Operaciones con sucesiones

Sucesiones Definicin

Series numric as Sucesiones montonas

Convergencia y divergencia

Termino de una sucesin

Reglas, orden, limites

Ao2012.Nro 1. Vol II Karlaandreinacamacho @ gmail.com Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda lvarez Eidalys Camacho Karla Palmar Wilmer Tovar Yanny

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Editorial Matemticos.com lvarez Eidalys Camacho Karla Palmar Wilmer Tovar Yanny MENSAJE Esta revista ha sido concebida y diseada para la explicacin de forma fcil y divertida de los temas de sucesiones y series numricas correspondientes a la unidad curricular Matemtica II.

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ndice de contenidoPortada01 ndice..02 Presentacin de la gua didctica..04 Definicin de sucesin...05 Trmino general de una sucesin..05 En orden.06 La regla..07 Limites de una sucesin07 Aproximacin a la idea de lmite de una sucesin..08 Sucesiones convergencia y divergencia.......10 Sucesin montona creciente11 Sucesin montona decreciente.13 Lmite finito de una sucesin14 Lmite infinito de una sucesin......17 Las series numricas.20 Denticin y primeras propiedades..21 Series: trminos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes...22 Linealidad de la convergencia de series24

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Notacin de lmite..25 Determinacin de si una sucesin tiene lmite o no..25 Operaciones con sucesiones divergentes...26 Suma...27 Producto.27 Cociente..28 Logaritmos.29 Formas indeterminadas..29 Consideraciones finales31

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PROLOGO Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de sucesin y series numricas del curso matemtica ii de la facultad de educacin en la universidad nacional experimental frncico de miranda. En este curso participan estudiantes cursantes de 6 semestres de tecnologa educativa en la carrera de licenciados en matemtica mencin informtica. El trabajo de la elaboracin de la revista estuvo a cargo de los bachilleres lvarez Eidalys, Camacho Karla, ing Palmar Wilmer y TSU Tovar Yanny (autores). Agradecemos cualquier observacin o comentario que desean hacer llegar.

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INTRODUCCION

El concepto abstracto de sucesin se puede asociar, en una primera aproximacin, a los procesos discretos de la naturaleza, o a aquellos que se pueden describir de esta forma, por ejemplo, la evolucin de una poblacin en instantes de tiempo equiespaciados o una seal digital . A parte de su inters como mecanismo para modelar, la teora de sucesiones aporta una importante herramienta deductiva en el Anlisis Matemtico. En 1902, el matemtico italiano, Leonardo Pisano, llamado Fibonacci, investig el siguiente problema: un hombre pone un par de conejos (macho y hembra) de diferente sexo, en un lugar cercado. Los conejos pueden aparearse a partir del primer mes de vida, y las hembras dan a luz tras un mes de gestacin. Suponiendo que ningn conejo muere en un ao, y que las camadas de conejos que ha parido la hembra estn formadas por una nueva pareja de conejos de diferente sexo, cada mes a partir de su segundo mes de vida, cuntos pares de conejos habr en un ao?. Fibonacci formul un respuesta mes a mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 y 144. Aunque el problema de Fibonacci no era muy realista, su resultado dio origen a una sucesin numrica llamada sucesin de Fibonacci, una de las maravillas de la matemtica, presente en los ms inslitos fenmenos de la naturaleza y en la creacin humana. Algunos de estos ejemplos son: la forma en que se ordenan las semillas de un girasol (tienen 34 curvas en un sentido y 21 en otro, las espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda), el ordenamiento de las hojas en una rama

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PRESENTACIN DE LA REVISTA La revista es el instrumento (digital o impreso) con orientacin tcnica para el estudiante, que incluye toda la informacin necesaria para el correcto uso y manejo provechoso de los elementos y actividades que conforman la asignatura, incluyendo las actividades de aprendizaje y de estudio independiente de los contenidos de un curso.

La revista debe apoyar al estudiante a decidir qu, cmo, cundo y con ayuda de qu, estudiar los contenidos de un curso, a fin de mejorar el aprovechamiento del tiempo disponible y maximizar el aprendizaje y su aplicacin.

Es la propuesta metodolgica que ayuda al alumno a estudiar el material, incluye el planteamiento de los objetivos generales y especficos, as como el desarrollo de todos los componentes de aprendizaje incorporados para cada unidad y tema.

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DEFINICIN DE SUCESIN

Se llama sucesin a un conjunto de nmeros dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,.... Los elementos de la sucesin se llaman trminos y se suelen designar mediante una letra con los subndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesin: a1, a2, a3,.... Se llama sucesin de fibonacci a la que se inicia con dos unos:1,1 y cada termino se forma sumando los dos anteriores: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377. Esta serie tiene diversas relaciones curiosas con la botnica. Pero adems cumple que la razn entre dos trminos consecutivos mayores de 3 es aproximadamente 1,6, y cuando ms elevado son los trminos ms se acerca a 1,618que es igual a la razn entre los lados del llamado rectngulo ureo, la forma geomtrica de mas belleza y perfeccin, segn los artistas plsticos desde la poca de los griegos.

TRMINO GENERAL DE UNA SUCESIN

Se llama trmino general de una sucesin, y se simboliza con an, al trmino que representa uno cualquiera de ella. Hay sucesiones cuyo trmino general puede expresarse mediante una frmula: an = f(n). Dndole a n un cierto valor natural, se obtiene el trmino correspondiente.

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En otras sucesiones, para hallar un trmino es necesario operar con dos o ms de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un trmino concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.

Ejemplos 1,3,5,7,9, 11 La sucesin va de 2 en dos

2

2

2

2

2

Ejercicios propuestos

1. 2, -7, -12, ... 2 3, 6, 12, 24, 48, ... 3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ... 5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ... 6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

En orden Cuando decimos que los trminos estn "en orden", nosotros somos los que decimos qu orden! Podra ser adelante, atrs... o alternando... o el que quieras!

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Una sucesin es muy parecida a un conjunto, pero con los trminos en orden (y el mismo valor s puede aparecer muchas veces).

Ejemplo:

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesin que alterna 0s y 1s. El conjunto sera slo {0,1}

La regla Una sucesin sigue una regla que te dice cmo calcular el valor de cada trmino. Ejemplo: la sucesin {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

Ejercicios propuestos 1. En una progresin aritmtica cuyo tercer trmino es 14 y cuya diferencia es 4, un trmino vale 46.que lugar ocupa la sucesin? Datos: =14 d= 4

Limites de una sucesin

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Una sucesin tiene lmite, si sus trminos van tomando valores cada vez ms prximos a una cierta cantidad que llamamos lmite de la sucesin. Una caracterstica de esta cantidad es, que los trminos de la sucesin nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos. Expresado de una forma ms precisa decimos que una sucesin an tiene lmite j si la distancia de an a j se hace ms pequea que un valor que nosotros escojamos: e psilon (por pequeo que sea ste) desde un trmino de la sucesin en adelante: lim an = j Es decir que a partir de un valor de n la diferencia entre an y j : | an j | se hace ms pequea que el valor e(psilon) escogido. Grficamente podemos representar en dos ejes los trminos de la sucesin como puntos, de forma que el eje vertical nos da su valor y en el horizontal aparece su posicin dentro de la sucesin, dada por el valor de n. APROXIMACIN A LA IDEA DE LMITE DE UNA SUCESIN - Si se acerca a un nmero, l, decimos que: an l bien lim an = l Y se lee an tiende a l o bien El lmite de an es l - Si crece de modo que sus valores acaban superando a cualquier nmero, decimos que: an + bien lim an = + Y se lee an tiende a + o bien El lmite de an es + - Si decrece, tomando valores menores que cualquier nmero negativo por grande que sea su valor absoluto, diremos que: an - bien lim an = - Y se lee an tiende a - o bien El lmite de an es - - Existen otras sucesiones que no se comportan de ninguna de las tres formas anteriores y por tanto no tienen lmite y se llaman oscilantes.

Ejemplos

La sucesin 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al lmite 0. La sucesin 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.

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La sucesin 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al lmite 1.

Si a es

un

nmero

real

con valor

absoluto |a|

0. lim an = a para todo >0 existe N natural / para todo n > Na - < an < a + , o lo que es lo mismo, |an - a| < .

Para cualquier nmero positivo , por pequeo que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del ndice N en adelante se tiene que |an - a| < .

Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habr un subndice N tal que desde N en adelante todos los trminos de la sucesin pertenecen a dicho entorno.

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Ejemplos: Se dice que una sucesin a n tiene por lmite L si y slo si para cualquiera nmero positivo que tomemos, existe un trmino a k , a partir del cual todos los trminos de a n , siguientes a a k cumplen que |a n L| < .

La sucesin a n = 1/n tiene por lmite 0.

Ya que podemos determinar a partir de que trmino de la sucesin, su distancia a 0 es menor que un nmero positivo (), por pequeo que ste sea.

Como k>10 a partir del a 1 1 se cumplir que su distancia 0 es menor que 0.1.

Vamos a determinar a partir de que trmino la distancia a 0 es menor que 0.001.

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A partir del a 1 0 0 1 se cumplir que su distancia 0 es menor que 0.001. Tambin podemos definir el lmite de una sucesin mediante entornos: Se dice que una sucesin a n tiene por lmite L si y slo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeo que sea su radio , existe un trmino de la sucesin, a partir del cual, los siguientes trminos pertenecen a dicho entorno.

Ejercicios propuestos

1. Demuestra que la sucesin

tiene lmite 2. Averigua

los trminos cuya distancia a 2 es menor que 0.1.

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2. Probar que la sucesin

tiene por limite 4 y

averiguar cuntos trminos de la sucesin estn fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).

Lmite infinito de una sucesin Consideremos la sucesin an = n2. a1 = 1

a2 = 4

a3 = 9

a4 = 16

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...

a10 = 100

... a100 = 10.000 Al crecer n, an no tiende a un lmite definido, sino que crece ms all de toda cota. Se dice que an tiende a infinito. Lim an = +inf para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K. Para cualquier nmero positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los trminos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande. Ejemplos: Se dice que una sucesin a n tiene por lmite + cuando para toda M>0 existe un trmino a k , a partir del cual todos los trminos de a n , siguientes a a k cumplen que a n > M.

Vamos a comprobar que el lmite de la sucesin a n = n 2 es +.

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1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos M = 10 000, su raz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 1 0 1 superar a 10 000. a 1 0 1 = 101 2 = 10 201 Se dice que una sucesin a n tiene por lmite cuando para toda N >0 existe un trmino a k , a partir del cual todos los trminos de a n , siguientes a a k cumplen que a n < N.

Vamos a comprobar que el lmite de la sucesin a n = n 2 es . 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Si tomamos N= 10 000 , su raz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 1 0 1 superar a 10 000.

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a 1 0 1 = 101 2 = 10 201

Ejercicios propuestos

1. Demuestra que la sucesin

tiene por limite +. Y

calcula cuntos trminos de la sucesin son menores que un milln. 2. Demuestra que la sucesin a n = n 2 tiene por limite . Y calcula a partir de que trmino la sucesin toma valores menores que -10 000.

Del mismo modo se define lim an = -inf para todo K N an < K. Propiedades del lmite finito de sucesiones

Las series numricas Las series numricas son la suma de los trminos de una sucesin y la materia ms densa de la primera parte de la asignatura clculo del primer curso de cualquier carrera tcnica. Existen varios tipos de series en funcin de la naturaleza de la sucesin que las conforma, que pueden ser aritmticas, geomtricas, basadas

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en funciones trigonomtricas, logartmicas, exponenciales, etctera... Pues calcular la suma de trminos de las sucesiones es de aplicacin para calcular el error mximo que obtenemos al realizar una operacin por un mtodo de clculo numrico iterativo.

Denticin y primeras propiedades Informalmente, una serie es una suma de innitos sumandos (ver antecedentes histricos y comentarios en [APOSTOL1, cap. 10] y en [DURN, pg. 184 y sigs.]). Estas sumas se usan implcitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los nmeros reales: as, la igualdad 7/3= 2, 333... Signica, n N. En general, consideraremos una sucesin cualquiera (an) y su suma n=1an. Qu sentido habr que darle a esta suma? La respuesta se impone de modo natural: n=1an tiene que ser lm mm n=1an. Analizando el proceso anterior, se trata de formar mediante la sucesin de sumandos (an) una nueva sucesin de sumas (sm) dada por sm = a1 + a2 + + am, m N, y determinar el lmite (si existe) de esta ltima sucesin. Esquemticamente: lugar 1 2 3 4 ... n ...trmino a1 a2 a3 a4 ... an ...suma a1 a1 + a2 a1 + a2 + a3 a1 + a2 + a3 + a4 ... a1 + + an ... ? Ahora bien: si, en denitiva, vamos a parar al estudio de la convergencia de una sucesin, qu novedad vamos a encontrar respecto a lo que ya sabemos de

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sucesiones? El cambio radica en el punto de partida: tomando como dato la sucesin de sumandos (an), nos planteamos determinar propiedades de la sucesin de sumas (sn) basndonos en propiedades de los trminos an. Pasemos a formalizar estas ideas. Series: trminos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y

oscilantes Denicin 8.1.1. Una serie n=1an es un par ordenado de sucesiones ((an), (sn)) relacionadas por la condicin de que para cada n N es sn = a1 + a2 + + an. 171172 Captulo 8. Series numricas El trmino n-simo de la primera sucesin, an, recibe el nombre de trmino nsimo de la serie; el trmino n-simo de la segunda sucesin, sn, recibe el nombre de suma parcial n-sima de la serie. Se dice que la serie n=1an es convergente si la sucesin (sn) de sus sumas parciales es convergente, es decir, si lmmsm = lmmmn=1an R. Decimos que la serie n=1an es divergente a +, divergente a u oscilante si la sucesin de sus sumas parciales es divergente a +, divergente a u oscilante, respectivamente.

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Si una serie n=1 an es convergente, se llama suma de dicha serie al lmite de la sucesin de sus sumas parciales; si la serie diverge a + o a , se dice que su suma es + o , respectivamente. Con un abuso de notacin que no suele conducir a error, se denota la suma con el mismo smbolo quela serie. Es decir, se escribe n=1an = lmmm n=1 an, cuando este lmite existe. Nota. A veces es cmodo considerar series de la forma n=m an, donde m es un nmero entero: lassumas parciales sern entonces s1 = am, s2 = am + am+1,.sn = am + + am+n1, . . . Se utiliza tambin la notacin am + am+1 + + an + en vez de n=m an y, cuando no da lugara confusin, se abrevia en an. Ejemplo. Una serie n=1 an es una serie geomtrica si existe un r R tal que para todo n N es an+1 = ran (o an+1/an = r si a1 =% 0); de otro modo, si es de la forma n=0 arn. Si sn es su suma parcialn-sima, se tendr sn = a + ar + arn1=!a1rn1rsi r =% 1an si r = 1 Excluyendo el caso trivial a = 0, se sigue: a) si |r| < 1, la serien=0 arnes convergente y la suma esa1 r b) si r 1, la serie es divergente a + (si a > 0) o a (si a < 0); c) si r = 1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales estn acotadas; d) si r < 1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto, a +. Ejemplo. La serie n=11 no se llama serie armnica Se comprueba que, para cada n, su suma parcial n-sima, denotada habitualmente por Hn, cumple

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Hn =n k=11k n k=1 "k+1kdxx="n+11dxx= log(n + 1), luego la serie armnica diverge a + a pesar de que lmn 1n = 0.8.1. Denicin y primeras propiedades 173 El carcter de una serie no cambia si se prescinde de un nmero nito de sumandos (aunque spuede cambiar el valor de la suma). Dicho de forma ms precisa, Proposicin 8.1.2. Dada una serie n=1an y un entero m > 1, se tiene: a) n=1an converge si y solo si converge n=m an. Si convergen, entonces n=1an =m1n=1an +n=man. b) n=1an diverge a + si y solo si n=man diverge a +. c) n=1an diverge a si y solo si n=man diverge a . d) n=1an es oscilante si y solo si n=m an es oscilante. Demostracin. Basta observar que para todo p > m espn=1an =m1n=1an +p n=man, Done m1n=1an est jo (independiente de p), y aplicar las deniciones previas y los resultados conocidos para sucesiones.

Linealidad de la convergencia de series Proposicin 8.1.3. Sean n=1an, n=1bn dos series convergentes. Para cualesquiera , R, la serie n=1(an + bn) es convergente y se tienen=1(an + bn) = n=1an + n=1bn. Demostracin. Basta tener en cuenta que Nn=1(an + bn) = N n=1an + N n=1an.

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Corolario 8.1.4. Si n=1an converge y n=1 bn no es convergente, entonces n=1(an + bn) no esconvergente. Demostracin. Si la serie n=1(an + bn) convergiera, entonces la serie n=1bn =n=1#(an + bn) + (1)an $tambin convergera, segn la proposicin 8.1.3. Ejemplos. La serie (1n+12n) no converge, pues 1nno es convergente y 12n s. Sin embargo, al sumar dos series no convergentes, la suma puede ser tanto convergente como no convergente: examnense los casos an = bn = 1 y an = 1, bn= 1.

Notacin de lmite

Lmites Para decir que el lmite de la funcin f es L cuando x tiende a, se escribe: o bien .

Igualmente, para decir que la sucesin {an} va a cuando n tiende a la infinidad, se escribe: o bien .

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Determinacin de si una sucesin tiene lmite o no El lmite de una sucesin es uno de los conceptos ms antiguos del anlisis matemtico. El mismo da una definicin rigurosa a la idea de una sucesin que se va aproximando hacia un punto llamado lmite. Si una sucesin tiene lmite, se dice que es una sucesin convergente, y que la sucesin converge o tiende al lmite. En caso contrario, la sucesin es divergente. La definicin significa que eventualmente todos los elementos de la sucesin se aproximan tanto como queramos al valor lmite. La condicin que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesin tenga un lmite. Qu se entiende por prximo da lugar a distintas definiciones de lmite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesin. Ejemplos

Lmite = 0

Sucesin con lmite

Lmite = 1

Lmite =

Sucesin sin lmite

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Operaciones con sucesiones divergentes Como las sucesiones son conjuntos ordenados de nmeros, es posible hacer operaciones algebraicas entre dos o ms sucesiones.

Suma El lmite de la suma algebraica de dos sucesiones convergentes es la suma algebraica de sus lmites. Si las sucesiones son divergentes la suma tambin es divergente y por lo tanto su lmite es infinito.

Producto

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El lmite del producto de dos sucesiones convergentes es el producto de sus lmites. El lmite del producto de una sucesin convergente por un nmero es igual al producto del lmite de la sucesin por el nmero. El lmite del producto de una sucesin divergente por un nmero positivo, sigue siendo divergente y por lo tanto su lmite es infinito (ms o infinito o menos infinito, segn lo sea la sucesin original). El lmite del producto de una sucesin divergente por un nmero negativo, sigue siendo divergente y por lo tanto su lmite es infinito (con el signo cambiado a la sucesin original). El producto de los trminos de una sucesin divergente por otra acotada inferiormente y que no tienda a cero, es otra sucesin divergente. El producto de los trminos de una sucesin divergente por otra infinitsima, produce otra sucesin que puede ser, divergente o convergente u oscilante o indeterminada.

Cociente Si dividendo y divisor son sucesiones infinitsimas, la sucesin cociente es una indeterminacin de la forma 0/0. Si el dividendo es un infinitsimo y el divisor una sucesin convergente, la sucesin cociente es un infinitsimo. Si el dividendo es un infinitsimo y el divisor una sucesin divergente, la sucesin cociente es un infinitsimo.

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Si el dividendo es una sucesin convergente y el divisor una sucesin infinitsima, la sucesin cociente es divergente. Si dividendo y divisor son convergentes, la sucesin cociente es divergente de lmite, el cociente de los lmites de las sucesiones originales. Si el dividendo es una sucesin convergente y el divisor una

sucesin divergente, la sucesin cociente es una sucesin infinitsima. Si el dividendo es una sucesin divergente y el divisor una sucesin infinitsima, la sucesin cociente es divergente. Si el dividendo es una sucesin divergente y el divisor una

sucesin convergente, la sucesin cociente es divergente. Si dividendo y divisor son ambas divergentes, la sucesin cociente es una indeterminacin de la forma infinito/infinito.

Logaritmos Si la sucesin es infinitsima (de trminos positivos, obviamente) y la base del logaritmo est comprendida entre 0 y 1, se obtiene una sucesin divergente de lmite infinito. Si la sucesin es infinitsima (de trminos positivos, obviamente) y la base del logaritmo es mayor que 1, se obtiene una sucesin divergente de lmite menos infinito.

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Si la sucesin es convergente, de lmite A, la sucesin resultante es convergente de lmite el logaritmo de A. Si la sucesin es divergente, de lmite infinito y la base del logaritmo es mayor que 1, la sucesin resultante es divergente de lmite infinito. Si la sucesin es divergente, de lmite infinito y la base del logaritmo est comprendida entre 0 y 1, la sucesin resultante es divergente de lmite menos infinito.

Formas indeterminadas Como resultado de las operaciones anteriores se pueden producir casos en los que no se pueda calcular el valor y por eso se llaman indeterminaciones. Las indeterminaciones son: - / 0 / 0 0 * 00 0 1 Es evidente que el smbolo representa un nmero muy grande pero ya no es tan evidente que los nmeros cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos nmeros si no nmeros infinitamente prximos a ellos. Por eso, un nmero infinitamente prximo a 1 elevado a un nmero infinitamente grande es una indeterminacin.

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CONSIDERACIONES FINALES

La estructura de la revista obedece a las condiciones institucionales en que se determina su produccin y uso; no as, sus caractersticas y funciones bsicas que son la traduccin de una metodologa de enseanza propia del docente que promueve aprendizajes significativos a distancia. No existen modelos nicos, ni determinantes.

Evidentemente los objetivos de aprendizaje determinan la construccin de la gua didctica, empero, su concepcin didctica y los componentes ilustrativos y Facilitadores del aprendizaje mnimos, son los expuestos en este documento.

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EVENTOS

Comprensin del material de se sucesin Compra de la revista para lectura del tema Conferencias con potentes para la aclaratoria de dudas sobre el tema Salida de la nueva edicin de la revista

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