Upload
dragan-stanic
View
260
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
1/24
1
NEODREENI INTEGRALI
Izraunati
1. 1)
dxx 5)23( , 2)
dxx 6)37( 3)
dxe x 15 , 4)
32xdx
, 5)
14xdx
, 6)
45xdx
7) dxx )23sin( , 8) dxx )54cos( , 9)
12x
dx, 10)
3 8)5( x
dx, 11)
291 x
dx,
12) 294 x
dx, 13)
92x
dx, 14)
82x
dx, 15)
24 x
dx, 16)
21625 x
dx
17) xx
dx
83 2, 18) 241 x
dx, 19)
253 x
dx, 20) 23 2x
dx, 21) 92 2x
dx.
2. 1) dxxex 2 , 2) dxex x 22 3 , 3) dxxxln
, 4) dxxxlnsin )(
, 5) xx
dx
ln, 6)
dxx
x
sin2
cos,
7)
21
arcsin
x
xdx, 8) xdxe
x cossin , 9) dxe
ex
x
221
, 10) dxxx )1cos( 2 , 11) tgxdx ,
12) dxx
x2
)sin1(
cos, 13)
xdxx 33 cossin , 14)
xdxx 45 cossin
, 15) xdx
5sin ,
16)
xdx3sin , 17)
xdx
3cos , 18)
342 xx
dx, 19)
225 xx
dx,
20) xx
dx
83 2, 21 dx
xx
x
269
23
2, 22)
4
2
2x
xdx, 23)
dx
xx
x
14
5
2,
24)
dx
xx
x
22
52, 25) 423 2 xx
dx, 26)
542 xx
dx, 27) 142 xx
dx,
28) 962 xx
dx, 29) 544 2 xx
dx, 30)
32
42 xx
x, 31)
144
122 xx
x
32)
3
43
2 dx
xx
x
3. 1) dxxcosx , 2) dxxsinx 3 , 3) dxxlnx3 , 4) dxxsinex , 5) dxxcosx3 6)
dxxsine x , 7)
dxxsinx2 , 8)
dxxcosx 22 , 9)
dxxln , 10) dxxnxl 2 ,
11) dxcos(lnx) , 12) dxsin(lnx) , 13) dxarctgx , 14) dxarcctgx , 15) dxxarcsin ,
16) dxarccosx 17) dxxarctgx , 18) dxxarcctgx , 19) dxxarcsinx2 , 20) xcos
dxx2
,
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
2/24
2
21) xsindxx2
, 22) dxarctgxx2 , 23) dxxarcsin
2 , 24)
dxx
xln
1
1, 25)
dxx
xln
1,
26) dxxxln3
, 27) dxxcose x3 , 28) dxxsine
x2 , 29) dxex x2
4. 1)
dxx
xx22
2
)2(
623, 2)
dx
xxx
xx
)1)(3(
4832
2
, 3)
dx
xx
xx24
23
4
832, 4)
dx
x
xx22
2
)1(
1,
5)
dxxx
xx24
23 122, 6)
dx
xx
xx
)2)(2(
432
2
, 7)
dxxx
x
)1)(1(
132
, 8)
dxx
xx22
2
)3(
923,
9)
dx
xx
xx
)1)(3(
4352
2
, 10)
dx
xx
xx
)2(
6772
2
,11)
dx
xx
xx
4
81433
2
, 12)
dx
xx
xx
)3)(2(
1362
2
13)
dxxx
xx2
2
)2(
123, 14)
dx
xx
x
)2)(5(
752
2
, 15)
dxxx
x
9
27153
, 16)
dxxx
xx
)1)(1(
4932
2
,
17)
dx
xx
xx
)2)(1(
12
2
, 18)
dx
xx
xx
)2()1(
12
2
, 19)
dxxx
xx3
2 323, 20) 352 2 xx
dx,
21)
dxxx
xxx
23
32
2
23
, 22)
dxxx
x
54
3
2, 23)
dxxxx
xx
)52)(1(
332
2
2
, 24)
13x
dx
25)
1
3x
dx, 26)
dx
xxx
x
44
8
23, 27)
dx
x
xx22
2
)1(
2, 28)
dx
xx
xx
127
22
3
,
29) ,1
4 xdx
30)
dxxxx
xx23
4 13, 31)
dx
xxx
x
6
123
, 32)
dxxxx
xx
65
16523
2
,
33)
dxxxx
xx
)32)(1(
6
2
2
, 34)
)1)(2(
334
2
2
dxxxx
xx
35)
)22
44
23
2
dxxxx
xx
,
36)
dxxxx 33
10
23.
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
3/24
3
EKONOMSKE FUNKCIJE
1. Navedi osobine funkcije tranje. Odredi oblast definisanosti funkcije tranje:a) 4200003620
2 ppx . b)62 103011000 ppx
2. Navedi osobine funkcije ponude. Odredi oblast definisanosti funkcije ponude3000150~ px .3. Ako je funkcija tranje za nekim proizvodom 2
2
150)( ppf a funkcija ponude
2
2
5
2
1)( pppg , odrediti trinu cenu i tranju u uslovima ravnotee na tritu.
4. Ako su funkcija tranje i funkcija ponude za nekim proizvodom ppf 6)( i24)( pppg , odrediti trinu cenu i tranju u uslovima ravnotee na tritu.
5. Ako su funkcija tranje i funkcija ponude za nekim proizvodom 2319)( pppf i15)( ppg , odrediti trinu cenu i tranju u uslovima ravnotee na tritu.
6. Za neki proizvod funkcija tranje je 240002 px . Odrediti oblast definisanostifunkcije tranje. Izraunati cenupi tranjuxza koju e ukupan prihod bitimaksimalan, kao i veliinu tog prihoda.
7. Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom57600500
2 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
8. Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom1100007202 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
9. Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom300003502 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
10.Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom1750008502 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
4/24
4
11.ta je funkcija graninog prihoda? Objasni njenu ekonomsku interpretaciju. Ako jefunkcija prihoda ppP 2000025,0 2 odrediti funkciju graninog prihoda. Kako e
se promeniti prihod ako se cena sa nivoa 500 p povea za jednu novanujedinicu?
12.Neka je za neki proizvod X poznata funkcija tranje 22005,0 px i neka jefunkcija ukupnih trokova . Odrediti intervalrentabilne proizvodnje, optimalni nivo proizvodnje i optimalnu cenu.
13.Funkcija ukupnog prihoda za neki proizvod X je xxxP 40002)( 2 , a funkcijagraninih prihoda je 48004)( xxTG . Ako fiksni trokovi iznose 2 880 000, odrediti
interval rentabilne proizvodnje i optimalni nivo proizvodnje.
14.Neka su za neki proizvod X date inverzna funkcija tranje i funkcijaukupnih trokova 00040052800)( 2 xxxT . Odrediti oblast definisanostiinverzne funkcije tranje, interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje ioptimalnu cenu.
15.Neka su za neki proizvod poznate funkcija graninih trokova 00035,0)( xxPG i funkcija prosenih trokova
x
61011 . Odrediti interval
rentabilne proizvodnje i optimalni nivo proizvodnje.
16.Neka je za neki proizvod X poznata funkcija tranje i neka jefunkcija ukupnih trokova . Odrediti oblast
definisanosti funkcije tranje, interval rentabilne proizvodnje i optimalni nivoproizvodnje.
17.Neka su za neki proizvod X poznate , funkcija graninihprihoda i funkcija prosenih trokova . Odrediti
optimalni nivo proizvodnje i maksimalnu dobit.
18.Neka je za neki proizvod X poznata funkcija graninih prihodai funkcija ukupnih trokova . Odrediti interval
rentabilnosti, optimalni nivo proizvodnje i maksimalni prihod. (6)
19.Za neki proizvod X data je inverzna funkcija tranje p=0,25x+ 3000 i funkcijagraninih trokovaTG(x) = 3,5x20 000. Fiksni trokovi iznose 11 000 000. Odreditiinterval rentabilne proizvodnje i optimalni nivo proizvodnje. Izraunati dobit uuslovima optimalne proizvodnje.
20.Neka su za neki proizvod X date funkcija graninih prihodaPG(x) =x + 18 000 ifunkcija ukupnih trokova . Odrediti interval
rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i dobit u uslovima optimalne proizvodnje.
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
5/24
5
21.Neka su za neki proizvod X date funkcija tranje i funkcijaukupnih trokova . Odrediti oblast definisanosti
funkcije tranje, interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i optimalnu cenu.
22.Neka je za neki proizvod X poznata inverzna funkcija tranje i nekaje funkcija graninihtrokova . Ako su fiksni trokovi 2 400 000odrediti interval rentabilne proizvodnje, optimalni nivo proizvodnje i optimalnu cenu.
23.Neka je za neki proizvod X poznata
, funkcija
prosenih trokova, i funkcija ukupnih prihoda. Nai intervalrentabilne proizvodnje, nivo optimalne proizvodnje i maksimalnu dobit.
24.Funkcija tranje za odreeni proizvodXje 175005,0 px . Ako je62
10503)( xxT funkcija ukupnih trokova za proizvodX, nai:a) oblast definisanosti funkcije tranje,
b) interval rentabilnosti,
c) optimalni obim prozvodnjex0, maksimalnu dobit i cenup0u uslovima optimalne
proizvodnje.
25.Neka je za neki proizvod poznata funkcija graninih prihoda 110004 xPG ifunkcija ukupnih trokova .10102)( 62 xxT odrediti interval rentabilnosti,
optimalni obim proizvodnje i maksimalnu dobit.
26.Data je inverzna funkcija tranje 800004 xp i funkcija ukupnih trokova62
101284)( xxT . Naia) oblast definisanosti funkcije tranje,
b) interval rentabilnosti,
c) optimalni obim prozvodnjex0, maksimalnu dobit i cenup0u uslovima optimalne
proizvodnje.
27.Neka je 80001.0 xp inverzna funkcija tranje za neki prozvod i51030)( xxT funkcija ukupnih trokova. Nai optimalnu prodajnu cenup0,
ostvarenu maksimalnu dobit i interval rentabilne prozvodnje.
28.Neka su za proizvodXdate redom funkcije tranje i prosenih trokova200480 px i
25600)(
2x
xT .
a) odrediti interval rentabilne proizvodnje;
b) nai optimalnu koliinu proizvodnje i optimalnu cenu.
29. Neka je funkcija trokova proizvodnje za neki aparatX, 62 10353)( xxT i neka je150005,0 x funkcija tranje. Odrediti interval rentabilnosti, odrediti optimalnu
proizvodnju i veliinu maksimalne dobiti.
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
6/24
6
30.Neka je za neki proizvod X poznata funkcija graninih prihodai funkcija ukupnih trokova . Odrediti interval
rentabilnosti, optimalni nivo proizvodnje i maksimalni prihod.
31.Ukupan dnevni prihod i dnevni trokovi jednog preduzea dati su funkcijama:xxxP 80105)(
24 i 510250)( xxT . Odrediti interval rentabilnosti,
optimalni obim proizvodnje, odgovarajuu cenu i ostvarenu maksimalnu dobit.
32.Za neki proizvod date su funkcija ukupnih trokova 200000090002)( 2 xxxT ifunkcija tranje 3000 px . Odrediti interval rentabilnosti, proizvodnju pri kojoj
je dobit maksimalna i izraunati tu dobit.
33.Kako se definie funkcija trokova i koje su njene osobine? Kako se definie funkcijaprosenih trokova?Ako je funkcija ukupnih trokova 00000422800)( 2 xxxT odredi fiksne ivarijabilne trokove i koliko iznose proseni trokovi pri nivou proizvodnje
x= 20 000?
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
7/24
7
Ispravljena reenja nekih zadataka iz Zbirke zadataka, iz oblasti ekonomske funkcije
8.Neka su za neki proizvod X poznate 80004)( xxPG , funkcija graninih prihoda i
xxxT 00040052800)( , funkcija prosenih trokova. Odrediti optimalni nivo
proizvodnje i maksimalnu dobit.
Reenje:
Funkcija ukupnih prihoda se dobija iz funkcije graninih prihoda na sledei nain:
xxCxx
dxxdxxPxP G 8000280002
4)80004()()( 22
0)0( PC
Funkcija ukupnih trokova se dobija iz funkcije prosenih trokova na sedei nain:
.000400528000004005
2800)()( 2
xxx
xxxxTxT
Nivo proizvodnje pri kojem se ostvaruje maksimalna dobit, zove se optimalni nivo
prozvodnje. Zato je najpre potrebno odrediti funkciju dobiti.
0004005108003)00040052800(80002)()()( 222 xxxxxxxTxPxD
Za odreivanje maksimuma funkcije dobiti, potrebno je odrediti prvi izvod funkcije dobiti,
nule i znak prvog izvoda funkcije dobiti.
108006)( xxD
18006
10800
0108006
x
x
znak prvog izvoda funkcije dobiti
0003204000400518001080018003
)1800(jepa,0)(),,1800(zaa,0)(),1800,0(Za
2max
DDxDxxDx
Dakle, optimalni nivo proizvodnje jex0= 1800, a maksimalna dobitDmax= 4 320 000.
10.Neka su za neki proizvod X poznatex
xxT 000880248002)( funkcija prosenih
trokova, i xxxP 40002)( 2 funkcija ukupnih prihoda. Nai interval rentabilne
proizvodnje, nivo optimalne proizvodnje i maksimalnu dobit.
+ + + + + - - - - - - - -
1800
)(xD
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
8/24
8
Reenje:
Kako jex
xTxT
)()(
_
;
000880248002
2880000
48002)()( 2
_
xxxxxxxTxT ,
00088028800400088024800240002 222 xx)xx(xx)x(T)x(P)x(D
Za proizvodnju kaemo da je rentabilna, ako je dobit vea od nule. Zato najpre odreujemo
nule i znak funkcije dobiti. Kako je funkcija dobiti kvadratna funkcija, njen grafik je
parabola. Kako je znak ispredx2negativan, parabola je okrenuta nanie, pa je znak izmeu
nula ove funkcije pozitivan.
0000880288004 2 xx
8
56008800
8
313600008800
8
46080000774400008800
8
)2880000)(4(488008800 2
2,1
x
;18008
14400;400
8
3200
8
5600880021
xx
znak funkcije dobiti
Interval rentabilnosti funkcije dobiti je (400, 1800).
11000880080)(
88008)000880288004()( 2
xxxD
xxxxD
znak prvog izvoda funkcije dobiti
000960100088021100880011004
)1100(jepa,0)(),,1100(zaa,0)(),1100,0(Za
2
max
DDxDxxDx
Dakle, optimalni nivo proizvodnje jex0= 1800, a maksimalna dobitDmax= 4 320 000.
+ + + + + - - - - - - - -
1100
)(xD
1800400
+ + ++ + + - - -- - -
D x
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
9/24
9
13.Neka su za neki proizvod X date inverzna funkcija tranje 80002 xp i funkcija
ukupnih trokova 00040052800)( 2 xxxT . Odrediti oblast definisanosti inverzne
funkcije tranje, interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i optimalnu cenu.
Reenje:
Za odreivanje oblasti definisanosti inverzne funkcije tranje potrebno je da budu ispunjena
sledea tri uslova: )0()0()0( pxp . Kako je funkcija tranje monotono opadajua
i inverzna funkcija tranje je monotono opadajua, tj. 0)( xp .
prvi uslov , drugi uslov i trei uslov
Kako je 2)( xp , konstantna funkcija, ona je manja od nule za bilo koji brojx, tako da
treci uslov nee uticati na formiranje oblasti definisanosti. Na osnovu prvog i drugog uslova,
oblast definisanosti je (0, 4000).
Za odreivanje intervala rentabilnosti, optimalnog obima proizvodnje i optimalne cene,
neophodno je najpre odrediti funkciju dobiti )()()( xTxPxD . Funkcija prihoda nam nije
poznata, ali je zato data inverzna funkcija tranje. Funkciju prihoda odreujemo iz relacije
)()( 1 xfxpxxP , gde je )(1 xf inverzna funkcija tranje.
.80002)80002()( 2
xxxxpxxP
0004005108003)00040052800(80002)()()( 222 xxxxxxxTxPxD
Interval rentabilnosti se odreuje iz uslova D(x) > 0 . Da bi odredili znak funkcije dobiti
najpre emo odrediti njene nule.
00004005108003 2 xx
6
720010800
6
5184000010800
66480000011664000010800
6)5400000)(3(41080010800
2
2,1
x
;30006
18000;600
6
3600
6
72001080021
xx
znak funkcije dobiti
4000
80002
080002
0
x
x
x
p
x > 0
02)(
)80002()(
0)(
xp
xxp
xp
D x
3000600
+ + ++ + + - - -- - -
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
10/24
10
interval rentabilnosti je (600, 3000)
108006)0004005108003()( 2 xxxxD
18006
108000108006
x
x
znak prvog izvoda funkcije dobiti
Optimalni obim proizvodnje je x0= 1800, optimalnu cenu odredjujemo iz inverzne funkcije
tranje
440080001800280002 00 xp
14.Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom
1750008502 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.
b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
Reenje:
Funkcija tranje je 175000850)( 2 pppfx
a) Pri odreivanju oblasti definisanosti funkcije tranje, moraju da budu zadovoljeniuslovi )0)(()0)(()0( pfpfp .
01750008502 pp
5002
10002150850,350
2700
2150850
.2
150850
2
22500850
2
700000722500850
2
700000850850
21
2
2,1
pp
p
Funkcija tranje je kvadratna funkcija iji je grafik parabola, okrenuta navie jer je znak
ispredx2pozitivan, i koja seex-osu u 350 i 500.
znak funkcije tranje
+ + + + + - - - - - - - -
1800
)(xD
f (p)
500350
+ + +- - - - + + ++ + +
425
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
11/24
11
425,2
850
08502
8502)175000850()(
0)(
2
pp
p
ppppf
pf
Na osnovu sva tri uslova zakljuujemo da je oblast definisanosti funkcije tranje
Df = (0, 350)
b) Funkcija prihoda jepppp)pp(p)p(fpx)p(P 175000850175000850 232
Da bi odredili cenu sa kojom se postie maksimalan prihod, potrebno je odrediti maksimum
funkcije prihoda, a za to nam je potreban prvi izvod funkcije prihoda, nule i znak prvog
izvoda funkcije prihoda.1750001700317500085023175000850 2223 pppp)ppp(P
Najpre traimo nule prvog izvoda funkcije prihoda. 017500017003 2 pp
474316
822588
6
8288817002135
6
18811
6
828881700
6
828881700
6
7900001700
6
210000028900001700
6
1750001217001700
21
2
21
,,,
p,,,
p
.,
p,
Sada odreujemo znak prvog izvoda funkcije prihoda.
znak prvog izvoda funkcije prihoda
Na osnovu znaka prvog izvoda funkcije prihoda, zakljuujemo funkcija prihoda ima lokalnimaksimum za cenup0= 135,2. Kako ova vrednost pripada oblasti definisanosti funkcije
tranje maksimalni prihod iznosi
2081425941000066023184537152083264712
2135175000213585021352135 23
,,
,,,),(PPmax
15.Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom 300003502 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.
)p(P
431 47135 2
+ + +- - - - + + ++ + +
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
12/24
12
b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
Reenje:
Funkcija tranje je 300003502 pp)p(fx
Oblast definisanosti date funkcije tranje odrediemo iz uslova)0)(()0)(()0( pfpfp
0300003502 pp
2002
400
2
50350150
2
300
2
50350
2
50350
2
2500350
2
120000122500350
2
120000350350
21
2
21
p,p
.p ,
znak funkcije tranje
175,2
350
03502
350230000350
0
2
pp
p
p)pp()p(f
)p(f
Na osnovu sva tri uslova zakljuujemo da je oblast definisanosti funkcije tranje
Df = (0, 175)
b)Funkcija prihoda jepppp)pp(p)p(fpx)p(P 3000035030000350 232
300007003300003502330000350 2223 pppp)ppp(P
0300007003 2 pp
761766
561060
6
563607005756
6
44339
6
56360700
6
56360700
6
130000700
6
360000490000700
6
3000012700700
21
2
21
,,,
p,,,
p
,
p ,
f (p)
200150
+ + +- - - - + + ++ + +
175
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
13/24
13
znak prvog izvoda funkcije prihoda
61075758100697172057120133033181
575630000575635057565756 23
,,,
,),(),(),(PPmax
16. Neka je tranja za nekim proizvodom X na tritu data funkcijom
1100007202 ppx .
a) Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje.
b) Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod i koliko on iznosi?
Reenje:
a) Funkcijatranje je 1100007202 pp)p(fx .
Oblast definisanosti date funkcije tranje odrediemo iz uslova
)0)(()0)(()0( pfpfp
5002
1000
2
280720220
2
440
2
280720
2
280720
2
78400720
2
440000518400720
2
440000720720
21
2
21
p,p
p ,
znak funkcije tranje
360,2
720
07202
7202110000720
0
2
pp
p
p)pp()p(f
)p(f
b)Funkcija prihoda je
pppp)pp(p)p(fpx)p(P 110000720110000720 232
11000014403110000720 223 pp)ppp()x(P
011000014403 2 pp
)p(P
176 7656 57
+ + +- - - - + + ++ + +
f (p)
500220
+ + +- - - - + + ++ + +
360
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
14/24
14
683846
123086
1868144032956
95716
18681440
6
18681440
6
7536001440
6
132000020736001440
6
1100001214401440
21
2
21
,,,p,,,p
,
p ,
znak prvog izvoda funkcije prihoda
Maksimalan prihod se postie za cenup = 95,32, i iznosi:
.49,480941810485200
73,654184922,86606832,95110000)32,95(720)32,95()32,95( 23max
PP
17.Neka su za neki proizvod X date funkcija tranje 80004 px i funkcija ukupnih
trokova 00025047000750 2 xx,)x(T . Odrediti oblast definisanosti funkcije tranje,
interval rentabilnosti, optimalni obim proizvodnje i optimalnu cenu i maksimalnu dobit.
Reenje:
Oblast definisanosti date funkcije tranje odrediemo iz uslova
))p(f())p(f()p( 000
2000
4
180004
080004
80004
p
/p
p
p)p(fx
04
80004
0
)p(f
)p()p(f
)p(f
4 )p(f je konstantna funkcija, uvek manja od 0, tako da ne utie na odreivanje oblasti
definisanosti funkcije tranje. Oblast definisanosti funkcije tranje je
Df= (0, 2000).
Za odreivanje intervala rentabilnosti, optimalnog obima proizvodnje i optimalnecene i
maksimalne dobiti, potrebna nam je funkcija dobiti.
)x(T)x(P)x(D
Funkcija trokova je data, ali funkciju prihoda treba formirati. Kako je funkcija trokova
izraena prekox, i funkcija prihoda mora da bude izraena prekox.
)p(P
384 6895 32
+ + +- - - - + + ++ + +
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
15/24
15
)x(fx)x(P 1
Inverzna funkcija tranje je .x,x)x(fp 200025020004
11
Funkcija ukupnog prihoda je
xx,)x,(x)x(P 20002502000250 2
00025049000
000250470007502000250
2
22
xx
)xx,(xx,)x(T)x(P)x(D
najpre odreujemo interval rentabilnosti
0000250490002 xx
2
80009000
2
640000009000
2
170000008100000010800
2
)4250000)(1(490009000 22,1
x
;50082
17000;500
2
0001
2
0008000921
xx
znak funkcije dobiti
interval rentabilnosti je (500, 8500)
4500900020
90002000250490002
xx)x(D
x)xx()x(D
znak prvog izvoda funkcije dobiti
Na osnovu znaka prvog izvoda funkcije dobiti, zakljuujemo da je optimalni nivo proizvodnje
x0= 4500. Optimalnu cenu emo izraunati preko inverzne funkcije tranje
875200045002502000250 00 ,x,p
Maksimalna dobit je
0000001600025040005004000025020
00025044500900045004500 20
)(D)x(DDmax
D x 8500500
+ + ++ + + - - -- - -
+ + + + + - - - - - - - -
4500
)(xD
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
16/24
16
19.Funkcija tranje za odreeni proizvod X je 175005,0 px . Ako je
6210503)( xxT funkcija ukupnih trokova za proizvod X, nai: interval rentabilnosti,
optimalni obim prozvodnjex0i dobit u uslovima optimalne proizvodnje.
Reenje:
175005,0 px
Inverzna funkcija tranje je 000352 xp . Funkcija prihoda je
xx)x(x)x(P 350002000352 2
Funkcija dobiti je
62622 105035000510503350002 xx)x(xx)x(T)x(P)x(D
01050350005 62 xx
10
1500035000
10
22500000035000
10
1000000000122500000035000
10
)50000000)(5(43500035000 2
2,1
x
;000510
00050
10
1500035000;2000
10
20000
10
150003500021
xx
znak funkcije dobiti
Interval rentabilnosti je (2000 , 5000).
3500
03500010
0
35000101050350005 62
x
x
)x(D
x)xx()x(D
znak prvog izvoda funkcije dobiti
Na osnovu znaka prvog izvoda funkcije dobiti, zakljuujemo da je optimalni obim
proizvodnjex0= 3500. Dobit u uslovima optimalne proizvodnje je
D x
50002000
+ + ++ + + - - -- - -
+ + + + + - - - - - - - -
3500
)(xD
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
17/24
17
00025011
000000500005001220002506150000000122500000122500005
00000050350035000350053500 2
)(DDmax
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
18/24
18
ZADACI IZ FINANSIJSKE MATEMATIKE
1.Na koje vreme treba uloiti 4000 eura sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom od6,5% i polugodinjim kapitalisanjem tako da njegova vrednost poraste za 20%?
2. Koliku kamatu donosi kapital od 6000 eura uloen na 2 godine i 126 dana sa godinjomdekurzivnom kamatnom stopom 6,5% i tromesenim kapitalisanjem? Koliku bi kamatu
doneo da je uloen pod istim uslovima sa anticipativnom kamatnom stopom od 4,8%?
Koja kamata je vea i za koliko?
3.Na koje vreme treba uloiti 3000 eura sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom od5,9% i tromesenim kapitalisanjem pa da njegova vrednost poraste za treinu?
4. Izraunati kamatu koju donosi kapital od 200000 dinara, uloen na 2 godine 7 meseci i 10dana uz godinju dekurzivnu kamatnu stopu od 18% i polugodinje kapitalisanje. Kolika bi
bila kamata da je umesto relativne primenjena odgovarajua konformna kamatna stopa?
5.Na koje vreme treba uloiti 300 000 dinara sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopomod 12,5% i tromesenim kapitalisanjem pa da njegova vrednost porasteza estinu?
6.Na koje vreme treba uloiti 150 000 dinara sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopomod 16,5% i tromesenim kapitalisanjem pa da njegova vrednost poraste za 20%?
7.Nabroj naine obrauna kamate i objasni ih. Primenom kog naina obrauna kamateekapital od 2000 eura, uloen na tri godine sa tromesenim kapitalisanjem, i kamatnomstopom 6,5% doneti najveu kamatu i koliko ona iznosi?
8. Koliku kamatu donosi kapital od 3000 eura uloen na 2 godine i 196 dana sa godinjomdekurzivnom kamatnom stopom 5,9% i polugodinim kapitalisanjem? Koliku bi kamatu
doneo da jeprimenjena odgovarajua konformna kamatna stopa? Koja kamata je vea i za
koliko?
9. Koji modeli kamatnog rauna postoje i po emu se razlikuju? Ako je uloeno 1000 eura na2 godine i 128 dana sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 6,5% i tromesenim
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
19/24
19
kapitalisanjem, koji model kapitalisanja treba primeniti kako bismo izraunali krajnju
vrednost kapitala? Objasni zato?
10. Koliku kamatu donosi kapital od 2000 eura uloen na 2 godine i 135 dana sagodinjom dekurzivnom kamatnom stopom 5,3% i tromesenim kapitalisanjem? Koliku bi
kamatu doneo da je uloen pod istim uslovima sa anticipativnom kamatnom stopom od
5,3%? Koja kamata je vea i za koliko?
11. Opii ukratko model kredita sa jednakim otplatama. Ako se ovakav kredit od 3600eura amortizuje meseno na period od 3 godine sa godinjom dekurzivnom kamatnom
stopom 6,5%, koliko e iznositi uee kamate u prvom, a koliko u poslednjem anuitetu?
12. Opii ukratko model kredita sa jednakim anuitetima. Ako se ovakav kredit od 3600eura amortizuje meseno na period od 4 godine sa godinjom dekurzivnom kamatnom
stopom 11,5%, izraunaj vrednost anuiteta i ukupnu kamatu. U kom anuitetu je najvee
uee otplate a u kom kamate?
13. Kredit od 480 000 dinara amortizuje se meseno metodom jednakih anuiteta za periodod etiri godine i sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 15%. Izraunati vrednost
anuiteta, stanje duga posle dve godine i ukupnu kamatu.
14. Kredit od 5000 eura amortizuje se meseno metodom jednakih anuiteta za period odpet godina sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 10,5%. Izraunati vrednost
anuiteta, stanje duga posle dve godine i ukupnu kamatu.
15. Kredit od 240 000 dinara amortizje se meseno metodom jednakih otplata sagodinjom dekurzivnom kamatnom stopom od 12,5% za period od etiri godine. Izraunaj
vrednost prvog i poslednjeg anuiteta i ukupnu kamatu. Kolika bi bila ukupna kamata da je
umesto relativne primenjena odgovarajua konformna kamatna stopa?
16. Kredit od 12000 eura amortizuje se meseno metodom jednakih anuiteta za period od10 godina i sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 4,5%. Izraunati vrednost
anuiteta i stanje duga posle tri godine? Koliko bi iznosio anuitet da je umesto relativne
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
20/24
20
primenjena konformna kamatna stopa
17. Kredit od 540 000 dinara amortizuje se meseno metodom jednakih anuiteta za periodod tri godine i sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 12,5%. Izraunati vrednost
anuiteta i stanje duga posle dve godine? Koliko bi iznosio anuitet da je umesto relativne
primenjena konformna kamatna stopa?
18. Kredit od 360 000 dinara amortizje se meseno metodom jednakih otplata sagodinjom dekurzivnom kamatnom stopom od 8,5% za period od tri godine. Izraunaj
vrednost prvog i poslednjeg anuiteta i ukupnu kamatu.
19. Kredit od 360 000 dinara amortizuje se meseno metodom jednakih anuiteta za periodod tri godine i sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 8,5%. Izraunati vrednost
anuiteta i stanje duga posle dve godine? Koliko bi iznosio anuitet da je umesto relativne
primenjena odgovarjua konformna kamatna stopa?
20. Kredit od 240 000 dinara amortizuje se meseno metodom jednakih otplata sagodinjom dekurzivnom kamatnom stopom od 24,5% za dve godine. Izraunaj vrednost
prvog i poslednjeg anuiteta. Izraunaj ukupnu kamatu?Kolika bi bila ukupna kamata da je
umesto relativne primenjena odgovarajua konfomna kamatna stopa?
21. Kredit od 228000 dinara amortizuje se metodom jednakih otplata mesenimanuitetima na period od 2godine i 6 meseca uz godinju dekurzivnu kamatnu stopu od
20,12%. Izraunati vrednost prvog, i poslednjeg anuiteta. Koliko je ukupno novca
vraeno?
22. Kredit od 5000 eura amortizuje se za 3 godine mesenim anuitetima sa godinjomkamatnom stopom 18,25%. Odrediti stanje duga nakon prve godine ako se kredit
amortizuje: a) metodom jednakih anuiteta b) metodom jednakih otplata.
23. Kredit od 300000 dinara amortizuje se za period od 3 godine metodom jednakihotplata uz godinju dekurzivnu kamatnu stopu od 9,5%. Izraunaj vrednost prvog i 15-tog
anuiteta. Izraunaj ukupnu kamata primenom relativne i primenom konformne kamatnestope. Koja kamata je vea i za koliko?
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
21/24
21
FORMULE IZ FINANSIJSKE MATEMATIKUE
Sloen kamatni raun sa dekurzivnom kamatnom stopom
tm
tm m
p
KK
10 , rm
K
K
t
tm
log
log0
,
Odnos izmeu komforne i relativne kamatne stope 11, mmk pp
Model kombinovanog prostog i sloenog kapitalisanja sa dekurzivnom kamatnom
stopom
36511
0
dtm
s
tp
m
pKK ,
m
pr 1 ,
rm
K
K
t
tm
log
log0 ,
1
1
365
0
tm
s
d
m
pK
K
pt
Sloen kamatni raun sa anticipativnim nainom kapitalisanja
tmtm
m
q
KK
1
0 ,log
log0
m
K
K
t
tm
,
m
q
1
1 ,
tm tm
K
K
mmq
0
,
Model kombinovanog prostog i sloenog kapitalisanja sa anticipativnom kamatnom
stopom
36511
0
d
tmstq
m
q
KK ,
log
log0
m
K
K
t
tm
,
tm
s
d
m
qK
K
qt
1
1365 0
Amortizacija kredita metodom jednakih otplata sa dekurzivnom kamatnom stopom
ii Ia ,n
K ,
n
i
m
pKIi
11 ,
n
iKSi 1 ,
n
KiiQi
,
m
npKI
2
)1(
Amortizacija kredita metodom jednakih anuiteta sa dekurzivnom kamatnom stopom
m
pr 1 ili mkpr ,1 , n
r
rKa
1
1,
1
n
in
ir
rrKS ,
1
1
1
n
ii
k
kir
rKQ , KnaI
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
22/24
22
ISPITNA PITANJA
1. ta je Dekartov proizvod skupova?Odredi Dekartov proizvod skupovaA = {a, b, c} iB= {1,2}.
2. Kako se definie preslikavanje?Neka je A = 1, 2, 3, B = x, yi neka suf= {(1,x), (2,y)},g= {(1,x), (1,y), (2,y)} i h= {(1,y), (2,x), (3,x)}. Da li su f,gi h
preslikavanja? Objasni zato.3. Kad kaemo da je neko preslikavanje konstantno, a kad identino? Koje je od
sledeih preslikavanja konstantno, a koje identino: a)f(x) = 2x2+ 3, b)g(x) =x,c) h(x) = -7, d)p(x) = 4x3, e)s(x) = 22?
4. Kad kaemo da je neko preslikavanje sirjekcija, a kad injekcija? Da li je preslikavanjef(x)= 3x2,f :RR,a) sirjekcija, b) injekcija i zato?
5. Kad kaemo da je neko preslikavanje bijekcija? Da li je preslikavanjef(x) = 2x+ 3,f :RR,bijekcija i zato?
6. ta je inverzno preslikavanje? Odredi inverzno preslikavanje, preslikavanja,f(x) = 3x4,f :RR.7. ta su nule funkcije, a ta presek funkcije say osom i kako se odreuju? Odredi nule ipresek funkcije say osom funkcije
4
3 2
x
xxy
8. Kad kaemo da je funkcija parna, a kad neparna? Odredi parnost funkcije3
542
x
xxy
9. ta je matrica? Kako se definie zbir dve matrice, a kako proizvod skalara i matrice?Navedi osobine koje vae za ove operacije. Izraunaj 3IAB,gde su matrice
105
002
011
B,
021
203
101
A
10.Kako se definie proizvod dve matrice, a kako stepen matrice? Navedi osobine koje
vae za operaciju proizvod matrica. Koje se od matrica mogu pomnoiti i u komredosledu. Izraunati mogue proizvode.
,20
11
A ,
04
30
12
B
220
103C
11.ta je determinanta matrice i kako se izraunava? Navedi svojstva determinanti.
Izraunaj determinantu matrice .
0011
0140
1231
1003
A
12.ta je minor, a ta kofaktor? Izraunaj kofaktore matrice .010
023
102
B
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
23/24
23
13.ta je inverzna matrica i kako se izraunava? Izraunaj inverznu matricu matrice.
220
130
012
A
14.Kad kaemo da je matrica regularna, a kad singularna? Odrediti regularnost matrice
102
201
310
C
15.Kad kaemo da je pravay = ax + b kosa, a kad horizontalna asimptota funkcije? Kakose izraunavaju koeficijenti a i b?Da li funkcija
3
542
x
xxy ima kosu ili
horizontalnu asimptotu i kako ona glasi?
16.ta je vertikalna asimptota funkcije? Da li funkcija6
)2(
2
2
xx
xy ima vertikalnu
asimptotu i ako ima kako ona glasi?
17.Kako glasi definicija prvog izvoda funkcija.Navedi pravila diferenciranja. Nai prviizvod funkcije
3
sin2
x
xy
18.Kako se trai izvod sloene funkcije? Nai prvi izvod funkcijey= ln(2x3+ 3).19.Kako se odreuje monotonost funkcije pomou prvog izvoda? Odredi monotonost
funkcije3
45 2
x
xxy
20.Kako se odreuju ekstremne vrednosti funkcije pomou izvoda? Odredi ekstremnevrednosti funkcije
2
2
28
)1(
xx
xy
21.Kako se odreuje konveksnost i konkavnost pomou drugog izvoda funkcije? Odredikonveksnost funkcije
3
1682
x
xxy
22.Kako se odreuju prevojne take funkcije? Odredi prevojne take funkcije2
2
)3(
2
x
xxy
23.Navedi definiciju primitivne funkcije i definiciju neodreenog integrala. Odrediprimitivnu funkciju funkcije
3
)( xxf .24.Navedi definiciju neodreenog integrala i osnovna pravila integracije. Izraunaj
.)sin3( 2 dxxx
25.Objasni metod integracije pomoi smene. Izraunaj dxx )23sin( 26.Objasni parcijalnu integraciju. Izraunaj xdxxcos 27.Navedi definiciju odreenog integrala i Njutn-Lajbnicovu formulu. Izraunaj
1
1-
3.3 dxx
28.Navedi osobine funkcije tranje. Odredi oblast definisanosti funkcije tranje175000850
2
ppx .
8/13/2019 Matematika Zadaci Za Vezbanje Za Ispit i Ispitna Pitanja
24/24
29.Navedi osobine funkcije ponude. Odredi oblast definisanosti funkcije ponude2500250~ px .
30.ta je prihod i kako se moe izraziti funkcija prihoda kao funkcija jedne promenljive?Ako je funkcija tranje za nekim proizvodom 1100007202 ppx , odredifunkciju prihoda tog proizvoda. Sa kojom cenom se postie maksimalni prihod?
31.ta je funkcija graninog prihoda? Objasni njenu ekonomsku interpretaciju. Ako jefunkcija prihoda pppP 2)10()( odrediti funkciju graninog prihoda. Kako e se
promeniti prihod ako se cena sa nivoa 50 p povea za jednu novcani jedinicu?
32.Kako se definie funkcija trokova i koje su njene osobine? Kako se definie funkcijaprosenih trokova? Ako je funkcija ukupnih trokova 2503505,2 2 xxT odredi fiksne i varijabilne trokove i koliko iznose proseni trokovi pri nivou
proizvodnjex= 1000?
33.Definii funkciju graninih trokova i objasni njenu ekonomsku interpretaciju. Ako jefunkcija ukupnih trokova 9003001,0)( 2 xxxT odredi funkciju graninih
trokova. Da li je opravdano poveanje proizvodnje sa nivoax0= 400.34.ta je dobit? ta je interval rentabilnosti i kako se odreuje? Odredi interval
rentabilnosti ako je funkcija dobiti 62 1010220004)( xxxD
35.ta je optimalni nivo proizvodnje i kako se odreuje? Ako je funkcija dobiti za nekiproizvod 62 1010220004)( xxxD , odredi optimalni nivo proizvodnje.
36.Koji modeli kamatnog rauna postoje i po emu se razlikuju? Ako je uloeno 1000eura na 2 godine i 6 meseci sa godinjom dekurzivnom kamatnom stopom 6,5% i
polugodonjim kapitalisanjem, koji model kapitalisanja treba primeniti kako bismoizraunali krajnju vrednost kapitala? Objasni zato?
37.Nabroj naine obrauna kamate i objasni ih. Primenom kog naina obrauna kamatee kapital od 1000 eura, uloen na dve godine sa polugodinjim kapitalisanjem, ikamatnom stopom 6,5% doneti najveu kamatu i koliko ona iznosi?
38.Opii ukratko model kredita sa jednakim otplatama. Ako se ovakav kredit od 7000eura amortizuje meseno na period od 5 godina sa godinjom dekurzivnom kamatnomstopom 4,5%, izraunaj broj anuiteta i otplatu. Koliko e iznositi prvi, a koliko
poslednji anuitet?
39.Opii ukratko model kredita sa jednakim anuitetima. Ako se ovakav kredit od 5000eura amortizuje meseno na period od 4 godine, sa dekurzivnom kamatnom stopom,7%, izraunaj broj anuiteta, vrednost anuiteta i ukupnu kamatu. U kom anuitetu jenajvee uee otplate a u kom kamate?