Poslovilno predavanje

Matematicne teme z didaktiko

Marko Razpet, Pedagoska fakulteta

Ljubljana, 20. november 2014

1 / 32

Nase skupne ure

Matematicne tehnologije — 2011/12Funkcije vec spremenljivk — 2011/12Diferencialne enacbe — 2012/13Zgodovina matematike — 2013/14Matematicne teme z didaktiko — 2014/15

2 / 32

Matematicne tehnologije — 2011/12Na pojem dolocenega integrala naravno pridemo, ce se na primervprasamo, kako izracunati ploscino lika, omejenega z grafom tefunkcije, osjo x in premicama x = a in x = b. Doloceni integrallahko povezemo s primitivno funkcijo F funkcije f (F ′ = f ):∫ b

af (x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).

Poglejmo naslednji primer. Iz svoje vpisne stevilke student vzamezadnje tri stevke in jih oznaci s p, q in r po sledecem vrstnem redu:

p = 4, q = 8, r = 5.Potem iz teh treh stevk zapise

P =∫ 1

0x4(1− x8)5 dx +

∫ 1

0x8(1− x5)4 dx +

∫ 1

0x5(1− x4)8 dx .

Uporabi program derive in dobi rezultat:

P = 2621444393935 .

3 / 32

Ploscina lika pod parabolo

4 / 32

Primer izracuna integrala

Ploscina lika pod parabolo y = f (x) = x2 na intervalu [0, a].Interval [0, a] razdelimo na n enakih delov:

0 < an <

2an <

3an < . . . <

nan = a, ∆xk = a

n ,

Ik = [(k − 1)a/n, ka/n].

mk = inf{f (x), x ∈ Ik} = ((k − 1)a/n)2,

Mk = sup{f (x), x ∈ Ik} = (ka/n)2.

5 / 32

Spodnja integralska vsota

Spodnja integralska vsota:

Sn = (f (0) + f (a/n) + f (2a/n) + . . .+ f ((n − 1)a/n)) · (a/n) =

= ((a/n)2 + (2a/n)2 + . . .+ ((n − 1)a/n)2) · (a/n) =

= (a/n)3(12 + 22 + . . .+ (n − 1)2) =

= a3

n3 ·(n − 1)n(2n − 1)

6 = a3

6 ·(

1− 1n

)(2− 1

n

).

6 / 32

Zgornja integralska vsota

Zgornja integralska vsota:

Sn = (f (a/n) + f (2a/n) + . . .+ f (na/n)) · (a/n) =

= ((a/n)2 + (2a/n)2 + . . .+ (na/n)2) · (a/n) =

= (a/n)3(12 + 22 + . . .+ n2) =

= a3

n3 ·n(n + 1)(2n + 1)

6 = a3

6 ·(

1 + 1n

)(2 + 1

n

).

7 / 32

Limitni prehod

Sn − Sn = a3

n ,

limn→∞

(Sn − Sn) = 0,

limn→∞

Sn = limn→∞

a3

6 ·(

1− 1n

)(2− 1

n

)= a3

3 ,

limn→∞

Sn = limn→∞

a3

6 ·(

1 + 1n

)(2 + 1

n

)= a3

3 .

Nazadnje imamo: ∫ a

0x2 dx = a3

3 .

8 / 32

Newton–Leibnizeva formula — zacetek izpeljave

Naj bo F primitivna funkcija funkcije f na intervalu [a, b], karpomeni F ′ = f . Vzamemo poljubno delitev intervala [a, b]:

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.

Oznacimo∆xk = xk − xk−1, % = max

1≤k≤n∆xk .

Zapisemo:

F (b)− F (a) = F (xn)− F (x0) =n∑

k=1(F (xk)− F (xk−1)).

9 / 32

Newton–Leibnizeva formula — nadaljevanje in konecizpeljave

Uporabimo Lagrangev izrek:

F (b)− F (a) =n∑

k=1F ′(ξk)∆xk =

n∑k=1

f (ξk)∆xk .

V limiti, ko %→ 0 dobimo

F (b)− F (a) =∫ b

af (x) dx .

To je osnovna formula integralskega racuna ali Newton–Leibnizevaformula. Obicajno jo zapisemo v obliki∫ b

af (x) dx = F (x)|ba = F (b)− F (a).

10 / 32

Funkcije vec spremenljivk — 2011/12

Telo G je omejeno s ploskvama:

z = 1a (x2 + y2) in z = c − 1

b (x2 + y2),

pri cemer so a, b in c pozitivne konstante.1 Skicirajte telo G.2 Dolocite pravokotno projekcijo D telesa G na ravnino z = 0.

Skica!3 Izrazite prostornino V (G) telesa G z dvojnim integralom.4 V dobljeni dvojni integral vpeljite polarne koordinate.5 Preverite, da je

V (G) = πabc2

2(a + b) .

11 / 32

Telo v prostoru

12 / 32

Telo v prostoru – anaglifna slika

13 / 32

Telo v prostoru – osni presek

14 / 32

Telo v prostoru kot vrtenina – prostornina po srednjesolsko

y = x2

a , y = c − x2

b .

Presecisce:

x2

a = c − x2

b , x2 = abca + b , x0 =

√abc

a + b , y0 = bca + b .

V1 = π

∫ y0

0x2 dy = πa

∫ y0

0y dy = πay2

02 ,

V2 = π

∫ c

y0x2 dy = πb

∫ c

y0(c − y) dy = πb(c − y0)2

2 ,

V = V1 + V2 = π

2 (ay20 + b(c − y0)2) = πabc2

2(a + b) .

15 / 32

Natecaj za najboljso novoletno jelko

16 / 32

Diferencialne enacbe — 2012/13

17 / 32

VeriznicaDiferencialna enacba:

y ′′ = 1a

√1 + y ′2.

Resitev:y = a cosh x − x0

a + y0.

18 / 32

Chaos

19 / 32

Zgodovina matematike — 2013/14

Izracunajte na egipcanski nacin1 949× 567.

Resitev

Manjsi faktor 567 zlahkazapisemo kot

567 = 1 + 2 + 4 + 16 + 32 + 512.

Nato zapisemo preglednico:

1949× 1 1 949√

2 3 898√

4 7 796√

8 15 59216 31 184

√

32 62 368√

64 124 736128 249 472256 498 944512 997 888

√

1949× 567 1 105 083

Odgovor:1 949× 567 = 1 105 083.

20 / 32

Otvoritev razstave plakatov — junij 2014 — A

21 / 32

Otvoritev razstave plakatov — junij 2014 — B

22 / 32

Otvoritev razstave plakatov — junij 2014 — C

23 / 32

Otvoritev razstave plakatov — junij 2014 — D

24 / 32

Matematicne teme z didaktiko — 2014/15

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .......................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

........................

.......................

x

y

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

•

••

• •

• •

• ••

1q

q2

Q

S0

T0O

S1

S2

T1

S3

T2

S4

T3

0 < q < 1

...

...

...

...

...

...........................................

...

...

...................

25 / 32

Vsota geometrijske vrste

Na geometrijski nacin smo izracunali:

1 + q + q2 + q3 + . . . = 11− q , |q| < 1.

Rezultat smo uporabili pri izracunu ploscin na poseben nacinpobarvanih kvadratov.

26 / 32

Enakorazmerno temperirana lestvica

α = 12√2.

) )� ) )� ) ) )� )� ) ))� ) )� ))� ) ) ))� )� ) ) ))� )�

© � �© ��© � � � © � �© ��© � � �© � �© � ��

�� � � �© �© �

27 / 32

Kaj zna GeoGebra 3D

28 / 32

Kaj zna GeoGebra 3D — anaglifne slike

29 / 32

30 / 32

Hvala za vaso prisotnost in pozornost!

31 / 32

32 / 32