MatematickaLogika(Iskazi)

Sadrzaj

1 Logika iskaza 1

1.1 Iskazi i iskazne formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Iskazna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Tautologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Osobine tautologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Testovi istinitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Hipoteze i posljedice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Normalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bibliografija 50

i

Predgovor

Logika je nauka o logosu, pri cemu se pod logosom podrazumijeva

govor, rijec, smisao izrazen rijecima, pojam duha ili misao. Naju-

obicajenije shvatanje logike je da je to nauka o misljenju, o poretku

misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ili podrazumi-

jeva da se razum ponasa po nekim pravilima, a ta pravila su upravo

logicka pravila. Za logiku kazu da je filozofska disciplina koja se

bavi oblicima valjane misli (G. Petrovic) ili da je to disciplina koja

se bavi nacelima dosljednog zakljucivanja. Pri tome dosljednost u

zakljucivanju ne traba da zavisi samo o znacenju recenica i rijeci,

koje mogu cak biti i nepoznate. Logicka dosljednost je nesto sasvim

apstraktno i treba da se tice same forme i oblika. Zbog toga je logika

formalna nauka.

Sta je matematicka logika? Da li je matematicka logika primjena

matematike prilikom logickih zakljucivanja, ili je neka ”stroza” pri-

mjena logike prilikom matematickih dokaza? Da li je matematika

dio logike, ili obratno, ne slazu se ni svi logicari u odgovoru. Intuici-

onisti smatraju da su matematicke konstrukcije osnova, a logicko

rasudivanje je sekundarno, dok Logicisti smatraju da se matema-

tika zasniva na logici, tj. matematika je grana logike. Jedno je

sigurno: matematicka logika je jedna od matematickih teorija. Neki

njeni veliki dijelovi su: teorija skupova, teorija modela, teorija do-

kaza, teorija rekurzije itd.

Ono sto matematiku izdvaja od drugih disciplina jeste koristenje

dokaza kao glavnog alata za odredivanje istine. Pri tome se naravno

postavlja pitanje ”Sta je dokaz?”. Prakticno govoreci, dokaz je bilo

koji rezonski argument koga prihvataju i drugi matematicari. Na-

ravno da je preciznija definicija dokaza neophodna kako bi smo neki

matematicki rezon htjeli ili nehtjeli prihvatiti. Ovo predstavlja jedan

od osnovnih razloga izucavanja matematicke logike.

ii

iii

ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE

Matematicka logika se bavi formalizacijom i analizom vrsta re-

zonovanja koje koristimo u ostalim dijelovima matematike. Zada-

tak matematicke logike nije pokusaj bavljenja matematikom per se

potpuno formalno, nego izucavanje formalnih logickih sistema kao

matematickih objekata u njihovoj sopstvenoj zakonitosti, radi doka-

zivanja cinjenica o njima.

Jedan dio problema formalizacije matematickog rezonovanja je

nuzno vezan za preciznu specifikaciju jezika u kojem radimo. Go-

vorni jezici su i odvise kompleksni i ”zivuci”, tj. podlozni stalnim

promjenama, te su kao takvi neupotrebljivi u matematici. Za raz-

liku od njih, jezici formalne logike su kao i programski jezici, strogo

odredeni, jednostavni i fleksibilni, te ce jedan od zadataka mate-

maticke logike upravo biti utvrdivanje jezika, kao i nase opismenja-

vanje u okviru istog.

Formalni logicki sistemi zahtjevaju pazljivu specifikaciju dozvo-

ljenih pravila rezonovanja, kao i neke ideje o interpretaciji tvrdenja

iskazanih u datom jeziku i utvrdivanju njihovih istinitosti. Upravo

veze izmedu interpretacije tvrdenja, istinitosti i rezonovanja su kvan-

titativno i kvalitativno stvarna vrijednost ove discipline.

Ova skripta predstavlja autorizovani pisani materijal za predava-

nja iz predmeta Elementi matematicke logike, koji se slusa u prvom

semestru, prve godine studija Matematike na Prirodno-matematickom

fakultetu Univerziteta u Tuzli. Nastao je kao plod cetvorogodisnjeg

rada, tj. predavanja ovog kursa, i kao takav, smatram ga jos rad-

nom varijantom, tako da sve uocene greske, opaske i kritike su

dobrodosle, te cu kao autor biti zahvalan ako mi ih javite.

POGLAVLJE 1

LOGIKA ISKAZA

1.1 Iskazi i iskazne formule . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Iskazna algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Tautologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Osobine tautologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Testovi istinitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Hipoteze i posljedice . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.7 Normalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.1 Iskazi i iskazne formule

Iskaz je osnovni pojam u matematickoj logici koga bi mogli pokusati

definisati kao smislenu recenicu koja ima osobinu da moze biti

tacna ili netacna. Naprimjer recenicom,

”2 je djelilac svakog parnog broja.”,

dat je jedan iskaz jer recenica ima smisla i tvrdnja njome iskazana

je tacna. Isto tako recenice

”Kada ona gdje kako uh.”

”Da li je kraj casa?”

nisu u gornjem kontekstu iskazi jer prva nema nikakvog smisla, a

druga ima smisla, ali je upitna i kao takva nije ni tacna ni netacna.

Medutim, gornja definicija je neformalna i nedovoljno operativna,

tj. za datu recenicu, pomocu ove definicije nije uvijek lahko utvrditi

da li jeste ili nije iskaz. Naime, recenica

”Ovo sto upravo pise je laz.”

u prvi mah izgleda da jeste iskaz (smislena je i mogli bi utvrdivati

njenu istinitost), ali isto tako njenom analizom bi smo mogli reci da

se njome nesto tvrdi, a da to nije tacno. Zbog svega ovoga u iskaz-

noj logici se pojmom iskaza sluzimo kao osnovnim, intuitivnim, tj.

pojmom koga ne definisemo. Takve pojmove nazivamo primitivnim

pojmovima .

1

1.1. Iskazi i iskazne formule

2

Pojedinacne iskaze u iskaznoj logici cemo oznacavati sa malim

pisanim slovima p,q,r,s,t,... i nazivamo ih iskazna slova ili iskazne

varijable. Od jednostavnih iskaza gradimo slozenije iskaze koristeci

logicke veznike, odnosno logicke operacije.

Logicke veznike, u zavisnosti od toga na koliko iskaza djeluju,

dijelimo na unarne, binarne, ternarne itd. Ovu cinjenicu nazivamo

duzina operacije ili arnost operacije. Za nas su od interesa samo

neki unarni i binarni veznici i sada cemo ih definisati.

Definicija 1.1.1

Negacija je unarni veznik. Negacija iskaza p, je iskaz ”nije p”,

koga oznacavamo sa ”¬p”.Negacija tacnog iskaza je netacan iskaz i obrnuto, negacija

netacnog iskaza je tacan iskaz.

Primjer 1.1. Neka je dat iskaz

p : ”Danas ucim logiku.”

Negacija iskaza p tada je ”Nije danas ucim logiku.”, sto cemo na-

ravno u svakodnevnom govoru izreci ”korektnije” sa

”Danas ne ucim logiku.”.

♦

Primjer 1.2. Ako je iskaz p tacan, tada je jasno da je iskaz ¬p netacan

i obrnuto, ako je iskaz p netacan, tada je iskaz ¬p tacan. Negacija

iskaza

q : 2 + 2 = 3 ,

je iskaz ”¬q : ¬ ( 2 + 2 = 3 )”, odnosno u matematickoj terminologiji

iskazano

¬q : 2 + 2 6= 3 .

Iskaz q je netacan, pa je iskaz ¬q tacan. ♦

Definicija 1.1.2

Konjukcija je binarni veznik. Konjukcija iskaza p i q je iskaz ”p i

q”, u oznaci ”p ∧ q”.

Iskaz p∧q je tacan samo u slucaju da su istovremeno i p i q tacni

iskazi.

3


Primjer 1.3. Neka su dati iskazi:

p : ”Kiseonik cini vodu.”,

q : ”Sumpor cini vodu.”

r : ”Vodonik cini vodu.”.

Iskazi p i r su tacni, a iskaz q je netacan. Tada je iskaz p∧q, ”Kiseonik

cini vodu i sumpor cini vodu.” ili krace, ”Kiseonik i sumpor cine

vodu.”, netacan iskaz jer je iskaz q netacan. Iskaz p ∧ r, ”Kiseonik i

vodonik cine vodu.”, je tacan iskaz jer su oba iskaza koji u njemu

ucestvuju tacni iskazi. ♦

Definicija 1.1.3

Disjunkcija je binarni veznik. Disjunkcija iskaza p i q je iskaz ”p

ili q”, u oznaci ”p ∨ q”.

Iskaz p ∨ q je tacan iskaz ako je bar jedan od iskaza p i q tacan,

odnosno on je netacan ako su oba iskaza netacni.

Primjer 1.4. Za iskaze iz prethodnog primjera, iskaz p ∨ q, ”Kiseonik

ili sumpor cini vodu”, je tacan zbog tacnosti iskaza p. Ako uvedemo

i iskaz s : ”Fosfor cini vodu”, tada ce disjunkcija q ∨ s, ”Sumpor ili

fosfor cini vodu”, zbog netacnosti oba iskaza, biti netacan iskaz. ♦

Ovdje treba napomenuti da ovu disjunkciju treba razlikovati od

veznika ”ili” koji je u svakodnevnoj upotrebi u obicnom govoru. Na-

ime, u obicnom govoru ”ili” ima iskljuciv smisao, tj. kada izrekne-

mo iskaz ”p ili q”, podrazumijevamo da je on tacan ako je tacan

iskaz p ili iskaz q i to samo jedan od njih. Naprimjer, kada kazemo

”Veceras cu gledati film ili cu izaci sa drustvom”, podrazumijevamo

da ne mozemo biti istovremeno na dva mjesta, tj. ili kod kuce gle-

dam film, ili sam izasao sa drustvom. Ovakvu vrstu disjunkcije

imamo takode i u logici i ona se naziva ekskluzivna ili iskljucna

disjunkcija, dok onu prvu nazivamo inkluzivna ili ukljucna disjunk-

cija.

Definicija 1.1.4

Iskljucna disjunkcija ili ekskluzivna disjunkcija je binarni vez-

nik. Iskljucna disjunkcija iskaza p i q je iskaz ”ili p ili q” i

oznacavamo je sa p ⊻ q.

Iskaz p ⊻ q je tacan iskaz samo ako je tacno jedan od iskaza p i q

tacan.

Primjer 1.5. Neka su dati iskazi p i q sa:


4

p : ”π je racionalan broj”

q : ”π je broj veci od 1”

Iskaz p ⊻ q, ”Ili je broj π racionalan broj ili je on veci od 1”, je

tacan iskaz jer je iskaz p netacan, a iskaz q tacan.

Iskaz ¬p dat je sa ”π nije racionalan broj” i on je tacan iskaz (jer

je p netacan iskaz). Tada je iskaz ¬p ⊻ q, ”ili π nije racionalan ili je

on veci od 1”, je netacan iskaz jer su oba iskaza tacna.

♦

Definicija 1.1.5

Implikacija je binarni veznik. Implikacija iskaza p i q je iskaz

”ako p onda q”, koga oznacavamo sa p ⇒ q.

Iskaz p ⇒ q je netacan samo ako je iskaz p tacan, a iskaz q

netacan.

Iskaz p u implikaciji p ⇒ q nazivamo pretpostavka, premisa ili ante-

cedent, a iskaz q nazivamo zakljucak, konkluzija ili konsekvent.

Primjer 1.6.

Ako je danas utorak︸︷︷︸

premisa

onda je sutra srijeda.︸︷︷︸

konkluzija

Soba je osvijetljena︸︷︷︸

konsekvent

ako upalimo fenjer.︸︷︷︸

antecendent

♦

Iskaz p ⇒ q citamo jos kao: ”iz p slijedi q”, ”p povlaci q”, ”p samo

ako q”, ”q ako p”, ”p je dovoljan za q”, ”q je potreban za p” i sl.

Primjer 1.7. Primjeri iskazivanja recenice oblika p ⇒ q:

Iz uslova da su katete trougla iste︸︷︷︸

p

slijedi da je trougao jednakokrak︸︷︷︸

q

.

Rast cijena︸︷︷︸

p

povlaci smanjenje standarda.︸︷︷︸

q

Jedrenjak plovi︸︷︷︸

p

samo ako ima vjetra.︸︷︷︸

q

V jetar duva︸︷︷︸

q

ako jedrenjak plovi.︸︷︷︸

p

Za odlazak na more︸︷︷︸

q

, dovoljno je imati 1000 KM︸︷︷︸

p

.

Za odlazak na more︸︷︷︸

p

potrebno je imati 1000 KM.︸︷︷︸

q

♦

5


Prema definiciji implikacije, ako je iskaz p netacan, onda je iskaz

p ⇒ q tacan, bez obzira na tacnost iskaza q. Naprimjer, neka su dati

iskazi

p: ”2 + 2 = 3”q: ”2 + 3 = 4”Implikaciju p ⇒ q bi sada citali kao,

”ako je 2 + 2 = 3 onda je 2 + 3 = 4”

i ovako dobijen iskaz je prema definiciji implikacije tacan. Drugim

rijecima, iz netacne pretpostavke moze da slijedi bilo kakav iskaz, ali

ovakvo shvatanje odudara od upotrebe konstrukcije ”ako...onda...”

iz svakodnevnog govora. Navedimo jos, na neki nacin, ”gori” primjer

kojim to potvrdujemo. Neka su dati iskazi

p : ”Zima pocinje 21. juna”

q : ”Ja sam polozio Analizu I”

Sa matematicke tacke gledista, iskaz p ⇒ q, ”Ako zima pocinje 21.

juna onda sam ja polozio Analizu I”, je tacan iskaz, ali isto tako bi

se moglo reci da taj iskaz nema nikakvog smisla jer izmedu iskaza

p i q ne postoji nikakva ociglednija veza.

U svakodnevnom govoru veznik ”ako... onda...” upotrebljavamo da

naznacimo da ne vjerujemo da pretpostavka moze biti istinita. Npr.

recenica ”Ako polozim Analizu, pojest cu knjigu”, izrazava sumnju

studenta da ce poloziti ispit, a ne implikaciju dva iskaza.

Primjer 1.8. Neka osoba svakog jutra kada se probudi izgovori recenicu:

”Ako je danas subota, onda je sutra petak.”

Za koje dane u sedmici je iskaz ove osobe tacan?

Ako doticna osoba ovu recenicu izgovori naprimjer u utorak, jasno

je da ima pravo, tj. ”Ako je danas subota”, sto nije, ”onda je sutra

petak”, sto takode nije. Dakle, ako je danas ”netacno”, onda i sutra

moze biti ”netacno”. Spomenuta osoba je u pravu za svaki dan

osim u subotu jer kada izgovara svoju tvrdnju u subotu, ”ako je

danas subota”, sto je tacno, ”onda je sutra petak”, sto je netacno jer

sutra mora biti nedjelja, citava recenica ima oblik ”iz tacnog slijedi

netacno” pa je ona netacna. ♦

Mi cemo se drzati matematickog gledista iz dva razloga. Prvo, nas

u matematickoj logici ne interesuje sta su iskazi p i q vec samo nji-

hova istinitost, odnosno uslovi pod kojima istinitost iskaza p povlaci

istinitost iskaza q. Drugo, ovakvo glediste nalazi jako uporiste u

mnogim naukama u kojima se postavljaju neke hipoteze koje je ne-

moguce eksperimentalno provjeriti, ali bi se mogle provjeriti neke


6

posljedice koje se dobijaju iz te hipoteze. Dakle, provjeravamo poslje-

dice bez obzira sto ne znamo da li je hipoteza tacna ili ne. Naprimjer,

da li su nas posjetili izvanzemaljci? Ako pretpostavimo da jesu,

onda su morali ostaviti iza sebe neki trag. Naravno, mi ne znamo da

li su nas posjetili, ali mozemo traziti neke tragove (crni obelisk ”Odi-

seja 2001”) koje su eventualno osavili, pa ako ih nademo, mozemo

zakljuciti da su nas posjetili. Ovo se naziva hipoteticki karakter

naucnih teorija.

Definicija 1.1.6

Ekvivalencija je binarni veznik. Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz

”p ako i samo ako q”, u oznaci p ⇔ q.

Iskaz p ⇔ q je tacan ako su iskazi p i q iste istinitosti, tj. ako su

istovremeno oba tacni ili oba netacni.

Ekvivalenciju p ⇔ q formulisemo i kao ”p ekvivalentno q” i po istini-

tosti odgovara recenici ”ako p onda q i ako q onda p”, tj.

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) .

S obzirom na ovu uocenu vezu implikacije i ekvivalencije, iskaz p ⇔q citamo i ”p je potreban i dovoljan uslov za q” ili ”q je potreban i

dovoljan uslov za p”.

Primjer 1.9. Recenice

p: ”Vektori ~a i ~b su ortogonalni”

q: ”Skalarni produkt vektora ~a i ~b je 0”

su ekvivalentni iskazi i tu cinjenicu nalazimo kao jedan od vaznih

stavova vektorske algebre, iskazanu sa: Dva vektora su ortogonalna

ako i samo ako je njihov skalarni produkt jednak 0. ♦

Ekvivalencijom se u matematici cesto definise novi pojam, po-

lazeci od vec poznatih pojmova.

”Prirodan broj razlicit od 1 je prost broj ako i samo ako je djeljiv

samo sa samim sobom i sa jedinicom.”

Ovom recenicom je definisan pojam prostog broja, poznatim poj-

movima koji cine sadrzaj drugog iskaza ekvivalencije. Iako ova

recenica ima formu iskaza, njome nije zadat iskaz nego definicija.

Kada je jasno da je u pitanju definicija, u odgovarajucoj recenici se

uobicajeno izostavlja dio ”samo ako” mada podrazumijevamo da i

taj dio vazi.

Cilj iskazne logike je da se upotrebom matematicke simbolike

prevazidu problemi koji mogu da nastanu zbog nemogucnosti da

7


na zadovoljavajuci nacin definisemo pojam iskaza. Ovo opet znaci

da slozeni iskazi u kojima se javlja vise jednostavnih iskaza i vise

logickih veznika, treba da se formiraju po strogo utvrdenim pra-

vilima. Takve slozene iskaze pravimo pomocu do sada uvedenih

simbola: iskaznih slova (p, q, r, s, ...), logickih veznika (∧,∨,⇒,⇔ i ¬)

i zagrada ”(” i ”)”. Od svih izraza koje mozemo konstruisati od ovih

simbola, za nas su od posebnog interesa iskazne formule.

Definicija 1.1.7

1. Iskazna slova su iskazne formule.

2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i

(A ∧B) , (A ∨B) , (A ⇒ B) , (A ⇔ B) , (¬A) ,

iskazne formule.

3. Iskazne formule mogu se formirati jedino konacnim brojem

primjena 1. i 2. ove definicije.

Primjer 1.10. Prema gornjoj definiciji izrazi

p , q , (p ∨ q) , (¬(p ∧ ¬q)) , (¬(¬r))

jesu iskazne formule, dok izrazi

¬ ∧ p , )pq ⇒ , p ∧ ∧q , ¬A , ∨p ∨ q

nisu iskazne formule.

Prema datoj definiciji iskazne formule, izraz A ⇔ B nije formula

jer nedostaju zagrade. Upotrebom zagrada i pravila 2. omoguceno

nam je pravljenje i slozenijih formula kao npr.

(p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)) , (((p ∨ q) ∨ ¬p) ⇒ p)

♦

Primjetimo da u konstrukciji logickih formula koristimo simbole

zagrada koje su dio jezika koga koristimo u iskaznoj logici. Uloga

zagrada je da naglasimo redoslijed izvrsavanja operacija. Od inte-

resa je pojednostavljivanje zapisa formula, a to znaci izmedu ostalog

i izbjegavanje pisanja zagrada kad god one nisu neophodne. Tako

spoljasnje zagrade u formulama uvijek mozemo izostaviti, npr. u

formuli

((¬p) ⇒ q) ,


8

izostavljamo vanjske zagrade i bez nejasnoca u izvrsavanju opera-

cija, zapisujemo

(¬p) ⇒ q .

Medutim, izostavimo li i preostale zagrade, tj. ako napisemo ¬p ⇒ q,

nije jasno da li prvo primjenjujemo negaciju ili implikaciju.

Da izbjegnemo navedene nejasnoce dogovaramo se o prioritetu

logickih veznika. Tako imamo da je najveceg prioriteta negacija,

zatim su to konjukcija i disjunkcija (istog prioriteta) i na kraju im-

plikacija i ekvivalencija (istog prioriteta). Ako se u formuli pojavljuju

logicki veznici istog prioriteta, primjenjujemo pravilo izvrsavanja s

lijeva na desno.

prioritet 1 ¬

prioritet 2 ∧ ∨

prioritet 3 ⇒ ⇔

Tablica 1.1: Prioritet logickih veznika

Na osnovu dogovora o prioritetu logickih veznika sada je jasno

da u formuli ¬p ⇒ q prvo izvrsavamo negaciju iskaza p, a onda

djelujemo implikacijom na iskaze ¬p i q.

Postoje i drugi nacini za pojednostavljivanje zapisa iskaznih for-

mula u odnosu na zagrade. Upoznacemo jos dva od tih, a prvi je

pomocu formulskog drveta, koji zahtjeva strogo definisanje novog

pojma.

Definicija 1.1.8

Formulski niz je proizvoljan, konacan niz iskaznih formula

A1, A2, ..., An, takav da je svaka formula tog niza dobijena iz

nekih njoj prethodnih formula, primjenom pravila iz Definicije

1.1.7.

Formulski niz za formulu A je formulski niz cija je posljednja

formula sama formula A. Pri tome svaku formulu formulskog

niza nazivamo potformulom formule A.

Primjer 1.11. Formulski niz za formulu

(((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s)

je niz:

p, q, p ⇒ q, r, q ∨ r, (p ⇒ q) ∧ (q ∨ r), p ∨ r, ((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒(p ∨ r), s, q ∨ s, ¬(q ∨ s), (((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s). ♦

9


Razlaganje neke formule na njen formulski niz mozemo prikazati

formulskim drvetom. Formulsko drvo je binarno drvo ciji su zavrseci

iskazna slova koja ucestvuju u datoj formuli, cvorovi su potformule

formule, a korijen drveta je sama formula. Formulsko drvo za for-

mulu (((p ⇒ q)∧ (q∨ r)) ⇒ (p∨ r)) ⇒ ¬(q∨ s) je prikazano na sljedecoj

slici

p q

p ⇒ q

q r

q ∨ r p r

p ∨ r

q s

q ∨ s(p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)

(p ⇒ q) ∧ (q ∨ r) ⇒ (p ∨ r) ¬(q ∨ s)

(((p ⇒ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (p ∨ r)) ⇒ ¬(q ∨ s)

Formulsko drvo mozemo zapisati i bez ispisivanja podformula u

cvorovima, ne umanjujuci jasnost zapisa.

p q

⇒

q r

∨ p r

∨

q s

∨∧

⇒ ¬

⇒

Primjetimo da u ovakvom zapisu formulskog drveta zagrade vise

nisu uopste potrebne i to predstavlja takode nacin brisanja zagrada

iz formule, kao sto je to i nas dogovor o prioritetu operacija.

Navedimo jos jedan nacin oslobadanja od zagrada, poznat kao

Inverzna poljska notacija (RPN, Reverse Polish notation ). Poljsku

notaciju uveo je J. Lucasiewicz1 i to sa prefiks notacijom, a koju

1Jan Lucasiewicz (1878-1956), poljski logicar i filozof


10

cemo i mi ovdje obraditi. Pored ove, postoje postfiks notacija i in-

fiks notacija. Da bi objasnili prefiks poljsku notaciju, prvo uvedimo

nesto drugaciju definiciju iskazne formule.

Definicija 1.1.9

1. Iskazno slovo je iskazna formula.

2. Ako je A iskazna formula, onda je i ¬A iskazna formula.

3. Ako su A i B iskazne formule i α neki binarni logicki vez-

nik, tada je i αAB iskazna formula.

U poljskoj prefiks notaciji binarni veznik dviju formula pisemo

sa lijeve strane od datih formula. Tako ce formula p∧q biti zapisana

sa ∧pq ili formula p ⇒ q sa ⇒ pq.

Primjer 1.12. Data je formula u standardnoj notaciji (¬p) ⇒ q.

Za njen zapis u inverznoj poljskoj notaciji koristimo analizu:

prvo cemo primjeniti negaciju na p (¬p), a zatim na tu formulu i

formulu q primjenjujemo implikaciju, prema 3. iz definicije 1.1.9.

Tako dobijamo formulu u inverznoj poljskoj notaciji ⇒ ¬p q.

Za formulu ¬(p ⇒ q) odgovarajuca inverzna poljska notacija je

¬ ⇒ p q. ♦

Formula iz Primjera 1.11 u inverznoj poljskoj notaciji je

⇒⇒ ∧ ⇒ p q ∨ q r ∨ p r¬ ∨ q s .

Iako je teska za citanje, inverzna poljska notacija ima velike

prednosti jer je linearna i ne upotrebljava zagrade.

Definicija 1.1.10

Neka je A iskazna formula. Stepen formule A je broj pojavljiva-

nja logickih veznika u A.

Primjer 1.13. Stepen formule p ∧ q je 1.

Za iskaznu formulu

(p ⇒ (q ∧ r)) ⇔ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q))

stepen je 7 jer imamo sedam logickih veznika, koji su redom s lijeva

u desno ⇒ , ∧ , ⇔ , ∧ , ∨ , ∧ i ¬.

Stepen formule (((p ∨ q) ∨ ¬p) ⇒ p) je 4.

♦

11


Dogovorno vrijedi, kad je formula samo iskazno slovo, onda kazemo

da joj je stepen 0.

Zadaci 1.1. :

1. Koje od navedenih recenica su iskazi:

(a) ”Tri plus tri jednako je sest.”

(b) ”Tri plus dva jednako je sedam.”

(c) ”x plus dva jednako je sedam.”

(d) ”10 nije veliki broj.”

(e) ”Mislim, dakle postojim.”

(f) ”Lazem, dakle postojim.”

(g) ”Dok ovo pisem ja lazem.”

(h) ”Da li je 2 manje od 5?”

(i) 10 i 30 jednako je pola jedanaest.

2. Za zadate iskaze iskazati rijecima i utvrditi istinitost novog is-

kaza:

(a) p: Trava je zelena.

q: More je slano.

p ∧ q.

(b) p: 2 plus 2 je 3.

q: 3 plus 2 je 5.

p ∨ q.

(c) p: Jabuka je povrce.

q: Paprika je voce.

p ili q.

(d) p: Jabuka je povrce.

q: Paprika je voce.

p ∨ q.

(e) A: Zimi pada snijeg.

B: Ulice su klizave.

A ⇒ B.

(f) p: 2 + 7 = 9.q: Sada je ponoc.

q ⇒ p.

(g) A: Svaki dan imam predavanja iz Logike.

q: Petica je mala ocjena.

A ⇔ q.


12

(h) r: Einstein je filozof.

s: Sve je relativno.

r je neophodan i dovoljan za s.

3. Jezikom iskazne logike iskazati sljedece recenice:

(a) Brojevi a i b su pozitivni.

(b) Niti jedan od brojeva x i y nije negativan.

(c) Tacno jedan od brojeva x i y je nenegativan.

(d) Bar jedan od brojeva a i b je pozitivan.

4. Jezikom iskazne logike iskazati sljedece recenice:

(a) Ako je danas petak, sutra je subota.

(b) Da bi zbir dva broja bio nula, dovoljno je da su oba broja

jednaka 0.

(c) Da bi proizvod dva broja bio nula, neophodno je da je bar

jedan od njih nula.

(d) Mislim, dakle postojim.

(e) Ako je broj x djeljiv sa 6 tada je on djeljiv i sa 2, a ako je

djeljiv i sa 2 i sa 3 to je dovoljno za njegovu djeljivost sa 6.

(f) Potreban i dovoljan uslov da zavrsim fakultet je vrednoca.

5. Data je formula (p ∧ ¬q) ⇒ (¬(p ∨ q)).

(a) Osloboditi se zagrada u datoj formuli, koristeci pravilo o

prioritetu operacija.

(b) Odrediti sve potformule date formule.

(c) Zapisati formulski niz date formule.

(d) Konstruisati formulsko drvo date formule.

(e) Zapisati datu formulu u inverznoj poljskoj notaciji.

6. Isto kao u prethodnom zadatku odrediti za formulu

((A ∧B) ⇒ C) ⇔ (A ⇒ (B ⇒ C)) .

7. Zapisati standardnim zapisom sljedece inverzne poljske nota-

cije:

(a) ⇔ ∧∧ ⇒ pq ∨ pr ⇒ qr ⇒ ¬pq.

(b) ⇔ p ∧ p ∧ pq.

13


1.2 Iskazna algebra

Osnovno svojstvo bilo kog iskaza ili iskazne formule jeste da je ili

tacan ili netacan. Da bi se pravila odredivanja istinitosti precizno

formalizovala, uvodimo posebnu strukturu.

Definicija 1.2.1

Iskazna algebra je dvoelementni skup {⊤,⊥} (simbole citamo

redom ”te” i ”ne te”), zajedno sa jednom unarnom operacijom

¬ i cetiri binarne operacije ∧ , ∨ , ⇒ i ⇔, koje su definisane

sljedecim tablicama:

¬

⊤ ⊥⊥ ⊤

∧ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥

∨ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥

⇒ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊤ ⊤

⇔ ⊤ ⊥

⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤

Slika 1.1: Logicke operacije

Navedene logicke operacije oznacavamo isto kao i odgovarajuce

logicke veznike jer su njima i motivisane. Medutim, to ipak nisu isti

pojmovi; znak ∧ u iskaznoj formuli p∧ q je zamjena za veznik ”i” dok

znak ∧ u gornjoj tablici oznacava operaciju na skupu {⊤,⊥}.Dakle, iskazna algebra je uredena sestorka

({⊤,⊥},¬,∧,∨,⇒,⇔) .

Napomenimo jos jednom da iskazna formula moze sadrzavati samo

konacno mnogo iskaznih slova. Broj iskaznih slova koji se pojav-

ljuju u svim mogucim formulama ne moze se ograniciti jer uvijek

mozemo konstruisati novu formulu sa vecim brojem slova od una-

prijed zadatog broja slova. Za formiranje svih iskaznih formula neo-

phodno je imati prebrojivo mnogo iskaznih slova. Zbog toga cemo

se ovde dogovoriti da su sva iskazna slova data sljedecim nizom

p1, p2, p3, ..., pn, ...

Oznacimo sa τ (Tau) preslikavanje koje odreduje istinitost nekog

iskaznog slova, tj.

τ : {p1, p2, p3, ..., pn, ...} → {⊤,⊥} .

Pri tome je

τ (p) =

{⊤ ; iskaz p je tacan

⊥ ; iskaz p je netacan.

1.2. Iskazna algebra

14

Vrijednost τ (pi) naziva se istinitosna vrijednost iskaznog slova pi,

odnosno vrijednost τ (A) nazivamo istinitosna vrijednost formule A.

Ovakvo preslikavanje nije nista drugo do dodijeljivanje istinitosne

vrijednosti svim iskaznim slovima, mada je, kada se ogranicimo na

jednu formulu, za nju bitna samo istinitosna vrijednost onih iskaz-

nih slova koja ucestvuju u njoj.

Definicija 1.2.2

Dodijeljivanje istinitosnih vrijednosti iskaznim slovima koja

ucestvuju u formuli A nazivamo interpretacija formule A.

Neka je sada A proizvoljna iskazna formula. Njena istinitost prije

svega zavisi od istinitosti iskaznih slova koja se u njoj javljaju. Zbog

toga odredivanje istinitosne vrijednosti formule A pocinje dodijelji-

vanjem nekih istinitosnih vrijednosti redom svim iskaznim slovima

koja se u njoj javljaju. Tako, ako su p1, p2, ..., pn iskazna slova koja

se pojavljuju u formuli A i ako svakom slovu dodijelimo jednu od

njenih mogucih istinitosnih vrijednosti, ili ⊤ ili ⊥, dobijamo jednu

uredenu n-torku simbola ⊤ i ⊥. Naprimjer,

• ako formula ima samo jedan iskaz (jedno iskazno slovo), moguce

vrijednosti tog iskaza su ⊤ i ⊥, te interpretacija te formule ima

ukupno dvije.

• ako formula sadrzi dva iskaza, moguce vrijednosti tih iskaza

u paru su (⊤,⊤), (⊤,⊥) , (⊥,⊤) i (⊥,⊥), te interpretacija ima

ukupno cetiri.

• ako formula sadrzi tri iskaza, moguce vrijednosti tih iskaza su

sljedece uredene trojke: (⊤,⊤,⊤), (⊤,⊤,⊥), (⊤,⊥,⊤), (⊥,⊤,⊤),(⊤,⊥,⊥), (⊥,⊤,⊥), (⊥,⊥,⊤) i (⊥,⊥,⊥), te interpretacija ima

ukupno osam.

Generalno, u slucaju da formula sdrzi n iskaznih slova, broj od-

govarajucih razlicitih n-torki je 2n, tojest razlicitih interpretacija te

formule moze biti 2n.

Primjer 1.14. Neka je data iskazna formula A : (p ⇒ q) ∧ ¬p ⇔ ¬q.Uzmemo li da je τ (p) = ⊤ i τ (q) = ⊥, dobijamo jednu (od mogucih

cetiri) inerpretaciju formule A, (⊤ ⇒ ⊥) ∧ ¬⊤ ⇔ ¬⊥.

Za drugi izbor istinitosnih vrijednosti iskaznih slova, τ (p) = ⊤ i

τ (q) = ⊤ dobijamo drugu interpretaciju (⊤ ⇒ ⊤) ∧ ¬⊤ ⇔ ¬⊤. ♦

15


Definicija 1.2.3

Istinitosna vrijednost iskazne formule A definise se induktivno

(po slozenosti formule), na sljedeci nacin:

1. Ako formula A jeste iskazno slovo p, tada je

τ (A)def= τ (p) .

2. Ako su a i b redom istinitosne vrijednosti formula A i B

(τ (A) = a i τ (B) = b), onda su

a ∧ b , a ∨ b , a ⇒ b , a ⇔ b , ¬a

redom istinitosne vrijednosti formula A ∧B, A ∨B, A ⇒ B,

A ⇔ B i ¬A, gdje su a, b ∈ {⊤,⊥}.

Tacku 2. gornje definicije treba interpretirati na sljedeci nacin:

τ (A ∧B) = τ (A) ∧ τ (B) = a ∧ b ,

τ (A ∨B) = τ (A) ∨ τ (B)) = a ∨ b ,

τ (A ⇒ B) = τ (A) ⇒ τ (B) = a ⇒ b ,

τ (A ⇔ B) = τ (A) ⇔ τ (B) = a ⇔ b ,

τ (¬A) = ¬τ (A) = ¬a ,

a ovo nam daje i princip izracunavanja istinitosne vrijednosti is-

kazne formule. Neprimjer, za formulu (A∧B) ⇒ C, njenu istinitosnu

vrijednost izracunavamo sa

τ ((A ∧B) ⇒ C) = (τ (A) ∧ τ (B)) ⇒ τ (C) .

Primjer 1.15. Data je iskazna formula p ∧ (q ⇒ ¬r).Iskazna slova koja se javljaju u datoj formuli su p, q i r. Ako im

dodijelimo istinitosne vrijednosti redom ⊤,⊥,⊤, dobijamo jednu in-

terpretaciju formule i pri tome je

τ (p ∧ (q ⇒ ¬r)) = τ (p) ∧ (τ (q) ⇒ ¬τ (r))= ⊤ ∧ (⊥ ⇒ ¬⊤)= ⊤ ∧ (⊥ ⇒ ⊥)= ⊤ ∧⊤= ⊤ .

Dakle, u datoj interpretaciji ova formula je tacna. Za neke druge vri-

jednosti iskaznih slova p, q i r, odnosno u nekoj drugoj interpretaciji,


16

na osnovu datih pravila treba ponovo odrediti vrijednost formule i

ona naravno moze biti ili tacna ili netacna. ♦

Da bi odredili vrijednost formule u svim interpretacijama, koris-

timo se tzv. istinitosnim tablicama ili semantickim tablicama. Kako

svakoj interpretaciji formule odgovara jedan raspored simbola ⊤ i

⊥ po iskaznim slovima formule, u tablicu treba unijeti sve te ras-

porede. Za svaki raspored odredujemo istinitosnu vrijednost pod-

formula date formule i na kraju vrijednost same formule. Kao sto

smo vec imali, ako iskaznih slova u formuli ima n, onda svih inter-

pretacija ima 2n. Ako posmatramo formulu iz posljednjeg primjera,

iskaznih slova ima 3, pa je razlicitih interpretacija 23 = 8 i vrijednost

formule u svakoj od tih interpretacija data je u tabeli

p q r ¬r q ⇒ ¬r p ∧ (q ⇒ ¬r)

⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥

Tablica 1.2: Istinitosna tablica formule p ∧ (q ⇒ ¬r)

Primjer 1.16. Sljedeci tekst prevesti u iskaznu formulu:

Kada pada snijeg, tesko je voziti auto. Ako je tesko voziti auto,

kasnit cu na posao, osim ako krenem ranije od kuce. Pada snijeg.

Dakle, moram krenuti ranije da ne zakasnim na posao.

Koristimo se sljedecim iskazima:

• p : Pada snijeg.

• q : Tesko je voziti auto.

• r : Kasnim na posao.

• s : Krecem ranije od kuce.

Koristeci gornja iskazna slova za odgovarajuce iskaze, recenice

gornjeg teksta prevodimo sa: p ⇒ q. q ⇒ (r ∨ s). p. Dakle, ¬r ⇒ s.

Sada kompletna iskazna formula izgleda

((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ (r ∨ s)) ∧ p) ⇒ (¬r ⇒ s) .

17


Jednu interpretaciju ove iskazne formule imamo ako uzmemo da je

τ (p) = ⊤, τ (q) = ⊤, τ (r) = ⊤ i τ (s) = ⊤. Pri tome je

τ (A) = τ (((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ (r ∨ s)) ∧ p) ⇒ (¬r ⇒ s))

= ((τ (p) ⇒ τ (q)) ∧ (τ (q) ⇒ (τ (r) ∨ τ (s))) ∧ τ (p)) ⇒ (¬τ (r) ⇒ τ (s))

= ((⊤ ⇒ ⊤) ∧ (⊤ ⇒ (⊤ ∨⊤)) ∧ ⊤) ⇒ (¬⊤ ⇒ ⊤)

= (⊤ ∧ (⊤ ⇒ ⊤) ∧ ⊤) ⇒ (⊥ ⇒ ⊤)

= (⊤ ∧⊤ ∧⊤) ⇒ ⊤ = ⊤ ⇒ ⊤ = ⊤ .

Preglednosti radi, sve moguce interpretacije cemo predstaviti u is-

tinitosnoj tablici gornje formule. Pojedinacne interpretacije citamo

u vrstama tablice, a istinitosne vrijednosti podformula polazne for-

mule citamo po kolonama tablice, gdje u posljednjoj koloni ocitavamo

istinitosnu vrijednost polazne formule.

p q r s p ⇒ q r ∨ s q ⇒ (r ∨ s) (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ (r ∨ s)) ∧ p ¬r ¬r ⇒ s A

⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤

♦

Logicke operacije koje smo uveli u iskaznoj algebri mozemo shva-

titi i kao preslikavanja. Tako je logicka operacija negacije, preslika-

vanje ¬ : {⊤,⊥} → {⊤,⊥}, koje je zadato sa

¬(⊤) = ⊥ i ¬(⊥) = ⊤ .

Logicka operacija konjukcije je preslikavanje ∧ : {⊤,⊥}2 → {⊤,⊥},definisano sa

∧(⊤,⊤) = ⊤ , ∧(⊤,⊥) = ⊥ , ∧(⊥,⊤) = ⊥ , ∧(⊥,⊥) = ⊥ .

Za prirodan broj n, razlicitih preslikavanja sa skupa {⊤,⊥}n u skup

{⊤,⊥} ima ukupno 22n

. Takva preslikavanja se nazivaju Boolove


18

p f1 f2 f3 f4⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤

Tablica 1.3: Boolove funkcije prvog reda

funkcije. Boolovih funkcija prvog reda ima ukupno 221

= 4 i date su

u tabeli.

Pri tome je:

• f1(p) = ⊥ , nula-funkcija,

• f2(p) = p , identicka funkcija,

• f3(p) = ¬p , negacija i

• f4(p) = ⊤ , jedan-funkcija.

Boolovih funkcija drugog reda (sa dvije varijable) ima ukupno

222

= 16. Vrijednosti svih ovih funkcija dajemo u sljedecoj tabeli.

p q g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 g13 g14 g15 g16⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤

⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤

⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤

Tablica 1.4: Boolove funkcije drugog reda

Svaka od ovih funkcija ima svoje znacenje koje dajemo narednim

spiskom, zajedno sa imenom funkcije.

• g1(p, q) = 0 , nula-funkcija,

• g2(p, q) = p ∧ q , konjukcija (I finkcija),

• g3(p, q) = ¬(p ⇒ q) , negacija implikacije od p ka q,

• g4(p, q) = p , varijabla p,

• g5(p, q) = ¬(q ⇒ p) , negacija implikacije od q ka p,

• g6(p, q) = q , varijabla q,

• g7(p, q) = p ⊻ q , iskljucna disjunkcija,

• g8(p, q) = p ∨ q , ukljucna disjunkcija (ILI funkcija),

• g9(p, q) = p ↓ q , Lukasiewiczeva funkcija (NILI funkcija),

19


• g10(p, q) = p ⇔ q , ekvivalencija,

• g11(p, q) = ¬q , negacija varijable q,

• g12(p, q) = q ⇒ p , implikacija od q ka p,

• g13(p, q) = ¬p , negacija varijable p,

• g14(p, q) = p ⇒ q , implikacija od p ka q,

• g15(p, q) = p ↑ q , Shefferova funkcija (NI funkcija),

• g16(p, q) = ⊤ , jedan-funkcija.

Zadaci 1.2. :

1. Ispitati vrijednost formule p ∧ q ⇒ ¬q ⇒ (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) u

interpretaciji τ (p) = ⊥ i τ (q) = ⊥.

2. Isptati vrijednost formule (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r) u interpretaciji

τ (p) = ⊤, τ (q) = ⊥ i τ (r) = ⊤.

3. Formirati tablicu istinitosti za formule:

(a) ¬(p ∧ (¬p ∨ (p ∨ ¬p))),

(b) (p ∧ q) ∨ ¬q ⇔ (p ⇒ q),

(c) ((p ⇒ q) ⇒ r) ∧ ((p ⇒ r) ⇒ q).

4. Dati su iskazi:

• p: Trougao je jednakokrak.

• q: Trougao je jednakostranican.

• r: Trougao ima sve uglove jednake.

Sljedece formule iskazati rijecima i ispitati njihovu istinitost.

(a) p ⇒ q

(b) q ⇒ p

(c) q ⇔ r

(d) p ∧ r ⇔ q


20

5. Prevesti na jezik iskazne logike, a zatim formirati tablicu isti-

nitosti za sljedeci niz recenica:

Ahil je brzi od kornjace ili je ona brza od Ahila. On je brzi od nje.

Dakle, ona nije brza od njega. (Veznik ”ili” koristiti jednom kao

inkluzivnu, a drugi puta kao ekskluzivnu disjunkciju)

6. U nekom fiktivnom gradu zive tri vrste stanovnika: postenjacine

(oni koji uvijek govore istinu), prevrtljivci (oni koji nekad lazu,

a nekad govore istinu) i lazovi (oni koji uvijek lazu). U sljedecim

primjerima procjenite tacnost iskaza birajuci ”DA”, ”NE” ili

”MOZDA”!

(a) Susrecemo jednog stanovnika tog grada koji nam kaze:

”Ja ne govorim istinu”. Sta mozemo zakljuciti iz ovog is-

kaza?

i. Govornik je postenjacina.

ii. Govornik je prevrtljivac.

iii. Govornik je lazov.

(b) Susrecemo dvije osobe iz tog grada, osobu A i osobu B.

Znamo da je jedan od njih postenjacina ali ne znamo koji

od njih. Slusamo njihov razgovor:

Osoba A: ”Ni ja ni osoba B nismo prevrtljivci”.

Osoba B: ”Tacno jedan od nas je prevrtljivac”.

Sta mozemo zakljuciti iz ovog razgovora?

i. A je postenjacina, a B je prevrtljivac.

ii. A je prevrtljivac, a B je postenjacina.

iii. A je lazov, a B je postenjacina.

iv. A je postenjacina, a B je lazov.

(c) Susrecemo nova dva stanovnika, C i D, i slusamo njihov

razgovor:

Osoba C: ”Ja nisam prevrtljivac”.

Osoba D: ”Tako je”.

Osoba C: ”Ako ti nisi lazov, onda sam ja postenjacina”.

Osoba D: ”Tako je”.

Sta zakljucujemo iz ovog razgovora?

i. C je postenjacina.

ii. C je prevrtljivac.

iii. C je lazov.

iv. D je postenjacina.

v. D je prevrtljivac.

vi. D je lazov.

21


7. Elvis je saopstio bratu tacan iskaz koji glasi: ”Ako mi budes

pomogao, kupicu ti cokoladu.”

Brat je pomogao Elvisu. Da li je brat dobio cokoladu?

Brat je dobio cokoladu. Da li je brat pomogao Elvisu?

Brat nije dobio cokoladu. Da li je brat pomogao Elvisu?

Brat nije pomogao Elvisu. Da li je brat dobio cokoladu?

Moguci odgovori su samo jedan od: DA, NE i NE ZNA SE.

1.3 Tautologije

Medu svim iskaznim formulama iskazne algebre, jedne imaju po-

sebnu vaznost.

Definicija 1.3.1

Formula F je tautologija ako u svakoj svojoj interpretaciji ima

tacnu vrijednost.

Drugacije receno, neka formula je tautologija ako za proizvoljne vri-

jednosti svojih iskaznih slova njena istinitosna vijednost je tacna.

Kod ovakvih formula posljednja kolona u istinitosnoj tablici (koja

odgovara cijeloj formuli) sastoji se samo od simbola ⊤.

Sljedeca jednostavna formula ¬(p ∧ ¬p) jeste tautologija jer kako

vidimo u tabeli

p ¬p p ∧ ¬p ¬(p ∧ ¬p)

⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊥ ⊤ ⊥ ⊤

posljednja kolona se sastoji samo od simbola ⊤. Ova formula na-

ziva se Zakon neprotivrijecnosti i predstavlja poznato pravilo logickog

misljenja koje primjenjujemo u klasicnoj (Aristotelovoj, dvovalent-

noj) logici. Sve tautologije su manje vise poznati logicki zakoni, pa

odatle i nas poseban interes za njih. Sljedecim definicijama isticemo

neke tautologije prema logickim operacijama koje su dominantne u

njima.

Definicija 1.3.2

Neka su A i B iskazne formule. Ako je formula A ⇒ B tautologija

onda je nazivamo tautoloska implikacija i kazemo da iskaz koji

odgovara formuli A tautoloski implicira iskaz dat formulom B.

1.3. Tautologije

22

Definicija 1.3.3

Neka su A i B iskazne formule. Ako je formula A ⇔ B tautolo-

gija, kazemo da je ona tautoloska ekvivalencija, a za iskaze koji

odgovaraju formulama A i B kazemo da su tautoloski ekviva-

lentni.

Sada cemo dati spisak poznatijih tautologija sa njihovim ime-

nima.

1. Zakon iskljucenja treceg - Tertium non datur

p ∨ ¬p .

Ovaj zakon je fundamentalan jer na njemu pociva klasicna lo-

gika, tj. logika u kojoj su jedine moguce istinitosne vrijednosti

tacno i netacno.

2. Zakon neprotivurijecnosti

¬(p ∧ ¬p) .

Tautoloske implikacije

3. Zakon odvajanja - Modus ponendo ponens ili krace Modus po-

nens

p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q .

Prepricano, on tvrdi da ako vazi p i ako iz p slijedi q (p ⇒ q) onda

zakljucujemo da vazi i q, sto je osnovni princip deduktivnog

zakljucivanja.

4. Modus tollendo tollens

¬q ∧ (p ⇒ q) ⇒ ¬p .

Ovim zakonom se temelji princip opovrgavanja. On u sustini

ima sljedece znacenje: ako smo iz neke pretpostavke (ovdje p)

zakljucili pogresan zakljucak (ovdje q), onda nam je pretpos-

tavka pogresna. Ovaj metod je izuzetno primjenljiv u raznim

empirijsko-deduktivnim naukama.

5. Modus tollendo ponens

¬p ∧ (p ∨ q) ⇒ q .

23


6. Zakon pojednostavljivanja

p ∧ q ⇒ p .

7. Zakon hipotetickog silogizma (tranzitivnost implikacije)

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) .

8. Zakon nabrajanja

((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r)

9. Zakon svodenja na apsurd - Reductio ad absurdum

(p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬p .

Ovaj zakon cesto koristimo u matematickim dokazima. Naime,

ako iz neke pretpostavke slijedi kontradiktornost (q ∧ ¬q) onda

nije dobra pretpostavka, tj. vazi suprotno od pretpostavke.

10. Istina iz proizvoljnog - Verum ex quolibet

p ⇒ (q ⇒ p) .

11. Iz laznog proizvoljno - Ex falso quolibet

¬p ⇒ (p ⇒ q) .

Ovaj zakon pokazuje da ako bi neka teorija bila protivrijecna,

tj. ako bi u njoj mogli naci kontradikciju, onda ona ne bi

bila besmislena samo zbog te cinjenice, nego i zbog toga sto

bi svako tvrdenje u toj teoriji bilo teorema.

12. Pirsov zakon

((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p .

13. Zakon zakljucivanja iz suprotnog - Ex contrario

(¬p ⇒ p) ⇒ p .

I ovaj zakon cesto koristimo u matematickim dokazima. Na-

ime, ako pretpostavimo da neki iskaz ne vazi i iz toga za-

kljucimo da on ipak mora da vazi, onda iz svega toga zakljucujemo

da taj iskaz mora biti tacan. U sustini on se svodi na Zakon

svodenja na apsurd jer iskazi ¬p i ¬p ⇒ p zajedno daju kontra-

dikciju.

1.3. Tautologije

24

Tautoloske ekvivalencije

14. Zakon dvojne negacije

¬¬p ⇔ p

15. Zakon kontrapozicije

(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) .

16. De Morganovi zakoni

¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ; ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q .

17. Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjukciju

(p ⇒ q) ⇔ ¬p ∨ q ,

p ∨ q ⇔ ((p ⇒ q) ⇒ q) ,

p ∧ q ⇔ ¬(p ⇒ ¬q) .

Prvi navedeni zakon koristimo za zamjenu implikacije negaci-

jom i disjunkcijom, drugi koristimo za eliminaciju disjunkcije

njenom zamjenom pomocu implikacije i treci koristimo za za-

mjenu konjukcije pomocu negacije i implikacije.

18. Zakon negacije implikacije

¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q .

19. Zakon ekvivalencije

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) .

20. Zakon unosenja i iznosenja

(p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)) .

21. Zakoni komutativnosti konjukcije i disjunkcije

p ∧ q ⇔ q ∧ p ; p ∨ q ⇔ q ∨ p .

22. Zakon apsorpcije

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p ; p ∨ (p ∧ q) ⇔ p .

25


23. Zakon idempotentnosti

p ∧ p ⇔ p ; p ∨ p ⇔ p .

24. Zakoni asocijativnosti konjukcije i disjunkcije

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r .

25. Zakoni distributivnosti

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ,

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) .

Koristimo li i simbole ⊤ i ⊥, bilo kao logicke konstante, bilo kao

zamjenu za iskaze p∨¬p (uvijek tacan iskaz) i p∧¬p (uvijek netacan

iskaz), tada su tautologije i formule

(p ∧ ⊤) ⇔ p ; (p ∧ ⊥) ⇔ ⊥ ; (p ∨ ⊤) ⇔ ⊤ ; (p ∨ ⊥) ⇔ p ,

(p ⇒ ⊤) ⇔ ⊤ ; (p ⇒ ⊥) ⇔ ¬p ; (⊤ ⇒ p) ⇔ p ; (⊥ ⇒ p) ⇔ ⊤ ,

(p ⇔ ⊤) ⇔ p ; (p ⇔ ⊥) ⇔ ¬p ,

(p ⇒ p) ⇔ ⊤ ; (p ⇔ p) ⇔ ⊤ .

Zadaci 1.3. :

1. Pokazati da Modus ponendo ponens i Modus tollendo tollens

jesu tautologije.

2. U formuli ((A ∨ p) ⇒ q) ⇒ (p ∧ ¬q), odrediti bar jednu formulu

A, tako da data formula bude tautologija.

3. Koristeci poznate tautologije negirati sljedece iskaze:

(a) p ∧ q ⇒ r

(b) A ⇔ ¬B ∨ C

(c) (¬p ∧ ¬q) ∨ ¬(p ∧ ¬q)

4. Svaki od sljedecih iskaza prevedite u jezik iskazne logike, ne-

girajte dati iskaz i ponovo ga iskazite obicnim govorom.

(a) Srijeda je i danas ima utakmica.

(b) Ako su na nebu sitni mali oblacici sutra ce biti lijep dan.

(c) Ja sanjam ili ja gledam Angelinu.

1.3. Tautologije

26

(d) Ili ce nam ukinuti vize ili ce ukinuti visokog predstavnika.

(e) Ako bude poplava, sva prljavstina izade na povrsinu.

(f) Ako naucim i odem na ispit, tada sigurno polazem ispit.

5. Iskazati sljedece recenice u kontrapoziciji:

(a) Ako je broj paran onda nije neparan.

(b) Iz cinjenice da je 2 + 2 = 3 zakljucujemo da je 2 + 2 = 4.

(c) Dovoljno je biti na casu da bi naucio lekciju.

(d) Potreban mi je jak oslonac da pomjerim Zemlju.

6. Formalizovati sljedece zapise, a onda ispitati da li su tautolo-

gije.

(a) Ado nije i uspjesan student i skromna osoba. Ado dakle

nije uspjesan student ili nije skromna osoba.

(b) Adi nije niti uspjesan student niti skromna osoba. Dakle,

Adi nije uspjesan skroman student.

(c) Dada nije uspjesna studentica i skromna osoba. Dada

dakle ili nije uspjesna studentica ili nije skromna osoba.

(d) Ako zapocne treci svjetski rat na Zemlji ce zavladati kata-

strofa. Ako ne zapocne treci svjetski rat na Zemlji ce opet

zavladati katastrofa. Dakle, na Zemlji ce se desiti katas-

trofa.

(e) Bog je dobar i svemoguc. Ako je Bog dobar i svemoguc,

onda zlo ne postoji. Zlo ipak postoji, dakle, Bog nije dobar

ili nije svemoguc.

(f) Ako Barselona ili Real pobjeduju, onda i Arsenal i Man-

cester gube utakmicu. Barselona pobjeduje. Arsenal dakle

gubi utakmicu.

7. Formalizujte sljedece argumente i ispitajte da li je odgovarajuca

formula tautologija.

Ako je Samir jednom pobjedio studenta u bilijaru, onda Samir

nije student. Samir je jednom pobjedio studenta. Ako je profe-

sor Enes, onda Enes nije student. Profesor je Enes. Ako Samir

nije student i Enes nije student, onda je Amra student. Ako je

profesor Enes i Amra je student, onda je Samir asistent. Slijedi

da je Samir asistent.

27


1.4 Osobine tautologija

Sljedeci teorem nam govori kako iz postojece tautologije mozemo

napraviti nove tautologije.

Teorem 1.4.1

Neka je A tautologija u kojoj ucestvuju iskazna slova p1, p2, ..., pn.

Neka je B formula dobijena iz formule A zamjenom iskaznih

slova redom formulama A1, A2, ..., An. Tada je i B tautologija.

Dokaz : Neka je formula A tautologija u kojoj ucestvuju iskazna

slova p1, p2, ..., pn (A(p1, p2, ..., pn)). Za proizvoljnu interpretaciju for-

mule A je tada τ (A) = ⊤.

Neka su sada A1, A2, ..., An proizvoljne formule i neka je za svako

i ∈ {1, 2, ..., n} τ (Ai) = ai (ai ∈ {⊤,⊥}). Neka je formula B dobijena

zamjenom iskaznih slova koja ucestvuju u formuli A, formulama

A1, A2, ..., An. Sada imamo

τ (B) = A(a1, a2, ..., an) = ⊤ ,

jer je A tautologija. Kako je izbor formula Ai (i ∈ {1, 2, ..., n}) proizvo-

ljan, zakljucujemo da je i B tautologija. ♣

Primjer 1.17. Vidjeli smo da je formula (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) ta-

utologija (zakon kontrapozicije). Ako sada umjesto iskaznog slova p

stavimo formulu A, a umjesto iskaznog slova q stavimo formulu ¬B,

dobijamo novu iskaznu formulu

(A ⇒ ¬B) ⇔ (B ⇒ ¬A) ,

koja je prema gornjem tvrdenju tautologija.

Ako u formuli p ∧ q ⇒ p (tautologija - zakon pojednostavljenja),

umjesto iskaza q stavimo iskaz ¬p, dobijamo iskaznu formulu

p ∧ ¬p ⇒ p .

Nova iskazna formula je prema recenom opet tautologija koja se

zbog cinjenice da je τ (p ∧ ¬p) = ⊥, svodi na formulu ⊥ ⇒ p, a koju

sada mozemo tumaciti kao ”iz laznog proizvoljno”.

Slicno, formulu

¬A ⇒ (A ⇒ (B ∧ ¬B))

smo dobili iz tautologije ¬p ⇒ (p ⇒ q), zamjenom iskaznih slova p i q

redom formulama A i B ∧ ¬B. ♦

1.4. Osobine tautologija

28

Teorem 1.4.1 je veoma vazan, bez obzira sto na prvi pogled pred-

stavlja jednostavno tvrdenje. Naime, ovaj teorem nam govori da pro-

izvoljna tautologija nosi u sebi zapis bezbroj tautologija, tj. svaka

tautologija predstavlja u stvari familiju tautologija po principu za-

mjene iskaznih slova proizvoljnim formulama.

Za utvrdivanje da li je neka iskazna formula tautologija osim

istinitosnih tablica mogu nam posluziti neke osobine tautologija,

koje ovdje navodimo kao tvrdenja.

Teorem 1.4.2

Ako su formule A i A ⇒ B tautologije, tada je i formula B tauto-

logija.

Dokaz : Neka su formule A i A ⇒ B tautologije. Pretpostavimo da

formula B nije tautologija. Tada postoji interpretacija formule B

takva da je τ (B) = ⊥. Zbog cinjenice da je A tautologija tada bi

imaliτ (A ⇒ B) = τ (A) ⇒ τ (B)

= ⊤ ⇒ ⊥= ⊥ ,

sto bi opet znacilo da formula A ⇒ B nije tautologija, a to je u

suprotnosti sa pretpostavkom.

Dakle, formula B mora biti tautologija. ♣

Primjer 1.18. Kako je p ⇒ ⊤ tautologija, a takode i formula (p ⇒⊤) ⇒ (⊥ ⇒ ¬p), to je i formula ⊥ ⇒ ¬p (a zbog proizvoljnosti iskaza

p mozemo ovu formulu posmatrati kao ⊥ ⇒ q) tautologija. ♦

Oznakom |= F , krace izrazavamo cinjenicu da je formula F ta-

utologija.

Teorem 1.4.3

Neka su A i B proizvoljne iskazne formule. Ako je |= A ⇔ B i

|= A, onda je i |= B.

Dokaz : Neka su A i B proizvoljne iskazne formule, takve da su A i

A ⇔ B tautologije. Posmatramo li proizvoljnu interpretaciju, u njoj

je onda τ (A) = ⊤ i τ (A ⇔ B) = ⊤. Kako je

τ (A ⇔ B) = τ (A) ⇔ τ (B) ,

to ce u posmatranoj interpretaciji biti

⊤ ⇔ τ (B) = ⊤ ,

29


iz cega zakljucujemo da u toj interpretaciji mora biti τ (B) = ⊤.

Kako je posmatrana interpretacija bila proizvoljna, onda je formula

B tacna u svim interpretacijama, tj. formula B je tautologija. ♣

Naredne dvije osobine se dokazuju na slican nacin i ostavljene su

citaocu za vjezbu.

Teorem 1.4.4

Neka su A i B proizvoljne iskazne formule. Tada vrijedi: |= A∧B

ako i samo ako je istovremeno |= A i |= B.

Teorem 1.4.5

Neka su A, B i C proizvoljne iskazne formule. Tada su tacna

tvrdenja:

1. |= A ⇔ A.

2. Ako je |= A ⇔ B i |= B ⇔ C onda je |= A ⇔ C.

Ovdje treba napomenuti da izrazi u kojima se pojavljuje znak

”|=”, nisu formule iskazne algebre, tj znak ”|=” ne pripada alfabetu

algebre iskaza, ali smo ga uveli sazetijeg zapisa radi.

Zadaci 1.4. :

1. Ispitati da li je formula p ⇒ q ∧ ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p tautologija

(a) istinitosnom tablicom.

(b) koristeci Teorem 1.4.2.

2. U formuli p ⇒ (q ⇒ p) izvrsiti zamjenu slova p formulom r ∧ s

i slova q formulom r ∨ s. Ispitati da li je novodobijena formula

tautologija,

(a) istinitosnom tablicom.

(b) koristeci Teorem 1.4.1.

3. Neka formula FA u sebi sadrzi formulu A kao svoj dio (podfor-

mula) i neka je FB formula dobijena iz formule FA zamjenom

formule A formulom B. Dokazati:

(a) |= A ⇔ B onda |= FA ⇔ FB.

(b) |= FA i |= A ⇔ B, tada je |= FB.

1.5. Testovi istinitosti

30

4. Neka se u formuli F pojavljuju iskazna slova p1, p2, ..., pn, sa ili

bez negacije, u kojoj figurisu samo operacije ∧ i ∨. Neka je for-

mula F ∗ dobijena iz formule F uzajamnom zamjenom znaka ∧znakom ∨ i zamjenom svakog iskaznog slova njegovom negaci-

jom. Dokazati da tada vrijedi

|= ¬F ⇔ F ∗ .

5. Neka su F1 i F2 formule opisane u prethodnom primjeru i F ∗

1

i F ∗

2iz njih dobijene formule na nacin opisan u prethodnom

primjeru. Dokazati:

(a) Ako |= ¬F1, onda |= F ∗

1.

(b) Ako |= F1, onda |= ¬F ∗

1.

(c) Ako |= F1 ⇔ F2, onda |= F ∗

1⇔ F ∗

2.

(d) Ako |= F1 ⇒ F2, onda |= F ∗

1⇒ F ∗

2.

1.5 Testovi istinitosti

Od svih formula izdvojili smo po vaznosti formule koje su tautolo-

gije. Medutim i neke druge formule imaju svoju vaznost i vrijednost.

Definicija 1.5.1

Iskazne formule koje su u svakoj interpretaciji netacne, nazi-

vaju se kontradikcije ili antitautologije.

Kao prost primjer antitautologije mozemo posmatrati formulu p∧¬p.Gledano tablicama istinitosti, antitautologije u posljednjoj koloni

(istinitost kompletne formule) sadrze samo znak ⊥.

Definicija 1.5.2

Za iskaznu formulu kazemo da je ispunjiva ako postoji interpre-

tacija u kojoj je ona tacna.

Npr. formula (p ∨ q) ⇒ q, je za vrijednosti τ (p) = ⊥, τ (q) = ⊤ tacna,

dakle ispunjiva. U tablici istinitosti ispunjiva formula u posljednjoj

koloni ima bar jedan znak ⊤.

31


Definicija 1.5.3

Za formulu kazemo da je oboriva ako postoji interpretacija u

kojoj je ona netacna.

Ista gornja formula (p ∨ q) ⇒ q je za τ (p) = ⊤ i τ (q) = ⊥ netacna,

dakle oboriva. U posljednjoj koloni tablice istinitosti oborive formule

postoji bar jedan znak ⊥.

Sa gornje tri vrste formula i ranije uvedenim tautologijama, defi-

nisane su sve vrste iskaznih formula prema mogucnostima njihovih

istinitosnih vrijednosti. Pri tome za ovako gore uvedene formule

vrijede sljedece veze.

Teorem 1.5.1

Formula A je kontradikcija ako i samo ako je formula ¬A tauto-

logija.

Dokaz : Neka je formula A kontradikcija. To znaci da je u proizvolj-

noj interpretaciji τ (A) = ⊥. Ali tada ce u toj istoj interpretaciji biti

τ (¬A) = ⊤, tj. u proizvoljnoj interpretaciji je formula ¬A tacna,

odnosno tautologija.

Neka je sada formula ¬A tautologija. Za proizvoljnu interpre-

taciju je onda τ (¬A) = ⊤, a kako je τ (¬A) = ¬τ (A), zakljucujemo

da je u proizvoljnoj interpretaciji τ (A) = ⊥. Dakle, formula A je

kontradikcija. ♣

Dokaze sljedeca dva tvrdenja ostavljamo za vjezbu.

Teorem 1.5.2

Formula A je ispunjiva ako i samo ako formula ¬A nije tautolo-

gija.

Teorem 1.5.3

Formula A je oboriva ako i samo ako formula A nije tautologija.

Gornjim teoremama nam je dat princip za ispitivanje da li je neka

formula ispunjiva, oboriva ili kontradikcija, tj. princip koji se svodi

uvijek na ispitivanje da li je neka formula tautologija ili ne. Pri tome

se mozemo koristiti nacinom koga smo upoznali ranije, istinitosnim

ili semantickim tablicama. Nedostatak tih tablica je u tome da mi


32

u njima ispitujemo istinitosnu vrijednost formule u svim mogucim

interpretacijama. Pri tome, ako formula ima n iskaznih slova, tada

istinitosna tablica ima 2n vrsta. Jasno je da je taj metod jako ne-

praktican vec za malo vece n-ove. Istinitosne tablice su jedna ”bru-

talna” metoda ispitivanja neke formule. Pored toga, iz istinitosne

tablice se ne moze lahko zakljuciti zasto je neka formula ispunjiva,

oboriva ili kontradikcija.

Pored istinitosnih tablica kao nacina utvrdivanja da li neka for-

mula jeste ili nije tautologija, koristimo i neke direktnije nacine.

Naprimjer, ako treba ispitati da li neka formula oblika A ⇒ B jeste

tautologija, pretpostavimo suprotno i pokusamo naci interpretaciju

u kojoj bi bilo τ (A) = ⊤ i τ (B) = ⊥. Ako je ova kombinacija ne-

moguca, data formula jeste tautologija.

Primjer 1.19. Ispitati da li je formula ¬p ⇒ (p ⇒ q) tautologija.

Pretpostavimo da data formula nije tautologija, tj. da postoji inter-

pretacija u kojoj je ona netacna:

τ (¬p ⇒ (p ⇒ q)) = ⊥ .

Kako je ona tipa implikacije, ovo ce se dogoditi ako je u datoj inter-

pretaciji τ (¬p) = ⊤ i τ (p ⇒ q) = ⊥.

Ovo opet znaci da mora biti τ (p) = ⊥ (iz prve jednakosti), ali to

onda nije u saglasnosti sa drugom jednakoscu. Zaista, tada iz

τ (p ⇒ q) = ⊥ bi moralo biti τ (p) = ⊤ i τ (q) = ⊥, a kako govo-

rimo o jednoj interpretaciji, istinitosna vrijednost iskaza p mora biti

jedinstvena.

Dakle, pretpostavka o netacnosti formule u ovoj interpretaciji ot-

pada. Zbog proizvoljnosti posmatrane interpretacije zakljucujemo

da ne postoji interpretacija u kojoj bi data formula bila netacna, te

je onda posmatrana formula tautologija. ♦

Testovi koji ne ispituju istinitost formule za svaku interpretaciju,

vec se trazi samo jedna za koju ce formula imati neku osobinu, na-

zivaju se ciljani testovi. Tako, ako zelimo ispitati da li je neka for-

mula ispunjiva, trazimo bar jednu interpretaciju u kojoj je formula

tacna. Ako pak zelimo ispitati da li neka formula B logicki slijedi iz

formule A, dovoljno je traziti interpetaciju tih formula u kojima ce

biti τ (A) = ⊤ i τ (B) = ⊥. Ako takva interpretacija ne postoji, za-

kljucujemo da je A ⇒ B tautologija, a ako postoji onda B ne slijedi

logicki iz formule A.

Jedan od primjera ciljanog testa je tzv. glavni test (u literaturi

se naziva i glavno stablo ili semanticki tableux) cije cemo principe i

pravila izloziti sada.

Za zadatu formulu F , polazimo od pitanja da li postoji interpre-

tacija u kojoj je formula netacna. Dakle, ispitivanje pocinjemo sa

33


redom (zahtjevom):

F ⊥ .

Sada primjenom odredenih pravila, s obzirom na trenutno ”glavnu”

logicku operaciju, razgradujemo (granamo) datu formulu. Pravila

koja koristimo za grananje data su u Tabeli 1.5.

¬¬A ⊥A ⊤

¬A ⊤A ⊥

∧ A ∧B ⊥

A ⊥ B ⊥

A ∧B ⊤A ⊤B ⊤

∨ A ∨B ⊥A ⊥B ⊥

A ∨B ⊤

A ⊤ B ⊤

⇒A ⇒ B ⊥A ⊤B ⊥

A ⇒ B ⊤

A ⊥ B ⊤

⇔A ⇔ B ⊥

A ⊤ A ⊥B ⊥ B ⊤

A ⇔ B ⊤

A ⊤ A ⊥B ⊤ B ⊥

Tablica 1.5: Pravila grananja glavnog testa

Zaokruzivanjem konstante (npr. ⊤ ) naglasavamo zahtjev na datu

formulu, a on se ostvaruje navodenjem uslova ispod formule. Pri

tome npr. zapis

A ∨B ⊥A ⊥B ⊥

citamo: A ∨B ce biti ⊥ ako je i A ⊥ i B ⊥, a zapis

A ⇒ B ⊤

A ⊥ B ⊤


34

citamo: A ⇒ B je ⊤ ako je A ⊥ ili B ⊤.

Ukoliko se na nekoj grani pojave istovremeno zahtjevi da je neka

formula i tacna i netacna, npr. A ⊥ i A ⊤ (najcesce su to zahtjevi na

iskazna slova), na kraj te grane stavljamo znak ”#”, naglasavajuci

time da su uslovi na egzistenciju te interpretacije kontradiktorni.

Ako se sve grane zavrsavaju znakom ”#”, zakljucujemo da interpre-

tacija za koju trazimo polazni zahtjev na formulu F ne postoji. Ako

se neka grana ne zavrsava simbolom ”#”, onda iz te grane ocitavamo

trazenu interpretaciju za koju je polazni istinitosni uslov zadovoljen.

Ukoliko je polazni uslov F ⊥ , a sve grane se zavrsavaju sa

”#”, zakljucujemo da je polazna formula tautologija. Ukoliko postoji

grana koja nije kontradiktorna, onda je formula F oboriva. Ako se

niti jedna grana ne zavrsava sa ”#”, znaci da je formula F antita-

utologija.

Naravno, ukoliko je polazni zahtjev suprotan, F ⊤ , i rezonova-

nje o kontradiktornim granama ce biti drugacije. Ako su sve grane

kontradiktorne formula je antitautologija, ako je bar jedna grana

nekontradiktorna formula je ispunjiva i ako niti jedna grana nije

kontradiktorna formula je tautologija.

Primjer 1.20. Pomocu glavnog testa ispitati da li je formula tautolo-

gija. F : ¬(p ∧ ¬q) ⇒ (¬p ∨ q) ,

F ⊥

¬(p ∧ ¬q) ⊤

¬p ∨ q ⊥

p ∧ ¬q ⊥

¬p ⊥

q ⊥

p ⊤

p ⊥ ¬q ⊥

# q ⊤

#

Kako su obje (sve) grane kontradiktorne, formula F je tautologija.

♦

35


Zadaci 1.5. :

1. Koristeci glavni test ispitati da li je formula

(p ⇒ (p ⇒ q)) ⇒ (p ⇒ q) ,

tautologija.


(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ∧ (¬p ∧ r) ,

dokaziva.


(p ⇒ q) ∧ (¬q ∨ r) ∧ ¬(¬p ∨ r) ,

oboriva.

4. Pronaci bar jednu formulu A tako da formula

((A ∧ p) ⇒ ¬q) ⇒ ((q ⇒ ¬p) ⇒ A) ,

bude tautologija.

5. Za iskaznu formulu kazemo da je pozitivna ako je ona iskazno

slovo ili ako u njoj ucestvuju samo logicki veznici ∧ ili ∨. Doka-

zati da ni jedna pozitivna iskazna formula nije ni tautologija,

ni antitautologija!

6. Nakon vjencanja mladozenja rece mladoj:”Mila moja, dobro

cemo se slagati ako s obzirom na ruckove ispunis sljedeca tri

uslova:

1. Ako na sto ne doneses hljeb, moras donijeti salatu.

2. Ako doneses hljeb i salatu, ne smijes donijeti jogurt.

3. Ako doneses jogurt ili (ukljucno ili) ne doneses hljeb, onda

ne smijes donijeti salatu.”

Da li ce ovaj brak potrajati? Ako hoce, kako ce to mlada ostva-

riti?

1.6. Hipoteze i posljedice

36

1.6 Hipoteze i posljedice

U osnovi vecine dokazivanja u bilo kojoj nauci je da se na osnovu ne-

kih pravila, a posebno logickih pravila, na osnovu poznatih tvrdenja

(iskaza), koje nazivamo premise ili pretpostavke, izvode zakljucci. U

iskaznoj logici taj proces izvodenja se precizno definise.

Definicija 1.6.1

Neka su A1, A2, ..., An i B iskazne formule. Za formulu B kazemo

da je semanticka posljedica skupa formula A1, A2, ..., An ukoliko

vazi, da kad god su u nekoj interpretaciji tacne svaka od formula

A1, A2, ..., An, onda je tacna i formula B.

Ovu cinjenicu cemo obiljezavati simbolicki sa

A1, A2, ..., An |= B ,

ili specijalno ako je B semanticka posljedica samo jedne formule A,

to zapisujemo A |= B.

U tom slucaju formule A1, A2, ..., An nazivamo hipotezama ili pretpos-

tavkama, tj. kazemo da je formula B semanticka posljedica skupa

hipoteza A1, A2, ..., An.

Napomenimo ovdje da u izrazu ”semanticka posljedica” treba

istaci rijec ”semanticka”, jer pored ove vrste posljedica imamo i tzv.

”sintaksne posljedice”. Kod semanticke posljedice je bit u tome da

kada se formula B izvodi kao posljedica skupa hipoteza, vodimo

racuna o istinitosti svih formula tog skupa. Kod sintaksne poslje-

dice ne zanima nas istinitost hipoteza vec samo da li se prilikom

izvodenja koriste dozvoljena pravila izvodenja.

Primjer 1.21. Posmatrajmo sljedece iskaze:

p : f neprekidna na [a, b] (f ∈ C[a, b]).q : f diferencijabilna na (a, b) (f ∈ C1(a, b)).r : f(a) = f(b).s : Postoji c ∈ (a, b), takav da je f ′(c) = 0.

Kad god su iskazi p, q i r tacni, tacan je i iskaz s, sto na osnovu

gornje notacije zapisujemo sa

p , q , r |= s .

Upravo iskazana cinjenica je poznati Rolleov teorem iz diferencijal-

nog racuna funkcije realne varijable. ♦

Primjer 1.22. p ∨ q , p ⇒ r |= q ∨ r .

Da je formula q ∨ r semanticka posljedica formula p ∨ q i p ⇒ r

vidimo iz sljedece tabele:

37


p q r p ∨ q p ⇒ r (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) q ∨ r

⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *

⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *

⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *

⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ *

⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥

Kao sto se vidi iz tablice, kada su formule p ∨ q i p ⇒ r tacne,

tacna je i formula q ∨ r (zvjezdicom sa strane su naglasene vrste u

kojima se to dogada). ♦

Primjetimo da ce tacnost hipoteza biti zadovoljena ako su obje

formule istovremeno tacne, odnosno ako je njihova konjukcija (p ∨q) ∧ (p ⇒ r) tacna. Dakle vrijedi:

p ∨ q , p ⇒ r |= q ∨ r

ako i samo ako vrijedi

(p ∨ q) ∧ p ⇒ r |= q ∨ r .

Ovu cinjenicu iskazujemo u obliku tvrdnje:

Teorem 1.6.1

A1, A2, ..., An |= B ako i samo ako A1 ∧A2 ∧ ... ∧An |= B.

Dokaz : Tacnost svih formula A1, A2, ..., An u nekoj interpretaciji, ek-

vivalentna je tacnosti konjukcije tih formula A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An u toj

istoj interpretaciji (na osnovu definicije konjukcije). Sada na osnovu

definicije semanticke posljedice, tacnost tvrdnje slijedi neposredno.

♣

Ispitivati da li je neka formula semanticka posljedica jedne for-

mule, mozemo svesti na ispitivanje tautologije. O tome govori na-

redno tvrdenje.

Teorem 1.6.2

A |= B ako i samo ako |= A ⇒ B.

Dokaz : Pretpostavimo da je B semanticka posljedica formule A. Po-

smatramo li proizvoljnu interpretaciju, ako je τ (A ⇒ B) = ⊥, to


38

onda znaci da mora biti τ (A) = ⊤ i τ (B) = ⊥. Medutim, ovo nije

moguce jer smo pretpostavili A |= B, tj. kad god je formula A tacna

takva je i formula B. Dakle, u proizvoljnoj interpretaciji mora vrije-

diti τ (A ⇒ B) = ⊤, odnosno mora vrijediti |= A ⇒ B.

Obratno, neka je |= A ⇒ B i neka je u nekoj interpretaciji τ (A) =⊤. Ukoliko bi u toj interpretaciji bilo τ (B) = ⊥, to bi bilo u suprot-

nosti sa polaznom pretpostavkom. Dakle mora biti τ (B) = ⊤ (u istoj

interpretaciji u kojoj je τ (A) = ⊤), pa dakle vrijedi A |= B. ♣

Primjer 1.23. Ispitajmo da li vrijedi p ∧ q |= p.

Kako je p∧q ⇒ p tautologija (zakon pojednostavljenja), prema gornjoj

tvrdnji je p semanticka posljedica formule p ∧ q. ♦

Opstija tvrdnja od tvrdnje izrecene u gornjoj teoremi data je na-

rednim tvrdenjem.

Teorem 1.6.3

Neka je n > 1 prirodan broj. Tada vrijedi,

A1, A2, ..., An−1, An |= B ako i samo ako A1, A2, ..., An−1 |= An ⇒ B .

Ovo tvrdenje koristimo cesto u matematickim dokazivanjima.

Naime, ako iz pretpostavki A1, A2, ..., An−1 izvodimo zakljucak koji

je tipa implikacije, An ⇒ B, mi tada cesto premisu An prikljucujemo

navedenim hipotezama, a onda iz pretpostavki A1, ..., An−1, An doka-

zujemo tvrdnju B.

Primjer 1.24. Neka je numericki niz monotono rastuci. Ako je dati

niz ogranicen onda je on konvergentan.

Gornje tvrdenje jednostavnije iskazujemo sa: ako je numericki niz

monotono rastuci i ogranicen, onda je on konvergentan. ♦

Definicija 1.6.2

Za skup formula {A1, A2, ..., An} kazemo da je neprotivrijecan

ako postoji interpretacija u kojoj je svaka od navedenih formula

tacna.

Za skup formula kazemo da je protivrijecan ili kontradikto-

ran ako niti u jednoj interpretaciji sve formule tog skupa nisu

istovremeno tacne, tj. u svakoj interpretaciji bar jedna od for-

mula nije tacna.

Za ispitivanje neprotivrijecnosti skupa formula koristimo se na-

rednom tvrdnjom.

39


Teorem 1.6.4

Skup formula {A1, A2, ..., An} je neprotivrijecan ako i samo ako

je formula A1 ∧A2 ∧ · · · ∧An ispunjiva.

Primjer 1.25. Ispitati da li su iskazne formule p ∧ q, p ∨ ¬q i p ⇒ q

neprotivrijecne.

Formirajmo formulu F : (p∧ q)∧ (p∨¬q)∧ (p ⇒ q) i njenu istinitosnu

tablicu.

p q ¬q p ∧ q p ∨ ¬q p ⇒ q F

⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤

⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥

⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥

⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥

Kako u posljednjoj koloni istinitosne tablice imamo bar jedno

⊤, to je formula F ispunjiva. Dakle, postoji interpretacija, τ (p) =⊤ i τ (q) = ⊤, u kojoj je svaka od formula tacna, te su formule

neprotivrijecne. ♦

Teorem 1.6.5

Neka je formula B semanticka posljedica formula A1, A2, ..., An.

Ako je formula B kontradikcija onda su formule A1, A2, ..., An

protivrijecne.

Dokaz : Neka je formula B kontradikcija i neka je A1, A2, ..., An |= B.

Na osnovu Teoreme 1.6.1 je tada

A1 ∧A2 ∧ ... ∧An |= B ,

a onda je opet na osnovu Teorema 1.6.2

|= A1 ∧A2 ∧ ... ∧An ⇒ B .

Kako je u proizvoljnoj interpretaciji τ (B) = ⊥ (B je kontradikcija), da

bi navedena implikacija bila tautologija mora konjukcija A1∧A2∧...∧An biti netacna u proizvoljnoj interpretaciji, a to znaci da bar jedna

formula u datoj konjukciji mora biti netacna, sto prema Definiciji

1.6.2 znaci da je skup formula {A1, ..., An} protivrijecan. ♣

Jasno je da u gornjem tvrdenju vrijedi i obrat, tj. da iz proti-

vrijecnog skupa formula mozemo izvesti bilo kakav zakljucak, pa i

kontradikciju.


40

Teorem 1.6.6

Ako se neka kontradikcija moze izvesti kao posljedica iz for-

mula A1, A2, ..., An i ¬B, onda je formula B posljedica formula

A1, A2, .., An.

Na ovoj tvrdnji se bazira poznati metod indirektnog dokazivanja.

Dokaz gornje tvrdnje ostavljamo citaocu za vjezbu.

Zadaci 1.6. :

1. Prevesti na logiku iskaza: Brad Pit je Angelina Jolie jer svi vole

Brad Pita, a Brad voli jedino Angelinu.

Sta su hipoteze, a sta je posljedica u gornjoj tvrdnji.

2. Sta su hipoteze, a sta posljedice u iskazu: ”Ko ne ljubi, nije

upoznao Boga, jer je Bog ljubav”. (Prva Ivanova poslanica 4:8)

3. Sta su hipoteze, a sta posljedice u iskazu: ”Neke sijamske

macke nisu macke jer su neki sisavci macke, a sve su sijamske

macke sisavci”.

4. (a) Prevesti na jezik logike iskaza recenicu: ”Volvo nije osigu-

rano auto”.

(b) Ispitati istinitost implikacije ako je hipoteza ”Volvo nije

osigurano auto”, a posljedica ”Ako je Volvo auto, onda on

nije osiguran”.

5. Koristeci Teorem 1.6.1 obrazloziti tvrdnju

¬p ∨ q , ¬q ∨ r |= p ⇒ r .

6. Koristeci Teorem 1.6.3 ispitati tacnost tvrdnje:

¬(p ⇒ q) , p |= p .

7. Neka su A, B, C i F proizvoljne iskazne formule. Dokazati

ekvivalentnost tvrdnji:

(a) A,B,C |= F ,

(b) formula A ∧B ∧ C ∧ ¬F je antitautologija,

(c) formula (A ∧B ∧ C) ⇒ F je tautologija,

(d) formula A ⇒ (B ⇒ (C ⇒ F )) je tautologija.

41


8. Neka su F1, F2, ..., Fn i A iskazne formule. Dokazati da su sljedece

tvrdnje ekvivalentne:

(a) F1, F2, ..., Fn |= A,

(b) formula F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn ∧ ¬A je antitautologija,

(c) formula F1 ∧ F2 ∧ · · · ∧ Fn ⇒ A je tautologija,

(d) formula F1 ⇒ (F2 ⇒ (· · · (Fn ⇒ A) . . .)) je tautologija.

9. U jednoj skoli pocinju turniri u fudbalu, kosarci i odbojci. Raz-

govaraju cetiri ucenika jednog razreda:

Ado: ”Ako ne pobjedimo u kosarci, pobjedit cemo u fudbalu i

obojci.”

Dado: ”Pobjedit cemo u bar jednom od ova tri sporta.”

Rado: ”Ako pobjedimo u odbojci, necemo pobjediti u fudbalu.”

Vlado: ”Ako Dado nije u pravu, onda je bar jedan od Ade i Rade

u parvu.”

Da li su izjave ovih djecaka protivrijecne?

1.7 Normalne forme

Definicija 1.7.1

Za dvije formule A i B kazemo da su logicki ekvivalentne i

pisemo A ≡ B, ako je svaka od njih semanticka posljedica druge.

A ≡ Bdef⇐⇒ A |= B ∧B |= A .

Nije tesko provjeriti da vrijedi sljedece korisno tvrdenje.

Teorem 1.7.1

Formule A i B su logicki ekvivalentne ako i samo ako je formula

A ⇔ B tautologija, tj.

A ≡ B ⇔ |= A ⇔ B .

Dokaz : Neka je A ≡ B. Prema definiciji logicke ekvivalentnosti for-

mula to znaci A |= B i B |= A. Ovo opet prema Teoremi 1.6.2 znaci

da je |= A ⇒ B i |= B ⇒ A. Sada na osnovu zakona ekvivalen-

cije A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) i Teorema 1.4.4 zakljucujemo da

formula A ⇔ B tautologija, tojest |= A ⇔ B.

1.7. Normalne forme

42

Neka je |= A ⇔ B. Na osnovu zakona ekvivalencije A ⇔ B ≡ (A ⇒B) ∧ (B ⇒ A) onda je |= (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A), primjenom Teorema

1.4.4 zakljucujemo |= A ⇒ B i |= B ⇒ A. Na osnovu Teorema 1.6.2

posljednje znaci da vrijedi A |= B i B |= A, a prema Definiciji 1.7.1

to je A ≡ B. ♣

Primjeri nekih korisnih logickih ekvivalencija su:

1. Komutativni zakoni

• A ∧B ≡ B ∧A

• A ∨B ≡ B ∨A

• A ⇔ B ≡ B ⇔ A

Jasno je da ne vrijedi A ⇒ B ≡ B ⇒ A!

2. Asocijativni zakoni:

• A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧B) ∧ C

• A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨B) ∨ C

• A ⇔ (B ⇔ C) ≡ (A ⇔ B) ⇔ C

Primjetimo da asocijativnost ne vrijedi za implikaciju, tj. ne

vrijedi A ⇒ (B ⇒ C) ≡ (A ⇒ B) ⇒ C.

3. Distributivni zakoni:

• A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨B) ∧ (A ∨ C)

• A ⇒ (B ∧ C) ≡ (A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C)

• (A ∨B) ⇒ C ≡ (A ⇒ C) ∨ (B ⇒ C)

4. Zakoni negacije:

• ¬¬A ≡ A

• ¬(A ∧B) ≡ ¬A ∨ ¬B

• ¬(A ∨B) ≡ ¬A ∧ ¬B

• ¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ ¬B

• ¬(A ⇔ B) ≡ (¬A) ⇔ B

• ¬(A ⇔ B) ≡ A ⇔ (¬B)

5. Zakoni implikacije i ekvivalencije:

• A ⇒ B ≡ ¬(A ∧ ¬B)

• A ⇒ B ≡ (¬A) ∨B

43


• A ⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A

• A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

• A ⇔ B ≡ ¬A ⇔ ¬B

U daljem sto slijedi pokazat cemo da se svaka formula logike

iskaza moze prevesti u njoj logicki ekvivalentnu formulu, koja ce

unaprijed biti zadata u jednoj od dvije forme, konjuktivnoj ili di-

sjunktivnoj formi. Za razna proucavanja odredene formule poka-

zuje se korisnim imati njoj logicki ekvivalentnu formulu, ali koja je

u odredenom smislu jednostavnije forme od polazne formule. U tom

cilju uvedimo nekoliko novih pojmova.

Definicija 1.7.2

Neka su A1, A2, ..., An proizvoljne formule.

Formulu oblika A1 ∧A2 ∧ ... ∧An nazivamo konjukcija.

Formulu oblika A1 ∨A2 ∨ ... ∨An nazivamo disjunkcija.

Primjer 1.26. Primjeri konjukcija su formule

p , A , (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ∨ r) , (¬p ∨ p) ∧ (q ∨ ¬q) .

Neki primjeri disjunkcija su

p , A , p ∨ q , (p ∧ q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (p ⇒ r) , ¬p1 ∨ p2 ∨ ¬(p3 ∧ p4) .

♦

Definicija 1.7.3

Konjukciju u kojoj ucestvuju samo iskazna slova ili njihove ne-

gacije nazivamo elementarna konjukcija.

Disjunkciju u kojoj ucestvuju samo iskazna slova ili njihove ne-

gacije nazivamo elementarna disjunkcija.

Primjer 1.27. Primjer elementarne konjukcije je formula

p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s .

Primjer elementarne disjunkcije je formula

p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ s .

♦

1.7. Normalne forme

44

Definicija 1.7.4

Konjukciju elementarnih disjunkcija nazivamo konjuktivna

normalna forma (KNF).

Disjunkciju elementarnih konjukcija nazivamo disjunktivna

normalna forma (DNF).

Primjer 1.28. Formula

(p1 ∧ ¬p2 ∧ p3) ∨ (¬p1 ∧ p2 ∧ p4) ∨ (¬p3 ∧ p5 ∧ p6 ∧ ¬p7)

je disjunktivna normalna forma, a formula

(p1 ∨ ¬p2) ∧ (p1 ∨ p2 ∨ p3) ∧ (p2 ∨ ¬p4 ∨ p5)

je konjuktivna normalna forma. ♦

Mi cemo ovdje posmatrati dva nacina pretvaranja proizvoljne for-

mule u konjuktivnu ili disjunktivnu normalnu formu.

Prvi je koristenje poznatih logickih ekvivalencija. Naprimjer, po-

smatrajmo formulu F : (p ⇒ q) ⇒ r. Sada primjenjujuci logicke

ekvivalencije imamo

(p ⇒ q) ⇒ r ≡ ¬(p ⇒ q) ∨ r (A ⇒ B ≡ ¬A ∨B)≡ ¬(¬p ∨ q) ∨ r (A ⇒ B ≡ ¬A ∨B)≡ ¬¬(p ∧ ¬q) ∨ r (¬(A ∧B) ≡ ¬A ∨ ¬B)≡ (p ∧ ¬q) ∨ r (¬¬A ≡ A)

i ovo je disjunktivna normalna forma formule F (sa strane navodimo

logicke ekvivalencije koje koristimo u svakom koraku prevodenja).

Drugi nacin je koristenjem istinitosnih tablica. Za istu formulu

F , istinitosna tablica je data sa

p q r p ⇒ q (p ⇒ q) ⇒ r

⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ p ∧ q ∧ r

⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ p ∧ ¬q ∧ r

⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ¬p ∧ q ∧ r

⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ p ∧ ¬q ∧ ¬r⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ¬p ∧ ¬q ∧ r

⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥

Svaki red gornje tablice se dobije za razlicitu interpretaciju. Uko-

liko sada zelimo napraviti disjunktivnu normalnu formu polazne

45


formule, posmatrajmo redove u kojima je u posljednjoj koloni ⊤.

To su 1., 3., 4., 5. i 7. red. Prvom redu odgovara interpreta-

cija τ (p) = τ (q) = τ (r) = ⊤ i ona odreduje elementarnu konjukciju

(p ∧ q ∧ r). Trecem redu odgovara interpretacija τ (p) = ⊤, τ (q) = ⊥ i

τ (r) = ⊤, a to odgovara elementarnoj konjukciji (p ∧ ¬q ∧ r). Cetvrti

red odgovara interpretaciji τ (p) = ⊥, τ (q) = ⊤ i τ (r) = ⊤, odnosno

to odgovara elementarnoj konjukciji (¬p ∧ q ∧ r). Peti red daje ko-

njukciju (p ∧ ¬q ∧ ¬r), a sedmi (¬p ∧ ¬q ∧ r).Dobijene elementarne konjukcije definisu disjunktivnu normalnu

formu

(p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ,

za koju sada tvrdimo da je logicki ekvivalentna polaznoj formuli F .

Zaista, neka je nasa formula F tacna u nekoj interpretaciji (to se

dogada u nekoj od vrsta 1.,3.,4.,5. ili 7.). Za tu interpretaciju je od-

govarajuca elementarna konjukcija tacna (jer je svako samostalno

pojavljivanje iskaznog slova u elementarnoj konjukciji tacno, a ako

se iskazno slovo pojavljuje sa negacijom to je opet tacno jer smo

negirali upravo netacne iskaze u datoj interpretaciji), pa je onda i

citava DNF tacna (disjunkcija je tacna ako je tacan bar jedan iskaz).

Obrnuto, ako je dobijena DNF tacna u nekoj interpretaciji, to znaci

da je bar (tacno) jedna elementarna konjukcija tacna, a tacnost te

elementarne konjukcije daje tacnost i formule F u toj interpretaciji

jer smo elementarne konjukcije i konstruisali na osnovu posljednje

kolone tablice istinitosti, gdje su bili znakovi ⊤.

Da bi objasnili postupak dobivanja disjunktivne normalne forme

iz istinitosne tablice, uocimo da smo u tablici trazili redove sa ⊤ u

posljednjoj koloni, a zatim smo negirali iskazna slova koja su u toj

interpretaciji ⊥.

Analogno, da smo trazili konjuktivnu normalnu formu polazne

formule, u tablici bi uocavali redove u kojima je u posljednjoj koloni

⊥, a zatim bi smo negirali iskazna slova koja su u toj interpreta-

ciji ⊤. Za gornju formulu (p ⇒ q) ⇒ r odgovarajuca konjuktivna

normalna forma je data sa,

(¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r) ,

a njihova logicka ekvivalentnost je ocigledna zbog nacina kostruisa-

nja KNF.

Iako to nije bilo jasno da li mozemo uvijek napraviti konjuk-

tivnu ili disjunktivnu normalnu formu, sada cemo to iskazati kao

tvrdenje.

1.7. Normalne forme

46

Teorem 1.7.2

Za svaku formulu logike iskaza postoji konjuktivna i disjunk-

tivna normalna forma.

Dokaz : Ovdje cemo pokazati postojanje konjuktivne normalne forme.

Dokaz za disjunktivnu normalnu formu je slican i ostavljen je citaocu

za vjezbu.

Neka je data proizvoljna formula logike iskaza. Ako je ta formula

tautologija, u njenoj tablici istinitosti posljednja kolona se sastoji

samo od znaka ⊤, te je npr. formula (p∨¬p)∧ (p∨¬p) jedna konjuk-

tivna normalna forma formule A.

Neka je formula A oboriva i neka u njoj ucestvuju iskazna slova

p1, p2, ..., pn. Oznacmo sa I1, I2, .., Im one interpretacije u kojima je

τ (A) = τ (A(Ii)) = ⊥ (i ∈ {1, 2, ...,m}). Oznacimo sa pij (i ∈ {1, 2, ...,m},j ∈ {1, 2, ..., n}) formule definisane na sljedeci nacin:

pij =

{¬pj ; τ (pj(Ii)) = ⊤pj ; τ (pj(Ii)) = ⊥

Primjetimo da je τ (pij(Ii)) = ⊥. Definisimo sada formulu F na

sljedeci nacin:

(p11 ∨ p12 ∨ ... ∨ p1n) ∧ ... ∧ (pm1 ∨ pm2 ∨ ... ∨ pmn) ,

ili krace

F ≡ ∧mi=1 ∨

nj=1 pij .

Formula F je ocigledno konjuktivna normalna forma. Treba jos

pokazati da vrijedi A ⇔ F .

Posmatrajmo proizvoljnu interpretaciju u kojoj je τ (F ) = ⊥. Kako je

F konjukcija, onda postoji i ∈ {1, 2, ...,m} takav da je

τ (pi1 ∨ pi2 ∨ ... ∨ pin) = ⊥ .

Ovo opet znaci da je u posmatranoj interpretaciji τ (pij) = ⊥ za sve

j ∈ {1, 2, ..., n}. Prema ranije recenom zakljucujemo da je u datoj

interpretaciji τ (A) = ⊥, odnosno zakljucujemo da je formula A ⇒F tautologija. Na isti nacin se pokazuje da je i formula F ⇒ A

tautologija, sto ukupno daje da vrijedi A ⇔ F . ♣

Iz do sad izlozenog moglo se naslutiti da normalne forme nisu

jedinstvene. Sta vise, za svaku formulu postoji beskonacno mnogo

konjuktivnih i disjunktivnih normalnih formi. Da bi ipak imali ne-

kakvu jedinstvenost uvedimo novi pojam.

47


Definicija 1.7.5

Neka je fomula F normalna forma u kojoj ucestvuju iskazna

slova p1, p2, ..., pn.

Formulu nazivamo savrsena konjuktivna normalna forma

(SKNF) ako u svakoj njenoj elementarnoj disjunkciji, svako is-

kazno slovo se pojavljuje tacno jednom (sa ili bez negacije), cime

su sve njene elementarne disjunkcije medusobno logicki neek-

vivalentne.

Formulu nazivamo savrsena disjunktivna normalna forma

(SDNF) ako u svakoj njenoj elementarnoj konjukciji, svako is-

kazno slovo nastupa tacno jednom (sa ili bez negacije), te su sve

elementarne konjukcije medusobno logicki neekvivalentne.

Primjer 1.29. Kao sto smo vidjeli u pokazanom primjeru, za formulu

(p ⇒ q) ⇒ r vrijedi

(p ⇒ q) ⇒ r ≡ (p ∧ ¬q) ∨ r , (1.7.1)

a takode

(p ⇒ q) ⇒ r ≡ (p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r) .(1.7.2)

Jasna je razlika izmedu ove dvije veze. One su obje disjunktivne

normalne forme iste formule, ali u (1.7.2) vidimo da se svako slovo

(p, q i r) formule pojavljuje u svakoj elementarnoj konjukciji tacno

jednom (sa ili bez negacije), sto nije slucaj sa (1.7.1), a to znaci da je

sa (1.7.2) data savrsena disjunktivna normalna forma, a sa (1.7.1)

”samo” disjunktivna normalna forma formule (p ⇒ q) ⇒ r. ♦

Sljedece tvrdenje je prakticno posljedica dokaza Teoreme 1.7.2.

Teorem 1.7.3

Za svaku oborivu formulu logike iskaza postoji savrsena ko-

njuktivna normalna forma.

Za svaku ispunjivu formulu logike iskaza postoji savrsena di-

sjunktivna normalna forma.

Ove postojece savrsene forme su jedinstvene do na permutaciju

iskazih slova u elementarnim disjunkcijama, odnosno konjuk-

cijama, te do na permutaciju samih elementarnih konjukcija,

odnosno disjunkcija.

Teorem 1.7.2 i Teorem 1.7.3 mozemo tumaciti i na nacin da se

svaka formula algebre iskaza moze zapisati koristeci samo logicke

1.7. Normalne forme

48

operacije ¬, ∧ i ∨. U sekciji 1.2 smo uveli pojam Boolove funkcije

i vidjeli smo da ih ima cetiri prvog reda i sesnaest drugog reda.

Oznacimo skup svih tih funkcija sa

BF = {f1, f2, f3, f4, g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9, g10, g11, g12, g13, g14, g15, g16} .

Skup G ⊆ BF nazivamo generator-skup skupa BF ako se sve Bo-

olove funkcije mogu izraziti preko operacija iz G. Skup B ⊆ BF je

baza Boolovih funkcija ako je B generator-skup, i niti jedan pravi

podskup od B nije generator-skup.

Kao sto smo vec primjetili, iz egzistencije DNF i KNF, skup G ={¬,∧,∨} jeste jedan generator-skup svih Boolovih funkcija, ali nije

baza jer prema De Morganovim zakonima konjukciju mozemo izra-

ziti pomocu negacije i disjunkcije ili disjunkciju zamjeniti pomocu

negacije i konjukcije. Kako se onda pokazuje, skupovi B1 = {¬,∧}i B2 = {¬,∨} jesu baze. Takode se moze pokazati da je i skup

B3 = {¬,⇒} baza. Sve tri navedene baze su dvoclane, a takvih

ima ukupno 34 i to 10 u kojima je jedna funkcija binarna, a druga

unarna, i 24 kod kojih su obje funkcije binarne. Interesantnim se

pokazuje da postoje i jednoclane baze, a takve su B = {↑} i B = {↓}i sta vise jedine su takve.

Zadaci 1.7. :

1. Odrediti konjuktivnu i disjunktivnu normalnu formu formule

(¬p ∧ (q ∨ r)) ∨ (p ∧ ¬(p ⇒ r)) ,

(a) koristeci logicke ekvivalencije.

(b) koristeci istinitosnu tablicu date formule.

2. Odrediti SDNF i SKNF za formulu

((p ⇒ q) ∧ r) ⇔ ((p ∨ q) ⇒ r) .

3. Odrediti SDNF i SKNF za formule

(a) p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q.

(b) (p ⇒ q) ⇔ (¬q ∧ p).

4. Neka je formula A oblika disjunktivne normalne forme. Ako je

A kontradikcija, dokazati da tada u svakoj njenoj elementarnoj

konjukciji postoji neko od njegovih iskaznih slova, zajedno sa

negacijom tog iskaznog slova.

49


5. Dokazati da niti za jednu tautologiju ne postoji savrsena di-

sjunktivna normalna forma.

6. Dokazati da niti za jednu kontradikciju ne postoji savrsena

konjuktivna normalna forma.

7. Neka je A formula u kojoj ucestvuju iskazna slova p1, p2, ..., pn.

Dokazati da je A tautologija ako i samo ako se svaka savrsena

konjuktivna normalna forma formule A sastoji od 2n medusobno

logicki neekvivalentnih disjunkcija.

Bibliografija

[1] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State Uni-

versity, 2005.

[2] S. Bilaniuk: A Problem Course in Mathematical Logic, Trent

University, Peterborough Ontario, Canada, 2003.

[3] B. Zarnic: Simbolicka logika prirucnik.

[4] Z. Silic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.

[5] M. Vukovic: Matematicka logika 1, Sveuciliste u Zagrebu, Za-

greb 2006.

[6] Dj. Kurepa : Teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb, 1951

50

51


Sljedecom tabelom, koja nije potpuna, sluzimo se u prevodenju

teksta u formalno-logicki zapis, i obrnuto.

Negacija ne, nije, nije slucaj da, ne vazi da.

Konjukcija nabrajanje karakteristika ili objekata, i, ali, iako, ipak, medutim,

pored toga... , zatim.

Disjunkcija nabrajanje opcija, ili, ukoliko ne, osim ako, osim ako ne.

Zakljucak onda, samo ako, slijedi, dakle, kao posljedica toga, imamo, kao

rezultat imamo, stoga, vrijedi, zakljucujemo.

Pretpostavka pretpostavimo, ako je, zbog, iz razloga, buduci da, jer,

Documents

MatematickaLogika(Iskazi)