MATEMATIKA

ÉRETTSÉGI - 2005

Közép szint

I. rész

K.1. Adott két pont: ,2

1 ;4

A és

2

3 ;1B

Írja fel az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit

2

3

2

14

x

12

2

3

2

1

y

1 ;

2

3F 2 pont

K.2. Az ábrán egy [-2; 2] intervallumon értel-mezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabá-lyát!

2 2 xx :A

2 2 x x :B2)2( xx :C

B 2 pont

K.3. Határozza meg a 2. feladatban megadott, [-2; 2] intervallumon értelmezett függvény értékkészletét !

A függvény értékkészlete:

a 2-nél nem kisebb és 6-nál nem nagyobb valós számok halmaza:

3 pont62 y

K.4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis!

A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. B: Egy négyszögnek lehet 180o-nál nagyobb belső szöge is. C: Minden trapéz paralelogramma.

A: hamis B: igaz C: hamis

1 pont

1 pont

1 pont

K.5. Egy kör sugarának hossza 4, középpontja a (-3; 5) pont. Írja fel a kör egyenletét!

16)5()3( 22 xx

2 pont

K.6. Egy rendezvényen 150 tombolajegyet adtak el. Ági 21-et vásárolt. Mekkora annak a való-színűsége, hogy Ági nyer, ha egy nyereményt sor-solnak ki? (A jegyek nyerési esélye egyenlő.)

A nyerés valószínűsége:

14,0150

21 2 pont

K.7. Egy derékszögű háromszög egyik befo-gójának hossza 3 cm, a vele szemközti szög 18,5o. Mekkora a másik befogó? Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja!

x

35,18tg

x

33346,0

cm 966,83346,0

3x

2 + 1 pont

K.8. Egy mértani sorozat első tagja 8, hányadosa .2

1

Számítsa ki a sorozat ötödik tagját!

2

1 ,1 ,2 ,4 ,8 54321 aaaaa

A sorozat ötödik tagja: 2

1

2 pont

K.9. Egy gráfban 4 csúcs van. Az egyes csú-csokból 3; 2; 2; 1 él indul. Hány éle van a gráf-nak?

A gráf éleinek a száma: 4

2 pont

K.10. Ábrázolja az 42

1)( xxf

[-2; 10] intervallumon!

függvényt a

2 pont

K.11. A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból vélet-lenszerűen kiválasztani az első csoportba tarto-zókat? Először mindenki történelemből felel. b) Hányféle sorrendben felelhet történelemből az 5 kiválasztott diák?

263345432

2221201918

!17!5

!22

5

22 )

a

120!5 ) b

2 pont

2 pont

K.12. Egy gömb alakú labda belső sugara 13 cm. Hány liter levegő van benne? Válaszát indokolja!

dm 3,1cm 13

. 33

dm 2024,93

3,14

V

A labdában kb. 9,2 liter levegő van.

2 + 1 pont

II. rész

A

K.13. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!

xxx 22 sin3cos4cos )cos1(3cos4cos 22 xxx

xxx 22 cos33cos4cos

03cos4cos4 2 xx

8

48164cos 2,1

x

(hamis), 2

3cos 1 x

2

1cos 2 x )( 2

3Z

kkx

12 pont

K.14. Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 21. a) Mekkora az első 150 tag összege?Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 25 863. b) Igaz-e, hogy 25 863 számjegyeit tetszőleges sorrendben felírva mindig hárommal osztható számot kapunk? (Válaszát indokolja!) c) Gábor olyan sorrendben írja fel 25 863 számjegyeit, hogy a kapott szám néggyel osztható legyen. Milyen számjegy állhat a tízes helyiértéken? (Válaszát indokolja!)

a) .13417 ,41721 1 ad

466502

150)4149132(150

S 5 pont

b) Igaz, mert számjegyeit tetszőleges sorrend-ben felírva, a számjegyek összege mindig osztható hárommal, tehát a kapott ötjegyű szám osztható 3-mal. 3 pontc) Az utolsó két jegy lehet: 32, 52, 36, 56, 28, 68

Tehát a tízes helyiértéken 2, 3, 5 vagy 6 állhat.

4 pont

K.15. Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb

pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartal-

mazza a következő táblázat:

a) Határozza meg az összes dolgozat pont-

számának átlagát (számtani közepét), móduszát és

mediánját!

b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani!

Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot!

c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról! Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is!

a) Az átlag:

6115

915

15

5817231265802919521003

A módusz: 100, a medián: 80 5 pont b)

2 pont

c)

5 pont

1-es: 96o,

2-es: 48o,

3-as: 0o,

4-es: 24o,

5-s: 192o

2415

360

BAz alábbi 16.-18. feladatok

közül tetszés szerint

választott kettőt kell

megoldania…

K.16. Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a kúp alkotójával. A kúp magasságának hossza 35 cm. Készítsen vázlatot!

a) Mekkora a kúp felszíne?

b) Mekkora a kúp térfogata?

c) Mekkora a kúp kiterített palástjának közép-

ponti szöge?

a) 353 r 5 r10l

2cm 61,23575)( lrrA

9 pont

b)

32

cm 72,2263

3525

3

mrV

2 pont

c) A palást területe:

rlP

Ez egy 10l sugarú, középponti szögű körcikk

területe, tehát

360

2

lrl

360

105 180

6 pont

K.17. Anna és Zsuzsi szeretné megvenni az újságosnál az egyik magazint, de egyik lánynak sincs elegendő pénze. Anna pénzéből hiányzik a magazin árának 12%-a, Zsuzsi pénzéből pedig az ár egyötöde. Ezért elhatározzák, hogy közösen veszik meg a magazint. A vásárlás után összesen 714 Ft-juk maradt. a) Mennyibe került a magazin, és mennyi pénzük volt a lányoknak külön-külön a vásárlás előtt? b) A maradék 714 Ft-ot igazságosan akarják elosztani, azaz úgy, hogy a vásárlás előtti és utáni pénzük aránya azonos legyen. Hány Ft-ja maradt Annának, illetve Zsuzsinak az osztozkodás után?

a) Legyen Anna pénze a, Zsuzsi pénze z, a

magazin ára m. Ekkor

714 ,8,0 ,88,0 mzamzma

7148,088,0 mmm 71468,0 m

Tehát a magazin ára: Ft 1050m

Ft 84010508,0 Ft, 924105088,0 za

Anna és Zsuzsi eredeti pénze:

10 pont

b) Anna és Zsuzsi pénze osztozkodás után

Anna pénze: Ft 374840924

924714

Zsuzsi pénze: Ft 340840924

840714

7 pont

K.18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két,

szinte azonos rajz látható, amelyek között 23 apró

eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az

ábráka: Ádám 11, Tamás 15 eltérést talált, de csak

7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek.

a) Hány olyan eltérés volt, amelyet egyikük sem

vett észre?

Közben Enikő is elkezdte számolni az eltéréseket, de ő sem találta meg az összeset. Mindössze 4 olyan volt, amelyet mind a hárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy az Enikő által bejelöltekből hatot Ádám is, kilencet Tamás is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést megtalálták. b) A feladat szövege alapján töltse ki az alábbi halmazábrát arról, hogy ki hányat talált meg!

c) Fogalmazza meg a következő állítás taga-

dását!

Enikő minden eltérést megtalált.

d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy

eltérést véletlenszerűen kiválasztva azt legalább

ketten eltalálták?

a)

A halmazábrából kiolvasható, hogy Ádám és Ta-más együtt összesen 19 hibát vettek észre, tehát

41923 eltérés volt, melyet egyikük sem vett észre.

4 pont

b) A feladat szövege alapján a helyes halmazábra:

7 pont

c)Az állítás ragadása: Enikő nem talált meg min-den eltérést

2 pont

d)

Az összes lehetőségek száma: 23.

A kedvező lehetőségek száma:

Tehát a keresett valószínűség:

145432

6087,023

14

4 pont