MATEMÁTICA II - 2014 EJE TEMATICO IV

UNIDAD 6 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Parte I: Funciones en R3

Parte II: Derivada ParcialParte III: Optimización

MSc. Prof. Graciela Gatica

ƒ

P(x,y)

Domf

x

y

Caso especial 2 var.indep.

z=f(x,y)

-3 -2 -1 0 1 2 3 z

z

Parte I: Funciones en R3

Funciones de 1 variable indep. y=f(x)Funciones de varias var. independ: z = ƒ(x,y,t,r,…)

Representación Gráfica de Puntos en el Espacio Tridimensional R 3 P0 = (1,5,3)

P1 = (-2,2,-4)

P2 = (3,-2,6)

P3 = (5,-7,-1)

P4 = (6,8,-3)

-3

-2

-1

512

3

y

-4

3

56

-7

-2

8

x

z

P0

P1

P2

P3

P4

Representación Gráfica de Planos en el Espacio Tridimensional R 3

xy

zS0: x = 0

S1: y = 0

x

z

y

Plano yz

Plano xz

S2: z = 0

x

z

y

Plano xy

S3: z

= 3

x

z

y

Plano paralelo al xy

3

Representación Gráfica de Superficies z = ƒ (x,y) en R 3

x

y

z

z0

z1

Im ƒ

(x1, y1)

(x1, y1, ƒ(x1, y1))

x1

y1

z = ƒ (x , y)

(x0, y0, ƒ(x0, y0))

(x0, y0)x0

y0

Dom ƒ ⊆ lR2

Curvas de Nivel de una superficie

Características:Los puntos de una misma curva de nivel tienen el mismo valor de z. Las curvas de nivel no se intersectan entre sí, caso contrario un punto (x,y) del dominio tendría más de una imagen z .

Las curvas de nivel de una superficie z=f(x,y) se obtienen intersectando dicha superficie con planos de ecuación z=k (k cte.) es decir: F(x,y) =k

y)f(x,z

Curvas de Nivel de una superficie

x

y

z

3

2

1

4

5

6

7

8

9

z = 1

z = 4

z = 9

-3

-2

-1

1

2

3y

-2 3-1 x-3 21

x2 + y2 = 9

x2 + y2 = 4

x2 + y2= 1

z = x2 + y2

z = k

Ejemplo: Obtener las curvas de nivel de z = x2 + y2

con planos z=k (k= 1, 4 , 9)

x2 + y2 =k

Aplicación a la función Costo Total: Líneas de Isocoste

Problema (Pág 121-guía): Empresario utiliza 2 medios de propaganda para promocionar sus productos

a= cantidad de veces que aparece el aviso en el medio A. b= cantidad de veces que aparece el aviso en el medio B .PA= $600 (precio de c/aviso en el medio A)PB= $300 (precio de c/aviso en el medio B)Costo fijo por la confección del aviso=$3.500Se pide:

Cada línea de isocoste representa una combinación de insumos o factores para obtener un nivel determinado de producción a un MISMO COSTO; o sea, combinaciones de insumos con costos iguales

Líneas de Isocoste 1º) Función Costo Total:

15.5003.500b300600a15.500CPara 1

12.00012.000

b12.000

300a

12.000600

12.000300b600a 140b

20a

155ba

255

180b

40a

3.500b300600ab)C(a,

20.0003.500b300600a20.000CPara 2

27.5003.500b300600a27.500CPara 3

2º) curvas de nivel de la función Costo Total :

Líneas de Isocoste

10

a20

30

40

50

10

20

30

40

50

60

70

80

b

ℂ1

ℂ2

ℂ3

Cuanto mayor es el costo total, la línea isocoste correspondiente se encuentra más alejada del origen de coordenadas

2300600

En cada línea de isocoste los puntos (x,y) representan las combinaciones de las cantidades de cada insumo entre las cuales los empresarios pueden optar, con el mismo nivel de gasto.La pendiente de las rectas de isocoste es igual a la razón de los precios de los insumos con signo negativo:

En el problema las curvas de nivel representan las combinaciones de cantidades a y b de avisos que se pueden hacer por un costo total determinado.3500b300a600)b,a(C

Aplicación a la función Utilidad u(q1,q2): Curvas de Indiferencia

Curva correspondiente a todas las combinaciones diferentes de cantidades q1,q2 para las cuáles el consumidor obtiene el mismo nivel de utilidad k.

Las curvas de indiferencias son decrecientes pues si aumenta el consumo de un bien disminuye el del otro para mantener constante la utilidad.

Al aumentar el valor de la función utilidad u , aumenta el nivel de satisfacción, las curvas se alejan del origen, aumentando las cantidades consumidas de ambos bienes.

Las curvas de indiferencias son convexas respecto al origen de coordenadas.

1

2

3

4

q2

1 2 3 4q1

k1

k2

k3

Hipérbolas equiláteras del Primer cuadrante

Curvas de IndiferenciaConsideremos el caso simplificado en que las adquisiciones de un consumidor están limitadas a dos artículos: u = q1.q2

En c/ curva los pares (q1,q2) representan las combinaciones que proporcionan = grado de satisfacción al consumidor.

Al aumentar u aumenta el nivel de satisfacción, las curvas se alejan del origen.

12 q

1q

12 q

2q

12 q

4q

Para K1=1Para K2=2

Para K3=4

1

2

3

4

q2

1 2 3 4q1

k1

k2

k3

Hipérbolas equiláteras del Primer cuadrante

Curvas de nivel: q1 . q2 =K

Aplicación a la función Producción q= q(x1,x2): Isocuantas

Curva correspondiente a todos las combinaciones de insumos variables x1 y x2 que proporcionan un mismo nivel de producción P0

La función de producción: q = q ( x1, x2 )Consideramos un proceso de producción en el que intervienen dos insumos variables x1 y x2 y el resto de los insumos fijos.

Estas curvas de nivel representan distintos niveles de producción.

Son convexas respecto al origen. Cuanta más distancia existe entre

el origen de coordenadas y la isocuanta, mayor es el producto que representa.

Se considera intervalo relevante de la curva aquel donde la pendiente es negativa, puesto que el intervalo de pendiente positiva indica un aumento en las cantidades de ambos insumos para el mismo nivel de producción.

x2

x1

Zona de Producción o Intervalo relevante

Parte II: Derivadas parciales

FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

Sea z = ƒ (x , y) una función de 2 variables independientes, podemos obtener en cada punto P0:

Δx

y,xfyΔx;xfLímP

xz 0000

0Δx0

Δy

y,xfΔyy;xfLímP

yz 0000

0Δy0

Derivadas parciales

la derivada parcial de z con respecto a x en P0

la derivada parcial de z con respecto a y en P0

Cálculo de derivadas parciales. Reglas

Funciones CompuestasA) En z = ƒ ( x , y ) las variables x e y a su vez dependen de otra

z = ƒ ( x , y ) = ƒ ( x( t ) , y( t ) ) = F( t )

Derivada total de z con respecto a la variable t.

Derivada parcial de z con respecto a la variable x o y.

x = x ( t )

y = y ( t )e z

x t

y t

a)

b)

c)

Funciones Compuestas

x = x ( u , v)

y = y ( u , v)z = ƒ [ x ( u , v ), y ( u , v ) ] = F( u , v )

z tiene 2 derivadas parciales que se obtienen así:

( 1 )

( 3 )

( 2 )

( 4 )

z

y

xu

v

u

v

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

B) En z = ƒ ( x , y ) las variables x e y dependen de dos variables u y v:

Reglas Práctica para Calcular las Derivadas de Funciones CompuestasEsquema que parte de la variable dependiente de la función compuesta, de ella parten tantas flechas como variables independientes tenga, y de cada una de éstas hacemos lo mismo:

Todas las flechas terminan en una misma variable:

Las flechas terminan en más de una variable:

Derivada Total: z depende de una sola variable: v

Derivada Parcial: z depende de dos variables: t y v

yz

x v

uv

( 1 )

( 2 )v

t u v( 3 )

( 4 )( 2 )

u t

z

y

x

v

u

v

t

( 1 )

( 3 )

( 4 )

Derivadas Sucesivas para Funciones de dos Variables Independientes

derivada parcial segunda de z respecto a x dos veces. ∂ x

∂ z ∂ x ∂ x∂

2 z =

∂ x 2

∂ 2

z

∂ x ∂ y∂

2 z

derivada parcial segunda de z respecto a x y a y (derivada parcial cruzada)

∂ y 2

∂ 2

z

∂ y ∂ x∂

2 z

∂ y∂ z

∂ y ∂ y∂

2 z =

derivada parcial segunda de z respecto a y dos veces

derivada parcial segunda de z respecto a y y a x. (derivada parcial cruzada)

Sea z = ƒ(x ,y) una función de dos variables, obtenemos dos derivadas parciales y podemos volver a derivar cada una de ellas obteniendo las derivadas parciales segundas:

Derivadas Sucesivas para Funciones de dos Variables Independientes

∂ x 3

∂ 3

z

∂ x2 ∂ y

∂ 3

z ∂ y ∂ x∂

2 z

Estas derivadas parciales segundas a su vez también son funciones de x e y, entonces las podemos volver a derivar obteniendo las derivadas parciales terceras:

∂ x 2

∂ 2

z∂ x ∂ y∂

2 z

∂ x ∂ y2∂

3 z

∂ x ∂ y ∂

x

∂ 3

z∂ y ∂ x2∂

3 z

∂ y ∂ x ∂

y

∂ 3

z∂ y

3

∂ 3

z

∂ y2 ∂ x

∂ 3

z

∂ y 2

∂ 2

z

Si las derivadas parciales de z son continuas entonces las derivadas parciales segundas cruzadas son iguales

Propiedad : conmutabilidad de las derivadas segundas cruzadas

PARTE III OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

Máximo Absoluto

x

y

z

P0

x0

y0

πz

Ty

Tx

(x0 , y0 ,ƒ ( x0 , y0 ) )

z = ƒ ( x , y )

A = Dom ƒ

La función z= ƒ (x , y) presenta un máximo absoluto en el punto P0 = ( x0 , y0 ) ∈ Domf si y solo si para cualquier punto (x,y) del Domf se cumple que:

ƒ(x0 , y0) > ƒ (x , y)

Mínimo Absoluto

z = ƒ ( x , y )

(x0 , y0 ,ƒ ( x0 , y0 ) )

A = Dom ƒ

x0

y0

P0x

z

y

Ty

Tx

πz

La función z= ƒ(x ,y) presenta un mínimo absoluto en el punto P0 = ( x0 , y0 ) del Domf si y solo si para cualquier punto (x , y) del Domf se cumple que: ƒ (x0 , y0) < ƒ (x , y)

Máximos y Mínimos Relativos

x

zz = ƒ ( x , y )

A = Dom ƒE (P ; ઠ)

PP

y

x

zz = ƒ ( x , y )

A = Dom ƒE (P ; ઠ)

PP

y

P mínimo relativoP máximo relativo

P0 es un mínimo relativo de f si cumple:

ƒ (x0 ,y0)<ƒ (x,y) para todo punto de EP0 es un máximo relativo de f si cumple:

ƒ (x0 ,y0)>ƒ (x,y) para todo punto de E

El punto P0 = (x0,y0) ∈ E (P ; ઠ) entorno de P, radio delta

Puntos de Inflexión - Punto de Ensilladuracambio de concavidad de la curva

x

y

z

P0

x0

y0

Ty

z = ƒ ( x , y )

Tx

z0

x

y

zP4

P1

P3

P2

P5

P0 es punto de inflexión

P1 punto de ensilladuraP1 máximo en curva que une P2 P3P1 mínimo en curva que une P4 P5 f en P1 no presenta ni máximo ni mínimo

6.5.3.Determinación de Extremos (2 variables indep.)C. Necesaria: Si f presenta un extremo en P0 entonces

adicionalanálisisconclusiónNinguna0=)H(P

inflexión PuntoPenMín.niMáx.Ni0<)H(P

PenMínimo0>)(Pfy0>)H(P

PenMáximo0<)(Pfy0>)H(P

0

00

00xx0

00xx0

⇒⇒

⇒⇒

⇒

⇒

⇒

0=)(Pf=y

)f(P

0=)(Pf=x

)f(P

0y0

0x0

∂

∂∂

∂

real

PopuntoelencalculadoHessiano

N=

)(Pf)(Pf

)(Pf)(Pf

=)H(P

0yy0yx

0xy0xx

0

C. Suficiente: Signo del Hessiano (determinante calculado en el punto Po)

críticopuntoPoobtenemos

Ejemplo: Determinar los extremos ( con 2 var. indep.)

C.N.: resolver el sistema:

0=f

0=f

y

x

⇒

( ) ),(=Py0,0=P 31

31

21

-1=f;-1=f

6y=f;6x=f

Aux. . cálc

yxxy

yyxx yyyx

xyxx

ff

ff=PH

( ) ( ) 0<-1=0,0H=PH 1

( ) 0>3=),H(=PH 31

31

2

0>2=),(f 31

31

xx

xy-y+x=y)f(x, 33

C.S.: signo del Hessiano

No hay extremo en (0,0)

Hay mínimo en ),(=P 31

31

2

Y el valor mínimo de la función es 271

31

31 -=),f(

0=x-3y

0=y-3x

2

2

Obtenemos los puntos críticos:

1-36xy=6y1-

1-6x

Determinación de extremos (con 3 var. indep.)

inflex. de punto P0)(PHSi

Mín.P0>)(PH0>)(PH,0>)(PHSi

Máx.P0<)(PH0>)(PH,0<)(PHSi

002

0030201

0030201

⇒

⇒

⇒

y

y

0)(Pf=)(Pf=x

)f(P

0)(Pf=)(Pf=x

)f(P

0)(Pf=)(Pf=x

)f(P

030x3

0

020x2

0

010x1

0

3

2

1

∂

∂

∂

∂

∂

∂

)(Pf)(Pf)(Pf

)(Pf)(Pf)(Pf

)(Pf)(Pf)(Pf

=)(PH

033032031

023022021

013012011

03

C. S. Para 3 variables independientes analizamos el Hessiano de orden 3 y de sus menores H1 y H2)

)(Pf)(Pf

)(Pf)(Pf=)(PH

022021

01201102

)(Pf=)(PH 01101

C.N.: resolver el sistema:

6.5.4. Generalización de CN y CS para funciones de n variables independientes

C.N.: las derivadas parciales de 1º orden en P0 deben ser nulas

0=)(Pfx,...,0=)(Pfx,0=)(Pfx on0201

C.S.: Se expresa a través del Hessiano de orden n y sus menores principales H1, H2, ..,Hn.

)(Pf=)(Pxfx)(PH 01101101 )(Pf)(Pf

)(Pf)(Pf)(PH

022021

01201102

)(Pf...)(Pf)(Pf

............

)(Pf...)(Pf)(Pf

)(Pf...)(Pf)(Pf

)(PH

0nn0n20n1

02n022021

01n012011

0n

0>H..........

;0>H;0>H

0;>H

n

3

2

1

0>H.(-1)

.........;0<H;0>H

0;<H

nn

3

2

1

6.5.4. Generalización de CN y CS para funciones de n variables independientes. Conclusiones:

f presenta un máximo en P0 si todos los menores principales alternan su signo siendo H1 negativo. Es decir:f presenta un mínimo en P0 si todos los menores principales son positivos. Es decir:

f presenta un punto de inflexión en P0 si H2 es negativo o cero. Es decir:

0)(PH 02

Problema de Aplicación: Extremos libres

Ejemplo 10: C(q1,q2,q3 ) es dato.

p1=12, p2=18 y p3=24 los precios de los bienes q1, q2 y q3

Determinar q1, q2 y q3 para lograr el Beneficio máximo.

C ( q1 , q2 , q3 ) = 2q12 + q1 . q2 + 2q2

2 + 3q32 + 4

I ( q1 , q2 , q3 ) = p1 . q1 + p2 . q2 + p3 . q3 = 12 q1 + 18 q2 + 24 q3

ℬ ( q1 , q2 , q3 ) = 12 q1 + 18 q2 + 24 q3 - 2q12 - q1 . q2 - 2q2

2 - 3q32 - 4

C.N.:

ℬq1 = ℬ1 = 12 - 4q1 - q2 = 0 ( 1 )ℬq2= ℬ2 = 18 - q1 - 4q2 = 0 ( 2 )

ℬq3 = ℬ3 = 24 - 6q3 = 0

∴ P0 = ( q1 , q2 , q3 ) = (2, 4, 4)

ℬ (P0) = 92

( 3 )

Ejemplo 10C.S.: Hessiano de orden 3 y sus menores principales H1, H2 y H3 (ver 6.5.4)

Conclusión: Como los menores del Hessiano alternan sus signos comenzando por H1 negativo, H2>0 y H3<0, el Beneficio es MÁXIMO para 2 unidades producidas de q1 , 4 de q2 y 4 de q3,, y alcanza a $ 92 su valor mayor.

Problema de Aplicación: Extremos Libres

-4(2,4,4)B=)(PH 1101

906)(96

60 0

0 41

0 14

)0(P33B)0(P32B)0(P31B

)0(P23B)0(P22B)0(P21B

)0(P13B)0(P12B)0(P11B

=)0(P3H

1511641

14

22B21B12B11B

=)0(P2H

(2,4,4))q,q,(qP 3210

36q- 243B24q-1q -182B2q -14q-121B

:cordarRe

Extremos condicionados

restricción ഴ (x , y)

x

y

z

z = ƒ ( x , y )

Máximo libre

P0P1 Máximo restringido

Dom ƒ

MAXIMO LIBRE: mayor valor que toma la función sobre todo su dominio MÁXIMO RESTRINGIDO: mayor valor que toma la función sobre la curva de intersección entre superficies z=f(x,y) y la restricción ഴ (x , y)

Para determinar los extremos de una superficie z=f(x,y) que está condicionada a la función (x,y)=0 utilizamos el Método de los multiplicadores de Lagrange

Función Restricción:

C.N. de extremos: Resolvemos el sistema

6.5.5. Extremos condicionados

Función auxiliar: y)(x,λ.+y) f(x,=λ)y,L(x,

0y)(x, =λ)y,(x,L

0y)(x,λ.+y)(x, f=λ)y,(x,L0y)(x,λ.+y)(x, f=λ)y,(x,L

λ

yyy

xxx

)λ,z,y,(xP:críticopto.

00000

0y)(x,

)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL)(PL

)(PH0λλ0λy0λx

0yλ0yy0yx

0xλ0xy0xx

02

6.5.5. Extremos condicionados

C.S.: construimos el Hessiano ampliado

0y)(x,adocondicionaP en máx. tienef0)(PHSi 002

0y)(x,adocondicionaP en mín. tienef0)(PHSi 002

Conclusión:

Ejemplo 11: Maximización de la utilidad con restricción presupuestaria - Aplicación Extremos condicionados

C.N.extremos:

LagrangedeFunción)x,(xλ.+)x,U(x =λ),x,L(x 212121

60)-2x(4xλx2+xx =λ),x,L(x 2112121

060-2x4x =L

0λ2+xL =L

04λ2+xL =L

21λ

12x

21x

2

1(1)

42)-(x

=λ 2 2

x-4

2)(x-(2)y(1)Igualando

12

(3)12

xx 2

1

UtilidadFunción2x.xx)x,U(x 12121

nrestricció060-2x4xx2)(x1, 21

(2)2x-

=λ 1

602x42x 220602x12

x4

:Len(3)Reemplazo

22

λ

812

14x

:(3)enxReemplazo

1

20

8x01

-4λ0

060-2x4x =L 21λ

2-8

=λ:(2)enxReemplazo01

14x02

:Uen4)(8,14,)λ,x,(xP Reemplazo 0210 00

)λ,x,L(x12882.148. =)x,U(xU 021210 0000

(3)12

xx 2

1

Extremos Condicionados (Ej. 11 continúa)

(2)2

-x =λ 1

L funcióndecrítico punto

4)(8,14,λ,x,(xP 0210 00 )

Ejemplo 11: (continúa)

C.S.: calcular las derivadas segundas para obtener el Hessiano ampliado

Conclusión: La Utilidad es Máxima para 8 unidades consumidas de x1, 14 de x2 , con un gasto total de $60 como establece la restricción y un nivel de Utilidad de $ 128.

L de máx.Po016024201410

)0(PλλL)0(Pλ2L)0(Pλ1L)0(P2λL)0(P22L)0(P21L)0(P1λL)0(P12L)0(P11L

)0(P2H

60-22x14x =λL

λ2+1x2L

4λ2+2x1L

:Recordar

Ldecrítico4)(8,14,P0

(8,14))x (x en máximo tieneU 0,1 02 12882.148. =U(8,14)

Fin Unidad 6- Eje Temático IV

Fin de la Asignatura MATEMÁTICA II - 2014

La cátedra les desea muchos éxitos !!

Prof. Titular: MSc. Graciela Gatica de Aldalla

Prof. Adjunta: Lic. Flavia ZalazarJefe de T. Prácticos: Lic. Carina

MurcianoAyudante: Matías Silva