Upload
ertac-gueclue
View
366
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
çukurova üniversitesi ders notları
Citation preview
ÜÜSTEL VE STEL VE
LOGARLOGARİİTMTMİİK K
FONKSFONKSİİYONLARYONLAR
22ŞŞekil 5.1a ekil 5.1a ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10( ) , 1ty f t b b= = >
y
t•
33ŞŞekil 5.1b ekil 5.1b ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
-2 -1 1 2 3 4
10
20
30
40
50
( ) 2ty f t= =
y
t
( ) 22 ty f t= =
44ŞŞekil 5.1c ekil 5.1c ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
-2 -1 1 2
2
4
6
8y
( ) ( )2 2ty f t= =
( ) 2ty f t= =
t
55
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
, 1
0 ,
ln ln ln ln
ln
ln 0 ,
t
t
t
y f t b b
y f t b t
dy b t y bdt
dy yb
dt
dy f t b b tdt
= = >
= = > −∞ < < ∞
= → =
=
′= = > −∞ < < ∞
66
( ) ( )
( ) ( )
22
2 ln 0 ,
lim , lim 0
t
t t
t t
d y f t b b tdt
b b→∞ →−∞
′′= = > −∞ < < ∞
= ∞ =
77
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, 1
ln
0 , 0 0
0 , 0 0
0 , 0 0
0 , 0 0
ct
ct
y f t ab b
f t ac b b
a c f t
a c f t
a c f t
a c f t
= = >
′ =
′> > → >
′> < → <
′< > → <
′< < → >
88
( ) ( )
( )
( )
22 ln
0 0
0 0
ctf t ac b b
a f t
a f t
′′ =
′′> → >
′′< → <
99ŞŞekil 5.2a ekil 5.2a ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
y
t0
y
t0
( )0 , 0
cty f t aba c= =
> <( )
0 , 0
cty f t aba c= =
> >
1010ŞŞekil 5.2b ekil 5.2b ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
y y0 0t t
( )0 , 0
cty f t aba c= =
< >( )
0 , 0
cty f t aba c= =
< <
1111e Tabane Tabanıı ya da Doya da Doğğal al ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2
f t f t
t t
rt rt
t t t t
dyy e f t edt
dyy f t e edt
dyy f t Ae Aredt
dyy f t te e t te e tdt
′= → =
= = → =
= = → =
= = → = + = +
1212ŞŞekil 5.3. ekil 5.3. ÜÜstel Fonksiyonlarstel Fonksiyonlar
-3 -2 -1 1 2 3
5
10
15
20
25
30ty e=
1313DoDoğğal al ÜÜstel Fonksiyonlar ve Bstel Fonksiyonlar ve Büüyyüümeme
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 21 11 2
3 41 13 4
1001100
11
1 1 2 , 2 1 2.25
3 1 2.37037 , 4 1 2.44141 .....
100 1 2.70481 .....
1lim lim 1 2.71828
m
m
m m
f mm
f f
f f
f
e f mm→∞ →∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + = = + =
= + = = + =
= + =
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠
fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım. Bu açılım, esayısının asimptotik değerini verecektir.
xy e=1414
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
0 1
0 1............. ...........
0 1
x
x
x
x
n nx
y f x e
f x e f
f x e f
f x e f
f x e f
= =
′ ′= → =
′′ ′′= → =
′′′ ′′′= → =
= → =
1515
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
2 2 2 2
0 0 0 0 0.....
0! 1! 2! 3! !
1 1 1 11 .....2 6 24 120
1 için;
1 1 1 11 1 .....2 6 24 120
2.7182819
nn
x
f f f f ff x x x x x
n
e x x x x x
x
e
e
′ ′′ ′′′= + + + + +
= + + + + + +
=
= + + + + + +
1616
Kesikli BKesikli Büüyyüümeden Smeden Süürekli Brekli Büüyyüümeye Gemeye Geççiişş
Süreksiz bir büyüme süreci şöyledir:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 0 0 0
22 1 1 0 0 0
33 2 2 0
1 1 0
1.Yıl : 1
2.Yıl : 1 1 1
3.Yıl : 1
....................................................
t.Yıl : 1 tt t t
A A rA A r
A A rA A r rA r A r
A A rA A r
A A rA A r− −
= + = +
= + = + + + = +
= + = +
= + = +
1717Yıldan yıla gelişen bu kesikli faiz sürecini, bir yılın altındaki
zaman dilimlerini de (günlük, aylık, üç aylık gibi) kapsayacak
şekilde genelleştirelim. Bir yılda tekrarlanan vade sayısına mdiyelim.
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 0 0 0
22 1 1 0 0 0
33 2 2 0
1 1 0
1.Dönem: 1
2.Dönem: 1 1 1
3.Dönem: 1
....................................................
m.Dönem: 1
r rm m
r r r rm m m m
r rm m
mr rm m mm m
A A A A
A A A A rA A
A A A A
A A A A− −
= + = +
= + = + + + = +
= + = +
= + = +
1818Bir yılda tekrarlanan vade ve yıllık birikimi birlikte yazalım:
( )0 1mtr
mA A= +
Bu ifade, bir yıl içerisinde m kadar tekrarlanan ve t yıl süren bir
bileşik faiz sürecinin sonunda birikecek olan toplam geliri
göstermektedir. Süreç zaman dilimleri arasında sıçramalarla
ilerlediğinden, kesiklidir. Ancak iktisat biliminde bu kesikli
süreçlerin yanında, birikimin (büyümenin) sürekli biçimde
gerçekleştiği durumlar da vardır. Bu nedenle, yukarıdaki kesikli
bileşik birikim sürecini, sürekli biçime dönüştürelim.
1919
( )
( )
( )
( )
11 1
11
1lim lim 1
mr
rtmt
rtw
rtwrt
w w
rt
rV m A Am m r
mw V m Ar w
V m A Aew
V m Ae
→∞ →∞
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= → = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=
2020Kesikli ve SKesikli ve Süürekli Brekli Büüyyüümede Bugmede Bugüünknküü DeDeğğerer
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
1 1
( ) 1 1
( )
t t
mt mt
rt rt
V t A r A V t r
r rV m A A V tm m
V m A e A V t e
−
−
−
= + → = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= → =
2121ee saysayııssıı ve Anlve Anlıık Bk Büüyyüüme Hme Hıızzıı
0
0
ln 1
rtt
rttt
t t t t t
t t
V A e
dVrA e rV
dt
d V dV V dV Vr
dt dt dt V V
=
= =
= = = =
2222
LogaritmaLogaritma
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar monotonik olduklarından tersi
alınabilir ve birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır.
log
log ln
tb
te
y b t y
y e t y y
= ⇔ =
= ⇔ = =
2323ŞŞekil 5.4. Doekil 5.4. Doğğal al ÜÜstel ve Dostel ve Doğğal al
Logaritmik FonksiyonlarLogaritmik Fonksiyonlar
••
1
1
y t
t
y e=
lnt y=
0
2424Temel Logaritma KurallarTemel Logaritma Kurallarıı
1. Bir 1. Bir ÇÇarparpıımmıın Logaritmasn Logaritmasıı::
( )ln ln ln , , 0uv u v u v= + >
İspat:
( )
( )
ln
* ln * ln
* * ln ln ln ln * *
,
ln ln ln
uv
u v
u v u v
uv e
u e v e
u v e e e u v u v+
=
= =
= = → = +
25252. Bir B2. Bir Bööllüümmüün Logaritmasn Logaritmasıı::
ln* ln * ln
* ln *ln ln
* ln *
ln ln ln , , 0
, ,
ln ln ln
uu vv
uu v
v
u u v u vv
u e u e v ev
u e ue u vv e v
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−
⎛ ⎞ = − >⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =
⎛ ⎞= = → = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
İspat:
26263. Bir Kuvvetin Logaritmas3. Bir Kuvvetin Logaritmasıı::
( )ln ln
ln ln , 0
ln ln
a
aa u a u a
u a u u
u e e u a u
= >
= = → =
İspat:
27274. Logaritma Taban4. Logaritma Tabanıınnıın Den Değğiişştirilmesitirilmesi
( ) ( )log log log
log
log log log log log
b b e
pe
pb b b e b
u e u
u e p u
u e p e u e
=
= → =
= = =
İspat:
28285. Logaritma Taban5. Logaritma Tabanıınnıın Tersin Tersi
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1loglog
log log log
11 log log loglog
be
b b e
b e be
eb
u b b e b
e b eb
=
= → =
= → =
İspat:
29291. Logaritmik Fonksiyon T1. Logaritmik Fonksiyon Tüürev Kuralrev Kuralıı
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
1ln ln
ln ,
ln 1ln ln
dy dy t tdt dt t
duy f t u f t f tdt
d u f tdy d du duy u f tdt dt du dt u dt f t
f tdydt f t
= → = =
′= = → =
′= → = = = =
′=
30302. Do2. Doğğal al ÜÜstel Fonksiyon Tstel Fonksiyon Tüürev Kuralrev Kuralıı
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
,
t t t
f t
uf t f tu u
f t
dy dy e e edt dt
duy e u f t f tdt
d edy d duy e e e f t f t edt dt du dt
dy f t edt
= → = =
′= = → =
′ ′= → = = = =
′=
3131ÖÖrnek 1:rnek 1:
rt rtdyy e redt
= → =
ÖÖrnek 2:rnek 2:
t tdyy e edt
− −= → = −
ÖÖrnek 3:rnek 3:
( ) 1ln dy ay atdt at t
= → = =
3232ÖÖrnek 4:rnek 4:
1ln dyy a t adt t
= → =
ÖÖrnek 5:rnek 5:
( )3 2 2 2 3 2 21ln 3 ln 2 3ln 2dyy t t t t t t tdt t
= → = + = +
ÖÖrnek 6:rnek 6:
ln 1 1logln lnb
t dyy t yb dt b t
= → = → =
3333
ÖÖrnek 7:rnek 7:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
lnln ln ln
ln ln ln
f t
f t
d yy b y f t b f t bdt
dy y dyf t b yf t b b f t bdt dt
′= → = → =
′ ′ ′= → = =
ÖÖrnek 8:rnek 8:
( ) ( ) ( )( )
ln 1logln lnb
f t f tdyy f t yb dt b f t
′= → = → =
3434
ÖÖrnek 9:rnek 9:
( )1
1
ln12 ln 1 ln12 ln12
ln12 12 ln12
t
t
d yy y tdt
dy y dydt dt
−
−
= → = − → =
= → =
ÖÖrnek 10:rnek 10:
( )( )
( )( )
2
2
2
22
2
ln1
log1 ln
1 ln ln 1ln
1 1 2 1ln ln 1ln ln 1
1 ln 2ln 1 1
b
ttty t y t
t b
y t t tb
dy tt t tdt b b tt
dy t tdt b t t
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎛ ⎞ ⎝ ⎠= → =⎜ ⎟+⎝ ⎠
= − +
⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎣ ⎦
3535
3636ÖÖrnek 11:rnek 11:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
3 2 1
ln ln ln 3 ln 2 1
ln 2 1 23 2 1
2 1 23 2 1 3 2 1
xyx x
y x x x
d y xdt x xx
dy x xdt x x x xx
=+ +
= − + − +
= − −+ +
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
Optimal Zamanlama: Optimal Zamanlama: ŞŞarap Depolama Problemiarap Depolama Problemi
Şarabın değeri verilmiş olsun:
Şarap üreticisi t=0 anında şarabı satarsa (yani depolama
yapmadan doğruca üretimden satışa giderse), şarabın değeri:
3737
ttV Ke=
00 00t V Ke V K= → = → =
Yani K, şarabın üretildiği andaki değeridir. Üretici, kârını
maksimize edebilmek için şarabı ne kadar süre depolamalıdır?
Bir başka ifadeyle, optimal şarap depolama süresi nedir
(depolamanın maliyetsiz olduğunu varsayıyoruz)?
3838Şarabın, mahzende depolandıktan sonra satılması halinde
kazanılacak gelirin bugünkü değerini, piyasada geçerli olan faiz
oranından indirgeme yaparak belirleriz:
rtt tA V e−=
Buna göre, V ’nin bugünkü değeri:
rt t rtt t
t rtt
A V e Ke e
A Ke
− −
−
= =
=
3939
Amaç, V ’nin bugünkü değerini (At) maksimize etmektir. Bunun
için optimizasyonda gerekli ve yeterli olan birinci ve ikinci sıra
koşullardan yararlanırız.
Birinci Sıra Koşul:
İkinci Sıra Koşul:
0dAdt
=
2
2 0d Adt
<
4040
( )
12
12
1 12 2
12
*2
ln 1ln ln2
1 1 02 2
1 1042
t rtt
t rt
A Ke
d AA K t rt rdt t
dA A dAr Ke rdt dtt t
r trt
−
−
=
= + − → = −
⎛ ⎞= − → = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
− = → =Optimal Depolama Süresi
4141
Görüldüğü gibi, bekleme (depolama) süresi (t) ile piyasa faiz
oranı (r) arasında ters yönlü bir ilişki vardır. Piyasa faiz oranı
artarsa, şarabın değerlenme süresi de giderek kısalır:
*2 3
1 1 04 2
dttr dr r
= → = − <
4242Şimdi ikinci sıra koşulu inceleyelim:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 12 2
12
12
12
32
21 12 22
12 2122
0
12 2142 3
04
t rtd A d dKe t r A t rdt dt dt
d t rd A dAA t rdt dt dt
d t rd A AA A tdt dt t
− −−
−
−
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎣ ⎦= + −
⎡ ⎤−⎣ ⎦= = − = − <
GSMH GSMH ’’de Bde Büüyyüümenin Belirlenmesimenin Belirlenmesi
Türkiye GSMH ’si belirli bir dönem için yıllık ve üçer aylık
olarak aşağıda verilmiştir. Her iki zaman dilimindeki ardışık ve
ortalama büyüme oranlarını bulalım.
4343
YıllarGSMH (1987=100)
(Milyar TL)
1950 10827
1951 12205
1952 13667
1953 15214
4444Genel olarak (yıllık) büyüme oranının belirlenmesi:
1
1 1
t t tt
t t
Y Y Yg
Y Y−
− −
∆ −= =
Örneğin 1951 yılındaki büyüme oranını bulalım:
1951 1951 19501951
1950 1950
1951
12205 1082710827
0.1129 %11.29
Y Y Yg
Y Y
g
∆ − −= = =
= =
4545Belirli bir dönemdeki ortalama büyüme hızının belirlenmesi:
0 0
0
ln ln
ln ln
gtt t
t
Y Y e Y Y gt
Y Yg
t
= → = +
−=
Y0 ’dan Yt ’ye geçen süre 1 yıl ise (∆t=1) büyüme oranı:
1ln lnt tg Y Y −= −
4646
Diğer yıllara ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda
hesaplanmıştır:
YıllarGSMH (1987=100)
(Milyar TL)Büyüme
Oranları (%)Ortalama Büyüme
Oranları (%)
11.98
11.31
10.72
11.29
10.70
10.17
1950 10827
1951 12205
1952 13667
1953 15214
4747ŞŞekil 5.5. Tekil 5.5. Tüürkiyerkiye’’nin GSMH Gelinin GSMH Gelişşimiimi
y = 41.013e0.0434x
R2 = 0.9856
0.0
200.0
400.0
600.0
800.0
1000.0
1200.0
1400.0
1923
1926
1929
1932
1935
1938
1941
1944
1947
1950
1953
1956
1959
1962
1965
1968
1971
1974
1977
1980
1983
1986
1989
1992
1995
1998
2001
4848Tablo 5.2. TTablo 5.2. Tüürkiyerkiye’’nin nin ÜçÜçer Ayler Aylıık GSMH Gelik GSMH Gelişşimiimi
Üçer Aylık DönemlerGSMH (1987=100)
(Milyar TL)
1980.1 9060548
1980.2 10804801
1980.3 17808035
1980.4 12622606
1981.1 9687466
1981.2 11563892
1981.3 18249736
1981.4 13227577
4949Genel olarak (üçer aylık) büyüme oranının belirlenmesi:
. . 1..
1. 1.
, 1, 2, 3,4t i t i t it i
t i t i
Y Y Yg i
Y Y−
− −
∆ −= = =
Örneğin 1981 yılının ikinci üç aylık dönemindeki büyüme
oranını bulalım:
1981.2 1981.2 1980.21981.2
1980.2 1980.2
1981.2
11563892 1080480110804801
0.0703 %7.03
Y Y Yg
Y Y
g
∆ − −= = =
= =
Diğer dönemlere ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda
hesaplanmıştır:
5050
Üçer Aylık DönemlerGSMH (1987=100)
(Milyar TL)Büyüme Oranları
(%)
1980.1 9060548
6.69
7.03
2.48
4.79
1980.2 10804801
1980.3 17808035
1980.4 12622606
1981.1 9687466
1981.2 11563892
1981.3 18249736
1981.4 13227577
5151ŞŞekil 5.5. Tekil 5.5. Tüürkiyerkiye’’nin GSMH Gelinin GSMH Gelişşimiimi
(1987.1(1987.1--2002.4)2002.4)
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
1987
Q1
1987
Q4
1988
Q3
1989
Q2
1990
Q1
1990
Q4
1991
Q3
1992
Q2
1993
Q1
1993
Q4
1994
Q3
1995
Q2
1996
Q1
1996
Q4
1997
Q3
1998
Q2
1999
Q1
1999
Q4
2000
Q3
2001
Q2
2002
Q1
2002
Q4
Mevsimsellik içeren GSYİH serisi
X-12 yöntemiyle mevsimsellikten arındırılmış GSYİH serisi
5252FonksiyonlarFonksiyonlarıın Bilen Bileşşimlerinin Bimlerinin Büüyyüüme Hme Hıızzıı
1.1.ÇÇarparpıım Bim Biççimindeki Fonksiyonlardaimindeki Fonksiyonlarda
( ) ( )
( )
, ,
ln ln ln ln ln
ln ln ln
y u v
y uv u f t v g t
y uv y u v
d y d u d v dy y du u dv vdt dt dt dt dt dt
y u v r r ry u v
= = =
= → = +
= + → = +
= + → = +
53532.B2.Bööllüüm Bim Biççimindeki Fonksiyonlardaimindeki Fonksiyonlarda
( ) ( ), ,
ln ln ln ln ln
ln ln ln
y u v
uy u f t v g tv
uy y u vv
d y d u d v dy y du u dv vdt dt dt dt dt dt
y u v r r ry u v
= = =
⎛ ⎞= → = −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − → = −
= − → = −
54543.Toplam ya da Fark Bi3.Toplam ya da Fark Biççimindeki Fonksiyonlardaimindeki Fonksiyonlarda
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
, ,
lnlnln ln
1
y
y
y
y u v u f t v g t
d u vd yy u vdt dt
d u v u vr
dt
d f t g t f t g tr
dt
r f t g tf t g t
= + = =
+= + → =
+ +=
+ +=
′ ′⎡ ⎤= +⎣ ⎦+
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1
u u
v v
y u v
y u v
f tr f t f t r
f t
g tr g t g t r
g t
r f t r g t rf t g t
f t g tr r r
f t g t f t g t
′′= → =
′′= → =
⎡ ⎤= +⎣ ⎦+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5555
ÖÖrnek 12:rnek 12:
Bir ekonominin mal ihracatı artış hızı rG=t/3; hizmet ihracatı artış
hızı rS=t/5 olarak kaydedilmiştir. Buna göre, bu ekonominin
toplam ihracatının artış hızı nedir?
5656
( ) ( ) ( )
5 33 5 15x G S x
X t G t S t
G S G t S t G Sr r r r tX X X X X
= +
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ÖÖrnek 13:rnek 13:
Bir ekonominin GSYİH büyüme oranı %2.5; nüfus artış hızı da
%1.4 ise, kişi başına GSYİH artış hızı nedir?
5757
ln ln ln
ln ln ln
0.025 0.014 0.011
Yy y Y NN
d y d Y d Ndt dt dt
yy
= → = −
= −
= − =
ÖÖrnek 14:rnek 14:
Bir firmanın sattığı malın fiyatı 2003 yılı içinde %5
değerlenmiş ve satış miktarı da %3 artmıştır. Buna göre,
firmanın toplam hasılat artışı nedir?
5858
ln ln ln
ln ln ln
0.05 0.03 0.08 %8
R PQ R P Q
d R d P d Qdt dt dt
R P QR P Q
= → = +
= +
= + = + = =
5959ÖÖrnek 15:rnek 15:
Bankaya iki yıllık süre için yılda %10 bileşik faizle yatırılmış
olan 1000 TL’nin sağlayacağı toplam getiri nedir?
( ) ( )
0
20
1000 , %10 0.1 , 2
1 1000 1 .
1
0
210
1t
A TL r t
V A
V
r V
= = = =
=
=
+ → = +
6060ÖÖrnek 16:rnek 16:
Örnek 15’teki vade süresi 6 ay olsa toplam getiri ne olurdu?
( )
( )( )
0
2 2
0
1000 , %10 0.1 , 2 , 2 6
0.1
1215.
1 1000 12
5
mt
A TL r t m ay vade
V
rV A Vm
= = = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠
=
⎝ ⎠ ⎝
6161ÖÖrnek 17:rnek 17:
Örnek 15’teki vade süresi sıfıra yaklaşırsa, yani bir yıl içindeki
vade tekrarı sonsuza giderse toplam getiri ne olurdu?
( )( )
0
0.1 20
1000 , %10 0.1 , 2 ,
1221.4
rtt
A TL r t m
V A e V e
V
= = = = →
=
∞
= → =
ÖÖrnek 18:rnek 18:
Örnek 15, 16 ve 17’de değişik vadelere bağlı olarak birikimli
faiz işleme sürecini inceledik. Faiz sürecinin sonunda elde
edilen toplam getiri, vadeye bağlı olarak değişmektedir. Buna
göre, yıllık efektif faiz oranı nedir?
Efektif faiz oranEfektif faiz oranıı, tüm uygulamalardaki toplam getirileri
eşitleyen faiz oranıdır.
6262
( )0 01 1mt
te
rA r Am
⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
6363
( )0 0
2
0.1
1 1
1
%10.25
%
1 1
lim lim 1 1 1
0.11 1 1 1 0.10252
1 1 0.10 10.55 22
mtt
e
mi
em m
m
m
e
ie
e e
ie e
rrm
r e
rA r Am
rr em
rr rm
r e r e
→∞ →∞
⎛ ⎞+ = + →⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − = − →⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − → = + − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − → = − =
⎛ ⎞= +⎠
=
−⎜ ⎟⎝
= −
ÖÖrnek 19:rnek 19:
5 yıllık (vadeli) bir bononun yıllık %9 faizden sağlayacağı
toplam gelir 1000 TL’dir. Bu bononun bugünkü değeri nedir?
6464
0
0
0
5
0
1 1
1000 , %9 0.09 , 5 , 1
0.091000 649.931 .1
mt mtr rV A A Vm m
V r t m
A A TL
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = = = =
⎛ ⎞= + →⎟⎠
=⎜⎝
Bir Bir AnuiteninAnuitenin ŞŞimdiki Deimdiki Değğerieri
AnuiteAnuite, veri bir zaman diliminde, her bir dönem için yapılan
ödemeler dizisine denir.
Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık
ödemenin, bugünkü değerleri dönem dönem gösterilmiştir. Her
bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü değerlerinin
toplamını yazalım.
6565
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 ..... 1 1n nA R r R r R r R r− − − − −= + + + + + + + +
6666
0 1 2 3 1n − nR R R R R
( ) 11R r −+
( ) 21R r −+
( ) ( )11 nR r − −+
( )1 nR r −+
6767
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 11 1 ..... 1 1n nA R r R r R r R r− − − − −= + + + + + + + +
Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R(1+r)-1 ve
ortak çarpanı (1+r)-1 ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2 1
1 2 3 1
1 1 1
1 1 ..... 1 1
1 1 1 ..... 1 1
1 1 1 1 1
n n
n n
n
A R r R r R r R r
r A R r R r R r R r
A r R r r r
− − − − −
− − − − − −
− − − −
= + + + + + + + +
− + = − + − + − − + − +
⎡ ⎤⎡ ⎤− + = + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+
6868
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )
( )( )
( )
1 1
1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 11 1
n
n n
n n
A r R r r
r r rA R R
r r r
r rA R A R
r r
− − −
− − −
− −
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤− + = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟= → =⎜ ⎟+ − ⎝ ⎠
ÖÖrnek 20:rnek 20:
Aylık 1000 TL. kazandıran, %6 bileşik faizdeki, 3.5 yıllık bir
anuitenin bugünkü değeri nedir?
6969
( ) ( )
( )
( ) 42
0.061000 . , 0.005 , 3.5 12 4212
1
37798.3
1
1 1 0.0051000 .
0.005
n
R TL r n
rA R
r
A TL
−
−
= = = = =
⎛ ⎞− +⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− +⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠
7070Bir Bir AnuiteninAnuitenin Gelecekteki DeGelecekteki Değğerieri
Bir anuitenin gelecekteki değeri (miktarı), tüm dönemler
sonunda yapılmış olan ödemelerin toplam değeridir.
Aşağıdaki şekilde Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her
dönem R liralık ödemenin, gelecekteki değerleri dönem dönem
gösterilmiştir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü
değerlerinin toplamını yazalım.
( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 1 1 ..... 1 nV R R r R r R r R r −= + + + + + + + +
7171
0 1 2 3 1n − n
R R R R R
( )1R r+
( )21R r+
( ) 11 nR r −+
2n −R
7272
( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 1 1 ..... 1 nV R R r R r R r R r −= + + + + + + + +
Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R ve ortak
çarpanı (1+r) ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz:
+
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 1
2 1
1 1 1 ..... 1
1 1 1 ..... 1 1
1 11 1 1 1
n
n n
nn
V R R r R r R r R r
r V R r R r R r R r
rV r R r V R
r
−
−
= + + + + + + + + +
− + = − + − + − − + − +
⎛ ⎞+ −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎡ ⎤− + = − + → =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠
ÖÖrnek 21:rnek 21:
%6 bileşik faiz üzerinden 3 yıl boyunca ve her 3 ayda bir
yapılan 50 TL’lik ödemelere sahip bir anuitenin gelecekteki
değeri nedir?
7373
( ) ( )
( ) ( )12
0.0650 . , 0.015 , 4 3 124
1 1 1 0.015652.06
150 .
0.015
n
R TL r n
rV R V L
rT
= = = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= → = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7474
YatYatıırrıım Fonum Fonu
Yatırım fonu, gelecekteki bir zorunluluktan ötürü, ödemelerin
periyodik biçimde önceden yapılmasıdır. Örneğin 7000 TL’lik
bir makine satın aldığımızı ve 8 yıllık kullanım ömrü olduğunu
varsayalım. 8. yılın sonunda yenisini alabilmek için her dönem
bir kenara ayırmak ayırmamız gereken para, yatırım fonudur.
7575ÖÖrnek 22:rnek 22:
Kendisine 6 yıl boyunca her yıl 1000 TL. kazandıracağını
tahmin ettiği bir makineyi satın almak isteyen bir firma,
yatırım fonuna yıllık ödeme yapmaktadır ve bileşik faiz oranı
da yıllık %5’tir. Firmanın bu makine yatırımından %7
kazanmak istemesi halinde, makineye yapması gereken ödeme
miktarı ne olur?
7676
Makinenin satın alınma fiyatına X diyelim. Dolayısıyla bu
makine her yıl firmaya ( 0.07X ) kadar kazandıracaktır.
Makinenin yıllık getirisi 1000 TL. olduğundan, geri kalan
yıllarda firma yatırım fonuna her yıl için (R=1000-0.07X) kadar
ödeme yapacaktır. Bu ödemelerin toplamı, X ’e eşittir.
( ) ( )61 0.05
4607.92
11000 0.07
0.05
.X TL
X X+ −
=
= −
Bir Borcun Bir Borcun ÖÖdeme Ddeme Döönem Saynem Sayııssıınnıın (n (nn) Belirlenmesi) Belirlenmesi
Anuite bugünkü değerinin belirlenmesi hesabından hareket
ederek, ödeme dönem dayısını (n) belirleyebiliriz:
7777
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 11 1
1 ln 1 l
ln
ln
n
1
nn
n
r ArA R rr R
R Ar R Arr
RR Arn
n rR R
r
−−
−
⎛ ⎞− +⎜ ⎟= → = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
− −⎛ ⎞+ = →
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
− + = ⎜ ⎟⎝ ⎠
=+
ÖÖrnek 23:rnek 23:
Bir müzik marketten 1500 TL.değerinde bir müzik seti satın
aldınız? Her ay 75 TL. ödeme yapacaksınız. Market bu vadeli
alış verişe yıllık %12 bileşik faiz işletiyorsa, borcunuzun
tamamını kaç ödemede kapatabilirsiniz?
7878
( )
( ) ( )( )
ln0.12, 1500 . , 75 . , 0.01
ln 1 12
75ln75 0.01 1500
ln 1 0.0122.4
RR Arn A TL R TL r
r
n ayn
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠= = = = =
≅
+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠= →
+
ÖÖrnek 24:rnek 24:
Bir A ekonomisinin gelecek yıllarda, yıllık ortalama %5, B
ekonomisinin de %2 büyüyeceğini varsayalım. B ekonomisi, A
ekonomisinden iki kat daha zengin ise, kaç yıl sonra A
ekonomisi B kadar zenginlik düzeyine ulaşır?
A ve B ekonomilerinin t yıl sonraki GSMH’leri:
7979
0 0,A Bg t g tAt A Bt BY Y e Y Y e= =
8080
t yıl sonra her iki ekonomi aynı zenginlik düzeyinde
olacağından, t yıl sonraki GSMH ’leri eşitleyelim:
( ) ( )
0 0
0.05 0.02 0.05 0.020 0 0 0
0.05 0. 2
*
0
0
2 2 2
ln ln 2 ln 0.0
.693 23.10.03
5 0.693 0.02
A Bg t g tAt Bt A B
t t t tA B A A
t t
Y Y Y e Y
t
e
Y Y Y e Y e e e
e t
y
t
l
e
ı
= → =
= → = → =
=
= ≅
+ → = +
ÖÖrnek 25:rnek 25:
Eksik istihdamdaki bir ekonominin kişi başına GSMH’sinin yıllık
ortalama %1 hızla büyüyeceğini varsayalım. Bu ekonomi kaç
yılda şu anki kişi başına GSMH’sinin iki katına ulaşır?
8181
( )
0
0.010 0 0
0.
*
01
2 , %1 0.01
2
ln 2 ln 0.69
0.693 69.3 700.01
3 0.01
t
gt tt
t
y y g
y y e y
t l
e
t
y
y
e
ı
= = =
= → =
= → =
= = ≈
ÖÖrnek 26:rnek 26:
Yaşam maliyet endeksi, baz yılı olan 1983’ten beri her yıl
%12.5 artmıştır. Buna göre, 1990’daki yaşam maliyeti endeks
değeri nedir?
8282
( ) ( )
83
790 83 90
90
100
1 100 1 0.125
228.07
t
C
C C i
C
C
=
= + → =
=
+
ÖÖrnek 27:rnek 27:
Bir firmanın satışlarının bugünkü değeri 150 TL.’dir. Bu firma
satışlarını her yıl %8 artıracak olursa, 6 yıl sonraki satışlarının
değeri ne olur?
8383
( ) ( )
0
0
6
6
60 6
150 , %8 0.08 , ?
1 1
238
.0
03
0 8
.
tt
S i S
S S i S S
S
= = = =
=
= + → = +
8484ÖÖrnek 28:rnek 28:
Bugün 1 ABD Dolarının 1,400,000 TL olduğunu varsayalım.
Dolar, TL karşısında yılda %2.6 oranında değer yitirirse, 25 yıl
sonra 1TL kaç Dolara eşit olur?
( ) ( )
2
0 25
250 25 0
5
1,400,000 , %2.6 0.026 , ?
1 1 0.026
724,606 .
tt
D TL i D
D D
D TL
i D D
= = = =
= − → −
≈
=
ÖÖrnek 29:rnek 29:
Gelişmekte olan bir ülke tasarruflarını 5.6 milyar $ ’dan, 12
milyar $ ’a yükseltmek istiyor. Her yıl tasarruflarını %15
oranında artırırsa, kaç yılda bu hedefine ulaşabilir?
8585
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0
5.6 , %15 0.15 , 12 , ?
1 ln ln ln 1
ln ln ln12 5ln 5.6ln 1 0.
.5l
51
41n
S t
tt S t S
t
S
S g S t
S S g S S t g
S St t
gt yıl
= = = = =
= + → = + +
− −= → = → =
++
8686ÖÖrnek 30:rnek 30:
fonksiyonunun uçdeğerini araştıralım.34 xy x e=
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
23 3 3
2
2
2
4 3 4 4 3 1 0
13 1 03
12 3 1 12 12 3 2
1 ' 4.4 03
1Buna göre, 'te bir minimum vardır.3
x x x
x x x
dy x e e e xdx
x x
d y e x e e xdx
d yx tedx
x
= + = + =
+ = → = −
= + + = +
= − → = >
= −
8787ŞŞekil 5.6. ekil 5.6.
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.634 xy x e=
8888Veri NVeri Nüüfus Sayfus Sayıımlarmlarıınnıı Dikkate Alarak Ara YDikkate Alarak Ara Yııl ve Gelecekte l ve Gelecekte
NNüüfus Tahminleri:fus Tahminleri:
YıllarNüfus Sayımları
(Bin Kişi)Nüfus ArtışHızları (%)
1975 40078
2.07
2.48
2.18
1.90
1980 44438
1985 50306
1990 56098
2000 67845
8989
( )0
00
0ln ln l
ln ln
n
ln ln
nt ntt t
tt
N N e N N e
nN
N N nt
tN
= → = +
= −−
=→
YYııllllıık Ortalama k Ortalama NNüüfus Artfus Artışış HHıızzıı
9090
1975-1980 arasındaki yıllık ortalama nüfus artış hızını
hesaplayalım:
0 75 80
0 80 75
40078 , 44438 , 5
ln ln ln ln ln 44438
0.0207 %
ln 4007
2
85 5
.07
t
t
N N N N t
N N N Nn
t
n
= = = = =
− − −= = =
= =
Nüfus sayımı yapılmayan bir ara yılın, örneğin 1976 yılının
nüfusunu, yukarıda bulduğumuz 1975-1980 arasındaki yıllık
ortalama nüfus artış hızı değerini kullanarak tahmin edelim:
9191
0 75
76
7
2 0
6
. 70 76
40078 , 1 , 2.07
?
400
1
8
4
7
409
t
ntt
N N t n
N N
N N
N
e N e
= = = =
= =
=
≈
→ =
9292
Şimdi de 2010 yılı nüfusunu, ilk olarak %1.8, ikinci olarak
%1.5 nüfus artış hızlarına göre tahmin edelim.
}
( )
( )
0.018
0.
0 2000
2010
100 2010
100 2010
2010
012010
5
0.01867845 , 10 , 0.015
?
67845 8122
6
5
78845 2578
t
ntt
ntt
N N t n
N N
N N e N e
N
N
NN e N e
≈
= = = =
= =
=
= → ≈
→ = →
= →
9393BBüüyyüüme Muhasebesime Muhasebesi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, ln ln ,
ln ln ln
YK YL
Y F K L Y F K L
Y Y Y Yd Y Y dK Y dL Y K Ldt K dt L dt Y K L
Y Y Y YY K L Y Y K K Y L LK LY K K L L Y K Y K
Y K L
L
Y L
L
K
Y
= → =
∂ ∂∂ ∂= + → = +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + → = +
=
⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂
+
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ε ε