KERTAS PENERANGAN TERHAD TERHAD MATEMATI K KEJURUTERAAN 4
Cetakan Kedua Mac 2011 Institusi Latihan Jabatan Tenaga Manusia
http ://www.jtm.gov.my/kurikulum Hak Cipta Terpelihara. Dokumen ini
diklasifikasikan sebagai TERHAD. Tidak dibenarkan
mengeluarmana-manabahagian dalamkandunganBahan
PembelajaranBertulis(WIM) dalam apa jua bentuk tanpa keizinan
daripada Jabatan Tenaga Manusia (JTM). Bahan Pembelajaran SEMESTER
EMPAT ini dibangunkan bagi kursus sepenuh masa di
InstitusiLatihanJabatanTenagaManusia(ILJTM)olehAhliJawatankuasa
PembangunanWIMdandisemaksertadiluluskanolehJawatankuasaPemandu
Kurikulum untuk tujuan gunapakai bagi semua ILJTM yang terlibat.
Kod Pengesahan WIM: WIM/MK 4011/12011/S04/P1 Kod Pengesahan
Silibus: SFB/MK 4011/12009/P1 Tarikh Pengesahan WIM: 11 Mac 2011
KANDUNGAN SENARAI AHLI JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM
................................................ i SENARAI
SINGKATAN
.....................................................................................................
ii KERTAS PENERANGAN MODUL
....................................................................................1
MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
..............................................................1
GROUP CLUSTERING MODULE 1
..............................................................................2
LE1PEMBEZAAN3 LE2PENGAMIRAN13 LE3MATRIKS30 iSENARAI AHLI
JAWATANKUASA PEMBANGUNAN WIM SUBJEK UMUM MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
Ahli Jawatankuasa : 1.Pn Ainin Nisak bt Ahmad Asnawi (Pengerusi
Kluster Subjek Umum) ADTEC Shah Alam 2.En Ismail bin Sukeeman
(Penolong Pengerusi Kluster Subjek Umum) ADTEC Melaka 3.En Chong
Kok Ming ILP Bukit Katil 4.En Mohd Zainol Ami Bin RohibonADTEC Batu
Pahat 5.En Ahmad Fadli Bin SulaimanILP Kuantan Urusetia : 1.Pn.
Norpisah binti JuminBKT, Ibu Pejabat 2.En. Ismail Bin Mat TahaBKT,
Ibu Pejabat Tarikh dibangunkan:6 Julai 9 Julai 2010 Tempat:ADTEC
Taiping iiSENARAI SINGKATAN ISINFORMATION SHEET WSWORK SHEET
ASASSIGNMENT SHEET KOD KURSUS SEMESTER NO. MODUL KREDIT NO. LE
JENIS WIM MK4011-LE1-IS KERTAS PENERANGAN MODULMK 4011 MATEMATIK
KEJURUTERAAN 4 MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 2 GROUP
CLUSTERING MODULE 1 MK 4011-LE1 PEMBEZAAN1.1Asas Pembezaan.
1.2Pembezaan Peringkat Pertama Bagi Hasil Tambah. MK 4011-LE2
PENGAMIRAN 2.1Pengamiran Tak Tentu. 2.2Pengamiran Tentu. MK
4011-LE3 MATRIKS 3.1Pengenalan Matriks 3.2Algebra Matriks
3.3Songsangan Matriks MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 3
INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA
MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTER SUBJEK UMUM - MATEMATIK
KEJURUTERAAN 4 KOD DAN NAMA MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4
PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE1 PEMBEZAAN NO. TUGASAN BERKAITAN 1.1ASAS
PEMBEZAAN1.2PEMBEZAAN PERINGKAT PERTAMA BAGI HASIL TAMBAH OBJEKTIF
PRESTASI AKHIRAN (TPO) KENALPASTIPERMASALAHANMATEMATIKKEJURUTERAAN
DENGAN MENGGUNAKAN KAEDAH PEMBEZAAN SUPAYA PELAJAR BOLEH : 1. DAPAT
MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANGBERKAITAN DENGAN BETUL. 2.
DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DIBENGKEL UNTUK SUBJEK
TERAS. OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI
BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAHDAN KONSEP PEMBEZAAN SERTA BOLEH
MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN. MK 4011-LE1-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 4 1.PEMBEZAAN TUJUAN: Kertas penerangan ini adalah
bertujuan untuk menerangkan mengenai
konseppembezaanyangmerangkumiasaspembezaandanpembezaanperingkat
pertama bagi hasil tambah. 1.1ASAS PEMBEZAAN a)Jikak y = , dank
ialah satu pemalar, maka0 =dxdy. Contoh 1 Bezakan yang berikut
terhadapx : i.8 = yii. 32) ( = x fiii.19 . 0 = k Penyelesaian i.8 =
y0 =dxdy ii. 32) ( = x f 0 ) ( ' = x fiii.19 . 0 = k0 =dxdk MK
4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 5 b)Jika nx y = , maka 1 =nnxdxdy.
Contoh 2 Bezakan yang berikut terhadap x : i. 4x y =ii. 5 = x
yiii.x y =iv. 21xy = Penyelesaian i. 4x y = 1 44= xdxdy 34xdxdy=ii.
5 = x y 1 55 = xdxdy 65 = xdxdy@ 65xiii.x y =21x y = 12121= xdxdy
2121= xdxdy @ x 21 MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 6 iv. 21xy =2
= x y 1 22 = xdxdy 32 = xdxdy@ 32x c)Jika nax y = , maka 1
=nanxdxdy. Contoh 3 Bezakan yang berikut terhadap x : i. 45x y =ii.
3132= x yiii. 252xy =iv. 353xy = Penyelesaian i. 45x y =( )1 44 5 =
xdxdy 320xdxdy = MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 7 ii. 3132= x y
1313132 |.|
\| = xdxdy
3492 = xdxdy iii. 252xy =252= x y( )1 2252 = xdxdy 354 = xdxdy@
354xiv. 353xy =3153xy = 3153= x y
1313153 |.|
\| = xdxdy
3451 = xdxdy
MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 8 d)Jikamaka , maka Contoh 4
Bezakan yang berikut terhadap x : i.( )45 2 3 + = x yii.( )63 4 5 x
y =iii. ( )37 42=xy Penyelesaian i.( )45 2 3 + = x y( )( ) ( ) 2 5
2 4 31 4+ = xdxdy ( )35 2 24 + = xdxdy ii.( )63 4 5 x y =( )( ) ( )
3 3 4 6 51 6 =xdxdy ( )53 4 90 xdxdy =iii. ( )37 42=xy( )37 4 2 = x
y( )( ) ( ) 4 7 4 3 21 3 = xdxdy ( )47 4 24 = xdxdy@ ( )47 424x MK
4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 9 1.2 PEMBEZAAN PERINGKAT PERTAMA
BAGI HASIL TAMBAH Pertimbangkan dua fungsi dalamx , iaitu( ) x p
dan( ) x q , dan katakan ( ) ( ) ( ) x q x p x f + = . Maka,)] ( [
)] ( [ )] ( [ x qdxdx pdxdx fdxd+ = . Contoh 5 Bezakan yang berikut
terhadap x : i.7 5 43+ = x x yii. 913142 + = x xxyiii. iv. v.
Penyelesaian i.7 5 43+ = x x y ( ) 0 5 3 41 3+ =xdxdy 5 122 = xdxdy
ii. 913142 + = x xxy 913214 2 + =x x x ( ) 0 )21( 4 3 ) 2 (1211 4 1
2+ + = x x xdxdy 213 32112 2+ = x x x MK 4011-LE1-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 10 iii. iv.)
v.
MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 11 SOALAN : 1. Bezakan
terhadapx : a)-8 b)x74c) x4 d) 5xe) 63x f) 461xg) 525xh) 376x
i)4435+ + = x x yj) 61419 x y + =k)17235 + =x xxyl)) 5 (3 = x x y
m)( )23 2 = x yn)( )37 5 4 = x y MK 4011-LE1-ISPINDAAN : 1MUKASURAT
12 o)32 3469 =xx yp) 25 438xx xy+=q) xx xy) 5 )( 4 ( + = RUJUKAN :
1.Matematik STPM (Tulen), Sukatan S & T, Pelangi, 1995.
2.Matematik Tambahan KBSM , Yee Cheng Teik Federal Publication
3.Matematik Tambahan tingkatan 4 & 5, Pelangi , Khoo Cheng
4.Matematik Tambahan , Sukses Lengkap Pustaka Delta Pelajaran Sdn
Bhd 5.Matematik Asas Jilid 1 , UTM 6.Nota Panduan Politeknik MK
4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 13 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA
MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN NAMA
KLUSTERSUBJEK UMUM -MATEMATIK KEJURUTERAAN 4 KOD DAN NAMA MODUL MK
4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4 PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE2PENGAMIRAN
NO. TUGASAN BERKAITAN 2.1 PENGAMIRAN TAK TENTU2.2 PENGAMIRAN
TENTUOBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN (TPO)
KENALPASTIPERMASALAHANMATEMATIKKEJURUTERAAN
DENGANMENGGUNAKANKAEDAHPENGAMIRANSUPAYA PELAJAR BOLEH : 1. DAPAT
MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANGBERKAITAN DENGAN BETUL. 2.
DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DIBENGKEL UNTUK SUBJEK
TERAS. OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI
BOLEH :- MENGETAHUI ISTILAHDAN KONSEP PENGAMIRAN SERTA BOLEH
MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN. MK 4011-LE2-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 14 2.PENGAMIRAN TUJUAN:
Kertaspeneranganiniadalahbertujuanuntukmenerangkanmengenaikonsep
pengamiran yang merangkumi pengamiran tak tentu dan pengamiran
tentu. 2.1 PENGAMIRAN TAK TENTU a)Pengamiran suatu
pemalarkterhadapxialah Contoh 1 Kamirkan setiap yang berikut
terhadapx : i.9 ii. 21 Penyelesaian i. }+ = c x dx 9 9 ii. cxdx +
=}2 21 MK 4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 15 b)Pengamiran nax, di
mana 1 = n, maka Contoh 2 Kamirkan setiap yang berikut terhadapx :
i. 6xii. 43xiii. 51x iv. 423x Penyelesaian i. cxcxdx x + = ++=}+7 1
67 1 66 ii. cxcxdx x + = ++=}+531 4335 1 44 iii. cxcxcxdx x dxx+ =
+= ++ = = + } } 44 1 555414 1 51 iv. cxcxcxdx x dxx+ = +||.|
\| = +||.|
\|+ = = } } + 33 1 444213 231 4 232323 MK 4011-LE2-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 16 c)Pengamiran dengan kaedah penggantian Di beri }+ =
dx b ax yn) ( dengan a, b dan n sebagai pemalar dan 1 = n . Maka, .
) (nb axdxdy+ = Gantikan. b ax u + =Maka, nudxdy=danadxdu= Dengan
menggunakan rumus rantai, dxdududydxdy = audxdudxdydudyn== Kamirkan
dudy terhadap u, . duauyn}= Jadi, , ) ( duaudx b axnn} }= + denganb
ax u + = cn aun++=+) 1 (1 Maka,( )( )( )cn ab axdx b axnn+++=
++}11
MK 4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 17 Contoh 3 i. }+ dx x3) 3 5
( ii. } dx x5) 7 6 ( 3 iii. }+dxx4) 4 2 (1 Penyelesaian i. }+ dx
x3) 3 5 (Gantikan3 5 + = x u ( )cxcucuduudx x++=+ =+((
+== ++} }20) 3 5 (201 3 5153 5441 333 ii. } dx x5) 7 6 (
3Gantikan7 6 = x u( )cxcucuduuduudx x++ =+((
=== }} }127 6126 21263) 7 6 ( 3665555 Kaedah Lain, cxcxdx
x++=+++= ++}20) 3 5 () 1 3 ( 5) 3 5 () 3 5 (41 33 Kaedah Lain,
cxcxdx x+=+((
+= ++}12) 7 6 () 1 5 ( 6) 7 6 (3 ) 3 5 (61 53 MK
4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 18 iii. }+dxx4) 4 2 (1 Gantikan4 2
+ = x ucxcucuduudx x dxx++ =+ =+((
==+ =+}} }333444) 4 2 ( 61613 212) 4 2 () 4 2 (1 2.2 PENGAMIRAN
TENTU a)Jika ( ) ( ) x f x gdxd=, Maka( ) ( ) | |babax g x f =}( )
( ) a g b g = Contoh 5 i. }112) 1 ( dx xii. }513 )1( dxx iii. }20)
4 6 ( dx xiv. } 41) 5 )( 1 ( dx x x
Kaedah Lain cxcxcxdx x dxx++ =++=++ +=+ =++ } }331 444) 4 2 (
616) 4 2 () 1 4 ( 2) 4 2 () 4 2 () 4 2 (1 MK 4011-LE2-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 19 Penyelesaian i. }112) 1 ( dx x =111 21 2+((
+xx =((
+ ((
3) 1 () 1 (3) 1 (13 3
= )34(32 = 2 ii. }513 )1( dxx=}513dx x=511 31 3((
+ + x = 5122((
x =((
((
2) 1 (2) 5 (2 2
=21501+=2512 iii. }20) 4 6 ( dx x =202426((
xx =| |2024 3 x x =| || | ) 0 ( 4 ) 0 ( 3 ) 2 ( 4 ) 2 ( 32 2 = 4
0 4 = MK 4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 20 iv. } 41) 5 )( 1 ( dx x
x =}+ 412) 5 6 ( dx x x =41235 33((
+ x xx =((
+ ) 4 ( 5 ) 4 ( 33423-((
+ ) 1 ( 5 ) 1 ( 33123 =37320 = 9 b)Halaju dan Pecutan Halaju
(v), ialah kadar perubahan jarak (s) dengan masa (t), iaitu dtdsv =
Pecutan (a) ialah kadar perubahan halaju (v) terhadap masa (t)
dtdva = Jika suatu zarah yang bergerak di sepanjang suatu garis
lurus dari satu titik tetap O pada masatsaat ialahsmeter
denganhalaju dan pecutan zarah tersebut masing-masing ialahv1
msdana2 ms . Maka hubungan antara halaju dan pecutanialah: dan dan
MK 4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 21 Contoh 6
Satuobjekdicampakkankebawahdaripadasebuahhelikopterpada masasifar(
) 0 = t .Objekitumempunyaihalajut v 10 13 + =1 ms .Jika
objekitumencecahtanahselepas10saat,apakahjarakhelikopter daripada
tanahpada masas t 10 = ? Penyelesaian :
Selesaikandenganmenggunakankaedahkamirantentu.Hadbagitadalah
daripada 0 hingga 10 saat.Oleh yang demikian, jarak helikopter
daripada tanah
| | 630 0 ) 10 ( 5 ) 10 ( 1351013) 10 13 (21002100= + =((
+ =+ = }ttdt t Dengan itu, ketinggian helikopter pada 10 saat
ialah 630 meter. c)LUAS DAN ISIPADU
Mencariluasrantauantaralengkungdenganpaksi-xyangdibatasioleh a x
=danb x = . Catatan : Maka Luas =( )dx x fba}
a
b y xz0 ( ) x f y =0 y x Luas disebelah bawah paksi-x bernilai
negatif Luas disebelah atas paksi-x bernilai positif MK
4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 22 Contoh 7 Cari luas rantau
berlorek bagi setiap rajah berikut Penyelesaian i.Luas rantau
berlorek =dx x x dx x x )4024 (40) 4 (} } = = 403322(((
xx = 36432 = 332 unit2 ii.Luas rantau berlorek = } 51) 5 )( 1 .(
dx x x=dx x x ) 5 6 (512+ } = 5152333(((
+ x xx =|.|
\|+ |.|
\|+ 5 33125 753125 = 332 unit2
Maka, luas kawasan berlorek = = =unit i.
y = x(4 x) 0 4
y x ii. y y = (x-1)(x-5) 5x 01 5 Nota : Luas yang bernilai
negatif bermakna rantau itu terletak di bahagian bawah paksi-x.
Nilainya perlu dijadikan positif dengan mengenakan modulas ke atas
nilai yang diperolehi. MK 4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 23
Mencariluasrantauantaralengkungdenganpaksi-yyangdibatasioleh a y
=danb y = . Maka, luas rantau yang berlorek adalah = Contoh 8 Cari
luas rantau yang berlorek bagi setiap rajah berikut i) Penyelesaian
: Luas rantau berlorek =dyydy x} }=212214= 21312 (((
y =121128= 127 unit2 y x 0 b a x = f(y) y x 0 2 1 MK
4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 24 ii) Penyelesaian : Luas rantau
berlorek = } + 312) 5 4 ( dy y y=31235 23((
+ y yy = ( ) |.|
\| + + 5 23115 18 9= 38 Maka, luas rantau berlorek = =unit 33 1
0 y x Nota : Luas yang bernilai negatif bermakna rantau itu
terletak di bahagian kiri paksi-y. Nilainya perlu dijadikan positif
dengan mengenakan modulas ke atas nilai yang diperolehi MK
4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 25 Mencari isipadu yang dijanakan
apabila suatu rantau diputarkan 360sekitar paksi x. Maka isipadu
janaan = } ta02dx y
Contoh 9
Cariisipaduyangdijanakanapabilarantauberlorekberikutdiputarkan
melalui 360 sekitar paksi-x. Penyelesaian Isipadu janaan = } t202dx
y= } t20dx ) x 2 (=dx x 220}t= 2022x2((
t=) 0 4 ( t= 4t unit3 y 0xa y x 20 y2=2x MK 4011-LE2-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 26 Mencari isipadu yang dijanakan apabila suatu rantau
diputarkan 360sekitar paksi y. Maka isipadu janaan=}ady x02 Contoh
10 Cariisipaduyangdijanakanapabilarantauberlorekberikutdiputarkan
360sekitarpaksi y.
Penyelesaian Isipadu janaan= } }|.|
\|t = t20202dy4ydy x = }t20ydy4 = 2022y4((
t = ||.|
\|t02242 = 2t unit3 .
y x y=4x2 0 2 y a x X2 MK 4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 27
SOALAN :
2 } 3dt3xdx9} 4x dx}2 543xdx }6 524x}7 }dxx2) 7 4 (1 8 }+ dxxx
)2( 9 } +322) 1 2 ( dx x x10 }212) 4 ( dx x x11 }21) 4 6 ( dx x x12
}+412) 2 (1dxx 13Satu zarah, P, bergerak di sepanjang suatu lurus
supaya sesarannya, s meter, dari satu titik tetapO atas garis ini
diberi oleh( )23 = t t sdengantialah masa dalam saat selepas
melaluiO. Cari a)halaju P apabila t = 2, b)nilai-nilai t apabila P
berhenti untuk seketika, c)pecutan P apabila t = 4. MK
4011-LE2-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 28 14Cari luas rantau berikut:
15Cari isipadu yang terjana .
x y 20 y=2x(x-2) y x y=6x2 0 3 MK 4011-LE2-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 29 RUJUKAN : 7.Matematik STPM (Tulen), Sukatan S &
T, Pelangi, 1995. 8.Matematik Tambahan KBSM , Yee Cheng Teik
Federal Publication 9.Matematik Tambahan tingkatan 4 & 5,
Pelangi , Khoo Cheng 10.Matematik Tambahan , Sukses Lengkap Pustaka
Delta Pelajaran Sdn Bhd 11.Matematik Asas Jilid 1 , UTM 12.Nota
Panduan Politeknik MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 30 INSTITUSI
LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA
KERTAS PENERANGAN NAMA KLUSTERSUBJEK UMUM - MATEMATIK KEJURUTERAAN
4 KOD DAN NAMA MODUL MK 4011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 4 PENGALAMAN
PEMBELAJARAN LE3MATRIKS NO. TUGASAN BERKAITAN 3.1PENGENALAN MATRIKS
3.2ALGEBRA MATRIKS 3.3 SONGSANGAN MATRIKS OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN
(TPO) KENALPASTIPERMASALAHANMATEMATIKKEJURUTERAAN
DENGANMENGGUNAKANKAEDAHMATRIKSSUPAYAPELAJAR BOLEH : 1. DAPAT
MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANGBERKAITAN DENGAN BETUL. 2.
DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DIBENGKEL UNTUK SUBJEK
TERAS. OBJEKTIF MEMBOLEH (EO) DIAKHIR PEMBELAJARAN PELAJAR MESTI
BOLEH :- MENGETAHUIDAN MEMAHAMI KONSEP MATRIKS SERTA BOLEH
MENGAPLIKASIKANNYA DALAM SITUASI SEHARIAN. MK 4011-LE3-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 31 3.0MATRIKS
TUJUAN:
1)Takrifkandanmengenalmatriks,tatatandamatriks,peringkatmatriks,
jenis-jenismatriks:matriksbaris,matrikslajur,matrikssifar,matriks
segiempatsama,matrikspepenjuru,matriksidentiti,matrikssimetri,
matriks sama dan matriks transposisi .
2)Selesaikanmasalahalgebramatriksyangmelibatkanoperasitambah, tolak
dan darab. 3)Selesaikan masalah songsangan matriks. 3.1 PENGENALAN
MATRIKS Matriksadalahnombor-nomboryangdiaturdalambarisdanlajuruntuk
membentuksusunansegiempattepat.Biasanyadilambangkandengan huruf
besar tebal atau huruf besar yang digariskan di bawah, misalnyaA
atau A. Peringkat Matriks Suatu matriks A yang mempunyai m baris
dan n lajur dikenal sebagai matriks berperingkat m x n, contohnya
matriks berikut :
Matriks diatas mempunyai 2 baris dan 3 lajur. Maka peringkat
matriks ini ialah 2 x 3. Contoh: Baris 1 Baris 2 Lajur 1Lajur
2Lajur 3 MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 32 Berikan peringkat
matriks di bawah: |||||.|
\|0 4 79 3 36 6 31 9 4 Penyelesaian: Matriks di atas mempunyai
empat baris dan tiga lajur. Oleh itu peringkat matriks
adalahmatriks 4 x 3. Unsur Matriks Setiap nombor di dalam matriks
itu dikenali sebagi unsur. Secara amnya, unsur-unsur pada baris
ke-i dan lajur ke-j bagi matriks A diwakili oleh aij. A =
3.2JENIS-JENIS MATRIKS Matriks Baris - Matriks baris ialah matriks
yang berperingkat 1 x n.Berikut ialah beberapa contoh matriks baris
bagi n yang berlainan:
Matriks Lajur - Matriks lajur ialah matriks yang berperingkat n
1.Unsur a i j Baris Lajur MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 33
Berikut ialah beberapa contoh matriks lajur bagi n yang berlainan:
Matriks Sifar, Om x n , adalah satu matriks yang semua unsurnya
sifar.Berikut ialah contoh-contoh matriks sifar bagi peringkat yang
berlainan. ||.|
\|=0 0 00 0 03 2 xO , |||.|
\|=0 0 00 0 00 0 03 3 xO Matriks Segiempat Sama ialah matriks
yang berperingkat m x n dan m = n, iaitu bilangan baris dan lajur
yang sama 2 29 45 0x||.|
\| 3 35 0 34 7 10 9 2x|||.|
\| Matriks IdentitiIn, ialah matriks segiempat sama, yang
mempunyai unsur pepenjuru utamanya bersamaan dengan 1 manakala
semua unsur lainnya sifar, iaitu ,1 0 00 1 00 0 1,1 00 13 2((((
=((
= I I Matriks pepenjuru ialah matriks segiempat sama yang
mempunyai semua unsur di atas dan di bawah pepenjuru utamanya
adalah sifar.4 43 32 21 0 0 00 3 0 00 0 2 00 0 0 21 0 00 1 00 0 51
00 2xxx(((((
((((
((
MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 34 Matriks segitiga atas
merupakan suatu matriks segiempat sama yang mempunyai unsur di
bawah pepenjuru utamanya adalah sifar. (((((
((((
((
nnnnnxxaa aa a aa a a a03 332 23 221 13 12 113 32 23 0 04 1 02 1
31 03 2 Matriks segitiga bawah merupakan suatu matriks segiempat
sama yang mempunyai unsur di atas pepenjuru utamanya adalah
sifar.((((((
((((
((
nn n nxxa a aa aa 2 122 21113 32 23 4 20 1 10 0 31 30 20
3.3MATRIKS SAMA DuamatriksAdanB
ialahmatrikssamajikakedua-duamatrikstersebut
mempunyaiperingkatyangsamadansetiapunsuryangsepadanjuga adalah
sama. Jika matriks ||.|
\|=d cb aAdan matriks ||.|
\|=n ml kB , maka matriks Adan B adalah sama jika unsurm c l b k
a = = = , ,dann d = Contoh : Tentukan samada matriks di bawah
adalah sama: i) ii) iii) MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 35
Penyelesaian: i)Matriks A dan matriks B adalah sama kerana
mempunyai peringkat yang sama dan pasangan unsur yang sepadan juga
adalah sama. ii)Matriks C dan matriks D adalah sama kerana
mempunyai peringkat yang sama dan pasangan unsur yang sepadan juga
adalah sama. iii)MatriksEdanmatriksFadalahBUKANmerupakanmatrikssama
kerana peringkat kedua-dua matriks tidak sama. 3.4MATRIKS
TRANSPOSISI Jika ditukar ganti baris dengan lajur matriks Ayang
berperingkatmx n, kita mendapat satu matriks yang baru berperingkat
n x m. Matriks
inidinamakanmatrikstransposisiatautransposisimatriksasaldania
dilambangkan sebagai AT. Jika A = |||.|
\|32 3122 2112 11a aa aa amaka AT = ||.|
\|23 22 2113 12 11a a aa a a Oleh itu, jika A = |||.|
\|1 0 66 1 20 0 2 maka matriks tranposisi untuk A, AT =
|||.|
\| 1 6 00 1 06 2 2 Perhatikan bahawa baris pertama menjadi lajur
pertama, baris kedua menjadi lajur kedua dan seterusnya. MK
4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 36 Tranposisi bagi matriks
transposisi memberi matriks asal A iaitu, (AT)T = A Sifat-sifat
Matriks Transposisi -( AT )T = A - (kA)T = k ( AT) -( A + B )T = AT
+ BT -(AB)T = BTAT 3.5ALGEBRA MATRIKS 3.5.1PenambahanMatriks Dua
matriks, A dan B, hanya boleh ditambah jika kedua-dua matriks itu
mempunyai peringkat yang sama. Penambahan matriks akan menghasilkan
matriks lain yang juga berperingkat yang sama. Katakan A = (aij)
dan B = (bij) berperingkat sama, iaitu m x n.Maka, A + B = (aij) +
(bij) = (bij + aij), dan A + B juga berperingkatm x n. Contoh:
Katakan, | |2 11 2 2 2 2 23 2 ,11,1 02 0,1 02 1 =((
=((
=((
= D C B A Dapatkani)A + B, ii)B + Ciii)C + D MK
4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 37 Penyelesaian : i) ((
+((
= +1 02 01 02 1B A ((
+ + + +=1 1 0 0) 2 ( 2 0 1 ((
=0 00 1 ii)Peringkat B ialah 2 X 2 dan peringkat C ialah 2 X 1.
Kedua-dua matriks tidak boleh ditambah kerana peringkat matriks
tidak sama. iii)Peringkat C ialah 2 X 1 dan peringkat D ialah 1 X
2. Kedua-dua matriks tidak boleh ditambah kerana peringkat matriks
tidak sama. Nota : Dua matriks A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn
dikatakan sama jika aij = bij bagi semua i =1, , m, j =1, , n
Sifat-sifat Penambahan Matriks Katakan A, B, C, O berperingkat
sama. Maka, -A + B = B + A -A + (B + C ) = (A + B) + C -A + O = O +
A = A MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 38 3.5.2Penolakan Matriks
Dua matriks, A dan B, hanya boleh ditolak jika kedua-dua matriks
itu mempunyai peringkat yang sama. Penolakan matriks akan
menghasilkan matriks lain yang juga berperingkat yang sama. Katakan
A = (aij) dan B = (bij) berperingkat sama, iaitu m x n.Maka, A-B =
(aij) - (bij) = (bij - aij), dan A - B juga berperingkat m x n
Contoh: Diberi, | |2 11 2 2 2 2 23 2 ,11,1 02 0,1 02 1 =((
=((
=((
= D C B A Dapatkani) A B ii) B Aiii)C D Penyelesaian: i) ((
((
= 1 02 01 02 1B A ((
=1 1 0 0) 2 ( 2 0 1 ((
=2 04 1 ii) ((
((
= 1 02 11 02 0A B ((
=) 1 ( 1 0 02 2 1 0 ((
=2 04 1 iii)Kedua-dua matriks tidak boleh ditolak kerana
peringkat matriks tidak sama. MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 39
Sifat-sifat Penolakan Matriks -A B = B A tetapi A B = (B A)-A (B +
C) = A B C tetapi A (B C) = A B +C
3.5.3Pendaraban Matriks dengan Skalar Pendaraban matrks dengan
suatu skalar ialah pendaraban setiap unsur dalam matriks dengan
skalar tersebut. Jika A = ((
d cb adank ialahskalar,maka hasil darab kA = k ((
d cb a = ((
kd kckb ka Contoh : Katakan,| | 4 3 2 11 02 1=((
= B dan A . Dapatkani)3Aii)B41 Penyelesaian : i) ((
=1 02 13 3A ( ) ( )( ) ( )((
=1 3 0 32 3 1 3 ((
=3 06 3 MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 40 ii)| | 4 3 2
14141= B( ) ( ) ( ) ( )((
= 441341241141 ((
= 1432141 Sifat-sifat Pendaraban Matriks dengan Skalar Katalah
A, B, O berperingkat m x n dan k, k1, k2 skalar. -k(A+B ) = kA + kB
-(k1 + k2)A = k1A+ k2A -(k1k2)A = k1(k2 A) - 1.A = A -0.A = O MK
4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 41 3.5.4Pendaraban Matriks dengan
Matriks Dua matriks hanya boleh didarabkan jika bilangan lajur
matriks pertama sama dengan bilangan baris matriks kedua. Jika A
ialah matriks m x n dan B adalah matriks p x q, maka hasil darab AB
hanya boleh dilakukan jika n = p dan peringkat matriks yang
terhasil adalah m x q. Contoh : A = |||.|
\|9 8 76 5 43 2 1 dan B = |||.|
\|321, Maka A xB = C Peringkat matriks : Kaedah mendarab 2
matriks Jika A = |||||.|
\|mn mnna aa a aa a a..... .....: : : :::12 22 211 12 11 danB =
|||||.|
\|jk jkkb bb b bb b b.... ....: : : :........12 22 211 12 11
matriks m x nmatriks j x k 3x3 3x1 3 x 1 = MK 4011-LE3-ISPINDAAN :
1MUKASURAT 42 dimana c11 = a11 x b11 + a12 x b21 + a13 x b31+ + a1n
x bj1 c12 = a11 x b12 + a12 x b22 + a13 x b32 + + a1n x bj2 c21 =
a21 x b11 + a22 x b21 + a23 x b31 + + a2n x bj1 dan seterusnya
sehingga cmk = am1 x b1k + am2 x b2k + am3 x b3k + + amn x bjk
Contoh : Dapatkan hasildarab matriks berikut: i) ||.|
\||||.|
\|1 00 22 31 10 2 ii) |||.|
\|||.|
\|2012 3 16 1 2 iii)( )|||.|
\|1213 1 2 iv) |||.|
\|||.|
\|2131 00 2 v) ||.|
\||||.|
\|023 21 12 3 MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 43 Penyelesaian
: i)|||.|
\| =|||.|
\|+ + + ++ +=||.|
\||||.|
\|2 61 20 4) 1 ( 2 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 2 ( 3) 1 )( 1 ( ) 0 ( 1 ) 0
)( 1 ( ) 2 ( 1) 1 ( 0 ) 0 ( 2 ) 0 ( 0 ) 2 ( 21 00 22 31 10 2
ii)||.|
\|=||.|
\| + + + +=|||.|
\|||.|
\|314) 2 ( 2 ) 0 )( 3 ( ) 1 ( 1) 2 )( 6 ( ) 0 ( 1 ) 1 ( 22012 3
16 1 2 iii)( ) ( ) ( ) 7 ) 1 )( 3 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( 21213 1 2 = + +
=|||.|
\|iv) |||.|
\|||.|
\|2131 00 2 tidak boleh didarabkan kerana bilangan lajur matriks
matriks pertama berbeza dengan bilangan baris matriks kedua. v)
|||.|
\|=|||.|
\| + ++=||.|
\||||.|
\|426) 0 )( 3 ( ) 2 ( 2) 0 )( 1 ( ) 2 ( 1) 0 ( 2 ) 2 ( 3023 21
12 3 Sifat-sifat Pendaraban Matriks dengan Matriks -ABBA -A(BC) =
(AB)C -A(B+C) = AB + AC -(A + B)C = AC + BC -A I = I A, dengan A
dan I berperingkat n n MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 44
3.6SONGSANGAN MATRIKS
JikaA,BadalahmatrikssegiempatsamadanIadalahmatriksidentiti dengan
keadaan AB = BA = I, maka A adalah songsangan kepada B dan boleh
ditulis sebagai B-1.
Walaubagaimanapuntidaksemuamatrikssegiempatsamamempunyai
songsangan.Matriksyangnilaipenentunyasifartidakmempunyai
songsangan. Ia disebut Matriks Singular. Songsangan matriks boleh
diperolehi dengan rumus berikut : Jika matriks ||.|
\|=d cb aAmaka||.|
\|=a cb dbc adA11 Contoh : Dapatkan songsangan bagi matriks
||.|
\|8 52 1
Penyelesaian : ||.|
\| =||.|
\|1 52 8) 5 )( 2 ( ) 8 ( 118 52 11
||.|
\|+ =1 52 810 81
=21||.|
\|1 52 8 MK 4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 45 SOALAN 1.
Nyatakan peringkat setiap matriks yang berikut i) ((((
302ii) ||.|
\| 10 2 89 7 3iii) ||||.|
\| 1812141iv) |||.|
\|1 34 12 1 v)( ) 5 2. Berikan definisi beserta contoh bagi
setiap matriks yang berikut i.Matriks sifar ii.Matriks identiti
iii.Matriks pepenjuru 3. Selesaikan soalan dibawah a)( ) ( ) 4 2 4
2 0 1 + b) |||.|
\| |||.|
\|+|||.|
\|2104302543 a)( ) ( ) 1 12 3 17 b) ||.|
\|+||.|
\|7 35 339 79 152 e) ||.|
\|||.|
\|0 20 43 12 0 f)||.|
\|||.|
\|0 21 93 12 2 4. Diberi matriks A||.|
\| 6 54 3 dan B||.|
\| 64yx, dan matriks A = B dapatkan nilai bagi x dan y. MK
4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 46 5. Diberi ((
=3 54 2A dan | | 3 8 3 = B , dapatkan TAdan TB 6. Cari
songsangan bagi matriks ||.|
\|9 63 2 MK4011-LE3-ISPINDAAN : 1MUKASURAT 47 RUJUKAN: 1.Nota
Internet-www.quicmath.com 2.Algebra Asas, Mustafa Mamat &
Zarina Ibrahim, Dewan Bahasa dan Pustaka (1995)
