matematica III

Metodos de Integracion

CALCULOINTEGRAL

Mg. Edgar Santisteban Leon

Ciclo 2013 - II

Mg. Edgar Santisteban Leon CALCULO INTEGRAL

Metodos de IntegracionIntegracion por sustitucionIntegracion por partes

Integracion por sustitucion

Teorema

Sea g una funcion diferenciable y sea el rango de g algun intervaloI. Suponga que f es una funcion definida en I y que F es unaantiderivada de f en I, entonces∫

f (g (x))[g′ (x) dx

]= F (g (x)) + C.

Para resolver una integral mediante este metodo, el estudiantedebe considerar los siguientes pasos :Paso 1: Identificar la funcion u = g (x) , de modo quedu = g′ (x) dx, sea parte del integrando.Paso 2: Con el cambio de variable, la integral original setransforma en∫

f (u) du = F (u) + C = F (g (x)) + C.



Formulas de integracion

En las formulas siguientes, considere u = u (x) una funciondiferenciable y C una constante arbitraria.

1)∫

du = u + C.

2)∫ du

u= ln |u|+ C.

3)∫

updu =1

p + 1up+1 + C. p 6= −1

4)∫

audu =1

ln aau + C. a > 0, a 6= 1

5)∫

eudu = eu + C.




6)∫

sen udu = − cos u + C.

7)∫

cos udu =senu + C.

8)∫

tan udu = − ln |cos u|+ C = ln |sec u|+ C.

9)∫

cot udu = ln |senu|+ C.

10)∫

sec udu = ln |sec u + tan u|+ C.

11)∫

csc udu = ln |csc u− cot u|+ C.




12)∫

sec2 udu = tan u + C.

13)∫

csc2 udu = − cot u + C.

14)∫

sec u tan udu = sec u + C.

15)∫

csc u cot udu = − csc u + C.




16)∫ du

a2 + u2 =1a

arctan(u

a

)+ C.

17)∫ du

a2 − u2 =12a

ln∣∣∣∣u + aa− u

∣∣∣∣+ C, u 6= a 6= 0.

18)∫ du√

a2 − u2= arcsen

( ua

)+ C, a > 0.

19)∫ du

u√

u2 − a2=

1a

arcsec( u

a

)+ C.

20)∫ du√

u2 ± a2= ln

∣∣∣u +√

u2 ± a2∣∣∣+ C.



Integracion por sustitucion

Resolver las siguientes integrales:

(1)∫ dx√

x sen2(1 +√

x).

(2)∫

x2 cos(x3 + 8)dx.

(3)∫(2+sen2x)100sen(2x) dx.

(4)∫ (

x +1x

)3/2 ( x2 − 1x2

)dx.

(5)∫ √1 + ln xdx

x ln x.

(6)∫ 3earc cos

( 2x3 +1

)dx√

−x2 − 3x.



Integracion por partes

Si u = f (x) y v = g (x) son funciones derivables en un intervaloI, entonces la diferencial del producto uv es

d (uv) = udv + vdu.

Si las derivadas f ′ y g′ son continuas en el intervalo I, al integrarse obtiene

uv =∫

udv +∫

vdu,

por lo tanto ∫udv = uv−

∫vdu.

Esta es la formula del metodo de integracion por partes, quepermite calcular la integral del producto de los factores u y dv.




Nota

El exito de este metodo radica en una adecuada eleccion de u y dv,

pues lo que se busca es que, al determinar v =∫

dv y∫

vdu, el

proceso sea mas sencillo que el calculo directo de la integral∫

udv.

∫p (x)︸︷︷︸

u

sen (mx) dx︸︷︷︸dv

∫p (x)︸︷︷︸

u

cos (mx) dx︸︷︷︸dv∫

p (x)︸︷︷︸u

emxdx︸︷︷︸dv

∫p (x)︸︷︷︸

u

amxdx︸︷︷︸dv∫

ln (ax)︸︷︷︸u

p (x) dx︸︷︷︸dv

∫ln (ax)︸︷︷︸

u

p (x) dx︸︷︷︸dv




Resolver las siguientes integrales:

(1)∫ (

3x2 − x)

e2xdx.

(2)∫

x2 ln (3x) dx.

(3)∫ (

x2 − 5x)sen(2x) dx.

(4)∫

ex cos2 xdx.

(5)∫

ln(x2 + 1

)dx.

(6)∫

arctan(√

1 + x)dx.



Referencias Bibliograficas.

BALDERAS, Patricia; CAMARENA, Patricia y REYES, Araceli.2006Calculo Integral, Series y Aplicaciones. Editorial Thomson. Mexico.

LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert y EDWARDS, Bruce.2006Calculo. Editorial Mc Graw Hill, Mexico.

SANTISTEBAN, Edgar; PEREZ, Zelideth y SOTOMAYOR,Monica.2012CALCULO INTEGRAL. Editorial Moshera, Lima.

STEWART, James.2006Calculo, conceptos y contextos. Editorial Thomson. Mexico.


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