esempio 5)
Quindi il sistema è incompatibile (non ci
sono soluzioni).
128
Sistemi lineari dipendenti da parametro
Se nei coefficienti e nei termini noti di un
sistema di equazioni lineari appaiono dei
parametri, cioè delle costanti di cui non viene
specificato il valore, il comportamento del
sistema dipende in generale dai valori che
assumono tali parametri ed è necessario
esaminare tutti i casi possibili servendosi dei
teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.
129
Esempio : Determinare per quali valori di k
il sistema
kzyx
zyx
zyx
242
1
22
ha soluzioni.
130
242
111
121
A
k
bA 1
2
242
111
121
|
Soluzione :
La matrice dei coefficienti del sistema è data da
La matrice completa è data da:
Devo calcolare car(A/b) .
Procedo con l’estrazione dei minori:
car(A) = 2 (vedi esempio 2)
131
estraggo i minori di ordine 3 di
A:
e li calcolo:
righe:1,2,3
colonne:1,2,3
righe:1,2,3
colonne:1,2,4
AM 1
k
M
42
111
221
2
123
24484
k
kk
0
132
righe:1,2,3
colonne:1,3,4
(I e II colonna
uguali)
righe:1,2,3
colonne:2,3,4
0
k
M
22
111
211
3
k
M
24
111
212
4
123
48442
k
kk
133
Osservo che per k = -4 si ha che M1=M2=M3=M4= 0
Bisogna quindi distinguere due casi:
car A|b = 3
2) Invece se k = -4 si ha che car A|b < 3 . Inoltre
A|b continene un minore di ordine 2 non nullo
(lo stesso usato per calcolare car(A)). Quindi
car(A|b)=2 e ci sono soluzioni.
1) Se k ≠ -4 car A
e quindi non ci sono soluzioni
1 pm
134
123123
00
42
31
kMkM
MM
?04321 MMMM
Riassumendo :
Domanda: esiste un valore unico di k tale che
se non lo trovo allora car(A|b)=3 ed il
sistema non ha soluzioni
se lo trovo allora per quel valore di k
car(A|b)<3, ed il sistema ammette soluzioni.
135
Esercizio ulteriore n.1
136
Esercizio:
Risolvere il seguente sistema
3 2
2 2 5
3 3 9 1
x y z
x y z
x y z
Numero di equazioni:3=n Numero di incognite:3=m
137
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 1
A b
Le righe 1 e 3 di A sono proporzionali, quindi det(A)=0, quindi car(A)<3
Trovo un minore di ordine 2 non nullo
Quindi car(A)=2
Calcolo della caratteristica di A
1 3( 1)*1 2*3 7
2 1
138
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
Calcolo i minori di ordine 3:
Selezionando le colonne 1, 2, 3 ottengo |A|, che è =0
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 1
A b
Calcolo della caratteristica di A|b
139
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 1
A b
Calcolo i minori di ordine 3:
Selezionando le colonne 1, 2, 4 ottengo
Calcolo della caratteristica di A|b
1 1 2
2 2 5
3 3 1
140
Calcolo di
con la regola di Sarrus 1 1 2
2 2 5
3 3 1
1 1 2 1 1
2 2 5 2 2
3 3 1 3 3
2-15+12-(12-15+2)=-1+1=0
Bisogna calcolare gli altri minori
Osservo anche che le
colonne 1 e 2 sono
proporzionali, il che
conferma il determinante
nullo.
141
Matrice completa
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 1
A b
Selezionando le colonne 1, 3, 4 ottengo
Calcolo della caratteristica di A|b: minori di ordine 3
1 3 2
2 1 5
3 9 1
142
Calcolo di
con la regola di Sarrus
1 3 2 1 3
2 1 5 2 1
3 9 1 3 9
1+45-36-(6+45-6)=-35
La caratteristica di A|b è 3
car(A)car(A|b) Il sistema non ha soluzioni
1 3 2
2 1 5
3 9 1
143
Esercizio ulteriore n.2
144
Esercizio:
Risolvere il seguente sistema
3 2
2 2 5
3 3 9 6
x y z
x y z
x y z
Numero di equazioni:3=n Numero di incognite:3=m
145
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 6
A b
Le righe 1 e 3 di A sono proporzionali, quindi det(A)=0, quindi car(A)<3
Trovo un minore di ordine 2 non nullo
Quindi car(A)=2
Calcolo della caratteristica di A
1 3( 1)*1 2*3 7
2 1
146
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
Calcolo i minori di ordine 3:
Selezionando le colonne 1, 2, 3 ottengo |A|, che è =0
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 6
A b
Calcolo della caratteristica di A|b
147
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 6
A b
Calcolo i minori di ordine 3:
Selezionando le colonne 1, 2, 4 ottengo
Calcolo della caratteristica di A|b
1 1 2
2 2 5
3 3 6
148
Calcolo di
con la regola di Sarrus 1 1 2
2 2 5
3 3 6
1 1 2 1 1
2 2 5 2 2
3 3 6 3 3
12-15+12-(12-15+12)=0
Bisogna calcolare gli altri minori
149
Matrice
completa
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 6
A b
Selezionando le colonne 1, 3, 4 ottengo
Calcolo della caratteristica di A|b: minori di ordine 3
1 3 2
2 1 5
3 9 6
150
Calcolo di
con la regola di Sarrus
1 3 2 1 3
2 1 5 2 1
3 9 6 3 9
6+45-36-(6+45-36)=0
Bisogna calcolare gli altri minori
1 3 2
2 1 5
3 9 6
151
Matrice
completa
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 6
A b
Selezionando le colonne 2, 3, 4 ottengo
Calcolo della caratteristica di A|b: minori di ordine 3
1 3 2
2 1 5
3 9 6
152
Calcolo di
con la regola di Sarrus
1 3 2 1 3
2 1 5 2 1
3 9 6 3 9
-6-45+36-(-6-45+36)=0
Tutti i minori di ordine 3 sono zero, quindi car(A1b)<3
Siccome A|b contiene A e A ha un minore di ordine 2 non
nullo, allora car(A|b)=2.
1 3 2
2 1 5
3 9 6
153
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
Matrice incompleta Matrice
completa
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9 6
A b
car(A)=2=car(A|b), quindi il sistema ha 3-2 soluzioni
154
Trovare le soluzioni:
3 2
2 2 5
3 3 9 6
x y z
x y z
x y z
Il minore individua righe e colonne
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
155
Trovare le soluzioni:
3 2
2 2 5
3 3 9 6
x y z
x y z
x y z
Il minore individua righe e colonne: le righe escluse dal minore
vengono cancellate
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
156
Trovare le soluzioni:
3 2
2 52
x
x
y z
y z
Il minore individua righe e colonne: le
colonne escluse dal minore
corrispondono a incognite, cui si
assegnano valori arbitrari (indicati con
lettere greche) e si portano dal lato dei
temini noti
1 1 3
2 2 1
3 3 9
A
x=
157
Trovare le soluzioni:
3 2
2 5 2
y z
y z
x
Il nuovo sistema ha p equazioni, p incognite, e determinante
della sua matrice dei coefficienti diverso da zero.
Quindi si può applicare Cramer al nuovo sistema
158
Trovare le soluzioni:
3 2
2 5 2
y z
y z
x
1 3( 1)*1 2*3 7
2 1
1 13 7 13 7
7 7
2 9 9
7 7
y
z
x
2 31 (2 )*1 3(5 2 ) 13 7
5 2 1
1 22 1*(5 2 ) 2*(2 ) 9
2 5 2
159
Verifica:13 7
7
9
7
y
z
x
3 2
2 2 5
3 3 9 6
x y z
x y z
x y z
7 13 7 27 143 2
7 7
14 26 14
13 7 9
7 7
13 7 9
7 7
9 352 2 5
7 7
21 39 21 81 423 3 9 6
13 7 9
7 7 77
160
Esempio : Determinare il numero delle soluzioni del seguente
sistema al variare di k:
3 2
2 2 5
3 3 9
x y z
x y z
x y z k
Numero di equazioni:3=n
Numero di incognite:3=m
Le righe 1 e 3 di A sono proporzionali, quindi det(A)=0, quindi car(A)<3
Trovo un minore di ordine 2 non nullo
Quindi car(A)=2
Calcolo della caratteristica di A
161
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9
A b
k
Bisogna calcolare la caratteristica della matrice
completa A|b: Calcolo i minori di ordine 3
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9
A b
k
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9
A b
k
Selezionando le colonne 1, 2, 3 ottengo |A|, che è
=0
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9
A b
k
Le colonne 1 e 2 sono proporzionali, quindi il
determinate del secondo minore è 0, a prescindere
da k
1 3 2
1 2 1 5 45 36 6 6 45 42 7 0 6
3 9
M k k k se k
k
1 3 2
2 2 1 5 45 36 6 6 45 42 7 0 6
3 9
M k k k se k
k
Quindi se k=6 tutti i minori di ordine 3 sono nulli, altrimenti no.
162
se k=6 tutti i minori di ordine 3 sono nulli, altrimenti no.
Quindi se k=6 car(A|b)<3, se k6 allora car(A|b)=3
Se k=6 car(A|b)<3:
Individuo un minore
di ordine 2 non nullo: questo basta per concludere che car(A|b)=2
1 1 3 2
| 2 2 1 5
3 3 9
A b
k
163
Esempio : Determinare il numero delle soluzioni del seguente
sistema al variare di k:
3 2
2 2 5
3 3 9
x y z
x y z
x y z k
Numero di equazioni:3=n
Numero di incognite:3=m
Quindi se k=6 car(A)=2=car(A|b) e quindi ci sono ∞3-2= ∞1 soluzioni
Se k6 car(A)=2 car(A|b)=3 e quindi non ci sono soluzioni
164
Ulteriore esercizio su sistemi dipendenti da parametro
165
2
1
2
x y k
x y
x ky
Esercizio: discutere il numero delle soluzioni del
seguente sistema al variare del parametro k
1 2
| 1 1 1
1 2
k
A b
k
1 2
1 1
1
A
k
n=3
m=2
Matrice incompleta Matrice completa
166
Calcolo della caratteristica di A e di
A|b
1 2
| 1 1 1
1 2
k
A b
k
1 2
1 1
1
A
k
Matrice incompleta A
Matrice completa
A|b
Osservazione: car(A)>=2,
Siccome car(A)<=2, allora car(A)=2
car(A|b)>=2. Può essere 3?
Per rispondere, dato che A|b è
quadrata, devo calcolare det(A|b)
• Applicando la regola di Sarrus, risulta
det(A|b)=k(k-2)
• Quindi, in generale, questo determinante non
è sempre =0 o diverso da 0, ma dipende da k.
• Per k0 e k2, det(A|b)0 , quindi car(A|b)=3
• Per k=0 o per k=2, det(A|b)=0, quindi
car(A|b)<3. Mettendo insieme questa
informazione con il fatto che abbiamo già
trovato un minore di ordine 2 non nullo,
car(A|b)=2.167
• In conclusione:
• Per k0 e k2, car(A)=2car(A|b)=3, quindi
non ci sono soluzioni (il sistema è
incompatibile).
• Per k=0 o per k=2, car(A)=2=car(A|b), quindi
ci sono 2-2= 0=1 unica soluzione.
168
Osservazione
Il sistema di questo esercizio può essere
risolto sostituendo k=0 oppure k=2; oppure
si può lasciare k generico e procedere con i
passaggi formali della risoluzione, avendo
indicato chiaramente che valgono solo per
k=0 oppure k=2
169
170
171
021 nbbb
0)...(
0...
0...)(
0...)(
2211
3232131
2222121
1212111
xnaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnn
nn
nn
nn
Autovalori Data una matrice quadrata A di ordine n
ed il sistema omogeneo (cioè
dipendente dal parametro λ :
)
172
ogni valore di λ tale che risulti uguale a zero
il determinante della matrice del sistema
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
33231
22221
11211
prende il nome di autovalore del sistema
173
103
32
103
32
1112910220
)3(*)3()10(*)2(103
32det
22
Esempio: Calcolare gli autovalori della
matrice:
Risoluzione:
Bisogna calcolare il determinante della matrice
174
02 cbxaxa
acbbx
2
42
2,1
011122 2
11*1*4144122,1
Voglio sapere per quali valori di λ tale determinante è
uguale a zero.
Questo determinante è espresso da un polinomio di
secondo grado in λ e per trovare i valori in cui si
annulla occorre risolvere l’equazione algebrica di
secondo grado in λ. Applico la formula risolutiva per
le equazioni di grado due
ed ottengo le due soluzioni λ1=1 e λ2=11 .
175
Tali soluzioni sono gli autovalori della
matrice iniziale
176
Autovettori
Per ogni autovalore λ trovato si calcolano i
corrispondenti autovettori sostituendo λ nel
sistema e risolvendolo.
Esempio
Ho già calcolato gli autovalori della matrice
103
32
Devo ora calcolare gli autovettori corrispondenti
a ciascuno dei due
che sono λ1=1 e λ2=11.
177
y
x 3
3
Quindi tutti i minori di ordine 2 che posso estrarre sono
nulli.
Tale minore individua la I equazione e l’incognita x.
Cancello la seconda equazione, assegno y=α e lo porto
dall’altra parte. Il nuovo sistema diventa
.
I vettori del tipo
sono gli autovettori di autovalore λ1=1
1Cerco un minore non nullo, per esempio .
178
0
0
)10(3
3)2(
yx
yx
Calcolo degli autovettori corrispondenti a λ1=11:
In maniera analoga.
2 3
3 10
x y x
x y y
lambda
n=2;m=2;
179
1 3
3 9
2 21 3
(1 )*(9 ) ( 3)( 3) 9 9 9 10 03 9
Le soluzioni sono =0 e =10.
Completare l’esercizio trovando gli autovettori
corrispondenti.
180
Norma di un vettore
La norma 2 di un vettore è la radice quadrata della
somma delle componenti al quadrato.
Corrisponde alla distanza euclidea dall’origine.
181
Norma di autovettori
182
Autovettori di norma unitaria
Che è valido per due valori:
Quindi i due autovettori di norma unitaria sono:
183
Nel caso di due autovalori, come
nell’esercizio precedente, il calcolo
degli autovettori di norma unitaria
va effettuato separatamente per gli
autovettori corrispondenti a
ciascuno degli autovalori, per cui
ci saranno 4 autovettori di norma
unitaria.
184
2 21 3
(1 )*(9 ) ( 3)( 3) 9 9 9 10 03 9
Le soluzioni sono =0 e =10.
Completare l’esercizio trovando gli autovettori di
norma unitaria corrispondenti.
Esercizio: trovare autovalori ed autovettori di
norma unitaria di
1 3
3 9
185
186
Il prodotto scalare
p=(p1, p2, …, pn)
q=(q1, q2, …, qn)
< p, q >= p1 q1 +p2 q2 +…+ pn qn
Esempio di utilizzo: prezzi (unitari) per quantità
In questo caso, il prodotto scalare è il totale del
costo.
187
mele, pere, pomodori, zucchine
1, 2, 1.5, .5a
q=(q1, q2, q3, q4)
p=(p1, p2, p3 , p4)Prezzi
unitari
(euro al
kg)
Quantità
(kg)(0.7, 3, 1, 2)
< p, q >= 1*0.7+2*3+1.5*1+0.5*2=0.7+6+1.5+1=
=9.2 euro
188
189
ቐ𝑥 = 4 − 𝑧𝑦 = 23𝑥 + 𝑧 = 10 − 2𝑦
Esercizio
Risolvere il seguente sistema
Osservazione: prima di procedere occorre
ordinare le incognite.
ቐ𝑥 + 𝑧 = 4𝑦 = 23𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10
190
A=1 0 10 1 03 2 1
ቐ𝑥 + 𝑧 = 4𝑦 = 23𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 10
A|b=1 0 1 40 1 0 23 2 1 10
1 0 10 0 13 2 1
1 00 03 2
= det(A)=
det(A)0 car(A)=3car(A|b)=31 sola soluzione
191
Utilizzo la regola di Cramer per trovare la soluzione:
x=
1
=
4 0 12 1 010 2 11 0 10 1 03 2 1
=4+0+4−[10+0+0]
−2=
−2
−2= 1
y=
2
=
1 4 10 2 03 10 11 0 10 1 03 2 1
=2+0+0−[6+0+0]
−2=
−4
−2= 2
y=
3
=
1 0 40 1 23 2 101 0 10 1 03 2 1
=10+0+0−[12+4+0]
−2=
−6
−2= 3
192
Regola di Laplace per il calcolo del
determinante
Questa regola permette di calcolare il
determinante di matrici quadrate di ordine
qualsiasi.
Le regole già viste per il calcolo dei
determinanti di matrici 1x1, 2x2, 3x3 sono casi
particolari di quesra regola.
La regola sviluppa il calcolo secondo una riga (
od una colonna) scelta.
193
194
Esempio
A11= A12= A13=
A=
Vantaggio della regola: se ci sono molti 0
195
Il risultato è identico a quello ottenuto con la regola
di Sarrus
1 0 10 0 13 2 1
1 00 03 2
196
Come ricordarsi l’alternanza dei segni?
197
198
Esercizio per casa:
ricalcolare 1, 2, 3 dell’esercizio precedente con
la regola di Laplace e controllare che il risultato è lo
stesso rispetto al calcolo con la regola di Sarrus.
199
Esercizi
200
Soluzioni
201
Esercizi ulteriori
202
Soluzioni
203
Esercizi: calcolare autovalori, autovettori ed
autovettori di norma unitaria di
204
Soluzione su autovalori ed autovettori.
Calcolare gli autovettori di norma unitaria
