Seminarski rad iz predmeta Istorija i filozofija matematike

Matematika i muzika

Cvetkovi Aleksandar 2950

1.

Uvod

Matematika je muzika za um; muzika je matematika za duu.

Sudbinske niti matematike i muzike su prepletene na mnogo vie naina nego to to moe izgledati na prvu pomisao. Nekim (mnogim, naalost) ljudima je ta prva pomisao upravo: To nema veze jedno sa drguim!. Meutim... Jeste li se ikada zapitali zato neki akordi zvue tako prirodno, stabilno, skladno, a drugi su disonantni i paraju ui? Zato u optepoznatom nizu do-re-mi-fa-sol-la-si-do, se do javlja dva puta; zato drugi put se do javlja upravo posle si, i zato se ba javlja do a ne neka sedmi ton razliit od svih navedenih? Zanimljivo, na ova pitanja vam podrobnije moe odgovoriti neki fiziar od muziara, a odgovor e se bazirati na optim matematikim zakonitostima! Kod Pitagorejaca je teorija muzike izuavana kao matematika, a ne kao zasebna disciplina. Mnogo kasnije, Ojler je stvorio svoju matematiku teoriju muzike, koja nije bila prihvaena kako od strane matematiara, tako i od strane muziara jer je imala previe muzike za matematiare i previe matematike za muziare. Danas, matematika teorija muzike je nauno prihvaena oblast matemematike koja za cilj ima pronalaenje svih mesta na kojima se racionalna prava matematike i imaginarna kriva muzike tangiraju. Tragedija nepojmljivosti sutastvenih veza izmeu matematike i muzike mnogim ljudima je, izmeu ostalog, u tome to je u dvadesetom veku mnogima jedini vidi muzikog izraaja pesma, i neznanje da je muzika umela da bude itekako glasna i agresivna pre pojave bilo kakve elektrine gitare i ozvuenja; da se je nekada (klasina, ozbiljna) muzika izvodila za ive, a ne za mrtve ljude(jer, jedina je prilika da se pogleda snimak Malerove

simfonije na nekoj domaoj televiziji kad se, ne daj Boe, desi neka nesrea te proglasi dan alosti...tragikomino i istinito). Da, tu su i neizostavni mediji koji tako revnosno udaljavaju veliki broj ljudi od prave sutine muzike, no to je ve tema neke druge rasprave; cilj teksta pred Vama je da kroz reprezentativne primere iz matematike teorije muzike pokae nedvojbenost matematike i muzike.

2.

Zvuk prirodnih brojeva

Cilj ovog poglavlja je pokazivanje postojanja prirodnih brojeva kao sutinskog fenomena prirode. Kako se ovde neu koristiti nikakvim naprednim matematikim aparatom, niti formalnim matematikim jezikom; kako neu pominjati Peana ni kakvom kontekstu, opravdanije je rei da je cilj ovog poglavlja ubeivanje da prirodni brojevi nisu neka matematika apstrakcija, ve neto to je u samoj biti prirode, i to koristei se muzikom! Ako odsviramo ton C na violinelu, klaviru i fagotu primetiemo da ton C na svakom od ovih instrumenata ima drugaiju boju. To je stoga to se ton C ne javlja u istom obliku (zapravo, moe se javiti ali vrlo retko) ve u sazvuju sa jo nekim drugim tonovima. Ti tonovi se nazivaju alikvotni tonovi, a njihov meusobni odnos daje upravo boju tona C. Kod razliitih instrumenata je taj odnos razliit, pa odatle i razlike u violonelskom, klavirskom i fagotskom C. Meutim, utvreno je da ma na kakav god nain ton C bio proizveden niz odgovarajuih alikvotnih tonovo za C je uvek isti. Na slici dole vidimo niz alikvotnih tonova tona C.

Dakle, goreprikazani niz se sastoji od tonova ( C, c, g, c1, e1, g1 , hes1, c2, d2,...). Neka je k frekvencija tona C (nju moemo dobiti merenjem). Izmerimo frekvencije ostalih tonova alikvotnog niza. One e iznositi 2k, 3k, 4k,... Odnosno, frekvencije lanova ovog niza e se odnositi u srazmeri 1:2:3:4:5:6:7:8:9:..., to upravo predstavlja skup prirodnih brojeva! Dakle, odsviravii ton C (a i bilo koji drugi) moemo uti zvuk u kome prirodni brojevi potvruju svoje postojanje! Ako krenemo od tona C da sviramo C-dur skalu, posle sedam odsviranih tonova osmi odsvirani ton e biti c ton koji je za oktavu vii od tona C. Petnaesti odsvirani ton e biti c1, ton za dve oktave vii od tona C. Dvadeset trei bie c2 , ce koje je za tri oktave vie od C. Zapaamo da se ton C ponavlja periodino (i ne samo ton C, ve i bilo koji drugi). Iza toga stoje,dodue ne neposredno, prirodni brojevi! Neka je k frekvencija tona C. Frekvencije tonova (C, c, c1, c2, c3, c4, c5, c6...) bie (k, 2k, 4k, 8k, 16k, 32k, 64k, 128k,...). Dakle, dobijemo niz 2nk, n = 0,1,2... Ako dobijeni niz logaritmujemo sa log2 i podelimo sa k, dobijamo niz 0,1,2,3,4,5,6,7,... jo jedanput prirodni brojevi! Kako je mnogima Peano nepristupaniji od muzike, ovo moe biti odlian nematematiki, neformalan dokaz postojanja prirodnih brojeva kao prirodnog zakona.

3.

Harmonija intervala [0,1]

U ovom odeljku u pokazati da su ma koja etiri alikvotna tona harmonijski spregnuta. Po definiciji, etiri take A, B, C, D jedne prave su harmonijski spregnute ukoliko taka C deli odseak AB iznutra u istom odnosu u kome ga taka D deli spolja, dakle kada vai AC : CB = AD : BD. Kao posledicu prethodnog poglavlja moemo uspostaviti bijekciju izmeu skupa prirodnih brojeva i niza alikvotnih tonova. Posmatrajmo niz (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...). Kako svakom lanu ovog niza moemo pridruiti odgovarajui prirodan broj, to moemo i svakom alikvotnom tonu pridruiti odgovarajui lan niza 1/n. Ovaj niz (1/n) se naziva jo i harmonijski niz. To stoga to tonovi (1, 1/2, 1/3,...) u akustici se nazivaju harmonici, a sami brojevi predstavljaju deo ice koji treperi prilikom proizvoenja odgovarajueg tona. Imajui to u vidu, niz brojeva (0, 1/2, 2/3, 3/4,..., (k-1)/k,...) predstavlja duinu nepokretnog dela ice prilikom proizvonja odgovarajueg alikvotnog tona. Dakle, uspostavili smo bijekciju izmeu niza alikvotnih tonova i niza (k1)/k, k = 1,2,3... .Sada, pokaimo da ma koja etiri alikvotna tona ine harmonijski spregnute take intervala [0,1] (jer je svaki (k1)/k < 1).