MATEMATIKA 3:

1: PENDAHULUAN

Lecturers : Ir. Bachtiar KurniawanCourse : Aeronautical Engineering

1

Reference(s)2

Kreizig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 9th

Edition, Jon Wiley and Sons, Inc.

Purcell, E., Calculus and Geometric Analysis, Mc Graw Hill

Leithold, L., Calculus and Geometric Analysis , Harper Row

Rules

Hanya 2 kali ijin tidak masuk (misal: sakit harus ada

surat keterangan dokter)

Nilai berasal dari:

20% Tugas, keaktifan di kelas

30% UTS

50% UAS

Attitude: kejujuran (tidak mencontek waktu

ujian), sikap

3

4

Silabus AMTO (Basic Math)

o operasi matematika dasar: tambah, kurang, kali, bagi

o operasi perpangkatan

o menghitung luas (area) bangun datar dan volume benda

o membaca chart dan grafik

o mengkonversi satuan-satuan fisik

Silabus (0) {skip for ext. S1}

Silabus (1)5

Aljabar Linear : Matriks, Vektor, Determinan, Sistem Linear

o Matriks, Vektor: penjumlahan dan perkalian skalar.

o Perkalian Matriks

o Sistem Persamaan Linear: Eliminasi Gauss

o Determinan

o Rank Matriks

o Inverse Matriks

o Masalah Nilai Eigen Matriks

Kalkulus Vektor:

o Differential Vektor

• Vektor dalam 2-D dan 3-D

• Inner Product (dot product)

• Vector Product (cross product)

• Fungsi Skalar dan Vektor, Medan (fields). Turunan (derivatives)

6

• Turunan Berarah (directional derivative). Gradient Medan Skalar.

• Divergence Medan Vektor

• Curl Medan Vektor

o Integral Vektor:

• Integral Tunggal (Line integral)

• Integral Double

• Theorema Green

• Integral Permukaan (Surface Integral)

• Interal Triple. Divergence Theorema Gauss.

• Theorema Stokes

+ Fungsi Kompleks

Silabus (2)

Refresh: Basic Math (1) {skip for ext. S1}7

o operasi matematika dasar: tambah, kurang, kali, bagi ok

o operasi perpangkatan ok

o menghitung luas (area) bangun datar dan volume benda

Rectangler, square, triangle, circle, trapesium

Case: hitung luas (area) sayap rectangle, sayap taper, sayap swept-back, sayap delta,

irisan fuselage berbentuk linkaran.

8

Refresh: Basic Math (2) {skip for ext. S1}

o membaca chart dan grafik

o mengkonversi satuan-satuan fisik

Matriks dan Vektor (1)9

Matriks

Definisi:

Susunan bilangan atau fungsi dalam baris dan

kolom berbentuk persegi panjang dalam kurung [].

Bilangan-bilangan (atau fungsi-fungsi) tersebut

disebut elemen-elemen dari matriks.

10

Contoh :

Matriks dan Vektor (2)

2 baris

3 kolom

3 baris

3 kolom

Matriks Persegi

Matriks Baris

Matriks Kolom= Vektor Baris

= Vektor Kolom

11

Contoh Pemakaian Matriks

Sistem Linear (Persamaan Simultan):

4x1 + 6x2 + 9x3 = 6

6x1 - 2x3 = 20

5x1 – 8x2 + x3 = 10

Koefisien-koefisien variabel-variabel adalah elemen matriks, katakanlah

A,

Matriks dan Vektor (3)

12

Penjualan Suatu Toko

Matriks dan Vektor (4)

M T W Th F S

400 330 810 0 210 470 I

0 120 780 500 500 960 II

100 0 0 270 430 780 III

A =

Jika ada 10 toko, maka dapat dibuat 10 matriks serupa. Dengan

menjumlahkan 10 matriks tersebut kita akan mendapatkan hasil

penjualan untuk sepuluh toko dalam satu minggu.

Bisakah anda menyebutkan contoh lainnya?

13

Konsep Umum dan Notasi

Matriks ditulis dalam huruf kapital cetak tebal, misal

A, B, C, dan elemen-elemennya dalam kurung seperti

A = [aij]

Matriks dan Vektor (5)

Matriks m x n

diagonal

utama, ann

Matriks persegi n x n

14

Penjumlahan Matriks dan Perkalian Skalar

Matriks dan Vektor (6)

Matriks dan vektor sangat sesuai untuk komputasi salah satu hal

yang utama adalah karena matriks dan vektor dapat

diperlakukan seperti bilangan biasa. (meaning: semua operasi

pada bilangan berlaku juga pada matriks dan vektor)

15

Kesamaan Matriks

Definisi:

Dua matriks A = [ajk] dan B = [bjk] dikatakan sama, atau A = B jika dan hanya jika keduanya mempunyaiukuran sama dan elemen yang bersesuaian(kedudukannya) sama, artinya

a11 = b11, a12 = b12, dst.

Contoh.

Matriks dan Vektor (6)

16

Penjumlahan Matriks

Definisi:

Jumlah dua matriks A = [ajk] dan B = [bjk] yang

ukurannya sama, ditulis A + B, dan mempunyai

elemen ajk + bjk yang dihasilkan dari elemen-elemen

yang bersesuaian dari A dan B.

Matriks dan Vektor (7)

Matriks-matriks yang berukuran berbeda tidak dapat dijumlahkan!!

Contoh.

17

Perkalian Skalar (perkalian matriks dengan

bilangan)

Definisi:

Produk (hasil kali) matriks ukuran mxn A = [ajk]

dengan skalar c ditulis cA adalah matriks ukuran

mxn cA = [cajk] yang diperoleh dengan mengalikan

setiap elemen A dengan c.

Matriks dan Vektor (8)

Contoh.

18

Aturan Penjumlahan Matriks

a. A + B = B + A

b. (A + B) + C = A + (B + C)

c. A + 0 = A

d. A + (-A) = 0 (matriks nol)

Aturan Perkalian Skalar

a. c(A + B) = cA + cB

b. (c + k)A = cA + kA

c. c(kA) = (ck)A

d. 1A = A.

Matriks dan Vektor (9)

Exercise (make perfect) (1)19

Diketahui

Tentukan:

a. A + B =

b. C + 2 D =

c. 3A – ½ B =

d. A + B – 2C =

e. B – (1/4) A =

𝐴 =−1 2 1−2 4 60 6 3

𝐵 =0 1 51 2 −14 5 8

20

Matrices in modelling networks. (e.g. jaringan listrik, jaringan

transportasi,dll)

Exercise (make perfect) (2)

21

4

3

5

41

3

2

ajk

+1 jika cabang k keluar node j

-1 jika cabang k menuju node j

0 jika cabang k tidak menyentuh

node j

Ketentuan :

cabang 1 2 3 4 5

Node 1 1 -1 -1 0 0

Node 2 0 1 0 1 1

Node 3 0 0 1 0 -1

Node 4 -1 0 0 -1 0

ground

Hasil :

21

Try by your self

Exercise (make perfect) (3)

34

21

1

2

3

4

6

5

Take your time!!!

22

Sekarang gambarlah networknya jika diketahui

matriksnya sbb:

Exercise (make perfect) (4)

Petunjuk: perhatikan jumlah cabang dan jumlah nodenya, serta

terapkan ketentuan tentang keluar dan menuju node

23

Perkalian Matriks: perkalian matriks dengan matriks

Definisi:

A B = C

Matriks dan Vektor (10)

[mxn] [nxr] [mxr]

j=1,2,…,m

k=1,2,…,p

Contoh.

INGAT: Perkalian Matriks bersifat tidak komutatif

24

Aturan Perkalian Matriks:

(kA)B = k(AB) = A(kB)

A(BC) = (AB)C

(A + B)C = AC + BC

Matriks dan Vektor (11)

25

Transpose Matriks

Definisi:

Transpose [mxn] matriks A= [ajk] adalah [nxm]

matriks AT dengan AT = [akj]

Matriks dan Vektor (12)

PRINSIP transpose matriks: baris jadi kolom, kolom jadi baris

Contoh.

26

Aturan transposisi matriks

a. (AT)T = A

b. (A + B)T = AT + BT

c. (cA)T = cAT

d. (AB)T = BT AT

Matriks dan Vektor (12)

27

Contoh:

Matriks dan Vektor (13)

PC108 PC109

Raw component

Labor

Lain-lain

Kwartal

PC108

PC109

A adalah matriks yang menggambarkan biaya per komputer ( dalam

ribuan dollar) dan gambaran produksi untuk tahun 2005 (dikalikan 1000

unit). Tentukan matriks C yang menunjukkan pembagian biaya per kwartal

(dalam jutaan dollar) untuk raw material, labor dan lain-lain.

Jawab.

28 Merci bien

ありがとうMatur Nuwun

Hatur Nuhun

Obrigado

Dank

Thanks

Mator Sakalangkong

Syukron

Kheili Mamnun

ευχαριστίεςDanke

Grazias

谢谢Terima Kasih