MATEMATYKA - gimgorowo.edupage.orggimgorowo.edupage.org/files/vademecum_gimnazjalisty_-_matematyka.pdf · VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona z 7 cYFrY rZYMSKie cyfra rzymska

VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona � z �7

MATEMATYKA

1 alfabetgrecki

2 cyfryrzymskie

2 jednostkimiar

3 wzoryskróconegomnożenia

4 podzielnośćliczb

4 przedrostki

5 skala

5 zbiory

6 funkcje

7 trójkąty

8 podziałkątów

10 wielokąty

11 kołoiokrąg

12 bryły

13 działanianaprocentach

13 pojęciamatematycznewpigułce

SpiS treści

ALFABet GrecKi

Duża litera Mała litera Nazwa litery

Α α alfa

Β β beta

Γ γ gamma

Δ δ delta

Ε ε epsilon

Ζ ζ dzeta

Η η eta

Θ θ teta


cYFrY rZYMSKie

cyfra rzymska cyfra arabska

I 1

IV 4

V 5

VI 6

IX 9

X 10

XI 11

L 50

C 100

D 500

M 1000

JeDNOStKi MiAr

JEDNOSTKI DŁUGOŚCI

kilometr hektometr metr decymetr centymetr milimetr mikrometr

km hm m dm cm mm µm

1 km 0,1 km 0,001 km 0,0001 km 0,00001 km 0,000001 km 0,000000001 km

10 hm 1 hm 0,01 hm 0,001 hm 0,0001 hm 0,00001 hm 0,00000001 hm

1 000 m 100 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 0,000001 m

10 000 dm 1 000 dm 10 dm 1 dm 0,1 dm 0,01 dm 0,00001 dm

100 000 cm 10 000 cm 100 cm 10 cm 1 cm 0,1 cm 0,0001 cm

1 000 000 mm 100 000 mm 1 000 mm 100 mm 10 mm 1 mm 0,001 mm

1 000 000 000 µm 100 000 000 µm 1 000 000 µm 100 000 µm 10 000 µm 1 000 µm 1 µm

JEDNOSTKI MASY

tona kwintal kilogram dekagram gram miligram

t q kg dag g mg

1 t 0,1 t 0,001 t 0,00001 t 0,000001 t 0,000000001 t

10 q 1 q 0,01 q 0,0001 q 0,00001 q 0,00000001 q

1 000 kg 100 kg 1 kg 0,01 kg 0,001 kg 0,000001 kg

100 000 dag 10 000 dag 100 dag 1 dag 0,1 dag 0,0001 dag

1 000 000 g 100 000 g 1 000 g 10 g 1 g 0,001 g

1 000 000 000 mg 100 000 000 mg 1 000 000 mg 10 000 mg 1 000 mg 1 mg


JEDNOSTKI OBJĘTOŚCI

kilometr sześcienny

metr sześcienny hektolitr

decymetr sześcienny

/litr/

centymetr sześcienny

/mililitr/

milimetr sześcienny

km3 m3 hl dm3/l/ cm3/ml/ mm3

1 km3 0,000000001 km3 0,0000000001 km3

1 000 000 000 m3 1 m3 0,1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3

1010 hl 10 hl 1 hl 0,01 hl 0,00001 hl 0,00000001 hl

1012 dm3 /l/ 1 000 dm3 /l/ 100 dm3 /l/ 1dm3 /l/ 0,001 dm3 /l/ 0,000001 dm3 /l/

1015 cm3 /ml/ 1 000 000 cm3 /ml/ 100 000 cm3 /ml/ 1 000 cm3 /ml/ 1 cm3 /ml/ 0,001 cm3 /ml/

1018 mm3 1 000 000 000 mm3 100 000 000 mm3 1 000 000 mm3 1 000 mm3 1 mm3

JEDNOSTKI POLA POWIERZCHNI

kilometr kwadratowy hektar ar metr

kwadratowydecymetr

kwadratowycentymetr

kwadratowymilimetr

kwadratowy

km2 ha a m2 dm2 cm2 mm2

1 km2 0,01 km2 0,0001 km2 0,000001 km2 0,00000001 km2 0,0000000001 km2

0,000000000001 km2

100 ha 1 ha 0,01 ha 0,0001 ha 0,000001 ha 0,00000001 ha 0,0000000001 ha

10 000 a 100 a 1 a 0,01 a 0,0001 a 0,000001 a 0,00000001 a

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

100 000 000 dm2 1 000 000 dm2 10 000 dm2 100 dm2 1 dm2 0,01 dm2 0,0001 dm2

1010 cm2 108 cm2 1 000 000 cm2 10 000 cm2 100 cm2 1 cm2 0,01 cm2

1012 mm2 1010 mm2 108 mm2 1 000 000 mm2 10 000 mm2 100 mm2 1 mm2

WZOrY SKrÓcONeGO MNOŻeNiA

(a–b)2=a2–2ab+b2 kwadratróżnicy

(a+b)2=a2+2ab+b2 kwadratsumy

a2–b2=(a–b)(a+b) różnicakwadratów

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) różnicasześcianów

a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) sumasześcianów

(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3 sześcianróżnicy

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 sześciansumy

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc kwadratsumytrzechskładników


pODZieLNOśĆ LicZB

Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez:

2 gdyjejostatniącyfrąjest0,2,4,6lub8

3 gdysumajejcyfrdzielisięprzez3

4 gdyliczba,wyrażonadwiemaostatnimijejcyframi,dzielisięprzez4

5 gdyjejostatniącyfrąjest0albo5

6 gdydzielisięprzez2i3

7 gdyróżnicamiędzyliczbąwyrażonąkolejnymitrzemaostatnimicyframidanejliczbyaliczbąwyrażonąpozostałymicyframitejliczby(lubodwrotnie)dzielisięprzez7

8 gdyliczbawyrażonatrzemaostatnimijejcyframidzielisięprzez8

9 gdysumajejcyfrdzielisięprzez9

10 gdyostatniąjejcyfrąjest0

11 gdyróżnicasumyjejcyfrstojącychnamiejscachparzystychisumycyfrstojącychnamiejscachnieparzystychdzielisięprzez11

prZeDrOStKi

powiększająprzedrostek skrót ilerazyzwiększajednostkę

tera T 1012 bilion

giga G 109 miliard

mega M 106 milion

kilo k 103 tysiąc

hekto h 102 sto

deka da 10 dziesięć

pomniejszająprzedrostek skrót jakatoczęśćjednostki

decy d dziesiątaczęść

centy c setnaczęść

mili m tysięcznaczęść

mikro k milionowaczęść

nano n miliardowaczęść

piko p bilionowaczęść

femto f biliardowaczęść

atto a trylionowaczęść


SKALA

Skala 1 : 1 1 : k k : 1wymiary rzeczywiste każdywymiarzmniejszony

krazykażdywymiarzwiększonykrazy

obwód O krazymniejszy[O:k] krazywiększy[O·k]

polepowierzchni P k2razymniejsze[P:k2] k2razywiększe[P·k2]

objętość V k3razymniejsza[V:k3] k3razywiększa[V·k3]

ZBiOrY

podstawowe symbole i oznaczenia

Symbol Znaczenie Symbol Znaczenie

i(koniunkcja) zbiór,któregoelementamisąa,b,c

lub(alternatywa) iloczynkartezjańskizbiorówAiB

nieprawdaże(zaprzeczenie) zbiórpusty

wtedyitylkowtedy(równoważność) przedziałotwartyokońcachaib

jeżeli...,to...(implikacja) przedziałdomkniętyokońcachaib

zawierasięw jestrówny

należydo jesttożsamościoworówny(jestprzystający)

Działania na zbiorach

Działanie ilustracja graficzna Zapis symboliczny definicji Niektóre własności

Sumazbiorów

Iloczynzbiorów

Różnicazbiorów\


relacje między zbiorami

Równośćzbiorów ZbioryAiBnazywamyrównymiwtedyitylkowtedy,gdykażdyelementzbioruAjestelementemzbioruBinaodwrót.

Zawieraniesięzbiorów(inkluzja)

ZbiórAzawierasięwzbiorzeB

wtedyitylkowtedy,gdykażdyelementzbioruAjestelementemzbioruB(AnazywamypodzbioremB,BzaśnadzbioremzbioruA).

Jeżeli i to

Zbioryrozłączne

Zbiory,którychiloczynjestzbiorempustym,nazywamyrozłącznymi.

FUNKcJe

JeżelimamydwaniepustezbioryA,BikażdemuelementowizezbioruAprzyporządkujemydokładniejedenelementzezbioruB,totakieprzyporządkowanienazywamyFUNKCJĄokreślonąnazbiorzeAowartościachwzbiorzeB.

Sposoby opisywania funkcji

opissłowny Każdejliczbiezezbioru{-4,-3,-2,0,1,3}przypisujemyliczbęodwaodniejmniejszą

graficzny

tabelkax -4 -3 -2 0 1 3

y -6 -5 -4 -2 -1 1

VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona 7 z �7

wykres

wzór y=x-2;xnależy{-4,-3,-2,0,1,3}lub(-4,-6);(-3,-5);(-2,-4);(0,-2);(1,-1);(3,1)

trÓJKĄtY

Klasyfikacja ze względu na boki

Trójkątemrównobocznymnazywamytrójkąt,któregowszystkiebokimajątęsamądługość.

|AB|=|BC|=|AC|

Trójkątemrównoramiennymnazywamytrójkąt,którego(conajmniej)dwabokimajątęsamądługość.

|AC|=|BC|

Trójkątemróżnobocznymnazywamytrójkąt,któregobokimająróżnedługości.

Klasyfikacja ze względu na kąty

Trójkątemostrokątnymnazywamytrójkąt,któregowszystkiekątysąostre.


Trójkątemprostokątnymnazywamytrójkąt,któregojedenzkątówjestprosty.

Trójkątemrozwartokątnymnazywamytrójkąt,któregojedenzkatówjestrozwarty.

twierdzenie pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratówdługościobuprzyprostokątnych.

c2 = a2 + b2

Wtrójkącieprostokątnymkwadratdługościprzeciwprostokątnejjestrównysumiekwadratówdługościobuprzyprostokątnych.

twierdzenie talesa

Jeżeliramionakątaprzetniemyprostymirównoległymi,toodcinkiwyznaczonenajed-nymramieniukątasąproporcjonalnedoodpowiednichodcinkównadrugimramieniukąta.Np.

pODZiAŁ KĄtÓW

podział ze względu na miary


Kąty naprzemianległe, odpowiadające, przyległe i wierzchołkowe

Kątypołożonetakjaknarysunkuobok,nazywamykątaminaprzemianległymi.

Kątypołożonetakjaknarysunkuobok,nazywamykątamiodpowiadającymi.

Kątamiprzyległyminazywamytakiedwakąty,któremająjednoramęwspólne,apozostałeramionasąpółprostymidopełniającymisię.

Sumamiarkątówprzyległychrównasię180stopni

Kątywypukłe,którychramionawzajemniesięprzedłużają,nazywamykątamiwierzchołkowymi.

Kątywierzchołkowemająrównemiary.

Kąty w kole

Wierzchołekkażdegoztychkątówjestśrodkiemkoła.Są to kąty środkowe.

Wierzchołekkażdegozkątów(mniejszyniż180stopni)leżynaokręgu,aramionaprzecinająokrąg.Są to kąty wpisane.

VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona �0 z �7

Kąty w kole - własności

Kątwpisanyjestdwarazymniejszyodkątaśrodkowegoopartegonatymsamymłuku

Kątywpisaneopartenatymsamymłukumająrównemiary

Kątwpisanyopartynaśrednicyjestkątemprostym

WieLOKĄtY

Figura Obwód pole pow.

KWADRAT O=4a P=a2

P=½d

2

PROSTOKĄT O=2a+2b P=ab

RÓWNOLEGŁOBOK O=2a+2b P=ah

ROMB O=4a P=ahP=½d

1d

2

VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona �� z �7

TRAPEZ O=a+b+c+d P=½(a+b)h

TRÓJKĄT O=a+b+c P=½a

DELTOIDLATAWIEC O=2a+2b P=½d

1d

2

KOŁO i WieLOKrĄG

OkręgiemośrodkuSipromieniur>0nazywamyfiguręzłożonązwszystkichpunktówpłaszczyzny,którychodległośćodpunktuSjestrównar.

Cięciwąokręgunazywamyodcinek,któregokońcamisądwaróżnepunktyokręgu.

Średnicąokręgunazywamycięciwę,któraprzechodziprzezśrodekokręgu.

Cięciwaokręgudzieliokrągnadwieczęści.Każdąznichnazywamyłukiem,tegookręgu.

Łukokręguwyznaczonyprzezśrednicęnazywamypółokręgiem.

KołemośrodkuSipromieniur>0nazywamyfiguręzłożonązwszystkichpunktówpłaszczyzny,którychodległośćodśrodkajestniewiększaniżr.

PolewycinkaAOB

DługośćłukuAB


BrYŁY

V–objętość

Pp–polepodstawy

Pb–polepowierzchnibocznej

P–polecałkowite

Graniastosłuptowielościan,któregowierzchołkinależądodwóchrównoległychpłaszczyzn,krawędziezaś,któreniesązawartewtychpłaszczyznach,sąrównoległe.

Sześciantograniastosłup,któregościanysąprzystającymikwadratami,awkażdymwierzchołkuspotykająsiętrzyściany.

Prostopadłościantograniastosłupprosty,wktórymwszystkieścianybocznesąprostopadłedopodstawy.

Ostrosłupjestwielościanemtakim,żejednajegościana,zwanapodstawą,jestwielokątem,zaśpozostałeścianysątrójkątamiwyznaczonymiprzezwierzchołektegoostrosłupaiwierzchołkiwielokątapodstawy.


KuląośrodkuOipromieniurnazywamyzbiórwszystkichpunktówprzestrzeni,którychodległośćodpunktuOjestmniejszalubrównadługościpromienia.

Powierzchniąkuli(sferą)ośrodkuOipromieniudługościrnazywamyzbiórwszystkichpunktówprzestrzeni,którychodległośćodpunktuOjestrównadługościpromienia.

Stożekobrotowytofigurapowstałazobrotutrójkątaprostokątnegowokółprostejzawierającejjednązprzyprostokątnych(lubogólnie:figurępowstałąprzezobrótdanejprostejwokółprostejmającejzdanąjedenpunktwspólny).

Walectofigurapowstałaprzezobrótprostokątawokółprostejzawierającejjedenzjegoboków(lubogólnie:figurępowstałąprzezobrótprostejwokółprostejdoniejrównoległej).

DZiAŁANiA NA prOceNtAcH

Abyzamienić%naułamekwystarczyliczbę%podzielićprzez100:np.35%=35:100=0,35

Abyzamienićułamekna%wystarczytenułamekpomnożyćprzez100%:np.0,12=0,12*100%=12%

Abyobliczyć%zliczbywystarczyprocentzamienićnaułamekipomnożyćgoprzeztęliczbę:np.45%zliczby20=0,45*20=9

Abyznaleźćliczbęnapodstawiedanegojej%,wystarczypodanąwartośćpodzielićprzezliczbę%ipomnożyćprzez100:np.znajdźliczbęwiedząc,żejej20%wynosi16.

Szukanaliczba=16:20%=16:0,2=80

Abyobliczyćjakim%liczbyAjestliczbaB,wystarczypodzielićliczbęBprzezliczbęAiwynikpomnożyćprzez100%:

np.jakim%liczby60jestliczba9?

9:60*100%=0,15*100%=15%,więcliczba9to15%liczby60.

pOJĘciA MAteMtYcZNe W piGUŁce

Liczby nieujemne toliczbydodatnieizero.

Liczby niewymiernetoliczby,którychniemożnaprzedstawićwpostaciułamka.


Liczby odwrotnetodwieliczby,którychiloczynjestrównyjeden.

Liczby pierwszetotakieliczbynaturalnewiększeod1,któremajątylkodwaróżnedzielniki.

Liczby przeciwnetoliczby,którychsumajestrównazero.

Liczby złożone toliczbynaturalne,któremająwięcejniżdwadzielniki.Rozwinięciedziesiętneliczbytoprzedstawie-nieliczbywpostacidziesiętnej.

rozwinięcie dziesiętnenieskończenie okresowetorozwinięciedziesiętnepewnychliczbniewymiernych.

rozwinięcie dziesiętne skończonetodziesiętnepostaćpewnychliczbwymiernych

Wartość bezwzględna liczbyrzeczywistejtoodległośćodzerapunktuodpowiadającegotej liczbienaosi liczbo-wej.

Wartością bezwzględnąliczbynieujemnejjesttasamaliczba,wartościąbezwzględnąliczbyujemnejjestprzeciwnadoniejliczbadodatnia.

Jednomiantoliczbazmiennalubiloczynzmiennychipewnegowspółczynnikaliczbowego

Suma algebraiczna jesttosumajednomianów.

Odejmowanielubdodawaniejednomianówpodobnychnazywamyredukcją wyrazów podobnych.

Sumę algebraicznąmożnarozłożyćnaczynnikiprzez:wyłączaniewspólnegoczynnikaprzednawias,stosowaniewzorówskróconegomnożenia,grupowaniewyrazów.

równaniejesttorównośćdwóchwyrażeńalgebraicznych,wktórychwystępujejednalubkilkaniewiadomych.

Wyrażenie algebraiczne tosymbolicznezapisyliczbidziałań.

Wartość liczbowa wyrażenia jesttowartośćotrzymanapopodstawieniuliczbwmiejsceliterwwyrażeniuiwyko-naniuwskazanychdziałań.

Zmiennesątoliteryzastępująceliczbywwyrażeniachalgebraicznych.

Współczynnik liczbowytoliczbawystępującanapoczątkuuporządkowanegojednomianu.

Jeżeliwrównaniuwystępujetylkojednaniewiadoma,tootakichrównaniachmówimy,żesątorównaniapierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Jeżelirównaniejesttożsamością,toznaczy,żekażdaliczbaspełniatorównanie.

Jeżelirównaniejestsprzeczne, toznaczy,żeniematakiejliczbyrzeczywistej,któraspełniatorównanie.

Nierówności równoważnetonierównościmającetensamzbiórrozwiązań.

równania równoważnesątorównaniamającedokładnietensamzbiórrozwiązań.

proporcja torównośćdwóchstosunków,któramatęsamąwłasność,żeiloczynwyrazówskrajnychrównyjestiloczy-nowiwyrazówśrodkowych.

DanesądwazbioryAiB.Funkcję określoną na zbiorze A o wartościach w zbiorze Bnazywamytakieprzyporząd-kowanie,wktórymkażdemuelementowizbioruAjestprzyporządkowanydokładniejedenelementzbioruB.

ZbiórAnazywamy dziedziną funkcji,ajegoelementyargumentami funkcji.

ElementzbioruB,któryzostałprzyporządkowanyelementowixzbioruA,nazywamywartością funkcji.

Funkcja malejąca totaka,wktórejzewzrostemwartościargumentówxmalejąwartościfunkcjiy.

Funkcja rosnącatotaka,wktórejzewzrostemwartościargumentówxrosnąwartościfunkcjiy.

Funkcja stała totaka,wktórejkażdejwartościargumentuxprzyporządkowanajesttasamawartośćfunkcjiy.

Wykres funkcji jesttograficzneprzedstawieniefunkcjiwukładziewspółrzędnych.

Miejsce zerowefunkcjitokażdyargument,dlaktóregowartośćfunkcjirównajestzeru.

Układ współrzędnych prostokątnych na płaszczyźnie to układ dwóch prostych prostopadłych zwanych osiamiwspółrzędnych;ośpionoway–oś rzędnych, ośpoziomax–oś odciętych.

Układrównańpierwszegostopnia,któregorozwiązaniemjestjednaparaliczb,nazywamyukładem oznaczonym.

Układrównańpierwszegostopnia,któregoniespełniażadnaparaliczb,nazywamy układem sprzecznym.

Układ równań pierwszego stopnia, który spełnia nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczo-nym.


Wykresem równania pierwszego stopnia zdwiemaniewiadomymijestprosta.

ilustracją graficzną oznaczonego układu równań sądwieprosteprzecinającesię.Współrzędnepunktuprzecięciasiętychprostychsąrozwiązaniemtegoukładurównań.

ilustracja graficzną nieoznaczonego układu równań jestprosta.Układtenmanieskończeniewielerozwiązań.

ilustracja graficzną układu równań sprzecznych sądwieróżneprosterównoległe.Rozwiązaniemukładurównańsprzecznegojestzbiórpusty.

Współrzędne punktu na płaszczyźnie touporządkowanapara liczbokreślającapołożeniepunktuwzględemosiwspółrzędnych.

rozkład liczby na czynniki pierwsze toprzedstawienieliczbywpostaciiloczynuliczbpierwszych.

rozstęp danych toróżnicamiędzynajwiększąanajmniejsząliczbąwdanejpróbie.

Sondaż tobadanieopiniipublicznejnapodstawieprzeprowadzonegowywiadu.

próbatowybranagrupaelementów,którebadamywceluwyciągnięciawnioskówocałejpopulacji.

Medianatoliczbaznajdującasiępośrodkudanychzpróby,uporządkowanychwkolejnościodnajmniejszejdonaj-większej.

Moda tocecha,którawpróbiewystępujenierzadziejniżinne.

Histogramjesttodiagramsłupkowyprzedstawiającedanepochodzącezobserwacji.

Ankietatozbiórpytańnaokreślonytemat.

Każdyczworokątmadwieprzekątne

trapezytowszystkieczworokątywypukłe,wktórychjestprzynajmniejjednaparabokówrównoległych.

trapezoidytoczworokątywypukłe,któreniemająbokówrównoległych.

trapez równoramienny:ramionasąrównejdługości,przekątnesąrównejdługości,kątyprzypodstawachsąrów-nejmiary,mająjednąośsymetrii.

trapez prostokątny:jednoramięjestjednocześniewysokościątrapezu.

równoległoboki sątotrapezy,któremajądwieparybokówrównoległych.

równoległobok: boki równoległe są równej długości, przeciwległe kąty są równej miary, przekątne dzielą się napołowy.

romb jesttorównoległobok,wktórymdługościwszystkichbokówsąrówne.

romb: wysokościsąrówne,madwieosiesymetrii;przekątne:sąprostopadłe,zawierająsięwdwusiecznychkątówwewnętrznych,zawierająsięwosiachsymetriirombu,przecinająsięwśrodkuokręguwpisanegowromb.

prostokąt torównoległobok,wktórymwszystkiekątywewnętrznesąproste.

prostokąt:przekątnesąrównejdługości,symetralnebokówrównoległychsąosiamisymetriiprostokąta,punktprze-cięciaprzekątnychjestśrodkiemokręguopisanegonaprostokącie.

Kwadrattoprostokąt,którymawszystkiebokirównejdługości.

Kwadrat: maczteryosiesymetrii;przekątne:sąprostopadłeirównejdługości,zawierająsięwosiachsymetrii,zawie-rająsięwdwusiecznychkątówwewnętrznych,przecinająsięwewspólnympunkcie,wśrodkuokręgówopisanegonakwadracieiwpisanegowkwadrat.

Każdyczworokątmożnapodzielićnadwatrójkąty,azatemsumamiarkątówwewnętrznychczworokątajestrówna3600.

W czworokąt można wpisać okrągtylkowtedy,gdysumydługościprzeciwległychbokówsąrówne.

Na czworokącie można opisać okrągtylkowtedy,gdysumymiarkątówprzyległychsąrówne1800.

Jeżeliliczbabokówwielokątajestrównan,tosumakątówwewnętrznychjestrówna:

(n–2)x180.

Wielokątwypukły,któregowszystkiebokisąjednakowejdługości,akątywewnętrznejednakowejmiary,towielokąt foremny.

Nakażdymwielokącieforemnymmożnaopisaćokrągiwkażdywielokątforemnymożnawpisaćokrąg.


twierdzenie pitagorasa: Wtrójkącieprostokątnymkwadratdługościprzeciwprostokątnejjestrównysumiekwadra-tówdługościprzyprostokątnychtegotrójkąta.

twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa: Jeżeliwtrójkąciekwadratdługościnajdłuższegobokujestrów-nysumiekwadratówdługościpozostałychbokówtrójkąta,totentrójkątjestprostokątny.

trójkąt pitagorejski totrójkątprostokątny,któregodługościbokówwyrażonesąliczbaminaturalnymi

twierdzenie talesa: Jeżeliramionakątaprzeciętesąprostymirównoległymi,tostosunekdługościktórychkolwiekdwóchodcinkówutworzonychnajednymramieniujestrównystosunkowidługościodpowiednichodcinkówutwo-rzonychnadrugimramieniu.

twierdzenie odwrotne do twierdzenia talesa: Jeżeliprosteprzecinająceramionakątawyznaczająnajednymra-mieniuodcinkiproporcjonalnedoodpowiednichodcinkówutworzonychnadrugimramieniu,toteprostesąrówno-ległe.

Graniastosłupy: podstawysąprzystającymiwielokątami,podstawyleżąwpłaszczyznachrównoległych,krawędziebocznesąrównoległe,ścianybocznesąrównoległobokami.

Graniastosłupprosty,któregowszystkieścianysąkwadratami, to sześcian.

Graniastosłupprosty,któregopodstawąjestwielokątforemny,nazywamy graniastosłupem prawidłowym.

przekątne graniastosłupatokażdyodcinekłączącywierzchołkiobupodstawnienależącedotejsamejściany.

przekrój graniastosłupa toczęśćpłaszczyzny,któradzieligraniastosłupnadwieczęści.

Ostrosłupy:podstawajestwielokątem,majednąpodstawę,ścianybocznesątrójkątamiowspólnymwierzchołku,którynazywamywierzchołkiempodstawy;krawędziewychodzącezwierzchołkaostrosłupanapłaszczyznępodsta-wytospodekwysokościtegoostrosłupa;odcinekłączącywierzchołekostrosłupazjegospodkiemwysokościtowy-sokośćostrosłupa.

Ostrosłuptrójkątnynazywamyczworościanem.

Czworościan,któregowszystkieścianysątrójkątamirównobocznymi,nazywamy czworościanem foremnym.

Ostrosłup,któregopodstawąjestwielokątforemny,aścianybocznesąprzystającymitrójkątamirównoramiennymi,nazywamyostrosłupem prawidłowym.

Kątem nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy nazywamy liniowy kąt, którego wierz-chołekleżynawspólnejkrawędzi,aramionasądoniejprostopadłeijednoramięleżynaścianiebocznej,adrugienapodstawie.

Walecjesttobryłą,którąotrzymujemyprzezobrótprostokątao3600dookołaprostejzawierającejjedenzjegobo-ków.

podstawy walcatodwieścianywyznaczoneprzezobrótprostopadłychdoosiobrotubokówprostokąta,któresąprzystającymikołamiileżąwzględemsiebierównolegle.

przekrojem osiowym walca jestprostokąt.

przekrojem poprzecznym walcanazywamyczęśćwspólnąwalcaipłaszczyznyprzecinającejwalecrównolegledopodstawy.

przekrojem poprzecznym walcajestkoło.

Stożekjesttobryła,którąotrzymujemy,obracająctrójkątprostokątnydokołaprostejzawierającejjednązprzypro-stokątnychokąt3600.

Przekrojemosiowymstożkajesttrójkątrównoramienny.

przekrojem poprzecznym stożkajestkołolubpunkt.

Kulajestbryłą,którąotrzymujemy,obracającpółkoleokąt3600dokołaprostejzawierającejśrednicę.

Powierzchniękulinazywamysferą.

Przekrójosiowykulinazywamykołem wielkim.

cięciwatoodcinek,któregokońcamisąpunktyleżącenaokręgu.

Dwusieczna kątatopółprostaopoczątkuwwierzchołkikąta,dzielącatenkątnapołowy.

Figury przystające totakie,któreponałożeniunasiebiesiępokrywają.

Kąt dwuściennytojednazdwóchczęściprzestrzeniwyznaczonaprzezdwiepółpłaszczyznyowspólnejkrawędzi.

VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona �7 z �7

Kąt środkowyjesttokąt,któregowierzchołekjestśrodkiemkoła.

Kąt wpisanytokątwypukły,któregowierzchołekjestpunktemokręgukoła,aramionazawierającięciwytegokoła.

Odcinek kołatojednazdwóchczęścikoławyznaczonaprzezcięciwętegokoła.

Okrąg opisany na wielokącie jesttookrąg,naktórymleżąwszystkiewierzchołkiwielokąta.

Okrąg wpisany w wielokąt jesttookrągstycznydowszystkichbokówwielokąta.

Oś symetrii figurytoprosta,względemktórejkażdypunktfiguryipunktdoniegosymetrycznywzględemtejprostejnależydofigury.

podstawy graniastosłupatodwierównoległeścianytegograniastosłupa,naktórychleżąwszystkiewierzchołkigra-niastosłupa.

promień okręgu toodcinek,któregojednymkońcemjestśrodekokręgu,adrugimkońcempunktleżącynaokręgu.

przekątna wielokątatoodcinekłączącydowolnedwaniekolejnewierzchołkiwielokąta.

Symetralna odcinkatoprostaprostopadładoodcinkaprzechodzącegoprzezjegośrodek.

średnia arytmetycznaliczbjesttoilorazsumytychliczbprzezichliczebność.

średnica tocięciwaprzechodzącaprzezśrodekokręgu.

środek symetrii figuryjesttopunkt,względemktóregokażdypunktfiguryipunktdoniegosymetrycznywzględemtegopunktunależądofigury.

środkowa trójkąta toodcinekłączącywierzchołektrójkątaześrodkiembokurównoległego.

Wielościany tobryły,którychścianamisąwielokąty.

Wysokość graniastosłupatokażdyodcinekokońcachleżącychnapodstawachgraniastosłupaiprostopadłydotychpodstaw.

Wysokość trójkątatoodcinekprostejprzeprowadzonejprzezwierzchołektrójkąta,prostopadłejdoprzeciwległegoboku,liczonyodwierzchołkadoprzecięciasięprostejzprzeciwległymbokiemlubjegoprzedłużeniem

Documents

MATEMATYKA - gimgorowo.edupage.orggimgorowo.edupage.org/files/vademecum_gimnazjalisty_-_matematyka.pdf · VADEMECUM GIMNAZJALISTY | MATEMATYKA strona z 7 cYFrY rZYMSKie cyfra rzymska