LIETUVOS ŽEM ĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

MATEMATIKOS KATEDRA

A. Bartaševičius, R. Didžgalvis, J. Kaminskienė, A. Lapinskas, E. Laurinavičius

MM AATTEEMM AATTII KK OOSS PPRRAATTII MM AAII

I dalis

AAnnaall iizziinnėė ggeeoommeettrr ii jjaa ii rr ddii ffeerreenncciiaall iinniiss

sskkaaiiččiiaavviimmaass

Metodiniai patarimai

y

x ( )0,2/pF

2/p

O

d ( )yxM ,

d

2/p

pxy 22 =

AKADEMIJA 2008

UDK 517.3 + 517.9(075.8) In - 154 A. Bartaševičius, R. Didžgalvis, J. Kaminskienė, A. Lapinskas, E. Laurinavičius

MATEMATIKOS PRATIMAI I dalis Analizinė geometrija ir diferencialinis skaičiavimas Metodiniai patarimai Recenzavo lekt. dr. D. Rimkuvienė (LŽŪU) Aprobuota: Matematikos katedros posėdyje 2007 11 17, protokolo numeris 0-115 FMSI metodinės komisijos posėdyje 2008 03 20, protokolo numeris 8 Kalbą redagavo Laima Jonikienė © A. Bartaševičius, R. Didžgalvis, J. Kaminskienė, A. Lapinskas,

E. Laurinavičius, 2008 © Lietuvos žemės ūkio universitetas, 2008

2

LIETUVOS ŽEM ĖS ŪKIO UNIVERSITETAS

MATEMATIKOS KATEDRA

A. Bartaševičius, R. Didžgalvis, J. Kaminskienė, A. Lapinskas, E. Laurinavi čius

MM AATTEEMM AATTII KK OOSS PPRRAATTII MM AAII

I dalis

AAnnaall iizziinnėė ggeeoommeettrr ii jjaa ii rr ddii ffeerreenncciiaall iinniiss

sskkaaiiččiiaavviimmaass

Metodiniai patarimai

Fakultetas ............................................................................................ Studento vardas, pavardė .................................................................. Kursas......................................... Grupė............................................. Studijų knygelės Nr. ...........................................................................

3

PRATARM Ė

Matematikos literatūros vadovėlių ir uždavinynų aukštųjų mokyklų studentams lietuvių kalba sąrašas nėra didelis. Dar labai trūksta uždavinynų su uždavinių sprendimo metodais, kurie padėtų studentams įsisavinti aukštosios matematikos pagrindus ir matematikos taikymo įgūdžius pasirinktoje specialybėje.

Metodinis leidinys „Matematikos pratimai. I dalis. Analizinė geometrija ir diferencialinis skaičiavimas“ (apimtis 100 p.) skirtas Lietuvos žemės ūkio universiteto abiejų inžinerinių fakultetų (Žemės ūkio inžinerijos ir Vandens ūkio ir žemėtvarkos) I kurso pirmo semestro dieninio ir neakivaizdinio skyrių studentams. Leidinio turinys atitinka modulių FMMA B01 ir FMMA B04 programas. Autoriai stengėsi įtraukti kuo daugiau taikomojo pobūdžio uždavinių. Kiekvienai temai yra paruoštos individualios namų darbų užduotys ir tipiniai jų sprendimų pavyzdžiai.

Leidinį sudaro klasikiniai aukštosios matematikos skyriai: tiesinė ir vektorinė algebra, erdvės ir plokštumos analizinė geometrija, funkcijų ribos, vieno ir kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas ir taikymai inžineriniuose skaičiavimuose.

Autoriai dėkoja Matematikos katedros recenzentei lekt. Daivai Rimkuvienei ir referentei Danutei Lukoševičiūtei už vertingas pastabas ir kruopštų darbą.

Autoriai laukia kritinių pastabų, kurias siųskite adresu: LŽŪU, FMSI, Matematikos katedra, Universiteto g. 10–219, LT-53361, Akademija.

4

MATRICOS, DETERMINANTAI, LYG ČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMAS

PRATIMAI

g – grupės numeris 201÷=g ; m – studento numerio grupės sąraše pirmas skaitmuo 3,2,1,0=m ; n – studento numerio grupės sąraše antras skaitmuo 90÷=n .

=

−

=

=

=

100

010

001

42

31

25

22

13

01

14

20

631

E

n

m

g

D

n

m

g

B

gm

nA

=

++

−−=

=

=

−

=n

mP

gmCnRmHG

121

642

2

4

6

3

14

8

α

( )( )21

321

)42(

7

3

1

210

530

623

02

yyY

xxxX

ngV

m

n

g

Q

n

m

g

gg

F

=

=

−=

=

−

=

1. BABAS ⋅−⋅+⋅= 321 . Koks matricos S elementas 32s ?

2. DRS T ⋅= . Apskaičiuoti matricos S elementų sumą. 3. Apskaičiuoti matricos F determinantą. ?det =F 4. 3AS= . Apskaičiuoti matricos S elemento 22s reikšmę. ?22 =s

5. 1−= BS . Koks matricos S elementas ?32 =s

6. Rasti lygties RXD T =⋅ sprendinio trumpiausią atstumą iki taško );;( nmgM .

7. Kokia turi būti parametro α reikšmė, kad lygčių sistemą TGCY =⋅ būtų suderinta?

8. Rasti lygties PXEC T =⋅⋅ sprendinio trumpiausią atstumą iki taško );;( nmgM .

9. Rasti nežinomojo 1x reikšmę lygties HABXT ⋅= sprendinyje.

10. Rasti lygties HXA T =⋅ sprendinio trumpiausią atstumą iki taško );;( nmgM . Atsakymus užrašyti 0,01 tikslumu.

5

Pavyzdys. 10 grupė 7 numeris ( 7010 === nmg )

1. BABAS ⋅−⋅+⋅= 32

1. Koks matricos S elementas 32s ?

⊗=

−

+

⋅

=

272

013

0110

3

14100

720

631

21

272

013

0110

14100

720

631

S

• kairiosios matricos eilutės dauginamos su dešiniosios matricos stulpeliais,

=

⋅

=⋅

333231

232221

131211

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

BA

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=

333323321331323322321231333321321131

332323221321322322221221312321221121

331323121311321322121211311321121111

bababababababababa

bababababababababa

bababababababababa

• matricą dauginant iš skaičiaus, visi matricos elementai dauginami iš to

skaičiaus

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

⋅=⋅

333231

232221

131211

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

ααααααααα

αα

−

+

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=⊗

750

5,310

35,15,0

2140100371411010214310100

2702007712102732100

2603017613112633101

=

−−

−−

−−

+

=

−

299252

5,174911

155,445,1

1166

5,329

35,15,29

2810858

145120

124631

6216

039

0330

Ats.: =32s 92.

2. DRS T ⋅= . Apskaičiuoti matricos S elementų sumą.

Matrica transponuojama sukeičiant vietomis matricos eilutes su atitinkamais stulpeliais, pvz.:

=

=

3323

3222

3121

333231

232221

aa

aa

aa

aaa

aaaA

T

T

13

12

11131211

a

a

aaaa

6

( ) =

−

⋅=

−

⋅

=⋅=

742

031

2510

274

42

31

25

2

4

n

m

g

nDRS

T

T

( ) ( )224943720724423754)2(217104 =⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅= .

114224943131211 =++=++= ssssuma

Ats.: =suma 114.

3. Apskaičiuoti matricos F determinantą. ?det =F Skleidimo taisyklė: matricos determinanto reikšmė lygi bet kurios eilutės (arba

stulpelio) elementų ir tų elementų adjunktų sandaugų sumai:

323222221212131312121111

333231

232221

131211

det AbAbAbAbAbAb

bbb

bbb

bbb

B ⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅== K

ijA – elemento ijb adjunktas.

Naudinga pasirinkti eilutę (arba stulpelį), kurioje daugiausia nulinių elementų, todėl verta determinantą pertvarkyti, kurioje nors eilutėje (arba stulpelyje) gaunant kuo daugiau nulinių elementų.

Determinanto reikšmė nepasikeis: T1–kurią eilutę (stulpelį) padauginus iš skaičiaus ir sudėjus su kita eilute

(stulpeliu); T2 – bendrą daugiklį iškėlus iš eilutės (arba stulpelio) prieš determinantą.

( )=

−

−

⋅=

=

−

=5

217

530

6103

1002

22 iškeliamas

stulpelio antroIšT2.

2107

5300

61023

100102

det

0

0

1

5

F

( )=

−

−−−

⋅=

=

217

530

6103

205013

2eilute pirmasu sudedama

ir 5- iš dauginama eilutė Antra T1.

0

0

1

0

=

⋅+

−⋅+⋅+

−⋅⋅=

=

42322212

42322212 00102elementais stulpelio

antro aSkleidžiam MA

MA

MA

MA

ijM – elemento ijb minoras – determinantas, kuris liktų iš skaičiuojamojo

determinanto išbraukus i-tąją eilutę ir j-tąjį stulpelį.

ijij MA = , jei −+ ji lyginis skaičius.

7

ijij MA −= , jei −+ ji nelyginis skaičius.

( )( )

( ) ( ) =−⋅−⋅=

−

−−

=

−−

−−−

⋅=⋅⋅=32

3222 12

27

1121

120363

2T1

50327

50

2013

212MAM

1

0

0

1

3

50

( )( ) .2946)1473(212021)363(1121121

12036322 32 −=−⋅=−⋅−−⋅⋅=

−−⋅=⋅= M

Ats.: =Fdet –2946.

4. 3AS= . Koks matricos S elementas 22s ?

=

⋅

⋅

=⋅⋅==

14100

720

631

14100

720

631

14100

720

6313 AAAAS

=

⋅

=

491430000

20869320

204312511

14100

720

631

2661700

112740

111691

.

Ats.: =22s 932.

5. 1−= BS . Koks matricos elementas ?32 =s

⋅=

⋅== −

332313

322212

312111

333231

232221

1312111

det

1

det

1

AAA

AAA

AAA

BAAA

AAA

AAA

BBS

T

;

⊗=

==

−

−

1

1

272

013

0110

BS

( )( )

=−=−⋅+⋅+

−⋅=

−

−=

−−

= 12322212

322212001

268

07

01071

272

013

0110

det MMA

MA

MAB

0

0

1

( )( ) 01468027268

071 ≠=−⋅−⋅−−=−

−⋅−= . 1−B egzistuoja.

20227

011111 =−=== MA 6

22

031212 −=−=−= MA 19

72

131313 === MA

227

012121 −=−=−= MA 20

22

0102222 === MA 68

72

1102323 −=−=−= MA

8

001

013131 === MA 0

03

0103232 =−=−= MA 7

13

1103333 === MA

−

−

−

=

−

−

−

⋅=

−−

−

⋅=⊗

21

734

1419

07

1073

071

71

76819

0206

022

141

700

68202

1962

141

T

.

1−B apskaičiuota teisingai, jei

==⋅=⋅ −−

100

010

00111 EBBBB .

Patikrinimas:

=

⋅

−

−

−

=⋅−

272

013

0110

21

734

1419

07

1073

071

71

1 BB

=

⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅−⋅

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−

⋅−⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅−⋅

=

100

010

001

22

10

7

340

14

197

2

11

7

341

14

192

2

13

7

3410

14

19

2007

100

73

7017

101

73

2037

1010

73

2007

10

7

1701

7

11

7

1203

7

110

7

1

.

Matrica 1−B apskaičiuota teisingai. 8571,4734

32 −=−=s

Ats.: =32s –4,86.

6. Apskaičiuoti lygties RXD T =⋅ sprendinio trumpiausią atstumą iki taško );;( nmgM .

( )

++−

+

++

=

⋅

−

=⋅

−

=⋅

321

21

321

3

2

1

321

742

3

2510

742

031

2510

42

31

25

xxx

xx

xxx

x

x

x

xxx

n

m

g

XD TT

Dviejų lygių matricų lygūs ir atitinkami jų elementai, todėl:

=++−

=+

=++

⇒=⋅

2742

73

42510

321

21

321

xxx

xx

xxx

RXD T .

9

Tokios lygčių sistemos sprendimas Kramerio ar atvirkštinės matricos metodais reikalautų atlikti daug skaičiavimų: Kramerio metodu tektų apskaičiuoti keturis trečios eilės determinantus, atvirkštinės matricos metodu – vieną trečios eilės ir devynis antros eilės determinantus. Čia, žinoma, kalbama apie sprendimą „ranka“, t. y. naudojantis gal būt tik kalkuliatoriumi.

Šią lygčių sistemą spręsime Gauso metodu. Iš lygčių sistemos koeficientų sudarome matricą-lentelę:

− 2

7

4

742

031

2510321 xxx

,

A B kurią sudaro dviejų matricų A ir B elementai. Matrica A vadinama pagrindine lygčių sistemos matrica, o visa lentelė – išplėstine lygčių sistemos matrica BA .

Sprendimą Gauso metodu galima suskirstyti į du etapus:

I. Išplėstinės matricos pertvarkymas į trapecinę matricą. II. Sprendimo baigmės nustatymas ir sprendinio apskaičiavimas (jei lygčių sistema

suderinta, t. y. jei lygčių sistema turi bent vieną sprendinį).

I etapas. Išplėstinės matricos pertvarkymas į trapecinę matricą. Lentelė tvarkoma tol, kol gaunama trapecinė matrica. Trapecine vadinama

matrica, kurioje visi (arba kiek įmanoma daugiau) pagrindinės įstrižainės elementai nelygūs nuliui, o visi elementai po pagrindine įstrižaine tik nuliniai. Pagrindinę įstrižainę sudaro elementai, kurių abu elemento vietą žymintys indeksai vienodi ( )K;; 2211 aa . Lentelė – išplėstinė matrica pertvarkoma nepažeidžiant matricų

ekvivalentumo, t. y. pertvarkymo metu išlieka tokie patys matricų A ir BA rangai.

Rango sąvoką apibrėšime vėliau. Matricos rangas nesikeičia (lentelės pertvarkymo taisyklės):

T1. Bet kurią eilutę dauginant iš skaičiaus ir sudedant su kita eilute. T2. Eilutę dauginant (dalinant) iš nelygaus nuliui skaičiaus. T3. Sukeičiant vietomis lentelės eilutes arba matricos A stulpelius. T4. Nulinę eilutę, t. y. eilutę, kurioje visi elementai nuliniai, pašalinant iš

lentelės.

Sprendimą tikslinga pradėti nuo pirmo stulpelio pertvarkymo. Pirmame stulpelyje pagrindinėje įstrižainėje skaičius 10. Kiti stulpelio elementai skaičiai 1 ir –2. Vengiant veiksmų su trupmenomis, naudinga pirmo stulpelio ir pagrindinės įstrižainės susikirtime turėti skaičių – visų žemiau pagrindinės įstrižainės esančių stulpelio elementų daliklį. Pirmam stulpeliui tai pasiekiama sukeitus 1-ą ir 2-ą eilutes (T3):

10

~

2

4

7

742

2510

031

~

2

7

4

742

031

2510

−

−

Nesunku sugalvoti, kad 1 padauginus iš (-10) ir sudėjus su 10 gaunamas 0.

Tačiau T1 leidžia tokį veiksmą tik su eilutėmis, todėl 1-os eilutės elementai dauginami iš (-10) ir sudedami su 2-os eilutės elementais:

( ) ( ) ( ) 22100,255103,010101 =+−⋅−=+−⋅=+−⋅ . Analogiškai 1-os eilutės elementai dauginami iš 2 ir sudedami su 3-os eilutės elementais:

~

16

66

7

7100

2250

031

~

)2()10(

2

4

7

742

2510

031

~

−−

−

−

Gavus visus nulinius elementus 1-ame stulpelyje, toliau tvarkomos tik 32÷ eilutės. 2-ame stulpelyje pagrindinėje įstrižainėje elementas 2522 −=a – nepatogus tolimesniam pertvarkymui. Naudinga antro stulpelio ir pagrindinės įstrižainės susikirtime turėti skaičių – visų tame stulpelyje žemiau pagrindinės įstrižainės esančių elementų daliklį. Tai pasiekiama trečią eilutę dauginant iš 3 ir sudedant su antra eilute (T1):

~

16

18

7

7100

2350

031

~

)3(16

66

7

7100

2250

031

~

−

−−

Toliau nulinis elementas po pagrindine įstrižaine antrame stulpelyje gaunamas antrą eilutę dauginant iš –2 ir sudedant su trečia eilute (T1):

−

−

−

−

52

18

7

3900

2350

031

~)2(

16

18

7

7100

2350

031

~

Matrica A pertvarkyta į trapecinę: 39,5,1 332211 −=== aaa , o visi elementai po

pagrindine įstrižaine nuliniai, t. y. ijiaij <== ,3,2,0 K .

II etapas. Sprendimo baigmės nustatymas ir sprendinio apskaičiavimas

Šiame etape sužinoma, kaip pasibaigs lygčių sistemos sprendimas: ar lygčių

sistema neturi sprendinių ( )φ , turi tik vieną sprendinį (1) ar turi labai daug

sprendinių ( )∞ . Tai nustatoma matricų A ir BA rangais. Matricos rangas lygus

didžiausiai eilei nelygaus nuliui determinanto, kurį galima sudaryti iš matricos eilučių ir stulpelių elementų. Galima įrodyti, kad matricą pertvarkius į trapecinę, jos rangas lygus nenulinių eilučių skaičiui trapecinėje matricoje. Nenuline eilute vadinama tokia eilutė, kurioje bent vienas elementas nelygus nuliui.

Sprendimo baigmę apibrėžia Kronekerio-Kapelli teorema:

11

• jei ( ) ( )BARAR ≠ , lygčių sistema sprendinių neturi ( )Ο/ ,

• jei ( ) ( ) nBARAR == , lygčių sistema turi tik vieną sprendinį (1),

• jei ( ) ( ) nBARAR <= , lygčių sistema turi labai daug sprendinių ( )∞ ,

čia n – lygčių sistemos nežinomųjų skaičius. Lygčių sistema vadinama suderinta, jeigu ji turi bent vieną sprendinį (t. y. (1) arba ( )∞ ). Jei lygčių sistema sprendinių neturi, ji vadinama nesuderinta.

( ) ( ) 3

52

18

7

3900

2350

031

3

3900

2350

031

=

−

−

==

−

= BARBAARA

( ) ( ) 3=== nBARAR .

Vadinasi, lygčių sistema turi vieną sprendinį (suderinta). Apskaičiuojamas sprendinys. Iš paskutinės po pertvarkymo gautos lentelės užrašoma lygčių sistema:

=−

−=+

=+

⇒

−

− 5239

18235

73

52

18

7

3900

2350

031

3

32

21

x

xx

xx

.

Paskutinė lygtis turi tik vieną nežinomąjį 3x , todėl ją išsprendus gaunama:

3952

3 −=x .

Gauta 3x reikšmė statoma į 2-ą lygtį ir iš jos apskaičiuojama 2x reikšmė:

( )39494

391196702

39119618518

3952235 22 =+−=+−=⇒−=−⋅+ xx

==⋅

=39

8,98539

4942x

Surastoji 2x reikšmė statoma į 1-ą lygtį ir apskaičiuojama 1x reikšmė:

394,23

394,296273

394,29677

398,983 11 −=−=−=⇒=⋅+ xx

39

4,231 −=x

−−

3952;

398,98;

394,23 .

Būtina patikrinti, ar teisingai išspręsta. Sprendinys turi tenkinti visas sistemos

=++−

=+

=++

2742

73

42510

321

21

321

xxx

xx

xxx

lygtis.

:a-1 ( ) 439

15639

10449423439522

398,985

394,2310 ==−+−=−+

+

−

:a-2 739273

394,2964,23

398,983

394,23 ==+−=

+

−

12

:a-3 ( ) 23978

393642,3958,46

39527

398,984

394,232 ==−+=−+

+

−⋅−

Visos lygtys tenkinamos. Geometrinė gautojo vienintelio lygčių sistemos sprendinio prasmė – taškas N trimatėje erdvėje: ( )3333,1;5333,2;6,0 −−N . Čia sprendinio nežinomųjų reikšmės išreikštos apytiksliai dešimtainėmis trupmenomis. Apvalinta didesniu tikslumu, nei to reikalauja atsakymo tikslumas. Atstumas tarp taškų ( )MMM zyxM ;; ir

( )NNN zyxN ;; apskaičiuojamas pagal formulę:

222 )()()( MNMNMN zzyyxxMN −+−+−=

Gautasis sprendinys – vienintelis, todėl jo atstumas iki taško )7;0;10(M tuo pačiu bus ir trumpiausias.

7194,132215,188)73333,1()05333,2()106,0( 222 ==−−+−+−−=MN

Ats.: =d 13,72. 7. Kokia turi būti parametro α reikšmė, kad lygčių sistema TGCY =⋅ būtų

suderinta?

( )

−

=

−−==

14

81121

64221

αGCyyY

( ) ( )21212121 1162421121

642yyyyyyyyCY +−+−+=

−−⋅=⋅

( ) ( )148116242 212121 −=+−+−+⇒=⋅ αyyyyyyGCY T

−=+−

=+−

=+

⇒

14116

824

2

21

21

21

yy

yy

yy α

Tokia lygčių sistema sprendžiama tik Gauso metodu

( )

−−

+−

−

+

−

+

−−

−

424

4

00

20

12

~7

143

4

140

20

12

~2:

143

28

140

40

12

~

32

14

8

116

24

12

αα

α

αα

α

αα

αα

Gauta trapecinė matrica. ( ) 2=AR . Lygčių sistema būtų suderinta, jei ( ) ( )ARBAR = , t. y. reikia, kad ir ( )BAR būtų lygus 2. Būtina, kad trečios eilutės

elementas matricoje B būtų lygus nuliui, todėl:

13

5,104

42

0424

−=−

=

=−−

α

α

Ats.: =α –10,5.

8. Rasti lygties PXEC T =⋅⋅ sprendinio trumpiausią atstumą iki taško );;( nmgM .

++

−−=

⋅

−−=

⋅

⋅

−−=⋅⋅

321

321

3

2

1

3

2

1

112

642

1121

642

100

010

001

1121

642

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

XEC T

=++

=−−⇒

=

++

−−⇒=⋅⋅

7112

0642

7

0

112

642

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxPXEC T

Gautą lygčių sistemą galima išspręsti tik Gauso metodu:

( )

−−−

−

−−

−−

−−

7

7

1440

1121~

1

0

7

321

1121~

2:0

7

642

1121~

7

0

1121

642

Gauta trapecinė matrica. ( ) ( ) 32,2 === nBARAR .

( ) ( ) nBARAR <= , todėl lygčių sistema turi labai daug sprendinių.

Iš paskutinės lentelės gaunama tokia lygčių sistema:

−=−−

=++

7144

7112

32

321

xx

xxx

Iš dviejų lygčių galima apskaičiuoti tik dviejų nežinomųjų reikšmes, todėl kairėje pusėje paliekami tik du nežinomieji. Patogiausia pasilikti tuos nežinomuosius, kurių koeficientai yra pagrindinėje įstrižainėje, t. y. 1x ir 2x :

+−=−

−=+

32

321

1474

1172

xx

xxx

Dešinėje pusėje esantys nežinomieji vadinami laisvaisiais. Jiems laisvai galima suteikti bet kurią reikšmę. Tarkime, kad tx =3 . Jeigu t – skaičius, tai paskutinė lygtis turi tik vieną nežinomąjį. Jį galime rasti:

tx

tx

5,375,1

1474

2

2

−=

+−=−

Gautą 2x reikšmę įstačius į 1-ą lygtį, apskaičiuojama nežinomojo 1x reikšmė:

( )tx

ttx

45,3

1175,375,12

1

1

−=

⋅−=−⋅+

Lygčių sistemos bendras sprendinys yra ( )tttN ;5,375,1;45,3 ⋅−⋅− , iš kurio, keičiant t reikšmę, galima gauti labai daug sprendinių. Geometriškai sprendinys N trimatėje erdvėje reiškia tiesę. Uždavinyje reikalaujama rasti trumpiausią atstumą d iki taško );;( nmgM , taigi reikia rasti artimiausią taškui M sprendiniu apibrėžiamos tiesės tašką.

A B

14

=−+−+−== 222 )()()( MNMNMN zzyyxxMNd

=−+−⋅−+−⋅−= 222 )7()05,375,1()1045,3( ttt

=+⋅−+⋅+⋅−+⋅+⋅+= 222 144925,1225,120325,3161325,42 tttttt

.2825,9425,1325,29 2 +⋅−⋅= tt Apskaičiuojamas atstumas priklauso nuo parametro t reikšmės. Žinome, kad

kvadratinės funkcijos cbxaxy ++= 2 mažiausia reikšmė, kai 0>a , gaunama parabolės viršūnėje, kai abx 2/−= . Todėl

23453

7,1165,2

5,5825,13

25,29225,13 ===

⋅=t .

Radome parametro t reikšmę, su kuria gaunama mažiausia pašaknio, o tuo pačiu ieškomo atstumo, reikšmė:

=+

⋅−

⋅= 2825,94234

5325,13

234

5325,29

2

d

632,9)234(

57,51625325,16432625,321632 =+−=

Ats.: =d 9,63.

9. Rasti nežinomojo 1x reikšmę matricinės lygties HABXT ⋅= sprendinyje.

( )

++

+

+

=

⋅

=⋅

=

321

21

21

3

2

1

321

272

3

10

272

013

0110

272

013

0110

xxx

xx

xx

x

x

x

xxxBX TT

=

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅

=

⋅

=⋅

84

42

39

61401030

670230

660331

6

0

3

14100

720

631

HA .

Vienodų formatų matricos lygios, kai lygūs atitinkami matricų elementai, todėl iš matricinės lygties HAXB T ⋅=⋅ seka tokia tiesinių lygčių sistema:

=++

=+

=+

84272

423

3910

321

21

21

xxx

xx

xx

.

Galimi trys tokios tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodai: Kramerio, atvirkštinės matricos, Gauso. Kramerio ir atvirkštinės matricos metodais tiesinių lygčių sistema išsprendžiama tik tada, kai pagrindinis matricos determinantas nelygus nuliui. Spręsime Kramerio metodu:

15

Pagrindinis lygčių sistemos determinantas

272

013

0110

=D sudarytas iš visų lygčių

sistemos koeficientų prie nežinomųjų. Pagalbiniai lygčių sistemos determinantai

8472

4213

39110

2842

0423

03910

2784

0142

0139

321=== xxx DDD ,

t. y. determinantai, sudaryti iš pagrindinio determinanto, kuriame koeficientai prie atitinkamo nežinomojo keičiami laisvaisiais nariais.

Kramerio taisyklės: • jei ,0≠D lygčių sistema turi vienintelį sprendinį, apskaičiuojamą taip:

D

Dx

D

Dx

D

Dx

xxx 32321 ;; === ;

• jei 0=D ir visi 0321=== xxx DDD , lygčių sistema turi labai daug

sprendinių arba iš viso jų neturi; • jei 0=D ir bent vienas iš 0,,

321≠xxx DDD , lygčių sistema sprendinių

neturi. Apskaičiuojamas pagrindinis lygčių sistemos determinantas D. Jei jo reikšmė

bus lygi nuliui, toliau Kramerio metodu nesprendžiama. Tada sprendžiama Gauso metodu (pasinaudoti 7 arba 8 uždavinių sprendimo pavyzdžiais).

Skleidžiama trečio stulpelio elementais:

( ) 14310213

11022

272

013

011033

33 =−⋅=⋅=⋅==MAD .

014≠=D , todėl lygčių sistema turi vienintelį sprendinį. Jo radimui apskaičiuojamos visų pagalbinių determinantų reikšmės:

( ) 642392142

139222

2784

0142

0139

333333

1−=−⋅=⋅=⋅=⋅== MAD

Mx .

( ) 6061174202423

391022

2842

0423

0391033

2 33 =−⋅=⋅=⋅==MADx .

16

152718968

371

189068

307

39110)7()1(

8472

4213

39110

121212

3−=

−−

−−=−=⋅=

−−

−=

−−

=−

MADM

x .

Tada 141527,

14606,

146 321

321−====−==

D

Dx

D

Dx

D

Dx

xxx .

( )141527;

14606;

146 −−

Patikrinimas. Sprendinys turi tenkinti visas sistemos lygtis: 1-a lygtis: 2-a lygtis: 3-a lygtis:

848442423939

8414

117642

14

58839

14

546

84141527

214606

714

6242

14606

146

33914606

146

10

842724233910 3212121

===

===

=

−+⋅+

−=+

−=+

−

=++=+=+ xxxxxxx

Ats.: =−=14

61x -0,43.

10. Rasti lygties HXA T =⋅ sprendinio trumpiausią atstumą iki taško

);;( nmgM .

=

=

=

6

0

3

14100

720

631

3

2

1

H

x

x

x

XA T

Iš matricinės lygties HXA T =⋅ gaunama tokia tiesinių lygčių sistema:

=+

=+

=−+

61410

072

3631

32

32

321

xx

xx

xxx

Lygties HXA T =⋅ sprendimas atvirkštinės matricos metodu:

HAXAA T ⋅=⋅⋅ −− 11 HAXE T ⋅=⋅ −1

HAXT ⋅= −1

⊗=

==

−

−

1

1

14100

720

631

AS

17

04270281410

721

14100

720

631

det 1111 ≠−=−===⋅== MAA . 1−A egzistuoja.

421410

721111 −=== MA 0

140

701212 =−=−= MA 0

100

201313 === MA

181410

632121 =−=−= MA 14

140

612222 === MA 10

100

312323 −=−=−= MA

972

633131 === MA 7

70

613232 −=−=−= MA 2

20

313333 === MA

−

−

−

⋅−=

−

−

−

⋅−

=⊗

2100

7140

91842

421

279

101418

0042

421

T

.

Apskaičiuojamas lygčių sistemos sprendinys:

−=

−

=

−

−

−=

⋅

−

−

−

−=⋅=

= −

7217

12

4212142

72

12

42

72

421

6

0

3

2100

7140

91842

4211

3

2

1

HA

x

x

x

XT

Patikrinimas. 1-a lygtis: 2-a lygtis: 3-a lygtis:

660033

672

1477

10072

777

2372

677

37

121

61410072363 3232321

===

=

−⋅+

⋅=

−⋅+

⋅=

−⋅+

⋅+

⋅

=+=+=++ xxxxxxx

Lygčių sistemos sprendinys ( )72;1;

712 −N . Sprendinys vienintelis, todėl jo atstumas

iki taško )7;0;10(M kartu yra ir trumpiausias:

0785,117

601449

2601493364)772()0

77()10

712( 222 ==++=−−+−+−=MN

Ats.: =d 11,08.

Atsakymų lentelė

1 lentelė 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 92 114 -2946 932 -4,86 13,72 -10,5 9,63 -0,43 11,08

18

VEKTORIN Ė ALGEBRA IR ANALIZIN Ė GEOMETRIJA ERDVĖJE

PRATIMAI

g – grupės numeris 201÷=g ; m – studento numerio grupės sąraše pirmas skaitmuo 3,2,1,0=m ; n – studento numerio grupės sąraše antras skaitmuo 90÷=n . Prizmės viršūnės – taškai:

)5;7;2(

)35;112;2(

)5;1;2(

)5;3;2(

+−+′

−−−

+−+

−

gmnA

nmgC

nmgB

A

A

B′

C′ A′

A′′

B

C D T

Q

H

1 pav.

Apskaičiuoti (0,01 tikslumu):

1. Trikampio ABC perimetrą. 2. Sienos CCBB ′′ trumpesnės įstrižainės ilgį. 3. Didžiausią trikampio ABC vidaus kampą (laipsniais). 4. Trikampio CBA ′′′ plotą. 5. Prizmės šoninio paviršiaus plotą. 6. Prizmės aukštinės H ilgį. 7. Briaunos AA ′ su trikampiu ABC sudaromą kampą (laipsniais). 8. Atkarpos AD ilgį. D – statmens iš viršūnės 'B į kraštinę AC pagrindas. 9. Taško A′′ abscisę. A′′ – taško A′ projekcija sienoje CCBB ′′ . 10. Taško C nuotolį nuo sienos BBAA ′′ .

19

PAVYZDYS

7;0;10 === nmg .

)5;7;2(

)35;112;2(

)5;1;2(

)5;3;2(

+−+′

−−−

+−+

−

gmnA

nmgC

nmgB

A

⇒

)15;7;9('

)16;11;8(

)12;1;12(

)5;3;2(

−

−−−

−

A

C

B

A

Pirmiausia rasime nežinomų prizmės viršūnių koordinates. Prizmė –

briaunainis, kurio pagrindai (šiuo atveju trikampiai) lygiagretūs, o šoninės sienos – lygiagretainiai.

Rasime viršūnę C′ . Tegu ( )zyxC ;;′ . Taško C′ radimui panaudosime kokį nors lygiagretainį, kuriame nežinomos tik taško C′ koordinatės. Akivaizdu, kad toks lygiagretainis yra tik lygiagretainis CCAA ′′ . Lygiagretainio priešingos kraštinės lygios ir lygiagrečios, tai CCAA ′=′ .

Žinant vektoriaus pradžios ir galo taškų koordinates, vektoriaus projekcijos (arba spindulio – vektoriaus koordinatės) randamos iš galo taško koordinačių atimant pradžios taško koordinates:

{ } { }CCCCCCAAAAAA zzyyxxCCzzyyxxAA −−−=′−−−=′ ′′′′′′ ;;;;; . Įstatę atitinkamas taškų koordinačių reikšmes gausime:

( ){ } { }( ) ( ) ( ){ } { }16;11;816;11;8

10;4;7515;37;29

+++=−−−−−−=′

−=−−−−−=′

zyxxyxCC

AA

Du vektoriai lygūs, jei lygios jų atitinkamos koordinatės:

Jei CCAA ′=′ , tai

′=′′=′′=′

zz

yy

xx

CCAACCAACCAA

. Todėl

−=−=−=

⇒

+=+=−+=

6151

161011487

zyx

zyx

( )6;15;1 −−−′C . Pasinaudodami lygiagretainiu BBAA ′′ arba BBCC ′′ , analogiškai

apskaičiuotume taško B′ koordinates: ( )22;3;19 −′B . Būtina pasitikrinti, ar gerai apskaičiuota. Patikrinimui tikslinga naudoti kitokį

to paties uždavinio sprendimo kelią (būdą) arba pasinaudoti kokiu nors matematiniu faktu, padėsiančiu įsitikinti skaičiavimų teisingumu.

Skaičiavimui naudojome vektorius AA ′ ir CC ′ . Jeigu teisingai apskaičiuotos taško C′ koordinatės, vektoriai AC ir CA ′′ taip pat turi būti lygiagretūs ir lygūs. Apskaičiuosime vektorių AC ir CA ′′ koordinates.

( ){ } { }( ){ } { }21;8;10156;715;91

21;8;10516;311;28

−−−=−−−−−−−=′′

−−−=−−−−−−−=

CA

AC

Akivaizdu, kad vektoriai AC ir CA ′′ lygūs ir lygiagretūs. Vadinasi, taško ( )6;15;1 −−−′C koordinatės apskaičiuotos teisingai.

20

1. Apskaičiuoti trikampio ABC perimetrą. Trikampio ABC perimetras – trikampio kraštinių ilgių suma. Kraštinės ilgis

lygus kraštinės galus jungiančio vektoriaus ilgiui. Vektoriaus ilgis (arba modulis) lygus kvadratinei šakniai iš vektoriaus projekcijų kvadratų sumos:

222zyx aaaa ++= . Todėl:

( ){ } { }7;4;10512;31;212 =−−−−=AB

{ } { }28;12;201216;111;128 −−−=−−−−−−=BC

( ) ( ) ( ){ } { }21;8;10165;113;82 =−−−−−−−=CA

( ) ( ) ( ) 845,121657410 222222 ≅=++=++= zyx ABABABAB

( ) ( ) ( ) 442,361328281220 222 ≅=−+−+−=BC

597,2460521810 222 ==++=CA

Atsakymą būtina pateikti apskaičiuotą 0,01 tikslumu, todėl tarpinių skaičiavimų rezultatus reikia apvalinti 0,001 arba didesniu tikslumu.

.884,73597,24442,36845,12 =++=++=++=∆ CABCABCABCABP ABC

Ats.: =∆ABCP 73,88.

2. Apskaičiuoti sienos CCBB ′′

trumpesnės įstrižainės ilgį.

)15;7;9('

)16;11;8(

)12;1;12(

)6;15;1(

−

−−−

−−−′

A

C

B

C

2 pav.

Brėžinyje pavaizduotas sienos CCBB ′′ eskizas. Tikrąją sienos viršūnių – taškų CBB ′′,, ir C padėtį trimatėje erdvėje nėra lengva įsivaizduoti, todėl sunku iš

anksto pasakyti, kuri sienos įstrižainė trumpesnė. Apskaičiuosime abiejų įstrižainių ilgius ir atsakyme pateiksime trumpesnės ilgį.

{ } { }18;16;13126;115;121' −−−=−−−−−−=BC

( ) ( ) ( ) 368,27749181613' 222 ≅=−+−+−=BC

{ } { }38;14;272216;311;198' −−−=−−−−−−=CB

( ) ( ) ( ) 672,482369381427' 222 ≅=−+−+−=CB

Ats.: ='BC 27,37.

B′ C′

B C

21

3. Apskaičiuoti didžiausią trikampio ABC vidaus kampą (laipsniais).

)16;11;8(

)12;1;12(

)5;3;2(

−−−

−

C

B

A

3 pav.

Kampą trimatėje erdvėje galima rasti pasinaudojant kampo tarp vektorių

apskaičiavimo formule. Patogiausia pasinaudoti vektorių skaliarinės sandaugos formule:

⋅=⋅

∧

bababa cos ,

iš kurios gaunama:

ba

baba

⋅

⋅=

∧

cos ir

⋅

⋅=

⋅

⋅= −

∧

ba

ba

ba

baba 1cosarccos .

Vektorių, išreikštų projekcijomis, skaliarinė sandauga lygi vektorių projekcijų sandaugų sumai: zzyyxx babababa ⋅+⋅+⋅=⋅ .

A∠ – kampas tarp vektorių, išeinančių iš viršūnės A, t. y. tarp vektorių AB ir AC :

⋅⋅==∠ −

∧

ACABACABACABA 1cos .

( ){ } { } .1657410,7;4;10512;31;212 222 =++==−−−−= ABAB

( ){ } { } ( ) ( ) ( ) .60521810,21;8;10516;311;28 222 =−+−+−=−−−=−−−−−−−= ACAC

( ) ( ) ( ) 27914732100217841010 −=−−−=−⋅+−⋅+−⋅=⋅ ACAB .

Iš gauto skaliarinės sandaugos rezultato ( 279−=⋅ ACAB ) jau galima teigti,

kad kampas tarp vektorių (tuo pačiu ir A∠ ) bus didesnis nei 090 . Tai būtų ir didžiausias trikampio vidaus kampas. Nepaisant to, apskaičiuosime visus trikampio kampus ir taip pasitikrinsime skaičiavimų teisingumą.

=

⋅−=

⋅⋅==∠ −−

∧

605165279coscos 11

ACABACABACABA

( ) .012,152...8830,0cos...9502,315

279cos99825

279cos 0111 =−=

−=

−= −−−

⋅

⋅=

⋅

⋅==∠ −

∧

BCBA

BCBA

BCBA

BCBABCBAB 1cosarccos

A

B

C

22

{ } { } 1657;4;107;4;10 ==−−−=−=−= ABBAABBA .

{ } { }

( ) ( ) ( ) .1328281220

;28;12;201216;111;128

222 =−+−+−=

−−−=−−−−−−=

BC

BC

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 444196482002871242010 =++=−⋅−+−⋅−+−⋅−=⋅BCBA .

( )

.466,18

...9485,0cos219120444cos

1328165444coscos

0

1111

=

==

=

⋅=

⋅⋅=∠ −−−−

BCBABCBAB

.cosarccos 1

⋅⋅=

⋅⋅==∠ −

∧

CBCACBCA

CBCACBCACBCAC

{ } { } 60521;8;1021;8;10 ===−−−−=−= ACCAACCA .

{ } { } 132828;12;2028;12;20 ===−−−=−= BCCBBCCB .

8845889620028211282010 =++=⋅+⋅+⋅=⋅CBCA .

=

=

⋅=

⋅⋅=∠ −−−

803440884cos

1328605884coscos 111

CBCACBCAC

( ) .521,9...9862,0cos 01 == −

Jeigu skaičiavimai teisingi, trikampio kampų suma turi būti lygi 0180 . Patikrinsime: 0180999,179 ==∠+∠+∠ CBA . Skaičiavimai teisingi.

Ats.: =∠A 152,01o.

4. Apskaičiuoti trikampio CBA ′′′ plotą.

)6;15;1(

)22;3;19(

)15;7;9(

−−−′

−′

−′

C

B

A

4 pav. Iš vektorinės algebros kurso žinome, kad dviejų vektorių vektorinės sandaugos

rezultatas – vektorius, statmenas abiems dauginamiems vektoriams, o šio vektoriaus ilgis lygus vektorinio lygiagretainio, sudaryto iš dviejų dauginamųjų vektorių, plotui, t. y.:

CABAn ′′×′′=

=′′⋅

=′′⋅⇒

′′⊥

′′⊥

0

0

CAn

BAn

CAn

BAn '''' CDBASn =

Akivaizdu, kad trikampio CBA ′′′ plotas lygus pusei lygiagretainio '''' CDBA ploto:

nSS CDBACBA ⋅=⋅= ′′′′∆′′′∆ 2

1

2

1.

A′

B′ n

C′

D′

23

Pasinaudodami pateiktomis formulėmis, apskaičiuojame reikalingą plotą:

( ){ } { }7;4;101522;73;919 =−−−−−=′′BA .

( ){ } { }21;8;10156;715;91 −−−=−−−−−−=′′CA .

=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅=

−−−

=′′×′′=−

kMjMiMAkAjAi

kji

CABAnMMM

131211131211

131211

21810

7410

( ) ( )

( ) { }.40;140;2840140284080

702105684810

410

2110

710

218

74

−−=⋅−⋅+⋅−=⋅+−+

+⋅+−−⋅+−=⋅−−

+⋅−−

−⋅−−

=

kjik

jikji

( ) ( ) ( ) 270,148219841600196007844014028 222 ==++=−++−=n .

135,74270,14821

21 =⋅=⋅=′′′∆ nS CBA .

Ats.: =′′′∆ CBAS 74,14.

5. Apskaičiuoti prizmės šoninio paviršiaus plotą.

)16;11;8(

)12;1;12(

)5;3;2(

−−−

−

C

B

A

)6;15;1(

)22;3;19(

)15;7;9(

−−−′

−′

−′

C

B

A

5 pav.

CCBBBBAACCAAšon SSSS ′′′′′′ ++= . Kiekvienos sienos plotui apskaičiuoti pasinaudosime 5 uždavinio sprendimo

metodika. Nesunku pastebėti, kad { }10;4;7−==′=′=′ lCCBBAA , todėl

lACS CCAA ×=′′ , lABS BBAA ×=′′ , lBCS CCBB ×=′′ .

{ } { } { }28;12;207;4;1021;8;10 −−−==−−−= BCABAC

=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅=

−

−−−=×−

kMjMiMAkAjAi

kji

lACMMM

131211131211

131211

1047

21810

=⋅−

−−+⋅

−−−⋅

−

−−= kji

47

810

107

2110

104

218

( ) ( ) ( ) =⋅++⋅+−−⋅−−= kji 56401471008480

A′

B′

C′

A

B

C

24

{ }.96;47;1649647164 −−=⋅+⋅−⋅−= kji

( ) ( ) ( ) 758,195383219647164 222 ==+−+−=×=′′ lACS CCAA .

=⋅−

+⋅−⋅−

=

−

=× kji

kji

lAB47

410

107

710

104

74

1047

7410

( ) ( ) ( ) { }.68;51;686851682840491002840 −−=⋅−⋅−⋅=⋅−−+⋅−−⋅+= kjikji

( ) ( ) 853,10811849685168 222 ==−+−+=×=′′ lABS BBAA .

=⋅−

−−+⋅

−−−⋅

−

−−=

−

−−−=× kji

kji

lBC47

1220

107

2820

104

2812

1047

281220

( ) ( ) ( ) =⋅++⋅+−−⋅−−= kji 8480196200112120

{ }164;4;2321644232 −=⋅+⋅+⋅−= kji

141,284807361644)232( 222 ==++−=×=′′ lBCS CCBB .

752,588141,284853,108758,195 =++=++= ′′′′′′ CCBBBBAACCAAšon SSSS .

Ats.: =šonS 588,75.

6. Apskaičiuoti prizmės aukštinės H ilgį.

A′

B′

C′

A

B

C

H

6 pav.

Iš stereometrijos kurso žinome, kad prizmės tūris lygus jos pagrindo ploto ir

aukštinės sandaugai, t. y.: HSV ABCsprizmė ⋅= ∆ .

Iš čia seka

ABC

sprizmė

S

VH

∆

= .

Apskaičiuosime prizmės tūrį.

25

A′

A

B

C

β

n

E

)15;7;9('

)16;11;8(

)12;1;12(

)5;3;2(

−

−−−

−

A

C

B

A

{ }{ }{ }10;4;7

21;8;10

7;4;10

−=′

−−=

=

AA

AC

AB

7 pav. Iš vektorinės algebros kurso žinome, kad bet kurių trijų nekomplanarių

(nesančių vienoje plokštumoje) vektorių mišriosios sandaugos modulis geometriškai reiškia tūrį gretasienio, kurio briaunos sutampa su dauginamaisiais vektoriais. Prizmės tūris sudaro pusę gretasienio tūrio, todėl

( ) =′⋅×⋅=⋅= AAACABVV niogretasiesprizmė 2

1

2

1

=−⋅=

−

−−−⋅=

′′′

⋅=

17017

7010

7410

2

112

1047

21810

7410

2

1

2

1

zyx

zyx

zyx

AAAAAA

ACACAC

ABABAB

( ) =+⋅−⋅=−

⋅−⋅=−

⋅−⋅=⋅⋅= 710682

111

710174

2

11717

7104

2

14

2

1 12

12

M

A

578173417682

11768

2

1=⋅=⋅⋅=⋅−⋅= .

CBAABC SS ′′′∆∆ = , todėl pasinaudodami jau spręsto 4-o uždavinio rezultatu, gauname

797,7135,74

578===

′′′∆ CBA

ėsprizm

S

VH .

Ats.: =H 7,80.

7. Apskaičiuoti briaunos AA ′ su trikampiu ABC sudaromą kampą

(laipsniais).

)15;7;9('

)16;11;8(

)12;1;12(

)5;3;2(

−

−−−

−

A

C

B

A

{ }{ }{ }10;4;7

21;8;10

7;4;10

−=′

−−=

=

AA

AC

AB

8 pav.

A′

B′

C′

A

B

C

26

Kampu tarp tiesės ir plokštumos laikomas smailus kampas tarp tiesės ir tos

tiesės projekcijos plokštumoje, t. y. ∧

′=′∠ AEAAAEA . Vektoriai AB ir AC priklauso plokštumai (guli trikampio ABC plokštumoje, tai šių vektorių vektorinė

sandauga nACAB =× ). Vektorius n bus statmenas plokštumai. EAAAn ′′,, guli vienoje plokštumoje ( EA′ taip pat statmenas trikampio ABC plokštumai), tai

kampą AEA′ gausime iš 090 atėmę kampą tarp vektorių AA ′ ir n .

=−−

+−−

−−−

=

−−−

=×= kji

kji

ACABn810

410

2110

710

218

74

21810

7410

( ) ( ) ( ) { }40;140;2840140284080702105684 −−=−+−=+−++−−+−= kjikji .

Reikia įsitikinti, ar vektorius n su vektoriumi AA ′ sudaro smailų kampą. Tai parodo vektorių skaliarinė sandauga

( ) ( ) .115640056019610404140728 −=−−−=⋅−+−⋅+⋅−=′⋅ AAn Skaliarinės sandaugos rezultatas – neigiamas skaičius, todėl kampas tarp n ir

AA ′ – bukas (didesnis nei 090 ). Norint gauti teisingą uždavinio sprendimo rezultatą, reikia pakeisti kurio nors vektoriaus kryptį. Pakeisime vektoriaus n kryptį: { }40;140;28−=n . Rasime kampą β .

′⋅

′⋅=′=∠ −

∧

AAn

AAnAAn 1cosβ .

( ) ( ) .1651047;219844014028;1156 222222 =+−+=′=+−+==′⋅ AAnAAn

( ) .6297,52...6069,0cos21984165

1156coscos 111 ==

⋅=

′⋅

′⋅=′=∠ −−−

∧

AAn

AAnAAnβ

0000 37,376297,529090 =−=∠−=′∠ βAEA .

Ats.: =′∠ AEA 37,37.

8. Apskaičiuoti atkarpos AD ilgį.

)16

)22

)5

;11

;3

;3

;8(

;19(

;2(

−−

−

−

−′

C

B

A

9 pav.

A

B′

C′ A′

B

C D T

Q

27

D – statmens iš prizmės viršūnės 'B į kraštinę AC pagrindas. Uždavinio sprendimą tikslinga atlikti tokia tvarka:

1) parašyti lygtį plokštumos per tašką 'B , statmenos kraštinei AC; 2) rasti tašką D – parašytos plokštumos ir tiesės per taškus A ir C susikirtimo

tašką;

3) apskaičiuoti ADAD = .

Plokštumos Q per tašką ( )MMM zyxM ;; , statmenos vektoriui { }cban ;;=

lygtis yra tokia: ( ) ( ) ( ) 0: =−⋅+−⋅+−⋅ MMM zzcyybxxaQ .

Plokštuma Q išvedama per tašką ( )22;3;19' −B . Plokštuma Q statmena

kraštinei AC (vektoriui { } nAC =−−−= 21;8;10 ), todėl

( ) ( ) ( ) 02221)3(81910 =−⋅−−−⋅−−⋅− zyx Sutvarkę parašytą lygtį, gausime:

04622419021810 =+−+−−− zyx 062821810: =−++ zyxQ

Tiesės T per tašką ( )MMM zyxM ;; , lygiagrečios krypties vektoriui { }nmls ;;=

lygtis yra: nzz

myy

lxx

T MMM −=

−=

−: .

Kraštinės AC lygčiai parašyti pasirinksime tašką ( )5;3;2 −A . Vektorius

{ }21;8;10 −−−=AC lygiagretus tiesei (yra tiesėje), todėl ACs = . Tada kraštinės

AC lygtis tokia: 215

83

102:

−−=

−+

=−− zyxTAC .

Tiesės kanonines lygtis pertvarkome į parametrines:

+−=

−−=

+−=

⇒

=−−

=−+

=−−

⇒=−−

=−+

=−−

521

38

210

21

528

310

2

21

5

8

3

10

2

tz

ty

tx

t

ty

tx

tzyx

Apskaičiuojame plokštumos Q ir tiesės ACT susikirtimo taško D koordinates, spręsdami lygčių sistemą:

+⋅−=

−⋅−=

+⋅−=

=−++

⇒

521

38

210

062821810

:

tz

ty

tx

zyx

T

QD

( ) ( ) ( ) 06285212138821010 =−+⋅−+−⋅−++⋅− ttt 0628105441246420100 =−+⋅−−⋅−+⋅− ttt

0527605 =−− t

28

605527−=t

( )60564802

60552710210 =+−⋅−=+⋅−= tx

( )60524013

605527838 =−−−=−⋅−= ty

( )605

14092560552721521 =+−−=+⋅−= tz

( )605

14092;6052401;

6056480D

{ } ( )605

11067;6054216;

60552705

60514092;3

6052401;2

6056480 =−+−=AD

( ) ( ) ( ) 426,211680260456051

60511067

6054216

6505270 222

=⋅=++== ADAD

Ats.: =AD 21,43.

9. Apskaičiuoti taško A′′ abscisę. A′′ – taško A′ projekcija sienoje CCBB ′′ .

)6

)22

)15

;15

;3

;7

;1(

;19(

;9(

)16

)12

)5

;11

;1

;3

;12(

:12(

;2(

−−

−

−

−′

′

′

−−

−

− C

B

A

C

B

A

10 pav.

Taškas į ką nors projektuojamas trumpiausiu keliu, t. y. taškas A′′ turi būti statmenyje iš taško A′ į sieną (plokštumą) CCBB ′′ . Todėl taško A′′ radimo žingsniai tokie:

1) parašyti plokštumos Q (sienos CCBB ′′ ) lygtį; 2) parašyti tiesės T per A′ , statmenos plokštumai Q, lygtį; 3) apskaičiuoti A′′ – tiesės T ir plokštumos susikirtimo taško – koordinates. 1) taškai B, C ir C′ yra sienoje CCBB ′′ , todėl pasinaudosime plokštumos,

išvestos per tris taškus, lygtimi:

0=

−−−

−−−

−−−

′′′ BCBCBC

BCBCBC

BBB

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

⇒

−−−

−−−

−−−

⇒=

−−−−−−

−−−−−−

−−−

181613

281220

12112

0

126115121

1216111128

12112 zyxzyx

A′

B′

C′

A

B

C

A′′

29

(iš antros eilutės prieš determinantą iškeliame –4, iš trečios iškeliame –1)

.0

181613

735

12112

0

181613

735

12112

4 =

−−−

⇒=

−−−

⋅⇒

zyxzyx

( ) ( ) ( ) 012112131211

131211 =⋅−+⋅−+⋅−− MMM

AzAyAx .

( ) ( ) ( ) 0121613

351

1813

7512

1816

73=−⋅+−⋅−−⋅ zyx .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

02034158

0)12(411)12(58

0123980191901211254

=+++−

=−+−+−−

=−−+−⋅−−−⋅−

zyx

zyx

zyx

02034158: =−−− zyxQ .

2) tiesė per tašką A′ turi būti statmena plokštumai Q, todėl šiai plokštumai

statmenas vektorius { }41;1;58 −−=n bus lygiagretus tai tiesei. Todėl tiesės krypties vektorius ns ≡ . Tada tiesės per ( )15;7;9−′A , lygiagrečios vektoriui

{ }41;1;58 −−=s , lygtis tokia:

4115

17

589:

−−=

−+

=− zyxT .

Pertvarkę į parametrines lygtis, gauname:

+⋅−=

−−=

+⋅=

1541

7

958

:

tz

ty

tx

T

3)

+⋅−=

−−=

+⋅==−−−

⇒′′

1541

7

95802034158

:

::

tz

ty

txzyx

T

QA

Iš paskutinių trijų lygčių statome į pirmą: ( ) ( ) ( ) 0203154141795858 =−+⋅−−−−−+⋅ ttt

0203615752216813364 =−−++⋅++⋅ ttt 2895046 =⋅ t

5046289=t

Įstatę gautą t reikšmę į paskutines lygčių sistemos lygtis, gausime:

( ) 3218,125046621769

504628958958 ==+⋅=+⋅= tx

0573,75046356117

50462897 −=−=−−=−−= ty

30

( ) 6518,1250466384115

5046289411541 ==+⋅−=+⋅−= tz

( )6518,12;0573,7;3218,12 −′′A

Teko atlikti daug skaičiavimų. Būtina įsitikinti, ar teisingai suskaičiuota. Patikrinsime:

• ar taškas ( )6518,12;0573,7;3218,12 −′′A yra sienos CCBB ′′ plokštumoje? Jei taškas A′′ yra sienos plokštumoje, tai jo koordinatės turi tenkinti plokštumos Q lygtį.

Įstatome taško A′′ koordinates į plokštumos Q lygtį: ( ) ( ) ( ) 02036518,12410573,73218,1258 =−⋅−−−⋅

02037238,5180573,76664,714 =−−+ 00001,0 =− 00 ≈

Taško A′′ koordinatės pagal reikalaujamą tikslumą tenkina plokštumos lygtį, todėl taškas A′′ priklauso plokštumai Q.

• ar vektoriai AA ′′′ ir n lygiagretūs? Jei vektoriai lygiagretūs, jų atitinkamų projekcijų santykiai turi būti lygūs.

( ){ } { }3482,2;0573,0;3218,3156518,12;70573,7;93218,12''' −−=−−−−−=AA

{ }3482,2;0573,0;3218,3''' −−=AA { }41;1;58 −−=n

0573,00573,00573,0413482,2

10573,0

583218,3''' ==⇒

−−=

−−=⇒⋅= nAA α

Projekcijų santykiai lygūs. Vektoriai lygiagretūs. Apskaičiuota teisingai.

Ats.: =′′Ax 12,32.

10. Apskaičiuoti taško C nuotolį nuo sienos BBAA ′′ .

)15;7;9(

)16

)12

)5

;11

;1

;3

;12(

:12(

;2( −′

−−

−

−

A

C

B

A

11 pav.

Parašysime plokštumos Q (sienos BBAA ′′ ) lygtį, pasinaudodami plokštumos lygties per tris taškus formule:

0

'''

=

−−−

−−−

−−−

AAAAAA

ABABAB

AAA

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

A′

B′

C′

A

B

C d

31

0

1047

7410

532

0

5153729

51231212

532

=

−

−+−

⇒=

−+−−

−+−

−+− zyxzyx

( ) ( ) ( ) 0532131211

131211 =⋅−+⋅++⋅−− MMM

AzAyAx

( ) ( ) ( ) 0547

4103

107

7102

104

74=−

−++−−

−zyx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 05284034910022840 =−⋅−−++⋅−−−⋅+ zyx

( ) ( ) ( ) 0568351268 =−⋅−+⋅−−⋅ zyx 0340153136685168 =+−−−− zyx

051685168: =+−− zyxQ

Taško ( )MMM zyxM ;; atstumas iki plokštumos 0=+++ dczbyax apskaičiuojamas pagal normuotą plokštumos lygties formulę:

( )222

;;222.

cba

dczbyax

cba

dczbyaxd MMM

zyxM

MPl

MMM++

+++=

++

+++= .

Taško ( )16;11;8 −−−C atstumas iki plokštumos Q:

( ) ( )

( ) ( ) ( )=

+−⋅−−⋅−−⋅=

+−+

+−−=

−−−11849

5116681151868

685168

51685168

16;11;8222

C

CQzyx

d

62,106198,10118491156 === .

Ats.: =d 10,62.

Atsakymų lentelė

2 lentelė 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

73,88 27,37 152,01 74,14 588,75 7,80 37,37 21,43 12,32 10,62

32

ANALIZIN Ė GEOMETRIJA PLOKŠTUMOJE

g - grupės numeris (g=1,...,12) m - sąrašo numerio pirmas skaitmuo (m=0,...,3) n - sąrašo numerio antras skaitmuo (n=0,...,9)

Trikampio viršūnės – taškai:

A( g; g+10) B(m+3; n-12) C(n-10; g-5)

1. Apskaičiuoti trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taško D atstumą iki

koordinačių pradžios taško O(0;0).

2. Apskaičiuoti trikampio ABC aukštinių susikirtimo taško E atstumą iki taško A. 3. Apskaičiuoti trikampio ABC statmenų, iškeltų iš kraštinių vidurių, susikirtimo

taško F atstumą iki kraštinės AB. 4. Apskaičiuoti perimetrą trikampio, gauto per trikampio ABC viršūnes išvedus

lygiagrečias priešingoms kraštinėms tieses. 5. Apskaičiuoti kreivės 0)2(2 =−⋅+−⋅+ mxnygy židinio nuotolį nuo viršūnės. 6. Apskaičiuoti kreivės 9)6()5( 22 =⋅+−+⋅++ ynyxmx spindulį. 7. Apskaičiuoti kreivės 130)5()2( 22 +=⋅++⋅+ gynxm ekscentricitetą. 8. Apskaičiuoti tiesės 0)4(2 =+−− nyx atkarpos, atkertamos kreivės

gxny +=+− 2)3( 2 šakomis, ilgį. 9. Nustatyti, kiek bendrų taškų turi kreivės

0)()(22 222 =−−⋅−−+⋅− nmynmyxgx ir )1(42 2 −⋅+⋅−=⋅ mgxgxyg 10. Plokštumos sritį S nustato šešių nelygybių sistema:

≥

≥

≤⋅++

≤⋅+++⋅−−

≤⋅+++⋅−

≤⋅++⋅−

0]6[

0]5[

1)6(]4[

1)11()8(]3[

1)7()1(]2[

1)()6(]1[

y

x

yng

yngxm

yngxm

yngxm

Apskaičiuoti didžiausią funkcijos yngF ⋅++= )6( reikšmę srityje S.

33

PAVYZDYS

g m n 12 2 6

)7

)6

)22

;4(

;5(

;12(

)5

)12

)10

;10(

;3(

;(

−

−

⇒

−

−

+

−

+

C

B

A

g

n

g

nC

mB

gA

1. Apskaičiuoti trikampio ABC pusiaukraštinių susikirtimo taško D atstumą iki

koordinačių pradžios taško ( )0;0O .

A

C

B

D

OA'

B'

C'

12 pav.

Brėžinyje (čia ir toliau) parodytas tik uždavinio eskizas. Sprendėjui verta

nusibrėžti tikslų brėžinį. Jis padės bent vizualiai patikrinti sprendimo teisingumą. Pusiaukraštinė – tiesės atkarpa, jungianti viršūnę su priešingos kraštinės

vidurio tašku, todėl pirmiausia apskaičiuojamos kraštinių vidurio taškų koordinatės: ( )

5,02

76

25,0

2

45

2 '' =+−

=+

==−+

=+

= CBA

CBA

yyy

xxx ( )5,0;5,0A′

( )5,14

2

722

24

2

412

2 '' =+

=+

==−+

=+

= CAB

CAB

yyy

xxx ( )5,14;4'B

82

)6(22

25,8

2

512

2 '' =−+

=+

==+

=+

= BAC

BAC

yyy

xxx ( )8;5,8'C

Tiesės, išvestos per du taškus, lygtis tokia: 12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−−

Lygtis tiesės-pusiaukraštinės 'AA :

⇒−−=

−−⇒

−−=

−−⇒

−−

=−−

′ 5,1112

5,2122

125,012

225,022:

''

xyxyxxxx

yyyy

TAA

A

AA

AAA

2585,212535,11 +−=+− xy . Lygtis pertvarkoma į bendrąją lygtį 0=++ cbyax , kurioje cba ,, – sveiki skaičiai. Tam abi lygties pusės dauginamos iš 2 ir visi nariai sukeliami į kairę lygties pusę. Tada

0102343: =−−′ yxT AA . Verta pasitikrinti, ar lygtis parašyta teisingai. Jei tiesės lygtis parašyta teisingai, taško, priklausančio tiesei, koordinatės turi tenkinti lygtį.

34

Patikrinimas: Ar ?)22;12( =∈ ′AATA

0001050651601022231243 =⇒=−−⇒=−⋅−⋅ . Taip.

Ar ?)5,0;5,0( =∈′ ′AATA

000105,115,210105,0235,043 =⇒=−−⇒=−⋅−⋅ . Taip. Analogiškai parašomos kitų pusiaukraštinių lygtys.

⇒−−=+⇒

−−=

−−−−⇒

−−=

−−

′ 15

5,206

545

)6(5,14)6(:

''

xyxyxxxx

yyyy

TBB

B

BB

BBB

5,1025,206 −=−− xy 0193241:' =−+ yxTBB

⇒+=−⇒−−−−=

−−⇒

−−

=−−

′ 5,124

17

)4(5,8)4(

787:

''

xyxyxxxx

yyyy

TCC

C

CC

CCC

45,875,12 +=− xy 0183252:' =+− yxTCC

Taškas D – visų trikampio pusiaukraštinių susikirtimo taškas, todėl

−=−

=+

=−

⇒

183252

193241

102343

:

'

'

'

yx

yx

yx

T

T

T

D

CC

BB

AA

.

Tokia lygčių sistema sprendžiama tik Gauso metodu. Jeigu visos tiesių lygtys parašytos teisingai, lygčių sistema turės tik vieną sprendinį, t. y. kuri nors viena eilutė turi būtinai tapti nuline ir būti pašalinta iš lentelės.

( )( )

( )( )

−−

−−

−−−−

−−

−

7889

0

3853

10290

00

5021

~

21

183

3853

3853

252

5021

5021

~

2021183

193

10

252

241

2343

Lygčių sistema turi tik vieną sprendinį. Gautas žinomo geometrinio teiginio,

kad visos trikampio pusiaukraštinės susikerta viename taške, patvirtinimą. Įsitikinta, kad visos lygtys parašytos teisingai. Toliau sprendžiant likusią lygčių sistemą, gaunamos ieškomo taško D koordinatės.

⇒=

=⇒

=−−=

=⋅+

−=−

=+

3/23

3/13

3/231029/7889

2853)3/23(502

78891029

3853502

y

x

y

x

y

yx ( )323;

313D .

Žinoma, tašką D galima apskaičiuoti daug paprasčiau, pasinaudojant žinomu geometriniu teiginiu: pusiaukraštinių susikirtimo taškas dalina pusiaukraštines santykiu 1/22 ==λ , skaičiuojant nuo viršūnės taško. Taško, dalinančio atkarpą santykiu λ , koordinatės apskaičiuojamos taip:

λ

λ

λ

λ

+

⋅+=

+

⋅+=

1;

1gp

Dgp

D

yyy

xxx ,

čia pp yx , – atkarpos pradžios taško koordinatės;

gg yx , – atkarpos galo taško koordinatės;

dd yx , – atkarpą dalinančio taško koordinatės.

35

Pavyzdžiui, pasinaudojant pusiaukraštinės AA ′ taškų koordinatėmis, taško D koordinatės apskaičiuojamos taip:

3

23

21

25,022

13

13

21

25,012

1'' =

+⋅+

=+

⋅+==

+⋅+

=+

⋅+=

λλ

λλ AA

DAA

Dyy

yxx

x

Atstumas tarp dviejų taškų );( MM yxM ir );( NN yxN apskaičiuojamas pagal formulę:

22 )()( MNMNMN yyxxd −+−=

Taško D atstumas iki koordinačių pradžios taško ( )0;0O :

( ) ( ) ( ) ( ) 807,83698

323

3130

3230

313 2222

==+=−−−=ODd .

Ats.: 8,81.

2. Apskaičiuoti trikampio ABC aukštinių susikirtimo taško E atstumą iki taško A.

C

A

B

E

?

13 pav.

Aukštinė – tiesė, išvesta per trikampio viršūnę ir statmena tai viršūnei

priešingai kraštinei. Uždavinys spręstinas tokia tvarka: parašomos visų aukštinių lygtys, randamas jų susikirtimo taškas E, apskaičiuojamas reikalaujamas atstumas tarp taškų A ir E.

Aukštinės lygčiai parašyti naudotina lygties per tašką );( MM yxM , žinant tiesės krypties koeficientą k , formulė:

)( MM xxkyy −⋅=− .

Rašoma aukštinės iš viršūnės A lygtis, t. y. tiesė AET :

žinomas tiesės taškas ( )22;12A , todėl: ( )1222 −⋅=− xky

Lygtyje nežinomas krypties koeficientas k . Iš analizinės geometrijos kurso žinoma, kad dviejų statmenų tiesių krypčių koeficientus sieja lygtis 121 −=⋅kk . Tiesė AET (aukštinė) statmena kraštinei-tiesei BC, todėl

BCAE TT kk /1−= . Tiesės, išvestos per

du taškus, krypties koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

36

12

12

xxyy

k−−

= .

139

913

1

54)6(7

111 =

−

−=

−−−−

−=

−−−=−=

BC

BCBCTAET

xxyyk

k

Tada AET : ( )1213

922 −=− xy .

Gauta lygtis pertvarkoma į bendrąją tiesės lygtį:

( ) 01781391089286131213922 =+−⇒−=−⇒−=− yxxyxy

0178139: =+− yxTAE .

Analogiškai parašomos kitų aukštinių lygtys: ( )6;5: −BTBE ( )56 −⋅=+ xky

BET statmena kraštinei AC, todėl

)5(15166

1516

16151

124227111 −−=+−=

−−−=

−−−−=

−−−=−= xyir

xxyyk

k

AC

ACACT

010151680169015)5(15

166 =++⇒+−=+⇒−

−=+ yxxyxy

0101516: =++ yxTBE

( )7;4: −CTCE ( )( ) )4(747 +⋅=−⇒−−⋅=− xkyxky

CET statmena kraštinei AB, todėl

)4(417

41

7281

125226

111 +−=−−=

−−−=

−−−−=

−−−=−= xyir

xxyyk

k

AB

ABABT

.

02444284)4(4

17 =−+⇒−−=−⇒+

−=− yxxyxy

0244: =−+ yxTCE

Taškas E – visų trikampio aukštinių susikirtimo taškas, todėl:

=+

−=+

−=−

⇒

=−+

=++

=+−

⇒

244

101516

178139

0244

0101516

0178139

:

yx

yx

yx

yx

yx

yx

T

T

T

E

CE

BE

AE

.

Lygčių sistema sprendžiama Gauso metodu.

( )( )

( )

−−−

−

−

−

−

−−

−

−−

24

0

394

41

00

490

~

1

24

394

394

41

490

490

~

91624

10

178

4

1516

139

1

Lygčių sistema turi tik vieną sprendinį. Įsitikinta, kad visos aukštinių lygtys parašytos teisingai. Toliau sprendžiant likusią lygčių sistemą, gaunamos ieškomo taško E koordinatės:

37

−⇒−=

=⇒

⋅−=

=⇒

=+

−=−

49

394;

49

40049/400

49/394

49/394424

49/394

244

39449E

x

y

x

y

yx

y

( ) ( ) ( ) ( ) 524,2449

144400049684

4998822

4939412

49400 2222

==−+−=−−−−=AEd

Ats.: 24,52.

3. Apskaičiuoti trikampio ABC statmenų, iškeltų iš kraštinių vidurių, susikirtimo

taško F atstumą iki kraštinės AB.

C

B

A

B'

A'

C'F

?

14 pav.

Kraštinių vidurio taškai jau buvo apskaičiuoti 1 užduotyje. Jų koordinatės

tokios:

)8

)5,14

)5,0

;5,8(

;4(

;5,0(

C

B

A

′

′

′

Uždavinys spręstinas tokia tvarka: parašomos visų statmenų lygtys, randamos jų susikirtimo taško F koordinatės, apskaičiuojamas reikalaujamas taško F atstumas iki kraštinės AB. Statmens lygčiai parašyti naudojama lygties per tašką

);( MM yxM , žinant tiesės krypties koeficientą k , formulė: )( MM xxkyy −⋅=− .

Rašoma tiesės FA′ lygtis. Statmens FA′ tiesė išvedama per tašką )5,0;5,0(A′ ir statmena kraštinei BC , kurios lygties krypties koeficientas jau rastas 2 užduotyje

913−=

BCTk , todėl

( ) ( )

021395,495,613

5,01395,05,0

91315,0:

=+−⇒−=−⇒

⇒−=−⇒−−−=−′

yxxy

xyxyT FA

02139: =+−′ yxT FA .

Analogiškai parašomos kitų statmenų-tiesių lygtys.

38

Statmens-tiesės :'FB ( )1516

1615

115,14;4'

−=−=−=′ACT

BFT kkB

05,281151664165,21715)4(15

165,14: =−+⇒+−=−⇒−

−=−′ yxxyxyT FB

05,2811516: =−+′ yxT FB .

Statmens-tiesės :'FC ( )4118;5,8

'−=−=′

ABTFCT k

kC

05,4045,8324)5,8(4

18: =−+⇒+−=−⇒−

−=−′ yxxyxyT FC

05,404: =−+′ yxT FC .

Taškas F – visų trikampio statmenų, iškeltų iš kraštinių vidurio taškų ',',' CBA , susikirtimo taškas, todėl:

=+

=+

−=−

⇒

=−+

=−+

=+−

⇒

5,404

5,2811516

2139

05,404

05,2811516

02139

:

'

'

'

yx

yx

yx

yx

yx

yx

T

T

T

F

FC

FB

FA

Lygčių sistema sprendžiama Gauso metodu.

( ) ( )

( )

−−−

−

−

−

−

−−

−−

5,40

0

5,366

41

00

490

~

1

5,40

5,366

5,366

41

490

490

~

9165,40

5,281

2

4

1516

139

1

Lygčių sistema turi tik vieną sprendinį. Įsitikinta, kad visos lygtys parašytos teisingai. Toliau sprendžiant lygčių sistemą, gaunamos ieškomo taško F koordinatės:

⇒=⋅−=

=⇒

=+

−=−

49

5,366;

49

5,51849/5,51849/5,36645,40

49/5,366

5,404

5,36649F

x

y

yx

y

Taško ( )MM yxM ; atstumas iki tiesės T: 0=++ cbyax apskaičiuojamas

pagal formulę:

22

);(

22 ba

cybxa

ba

cbyaxd MM

yxM

MT

MM

+

+⋅+⋅=

+

++= .

Kraštinės AB lygtis, panaudojant tašką )22;12(A ir jau žinomą šios tiesės krypties

koeficientą 4=ABTk :

026448422)12(422: =−−⇒−=−⇒−⋅=− yxxyxyTAB 0264: =−− yxTAB .

Taško

495,366;

495,518F atstumas iki tiesės 0264: =−− yxTAB :

146,217495,433

1749

5,433

17

2649

5,36649

5,5184

)1(4

26422

===−−⋅

=−+

−−= FF

ABFT

yxd

Ats.: 2,15.

39

4. Apskaičiuoti perimetrą trikampio, gauto per trikampio ABC viršūnes išvedus lygiagrečias priešingoms kraštinėms tieses.

Uždavinys spręstinas tokia tvarka: parašomos naujojo trikampio ''' CBA

kraštinių lygtys, randamos trikampio ''' CBA viršūnės, apskaičiuojamas perimetras.

)7

)6

)22

;4(

;5(

;12(

−

−C

B

A

15 pav.

Kraštinių-tiesių lygtims parašyti naudojama lygties per tašką );( MM yxM ,

žinant tiesės krypties koeficientą k , formulė: )( MM xxkyy −⋅=− . Rašoma tiesės, išvestos per viršūnę A lygiagrečiai trikampio ABC kraštinei

BC lygtis. Žinomas tiesės taškas ( )22;12A , todėl: ( )1222 −⋅=− xky

Iš analizinės geometrijos kurso žinoma, kad dviejų lygiagrečių tiesių krypčių koeficientai lygūs, t. y. krypčių koeficientus sieja lygtis 21 kk = . Tiesė ''CBT lygiagreti tiesei BC, todėl

BCCB TT kk =''

. Pasinaudosime 2 užduotyje jau

apskaičiuotu kraštinės-tiesės BCT krypties koeficientu: 9

13−=

BCTk :

( ) 03549131561319891291322 =−+⇒+−=−⇒−⋅−=− yxxyxy

0354913:'' =−+ yxT CB

:''CAT ( ) ( ) 0171161551615)6( =−−⇒−⋅=−−⇒−⋅=− yxxyxxkyy BACTB

01711615:'' =−− yxT CA

:''BAT ( ) ( ) 0234)4(47 =+−⇒−−⋅=−⇒−⋅=− yxxyxxkyy CABTC

0234:'' =+− yxT BA

Trikampio ''' CBA viršūnės randamos, lygčių sistemas sprendžiant Kramerio metodu.

C

B

A

A'

C'

B'

40

=−

−=−⇒

=−−

=+−⇒

1711615

234

01711615

0234:'

''

''

yx

yx

yx

yx

T

TA

CA

BA

102917115

234539

16171

12349

1615

14=

−=∆=

−

−−=∆−=

−

−=∆ yx

)21;11('2149

10291149

539'' −−−=

−=

∆∆

=−=−

=∆∆

= Ayx yA

xA

=+

−=−⇒

=−+

=+−⇒

354913

234

0354913

0234:'

''

''

yx

yx

yx

yx

T

TB

CB

BA

171535413

234147

9354

12349

913

14=

−=∆=

−−=∆=

−=∆ yx

)35;3('3549

1715349

147'' Byx y

Bx

B ==∆∆

===∆∆

=

=+

=−⇒

=−+

=−−⇒

354913

1711615

0354913

01711615:'

''

''

yx

yx

yx

yx

T

TC

CB

CA

308735413

171157203

9354

16171343

913

1615==∆=

−=∆=

−=∆ yx

)9;21('9343308721

3437203

'' Cyx yC

xC ==

∆∆

===∆∆

=

Apskaičiuojami trikampio ''' CBA kraštinių ilgiai ir perimetras:

3332''33325614))21(35())11(3( 2222 ==+=−−+−−=′′ BABA

1000''1000)26(18)359()321( 2222 ==−+=−+−=′′ CBCB

1924''1924)30()32()921()2111( 2222 ==−+−=−−+−−=′′ ACAC

2097,1338634,436228,317235,57192410003332'''''' =++=++=++= ACCBBAP

Ats.: 133,21.

5. Apskaičiuoti kreivės ( ) 022 =−⋅+−⋅+ mxnygy židinio nuotolį nuo viršūnės.

g=12 m=2 n=6 028122 =−−+ xyy

Darbe bus naudojamos tik tokios antros eilės lygtys, kuriose nėra antros eilės nario su kintamųjų sandauga yx ⋅ , t. y: 022 =++++ EDyCxByAx . Būtina antros

eilės lygties sąlyga 022 ≠+ BA . Kitaip tariant, lygtyje turi būti bent vienas antro laipsnio narys.

Pagal lygties koeficientų A ir B reikšmes galima nustatyti kreivės tipą:

41

Jei 0=⋅BA , tai parabolė arba dvi lygiagrečios tiesės (realios arba menamos). Jei 0>⋅BA , tai apskritimas )( BAkai = arba elipsė )( BAkai ≠ . (Realūs

arba menami) Jei 0<⋅BA , tai hiperbolė arba dvi susikertančios tiesės (realios arba

menamos).

Antros eilės kreivės lygtį 022 =++++ EDyCxByAx būtina pertvarkyti į kanoninę lygtį. Kanoninė lygtis yra tokia lygties forma, iš kurios galima sužinoti

pagrindinius kreivės parametrus. Jeigu lygtis 022 =++++ EDyCxByAx gali būti pertvarkyta į lygtis

( ) ( )VV xxGyy −=− 2 arba ( ) ( )VV yyGxx −=− 2 , kai 0≠G , tai lygtis – parabolės lygtis. Iš jos nustatomi: 1) pagrindinio kreivės taško – viršūnės koordinatės );( VV yxV ; 2) židinio )( Ftaško nuotolis d nuo viršūnės V ,

kuris lygus 4Gd = ; 3) parabolės šakų kryptis (jei G>0, šakos nukreiptos teigiama

kintamojo, su kuriuo sandaugoje yra G, reikšmių kryptimi, jei G<0 – neigiama kintamojo reikšmių kryptimi).

Pagrindinis pertvarkymo į kanoninę lygtį instrumentas – pilno kvadrato išskyrimo formulė:

222

22

−

±=±pp

xpxx

Nustatomas antros eilės kreivės tipas:

1,021281002812 222 ==⇒−+−⋅+⋅⇒=−−+ BAyxyxxyy 010 =⋅=⋅BA , todėl kreivė – parabolė arba dvi lygiagrečios tiesės. Kuris iš tų

dviejų atvejų yra, sužinoma toliau pertvarkant lygtį. Išskiriamas pilnas kvadratas:

36)6(2

12

2

1212 2

222 −+=

−

+=+ yyyy

Tada

⇒=−−+⇒=−−−+⇒=−−+ 0388)6(02836)6(02812 222 xyxyxyy

( ) ( )

−−=−−⇒

+=+⇒+=+ )4

19(8)6(

8

3886388)6( 222 xyxyxy

Iš kanoninės lygties ( )

−−=−− )4

19(8)6( 2 xy nustatoma:

• Kreivė – parabolė, nes išreikšta lygtimi ( ) ( )VV xxGyy −=− 2 ;

• Viršūnė

−−

6;4

19V ;

• Židinio F nuotolis nuo viršūnės 248

4=== Gd ;

• Parabolės šakos nukreiptos teigiamų (G=8>0) x reikšmių kryptimi.

42

F yV

xV

V

xy

16 pav. Nesunku apskaičiuoti židinio koordinates:

−−

=

−+−

=+= 6;4

116;2

4

19);();( FFydxFyxF VVFF .

Brėžinys patvirtina skaičiavimų teisingumą.

Ats.: 2.

6. Apskaičiuoti kreivės ( ) ( ) 965 22 =⋅+++⋅++ ynyxmx spindulį. g=12 m=2 n=6

9127 22 =+++ yyxx

1109127119127 2222 ==⇒=−++⋅+⋅⇒=+++ bayxyxyyxx 0111 >=⋅=⋅BA , todėl kreivė – apskritimas, nes )( BA= .

Apskritimo kanoninė lygtis tokia:

( ) ( ) 220

20 Ryyxx =−+− .

Iš jos sužinoma: • pagrindinis apskritimo taškas – centras );( 00 yxC ;

• apskritimo spindulys 2RR=

17 pav.

17 pav.

X0=-3,5

y0=-6

R

C

x

y

43

Išskiriamas pilnas kvadratas:

( ) 22222

2 66122

7

2

77 −+=+

−

+=+ yyyxxx

( ) ( ) ⇒=−++−

+⇒=−++

−

+ 93664

49

2

7966

2

7

2

7 22

2222

yxyx

( ) ( )4

229)6(

2

736

4

499)4(

2

7 22

22

=−−+

−−⇒++=−−+

−− yxyx

Iš lygties ( )4

229)6(

2

7 22

=−−+

−− yx nustatoma:

centras ( )6;27 −−O ; spindulys 566,7

4

229==R

Ats.: 7,57.

7. Apskaičiuoti kreivės ( ) ( ) 13052 22 +=⋅++⋅+ gynxm ekscentricitetą.

g=12 m=2 n=6

142114 22 =+ yx

044,,11,4142114 22 >=⋅≠===+ BABABAyx , todėl kreivė-elipsė.

Kanoninė elipsės lygtis tokia: 12

2

2

2

=+b

y

a

x. Iš jos sužinomi:

• pagrindinis elipsės taškas – centras )0;0(C ;

• pusašės bira ( didžioji ir mažoji);

142:/142114 22 =+ yx

babayxyx

>===+⇒=+11

142

4

1421

11142

4142

1142

11

142

4 222222

• c – elipsės židinio nuotolis nuo centro (apskaičiuojamas): 22 bac −= arba 22 abc −= ;

• ekscentricitetas (apskaičiuojamas):bcarba

ac == εε ;

a

ba 22 −=ε , jei ba > arba

b

ab 22 −=ε , jei ab > .

44

18 pav. Ekscentricitetas parodo apskritimo „suspaudimo“ laipsnį: kai ba = , tai 0=ε – apskritimas nesuspaustas (elipsės nėra); kai ba >> , tai 1≅ε – apskritimas suspaustas į a⋅2 ilgio atkarpą

798,0117

4142

114142414211

4

14211

1424

14222

==⋅⋅−⋅

=−

=−

=a

baε

Ats.: 0,80.

8. Apskaičiuoti tiesės ( ) 042 =+−− nyx atkarpos, atkertamos kreivės

( ) gxny +=+− 23 2 šakomis ilgį ( AB ilgį) g=12 m=2 n=6 Tiesė 0102 =−− yxT : .

( ) ( ) ( ) ( )623122312236 222 +=−⇒+=−⇒+=+− xyxyxy Kreivės lygtis išreikšta vienu iš parabolės pavidalų.

Parabolė: ( ) ( )623: 2 +=− xyP .

)3;6(−V .

19 pav. Šakos į dešinę (teigiamų x reikšmių link). Randamos kreivių susikirtimo taškų koordinatės:

a

b

CF2 F1 x

y

V

B

Ax

y

45

( ) ( )

+=−

=−−⇒

623

0102:,

2 xy

yx

P

TBA

Iš pirmos lygties 102 −= xy statomas į antrą:

( ) ( ) 122169524122)1321223102 222 +=+−⇒+=−⇒+=−− xxxxxxx

0157544 2 =+− xx 40415744542 =⋅⋅−=D

3,98

404542,4

8

4045421 ≈

+=≈

−= xx

514

4041410

4

4045410

8

404542102 11 ,−≈

−=−

−=−

−⋅=−= xy

584

4041410

4

4045410

8

404542102 22 ,≈

+=−

+=−

+⋅=−⋅= xy

−−4

40414

8

40454;A

++4

40414

8

40454;B

=

−−++

−−+=

22

440414

440414

840454

840454AB

236,11164045

4404

16404

2404

4404

22

=⋅=+=

+

=

Ats.: 11,24.

9. Nustatyti, kiek bendrų taškų turi kreivės ( )142 2 −⋅+⋅−=⋅ mgxgxyg ir

( ) ( ) 022 222 =−+−−+⋅− nmynmyxgx .

g=12 m=2 n=6 016824 22 =+++− yyxx

1248212 2 +−= xxy Nustatomas kreivių tipas:

01681241 22 =++⋅+−⋅ yyxx 0111 >=⋅== BABA ,

Apskritimas. Išskiriamas pilnas kvadratas

( ) ( ) 016441212 2222 =+−++−− yx

( ) ( ) 144412 22 =++− yx centras ( )412−;O

spindulys 12144==R

1248212 2 +−= xxy

yxx 66242 =+−

( ) yx 661212 22 =+−−

( ) 138612 2 +=− yx

( ) )( 23612 2 +=− yx Parabolė.

viršūnė ( )2312−;V šakos į viršų.

46

Kiek susikirtimo (ar lietimosi) taškų turi kreivės, sužinoma sukertant jas.

( ) ( )( )

+=−

=++−

)23(612

1444122

22

yx

yx

( ) )23(612 2 +=− yx iš antros lygties statant į pirmąją.

( ) 01014144168138614441386 222 =++⇒=++++⇒=+++ yyyyyyy

15640196104142 =−=⋅−=D

24132

156141 ,−≈

−−=y

( )

+

−−=− 23

2

15614612 2x

( ) ( ) 55815632312 2 ,≈−=−x

55812 ,±=x

354558121 ,, ≈−=x

6519558122 ,, ≈+=x

7502

156142 ,−≡

+−=y

( )

+

+−=− 23

2

15614612 2x

( ) ( ) 513315632312 2 ,≈+=−x

513312 ,±=x

4505133123 ,, ≈−=x

55235133124 ,, ≈+=x

Kreivės turi keturis bendrus taškus.

C

V

x

y

20 pav.

Brėžinys patvirtina skaičiavimo rezultatus: kreivės susikerta keturiuose

taškuose.

Ats.: 4.

10. Plokštumos sritį S nustato šešių nelygybių sistema:

≥

≥

≤⋅++

≤⋅+++⋅−−

≤⋅+++⋅−

≤⋅++⋅−

0]6[

0]5[

1)6(]4[

1)11()8(]3[

1)7()1(]2[

1)()6(]1[

y

x

yng

yngxm

yngxm

yngxm

Apskaičiuoti didžiausią funkcijos yngF ⋅++= )6( reikšmę srityje S.

47

g=12 m=2 n=6 Sritis S:

≥

≥

≤

≤+−

≤+−

≤+

0]6[

0]5[

122]4[

12910]3[

125]2[

1184]1[

y

x

y

yx

yx

yx

Funkcija yF 24= .

Uždavinio sprendimo tvarka tokia: 1) randama sritis S, kurią nustato nelygybių sistema: 2) srityje S randamas taškas su didžiausia y reikšme; 3) apskaičiuojama funkcijos F reikšmė surastame taške.

Nelygybių sistemos sprendinys – atskirų nelygybių sprendinių bendroji dalis. Kitaip sakant, reikia išspręsti kiekvieną nelygybę atskirai, o paskui rasti tą plokštumos dalį, kurios taškų koordinatės tenkina visas nelygybes.

Sprendžiama [1] nelygybė. Ji pertvarkoma taip: 01184 ≤−+ yx . Žinoma, kad bet kuri dviejų kintamųjų x ir y lygtis 0);( =yxf geometriškai reiškia kokią nors kreivę plokštumoje. Bet kurio šios kreivės taško koordinatės tenkina lygtį. Taškų, nesančių kreivėje, koordinatės lygties netenkina. Tada 0);( >yxf arba 0);( <yxf . Lygtis 01184 =−+ yx – tiesės lygtis. Visi šios tiesės taškai tenkina lygtį, o tuo pačiu ir [1] nelygybę. Nubrėžta tiesė padalina plokštumą į dvi (sąlyginai apatinę ir viršutinę) pusplokštumes. Parenkant apatinėje pusplokštumėje bet kurį tašką (pvz. O(0;0)) ir įstatant jo koordinates į nelygybę, gaunama: 01101804 <−⇒−⋅+⋅ . Vadinasi, apatinės pusplokštumės taškai tenkina [1] nelygybę. Parenkant bet kurį tašką viršutinėje pusplokštumėje (pvz., P(0,2;0,06)) ir įstatant jo koordinates į nelygybę, gaunama 088,0106,0182,04 >⇒−⋅+⋅ . Viršutinės pusplokštumės taškai [1] nelygybės netenkina. Išvada: [1] nelygybės sprendinys – visi tiesės

01184 =−+ yx ir apatinės pusplokštumės taškai. Grafiškai nelygybės sprendinys pažymėtas nelygybės numerį ([1]) parašant toje tiesės pusėje, kurioje pusplokštumės taškų koordinatės tenkina nelygybę.

4x+18y=1

[1]

P(0,2; 0,06)

O(0;0)0

0,04

0,08

-0,05 0,05 0,15 0,25

x

y

24 pav.

Nelygybės 0≥x sprendinys – visi y ašies taškai ir visi taškai, esantys dešinėje pusėje nuo y ašies. Nelygybės 0≥y sprendinys – visi x ašies taškai ir visi taškai, esantys virš x ašies. Analogiškai išsprendus visas nelygybes nustatoma, kad sritis S – daugiakampis OABCD. Iš jo vizualiai nustatoma, kad didžiausią y reikšmę, kuri

48

reikalinga funkcijos F reikšmės apskaičiavimui, gali turėti srities S taškai A, B arba C. Taškai O ir D akivaizdžiai žemiau. Nors vizualiai aukščiausiai iškilęs taškas C, tačiau verta funkcijos F reikšmes apskaičiuoti taškuose A, B ir C. Taip pasitikrinama tikroji šių taškų padėtis. Funkcijoje F reikalinga tik kintamojo y reikšmė, todėl apsiribojama tik taškų y koordinatės apskaičiavimu.

Taškas A – tiesių [3] ir [5] susikirtimo taškas, todėl

⇒=

=⇒

=

=+−⇒

0

129

0

12910:

]5[

]3[

x

y

x

yx

T

TA

0345,0..03448,029/1129 =⇒==⇒= Ayyy

Taškas B – tiesių [2] ir [3] susikirtimo taškas, todėl

⇒=+−

−=−⇒

=+−

=+−⇒

12910

1025010

12910

125:

]3[

]2[

yx

yx

yx

yx

T

TB

0407,0..0407,0221/99221 =⇒==⇒−=− Byyy

[1]

[2]

[3]

[4]

[6]

[5]

O

A B C

Dx

y

25 pav.

Taškas C – tiesių [1] ir [2] susikirtimo taškas, todėl

⇒=+−

=+⇒

=+−

=+⇒

41004

1184

125

1184:

]3[

]1[

yx

yx

yx

yx

T

TC

04237,0..04237,0118/55118 =⇒==⇒= Cyyy

Apskaičiuojame funkcijos yF 24= reikšmę taške C: 0169,1118/524 =⋅=F .

Ats.: 1,02.

Atsakymų lentelė

3 lentelė 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8,81 24,52 2,15 133,21 2 7,57 0,80 11,24 4 1,02

49

FUNKCIJOS RIBA

FUNKCIJ Ų RIBŲ SKAIČIAVIMO PAVYZDŽIAI

Funkcijos riba skaičiuojama naudojant pagrindines ribų teoremas.

Jeigu egzistuoja ribos ax→

lim ( ) 1bxf = ir ax→

lim ( ) 2bxg = , tai:

1) ax→

lim ( ) ( )( ) =± xgxfax→

lim ( )±xfax→

lim ( ) 21 bbxg ±= ;

2) ax→

lim ( ) ( )( ) =⋅ xgxfax→

lim ( )⋅xfax→

lim ( ) 21 bbxg ⋅= ;

3) ax→

lim ( )( )

( )

( ) 2

1

lim

lim

b

b

axxg

axxf

xg

xf=

→

→= (kai 02 ≠b );

4) ax→

lim ( ) CxfC =⋅ax→

lim ( ) 1bCxf ⋅= (kai =C konstanta).

Neapibrėžtumai: ( )∞

∞∞

1,,0

0.

Spręsdami uždavinius, dar naudojame šias žinomas ribas:

0lim→x

;1sin

=x

x

∞→xlim

ex

x

=

+1

1

1 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą 2

lim

→x8145

4832

2

+−

+−

xx

xx.

Sprendimas. Įrašome 2=x į duotąją trupmeną ir gauname neapibrėžtumą

0

0. Šis neapibrėžtumas naikinamas skaidant skaitiklį ir vardiklį dauginamaisiais.

Suprastiname vienodus reiškinius ir vėl įrašome 2=x . Kvadratinis trinaris, kuris turi realias šaknis 1x ir 2x , skaidomas pagal formulę

( )( )212 xxxxacbxax −−=++ . Kartais tenka pasinaudoti formule

( )( )bababa −+=− 22 .

2

lim

→x=

==

=+−

==

=+−

=

=+−

+−

;5

4,2

,08145

;32

,2

,0483

00

8145

483

21

2

21

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xx

xx

2

lim

→x

( )

( )

−−

−−

5

425

3

223

xx

xx=

50

=2

lim

→x=

−

−

5

45

3

23

x

x

2

lim

→x=

−−

45

23

x

x.

3

2

6

4=

2 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą ∞→x

lim11274

492323

23

−−+

−+−

xxx

xxx.

Sprendimas. Neapibrėžtumas

∞∞

naikinamas padalijant skaitiklį ir vardiklį

iš vienodo aukščiausio x laipsnio, t. y. šiuo atveju iš 3x . Pritaikome ribą

∞→xlim 0

1=

nx.

∞→xlim =

∞∞

=−−+

−+−

11274

492323

23

xxx

xxx∞→x

lim =

−−+

−+−

333

2

3

3

333

2

3

3

11274

4923

xx

x

x

x

x

xxx

x

x

x

x

x

=∞→x

lim4

3

0004

00031127

4

4923

32

32=

−−+−+−

=−−+

−+−

xxx

xxx .

3 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą 0

lim→x 243

22 −+− xx

x.

Sprendimas. Neapibrėžtumas

0

0, kai yra iracionalūs reiškiniai, naikinamas

dauginant skaitiklį ir vardiklį iš reiškinių, jungtinių iracionaliesiems.

0lim→x

=

=−+− 0

0

243

22 xx

x0

lim→x

( )( )( ) =++−−+−

++−⋅

243243

243222

2

xxxx

xxx

=0

lim→x

( )=

−+−

++−⋅

443

24322

2

xx

xxx0

lim→x

( )( )

=−⋅

++−⋅13

2432 2

xx

xxx

=0

lim→x

( )8

13

2432 2

−=−

++−⋅x

xx.

4 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą 0

lim→x x

x2sin4

cos77−.

51

Sprendimas. Kai yra trigonometrinės funkcijos, stengiamės pasinaudoti

žinoma riba 0

lim→x

1sin

=x

x. Dažnai tenka naudoti formules

2cos2cos1 2 x

x =+ ,

2sin2cos1 2 x

x =− , ctgx

tgx1

= ir pan.

0lim→x

=

=−

0

0

sin4

cos772 x

x0

lim→x

( )=

⋅−

xx

x

sinsin4

cos170

lim→x

=⋅⋅⋅⋅

⋅

xx

xx

x

x

x

sinsin4

2sin27 2

=

=

→= 1

sin0

lim

x

x

x 0lim→x

=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

22

22

4

2sin

2sin27

xx

xx

8

71

2

2sin

0

lim=

=→ x

x

x.

5 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą ∞→x

lim

3

2

22

1

6−

−

+x

x

x.

Sprendimas. Esant neapibrėžtumui ( )∞1 reiškinys pertvarkomas taip, kad būtų

galima panaudoti žinomą ribą ∞→x

lim ex

x

=

+1

1 . Skliaustuose esanti trupmena

yra netaisyklingoji, todėl išskiriame sveikąją dalį arba skliaustuose pridedame vienetą ir tiek pat atimame.

∞→xlim ( )==

−

+ ∞−

11

63

2

22x

x

x∞→x

lim =

−

−

++

−3

2

22

11

61

x

x

x

=∞→x

lim =

−

+−++

−3

2

222

1

161

x

x

xx∞→x

lim =

−

+−3

2

2

1

71

x

x

=∞→x

lim

( )( )

=

∞∞

===

−+ −

−

∞→−

−

∞→

−⋅−−

1

217lim1

37lim

31

7

7

1

2

2

2

2

2

222

7

1

11 x

x

xx

x

x

xxx

eex

= 711

217

lim

2

2

eex

xX

=−

−

∞→ .

52

6 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą 0

lim→x ( )231ln

5

x

x

+, naudodamiesi Liopitalio

taisykle. Sprendimas.

Liopitalio taisykl ė: jeigu funkcijos ( )xf ir ( )xg yra apibrėžtos ir

diferencijuojamos taško ax = aplinkoje, o ax→

lim ( ) =xfax→

lim ( ) ∞=xg arba

ax→lim ( ) =xf

ax→lim ( ) 0=xg , tai teisinga

ax→lim ( )

( )=

xg

xfax→

lim ( )( )xg

xf′′

, jei tik

išvestinių santykio riba egzistuoja.

Liopitalio taisyklę galima taikyti tik tada, kai yra neapibrėžtumai

0

0 arba

∞∞

.

0lim→x ( ) =

=+ 0

0

31ln

52x

x0

lim→x

( )

( )( )=′

+

′

231ln

5

x

x0

lim→x

=⋅

+x

x6

31

15

2

= 0

lim→x

( )=

+⋅x

x

6

315 2

0lim→x

=+

x

x

6

155 2

∞==⋅⋅+

0

5

06

0155.

PRATIMAI

Apskaičiuokite ribas:

1 variantas

1. 1

lim→x

.34

232

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim .

2

72124

4

xxx

xx

−+

+− 3.

0lim→x

.55

3

xx

x

−−+

4. 0

lim→x

.

4cos12x

x− 5.

∞→xlim

.12

1223 +

+−

x

x

x 6.

∞→xlim .

2

2

x

x(Liopitalio taisyklė).

2 variantas

1. 3

lim→x

.9

1522

2

−

−+

x

xx 2.

∞→xlim .

156

4252

2

+−

−+

xx

xx 3.

3lim→x

.9

392 −

+−−

x

xx

4. 0

lim→x

.

4

x

xtg

5. ∞→x

lim .

23

32

2 x

xx

xx

−

+ 6.

4

limπ

→x.

4

cossin

x

xx

−−

π (Liopitalio

taisyklė).

53

3 variantas

1. 5

lim→x

.5163

101732

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim .

1218

52163

23

+−

−++

xx

xxx 3.

1lim→x

.1

1222

−−−+

x

xx

4. 0

lim→x

.

2sin

sin

x

tgxx− 5.

∞→xlim

.2

322

2 x

xx

x

−

+ 6.

1lim→x

.

2cos

1

x

xπ−

(Liopitalio

taisyklė).

4 variantas

1. 5

lim→x

.25

1072

2

−

+−

x

xx 2.

∞→xlim .

38

1523

43

+−

++

xx

xx 3.

0lim→x

.124

121

+−+

−+

xx

x

4. 0

lim→x

.

cos12x

x− 5.

∞→xlim

.3

2

2

2 x

xx

xx

+

− 6.

0lim→x

.1cos

12

−−

x

ex

(Liopitalio

taisyklė).

5 variantas

1. 2

lim→x

.86

652

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim .

762

35183

42

+−

+−

xx

xxx 3.

3lim→x

.9

12132 −

+−+

x

xx

4. 0

lim→x

.

2

13cos

xtgx

x

⋅−

5. ∞→x

lim .

1

12

2

2 +

−

−x

x

xx 6.

0lim→x

.sinln

2sinln

x

x (Liopitalio

taisyklė).

6 variantas

1. 2

lim→x

.128

862

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim

.124

33

32

++

+−

xx

xxx 3.

0lim→x

.525

932

2

−+

+−

x

x

4. 0

lim→x

( )

.cos1

sin2 x

xtgxx

−

+ 5.

∞→xlim

.12

31

x

x

+

+ 6.

0lim→x

.12

55

x

ex − (Liopitalio

taisyklė).

54

7 variantas

1. 3

lim→x

.9

2432

2

−

−−

x

xx 2.

∞→xlim .

4

1614232

23

xx

xxx

−

++− 3.

0lim→x

.11 2

x

x −+

4. 0

lim→x

.sin5

5sin

x

x 5.

∞→xlim .

32

122−

−+

x

x

x 6.

0lim→x

( )x

x31ln + (Liopitalio

taisyklė).

8 variantas

1. 0

lim→x xx

xx

52

232

2

−

−. 2.

∞→xlim

1234

43223

23

−++

+++

xxx

xxx. 3.

6lim→x 33

6

−+

−

x

x

.

4. 0

lim→x

22

cos33

x

x−. 5.

∞→xlim

42

2

32

2 −

−

+x

x

x. 6.

0lim→x

( )

2

cosln

x

x

(Liopitalio

taisyklė).

9 variantas

1. 2

lim−→x 6

8232

2

−−

−+

xx

xx. 2.

∞→xlim

113

323

24

−

+−

x

xx. 3.

4lim→x 2

321

−

−+

x

x.

4. 0

lim→x

tgxx

x

⋅− 2cos1

. 5. ∞→x

lim

x

xx

xx4

32

2

−

+. 6.

0lim→x

tgx

xarcsin

(Liopitalio

taisyklė).

10 variantas

1. 3

lim→x xx

xx

93

652

2

−

+−. 2.

∞→xlim

134

433232

23

−−

++−

xx

xxx. 3.

0lim→x xx

x

+−− 55

2

.

4. 0

lim→x

.coscos

3sin3 xx

xx

−

⋅ 5.

∞→xlim .

22

1231

3

3 x

x

x+

+

− 6.

1lim

−→x 1

13

4

+

−

x

x (Liopitalio

taisyklė).

55

11 variantas

1. 3

lim−→x

.673

1522

2

−+

−+

xx

xx 2.

∞→xlim ( )

.1

421522

3

+

−+

x

xx

3. 4

lim→x

.123

2

+−

−

x

x

4. 0

lim→x

.2sin

cos1 2

xx

x

⋅−

5. ∞→x

lim

4

3

42

2 +

+

+−x

x

xx. 6.

1

lim

→x1

ln2 −

⋅

x

xx

(Liopitalio

taisyklė).

12 variantas

1. 2

lim−→x 6

232

23

−−

++

xx

xxx. 2.

∞→xlim ( )22

24

21

38

x

xxx

+

+−

. 3. 3

lim→x 12

21

−−

−+

x

x .

4. 0

lim→x xx

xxx

2sin

cossinsin2⋅

⋅−. 5.

∞→xlim

2

13

532

2 x

x

x

+

+. 6.

1

lim

→xxx

eex

ln22 2 +−

−

(Liopitalio taisyklė).

13 variantas

1. 2

lim→x

.103

22 −+

−

xx

x

2. ∞→x

lim .32

24553

245

xxx

xxx

−−

++ 3.

7lim→x

.49

322 −

−−

x

x

4. 0

lim→x

.2cos1

3

x

xtgx

−⋅

5. ∞→x

lim .3

11

2

2 +

+

+−x

x

xx 6.

0lim→x

x

e x

2sin

12 − (Liopitalio

taisyklė).

14 variantas

1. 5

lim→x

.209

1072

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim .

242

132423

45

−++

−+−

xxx

xxx 3.

5lim→x

.123

5

−−

−

x

x

4. 0

lim→x

.2sin

cos1

xx

x

⋅−

5. ∞→x

lim .4

132

3

3 x

x

x

−

+ 6.

0lim→x

.)1ln(

x

ex + (Liopitalio

taisyklė).

56

15 variantas

1. 1

lim→x

.12

12

2

−−

−

xx

x 2.

∞→xlim .

13

423

23

−+

−

xx

xx 3.

0lim→x

.416

112

2

−+

−+

x

x

4. 0

lim→x

.3

5cos12x

x− 5.

∞→xlim .

7

22

2

2 x

x

x

+

+6.

0lim→x

.5sin

1

x

ex − (Liopitalio taisyklė).

16 variantas

1. 2

lim→x

.2115

2742

2

+−

−−

xx

xx 2.

∞→xlim .

132

2334

3

−+−

−+

xxx

xx 3.

5lim→x

.5

21

−−−

x

x

4. 0

lim→x

.3sin

5

x

xtg 5.

∞→xlim

12

2

2

3

−

+

−x

x

xx6.

1lim→x

.ln12

ee

xxx −

+−(Liopitalio taisyklė).

17 variantas

1. 2

lim→x

.23

2522

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim .

124

2383

23

+−

+−

xx

xxx 3.

3lim→x

.332

21

−+

−−

x

x

4. 0

lim→x

.

5sin

3sin

x

x 5.

∞→xlim .

23

235x

x

x

+−

6. 0

lim→x

.cos

2

x

xex − (Liopitalio

taisyklė).

18 variantas

1. 1

lim−→x

.143

232

2

++

−+

xx

xx 2.

∞→xlim .

4

161354

54

xxx

xx

−+

+− 3.

9lim→x

.224

3

−−

−

x

x

4. 0

lim→x

.

5

3sin2

xtgx

x

⋅ 5. ∞→x

lim .

2

325x

x

x

+ 6.

0lim→x

.cossin1

cossin1

xx

xx

−−−+

(Liopitalio

taisyklė).

19 variantas

1. 2

lim→x

.2

8232

2

xx

xx

−+

−− 2.

∞→xlim .

33

92

2

−+

+

xx

x 3.

1lim→x

.1−

−

x

xx

57

4. 0

lim→x

.

1cos

sin

−x

xx 5.

∞→xlim

.32

4215 −

−−

x

x

x 6.

0lim→x

.

1

2sin

−xe

x (Liopitalio

taisyklė).

20 variantas

1. 5

lim−→x

.152

15722

2

−+

−+

xx

xx 2.

∞→xlim .

1312

74523

3

+−

++

xx

xx 3.

4lim→x

.51

53

x

x

−−

+−

4. 0

lim→x

.2cos1

4cos1

x

x

−−

5. ∞→x

lim .2

122

2

2 x

x

x

+

− 6.

0lim→x

( )x

x71ln − (Liopitalio

taisyklė).

21 variantas

1. 2

lim→x

.149

622

2

+−

−−

xx

xx 2.

∞→xlim ( )

.9

37142

2

−

−−

x

xx

3. 0

lim→x

.11

2

2

x

x−−

4. 0

lim→x

.

sin

6cos12x

x− 5.

∞→xlim .

11

2

22+

+x

x

x 6.

0lim→x

.3sin

1

x

e x−− (Liopitalio

taisyklė).

22 variantas

1. 1

lim→x

.143

232

2

+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim

.11473

91223

3

+−−

−

xxx

x 3.

9lim→x

.3

572

x

x

−

−+

4. 0

lim→x

.

sin

sin3 x

xtgx− 5.

∞→xlim

.3

532x

x

x

+ 6.

1lim→x

.ln

12

xx

x

⋅−

(Liopitalio

taisyklė).

23 variantas

1. 3

lim→x

.189

151122

2

−+−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim

.12

71523

2

+−−

−

xxx

x 3.

0lim→x

.3

112

2

x

x −+

58

4. 0

lim→x

.

2

3sin2

xtgx

x

⋅ 5. ∞→x

lim .3

21

2

22+

−

+x

x

x 6.

∞→xlim .

1112

35272

3

−

++

x

xx (Liopitalio

taisyklė).

24 variantas

1. 2

1lim

→x.

168

142

2

+−

−

xx

x 2.

∞→xlim

.253

1233

23

+−

−+

xx

xx 3.

0lim→x

.5

11

x

x −+

4. 0

lim→x

.sin3x

xtgx−5.

∞→xlim

.43

2352 x

x

x−

−+

6.∞→x

lim .

4

5423

2

+

+−

x

xx (Liopitalio

taisyklė).

25 variantas

1. 2

1lim

−→x.

2

35223

2

xx

xx

+

−− 2.

∞→xlim .

564

352

3

−+

+

xx

xx 3.

3lim→x

.12

222

+−

−−

x

x

4. 0

lim→x

.2sin

coscos 3

xx

xx

⋅−

5.∞→x

lim .3

13

2

22+

−+

++x

xx

xx6.

0lim→x

.cossin xx

ee xx

⋅− −

(Liopitalio

t.)

26 variantas

1. 1

lim→x

.143

232

2

+−

−−

xx

xx 2.

∞→xlim .

12

22 ++

+

xx

x 3.

4lim→x

.312

31

−+

−−

x

x

4. 0

lim→x .4

sin

2

2

x

x

5.∞→x

lim .24

1431 x

x

x−

−+

6.0

lim→x

( )

.2ln2ln

x

x −+ (Liopitalio

taisyklė).

27 variantas

1. 1

lim→x

.12

3

2

xx

xx

−

+− 2.

∞→xlim .

53

9342

2

x

xx

−

+− 3.

0lim→x

.42

4162

2

+−

−+

x

x

4. 0

lim→x

.3sin

2cos1

xx

x

⋅−

5.∞→x

lim .42

4132 −

−−

x

x

x 6.

0lim→x

.3sin

2sin

xx

xx

+−

(Liopitalio

taisyklė).

59

28 variantas

1. 1

lim−→x

.23

7522

2

−+

−−

xx

xx 2.

∞→xlim .

15

23

2

+

+−

x

xx 3.

5lim→x

.5

62312 xx

xx

−

+−+

4. 0

lim→x

.2cos1

2 2

x

x

− 5.∞→x

lim .51

563x

x

x

++

6. 0

lim→x

.23

x

xarctgx− (Liopitalio

taisyklė).

29 variantas

1. 1

lim−→x

.23

12

2

++

−

xx

x 2.

∞→xlim .

3

82532

3

xxx

xx

−−

+− 3.

4lim→x

.2

516

x

x

−

−+

4. 0

lim→x

.3cos1

5cos1

x

x

−−

5. ∞→x

lim .51

5321

2

2 x

x

x−

−

−6.

0lim→x

.3sin

12

x

e x −(Liopitalio taisyklė).

30 variantas

1. 1

lim

→x

.123

3742

2

−−

+−

xx

xx 2.

∞→xlim .

12

125

3

−−

−−

xx

xx 3.

0lim→x

.33 xx

x

−−+

4. 0

lim→x

.7sin

10cos1

x

x−5.

∞→xlim .

5

414 −

−−

x

x

x6.

2

limπ

→x x

x

2

cos

−π (Liopitalio taisyklė).

FUNKCIJ Ų IŠVESTINĖS

PAGRINDIN ĖS DIFERENCIJAVIMO TAISYKL ĖS IR FORMULĖS

1. 0=′c ,

2. ( ) vuvu ′±′=′± ,

3. ( ) ,uccu ′=′

4. ( ) vuvuvu ′+′=′⋅ ,

5. 2v

vuvu

v

u ′−′=

′

, xux uyy ′⋅′=′ , ( )( )

( )( )tx

tyy

tyy

txxx ′

′=′⇒

=

=

,

,.

60

( ) ,1−=′ aa axx

2

11

xx−=

′

,

( )x

x2

1=

′.

( ) xx ee =′

,

( ) aaa xx ln=′

.

( )x

x1

ln =′ ,

( )ax

xa ln

1log =′ ,

( ) xx cossin =′ .

( ) .sincos xx −=′

( )x

tgx2cos

1=′ .

( )x

ctgx2sin

1−=′ .

( )21

1arcsin

xx

−=′ .

( )21

1arccos

xx

−−=′ .

( )21

1

xarctgx

+=′ .

( )21

1

xarcctgx

+−=′ .

( ) ,1 uuau aa ′⋅⋅=′ −

uuu

′⋅−=′

2

11,

( ) ,2

1u

uu ′⋅=′

( ) ( ) uee uu ′⋅=′

,

( ) uaaa uu ′⋅=′

ln .

( ) uu

u ′⋅=′1

ln ,

( ) uau

ua ′⋅=′ln

1log .

( ) uuu ′⋅=′ cossin .

( ) .sincos uuu ′⋅−=′

( ) uu

tgu ′⋅=′2cos

1.

( ) uu

ctgu ′⋅−=′2sin

1.

( ) uu

u ′⋅−

=′21

1arcsin .

( ) uu

u ′⋅−

−=′21

1arccos .

( ) uu

arctgu ′⋅+

=′21

1.

( ) uu

arcctgu ′⋅+

−=′21

1.

Apskaičiuokime duotųjų funkcijų išvestines:

1 pavyzdys. 124)32ln(3

2cos5

3

−⋅−++

−= xarctgx

xtgx

xxy .

Sprendimas. Pirmiausia pritaikome funkcijų sandaugos ( ) vuvuvu ′+′=′⋅ ir

funkcijų santykio 2v

vuvu

v

u ′−′=

′

taisykles išvestinėms rasti. Funkcijoms ( )xu ir

( )xv diferencijuoti taikomos kitos taisyklės: ( ) ,uccu ′=′ ( ) vuvu ′±′=′± bei sudėtinės funkcijos ( )( )xufy = diferencijavimo taisyklė xux uyy ′⋅′=′ .

61

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

.161

)32ln(4

32

42

3

3cos

352cos32sin23

161

4)32ln(

432

2

3

3cos

1352cos32sin23

0)4()4(1

1)32ln(4)32(

32

1

3

33cos

152cos322sin3

)12()4(

)32ln(4))32(ln(3

32cos32cos

2

25

24352

2

25

24352

2

25

24352

25

5353

x

x

x

xarctg

xtgx

xxxxxtgxxx

xx

xarctgxxtgx

xxxxxtgxxx

xx

xxarctgxx

xtgx

xx

xxxxtgxxxxxarctg

xxarctgxxtgx

xtgxxxxtgxxxy

+

−⋅+

−⋅

+

++

+−−++=

+⋅−+

+⋅−

++

⋅+−−++=

=+′⋅+

⋅−+⋅′−⋅−

+

++

′⋅+−−+′⋅+=′−′⋅

⋅−+⋅′−++

′+−−+

′−

=′

2 pavyzdys. .sinlnarcsin3sin 23 2 xxxy ++= Sprendimas. Naudojame sudėtinės funkcijos ( )( )xufy = diferencijavimo

taisyklę

xux uyy ′⋅′=′ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

.sin2

cos

1

2

3sin

3cos2

2

1.

sin

cos

1

23cos

3sin

12cos

sin

12

1

1

33cos3sin3

2sin

sin

1

)(1

13sin3sin

3

2

43

434

3

12

223

1

xx

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

xxx

xx

x

xxxxx

xx

xxy

+−

+=

=+−

+⋅=′

⋅⋅+⋅−

+

+′⋅⋅=′

+′

⋅−

+′⋅=′ −−

3 pavyzdys. ( ) .2ln23 −

+=x

xxy

Sprendimas. Funkcija )()( xvxuy = vadinama sudėtine rodikline funkcija. Logaritmuojame abi duotosios lygybės puses:

23 )2lnln(ln −+= xxxy , ( ).2lnln2ln 3 xxxy +⋅−= Abi gautosios lygybės puses diferencijuojame. Pritaikome funkcijų sandaugos

taisyklę išvestinei rasti:

( ) ( ) ( )( )′+⋅−++⋅′

−=′ xxxxxxy 2lnln22lnln2)(ln 33 ,

( ) ,)2ln(2ln

122lnln)2(

22

11 33

3 yxxxx

xxxxx

yy

⋅′+⋅+

⋅−++⋅′−⋅−

=′⋅

62

( )

+

⋅+−+

−

+⋅=′

xx

xxx

x

xxyy

2ln

22

132

22

2lnln3

23

( ) ( )⋅

+

+−+

−

++=′

−

xx

xxx

x

xxxxy

x

2ln

132

22

2lnln2ln

3

2323

4 pavyzdys.

+

−=

+=

.1

1,1

2

2

t

ty

tx

Sprendimas. Funkcija yra nusakyta parametrinėmis lygtimis ( )( )

=

=

tyy

txx ir

pirmoji išvestinė randama pagal formulę ( )( )tx

tyyx ′

′=′ .

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

=+

′+⋅−−+′−=

+

−=′

+=⋅

+=

′+⋅

+=′+=′

22

22/

2

22

2

2

2

1

1)1(1)1(

1

1

.1

212

11

12

11

t

tttt

t

tty

t

tt

tt

tttx

tt

t

tt

( )=

++

+−+=

++

⋅−−+

=+

′+⋅+

⋅−−+

=1)1(

1

11

)1(1

1

112

1)1(1

22

22

2

2

2

2

2

2

2

tt

ttt

tt

ttt

t

tt

tt t

( ).

11

122 ++

+=

tt

t

( )( )

( ).

)1(

1

1)1(

1)1(

1

11

1

222

2

2

22

+

+=

++

++=

+

++

+

=′′

=′tt

t

ttt

tt

t

ttt

t

tx

tyyx

5 pavyzdys. Raskime y/, kai funkcija apibrėžta lygtimi

.34

lncos 343 −+⋅+=+x

yxyxtgy

Sprendimas. Funkcija yra neišreikštinė, todėl panariui diferencijuojame abi duotosios lygties puses argumento x atžvilgiu, kartu turėdami galvoje, kad y yra argumento x funkcija (sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklė):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,31

41

3sin 34342 ′−′

⋅+′

⋅+⋅′

+′⋅=′⋅+′

⋅−x

yxyxyy

tgxxtgyy

63

.01

434

11

cos

13

2

1sin

22434

3

22 −⋅−′⋅⋅+⋅⋅+′⋅=⋅+′⋅⋅−

−

xyyxyxy

yxxtgy

yy

Iš šios lygybės, kaip lygties, randame y/:

,)1(cos

34

4

13

1

2

1sin

2

2

234

324 −⋅−−⋅⋅=′⋅−′⋅−′⋅⋅−

−

x

xtg

xyxyyxy

yy

yy

,4cos

343

1

2

sin4 3

3

2

2

224

x

y

x

xtg

xyx

yy

yy −+=

++⋅′

⋅

++

−+

=′24

4 3

3

2

2

2

31

2

sin4cos

34

yxyy

yx

y

x

xtg

xy

PRATIMAI

Apskaičiuokite išvestines:

1 variantas

1. .cosarcsin 42

2xx

arctgx

xy ⋅+= 2. .213cos5arcsin −+= xey x

3. ( ) .lnxtg

xxy += 4.

−=

+=

.1cos

,1sin

tey

text

t

5. .lnsin 233 yyxyx +=+⋅

2 variantas

1.( )

.7cos)13(4

2

42

xxe

xy

x−+

−=

− 2. ( ) .sin21 335 xxarctgy −−=

3. ( ) .2sin2

2 xxxy += 4.

−=

=

.3cos2

,3sin42

2

ty

tx 5. ( ) .sinln

1 22 xyxxyx

y −=+++

3 variantas

1. .112sin1

21 32

−⋅−+

+−= xex

x

xxy 2. ).23(cos10arcsinln 53 −+= xxy

3. ( ) .3cos 2arcsin xxxy += 4.

+=

+=

.ln

,1ln2

tty

tx 5. yyxyyx lnsin)(cos 322 ++=+ .

4 variantas

1. xtg

xxxy

2

3sinsin 6 5 +⋅= . 2. xxy 2sin1arcsinln ++= .

64

3. ( )3

ln1 xxy += . 4.

−=

+=

.2

,22

2

t

t

tey

etx 5. 127sinln32 ++=+ xyxxy .

5 variantas

1. ( ) xtgxxx

xxy 25cos

sin3

3sin2

⋅+−+

= . 2. x

xarctg

eey

arcsin

1ln += .

3. ( )2

17 xxtgy += . 4.

+

−=

+=

.1

1

,1

2

2

2

2

t

ty

t

tx

5. 11

cos1

sin2

2 +−⋅=+x

xyy

y .

6 variantas

1. xx

xarctgxxy

3

3sin2cos

22

++⋅= . 2. xarctgxy ++= )2cos3ln( 2 .

3. ( ) .25cos32 −

++=x

xxy 4.

+=

−=

.14

cos3

,14

sin2

2

2

ty

tx

5. 15cosarccos 23 ++=+ xxyxtgy . 7 variantas

1. ( ) .2)28sin(2cossin

cos2sinxtgx

xx

xxy ⋅−+

−+

= . 2. 211arcsin126 xxtgy −+−= .

3. ( ) xxxy

2sin26 −+= . 4.

+=

−=−

−

.2

,2

tey

etxt

t 5. ( ) 15sinln 322 +=++ xyxyx .

8 variantas

1. ( )( )x

ctgxtgxxxxxy

sin2sin3cos3sin2cos

−++−= . 2. )4ln( 2 −+= xey xarctg .

3. ( )236ln1 xxy += . 4.

−−=

+=

.123

,33

2

tt

ctgy

tt

tgx 5. xxxyex y 26ln)43(3 −+−⋅=+ .

9 variantas

1. 24

3arcsin12

−++⋅=

x

xextgy x . 2. ( ) xexy 3sin42 3sin21 +−= .

3. ( ) xxtgxy 2arcsin26 += . 4.

−=

+=

.cos2

,sin223

23

tty

ttx 5. xyxyyex ln1223 −+= .

65

10 variantas

1. )4(sin1

1 522

2

xxxe

ey

x

x

−⋅++

−=

−

−

. 2. ( ) xxy 3sinln13cosln 2 ++= .

3. ( ) xctgxy

43cos21+= . 4.

+=

−−=

.cos3

,sin23

3

tty

ttx 5. 3

13lnln

2

2

−+=+x

yxy

x.

11 variantas

1. ( )xx

xtgxxy

lnln

1arcsin

+−

+⋅= . 2. .lnarcsin)53sin( 3 xxy +−=

3. ( ) xxy 2ln5sin31+= . 4. ( )( )

−=

−=

.cos2

,sin22

2

tty

ttx 5. 21cossin22 −+=⋅+ xyxyy .

12 variantas

1. ( )x

xxxxxy

2

223

sin

4

2

1413 +

++−= . 2. ( )322

3sin2 xtgarctgx

xy ++= .

3. 23

21−

+=x

xx

y . 4.

−=

+=

.1cos

,sin22

22

tty

tttx 5.

xyyyxy

12lnsin23 −=++ .

13 variantas

1. ( )( )2

22

1

43

x

xxtgxtgxxy

+

+−−+= . 2. ( ) xtgxxy 312 21ln −+++= .

3. ( ) xtgxxy

74 23 += . 4. ( )( )

−=

+=

.sin2

,cos322

22

tty

ttx 5. 24216 232 −+=−+ yxxytgx .

14 variantas

1. ( )x

xxtgxxy

4sin

35sin7

22 +⋅+= . 2. )36(ln)23( 223 −+−= xxarctgy .

3. ( ) 3223

3sin+

+=x

xxy . 4.

−=

+=

.2

cos4

,2

sin3

3

4

tty

ttx

5. 1arcsincos 2 −+⋅= ytgxyy .

15 variantas

1. )5(3ln2

1 32

xtgxxarctg

xy ⋅+

+= . 2. )42(sin1 22 −++= xarctgxy .

3. ( ) xarctgxxy 2sin3 += . 4.

−=

+=

.3cos

,3sin2

2

tty

ttx 5. xxy eyxee 322

+⋅=+ − .

66

16 variantas

1. ( )2

22sinctgx

xxtgxy +⋅= . 2. xxy lnarcsinlncos 3 −= .

3. ( ) 5322

ln21−

+=x

xy . 4.

+−=

−=

.13

cos4

,3

sin4

2

2

ty

tt

x 5. xxy

y

xsin5ln 3 ++= .

17 variantas

1. xxctgxx

xtgxy 2cos3

2cos

2sin⋅+

−+

= . 2. ( ) xtgexy 65 2 25sin1 +−= .

3. x

xxarctgy

7ln

2

12

+= . 4.

−=

+=

.cos

,sin23

23

tty

ttx

5. xexyxx ++=−⋅+ 1)42(ln 22 .

18 variantas

1. xtgxxx

xxy 2

2cos

2sincos

2cos2sin⋅+

+

−= . 2. ( ) xarctgxy sin2sin5ln += .

3. ( ) tgxxxxy

4sin72 ++= . 4.

−−=

+=

.cos8

,sin72

3

tty

ttx

5. xyxarctgyx

sin321

−⋅=+ .

19 variantas

1. tgxx

xtgxxy

−+⋅=

3

4coscos

222 . 2. ( ) 3 2ln1cos3 xxctgy ++= .

3. ( ) xxctgxy

2cos756 += . 4.

−−=

−=

.sin4

,1cos43

3

tty

tx

5. 121

arcsin3 642 −+=+⋅x

yxyx .

20 variantas

1. ( )52cos133

3 3 −⋅+−

+= xx

x

xy . 2. )ln7sin(3sin2 222 xxxxy −+−= .

3. ( ) 922cos51−

+=x

xy . 4.

+=

+=−

−

.4

,33tey

text

t

5. 6sinsin 22332 +−+=+ xxyxyx .

21 variantas

1. xxctgxx

tgxxy 33 sin4ln

11

10⋅+

−+

= . 2. ( )322 7cos1 xtgxxarctgy −+−= .

67

3. ( ) xxctgxy 3124 ++= . 4.

−−=

+=

.cos2

,sin32

2

tty

ttx 5. 1ln

22 444

++⋅=− yxyyx

.

22 variantas

1. ( ) 45sin14

6cos 22

+⋅++−

= xxx

xy . 2. 42 3)arcsin(ln xtgxy −= .

3. ( ) xxxy

3arcsin2cos410 += . 4.

−=

+=

.3ln3

,ln32

2

tty

tttx

5. 5ln

1cos5 343 −+=−⋅

yxyyx .

23 variantas

1. ( )1sin22cossin2

22cos2

−⋅++

−= xx

xtgx

xxy . 2. 1

25

35 23

++

−+

= xtgx

xy .

3. ( )262 2sin2

xxxy += . 4.

−−=

+=

.21

cos4

,21

sin4

3

3

tt

y

tt

x

5. 243sin 2222

−+−+= ytgxyx

y.

24 variantas

1. )14(cos4

6sin 3722

+−⋅+−

= xxxxx

xy . 2. 3221cos −++= xtgextgy .

3. ( ) xxxctgy

2ln365 += . 4.

−=

+=

.1arccos

,1arcsin

tty

ttx

5. 12sin1 43

3 23 −+=+ yxx

yx .

25 variantas

1. )43(sin

1

5cos2

5sin2 37 xtgxxxx

xxy −⋅+

−+

= . 2. ( )xxxy 222 coslogcosarccos ++= .

3. ( ) xarctgxxy

32sin4 += . 4.

+−=

−=

.33

sin

,33

cos

2

2

tt

y

tt

x

5. ( ) 2221ln2 −⋅+=++ arctgxyy yx .

26 variantas

1. x

xxxy

2cos

43sinsin 34 −

+⋅= . 2. ( ) )1(ln3ln 332 xctgxxtgy ++−= .

68

3. ( )292 6cos1

xxy += . 4.

( )( )

−=

−=

.cos15

,sin5

ty

ttx

5. ( ) 111

sin2ln 382 −+=+⋅−+ yx

yyxx .

27 variantas

1. ( )( )xxxxx

xy 3cos3sin

sin 222

−−+= . 2. 3 72

3331

xxtgxctg

tgxy −+

−= .

3. ( ) xtgxxy

264 23sin ++= . 4.

+=

−=

.2sin

,2cos2

2

tttgy

ttctgx

5. yx

yxx11

65sin3cos 2 ++=⋅−+ .

28 variantas

1. ( )xxctgxxx

xy sincos

12

5cos14

2

+⋅+−

−= . 2. xxarctgy 2lncos4ln += .

3. 32 3

2

14ln

−

−=x

xxy . 4.

−−=

−+=

.3arccos1

,13arcsin2

2

tty

ttx

5. 43sincos 332 −+=+ yyxxy .

29 variantas

1. ( ) xxarctgx

xy 4ln3

sinln

cosln 2 ⋅+= . 2. 113sin2sin3 −+−= xexy .

3. ( ) )32sin(253−

+=x

xxtgy . 4.

−=

+=

.3

cos4

,3

sin4

tt

y

tt

x 5. 6

112cos

232 −+=+

xyxtgyx .

30 variantas

1. xxtgx

xy 2ln

cos1

5sin2 3 23

⋅++

= . 2. 126ln)2ln( 22−+−= xtgey x .

3. ( ) 1752

33+

+=x

xtgxarctgy . 4.

−=

+=

.1sin

,1sin2tty

ttx

5. xxexyyx 2arcsin223 −+=+ − .

69

EKSTREMUM Ų UŽDAVINIAI

y

y=f(x)

O x x1 x2

25 pav.

Apibr ėžimai. Taškas 1x vadinamas funkcijos ( )xfy = lokaliuoju maksimumo tašku, jei jo aplinkoje ( ) ( )1xfxf < . Taškas 2x vadinamas funkcijos

( )xfy = lokaliuoju minimumo tašku, jei jo aplinkoje ( ) ( )2xfxf > . Maksimumo ir minimumo taškai kartu vadinami funkcijos ekstremumo taškais.

Būtina ekstremumo sąlyga. Jei tolydi funkcija ( )xfy = taške 1x turi

ekstremumą, tai ( ) 01 =′ xf arba ( )1xf ′ neegzistuoja.

Pakankama ekstremumo sąlyga. Jei funkcijos ( )xfy = išvestinė ( ) 01 =′ xf

arba neegzistuoja ir ( )xf ′ taško 1x aplinkoje keičia ženklą iš + į – , tai 1x yra

funkcijos maksimumo taškas. Jei ( ) 02 =′ xf arba neegzistuoja ir ( )xf ′ taško 2x

aplinkoje keičia ženklą iš – į +, tai 2x yra funkcijos minimumo taškas. Funkcijos ekstremumus galima tirti naudojant funkcijos antrąją išvestinę. Teorema. Jei ( ) 01 =′ xf ir ( ) 01 <′′ xf , tai 1x yra funkcijos maksimumo

taškas. Jei ( ) 02 =′ xf ir ( ) 02 >′′ xf , tai 2x yra funkcijos minimumo taškas. Pastaba. Jei ( ) 01 =′ xf ir ( ) 01 =′′ xf , tai taškas 1xx = gali būti ekstremumo

taškas. Tada ekstremumus tirti geriausia taikant pirmosios išvestinės taisyklę.

Ekstremumo uždavinio sprendimo pavyzdys

Iš 1 m2 kvadrato formos skardos lapo gaminama atvira (be dangčio) dėžė. Kokie turi būti dėžės matmenys, kad jos tūris būtų didžiausias?

70

1–2x

1 m x

26 pav.

Pažymėkime dėžės aukštinę x. Tada dėžės dugno kvadrato pagrindo ilgis yra x21− , o dėžės tūris V lygus

( ) ( ) xxxxxxxxV +−=⋅+−=⋅−= 2322 4444121 .

Skaičiuojame V ′ . 1812 2 +−=′ xxV . Taikome būtiną ekstremumo požymį 0=′V .

Sprendžiame lygtį: 01812 2 =+− xx , mx61

1 = , mx2

12 = (ši reikšmė netinka, nes

mx 12 2 = ir dėžės negalima pagaminti). Turime vieną kritinę ekstremumo reikšmę

mx61

= . Toliau taikome pakankamą ekstremumo požymį. Šiam pavyzdžiui

lengviau taikyti V ′′ . 824 −=′′ xV ir 04861

2461

<−=−⋅=

′′V , todėl

6

1=x yra

tūrio V maksimali reikšmė. 32

max 27

2

6

1

6

121 mV =⋅

⋅−= .

Ats.: dėžės matmenys mmm6

1

3

2

3

2×× .

Ekstremumų uždaviniai savarankiškam darbui

1. Dviejų teigiamų skaičių suma lygi 30, o vieno iš jų sandauga iš kito kvadrato yra didžiausia. Raskite tuos skaičius.

Ats.: 10 ir 20.

2. Reikia aptverti stačiakampio formos fiksuoto ploto S žemės sklypą iš trijų pusių vielos tinklu. Kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad šiam plotui aptverti reikėtų mažiausiai vielos tinklo?

Ats.: Sxy 22 == .

3. Kvadrato formos dugno atviro baseino tūris 332mV = . Apskaičiuoti šio baseino matmenis taip, kad jo apdailai reikėtų mažiausiai medžiagos.

Ats.: mmm 244 ×× .

4. Į R spindulio rutulį reikia įbrėžti cilindrą taip, kad jo šoninis paviršius būtų didžiausias. Kokie turi būti cilindro matmenys?

Ats.: 2

,2R

rRH == .

71

5. Valstietis turi 600 m vielos tinklo, kuriuo jis nori aptverti stačiakampio formos sodą. Kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad jo plotas būtų didžiausias?

Ats.: mm 150150 × .

6. V tūrio talpa yra cilindro formos. Kokie turi būti jos matmenys, kad jai pagaminti reikėtų mažiausiai medžiagos?

Ats.: 3πV

RH == .

7. Į kūgį reikia įbrėžti cilindrą taip, kad jų ašys ir pagrindų centrai sutaptų. Kaip parinkti cilindro matmenis, kad jo šoninis paviršius būtų didžiausias?

Ats.: .2

,2

Hh

Rr ==

8. Per tašką A (1;2) nubrėžti tiesę taip, kad ji pirmame ketvirtyje su koordinačių ašimis sudarytų didžiausio ploto trikampį.

Ats.: 142=+

yx.

9. Tarkime, kad [ ]1;0∈x . Kokią didžiausią reikšmę šiame intervale gali įgyti

skaičius 2xx− ? Ats.:0,25.

10. Iš stačiakampio formos skardos lapo, kurio matmenys 50 cm ir 80 cm, gaminama atvira be dangtelio dėžutė. Kokie turi būti dėžės matmenys, kad jos tūris būtų didžiausias?

Ats.: cmcmcm 603010 ×× .

11. Dviejų teigiamų skaičių suma lygi 48. Apskaičiuokite jų kvadratų sumos mažiausią reikšmę.

Ats.:1152.

12. Stačiakampis, kurio perimetras 36 cm, sukasi apie vieną savo šoną. Kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad gauto cilindro tūris būtų didžiausias?

Ats.: cmcm 612 × .

13. Dviejų teigiamų skaičių suma lygi 10. Apskaičiuokite jų kubų sumos mažiausią reikšmę.

Ats.:250.

14. Stačiakampio įstrižainė lygi 16 cm. Kokie turi būti stačiakampio matmenys, kad jo plotas būtų didžiausias?

Ats.: cmcm 2828 × .

72

15.

10m5m

27 pav.

Ūkininkui lauke prie tvarto kampo reikia aptverti stačiakampio formos tvorą gyvuliams. Jis turi 85 m vielos tinklo. Kokie turi būti stačiakampio aptvaro matmenys, kad aptvertas plotas būtų didžiausias?

Ats.: mm 2525 × .

16. Dviejų teigiamų skaičių suma lygi 20. Apskaičiuokite tų skaičių didžiausią sandaugą.

Ats.:100.

17. Tiesėje 32 =+ yx raskite tašką, kuris būtų arčiausiai taško ( )2;3A . Ats.: ( )1;1B .

18. Į duotą kūgį reikia įbrėžti didžiausio tūrio cilindrą. Kaip parinkti tokio cilindro spindulį r ir aukštinę h?

Ats.: HhRr31

,32

== .

19. Dėžutė yra cilindro formos, kurios tūris 316 cmV π= . Kokie turi būti dėžutės spindulys ir aukštinė, kad jai pagaminti reikėtų mažiausiai skardos?

Ats.: cmhcmr 4,2 == .

20. Uždaros stačiakampio gretasienio formos dėžės tūris 3576cmV = , o pagrindas yra stačiakampis, kurio ilgis du kartus didesnis už plotį. Kokie turi būti dėžės matmenys, kad jos viso paviršiaus plotas būtų mažiausias?

Ats.: cmcmcm 8126 ×× .

21. Apskaičiuokite teigiamo skaičiaus ir jo atvirkštinio mažiausią sumą. Ats.: 2.

22. Gaminama uždara 372cm stačiakampio gretasienio, kurio pagrindo kraštinių ilgių santykis lygus 0,5, formos dėžutė. Kokie turi būti dėžutės matmenys, kad jai pagaminti reikėtų mažiausiai medžiagos?

Ats.: cmcmcm 463 ×× .

23. Taisyklingos trikampės prizmės tūris lygus V . Kokio ilgio turi būti pagrindo kraštinė, kad prizmės pilnasis paviršius būtų mažiausias?

Ats.: 3 4V .

24. Lygiašonis trikampis, kurio perimetras lygus p2 , sukamas apie pagrindą. Kokio ilgio turi būti trikampio kraštinės, kad gauto kūno tūris būtų didžiausias?

Ats.: 2

ir4

3 pp.

73

25. Lygiašonis trikampis, kurio perimetras lygus p2 , sukamas apie aukštinę, nuleistą į pagrindą. Kokio ilgio turi būti trikampio kraštinės, kad gauto kūgio tūris būtų didžiausias?

Ats.: 5

4ir

53 pp

.

26. Į rutulį įbrėžkite didžiausio tūrio cilindrą. Apskaičiuokite jo aukštinę.

Ats.: 3

32R.

27. Į rutulį įbrėžkite didžiausio tūrio kūgį. Apskaičiuokite jo aukštinę.

Ats.: R34

.

28. Į pusskritulį įbrėžkite didžiausio perimetro stačiakampį. Apskaičiuokite jo kraštines.

Ats.: 5

55

54 Rir

R.

29. Apie duotą cilindrą apibrėžkite mažiausio tūrio kūgį (cilindro ir kūgio ašys ir pagrindų centrai sutampa). Apskaičiuokite kūgio spindulį.

Ats.: rR23

= .

30. Virš R spindulio skritulio formos aikštelės centro pakabinta lemputė. Aikštelės apšviestumas yra proporcingas šviesos kritimo kampo kosinusui ir atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui. Kokiame aukštyje reikia pakabinti lemputę, kad aikštelės kraštas būtų geriausiai apšviestas?

Ats.: 2

2R.

BENDRA FUNKCIJOS TYRIMO SCHEMA IR JOS GRAFIKO BRĖŽIMAS

PAGRINDINIAI APIBR ĖŽIMAI

Apibr ėžimas Funkcijos ( )xfy = apibrėžimo sritis fD yra tokios argumento x

reikšmės, kurioms apskaičiuojama ( )xf reikšmė yra reali

Apibr ėžimas Funkcija ( )xfy = vadinama lygine, jei ( ) ( )xfxf =− visoms

fDx∈ . Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas Oy ašies

atžvilgiu.

Apibr ėžimas Funkcija ( )xfy = vadinama nelygine, jei ( ) ( )xfxf −=− , visoms

fDx∈ . Nelyginės funkcijos grafikas simetriškas taško ( )0;0O

atžvilgiu.

74

Apibr ėžimas Funkcija ( )xfy = yra periodinė, jei jos reikšmės kartojasi prie argumento x pridėjus ar atėmus skaičius K,3,2, TTT , t. y. ( ) ( )kTxfxf += , K,2,1,0 ±±=k Skaičius T vadinamas šios

funkcijos periodu.

Apibr ėžimas Taškas ax = vadinamas funkcijos ( )xfy = trūkio tašku, jei ( ) ( )xf

axxf

ax 0lim

0lim

+→≠

−→.

Apibr ėžimas Tiesė ax = vadinama funkcijos ( )xfy = vertikaliąja asimptote, jei

( ) ±∞=−→

xfax 0

lim , arba ( ) ±∞=+→

xfax 0

lim

Apibr ėžimas Tiesė bkxy += vadinama kreivės ( )xfy = pasvirąja asimptote, jei

kreivė artėja prie šios tiesės, kai ±∞→x , t. y. ±∞→x

lim 0=MN (žr.

28 pav.).

x O

α

M P

N

t

( )xfy =

bkxy +=

y

28 pav.

Pasvirosios asimptotės bkxy += koeficientai k ir b apskaičiuojami iš formulių:

Pastaba. Jei bent viena iš šių ribų reikšmių yra lygi ∞± , tai nagrinėjamai funkcijai pasviroji asimptotė neegzistuoja.

FUNKCIJOS DIDĖJIMO IR MAŽ ĖJIMO INTERVALAI

Apibr ėžimas Funkcija ( )xfy = intervale vadinama didėjančia, jei ( ) ( )21 xfxf < ,

kai 21 xx < , ir mažėjančia, jei ( ) ( )43 xfxf > , kai 43 xx < (žr. 29 pav.).

=k∞→x

lim ( ),

x

xf =b

∞→xlim ( )( ).xkxf ⋅−

75

x

y

O x1 x2 x3 x4

29 pav.

Teorema Jei ( ) 0>′ xf intervale, tai ( )xfy = šiame intervale yra kylanti (didėjanti)

funkcija. Jei ( ) 0<′ xf intervale, tai ( )xfy = šiame intervale yra besileidžianti

(mažėjanti) funkcija.

FUNKCIJOS IŠGAUBIMO IR ĮGAUBIMO INTERVALAI

Apibr ėžimas Funkcijos ( )xfy = grafikas intervale vadinamas išgaubtu, jei jis yra žemiau

liestinės, išvestos kiekviename kreivės taške, priklausančiame intervalui (žr. 30 pav.).

Funkcijos ( )xfy = grafikas intervale vadinamas įgaubtu, jei jis yra aukščiau liestinės, išvestos kiekviename kreivės taške, priklausančiame intervalui (žr. 30 pav.).

x

y

Vingio taškas

Iškila aukštyn (išgaubta)

Iškila žemyn (įgaubta)

30 pav.

76

Apibr ėžimas Taškas, kuris skiria grafiko išgaubtą ir įgaubtą dalis, vadinamas vingio tašku (žr. 30 pav.).

Teorema

Jei funkcija ( )xfy = [ ]ba; turi antrąją išvestinę ir visuose intervalo taškuose ( ) 0<′′ xf , tai funkcijos ( )xfy = grafikas yra išgaubtas, o

jei ( ) 0>′′ xf [ ]bax ;∈ , tai funkcijos ( )xfy = grafikas yra įgaubtas.

Teorema

Jei taškas 1x yra funkcijos ( )xfy = vingio taškas, tai jame funkcijos antra

išvestinė lygi nuliui ( ( ) 01 =′′ xf ) arba neegzistuoja.

Remiantis išnagrinėta medžiaga, galima sudaryti tokią funkcijos tyrimo

schemą: 1) nustatome funkcijos apibrėžimo sritį, funkcijos lygiškumą, periodiškumą, trūkio

taškus, susikirtimo su koordinačių ašimis taškus; 2) nustatome funkcijos vertikalias ir pasvirusias asimptotes; 3) nustatome funkcijos didėjimo, mažėjimo intervalus ir ekstremumo taškus; 4) nustatome funkcijos įgaubimo, išgaubimo intervalus ir vingio taškus; 5) brėžiame grafiką.

PAVYZDYS

Ištirti funkciją ( )1

22

−+

==x

xxfy ir nubrėžti jos grafiką.

1.1. Funkcija apibrėžta, kai 1≠x .

1.2. Funkcija nei lyginė, nei nelyginė, nes ( ) ( )( )

−≠≠

−−+

=−xf

xfx

xxf

1

22

.

1.3. Kai 0=x , 2−=y , t. y. funkcijos grafikas kerta Oy ašį taške ( )2;0 −A ; Ox

ašies grafikas nekerta, nes 022 ≠+x . 1.4. Funkcija nėra periodinė.

2.1. Funkcija 1

22

−+

=x

xy taške 1=x trūki, nes

01lim

−→x( ) =xf

01lim

−→x−∞=

−+1

22

x

x,

01lim

+→x( ) =xf

01lim

+→x+∞=

−+1

22

x

x

Išvada. Tiesė 1=x yra funkcijos 1

22

−+

=x

xy vertikalioji asimptotė. Funkcijos

grafiko eiga apie asimptotę 1=x parodyta 31a pav.

77

31 pav. Funkcijos 1

22

−+

=x

xy grafiko eiga

a) apie vertikaliąją asimptotę 1=x b) apie pasvirąją asimptotę 1+= xy

2.2. Nustatome pasvirąją asimptotę. Darome prielaidą, kad yra pasviroji asimptotė, kurios lygtis yra bkxy += .

Skaičiuojame k ir b:

( )( )

;122

lim

122

lim2

lim2

lim1

2

lim)(

lim2

2

2

2

2

==

=−

=′−

′+

=

∞∞

=−

+=−

+

==

∞→

∞→∞→∞→∞→∞→

x

xxxxx x

x

xx

x

xx

x

xx

x

x

xfk

( ) .111

lim12

lim1

)1(2lim1

12

lim)(lim22

==−+

=−

−−+=

⋅−

−+

=−=∞→∞→∞→∞→∞→ xxxxx x

x

x

xxxx

x

xkxxfb

Pasvirosios asimptotės lygtis yra 1+= xy . Funkcijos 1

22

−+

=x

xy grafiko eiga apie

pasvirąją asimptotę 1+= xy parodyta 31b pav. 3. Nagrinėjame funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus.

3.1. Skaičiuojame funkcijos 1

22

−+

=x

xy išvestinę y′ :

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )22

2

2

2

222

1

22

1

1212

1

1212

1

2

−

−−=

=−

⋅+−−=

−

′−+−−′

+=

′

−+

=′

x

xx

x

xxx

x

xxxx

x

xy

78

3.2. Funkcija 1

22

−+

=x

xy didėja, kai 0>′y , t. y.

( )( ) ( )( ) ( )( )

] [ ] [.;3131;

0313102201

22 22

2

∞+−∞−∈⇒

⇒>+−−−⇒>−−⇒>−

−−

Ux

xxxxx

xx

Kai ] [ ] [31;11;31 +−∈ Ux , funkcija mažėja. Šiame intervale 0<′y .

3.3. Taškas 311 −=x yra ekstremumo (maksimumo) taškas. Apskaičiuojame funkcijos maksimumą:

( ) ( )5,1

3

632

131

23131

2

max −≈−

=−−

+−=−= fy .

Maksimumo taškas ( )5,1;311 −−M . Taške 1=x funkcijos išvestinė neegzistuoja. Šis taškas nepriklauso funkcijos apibrėžimo sričiai. Funkcijos eigą

apie tašką 1=x nustatėme apskaičiuodami ribas 1

1lim

2

1 −+

→ x

xx

(žr. 31 pav.).

Nustatėme, kad tiesė 1=x yra funkcijos 1

12

−+

x

x vertikalioji asimptotė.

Taškas 312 +=x irgi yra ekstremumo (minimumo) taškas. Apskaičiuojame funkcijos minimumą.

( ) ( )5,5

3

326

131

23131

2

min ≈+

=−+

++=+= fy .

Minimumo taškas ( )5,5;312 +M . 4. Nagrinėjame funkcijos išgaubimo ir įgaubimo intervalus. 4.1. Skaičiuojame funkcijos antrąją išvestinę:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

( ).

1

6

1

221212

1

1222122

1

122122

1

22

3

4

22

4

22

4

2222

2

2

−=

=−

++−+−−=

−

−⋅−−−−−=

=−

′−−−−−

′−−

=′

−

−−=′′=′′

x

x

xxxxx

x

xxxxx

x

xxxxxx

x

xxyy

4.2. Funkcija 1

22

−+

x

x išgaubta, kai 0<′′y , t. y.

( )1010

1

63

<⇒<−⇒<−

xxx

.

Intervale ] [1;∞−∈x funkcija išgaubta, o intervale ] [∞∈ ;1x funkcija įgaubta. Taškas 1=x nėra vingio taškas, nes jame funkcija neapibrėžta. Funkcijos

1

22

−+

=x

xy grafikas pavaizduotas 32 pav.

79

32 pav. Funkcijos 1

22

−+

=x

xy grafikas

Namų darbų individualios užduotys

Ištirkite funkciją mcx

baxy

++

=2

ir nubrėžkite jos grafiką. Koeficientų a, b, c, m

reikšmes parinkite iš 4 lentelės.

4 lentelė Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a -1 -2 -3 3 1 2 3 4 1 3 2 -1 3 4 1 b 0 1 -1 2 2 0 -1 -3 4 0 -1 3 1 -1 -3 c 3 -2 2 -3 2 3 2 2 2 4 2 1 -3 4 1 m -2 3 4 1 3 2 -3 1 3 1 -3 2 4 2 3

4 lentelės tęsinys

Nr. 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 a 2 2 3 2 4 2 3 4 2 3 1 3 -1 2 3 b 1 -1 1 -2 -1 -2 2 -3 1 2 -2 2 3 -1 -2 c 3 2 3 3 3 2 1 -3 -2 1 -2 2 1 2 -2 m -1 1 1 2 2 -3 3 1 1 2 1 3 3 3 1

80

DVIEJŲ KINTAM ŲJŲ FUNKCIJA

Duota funkcija ( )yxfz ,= . 1. Apskaičiuoti ir pavaizduoti funkcijos lygio linijas 1C , 2C , 3C ir užrašyti

vektorių ( )000 ; yxMzgrad→

.

2. Skaičiuodami dtzd

linijoje ( )( )

==

thytgx

įrodykite, kad ši linija yra funkcijos

( )yxfz ,= lygio linija. Parašykite šios linijos lygtį ( ) Cyxf =, ir nubraižykite

ją. Pavaizduokite vektoriaus ( )000 ; yxMzgrad→

kryptį.

3. Apskaičiuokite funkcijos ( )yxfz ,= išvestines taške ( )00, yxM linijos

( )( )

==

thytgx

normalės šiame taške kryptimi ir kryptimi 10MM , kur ( )111 ; yxM .

4. Parašykite paviršiaus ( )yxfz ,= liečiančios plokštumos ir normalės lygtis taške ( )( )0000 ,,, yxfyxN .

Pastaba. Konkrečias ( ) ( ) ( )thtgyxf ,,, išraiškas bei 1C , 2C , 3C , 0x , 0y , 1x , 1y

pagal savo varianto numerį parinkite iš 5 lentelės.

5 lentelė Nr. ( )yxf , ( )tg ( )th 1C 2C

3C

0x 0y 1x 1y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1. ( )1ln 22 −+ yx t2cos4 t2sin4 -1 0 1 2 32−

1 34

2. ( )3lg 22 −+ yx t3sin2 t3cos2 -1 0 1 1 3−

3 3

3. 5222 −+yx

t5cos2 t5sin2 2 4 8 -1 3−

-2 32

4. 2272 yx −− t4sin4 t4cos4 0,5 2 8 32−

-2 3 2

5. 222 −+yxe ( )t−1cos2

( )t−1sin2 1 2 8 2 2−

23 2

6. ( )22arcsin yx + ( )3

22cos −t

( )3

22sin −t

6

π

6

π

6

π

6

1−

6

3

6

5

6

3−

7. ( )422 −+ yxarctg t3sin3 t3cos3 0

6

π

3

π

2

23

2

23−

2

2−

2

2

8. 222 −+ yx 2sin2 t 2cos2 t 1 2 3 2−

2−

23−

2

9. ( )24ln 22 −+ yx ( )t−1cos2

( )t−1sin 0 1 2 3 2

1 32 1

10. ( )14lg 22 −+ yx t4cos t4sin2 0 1 2

2

1− 3−

1 35

81

11. ( )294ln 22 −+ yx t2sin6 t2sin4 -1 0 1 23 -2 2 4

12. ( )149lg 22 −+ yx t3cos4 t3sin6 -1 0 1 22−

23 22 2

13. 12922 −+ yx ( )t−1sin3 ( )t−1cos 1 4 8 0 -1 3 2

14. 29272 yx −− t3cos

3

3sin t

1 4 8 0 -1 -1 -3

15. 12243 −+yx ( )t−3cos2

( )t−3sin4

1 3 9 -1 32−

3 3

16. 22 4963 yx −− ( )t−2sin4

( )t−2cos6

1 3 9 2 33−

1 35

17. ( )22 4arcsin yx + 2

3sin t

4

3cos t

6

π

4

π

2

π

4

1−

8

3−

4

3

8

3

18. ( )229arcsin yx + ( )6

21sin t−

( )2

21cos t−

6

π

4

π

2

π

6

1−

0

6

5

1

19. ( )194 22 −+ yxarctg

t2cos3 t2sin2 0

6

π

4

π

2

33−

-1

2

3

2

20. ( )22 49 yxarctg + ( )t−1cos4

( )t−1sin6 6

π

4

π

3

π

-2 33 1 3

21. 224 yx + ( )t21sin2 −

( )t21cos4 −

1 2 3 2 22 2−

2

22. 22 94 yx + t3cos6 t3sin4 0 1 2 0 -2 1 3

23. ( )32ln 2 −+ xy t2 ( )212 t− -1 0 1 4 -6 5 1

24. ( )14lg 2 −+ xy t−1 148 2 −− tt

-1 0 1 1 -1 3 2

25. ( )22ln 2 −− xy ( )12 2 −t t2− -1 0 1 6 -4 -3 1

26. ( )22lg 2 −+ xy ( )212 t− t2 -1 0 1 0 2 4 -4

27. 4222 +− xy ( )12 2 +t t2 2 4 8 4 2 1 3

28. 4222 −− yx

t2− ( )12 2 −t 1 2 4 4 6 0 1

29. ( )422 −+ xyarctg ( )212 t− t2−

6

π

4

π

3

π

2

3

1 2 -4

30. ( )yxarctg +− 24 3t 46 −t 6

π

4

π

3

π

-1 -3 3 -1

31. ( )2ln −xy 12 −t 1

42 −t

0 1 2 2 2 6 0

32. xy−22 tgt ctgt2 1 2 4 1 2 3 5

33. xy+3 te2 te 23 − 0 1 2 1 3 -1 -2

82

PAVYZDYS Nr. ( )yxf , ( )tg ( )th 1C 2C 3C 0x 0y 1x 1y

34 2215 yx −− t2sin8 t2cos8

25

1

1

5

1

4 34− 3 32

2215 yxz −−= ; tx 2sin8= ; ty 2cos8= ; ( )34;40 −M ; ( )32;31M .

1. Lygio linijos lygtis Cz = .

a) Kai 25

1=C , tai

21 55;25

1 22 −−− == yxz

21 22 −=−− yx

322 =+ yx

b) Kai 1=C , tai

01 55;122== −− yxz

01 22 =−− yx

122 =+ yx

c) Kai 5

1=C , tai

11 55,5

1 22 −−− == yxz

222 =+ yx

Visos trys lygio linijos yra apskritimai su spinduliais 1;7,13 21 =≈= rr ir

4,123 ≈=r .

33 pav.

83

2. dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

zd

∂∂

+⋅∂∂

=

Jei 0=dt

zd, tai constz = .

( ) ( ) ( )

( ) .02sin2cos82cos2sin8325ln5

2sin165ln252cos165ln25

22

2222

1

11

=+−⋅=

=−⋅⋅−+⋅⋅−=

−−

−−−−

tttt

tytxdt

zd

yx

yxyx

Išvada: Cz = . Lygio linijų lygtis

Cyx =−− 2215 ( )ttC

22 sincos6415 +−= 635−=C

631 5522 −−− =yx

631 22 −=−− yx

6422 =+ yx 222 8=+ yx

y

0 8 4

-7 →

0Mzgrad

x

34 pav.

Lygio linija – apskritimas su spinduliu 8=r . Vektorius 0Mzgrad

→ yra

statmenas liestinei taške 0M .

3.

3.1. Skaičiuojame funkcijos 2215 yxz −−= išvestinę taške 0M linijos

tx 2sin8= , ty 2cos8= normalės nr

šiame taške kryptimi.

84

( ) ( ) ( ) =⋅⋅+⋅⋅−=

∂∂

+

∂∂

==∂∂ −− 263263

22

;55ln3855ln8

0000

MMyxM x

z

x

zzgrad

n

z

5763 105,225ln58 −− ⋅≈⋅⋅⋅= . Ji sutampa su tos funkcijos išvestine vektoriaus gradz kryptimi ir lygi to vektoriaus moduliui.

Skaičiuojame zgrad

( ) 57631 1025,15ln58;25ln50

22 −−−− ⋅−≈⋅⋅−=∂∂

−⋅⋅=∂∂

M

yx

x

zx

x

z

( ) 57631 1016,25ln538;250

22 −−−− ⋅≈⋅⋅=∂∂

−=∂∂

M

yx

y

zy

y

z

jijizgradrrrr 57576363 1016,21025,155ln3855ln8 −−−− ⋅+⋅−≈⋅⋅+⋅⋅−=

Skaičiuojame funkcijos 2215 yxz −−= išvestinę taške 0M kryptimi 10MMl =

r:

βα coscos00 MM y

z

x

z

l

z

∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

.

3.2. Vektoriaus 10MM projekcijos

{ } { } { }36;13432;43; 010110 −=+−=−−= yyxxMM , ir modulis bus:

( ) ( ) 10936122

10 =+−=MM .

Skaičiuojame vektoriaus 10MM krypties kosinusus:

109

1cos

10

01 −=−

=MM

xxα ;

109

36cos

10

01 =−

=MM

yyβ .

Funkcijos z išvestinė kryptimi 10MMl =r

bus

( ) .1034,1361109

5ln58

109

365ln538

109

15ln58 57

636363 −

−−− ⋅≈+

⋅=⋅⋅⋅+

−⋅⋅−=

∂∂l

z

4. ( )630

1 5;34;4,522 −−− −= Nz yx .

Paviršiaus 2215 yxz −−= liečiamosios plokštumos lygtis

( )( ) ( )( )0000000 ;; yyyxfxxyxfzz yx −′+−′=− (P)

586310 1067,955

20

20 −−−− ⋅≈== yxz , ( ) 57

00 1025,1; −⋅−≈′ yxfx , ( ) 5700 1016,2; −⋅≈′ yxf y ,

tai, įstatę šias reikšmes į plokštumos lygtį (P) ir sutvarkę, gauname:

01003,91016,21025,1 575757 =⋅+⋅−⋅+ −−− yxz . Normalės parametrinės lygtys:

85

( )( )( )

+′=

+′=

+−=

.;

,;

,;

000

000

00

xtyxfx

ytyxfy

yxftz

x

y ,

Įstatę jau žinomas reikšmes gauname:

+⋅−=

−⋅=

⋅+−=

−

−

−

.41025,1

,93,61016,2

,1067,9

57

57

58

tx

ty

tz

NETIESIOGINI Ų MATAVIM Ų PAKLAID Ų ĮVERTINIMAS

1. Stačiajame trikampyje, pavaizduotame 1 paveikslėlyje, tiesiogiai išmatuojami du iš penkių β,,, hba , S (S– trikampio plotas) parametrai ir pagal šių matavimų rezultatus apskaičiuojamas trečias parametras. Tiesiogiai išmatuojamų parametrų reikšmės bei jų santykinės paklaidos δ surašytos 6 lentelėje.

6 lentelė

a ( )%aδ b ( )%bδ h ( )%hδ β ( )%βδ S ( )%Sδ

10 2 11 3 5 1 0,46 3 25 4

β

h

a

b S

35 pav. Nagrinėjamas trikampis

Pagal savo užduoties varianto numerį iš 6 lentelės parinkę tiesiogiai

matuojamus ( )yx, ir skaičiuojamąjį ( )z trikampio parametrus apskaičiuokite skaičiuojamojo parametro nominalią reikšmę, absoliutinę ir santykinę paklaidas

7 lentelė

Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yx, ba; ba; ba; ha; ha; ha; β;a β;a β;a Sa;

z h β S b β S b h S b 7 lentelės tęsinys

Nr. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 yx, Sa; Sa; hb; hb; hb; β;b β;b β;b Sb;

z h β a β S a h S β

86

7 lentelės tęsinys Nr. 20 21 22 23 24 25 26 27 28

yx,

β;h β;h β;h Sh; Sh; Sh; S;β S;β S;β

z a b S a b β a b h

βββ ctghbhbhtgaahabaS 2222222

21

2sin41

21

31

21

21

==−===−= ;

222

24arcsin

21

arcsin2

arccosh

Sarcctg

b

Sbh

a

Sarctg

ha

arctgba

======β ;

βββ StgbaS

atgabh 2sin222 ====−= ;

βββ 2

424222

sin2

4sin

4cos

Sh

hSha

aSahab =

+==

+==+= ;

βββ ctgSh

Sctghbhba ⋅==⋅==−= 2

2cos22 .

PAVYZDYS

b

a

h

36 pav.

Stačiajame trikampyje tiesiogiai išmatuojami du parametrai a ir h ir pagal šių

parametrų rezultatus apskaičiuojamas trečias parametras P (trikampio perimetras). Tiesiogiai išmatuojamų parametrų reikšmės ir jų santykinės paklaidos δ yra tokios:

aa δ;3= (%) 2= %; hh δ;4= (%) 1= %.

Trikampio perimetras 22 hahaP +++= . Nominali parametro P reikšmė taške ( )4;3

12543169430 =++=+++=P

5

8

5

31

169

31;1

022

=+=+

+=∂∂

++=

∂∂

Pa

P

ha

a

a

P

5

9

5

41

169

41;1

022

=+=+

+=∂∂

++=

∂∂

Ph

P

ha

h

h

P

Skaičiuojame parametrų a ir h maksimalias absoliutines paklaidas a*∆ ir h*∆ :

( )06,0

100

32

%100

%* =

⋅=

⋅=∆

aaa

δ,

87

( )04,0

100

41

100

%* =

⋅=

⋅=∆

hhh

δ.

Skaičiuojame maksimalią absoliutinę perimetro P paklaidą P*∆ :

hh

Pa

a

PP *** ∆⋅

∂∂

+∆⋅∂∂

=∆

168,0072,0096,004,05

906,0

5

8* =+=⋅+⋅=∆ P .

Skaičiuojame parametro P santykinę paklaidą Pδ :

013,012

168,0*≈=

∆=

P

PPδ .

Santykinė paklaida procentais bus ( ) %1%100% ≈⋅= PP δδ .

KELI Ų KINTAM ŲJŲ FUNKCIJOS EKSTREMUMAI

1. Apskaičiuokite funkcijos FEyDxCxyByAxz +++++= 22 ekstremumus. 2. Apskaičiuokite funkcijos CByAxz ++= sąlyginius ekstremumas, kai

FEyDx =+ 22 . Koeficientų FBA ..., skaitines reikšmes pagal savo variantą parinkite iš 8

lentelės.

8 lentelė Nr. A B C D E F 1 -1 -2 1 2 1 1 2. -2 -2 -1 3 2 2 3. -3 -1 2 3 1 3 4. -2 -1 -2 2 2 4 5. 1 3 1 4 3 5 6. 3 2 -1 5 2 4 7. 2 1 2 6 1 3 8. -1 -2 -2 5 3 2 9. 3 1 1 1 2 1 10. 2 3 -1 -2 1 2 11. 2 2 2 3 4 4 12. 5 1 -2 2 2 3 13. -3 -2 1 1 3 3 14. 2 4 -1 4 2 2 15. -2 -3 2 2 2 5 16. 1 3 -2 2 4 2 17. 2 2 1 5 3 1 18. -3 -3 -1 3 2 2 19. -2 -3 2 2 2 2 20. 3 1 -2 1 5 3

88

21. -3 -2 1 4 5 3 22. 2 1 -1 2 6 3 23. 1 3 2 3 2 2 24. -2 -1 -2 1 2 2 25. -3 -2 1 2 1 2 26. 2 1 -1 1 2 6 27. -2 -2 2 2 5 6 28. -1 -3 -2 4 6 7 29. 3 2 1 3 3 9 30. 2 1 -1 2 3 4

PAVYZDYS

1. Apskaičiuokite funkcijos 10734 22 −++++= yxxyyxz ekstremumus. Sprendimas.

738 ++=′ yxzx ; 132 ++=′ xyzy .

Būtinos ekstremumo sąlygos yra:

−=+

−=+⇒

=++

=++

123

738

0123

0738

yx

yx

yx

yx

Lygčių sistemą sprendžiame Gauso metodu:

−

−

−

−

−−

8

138

7

8

70

8

31

~

8

138

7

8

70

8

31

~18

7

238

31~1

72338 .

;8

7

8

3;

7

13;

8

13

8

7−=+== yxyy

7

11

56

39

8

7−=+−=x .

Kritinis taškas

−7

13;

7

11M . Patikriname pakankamas ekstremumo sąlygas, t.

y. ∆ ženklą:

( )2xyyyxx zzz ′′−′′⋅′′=∆

3;2;8 =′′=′′=′′ xyyyxx zzz .

07928 >=−⋅=∆ , todėl ekstremumas taške M egzistuoja. 08 >=′′xxz , tai jame bus funkcijos z minimumas:

43,5107

13

7

117

7

13

7

113

7

13

7

114

22

min ≈−+

−⋅+⋅

−+

+

−⋅=z .

2. Apskaičiuoti funkcijos 324 ++= yxz ekstremumus su sąlyga

107 22 =+ yx .

89

Sprendimas. Užrašome Lagranžo funkciją ( ) ( ) ( )yxyxfyxF ;;;; λϕλ += .

( ) 107; 22 −+= yxyxϕ .

( ) ( )107324;; 22 −++++= yxyxyxF λλ . Ekstremumo būtinos sąlygos:

( )

=

=∂∂

=∂∂

.0;

;0

;0

yxy

Fx

F

ϕ

.22;144 λλ yy

Fx

x

F+=

∂∂

+=∂∂

Taigi:

=−+=+=+

.0107;022;0144

22 yxyxλλ

Sprendžiame šią lygčių sistemą:

.5,211

70

;714,011

70

7

2

;7011

;107

11;10

1

7

4

;1

;72

2,1

2,1

2,1222

mm

mm

≈=

≈=

±===+

−=−=

py

x

yx

λλλλ

λλ

Kritiniai taškai yra tokie:

kai ( )5,2;714,0;70

1111 −−= Mλ ;

kai ( )5,2;714,0;70

1122 M−=λ .

Sąlyginio ekstremumo egzistavimas yra nustatomas įvertinant Fd2 ženklą kritiniame taške M:

( ) ( )22

222

2

22 dy

y

Fdxdy

yx

Fdx

x

FFd

MMMM ∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= .

0;2;142

2

2

2

2

=∂∂

∂=

∂

∂=

∂

∂yx

F

y

F

x

Fλλ .

( ) ( )222 214 dydxFd λλ += .

Taške 1M daugiklis 0>λ ir 02 >Fd , todėl šiame taške yra funkcijos z sąlyginis minimumas:

856,4min −=z .

90

Taške 2M daugiklis 0<λ ir 02 <Fd , todėl jame yra funkcijos z sąlyginis maksimumas:

856,10max =z .

MAŽIAUSI Ų KVADRAT Ų METODAS

( )( )∑=

→−n

i

ii xbafy1

2 min;;

( )( ) ( )22

2

22;;;

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑ ∑∑

−

−=

−

−=→+=

ii

iiiii

ii

iiii

xxn

yxxyxb

xxn

yxyxnabaxxbaf /

Mažiausių kvadratų metodu taškus ( )ii yxM ; aproksimuokite tiesine regresijos priklausomybe baxy += . Skaičiavimo rezultatus pavaizduokite grafiku. Taškus

( )iii yxM ; priklausomai nuo varianto numerio imkite iš 9 lentelės.

9 lentelė Nr. 11; yx 22; yx 33; yx 44; yx 55; yx

1. -2; -2 -2; -3 -1; -2 0; 2 1; 3 2. -3; -4 -2; -3 -2; -2 0; -1 1;4 3. 0; -1 1; 1 1; 2 2; 4 3; 6 4. 1; -1 1; 0 0; 2 1; 3 2;5 5. -2; 4 -2; 3 -1; 1 1; -1 2; -4 6. 3; 2 3; 1 2; 4 1; 6 0; 8 7. 2; -1 3; 0 3; 1 3; 3 4; 2 8. -2; 5 -1; 4 -1; 2 0; -2 1; -1 9. -3; 6 2; 5 1; 2 0; -1 1; -1 10. 0; 5 1; 2 2; -3 2; 1 3; -1 11. 0; -4 1; -3 2; -4 3; 1 3; -2 12. -2; 6 -1; 1 0; 1 1; 1 2; -4 13. -1; 2 0; 3 1; 4 2; 7 3; 5 14. -2; 6 -1; 3 0; 4 1; 2 2; 0 15. -3; 5 -2; 1 -1; 2 0; 1 1; -2 16. -2; 1 -1; 4 0; 3 0; 2 1; 6 17. -3; -5 -2; 0 -1; 0 0; 2 1; 6 18. -5; 5 -4; 4 -3; 0 -2; 1 -1; 1 19. -4; -1 -3; 3 -3; 2 0; 1 0; 5 20. 1; 6 2; 1 2; 3 1; 2 0; 1 21. -2; -6 -1; 1 1; 5 1; 3 2; 3 22. 1; 3 2; 2 3; -2 5; -4 5; -2 23. -3`; 2 -1; 0 0; 1 1; -2 1; -5 24. -2; -4 0; 2 1; 1 2; 2 3; 5 25. -3; 2 -2; 1 0; -2 1; -5 2; -3 26. -3; -1 -2; 3 0; 3 1; 5 2; 5

91

27. -2; -3 -1; 4 0; 5 1; 6 2; 6 28. -1; -3 0; 2 1; 3 2; 6 3; 7 29. -3; -3 -1; 4 -1; 2 0; 6 1; 8 30. -2; -1 0; 3 1; 5 2; 7 3; 9 31. -2; 5 -1; 1 1; -2 2; -5 3; -6 32. -2; 3 0; 1 1; -2 2; -5 3; -6

PAVYZDYS

Mažiausių kvadratų metodu taškus ( )ii yxM ; aproksimuokite tiesine regresijos

priklausomybe baxy += . Skaičiavimo rezultatus pavaizduokite grafiku

Nr. 11yx 22yx 33yx 44yx

31 ( )1;1 ( )2;1 ( )4;3 ( )3;5 Sudarome lentelę ( )4=n :

i ix iy ix2 ii yx

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 3 4 9 12 4 5 3 25 15

∑

Suma

10 10 36 30

45,011

5

10364

10103042

≈=−⋅

⋅−⋅=a .

36,111

15

10364

103010362

≈==−⋅

⋅−⋅=b .

Tiesinė priklausomybė tokia: 36,145,0 += xy .

-1

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y

36,145,0 += xy

x

36 pav.

92

LITERAT ŪRA:

1. Matulionis J. Aukštoji matematika: aukštųjų technikos mokyklų kursas: vadovėlis respublikos aukštųjų mokyklų techninėms specialybėms. I dalis. Vilnius: Mintis, 1963.

2. Rumšas P. Trumpas aukštosios matematikos kursas: vadovėlis aukštųjų mokyklų ekonomikos ir gamtos mokslų specialybių studentams. Vilnius: Mokslas, 1976, 559 p.

3. Bartaševičius A., Didžgalvis R. Aukštosios matematikos konspektas, I dalis. Kaunas: LŽŪU Leidybos centras, 2000, 120 p.

4. Pekarskas V. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas, 1 dalis. Kaunas: Technologija, 1997.

5. Vilkelienė R., Didžgalvis R. Tiesinė algebra. Kaunas: LŽŪU Leidybos centras, 2001, 100 p.

6. Bartaševičius A., Kaminskienė J., Lapinskas A. Funkcijų ribos, išvestinės ir grafikai. Kaunas: LŽŪU Leidybos centras, 2001, – 61 p.

7. Bartaševičius A., Kaminskienė J., Raškinienė D. Techninio pobūdžio uždaviniai inžinerinių specialybių studentams. Kaunas: LŽŪU Leidybos centras, 2003, 28 p.

8. Vilkelienė R. Dviejų kintamųjų funkcijos diferencialinio skaičiavimo metodinė priemonė. Kaunas: LŽŪU Leidybos centras, 2002, 48 p.

9. Misevičius G., Pincevičius A., Rakauskas R. J., Eidukevičius R. Aukštoji matematika. Vilnius: TEV, 1999, 470 p.

10. Bartaševičius A., Lapinskas A., Liubertienė J., Laurinavičius E. Matematikos užduotys savarankiškam darbui. Kaunas: LŽŪU Leidybos centras, 2002, 51 p.

11. Bartaševičius A., Ruseckas K., Skurkaitė M., Šipienytė D. Aukštosios matematikos pratimai. D.1. Kaunas – Akademija: LŽŪA Leidybos centras, 1990–1992, 1990, 62 p.

12. Pekarskas V. Trumpas matematikos kursas: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Kaunas: Technologija, 2005, 463 p.

93

TURINYS

MATRICOS, DETERMINANTAI, LYG ČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMAS ..4

PRATIMAI...........................................................................................................4

VEKTORIN Ė ALGEBRA IR ANALIZIN Ė GEOMETRIJA

ERDVĖJE ........................................................................................................... 18

PRATIMAI...........................................................................................................18

ANALIZIN Ė GEOMETRIJA PLOKŠTUMOJE........................................... 32

FUNKCIJOS RIBA............................................................................................ 49

FUNKCIJ Ų RIBŲ SKAIČIAVIMO PAVYZDŽIAI ........................................49

PRATIMAI...........................................................................................................52

FUNKCIJ Ų IŠVESTINĖS................................................................................. 59

PAGRINDIN ĖS DIFERENCIJAVIMO TAISYKL ĖS IR FORMULĖS.......59

PRATIMAI...........................................................................................................63

EKSTREMUM Ų UŽDAVINIAI ...................................................................... 69

BENDRA FUNKCIJOS TYRIMO SCHEMA IR JOS GRAFIKO

BRĖŽIMAS ........................................................................................................ 73

PAGRINDINIAI APIBR ĖŽIMAI......................................................................73

FUNKCIJOS DIDĖJIMO IR MAŽ ĖJIMO INTERVALAI ...........................74

FUNKCIJOS IŠGAUBIMO IR ĮGAUBIMO INTERVALAI .........................75

DVIEJŲ KINTAM ŲJŲ FUNKCIJA ............................................................... 80

NETIESIOGINI Ų MATAVIM Ų PAKLAID Ų ĮVERTINIMAS................... 85

KELI Ų KINTAM ŲJŲ FUNKCIJOS EKSTREMUMAI............................... 87

MAŽIAUSI Ų KVADRAT Ų METODAS......................................................... 90

LITERAT ŪRA ................................................................................................... 92