Embed Size (px)
Citation preview
Matematik AStudentereksamen
Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Mandag den 5. maj 2014stx141-MATn/A-05052014
130524.indd 1 18/03/14 08.25
1
Forberedelsesmaterialetilstx‐A‐netMATEMATIK
Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvanlige uddannelsestid til, at eleverne kan arbejde med forberedelsesmaterialet forud for den skriftlige prøve.
3-5 spørgsmål i delprøve 2 af den skriftlige prøve tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet.
Oplægget indeholder teori, eksempler og øvelser i tilknytning til et emne, der ligger umiddelbart i forlængelse af et kernestofemne.
Resultaterne af arbejdet med dette forberedelsesmateriale bør medbringes til den skriftlige prøve.
Alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.
2
Indhold
Indledning .......................................................................................................................................................... 3
Linjeelementer ................................................................................................................................................... 4
Koblede differentialligninger ............................................................................................................................ 6
Anvendelser af koblede differentialligninger ................................................................................................ 8
Lanchester’s model ........................................................................................................................................ 8
Andenordens differentialligninger ................................................................................................................... 10
Anvendelser af andenordens differentialligninger ....................................................................................... 15
Andenordens differentialligninger fortsat ....................................................................................................... 15
Anvendelser af andenordens differentialligninger fortsat ........................................................................... 17
Bilag ................................................................................................................................................................ 20
Koblede differentialligninger og faseplot i Maple....................................................................................... 20
Koblede differentialligninger og faseplot i Geogebra ................................................................................. 21
Koblede differentialligninger og faseplot i NSpire ..................................................................................... 22
3
Indledning
Dette forberedelsesmateriale tager udgangspunkt i førsteordens differentialligninger som y ay ,
y b ay¢ = - og ( )y y b ay¢ = - , som du forudsættes at være fortrolig med.
I forberedelsesmaterialet er der både øvelser og opgaver. Øvelserne er tænkt som hjælp til forståelse af teorien, herunder beviser for nogle af sætningerne. Opgaverne er tænkt som forberedelse til de opgaver, der kommer til den skriftlige eksamen.
I forberedelsesmaterialet anvendes 5 typer af farvede bokse. De grønne indeholder definitioner, de grå indeholder eksempler, de blå indeholder øvelser, de røde indeholder sætninger og de lilla indeholder opgaver.
Bemærk, at der til eksamen vil blive stillet krav om at tegne faseplot for koblede differentialligninger. I bilagene ligger der vejledninger til, hvordan man anvender værktøjsprogrammerne Geogebra, NSpire og Maple til at tegne disse.
4
Linjeelementer
Førsteordens differentialligningerne fra kernestoffet som y ay¢ = , y b ay¢ = - og ( )y y b ay¢ = - kan alle
løses eksakt. Der findes også differentialligninger, der ikke kan løses eksakt. Du vil i det følgende møde eksempler på begge typer. Når differentialligninger ikke kan løses eksakt, anvendes derfor andre løsningsmetoder. Disse metoder bygger på, at en differentialligning giver information om tangenthældninger til løsningskurver.
I differentialligningen
1
2
dyt y
dt=- ⋅ ⋅ ,
er højre side en funktion af t og y. Kalder vi denne funktion ( , )s t y , kan vi opskrive differentialligningen
således
( , )dy
s t ydt
=
Hvis en løsningsfunktions graf – herefter kaldet en løsningskurve – går igennem punktet 0 0( , )t y , så vil
løsningskurvens tangent i punktet have hældningskoefficienten 0 0( , )s t y=a .
De tre størrelser tilsammen: 0 0 0 0, og ( , )t y s t y kaldes et linjeelement. Hermed menes, at vi har et punkt og
et lille linjestykke gennem dette punkt med hældningskoefficienten 0 0( , )s t y=a . Linjeelementet betegnes
0 0( , ; )t y a .
Et plot af linjeelementer kaldes hældningsfeltet. På baggrund af disse linjeelementer kan man tabellægge en god tilnærmelse til den løsning, der begynder i et bestemt punkt. En sådan løsning kaldes en numerisk løsning.
Vi illustrerer med et konkret eksempel, hvorledes linjeelementer kan hjælpe til at få overblik over løsningskurver til differentialligninger.
Eksempel 1
Linjeelementer
Vi vil som et konkret eksempel se på differentialligningen
1
2
dyt y
dt=- ⋅ ⋅
Vi kan udregne en række linjeelementer hørende til denne differentialligning ved at vælge punkter 0 0( , )t y og indsætte disse i udtrykket på højresiden i differentialligningen. For
punktet (2,6) får vi fx
12 6 6
2=- ⋅ ⋅ =-a
dvs. (2,6; 6)- er et linjeelement for differentialligningen. Vi kan på den måde udregne en
5
række linjeelementer inden for fx grafvinduet [ 10;10] [ 10;20]- ´ - . Vi kan fx udregne
tangenthældninger for alle punkter med heltallige koordinatsæt i dette vindue. Det er jo temmelig mange beregninger, men dette kan nemt automatiseres i fx et regneark. Det næste skridt bliver at tegne små tangentstykker svarende til alle disse beregninger – og det er omstændeligt! Heldigvis har de fleste værktøjsprogrammer en indbygget facilitet til netop dette! Anvender vi denne får vi nedenstående plot, hvoraf vi tydeligt kan se konturerne af forskellige løsningskurver:
Vælger vi nu fx begyndelsesværdien (2,6) , får vi samtidig beskrevet lige netop den ene
løsningskurve, som går gennem dette punkt.
Her er løsningskurven gennem (2,6) tegnet sammen med hældningsfeltet. De fleste værktøjsprogrammer kan også hente løsningskurven, og tegne denne uden det tilhørende hældningsfelt.
I nogle programmer er begyndelsespunktet (svarende til begyndelsesværdien) dynamisk, så når man trækker i det, kan man se, hvordan løsningskurven ændrer sig, eller man kan indskrive flere begyndelsesværdier sammen med den enkelte differentialligning.
Vi har her ikke løst differentialligningen eksakt, men vi har tegnet hældningsfeltet sammen med grafen for en numerisk løsning gennem punktet (2,6).
(2,6)
6
Opgave 1 Givet differentialligningen
2 dy
t ydt
= ⋅
a) Bestem linjeelementet i punktet (3,2). b) Tegn hældningsfeltet i et passende grafvindue sammen med løsningskurven gennem
punktet (3,2).
Koblededifferentialligninger
For modeller med flere variable er der et indbyrdes afhængighedsforhold mellem de variable. Sådanne systemer beskrives ved en række sammenhørende differentialligninger. Man kan sammenligne et system af koblede differentialligninger med fx 2 ligninger med to ubekendte, hvor vi har brug for begge ligninger for at kunne bestemme de to ubekendte.
Vi vil se på et system af to koblede differentialligninger
2du
vdt
= og 2dv
udt
=- .
u og v er begge funktioner af t, men sammenkoblingen medfører, at vi ikke umiddelbart kan få tegnet løsningskurver for dem. I stedet vælger vi en anden strategi: Vi betragter u og v som variable og ligningerne som en beskrivelse af variabelsammenhængen mellem dem. Dvs. vi vælger at afsætte u som 1. koordinat og v som 2. koordinat (eller omvendt). Begyndelsesværdierne (0) 2u = og (0) 1v = giver os punktet (2,1) i
(u,v)-koordinatsystemet som begyndelsesværdi for en grafisk fremstilling af variabelsammenhængen mellem u og v.
Vi skifter hældningsfeltet ud med et retningsfelt, hvor hvert tangentstykke er erstattet af en vektor, der viser den retning, et punkt ( , )u v bevæger sig, når t gennemløber tallinjen.
7
I punktet (2,1) er 2 1du
dt= ⋅ og 2 2 4
du
dt=- ⋅ =- . I retningsfeltet vil den pil, der sidder i ( , ) (2,1)u v = pege i
samme retning som vektoren 2
4
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç-è ø, der derfor er retningsvektor for tangenten i punktet.
Den grafiske fremstilling af sammenhængen mellem de to variable u og v kaldes et faseplot.
Her har vi tegnet retningsfeltet for systemet af de koblede differentialligninger
2du
vdt
= og 2dv
udt
=-
sammen med faseplottet gennem ( , ) (2,1)u v = , der viser sammenhængen mellem u og v.
Bemærk, at højresiden i de to differentialligninger ikke indeholder tidsparameteren t, hvilket er en forudsætning for, at det giver mening at tegne retningsfeltet og faseplottet.
Hvis vi vil undersøge løsningen nøjere, kan vi oversætte systemet af de to koblede differentialligninger til én førsteordens differentialligning ved at anvende reglen om differentiation af sammensat funktion på funktionen ( ( ))v u t :
dv dv du
dt du dt= ⋅ giver at 2 2
dvu v
du- = ⋅ og dermed
dv u
du v
-= .
Der kan være problemer med definitionsmængden, men det vil føre for vidt at medtage dette her.
Denne ligning kan vi så løse med begyndelsesbetingelsen ( , ) (2,1)u v = . Differentialligningen løses på
sædvanlig vis i et værktøjsprogram:
( )2 2
2 2
desolve and (2) 1, ,
5
5
uv
v v u v
v u
u v
¢ =- =
= -
+ =
8
Vi ser, at løsningen fremkommer på implicit form, dvs. at udtrykket indeholder de to variable, uden at v er isoleret. Nogle værktøjsprogrammer løser ligningen fuldt ud, sådan at v fremkommer som en funktion af u.
Faseplottet er altså en del af en cirkel med centrum i (0,0) og radius 5 .
Opgave 2 Et system af koblede differentialligningen er givet ved
3du
vdt
=- ⋅ og 3dv
udt
= ⋅
a) Bestem væksthastighederne i punktet ( )(0), (0) (1,1)u v = , dvs. bestem (0)u¢ og (0)v¢ .
b) Tegn retningsfeltet for systemet af koblede differentialligninger. c) Tegn et faseplot, der viser sammenhængen mellem u og v, med begyndelsesbetingelsen
( )(0), (0) (1,1)u v = .
Opgave 3 Forklar, hvordan retningsfeltet for systemet af koblede differentialligninger
duk v
dt=- ⋅ og
dvk u
dt= ⋅
ændrer sig for forskellige værdier af k. Brug evt. en skyder for k i dit værktøjsprogram.
Opgave 4 Et system af koblede differentialligninger er givet ved
duv
dt=- og 3
dvu
dt= ⋅ .
Tegn retningsfeltet sammen med et faseplot, når det oplyses, at (0) 65u = og (0) 90v = .
Anvendelserafkoblededifferentialligninger
Lanchester’smodel
I forbindelse med fx et kampvognsslag, hvor to styrker kæmper mod hinanden, kan antallet af hærenheder, u og v, som funktion af tiden t (målt i dage efter slagets start) modelleres ud fra Lanchester’s model. Et eksempel på en sådan model kan være et sæt koblede differentialligninger som
( ) ( )
( ) ( )
u t a v t
v t b u t
¢ =- ⋅¢ =- ⋅
hvor a og b er positive konstanter, der angiver effektiviteten af henholdsvis hærenhederne u og v.
Opgave 5 a) Antag hærstyrkerne ved slagets begyndelse er på (0) 200u = og (0) 100v = samt at
0,15a= og 0,03b= . Udregn væksthastighederne (0)u¢ og (0)v¢ , og giv et skøn over
hærstyrkernes størrelse til tidspunkterne 1t = og 2t = .
9
Eksempel 2 I en Lanchestermodel for et slag mellem to hære, kan udviklingen i antallet af hærenheder, u og v, som funktion af tiden t, beskrives ved følgende sæt af koblede differentialligninger
( ) 0,12 ( )
( ) 0,07 ( )
u t v t
v t u t
¢ =- ⋅¢ =- ⋅ ,
Begyndelsesbetingelserne er givet ved (0) 400u = og (0) 700v = .
Et retningsfelt i grafvinduet [ ] [ ]0,500 0,800´ kan sammen med faseplottet med de angivne
begyndelsesbetingelser se ud som:
Af faseplottet ses at punktet (400,700) repræsenterer slagets start, og herefter mister begge styrker hærenheder. Slaget ender med at u har 0 hærenheder, mens v har ca. 630 hærenheder. Det konkluderes altså, at hæren u taber, og alle kampvognene er ødelagt, og hæren v vinder med et tab på omkring 70 kampvogne.
Opgave 6 Givet Lanchesters model med parametrene a og b
( ) ( )
( ) ( )
u t a v t
v t b u t
¢ =- ⋅¢ =- ⋅
Vi antager først, at 0,15a= og 0,03b= .
a) Tegn et faseplot for løsningen med begyndelsesbetingelserne (0) 120u = og
(0) 300v = . Forklar betydningen af faseplottet.
b) Tegn et faseplot for løsningen med begyndelsesbetingelserne (0) 250u = og
(0) 600v = . Forklar betydningen af faseplottet.
c) Tegn et faseplot for løsningen, hvor de to hærstyrker er lige store til at begynde med. Forklar betydningen af faseplottet.
Antag nu, at 0,15a= og 0,10b= .
d) Tegn et faseplot for løsningen med forskellige begyndelsesbetingelser. Sammenlign med faseplottene, hvor 0,15a= og 0,03b= .
(400,700)
10
Andenordensdifferentialligninger
De systemer af koblede differentialligninger, vi har set på ovenfor, kan omskrives til andenordens differentialligninger, hvor kun u eller v indgår som ubekendt. Dermed kan en eksakt løsning bestemmes.
Opgave 7 Vi ser igen på de to koblede differentialligninger
( ) 0,15 ( )
( ) 0,03 ( )
u t v t
v t u t
¢ =- ⋅¢ =- ⋅
hvor u og v betegner antallet af hærenheder, som funktion af tiden t (målt i dage efter slagets start).
a) Differentier ( ) 0,15 ( )v t u t¢ =- ⋅ og vis, at den nye differentialligning kan skrives som
( ) 0,045 ( ).v t v t¢¢ = ⋅
b) Differentier ( ) 0,03 ( )u t v t¢ =- ⋅ og vis, at den nye differentialligning kan skrives som
( ) 0,045 ( ).u t u t¢¢ = ⋅
c) Bestem (0)u¢ og (0)v¢ , når begyndelsesbetingelserne er givet ved (0) 120u = og
(0) 300v = .
d) Bestem de partikulære løsninger, u(t) og v(t), med de givne begyndelsesbetingelser i dit værktøjsprogram.
e) Bestem antallet af hærenheder i de to hære efter 5 dage.
Vi har nu fået omskrevet de koblede differentialligninger ( ) ( )u t a v t¢ =- ⋅ og ( ) ( )v t b u t¢ =- ⋅ til to
andenordens differentialligninger ( ) ( )u t k u t¢¢ = ⋅ og ( ) ( )v t k v t¢¢ = ⋅ , hvor konstanten k a b= ⋅ er den samme
i begge differentialligninger.
Vi ser nu på et mere generelt system af koblede lineære differentialligninger:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
u t a u t b v t c
v t d u t e v t f
¢ = ⋅ + ⋅ +¢ = ⋅ + ⋅ +
hvor a, b, c, d , e og f er konstanter, og u og v er funktioner af t, som i det følgende blot betegnes med u og v.
Differentialligningerne omskrives nu efter følgende opskrift:
- differentier første ligning
- indsæt anden ligning i det fundne udtryk
- isoler v i første ligning og indsæt også denne i samme udtryk
Proceduren gentages, men nu ved først at differentiere den anden ligning. Herved når man frem til følgende to andenordens differentialligninger:
1. ( ) ( )u a e u ae bd u bf ec¢¢ ¢- + + - = -
2. ( ) ( )v a e v ae bd v dc af¢¢ ¢- + + - = -
11
Øvelse 1 a) Omskriv følgende koblede system til andenordens differentialligninger: 0,5
0,75 2,5
u u v
v u v
¢ = +¢ =- +
b) Udnyt begyndelsesbetingelserne (0) 1u = og (0) 2v = til at udregne
begyndelsesbetingelserne for u¢ og v¢ .
c) Løs ligningerne med begyndelsesbetingelserne fra b) i dit værktøjsprogram.
Øvelsen er ikke et bevis for, at der er ækvivalens mellem koblede lineære differentialligninger og lineære andenordens differentialligninger. Men beviset følger den samme metode.
I det følgende skal vi se på tre typer af anden ordens differentialligninger samt deres løsninger. De er alle
lineære differentialligninger af anden orden, dvs. de kan skrives på formen 1 2( ) ( ) ( )y f t y f t y g t¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = ,
hvor 1f , 2f og g er givne funktioner af én variabel. Hvis ( ) 0g t = kaldes differentialligningen homogen.
Ellers siges ligningen at være inhomogen. Vi vil kun beskæftige os med lineære differentialligninger af anden orden, hvor funktionerne 1f og 2f er konstanter.
Vi vil i dette afsnit koncentrere os om følgende typer af andenordens differentialligninger:
( )y g t¢¢ = , hvor g er en kontinuert funktion i et interval I,
y a y¢¢ = ⋅ , hvor a er en konstant,
0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = , hvor p og q er konstanter.
y p y q y k¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = , hvor p, q og k er konstanter.
For førsteordens differentialligninger går der højst én løsningskurve gennem et givet punkt, dvs. man skal blot kende et punkt på løsningskurven for at bestemme den partikulære løsning til førsteordens differentialligninger. For andenordens differentialligninger er et punkt ikke nok til at bestemme den partikulære løsning. Her skal man kende et linjeelement 0 0( , ; )t y a , hvorigennem løsningskurven skal
passere. For nogle andenordens differentialligninger er det dog tilstrækkeligt at kende to punkter på løsningskurven. Nogle andenordens differentialligninger kan løses ved at integrere to gange. Man får herved to konstanter, og man skal derfor kende to punkter eller et linjeelement for at kunne finde den partikulære løsning.
Opgave 8 a) Løs differentialligningen 5y t¢¢ = ved at integrere to gange.
b) Bestem den løsning, der går gennem punkterne (0,3) og (2,30).
c) Tegn hældningsfeltet og løsningskurven gennem de to punkter.
12
Sætning 1 Den fuldstændige løsning til differentialligningen ( )y g t¢¢ = , hvor g er en kontinuert
funktion i et interval I, er givet ved
1 2( )y G t dt c t c= + ⋅ +ò ,
hvor G(t) er en stamfunktion til g(t), og hvor 1c og 2c er vilkårlige konstanter.
Øvelse 2 Bevis sætningen ved at integrere differentialligningen to gange på samme måde som i opgaven ovenfor.
Opgave 9
a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen 24e ty¢¢ = .
b) Bestem tre løsninger, hvis grafer går gennem punktet 2(1,e )P .
c) Bestem den løsning, der går gennem punkterne 2(1,e )P og (5,0)Q .
d) Bestem den løsning, der går gennem punktet 2(1,e )P , og som har en tangent med
hældningskoefficient 2 i punktet P.
Bemærk, at det for differentialligningen 24e ty¢¢ = er nødvendigt at kende enten to punkter
eller et linjeelement for at fastlægge en entydig løsning.
Sætning 2
Den fuldstændige løsning til differentialligningen y a y¢¢ = ⋅ afhænger af fortegnet for
konstanten a.
1) Hvis 0a = , så er den fuldstændige løsning givet ved 1 2y c t c= ⋅ + .
2) Hvis 0a> , så er den fuldstændige løsning givet ved 1 2e ea t a ty c c⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ .
3) Hvis 0a< , så er den fuldstændige løsning givet ved
( ) ( )1 2cos siny c a t c a t= ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ .
I alle tre tilfælde gælder udtrykket for alle t, og 1c og 2c er vilkårlige konstanter.
Bevis
Vi deler beviset op i tre tilfælde svarende til de tre muligheder for fortegnet for a.
1) Dette følger af sætning 1. Forklar hvorfor.
2) Først bevises, at 1 2e ea t a ty c c⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ rent faktisk er en løsning. Øvelse 3 Vis dette ved at gøre prøve.
Dernæst bevises, at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen end 1 2e ea t a ty c c⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ .
Antag derfor, at y er en vilkårlig løsning til differentialligningen.
13
0
y a y
y a y
¢¢ = ⋅¢¢- ⋅ =
Vi omskriver differentialligningen ved at gange med faktoren e a t⋅ og får:
e e 0a t a ty a y⋅ ⋅¢¢ ⋅ - ⋅ ⋅ =
Nu lægger vi leddet e a ty a ⋅¢ ⋅ ⋅ til på venstre side og trækker det fra igen:
e e e e 0a t a t a t a ty y a y a a y⋅ ⋅ ⋅ ⋅¢¢ ¢ ¢⋅ + ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ =
Ved at bruge produktregnereglen for differentiation baglæns kan dette kan omskrives til:
( ) ( )e e 0a t a ty y a⋅ ⋅¢ ¢¢ ⋅ - ⋅ ⋅ =
Øvelse 4 Kontrollér, at dette er rigtigt ved at differentiere ovenstående vha. produktregnereglen for differentiation.
Nu bruges differensreglen for differentiation til at samle de to differentialkvotienter:
( )e e 0a t a ty y a⋅ ⋅ ¢¢ ⋅ - ⋅ ⋅ =
Begge sider integreres, og vi får:
e ea t a ty y a c⋅ ⋅¢ ⋅ - ⋅ ⋅ = , hvor c er en konstant.
Vi ganger med e a t- ⋅ på begge sider af lighedstegnet:
e e e e e
e
a t a t a t a t a t
a t
y y a c
y y a c
⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅ - ⋅
- ⋅
¢ ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
¢- ⋅ = ⋅
Nu har vi altså oversat problemet til en lineær førsteordens differentialligning. Vi omskriver denne ligning
ved igen at gange med faktoren e a t- ⋅ .
e e e ea t a t a t a ty y a c- ⋅ - ⋅ - ⋅ - ⋅¢ ⋅ - ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Ved at bruge produktregnereglen for differentiation baglæns kan venstre omskrives til:
( ) 2e ea t a ty c- ⋅ - ⋅ ⋅¢⋅ = ⋅
Øvelse 5 Kontroller at dette er rigtigt ved at differentiere ovenstående vha. produktregnereglen for differentiation på venstre side og en potensregneregel på højre side.
Begge sider af ligningen ovenfor integreres, og vi får:
2122
e ea t a ta
y c c- ⋅ - ⋅ ⋅⋅
⋅ =- ⋅ ⋅ + , hvor 2c er en konstant.
14
Vi ganger nu med faktoren e a t⋅ på begge sider af lighedstegnet:
2122
e e e e ea t a t a t a t a ta
y c c- ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅ =- ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ .
Vi omdøber konstanten 2
ca
- til 1c og anvender en potensregneregel:
1 2e ea t a ty c c- ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ .
Vi har hermed bevist at en vilkårlig løsning y til differentialligningen kan skrives på formen
1 2e ea t a ty c c- ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ .
2) Vi mangler nu det sidste at de tre tilfælde, og vi vil bevise, at ( ) ( )1 2cos siny c a t c a t= ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ rent
faktisk er en løsning til differentialligningen y a y¢¢ = ⋅ , med 0a< .
Øvelse 6 Vis dette ved at gøre prøve.
Til sidst skal det bevises, at der ikke findes andre løsninger til differentialligningen end
( ) ( )1 2cos siny c a t c a t= ⋅ - ⋅ + ⋅ - ⋅ . Beviset udelades her, men findes i gængse lærebøger.
Nedenfor ses tre mulige løsningskurver til differentialligningen y a y¢¢ = ⋅ . En hvor 0a = , en hvor a er
negativ og en hvor a er positiv.
15
Anvendelserafandenordensdifferentialligninger
Med sætning 2 kan vi arbejde videre med differentialligningerne fra Lanchesters model.
Opgave 10 Bestem en partikulær løsning til hver af de to andenordens differentialligninger fra opgave 7 ( ) 0,045 ( )v t v t¢¢ = ⋅ og ( ) 0,045 ( ).u t u t¢¢ = ⋅ med begyndelsesbetingelserne (0) 120u = , (0) 300v = , (0) 45u ¢ =- og (0) 3,6v¢ =- .
Opgave 11 Givet differentialligningen
6y y¢¢ = ⋅ .
a) Brug sætning 2 til at opskrive den fuldstændige løsning. b) Brug sætning 2 til at bestemme den partikulære løsning, hvis løsningskurve går gennem
linjeelementet (1,2;2). c) Kontroller din løsning til differentialligningen ved hjælp at dit værktøjsprogram.
Andenordensdifferentialligningerfortsat
Inden vi ser nærmere på den sidste af de tre andenordens differentialligninger, nemlig 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ =
indfører vi det tilhørende karakteristiske polynomium.
Definition 1 Ved det karakteristiske polynomium for differentialligningen 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = forstås
andengradspolynomiet 2( )g x x p x q= + ⋅ + , hvor vi har kaldt den variable x for at undgå
sammenblanding med variablen t i differentialligningen.
Det karakteristiske polynomiums diskriminant og eventuelle rødder spiller en væsentlig rolle for løsningen af den tilhørende differentialligning.
16
Sætning 3 Den fuldstændige løsning til differentialligningen 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = , hvor p og q er
konstanter, afhænger af diskriminanten 2 4d p q= - for det tilhørende karakteristiske
polynomium 2( )g x x p x q= + ⋅ + .
1) Hvis 0d > , så har det karakteristiske polynomium to rødder l og m , og den
fuldstændige løsning til differentialligningen er mængden af funktioner på formen
1 2t ty c e c e⋅ ⋅= ⋅ + ⋅l m ,
hvor 1c og 2c er vilkårlige konstanter.
2) Hvis 0d = , så har det karakteristiske polynomium én rod , og den fuldstændige løsning til differentialligningen er mængden af funktioner på formen:
1 2t ty c e c t e⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅l l ,
hvor 1c og 2c er vilkårlige konstanter.
3) Hvis 0d < , så er den fuldstændige løsning til differentialligningen mængden af funktioner på formen:
( ) ( )1 12 21 1
1 22 2cos sinp t p ty c e d t c e d t- ⋅ - ⋅= ⋅ ⋅ - ⋅ + ⋅ ⋅ - ⋅ ,
hvor 1c og 2c er vilkårlige konstanter.
Beviset udelades her, men kan læses i flere gængse lærebøger.
Nedenfor ses tre mulige løsningskurver til differentialligningen 0y p y q y¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = . Én for hver af de tre
fortegn for det karakteristiske polynomiums diskriminant d.
17
Opgave 12 Givet differentialligningen
4 5 0y y y¢¢ ¢- ⋅ + ⋅ =
a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen ( )f t kan beskrives ved.
c) Bestem den partikulære løsning, som opfylder, at ( )20f =p og ( )2
2f ¢ =p .
Opgave 13 Givet differentialligningen
2y y y¢¢ ¢= + ⋅ .
a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen ( )f t kan beskrives ved.
c) Bestem den partikulære løsning, hvis graf går gennem linjeelementet ( )12
3,2; .
Opgave 14 Givet differentialligningen
20 40 20 0y y y¢¢ ¢⋅ + ⋅ + ⋅ =
a) Opskriv det karakteristiske polynomium, og bestem den tilhørende diskriminant. b) Gør rede for, hvilken type forskrift løsningen ( )f t kan beskrives ved.
c) Bestem den partikulære løsning, som opfylder at (0) 5f = og (0) 0f ¢ = .
Anvendelserafandenordensdifferentialligningerfortsat
Eksempel 3 Fjeder uden friktion
Et lod er ophængt i en fjeder, og når vi trækker i loddet og slipper, så bevæger fjederen sig op og ned. Vi antager først, at der ikke er nogen friktion i bevægelsen, og at loddet derfor vil fortsætte med at bevæge sig op og ned.
Bevægelsesligningen for loddet kan beskrives ved
( ) ( )km
y t y t¢¢ =- ⋅ ,
hvor y(t) er loddets afstand fra ligevægtspunktet, t er tiden, m er loddets masse og k er en konstant – herefter kaldet fjederkonstanten.
18
Opgave 15
Et lod på 0,5 kg ophænges i en fjeder. Det trækkes 4 cm væk fra ligevægtspunktet, holdes i hvile et øjeblik, slippes til 0t = , og starter derefter sine svingninger. Fjederkonstanten er
3k = .
a) Opskriv begyndelsesbetingelserne og differentialligningen. b) Løs differentialligningen vha. af sætning 2, så du får et udtryk for y som funktion af t.
Tjek din løsning ved også at løse differentialligningen i dit værktøjsprogram. c) Tegn grafen for y.
Eksempel 4
Fjeder med friktion
En fjeder vil naturligvis ikke fortsætte i evighed med at svinge op og ned. Udsvingene vil aftage med tiden på grund af friktion. Tager man dette aspekt med i modellen for fjederens bevægelse, ændres bevægelsesligningen til:
( ) ( ) ( ) 0b km m
y t y t y t¢¢ ¢+ ⋅ + ⋅ = ,
hvor y(t) er loddets afstand fra ligevægtspunktet, t er tiden, m er loddets masse, k er fjederkonstanten, og b er en konstant.
Opgave 16
For en bestemt fjeder er 10kgm = , 26,5k = og 6b = .
a) Opskriv differentialligningen med disse konstanter indsat, og opskriv det karakteristiske polynomium, der hører til denne differentialligning.
b) Bestem diskriminanten for det karakteristiske polynomium samt eventuelle rødder. c) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen.
d) Bestem den partikulære løsning, når (0) 3y = og (0) 7,1y¢ = .
e) Tegn grafen for y. f) Denne type af fjedersvingninger kaldes dæmpede svingninger. Hvorfor mon?
Opgave 17
For en bestemt fjeder er 1kgm = , 9k = og 6b = .
a) Bestem den partikulære løsning, når (0) 3y = og (0) 4y¢ = .
b) Tegn grafen for y. c) Denne type af fjedersvingninger kaldes kritisk dæmpede svingninger. Hvorfor mon?
Opgave 18
For en bestemt fjeder er 2kgm = , 8k = og 10b= .
a) Bestem den partikulære løsning når (0) 1y = og (0) 7y¢ =- .
b) Tegn grafen for y. c) Denne type af fjedersvingninger kaldes overdæmpede svingninger. Hvorfor mon?
19
Bevægelsesligningerne i ovenstående eksempler med fjedre kan også bruges til at beskrive andre typer af svingninger.
Eksempel 5
Lidokain i blodet
I behandling af uregelmæssig hjerterytme kan et system af koblede differentialligninger modellere brugen af medikamentet lidokain.
Antag, at ( )u t betegner massen af lidokain i blodet (målt i mg), og ( )v t betegner massen af
lidokain i kropsvævet (målt i mg). Det koblede system af differentialligninger kan for en bestemt kropsvægt da opstilles som:
( ) 0,09 ( ) 0,038 ( )
( ) 0,066 ( ) 0,038 ( )
u t u t v t
v t u t v t
I modellen er massen af lidokain i blodet til at begynde med 0, og massen af lidokain i kropsvævet svarer til massen af den dosis, der indsprøjtes.
Kilde: J. M. Cushing, Differential Equations: An Applied Approach
Øvelse 7 a) Omskriv det koblede system af differentialligninger i eksempel 5 til 2. ordens differentialligninger.
b) Bestem de partikulære løsninger til systemet af koblede differentialligninger i
eksempel 5, når begyndelsesbetingelserne er (0) 0u = og (0) 1v = .
b) Tegn et faseplot for disse løsninger.
Eksempel 6 Marketingsstrategi
En kosmetikkæde har en marketingsstrategi for prisen på en bestemt shampoo.
I et system af koblede differentialligninger betegner ( )u t prisen på shampoo, og ( )v t
betegner lagermængden af den bestemte shampoo. Et system af koblede differentialligninger for den bestemte shampoo kan formuleres som:
( ) ( ) 50
13( ) ( ) 6 ( ) 289
4
u t v t
v t u t v t
med begyndelsesbetingelserne (0) 10u og (0) 7.v
Øvelse 8 a) Omskriv det koblede system af differentialligninger i eksempel 6 til 2. ordens differentialligninger.
b) Bestem de partikulære løsninger til systemet af koblede differentialligninger fra
eksempel 6.
c) Hvad sker der med pris og lagermængde, når t bliver meget stor.
d) Tegn et faseplot for disse løsninger.
20
Bilag
KoblededifferentialligningerogfaseplotiMaple
Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger
( ) 0,2 ( )
( ) 0,08 ( )
u t v t
v t u t
En partikulær løsning skal opfylde (0) 250u og (0) 120v = .
Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i Maple med pakken DEtools og kommandoen Deplot
21
KoblededifferentialligningerogfaseplotiGeogebra
Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger
( ) 0,2 ( )
( ) 0,08 ( )
u t v t
v t u t
En partikulær løsning skal opfylde (0) 250u og (0) 120v .
Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i Geogebra med dette worksheet http://www.geogebratube.org/student/m8930 eller Geogebrafilen GeogebraFaseplot.
22
KoblededifferentialligningerogfaseplotiNSpire
Udgangspunktet er et system af koblede af differentialligninger
( ) 0,2 ( )
( ) 0,08 ( )
u t v t
v t u t
En partikulær løsning skal opfylde (0) 250u og (0) 120v .
Hvis et retningsfelt ønskes tegnet sammen med faseplottet, så er det muligt i grafvinduet i NSpire.
Under ”Grafindtastning/Rediger” vælges først ”Differentialligninger”:
Herefter indtastes den første differentialligning sammen med begyndelsesbetingelsen for u. Bemærk at u kalds y1 og v kaldes y2.
Herefter indtastes den anden differentialligning samt begyndelsesbetingelser for v, og der klikkes på knappen med de tre prikker yderst til højre:
Vælg følgende indstillinger i det fremkomne vindue:
23
Til sidst ændres vinduets størrelse, så det passer til faseplottet:
130524.indd 2 18/03/14 08.25
130524.indd 3 18/03/14 08.25
130524.indd 4 18/03/14 08.25
130524.indd 5 18/03/14 08.25
