MATEMATICAS (MAT II)

2º Bachillerato

Límites de funciones

Departamento de Matemáticas

Ies Dionisio Aguado

Límites y Continuidad

1. Introducción

En este tema se trata el concepto de límite de una función real de variable realy sus propiedades, así como algunas de las técnicas fundamentales para el cálculode límites que presentan indeterminación. La segunda parte del tema abordala de�nición de continuidad y las propiedades fundamentales de las funcionescontinuas.

2. Límites. De�niciones y Teoremas básicos

Estudiaremos una serie conceptos básicos acerca de los límites de las funcio-nes reales de variable real. La idea intuitiva de límite de f(x) cuando x tiende aun punto x0 nos dice que si x �se acerca� mucho a x0 entonces f(x) �se acerca�

también mucho al valor del límite L. La siguiente de�nición describe esa ideaintuitiva en términos rigurosos:

2.1. De�nición.

Dada una función f(x) de�nida (al menos) en un entorno reducido de unpunto x0, E

∗(x0), un número real L se denomina límite de la función f(x) en elpunto x0 (o límite de f(x) cuando x tiende a x0) si

para todo ε > 0 existe un número δ > 0 tal que para todos los x ∈ E∗(x0) quesatisfacen |x− x0| < δ se veri�ca|f(x)− L| < ε. Se escribe, en forma simbólica:

lımx→x0

f(x) = L ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃ δ > 0 : 0 < |x− x0| < δ −→ |f(x)− L| < ε

2.2. Propiedades de los límites:

1. Si una función f(x) tiene límite en un punto x0, este límite es único.

1

2. Si una función f(x) tiene límite �nito en un punto x0, entonces está acota-da en un entorno de dicho punto; es decir ∃M > 0,∃δ > 0 tales que |f(x)| ≤M ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) x 6= x0.

3. Si f(x) ≤ g(x) para todos los x en un entorno reducido de x0, E∗(x0) (en

el que ambas están de�nidas), y en el punto x0 cada una de las funcionesf(x) y g(x) tiene límite, entonces

lımx→x0

f(x)≤ lımx→x0

g(x)

4. Regla del sandwich. Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todos los puntos de unentorno reducido de x0, E

∗(x0) (en el que las tres están de�nidas), y lasfunciones g(x) y h(x) tienen el mismo límite L en el punto x0, entoncesla funcióncf(x) tiene, también en ese punto x0 el límite igual al mismonúmero L.

2.3. Algebra de los límites.

Sean f(x) y g(x) dos funciones de�nidas (al menos) en un entorno reducidode x0, E

∗(x0), y tales que :

lımx→x0

f(x) = L y lımx→x0

g(x) = G

Entonces su suma, su producto y su cociente (siempre y cuando G 6= 0)tienen límite en x0, veri�cándose:

1. lımx→x0

(f(x) + g(x)) = L+G;

2. lımx→x0

(f(x) · g(x)) = L ·G

3. Además, si G 6= 0: lımx→x0

f(x)g(x) = L

G

Si alguno de los límites, L y/o G, es in�nito, las anteriores relacionessiguen veri�cándose, a excepción de algunos casos concretos, conocidoscomo indeterminaciones. En la sección siguiente analizaremos en detalletales casos.

Con el conocimiento de algunos límites elementales, y aplicando las propiedadespodemos, en la práctica, conocer el cálculo de in�nidad de límites de formatrivial.

Por ejemplo, sabiendo que limx�x0

x = x0 y que el límite de una función constan-

te es igual a dicha constante en cualquier punto limx�x0

k = k , automáticamente,

por aplicaciones sucesivas de las propiedades concluimos que el límite cuandox tiende a x0 de cualquier polinomio P (x) es exactamente el valor de P (x0), yotro tanto podemos a�rmar para cualquier función racional, siempre y cuandox0 no sea una raíz del denominador(no valga cero el denominador).

Por esta razón, los límites realmente interesantes de calcular son aquéllos enlos que aparece alguna indeterminación.

2

3. Indeterminaciones

Como ya hemos comentado, el álgebra de límites no es válido en ciertos casosen los que alguno de los límites es in�nito o cero, se trata de expresiones en lasque no es trivial (o directamente es imposible) obtener el resultado del límite sise sustituye x por el punto x0.

De�nición

Llamaremos indeterminaciones a los casos en los que no es posible aplicaruna regla que permita obtener un valor concreto para el límite, sino que, porel contrario, el valor �nal depende de las funciones implicadas en cada casoparticular.

Veamos los casos:

Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que: limx�x0

f(x) = +∞ , limx�x0

g(x) = +∞Entonces la propiedad de la sección anterior no es aplicable a los límites:

limx�x0

(f(x)− g(x)),

limx�x0

f(x)g(x)

Estas indeterminaciones se denotan simbólicamente de la forma:

∞−∞ e ∞∞ .

y en de�nitiva �in�nito menos in�nito� puede conducir a diferentes resul-tados (dependiendo de las funciones que intervienen en la expresión) →es unaindeterminación.

Si tenemos ahora dos funciones, f(x) y g(x), tales que: limx�x0

f(x) = 0 ,

limx�x0

g(x) = 0 encontramos dos nuevas indeterminaciones:

limx�x0

f(x)g(x) , limx�x0

f(x) 1g(x)que denotaremos simbólicamente por:

00 y 0 · ∞.

Finalmente, no es difícil demostrar que si limx�x0

f(x) = L , limx�x0

g(x) = G con

L 6= 1 y L 6= 0, entonces:

limx�x0

f(x)g(x) = LG

Y relacionados con esta propiedad aparecen tres nuevos casos de indetermi-nación:

1∞ , 00 ,∞0

3

Resumiendo, tenemos siete tipos de indeterminaciones:

∞−∞ ∞∞

00 0.∞ 1∞ 00 ∞0

y estas expresiones han de leerse como �función que tiende a ∞� = �funciónque tiende a ∞�, �función que tiende a in�nito partido función que tiende a in�nito�,etc.

Resumen Operaciones con límites

Sumas Productos Cocientes* Potencias**

k +∞ =∞ k · ∞ =∞(sik > 0) k∞ = 0(con k ∈ R) ∞k =∞(si k>0)

k · ∞ = −∞(sik < 0)

−∞+ k = −∞ k · (−∞) = −∞(si k > 0) ∞k

= ±∞(con k ∈ R) ∞k = 0(si k<0)k · (−∞) =∞(si k < 0)

∞ ·∞ =∞ k0=∞(con k 6= 0) k∞ =∞

∞·(-∞)=-∞ k−∞ = 0(si k > 1)

∞+∞ =∞ k∞ = 0(si 0 < k < 1)

−∞−∞ = −∞ k−∞ =∞(si 0 < k < 1)

∞∞ =∞∞−∞ = 1

∞∞ = 0

Indeterminaciones∞−∞ 0 · ∞ ∞

∞ 1∞00 00

∞0

La utilización diferentes técnicas algebraicas junto con la técnica de in�ni-tésimos equivalentes y la potente Regla de L'Hôpital, son los dos métodos máscaracterísticos a la hora de resolver indeterminaciones.

3.1. Resolviendo límites sencillos

1. Calcularlimx�2

3(2x− 1)(x+ 1)2

Solución

Basta sustituir el puntox= 2 en la funci�on.

Resulta que limx�2

3(2x − 1)(x + 1)2= 3(4 − 1)(3)2 = 81.Aqui no hay inde-

terminación en el proceso

2. Calcular limx→−1

3(2x−1)x+1

Solución

intentar sustituir en la función el punto x = −1, se anula el denomina-dor.Esto quiere decir que cuanto más nos aproximamos a =1, más grandees el cociente. Por eso el límite es in�nito (∞).Se deben calcular los límiteslaterales

4

3. .Calcular limx�−2

x2+x−2x2−4

Solución

La situación es parecida al problema anterior. Sin embargo el numeradortambién se anula en x = −2.No podemos asegurar que el cociente se hacemás grande cuando x se acerca a −2. Pero si factorizamos numerador ydenominador, podemos escribir

limx�−2

x2+x−2x2−4 = lim

x�−2(x+2)(x−1)(x−2)(x+2)= lim

x�−2x−1x−2 = 3

4

4. Calcular limx�2

√x+2−

√x

x−2

Solución

Situación es similar pero antes de factorizar debemos eliminarlas raícesdel numerador, es decir, debemos racionalizar. Nos queda:

limx�2

√x+2−

√2x

x−2 =limx�2

√x+2−

√2x)(√x+2+

√2x)

(x−2)√x+2+

√2x)

= limx�2

−x+2(x−2)

√x+2+

√2x)

= 12+2 =

14

5. lımx→1

(2x− 3x− 1

x+ 1

) 1

x− 1

Se trata de una indeterminación del tipo 1∞. Tomandof(x) = 2x− 3x− 1

x+ 1

y g(x) =1

x− 1tenemos que

g(x)(f(x)−1) =1

x− 1

(2x− 3x− 1

x+ 1− 1

)=

1

x− 1·2x

2 − 2x

x+ 1=

2x2 − 2x

x2 − 1

Como

lımx→1

2x2 − 2x

x2 − 1= lımx→1

2x(x− 1)

(x+ 1)(x− 1)= lımx→1

2x

x+ 1=

2

2= 1

Entonces

lımx→1

(2x− 3x− 1

x+ 1

) 1

x− 1= e1 = e

3.2. In�nitésimos equivalentes

Sea f(x) una función f:R�R, se dice que es un in�nitésimo en x = x0 ∈ R silimx�x0

f(x)=0

In�nitésimos equivalentes:Dos in�nitésimos f(x) y g(x) en x = x0 son equivalentes si se cumple

limx�x0

f(x)g(x) = 1 y entonces se denotaría f y g en un entorno de x0 como f ∼ g

5

3.2.1. Tabla de in�nitésimos en x0 = 0

1. senx ∼ x.

2. tanx ∼ x.

3. arcsenx ∼ x.

4. arctanx ∼ x.

5. 1− cosx ∼ x2

2

6. (1 + x)α − 1 ∼ αx.

7. ex − 1 ∼ x

8. bx − 1 ∼ x lnb.

9. ln(1 + x) ∼ x,

10. logb(1 + x) ∼ xlogbe.

Ejemplos

Cuando x → 1, (x2 − 1) → 0, es decir, si x → 1 entonces tg(x2 − 1) ∼(x2 − 1)

Por tanto:limx�1

tg(x2−1)x−1 = lim

x�1

x2−1x−1 = lim

x�1

(x−1)(x+1)x−1 = lim

x�1x+ 1 = 2

Al igual que en el apartado anterior cuando x�1 , (x=1)�0, es decir, six�1 entonces 2x−1 − 1 ∼ (x− 1)ln2

Por tanto:limx�1

2x−1−1x−1 = lim

x�1

(x−1)ln2x−1 = ln2

En este caso, cuando x→ 1/2 , (x−1/2)→ 0 y también(4x−2)→ 0. Portanto, si x→ 1/2 tenemos que ln(4x− 1) = ln(1 + 4x− 2) ∼ 4x− 2

Entonces:limx�1/2

ln(4x−1)2x−1 = lim

x�1/2

4x−22x−1 = lim

x�1/2

2(2x−1)2x−1 = 2

Por un proceso anteriormente repetido, como x�1 , entonces (x=1)�0,es decir, si x�1 tenemos que lnx = ln(1 + x− 1) ∼ x− 1

Por tanto:limx�1

lnxx2+2x−3 = lim

x�1

ln(1+x−1)x2+2x−3 = lim

x�1

(x−1)(x−1)(x+3) = 1

x+3 = 14

Desde luego, cualquiera de los límites anteriores se pueden calcular usandola regla de L'Hôpital, pero hemos creído oportuno hablar de la comparaciónde in�nitos y de los in�nitésimos equivalentes como una estrategia más en elcálculo de límites.

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3.3. Regla de L'Hôpital

La Regla de L'Hôpital permite simpli�car el cálculo de límites con indeter-minaciones de tipo cociente.

Aunque se trata de un resultado del tema posterior, lo adelanteremos aquí:

Regla de L'Hôpital.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio que

se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo0

0o∞∞

Sean f y g dos funciones continuas de�nidas en el intervalo [a, b], derivablesen (a, b) y sea c perteneciente a (a, b) tal que f(x0) = g(x0) = 0 y g′(x) 6= 0 six 6= x0.

Si existe el límite L de f ′

g′ en x0, entonces existe el límite de fg (en x0) y es

igual a L. Por lo tanto,

lımx→x0

f(x)

g(x)= lımx→x0

f ′(x)

g′(x)= L

Demostración

Como g(x0) = 0 y g′(x) 6= 0 si x 6= x0, se tiene que g(x) 6= 0 si x 6= c comoconsecuencia del Teorema de Rolle.

Dado que f(x0) = g(x0) = 0, aplicando el Teorema del Valor Medio,para todo x en (a, b), con x distinto de x0, existe c en el intervalo de extre-

mos a y b, tal que el cociente f(x)g(x) se puede escribir de la siguiente manera:

f(x)

g(x)=f(x)− f(x0)

g(x)− g(x0)=f ′(c)

g′(c)Cuando x tiende hacia x0, igualando los valores de las igualdades de arriba,

c también tiende hacia x0, así que: lımx→x0

f(x)

g(x)= lımx→x0

f ′(c)

g′(c)= L

3.3.1. Tipo0

0

Ejemplo

lımx→0sin(x)x =

0

0: indeterminado

lımx→0sin(x)x

l′Hopital−−−−−→ lımx→0

cos(x)1 = 1

1 = 1

limx→0

ex−e−x−2xx−sin(x) =

0

0

l′Hopital−−−−−→ limx→0

ex−(−e−x)−21−cos(x)

l′Hopital−−−−−→ limx→0

ex−e−x

sin(x)

l′Hopital−−−−−→ limx→0

ex−(−e−x)cos(x) = e0+e−0

cos(0) = 1+11 = 2

7

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos deindeterminaciones al tipo 0

0 mediante transformaciones algebraicas.

Las indeterminaciones de tipo ∞∞ se pueden transformar mediante la dobleinversión de los cocientes:

lımx→∞

x5

x= lımx→∞

1

x1

x5

y se podría aplicar la regla

3.3.2. Tipo 0 · ∞

Se trata de hacer una transformación como 0 · ∞ =0

1

∞

=0

0ó bien 0 · ∞ =

∞1

0

=∞∞

Ejemplo

lımx→0

x · log(x) = lımx→0

log(x)

1

x

l′Hopital−−−−−→ lımx→0

1

x− 1

x2

= lımx→0

(−x) = 0

3.3.3. Tipo ∞−∞

Transformación de este tipo para adaptar a L'Hôpital

Ejemplo

limx→∞

x−√x2 − 2x=∞−∞(indeterminado)

= lımx→∞

(x+√x2 − 2x

) (x−√x2 − 2x

)x+√x2 − x

= lımx→∞

x2 − (x2 − 2x)

x+√x2 − 2x

=

lımx→∞

2x

x+√x2 − x

= lımx→∞

∞︷︸︸︷2x

x+√x2 − 2x︸ ︷︷ ︸∞

=∞∞

=

lımx→∞

2x

x+√x2 − 2x

l′Hopital−−−−−→ = lımx→∞

2

1 +2x− 2

2√x2 − 2x

=2

1 + 1=

2

2= 1

4. Asíntotas

Hallar límites tiene una gran relación con el concepto de asíntota en unagrá�ca

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima inde�nidamente una funciónes decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que seextienden inde�nidamente.

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Asíntota vertical

Cuadro 1: f(x) = 1(x−2)2

Decimos que la recta x = k esuna asíntota vertical de la función f(x)cuando se cumple:

limx→k

f(x) = ±∞ó limx→k−

f(x) =

±∞ ó limx→k+

f(x) = ±∞Donde:k :es el valor real del eje X al que

se aproxima la función de forma inde-�nida, ya sea por la izquierda o por laderecha del mismo.

Se da una asíntota vertical si suce-de al menos una de esas situaciones.

Ejemplo

En todos estos grá�cos hay unaasíntota vertical x=0 por alguna de los limites laterales

Asíntota horizontal

Decimos que la recta y = k es una asíntota horizontal de la función f(x)cuando se cumple:

9

limx→∞

f(x) = k ó limx→−∞

f(x) = k

Figura 1: f(x) = x+1x+3

Donde:. k: Es el valor real, al que se

aproxima la función (su coordenaday) cuando la x se hace in�nitamentegrande, por la derecha (x→∞) o porla izquierda (x→ −∞)

. f(x): Es la función que presentala asíntota

limx→∞

f(x) = k, ⇐⇒ ∀ε >

0,∃M ∈ R; si x > M f(x) ∈E∗(k, ε) ,

Ejemplo:

f(x) = x+1x+3 presenta una asíntota

horizontal y=1 ya que el el límite def(x) = x+1

x+3 en ∞ y −∞ es 1

Asíntota oblicua

Decimos que la recta y = m ·x+nes una asíntota oblicua de la función f(x) cuando se cumple:

Cuadro 2: f(x) = x2

x+3

limx→∞

f(x) = ±∞

m = limx→∞

f(x)x

n = limx→∞

(f(x)−mx)

Donde:.x�∞: Puede ser también x�-∞.m: Es la pendiente de la asínto-

ta, y por tanto debe ser un valor realdistinto de cero, ya que si fuera ce-ro nos encontraríamos ante una rectahorizontal

.n: Es el otro parámetro que de�-ne la recta, su ordenada en el origen.Esta vez si puede ser 0, para el caso delas asíntotas que pasan por el origen(0,0)

.f(x): Es la función que presentala asíntota

Ejemplo

Calcula las asíntotas de la función f(x) = x2+3x−1

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Asíntotas verticales: la función tiene una asíntota vertical, x = 1 ya que

limx−→1

f(x) = limx−→1

x2+3x−1 = ±∞ .

Asíntotas horizontales: Como limx−→∞

f(x) = ∞ , la función no tiene asín-

totas horizontales.

Asíntotas oblicuas: Como no hay asíntotas horizontales, estudiamos si pue-de haber asíntotas oblicuas.

limx−→∞

f(x)x = lim

x−→∞

x2+3x−1

x = limx−→∞

x2+3x2−x = 1

El valor de m es un real no nulo, así que hallamos el valor de n :

limx−→∞

f(x)−mx = limx−→∞

x2+3x−1 − x = lim

x−→∞x2+3−x2+x

x−1 = 1

Por tanto, y = x + 1 es una asíntota oblicua.

Ramas parabólicas (Límites in�nitos en el in�nito)

Si limx→∞

f(x) = ±∞ y/o limx→−∞

f(x) = ±∞, entonces tenemos una rama

parabólica de alguno de los tipos siguientes:

limx→∞

f(x) = +∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R,∃M ∈ R,∀x > M ⇒ f(x) > K la función

tiende a in�nito cuando x tiende a más in�nito.

limx→∞

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R,∃M ∈ R,∀x > M ⇒ f(x) < K la función

tiende a menos in�nito cuando x tiende a más in�nito.

limx→−∞

f(x) =∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R,∃M ∈ R,∀x < M ⇒ f(x) > K la función

tiende a in�nito cuando x tiende a menos in�nito.

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limx→−∞

f(x) = −∞ ⇐⇒ ∀K ∈ R,∃M ∈ R,∀x < M ⇒ f(x) < K la

función tiende a menos in�nito cuando x tiende a menos in�nito.

5. Continuidad

De�nición

Dada una función f(x) de�nida en un entorno de x0, E(x0), se dice que lafunción es continua en x0 si :

1) La función tiene límite en x02) Dicho límite es igual al valor de la función enx0, f(x0).Recordando la de�nición de límite, se puede la siguiente de�nición equiva-

lente:

De�nición.

Una función f(x) de�nida en un entorno de x0, E(x0), es continua en x0 si:

∀ε > 0,∃δ tal que si |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

De�nición. Continuidad en conjunto o Intervalos

Sea f(x) de�nida en un conjunto A de números reales, entonces se dice quees continua en A si lo es cada uno de sus puntos.

Nota:Si A fuera un intervalo cerrado, se intuye que la continuidad será sólo

lateral en los extremos correspondientes, la de�nición de continuidad lateral por

la izquierda y por la derecha es absolutamente obvia.

5.1. Propiedades de las funciones continuas:

Sean las funciones f(x) y g(x) de�nidas en un entorno E(x0) del punto

x0 y continuas en él. Entonces f(x) + g(x),f(x) − g(x), f(x)g(x) y f(x)g(x)

(siempre y cuando g(x0) 6= 0) también son continuas en x0.

Las demostraciones son triviales a partir de las correspondientes propiedades delos límites.

Teorema.

Si f : A→ R es continua en x0 ∈ A y g : Im(f)→ R lo es en f(x0), entoncesg�f es continua en x0.

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5.2. Continuidad en un intervalo

Una función y = f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si y sólo sies continua en todos los puntos de dicho intervalo

Una función y = f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si y sólo sise cumplen las siguientes condiciones:

f es continua en el intervalo abierto (a, b)

f es continua por la derecha en x = a

f es continua por la izquierda en x = b

Las funciones elementales son continuas en sus respectivos dominios de de�ni-ción:

Las funciones polinómicas son continuas en todo R

Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denomi-

nador.

Las funciones con radicales con índice par no existen en los valores que hacen el

radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en todo R .

Las funciones exponenciales son continuas en todo R .

Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la expresión

de la que queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número

negativo.

sen(x), cos(x)son continuas

La tangente y secante, que no son continuas en π2+ kπ

La cosecante y cotangente, tampoco son continuas en kπ

6. Discontinuidades

De�nición.

Una discontinuidad de f(x) es todo valor x ∈ R en el que f no es continua.Las clasi�camos en diferentes tipos:

Discontinuidades evitables.Diremos que f(x) tiene una discontinuidad evitable en x0 si existe el límite

de f(x) en x0 pero no coincide con el valor de la función f(x0) en dicho punto(bien por que di�eren bien por que este último no exista). La discontinuidad sepuede �evitar� rede�niendo: f(x) = f(x),∀x 6= x0, y f(x0) = lim

x�x0

f(x).

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Salto evitable Existe el límite de f(x) en x0 pero no coincide con el valor de la función

f(x0)

Discontinuidades de Primera especie o de salto. Se dice que una fun-ción tiene una discontinuidad de primera especie o de salto en x0 si existen loslímites laterales de la función en ese punto pero no coinciden.

Salto �nito:En esta ocasión, los límites laterales no coinciden

Puede ser que sea continua por uno de los lados o no. El salto se denominará�nito si ambos límites son �nitos e in�nito en caso contrario.

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Salto in�nito:El limite lateral derecho a 0 es ∞

Discontinuidades de Segunda especie o esenciales.Se dice que unafunción tiene una discontinuidad de segunda especie o esencial en x0 si no existealguno de los límites laterales de la función en ese punto.

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7. Teoremas sobre continuidad

Existen varios teoremas muy conocidos acerca de las funciones continuas queenunciamos a continuación.

Teorema de Bolzano.

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y tal que tomevalores de signo contrario en los extremos del mismo (Sign(f(a)) 6= Sign(f(b))),entonces existe algún punto c ∈ (a, b) tal que f(x0) = 0.

Teorema de Darboux.

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x)toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

Teorema.

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x)está acotada en [a, b].

Teorema de Weierstrass.

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces falcanza en [a, b] su valor máximo y su valor mínimo, es decir

∃ x1, x2 ∈ [a, b]/ f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x ∈ [a, b].

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