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integrales
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Metodos de Integracion
CALCULOINTEGRAL
Mg. Edgar Santisteban Leon
Ciclo 2013 - II
Mg. Edgar Santisteban Leon CALCULO INTEGRAL
Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Integracion por sustitucion
Teorema
Sea g una funcion diferenciable y sea el rango de g algun intervaloI. Suponga que f es una funcion definida en I y que F es unaantiderivada de f en I, entonces∫
f (g (x))[g′ (x) dx
]= F (g (x)) + C.
Para resolver una integral mediante este metodo, el estudiantedebe considerar los siguientes pasos :Paso 1: Identificar la funcion u = g (x) , de modo quedu = g′ (x) dx, sea parte del integrando.Paso 2: Con el cambio de variable, la integral original setransforma en∫
f (u) du = F (u) + C = F (g (x)) + C.
Mg. Edgar Santisteban Leon CALCULO INTEGRAL
Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Formulas de integracion
En las formulas siguientes, considere u = u (x) una funciondiferenciable y C una constante arbitraria.
1)∫
du = u + C.
2)∫ du
u= ln |u|+ C.
3)∫
updu =1
p + 1up+1 + C. p 6= −1
4)∫
audu =1
ln aau + C. a > 0, a 6= 1
5)∫
eudu = eu + C.
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Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Formulas de integracion
6)∫
sen udu = − cos u + C.
7)∫
cos udu =senu + C.
8)∫
tan udu = − ln |cos u|+ C = ln |sec u|+ C.
9)∫
cot udu = ln |senu|+ C.
10)∫
sec udu = ln |sec u + tan u|+ C.
11)∫
csc udu = ln |csc u− cot u|+ C.
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Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Formulas de integracion
12)∫
sec2 udu = tan u + C.
13)∫
csc2 udu = − cot u + C.
14)∫
sec u tan udu = sec u + C.
15)∫
csc u cot udu = − csc u + C.
Mg. Edgar Santisteban Leon CALCULO INTEGRAL
Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Formulas de integracion
16)∫ du
a2 + u2 =1a
arctan(u
a
)+ C.
17)∫ du
a2 − u2 =12a
ln∣∣∣∣u + aa− u
∣∣∣∣+ C, u 6= a 6= 0.
18)∫ du√
a2 − u2= arcsen
( ua
)+ C, a > 0.
19)∫ du
u√
u2 − a2=
1a
arcsec( u
a
)+ C.
20)∫ du√
u2 ± a2= ln
∣∣∣u +√
u2 ± a2∣∣∣+ C.
Mg. Edgar Santisteban Leon CALCULO INTEGRAL
Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Integracion por sustitucion
Resolver las siguientes integrales:
(1)∫ dx√
x sen2(1 +√
x).
(2)∫
x2 cos(x3 + 8)dx.
(3)∫(2+sen2x)100sen(2x) dx.
(4)∫ (
x +1x
)3/2 ( x2 − 1x2
)dx.
(5)∫ √1 + ln xdx
x ln x.
(6)∫ 3earc cos
( 2x3 +1
)dx√
−x2 − 3x.
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Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Integracion por partes
Si u = f (x) y v = g (x) son funciones derivables en un intervaloI, entonces la diferencial del producto uv es
d (uv) = udv + vdu.
Si las derivadas f ′ y g′ son continuas en el intervalo I, al integrarse obtiene
uv =∫
udv +∫
vdu,
por lo tanto ∫udv = uv−
∫vdu.
Esta es la formula del metodo de integracion por partes, quepermite calcular la integral del producto de los factores u y dv.
Mg. Edgar Santisteban Leon CALCULO INTEGRAL
Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Integracion por partes
Nota
El exito de este metodo radica en una adecuada eleccion de u y dv,
pues lo que se busca es que, al determinar v =∫
dv y∫
vdu, el
proceso sea mas sencillo que el calculo directo de la integral∫
udv.
∫p (x)︸ ︷︷ ︸
u
sen (mx) dx︸ ︷︷ ︸dv
∫p (x)︸ ︷︷ ︸
u
cos (mx) dx︸ ︷︷ ︸dv∫
p (x)︸ ︷︷ ︸u
emxdx︸ ︷︷ ︸dv
∫p (x)︸ ︷︷ ︸
u
amxdx︸ ︷︷ ︸dv∫
ln (ax)︸ ︷︷ ︸u
p (x) dx︸ ︷︷ ︸dv
∫ln (ax)︸ ︷︷ ︸
u
p (x) dx︸ ︷︷ ︸dv
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Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Integracion por partes
Resolver las siguientes integrales:
(1)∫ (
3x2 − x)
e2xdx.
(2)∫
x2 ln (3x) dx.
(3)∫ (
x2 − 5x)sen(2x) dx.
(4)∫
ex cos2 xdx.
(5)∫
ln(x2 + 1
)dx.
(6)∫
arctan(√
1 + x)dx.
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Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes
Referencias Bibliograficas.
BALDERAS, Patricia; CAMARENA, Patricia y REYES, Araceli.2006Calculo Integral, Series y Aplicaciones. Editorial Thomson. Mexico.
LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert y EDWARDS, Bruce.2006Calculo. Editorial Mc Graw Hill, Mexico.
SANTISTEBAN, Edgar; PEREZ, Zelideth y SOTOMAYOR,Monica.2012CALCULO INTEGRAL. Editorial Moshera, Lima.
STEWART, James.2006Calculo, conceptos y contextos. Editorial Thomson. Mexico.
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