Matematika 2 ((HAA))

8/18/2019 Matematika 2 ((HAA))

1/52

Matematika 2

Harits Atika A., S.Si., M.Si.

[email protected]

WA: +62857367356

mailto:[email protected]:[email protected]


2/52

Materi Perkuliahan


3/52

Pengertian Integral


4/52

Pengintegralan fungsi f ( x ) terhadap x

dinotasikan sebagai berikut :

• notasi integral (yang diperkenalkan oleh

Leibniz, seorang matematikawan Jerman)

• f ( x ) fungsi integran

• F ( x ) fungsi integral umum yang bersifat!( x) f ( x )

• c konstanta pengintegralan

( ) ( ) c x F dx x f +=∫ ∫


5/52

• Jika f "( x ) # x n, maka , n

≠ -1, dengan $ sebagai konstanta

( ) c xn x f n

++= +!

!!


6/52

Integral Tak Tentu

• apabila terdapat fungsi F ( x ) yang dapat

didiferensialkan pada inter%al sedemikian

hingga maka antiturunan dari f ( x ) adalah

F ( x ) & c

• 'e$ara matematis, ditulis

( ) ( ) c x F dx x f +=∫


7/52

• di mana

• Lambang integral yangmenyatakan operasi antiturunan

• f ( x ) ungsi integran, yaitu fungsi yang

di$ari antiturunannya• c onstanta

∫ dx


8/52

Teorema 1

• Jika n bilangan rasional dan n ≠ , maka

, c adalah konstanta*

+ontoh:

c xn

dx x nn ++

= +∫ !

!

!


9/52

Teorema 2

• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k

suatu konstanta, maka

( ) ( )∫ ∫ = dx x f k dx xkf


10/52

Teorema 3

• Jika f dan g fungsifungsi yang

terintegralkan, maka

( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +=+ dx x g dx x f dx x g x f


11/52


12/52

Teorema 5

• Aturan integral substitusi

• Jika u suatu fungsi yang dapat

didiferensialkan dan r suatu bilangan

rasional tak nol maka

, dimana $ adalah konstanta dan r - *

( )( ) ( ) ( )( )∫ ++=

+c xu

r dx xu xu

t r !

!

!"


13/52

Teorema 6

• Aturan integral parsial

• Jika u dan v fungsifungsi yang dapat

didiferensialkan, maka

∫ ∫ −= vduuvudv


14/52

Teorema 7

• Aturan integral trigonometri

• dimana $ adalah konstanta*

c x x

c x xdx

c x xdx

+=

+−=

+=

∫

∫

∫

tanc#s

!

c#ssin

sinc#s

2


15/52

∫ =+ ...$%&2.!52 dx x x

→ ⇒ x

dudx2

=

∫ ∫ ++=+== c xcuduu 62655 $%&

6

!

6

!

2'

du2'u

$...&!

2.2

3

2

latihanbuat x

dx x∫ =

+

M()*( S-))S

a/am m0n10/0saikan masa/ah int0grasi 0rtama tama kita

m0ngusahakan m0ngu4ahn1a m0nadi 40ntuk rumus dasar

d0ngan m0nggunakan aria40/ /ain & su4titusi $

#nt#h :

Jawab :u # ./ & 0 du # /. d.


16/52

∫ ∫ ∫ −= duvvud dvu .$.&.

∫ ∫ −= duvvudvu ...

∫ duv ∫ dvu.

1234567L P76'17L

Misalkan u dan % fungsi yang differensiabel

terhadap ., maka :

d(u*%) # %*du & u*d%

u*d% # d(u*%) %*du

harus lebih mudah dari

yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :()* 8agian yang terpilih sebagai d% harus mudah diintegral*

(/)*


17/52

∫ dx x /n

∫ dvu.

/n '=u dxdu

'

! =

∫ dx x /n ∫ − dx x x !

+ontoh :

#Jawab :

d% # d. % # .

Jadi :

# .ln .

# . ln . . & $

∫ ∫ −= duvvudvu ...


18/52

Integral Fungsi Trigonometri

Perlu diingat!!!!

'ifatsifat trigonometri yang biasa

dipakai di dalam fungsi integral


19/52

6umus dasar integral fungsi trigonometri


20/52

entuk Integral Trigonometri• 7pabila kita menggunakan metode penggantian dan disertai dengan

pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat

mengintegralkan banyak bentuk trigonometri*• 3iga 9enis integral yang sering di9umpai :

ι. ∫ sin n x dx dan ∫ cos n x dx

ιι. ∫ sin m x cos n x dx

ιιι. ∫ sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx

i "enis sin n # d# dan $os n # d#

;ntuk n # gan9il, digunakan kesamaan : sin2 x + cos2 x =1

+ontoh <

/=


21/52

;ntuk n # genap, digunakan kesamaan :

sin2 x # > (1 - cos 2x ) cos2 x # > (1 + cos 2x )

+ontoh ?*

∫ sin 2 x dx = ∫ > (1 - cos 2x ) dx # > ∫ dx @ ∫ cos 2x (2) dx

# > ∫ dx @ ∫ cos 2x d(2x)

= > x – @ sin 2x + c

ii "enis sin m # $os n # d#

;ntuk m atau n gan9il sedang eksponen lain merupakan bilangan

sembarang, maka dikeluarkan sin . atau $os . dan digunakan

kesamaan : sin2 x + cos2 x =1

+ontoh A*

/


22/52

• ;ntuk m dan n genap maka digunakan kesamaan :

sin2 x # > (1 - cos 2x ) cos2 x # > (1 + cos 2x )

+ontoh B*

//


23/52

iii "enis sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx

1ntegral 9enis ini banyak digunakan dalam teori arus bolakbalik, teori

perpindahan panas dan teoriteori yang menggunakan deret

ourier*

;ntuk menyelesaikan integral 9enis ini digunakan kesamaan

sebagai berikut* sin mx cos nx = ½ Csin (m+n) x+ sin (m - n) x D

sin mx sin nx = - ½ Ccos (m+n) x - cos (m - n) x D

cos mx cos nx # > Ccos (m+n) x+ cos (m - n) x D

+ontoh =*

/E


24/52

,222 xba − atau xba ,222 +222 a xb −

222 xba − z b

a x sin= z a xba c#s

222 =−

222 xba +

z tg b

a x = z a xba s0c222 =+

222 a xb − z ba

x s0c= z tg aa xb 222 =−

';8313;'1 3615F2FM4361

Jika 1ntegran mengandung salah satu dari bentuk :,

dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat

ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan

menggunakan %ariabel baru :

8entuk 'ubtitusi Memperoleh


25/52

'ubsitusi trigonometri

;ntuk mensubtitusi bentuk

dan dengan dan


26/52

∫ =−

....%9

.!2

dx x

x

z x sin2

3= zdz dx c#s

2

3= c#s3%9 2 z x =−

∫ ∫ ∫ ==− dz z z

dz z

z

z dx

x

x

sin

c#s3$c#s

2

3&

sin2

3

c#s3%9 22

∫ ∫ − dz z dz z ec sin3c#s3

c x x

x+−+

−−= 2

2

%9:2

%93:/n3

$ontoh :

9awab :

→ ,

Jadi,

# E ln G$ose$ z $tg zG & E $os z & $

=

−

∫ dz z z

sin

sin!

3

2


27/52

∫ =+

....%

.222 x x

dx

z tg x 2= zdz dx 2s0c2= s0c2% 2 z x =+

∫ =+ 22 % x x

dx∫ =dz z z tg

z

$s0c2$&%&

s0c22

2

∫ dz z z 2sin%

c#s

=∫ z z d

2sin

$&sin

%

!c

z +−

sin%

!c

x

x++−=

%

% 2

9awab :

→ ,

Jadi,


28/52


29/52

3;57' 37M87H72

uat rangkuman rumus%rumus integral!!

ualifikasi:

* 3ugas indi%idu (3ulis 2ama, 2PM, elas)

/* Iitulis rapi di kertas folio maksimal lembar

(/ halaman)

E* 8uat selengkaplengkapnya (Modal ;3'

;7')

0* umpulkan copy annya sa9a minggu depan

//KEK=<


30/52

1ntegral ungsi 6asional

nnnnn a xa xa xa xa +++++ −−− !

22

!! ......

ungsi 6asional pembgin du po!inomi!

'ebuah polinom dalam . adalah sebuah fungsi berbentuk :


31/52

$&

$&$&

xQ

x P x H =

22

22$&

23

2

+−+

++=

x x x

x x x H

ungsi H(.) disebut fungsi rasional 9ika :

dimana P(.) dan (.) adalah polinom

Jika dera9at P(.) lebih rendah dari dera9at (.), maka H(.)

disebut “&asional 'e(ati”

+ontoh :


32/52

'edangkan 9ika dera9at P(.) lebih tinggi dari dera9at (.),

maka H(.) disebut “&asional Tidak 'e(ati”

+ontoh :

%

2336

%

!3!$&

2

2

2

2%

−

−+−=

−

++−=

x

x x

x

x x x x H

;ntuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,

$&

$&

xQ

x P : ditulis sebagai 9umlah dari bagian yang lebih

sederhana dengan menguraikan (.) dalam hasil

kali faktorfaktor linier atau kuadratis, yaitu :


33/52

$$.....&$&&$& 2! na xa xa x xQ +++=

$&.....

$&$&$&

$&

2

2

!

!

n

n

a x

A

a x

A

a x

A

xQ

x P

+++

++

+=

1) Faktor *+# semua linier dan tak berulang,

, maka :

, misal :

, maka :

, sehingga :


34/52

na x xQ $&$& +=

nn

a x A

a x A

a x A

xQ x P

$&.....

$&$&$&$&

22!

+++

++

+=

2) Faktor *+# semua linier berulang,

, maka :

, misal :


35/52

-onto. lagi/

3 *+# adala. 0aktor kuadrat ang tak berulang


36/52

$$....&$&&$& 22222!!2! nnn c xb xac xb xac xb xa xQ ++++++=

$&....

$&$&$&

$&2

222

2

22

!!2

!

!!

nnn

nn

c xb xa

B x A

c xb xa

B x A

c xb xa

B x A

xQ

x P

++++

++++

+++=

3) *+# adala. 0aktor kuadrat ang tak berulang,

, maka :

, misal :

, dst))

, uktikan ba.a

4 *+# adala. 0aktor kuadrat ang berulang


37/52

mcbxax xQ $&$& 2 ++=

m

mm

cbxax

B x A

cbxax

B x A

cbxax

B x A

xQ

x P

$&....

$&$&$&

$&22

22

2

!!

+++++

++++

+++=

4) *+# adala. 0aktor kuadrat ang berulang,

, maka :

, misal :

, dst))

, uktikan ba.a

-onto. Integral 0ungsi rasional


38/52

-onto. Integral 0ungsi rasional

1.)

2.)

I = …?


39/52

'ubtitusi lain*

'ubtitusi lain


40/52

'ubtitusi lain*


41/52

3;57'

I t l T T t


42/52

• 1ntegral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang

nilainilai %ariabel bebasnya (memiliki batasbatas)tertentu*

• Jika fungsi terdefinisi pada inter%al tertutup Ca,bD , maka

integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh :• Iimana :

• f(.) : integrana : batas bawah

b : batas atas

Integral TerTentu

∫ b

a

dx x f $&

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU


43/52

KAIDAH KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

[ ] $&$&$&$& a F b F x F dx x f b

a

b

a

−==∫ [ ] ( )

( ) 6,6!8323!255

!

25

5

!

5

!

5

555

2

5

5

2

5

2

5%

=−=

−==

=∫ x

xdx x

∫ =a

a

dx x f $& [ ] ( )

( ) 32325

!

225!

5!

5552

25

2

2

2

2

5

%

=−=

−==

=∫ x xdx x

∫ ∫ −=b

a

a

b

dx x f dx x f $&$& [ ] ( )

( ) 6,6!83!25325

!

525

!

5

!

5

552

5

5

2

5

2

5

5%

=−−=

−−=−=

−=− ∫ x x

dx x


44/52


45/52

3;57' /


46/52

1ntegral 3ak 'ebenarnya


47/52

asus


48/52

asus


49/52

asus


50/52

asus


51/52

asus /


52/52

;1NOOO

Documents

Matematika 2 ((HAA))