Matemáticas 4 ESO edebé · Web viewMatemàtiques 4 ESO edebé PROGRAMACIÓ D’AULA Dipòsit legal B-22120-2012 UNITAT DIDÀCTICA 1: Nombres reals COMPETÈNCIES BÀSIQUES INDICADORS

PROGRAMACIÓ D’AULA - Matemàtiques 4 ESO

Matemàtiques 4 ESO edebé

PROGRAMACIÓ D’AULA

Dipòsit legal B-22120-2012

© grup edebé 1

CATALUNYA


UNITAT DIDÀCTICA 1: Nombres reals

COMPETÈNCIES BÀSIQUES INDICADORS OBJECTIUS DIDÀCTICS CRITERIS D’AVALUACIÓMatemàtica (M)• Interpretar i utilitzar els nombres

reals en diferents contextos, triant la notació i l’aproximació adequades en cada cas.

• Fer servir el càlcul amb percentatges per a resoldre problemes en situacions contextualitzades.

• Emprar i identificar el llenguatge matemàtic que descriu

intervals.

• Utilitza el càlcul amb percentatges per a resoldre problemes en situacions contextualitzades. (M)

• Empra i identifica el llenguatge matemàtic que descriu intervals. (M)

• Interpreta i fa servir els nombres reals en diferents contextos, triant la notació i l’aproximació adequades en cada cas. (M)

• Reconèixer, representar, ordenar i operar amb nombres reals.

• Expressar en forma d’interval un segment de la recta real, i viceversa.

• Utilitzar aproximacions decimals adequades a la precisió requerida, reconèixer les xifres significatives d’un nombre real i controlar la propagació de l’error en la resolució de problemes numèrics.

• Identificar nombres racionals i irracionals.• Comparar i ordenar nombres reals.• Utilitzar la notació científica per a expressar nombres de

valor absolut molt gran o molt petit.• Calcular els errors absolut i relatiu comesos en utilitzar

aproximacions decimals de nombres reals.• Determinar l’error comès en operacions amb

aproximacions de nombres reals. • Expressar en forma d’interval un segment de la recta real

i representar intervals sobre la recta real.

Comunicació lingüística i audiovisual (CLA)• Interpretar adequadament la

informació de textos pertanyents al llenguatge financer.

• Interpreta adequadament la informació de textos pertanyents al llenguatge

financer. (CLA)

• Utilitzar aproximacions decimals adequades a la precisió requerida, reconèixer les xifres significatives d’un nombre real i controlar la propagació de l’error en la resolució de problemes numèrics.

• Operar amb nombres expressats en notació científica amb l’ajuda de la calculadora.

Aprendre a aprendre (AA)• Utilitzar d’una manera eficient

estratègies de càlcul mental i d’estimació de càlculs per a aplicar-los a nous aprenentatges.

• Utilitza d’una manera eficient estratègies de càlcul mental i d’estimació de càlculs per a aplicar-los a nous aprenentatges. (AA / M)

• Efectuar aproximacions decimals de nombres reals per arrodoniment i per truncament fins a un determinat ordre d’aproximació.

Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Interpretar la informació de diverses

fonts i elaborar gràfics i taules, identificant les relacions entre magnituds per aplicar-ho a la resolució de problemes.

• Interpreta informació de diverses fonts i elabora gràfics i taules, identificant

les relacions entre magnituds per aplicar-ho a la resolució de problemes. (CIMF)

• Representar nombres irracionals, tant d’una manera geomètrica com d’una manera aproximada.

• Utilitzar les TAC per a realitzar operacions amb qualsevol tipus d’expressió numèrica.

© grup edebé 2


CONTINGUTS

C P V

• Conjunts numèrics N, Z i Q. • Nombre irracional. • Conjunt dels nombres reals R. • Recta real. • Ordre en el conjunt dels nombres reals. • Intervals de nombres reals. Operacions amb nombres

reals.• Aproximació decimal d’un nombre real.• Ordres d’aproximació. • Xifres significatives. • Aproximació per arrodoniment i per truncament. • Error absolut i error relatiu. • Fita d’error absolut. • Instruments de mesura de precisió.• Propagació de l’error. • Notació científica.

• Identificació de nombres irracionals. • Representació geomètrica exacta i representació

aproximada de nombres irracionals sobre la recta. • Classificació, comparació i ordenació dels nombres

reals. • Representació i interpretació d’intervals de nombres

reals.• Aproximació d’un nombre real per arrodoniment o

truncament fins a un determinat ordre d’aproximació. • Determinació de les xifres significatives d’un nombre

o d’una mesura. • Càlcul i valoració dels errors absolut i relatiu

comesos en utilitzar aproximacions decimals de nombres reals.

• Càlcul de fites de l’error absolut comès en prendre aproximacions decimals de nombres reals.

• Ús d’instruments adequats per a realitzar mesuraments amb precisió.

• Obtenció gràfica de la suma de dos nombres irracionals.

• Càlcul de l’error comès en operacions amb aproximacions de nombres reals.

• Expressió d’un nombre en notació científica i interpretació de nombres expressats en notació científica.

• Realització d’operacions amb nombres expressats en notació científica.

• Utilització de la calculadora en càlculs exactes i aproximats amb nombres reals, i per a efectuar operacions amb nombres expressats en notació científica.

• Aplicació d’estratègies que facilitin el càlcul mental en les operacions amb nombres naturals.

• Valoració de la utilitat del llenguatge numèric per a representar, comunicar o resoldre diverses situacions de la vida quotidiana.

• Sensibilitat per la presentació clara i ordenada dels exercicis realitzats.

• Cura i precisió en l’ús dels diferents instruments de mesura i en la realització de mesuraments.

• Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar problemes i efectuar estimacions numèriques.

• Perseverança en la realització de càlculs numèrics i en la revisió dels càlculs efectuats.

• Valoració crítica de la utilitat de la calculadora per a la realització de càlculs numèrics.

Ensenyaments transversals

Educació per al consum: La realització d’aproximacions té una àmplia aplicació en la vida quotidiana: calcular l’import aproximat d’una compra, descobrir si una quantitat de diners serà suficient per a pagar l’import d’una factura, detectar errors en tiquets de compra, etc.

© grup edebé 3


ACTIVITATS D’APRENENTATGE

Orientacions generals• Relacionar la imatge de presentació de la unitat i el text que l’acompanya amb el contingut d’aquesta unitat.• Reflexionar sobre les preguntes plantejades en la presentació, revisar els continguts previs i llegir els objectius que es pretén aconseguir.• Observar l’esquema de la unitat i escoltar l’explicació del professor/a.

1. Dels naturals als reals• Recordar la necessitat per la qual van sorgir els nombres naturals i llegir el símbol que representa el conjunt dels nombres naturals.• Reflexionar sobre el fet que algunes situacions de la vida quotidiana no es poden expressar mitjançant nombres naturals, considerar la necessitat d’ampliar aquest conjunt

amb un nou conjunt i llegir el símbol que ho representa.• Reflexionar sobre el fet que algunes situacions de la vida quotidiana no es poden expressar mitjançant nombres enters, considerar la necessitat d’ampliar aquest conjunt

amb un nou conjunt i llegir el símbol que ho representa.• Reconèixer que el conjunt dels nombres racionals coincideix amb el conjunt dels nombres decimals limitats o il·limitats i periòdics.• Observar mitjançant un exemple que tot nombre racional es pot expressar com un nombre decimal limitat o un nombre decimal il·limitat i periòdic.• Observar mitjançant un exemple que tot nombre decimal limitat i decimal il·limitat i periòdic té una fracció generatriu associada.• Recordar els conceptes següents: fraccions equivalents, fracció irreductible, representant d’un nombre racional i representant canònic d’un nombre racional.• Recordar que el conjunt dels nombres racionals coincideix amb el dels nombres decimals limitats o il·limitats i periòdics, i observar un nombre decimal il·limitat no periòdic

per reconèixer l’existència d’un altre tipus de nombre i llegir el nom que rep aquest nou tipus de nombre.• Llegir la definició de nombre irracional i el símbol que representa el conjunt de nombres irracionals.• Identificar diferents exemples de nombres irracionals destacats.• Observar mitjançant un exemple la representació geomètrica exacta d’un nombre irracional sobre la recta.• Comprovar en una figura la representació geomètrica exacta de nombres irracionals que són arrels quadrades de nombres naturals.• Observar mitjançant un exemple la representació aproximada d’un nombre irracional sobre la recta numèrica.• Llegir el nom que rep el conjunt format pels nombres racionals i els irracionals, i el símbol que ho representa.• Observar la classificació dels diversos tipus de nombres.@ Consultar una pàgina web amb informació sobre els nombres , e y • Considerar que els nombres reals omplen completament la recta i llegir el qualificatiu que s’aplica a la recta. • Reconèixer que els nombres reals es poden ordenar seguint el mateix ordre que l’establert en el conjunt de nombres racionals.• Observar la representació sobre la recta de dos nombres reals per comparar-los i llegir una regla que permet comparar dos nombres reals.• Assenyalar dos punts de la recta i marcar el segment comprès entre ells per definir el concepte d’interval.• Reconèixer els diversos tipus d’intervals i identificar-los tant per la representació gràfica com per l’escriptura.@ Entrar una página web con una aplicación interactiva sobre los intervalos numéricos

2. Les aproximacions en els nombres reals • Reconèixer que els nombres reals permeten expressar amb exactitud la mesura de qualsevol segment.• Llegir un exemple en el qual no es pot obtenir la mesura exacta d’un segment utilitzant un regle. • Examinar diferents aproximacions decimals d’un nombre real per classificar aquestes aproximacions segons si són més petites o més grans que el valor exacte del nombre

real.

© grup edebé 4


• Reconèixer que en la pràctica s’utilitzen aproximacions decimals dels nombres reals si el nombre té moltes xifres decimals, o si escau d’una mesura.• Observar diferents aproximacions per defecte i per excés del nombre π.• Observar dos nombres reals aproximats per reflexionar que, atès que tenen un nombre diferent de xifres significatives, no representen la mateixa quantitat.• Llegir la manera com se sol indicar que els zeros en què acaba un nombre enter no són xifres significatives. • Arribar a comprendre la definició d’ordre d’aproximació a partir d’una taula en la qual apareix el nombre de xifres significatives i l’ordre de l’última xifra significativa d’una

sèrie d’aproximacions.• Fixar-se, donades dues aproximacions del mateix ordre d’un nombre decimal, en quina és la més propera al valor real per a definir l’aproximació per arrodoniment.• A partir d’una sèrie de nombres decimals amb aproximacions per arrodoniment i en la qual apareix l’ordre d’aproximació i la primera xifra suprimida, arribar a establir la

norma que permet arrodonir un nombre fins a un cert ordre d’aproximació.• Llegir en què consisteix una aproximació per truncament i observar en una taula l’ordre d’aproximació, l’aproximació per truncament i l’aproximació per arrodoniment de

diferents nombres reals.• Fixar-se que si s’aproxima un nombre real per arrodoniment es poden obtenir aproximacions per defecte o per excés, mentre que si s’aproxima un nombre real per

truncament sempre s’obtenen aproximacions per defecte.• Reconèixer que quan s’utilitzen aproximacions de nombres reals es comet un error.• Fixar-se en la definició de valor absolut d’un nombre real.• Observar en una taula la diferència entre el valor exacte i el valor aproximat de diverses aproximacions i el valor absolut d’aquesta diferència per arribar a la definició d’error

absolut d’una aproximació.• Reflexionar mitjançant una situació de la vida quotidiana sobre el fet que, encara que en alguns casos es cometi el mateix error absolut, aquest no té la mateixa importància

i relacionar l’error absolut amb el valor exacte de la mesura per definir el concepte d’error relatiu.• Llegir la definició d’error relatiu, observar que expressa l’error comès per unitat de mesura i fixar-se que es pot expressar en percentatge.• Considerar, mitjançant un exemple, que no sempre es pot calcular l’error comès quan es pren una aproximació d’un nombre, però sí un valor més gran o igual que aquest

error, i definir el concepte de fita de l’error absolut.• Reflexionar sobre el fet que, si s’efectua un mesurament, no es pot calcular l’error comès si es pren una aproximació, però sí l’error màxim comès, i observar la manera

d’indicar aquest mesurament.• Observar en un quadre alguns instruments de mesura de precisió i la funció que duen a terme.

3. Operacions• Seguir els passos necessaris per a efectuar gràficament la suma de dos nombres irracionals i verificar que no és possible obtenir el valor numèric exacte d’aquesta suma.• Reconèixer que, per a sumar dos nombres irracionals, s’han de prendre aproximacions d’aquests nombres i que el resultat també serà una aproximació decimal d’un

nombre irracional.• Observar l’error que es comet quan se sumen les aproximacions decimals de dos nombres irracionals, fixar-se en les xifres decimals correctes del resultat i reconèixer que

per a obtenir una millor aproximació del resultat s’han de prendre més xifres decimals en els sumands.• Observar l’error que es comet quan es multipliquen les aproximacions decimals de dos nombres irracionals, fixar-se en les xifres decimals correctes del resultat i reconèixer

que per a obtenir una millor aproximació del resultat s’han de prendre més xifres decimals en els factors.• Fixar-se, mitjançant un exemple, en l’error absolut que es comet quan es resol una operació combinada en què s’opera amb un resultat aproximat.• Observar les expressions de nombres expressats en notació científica que apareixen en la pantalla de la calculadora, traduir aquestes expressions i llegir el nom que reben.• Llegir la definició de nombre expressat en notació científica.• Llegir sobre el nombre de xifres significatives d’un nombre expressat en notació científica i fixar-se en el nombre de xifres significatives de dos nombres expressats en

notació científica.• Observar en un exemple resolt com s’expressen diferents nombres en notació científica i com s’escriuen amb un nombre determinat de xifres significatives.

© grup edebé 5


• Reconèixer les tecles de la calculadora que permeten operar amb nombres expressats en notació científica i observar la utilització de la calculadora per a introduir aquests nombres i per a operar-hi.

4. Percentatges• Recordar la definició de percentatge i com s’expressa.• Observar en dos eexemples com s’apliquen els augments i disiminucions percentuals.• Identificar l’aplicació dels percentatges en la vida quotidiana. Interès. Llegir la definició d’interès.• Entendre l’interès simple i interpretar la seva fórmula.• Llegir el concepte d’interès compost i la seva f´romula a partir de l’explicació i un exemple resolt.@ Consultar una página web on s’explica l’interès simple i compost.

Activitats resoltesAnalitzar cadascuna de les fases del mètode general de resolució de problemes en quatre passos, com a estratègia per a resoldre problemes i aplicar-la en diferents activitats.

ALTRES ACTIVITATS

AVALUACIÓ INICIAL Grup classeResoldre exercicis diversos relacionats amb els ítems indicats en la Preparació de la unitat.Examinar els continguts de la unitat que contribueixen a l’assoliment de les competències bàsiques indicades.

MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en què sorgeix la necessitat de conèixer i utilitzar els nombres reals.• A partir de la grandària de les molècules dels ful·lerens (formes cristal·lines microscòpiques del carboni) i del perímetre d’una pilota de

futbol, expressar algunes de les mesures corresponents en notació científica.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• A partir de les fites d’error de tres radars en el mesurament de distàncies a objectes, determinar la distància a la qual es troba un ovni

respecte un dels radars, conegudes les distàncies detectades per tots els radars. Elaborar una taula on es reflecteixi el capital acumulat després d’un cert temps si es col·loca a interès simple o a interès compost.

Comparar tots dos resultats i determinar els respectius capitals acumulats.@ A partir de diversos enllaços, elaborar una fitxa de cadascuna de les cinc pel·lícules més taquilleres. Analitzar-ne les recaudacions i

expressar el resultat de la forma més adequada.

COMPLEMENTÀRIES En l’apartat 1 cal que els alumnes repassin i distingeixin tots els conjunts de nombres que s’han estudiat, i destacar les diferències entre les propietats de cadascun. Per a això, serà molt útil recórrer a exemples (explicar objectes, en el cas dels nombres naturals;

© grup edebé 6


explicar les plantes d’un edifici, en el cas dels nombres enters, i el repartiment d’un pastís, en tractar els fraccionaris). Per a diferenciar els nombres irracionals dels racionals, s’ha de remarcar l’expressió decimal del nombre, que no pot ser finita ni periòdica. També serà útil que l’alumne entengui com es representen algunes arrels irracionals i comprovi que és possible fer-ho i ordenar-les en la recta real (juntament amb els racionals); en qualsevol cas, s’ha d’insistir que no és fàcil saber si un nombre determinat és racional. De la mateixa manera, cal destacar que, en el món real, l’ús dels nombres irracionals és poc habitual i se substitueixen per aproximacions; per això és necessari l’estudi d’errors.

En l’apartat 2 pot ser interessant la realització de mesuraments amb instruments de tipus divers, acompanyada d’una reflexió sobre l’error comès i la rellevància que té per al problema o la situació en què s’insereix. Seria convenient que els alumnes poguessin manejar instruments de precisió, com ara cronòmetres, peus de rei, etc. Això ofereix l’oportunitat de realitzar activitats en grup i, fins i tot, plantejar activitats conjuntes amb altres àrees, com ara tecnologia o física i química.

En l’apartat 3 es pot operar amb aproximacions, estimant l’ordre de magnitud del resultat. Cal destacar el fet que la calculadora, quan expressa un resultat en notació científica, ens dóna una aproximació d’aquest resultat ajustada a les xifres que caben en la pantalla. És important que els alumnes apreciïn la utilitat d’aquest tipus de notació per a escriure tant els nombres molt grans com els nombres molt petits, ja que permet reduir molt el nombre de xifres emprades.

ATENCIÓ A LA DIVERSITAT REFORÇ APROFUNDIMENT

1. Dels naturals als reals Fitxa 1. Activitats 1, 2 i 3.

2. Les aproximacions en els nombres reals Fitxa 2. Activitats 1, 2, 3 i 4.

2. Les aproximacions en els nombres reals Fitxa 3. Activitats 5 i 6.

3. Operacions Fitxa 3. Activitats 1, 2, 3 i 4.

© grup edebé 7


AVALUACIÓ DE LA UNITAT DE LES COMPETÈNCIES BÀSIQUES

Llibre de l’alumne• Representar nombres irracionals sobre la recta numèrica.• Triar correctament nombres racionals que pertanyen a un

interval.• Determinar la intersecció de dos intervals.• Aproximar nombres decimals als centèsims i els mil·lèsims.• Reflexionar sobre l’error comès i la rellevància que té per al

problema o la situació en què s’insereix.• Aplicar la notació científica correcta a nombres grans.• Resoldre problemes geomètrics, valorant l’expressió dels

resultats.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Classificar diferents nombres en racionals i irracionals.• Construir segments de longitud irracional.• Representar gràficament nombres reals i intervals de• nombres reals.• Localitzar l’error comès quan s’arrodoneixen nombres

decimals.• Escriure l’interval on se situa la longitud d’una circumferència

en arrodonir π fins als mil·lèsims.• Expressar en notació científica nombres grans i petits.• Efectuar operacions mitjançant la calculadora amb nombres

expressats en forma de notació científica.

Llibre de l’alumne • Comprendre l’error comès en diferents mesuraments.• Calcular intervals de distàncies que depenen de la precisió• dels instruments de mesura.• Construir i interpretar taules i gràfics.• Analitzar la conveniència d’obrir un compte a interès simple o• compost, per prendre decisions d’una manera autònoma.• Aplicar la notació científica a contextos de la vida quotidiana.• Indicar en quins casos és necessari realitzar una aproximació d’un

nombre real, i justificar-ho.

Material complementari• Interpretar i seleccionar la informació que contenen les taules.• Utilitzar gràfics de barres i diagrames de sectors per a organitzar

la informació.• Efectuar càlculs amb percentatges.• Analitzar els errors comesos relacionats amb el canvi de moneda.• Calcular algunes característiques físiques de Mart i la Terra, i

expressar-les utilitzant correctament la notació científica.

© grup edebé 8


ACTIVITATS DE PROMOCIÓ DE LA LECTURA I L’EXPRESSIÓ

LecturaLlegir de manera comprensiva problemes, situacions diverses i traduir al llenguatge científic.Llegir comprensivament expressions numèriques per elaborar enunciats.Llegir informació diversa de les pàgines web proposades per obtenir o ampliar informació, investigar, accedir a programes de càlcul, experimentar, etc. Utilitzar estratègies de comprensió lectora:

— Lectura silenciosa (autoregulació de la comprensió).— Traducció del llenguatge quotidià al llenguatge científic en problemes, en situacions diverses, i viceversa (elaboració de la informació).— Elaboració de síntesis, esquemes, resums, etc. (consciència de la pròpia comprensió).

Expressió• Exposar, de manera oral i escrita, el plantejament i el desenvolupament de la resolució de problemes de caràcter divers.• Expressar adequadament els aprenentatges, utilitzant el vocabulari precís i propi de la ciència.

ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ A partir de diversos enllaços, obtenir informació sobre alguns nombres irracionals rellevants: π i ϕ. (Pàgina 13)@ Realitzar una activitat interactiva sobre intervals de nombres reals. (Pàgina 16)@ Ampliar els coneixements sobre l’interès simple i compost consultant una pàgina web. (Pàgina 26)

Recursos en soporte digital

Representació de l’arrel de dos. (Animació).Representació de l’arrel de sis. (Animació).Nombres reals. (Resolució de problemes).Enllaços web

© grup edebé 9


MÍNIMS EXIGIBLES PER A UNA AVALUACIÓ POSITIVA

Identificar nombres racionals i irracionals. Comparar i ordenar nombres reals. Utilitzar la notació científica per a expressar nombres de valor absolut molt gran o molt petit. Calcular els errors absolut i relatiu comesos en utilitzar aproximacions decimals de nombres reals. Efectuar aproximacions decimals de nombres reals per arrodoniment i per truncament fins a un determinat ordre d’aproximació. Utilitzar les TAC per a efectuar operacions amb qualsevol tipus d’expressió numèrica.

CRITERIS DE QUALIFICACIÓ

• Ús correcte dels conceptes i del vocabulari científic a l’hora de transmetre i sol·licitar informació.• Ús espontani en contextos quotidians dels aprenentatges realitzats.• Grau d’elaboració personal de les idees, les respostes i els processos personals desenvolupats.• Grau de comprensió i comunicació de la informació científica.• Ordre i claredat en la presentació d’activitats.• Percentatge o nombre d’encerts en proves, exercicis i treballs escrits. • Comportament: respecte, interès i motivació, atenció, tenacitat, perseverança i companyonia.• Autonomia en la resolució dels problemes i en la presa de decisions.

© grup edebé 10


METODOLOGIA

MATERIALS I RECURSOS ESPAIS - TEMPS ESTRATÈGIES METODOLÒGIQUES

• Llibre de text MATEMÀTIQUES 4 ESO; editorial edebé.

• Llibre digital MATEMÀTIQUES 4 ESO; editorial edebé.

• Quadern de Matemàtiques ESO, n.º 10; editorial edebé.

• Quadern digital MATEMÀTIQUES 4 ESO; editorial edebé.

• Recursos digitals (activitats interactives, animacions, caceres del tresor, enllaços a internet, banc d’imatges, presentacions, etc.)

• Calculadora, ordinador i programes relacionats amb la unitat 1.

• Pissarra digital.• Material fungible.

L’aulaEl laboratori• Temps aproximat: 3

setmanes

La metodologia proposada promou la construcció d’aprenentatges significatius a partir de la seqüència següent: – Evocació de coneixements previs per tractar els nous continguts.– Incorporació progressiva i acurada de nous continguts, mitjançant exemples presos de situacions quotidianes,

que n’afavoreixen la comprensió i la generalització per mitjà de models, esquemes, el plantejament de problemes, etc. Això possibilita la transferència d’aprenentatges a la vida quotidiana, la qual cosa connecta amb l’adquisició de les competències bàsiques pròpies de la matèria i el treball sistemàtic d’aquestes competències en cada unitat.

– Elaboració de síntesis.– Recursos digitals de caràcter divers, preparats per a impartir classes des de la metodologia de la pissarra digital

o dels ordinadors propis dels alumnes. Aquests recursos inclouen activitats interactives, animacions, caceres del tresor, enllaços a internet, banc d’imatges, presentacions, etc.

– Resolució de problemes amb els quals l’alumne/a desenvolupa i perfecciona les seves pròpies estratègies, alhora que n’adquireix altres de generals i d’específiques.

– Activitats diversificades (de reforç, d’ampliació, treball en grup, ús de les TIC…), seqüenciades per nivells de dificultat i que faciliten l’adquisició de competències bàsiques a tots els alumnes.

Estructura de la unitat 1: Nombres reals– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per presentar la necessitat dels nombres enters en

una situació real i contextualitzada.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del

desenvolupament dels aprenentatges. – Continguts: presentació dels continguts de la unitat que serveix com a organitzador dels aprenentatges.– Preparació de la unitat: coneixements previs necessaris per a tractar els continguts de la unitat 1. – Continguts: seqüències d’aprenentatge per a cada contingut de la unitat, tractades a partir de situacions o

exemples contextualitzats, amb activitats d’aprenentatge en el procés deductiu que finalitza amb una conclusió (definició) i amb activitats d’aplicació.

Es proposen també activitats complementàries, activitats TIC, activitats de treball de les competències bàsiques, i de reforç i aprofundiment. Tot el treball dels continguts està orientat al desenvolupament i l’adequació de les competències bàsiques definides en la unitat.

– Resolució de problemes: presentació d’una estratègia específica, mètode general de resolució de problemes (comprensió de l’enunciat, planificació, execució del pla, revisió del resultat i procés seguit) i aplicació per a resoldre un problema model.

– Síntesi: esquema que relaciona gràficament els continguts bàsics de la unitat acompanyat d’una definició o explicació breu de cadascun.

© grup edebé 11


– Activitats finals organitzades segons els continguts principals de la unitat i de tipologia diversa: reforç, aprofundiment (Més a fons), aplicació de la calculadora, treball en grup, activitats TIC.

– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar algunes dades astronòmiques, el concepte d’infinit i la irracionalitat del

nombre π. I, d’altra banda, comprendre la limitació de les calculadores a l’hora de representar nombres il·limitats.

© grup edebé 12


PROCEDIMENTS I INSTRUMENTS D’AVALUACIÓ

ESCRITS ORALS ALTRES

• Tasques diverses que l’alumne/a duu a terme en l’activitat diària de la classe.

• Activitats diverses d’avaluació d’aprenentatges i de competències bàsiques.

• Procés seguit en la resolució de problemes.• Activitats TIC: interactives, caceres del tresor, enllaços

web, etc.• Quadern de l’alumne.• Dossier individual.• Valoració del plantejament i dels processos seguits, i

també del resultat obtingut.

• Preguntes individuals i col·lectives.• Observació i valoració del grau de participació de cada

alumne/a i de la qualitat de les exposicions i intervencions que duu a terme a classe.

• Fitxa de registre individual. • Registre per a l’avaluació contínua del grup classe.• Autoavaluació (oral i escrita). • Bloc del professor.• Dossier d’aprenentatge.• Rúbrica d’avaluació de les CB de la unitat.• Rúbrica d’avaluació trimestral de les CB.• Rúbrica d’avaluació del Projecte.• Rúbrica d’avaluació d’habilitats generals.

© grup edebé 13


AVALUACIÓ DE LA PRÀCTICA DOCENT

ADEQUACIÓ DE LA PLANIFICACIÓ RESULTATS ACADÈMICS

PROPOSTES DE MILLORA

Preparació de la classe i dels materials didàctics

Hi ha coherència entre el que s’ha programat i el desenvolupament de les classes.

La distribució temporal és equilibrada.

El desenvolupament de la classe s’adequa amb les característiques del grup.

Utilització d’una metodologia adequada

S’han tingut en compte aprenentatges significatius.Es considera la interdisciplinarietat (en les activitats, el tractament dels continguts, etc.).

La metodologia fomenta la motivació i el desenvolupament de les capacitats de l’alumne/a.

Regularització de la pràctica docent

Grau de seguiment dels alumnes.

Validesa dels recursos que s’han utilitzat a classe per als aprenentatges.

Els criteris de promoció estan consensuats entre els professors.

Avaluació dels aprenentatges i informació que se’n dóna als alumnes i a les famílies

Els criteris per a una avaluació positiva estan relacionats amb els objectius i els continguts.

Els instruments d’avaluació permeten registrar nombroses variables de l’aprenentatge.

Els criteris de qualificació estan ajustats a la tipologia d’activitats planificades.

Els criteris d’avaluació i els criteris de qualificació s’han donat a conèixer:– Als alumnes.– A les famílies.

Utilització de mesures per a l’atenció a la diversitat

S’adopten mesures amb antelació per a conèixer les dificultats d’aprenentatge.

S’ha ofert resposta als diferents ritmes i capacitats d’aprenentatge.

Les mesures i els recursos oferts han estat suficients.

S’apliquen mesures extraordinàries recomanades per l’equip docent tenint en compte els informes psicopedagògics.

PROGRAMACIÓ DE SUPORT A NECESSITATS EDUCATIVES ESPECIALS Alumnes

© grup edebé 14


1 …

……

……

…

2 …

……

……

…

3 …

……

……

…

4 …

……

……

…

5 …

……

……

…

6 …

……

……

…

7 …

……

……

…

8 …

……

……

…

……

……

……

..

Atenció individualitzada a l’aula per a realitzar les activitats proposades.Adaptació de les activitats de la programació.Atenció individualitzada dins i fora de l’aula per a dur a terme les activitats adaptades.Adaptació curricular significativa per necessitats educatives especials (NEE).Adaptació curricular per alta capacitat intel·lectual.Adaptacions en el material curricular per incorporació tardana en el sistema educatiu.…

© grup edebé 15


UNITAT DIDÀCTICA 2: Potenciació i radicació

COMPETÈNCIES BÀSIQUES INDICADORS OBJECTIUS DIDÀCTICS CRITERIS D’AVALUACIÓMatemàtica (M)Realitzar càlculs en els quals intervinguin diferents tipus de nombres, utilitzant les propietats i aplicant el mètode de càlcul més adequat (mental, algorismes, calculadora…) en diverses situacions.

• Realitza càlculs en els quals intervenen potències, aplicant el mètode de càlcul més adequat (mental, algorismes, calculadora…) en diverses situacions. (M)

• Utilitza les propietats dels logaritmes. (M)

• Operar amb potències de base real i exponent racional.

• Operar amb radicals.• Conèixer les propietats dels

logaritmes.

• Expressar arrels enèsimes en forma de potència d’exponent racional.

• Operar amb potències de base real i exponent racional.• Utilitzar la calculadora per a trobar potències.• Expressar arrels enèsimes i calcular-les quan sigui

possible.• Determinar el signe i el nombre d’arrels d’un radical.• Efectuar operacions amb radicals.• Extreure i introduir factors d’un radical.• Fer servir la calculadora per a trobar arrels.• Utilitzar les propietats dels logaritmes per a simplificar

expressions.Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Emprar els coneixements

matemàtics i científics per a interpretar i explicar fenòmens naturals.

• Empra els logaritmes per a interpretar i explicar fenòmens naturals. (CIMF / M) • Operar amb logaritmes.

• Calcular logaritmes decimals.• Valorar amb actitud crítica l’ús de la calculadora en la

realització de càlculs numèrics.

Autonomia i iniciativa personal (AIP)• Confiar en les pròpies capacitats per

a efectuar operacions matemàtiques diverses.

• Confia en les pròpies capacitats per a efectuar operacions matemàtiques diverses. (AIP)

• Expressar un radical en forma de potència la base de la qual sigui un nombre real i l’exponent un nombre racional.

• Calcular potències de base real i d’exponent natural enter.

• Operar amb potències de base real i exponent enter, aplicant les propietats d’aquestes operacions.

• Expressar arrels enèsimes en forma de potència d’exponent racional.

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar els recursos tecnològics i les

aplicacions de les TAC en situacions en què intervenen potències, radicals i logaritmes.

• Utilitza els recursos tecnològics i les aplicacions de les TAC en situacions en què intervenen potències, radicals i logaritmes. (TI-D)

• Conèixer les TAC com a eines útils per a treballar amb potències, radicals i logaritmes, i utilitzar els recursos tecnològics adequats a cada moment.

• Utilitzar les tecnologies de la informació i la comunicació com a eines útils en el procés d’aprenentatge.

© grup edebé 16


CONTINGUTS

C P V

• Potències de base real i exponent natural. • Propietats de les operacions amb potències de base

real i exponent natural. • Potències de base real i exponent enter. • Propietats de les operacions amb potències de base

real i exponent enter.• Arrel quadrada d’un nombre real. • Arrel enèsima d’un nombre real. • Expressions radicals semblants. • Potències de base real i exponent racional. • Propietats de les operacions amb potències de base

real i exponent racional. • Racionalització. • Logaritme en base 10 o decimal. • Propietats dels logaritmes. • Logaritmes en bases diferents de 10.

• Càlcul de potències de base real i exponent natural o enter negatiu.

• Aplicació de les propietats de les operacions amb potències de base real i exponent natural o enter negatiu.

• Determinació del signe d’una arrel en funció de la paritat de l’índex i del signe del radicand.

• Reconeixement de radicals semblants. • Càlcul de radicals i d’operacions amb radicals. • Extracció i introducció de factors en un radical. • Càlcul de potències de base real i exponent racional. • Aplicació de les propietats de les operacions amb

potències de base real i exponent racional. • Transformació d’arrels en potències. • Racionalització de denominadors. • Càlcul de logaritmes decimals. • Transformació d’una igualtat en forma de potència a

una altra en forma logarítmica i viceversa. • Aplicació de les propietats dels logaritmes. • Canvi de base d’un logaritme. • Utilització racional de la calculadora per a efectuar

operacions complicades i per a comprovar resultats. • Aplicació d’estratègies que facilitin el càlcul mental en

les operacions numèriques.



• Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar problemes i efectuar operacions numèriques.

• Valoració critica de l’ús de la calculadora en la realització de càlculs numèrics.

© grup edebé 17



Orientacions generals Relacionar la imatge de presentació de la unitat i el text que l’acompanya amb el contingut d’aquesta unitat. Reflexionar sobre les preguntes plantejades en la presentació, revisar els continguts previs i llegir els objectius que es pretén aconseguir. Observar l’esquema de la unitat i escoltar l’explicació del professor/a.

1. Potències de base real i exponent enter• Reconèixer la utilització de les potències en diferents àmbits i la necessitat de conèixer-ne les propietats.• Observar l’expressió en forma de potència de dos productes de factors iguals prenent com a factor un nombre racional i prenent com a factor un nombre real, per definir potència

de base un nombre real i exponent d’un nombre natural.• Reconèixer que no es pot aplicar la definició de potència si l’exponent és 1 i recordar el valor d’una potència de base entera i exponent 1.• Deduir el valor d’una potència de base real i exponent 1 i llegir-ne la definició.• Observar en una taula, mitjançant exemples concrets, les propietats de les operacions amb potències de base real i exponent natural i la manera d’efectuar-les.• Observar la utilització de la calculadora per a trobar el quadrat d’un nombre i per a calcular qualsevol potència d’un nombre.• Deduir, a partir del compliment de les propietats de les potències i mitjançant un exemple concret, el valor d’una potència de base real i exponent 0, i llegir-ne la definició.• Deduir, a partir del compliment de les propietats de les potències i mitjançant un exemple concret, el valor d’una potència de base real i exponent un nombre enter negatiu, i llegir-

ne la definició.• Reconèixer que qualsevol potència de base real i exponent enter negatiu es pot escriure com una potència de base real i exponent enter positiu.• Seguir els passos en un exemple resolt dels processos de transformació d’una multiplicació i d’una divisió de potències d’una mateixa base, de la potència d’un producte i de la

potència d’una potència, i reconèixer que es poden resoldre aplicant les propietats de les operacions amb potències de base real i exponent enter.

2. Radicals• Recordar que el nombre obtingut a partir d’elevar un altre nombre al quadrat té per arrel quadrada el nombre que s’eleva al quadrat i raonar que també té per arrel quadrada

l’oposat d’aquest nombre.• Llegir la condició que han de complir les arrels quadrades d’un nombre real i la forma d’expressar-les.• Fixar-se en les arrels quadrades de nombres reals que són racionals i en les que són irracionals.• Comprovar, en dos exemples concrets, el càlcul d’arrels cúbiques per definir l’arrel enèsima d’un nombre real.• Llegir l’expressió de l’arrel enèsima d’un nombre real i el nom que reben cadascun dels nombres que intervenen en aquesta expressió.

@ Consultar una pàgina web on s’explica una estratègia per a calcular mentalment arrels quadrades.• Analitzar la informació d’una taula que mostra l’arrel cúbica i l’arrel d’índex 4 de parells de nombres reals oposats i la relació del signe de l’arrel amb la paritat de l’índex i amb el

signe del radicand.• Observar el resultat de la suma de tres expressions radicals semblants per identificar el coeficient d’una expressió radical.• Observar diferents expressions radicals les diferències de les quals es limiten als coeficients per definir expressions radicals semblants.• Llegir la definició de radicals semblants.

@ Consultar una pàgina web amb exemples de radicals semblants.• Reconèixer que podem multiplicar, dividir, elevar a una potència o extreure una arrel de qualsevol radical, però que, per a sumar o restar radicals, aquests han de ser semblants. • Comprovar, en una taula, els procediments per a sumar o restar radicals semblants, per a multiplicar i dividir radicals del mateix índex i per a trobar la potència i l’arrel d’un

radical, i observar l’aplicació d’aquests procediments en exemples concrets.• Observar, en un exemple resolt, el càlcul d’operacions combinades en les quals intervenen arrels quadrades.

© grup edebé 18


• Reconèixer que, si en el producte d’una suma per una diferència intervenen arrels quadrades, el resultat no té radicals; observar aquest fet en un exemple concret i identificar l’expressió conjugada.

• Considerar la conveniència d’extreure factors d’un radical i reconèixer que només és possible si l’exponent del factor és més gran o igual que l’índex del radical.• Seguir els passos, en uns exemples concrets, de com s’ha de procedir per a extreure factors d’un radical i reconèixer que si l’exponent és múltiple de l’arrel, el resultat no conté

cap arrel.• Seguir els passos, en un exemple resolt, del càlcul d’arrels quadrades a partir de la descomposició factorial del radicand i de l’extracció de factors del radical.• Llegir en un text el procediment per a extreure factors d’un radical. • Reconèixer que es poden introduir factors en un radical; observar en uns exemples concrets com s’ha de procedir per a introduir factors en un radical, i llegir el procediment per a

introduir un factor en un radical.• Considerar que l’exponent d’una potència pot ser un nombre racional i llegir la definició de potència de base real i exponent racional mitjançant radicals.• Observar en un exemple resolt diferents operacions de potències d’exponent racional aplicant les propietats de les potències d’exponent enter.• Considerar que les potències l’exponent de les quals és un nombre racional negatiu es poden transformar en potències l’exponent de les quals és un nombre racional positiu i

observar en un exemple aquesta transformació.• Llegir les propietats de les potències de base real i exponent racional.• Fixar-se que la manera de definir les potències d’exponent racional permet que es compleixin les propietats de les potències.• Observar les tecles de la calculadora que permeten trobar les arrels quadrades, cúbiques i de qualsevol índex d’un nombre, i la seva utilització en exemples concrets.• Comparar, mitjançant un exemple, dos procediments per a efectuar operacions amb radicals: directament o transformant-los en potències d’exponent racional.• Comprendre la necessitat de racionalitzar el denominador d’una expressió i observar la racionalització de diferents expressions en un exemple resolt.• Fixar-se en la manera de racionalitzar numeradors o denominadors i en la manera de racionalitzar el denominador d’una expressió.@ Entrar en una página web y practicar la racionalización de radicales

3. Logaritmes• Analitzar una situació de la vida quotidiana en la qual intervenen els logaritmes, llegir la definició de logaritme en base 10 i observar-ne l’expressió.• Observar en exemples concrets el càlcul de logaritmes de nombres que són potències de 10 i analitzar mitjançant una taula la relació entre els logaritmes de nombres que són

potències de 10 i els exponents d’aquestes potències.• Llegir el nom que reben els logaritmes de base 10; fixar-se mitjançant un exemple concret que és possible calcular logaritmes en bases diferents de 10 i llegir la definició de

logaritme en qualsevol base positiva diferent d’1.• Observar com es calcula el logaritme decimal d’un nombre mitjançant la calculadora.• Reconèixer que el logaritme d’un nombre real negatiu no existeix.• Llegir, en una taula, les propietats dels logaritmes i seguir la demostració de cadascuna d’aquestes propietats.• Reconèixer que les propietats dels logaritmes permeten escriure el logaritme d’una expressió com a sumes i restes de logaritmes, i observar aquesta transformació en un

exemple resolt.• Llegir unes pinzellades històriques sobre l’aparició dels logaritmes i de les taules logarítmiques.• Fixar-se que les propietats dels logaritmes es poden generalitzar per a bases diferents de 10.• Llegir la propietat que permet canviar la base dels logaritmes i observar l’aplicació que té en un exemple.

s CB

© grup edebé 19


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat d’operar amb potències i arrels.Calcular la superfície de lona necessària i el cost corresponent per a muntar un tendal si se’n coneixen les dimensions.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CBRealitzar diversos càlculs a partir de determinats valors segons funcions potencials.Expressar diverses mesures de dues galledes les dades inicials de les quals s’expressen mitjançant radicals.@ A partir de diversos enllaços, respondre a algunes qüestions relacionades amb l’escala logarítmica de Richter utilitzada per a mesurar la intensitat dels terratrèmols.

COMPLEMENTÀRIES En l’apartat 1 s’ha de dur a terme un repàs de les potències d’exponent natural. Per a fer-ho, es poden presentar situacions pròpies de les ciències físiques en què les potències s’usen per a determinar magnituds, expressar lleis, etc.

En l’apartat 2 s’introdueix la radicació com una operació inversa de la potenciació. Per a això es poden utilitzar situacions inspirades en el món físic; aquestes són especialment adequades per a un tractament didàctic interdisciplinari, a causa de les múltiples connexions que tenen amb altres àrees de coneixement. D’altra banda, el treball amb la calculadora permet que s’experimentin els nous coneixements en el càlcul de radicals tenint en compte que els fenòmens de propagació de l’error poden produir resultats erronis. Per tant, és important que l’alumne/a prengui consciència de la importància de dominar amb fluïdesa aquest tipus d’operacions si es volen obtenir resultats fiables, introduint l’ús de la calculadora només en el pas final del càlcul. Per a comprovar aquest fenomen, es pot proposar als alumnes que efectuïn operacions de dues maneres diferents: que apliquin amb la calculadora les propietats dels radicals i que, d’altra banda, relacionin els resultats obtinguts.

En l’apartat 3 és important que l’alumne/a entengui la necessitat i la utilitat dels logaritmes, com és el cas de l’escala logarítmica d’ús comú dels decibels la unitat dels quals (dB) representa la intensitat sonora. Les activitats poden consistir a relacionar les propietats dels logaritmes amb les del so mesurat en decibels.


1. Potències de base real i exponent enter Fitxa 1. Activitat 1.

2. Radicals Fitxa 1. Activitats 1, 2 i 3. Fitxa 2. Activitats 1, 2, 3, 4 i 5.

2. Radicals Fitxa 3. Activitats 1, 2, 3 i 4.

3. Logaritmes Fitxa 3. Activitats 5, 6, 7 i 8.

© grup edebé 20



Llibre de l’alumne• Resoldre potències les bases de les quals són nombres reals i

els exponents, nombres enters.• Resoldre operacions amb radicals.• Extreure factors d’un radical.• Expressar radicals en forma de potència.• Operar mentalment logaritmes decimals.• Trobar el logaritme d’un determinat nombre expressant-lo com

a potència la base de la qual és la base del logaritme.• Aplicar les propietats dels logaritmes.• Calcular un logaritme expressant-lo com a logaritme d’una

potència.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Efectuar una sèrie d’operacions amb potències de base real i

exponent racional. Realitzar operacions amb radicals quadràtics aplicant les propietats de les potències d’exponent racional quan sigui convenient.

• Expressar diferents radicals en forma de potència de base real i exponent racional. Expressar potències d’exponent racional en forma de radical i identificar els radicals semblants.

• Extreure factors de diversos radicals.• Identificar els errors comesos en la racionalització de fraccions

i expressar els resultats correctament.• Trobar el logaritme de diversos nombres positius.• Expressar uns determinats logaritmes en forma de suma i

resta de logaritmes, aplicant les propietats dels logaritmes (logaritme d’un producte, logaritme d’un quocient, logaritme d’una potència i logaritme d’una arrel).

Llibre de l’alumne • Interpretar diferents casos particulars de funcions exponencials i

extreure’n conclusions pràctiques.• Trobar la superfície i el volum d’una galleda utilitzant les

potències.• Utilitzar les TAC per a entendre la utilitat i les aplicacions dels

logaritmes en situacions de la vida real.• Analitzar l’escala de Richter com un exemple d’escala

logarítmica.

Material complementari• Utilitzar les potències per a la comprensió d’esdeveniments i la

predicció de conseqüències.• Determinar els volums de diferents galledes.• Relacionar unitats de volum i capacitat.• Trobar incògnites en expressions amb radicals.• Racionalitzar i simplificar expressions amb radicals.• Transformar sumes i restes de logaritmes en un sol logaritme,

aplicant-hi les propietats corresponents.

© grup edebé 21



Lectura• Llegir de manera comprensiva problemes, situacions diverses i traduir al llenguatge científic.• Llegir comprensivament expressions numèriques per a elaborar enunciats.• Llegir informació diversa de les pàgines web proposades per a obtenir o ampliar informació, investigar, accedir a programes de càlcul, experimentar, etc. • Utilitzar estratègies de comprensió lectora:



ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer una estratègia per a calcular mentalment arrels entre 1 i 1.000. (Pàgina 38)@ Reconèixer la possible semblança de dos radicals mitjançant diversos exemples. (Pàgina 39)@ Practicar la racionalització de radicals. (Pàgina 47)

Recursos en suport digital• Potències, arrels i logaritmes. (Activitat).• Potenciació i radicació. (Resolució de problemes).• Enllaços web

© grup edebé 22



• Operar amb potències de base real i exponent racional.• Utilitzar la calculadora per a trobar potències.• Expressar arrels enèsimes i calcular-les quan sigui possible.• Determinar el signe i el nombre d’arrels d’un radical.• Efectuar operacions amb radicals.• Utilitzar la calculadora per a trobar arrels.• Calcular logaritmes decimals.• Calcular potències de base real i d’exponent natural enter.• Operar amb potències de base real i exponent enter, aplicant les propietats d’aquestes operacions.


Ús correcte dels conceptes i del vocabulari científic a l’hora de transmetre i sol·licitar informació.Ús espontani en contextos quotidians dels aprenentatges realitzats.Grau d’elaboració personal de les idees, les respostes i els processos personals desenvolupats.Grau de comprensió i comunicació de la informació científica.Ordre i claredat en la presentació d’activitats.Percentatge o nombre d’encerts en proves, exercicis i treballs escrits. Comportament: respecte, interès i motivació, atenció, tenacitat, perseverança i companyonia.Autonomia en la resolució dels problemes i en la presa de decisions.

© grup edebé 23


METODOLOGIA




• Quadern de Matemàtiques ESO, núm. 10; editorial edebé.


• Recursos en suport digital• Calculadora, ordinador i

programes relacionats amb la unitat 2.


• L’aula• El laboratori• Temps aproximat: 3

setmanes







Estructura de la unitat 2: Potenciació i radicació– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per presentar la necessitat de la potenciació i la

radicació en una situació real i contextualitzada.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 24



– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar dades sobre el mesurament dels terratrèmols i la datació de les roques.

Conèixer alguns mètodes de càlcul d’arrels quadrades utilitzats en l’Antiguitat (Babilònia, Índia) i comprovar-ne algun exemple.

© grup edebé 25












© grup edebé 26


























PROGRAMACIÓ DE SUPORTS A NECESSITATS EDUCATIVES ESPECIALS Alumnes

© grup edebé 27


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 28


UNITAT DIDÀCTICA 3: Polinomis i fraccions algèbriques

COMPETÈNCIES BÀSIQUES INDICADORS OBJECTIUS DIDÀCTICS CRITERIS D’AVALUACIÓ

Matemàtica (M)• Identificar el significat de la

informació numèrica i simbòlica per resoldre situacions de la vida quotidiana.

• Efectuar operacions amb polinomis i fraccions algèbriques.

• Identifica el significat de la informació numèrica i simbòlica per resoldre situacions de la vida quotidiana. (M)

• Efectua operacions amb fraccions algèbriques. (M)

• Reconèixer què és una fracció algèbrica.

• Efectuar operacions amb fraccions algèbriques.

• Reconèixer què és un polinomi i efectuar diverses operacions amb polinomis.

• Calcular el valor numèric d’un polinomi.• Efectuar correctament la suma, la resta, la multiplicació

i la divisió de polinomis.• Aplicar el teorema de la resta per a trobar les arrels d’un

polinomi.• Valorar la utilitat del llenguatge algèbric per a

representar i comunicar diferents situacions de la vida quotidiana.

• Simplificar fraccions algèbriques.• Reduir fraccions algèbriques a mínim comú

denominador.• Efectuar correctament la suma, la resta, la multiplicació

i la divisió de fraccions algèbriques.

Comunicació lingüística i audiovisual (CLA)• Interpretar adequadament informació

de cartells sobre prevenció d’accidents de trànsit.

• Interpreta adequadament informació numèrica i simbòlica present en situacions quotidianes. (CLA / M)

Aprendre a aprendre (AA)• Gestionar i controlar les capacitats i

els coneixements que es tenen com a base per a la pròpia formació.

• Gestiona i controla les capacitats i els coneixements que té com a base per a la pròpia formació. (AA)

• Trobar els múltiples i els divisors d’un polinomi donat.

• Calcular el MCD i el mcm. de dos polinomis o més.

• Aplicar la regla de Ruffini en la divisió de polinomis.• Factoritzar un polinomi.• Calcular el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple

de dos polinomis o més.Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar els recursos tecnològics i les

aplicacions de les TAC en situacions que requereixen l’ús del llenguatge algèbric.

• Utilitza els recursos tecnològics i les aplicacions de les TAC en situacions que requereixen l’ús del llenguatge algèbric. (TI-D)

• Conèixer les TAC com a eines útils per a treballar amb polinomis i fraccions algèbriques, i utilitzar els recursos tecnològics adequats a cada moment.

• Utilitzar les tecnologies de la informació i la comunicació com a eines útils en el procés d’aprenentatge.

© grup edebé 29


CONTINGUTS

C P V

• Polinomi. • Grau d’un polinomi. • Valor numèric d’un polinomi. • Regla de Ruffini.• Múltiples i divisors d’un polinomi. • Teorema de la resta. • Arrels d’un polinomi. • Polinomi irreductible. • Màxim comú divisor i mínim comú múltiple de dos

polinomis o més.• Fraccions algèbriques. • Fraccions algèbriques equivalents.

• Càlcul del valor numèric d’un polinomi. • Expressió de polinomis en forma ordenada i reduïda. • Operacions amb polinomis (suma, resta, multiplicació

i divisió). • Aplicació de la regla de Ruffini. • Obtenció de múltiples i divisors d’un polinomi. • Obtenció de les arrels d’un polinomi aplicant el

teorema de la resta. • Descomposició factorial d’un polinomi. • Obtenció del màxim comú divisor i el mínim comú

múltiple de dos polinomis o més a partir de la seva descomposició factorial.

• Simplificació de fraccions algèbriques. • Reducció de fraccions algèbriques a mínim comú

denominador. • Operacions amb fraccions algèbriques (suma, resta,

multiplicació i divisió).

• Valoració de la utilitat del llenguatge algèbric per a representar, comunicar o resoldre diverses situacions de la vida quotidiana.



• Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar problemes i realitzar operacions algèbriques.


Educació cívica: La imatge d’entrada d’unitat presenta la torre de Pisa, i pot servir per a establir un diàleg sobre art: arquitectura, artistes, museus, etc. de manera que l’alumne prengui consciència de diferents formes d’expressió cultural.

© grup edebé 30




Resolució d’exercicis i problemes

1. Operacions amb polinomis• Observar la forma d’expressar la suma de les àrees de tres figures i recordar el nom que rep l’expressió algèbrica obtinguda.• Llegir la definició de polinomi en una indeterminada.• Determinar, en un exemple concret, el grau d’un polinomi i llegir la definició de grau d’un polinomi.• Analitzar, mitjançant un exemple, el càlcul del valor numèric d’un polinomi i llegir la definició de valor numèric d’un polinomi.• Observar, mitjançant un exemple, les característiques d’un polinomi i el valor numèric que té per a un valor establert de la indeterminada.• Recordar la conveniència d’escriure els polinomis d’una manera reduïda i amb els monomis corresponents ordenats de major a menor grau.• Seguir cadascun dels passos dels procediments per a efectuar sumes, restes, multiplicacions i divisions de polinomis, i observar en exemples resolts l’aplicació d’aquests

procediments.• Observar en un exemple concret la relació que hi ha entre el grau del quocient i els graus del dividend i del divisor d’una divisió de polinomis.

@ Utiltizar una calculadora online per a comprovar el teorema del residu. • Llegir la relació que hi ha entre el dividend, el divisor, el quocient i el residu d’una divisió de polinomis.• Observar una divisió de polinomis el divisor dels quals és de la forma (x – a) i llegir el nom d’una regla que permet resoldre aquesta divisió.• Seguir cadascun dels passos del procediment per a dividir polinomis mitjançant la regla de Ruffini i observar-ne l’aplicació en un exemple resolt.

2. Divisibilitat de polinomis• Considerar una multiplicació entre nombres naturals per recordar els conceptes de múltiple, divisor i divisibilitat.• Fixar-se en les diferents relacions de divisibilitat que es poden establir a partir d’una multiplicació de dos nombres naturals.• Observar el producte de dos polinomis i establir que el polinomi obtingut és múltiple del primer polinomi i llegir la definició de múltiple d’un polinomi.• Reconèixer que la divisió entre el producte de dos polinomis i el primer d’ells és exacta; establir que aquest últim és divisor de l’anterior o que l’anterior és divisible pel primer

d’ells, i llegir la definició de divisor d’un polinomi.• Observar, mitjançant un exemple concret, que el valor numèric d’un polinomi per a x = a és igual a la resta de la divisió d’aquest polinomi entre x – a, comprendre que aquest

resultat es pot generalitzar i llegir el nom que rep la seva generalització.• Llegir l’enunciat del teorema de la resta.• Observar, mitjançant un exemple, que si la resta de dividir un polinomi per x – a és 0, el valor numèric del polinomi per a x = a és 0.• Recordar el concepte de 0 o arrel d’un polinomi, i llegir en quin cas es pot afirmar que a sigui una arrel d’un polinomi.• Fixar-se en què consisteix descompondre de manera factorial un polinomi i la conveniència de factorizar un polinomi fins a aconseguir factors de primer grau.• Observar, mitjançant un exemple, el mètode de treure factor comú per factorizar un polinomi.• Recordar les identitats notables i observar mitjançant un exemple concret l’aplicació d’una identitat notable per a factorizar un polinomi.• Comprovar, mitjançant un exemple concret, el mètode de factorizar un polinomi trobant els divisors de la forma x – a.

© grup edebé 31


• Observar un polinomi que no es pot descompondre en factors i llegir el nom que rep.• Llegir la definició de polinomi irreductible i reconèixer que, en descompondre de manera factorial un polinomi com a producte de polinomis de primer grau, aquest polinomi

queda expressat com a producte de polinomis irreductibles.• Determinar la definició de màxim comú divisor i la de mínim comú múltiple de dos polinomis o més.• Observar, en un exemple resolt, la manera de procedir per trobar el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos polinomis, i llegir les regles pràctiques per trobar el

màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos polinomis a partir de la seva descomposició factorial.

3. Fraccions algèbriques• Considerar una fracció com l’expressió d’una divisió entre dos nombres per establir una fracció algèbrica com una divisió entre dos polinomis; fixar-se en diferents exemples

de fraccions algèbriques, i llegir el nom que reben els polinomis que representen els dividends i els que representen els divisors.• Llegir la definició de fracció algèbrica i observar la forma de representar-la.• Llegir la definició de fraccions algèbriques equivalents i fixar-se en la forma d’expressar aquesta equivalència.• Observar, en un exemple concret, la comprovació de l’equivalència de dues fraccions algèbriques.• Considerar la conveniència de simplificar una fracció algèbrica abans d’operar-hi i observar en un exemple resolt la simplificació d’una fracció algèbrica.• Recordar en què consisteix reduir fraccions a mínim comú denominador.• Reconèixer que per a sumar i restar fraccions algèbriques és necessari que tinguin denominador comú i observar en un exemple resolt el procediment utilitzat per a reduir

dues fraccions a mínim comú denominador.• Recordar la manera de procedir per sumar i restar fraccions numèriques.• Seguir els passos necessaris per a sumar fraccions algèbriques i observar l’aplicació del procediment en un exemple resolt.• Seguir el procediment per a restar fraccions algèbriques i observar l’aplicació del procediment en un exemple resolt.• Recordar la manera de procedir per multiplicar o dividir fraccions numèriques.• Seguir els passos per multiplicar fraccions algèbriques i observar l’aplicació del procediment en un exemple resolt.• Seguir el procediment per dividir fraccions algèbriques i observar l’aplicació del procediment en un exemple resolt.

@ Realitzar el test interactiu que es proposa per a aprofundir en els temes tractats a la unitat.

s CB

© grup edebé 32


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat d’utilitzar els polinomis i les fraccions algèbriques.• A partir de la funció polinòmica de caiguda dels cossos, amb o sense velocitat inicial, calcular les altures a les quals es troben uns

objectes determinats al cap de temps diferents.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CBExpressar d’una manera polinòmica l’àrea d’una zona geomètrica determinada.A partir de la funció polinòmica que determina la distància de seguretat per a un vehicle, elaborar una taula de dades a partir de diverses

velocitats inicials, temps de reacció, acceleracions de frenada, etc.@ Mitjançant diversos enllaços, obtenir informació sobre alguns polinomis generadors de nombres primers.

COMPLEMENTÀRIES En l’apartat 1 caldrà tenir en compte que la utilització i la manipulació de símbols, imprescindibles per al treball amb polinomis, són dificultats amb les quals es troba una gran part de l’alumnat. Per això, és necessari facilitar l’assimilació del llenguatge algèbric com pot ser variar la lletra de la indeterminada perquè no sempre sigui x, introduir el concepte de polinomi utilitzant exemples físics, etc. Abans d’efectuar operacions amb polinomis, s’han de recordar i repassar les propietats operatives dels nombres racionals, i quan s’introdueixi la regla de Ruffini per a la divisió de polinomis, cal destacar el fet que el divisor ha de ser un polinomi l’expressió del qual sigui del tipus (x − a). Per a això, es poden efectuar exercicis preparatoris abans d’explicar la regla, en què l’alumne/a, una vegada reconeguda aquest tipus de divisió i mitjançant l’aplicació d’aquesta regla de Ruffini, sàpiga deduir el valor a del dividend.

En l’apartat 2, cal insistir en els conceptes numèrics de múltiple i divisor per posteriorment aplicar-ho als polinomis. S’ha de destacar que, si bé és més complex establir quan un polinomi és múltiple o divisor d’un altre, el concepte és igual de senzill que en el cas numèric. Això permetrà una comprensió més ràpida del teorema de la resta i també l’aplicació corresponent per a establir la divisibilitat d’un polinomi entre un altre del tipus (x – a), a partir del valor numèric del primer i per a un determinat valor de x.

En l’apartat 3, s’han de remarcar els paral·lelismes que hi ha entre els conceptes numèrics i els conceptes algèbrics.


1. Operacions amb polinomis Fitxa 1. Activitats 1 i 2.

2. Divisibilitat de polinomis Fitxa 2. Activitats 1, 2, 3, 4 i 5.

1. Operacions amb polinomis Fitxa 3. Activitats 3 i 4.

2. Divisibilitat de polinomis Fitxa 3. Activitats 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14 , 15, 16,

17 i 18.3. Fraccions algèbriques Fitxa 3. Activitats 19 i 20.

© grup edebé 33



Llibre de l’alumne Traduir directament la informació d’un problema al llenguatge

algèbric o utilitzant estratègies. Resoldre operacions bàsiques amb polinomis de manera

clara i ordenada. Trobar el valor numèric d’un polinomi. Assenyalar múltiples i divisors d’un polinomi donat. Factorizar polinomis de tercer grau. Calcular amb soltesa el MCD de dos polinomis. Identificar fraccions algèbriques.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació) Efectuar les operacions de suma, resta i multiplicació de

polinomis. Determinar el quocient i el residu obtinguts de la divisió de

diversos polinomis. Utilitzar la regla de Ruffini per a un divisor x −a en la divisió

de diversos polinomis. Factorizar diferents polinomis i indicar-ne les arrels. Obtenir un polinomi múltiple de dos polinomis i trobar una

arrel d’aquest polinomi múltiple a partir dels polinomis inicials. Calcular el MCD. i el mcm de dos polinomis. Simplificar una fracció algèbrica mitjançant factorització del

numerador i del denominador. Calcular la suma, la resta, la multiplicació i la divisió de

fraccions algèbriques.

Llibre de l’alumne Expressar l’àrea d’un triangle mitjançant el llenguatge algèbric. Comprendre la informació de cartells sobre prevenció d’accidents

de trànsit. Elaborar taules de valors i gràfics. Generar nombres primers utilitzant polinomis.

Material complementari Traduir de llenguatge verbal a llenguatge algèbric. Factorizar polinomis. Dividir polinomis i fraccions algèbriques. Utilitzar el llenguatge algèbric amb precisió per a expressar i

interpretar informació. Aplicar els polinomis i les operacions amb polinomis a la resolució

de problemes contextualitzats.

© grup edebé 34



Lectura• Llegir de manera comprensiva problemes, situacions diverses i traduir al llenguatge científic.• Llegir comprensivament expressions numèriques per elaborar enunciats.• Llegir informació diversa de les pàgines web proposades per obtenir o ampliar informació, investigar, accedir a programes de càlcul, experimentar, etc. • Utilitzar estratègies de comprensió lectora:



ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Aprendre a utilitzar una calculadora de divisió sintètica per a verificar el teorema de la resta. (Pàgina 65)@ Aplicar diversos tests interactius sobre conceptes treballats en aquesta unitat. (Pàgina 72)

Recursos en suport digital• Fraccions alèbriques. (Activitat).• Divisió de polinomis. (Animació).• Regla de Ruffini (Animació)• Polinomis i fraccions algèbriques. (Resolució de problemes).• Enllaços web

© grup edebé 35



Calcular el valor numèric d’un polinomi.Efectuar correctament la suma, la resta, la multiplicació i la divisió de polinomis.Aplicar el teorema de la resta per trobar les arrels d’un polinomi.Aplicar la regla de Ruffini en la divisió de polinomis.Factorizar un polinomi.Efectuar correctament la suma, la resta, la multiplicació i la divisió de fraccions algèbriques.



© grup edebé 36


METODOLOGIA




• Quadern de Matemàtiques ESO, num. 10; editorial edebé.






setmanes







Estructura de la unitat 3: Polinomis i fraccions– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat dels polinomis i les

fraccions algèbriques en una situació real i contextualitzada.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 37



– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar un quadre de text sobre l’ajust de corbes mitjançant polinomis. Determinar el

nombre d’arrels d’una sèrie de polinomis aplicant la regla dels signes després de conèixer-ne la informació. Finalment, calcular totes les arrels d’aquests polinomis i comprovar els resultats obtinguts.

© grup edebé 38






• Procés seguit en la resolució de problemes.• Activitats TIC: interactives, caceres del tresor,

enllaços web, etc.• Quadern de l’alumne.• Dossier individual.• Valoració del plantejament i dels processos

seguits, i també del resultat obtingut.




© grup edebé 39



























© grup edebé 40


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………


© grup edebé 41


UNITAT DIDÀCTICA 4: Equacions. Sistemes d’equacions


Matemàtica (M)• Utilitzar el llenguatge algèbric per a

simbolitzar, generalitzar i incorporar-ho al plantejament i la resolució d’equacions, emprant-ho com una eina fonamental en la resolució de problemes diversos.

• Utilitza el llenguatge algèbric per a simbolitzar, generalitzar i incorporar-ho al plantejament i la resolució d’equacions (de primer grau amb una i amb dues incògnites i de segon grau) i de sistemes d’equacions, emprant-ho com una eina fonamental en la resolució de problemes diversos. (M)

• Consolidar els procediments de resolució d’equacions de primer grau amb una i dues incògnites.

• Consolidar els procediments de resolució d’equacions de segon grau amb una incògnita.

• Consolidar els procediments de resolució dels sistemes d’equacions de primer grau amb dues incògnites.

• Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita pels mètodes general, de tempteig i de les iteracions.

• Representar gràficament les solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites.

• Resoldre equacions de segon grau amb una incògnita, completes i incompletes.

• Resoldre gràficament sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites i classificar-los segons les solucions obtingudes.

• Resoldre pels mètodes algèbrics de substitució, igualació i reducció diferents sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.

• Expressar en llenguatge algèbric diferents situacions en les quals intervenen equacions i sistemes d’equacions.

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Emprar recursos digitals per a la

resolució gràfica de sistemes d’equacions.

• Empra recursos digitals per a la resolució gràfica de sistemes d’equacions. (TI-D)

• Conèixer les TAC com una eina útil per a treballar amb equacions i sistemes, i utilitzar els recursos tecnològics apropiats a cada moment.

• Comprovar les solucions d’equacions, de sistemes d’equacions i de problemes.

Social i ciutadana (SC)• Valorar la constància en la recerca

de solucions i la flexibilitat per a temptejar diferents possibilitats.

• Valora la constància en la recerca de solucions i la flexibilitat per a temptejar diferents possibilitats. (SC)

• Ampliar l’estudi d’equacions i sistemes d’equacions amb les equacions biquadrades, les irracionals i els sistemes no lineals.

• Resoldre equacions biquadrades i equacions irracionals.Resoldre sistemes no lineals.

© grup edebé 42


CONTINGUTS

• C P V

• Equació. • Solució d’una equació. • Equacions de primer grau amb una incògnita. • Equacions de primer grau amb dues incògnites. • Equacions de segon grau. Equacions de segon grau

completes i incompletes. • Equacions biquadrades. • Equacions irracionals.• Sistemes d’equacions de primer grau amb dues

incògnites. • Solució d’un sistema d’equacions. • Classes de sistemes d’equacions segons les solucions

obtingudes. Sistema compatible determinat. Sistema compatible indeterminat. Sistema incompatible.

• Sistemes no lineals.• Passos del mètode general de resolució de problemes.

• Resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita pels mètodes general, de tempteig i de les iteracions.

• Representació gràfica de les solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites.

• Classificació de les equacions de segon grau amb una incògnita segons el valor dels coeficients.

• Resolució d’equacions de segon grau amb una incògnita i completes aplicant la fórmula general.

• Resolució d’equacions de segon grau amb una incògnita i incompletes utilitzant diferents procediments.

• Resolució d’equacions biquadrades i d’equacions irracionals.

• Resolució gràfica d’un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.

• Resolució algèbrica d’un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites pels mètodes de substitució, d’igualació i de reducció.

• Resolució de sistemes no lineals.• Traducció al llenguatge algèbric de diferents situacions

en les quals intervenen equacions i sistemes d’equacions.

• Comprovació de les solucions d’equacions, sistemes d’equacions i problemes.


• Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar problemes mitjançant el plantejament i la resolució d’equacions matemàtiques.

• Actitud crítica respecte de les solucions obtingudes.• Constància en la recerca de solucions a problemes

algèbrics i flexibilitat per a temptejar diferents possibilitats.

• Flexibilitat davant les diverses estratègies matemàtiques de resolució d’un problema.

• Perseverança i actitud positiva en la resolució de problemes.

• Sensibilitat i gust per la presentació clara i ordenada del procés seguit i dels resultats obtinguts en la resolució de problemes.


Educació per al consum: Les activitats relacionades amb transaccions comercials es poden aprofitar per a fomentar el coneixement i la defensa dels drets i responsabilitats del consumidor.

© grup edebé 43



Orientacions generalsRelacionar la imatge de presentació de la unitat i el text que l’acompanya amb el contingut d’aquesta unitat.Reflexionar sobre les preguntes plantejades en la presentació, revisar els continguts previs i llegir els objectius que es pretén aconseguir.Observar l’esquema de la unitat i escoltar l’explicació del professor/a.

1. Equacions de primer grau• Llegir la definició d’equació i el nom que reben les expressions algèbriques que la formen.• Reflexionar sobre una situació de la vida quotidiana en la qual es pot plantejar una equació i identificar les incògnites i els membres d’aquesta equació.• Llegir la definició de solucions de l’equació. • Observar, en un exemple concret, l’obtenció d’una equació en la qual només apareix una incògnita amb exponent 1 i llegir la definició d’equació de primer grau amb una

incògnita.• Fixar-se en l’expressió general de les equacions de primer grau amb una incògnita i llegir el nom que rep el valor de la incògnita que verifica l’equació.• Comprovar en una taula l’assignació de diferents valors a la incògnita d’una equació i la comprovació del compliment de la igualtat.• Recordar les propietats de les equacions que permeten efectuar transformacions i passar d’una equació a una altra d’equivalent.• Llegir el procediment per a resoldre una equació i observar en un exemple resolt el mètode general de resolució d’una equació de primer grau amb una incògnita.• Fixar-se en algunes expressions particulars que se solen tractar com a equacions de primer grau amb una incògnita i en les solucions obtingudes.• Seguir cadascun dels passos dels procediments de resolució d’equacions pel mètode de tempteig i pel mètode de les iteracions.• Observar una equació en la qual apareixen dues incògnites, llegir la definició d’equació de primer grau amb dues incògnites i fixar-se en l’expressió general d’aquestes

equacions.• Fixar-se que una equació de primer grau amb dues incògnites té infinites solucions i que aquestes es poden representar gràficament.• Seguir els passos per a representar gràficament les solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites.

2. Equacions de segon grau• Reflexionar sobre una situació de la vida quotidiana que no es pot resoldre mitjançant una equació de primer grau, plantejar una equació i observar que en l’equació

equivalent obtinguda només apareix una incògnita el màxim exponent de la qual és 2, i llegir el nom que rep aquesta equació.• Llegir la definició d’equació de segon grau amb una incògnita.• Observar un valor que, en substituir-lo en la incògnita, verifica l’equació, i llegir el nom que rep aquest valor i la definició de solució o arrel d’una equació.• Fixar-se en l’expressió d’una equació de segon grau amb una incògnita.• Observar, en una taula, la classificació de les equacions de segon grau amb una incògnita segons el valor dels coeficients.• Analitzar i distingir, en exemples resolts, els diferents procediments per a resoldre equacions incompletes de segon grau amb una incògnita.

@ Utilitzar una aplicació interactiva per a practicar la resolució d’algunes equacions de segon grau. • Fixar-se en la fórmula general de resolució d’equacions de segon grau amb una incògnita i en el discriminant, i reconèixer que el seu valor numèric permet determinar el

nombre de solucions de l’equació sense resoldre-la.• Observar, en un exemple resolt, el procediment per a resoldre una equació completa de segon grau amb una incògnita mitjançant la fórmula general.• Llegir el nom que reben les equacions de grau quatre sense termes de grau imparell i reconèixer-ne l’expressió.• Llegir el procediment per a resoldre les equacions biquadrades i observar en un exemple resolt l’aplicació d’aquest procediment.• Reconèixer que el nombre màxim de solucions d’una equació biquadrada és quatre, però que no totes les equacions biquadrades tenen quatre solucions.

© grup edebé 44


• Llegir el nom que reben les equacions que tenen la incògnita sota el signe radical i seguir els passos, en un exemple concret, de la resolució d’una equació irracional.• Observar en un exemple d’equació irracional que l’equació que s’obté quan s’eleva al quadrat no és equivalent a la donada.

@ Practicar la resolució d’equacions irracionals mitjançant una aplicació interactiva.

3. Sistemes d’equacions• Identificar dues equacions que s’han de complir simultàniament amb un sistema d’equacions i llegir la definició de sistema d’equacions.• Observar que, per a dos valors concrets, es verifiquen simultàniament totes les equacions del sistema per definir la solució d’un sistema d’equacions.• Fixar-se que dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions i recordar quin és el mètode per a comprovar la solució obtinguda.• Fixar-se, mitjançant un exemple resolt, en cadascun dels passos de resolució d’un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. • Observar com estan determinades les solucions d’un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.• Llegir la classificació dels sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites segons les solucions obtingudes.• Reconèixer la necessitat de resoldre sistemes per mètodes algèbrics a causa de la imprecisió del mètode gràfic.• Observar, mitjançant exemples resolts, cadascun dels passos que s’han de seguir per a resoldre un sistema pels mètodes de substitució, d’igualació i de reducció.• Llegir el nom que rep un sistema d’equacions en el qual una de les equacions no és de primer grau i observar en un exemple la resolució d’un sistema no lineal.

4. Resolució de problemes• Aprendre, mitjançant l’estudi d’un problema resolt, els passos que s’han de seguir en la resolució de problemes per mitjà de: la lectura atenta de l’enunciat, l’elecció de la

incògnita, el plantejament de l’equació, la resolució de l’equació, la resposta i la comprovació.• Observar la resolució d’un problema a partir del plantejament d’un sistema no lineal.

s CB

© grup edebé 45


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de resoldre equacions i sistemes d’equacions.• Determinar el preu de les entrades de dos espectacles culturals a partir de diferents casuístiques.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CBDeterminar el preu d’un mitjà de transport públic i el descompte que es pot obtenir amb una targeta multiviatge a partir de l’adquisició de

diversos bitllets en casuístiques diferents. Determinar les equacions de dues rectes que es vinculen amb les autopistes que uneixen tres ciutats segons diversos punts de pas donats

en forma de coordenades cartesianes.Utilitzar un programa informàtic per a representar gràficament diverses rectes, trobar les interseccions entre elles i determinar el perímetre i

el quadrilàter que formen entre elles.@ Mitjançant diversos enllaços, conèixer i aplicar un mètode de resolució d’equacions de segon grau consistent a completar quadrats.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1 és imprescindible que l’alumne/a recordi les propietats de la manipulació algèbrica bàsica, a més de les principals fórmules que existeixen per a simplificar els càlculs. Per això, seria convenient repassar fórmules com la del quadrat d’una suma, el quadrat d’una diferència, la suma per diferència i d’altres.

• En l’apartat 2, la resolució d’una equació de segon grau s’ha d’afrontar d’una manera més mecànica que la de primer grau, atès que l’explicació de la fórmula que la resol s’allunya dels objectius bàsics d’aquest apartat. Per aquest motiu, cal insistir en la memorització de la fórmula i en la interpretació correcta dels elements que la formen. Convé motivar a la reflexió sobre les solucions que ofereix aquesta fórmula i, també, la pràctica de la comprovació de les solucions, per a evitar els errors de càlcul. Això últim permetrà observar que les solucions d’equacions biquadrades i d’equacions irracionals no provenen sempre de totes les solucions de les equacions de segon grau associades (ja que les arrels i els quadrats que hi apareixen no permeten les solucions de signe negatiu).

• En l’apartat 3 és recomanable insistir en la mecanització dels diversos mètodes una vegada que l’alumne/a els sàpiga diferenciar i dur a terme els diferents passos. Això s’aconseguirà amb la realització de moltes activitats.

En l’apartat 4 convé recalcar que un dels passos principals per a la resolució d’un problema que impliqui la solució d’una equació és la traducció del text plantejat en la formulació algèbrica. A més a més, cal insistir que la resposta sempre ha de contestar la pregunta de l’enunciat (en les unitats i els termes que es demanin) i que mai no ha de consistir únicament en un nombre. Finalment, s’ha de distingir entre la solució de l’equació i la solució del problema; aquestes, malgrat que coincideixen numèricament en molts casos, no sempre es corresponen, ja que els enunciats poden contenir restriccions pel que fa al signe de la solució.

© grup edebé 46



1. Equacions de primer grau Fitxa 1. Activitats 1, 2, 3 i 4.

2. Equacions de segon grau Fitxa 1. Activitat 5.

3. Sistemes d’equacionsFitxa 2. Activitat 1.

2. Equacions de segon grauFitxa 3. Activitats 5 i 6.

3. Sistemes d’equacionsFitxa 3. Activitats 1, 2, 3 i 4.


Llibre de l’alumne• Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita que

inclouen parèntesis i denominadors.• Determinar les solucions d’una equació de primer grau amb

dues incògnites.• Resoldre equacions de segon grau amb una incògnita.• Determinar les solucions d’una equació biquadrada i una

altra d’irracional.• Resoldre sistemes d’equacions lineals i no lineals.• Resoldre problemes sobre situacions quotidianes utilitzant

equacions i sistemes.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita que

inclouen parèntesis i denominadors.• Representar gràficament les solucions d’una equació de

primer grau amb dues incògnites.• Resoldre equacions de segon grau amb una incògnita i

determinar el nombre de solucions d’una equació de segon grau amb una incògnita.

• Resoldre una equació biquadrada i una altra d’irracional.• Resoldre problemes sobre situacions quotidianes utilitzant

equacions i sistemes.• Trobar les solucions de tres sistemes d’equacions aplicant en

cadascun un dels mètodes algèbrics coneguts.

Llibre de l’alumne • Resoldre problemes sobre situacions quotidianes fent servir

equacions i sistemes.• Utilitzar recursos digitals per a representar gràficament elements i

figures del pla i determinar àrees i perímetres.• Utilitzar recursos digitals per a obtenir informació sobre el mètode

de completar quadrats.• Resoldre una equació i deduir una fórmula general per a la

resolució d’equacions, a partir de l’anàlisi i l’aplicació de la informació recollida.

Material complementari• Aplicar el plantejament i la resolució d’un sistema d’equacions a

una situació relacionada amb moviments sísmics.• Plantejar i resoldre un sistema d’equacions per a solucionar un

problema sobre el moviment de dos ciclistes.• Elaborar una taula de valors a partir d’equacions plantejades

prèviament.• Representar gràficament les dades de la taula de valors

d’equacions lineals.• Resoldre un problema de geometria aplicant una equació de

segon grau.

© grup edebé 47






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per a resoldre equacions de segon grau. (Pàgina 88)@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per a resoldre equacions irracionals. (Pàgina 90)

Recursos en suport digital• Equacions de segon grau. (Activitat).• Equacions. Sistemes d’equacions. (Resolució de problemes).• Enllaços web.

© grup edebé 48



• Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita pels mètodes general, de tempteig i de les iteracions.• Resoldre equacions de segon grau amb una incògnita, completes i incompletes.• Resoldre gràficament o algèbricament sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites i classificar-los segons les solucions obtingudes.• Plantejar i resoldre problemes en els quals intervenen equacions i sistemes d’equacions. Comprovar les solucions respectives.• Resoldre equacions biquadrades i equacions irracionals.



© grup edebé 49


METODOLOGIA










setmanes







Estructura de la unitat 4: Equacions. Sistemes d’equacions– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de resoldre

equacions i sistemes d’equacions en una situació real i contextualitzada.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 50



– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar un quadre de text sobre l’àlgebra i alguns algebristes famosos. Llegir una

notícia sobre les possibles civilitzacions de la nostra galàxia. Resoldre una activitat en la qual es relacionen la propietat distributiva, el quadrat d’una suma i el teorema de Pitàgores.

© grup edebé 51












© grup edebé 52



























© grup edebé 53


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 54


UNITAT DIDÀCTICA 5: Inequacions. Sistemes d’inequacions


Matemàtica (M)• Utilitzar els símbols propis de les

desigualtats, i les característiques principals que tenen.

• Resoldre problemes mitjançant el plantejament i la resolució d’inequacions i sistemes d’inequacions.

• Utilitza els símbols propis de les desigualtats, i les característiques principals que tenen. (M)

• Resol problemes mitjançant el plantejament i la resolució d’inequacions i sistemes d’inequacions. (M)

• Expressar en llenguatge algèbric en diferents situacions en les quals intervenen relacions de desigualtat.

• Valorar la utilitat del llenguatge algèbric per a expressar diferents situacions de la vida quotidiana.

• Resoldre inequacions i interpretar geomètricament la solució.

• Resoldre sistemes d’inequacions i interpretar geomètricament la solució.

• Expressar en llenguatge algèbric diferents situacions en les quals intervenen relacions de desigualtat.

• Utilitzar el llenguatge i els símbols propis de les desigualtats, per a interpretar i transmetre informació.

• Aplicar correctament les propietats de les desigualtats.• Resoldre inequacions de primer grau amb una incògnita i

interpretar geomètricament la solució.• Representar gràficament les solucions de les inequacions

de primer grau amb dues incògnites.• Resoldre sistemes d’inequacions de primer grau amb una

incògnita i interpretar-ne geomètricament la solució.

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Fer servir els recursos tecnològics i

les aplicacions de les TAC en situacions relacionades amb les inequacions.

• Fa servir els recursos tecnològics i les aplicacions de les TAC en situacions relacionades amb les inequacions. (TIC)

• Conèixer i aplicar les TAC com una eina útil per a treballar amb inequacions. • Utilitzar les tecnologies de la informació i la comunicació

com una eina útil en el procés d’aprenentatge.

Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Emprar les dades, les eines i els

procediments rellevants de les matemàtiques en contextos reals.

• Empra les dades, les eines i els procediments rellevants de les matemàtiques en contextos diversos. (CIMF) • Resoldre inequacions i interpretar

geomètricament la solució.• Resoldre sistemes d’inequacions i

interpretar geomètricament la solució.

• Aplicar la resolució d’inequacions i de sistemes d’inequacions per a resoldre problemes i interpretar-ne els resultats.Autonomia i iniciativa personal

(AIP)• Tenir predisposició per a comprovar

els resultats obtinguts en la resolució de problemes.

• Té predisposició per a comprovar els resultats obtinguts en la resolució de les activitats. (AIP / M))

© grup edebé 55


CONTINGUTS

C P V

• Relacions de desigualtat. • Propietats de les desigualtats.• Inequacions.• Solucions d’una inequació. • Conjunt solució. • Inequacions equivalents. • Inequacions de primer grau amb una incògnita. • Inequacions de primer grau amb dues incògnites.• Sistemes d’inequacions de primer grau amb una

incògnita.

• Aplicació de les propietats de les desigualtats.• Obtenció d’inequacions equivalents a una de donada. • Resolució algèbrica i geomètrica d’inequacions de

primer grau amb una incògnita. Representació gràfica del conjunt solució.

• Resolució d’inequacions senzilles de primer grau amb una incògnita mitjançant el càlcul mental.

• Resolució geomètrica d’inequacions de primer grau amb dues incògnites. Representació gràfica del conjunt solució.

• Resolució d’inequacions senzilles de primer grau amb dues incògnites mitjançant el càlcul mental.

• Resolució algèbrica i geomètrica de sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita. Representació gràfica del conjunt solució.

• Passos del mètode general de resolució de problemes. • Resolució de problemes mitjançant el plantejament i la

resolució d’inequacions i de sistemes d’inequacions. • Traducció al llenguatge algèbric de diferents situacions

en les quals intervenen inequacions i sistemes d’inequacions.

• Anàlisi de les solucions d’inequacions, sistemes d’inequacions i problemes.


• Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar problemes mitjançant el plantejament i la resolució d’inequacions.

• Constància en la cerca de solucions a problemes algèbrics i flexibilitat per a temptejar diferents possibilitats.

• Interès i respecte per les estratègies i solucions a problemes algèbrics diferents de les pròpies.

• Flexibilitat davant les diverses estratègies matemàtiques de resolució d’un problema.

• Perseverança i actitud positiva en la resolució de problemes.

• Actitud crítica respecte de les solucions obtingudes. • Sensibilitat i gust per la presentació clara i ordenada

del procés seguit i els resultats obtinguts en la resolució de problemes.


Educació per al consum: Les activitats relacionades amb transaccions comercials es poden aprofitar per a fomentar el coneixement i la defensa dels drets i responsabilitats del consumidor.

© grup edebé 56




1. Desigualtats• Observar, en casos concrets, la utilització dels signes < i >, amb la finalitat d’indicar que una quantitat és més gran o més petita que una altra per a definir les relacions

algèbriques més petit que i més gran que entre dos nombres.• Observar diversos nombres per comprovar si són més petits o iguals que un altre, per definir les relacions algèbriques més petit o igual que i més gran o igual que. • Fixar-se en el significat de cadascun dels signes de desigualtat.• Llegir quins nombres constitueixen el primer membre d’una desigualtat i quins constitueixen el segon membre.• Calcular la diferència entre el primer i el segon membres d’una sèrie de desigualtats, comprovar que en les desigualtats amb el signe < la diferència és un nombre negatiu,

mentre que en les desigualtats que utilitzen el signe > la diferència és un nombre positiu, per establir un criteri per a determinar, donats dos nombres, quin és el més gran.• Recordar que, si se suma o es resta el mateix nombre als dos membres d’una igualtat, aquesta es manté i que també es manté si es multipliquen o divideixen els dos

membres per un mateix nombre diferent de zero.• Sumar un nombre positiu i un nombre negatiu als dos membres d’una desigualtat i determinar la desigualtat resultant per comprovar que si se suma un mateix nombre als

dos membres d’una desigualtat s’obté una desigualtat del mateix sentit, i observar la visualització gràfica d’aquesta propietat.• Fixar-se en la definició de desigualtats del mateix sentit.• Multiplicar per un nombre positiu i per un nombre negatiu els dos membres d’una desigualtat i determinar el signe de la desigualtat resultant per comprovar que la

multiplicació per un nombre positiu conserva el sentit de la desigualtat inicial, mentre que la multiplicació per un nombre negatiu no el conserva.• Observar en un exemple resolt l’aplicació de les propietats de les desigualtats.

2. Inequacions• Observar diverses desigualtats entre expressions algèbriques per definir inequació.• Llegir la definició d’incògnites, de primer membre i de segon membre d’una inequació, i observar en un exemple els membres i les incògnites d’una inequació. • Substituir diversos valors en una inequació i comprovar en cada cas si es compleix la desigualtat per a definir les solucions d’una inequació.• Advertir la igualtat de les solucions de dues inequacions per a definir inequacions equivalents.• Recordar i aplicar les propietats de les desigualtats per a obtenir les regles que permeten passar d’una inequació a una altra d’equivalent.• Fixar-se que, a partir de les regles que permeten passar d’una inequació a una altra d’equivalent, es dedueix que en traslladar termes o aïllar la incògnita en una inequació

s’obté una altra inequació equivalent.• Observar els símbols d’implicació i de doble implicació, i fixar-se en el significat que tenen.• Observar la incògnita i l’exponent d’una inequació per advertir que es tracta d’una inequació de primer grau amb una incògnita; llegir el nom que rep el conjunt format per

totes les solucions i el símbol que ho representa. • Seguir el procediment per a resoldre inequacions de primer grau amb una incògnita i observar en un exemple resolt l’aplicació d’aquest procediment.

@ Visualitzar un video en el que s’explica la resolució d’una inequació de primer grau amb una incògnita.• Fixar-se que les semirectes representen intervals de la recta real i observar exemples de cadascun dels tipus de semirectes.

@ Entrar en una pàgina web i practicar la resolució d’inequacions de primer grau amb una incògnita.

© grup edebé 57


• Llegir, en un quadre resum, quin és el conjunt solució de les inequacions de primer grau amb una incògnita més senzilla, expressat mitjançant intervals i mitjançant la representació gràfica, i llegir el nom i el símbol que representa el conjunt solució de les inequacions que no es verifiquen per a cap nombre real.

• Observar en un exemple la resolució d’una inequació el conjunt solució de la qual està format per tots els nombres reals i la d’una altra inequació el conjunt solució de la qual és el conjunt buit.

• Fixar-se, mitjançant exemples, en la manera d’obtenir el conjunt solució d’una inequació senzilla de primer grau amb una incògnita mitjançant el càlcul mental.• Observar una inequació en la qual apareixen dues incògnites i fixar-se que existeixen parells de valors que són la solució d’aquesta inequació.• Seguir els passos per a representar gràficament les solucions d’una inequació de primer grau amb dues incògnites.• Fixar-se, mitjançant un exemple, en la manera d’obtenir la solució d’una inequació senzilla de primer grau amb dues incògnites mitjançant el càlcul mental.• Comprovar, mitjançant exemples resolts, la resolució gràfica de dues inequacions de primer grau amb dues incògnites.• Observar l’exponent d’una inequació per advertir que es tracta d’una inequació de segon grau amb una incògnita; llegir el nom que rep el conjunt format per totes les

solucions i el símbol que ho representa.• Seguir, mitjançant exemples resolts, la resolució de diferents inequacions de segon grau amb una incògnita.• Fixar-se en el símbol d’unió i en el significat que té quan es troba entre dos intervals.• Fixar-se que algunes inequacions de segon grau amb una incògnita es poden resoldre sense efectuar cap càlcul.

3. Sistemes d’inequacions• Identificar dues inequacions que s’han de complir simultàniament amb un sistema d’inequacions i llegir la definició de sistema d’inequacions de primer grau amb una

incògnita.• Observar, en un cas concret, la resolució d’un sistema d’inequacions de primer grau amb una incògnita.

@ Visualitzar un video en el que s’explica la resolució d’un sistema d’inequacions de primer grau amb una incògnita.• Recordar com es representa de manera simultània que un valor és més gran que un nombre i més petit que un altre.• Llegir en què consisteix resoldre un sistema d’inequacions i seguir els passos de resolució d’un exemple concret de sistema d’inequacions de primer grau amb una incògnita.• Llegir que, en cas que no hi hagi valors que verifiquin alhora totes les inequacions, el sistema no té solució.

4. Resolució de problemes• Aprendre, mitjançant l’estudi d’un problema resolt, els passos que s’han de seguir en la resolució de problemes mitjançant: la lectura atenta de l’enunciat, l’elecció de la

incògnita, el plantejament de la inequació, la resolució de la inequació, la resposta i la comprovació.

s CB

© grup edebé 58


ALTRES ACTIVITATS

AVALUACIÓ INICIAL Grup classe• Resoldre exercicis diversos relacionats amb els ítems indicats en la Preparació de la unitat.• Examinar els continguts de la unitat que contribueixen a l’assoliment de les competències bàsiques indicades.

MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de resoldre inequacions i sistemes d’inequacions.• Expressar algèbricament les inequacions que representen el nombre de peces defectuoses fabricades per tres màquines de diferent

fiabilitat amb una producció de 1.000 peces cadascuna.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Determinar i resoldre la inequació que representa la fabricació d’un producte tenint en compte totes les despeses i el preu de venda final

amb la finalitat d’obtenir beneficis.• Determinar la inequació que expressa la longitud d’un cilindre perquè tingui una massa més gran o igual que les dues semiesferes a les

quals està unit. Per a això, es disposa de les magnituds necessàries que afecten aquest cas.@ Mitjançant diversos enllaços, plantejar i resoldre inequacions basades en possibles enviaments postals en funció del nombre d’efectes

que s’han d’enviar, de les tarifes vigents, del tipus de destinació i del pressupost del qual es disposa.

ACTIVITATS FINAL BLOC I• A partir de la informació nutricional de tres tipus de llet, del calci recomanat diàriament per persona i del volum d’un got, respondre a

determinades qüestions quantitatives i qualitatives relaciones amb algunes magnituds en funció de les diverses dades que es presenten.• A partir dels preus de diversos envasos i de la forma d’embalatge de sucs de fruita, calcular el cost d’unes compres determinades i els

percentatges d’estalvi en aquestes compres.• Resoldre un problema de mòbils, mitjançant equacions, consistent en dos cotxes que surten simultàniament en sentit contrari des de dos

punts distants entre si.• Calcular un salari mensual i un salari anual a partir de diverses dades: retencions, quotes de la Seguretat Social, pagues extres, etc.• Determinar la velocitat a la qual va un conductor si se li han restat diversos punts per velocitat excessiva en funció del barem sancionador

en aquests casos.• Calcular diversos percentatges d’estalvi i les opcions de bitllets més avantatjoses en funció de les tarifes i del mitjà de transport públic.• Completar una factura del subministrament d’aigua a partir de diverses dades que es presenten: volums consumits, tarifes, taxes,

impostos, etc.

PROJECTE BLOC I: Exposició: L’aigua en el món

Fase 1: TriaA partir de la presència i la necessitat de l’aigua en el planeta, buscar informació sobre això i debatre amb els companys sobre algunes qüestions que es proposen.

Fase 2: PlanificaEl projecte es planifica en cinc fases: anàlisi de la situació, sensibilització, recollida de la informació, preparació de l’exposició i aprendre a aprendre. Cadascuna d’aquestes fases comporta la realització de diverses qüestions que els alumnes han de respondre adequadament.

© grup edebé 59


Fase 3: DesenvolupaEls alumnes han de buscar informació sobre el consum, la disponibilitat i la contaminació de l’aigua en el món; per a això, han de crear un wiki que contingui informació diversa (gràfics comparatius de la distribució de l’aigua en el món, formació sobre el consum de l’aigua en el nostre entorn més proper, costos que comporta depurar l’aigua, etc.). També han de tenir en compte els temes que cal tractar, buscar fotografies impactants, organitzar la informació obtinguda i escollir la manera de publicar-la.

Fase 4: ReflexionaPer a avaluar el projecte i amb l’ajuda de l’elaboració d’un diari reflexiu sobre les activitats realitzades i algunes qüestions que es plantegen, s’utilitzarà el dossier individual de l’alumne amb les evidències corresponents a les tasques executades, adjuntant la rúbrica d’avaluació en la qual es recullen les competències i el grau de consecució d’aquestes per part dels alumnes.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1 una bona part de les dificultats que troben els alumnes pel que fa al treball amb desigualtats radica en una comprensió insuficient de les modificacions que experimenta el signe de la desigualtat davant una multiplicació per un nombre negatiu. Amb la finalitat de solucionar aquest problema, pot ser útil aturar-se en la interpretació gràfica d’aquest tipus de manipulacions algèbriques. Els símbols algèbrics no són solament representacions formals, sinó que també són receptors de significat. Per fomentar l’ús del llenguatge algèbric, el professor/a pot introduir elements de debat a classe, com ara discussions sobre situacions problemàtiques que, si estan contextualitzades, solen motivar els alumnes. El professor/a hauria de tractar de crear a classe un llenguatge comú, usant significats propers a l’entorn social i cultural de l’alumne/a, per tal d’aconseguir un acostament progressiu i comprensiu de la simbologia i dels formalismes algèbrics.

• En els apartats 2 i 3, abans de tractar la resolució d’inequacions, cal que els alumnes representin en la recta real diferents intervals no fitats, ja que aquests tipus d’intervals s’introdueixen per primera vegada en aquesta unitat.

• En l’apartat 4, el mètode general de resolució de problemes mitjançant inequacions o sistema d’inequacions consta d’una sèrie de passos que coincideixen amb els que ja hem vist per a les equacions. El fet d’haver afrontat anteriorment la resolució de problemes amb equacions dotarà els alumnes d’una sèrie de recursos procedimentals i de confiança en les pròpies capacitats, que es podran aprofitar en el treball amb inequacions. Especialment, convé posar l’atenció sobre dos passos clau per a afrontar amb èxit la resolució de problemes i que ja van ser discutits quan es van tractar les equacions: la traducció del text plantejat a la formulació algèbrica i l’anàlisi crítica de les solucions obtingudes. Aquests passos requereixen més insistència, ja que els alumnes hi troben les dificultats principals per a resoldre correctament un problema.

© grup edebé 60



2. Inequacions Fitxa 1. Activitats 1, 2 i 3.

3. Sistemes d’inequacionsFitxa 2. Activitats 1, 2 i 3.

3. Sistemes d’inequacionsFitxa 3. Activitats 1, 2 i 3.


Llibre de l’alumne• Interpretar desigualtats.• Resoldre inequacions de primer grau amb una incògnita.• Obtenir inequacions equivalents a una de donada.• Resoldre gràficament inequacions de primer grau amb dues

incògnites.• Resoldre problemes en els quals cal plantejar condicions de

desigualtat i solucionar la inequació o el sistema d’inequacions resultant.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Expressar en forma de desigualtat algèbrica situacions

quotidianes i reconèixer les solucions d’una inequació.• Obtenir inequacions equivalents a una de donada.• Resoldre inequacions de primer grau amb una incògnita i

representar gràficament el conjunt solució.• Resoldre sistemes de dues inequacions lineals amb una

incògnita i representar gràficament el conjunt solució.• Escriure una inequació o sistema d’inequacions de primer

grau amb una incògnita a partir dels intervals representats com a conjunt solució.

• Resoldre problemes en els quals cal plantejar condicions de desigualtat i solucionar la inequació o el sistema d’inequacions resultant.

Llibre de l’alumne • Resoldre problemes sobre situacions quotidianes utilitzant

inequacions.• Resoldre problemes geomètrics emprant sistemes d’inequacions.• Fer servir recursos digitals per a obtenir informació sobre les

tarifes postals vigents.• Resoldre un problema d’inequacions utilitzant la informació

obtinguda.• Fer servir recursos digitals per a representar gràficament

inequacions.

Material complementari• Aplicar el plantejament i la resolució d’una inequació a una

situació quotidiana de comparació de tarifes de telefonia.• Confeccionar un diagrama de barres per comparar informació

sobre diverses ofertes comercials.• Determinar l’oferta comercial més avantatjosa per a diverses

necessitats de diversos clients.• Resoldre un problema d’inequacions relacionat amb estadístiques

esportives.• Emprar les inequacions en una situació quotidiana de física

aplicada.

Activitats final bloc I• Operar amb mesures de massa, capacitat i volum, i calcular

percentatges.• Resoldre equacions i sistemes d’equacions de primer grau amb

dues incògnites.• Resoldre inequacions i sistemes d’inequacions de primer grau.

© grup edebé 61





Expressió• Exposar, de manera oral i escrita, el plantejament i desenvolupament de la resolució de problemes de caràcter divers.• Expressar adequadament els aprenentatges, utilitzant el vocabulari precís i propi de la ciència.

ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Visionar un vídeo sobre la resolució d’inequacions de primer grau amb una incògnita. (Pàgina 112)@ Conèixer una aplicació interactiva per a resoldre gràficament inequacions de primer grau. (Pàgina 113)@ Visionar un vídeo sobre la resolució de sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita. (Pàgina 117)

Recursos en suport digital• Representació gràfica de la solució d’una inequació. (Animació).• Inequacions. (Caceres del tresor).• Inequacions. Sistemes d’inequacions. (Resolució de problemes).• Enllaços web.

© grup edebé 62



• Expressar en llenguatge algèbric diferents situacions en les quals intervenen relacions de desigualtat.• Resoldre inequacions de primer grau amb una incògnita i interpretar geomètricament la solució.• Representar gràficament les solucions de les inequacions de primer grau amb dues incògnites.• Resoldre sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita i interpretar-ne geomètricament la solució.• Aplicar la resolució d’inequacions i de sistemes d’inequacions per a resoldre problemes i interpretar-ne els resultats.



© grup edebé 63


METODOLOGIA










setmanes







Estructura de la unitat 5: Inequacions. Sistemes d’inequacions– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de resoldre

inequacions i sistemes d’inequacions en una situació real i contextualitzada.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del



Es proposen també activitats complementàries, activitats TIC, activitats de treball de les competències bàsiques, i de reforç i aprofundiment.

Tot el treball dels continguts està orientat al desenvolupament i l’adequació de les competències bàsiques definides en la unitat.


– Síntesi: esquema que relaciona gràficament els continguts bàsics de la unitat acompanyat d’una definició o

© grup edebé 64


explicació breu de cadascun.– Activitats finals organitzades segons els continguts principals de la unitat i de tipologia diversa: reforç,

aprofundiment (Més a fons), aplicació de la calculadora, treball en grup, activitats TIC.– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar dos quadres de text sobre l’avaluació del risc d’incendis i un problema de

transport de mercaderies. Reflexionar sobre les propietats de la relació d’ordre ser més petit o igual que, i resoldre l’activitat suggerida en el text.

– Activitats d’avaluació de les CB del bloc I.– Projecte final bloc I: Exposició: L’aigua en el món.

© grup edebé 65












© grup edebé 66



























© grup edebé 67


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 68


UNITAT DIDÀCTICA 6: Semblança en el pla i en l’espai


Matemàtica (M)• Utilitzar sistemes convencionals de

representació espacial (maquetes, plànols, mapes…), i triar el més adequat per a l’obtenció, la interpretació, la comprensió, l’elaboració i la comunicació d’informacions relatives a l’espai físic, i per a la resolució de problemes diversos d’orientació i representació que es puguin aplicar en situacions reals.

• Utilitza el coneixement de les relacions geomètriques per a resoldre situacions quotidianes que ho requereixin. (M / CIMF)

• Tria el sistema de representació geomètrica més adequat per a la resolució de problemes diversos d’orientació i representació que es puguin aplicar en situacions reals. (M / TI-D)

• Calcular la raó de semblança entre figures semblants i identificar-les.

• Aplicar l’homotècia i la semblança per realitzar construccions de figures i cossos semblants.

• Conèixer els criteris i els teoremes relatius a la semblança de triangles, i aplicar-los al càlcul de distàncies en triangles.

• Identificar figures semblants en el pla i en l’espai.• Relacionar la raó de semblança entre dues figures

semblants amb la raó entre els perímetres, les àrees i els volums corresponents.

• Aplicar moviments a figures en el pla i construir figures geomètriques homotètiques i semblants.

• Aplicar els criteris i els teoremes relatius a la semblança de triangles semblants per a resoldre situacions diverses.Artística i cultural (AC)

• Comprendre obres artístiques (missatge, contextos, elements característics…).

• Comprèn obres artístiques (missatge, contextos, elements característics…). (CA)

Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Analitzar la presència de la

representació geomètrica en l’entorn.

• Analitza la presència de representacions geomètriques en l’entorn. (IMF / M) • Interpretar plànols dibuixats a escala

i representar gràficament figures a escala.

• Valorar la importància de la representació geomètrica d’objectes en el pla.

• Reconèixer el concepte d’escala aplicat a mapes i plànols, i calcular longituds i àrees a partir d’aquestes representacions.

• Efectuar representacions a escala de figures geomètriques.

• Mostrar una actitud d’interès per la realització sistemàtica i ordenada, i per la presentació acurada de construccions geomètriques.

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar recursos digitals per a

representar cossos i figures geomètriques.

• Utilitza recursos digitals per a representar cossos i figures geomètriques. (TIC)

© grup edebé 69


CONTINGUTS

C P V

• Figures i cossos semblants: raó de semblança.• Propietats de les figures semblants.• Transformacions isomorfes: homotècia i semblança.• Propietats de l’homotècia i la semblança.• Perímetres i àrees de figures semblants.• Volum de figures semblants. • Mapes i plànols. Escales.

• Identificació de figures semblants.• Construcció de figures semblants.• Càlcul de la raó de semblança. • Obtenció de les relacions numèriques entre

perímetres, àrees i volums de figures semblants. • Interpretació de representacions a escala i obtenció de

l’escala d’una representació.• Representació gràfica de figures a escala. • Càlcul de la raó de semblança entre figures i cossos

geomètrics.

• Reconeixement i valoració de la utilitat de la semblança per a la construcció de figures.

• Utilització acurada i precisa dels instruments de dibuix adequats per a la construcció de figures geomètriques.

• Reconeixement i valoració de la utilitat dels instruments de dibuix per a construir figures d’una manera precisa.

• Gust per la realització i la presentació acurada i ordenada de treballs que incloguin representacions a escala.


Educació per al consum: En la unitat hi ha activitats d’interpretació i càlculs d’escales de planòls i mapes que ajudaran els alumnes a apreciar la importància d’ajustar-los al màxim a la realitat.

© grup edebé 70




1. Figures i cossos semblants• Observar parells de cossos i figures de grandàries diferents per comprendre el concepte de semblança.• Reconèixer que la distància entre dos punts qualssevol d’una figura i la distància entre els seus dos punts homòlegs d’una altra són proporcionals. Llegir el nom que rep

aquesta proporcionalitat.• Llegir la definició de raó de semblança.• Observar mitjançant un exemple el càlcul de la raó de semblança de dues figures.• Recordar el mètode de Tales o de radicació per a construir figures semblants.• Observar en una taula les propietats de diverses figures i cossos semblants.• Recordar les condicions de semblança de triangles.

2. Construcció de figures i cossos semblants• Observar que la paraula semblança s’aplica a dos conceptes diferents: una relació mètrica entre dues figures i una transformació isomorfa. Recalcar la importància de

diferenciar aquests conceptes.• Observar, mitjançant un exemple, la transformació d’un polígon en un altre aplicant el mètode d’homotècia.• Reconèixer les relacions de proporcionalitat que s’estableixen entre les distàncies d’un polígon i el centre d’homotècia i les distàncies homòlogues de l’altre i aquest punt.• Llegir la definició d’homotècia.• Considerar que també es pot aplicar l’homotècia per a construir cossos o figures semblants en l’espai.• Observar en una taula els quatre casos diferents que es poden produir en funció del valor de la raó k.• Reconèixer les condicions que compleix una homotècia a partir d’un cas representat gràficament.• Llegir la definició d’identitat.• Llegir la definició de simetria central.• Observar, a partir de tres exemples gràfics, les dades necessàries per a determinar una homotècia.• Observar, mitjançant un exemple, la transformació d’un triangle en un altre aplicant el mètode de semblança. Destacar que aquest procés implica una homotècia de centre O

i raó k, seguida d’una simetria axial d’eix y.• Llegir la definició de semblança.• Reconèixer les condicions que compleix una semblança.• Recordar els conceptes de transformació isomètrica o moviment.• Observar una taula en la qual es recullen els resultats d’aplicar a una figura la composició successiva de dues transformacions.

@ Consultar una pàgina web amb un applet interactiu que permet experimentar amb figures semblants.• Fixar-se que s’obté la mateixa figura quan s’inverteix l’ordre dels dos moviments.

© grup edebé 71


3. Longituds, àrees i volums en figures i cossos semblants• Observar dos polígons semblants per determinar les relacions de proporcionalitat que s’estableixen entre algunes de les seves longituds homòlogues. • Llegir la definició de la raó entre dues longituds homòlogues de dos cossos o figures semblants.• Observar en un exemple resolt com es calculen algunes longituds característiques d’un cos semblant a un altre.• Reconèixer el perímetre d’una figura com una de les seves longituds característiques i establir la raó entre els perímetres de dues figures semblants.• Observar, mitjançant la demostració analítica corresponent, la raó entre les àrees de dos polígons semblants.• Llegir la definició de la raó entre les àrees de dos cossos o figures semblants.• Observar en un exemple resolt com es calcula l’àrea d’un cos semblant a un altre.• Observar, mitjançant la demostració analítica corresponent, la raó entre els volums de dos cossos semblants.• Llegir la definició de la raó entre els volums de dos cossos semblants.• Observar en un exemple resolt com es calcula el volum d’un cos semblant a un altre.• Analitzar l’aplicació del concepte de semblança per representar sobre el paper objectes massa grans o massa petits: mapes, plànols, etc.• Reconèixer que les representacions dels plànols o els mapes són proporcionals a l’objecte o territori que representen.• Llegir la definició d’escala d’un mapa o un plànol.• Interpretar l’expressió d’una escala en forma de quocient i la representació gràfica corresponent.

CB

ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer i aplicar la semblança en el pla i en l’espai.• Resoldre una situació real en la qual cal aplicar una escala concreta per a determinar distàncies en un plànol cartogràfic.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Aplicar una homotècia i una translació a una figura plana utilitzant les dades proposades; comprovar el resultat a partir d’algun programa

informàtic.• A partir de les dades que es donen sobre el plànol d’un pis, determinar-ne l’escala de reproducció i algunes superfícies que se sol·liciten.@ Mitjançant diversos enllaços, recollir informació sobre pintors i escultors que utilitzen formes geomètriques en les obres que duen a

terme, i realitzar a continuació les activitats que es proposen.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1, el concepte de semblança pot ser motiu de confusió entre l’alumnat a causa del diferent significat que té en el llenguatge col·loquial i en el llenguatge matemàtic. Col·loquialment, semblant és sinònim de similar; no obstant això, el terme semblança en matemàtiques es refereix a dues figures geomètriques que tenen la mateixa forma però diferent grandària.

• En l’apartat 2, el concepte d’homotècia es pot introduir utilitzant un projector de diapositives i comparant la imatge de la diapositiva amb

© grup edebé 72


la imatge sobre la pantalla; o amb una llanterna, comparant una figura plana amb l’ombra que fa sobre una paret. En aquest apartat apareix una altra accepció de la paraula semblança, que fa referència a la transformació d’una figura en una altra de semblant. És important que els alumnes sàpiguen diferenciar entre els diversos significats d’aquest terme.

• En l’apartat 3 és important que el professor/a insisteixi que la raó de semblança de dos cossos és una raó de proporcionalitat entre qualsevol de les longituds homòlogues. Un exercici que pot ajudar a comprendre aquest concepte consisteix a dibuixar dos punts qualssevol en una figura, i trobar-ne els punts homòlegs en la figura semblant a aquesta. Per a comprovar la relació entre àrees i volums de cossos semblants amb la raó de semblança, és convenient construir cossos geomètrics amb paper o cartolina i comparar la quantitat de paper utilitzat i la capacitat que té cada cos. Cal insistir que el concepte d’escala d’un mapa és una constant de proporcionalitat, igual que la raó de semblança, i que l’única diferència entre totes dues és la manera d’expressar-les. Convé que els alumnes treballin amb mapes i maquetes reals, i que en calculin distàncies, àrees i volums.


2. Construcció de figures i cossos semblants Fitxa 1. Activitats 1, 2, 3 i 4.

3. Longituds, àrees i volums en figures i cossos semblants

• Fitxa 2. Activitats 1, 2, 3 i 4.

1. Figures i cossos semblants• Fitxa 3. Activitats 4 i 8.

2. Construcció de figures i cossos semblants Fitxa 3. Activitats 1, 2 i 3.

3. Longituds, àrees i volums en figures i cossos semblants

Fitxa 3. Activitats 5, 6, 7, 9 i 10.


Llibre de l’alumne• Calcular les mesures de dos triangles semblants.• Obtenir l’àrea de dos polígons semblants.• Determinar el perímetre d’un triangle al qual s’ha aplicat una

simetria seguida d’una homotècia.• Calcular les longituds, les àrees i els volums de dos cubs

semblants.• Determinar l’àrea d’una figura a partir de la semblança de

triangles.• Resoldre un problema, aplicant el concepte d’escala d’un

plànol.• Calcular la raó de semblança d’una figura a partir de les

relacions de semblança entre dues altres figures.

Llibre de l’alumne • Representar una figura geomètrica a la qual s’ha aplicat una

homotècia seguida d’una translació, i calcular-ne l’àrea.• Utilitzar recursos digitals per a representar figures geomètriques.• Determinar l’escala d’un plànol.• Calcular àrees, aplicant el concepte d’escala d’un plànol.• Utilitzar recursos digitals per a cercar informació sobre figures

geomètriques presents en l’art.• Elaborar fitxes tècniques i crear una presentació a partir de

l’anàlisi i la gestió de la informació obtinguda.

Material complementari• Triar el sistema de representació geomètrica més adequat per a

la resolució de problemes.

© grup edebé 73


Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Determinar quina homotècia s’ha aplicat a dos polígons

semblants.• Identificar triangles semblants.• Calcular l’àrea de dos polígons semblants.• Obtenir el volum de dos cossos semblants.• Determinar l’àrea i el volum de dos cilindres semblants a un

altre i trobar la raó de semblança entre ells.• Calcular les mesures de dues piràmides semblants.• Resoldre un problema, aplicant el concepte d’escala en una

maqueta.

• Aplicar el teorema de Pitàgores en la resolució de problemes geomètrics.

• Aplicar els criteris de semblança de triangles per a calcular distàncies.

• Utilitzar els sistemes d’equacions per a la resolució de problemes geomètrics.

© grup edebé 74






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer i practicar una miniaplicació (applet) per experimentar amb figures semblants. (Pàgina 144)@ A partir d’un enllaç determinat, conèixer i experimentar amb un mapa topogràfic nacional a diverses escales. (Pàgina 148)

Recursos en suport digital• Homotecia. (Animació).• Semblaça en el pla i en l’espai. (Resolució de problemes).• Enllaços web.

© grup edebé 75



• Identificar figures semblants en el pla i en l’espai.• Relacionar la raó de semblança entre dues figures semblants amb la raó entre els perímetres, les àrees i els volums corresponents.• Aplicar moviments a figures en el pla i construir figures geomètriques homotètiques i semblants.• Aplicar els criteris i els teoremes relatius a la semblança de triangles semblants per a resoldre situacions diverses.• Reconèixer el concepte d’escala aplicat a mapes i plànols, i calcular longituds i àrees a partir d’aquestes representacions.



© grup edebé 76


METODOLOGIA










setmanes







Estructura de la unitat 6: Semblança en el pla i en l’espai– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de reconèixer i aplicar

la semblança en el pla i en l’espai en situacions reals i contextualitzades.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 77




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar diversos quadres de text sobre la descripció objectiva de les formes, les

representacions bidimensionals d’obres arquitectòniques i el tràveling en el cinema. Llegir una notícia sobre l’ús del contra-zoom en el cinema. Calcular les mesures d’un dibuix obtingut a partir d’una ampliació i una posterior reducció d’un dibuix anterior.

© grup edebé 78












© grup edebé 79



























© grup edebé 80


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 81


UNITAT DIDÀCTICA 7: TrigonometriaCOMPETÈNCIES BÀSIQUES INDICADORS OBJECTIUS DIDÀCTICS CRITERIS D’AVALUACIÓ

Matemàtica (M)• Aplicar els conceptes elementals de

la trigonometria a la resolució de problemes de la vida quotidiana.

• Apreciar les aplicacions de la trigonometria en la determinació d’altures i distàncies.

• Aplica els conceptes elementals de la trigonometria a la resolució de problemes de la vida quotidiana. (M)

• Aprecia les aplicacions de la trigonometria en la determinació d’altures i distàncies. (M)

• Conèixer les raons trigonomètriques d’un angle agut i resoldre triangles rectangles.

• Conèixer les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.

• Establir les relacions entre les raons trigonomètriques d’un mateix angle o d’angles diferents.

• Resoldre problemes en els quals siguin necessaris els càlculs amb raons trigonomètriques.

• Transformar unitats angulars de radians a graus, i viceversa.

• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle agut.• Resoldre triangles rectangles a partir de dues dades

donades en diferents casos.• Determinar un angle si se’n coneix una de les raons

trigonomètriques.• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol

conegudes les coordenades d’un punt del costat extrem.• Obtenir gràficament les raons trigonomètriques de

qualsevol angle sobre la circumferència goniomètrica.• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol

si es coneix una de les raons.• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol

reduint-lo abans al primer quadrant.• Determinar altures i distàncies en situacions quotidianes

aplicant la trigonometria. • Aplicar la trigonometria a la resolució de diversos tipus de

problemes de la vida quotidiana.

Comunicació lingüística i audiovisual (CLA)• Utilitzar el llenguatge geomètric per

a interpretar i transmetre informació.

• Utilitza el llenguatge geomètric per a interpretar les relacions trigonomètriques. (CLA / M)

Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Comunicar la informació i els

coneixements d’una manera estructurada i ajustada a la necessitat i el context.

• Comunica la informació i efectua càlculs d’una manera estructurada i ajustada a la necessitat i el context. (CIMF)

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar els recursos tecnològics en

situacions relacionades amb la trigonometria.

• Utilitza els recursos tecnològics en situacions relacionades amb la trigonometria. (TI-D)

• Conèixer les TAC com una eina útil per a treballar aspectes diversos de la trigonometria i utilitzar els recursos tecnològics apropiats en cada cas.

• Usar la calculadora d’una manera autònoma i racional.• Utilitzar els recursos digitals com una eina útil en el

procés d’aprenentatge.

© grup edebé 82


CONTINGUTS

C P V

• Angle. Angle recte. • Unitats de mesura d’angles. Radian i grau sexagesimal. • Angles orientats. Angles positius i negatius.• Raons trigonomètriques d’un angle agut: sinus, cosinus i

tangent. • Raons trigonomètriques inverses: cosecant, secant i

cotangent. • Raons trigonomètriques dels angles de 30°, 45° i 60°.• Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol. • Raons trigonomètriques dels angles de 0° i 90°. • Circumferència goniomètrica. • Valor i signe de les raons trigonomètriques segons el

quadrant al qual pertanyi l’angle. • Relacions entre les raons trigonomètriques d’un mateix

angle. • Relacions entre les raons trigonomètriques d’un angle

dels quadrants segon, tercer o quart i les d’un angle del quadrant primer.

• Conversió d’unitats angulars de radian a grau i viceversa.

• Representació d’angles orientats. • Reducció d’un angle al primer gir.• Càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle agut. • Deducció de les raons trigonomètriques dels angles de

30°, 45° i 60°. • Resolució de triangles rectangles. • Determinació d’altures i distàncies mitjançant l’aplicació

de la trigonometria. • Ús racional de la calculadora per a convertir unitats

angulars i per a trobar raons trigonomètriques d’angles o angles a partir de les raons trigonomètriques corresponents.

• Càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol a partir de la seva representació gràfica en un sistema de coordenades.

• Representació sobre la circumferència goniomètrica dels segments corresponents al sinus, el cosinus i la tangent d’un angle.

• Determinació del signe de les raons trigonomètriques d’un angle segons el quadrant al qual pertanyi.

• Reducció al primer quadrant. Càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol si es coneixen les dels angles del primer quadrant.

• Càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle a partir d’una de les raons.

• Resolució de diversos tipus de problemes mitjançant l’aplicació de la trigonometria.


• Valoració de la precisió, la simplicitat i la utilitat del llenguatge propi de la trigonometria per a representar, comunicar o resoldre situacions de la vida quotidiana.

• Interès per l’aprenentatge dels procediments d’utilització de la calculadora i per l’ús racional d’aquesta.

• Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar problemes i realitzar operacions amb raons trigonomètriques.

• Sensibilitat per la presentació clara i ordenada dels exercicis i els problemes resolts.

© grup edebé 83




1. Mesura d’angles• Recordar la classificació dels angles segons l’amplitud o la mesura d’aquests.• Observar que dues rectes perpendiculars en el pla formen quatre angles iguals i cadascun és un angle recte.• Recalcar que a partir de l’angle recte es defineixen les unitats de mesura d’angles.• Llegir la definició de grau sexagesimal.• Llegir la definició de radian.• Fixar-se en l’equivalència entre graus i radians.• Observar en un exemple resolt la transformació de graus sexagesimals a radians i viceversa.• Considerar els angles com a girs i classificar-los segons el sentit de gir.• Recordar que els eixos de coordenades divideixen el pla en quatre regions, llegir el nom que reben i com s’enumeren.• Seguir el procediment per a representar un angle orientat en un sistema de coordenades cartesianes.• Llegir com es classifiquen els angles orientats.• Reflexionar sobre la possibilitat de definir angles més grans de 360°; observar en un cas concret la coincidència entre la representació d’un angle més gran de 360° i la d’un

angle més petit de 360°, i llegir que aquest últim angle és el resultat de reduir al primer gir l’angle més gran de 360°.• Seguir el procediment que permet reduir un angle al primer gir i observar en un exemple resolt l’aplicació d’aquest procediment.

2. Raons trigonomètriques d’un angle agut• Observar un angle agut d’un triangle rectangle i llegir el nom que reben els quocients entre les longituds de cada dos dels seus costats.• Llegir el nom, la definició i la fórmula de les raons trigonomètriques d’un angle agut.• Observar diversos triangles rectangles semblants amb un angle agut comú i raonar que el sinus d’aquest angle és independent del triangle rectangle escollit.• Advertir que les raons trigonomètriques d’un angle són adimensionals.• Llegir el nom que rep cadascuna de les raons trigonomètriques inverses i la fórmula corresponent.

@ Analitzar les raons trigonomètriques de duferents triangles a partir d’una activitat interactiva.

• Seguir el procediment que permet calcular el sinus d’un angle mitjançant la calculadora i el procediment que permet trobar el valor d’un angle si se’n coneix una de les raons trigonomètriques.

• Obtenir les raons trigonomètriques dels angles de 30° i de 60° considerant un triangle equilàter de costat la unitat i les d’un angle de 45° considerant un quadrat de costat la unitat.

• Observar, en un exemple resolt, el càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle agut d’un triangle rectangle.• Llegir, en una taula, els casos que es poden presentar en la resolució de triangles rectangles i observar-ne la resolució.• Fixar-se en el nom que rep l’angle que forma la visual amb el pla horitzontal que passa per l’ull de l’observador segons si el punt observat està per damunt o per sota d’aquest

pla.• Observar, en exemples resolts, la determinació d’altures i de distàncies.

3. Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol

© grup edebé 84


• Observar la representació d’un angle i considerar les coordenades d’un punt del costat extrem per definir les raons trigonomètriques d’aquest angle.• Reconèixer que les definicions de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol no depenen del punt del costat extrem de l’angle escollit.• Fixar-se que les definicions donades per a les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol coincideixen amb les donades per a un angle agut.• Observar, en un exemple resolt, el càlcul del valor de les raons trigonomètriques d’un angle si es coneixen les coordenades d’un punt del costat extrem.• Reconèixer que, per a calcular les raons trigonomètriques d’un angle, es pot considerar un punt del costat extrem situat sobre una circumferència de radi 1 centrada en l’origen

de coordenades; llegir el nom que rep aquesta circumferència, i observar que el sinus i el cosinus de l’angle coincideixen amb l’ordenada i l’abscissa d’aquest punt.• Observar en una figura els segments representatius del valor del sinus i del cosinus d’un angle.@ Analitzar els signes de les raons trigonomètriques de diferents angles a partir d’una activitat interactiva.• Seguir el procediment per a trobar un segment representatiu del valor de la tangent d’un angle.• Observar, en un exemple resolt, la manera de procedir per a dibuixar en una circumferència goniomètrica tots els angles en què la tangent té un valor determinat. • Raonar sobre els valors entre els quals estan compresos el sinus i el cosinus d’un angle i sobre el signe del sinus, del cosinus i de la tangent.• Deduir la relació que es pot establir entre el sinus i el cosinus d’un mateix angle i el nom que rep la fórmula obtinguda, i deduir també la que es pot establir entre el sinus, el

cosinus i la tangent d’un mateix angle.• Observar, en un exemple resolt, el càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle si es coneix una de les raons i a partir de les relacions entre les raons trigonomètriques d’un

mateix angle. • Comprovar en una taula que les raons trigonomètriques d’un angle coincideixen, excepte en el signe, amb les d’algun angle del primer quadrant.• Observar, en exemples resolts, el càlcul de les raons trigonomètriques de diferents angles a partir de la reducció al primer quadrant.

CB

© grup edebé 85


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer i utilitzar la trigonometria.• Determinar l’angle amb el qual s’observarà un far des d’un vaixell donat algun angle d’elevació i diverses distàncies.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Determinar diverses distàncies a partir de les longituds de dos triangles semblants formats per punts d’observació i l’alçària d’uns fanals.• Trobar l’alçària d’un pont i la longitud del cable que el subjecta a partir de diverses distàncies i angles.@ Mitjançant diversos enllaços, conèixer el funcionament i les aplicacions de l’astrolabi, i també la manera de resoldre un cas pràctic a partir de la utilització d’aquest aparell.

COMPLEMENTÀRIES En l’apartat 1 és fonamental que els alumnes comprenguin que qualsevol angle es pot reduir al primer gir, amb un valor entre 0° i 360° i un signe associat al sentit de gir. La conversió d’unitats angulars no ha de presentar dificultats als alumnes d’aquest nivell, si bé és convenient dedicar una mica de temps perquè l’alumne/a es familiaritzi amb el radian com a unitat de mesura i amb l’expressió d’angles amb el factor π indicat.

• En l’apartat 2 cal insistir que la definició i el valor de les raons trigonomètriques no depenen exclusivament d’un determinat triangle rectangle. Per a això, seria convenient dur a terme algun exercici pràctic per a comprovar que en dos triangles semblants els valors del sinus i el cosinus del mateix angle són exactament iguals. Si en el càlcul de les raons trigonomètriques apareixen arrels, convé recordar que aquestes s’han de conservar i, a tot estirar, es pot calcular una aproximació després de simplificar al màxim l’expressió radical; això és especialment important en els problemes, perquè la simplificació pot portar a errors. En qualsevol cas, si es duu a terme l’aproximació, s’ha de donar un nombre mínim de xifres significatives.

• En l’apartat 3 és important el domini de la circumferència goniomètrica com un recurs per a obtenir gràficament les raons trigonomètriques de qualsevol angle. Mitjançant una simple representació de l’angle en aquesta circumferència, l’alumne/a pot observar el signe del sinus, el cosinus i la tangent i, si empra paper quadriculat, també el valor aproximat. També és fonamental conèixer les relacions entre les raons trigonomètriques d’un mateix angle, ja que permeten determinar les de qualsevol angle, en valor absolut, una vegada coneguda una de les raons; per a això s’haurà de tenir en compte que el signe es determinarà a partir del quadrant al qual pertany l’angle. L’estudi de la trigonometria, atès el caràcter eminentment gràfic que té, s’ha de seguir amb eines informàtiques potents que completin o ampliïn els conceptes explicats. En aquest sentit, es poden utilitzar programes informàtics per a representar les raons trigonomètriques sobre la circumferència goniomètrica i per a calcular-ne el valor.

© grup edebé 86



2. Raons trigonomètriques d’un angle agut Fitxa 1. Activitats 1, 2 i 3.

2. Raons trigonomètriques d’un angle agut• Fitxa 2. Activitats 1, 2, 3, 4 i 5.

3. Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol• Fitxa 2. Activitats 6, 7 i 8.


Llibre de l’alumne Convertir mesures d’angles de graus a radians. Reduir angles al primer gir. Resoldre triangles rectangles a partir de dues dades. Determinar raons trigonomètriques a partir de les relacions que

s’estableixen entre elles. Calcular altures i distàncies en situacions quotidianes aplicant

la trigonometria.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació) Calcular les raons trigonomètriques dels angles aguts d’un

triangle rectangle. Resoldre els triangles rectangles, donat el valor dels dos catets

o el valor d’un catet i un angle agut. Determinar l’alçària d’un edifici per aplicació del concepte de

tangent. Representar en la circumferència goniomètrica els segments

corresponents al sinus, el cosinus i la tangent d’uns angles determinats.

Trobar els angles entre 0° i 360° que presenten el mateix valor per a unes raons trigonomètriques determinades.

Reduir l’angle al primer quadrant per calcular-ne les raons trigonomètriques.

Llibre de l’alumne Determinar l’alçària d’un objecte quotidià aplicant el mètode de la

doble observació. Calcular altures i distàncies en situacions quotidianes aplicant la

trigonometria. Utilitzar recursos digitals per a obtenir informació sobre un

instrument de mesura antic. Identificar les parts d’un instrument de mesura i efectuar càlculs a

partir de la informació recollida.

Material complementari Calcular distàncies en situacions quotidianes aplicant la

trigonometria. Aplicar la trigonometria per a resoldre una situació de

paisatgisme urbà. Resoldre un problema de física aplicada utilitzant les raons

trigonomètriques. Elaborar una taula de valors a partir d’una expressió matemàtica

obtinguda prèviament.

© grup edebé 87






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer i practicar amb una aplicació interactiva per analitzar les raons trigonomètriques de triangles rectangles. (Pàgina 160)@ Conèixer i practicar amb una aplicació interactiva per determinar els signes de les raons trigonomètriques. (Pàgina 167)

Recursos en soporte digital• Resolució de triangle rectangles (Activitats)• Trigonometria (Caceres del tresor)• Trigonometria. (Resolució de problemes).• Enlaços web.

© grup edebé 88



• Transformar unitats angulars de radians a graus, i viceversa.• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle agut.• Resoldre triangles rectangles a partir de dues dades donades en diferents casos.• Determinar un angle si se’n coneix una de les raons trigonomètriques.• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol si es coneix una de les raons.• Calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol reduint-lo abans al primer quadrant.• Determinar altures i distàncies en situacions quotidianes aplicant la trigonometria. • Usar la calculadora d’una manera autònoma i racional.



© grup edebé 89


METODOLOGIA






• Recursos en suport digital.• Calculadora, ordinador i




setmanes







Estructura de la unitat 7: Trigonometria– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de conèixer i utilitzar

la trigonometria en situacions reals i contextualitzades.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 90




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar un quadre de text sobre el naixement i primer desenvolupament de la

trigonometria i un altre sobre el sextant. Resoldre tres problemes pràctics sobre l’ombra del Sol, l’alçària d’un far i l’amplària d’un riu mitjançant l’aplicació de la trigonometria.

© grup edebé 91












© grup edebé 92



























© grup edebé 93


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 94


UNITAT DIDÀCTICA 8: Geometria analítica en el pla


Matemàtica (M)• Utilitzar els vectors i les diferents

equacions d’una recta per a resoldre problemes diversos geomètrics en el pla.

• Valorar l’exactitud i la claredat en la representació de punts, vectors i rectes en el pla.

• Utilitza els vectors per a resoldre problemes geomètrics diversos en el pla. (M)

• Valora l’exactitud i la claredat en la representació de punts i rectes en el pla. (M)

• Empra les diferents equacions d’una recta per a resoldre problemes geomètrics diversos en el pla. (M / CIMF)

• Realitzar operacions, gràficament i analíticament, utilitzant vectors.

• Obtenir les coordenades d’un punt en un sistema de referència determinat.

• Emprar els vectors per a obtenir l’equació d’una recta en un pla.

• Identificar vectors en el pla a partir de la representació gràfica o a partir de les components.

• Calcular les components d’un vector en una base determinada i representar un vector a partir de les components.

• Expressar un vector lliure com a combinació lineal d’altres vectors.

• Conèixer i utilitzar els conceptes de sistema de referència i coordenades d’un punt del pla.

• Trobar les components del vector determinat per dos punts.

• Trobar les coordenades del punt mitjà d’un segment.• Calcular la distància entre dos punts determinats.• Obtenir l’equació d’una circumferència d’un radi

determinat centrada en l’origen.• Calcular l’equació d’una recta.• Determinar el pendent i l’ordenada en l’origen d’una

recta.• Resoldre problemes d’incidència, paral·lelisme i

perpendicularitat de rectes.Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Fer servir els recursos digitals de

representació gràfica en situacions en què intervenen vectors.

• Fa servir els recursos digitals de representació gràfica en situacions en què intervenen vectors. (TI-D)

• Conèixer les TAC com una eina útil per al càlcul i la representació gràfica de vectors, i utilitzar els recursos adequats a cada situació.

• Efectuar operacions amb vectors lliures a partir de la representació gràfica o a partir de les components.

Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Utilitzar adequadament els

coneixements matemàtics en el context adient per a aplicar-ho a explicacions científiques o tècniques del món natural.

• Utilitza adequadament els coneixements matemàtics en el context adient per a aplicar-ho a explicacions científiques o tècniques del món natural. (CIMF)

• Identificar situacions en contextos científics tècnics en què intervenen vectors.

• Conèixer diverses magnituds vectorials i determinar-ne les característiques.

© grup edebé 95


Social i ciutadana (SC)• Col·laborar amb els companys i

companyes d’una manera desinteressada en el treball en equip.

• Col·labora amb els companys i companyes d’una manera desinteressada en el treball en equip. (SC)

© grup edebé 96


CONTINGUTS

C P V

• Vector fix. • Mòdul, direcció i sentit d’un vector. • Vectors equipolents. • Vector lliure. • Operacions gràfiques i analítiques amb vectors lliures. • Combinació lineal de vectors. • Dependència de vectors. • Bases de V2. • Components d’un vector en el pla.• Sistema de referència. • Coordenades d’un punt.• Equació de la recta. • Pendent i ordenada en l’origen d’una recta. • Vector director d’una recta. • Condicions perquè dues rectes siguin secants,

perpendiculars, paral·leles o coincidents.

• Utilització del vocabulari propi dels vectors per a rebre i transmetre informació.

• Identificació de vectors equipolents. • Obtenció del mòdul d’un vector. • Realització d’operacions, d’una manera gràfica i

analítica, amb vectors lliures. • Representació gràfica d’una combinació lineal de

vectors lliures i expressió d’un vector lliure com a combinació lineal d’altres vectors lliures.

• Càlcul de les components d’un vector respecte a una base determinada i representació gràfica de vectors si se’n coneixen les components.

• Obtenció de les coordenades d’un punt en un sistema de referència determinat.

• Càlcul de les coordenades del punt mitjà d’un segment. • Càlcul de les components d’un vector determinat per

dos punts. • Càlcul de la distància entre dos punts. • Obtenció de l’equació d’una recta. • Obtenció del pendent i l’ordenada en l’origen d’una

recta. • Determinació de la posició relativa de dues rectes. • Obtenció de l’equació d’una circumferència amb centre

en l’origen.

• Valoració de la precisió, la simplicitat i la utilitat del llenguatge propi dels vectors per a representar, comunicar o resoldre diverses situacions de la vida quotidiana.

• Hàbit favorable a la revisió i millora del resultat de qualsevol càlcul o problema.

• Sensibilitat i gust per la representació de punts, vectors i rectes en el pla.


Educació viària: Els continguts tractats en la unitat es poden fer servir per a interpretar representacions planes d’espais (plànols i mapes).

© grup edebé 97




1. Vectors en el pla• Reconèixer, a partir de diferents exemples de magnituds, que per a determinar alguna d’aquestes magnituds cal disposar, a més d’un nombre i una unitat de mesura, d’una

direcció i un sentit; llegir el nom que reben aquestes magnituds i precisar la forma de representar-les. • Advertir que un segment té una direcció, però no té sentit, i definir en un segment un origen i un extrem per a obtenir un vector fix.• Llegir la definició de vector fix i la de les característiques que té.• Observar que els diferents vectors fixos representats en una figura tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit per definir la relació d’equipolència en el

conjunt de vectors fixos.• Llegir la definició de vector equipolent.• Reconèixer que la relació d’equipolència permet classificar els vectors fixos en conjunts de vectors per establir el concepte de vector lliure i llegir-ne la definició.• Considerar cadascun dels vectors fixos que componen un vector lliure com un representant del vector lliure i observar la manera de representar un vector lliure.• Llegir les definicions de mòdul, direcció i sentit d’un vector lliure.• Seguir els passos del procediment que permet efectuar gràficament la suma de dos vectors lliures i observar l’aplicació d’aquest procediment en un exemple concret.• Fixar-se en la manera de calcular la suma de dos vectors lliures mitjançant la regla del paral·lelogram.• Observar que tot vector lliure té un vector oposat i fixar-se en el mòdul, la direcció i el sentit d’aquest vector.• Considerar que l’existència del vector oposat permet restar vectors lliures i observar, en un exemple concret, la resta de dos vectors lliures.• Llegir sobre cadascuna de les característiques del vector lliure que resulta en multiplicar un nombre real per un vector lliure, i observar diferents multiplicacions de nombres

reals per vectors lliures.• Observar, en un exemple concret, una combinació d’operacions amb vectors lliures i llegir el nom que rep aquest tipus d’expressió.• Fixar-se que el resultat d’una combinació lineal de vectors lliures és un vector lliure.• Observar, en un exemple concret, la manera de procedir per a expressar un vector lliure com a combinació lineal d’uns altres dos vectors lliures.• Recordar que qualsevol vector lliure del pla es pot escriure com la combinació lineal d’uns altres dos vectors lliures no nuls de diferent direcció per establir el concepte de

base de V2 i llegir-ne la definició. @ Consultar una pàgina web amb una aplicació interactiva que permet visualitzar com canvien les components d’un vestor al canviar la base.

• Fixar-se en les components d’un vector en una base determinada i en l’expressió d’un vector lliure segons les components i observar, en un exemple concret, les components d’un vector lliure i l’expressió corresponent.

@ Consultar una pàgina web amb una activitat interactiva i una proposta de treball de suma i resta de vectors.• Observar, en un exemple resolt, la determinació de les components d’un vector segons una base determinada.• Fixar-se en la coincidència de les components d’un vector respecte a una base determinada amb les coordenades del seu extrem en la quadrícula definida pels vectors

d’aquesta base.• Reconèixer la conveniència de considerar bases formades per vectors perpendiculars i unitaris.• Observar, en exemples concrets, la manera de procedir per a sumar dos vectors expressats per les seves components i per a multiplicar un vector per un nombre real.• Observar, en un exemple resolt, diferents operacions amb vectors expressats segons les components.• Observar, en un exemple resolt, la manera d’expressar un vector com la combinació lineal de dos vectors més si es coneixen les components respecte d’una certa base.

© grup edebé 98


2. Sistema de referència• Llegir el nom que rep el conjunt format per un punt fix del pla i per una base de V2, reconèixer que permet determinar la posició de qualsevol punt del pla i observar com es

designa.• Reflexionar sobre el vector de posició d’un punt i de les coordenades d’aquest punt en el sistema de referència considerat. • Observar, en un exemple resolt, el càlcul de les coordenades d’un punt en un sistema de referència determinat.• Fixar-se en la coincidència de les coordenades d’un punt en un sistema de referència la base de la qual està constituïda per dos vectors perpendiculars unitaris amb les

coordenades cartesianes del punt.• Seguir els passos que demostren la manera de trobar les components d’un vector determinat per dos punts.• Fixar-se en l’aplicació del teorema de Pitàgores per a calcular el mòdul d’un vector.• Observar, en un exemple resolt, el càlcul de les components d’un vector determinat per dos punts.• Observar, en un exemple resolt, el càlcul de la distància entre dos punts del pla.

3. Rectes en el pla• Observar, en un exemple resolt, l’obtenció de l’equació d’una recta si es coneixen les coordenades de dos dels seus punts.• Recordar l’expressió de l’equació general d’una recta.• Recordar les equacions d’algunes rectes característiques atesa la situació en què es troben respecte als eixos de coordenades cartesianes.• Observar, en un exemple resolt, el procés analític i gràfic que demostra que el valor del pendent d’una recta coincideix amb el de la tangent que la forma amb el semieix

positiu d’abscisses.• Llegir la definició de pendent d’una recta.

@ Distinguir rectes segons el valor de la seva pendent a partir d‘una aplicació interactiva.• Llegir la definició de vector director d’una recta.• Observar, a partir de les gràfiques corresponents, que una recta queda definida per un punt i una direcció. • Observar, en un exemple resolt, l’obtenció de l’equació d’una recta donades les coordenades d’un dels punts i el vector director.• Observar en una taula les posicions relatives de dues rectes del pla.• Reconèixer que la posició relativa de dues rectes del pla es pot determinar a partir de la resolució del sistema que formen les seves equacions respectives. • Observar, en dos exemples resolts, la determinació de la posició relativa de dues rectes.• Fixar-se en les gràfiques i les equacions corresponents de diverses rectes, i també en les seves posicions relatives. • Observar una taula que relaciona les posicions relatives de dues rectes amb els valors dels pendents i les ordenades en l’origen corresponents.• Observar, en un exemple resolt, l’obtenció de l’equació d’una recta donades les coordenades d’un dels seus punts i l’equació d’una recta que hi és paral·lela.

CB

© grup edebé 99


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ • Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer i familiaritzar-se amb les magnituds escalars per a poder treballar-hi.• Buscar informació sobre les magnituds escalars i posar-ne alguns exemples.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Determinar els vectors lliures relacionats amb tres rectes donades i un eix de coordenades que entre si formen un quadrilàter.• Calcular la força de tensió de dues cordes que subjecten un cos pesant.• Determinar les equacions de les tres rectes que formen un triangle rectangle si se’n coneix un dels angles i el valor del costat oposat.@ Mitjançant diversos enllaços, buscar informació sobre les direccions que pot adoptar el vent i relacionar-la amb els vectors, i a més realitzar algunes activitats pràctiques.

ACTIVITATS FINAL BLOC II• Realitzar els càlculs necessaris per a restaurar una piscina de la qual es coneixen les mesures i de la qual cal cobrir el terra amb rajoles,

pintar les parets, col·locar un sòcol a la vora superior i, finalment, omplir-la d’aigua. Per a això es faciliten algunes característiques i preus dels materials que s’han d’emprar.

• Calcular la superfície necessària de fulls per a construir mil barrets d’una manera cònica i dels quals es coneixen les mesures.• Dibuixar pel mètode de radicació el resultat d’una homotècia a partir de les dades corresponents.• A partir de la maqueta a escala d’una bicicleta i de l’escala de representació, calcular les dimensions reals de la bicicleta.• Calcular el perímetre i el cost d’un tancat que s’ha de barrar si es coneixen les mesures de la parcel·la i el cost del material.• Calcular l’àrea total i la superfície del terrat que correspon a un edifici d’oficines que té forma de prisma pentagonal regular.• Calcular l’alçària d’un far i la distància que té respecte a un vaixell utilitzant les raons trigonomètriques corresponents si se’n coneix una

distància determinada per a un cert angle d’observació.• Identificar triangles semblants en la intersecció de dos triangles rectangles que al seu torn contenen un quadrat.• Realitzar dues homotècies i una translació sobre una figura plana dibuixada en una quadrícula, per a la qual cosa es faciliten les dades

necessàries.

PROJECTE BLOC II: Maqueta d’una instal·lació esportiva

Fase 1: TriaTenint en compte les característiques que ha de tenir qualsevol instal·lació esportiva que hagi d’acollir grans esdeveniments, debatre amb els companys les qüestions que es proposen, algunes de les quals relacionades amb la geometria.

Fase 2: PlanificaEl projecte es planifica en quatre fases: anàlisi de la situació, obtenció i gestió de la informació, disseny i maquetació de la instal·lació i

© grup edebé 100


aprendre a aprendre. Cadascuna d’aquestes fases comporta la realització de diverses qüestions sobre les quals els alumnes s’han d’informar prèviament perquè les seves respostes siguin adequades.

Fase 3: DesenvolupaEls alumnes han de buscar informació sobre els tipus d’instal·lacions esportives que fan falta i les característiques que han de tenir. Una vegada triat el tipus d’instal·lació, fer una visita a una instal·lació de les mateixes característiques que la triada i dibuixar a escala la proposta que s’ha de desenvolupar. Caldrà tenir en compte els accessos per a persones amb mobilitat reduïda, els materials que s’han d’emprar, l’escala de reproducció que s’usarà, etc. Amb tota aquesta informació es pot fer una exposició oral davant la resta de la classe.

Fase 4: ReflexionaPer a avaluar el projecte i amb l’ajuda de l’elaboració d’un diari reflexiu sobre les activitats realitzades i algunes qüestions que es plantegen, es pot utilitzar el dossier individual de l’alumne amb les evidències corresponents a les tasques executades, adjuntant la rúbrica d’avaluació en la qual es recullen les competències i el grau de consecució d’aquestes per part dels alumnes.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1 s’ha de destacar la diferència entre vectors fixos i vectors lliures. L’aridesa algèbrica del tema s’hauria de suavitzar utilitzant algunes simulacions per ordinador per a la definició i les operacions amb vectors; podeu trobar-ne un recurs molt complet en castellà a http://descartes.cnice.mecd.es/bach_CNST_1/Vectors_en_el_pla/Vectors_indice.htm, en què s’introdueix la noció de vector d’una manera intuïtiva i geomètrica. Convé insistir en el procediment de l’obtenció gràfica de les components d’un vector en una base determinada fins que els alumnes mostrin prou competència, abans d’introduir l’obtenció de l’expressió analítica.

• En l’apartat 2 és interessant proposar activitats contextualitzades en les quals s’utilitzi la relació entre les coordenades de dos punts d’un sistema de referència donat i les components d’un vector, perquè l’alumne/a assumeixi l’aplicació d’aquesta relació en la vida quotidiana (per a l’estudi de mapes, plànols, distàncies…).

• En l’apartat 3 convé repassar el procediment d’obtenció de l’equació d’una recta a partir de les coordenades de dos dels seus punts i ressaltar el concepte de pendent d’una recta. És important practicar àmpliament la determinació d’equacions de diferents rectes a partir de dos dels seus punts, donat un punt i l’angle que forma la recta amb el semieix positiu d’abscisses, o bé a partir d’una gràfica. Una vegada els alumnes mostren soltesa en els procediments anteriors, ja es pot practicar el càlcul del pendent d’una recta a partir de les components del vector director i, posteriorment, l’obtenció de l’equació d’aquesta recta donats el vector director i un dels punts. Els alumnes s’haurien d’habituar a determinar la posició relativa de dues rectes a partir del nombre de solucions del sistema format per les seves equacions, i viceversa. Convé destacar que, no obstant això, no és necessària la resolució del sistema d’equacions per a determinar la posició relativa de les rectes.

© grup edebé 101



1. Vectors en el pla Fitxa 1. Activitats 1, 2 i 3.

3. Rectes en el plaFitxa 2. Activitats 1, 2 i 3.

1. Vectors en el plaFitxa 3. Activitats 1, 2, 3 i 4.2. Sistemes de referència Fitxa 3. Activitats 1, 2, 3 i 4.3. Rectes en el plaFitxa 3. Activitats 5, 6, 7 i 8.


Llibre de l’alumne• Efectuar gràficament sumes i restes amb vectors.• Efectuar operacions amb vectors analíticament.• Determinar les components d’un vector a partir de les

coordenades de dos punts.• Calcular les coordenades de diversos punts a partir d’una

gràfica.• Trobar l’equació d’una recta a partir de dos punts.• Determinar l’equació d’una recta a partir d’un punt i de la

posició relativa que té respecte a una altra recta.• Indicar la posició relativa de dues rectes a partir de les

equacions corresponents.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Realitzar gràficament sumes i restes amb vectors.• Efectuar analíticament operacions amb vectors.• Determinar les components de dos vectors a partir de les

coordenades de dos punts. Expressar la relació entre aquests vectors.

• Calcular les coordenades de diversos punts a partir d’una gràfica.

• Trobar l’equació d’una recta a partir de dos punts.• Determinar l’equació d’una recta a partir d’un punt i de la

posició relativa que té respecte a una altra recta.• Indicar la posició relativa de dues rectes a partir de les

equacions corresponents.

Llibre de l’alumne • Conèixer l’equació implícita de la recta i utilitzar-la correctament

per a resoldre problemes.• Representar gràficament rectes en el pla.• Resoldre problemes d’aplicació pràctica de magnituds vectorials.• Utilitzar les operacions amb vectors.• Determinar les equacions de les rectes que limiten una figura

geomètrica.• Comparar la representació dels vents amb els vectors.

Material complementariInterpretar indicacions per a situar un punt en un pla.Determinar l’equació d’una recta que passa per dos punts.Localitzar coordenades en el pla.Calcular la distància entre dos punts.Trobar el punt mitjà donats dos punts.

Activitats final bloc II• Operar amb mesures de longitud, superfície, volum i monetàries.• Calcular àrees laterals, totals i volums de prismes i cossos

rodons.• Realitzar homotècies i translacions en el pla.• Identificar i utilitzar les escales de plànols i maquetes.• Identificar figures semblants a partir de la composició d’altres

figures diferents.• Utilitzar la trigonometria per a resoldre situacions en contextos

reals.

© grup edebé 102





Expressió• Exposar, d’una manera oral i escrita, el plantejament i desenvolupament de la resolució de problemes de caràcter divers.• Expressar adequadament els aprenentatges, utilitzant el vocabulari precís i propi de la ciència.

ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per a representar gràficament vectors. (Pàgina 182)@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per a sumar i restar vectors. (Pàgina 183)@ Analitzar una aplicació interactiva que permet diferenciar les rectes en funció del pendent que tenen. (Pàgina 188)

Recursos en suport digital Operacions amb vectors. (Animació). Obtenció gràfica de les components d’un vector en una base. (Animació) Canvi de base Geometria analítica en el pla. (Resolució de problemes). Enllaços web

© grup edebé 103



• Identificar vectors en el pla a partir de la representació gràfica o a partir de les components.• Expressar un vector lliure com la combinació lineal d’altres vectors.• Conèixer i utilitzar els conceptes de sistema de referència i coordenades d’un punt del pla.• Trobar les components del vector determinat per dos punts.• Calcular la distància entre dos punts determinats.• Calcular l’equació d’una recta.• Determinar el pendent i l’ordenada en l’origen d’una recta.• Resoldre problemes d’incidència, paral·lelisme i perpendicularitat de rectes.• Efectuar operacions amb vectors lliures a partir de la representació gràfica o a partir de les components.



© grup edebé 104


METODOLOGIA










setmanes







Estructura de la unitat 8: Geometria analítica en el pla– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de reconèixer i operar

amb les magnituds vectorials.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 105




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar diversos quadres de text sobre el paviment com a primer sistema de

coordenades, de la utilització de la geometria en l’art, l’arquitectura i la navegació i les aplicacions dels vectors en cristal·lografia, física i enginyeria. Representar un itinerari en un sistema de coordenades emprant vectors.

– Activitats d’avaluació de les CB del bloc II.– Projecte final bloc II: Maqueta d’una instal·lació esportiva.

© grup edebé 106












© grup edebé 107



























© grup edebé 108


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 109


UNITAT DIDÀCTICA 9: Funcions de primer i segon grau


Matemàtica (M)• Aplicar les operacions aritmètiques i

les funcions per a treballar aspectes quantitatius de la realitat i arribar a solucions pràctiques.

• Deduir les característiques d’una funció a partir de la representació gràfica.

• Dedueix les característiques d’una funció a partir de la representació gràfica. (M)

• Aplica les operacions aritmètiques per a treballar aspectes diversos de les funcions de segon grau. (M) • Distingir i representar gràficament

funcions de primer i segon grau.• Determinar els elements de la

paràbola.

• Determinar el pendent d’una recta i l’ordenada en l’origen d’una funció.

• Utilitzar la representació gràfica de funcions per a resoldre problemes.

• Distingir funcions de primer i de segon grau, i determinar-ne les característiques.

• Interpretar i determinar les característiques generals d’una funció a partir de la gràfica.

• Classificar i determinar el tipus de gràfica d’una funció de primer o de segon grau a partir de l’expressió algèbrica.

• Representar gràficament funcions de primer i de segon grau, i associar-ne la representació a rectes i a paràboles.

• Reconèixer una paràbola i determinar-ne els elements.• Identificar el vèrtex de la paràbola amb un màxim o amb

un mínim de la funció quadràtica.Comunicació lingüística i audiovisual (CLA)• Comprendre i interpretar

adequadament la informació d’anuncis per prendre decisions.

• Comprèn i interpreta adequadament la informació associada a les característiques de les funcions. (CLA / M)

• Comprendre el concepte de funció i les característiques corresponents. • Construir taules de valors i obtenir la fórmula de

dependències funcionals donades (de funcions de primer grau) mitjançant descripcions verbals.

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar les tecnologies digitals en la

representació, la simulació i l’anàlisi gràfica.

• Utilitza les tecnologies digitals en la representació, la simulació i l’anàlisi de gràfiques. (TI-D)

• Utilitzar les tecnologies de la informació en la representació gràfica de funcions. • Utilitzar les tecnologies de la informació en la

representació, la simulació i l’anàlisi de gràfiques.

© grup edebé 110


CONTINGUTS

C P V

• Funció. • Imatge i antiimatge. • Domini i recorregut. • Expressió algèbrica i gràfica d’una funció.• Funció constant.• Funció lineal. • Funció afí.• Funció quadràtica. Tipus de funcions quadràtiques. • Elements de la paràbola.

• Interpretació i determinació de les característiques generals d’una funció a partir de la gràfica: punts de tall amb els eixos, creixement i decreixement, màxims i mínims, continuïtat i discontinuïtat, simetries i periodicitat.

• Càlcul d’imatges i d’antiimatges analíticament i gràficament.

• Determinació del domini i del recorregut d’una funció. • Classificació de les funcions segons l’expressió

algèbrica. • Utilització del vocabulari propi de les funcions per a

rebre i transmetre informació.• Determinació del tipus de gràfica d’una funció a partir de

l’expressió algèbrica. • Ús racional de l’ordinador i la calculadora.• Càlcul del pendent de la recta i de l’ordenada en l’origen

d’una funció de primer grau. • Utilització de la representació gràfica de funcions per a

la comprensió de diferents situacions. • Construcció de taules de valors, obtenció de la fórmula i

representació gràfica d’una funció de primer grau donada mitjançant una descripció verbal.

• Representació gràfica de funcions i obtenció de la fórmula d’una funció de primer grau donada mitjançant una taula de valors.

• Resolució de problemes relacionats amb les funcions de primer grau.

• Ús de les TAC en la representació, la simulació i l’anàlisi gràfica.

• Representació gràfica d’una paràbola a partir dels elements característics que té.

• Determinació analítica del vèrtex, de l’eix i dels punts de tall d’una paràbola amb els eixos de coordenades.

• Identificació del vèrtex de la paràbola amb un màxim o amb un mínim de la funció quadràtica.

• Obtenció d’una funció quadràtica a partir del vèrtex i d’un punt de la paràbola, i a partir de tres punts de la

• Valoració de la precisió, la simplicitat i la utilitat del llenguatge gràfic per a rebre i transmetre informació.

• Hàbit de realitzar una presentació acurada de gràfiques de funcions.

• Interès per conèixer les possibilitats que ofereix l’ús de l’ordinador i la calculadora.

• Predisposició a formular d’una manera analítica els fenòmens quotidians.

• Valorar la importància de l’ús de gràfiques en la premsa en general i en revistes científiques en particular.


Educació cívica i per a la salut: L’activitat inicial pot servir per parlar de la pràctica de l’esport i de la cura del cos.

© grup edebé 111


paràbola. • Construcció de taules de valors, obtenció de la fórmula i

representació gràfica d’una funció de segon grau donada mitjançant una descripció verbal.

• Representació gràfica de funcions i obtenció de la fórmula d’una funció de segon grau donada mitjançant una taula de valors.

• Resolució de problemes relacionats amb les funcions de segon grau.

© grup edebé 112




1. Concepte de funció• Llegir la definició de funció.• Observar a partir d’un exemple concret les diverses formes d’expressar una funció.• Llegir la definició d’imatge i antiimatge d’un valor d’una funció. • Determinar l’interval de valors que pot prendre la variable independent, llegir el nom que rep aquest interval, observar la manera de simbolitzar-lo i llegir-ne la definició.• Determinar l’interval de valors que pot prendre la variable depenent, llegir el nom que rep aquest interval, observar la manera de simbolitzar-lo i llegir-ne la definició.• Escriure una fórmula que expressi una funció, llegir el nom que rep i llegir-ne la definició.• Observar en un exemple concret la manera de simbolitzar una funció a partir del domini, del recorregut i de l’expressió algèbrica.• Seguir els passos del procediment per a representar gràficament una funció i llegir la definició de gràfica d’una funció.• Observar la descripció de les característiques d’una funció.• Fixar-se en la descripció d’una funció definida a trossos.• Observar, en un exemple resolt, la determinació i la descripció exhaustiva de les característiques d’una funció.• Observar en dos exemples resolts l’anàlisi d’algunes característiques d’una funció.

2. Funció constant• Considerar una funció expressada mitjançant una taula de valors, observar-ne la gràfica i fixar-se que a qualsevol valor de la variable independent li correspon un mateix valor de

la variable depenent per reconèixer que es tracta d’una funció constant.• Reparar que les funcions constants són funcions polinòmiques de grau zero; observar-ne l’expressió algèbrica i la representació gràfica, i llegir la definició de funció constant.

3. Funció de primer grau• Considerar que les funcions de primer grau són funcions polinòmiques de primer grau i observar-ne l’expressió algèbrica.• Llegir la classificació de les funcions de primer grau i la representació gràfica corresponent.• Observar una funció expressada mitjançant una taula de valors, reparar que la seva gràfica és una semirecta el punt inicial de la qual és l’origen de coordenades, fixar-se en el

pendent, considerar la seva expressió algèbrica i llegir el nom que rep aquesta funció.• Reconèixer que la funció lineal expressa la relació entre dues variables directament proporcionals i llegir-ne la definició.• Observar una funció expressada mitjançant una taula de valors, reparar que la seva gràfica és una semirecta, fixar-se en el punt inicial i en el pendent, considerar la seva

expressió algèbrica i llegir el nom que rep aquesta funció.@ Conèixer com es genera una funció lineal en un cas real a partir d’una aplicació interactiva.• Observar una funció expressada mitjançant una taula de valors, reparar que la seva gràfica és una semirecta el punt inicial de la qual és un punt de l’eix d’ordenades, fixar-se en

el pendent, considerar la seva expressió algèbrica i llegir el nom que rep aquesta funció.• Llegir la definició de funció afí.

4. Funció de segon grau• Considerar que les funcions de segon grau són funcions polinòmiques de segon grau, observar-ne l’expressió algèbrica i llegir com és la seva representació gràfica i el nom pel

qual són conegudes.

© grup edebé 113


• Llegir dues situacions de la vida quotidiana en les quals s’expressen funcions mitjançant unes taules de valors, considerar les expressions algèbriques d’aquestes funcions, llegir el nom que reben i el domini i observar-ne les gràfiques.

• Observar una paràbola que presenta un màxim i que és simètrica respecte a una recta i llegir el nom que rep el punt en el qual s’aconsegueix el màxim i el que rep la recta.• Llegir la definició de funció quadràtica i les característiques de la gràfica corresponent.• Observar en una taula la manera de procedir per a obtenir analíticament el vèrtex de la paràbola, l’eix i els punts de tall amb els eixos de coordenades.• Observar en una figura les diferents transformacions que presenta una paràbola.• Fixar-se que es pot representar gràficament una paràbola obtenint només les dades per a dibuixar una de les branques.• Seguir, en diferents exemples resolts, el procediment per a obtenir la gràfica d’una paràbola a partir dels seus elements característics.• Observar en una taula les diferents expressions algèbriques d’una funció quadràtica segons el valor dels coeficients i reconèixer mitjançant exemples concrets que les paràboles

que s’obtenen en representar-les són diferents.@ Analitzar les formes que adopta una paràbola en variar els seus paràmetres a partir d’una aplicació interactiva.• Observar en una taula les gràfiques dels diferents tipus de funció quadràtica segons l’expressió algèbrica.

© grup edebé 114


ALTRES ACTIVITATS

AVALUACIÓ INICIAL Grup classeResoldre exercicis diversos relacionats amb els ítems indicats en la Preparació de la unitat.Examinar els continguts de la unitat que contribueixen a l’assoliment de les CB indicades.

MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer i utilitzar les funcions de primer i segon grau.• Determinar l’altura i la longitud màximes que assoleix una pilota de beisbol de la qual es coneix la funció de la trajectòria que fa quan és

batuda.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Trobar les funcions que determinen els preus en dues empreses de lloguer de cotxes segons el quilometratge que s’ha de realitzar i la

tarifa per quilòmetre.• Determinar les característiques d’una funció quadràtica donada.@ Mitjançant diversos enllaços, obtenir informació d’alguns mètodes de construcció i traçament de paràboles i practicar-ne algun.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1 s’ha de tractar detingudament la definició de funció i posar exemples que il·lustrin el concepte. Els diagrames de Venn són útils per a mostrar els tipus de relacions que es poden considerar una funció i els que no. Els exemples poden ser tant numèrics com pràctics (relacions entre dues magnituds, càlcul d’interessos o qualsevol altra relació que es pugui extreure d’una gràfica o taula de valors). Abans de representar una funció, cal recordar com es representa un parell ordenat en el pla i, seguidament, introduir intuïtivament el concepte de continuïtat dels punts d’una gràfica.

• En l’apartat 2 seria convenient proporcionar diversos exemples reals de funcions constants d’entre els quals es pot destacar la variable temps. En aquest punt es pot introduir l’observació històrica que els processos de canvi (de posició, de pes…) al llarg d’un interval temporal són un dels motors que han impulsat l’estudi de les funcions.

• En l’apartat 3 es poden completar una sèrie d’activitats perquè l’alumne/a aconsegueixi relacionar les característiques algèbriques amb les gràfiques d’una funció. És desitjable que les preguntes s’adrecin a la intuïció dels estudiants i no se centrin en el càlcul precís.

• En l’apartat 4 s’haurien de repassar les equacions de segon grau i les solucions corresponents per a relacionar-les posteriorment amb la representació de la funció. Per a comprovar que els conceptes estudiats s’han après correctament, es poden realitzar activitats senzilles que no requereixin cap càlcul, o bé que aquest sigui mental i aproximat. Per exemple:

- Donada una paràbola, indicar diversos punts que pertanyin a aquesta funció, el vèrtex i els punts de tall.- Ordenar diverses funcions segons els coeficients dels termes.- Escriure una equació de segon grau els zeros de la qual siguin els talls amb l’eix X d’una paràbola.

© grup edebé 115



1. Concepte de funció Fitxa 1. Activitat 1.

2. Funció constant Fitxa 1. Activitats 2 i 3.

3. Funció de primer grau Fitxa 1. Activitats 4 i 5.

4. Funció de segon grau Fitxa 2. Funcions de segon grau.

1. Concepte de funció Fitxa 3. Activitat 1.

3. Funció de primer grau Fitxa 3. Activitat 5.

4. Funció de segon grau Fitxa 3. Activitats 2, 3, 4 i 5.

© grup edebé 116



Llibre de l’alumne Determinar una funció de primer grau a partir de la gràfica. Construir una taula de valors, representar gràficament una

funció de primer grau i trobar-ne l’expressió algèbrica. Representar gràficament una funció quadràtica i determinar-ne

l’expressió algèbrica. Determinar l’expressió algèbrica d’una funció de primer grau a

partir del pendent i l’ordenada en l’origen. Trobar el vèrtex d’una paràbola a partir de l’expressió

algèbrica. Determinar el valor d’una variable en una funció quadràtica

donat un punt d’aquesta. Obtenir l’expressió d’una funció quadràtica donats el vèrtex i la

relació amb una altra funció.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació) Construir una taula de valors i representar gràficament una

funció de primer grau. Determinar el pendent de la recta i l’ordenada en l’origen d’una

funció de primer grau, i classificar-la. Obtenir l’expressió algèbrica d’una funció afí a partir d’una

taula de valors i representar-la. Reconèixer les funcions de segon grau i la representació

gràfica corresponent. Calcular el vèrtex, l’eix de simetria i els punts de tall d’una

funció quadràtica, i representar-la gràficament. Determinar certes característiques que presenten les funcions

quadràtiques en l’expressió algèbrica a partir de la gràfica. Determinar les diferències de dues gràfiques a partir de les

diferències en l’expressió algèbrica.

Llibre de l’alumne Comprendre i interpretar adequadament la informació de dos

anuncis per resoldre una situació. Aplicar les operacions aritmètiques i les funcions per a treballar

aspectes quantitatius de la realitat i arribar a solucions pràctiques.

Determinar les característiques d’una funció a partir de l’expressió algèbrica.

Utilitzar recursos digitals per a dibuixar una paràbola aplicant un mètode determinat.

Comparar dues paràboles representades fent servir un programa digital.

Material complementari Escriure l’expressió algèbrica de funcions a partir de diferents

enunciats associats a situacions quotidianes. Construir taules de valors de funcions. Determinar analíticament valors d’una funció a partir de

l’expressió algèbrica. Representar gràficament funcions lineals. Determinar i interpretar valors de funcions a partir de la

representació gràfica.

© grup edebé 117





Expressió• Exposar, d’una manera oral i escrita, el plantejament i desenvolupament de la resolució de problemes de caràcter divers.• Expressar adequadament els aprenentatges, utilitzant el vocabulari precís i propi de la ciència.

ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer la generació d’una funció lineal en un cas real a partir d’una aplicació interactiva. (Pàgina 214)@ Analitzar les formes que adopta una paràbola si se’n varien els paràmetres a partir d’una aplicació interactiva. (Pàgina 221)

Recursos en suport digital

• Funcions de primer i segon grau. (Activitat).• Elements d’una paràbola. (Animació).• Dependència entre variables. (Animació).• Funcions de primer i segon grau. (Presentació).• Enllaços web.

© grup edebé 118



• Determinar el pendent d’una recta i l’ordenada en l’origen d’una funció.• Utilitzar la representació gràfica de funcions per a resoldre problemes.• Interpretar i determinar les característiques generals d’una funció a partir de la gràfica corresponent.• Classificar i determinar el tipus de gràfica d’una funció de primer o de segon grau a partir de l’expressió algèbrica.• Representar gràficament funcions de primer i de segon grau, i associar-ne la representació a rectes i a paràboles.• Reconèixer una paràbola i determinar-ne els elements.• Construir taules de valors i obtenir la fórmula de dependències funcionals donades (de funcions de primer grau) mitjançant descripcions verbals.



© grup edebé 119


METODOLOGIA










setmanes







Estructura de la unitat 9: Funcions de primer i segon grau– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de conèixer i utilitzar

les funcions de primer i segon grau.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 120




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar diversos quadres de text sobre el mètode del sastre per construir paràboles i

sobre els màxims pendents permesos en les carreteres i en els túnels. Resoldre unes qüestions referents a la trajectòria parabòlica que descriu una pilota.

© grup edebé 121












© grup edebé 122



























© grup edebé 123


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 124


UNITAT DIDÀCTICA 10: Estudi d’altres funcions


Matemàtica (M)• Aplicar les funcions de

proporcionalitat inversa, exponencials i logarítmiques en l’estudi de situacions reals.

• Utilizar racionalment la calculadora científica en situacions que requereixen càlcul exponencial i logarítmic.

• Aplica les funcions de proporcionalitat inversa, exponencial i logarítmica per a interpretar situacions reals. (M)

• Utilitza racionalment la calculadora en situacions que requereixen càlcul exponencial i logarítmic. (M)

• Representar gràficament i interpretar les funcions de proporcionalitat inversa, exponencials i logarítmiques.

• Utilitzar d’una manera crítica la calculadora i l’ordinador en els càlculs i la representació de funcions.

• Interpretar i presentar la informació a partir de funcions de proporcionalitat inversa, exponencials i logarítmiques.

• Identificar magnituds inversament proporcionals i relacionar-les amb la gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa.

• Deduir les característiques de les funcions de proporcionalitat inversa, de les exponencials i de les logarítmiques.

• Calcular la funció inversa de funcions de primer grau, de funcions quadràtiques, de funcions exponencials i de funcions logarítmiques.

• Identificar la funció logarítmica com la inversa de la funció exponencial.

• Distingir i representar gràficament les funcions de proporcionalitat inversa, les exponencials i les logarítmiques.

• Reconèixer l’aplicació de les funcions de proporcionalitat inversa, exponencials i logarítmiques en l’estudi de diferents situacions.

Coneixement i interacció amb el món físic (CIMF)• Reconèixer la influència de l’activitat

científica en el medi ambient que permeti la preservació d’espècies.

• Reconeix la influència de l’activitat científica en l’anàlisi del medi ambient i la preservació de les espècies. (CIMF)

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar les tecnologies digitals en la

representació, la simulació i l’anàlisi gràfica.

• Utilitza les tecnologies digitals en la representació, la simulació i l’anàlisi gràfica. (TI-D)

• Usar d’una manera adequada la calculadora i l’ordinador en la realització de càlculs i la representació de funcions.

© grup edebé 125


CONTINGUTS

C P V

• Magnituds inversament proporcionals. Constant de proporcionalitat inversa.

• Funció de proporcionalitat inversa. • Gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa.

Hipèrbola.• Funció exponencial. • Gràfica de la funció exponencial.• Funció logarítmica. • Gràfica de la funció logarítmica.• Funció inversa d’una funció. • Funció inversa de la funció exponencial. • Funció inversa de la funció logarítmica.

• Obtenció de la taula de valors i de l’expressió analítica d’una funció de proporcionalitat inversa a partir d’un enunciat verbal.

• Representació gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa.

• Resolució de problemes relacionats amb les funcions de proporcionalitat inversa.

• Construcció de taules de valors i representació gràfica de les funcions exponencials.

• Identificació de les característiques de les funcions exponencials.

• Comparació de les gràfiques de les funcions exponencials segons si la base és més gran o més petita que 1.

• Utilització de la representació gràfica de funcions per a comprendre diferents situacions.

• Construcció de taules de valors i representació gràfica de les funcions logarítmiques.

• Identificació de les característiques de les funcions logarítmiques.

• Comparació de les gràfiques de les funcions logarítmiques segons si la base és més gran o més petita que 1.

• Obtenció de la funció inversa d’una funció de primer grau, d’una funció quadràtica, d’una funció exponencial i d’una funció logarítmica.

• Identificació de la funció logarítmica com la inversa de la funció exponencial a partir de les gràfiques corresponents.

• Adquirir l’hàbit de realitzar una presentació acurada de gràfiques de funcions.

• Valorar l’ús de les funcions per a descriure processos de la natura i de la vida quotidiana.

• Ús racional de l’ordinador i la calculadora. • Anàlisi crítica de les informacions de l’entorn

presentades en forma de taules i gràfiques. • Utilització racional de la calculadora i les TAC per a

efectuar càlculs logarítmics. • Col·laboració amb els companys i companyes en

l’aplicació de les funcions a altres àrees.


Educació per a la salut: L’activitat inicial pot servir per a parlar dels beneficis de diferents aliments.

© grup edebé 126



Orientacions generalsRelacionar la imatge de presentació de la unitat i el text que l’acompanya amb el contingut d’aquesta unitat.Reflexionar sobre les preguntes plantejades en la presentació, revisar els continguts previs i llegir els objectius que es pretén aconseguir.• Observar l’esquema de la unitat i escoltar l’explicació del professor/a.

1. Funció de proporcionalitat inversa• Reconèixer en un exemple concret una situació de dependència entre dues magnituds inversament proporcionals.• Observar la taula de valors, la representació gràfica i l’expressió algèbrica d’aquesta funció.• Llegir el nom que rep aquesta funció i la gràfica corresponent.• Llegir la definició de funció de proporcionalitat inversa.• Analitzar, a partir de l’expressió algèbrica i la corresponent taula de valors de dos exemples concrets, la gràfica de la funció de proporcionalitat inversa.• Llegir la definició d’hipèrbola.• Observar, en dues gràfiques, la situació de les branques de la hipèrbola en els quadrants depenent del signe de la constant de proporcionalitat inversa.

2. Funció exponencial• Conèixer l’existència de funcions en les quals la variable independent va associada a l’exponent d’una potència i llegir el nom que reben aquestes funcions.• Exposar que les funcions exponencials es plantegen en diverses situacions de la vida real i llegir sobre una situació en la qual la relació de dependència entre les dues variables

és determinada per una funció exponencial.• Llegir la definició de funció exponencial.• Recordar les tecles de la calculadora que permeten calcular una potència i canviar el signe d’un nombre.• Llegir que si la base d’una funció exponencial és més gran o més petita que 1 existeixen dos tipus de gràfiques.• Construir la gràfica d’una funció exponencial la base de la qual és més gran que 1 i observar-ne les característiques.• Construir la gràfica d’una funció exponencial la base de la qual és més petita que 1 i observar-ne les característiques.• Fixar-se que la funció y = a x és un cas particular de la funció y = cax i en el valor que representa la constant k.• Fixar-se que les gràfiques de les dues funcions exponencials del text són simètriques respecte de l’eix d’ordenades.

3. Funció logarítmica• Conèixer l’existència de funcions en les quals la variable independent va associada a un logaritme i llegir el nom que reben aquestes funcions.• Exposar que les funcions logarítmiques es plantegen en diverses situacions de la vida real i llegir sobre una situació en la qual la relació de dependència entre les dues variables

és determinada per una funció logarítmica.• Llegir la definició de funció logarítmica.• Fixar-se en els logaritmes més utilitzats, en el nom que reben aquests logaritmes i en la forma d’escriure’ls.• Recordar les tecles de la calculadora que permeten calcular el logaritme decimal i el logaritme neperià d’un nombre positiu.• Llegir que si la base d’una funció logarítmica és més gran o més petita que 1 existeixen dos tipus de gràfiques.• Construir la gràfica d’una funció logarítmica la base de la qual és més gran que 1 i observar-ne les característiques.• Construir la gràfica d’una funció logarítmica la base de la qual és més petita que 1 i observar-ne les característiques.• Fixar-se que la calculadora científica només permet trobar els logaritmes decimals o neperians, i llegir la manera d’obtenir-los mitjançant la fórmula del canvi de base.• Fixar-se que les gràfiques de les dues funcions logarítmiques del text són simètriques respecte a la bisectriu dels quadrants primer i tercer.• Visualitzar les gràfiques de les funcions de la forma y = abx a partir d’un applet.

© grup edebé 127


4. Funció inversa d’una funció• Considerar una taula de valors corresponent a una funció de primer grau; llegir que la taula de valors que s’obté quan s’intercanvien entre si els valors de les dues variables

correspon a la funció inversa de la funció inicial, i observar com es designa la funció inversa.• Observar les gràfiques d’una funció i de la funció inversa, i adonar-se que són simètriques respecte a la bisectriu dels quadrants primer i tercer.• Seguir els passos del procediment que permet obtenir l’expressió algèbrica de la funció inversa d’una funció de primer grau.• Reconèixer que la funció inversa de la funció de proporcionalitat inversa és la mateixa funció.• Considerar una taula de valors corresponent a una funció quadràtica; advertir que la taula de valors que s’obté en intercanviar entre si els valors de les dues variables no

correspon a cap funció, i llegir la condició necessària perquè una funció tingui inversa.• Llegir la definició de funció injectiva.• Fixar-se que la funció obtinguda en restringir el domini d’una funció quadràtica té inversa, observar la manera de procedir per a obtenir l’expressió algèbrica de la funció inversa i

advertir en una figura que les seves gràfiques són simètriques respecte a la bisectriu dels quadrants primer i tercer. Llegir-ne la definició corresponent.• Considerar una funció exponencial concreta i construir la taula de valors i la gràfica corresponents.• Obtenir la taula de valors corresponent a l’intercanvi dels valors de les variables i observar que aquesta taula correspon a la funció inversa de l’anterior. Construir la gràfica

d’aquesta funció inversa.• Representar en una sola gràfica totes dues funcions i constatar gràficament i analíticament que la funció inversa de la funció exponencial és la funció logarítmica. • Llegir la definició de la relació entre les funcions exponencial i logarítmica.

@ Consultar una pàgina web i observar la gràfica d’una funció, com s’identifica i les seves característiques.

ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer funcions diferents de les que ja s’han estudiat.• Construir la gràfica de la funció que representa el creixement d’un bacteri del cos humà tenint en compte el temps d’incubació i la

quantitat de bacteris reproduïts.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Donades les funcions que representen el creixement de dues espècies antagòniques de crancs, elaborar les taules i les gràfiques

corresponents, a més de valorar la tendència evolutiva de les dues espècies.• A partir de la funció que correspon a la velocitat del buidatge d’una piscina, representar la gràfica corresponent i calcular determinats

volums i percentatges en funció de determinats temps.@ Amb l’ajuda de diversos enllaços, conèixer i practicar el càlcul de la magnitud que mesura la brillantor dels estels.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1, abans de veure la definició de funció de proporcionalitat inversa, seria convenient que l’alumne/a identifiqués l’ús d’aquest tipus de proporcionalitat en la vida quotidiana. És important treballar el procediment per a obtenir l’expressió algèbrica d’una funció de proporcionalitat inversa en cas que la funció estigui expressada a partir d’una taula de valors o de la gràfica corresponent, de manera que primerament cal trobar el valor de la constant d’aquesta proporcionalitat.

• En l’apartat 2 es poden introduir aspectes relacionats amb l’educació per a la pau i la salut, per exemple, explicant que la descomposició dels materials radioactius segueix una llei de decreixement exponencial.

© grup edebé 128


• En l’apartat 3 es poden introduir els logaritmes a partir d’aspectes relacionats amb l’educació per a la salut i amb l’educació cívica. Així, la intensitat sonora, mesurada en decibels, és una mesura logarítmica. Les autoritats públiques d’arreu del món utilitzen l’anomenada escala dB(A), o decibels (A), per a quantificar les mesures de so; d’aquesta manera, es poden dur a terme estudis sobre el so o soroll (de locals, de lleis contra el soroll, etc.) i els trastorns que provoquen, utilitzant els mitjans de comunicació per a trobar les dades, i discutir sobre els límits (en dB) màxims permesos.

• En l’apartat 4, per a tractar la funció inversa es pot recórrer als diagrames de Venn o a taules per a facilitar-ne la comprensió. Per a això, es poden proposar exercicis senzills amb la taula d’una funció, de manera que l’alumne/a hagi de completar la taula de la funció inversa [ f –1 (x)] i, posteriorment, dur-ne a terme la representació gràfica i obtenir-ne l’expressió algèbrica.


1. Funció de proporcionalitat inversa Fitxa 1. Funció de proporcionalitat inversa.

2. Funció exponencial Fitxa 2. Activitat 1.

3. Funció logarítmica Fitxa 2. Activitat 2.

4. Funció inversa d’una funció Fitxa 2. Activitats 3 i 4.

2. Funció exponencial Fitxa 3. Activitats 1, 3, 7, 8, 9 i 10.

3. Funció logarítmica Fitxa 3. Activitats 1, 2, 4, 5 i 6.


© grup edebé 129


Llibre de l’alumne• Contestar preguntes sobre característiques generals de les

funcions exponencials i logarítmiques.• Interpretar la relació d’invertibilitat de les funcions logarítmica i

exponencial.• Representar gràficament diferents funcions, determinar-ne el

punt de tall i comparar-ne el creixement.• Representar una funció exponencial i una funció logarítmica, i

obtenir el domini i el recorregut de cadascuna.• Resoldre un problema sobre una situació quotidiana relativa a

funcions de proporcionalitat inversa.• Determinar el valor d’una variable a partir d’una expressió

logarítmica i la representació gràfica corresponent.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Representar gràficament una funció i determinar-ne la constant

de proporcionalitat.• Respondre a preguntes sobre característiques de les funcions

exponencials i logarítmiques.• Obtenir el domini i el recorregut de funcions exponencials i

logarítmiques.• Associar cada expressió algèbrica a la gràfica corresponent.• Resoldre un problema sobre una situació quotidiana mitjançant

l’aplicació d’una equació logarítmica.• Resoldre dos problemes sobre situacions quotidianes relatius a

funcions de proporcionalitat inversa.

Llibre de l’alumne • Resoldre situacions pràctiques mitjançant funcions de

proporcionalitat inversa, exponencials i logarítmiques.• Confeccionar taules de valors i les gràfiques corresponents.• Utilitzar els procediments de la metodologia científica en la

interpretació de dades per a treure conclusions i fer prediccions.• Entendre els conceptes de magnitud aparent i magnitud absoluta

d’un estel, i relacionar-los amb la distància a què es troba.• Representar gràficament una funció logarítmica i observar-ne el

domini, el creixement i el decreixement.

Material complementari• Calcular l’edat de mostres de fòssils a partir de l’anàlisi d’una

funció exponencial.• Determinar parells de valors de l’expressió analítica d’una funció.• Elaborar la taula de valors d’una funció i representar-la

gràficament.• Decidir el domini d’una funció per dibuixar-la.• Trobar expressions algèbriques de funcions de proporcionalitat

inversa i exponencials que descriuen situacions reals.

© grup edebé 130






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Visualitzar els gràfics de funcions de la forma y = abx a partir d’una miniaplicació. (Pàgina 235)@ A partir d’un enllaç, observar la gràfica d’una funció, la identificació i les característiques corresponents. (Pàgina 241)

Recursos en suport digital• Estudio d’alres funcions. (Resolució de problemes).• Enllaços web.

© grup edebé 131



• Identificar magnituds inversament proporcionals i relacionar-les amb la gràfica d’una funció de proporcionalitat inversa.• Deduir les característiques de les funcions de proporcionalitat inversa, de les exponencials i de les logarítmiques.• Calcular la funció inversa de funcions de primer grau, de funcions quadràtiques, de funcions exponencials i de funcions logarítmiques.• Identificar la funció logarítmica com la inversa de la funció exponencial.• Distingir i representar gràficament les funcions de proporcionalitat inversa, les exponencials i les logarítmiques.



© grup edebé 132


METODOLOGIA






• Recursos digitals• Calculadora, ordinador i




setmanes







Estructura de la unitat 10: Estudi d’altres funcions– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de conèixer i utilitzar

l’estudi d’altres funcions en situacions reals i contextualitzades.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 133




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar diversos quadres de text sobrie la càrrega i la descàrrega d’un condensador i

els decibels. Llegir una nota històrica sobre Euler. Resoldre una activitat relativa a les funcions exponencials.

© grup edebé 134












© grup edebé 135



























© grup edebé 136


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 137


UNITAT DIDÀCTICA 11: Estudis estadístics


Matemàtica (M)• Formular i resoldre problemes

relacionats amb la interpretació i l’organització de dades en contextos reals.

• Interpretar i presentar la informació a partir de l’ús de taules, gràfics i paràmetres estadístics, i valorar la utilitat que té en la societat.

• Formula i resol problemes relacionats amb la interpretació i l’organització de dades en contextos reals. (M)

• Interpreta i presenta la informació a partir de l’ús de taules i gràfics, i valora la utilitat que té en la societat. (M)

• Interpreta i presenta la informació utilitzant paràmetres estadístics. (M)

• Elaborar i interpretar taules i gràfics estadístics sense agrupació de dades i amb agrupació de dades, tant unidimensionals com bidimensionals.

• Calcular i interpretar els paràmetres estadístics més usuals.

• Identificar els conceptes següents en un estudi estadístic: població, individu, mostra, variable estadística i dada.

• Distingir els tipus de variables estadístiques.• Elaborar i interpretar taules de distribució de

freqüències, tant amb les dades sense agrupar com agrupades.

• Construir els diversos tipus de gràfics estadístics.• Llegir i interpretar informació estadística expressada

mitjançant taules de distribució de freqüències o mitjançant gràfics.

• Conèixer, calcular i interpretar els paràmetres de centralització i de dispersió d’una distribució estadística.

• Mostrar hàbits de precisió, ordre i claredat en el tractament de la informació per mitjans estadístics.

Social i ciutadana (SC)• Participar activament en les

iniciatives que es proposin en un equip de treball per aconseguir un objectiu comú.

• Participa activament en la realització d’estudis estadístics. (SC)

Autonomia i iniciativa personal (AIP)• Generar idees, propostes, etc. en

contextos i situacions diferents, a partir d’una informació i components previs.

• Genera idees i propostes a partir de contextos estadístics, partint d’una informació prèvia. (AIP)

Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar la calculadora i l’ordinador

per a efectuar càlculs estadístics.

• Fa servir la calculadora i l’ordinador per a efectuar càlculs estadístics. (TI-D)

• Valorar la utilitat de l’ús de la calculadora i l’ordinador en els estudis estadístics.

• Utilitzar correctament la calculadora i l’ordinador en els estudis estadístics.

© grup edebé 138


CONTINGUTS

C P V

• Població, individu, mostra, variable estadística i dada. • Tipus de variables estadístiques. • Taules estadístiques per a dades no agrupades i

agrupades. • Gràfics estadístics: diagrama de barres, diagrama de

barres horitzontals, pictograma, diagrama de sectors, histograma, polígons de freqüències, cartograma, piràmide de població, gràfic evolutiu i gràfic comparatiu.

• Paràmetres de centralització: moda, mediana i mitjana aritmètica.

• Paràmetres de dispersió: recorregut, desviació mitjana, variància i desviació típica.

• Variable estadística bidimensional i distribució bidimensional.

• Taules estadístiques de doble entrada per a dades no agrupades i agrupades.

• Gràfics estadístics: diagrama de barres tridimensionals, histograma tridimensional, diagrama de dispersió o núvol de punts.

• Relació entre variables estadístiques: dependència funcional, dependència estàtica o correlació, independència.

• Grau, sentit i tipus de correlació. • Covariància i coeficient de Pearson. • Recta de regressió lineal.

• Elaboració i interpretació de taules de distribució de freqüències per a dades no agrupades i agrupades.

• Construcció i interpretació de diagrames de barres, diagrames de barres horitzontals, pictogrames, diagrames de sectors, histogrames, polígons de freqüències, cartogrames, piràmides de població, gràfics evolutius i gràfics comparatius.

• Elecció i construcció del tipus de gràfic més adequat en cada estudi estadístic.

• Càlcul de la mitjana aritmètica, la moda i la mediana d’una distribució de dades.

• Càlcul del recorregut, la desviació mitjana, la variància i la desviació típica, i el coeficient de variació d’una distribució de dades.

• Interpretació dels valors dels paràmetres de centralització i dels valors dels paràmetres de dispersió.

• Elecció i construcció del tipus de gràfic més adequat en cada estudi estadístic.

• Determinació del tipus de dependència entre dues variables estadístiques.

• Càlcul de la variància i del coeficient de Pearson d’una variable bidimensional.

• Predicció sobre rectes de regressió.

• Reconeixement i valoració de la utilitat de l’estadística per a conèixer i resoldre diverses situacions relatives a l’entorn.

• Ús racional de la calculadora i l’ordinador en el càlcul estadístic.

• Sensibilitat i gust per la precisió, l’ordre i la claredat en el tractament i la presentació de dades i resultats.

• Valoració de les TAC en l’obtenció, el processament i la transmissió de la informació.

• Reconeixement i valoració del treball en equip com una manera eficaç de realitzar determinades activitats.

• Anàlisi crítica de les informacions de l’entorn presentades en forma de taules i gràfiques.


Educació mediambiental: L’activitat inicial es pot utilitzar per a comentar plans d’actuació en el medi ambient del nostre entorn.

© grup edebé 139




1. Estadística unidimensional• Llegir i comprendre la definició del concepte d’estadística.• Recordar els conceptes de població i individu.• Recordar el concepte de variable estadística i llegir la classificació de les variables estadístiques segons el valor que prenguin les dades corresponents.• Recordar el concepte de mostra, llegir sobre una manera d’obtenir mostres representatives i el nom que rep, i reflexionar sobre la grandària de la mostra.• Reflexionar sobre el fet que les taules i els gràfics faciliten l’ordenació i l’anàlisi de les dades que es recullen en un estudi estadístic.• Considerar que per a construir una taula estadística s’ha de tenir en compte la classe de variable estadística.• Fixar-se en una sèrie de dades corresponents a una variable les dades de la qual no estan agrupades i observar la manera de procedir per a calcular cadascuna de les columnes

de la taula de distribució de freqüències: freqüència absoluta, freqüència relativa, freqüència absoluta acumulada i freqüència relativa acumulada.• Reflexionar sobre la necessitat d’agrupar en intervals les dades corresponents a una variable quantitativa contínua.• Seguir cadascun dels passos del procediment per a efectuar l’agrupació en intervals d’una sèrie de dades; fixar-se en els conceptes de recorregut, interval de classe i marca de

classe, i observar l’aplicació del procediment en un exemple concret.• Observar la taula de freqüències corresponent a una variable les dades de la qual estan agrupades.• Reflexionar sobre el fet que els gràfics estadístics faciliten la interpretació de les taules estadístiques.• Llegir una descripció i observar els gràfics estadístics més emprats per a variables qualitatives i quantitatives discretes: diagrama de barres, diagrama de barres horitzontals,

pictograma i diagrama de sectors.• Llegir una descripció i observar els gràfics estadístics més emprats per a variables quantitatives contínues: histograma, polígons de freqüències, cartograma i piràmide de

població.• Llegir una descripció i observar un cartograma, una piràmide de població, un gràfic evolutiu i un gràfic comparatiu.• Reflexionar sobre el fet que cal analitzar les dades recollides en un estudi estadístic i llegir el nom que reben els valors que permeten descriure la informació continguda en les

taules i en els gràfics.• Llegir la definició de moda i la representació corresponent; considerar com a moda la marca de classe de l’interval amb una freqüència absoluta més gran si les dades estan

agrupades en intervals, i llegir el nom que rep aquest interval.• Fixar-se en el significat del símbol de sumatori.• Llegir la definició de mitjana aritmètica i la representació corresponent; considerar com a valors les marques de classe si les dades estan agrupades en intervals, i llegir la fórmula

per a calcular la mitjana aritmètica.• Llegir la definició de mediana i la representació corresponent; la manera de calcular-la si el nombre de dades és imparell, la de calcular-la si les dades estan agrupades en

intervals i, en aquest cas, llegir la fórmula per a calcular-la si el nombre de dades és imparell i la manera de trobar-la si el nombre de dades és parell.• Observar en un exemple resolt el càlcul dels paràmetres de centralització d’una distribució de dades.• Comprovar l’existència d’uns valors que informen sobre la dispersió de les dades i llegir el nom que reben aquests valors.• Llegir la definició de recorregut i la representació corresponent, i la manera de trobar-lo si les dades estan agrupades en intervals.• Llegir la definició de desviació mitjana i la representació corresponent; considerar com a valors les marques de classe si les dades estan agrupades en intervals, i llegir la fórmula

per a calcular la desviació mitjana.• Llegir la definició de variància i la representació corresponent; considerar els valors de la variable i les freqüències que s’han de prendre si les dades estan agrupades en

intervals, i llegir les dues fórmules equivalents per a calcular-la.

© grup edebé 140


• Llegir la definició de desviació típica, la manera de representar-la i la fórmula per a calcular-la.• Observar en un exemple resolt el càlcul dels paràmetres de dispersió d’una distribució de dades.

2. Estadística bidimensional• Reflexionar sobre la necessitat d’estudiar conjuntament dues característiques d’una mateixa població.• Fixar-se en una sèrie de dades corresponents a l’observació conjunta de dues característiques d’una mateixa població i en la manera d’anotar-les.• Llegir la definició de variable estadística bidimensional i la manera de representar-la.• Llegir el nom que rep el conjunt de totes les dades procedents d’una variable estadística bidimensional.• Fixar-se que en els estudis d’estadística bidimensional es poden utilitzar els mateixos conceptes que en estadística unidimensional.• Reconèixer en un exemple resolt la variable estadística bidimensional considerada.• Reflexionar sobre el fet que les taules i els gràfics faciliten l’ordenació i l’anàlisi de les dades que es recullen en un estudi estadístic.• Llegir sobre l’existència de taules en les quals les dades s’agrupen en files i en columnes.• Fixar-se en una sèrie de dades corresponents a variables amb dades no agrupades i observar la manera de procedir per a calcular cadascuna de les columnes i les files d’una

taula de doble entrada.• Fixar-se en els valors que contenen l’última fila i l’última columna de la taula de doble entrada.• Observar que la suma de les freqüències absolutes d’una columna és la freqüència absoluta del valor de X corresponent a aquesta columna i la suma de les freqüències

absolutes d’una fila és la freqüència absoluta del valor de Y corresponent a aquesta fila.• Reflexionar sobre la necessitat d’agrupar en intervals les dades corresponents a variables quantitatives contínues.• Seguir cadascun dels passos del procediment per a efectuar l’agrupació en intervals d’una sèrie de dades i fixar-se en els conceptes d’interval de classe i marca de classe.• Observar la taula de doble entrada corresponent a la sèrie de dades i fixar-se en el nombre de columnes i de files que té i en la manera d’obtenir els nombres de cadascuna de

les cel·les.• Reflexionar sobre el fet que els gràfics estadístics faciliten la interpretació de les taules estadístiques de doble entrada.• Observar la manera d’elaborar els gràfics més emprats en estadística bidimensional: diagrama de barres tridimensionals per a representar variables qualitatives i quantitatives

discretes, histograma tridimensional per a representar variables quantitatives contínues i diagrama de dispersió o núvol de punts per a representar variables qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues.

• Reflexionar sobre el fet que cal analitzar les dades recollides en un estudi estadístic i esbrinar si les dues variables estadístiques unidimensionals que formen la variable estadística bidimensional presenten algun tipus de relació.

• Analitzar, en una situació de la vida quotidiana, una dependència entre dues de les variables estadístiques considerades i llegir el nom i la definició d’aquesta dependència.• Reflexionar, mitjançant un exemple, sobre la relació que cal esperar entre dues variables estadístiques i llegir el nom i la definició d’aquesta relació.• Observar, mitjançant un exemple, que no hi ha cap relació entre dues variables estadístiques considerades i llegir el nom i la definició que reben aquestes variables.• Llegir un text referent a la correlació espúria.• Observar el núvol de punts d’una dependència funcional; la d’una dependència estadística o correlació, i la d’independència entre dues variables.• Observar, mitjançant diagrames de dispersió, la classificació segons el grau, el sentit i el tipus de situacions de dependència estadística o correlació diferents.@ Visualitzar en una pàgina web un exemple de relació de dependència estadística.• Recordar alguns dels paràmetres que es defineixen per a una variable estadística i les fórmules corresponents.• Llegir sobre l’existència de valors que mesuren la correlació entre dues variables estadístiques. • Llegir la definició de covariància i les fórmules equivalents per a calcular-la.• Observar el significat del símbol de doble sumatori.• Llegir la definició de coeficient de Pearson i la fórmula per a calcular-lo.• Conèixer els valors entre els quals està comprès el coeficient de Pearson i observar en uns diagrames de dispersió la relació que hi ha entre el coeficient de Pearson i la

correlació.

© grup edebé 141


• Observar, mitjançant un exemple resolt, la manera de procedir per a calcular el coeficient de Pearson d’una distribució bidimensional. @ Utilitzar una aplicació interactiva per a practicar la representació de dades i el càlcul de correlacions entre dues variables estadístiques.

• Reflexionar sobre la necessitat de trobar alguna manera de predir els valors d’una de les variables d’una distribució bidimensional si es coneixen els de l’altra i considerar que això és possible si hi ha una corba entorn de la qual s’agrupen les dades.

• Llegir el nom que rep l’anàlisi que pretén determinar la corba que millor aproxima un diagrama de dispersió i el que pretén determinar la recta que s’aproxima a un núvol de punts.• Observar que és fàcil trobar una recta que s’aproximi a un núvol de punts i reconèixer que és un mètode subjectiu.• Llegir el nom d’un criteri que permet determinar la recta que millor s’ajusta a la distribució i fixar-se en dues maneres d’expressar l’equació d’aquesta recta i en el nom que rep.• Llegir quina és la base del criteri dels mínims quadrats. • Reconèixer que la recta de regressió de Y sobre X permet predir per a un valor de x, el valor de y, però que, en general, el resultat obtingut no serà el valor real.• Ser conscients que, per a fer prediccions d’un valor de X a partir d’un valor de y s’haurà de considerar la recta de regressió de X sobre Y i fixar-se en dues maneres d’expressar

l’equació d’aquesta recta.• Relacionar el grau de proximitat de les dues rectes de regressió amb la correlació lineal entre les dues variables estadístiques.• Reflexionar sobre les limitacions que presenten les prediccions realitzades a partir d’una recta de regressió.• Fixar-se en el punt pel qual passen les dues rectes de regressió, en el pendent de totes dues rectes i en la relació entre els dos pendents.• Observar, mitjançant un exemple resolt, la manera de calcular les rectes de regressió i valorar les prediccions efectuades.

© grup edebé 142


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer i aplicar els estudis estadístics.• A partir de les dades del reciclatge de vidre d’algunes comunitats, realitzar determinats càlculs i elaborar gràfics comparatius per habitant

d’aquest tipus de reciclatge.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Representar en alguns gràfics i valors de dispersió i calcular-los a partir de les temperatures mitjanes mensuals i de la pluja caiguda en

una població determinada.• Trobar les dades perdudes de l’import d’unes vendes de les quals es coneix informació anterior i posterior a aquest període.@ Amb l’ajuda de diversos enllaços, conèixer els nivells de reciclatge de vidre en diferents comunitats autònomes i elaborar un estudi estadístic a partir de les qüestions que es plantegen.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1 és molt convenient mostrar exemples de les utilitats pràctiques de l’estadística. A més a més, com a objectiu per als ensenyaments transversals educació moral i cívica i educació per al consum, s’ha de potenciar una mirada crítica sobre tota la informació presentada d’una manera estadística. Es poden buscar estudis d’aquest tipus en els mitjans de comunicació i analitzar-ne els elements (taules, gràfics, paràmetres i, especialment, conclusions). Per a això, s’han d’analitzar qüestions com les dimensions dels gràfics, l’aparició de totes les dades rellevants en les taules o l’ocultació d’alguns paràmetres, i dedicar una atenció especial a l’estudi de les conclusions. Finalment, es pot analitzar la conveniència o no de certes estadístiques, per la poca informació que aporten, o bé per la nul·la capacitat de predicció que aporten.

• En l’apartat 2, un dels principals obstacles amb què es pot trobar l’alumnat quan treballi l’estadística bidimensional no és conceptual, sinó pràctic, ja que la manipulació i el tractament de llistes de dades bidimensionals poden resultar, a més de tediosos, una font d’errors. Per això, cal insistir que s’ha de posar molta atenció en el tractament de les dades i la plasmació d’aquestes en taules així com en la interpretació de les dades, una vegada realitzat l’estudi descriptiu, ja que, en la majoria dels estudis, les variables acostumen a tenir relacions complexes que no poden ser reduïdes a afirmacions sense matisos. Tant en aquest apartat com en l’anterior seria molt interessant, i gairebé imprescindible, presentar algun tipus d’aplicació o programa per a efectuar el treball estadístic; per a això es poden utilitzar les eines que ofereix qualsevol full de càlcul. També es podria proposar realitzar i presentar treballs per grups en els quals s’estudiessin variables bidimensionals com les següents: hores d’estudi setmanals i resultats en les diverses matèries, edat i estatura (en tot l’institut), nombre de germans i resultats en les diverses assignatures, etc., per a la classificació de les configuracions en els problemes de comptar. A partir de l’esquema de les diferents configuracions, l’alumne/a adquireix una visió global de tot el que s’ha après en la unitat.

© grup edebé 143



1. Estadística unidimensional Fitxa 1. Estadística unidimensional.

2. Estadística bidimensional• Fitxa 2. Estadística bidimensional.

1. Estadística unidimensional Fitxa 3. Activitat 1.

2. Estadística bidimensional Fitxa 3. Activitats 2, 3, 4 i 5.


Llibre de l’alumne• Indicar el tipus de variable estadística de diferents estudis.• Calcular la mitjana aritmètica i la moda d’un conjunt de valors.• Construir una taula de doble entrada i el diagrama de barres i

el diagrama de dispersió corresponent.• Indicar la classe modal d’un conjunt de valors, i construir

prèviament una taula de doble entrada.• Trobar el tipus de relació entre diferents parells de variables.• Trobar el valor aproximat del coeficient de Pearson a partir

d’un diagrama.• Calcular el coeficient de Pearson d’una distribució i extrapolar

un resultat a partir de la distribució.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Completar una taula de distribució de freqüències per a una

variable estadística discreta i representar el diagrama de barres de la variable.

• Completar una taula de distribució de freqüències per a una variable estadística contínua i representar el polígon de freqüències d’aquesta variable.

• Completar una taula de doble entrada per a una variable quantitativa contínua i determinar l’histograma tridimensional corresponent.

• Calcular el coeficient de correlació d’unes dades determinades, representar el diagrama de dispersió i trobar la recta de regressió de Y sobre X.

• Relacionar cada gràfica amb el coeficient de correlació corresponent.

Llibre de l’alumne • Reconèixer i diferenciar els tipus de variables estadístiques.• Elaborar taules de valors estadístics de doble entrada.• Confeccionar gràfics estadístics, obtenir informació pràctica i

establir conclusions a partir d’aquests gràfics.• Identificar i calcular paràmetres estadístics de centralització i de

dispersió.• Identificar la dependència funcional entre dues variables

estadístiques i realitzar prediccions a partir de l’anàlisi d’aquesta dependència.

Material complementari• Elaborar taules de valors estadístics i calcular les freqüències

corresponents.• Identificar i calcular paràmetres estadístics de centralització.• Confeccionar diagrames de sectors i de barres a partir de les

dades d’una taula de valors.• Calcular paràmetres estadístics de dispersió.• Analitzar l’existència de dades atípiques en una sèrie.

© grup edebé 144






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ A partir d’un enllaç donat, conèixer diversos exemples de variables estadístiques bidimensionals. (Pàgina 258)@ A partir d’un enllaç donat, visualitzar un exemple de la relació de dependència estadística. (Pàgina 263)@ Conèixer una aplicació interactiva amb la qual es poden practicar la representació de dades i el càlcul de correlacions entre dues variables estadístiques. (Pàgina 265)

Recursos en suport digital• Estadística. (Resolució de problemes).• Enllaços web

© grup edebé 145



• Distingir els tipus de variables estadístiques.• Elaborar i interpretar taules de distribució de freqüències, tant amb les dades sense agrupar com agrupades.• Construir els diversos tipus de gràfics estadístics.• Llegir i interpretar informació estadística expressada mitjançant taules de distribució de freqüències o mitjançant gràfics.• Conèixer, calcular i interpretar els paràmetres de centralització i de dispersió d’una distribució estadística.• Mostrar hàbits de precisió, ordre i claredat en el tractament de la informació per mitjans estadístics.



© grup edebé 146


METODOLOGIA






• Recursos ensuport digital• Calculadora, ordinador i




setmanes







Estructura de la unitat 11: Estudi d’altres funcions– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de conèixer i aplicar

els estudis estadístics en situacions reals i contextualitzades.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 147




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: interpretar uns quadres de text sobre les lletres del teclat d’un ordinador i de les

aplicacions professionals de les matemàtiques. Resoldre una activitat relativa als continguts de la unitat. Connectar-se a una pàgina d’internet i observar les xifres d’accidentalitat en les carreteres espanyoles.

© grup edebé 148












© grup edebé 149



























© grup edebé 150


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 151


UNITAT DIDÀCTICA 12: Tècniques per a comptar


Matemàtica (M)• Reconèixer situacions quotidianes en

les quals intervenen les teories combinatòries.

• Presentar d’una manera clara i raonada el procés seguit i les solucions obtingudes en resoldre problemes de combinatòria.

• Presenta d’una manera clara i raonada el procés seguit i les solucions obtingudes en resoldre problemes de combinatòria. (M)

• Reconeix situacions quotidianes en les quals intervenen les teories combinatòries. (M)

• Utilitzar diferents tècniques de recompte, com els diagrames en arbre, les taules de contingència, el principi multiplicatiu o la combinatòria.

• Diferenciar de manera raonada els diversos tipus de configuracions.

• Apreciar la utilitat de la combinatòria en la resolució de problemes de comptar.

• Identificar problemes de comptar en la vida quotidiana i les possibles configuracions que hi ha.

• Distingir entre variació ordinària i variació amb repetició.• Conèixer el concepte de nombre factorial.• Conèixer el concepte de nombre combinatori.• Conèixer i comprendre les propietats dels nombres

combinatoris.• Analitzar el tipus de configuració mitjançant l’ús de les

preguntes clau.• Conèixer i aplicar correctament les fórmules de les

diverses configuracions estudiades: variacions ordinàries, variacions amb repetició, permutacions ordinàries i combinacions ordinàries.

• Utilitzar el desenvolupament del binomi de Newton mitjançant l’aplicació de nombres combinatoris.

Comunicació lingüística i audiovisual (CLA)• Organitzar la informació, sintetitzar-

la i integrar-la en els coneixements previs per ordenar-la i reelaborar-la de la manera més adequada al context.

• Organitza, sintetitza i integra la informació en els coneixements previs per reelaborar-la de la manera més adequada al context. (CLA) • Presentar d’una manera clara i ordenada el procés de

resolució de problemes de comptar.Tractament de la informació i competència digital (TI-D)• Utilitzar les tecnologies digitals per a

efectuar recomptes de configuracions i càlculs de combinatòria.

• Utilitza les tecnologies digitals per a efectuar recomptes de configuracions i càlculs de combinatòria. (TI-D)

Aprendre a aprendre (AA)• Manejar d’una manera eficient un

conjunt de recursos, tècniques i estratègies tant en el treball individual com en el col·lectiu per emprendre nous aprenentatges i garantir-ne l’eficàcia.

• Maneja recursos, tècniques i estratègies per a explicar i els aplica a nous aprenentatges. (AA)

• Realitzar el recompte gràfic de configuracions mitjançant el diagrama en arbre i la taula de contingència.

• Aplicar el principi multiplicatiu per a esdeveniments consecutius, és a dir, eleccions seguides.

• Diferenciar les característiques que defineixen els diversos tipus de configuracions mitjançant l’ús de diagrames en arbre.

© grup edebé 152


• Adquirir un mètode d’anàlisi ordenada i sistemàtic en la resolució de problemes de comptar.

© grup edebé 153


CONTINGUTS

C P V

• Diagrames en arbre. • Principi multiplicatiu. • Taula de contingència.• Combinatòria. • Variacions ordinàries, variacions amb repetició,

permutacions ordinàries i combinacions ordinàries. • Nombres factorials i nombres combinatoris. • Triangle de Tartaglia. • Binomi de Newton.

• Utilització del vocabulari propi de la combinatòria per a rebre i transmetre informació.

• Representació de diagrames en arbre. • Representació gràfica mitjançant taules o esquemes

diferents dels diagrames en arbre. • Utilització del principi multiplicatiu en els diagrames que

compleixin les condicions necessàries.• Identificació dels diversos tipus de configuracions

mitjançant l’ús de diagrames en arbre. • Aplicació de les fórmules de variacions ordinàries,

variacions amb repetició, permutacions ordinàries i combinacions ordinàries.

• Deducció de les fórmules de les configuracions estudiades.

• Càlcul de nombres factorials i de nombres combinatoris. • Aplicació de les propietats dels nombres combinatoris.• Resolució sistemàtica de problemes de comptar.

• Valoració de la precisió, la simplicitat i la utilitat del llenguatge de la combinatòria per a representar, comunicar o resoldre diverses situacions de la vida quotidiana.

• Reconeixement i valoració de la utilitat de les tècniques per a comptar a fi de conèixer i resoldre diverses situacions relatives a l’entorn.

• Hàbit d’utilitzar el llenguatge emprat en combinatòria. • Confiança en les pròpies capacitats per a afrontar

problemes i efectuar càlculs amb variacions ordinàries, variacions amb repetició, permutacions ordinàries i combinacions ordinàries.

• Interès i respecte per les estratègies i solucions a problemes numèrics diferents de les pròpies.

• Ús racional de la calculadora per a efectuar càlculs en els problemes de combinatòria.


Educació cívica i per al consum: El professor/a pot aprofitar les activitats de la unitat que es refereixen a repartiments entre grups per a fomentar actituds equitatives i justes.

© grup edebé 154




1. Recompte gràfic de configuracions• Reflexionar sobre cadascun dels resultats possibles que es poden obtenir en un cas concret de la vida quotidiana i llegir el nom que reben.• Llegir la definició de configuració.• Representar gràficament, mitjançant l’ús d’un diagrama en arbre, un cas concret de recompte de configuracions.• Distingir, a partir de l’exemple analitzat, entre diagrama regular i diagrama no regular.• Fixar-se en les preguntes que planteja un problema de comptar.• Observar, a partir de l’exemple analitzat, que el nombre de configuracions resulta de multiplicar opcions i llegir en què consisteix efectuar un recompte aplicant el principi

multiplicatiu.• Analitzar la possibilitat d’aplicar el principi multiplicatiu segons si el diagrama en arbre és regular o no.• Observar, en un exemple resolt, la resolució d’un problema mitjançant l’ús d’un diagrama en arbre i fixar-se que no es pot aplicar el principi multiplicatiu.• Llegir la definició de taula de contingència.• Observar un exemple concret d’aplicació d’una taula de contingència.

2. Combinatòria• Reflexionar sobre el fet que a vegades no és pràctica la utilització del diagrama en arbre o l’aplicació del principi multiplicatiu i adonar-se de l’existència d’altres tècniques més

pràctiques.• Llegir la definició de combinatòria. • Representar gràficament, mitjançant l’ús d’un diagrama en arbre, un cas concret de recompte de configuracions; analitzar la importància de l’ordre de col·locació dels elements i

que no apareguin elements repetits, i llegir el nom que reben aquestes configuracions.• Llegir la definició de variació ordinària i deduir la fórmula que permet calcular el nombre de variacions ordinàries.• Observar, en un exemple resolt, el càlcul del nombre de variacions ordinàries a partir de la fórmula. • Fixar-se que, en les variacions ordinàries de n elements presos de k i k, k ha de ser més petita o igual que n.• Representar gràficament, mitjançant l’ús d’un diagrama en arbre, un cas concret de recompte de configuracions; analitzar la importància de l’ordre de col·locació dels elements i

que existeix repetició d’elements, i llegir la definició de variació amb repetició.• Deduir la fórmula que permet calcular el nombre de variacions amb repetició i observar l’aplicació d’aquesta fórmula en l’exemple anterior.@ Analitzar les variacions a partir d’una aplicació interactiva• Analitzar un exemple de recompte de configuracions en el qual importa l’ordre de col·locació dels elements; no hi apareixen elements repetits i intervenen tots els elements en

cada configuració, i llegir el nom que reben aquestes configuracions.• Llegir la definició de permutació ordinària, deduir la fórmula que permet el nombre de permutacions ordinàries i observar l’aplicació d’aquesta fórmula en un exemple.• Fixar-se que les permutacions són un cas especial de variacions.• Observar la tecla de la calculadora que permet obtenir directament el valor d’un nombre factorial.• Fixar-se en el valor dels nombres 1! i 0!.

© grup edebé 155


• Observar en uns exemples resolts l’aplicació del càlcul del nombre de permutacions ordinàries.• Fixar-se que també es pot donar el cas de permutacions amb repetició i en la fórmula corresponent a aquesta situació.• Representar en una taula un cas concret de recompte de configuracions; analitzar que no importa l’ordre de col·locació dels elements i que no hi apareixen elements repetits, i

llegir la definició de combinació ordinària.• Deduir la fórmula que permet calcular el nombre de combinacions ordinàries. • Fixar-se en l’existència de combinacions amb repetició i en la fórmula corresponent.• Observar l’aplicació del càlcul del nombre de combinacions ordinàries en uns exemples resolts.

@ Calcular nombre combinatoris utilizant una aplicació interactiva.

• Observar en una taula la definició i les propietats dels nombres combinatoris, el càlcul d’aquests nombres utilitzant el triangle de Tartaglia i l’ús que tenen en el desenvolupament del binomi de Newton.

3. Resolució de problemes• Llegir el text en el qual s’enumeren les tres preguntes clau que permeten classificar els diversos tipus de configuracions estudiats: variacions ordinàries, variacions amb repetició,

permutacions ordinàries i combinacions ordinàries.• Analitzar un esquema que permet classificar les diferents configuracions d’una manera ordenada i sistemàtica tenint en compte les respostes donades a les preguntes clau.• Apreciar en els exemples resolts la manera de tractar els problemes de comptar mitjançant el plantejament de les tres preguntes clau.

s CB

ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ Resoldre l’activitat inicial en la qual sorgeix la necessitat de conèixer i utilitzar les tècniques per a comptar i la combinatòria.• Elaborar un diagrama en arbre per a determinar el nombre de banderes diferents de tres franges verticals que es poden crear a partir de

quatre colors diferents.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Utilitzant un diagrama en arbre, determinar el nombre de menús diferents que es poden elaborar triant els plats d’una llista que conté

diverses possibilitats d’elecció.

© grup edebé 156


• Calcular el nombre de seqüències possibles de muntatge que tenen les set peces que componen un motor sabent que algunes s’han de col·locar segons unes condicions determinades.

@ Amb els enllaços facilitats, obtenir informació sobre el desenvolupament dels play-off de l’NBA i, a partir d’un full de càlcul, determinar els diferents enfrontaments que podrien tenir lloc en les finals de conferència.

COMPLEMENTÀRIES En l’apartat 1 i des de l’inici de la unitat, és convenient que el professor/a plantegi situacions de la vida real que presentin un recompte de configuracions. D’aquesta manera, el professor/a motiva l’alumne/a en la investigació de situacions i aconsegueix introduir-lo en l’anàlisi dels problemes de comptar. Amb la finalitat que es familiaritzi amb el concepte de configuració i la representació gràfica corresponent, pot ser útil plantejar treballs en equip que requereixin una manipulació visual. Per exemple:

- Confeccionar un mural amb totes les possibles plantes obtingudes si es tinguessin dos tipus d’arrel (axonomorfa i fasciculada), dos tipus de tija (herbàcia i llenyosa) i quatre tipus de fulles (sencera, dentada, serrada i lobulada).

- Escriure en un pentagrama algunes possibles melodies que es podrien compondre a partir de l’escala musical si considerem cada nota diferent i que aquestes han d’anar col·locades en posicions diverses.

En l’apartat 2, una de les dificultats que solen trobar els alumnes és la distinció de cadascuna de les configuracions. Així, cal que inicialment s’efectuï, mitjançant un exemple, un diagrama en arbre que permeti diferenciar cadascun dels tipus de configuracions estudiades. La introducció dels nous conceptes pot provocar dificultats de comprensió en l’alumne/a, per la qual cosa el professor/a hauria de tractar de crear a la classe un llenguatge comú, usant significats propers a l’entorn social i cultural de l’alumne/a, i d’aquesta manera aconseguir un acostament progressiu i comprensiu a aquests nous conceptes. És necessari que l’alumne/a conegui les fórmules per a cada tipus de configuració, per la qual cosa el professor/a haurà d’insistir en el càlcul d’aquestes fórmules i, més endavant, en la comprovació corresponent mitjançant el raonament lògic utilitzat en els diagrames en arbre.

En l’apartat 3 és convenient que el professor/a destaqui la importància del plantejament de les tres preguntes clau per a la classificació de les configuracions en els problemes de comptar. A partir de l’esquema de les diferents configuracions, l’alumne/a adquireix una visió global de tot el que s’ha après en la unitat.


1. Recompte gràfic de configuracions Fitxa 1. Diagrames en arbre.

2. Combinatòria Fitxa 2. Combinatòria.

2. Combinatòria Fitxa 3. Activitat 3.

3. Resolució de problemes Fitxa 3. Activitats 1, 2 i 4.

© grup edebé 157



Llibre de l’alumne Sumar nombres combinatoris. Utilitzar les propietats dels nombres combinatoris per a trobar

el valor d’una incògnita. Aplicar les fórmules correctes per a l’obtenció del nombre total

de configuracions. Trobar les configuracions possibles a partir de l’elaboració d’un

diagrama en arbre. Resoldre problemes de comptar aplicant el principi

multiplicatiu. Aplicar les propietats de les probabilitats a la resolució d’un

problema. Calcular el quocient de dues probabilitats si es coneix la

probabilitat condicionada de tots dos.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació) Escriure les configuracions possibles a partir de l’elaboració

d’un diagrama en arbre. Aplicar el principi multiplicatiu en problemes de comptar que

compleixin les condicions necessàries. Escriure les fórmules de les diferents configuracions

estudiades. Aplicar les fórmules correctes per a l’obtenció del nombre total

de configuracions. Classificar i calcular nombres factorials i combinatoris. Utilitzar els nombres combinatoris i el binomi de Newton per a

obtenir una potència d’un binomi. Formular les preguntes clau per a deduir el tipus de

configuració i efectuar-ne el càlcul. Resoldre un problema de comptar que no es limita a l’aplicació

directa de la fórmula d’un tipus de configuració.

Llibre de l’alumne Confeccionar diagrames d’arbre per organitzar i ordenar els

recomptes de configuracions. Reconèixer situacions quotidianes susceptibles de ser tractades

mitjançant les teories combinatòries. Aplicar el principi multiplicatiu en la resolució de problemes de

comptar. Triar a cada moment la tècnica per a comptar adequada i

justificar-ne la utilització. Efectuar recomptes de configuracions fent servir un full de càlcul.

Material complementari Obtenir el nombre total de configuracions aplicant les fórmules

correctes. Elaborar un calendari per organitzar les dades i facilitar els

recomptes. Decidir si per a una situació determinada importa l’ordre de

col·locació dels elements i poden aparèixer elements repetits o no.

Seleccionar la informació útil d’una taula. Aplicar les tècniques per a comptar en la resolució de problemes

contextualitzats.

© grup edebé 158






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per analitzar les variacions. (Pàgina 282)@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per calcular nombres combinatoris. (Pàgina 287)

Recursos en suport digital Combinatòria. (Activitat.) Tècniques per a comptar. (Resolució de problemes) Enllaços web

© grup edebé 159



• Identificar problemes de comptar en la vida quotidiana i les possibles configuracions existents.• Conèixer el concepte de nombre factorial.• Conèixer el concepte de nombre combinatori.• Conèixer i comprendre les propietats dels nombres combinatoris.• Analitzar el tipus de configuració mitjançant l’ús de les preguntes clau.• Conèixer i aplicar correctament les fórmules de les diferents configuracions estudiades: variacions ordinàries, variacions amb repetició, permutacions ordinàries i combinacions

ordinàries.• Utilitzar el desenvolupament del binomi de Newton mitjançant l’aplicació de nombres combinatoris.• Realitzar el recompte gràfic de configuracions mitjançant el diagrama en arbre i la taula de contingència.



© grup edebé 160


METODOLOGIA










setmanes







Estructura de la unitat 12: Tècniques per a comptar– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de conèixer i utilitzar

les tècniques de recompte i la combinatòria en situacions reals i contextualitzades.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 161




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: llegir uns textos sobre els retrats robot i sobre una nota històrica relacionada amb l’estudi

de la combinatòria. Llegir unes notes històriques relacionades amb el triangle de Tartaglia. Divertir-se raonant: esbrinar quina de les butxaques presenta un nombre més gran de maneres de treure quatre monedes mitjançant diagrames en arbre.

© grup edebé 162












© grup edebé 163



























© grup edebé 164


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..


© grup edebé 165


UNITAT DIDÀCTICA 13: Probabilitat


Matemàtica (M)• Reconèixer situacions i fenòmens

propers en els quals intervé la probabilitat i ser capaç d’efectuar prediccions sobre el valor de la probabilitat d’un esdeveniment.

• Aplicar adequadament les tècniques de càlcul realitzant estimacions ajustades de la realitat per a resoldre problemes pràctics de probabilitat.

• Reconeix situacions i fenòmens propers en els quals intervé la probabilitat. (M)

• Aplica adequadament les tècniques de càlcul realitzant estimacions ajustades de la realitat per a resoldre problemes pràctics de probabilitat. (M)

• Efectua prediccions sobre el valor de la probabilitat d’un esdeveniment. (M) • Determinar i interpretar l’espai

mostral i els esdeveniments associats a un experiment aleatori.

• Assignar probabilitats utilitzant la llei de Laplace, els diagrames en arbre i la combinatòria.

• Resoldre situacions de la vida quotidiana aplicant conceptes de probabilitat.

• Distingir entre experiments aleatoris i experiments deterministes de la vida quotidiana.

• Identificar esdeveniments impossibles, probables i segurs.

• Conèixer la definició experimental de probabilitat i reconèixer situacions d’equiprobabilitat.

• Reconèixer la independència o la dependència de dos esdeveniments associats a un mateix experiment aleatori.

• Realitzar operacions amb esdeveniments.• Calcular la freqüència absoluta i la freqüència relativa

d’un esdeveniment.• Elaborar diagrames en arbre per establir l’espai mostral

d’un experiment aleatori en el qual les realitzacions es repeteixen diverses vegades.

• Calcular la probabilitat en un experiment compost a partir del diagrama en arbre.

• Comprovar experimentalment que, en augmentar el nombre de realitzacions d’un experiment aleatori, la freqüència relativa d’un esdeveniment s’estabilitza.

• Valorar la presència de la probabilitat en la vida quotidiana.

• Adquirir una actitud d’interès per calcular el grau de certesa que es produeixi una situació.

• Mostrar interès per conèixer les prestacions d’un programa informàtic per estudiar la probabilitat.

Comunicació lingüística i audiovisual (CLA)• Llegir amb fluïdesa i interpretar

textos de la vida quotidiana amb informació relacionada amb la probabilitat.

• Llegeix i interpreta textos de la vida quotidiana amb informació relacionada amb la probabilitat. (CLA)

• Descriure l’espai mostral, reconèixer els esdeveniments elementals i determinar els resultats d’un esdeveniment d’un experiment aleatori.

© grup edebé 166


CONTINGUTS

C P V

• Experiments deterministes i experiments aleatoris. • Espai mostral i esdeveniment elemental. • Esdeveniment, esdeveniment segur, esdeveniment

impossible, esdeveniment contrari, esdeveniments compatibles i esdeveniments incompatibles.

• Unió, intersecció i diferència d’esdeveniments. • Esdeveniment complementari o contrari a un de donat. • Freqüència absoluta i freqüència relativa d’un

esdeveniment. • Probabilitat d’un esdeveniment.• Regla de Laplace. • Propietats de la probabilitat.• Experiments compostos. • Esdeveniments dependents i esdeveniments

independents. • Probabilitat en esdeveniments independents. • Probabilitat condicionada.

• Determinació dels esdeveniments elementals i de l’espai mostral d’un experiment aleatori.

• Aplicació dels conceptes d’esdeveniment contrari, esdeveniments compatibles i esdeveniments incompatibles per a la resolució de problemes.

• Operacions amb esdeveniments. • Elaboració de taules de freqüències absolutes i

freqüències relatives d’esdeveniments.• Aplicació de la regla de Laplace al càlcul de la

probabilitat en una situació d’equiprobabilitat. • Aplicació de les propietats de la probabilitat per a la

resolució de problemes.• Reconeixement d’esdeveniments independents i

d’esdeveniments dependents. • Elaboració de diagrames en arbre en el cas

d’experiments aleatoris compostos i càlcul de les probabilitats de cada esdeveniment.

• Aplicació de la probabilitat condicionada.

• Valorar la utilització adequada i precisa del llenguatge probabilístic en la descripció de situacions relacionades amb l’atzar.

• Constància en la cerca de solucions de les situacions matemàtiques plantejades relacionades amb l’atzar.

• Disposició favorable per utilitzar la probabilitat en la resolució d’alguns problemes de la vida quotidiana.

• Sentit crític respecte d’informacions de caràcter probabilístic i respecte de resultats obtinguts en el càlcul de probabilitats.


Eduacació cívica i per a la salut: Al llarg de la unitat, el professor/a ha de tenir cura de no transmetre un concepte positiu del joc d’atzar. Pot aprofitar les diferents activitats per informar els alumnes del risc que comporta el joc, individualment i socialment.

© grup edebé 167



Orientacions generalsRelacionar la imatge de presentació de la unitat i el text que l’acompanya amb el contingut d’aquesta unitat.Reflexionar sobre les preguntes plantejades en la presentació, revisar els continguts previs i llegir els objectius que es pretén aconseguir.Observar l’esquema de la unitat i escoltar l’explicació del professor/a.

1. Concepte de probabilitat• Comparar diverses experiències de la vida quotidiana que tenen resultats determinats o no determinats per reconèixer la diferència entre experiments deterministes i

experiments aleatoris.• Llegir la definició d’experiment determinista i la d’experiment aleatori.• Fixar-se en la necessitat d’especificar què s’entén per resultat d’un experiment.• Considerar un experiment aleatori i determinar-ne els possibles resultats per introduir els conceptes d’espai mostral i esdeveniment elemental.• Llegir les definicions d’espai mostral i esdeveniment elemental, i observar la manera de representar-les.• Observar, en un exemple d’experiment aleatori, l’espai mostral i els esdeveniments elementals.• Observar la determinació de l’espai mostral de dos experiments aleatoris en dos exemples resolts.• Considerar un experiment aleatori i caracteritzar diversos aspectes pels resultats que tenen per introduir el concepte d’esdeveniment.• Llegir la definició d’esdeveniment.• Reconèixer que un esdeveniment és un subconjunt de l’espai mostral de l’experiment aleatori, llegir el nom dels esdeveniments elementals que el formen i llegir el significat

de l’expressió passar un esdeveniment.• Fixar-se quins esdeveniments s’identifiquen amb els esdeveniments formats per un únic resultat i, també, que en obtenir un resultat es verifiquin simultàniament diversos

esdeveniments.• Reflexionar sobre les circumstàncies en què succeiran dos esdeveniments d’un experiment aleatori per introduir els conceptes d’esdeveniment segur i esdeveniment

impossible, i observar-ne la representació.• Observar dos esdeveniments d’un experiment aleatori per introduir el concepte d’esdeveniment contrari, i observar-ne la representació.• Considerar dos esdeveniments d’un experiment aleatori i observar certes característiques de tots dos per introduir els conceptes d’esdeveniment compatible i esdeveniment

incompatible.• Observar en una taula les operacions que es poden efectuar amb els esdeveniments d’un experiment aleatori: unió, intersecció, diferència i esdeveniment complementari.• Observar en un exemple resolt la realització de diverses operacions amb esdeveniments aleatoris.• Observar en una taula els resultats obtinguts en realitzar 400 vegades un experiment aleatori per introduir el concepte de freqüència absoluta d’un esdeveniment i llegir-ne la

definició.• Reflexionar que, per a comparar el comportament d’un esdeveniment quan varia el nombre d’experiències realitzades, no és suficient conèixer-ne la freqüència absoluta.• Observar els quocients obtinguts en dividir les freqüències absolutes de dos esdeveniments entre el nombre total d’experiències realitzades per introduir el concepte de

freqüència relativa d’un esdeveniment, i llegir-ne la definició i la fórmula per a calcular-la.• Fixar-se que la freqüència relativa es pot expressar en forma de fracció, en tant per un o en percentatge.• Reflexionar sobre el significat de la paraula probable com a qualificatiu que expressa la possibilitat que ocorri un esdeveniment i considerar la necessitat de mesurar el grau

de certesa que es produeixi aquest esdeveniment per arribar al concepte de probabilitat.• Observar com es representa la probabilitat i llegir que la probabilitat és una regla que assigna a cada esdeveniment un nombre comprès entre 0 i 1.• Llegir el significat que la probabilitat d’un esdeveniment sigui 0 i que sigui 1.• Fixar-se en el valor de la probabilitat de l’esdeveniment impossible i en el de l’esdeveniment segur.• Observar, en un exemple, el comportament de les freqüències relatives de dos esdeveniments d’un experiment aleatori per assignar a cada esdeveniment el valor al qual

© grup edebé 168


s’aproximen les freqüències relatives en augmentar el nombre de realitzacions de l’experiment i llegir el nom que rep aquest valor.• Llegir la definició de probabilitat d’un esdeveniment.• Fixar-se en un text referent a la llei dels grans nombres i en una nota històrica sobre la probabilitat.

2. Càlculs probabilístics• Observar la probabilitat que es pot suposar als diferents esdeveniments elementals d’un experiment aleatori per arribar al concepte de situació d’equiprobabilitat i llegir la

definició de situació d’equiprobabilitat.• Llegir la regla de Laplace per al càlcul de probabilitats.• Fixar-se, en una situació d’equiprobabilitat, en la probabilitat de cadascun dels esdeveniments elementals d’un experiment aleatori.• Llegir un text referent a un model de probabilitat. • Observar, en un exemple resolt, l’aplicació de la regla de Laplace en una situació d’equiprobabilitat.• Reflexionar sobre el fet que alguns problemes en els quals no s’esdevé una situació d’equiprobabilitat es poden reformular de manera que es transformin a aquesta situació.@ Simular el càlcul de diferents probabilitats amb l’ajuda d’una aplicació interactiva.• Observar en un exemple resolt la reformulació d’un problema perquè s’esdevingui una situació d’equiprobabilitat.• Fixar-se en què consisteix una taula de contingència.• Llegir en una taula les propietats de la probabilitat i observar en dos exemples resolts la manera d’obtenir la probabilitat d’un esdeveniment aplicant aquestes propietats.

3. Probabilitat en experiments compostos• Llegir que el diagrama en arbre permet trobar la probabilitat de cada esdeveniment elemental d’un experiment aleatori compost. • Observar, en un exemple resolt, el càlcul de la probabilitat d’un esdeveniment elemental d’un experiment aleatori compost amb l’ajuda d’un diagrama en arbre.

@ Simular el càlcul de probabilitats en un experiment aleatori compost utilitzant una aplicació interactiva.• Fixar-se en la unió i la intersecció de dos esdeveniments.• Observar dos esdeveniments associats a un mateix experiment aleatori en què el fet que es verifiqui un dels esdeveniments no influeix en el fet que es verifiqui l’altre i

viceversa; calcular i observar algunes igualtats entre diferents probabilitats, i llegir el nom que reben aquests esdeveniments.• Observar dos esdeveniments associats a un mateix experiment aleatori en què el fet que es verifiqui un dels esdeveniments influeix en el fet que es verifiqui l’altre i

viceversa; calcular i observar en una desigualtat entre dues probabilitats, i llegir el nom que reben aquests esdeveniments.• Llegir la definició d’esdeveniment independent i la d’esdeveniment dependent.• Observar en dos exemples resolts el càlcul de la probabilitat en esdeveniments independents.• Fixar-se en la fórmula per a esdeveniments independents que es deriva del principi de probabilitat composta.• Llegir la fórmula de la probabilitat d’un esdeveniment condicionada a un altre esdeveniment i la del principi de la probabilitat composta.• Advertir que la conmutativitat de la intersecció de dos esdeveniments permet escriure d’una altra manera la fórmula de la probabilitat composta.• Observar, en un exemple, el càlcul de la probabilitat d’un esdeveniment sense cap informació prèvia i comparar-la amb la que es té si es disposa d’informació prèvia; llegir el

nom que rep aquesta probabilitat, i comprovar-ne la fórmula.• Observar en tres exemples resolts l’aplicació de la probabilitat condicionada.

© grup edebé 169


ALTRES ACTIVITATS


MOTIVACIÓ • Resoldre l’activitat inicial, en què sorgeix la necessitat de conèixer i practicar el càlcul de la probabilitat i la relació d’aquesta amb altres àrees del coneixement com ara la biologia.

• Calcular les probabilitats d’obtenir uns resultats determinats en l’aplicació d’una de les lleis de Mendel relacionada amb l’herència genètica.

COMPETÈNCIES BÀSIQUES ACTIVITATS DE TREBALL SISTEMÀTIC DE CB• Calcular la probabilitat de triar alguna roda defectuosa de cotxe o motocicleta a partir dels percentatges de fabricació de tots dos tipus de

pneumàtics.• Calcular la probabilitat que algun dels regals que es reparteixen en unes curses populars toqui a unes persones determinades, en funció

del sexe o del tipus de cursa en què han participat.@ Mitjançant diversos enllaços, buscar informació sobre l’obtenció del nombre π utilitzant alguns mètodes coneguts. Calcular també el valor de π en funció del nombre d’intents realitzats quan s’apliquen aquests mètodes.

ACTIVITATS FINAL BLOC III• Elaborar les dades d’una funció en un full de càlcul a partir del trajecte i de la velocitat a la qual va un autobús; traçar la gràfica

corresponent i calcular algunes dades relatives a aquest recorregut.• Determinar l’expressió algèbrica que relaciona el consum de combustible d’un avió amb la distància recorreguda en les maniobres

d’enlairament i aterratge. Calcular algunes dades relatives a aquests consums i distàncies.• Determinar la probabilitat d’obtenir uns determinats dígits quan s’escriu aleatòriament un nombre de dues xifres diferents compostes per

les xifres 3, 9, 1 i 5.• Determinar algunes característiques i la gràfica d’una funció exponencial donada a partir de la taula de valors corresponent.• Realitzar un estudi estadístic comparatiu a partir de les temperatures mitjanes mensuals de dues ciutats i del qual s’han de calcular

algunes dades descriptives i diversos paràmetres de centralització i dispersió. • A partir d’una distribució estadística donada en intervals, determinar alguns paràmetres de centralització i dispersió.• Calcular la probabilitat d’obtenir uns resultats determinats en extraccions de cartes en una baralla espanyola.

PROJECTE BLOC III: Matemàtiques per a interpretar l’entorn

Fase 1: TriaTenint en compte que a vegades una variable pot influir en una altra i, en canvi, en altres casos no, debatre amb els companys les qüestions que es proposen, la majoria de les quals relacionades amb l’estadística.

Fase 2: PlanificaEl projecte es planifica en cinc fases: anàlisi de la situació, sensibilització, recollida de la informació, càlculs i conclusions i, finalment, aprendre a aprendre. Cadascuna d’aquestes fases comporta la realització de diverses qüestions sobre les quals els alumnes s’han d’informar prèviament perquè les respostes que donen siguin adequades.

© grup edebé 170


Fase 3: DesenvolupaEls alumnes han de buscar notícies que continguin aspectes estadístics tenint en compte la temàtica que tracten, la presentació, les variables que esmenten i si estan relacionades entre si, etc. L’objectiu és redactar una nota de premsa sobre la renda per capita de trenta països; per a això els alumnes disposen de diversos enllaços en els quals s’han de basar. A continuació han de presentar els resultats mitjançant gràfics i acompanyar-los de càlculs relacionats amb paràmetres estadístics; finalment, han d’obtenir les conclusions finals i obrir una via de debat sobre l’objectivitat o la subjectivitat d’aquestes conclusions o de la manipulació de les dades, i si poden variar segons les circumstàncies.

Fase 4: ReflexionaPer a avaluar el projecte i amb l’ajuda de l’elaboració d’un diari personal sobre les activitats realitzades i algunes qüestions que es plantegen, s’ha d’utilitzar el dossier individual de l’alumne amb les evidències corresponents a les tasques executades, i adjuntar la rúbrica d’avaluació en què es recullen les competències i el grau de consecució per part dels alumnes.

COMPLEMENTÀRIES • En l’apartat 1 és important comparar diverses experiències quotidianes de l’entorn de l’alumne/a, que tenen resultats deterministes o aleatoris, perquè reconeguin les diferències. També s’ha d’explicar el concepte d’esdeveniment a partir de la caracterització de diversos aspectes del resultat d’un experiment aleatori. Cal insistir en el significat de la paraula probabilitat que expressa la possibilitat que s’esdevingui una situació i valorar que, de vegades, cal mesurar el grau de certesa d’aquesta situació per a arribar al concepte de probabilitat. Per a això, és útil estudiar el comportament de les freqüències relatives dels esdeveniments elementals d’un experiment aleatori, i deduir d’aquestes freqüències la probabilitat d’un esdeveniment al qual s’assigna un valor entre 0 i 1.

• En l’apartat 2 és necessari que els alumnes identifiquin les situacions d’equiprobabilitat, ja que són els casos en què és possible aplicar la regla de Laplace. Resultaria convenient explicar els passos que s’han de seguir en els experiments en els quals les realitzacions es repeteixen en diversos casos:

- Utilitzar tècniques combinatòries per a explicar el nombre de casos possibles i el nombre de casos favorables, en comptes d’elaborar un diagrama en arbre i explicar el nombre de resultats de l’espai mostral.

- Aplicar la regla de Laplace per a calcular la probabilitat d’un esdeveniment.

S’ha d’insistir en la utilitat de conèixer les principals propietats de la probabilitat com una eina que serveix d’ajuda per a calcular probabilitats.

• En l’apartat 3 s’ha d’insistir en el fet que la probabilitat condicionada és útil en els experiments aleatoris que es poden descompondre en diverses etapes i en què convé representar-los en forma d’arbre. Cal insistir en la idea intuïtiva d’esdeveniments independents i dependents, utilitzant exemples com el cas del llançament de dues monedes, o dos daus, o l’extracció de cartes sense reposició; de tots plegats es pot derivar la definició numèrica de la independència d’esdeveniments.

© grup edebé 171



1. Concepte de probabilitat Fitxa 1. Concepte de probabilitat.

2. Càlculs probabilísticsFitxa 2. Càlculs probabilístics.

1. Concepte de probabilitat Fitxa 3. Activitats 1, 3, 4, 5 i 7.

3. Probabilitat en experiments compostosFitxa 3. Activitats 2 i 6.


Llibre de l’alumne• Identificar si un experiment és aleatori o determinista, i

determinar l’espai mostral.• Identificar el tipus d’esdeveniment d’un experiment.• Trobar la freqüència relativa d’un experiment.• Ordenar de menys a més diferents probabilitats de diversos

experiments aleatoris simples.• Calcular la probabilitat d’un experiment aleatori simple i d’un

experiment compost a partir d’un diagrama en arbre.• Aplicar les propietats de les probabilitats a la resolució d’un

problema.• Calcular el quocient de dues probabilitats si es coneix la

probabilitat condicionada de tots dos.

Material complementari (fitxa fotocopiable d’avaluació)• Distingir entre experiment aleatori i experiment determinista.• Descriure l’espai mostral, els esdeveniments elementals i

determinats esdeveniments d’un experiment aleatori.• Calcular les probabilitats de determinats esdeveniments per a

experiments aleatoris simples.• Calcular les probabilitats de determinats esdeveniments per a

experiments aleatoris compostos aplicant diagrames en arbre.• Trobar el percentatge o la probabilitat d’un determinat

esdeveniment en un experiment compost a partir del diagrama en arbre i els conceptes de probabilitat condicionada.

• Determinar si dos esdeveniments aleatoris són independents.• Calcular la probabilitat d’un esdeveniment aleatori perquè sigui

independent d’un altre, si es coneix la probabilitat que es verifiquin els dos esdeveniments alhora.

Llibre de l’alumne Identificar els esdeveniments elementals d’un experiment aleatori.Calcular la freqüència relativa d’un esdeveniment.Ordenar probabilitats d’esdeveniments elementals.Calcular la probabilitat d’esdeveniments elementals.

• Elaborar un diagrama en arbre per determinar la probabilitat d’un esdeveniment.

Calcular la probabilitat condicionada d’un esdeveniment.

Material complementari• Interpretar informació referent a un sondeig electoral i efectuar

càlculs probabilístics diversos a partir de les dades que reflecteix.• Confeccionar gràfics estadístics per mostrar els resultats dels

càlculs efectuats.• Calcular probabilitats associades a un problema de genètica.• Calcular la probabilitat d’esdeveniments elementals aplicant la

regla de Laplace.

Activitats final bloc III• Estudiar i descriure les característiques de diversos tipus de

funcions (lineals, algèbriques, exponencials…), les gràfiques i els càlculs relacionats.

• Realitzar un estudi estadístic d’una distribució bidimensional, calculant paràmetres de centralització i dispersió i obtenint les conclusions que corresponen.

• Realitzar un estudi estadístic d’una distribució donada en intervals de valors, calculant paràmetres de centralització i dispersió.

• Adjudicar probabilitats a determinats experiments aleatoris,

© grup edebé 172


aplicant la regla de Laplace.

© grup edebé 173






ACTIVITATS TIC

Llibre de l’alumne@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per a simular el càlcul de diferents probabilitats. (Pàgina 307)@ Conèixer i practicar una aplicació interactiva per a simular el càlcul de probabilitats en un experiment aleatori compost. (Pàgina 311)

Recursos en suport digital

Probabilitat. (Resolució de problemes) Enllaços web

© grup edebé 174



• Conèixer la definició experimental de probabilitat i reconèixer situacions d’equiprobabilitat.• Reconèixer la independència o la dependència de dos esdeveniments associats a un mateix experiment aleatori.• Realitzar operacions amb esdeveniments.• Calcular la freqüència absoluta i la freqüència relativa d’un esdeveniment.• Elaborar diagrames en arbre per establir l’espai mostral d’un experiment aleatori en què les realitzacions es repeteixen diverses vegades.• Calcular la probabilitat en un experiment compost a partir del diagrama en arbre.• Comprovar experimentalment que, si augmenta el nombre de realitzacions d’un experiment aleatori, la freqüència relativa d’un esdeveniment s’estabilitza.• Descriure l’espai mostral, reconèixer els esdeveniments elementals i determinar els resultats d’un esdeveniment d’un experiment aleatori.



© grup edebé 175


METODOLOGIA






• Recursos en suport digital.• Calculadora, ordinador i




setmanes







Estructura de la unitat 13: Probabilitat– Activitat inicial i de motivació acompanyada d’una imatge per a presentar la necessitat de reconèixer i

utilitzar els conceptes relacionats amb la probabilitat a més de determinar-ne el càlcul.– Competències bàsiques: relació de les competències bàsiques fonamentals que s’han d’adquirir a partir del






© grup edebé 176




– Activitats de treball sistemàtic de CB. – Avaluació: activitats per a comprovar si s’han comprès i assimilat els continguts desenvolupats en la unitat.– Crònica matemàtica: Llegir uns quadres de text sobre les lleis de Mendel (nombre de persones esquerranes),

sobre el nombre π i el càlcul d’una probabilitat en el resultat de la qual apareix aquest nombre. Buscar a internet informació sobre un gen que determina la propensió d’una persona a ser esquerrana. Comprovar la teoria dels sis graus de separació.

– Activitats d’avaluació de les CB del bloc III.– Projecte final bloc III: Matemàtiques per a interpretar l’entorn.

© grup edebé 177












© grup edebé 178



























© grup edebé 179


1 ………………

2 ………………

3 ………………

4 ………………

5 ………………

6 ………………

7 ………………

8 ………………

………………..

Atenció individualitzada a l’aula per a realitzar les activitats proposades.Adaptació de les activitats de la programació.Atenció individualitzada dins i fora de l’aula per a dur a terme les activitats adaptades.Adaptació curricular significativa per necessitats educatives especials.Adaptació curricular per alta capacitat intel·lectual.Adaptacions en el material curricular per incorporació tardana en el sistema educatiu.…

© grup edebé 180

Documents

Matemáticas 4 ESO edebé · Web viewMatemàtiques 4 ESO edebé PROGRAMACIÓ D’AULA Dipòsit legal B-22120-2012 UNITAT DIDÀCTICA 1: Nombres reals COMPETÈNCIES BÀSIQUES INDICADORS