Univerzitet u Tuzli

Mainski Fakultet

Skripta sa predavanja

Predmet: Matematika II

Predmetni prof:Dr.Sc.Samra Piri,docent

Uredio: Meanovi Mirza

1.)Granina vrijednost funkcije, pojam lijeve i desne granine vrijednosti, pojam neprekidnosti, sve pojmove

definisati i formulisati teoreme (mogud primjer).

Granina vrijednost funkcije

1.)Racionalna funkcija

Posmatramo funkciju u skupu realnih brojeva { }

2.)Eksponencijalna funkcija

; a-baza

-smanjuje se

- povedava se

3)Korjen funkcije

; -ne smije biti negativan broj

; -parni korjen

definisano za svako x - neparni korjen

4)Logaritamske funkcije

definisano za

Sluaj 1. Sluaj 2.

-grafik raste

Gdje grafik sijee x osu tu taku nazivamo nulom funkcije.

Za svaku taku A definiemo okolinu kao otvoreni interval

, proizvoljno mali broj.

Definicija 1.)

Za taku A iz nekog skupa S redi demo da je taka nagomilovavanja skupa S ako bilo koja okolina take A

tj.interval sadri barem jednu taku skupa S razliitu od A.

Definicija 2.)

Neka je taka A nagomilovanje domena funkcije f. Za broj A redi demo da je granina vrijednost funkcije f u taki

A ako za proizvoljno postoji broj (koji zavisi od ) takav da vrijedi | | ime je

| |

Lijeva i desna granina vrijednost

Definicija 1.)

Redi demo da funkcija ima lijevu graninu vrijednost u taki ako postoji

Definicija 2.)

Redi demo da funkcija ima desnu graninu vrijednost u taki ako postoji

Teorem 1.)

Da bi postojale granine vrijednosti funkcije u taki potrebno je i dovoljno da postoje lijeva i

desna granina vrijednost funkcije u taki i da su meusobno jednake.

Ako je

ne postoji konana granina vrijednost funkcije.

Teorem 2.)

Neka je

i

tada vrijedi :

1.)

2.)

;

3.)

4.)

; uslov da je

5.)

Neprekidnost funkcije

Definicija 1.)

Za funkciju redi demo da je neprekdina u taki ako je

i jednaka je vrijednosti

funkcije u taki a.

Primjer.1)

;

Lijeva strana = Desnoj strani

Postoji granina vrijednost

2.) Pojam izvoda funkcije, geometrijska interpretacija i osobine diferencijabilnih funkcija

Diferencijalni raun funkcija jedne promjenjive

Granina vrijednost kolinika prirataja funkcije i prirataja argumenta kad prirataj argumenta tei nuli naziva

se prvim izvodom funkcije u posmatranoj taki.

- Za odreivanje izvoda po definiciji.

Ako funkcija ima prvi izvod kazemo da je ona u toj tacki diferencijabilna .ako funkcija ima izvod u svakoj tacki u

skupu A onda kazemo da je ona diferencijabilna na skupu A .

Osobine diferencijabilne funkcije

Teorem 1.)

Ako je funkcija y=f(x) diferencijabilna u tacki x onda je ona u toj tacki i neprekidna,obrnuto u opcem slucaju ne

vrijedi,iz neprekidnosti ne slijedi diferencijabilnost.

Teorem 2.)

Neka je funkcija y=f(x) injektivna na domenu D(f) i diferencijabilna u tacki x ,tada je njoj inverzna funkcija

diferencijabilna u tacki x i vrijedi da je

- izvod inverzne funkcije .

Geometrijsko znacenje izvoda

y- = k -k-koeficijent pravca

Jednacina tangente na krivu y=f(x) u tocki M( ) glasi : y-

Koeficijent pravca tangente na datu krivu y= f(x) u tacki M( jednak je vrijednosti prvog izvoda funkcije u

tacki . Jednacina normale na krivu y=f(x) u tacki M ( ) glasi : y-

)

3.)Pravila diferenciranja

Pravila diferenciranja

1. Ako je funkcija y= f(x) diferencijabilna u tacki x onda je i funkcija c f(x) ,c=const. Takodje

diferencijabilna u tacki x i vrijedi da je [ ] = c .

Dokaz :

2. Ako su funkcije f1,f2,....,fn diferencijabilne u tacki x onda je i njihov zbir diferencijabilna funkcija u tacki

x i vrijedi [ ] f1'(x) +f2'(x) +...+f'n(x)

Dokaz : [ ]

3. Ako su funkcije f(x) i g (x) diferencijabilne u tacki x onda je i njihov proizvod f(x) diferencijabilna

funkcija u tacki x i vrijedi da je to[ ] f'(x) +f(x) .

4. Ako su funkcija f(x) i g(x) diferencijabilne u tacki x tada je i kolicnik

diferencijabilna funkcija u tacki

x i vrijedi *

+' =

[ ] , g(x) .

Dokaz:

[ ] [

]

* +

4.)Izvod sloene funkcije, izvod parametarski zadane funkcije, logaritamski izvod i pojam diferencijala (mogud primjer).

Izvod sloene funkcije Teorem 1.) Neka je funkcija gdje je diferencijabilna u taki X,pri tome je funkcija ( ) sloena

funkcija kao kompozicija funkcije f i u. Predpostavimo da je funkcija f diferencijabilna u taki ,tada je

funkcija ( ) diferencijabilna u taki x i vai

* ( )+

Dokaz :

ako je tada je

Izvod funkcije zadate u parametarskom obliku Ako je funkcija zadata parametarski gdje je parametar tada se izvod odreuje na slededi nain :

Logaritamski izvod

*

+

Izvodi vieg reda -difercijabilna Ako je diferencijabilna funkcija onda moemo traiti i njen izvod koji demo tada zvati drugim izvodom funkcije y i oznaavati sa

{ }

Ako je funkcija data parametarski

:

(

)

Diferencijal funkcije

,

-

Iz ovog vidimo da se prirataj funkcije moe napisati u obliku dva sabirka i kako je u opem sluaju to zakljuujemo da prvi sabirak znakom tei nuli kada zbog toga drugi sabirak

nazivamo glavnim dijelom prirataja funkcije. Oznaavat demo ga sa i zvati diferencijalnom funkcijom :

Priraaj funkcije je priblino jednak diferencijalu funkcije. Specijalno:

Prirataj argumenta moemo napisati kao :

-Ovako se definie diferencijaln funkcije.

Diferencijal funkcije je jednak proizvodu izvoda funkcije i diferencijala argumenta x.

5.) Primjena diferencijalnog rauna na ispitivanje funkcija (monotonost, ekstremi i konveksnost). Monotonost funkcije

Ako za kaemo da je funkcija stogo rastuda.

Ako za kaemo da je funkcija monotono rastuda.

Ako za kaemo da je funkcija strogo opadajuda.

Ako za kaemo da je funkcija monotono opadajuda.

Teorem Neka je funkcija definisana na segmentu [ ] i diferencijabilna na intervalu (a,b). Ako je

kaemo da je funkcija monotono rastuda.

Ako je kaemo da je funkcija monotono opadajuda .

Lokalni ekstrem Teorem 1) Neka je funkcija definisana na segmentu [ ] i diferencijabilna na intervalu (a,b),osim eventualno u taki .Ako postoji broj ,takav da je iz toga slijedi da je

i ako je odnosno ako postoji

,tada u taki ima lokalni maksimum,odnosno lokalni minimum.

U okolini take maksimuma prirataj funkcije je negativan. U okolini take minimuma prirataj funkcije je pozitivan. Rjeenja jednaine

nazivamo stacionarnim takama.Stacionarne take su kandidati za

ekstrem.Lokalni ekstremi mogu se odrediti i bez koritenja monotonosti funkcije nego preko izvoda drugog reda (vieg reda). Teorem 2) Neka je funkcija definisana na segmentu [ ] i diferencijabilna na intervalu (a,b) i neka na (a,b) ima izvod prvog i drugog reda. Ako je

tj.C je stacionarna taka i vai :

1) funkcija u ima lokalni minimum.

2) funkcija u ima lokalni maksimum.

Teorem 3) Neka je funkcija definisana na segmentu [ ] i neka za

Ako je (n) parni broj i slijedi da u taki postoji lokalni maksimum.

Ako je u taki postoji lokalni minimum.

Ako je (n) neparan broj onda u taki ne postoji ekstrem

Konveksnost i konkavnost funkcije Definicija 1.) Ako za bilo koje dvije take koje pripadaju domenu funckije f sjekanta grafika funkcije

u oznaci AB uvjek iznad odgovarajudeg luka grafika funckije tada kaemo da je funckija konveksna na definiciono podruje D(f) Definicija 2.) Ako za bilo koje dvije take koje pripadaju domenu funckije f sjekanta grafika funkcije

u oznaci AB uvjek ispod odgovarajudeg luka grafika funckije tada kaemo da je funckija konkavna na definiciono podruje Definicija 3.) Ako je u nekoj taki funkcija prelazi iz konveksnost u konkavnost ili obrnuto tada za taku C kaemo da je prevojna taka. Teorem 1.) Neka je definisana na segmentu [ ] i neka na intervalu ima neprekidne izvode prvog i drugog reda.

-funkcija je konkveksna na intervalu

-funkcija je konkavna na intervalu

6.)Lopitalovo pravilo i asimptote funkcije (mogud primjer).

Primjena izvoda na izraunavanje limesa(graninih vrijednosti)

Teorem 1.) L'Hospitalovo pravilo Pretpostavimo da su zadovoljeni sledeci uslovi : 1) i su diferencijali funkcije na intervalu (a,b) i

2) i definisane na segmentu [ ]

3)

Postoji

Tada postoji

i vrijedi da je taj limes jednak

.

Sve ovo vrijedi i u sluaju da je

Asimptote funkcije Kosa asimptota Definicija 1.) Za pravu redi demo da je kosa asimptota funkcije ako udaljenost tj.udaljenost proizvoljne take grafika funkcije od prave tei ka nuli,tj.neogranieno opada kada taka N tei u beskonanost.

[ ]

+ desna kosa asimptota -lijeva kosa asimptota

Horizontalna asimptota

desna H.A.

lijeva H.A.

Ako funkcija ima H.A. nema potrebe ispitivati kosu asimptotu.

Vertikalna asimpota

Neka je taka prekida funkcije ako vai da je prava vertikalna asimptota

7.) Neodreeni integral, osobine i metod smjene ( primjer). Neodreeni integrali

Definicija 1.) Neka je E otvoreni interval konaan ili beskonaan na skupu R.Diferencijabilna funkcija

definisana na E naziva se primitivna funkcija funkcije ako vai da je

Primitivna funkcija ima takvu osobinu da je i (C=const) takoe primitivna funkcija funkcije Zato

to je

.Vai i obrnuto,tj.dvije primitivne funkcije se razlikuju samo za konstantu.

Definicija 2.) Pod neodreenim integralom funkcije na intervalu E podrazumjeva se skup svih primitivnih

funkcija funkcije u oznaci

{ }

Osobine neodreenih integrala

Definicija 1.) Neka su dvije funkcije definisane na skupu E.Pod sumom ovih skupova

{ }podrazumjevamo { }

Definicija 2.) Pod proizvodom { } { }

Tvrdnja 1.)

a) [ ] - Adiditvnost

b) - Homogenost

Tvrdnja 2.)

Diferenciranja i integraciju su jedna drugoj inverzne operacije.

Integracija metodom smjene

Neka treba izraunati i umjesto x uvodimo novu promjenjivu i neka je

tada integral glasi

Metoda parcijalne integracije

Ova metoda se koristi kad se pod znakom integracija nae proizvod dvije raznorodne funkcije (npr.stepena puta

eksponencijalna,stepena puta trigonometrijska...itd) ili ako se pojavi neka teka funkcija

( ).

Neka su i funkcije pod i neka imaju izvode prvog reda

.Tada je po pravilu diferenciranje proizvoda

odakle slijedi da je ,odnosno da je

Iz prethodni jednaina integracijom dobivamo da je

Formula Parcijalne integracije.

8.) Parcijalna integracija i integracija racionalnih funkcija ( primjer)

Metoda parcijalne integracije

Ova metoda se koristi kad se pod znakom integracija nae proizvod dvije raznorodne funkcije (npr.stepena puta

eksponencijalna,stepena puta trigonometrijska...itd) ili ako se pojavi neka teka funkcija

( ).

Neka su i funkcije pod i neka imaju izvode prvog reda

.Tada je po pravilu diferenciranje proizvoda

odakle slijedi da je ,odnosno da je

Iz prethodni jednaina integracijom dobivamo da je

Formula Parcijalne integracije.

Integracija racionalnih funkcija

Svodi se na rjeavanje integrala oblika

1.)

2.)

; u sluaju kada su nul-take polinoma realni razliiti ili jednaki brojevi.

3.)

svodi se na integrale

|

|

|

|

u sluaju kada su nul-take polinoma razliiti konjugirano kompleksni brojevi.

4.) .)

svodi se na integrale

koje moemo rijeiti rekurzivnom formulom

u sluaju kada su nul take polinoma jednaki konjugirano kompleksni brojevi.

9.) Integracija iracionalnih i trigonometrijskih funkcija ( primjer) Integracija iracionalnih funkcija

1.) a) (

)

b) (

)

Supstitucija :

gdje je

2.)

svodi se na integrale oblika

| |

3.) a)

deriviramo i odredimo nepoznate koeficijente

b) mnoimo brojnik i nazivnik sa pa svodimo na oblik 3a.)

4.)

pomodu supstitucije

svodimo na integrale oblika 2. ili 3.

Integracija trigonometrijskih funkcija

1.) Integrali oblika

Rjeavaju se primjenom formula :

2.)

a.) ako je barem jedan od m,n neparan -supstitucija

b.)ako su oba koeficijenta m,n parna,pozitivna - integral pojednostavimo primjenom formula

c.)ako su oba koeficijenta m,n parna,barem jedan negativan koristimo supstituciju

3

Supstitucija

Posebni sluajevi integrala 3.

a.) ako je supstitucija

b.) ako se integral moe zapisati u obliku supstitucija

c.) ako se integral moe zapisati u obliku supstitucija

10.) Odreeni integral, osobine, metod smjene i parcijalna integracija u odreenom integralu ( primjer)

Odreeni integrali

Definicija 1.) Neka je definisana na segmentu[ ] .Podijelimo segment[ ] na n dijelova takama

. Uzmimo i posmatrajmo sumu

gdje je .

Ako postoji i ako je on konaan za ma kakvu podjelu segmenta [ ] zvat demo ga

ODREENIM INTEGRALOM U RIMANOVOM SMISLU.Funkcija u granicama od A do B i itamo

Napomena : Suma u prethodnoj jednaini naziva se integralnom sumom.U ovom sluaju kaemo da je

integrabilna na segmentu [ ].Da bi funkcija bila integrabilna na [ ] dovoljno je da bude neprekidna.

Osobine odreeni integral

1.)

2.)

3.)

4.) Ako je parna funkcija

5.) Ako je neparna funkcija

Newton-Leibnizova formula

Ako je neprekidna na segmentu[ ] tada na tom segment postoji neodreeni integral

i vai jednakost da je

Metod smjene u odreenom integralu

Teorem: Ako je funkcija neprekidna na segmentu[ ] i [ ] [ ] i ako funkciju

na [ ] ima neprekidan izvod ,a je a i tada postoji integral

[ ]

Parcijalna integracija u odreenom integralu

Neka je funkcija i imaju integrabilne izvode na segmentu [ ],tada iz

[ ] proizlazi integrabilnost proizvoda na segmentu

[ ] tj,

[ ]

odakle je

[ ]

-formula za parcijalnu integraciju odreenog integrala.

11.)Primjena odreenog integrala

Primjena odreenog integral

1.) Izraunavanje povrine ravnog lika

Ako je za [ ] tada je povrina krivolinijskog trapeze ogranienog lukom krive,pravcima

i odsjekom x ose izmeu taaka a i b data formulom:

2 Izraunavanje duine luka krive

a) Duina luka u pravouglim koordinatama neprekdine i diferencijabilne funkcije

[ ]

b)Duina luka krive zadane parametarski,tj.ako je kriva zadana jednainama

,gdje su i neprekidne funkcije na [ ],onda je duina luka krive

jednaka:

[ ] [ ]

3.) Zapremina rotacionog tijela

a) Ako je povrina presjeka tijela presjeenog sa ravni koja je normalna na x-osu onda je zapremina

dobivenog rotacionog tijela

gdje su apcise krajnjih presjeka.

b) Tijelo koje nastaje rotacijom krivolinijskog trapeza ogranienog krivom pravcima

oko x-ose ima zapreminu

a oko y-ose

Ako krivolinijski trapez ogranien krivom i pravcima rotira oko y-ose onda

opisuje tijelo zapremine

4.) omplanacije obrtnih povrina

Povrina koja opisuje luk krive izmeu taaka sa apcisom rotiranjem oko x-ose data je

obrascem

i oko y-ose data je obrascem

12.) Simultana i uzastopne granine vrijednosti funkcija vie (mogud primjer), pojam neprekidnosti funkcija

vie promjenljivih

Funkcije vie promjenjivih

Skup { | }

Definicija 1.)

Funkciju f koja preslikava nazivamo funkcijom vie promjenjivih.

u ,ove granine vrijednost nazivaju se esto SIMULTANA graninih vrijednost funkcije.

Ako postoji funkcija

i granina vrijednost i ako za ovu funkciju postoji

granina vrijednost u taki tada se

naziva uzastopnoj graninoj vrijednosti funkcije u taki .

Ako postoji granina funkcija

i ako za ovu funkciju postoji granina vrijednost u taki

tada se

naziva uzastopnoj graninoj vrijednosti funkcije u taki .

Vrijedi sledede:

1.)Ako postoje simultana i uzastopna granina vrijednost onda one moraju biti jednake.

2.)Ako je tada simultana granine vrijednost ne postoji.

3.)Ako ne postoji tada ne moemo nita redi o postojanju .

Definicija 2.)Funkcija je neprekidna u taki ako je

13.) Diferencijabilnost funkcija vie promjenljivih, definicija parcijalnih izvoda i totalnih diferencijala I i II

reda za funkcije dvije i tri promjenljive (primjer

Diferencijabilnost funkcija vie promjenjivih

Parcijalni prirataj funkcije po nezavisno promjenjivoj je izraz

Prvi parcijalni izvod funkcije po promjenjivoj u

je

Za funkciju promjenjive imamo parcijalne izvode

i

Parcijalni izvod

Parcijalni izvod drugog reda za funkciju u je:

(

)

Uzastopno diferenciranje po pojedinim promjenjivim ne zavisi od redoslijeda diferenciranja ako je funkcija koju

diferenciramo neprekidna i vrijedi da je

Za drugi parcijalni izvod

koristi se

.

Totalni diferencijal drugog reda za funkciju u

definise se kao : ( )

14.) Ekstremi funkcija vie promjenljivih (obini i uslovni).

Ekstremi funkcija vie promjenljivih Definicija 1.) Neka je funkcija f definisana u okolini take

kaemo da je funkcija f ima lokalni minimum u taki A ako i samo ako postoji okolina take A u kojoj uvjek vrijedi da je za svaku tak

iz domena funkcija da je ( )

Definicija 2.) Funkcija f ima lokalni maximum u taki A ako postoji okolina take A u kojoj je za svaku taku

iz domena funkcija je ( )

Napomena :Ako prirataj funkcije u okolini posmatrane take mijenja znak onda tu ne moe biti ekstrem. Definicija 3.) Kaemo da je funkcija f ima lokalni ekstrem u taki A ukoliko taka A predstavlja lokalni minimum ili lokalni maximum. Teorem 1.) : Neka je funkcija f definisana na domenu D.Pretpostavimo da funkcija ima lokalni ekstrem u taki A i da postoje

parcijalni izvodi funkcije f (

) u taki A tada je

Definicija 4.)

Neka je funkcija f definisana na domenu D.Ako funkcija f ima parcijalne izvode u taki A takve da je

onda taku A nazivamo stacionarnom takom. Dovoljan uslov za postojanje ekstrema

1.) ( ) i ( ) tada u o postoji lokalni maximum.

2.) ( ) i ( ) tada u o postoji lokalni minimum.

3.) ( ) i ( ) potrebna su daljna ispitivanja po definiciji ekstrema.

Uslovni ekstrem

Nalaenje ekstrema funkcije f ( ) pri zadatim uslovima

svodi se na odreivanje obinog ekstrema funkcije

Navedena funkcija L nazive se LAGRANEVOM FUNKCIJOM a realni parameter LAGRANEVIM mnoiteljem. Za i dati uslov

diferencirajmo uslov

15.Viestruki integral, teoreme o integrabilnim funkcijama.

Viestruki integral

Definicija 1.) Integralnom sumom naziva se svaka suma oblika . / gdje je ( )

funkcija koja je ograniena u zatvorenoj oblasti D zatim je oznaka

i-te delije podjele oblasti D ,a proizvoljna taka iz delije ( i ujedno mjerni broj njene velicine)

Definicija 2.) Viestrukim integralom funkcije ( ) u zatvorenoj oblasti D naziva se

granina vrijednost integralnih suma u oznaci

. /

( )

Definicija 3.) Funkcija ( ) naziva se integrabilnoj u oblasti D ako postoji konana i jedinstvena granina

vrijednost integralnih suma. Definicija 4.) Za funkciju integrabilnoj u oblasti D imamo

( )

i nazivamo ga Dvojnim integralom. Definicija 5.) Za funkciju integrabilnoj u oblasti D imamo

. /

i nazivamo ga Trojnim integralom

Teoreme integrabilnih funkcija Teorem 1.) Osobina distributivnosti Viestruki integral linearne kombinacije konanog broja integrabilnih funkcija jednak je linearnoj kombinaciji viestruki integral tih funkcija tj.

( )

( )

Teorem 2.) Osobina aditivnosti Za proizvoljnu podjelu oblasti D na parcijalnoj oblasti D1Dn vai jednakost da je

( ) ( )

. /

Teorem 3.)

Ako je . / tada je ( )

Teorem 4.) Teorema o srednjoj vrijednosti

Ako je ( ) proizvoljno neprekidna funkcija u ogranienoj oblasti D ,a integrabilna funkcija koja ima

isti znak u toj oblasti tada vai jednakost da je

( ) ( )

. /

gdje je broj koji lei izmeu donje i gornje granice . /

Teorem 5.)

Funkcija . / neprekidna u zatvorenoj oblasti D integrabilna je u toj oblasti.

16. Dvojni integral po oblasti pravougaonika, po proizvoljnoj oblasti i smjena promjenljive u dvojnom integralu (primjer).

Dvojni integral u oblasti pravougaonika Posmatrajmo definisanu u pravougaoniku ; . Definicija 1.) Neka je funkcija

integrabilna na [ ] tada se integral

naziva DVOSTRUKIM INTEGRALOM funkcija u zatvorenom pravougaoniku pri uzastopnoj integraciji najprije po promjenjivoj y a onda po promjenjivoj x. Analogno moemo pisati :

Teorem 1.) Ako je funkcija integrabilna u zatvorenom pravougaoniku D tj.ako postoji dvojni integral ove funkcije po

D i ako za proizvoljno x iz { } postoji

tada postoji dvostruki integral

i njegova vrijednost je jednaka dvojnom integral po oblasti D

Vrijednost dvostrukog integral ne zavisi od poretka integracije.

Dvojni integral po proizvoljnoj oblasti Teorem 1.) Ako je funkcija neprekidna u oblasti D gdje je ; gdje su neprekidne funkcije tada se dvojni integral po oblasti D rauna kao

Jakobijan i smjena promjenjivih u dvojnom integral Posmatrajmo preslikavanje dato sistemom funkcija

{

Definicija 1.) Preslikavanja (1) naziva se regularnim u oblasti D ako : 1.)Funkcija imaju neprekidne parcijalne izvode prvog reda pos vim promjenjivim 2.)Ako je determinanta

|

|

|

|

Ova determinanta naziva se Jakobijan sistema Polarni kordinatni system

||

|| |

|

Teorema 1.) Smjena promjenjivih u dvojnom integral Ako se sistemom funkcija realizuje objektivno preslikavanja oblasti D u i ako je funkcija integrabilna u oblasti D tada je

17.)Geometrijska interpretacija dvojnog integrala (mogud primjer). Izraunavanje zapremine Neka je povr u prostoru

U sluaju da je ,vrijedi da je

Izraunavanje povrine Neka je funkcija definisana na segmentu [ ].Neka je D oblast ograniena sa gornje strane krivom a sa donje strane segmentom [ ] i sa strana pravima .

18.)Trojni integral po paralelepipedu, po proizvoljnoj oblasti i geometrijska interpretacija trojnog integrala (primjer). Trojni integral po paralelepipedu Neka je sada funkcija definisana i integrabilna u zatvorenoj oblasti

Definicija.1) Neka je funkcija

integrabilna na segmentu

[ ].Tada integral

nazivamo trostrukim integralom funkcije u zatvorenom paralelepipedu pri emu se integracija vri prvo po promjenjivoj z zatim po promjenjivoj y i na kraju po promjenjivoj x.

Definicija 2.) Neka je funkcija integrabilna na segmentu [ ].

Integral

nazivamo trostrukim integralom funkcije po oblasti zatvorenog paralelepipeda,pri sukcesivnoj integracija prvo unutranja integracija po projekciji paralelepipedu u xOy ravan (dvojni integral),a zatim spoljna integracija po promjenjivoj z.

Definicija 3.) Neka je funkcija

integrabilna u oblasti .Integral

nazivamo trostruki integral funkcija po oblasti paralelepipeda,pri sukcesivnoj integraciji prvo po promjenjivoj z (unutranja integracija),a zatim po oblasti (spoljanja integracija)

Teorem 1.) Neka je funkcija integrabilna u zatvorenom paralelepipedu i neka za

proizvoljno postoji integral

tada postoji i integral

i vrijedi jednakost

Trojni integral po proizvoljnoj oblasti Neka je u trodimenzionalnom euklidskom prostoru zadata oblast

Neka je funkcija integrabilna u oblasti .

Pravila u radu sa trojnim integralima su : 1.) Aditivnost po podintegralnoj funkciji

2.)Izvlaenje konstante

3.)Aditivnost po granici integracije

Geometrijska interpretacija trojnog integrala Izraunavanje zapremine Neka je povr u prostoru

U sluaju da je ,vrijedi da je

19.)Smjena promjenljive u trojnom integralu. Sferni i cilindricni koordinatni sistem, izracunati Jakobijane (primjer).

Neka je dat sistem kojim je definisano bijektivno preslikavanje taaka -prostora,u take -prostora.Ako je J jakobijan preslikavanja tada vrijedi

gdje je oblast u -prostoru nastala preslikavanjem oblasti V u -prostor. Ako pravugli dekartov kordinatni sistem zamjenimo cilindrinim kordinatnim sistemom sto

ostvarujemo sistemom jakobijan kojeg je

tada imamo

d

Prirodne granice novih varijablu su

Ako pravugli dekartov kordinatni sistem zamjenimo sfernim kordinatnim sistemom sto ostvarujemo sistemom

gdje je jakobijan

20.)Definicija, klasifikacija, red i rjeenje diferencijalne jednaine. Rjeavanje diferencijalnih ednaina sa razdvojenim promjenljivim i jednaina u kojima se promjeljive mogu razdvojiti (primjer). Definicija diferencijalne jednaine Diferencijalna jednaina je jednaina u kojoj se kao nepoznate pojavljuju,pored argumenta funkcije i njeni izvodi ili diferencijali. Klasifikacija i red diferencijalnih jednaina Prema vrsti izvod,obini ili parcijalni,diferencijalne jednaine dijelimo na obine i parcijalne diferencijalne jednaine. Neka se u diferencijalnoj jednaini kao nepoznate pojavljuje funkcija sa svojim izvodima ili diferencijalima,samo jedne promjenjive.Tada za jednainu kaemo da je obina diferencijalna jednaina. Ako se u diferencijalnoj jednaini pojavljuju funkcija sa dvije ili vie promjenjivih zajedno sa svojim

parcijalnim izvodima,za jednainu kaemo da je parcijalna diferencijalna jednaina.

Red diferencijalne jednaine je najvii red izvoda koji data diferencijalna jednaina sadri.Prema redu

diferencijalne jednaine one se dijele na dijeferencijalne jednaina prvog,drugog....n-tog reda.

Obina diferencijalna jednaina reda n ima opti oblik

( )

Rjeavanje diferencijalnih jednaina sa razdvojenim promjenjivim

Neka u jednaini funkcija ne zavisi od y,a funkcija ne zavisi od x.

Tada se ta jednaina moe napisati u obliku .

Diferencijalnu jednainu nazivamo jednaina sa razdvojenim promjenjivim

Opti integral ove jednaine je

Primjer 1)

21.Rjeavanje homogene i linearne diferencijalne jednaine I reda (primjer). Homogena jednaina Jednaina je homogena ako su i homogene funkcije istog stepena homogeniteta. Funkcija je homogena stepena homogeniteta n ako vai da je za svako t iz osim nule Npr.

Ova funkcija je homogena homogeniteta 2.

Smjena :

Uvrtavanjem ovog u u jednainu,homogena jednaina svede se na jednainu sa razdvojenim promjenjivim. Linearna diferencijalna jednaina prvog reda ) Formiramo odgovarajudu homogenu jednainu date ne homogene jednaine =0 i rijeimo ovu jednainu tj. Dobijemo homogeno rjeenje

Zatim umjesto konstante C stavimo funkciju ( ) konstanta varira u funkciji ) rjeenje

nehomogene jednaine traimo u obliku [ ]

22.) Definisati linearnu diferencijalnu jednainu n-tog reda i navesti teoreme o partikularnim rjeenjima. Rjeavanje homogene linearne diferencijalne jednaine II reda sa konstantnim koeficijentima (primjer).

Linearna jednaina n-tog reda i teoreme o partikularnim rjeenjima

(1)

ako je onda homogena

ako je onda je nehomogena

Posmatrajmo homogenu jednainu

(2)

Teorem 1) Neka je partikularno rjeenje jednaine (2) tada je i gdje je takoe rjeenje

jednaine (2)

Teorem 2) Neka su partikularna rjeenja jednaine (2) tada je i i gdje su

takoe rjeenja jednaine (2)

Teorem 3) ) Neka su partikularna rjeenja jednaine (2) tada je rjeenje te jednaine i

gdje su

Neka su date funkcije definisane na intervalu

Determimantu :

|

|

nazivamo Wronskijanova determinanta

Teorem 4.) Neka su funkcije linearno zavisne na tada je Wronskijan jednak nuli za

svako x iz

Ako je Wronskijan razliit od nule onda su sve konst to znai da su funkcije

linearno nezavisne

Rjeavanje homogene linearne diferencijalne jednaine II reda sa konstantnim koeficijentima

1.)Rijeimo odgovarajudu homogenu jednainu i dobijemo 2.)Odredimo partikularno rjeenje i dobijemo i konano rjeenje je:

Odreivanje partikularnih rjeenja u zavisnosti od zadane funkcije

1.) Neka je Da li je rjeenje jednaine a) nije !

b)jeste ! -jednostruko rjeenje

c) jeste ! -dvostruko rjeenje

2.) Neka je

Da li je rjeenje jednaine a) nije !

b) jeste

23.)Rjeavanje nehomogene linearne diferencijalne jednaine II reda sa konstantnim koeficijentima (primjer).

1.)Rijeimo odgovarajudu homogenu jednainu i dobijemo rjeenje . 2.) Nalazimo barem jedno partikularno rjeenje nehomogene jednaine . Rjeenje polazne nehomogene jednaine je tada dato sa

Za neke specijalne oblike funkcije jedno partikularno rjeenje polazne jednaine moemo odrediti jednostavnom metodom koju nazivamo metod jednakih koeficijenata. 1.) Neka je Ukoliko nije rjeenje karakteristine jednaine,partikularno rjeenje traimo u obliku

gdje je konstanta koju treba odrediti 2.) Neka je Ako su sva rjeenja karakteristine jednaine razliita od nule,onda partikularno rjeenje traimo u obliku ,tj. u obliku polinoma k-tog stepene ije koeficijente treba odrediti.

3.)Neka je

Ukoliko nije rjeenje karakteristine jednaine partikularno rjeenje traimo u obliku

Ukoliko jeste rjeenje karakteristine jednaine i to viestruki m,partikularno rjeenje traimo u obliku

4 Neka je

Ukoliko ne postoji rjeenje karakteristine jednaine oblika ,partikularno rjeenje traimo u obliku

gdje su koeficijenti koje treba odrediti.

Ako postoji rjeenje karakteristine jednaine oblika ,viestruki m,partikularno rjeenje traimo u

obliku

5 Neka je

Ukoliko ne postoji rjeenje karakteristine jednaine oblika ,partikularno rjeenje traimo u obliku

gdje su

polinomi istog stepena kao polinom ije koeficijente treba odrediti.

Ako postoji rjeenje karakteristine jednaine oblika ,viestruki m,partikularno rjeenje traimo u

obliku