Matemática I MAFP 2012

7/21/2019 Matemtica I MAFP 2012

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ESTUDIOS GENERALES (CICLO BSICO)

CTEDRA DE MATEMTICAASIGNATURA: MATEMTICA I

PROF. MARA NGELA FLORES P.Octubre, 2012


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PROF. MARA NGELA FLORES P. 2. Octubre, 2012

Unidad N 1. Lmites y Continuidad

Nunca consideres el estudio comouna obligacin, sino como una

oportunidad para penetrar en el belloy maravilloso mundo del saber.

Albert Einstein

El conjunto de los nmeros reales est formado por elementos de los conjuntos de los nmeros enteros,

racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por ; grficamente se puede representarpor una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le

corresponda un nmero real y a cada nmero real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la

denominamos la recta real

As mismo, es importante recordar el concepto de funciones reales de variable real. Primeramente

una funcin es una relacin biunvoca entre dos conjuntos, donde a todos y cada uno de los

elementos del primer conjunto, llamado conjunto de partida o dominio de la funcin, tiene una

imagen en el segundo conjunto, llamado conjunto de llegada. Al conjunto de todas las imgenes se

le denomina rango de la funcin. Cuando el conjunto de partida o dominio de la funcin y el

conjunto de llegado es el conjunto de los nmeros reales la funcin se denomina funcin real de

variable real. De tal manera que, al analizar las siguientes grficas:

1.- 1)();( 23 xxxfxfy

-3 -2 -1 0 1 2 3

| | | | | | |


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2.- 224 xxy

Obsrvese que al usar la prueba de la recta vertical (recordar) en el primer caso tenemos una funcin

real de variable real y en el segundo caso no hay funcin puesto que hay elementos del dominio que

tienen ms de una imagen

Las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes segn el suguiente cuadro

)3(cos)(

)14log()(

2)(

ricasTrigonomt

asLogartmic

sleExponencia

tesTrascenden

15)(

32

2)(

35)(

:esIrracional

:Racionales

:sPolinmica

sAlgebraica

Funciones

2

3

3

2

24

xxf

xxf

xf

xxxf

xx

xxf

xxxf

x

Otro concepto importante a destacar es el de intervalos reales, es decir definidos sobre la recta real:

Cerrado bxaxxba /,

Semi abierto

bxaxxba

bxaxxba

/,

/,

Abierto bxaxxba /,

En este punto se introducen tres nuevos conceptos:Entorno de un punto: Dados los nmeros reales a y siendo >0, se llama entorno de centro a

y radio al conjunto axxxaN /)( . El entorno como intervalo se escribe:

aaaN ,)(

Grficamente:

Cada una de estasfunciones tienecondiciones propiaspara la determinacinde su dominio.Igualmente, puedenidentificarse por elcomportamiento de susgrficas. (Recordar)

a b

a b

a b

a b

a a + a -


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Entorno Reducido:Se llama entorno reducido a un entorno que excluye al centro a y se denota

como conjunto axxxaN 0/)(* . El entorno reducido de centro a y radio seescribe como intervalo de la siguiente manera: aaaaaN ,,)(

*

Grficamente:

Punto de Acumulacin:Se dice que x = a es punto de acumulacin del conjunto A, si todo entorno

reducido con centro en a y radio contiene al menos un elemento de A.

a es P. A. de A )(/:)( ** aNxAxxaN

a es P. A. de A )(:)( ** aNAaN

Ejemplo 1:

Construya el entorno de centro en x = 2 que contenga el conjunto: 0)2(3/ xxxxA Solucin:

1. Verificar que elementos se tienen y que elementos hacen falta para la construccin del

entorno:

2. a = 2: = ? A = ?

3.

A= ? Para encontrar A es necesario resolver la inecuacin: 0)2(3 xx

2 2 2 3 0; 2 3 0

3 1 0

Desarrollando x x x x

Factorizando x x

4. En este punto hay 3 caminos: resolver la inecuacin, graficar usando la expresin como

definicin de una funcin o estudiar los signos.

5. Graficamos y = 322 xx

a a + a -


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La solucin se visualiza en la parte donde la ordenada toma valores negativos.6. A = [-3,1].7. Para encontrar es necesario graficar A y a en una recta real.8. Graficamos

Como el extremo izquierdo, en este caso, del intervalo est cerrado hay que desplazarse hasta elinmediato anterior, pues se busca el menor radio posible.9. Como: a= -4; despejando:

= 6; sustituyendo: a + = 8

10.Respuesta: 8,462/)2(6 xxxN

Ejemplo 2:

Construya el entorno reducido con centro en x =1 que contenga la solucin de:

173

232

xx

xx

Solucin:Escribe las respuestas en el sitio indicado y recuerda que el centro del entorno reducido se excluye.

1. a = _____________

2. = ____________

3. N ( ) = _____________________________________ = _________________

Ejemplo 3:

Para el conjunto

x

xfxfyyyA1

21

1)()(;/ x =

2

1, es puno de acumulacin?

1. Solucin: Para verificar si x =2

1es punto de acumulacin de un conjunto, se debe construir

un entorno reducido con centro en x =2

1, se intercepta con el conjunto y en caso de ser

diferente de vaco es punto de acumulacin.2. En este caso se necesita el rango de la funcin el cual es 1,,0)(

21

21 xRgof , como puede

apreciarse en la grafica siguiente.

3. Por ejemplo el entorno 23

21

21

21

21*

1 , N al interceptarse con el conjunto A es diferente de

vaco. De tal manera que x =2

1 si es punto de acumulacin del conjunto A:

21*

1N )(xRgof = )(xRgof

| | | | | | | | |

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

a


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4. Grafica:

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

Actividades

1. Construya el entorno de centro en x = 2 que contenga el conjunto:

0)23(/ 2 xxxxA

2. Construya el entorno reducido con centro en x =2 que contenga la solucin de:

225

242

xx

xx

3. Escriba, si es posible, como entorno reducido de menor radio posible y de centro en el origen,

los siguientes conjuntos:

23/;12/;51/ xxxCxxxBxxxA

4. Dado el conjunto, diga si los valores indicados son puntos de acumulacin del mismo.

2;1;1,21

3/

0;4;27

1

2/

5;3;2

1;32

1/

xxxx

xxxC

xxxxx

xxB

xxxxxxA


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Idea de Lmite

Si se revisan algunos ejemplos cotidianos comoson:Al caminar por un pasillo que termina en una

puerta, Cul es el lmite?

Si camina por el borde de un precipicio, Cules el lmite?

En los dos primeros casos no puedes avanzar despus del lmite o pararte sobre l. Pero en el terceropuede pararte sobre l y seguir ms adelante. De manera que el lmite es un punto al cual tiendes (teacercas) independientemente si puedes ubicarte o no sobre dicho punto.

Analiza la siguiente tabla y grfica:

Definicin Formal de Lmite:

Para que L sea el lmite de la funcin f(x), cuando x tiende a un punto de acumulacin x0, la condicin

necesaria y suficiente es que a cada >0 corresponda un N* (x0) tal que, los valores de la funcin

para los valores de x pertenecientes a dicho entorno, difieran de L, en valor absoluto, una cantidadmenor que.

X f(x)3 9

3,6 10,23,9 10,83,99 10,983,999 10,889

4,001 11,0024,01 11,024,1 11,24,8 12,65 13

Valores desalida quetienden

a11

Valores deentrada que

tienden a 4por la

izquierda

Valores deentrada que

tienden a 4por laderecha

11

4

f(x) = 2x+3

X0 3 5

9

13


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Formalmente:

LxfaxxDfxLxflmax

)(0:)(/0,0)(

Grficamente:

Ejercicio

1. Analice la siguiente Tabla de datos y grfico de la funcin:1

1)(

2

x

xxf

Tabla de datos

x 0,75 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,25

f (x) 1,75 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,25

Grfico

2.Demostrar por definicin que 7543

xx

lm

Demostracin

75430:)(/0,07)54(3

xxxDfxxxlm

Obsrves

e que se ha sustituido en la definicin formal: = 3; f(x) = 4x5 y L = 7 ;

X

Y

0 a

L

y = L +

y = L

L +

L

a a +

(0,0)

1

( )

(

)

X

Y

2

3

2

1(0,0)

1

( )

(

)

X

Y

2

3

2

1

Qu puede concluir acerca de la

existencia del lmite y la noexistencia de la funcin en x = 1?


9/51


Ahora bien:

Esto es, que

Ello sugiere que: ;

Luego se comprueba que funciona, para ello:

De donde, segn la definicin: 7543

xx

lm

3. Demostrar por definicin que 93

2

x

xlm

Ya es conocido que demostrar un lmite equivale a proponer la relacin entre y.Al aplicar la definicin queda:

930:)(/0,09 223

xxxDfxxlmx

Ahora bien:

Puede escribirse:De donde resulta:Se puede restringir a C y queda:Quedando:

Esto significa que, dado que se quiere trabajar en el entorno reducido de 3, queda 2 < x < 4, de donde: 5< x + 3 < 7, por consiguiente

donde

Verificando:

Si es el mn y ; < 7 y, quedando demostrado que: 9

3

2

x

x

lm

Actividades.

El principio de transitividad

Para cualquier numero a, b,y c

Si a < b y b < c, entonces a < c


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Demuestre los siguientes lmites aplicando la definicin:

a.6

13

3

53

2

1

x

x

lm c.5

1

5

23

2

x

xlm

b.2

3)32(

4

3

x

x

lm d. aax

ax

lm

2

Propiedades

1.

bmbmabmxlmax

,;

2. bblmax

3. axlmax

4.

Si: Lxflmax

)( k0; kLxflmkxkflmaxax

)()(

Algebra de Lmites

Si : Lxflmax

)( ; Mxglmax

)( ML,

1. MLxglmxflmxgxflmaxaxax

)()()()(

2. MLxglmxflmxgxflmaxaxax

)()()()(

3.

0;)(

)(

)()(

MML

xglm

xflm

xgxflm

ax

axax

4. 0;)()()(

)(

LLxflmxflm M

xglm

ax

xg

ax

ax

5. :0;)(

LLLxflmax

Lxflmax

log)(log

6. :0;)(

LLLxflmax

;)( mmax

Lxflm

si m es par

7.

LLxflmax

;)( ;)( mm

axLxflm

si m es impar


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f(x)

X

Y

a - x a a +

L

L1+

L1-

(0,0) X

Y

(a - ) x a (a + )

L1

L1+

L1-

f(x)

(0,0) X

Y

(a - ) a x (a + )

L2+

L2-

L2f(x)

(0,0) X

Y

(a - ) a x (a + )

L2+

L2-

L2f(x)

Limites Laterales:

Lmite por la izquierda: Se dice que L1es el lmite por la izquierda de f(x), si para cualquier 0,

existe 0, tal que |f(x)L1|


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Ejemplos:

1. Determine si el 10

5

1 2x

x

lm

En primer lugar hay que calcular los laterales para verificar si son iguales.

a) 1 10

5

1 2x

x

L lm

; por Algebra de lmites se tiene que:

00

1 1

0 0

5

1 2 x

x

lmx

x x

lmL

lm lm

por propiedades

se tiene que: 15

1 2L

como L1 = 5.

b) 1 10

5

1 2x

x

L lm

por Algebra de lmites se tiene que:

00

2 1

0 0

5

1 2 x

x

lmx

x x

lm

L

lm lm

por propiedades

se tiene que: 15

1 2L

como L2 = 0.

c) Como L1 L2, se dice que no existe el 10

5

1 2x

x

lm

Decida si existen los lmites en los puntos donde de particin de la funcin

Como la funcin tiene dos puntos particin, hay que estudiar cada uno de ellos:

a. En

Si ; ;3

( 2) 1x

lm x

; donde L1=1

Si ; ;3

3 2(1 1) 1x

l xm

; donde L2=1

Como L1 = L2; ( ) = 13

lm f x

x

b. En

Si ; 34

2 31 1 15 1,461x

l xm

; donde L1= 1,46

Si ; ;4

2 2

4 0xlm

x

; donde L2=

Como L1 L2; no existe ( )4

lm f xx


13/51


Actividades:

1. Si

56

531

31

)(

xsi

xsix

xsi

xf , decida la existencia de )(

5

y)(

3

xf

x

lmxf

x

lm

2. Si , decida la existencia de

)(6

y)(2

xfx

lmxfx

lm

3. Calcule los siguientes lmites aplicando lgebra de lmites.

a. 3

172

5

x

xlm b.

4

3

0 x

xe

xlm

Limites infinitos y Lmites al infinito.

Definicin: kxfaNxxkxflmax

)()())(0)(0()( *

0

Grfica: Figura 1

Definicin: kxfaNxxxflmax

)()())(0)(0()( * Grfica: Fig. 2

Figura 1 Figura 2

Definicin: )()())(0)(0()( LNxfMxxMLxflmx

Grfica Figura 3

Definicin: )()())(0)(0()( LNxfMxxMLxflmx

Grfica: Figura 4

Figura 3 Figura 4

0

L

F(x)

L -

M xX

Y

(a) a x (a+) X

Y

f(x)

k

0

0

k

f(x)

a a a+ Xx

0

L

F(x)

L -

x M

-X

Y


14/51


X

Y

a - x a

k0

f(x)

Definicin: kxfMxxMkxflmx

)())(0)(0()( Grfica: Figura 5







Figura 7 Figura 8Definicin: kxfaxxkxflm

ax

)(0))(0)(0()(

Definicin: kxfxaxkxflmax

)(0))(0)(0()(

Ejercicio.Trazar la grfica de la definicin anterior.

0

k

f(x)

Y

M xX

Y

f(x)

k

0 X x M

Y

f(x)

k

0

M x X

0

k

f(x)

Y

x M

X

Figura 5 Figura 6


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X

Y

a x a +0

f(x)

k

kxfaxxkxflmax

)(0))(0)(0()( Definicin:

Definicin: kxfxxxkxflmoxx

)(0))(0)(0()(0

Ejercicio.Trazar la grfica de la definicin anterior.

Teoremas sobre Lmites

1.

x

lmx

1

0 2.

x

lmx

1

0

3. 0

1

xlmx 4. 0

1

xlmx

Propiedades de los Lmites

1.Sean 0)(

xflmax

; Mxglmax

)( ; si M0 y 0)(xf :

)(

)(

xf

xglm

ax

5.Sean

)(xflmax

; Mxglmax

)( ; M ;

)()( xgxflmax

6.Sean 0)(

xflmax

; Mxglmax

)( ; si M>0 y 0)(xf :

)(

)(

xf

xglm

ax


16/51


7.Sean 0)(

xflmax

; Mxglmax

)( ; si M>0 y 0)(xf :

)(

)(

xf

xglm

ax

8.Sean

)(xflmax

; Mxglmax

)( ; M ;

)()( xgxflmax

9.

Sean )(xflmax ; Mxglmax )( ; M ; )()( xgxflmax

10. Sean

)(xflmax

; Mxglmax

)( ; M ;

11. 0Msi ;

)()( xgxflmax

;

12. 0Msi ;

)()( xgxflmax

13. Sean

)(xflmax

; Mxglmax

)( ; M ;

14. 0Msi ;

)()( xgxflmax

;

15. 0Msi ;

)()( xgxflm

ax

Ejercicio: Usa la informacin de la grfica para responder.

Nota:la resolucin de este tipo de ejercicios requiere construir el par ordenado para ello se

ubica el valor de x, se llega a la grfica y luego se ubica el valor L, si son iguales por la izquierda ypor la derecha, el lmite existe, si no, no existe.

-3 0 1 X

Y

32

y = -2-1-1

1. )(xfx

lm

= _____-2_____

2. )(

3

xf

x

lm

= ___2______

3. ( )3

lm f xx

=___3_______

4. )(

0

xf

x

lm

= ____-1______

5. ( )

0

lm f x

x

= ____0______

6. ( )lm f xx

= ____+_____

7. ( )lm f xx

= ____-2______

8. )(

1

xf

x

lm

= __ ______

9. )(

1

xf

x

lm

= ___ ______

10. )(0

xfx

lm

= ___No existe__


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Actividades: Analice el siguiente grfico y complete las igualdades que se presentan.

Lmites indeterminados

Cuando se intenta evaluar lmites de cocientes y diferencias, puede ocurrir que:

a) Si

)(

)(

xQ

xPlm

axsiendo a una raz de los polinomios )(xP y )(xQ , el lmite conduce a una

indeterminacin de la forma0

0.

b)

Si

)(

)(

xQ

xPlmx , conduce a una indeterminacin de la forma

c) Si )()( xQxPlmx

,

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

xQ

xQ

xP

xPlm

x

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

xQ

xQ

xP

xPlm

ax, conduce a una

indeterminacin de la forma

En estos casos, debe procederse a hacer el tratamiento adecuado.

- En el primer caso, implica usar procesos y artificio matemticos que permitan lafactorizacin de ambos polinomios para proceder a reescribir la expresin y a su

simplificacin y as resolver la indeterminacin.

- En el segundo caso, se hace necesario el trabajo con la partcula que genera el mayor delos grandes nmeros, factorizar por tal expresin, simplificar y evaluar.

En el tercer caso, debe procederse con las operaciones adecuadas por la expresin, a llevar la

indeterminacin a la expresin0

0o

, y proceder segn sea el caso.

1. ___________)(1

xflmx

2. ___________)( xflmx 3. ___________)(

1

xflm

x

4. ___________)(1

xflmx

5. ___________)(

xflmx

6. ___________)(1

xflmx

Y

X

x =1

2

1

2

1

y=f(x )


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1. Evale los siguientes lmites

d)

4

21

22 x

xlmx

e) 122

xxxlmx

f)

3 126

24

2782

145

xx

xxlm

x

g)

x

x

xlm

4

42

h)

2

22

2 x

xx

xlm

i) 3 233 1 xxxx

lm


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Continuidad.

La idea de continuidad est asociada a una trayectoria que no muestra o presenta "baches" o roturas.Pudiera asociarse a:

Geomtricamente: una lnea recta. Fsicamente: una trayectoria sin interrupciones, intuitivamente: una carretera ideal que no tiene

"huecos" Una curva que se traza sin levantar el lpiz.

Si consideramos la siguiente grfica

En ella podemos observar cmo podemos irininterrumpidamente del punto P al punto Q,pasando por R.

Que implicaciones tiene esto cuando pasamos porR:

1. Existe la imagen del punto a2. Los limites laterales en a son iguales3. El lmite en x = a es igual a la imagen de a

A diferencia del concepto de lmite de una funcinen un punto (la variable tiende a un punto deacumulacin) donde dicho punto no se llega a tocar,en el concepto de continuidad se agrega que el

punto debe existir para completar el trazo de la curva (asumido de manera emprica) (Braschi, 2000,p.69)Definicin

Para que una funcin, sea continua en un punto x = a, de un intervalo, son necesarias las siguientescondiciones:

1. Que la funcin exista en dicho punto, lo que es lo mismo que la funcin est definida en elpunto.

2. Que la funcin tenga lmite y sea finito.3. Que el valor de la funcin en x = a, sea igual al lmite en a

Definicin Formal: Una funcin f(x) es continua en x = a si se cumplen las tres condiciones

siguientes:

)()()

)()()()

)()

afxflmiii

xflmxflmxflmii

afi

ax

axaxax

Continuidad en un intervalo

Una funcin es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Y

X

f (x)

x1 x x2

R

P

Q


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-1 0 3 5 8 12

X

Y

Una funcin es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en cada uno de los puntos de (a,b) yadems es continua por la derecha en a y por la izquierda en b

Actividades.En el siguiente grfico los conceptos estudiados se ponen de manifiesto

En l puede observarse como la funcin es continua.

1. a la derecha de -1,2. a la izquierda de 8, y3. en los intervalos [-1,5), (5,8) y [8,12)

Responde las siguientes cuestiones:

Cules son las razones por las cuales no se incluyen x = 3 y x = 8?

Ocurre algo especial en x = 1?

Discontinuidad

Definicin: Si una funcin deja de cumplir con alguna de las condiciones establecidas, entonces lafuncin es discontinua. Este tipo de funciones presentan tres variantes:

Discontinuidad Evitable

)()()3

)()2

)()()1

afxflm

xflm

afaf

ax

ax

Discontinuidad de Salto:

)()2

)()()1

xflm

afaf

ax

~

~


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Discontinuidad Infinita1) ( ) ( )f a f a 2) Al menos uno de los lmites laterales es infinito

EjemploEn el grfico se observa como en x = 5 la funcin presenta discontinuidad evitable, en x = 1

discontinuidad de salto, en x = - 2 discontinuidad infinita y en x = 3 discontinuidad infinita slo por la

izquierda.

En el grfico puede observarse como la funcin es continua.

1. a la derecha de -1,2. a la izquierda de 8, y3. en los intervalos [-1,5), (5,8) y [8,12)

Ejemplo:

Estudiar la continuidad de la funcin

En este caso hay que ir comprobando las tres condiciones de la continuidad en un punto.

i. Existe )?

ii. Existe )(2

xflmx

?

Si existe el2

( )xlm f x

, los lmites laterales (L1y L2) son iguales. As:

Si ; y L1=2

(2 )x

lm x

; L1= 0

Si ; y L2= 2

2( 2 )

xlm x x

; L2= 0

Como L1= L2= 0;2

( ) 0xlm f x

~


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iii.2

( ) (2)?xlm f x f

Verificando, se tiene:2

( ) 0xlm f x y

, entonces2

( ) (2) 0xlm f x f

Respuesta: es continua en

De igual manera en los distintos ejercicios, verificando las condiciones en caso de que no sea

continua.

Actividades

1. Cules son las razones por las cuales no se incluyen x = 3 y x = 8?2. Ocurre algo especial en x = 1?3. Estudia la continuidad de las siguientes funciones

35

3211

32

)(

xsi

xsix

xsix

xf

105

012

13

)(

2

xsix

xsi

xsix

xf

23

432

24

4

022

cos

0sen

)(

xsi

xsi

xsix

xsix

xf

)3(

1)(

xxxf

16

4)(

2

2

x

xxxf


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Unidad II. Clculo Diferencial. Parte I.

Incrementos y Tasas.

Introduccin.Las nociones de variable, funcin y lmite, marcan el inicio de cuatro siglos de avance continuo delClculo, an no se agota el inmenso caudal de aplicaciones en la solucin de problemas fsicos,geomtricos, de ingeniera y sociales, por su gran aplicabilidad como herramienta de modelacin. Destas nociones se desprende el concepto de derivada, el cual se explica por dos vas: el problema de lavelocidad y la definicin de recta tangente. Ambos conducen al mismo clculo: el lmite del cocientede los incrementos cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

Incrementos:

Dada la funcin )x(fy , se define como la variacin o incrementode la variable x a la diferencia de

los valores que toma en dos instantes consecutivos y se denota: 01 xxx

Dada la funcin )x(fy , se define como la variacin o incrementode la variable y a la diferencia de

los valores que toma en dos instantes consecutivos y se denota: 01 yyy

Grficamente:

De acuerdo a lo conocido si se realiza el cociente del incremento de las variables dependiente eindependiente el conduce al concepto de Pendiente de una recta. Esta indica el incremento de la

abscisa (x) en relacin a la ordenada (y). Cabe preguntarse, entonces, como interpretar los incrementosde las variables para una curva. El siguiente ejemplo muestra el caso de la relacin de cmo seextiende un rumor en un grupo humano de 10.000 personas, Tal como muestran la grfica y la tabla devalores.

)x(fy

x

y

Y

Xx0 x1

y0

y1

x

y

Y

X

)x(fy

x0 x1

y1

y0

0y 0y


24/51


Propagacin de un rumor

01000200030004000500060007000

80009000

10000

t= tiempo en das

N(t)=Nmerode

personas

quehanoidoe

lrumor

N(t)

N(t) 1 6 40 245 1368 5000 8631 9754 9960 9994 9999

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Puede observarse como el nmero de personas que oye el rumor aumenta cada da, pero entre los das 3y 7, lo hace ms rpidamente que en los primeros y los ltimos al calcular las pendientes en esta serie

de datos en perodos de dos das, tendremos:t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N(t) 1 6 40 245 1368 5000 8631 9754 9960 9994 9999

m 5 34 205 1123 3632 3631 1123 206 34 5

Se ve como entre los das 4 y 7 se extendi el rumor a ms personas, entre los primeros y ltimos dosdas fue cuando menos se extendi. Si se compara esto con el trazo de la curva se evidencia como enstos das cuando menos personas supieron del rumor la curva es casi horizontal y, en los que seenteraron ms, es ms inclinada. De tal manera que, en la inspeccin de la grfica, la interpretacincoincide con los valores de las pendientes de las rectas trazadas entre dos puntos consecutivos de lacurva (recordar que el concepto intuitivo de la pendiente de una recta indica su grado de inclinacin)

Al revisar este otro ejemplo, sobre el nivel del agua en un tanque en un conjunto residencial, seevidencia otro caso.

Consumo de agua en galones

27000

27500

28000

28500

29000

29500

30000

30500

t=tiempo

N(t)=Niveleneltanqueenel

tiempo

N(t)

N(t) 30000 29600 29200 28800 28400 28000

0 1 2 3 4 5


25/51


Si se procede ahora a calcular la pendiente, se obtendr:

t 0 1 2 3 4 5

N(t) 30000 29600 29200 28800 28400 28000

m -400 -400 -400 -400 -400

Por tratarse de una recta, la pendiente es una constante (recordar que corresponde al coeficiente de lavariable independiente) En este caso el volumen en el tanque disminuye, Obsrvese como a medida quepasan los das el volumen es menor; esta relacin inversa est representada por el signo menos de lapendiente.

La pendiente de una recta tiene varias propiedades importantes de recordar:1. Si ambas variables (independiente y dependiente) se incrementan, la pendiente es positiva.2. Si la variable independiente se incrementa y la dependiente disminuye, la pendiente es negativa.3. Si la variable dependiente no vara, la pendiente es cero (0)

4. Rectas paralelas tienen la misma pendiente.5. EL producto de las pendientes de las rectas perpendiculares es 1.

La razn de haberse detenido a recordar estos detalles es que la Tasa Promedio de Cambio es,geomtricamente, la pendiente de la recta secante entre dos puntos de una curva y la Derivada de unafuncin en un punto es la pendiente de la recta tangente a su curva en dicho punto.

Tasa Promedio de Cambio. (Razn de Cambio o Razn Promedio de Cambio)Dada la funcin )x(fy , la razn de cambiodesdex0ax1se define como el cociente del cambio de lavariable dependiente entre el cambio de la variable independiente. Se denota:

x

xfxxfTPC

xx

xfxfTPC

xx

yyTPC

x

yTPC

)()(

;)()(

;

;

00

01

01

01

01

Trabajo:1. Conformar equipo de 2 personas2. Seleccione el indicador de su inters de las pgina s

http://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htmhttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asp

3. Seleccione el tema de su inters en la ventana que se abre.4. Seleccione 2 series de los datos.5. De contexto y realice las TPC entre los valores consecutivos y entre el inicial y el final6. Interprete losa resultados
http://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htmhttp://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htmhttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asphttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asphttp://www.bcv.org.ve/c2/indicadores.asphttp://www.ine.gov.ve/documentos/see/sintesisestadistica2010/index.htm


26/51


Tasa Instantnea de CambioLa Tasa Instantnea de Cambio (TIC) de f(x) se define como el lmite de las razones promedio del

cambio en un intervalo xxx 00, cuando x tiende a 0.

Cuando 0x , es decir con incrementos muy pequeos, y suponiendo que el lmite exista, la TasaPromedio de Cambio (TPC) se aproxima a la Tasa Instantnea de Cambio de y respecto a x, sedenota:

x

xfxxflmTICx

)()( 000

La interpretacin geomtrica de estos conceptos se muestra en el siguiente grfico:

Derivada por definicin.

Sea f una funcin definida en un intervalo abierto y x0 un punto cualquiera de dicho intervalo, la

funcinf tiene una derivada en el punto x0, si y slo si existe el

0

0

xx xx

)x(f)x(flm

0

.

Si el lmite existe (es un nmero real) la derivada es finita y se designa f(x0) =

0

0

xx xx

)x(f)x(flm

0

.

El valor def (x0) considerado como imagen de cada punto del dominio, donde fes derivable, permitedefinir una nueva funcin fque se llama funcin derivada. El dominio de f est formado portadoslos puntos del dominio de fpara los cuales existef (x0), por lo tanto Df (x)Df (x).

Igualmente, la existencia del lmite implica que las derivadas laterales deben ser iguales.

1. La TPC se corresponde con la pendientede la recta secante (RS)

2. La TIC se corresponde con la pendientede la recta tangente (RT)

3. Geomtricamente se define la derivada deuna funcin en un punto como lapendiente de la recta tangente en esepunto.

4. Se denota (segn Leibnitz) )(xfdx

dy

5. La TIC en x0 es igual a la derivada en

dicho punto. )( 0xfTIC 6. dy = (TIC)(x)7. E = | y - dy |

x0 x1 X

Y

y1

)x(fy RS

RT

dy

E

y

dx= x


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Teorema de la Derivabilidad.

Toda funcin es derivable en un punto x0si existe el lmite del cociente incremental, por la derecha ypor la izquierda y adems estos son iguales.

Formalmente: 0 0 0 00 00 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( );x x

f x x f x f x x f xf x f xx x

lm lm

Teorema

Si una funcin )x(fy tiene derivada en x0, entonces es continua en x0.Esto significa que para una funcin la propiedad de ser derivable es ms fuerte que la de ser continua.

El recproco del teorema no se cumple, existen funciones continuas en un punto y no derivables en l.

DerivabilidadimplicaContinuidadContinuidad no implicaDerivabilidad

Ejercicios1) Para cada una de las siguientes funciones determine, para los cambios indicados: a)Tasa Promedio

de Cambio (TPC); b) Tasa Instantnea de Cambio (TIC) y c) Error

a) 0152212 103 ,xyx;xx)x(f

b) 250002522 ,xy,x;x)x(f

c) 2132

110

xyx;x

)x(f

2) Resuelva los siguientes problemas:a) Un estudio de productividad del turno matinal en cierta fbrica revela que un obrero medio

que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habr ensamblado xxx)x(f 156 23 radios xhoras ms tarde.

i) Deduzca la frmula para encontrar la razn a la cual el trabajador ensamblar radiosdespus dexhoras.

ii) A las 9:00 a.m. A qu razn ensambla radios el trabajador?iii)Cuntos radios ensamblar el trabajador realmente entre las 9:00 a.m. y las 10:00

a.m.?b) Se estima que dentro de t aos la poblacin de cierta comunidad suburbana ser

1

620

t)t(P miles de habitantes.

i) Obtenga la frmula para encontrar la razn a la cual cambiar la poblacin, conrespecto al tiempo, dentro de t aos.ii) A qu razn cambiar la poblacin dentro de t aos?iii)Cunto cambiar la poblacin realmente en el segundo aos?iv)A qu razn cambiar la poblacin dentro de 9 aos?v) Qu suceder con la razn de crecimiento de la poblacin a largo plazo?


28/51


c) Las ganancias anuales brutas de cierta compaa fueron 201010 3 tt,)t(G miles deU.M. t aos despus de su formacin en 1997 A qu razn crecieron las ganancias anualesbrutas de la compaa respecto al tiempo en 2001?

d) El Producto Nacional Bruto (PBN) de cierto pas era 65

2

tt)t(N miles de millonesde dlares t aos despus de 1980 A qu razn cambi el PNB con respecto al tiempo para1988?

3) A partir de las siguientes grficas determine:a) Intervalos de continuidad de la funcin y de derivabilidad de la funcin.b) Puntos en los cules la funcin es continua pero no derivable y donde no es continua ni

derivable.a)

b)

4) Para las siguientes funciones, determine si )(xf es continua y derivable.

a)

xsix

xsix)x(f

273

223 b)

xsix

xsix)x(f22

242 c)

331 xsix)x(f

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

Y

X

X

Y

a b c d e f g


29/51


d) 113 xsix)x(f e)

xsix

xsix)x(f

0

0

32

32

f)

xsixxsix)x(f052

05

2

e) Compruebe que la funcin 24 x)x(f es continua en el intervalo 22, y que )(f 2 y)(f 2 no existen.

f) Dada

bxsix

bbxsix

)x(f072

i. Para qu valor de b es )x(f continua?

ii. Es derivable en el valor encontrado?

Funcin Derivada

La derivada de una funcin f es aquella funcin, denotada por )( xfdx

dy y est dada por:

x

)x(f)xx(f)x(f

x 0

lm

Si este lmite existe

La funcin derivada es la expresin quepermite calcular la derivada en cualquierpunto del su dominio. Como puede observarseen el grfico la recta tangente tiene distintaspendientes dependiendo del punto donde secalcule.

Y


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Ejercicios:

5) Determine la funcin derivada por definicin y la pendiente de las rectas tangente y normal en parael valor indicado.

a) 12 x;cbxax)x(f b) 46

2

x;

x

)x(f c) 24

12

x;

x

x)x(f

d)2

3

x)x(f ; x = 4 e) 542 x;x)x(f f) 215 x;x)x(f

Algebra de Derivadas

1) 0)k( 2) 1)x(

3) )x(g)x(f)x(g)x(f

4) )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f

En consecuencia:

kkx

)x(fk)x(kf

5) 2)x(g

)x(g)x(f)x(g)x(f

)x(g

)x(f

. En consecuencia:

2)x(f

)x(fk

)x(f

k

k

)x(f

k

)x(f

6) 1 nn nx)x( . En consecuencia: 1 nn knx)kx(

7) )x(f

)x(f)x(f

2

. En consecuenciax

)x(2

1

8) )x(fa)a(lna )x(f)x(f . En consecuencia xx a)alna y xx ee

9) )x(f

)x(f)x(fln

. En consecuencia

x

elog)x(log

xxln

1

10) )x(fcos)x(f)x(fsen . En consecuencia: )xcos()x(sen

11) )x(fsen)x(f)x(fcos . En consecuencia: )x(sen)xcos(

12) )x(fsec)x(f)x(ftg 2 . En consecuencia: )x(sec)x(tg 2

13) )x(fcsc)x(f)x(fctg 2 . En consecuencia: )x(csc)x(ctg 2

14) )x(ftg)x(fsec)x(f)x(fsec . En consecuencia: )x(tg)xsec()xsec(

15) )x(fctg)x(fcsc)x(f)x(fcsc . En consecuencia: )x(ctg)xcsc()xcsc(


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Derivada de la Funcin compuesta y Regla de la Cadena

Sea y = )u(f ; u = )x(g , entonces y = )x(gf y su derivada es )x(g)x(gf

dx

dy o

dx

du

du

dy

dx

dy

Ejercicios:

6) Derive las siguientes funcionesa) 312 x)x(f b) x)x(g 68

c) 424 45 xxx)x(h d)x

xx)x(f 1

33 2

e)24

4 tt)t(g f)2

2

7

10 435 y

yy)y(h

g) 1223 32 zzz)z(f h)43

12

x

x)x(g

i)3

24 352

x

xxx)x(h

j) 13

52

12

tt

t)t(f

k) xex)x(f 2 l)x

e)x(g

x

31

3

m) xex)x(h 21 n) xlne)x(h x

) xcos)x(f 23 o) tcos)t(g 2

p)zsec

)z(f3

4 q)

23 xe.x)x(f

r) xex

xg .31

)(

s)

1

3

x

xe)x(h

x

t) )x()x(f 75ln u)

1ln

x

xe)x(g

x

v) x)x(h lnln w))x(

e)t(f 1ln2

x) yey)y(g 2ln y) te.t)t(h 22 z) x).x()x(f 31 2lny)y(f)

4

2

91

1000

t

)t(g) xcos)x(f) 23


32/51


xcos)x(g) 2ln xcose)x(h) x 2

)x(y) tgln

x

xy)

sen1

sen1ln

24

x

ey)

x xcos.xy) sen2

)x(cosy) 1ln

1ln 2xxy)

Derivada de la funcin inversa: La derivada de la inversa de una funcin es igual al recproco de laderivada de la funcin. Formalmente:

11 111)x(f

)x(ff;)x(f)x(ff;x)x(ff:x

7) Derive aplicando la Regla de la Cadena y obtengadydx

dxdy y :

a)x

z,zy 214 2 e)

xb

xbt,

ta

tay

b) 13

3 2

xw,w

wy f) xp,

p

py

1

1

c) xu,uy 216 g) 12ln xz,senzw,wy

d) xxu,uuy 322 h) 31ctg xs,s

t,ew,wy t

Derivadas Implcitas. La funcin )x(fy se encuentra en forma explcita, cuando se escribe0)y,x(f , se dice que est escrita en forma implcita. Para derivarla se aplican las reglas de

derivadas considerando a y como una funcin como una funcin de x, y despejando luego en la

ecuacin resultante la derivadadx

dy .

Derivacin Logartmica. Se aplica en expresiones que involucran operaciones combinadas deproductos, cocientes y radicales con un trabajo muy pesado y en caso de expresiones de funcionesexponenciales de base funcional. El proceso se ejecuta en cuatro fases:

i) Aplicar funcin logartmica en ambos miembros.ii) Aplicar propiedades de los logaritmos

iii)Derivar implcitamenteiv)Despejar

dx

dy

v) Sustituir la expresin original.


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Ejercicios.

Derive las siguientes funciones en forma implcita:

a) 53 3151515 yyyx f)

x

yxy ln2

b) 3 yyx g) ylnxyxln 22 c) ayxyx 2 h)

45

2

234

5

xx

xxy

d) yx xeycose i)x

xy

22

1

e) xcosy)yxcos( j) xcos)ax(seny

Derivadas sucesivas (Derivadas de orden superior). Si )x(fy es una funcin derivable, )x(f se

denomina derivada de primer orden de )x(fy . Si )x(f es una funcin derivable, )x(f sedenomina derivada de segundo orden de )x(fy . En general, si )(xfy tiene derivada de orden

(n 1) y )x(fn 1 es a su vez una funcin derivable, )x(fn es la derivada de orden ensimo de)x(fy

Notacin: Ejemplo de la 5ta derivada: )y(D),x(fD,dx

yd,y),x(f x

v 555

55

8) Determine la expresin de ny :

a)x)x(f

1

1 d)x)x(f 31

2

g)

432

12

)x()x(f

b)xe)x(f 5 e)

23

1

x)x(f h)

x

x)x(f

32

21

c)x

x)x(f

1

1 f) xy 2sen

9) Verifique que las funciones dadas satisfacen la ecuacin indicada:

04cos

663

0coslnsenln

1

233

2

yyxey)iv

xxxy'''y''y'yyxy)iii

y'xy''yxxxy)ii

y)x('xy,xey)i

ivx

iv

x


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Aplicacin Geomtrica de la Derivada. Recta Tangente y Recta Normal.Consideraciones:

La derivada de una funcin en un punto es por definicin la pendiente de la rectatangente en dicho punto

La recta normal es la perpendicular a la recta tangente en el punto en estudio. La ecuacin de la recta ax es tangente vertical al grfico defen el punto )a(f,a si

y slo si

ax

)a(f)x(f

axlm

La ecuacin de la recta ax es tangente horizontal al grfico defen el punto )(, afa

si y slo si 0lmax

ax

)a(f)x(f

Ecuacin de la recta punto pendiente: )xx(myy 11 Relacin de paralelismo:

21 LL , 21 mm

Relacin de perpendicularidad:

21 LL ,2

1

1

mm

Ejercicios.

10)Resuelva los siguientes problemas:a) Hallar la ecuacin de las rectas: tangente y normal, a las siguientes curvas en el punto indicado:

i) (2,2)33 ,xxy ii) (2,5)3

12,

x

xy

iii) (3,2)016222

,yxyx b) Hallar los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales de cada una de las

siguientes curvas:

i) 225 xxy ii) 063 2 xyy iii) 81258 22 yxyx

c) Hallar la ecuacin de la recta normal a la parbola 25 xxy que forma un ngulo de45 con el eje de las abscisas.

d) Hallar las ecuaciones de las tangentes al crculo 5822 yx que son paralelas a larecta 1973 yx

e) Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la curva xlny 1 , que pasa por el punto

(0,3)f) Encontrar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin definida por

134 x)x(f ; que es perpendicular a la recta 0112 yx g) Encuentre la ecuacin de la recta tangente y de la recta normal a la grfica de

3 22 4 5 3y x x x en los siguientes puntos: P(0,5); P(-1,4) y P(1,-2)

h) Encuentre los puntos sobre la grfica de3 22 4 5y x x x para los cuales la recta

tangente es 1)Horizontal, 2) Paralela a la recta 2y + 8x5 = 0


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i) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 11

yx

que son

perpendiculares a la recta 4 2 0x y

j) Determine los puntos de tangencia horizontales y verticales de2 24 16 27x xy y

k) Determine los puntos en los cuales la curva3 5y x su tangente es: 1) Paralela a la

recta 12 17x y ; 2)Perpendicular a la recta 3 2x y


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Unidad III

Teoremas del Valor Medio. Aplicaciones

Teorema de Rolle: Si f es una funcin continua en el intervalo ,a b y derivable en el intervalo

,a b y adems ( ) ( ) 0f a f b entonces existe al menos un x c en el intervalo ,a b tal que( ) 0f c

Hiptesis:

i) f es continua en ,a b

ii) f es derivable en ,a b iii) ( ) ( ) 0f a f b

Tesis:

, / ( ) 0c a b f c

Grficamente:

CorolarioSi f es una funcin que cumple las condiciones (i) y (ii) del Teorema de Rolle y si (iii) ( ) ( )f a f b ,

entonces existe al menos un x c en el intervalo ,a b tal que ( ) 0f x Grficamente:

0 a c b X

Y

y = f(x)

0 a c b X

Y

y = f(x)f(a)=f(b)

RT; m= 0

RT; m= 0


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Interpretado geomtricamente, el Teorema de Rolle significa que si una curva alcanza el mismo valor

en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algn punto intermedio.

Teorema de Lagrange: Si f una funcin continua en el intervalo cerrado ,a b y derivable en todopunto del intervalo abierto ,a b , entonces existe al menos un punto c donde ( ) ( )( ) f b f af c

b a

Hiptesis:

i) f es continua en ,a b

ii) f es derivable en ,a b Tesis

( ) ( )

, / ( ) f b f a

c a b f c b a

Grficamente:

Geomtricamente, la pendiente de la recta tangente y la secante que pasa por los puntos , ( )A a f a y

, ( )B b f b son iguales. Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo

,a b donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

La Ecuacin de la recta tangente queda:

( ) ( )y f c f c x c

La Ecuacin de la recta secante queda: usando , ( )A a f a : ( ) ( )y f a f c x a

La ecuacin de la recta normal queda:

1

( )( )

y f c x c f c

0 a c b X

Yy = f(x)

f(a)

f(b)RT

RS

B

A


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Teorema de Cauchy Si f y g son funciones continuas en el intervalo ,a b y derivables en el

intervalo ,a b y adems ( ) 0g x para todo valor de x en dicho intervalo (esto es equivalente a

afirmar que ( ) ( )g a g b ); entonces existe un valor c en el intervalo ,a b

, tal que

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f c f b f a

g c g b g a

Hiptesis:

i) f y g son continuas en ,a b

ii) f y g son derivables en ,a b

iii) ,( ) ( ) ( ) 0 a bg a g b g x x Tesis:

( ) ( ) ( )

. /( ) ( ) ( )

f c f b f ac a b

g c g b g a

Regla de LHopital Sean f y g funcionesderivables en todo el intervalo ,a b , excepto posiblemente

en c. Si ( ) 0g x para x c y si( )

( )

f x

g xtiene forma indeterminada 0o

0

en x c , entonces:

( ) ( )lim lim

( ) ( )x c x c

f x f x

g x g x

Siempre que( )

( )

f x

g x

tenga lmite o tienda a o a

Para trabajar las otras formas indeterminadas ;0;1 ; 0 y 00 deben transformarse a las

indeterminaciones 0o0

a fin de poder aplicar la Regla de lHpital.

Ejercicios (Teoremas del Valor Medio)

1. Compruebe el Teorema de Rolle y hallar en cada caso los valores de x para los que f(x ) yf (x ) se anulan

a. 3 2( ) 3f x x x

b.2 3( ) 6f x x x

c. ( )f x senx d. ( ) lnf x x x 2. Compruebe el cumplimiento de las hiptesis del Teorema de Rolle, determine el valor en el cual

hay una tangente horizontal y grafique las siguientes funciones:

a. 3 4 3( ) 3f x x x ; 0,3

b.2 6

( )3

x xf x

x

; 2,3


39/51


c. 3 6 1

( ) ; 2,44 1

x si xf x

x si x

d.2 3( ) 3cos ; ,

2 2

f x x

3. Si 3 21y x , entoncesy= 0 cuando x = -1 y cuando x = +1. Segn el Teorema de Rolle

Puede asegurar que f (x ) se anula para algn valor del intervalo 1,1 ? Argumente surespuesta.

4. Verifique si se cumplen las hiptesis del Teorema del Valor medio de Lagrange para las

funciones dadas en el intervalo 1,1 y justificar su respuesta.

a. 1( )f xx

b. 3 2( )f x x

5. Verifique si se cumplen las hiptesis del Teorema del Valor medio de Lagrange para lasfunciones dadas en los intervalos indicados en cada caso y escriba la ecuacin de la recta

tangente en el punto , ( )c f c .

a. 3 2( ) ; 2,1f x x x x

b. ( ) 1 cos ; ,2 2

f x x

c. 2 4

( ) ; 2,67

x xf x

x

d. 2 1

( ) ; 1,22 5

xf x x

e. 2 3 3

( ) ; 1,515 2 3

x si xf x

x si x

6. Obtenga todos los valores que satisfacen en el intervalo indicado la conclusin del Teorema deCauchy.

a. 3 2( ) , ( ) ; 0,2f x x g x x

b. 2

2 2

2 1( ) , ( ) ; 0,2

1 1

x xf x g x

x x

c. ( ) cos2 , ( ) ; 0, 2f x x g x senx

d. ( ) 5, ( ) 3; 4, 1f x x g x x


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Ejercicios (Regla de lHopital)

7. Evale los siguientes lmites:

a.

2

3coslm

2 5x

x

x

b.0

lmx

tgx x

x senx

c.0

coslm

x

x

e x

xsenx

d.2

2

ln( )lm

(1 2 )x

senx

x

e.0

2 3lm

6

x x

x x

f.2

lm2

x

x

e

x

g.

2

ln(cos )lm

ln(tg )x

x

x

h.0

1 1lm

senx x x

i. 1

lm 1 ln( 1)x

x x

j.1

0lm x

xxe

k. 2 4 2lm 2x

x x x

l. 2

lm xx

xe x

m. ln

0lm 1

x

xx

n.0

2

1lm 1

2

x

x x

o.tg

0

1lm

x

x x

p. 21

2 1lm

11x xx

q. 20

14lm 2x

x

xe x

r. 0

lm sen ln(sen )x

x x

s. 22

lm 1x

xex

t.

1

0lm cos x

xx


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Unidad IV

Parte I: Aplicaciones de la Derivada en el Estudio de Curvas.

Crecimiento y Decrecimiento.Crecimiento. Definicin: Una funcin es creciente en elintervalo ba, si:

baxx

xfxxfxbax

,para

)()(:0,,

Teorema 1. Si una funcin f es estrictamente creciente (ocreciente) en un intervaloI, entonces en cada punto de dichointervalo dondefes derivable la derivada es positiva.

Decrecimiento. Definicin: Una funcin )(xfy es

decreciente en el intervalo ba, si:

baxxxfxxfxbax

,para

)()(:0,,

Teorema 2. Si una funcin fes estrictamente decreciente (odecreciente) en un intervalo I, entonces en cada punto dedicho intervalo dondefes derivable la derivada es negativa

Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes se

denominan, en general, montonas.Las funciones estrictamente crecientes o decrecientes se denominan, en general, montonas.

Valor Crtico (VC).

Seafuna funcin definida en un intervalo (abierto-cerrado) el

puntox0( Dfx 0 ) es unpunto crticode fen dicho intervalo

si se cumple una de las siguientes condiciones:

a. Ix 0 y 0)( 0 xf (pto. estacionario)

b. Ix 0 y )( 0xf (pto. singular; no hay derivada finita)c. 0x es uno de los extremos deI(pto. de frontera )

Extremos Relativos y Absolutos.Extremos de una funcin: Se llaman valores extremos de una funcin los mximos o mnimoslocales (relativos) o absolutos de una funcin.

)()( xfxxf

)()( xfxxf

i

0 x x+ x X

Y

f(x)

f(x+x)

0 x x+ x X

Y

f(x+x)

f(x)

)(xfy

)(xfy

0 X

Y

a

b

c

)(xfy


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Extremos Locales (Relativos)

Criterio. Sif es derivable y 0x es un VC def, entonces )( 0xf es:

Un mximo local si existe un intervalo (a,b) que contenga a 0x tal que )( 0xf es el mximo

valor def en (a.b) Un mnimo local si existe un intervalo (a,b) que contenga a 0x tal que )( 0xf es el mnimo

valor def en (a.b)Criterio de la Primera Derivada

Sif es una funcin derivable, Dfx 0 y 0)( 0 xf , si existe un entorno de 0x tal que para todo

xen el semientorno a la izquierda de 0x )(xf es positiva y para todoxen el semientorno a la

derecha de 0x )(xf es negativa, entonces )( 0xf es un mximo local def.

Si f es una funcin derivable, Dfx 0 y 0)( 0 xf , si existe un entorno de 0x tal que para

todoxen el semientorno a la izquierda de 0x )(xf es negativa y para todoxen el semientorno

a la derecha de 0x )(xf es positiva, entonces )( 0xf es un mnimo local def.

Criterio de la Segunda Derivada

Sif es una funcin derivable, Dfx 0 , 0)( 0 xf y existe )( 0xf , entonces si:

)( 0xf 0, )( 0xf es un mnimo local.

X

Y

Mnimo RelativoMnimo Relativo

Mximo Relativo

y = f (x)


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Ejercicios

A. Extremos relativos. Criterio de la 1 Derivada. Halle los extremos relativos cada una de lassiguientes funciones, ubique su imagen y escriba su respuesta como un punto.

63)(2)

361)(1)3

2

xxxf

xxxf xxxf

senxxf

ln)(4)

2,2;)(3)

xexf

xxxxxf

1)()6

4432)(5) 234

B. Intervalos de: crecimientos y decrecimiento. Determine los intervalos de crecimiento ydecrecimiento de las siguientes funciones.

2

2

1)(7)

)2)(1()(6)

xxxf

xxxf

)1ln()(9)

52

3

3

2

4)(8) 23

4

xxxf

xxx

xf

x

exf

x

)(10)

C. Extremos relativos. Criterio de la 2 Derivada. Use el criterio de la 2 Derivada para determinarlos extremos relativos de las siguientes funciones.

2

24

4)(12)

6)(11)

xxxf

xxxf

2

2

4

5ln)(14)

1

)(13)

xxf

x

xxf

1)1()(15) 31 xxf

Extremos Absolutos.

Para determinar los extremos absolutos de una funcinf est definida en: Un intervalo cerrado I, se determinan los extremos locales por el criterio ms conveniente y

las imgenes de los puntos de frontera del intervalo para proceder a decidir cules son losextremos absolutos de la funcin enI. Se usa el criterio de la Primera Derivada.

En caso de tratarse de un intervalo abierto el valor extremo absoluto coinciden con el valorlocal que corresponda en dicho intervalo. Se usa el criterio de la Segunda Derivada.

y = f(x)

MnimoAbsoluto

MnimoAbsoluto

X

Y

MnimoAbsoluto

y = f(x)


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Ejercicios

D. Extremos Absolutos. Determine los extremos absolutos de c/funcin en los intervalos que seindican

,0;72

2)(18)

2,1;9)(17)

1,8;4

)(16)

2

xxxf

xxf

xxxf

2

1;

2

1;

1

1)(20)

10,10;23)(19)

2

2

xxf

xxxf

Concavidad y Convexidad.

Concavidad de una curva. La curva correspondiente a una

funcin derivable f es cncava en un punto )(, 0xfxo si

existe un entorno reducido del punto 0x donde la curva estpor encima de la recta tangente a la misma en dicho punto.Convexidad de una curva. La curva correspondiente a una

funcin derivable f es convexa en un punto )(, 0xfxo si

existe un entorno reducido del punto 0x donde la curva est

por debajo de la recta tangente a la misma en dicho punto.

Criterio de la Segunda Derivada.

Si una funcin f tiene derivada segunda positiva en un

punto 0x y existe derivada finita en un entorno de 0x ,

entonces el grfico de f es cncavo en el punto

)(,0

xfxo .

Si una funcin f tiene derivada segunda negativa en un

punto 0x y existe derivada finita en un entorno de 0x ,

entonces el grfico de f es convexo en el punto

)(, 0xfxo .

Punto de Inflexin.

El punto )(, 0xfxo del grfico de una funcinderivable f es unpunto de inflexin si y slo si en el mismola curva el sentido de su concavidad y se anula la segundaderivada.

0 x0 X

Y

( )y f x

RT

RT

( )y f x

0 x0 X

Y

f(x0)>0f(x0)


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Ejercicios

E. Intervalos de concavidad y puntos de inflexin. Determine los intervalos de concavidad y lospuntos de inflexin de las siguientes funciones

3

23

1)(22)

4126)(21)

xxf

xxxxf

xxxf

xxxf

ln)(24)

12)(23)

2

2

3

xxxf )3()(25)

Elementos de un estudio completo de curvas.

I. Dominio de la funcinII. Interceptos

III. Asntotas: (Vertical, Horizontal y Oblicua)IV. Estudio de la Primera Derivada (Mximos y Mnimos, Crecimiento - Decrecimiento)V. Estudio de la Segunda Derivada (ConcavidadConvexidad, Punto de Inflexin

VI. Grfica

Asntotas Horizontales y Verticales

Cuando la grfica de una funcin se comportan de la siguiente manera:

Cuando la grfica de una funcin se comportan de la siguiente manera:

Asntota Vertical. Definicin.

La recta x = a es una Asntota Vertical de la grfica de la funcin )(xfy si se verifica al menos uno de losiguientes lmites

)(xflmax

)(xflmax

)(xflmax

)(xflmax

Observacin: Si se cumplen los lmites por la izquierda y l

derecha la asntota se denomina total y si se cumple slo ulmite lateral se denomina parcial.

)(xfy

X

x=a

y = b

Puede observarse que la grfica se lavariable independiente (X) puede tomarvalores por la izquierda y la derecha dea y la grfica se tiende hacia y

. Mientras que cuando se toman loslmites hacia y , la funcin tomavalores que se acercan a b. En estoscasos se dice que tantox = a, comoy = bson asntotas de )(xfy


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Asntota Horizontal. Definicin.

La recta y = b es una Asntota Horizontal de la grfica de la funcin ( )y f x si se verifica al menos uno d

los siguientes lmites: ( )xlm f x b , o ( )xlm f x b Observacin: Si se cumplen ambos lmites la asntota se denomina total y si se cumple slo un lmite laterase denomina parcial.

Asntota Oblicua. Definicin

La rectay= ax+ b es la Asntota Oblicua de la grfica de y = f (x) si:

( )limx

f xa

x

, supuesto que el lmite exista y sea diferente de cero (0), y

lim ( )xb f x a x

Colorario:Las funciones racionales en las cuales tanto numerador como denominador son polinomiosen IR, se presenta la asntota horizontal o la oblicua, si grado P(x) = grado Q(x) +1.

Esto ocurre porque el( )

lim 0x

f x

x

, por consiguiente el lim ( )x

f x

existe o es infinito

XX

Y

( )y f x

( )y f x

A. O.

Y


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Ejercicios

A. Estudio de curvasRealice el estudio de las siguientes funciones y trace su grfica

2

2

2

4

2

26) ( ) 4 3

227) ( )

1

28) ( ) 12

f x x x

xf x

x

xf x x

2

2

2

2

829) ( )1

430) ( )

5 6

31) ( ) x

xf xx

xf x

x x

f x x e

B. Problemas diversos

36) Si la funcin )(xf tiene como derivada xxxf 4)( 2

a) En qu intervalos )(xf es creciente?, y decreciente?

b) En qu intervalos )(xf es cncava?, y convexa?c) Cules son las coordenadas x de los extremos relativos y de los puntos de inflexin?

37) Dibuje la grfica posible de una funcin )(xf que tenga las siguientes propiedades:

I. a) )(xf >0; x5

b) )(xf


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38)Responda razonadamente:

a) Todo valor crtico de 1 especie es un extremo relativo?

b) Si 3 21)( xxf es continua en Por qu no es derivable enx= 1?

c) En la funcin

1ln)( 2xxxf )(xf >0, para todo valor de x en el dominio de la

funcin, qu ocurre enx= 0?, cmo se denomina dicho punto?

40) En la grfica especifique los intervalos en los cules la 1 y 2 derivada es positiva y dnde esnegativa.

A BY

+ 1

+ 2 + 3

Y

X

4 + 4

X


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Aplicaciones de la Derivada

Parte II: Aplicaciones en la Economa

Concepto Smbolo y Frmulas DefinicinCosto Marginal C(x) Se define como el aumento del costo total necesariopara producir una unidad adicional de un bien

Costo Promedio ( )( )

C xC x

x

Es el total de los desembolsos efectuados paraproducir o vender una serie de artculos, divididoentre el nmero de unidades fabricadas o vendidas.

Ingreso Marginal I(x) El ingreso marginal es el aumento de los ingresostotales cuando se vende una unidad de producto ms.

Ingreso promedio( )

( ) I x

I x x Los ingresos medios son el resultado de dividir losingresos totales entre el nmero de unidadesproducidas; si todas las unidades se han vendido almismo precio es evidente que el ingreso medio serigual al precio. Para las empresas que actan enmercados de libre competencia, el ingreso medio esigual al ingreso marginal e igual al precio.

Utilidad U(x) =I(x)C(x) En economa se llama utilidad a la capacidad quetiene una mercanca o servicio de dar satisfaccin auna necesidad. La ciencia econmica haceabstraccin de consideraciones ticas o morales encuanto a definir lo que es una necesidad: se considerapor tal cualquier deseo de bienes o servicios quetenga de hecho el consumidor. En un sentido msamplio utilidad es equivalente a bienestar,satisfaccin, etc.

Utilidad Marginal U(x) =I(x)C(x) La Teora Marginalista resulta crucial para la cienciaeconmica, tanto es as que est en la base, y ha dadoel nombre, a toda una corriente de pensamiento. Lautilidad marginal se refiere al aumento o disminucinde la utilidad total que acompaa al aumento odisminucin de la cantidad que se posee de un bien oconjunto de bienes y es, matemticamente, igual a laderivada de la curva que describe la funcin deutilidad a medida que aumentan los bienes adisposicin del consumidor.


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Algunas consideraciones.El modelo de optimizacin se realiza aplicando el criterio de la segunda derivada para mximos ymnimos.

El costo promedio por unidad se minimiza cuando iguala al costo marginal: aaCaC )()( , donde a es

el valor para donde el costo promedio se hace mnimo.

Cuando una compaa opera en competencia perfecta, no puede alterar el precio incrementando laproduccin, esto significa que el precio de la mercanca es constante y la grfica de la funcindemanda es una recta horizontal.

En un monopolio, lo cual significa que slo existe un fabricante, de cierta mercanca, el precio, y porlo tanto la demanda, pueden controlarse mediante la regulacin de la cantidad de producto fabricado.

Optimizacin restringida: Se aplica cuando se desea maximizar una funcin (funcin objetivo)sujeta a una limitacin (funcin restriccin) Por ejemplo, al tratar de minimizar los costos de cercarun terreno, la funcin objetivo es el permetro y la restriccin es el rea, esto lleva a usar el rea paraexpresar una variable en funcin de la otra, para luego sustituirla en el permetro.

Ejercicios:

1. Una compaa que fabrica y vende escritorios opera en competencia perfecta y puede vendersu producto a un precio unitario de 200 BsF toda su produccin. Si fabrican x escritorios cada

semana, y C(x) BsF es el costo total de produccin semanal, entones2

( ) 40 3000C x x x .Determine cuntas unidades deben producirse a la semana para que el fabricante obtenga lamxima utilidad Marginal. Cul es la utilidad total de la semana?

2. La ecuacin de la demanda de un monopolista es2100 (100 )p x , donde se demandan x

unidades cuando el precio unitario es p BsF. La funcin del costo total est dada por24( ) 55

5C x x x donde ( )C x es el costo total de produccin de x unidades. (a) Calcule el

precio que el monopolista debe fijar a fin de obtener la mxima utilidad total; (b) Si elgobierno grava al monopolista un impuesto de 9 BsF de valor agregado por cada unidad quese produce, determine el precio unitario para obtener la mxima utilidad; (c) contraste losvalores obtenidos en (a) y (b) y concluya al respecto. Nota: en estos casos el impuesto agravar se carga a los costos, es decir al costo total se agrega 20x.

3. Suponiendo que los costos totales de un fabricante estn dados por2

( ) 1600 20 0, 01C x x x ; con 0x siendo x la cantidad de unidades de producto. Paraqu nivel de produccin el costo promedio por unidad es mnimo?

4. Con motivo de la reciente celebracin de la entrega de un premio literario una empresadedicada a las artes grficas recibe el encargo de encuadernar 200.000 ejemplares de undeterminado libro dicha empresa cuenta con 30 trabajadores con un sueldo de 1125 UM/horacada uno. Para poder hacer frente a dicho encargo la empresa deber comprar un nmero


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determinado de mquinas de encuadernacin a un precio unitario de 1.500.000 UM. Cadamquina de encuadernacin puede encuadernar 500 libros en una hora. Los gastos de gestiny administracin del encargo ascienden a 300.000 UM. Determine: (a) la funcin del Costototal del encargo; (b) el nmero de mquinas de encuadernacin que se deben comprar para

minimizar los costos totales.5. Para cercar un terreno rectangular a la orilla de un ro se emplean dos tipos de materiales. El

material para cercar los dos costados perpendiculares a la ribera del ro cuesta Bs 800 el metroy el material para cercar el lado paralelo al ro cuesta Bs 1.200; si la ribera del ro no necesitacerca y se disponen de Bs 36.000 para los gastos materiales, Cules sern las medidas delterreno de rea mxima que se puede cercar?

CONSULTAR EN LA BIBLIOTECA:

1. ARYA Y LARDNER, Matemticas Aplicadas a la Administracin y a la Economa.2. AYRES Y MENDELSON. Clculo Diferencial e Integral. Coleccin Schaum.3. BITTINGER, MARVIN L. Clculo. Para Ciencias EconmicoAdministrativas.4. GALLO, Csar. Matemticas. Para Estudiantes de Administracin y Economa. Tomo II.5. HAEUSSLER Y PAUL. Matemtica para Administracin y Economa.6. HOFFMANN Y BRADLEY. Clculo. Aplicado a Administracin, Economa, Contadura y

Ciencias Sociales.7. LARSON, HOSTETLER Y EDWARDS. Clculo. Volumen I.8. LEITHOLD. Louis. El Clculo con Geometra Analtica.9. LEITHOLD. Louis. Clculo. Para Ciencias Administrativas, Biolgicas y Sociales.10. PURCELL Y VARBERG. Clculo con Geometra Analtica111. WEBER, JEAN E. Matemticas para Administracin y Economa.

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Matemática I MAFP 2012