MATEMÀTIQUES PRIMER D’ESO · Web view1r. Es caclula el residu de dividir per 23 el nombre corresponent del DNI. 2n. S’assigna el valor obtingut la lletra corresponent segons

1

Matemàtiques 1r. d'ESO. TEMA 1. Nombres 1 -

Comparació i ordenació

1. Com ja saps els nombres naturals es representen ordenats en la recta numèrica:

... < 3 500 < 3 540 < 3 585< 3 600 < 3 700 < ....

Quantes unitats separen una divisió d’una altra?

2. Representa sobre la recta els nombres següents:

16 830 - 16 890 - 16950 - 16980

3. Escriu el nombre que representa cada lletra

A

A= B = C= D=

M= N = H= K=

4. Ordena de més petit a més gran els números següents: 6380 – 7299 – 5900 – 6400 – 6350

5. Escriu en cada cas l’anterior i el següent de cada número de la taula:

ANTERIOR 898

NÚMERO 899 1 500 2 000 2 999 3 679 3 780 4 O99

SEGÜENT 900

3500 3540 3585 37003600

16 800 17000

1880 B 1890 DC

75000

M N 7700KH


6. Escriu en cada cas el miler anterior i el miler següent:

16 000 < 16 985 < 17 000 <23 648 <

< 34 950 < < 49 609 <

< 67 900 < < 99 635 <

7. En una botiga, el preu d’un aparell A oscil·la entre 500 i 650 €, el preu d’un aparell B de DVD, entre 400 i 600 €, i el preu d’un aparell C , entre 250 i 610 €.a) Es poden comprar els tres aparells amb 900 €? Perquè?

b) Quina és la quantitat mínima de diners que cal tenir per poder comprar les tres coses?

c) Amb 2 000 € quants diners sobraran amb seguretat?

8. Assigna cada objecte al seu preu:

a) Cotxe = ...

b) Suc de fruites = ...

c) Ordinador = ...

d) Nevera = ...

9. Escriu el nombre més gran i el més petit possible amb totes les xifres 3, 5, 8, 1, i 7 sense repetir-ne cap.

a) El més gran : b) El més petit:

825 € 15625€

0,75€ 1700 €


10. Escriu el nom de cada un dels nombres següents:

a) 7.007.707 = ...

b) 402.023 = ...

c) 405.300.608 = ...

d) 7.052.801 = ...

11. Escriu els següents nombres en xifres:

a) Tres milions cinquanta mil tres = ...

b) Quatre-cents trenta-dos mil noranta-nou = ...

c) Vint-i-cinc mil tres = ...

12. Explica alguna situació en la que es facin servir els nombres per identificar coses o persones.

13. Afegeix tres termes a cadascuna de les sèries següents de números.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

2, 5, 8, 11, 14, 17, ...

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

5, 6, 8, 11, 15, 20, ...

73, 69, 65, 61, 57, ...

1, 2, 4, 8, 16, ...


SUMA I RESTA DE NOMBRES NATURALS

14. Calcula mentalment i completa :

a) 28 + 22 = b) 57 + 41 = c) 36 + 25 =

d) 16 + 34 = e) 25 + = 75 f) 38 + = 50

g) 56 + = 70 h) 33 + = 60 i) - 14 = 6

j) - 25 = 50 k) - 12 = 30 l) 38 - = 22

15. Esbrina el valor de a i b en cada suma, torna-la a escriure a sota amb els valors i comprova:

a) b 1 a b) a 3 b c) a a b 2 d) b 9 3 bb 9 a a 5 b b 2 b 5 1 6 6 6b 7 a a 2 b 11 b a b 7 6 0 1

7 a 7 4 a 8

16. En un cinema de 1000 localitats han entrat 142 nois, 134 noies i 345 dones.

a) Quantes persones hi ha al cinema?

b) Quantes butaques queden lliures?

17. En una llibreria treuen a la venda un lot de llibres d’aventures. El primer dia se’n venen 142 llibres; el segon, 281, i el tercer, 160. Si encara queden 417 unitats, quants llibres hi havia en el lot?


18. Completa:

a) 30 – 12 = b) 22 - = 17

c) - 15 = 35 d) 23 – 69 =

e) 563 - = 286 f) - 352 = 128

19. En Robert ha gastat 203 € en la compra d’uns pantalons i una americana. Si la americana valia 132€, quin era el preu dels pantalons?

20. L’Agnès té 21 C.D’s i el seu amic Joan en té 17 més que l’Agnès. Quants C.D’s té cada un i quants en tenen entre tots dos?

21. El pare de l’Antoni té 43 anys i la seva mare 9 anys més. Quants anys tenen entre tots dos?

22. El pare de la Mercè té un camió que fa 13 metres de llarg i un remolc de 9 metres. Quants metres fan el camió i el remolc junts?


23. Realitza les següents operacions:

a) 4 –2 + 3 = ...

b) 5 + 2 – 7 + 1 + 4 – 3 = ...

c) 2 + 3 – 4 + 9 – 7 –2 + 8 = ...

d) 4 + 3 –1 –2 + 6 = ...

24. En una cursa popular participen 13.427 atletes, però a la meta només n’arriben 5.473. Quants atletes han abandonat la cursa?

25. Col·loca els nombres que corresponen a les caselles buides per tal que es compleixin les següents condicions. Els nombres són tots d’una xifra.

+ 4 + 1 + 1 = 8

+ + + +

1 + + 4 + = 9

+ + + +

3 + + + 3 = 10

+ + + +

+ 2 + 5 + = 11

= = = =

9 9 12 8


MULTIPLICACIÓ. RECORDA :

Per a multiplicar un nombre per la unitat seguida de zeros, s’hi afegeixen tants zeros com els qui acompanyen a la unitat.

83 x 10 = 830 83 x 100 = 8 300 83 x 1000 = 83 000

Si el número és decimal es desplaça la coma tants llocs com zeros.

3,75 x 10 = 37,5 3,75 x 100 = 375 3,75 x 1000 = 3750

Per a multiplicar nombres acabats en zeros, es multipliquen com si no hi haguessin zeros, i aquests s’afegeixen al producte.

160 1 6 0 x 300 x1 2 0 0 48000 3 2

1 6 1 9 2 0 0 0

26. Calcula mentalment i completa la taula :

Número 1500 1200 2200 310 400 4400 75000

Doble 3000

Triple 4500

27. Efectua aquestes operacions i recorda que es multiplica com si no hi haguessin zeros i aquests s'afegeixen al final:

1 6 5 0 3 2 5 0 27

X 7 0 0 X 3 0 0 0 X 1800

28. Multiplica mentalment:

a) 2 x 10 = 45 x 10 = 627 x 10 =

b)7,3 x 100 = 82 x 100 = 163 x 100 =

c) 0,25 x 1000 = 2,6 x 1000 = 50,9 x 1000 =

29. Completa els productes:

a) 400 x 700 = 500 x 430 = 6300 x 5000 =

b)50 x 800 = 280 x 600 = 1600 x 30 = 30. En una peixateria s’han venut 48 kg de lluç a 13 € el kg.


Quants diners s’han ingressat en la caixa per la venda del lluç?

31. Un camió transporta 100 rentadores. Cada rentadora pesa 52 kg i val 500€.

Quant pesa la càrrega del camió?

Quant val la càrrega del camió?

32. En un parc zoològic es venen una mitjana de 800 entrades cada dia.Quantes persones visiten aproximadament el parc zoològic en un any?

33. El cor de la Raquel batega 70 vegades per minut, aproximadament. a) Quants batecs farà en una hora ?

b) I en un dia?

34. Una furgoneta transporta 30 caixes. Cada caixa conté 6 paquets de 500 folis. Quants folis transporta la furgoneta?

DIVISIÓ.RECORDA :


PARTS D’UNA DIVISIÓ : Dividend, divisor, quocient i residu

Dividend Divisor

QuocientResidu

PROVA DE LA DIVISIÓ: Dividend = divisor x quocient + Residu

DIVISIÓ EXACTA: Una divisió és exacta si el residu és 0

35. Calcula mentalment i completa la taula:

NÚMERO 12 36 48 60 72 120 180

meitatdel número 6

tercera part del número 4

quarta part del número 3

dècima part del número 1,2

centèsima part del número 0,12

36. Resol mentalment:

32 : 10 = 60 : 10 = 300 : 100 = 500 :1000 =

16 : 100 = 37 : 10 = 15 : 100 = 2,5 : 10 =

3,2 : 10 = 1,75 : 100 = 33,5 :1000 = 5,2 : 100 =

37. Resol i fes-ne la prova. Alguna divisió és exacta?:

9 645 5 4119 7

19246 53 7 134 25


38. La Celia ha gastat 480 € en la moqueta per al terra de la sala.Si el metre quadrat de moqueta costa 20 €, quants metres quadrats té la sala?

39. En un col·legi han adquirit 36 pilotes per 612 €. Quant costa cada pilota?

40. Un camió transporta 5 130 kg de taronges en 342 caixes. Quin és el pes de cada caixa?

41. Quants sacs de 26 kg es poden omplir amb 1 860 kg de patates? Quants quilos en sobren?

42. Un camió cisterna destinat la regatge d’un parc ha transportat 50 400 litres d’aigua en 14 viatges. a) Quants litres porta en cada viatge?

b)Si vol transportar 25 200 litres, quants viatges ha de fer?

43. Tres amics organitzen un pícnic. Un d’ells va a fer compres amb un bitllet de 20€. Compra tres melons per 5 €, una barra de pa per un 1 € i 500 grams de carn rostida a 18 € el quilogram.a) Quants diners es gasta i quin canvi li tornen?

b)Quan ha de pagar cada amic?

Potències amb números naturals.


44. a)

En moltes ocasions hem de multiplicar un número per ell mateix moltes vegades.

En aquest cas en lloc d’escriure el número repetit, s’escriu:

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26

0n el número 2 se li diu BASE i al número 6 se li diu EXPONENT.

b) Completa les expressions següents:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 =

15 4 =

Amb la calculadora pots obtenir les potències successives d’un número polsant el número una vegada i la tecla del producte dues vegades.

Utilitza la calculadora i obtén la seqüència :

0btens en pantalla 49 que és 72.

Una altra vegada , sense esborrar, polsa el i obtens 343, que és 73. Si segueixes polsant

successivament el obtens totes les potències de 7 que vulguis.

Aquest recurs de la calculadora es diu FACTOR CONSTANT i et permet obtenir productes successiu d’un número per un altre.

d) Amb la calculadora segueix el procediment anterior i calcula:

32 = 33 = 34 = 35 =

36 = 37 = 38 = 39 =

310 = 311 = 312 = 313 =

e) Observa en quina xifra van acabant les diferents potències de 3. Sense fer servir la calculadora, ¿sabries dir en quina xifra acabarà 316, i 350 ?

f) Calcula aquestes altres potències:

X X =7

=

=


12 =

112 =

1112 =

11112 =

g) Pots continuar sense fer servir la calculadora? Com serien 11112 i 111111112?

11112 =

111111112 =

45. Càlcul mental.

a) Hi ha moltes situacions a la vida real en les que s'han de fer petits comptes mentalment, en aquests cassos pot ser útil fer servir petits trucs. Aquí te'n mostrem alguns:

Estratègies per el càlcul mental de sumes i restes

97+84sumem les desenes 9 desenes + 8 desenes = 17 desenes

que equivalen a 170 unitats

sumem les unitats 7 unitats + 4 unitats = 11 unitats170 unitats + 11 unitats = 181 unitats

48+59 Arrodonim per excés50+60 = 110Excés de l'arrodoniment: 2 + 1 = 3 unitatsper tant 110 – 3 = 107

93+42 Arrodonim per defecte90+40 = 1303+2 = 5 defecte de l'arrodonimentper tant 130 + 5 = 135

43+14+27+6 Busquem sumes que acabin en 0

43+17=7014+6=20per tant 70+20=90

58 – 23 descomponem el subtrahend

58 – 20 – 3 = 38 – 3 per tant el resultat és 35

91 – 58 Arrodonim 91 – 60 +2 = 31 + 2per tant el resultat és 33


b) Realitza les operacions i escriu el resultat

Sumes i restes Estratègia de càlcul mental Comprovació amb la calculadora

15+56

35+64

78+29

13+45

17+38

46. Fes la operació amb la calculadora. Tenint en compte el resultat, fes mentalment l'operació que se't indica a continuació i escriu el seu resultat. Després comprova amb la calculadora la segona operació.

Amb la calculadora: 65 + 57 = 122

Tenint en compte el resultat anterior, fes mentalment: 68 + 59 =





Amb la calculadora: 69 + 88= 157




Tenint en compte el resultat anterior, fes mentalment: 526 + 360

Amb la calculadora: 36 – 18 = 18

Tenint en compte el resultat anterior, fes mentalment: 38 – 19 =





Amb la calculadora: 12 x 10 x 14 = 1680

Tenint en compte el resultat anterior, fes mentalment: 1680 14 =

47. Realitza primer les operacions prioritàries i després les restants

Operació Analitzo Resolc

Negreta Inclinada té prioritat

Normal ha d'esperar

4 + 3 x 5 – 2 x 6 4 + 3x5 – 2 x 6 4 + 3 x 5 – 2 x 6 = 4+15 – 12 = 7

3 x 7 – 5 x 4 + 3 x 6 =

2x8 + 4x7 – 15 – 2x3 =

45 – 36 + 3 x 2 – 4 x 5 =


48.


Negreta inclinada té prioritat

Normal ha d'esperar

37 – 4 x (7 – 2 ) + 3 x 8 =

37 – 4 x (7 – 2 ) + 3 x 8 37 – 4 x (7 – 2 ) + 3 x 8 37 – 4 x 5 + 3 x 8 = 37 – 20 + 24 = 41

37 – 4 x 5 + 3 x 8

37 – 20 + 24

6 x 3 – ( 8 – 6 ) x 2 + 9 =

56 + 3 x 2 – 7 x (8 – 3 ) =

2 + 4 x ( 5 – 2 ) – 9 : (7 – 4 ) =

49.


Negreta inclinada té prioritat

Normal ha d'esperar

2 x (30 – 3 x 5 – (2 + 7) + 9) 2 x(30 – 3 x5 – (2 + 7) + 9) 2 x (30 – 3 x 5 – 9 + 9)=

2 x (30 – 3 x 5 – 9 + 9) 2 x ( 30 – 15 – 9 + 9) =

2 x ( 30 – 15 – 9 + 9) 2 x 15 = 30

3 x ( 12 – (4 + 3) + 5 x 7 – 2 ) =

50. Quan tenim varies operacions consecutives:S'efectuen primer

Després les

Per últim s'efectuen les

51. Escriu els parèntesis que falten a les operacions de la 1ª columna per obtenir la 3ª



2 x 3 + 2 – 4 x 2 + 7 = = 2 x 5 – 4 x 2 + 7

41 – 7 x 12 – 7 – 4 – 3 – 5 = 41 – 7 x 5 – 1 – 5

2 x 5 + 3 x 2 + 5 – 4 – 3 x 2 = 2 x 5 + 3 x 3 – 3 x 2

Per calcular hi ha que tenir en compte que unes operacions tenen preferència respecte a altres. Així en matemàtiques l’ordre de prioritat de les operacions és el següent:

1. Parèntesis.2. Multiplicació i divisió.3. Suma i resta

Per això en la seqüència 7 + 3 x (2 + 8) = 7 + 3 x 10 = 7 + 30 = 37

Primer es fa el parèntesis

Després es multiplica

I finalment se suma

Algunes calculadores, les més senzilles, no fan sempre les operacions en l’ordre correcte, però les calculadores una mica més evolucionades, estan ja preparades per fer totes les operacions en l’ordre correcte.

52. Calcula transformant primer en sumes i restes :

a) 5 + 6 : 3 – 2 x 3 = b) 18 – 3 x 4 + 14 : 2 =

53. a) Llegeix amb atenció el requadre

En alguns cassos es necessari efectuar les operacions en un altre ordre.

Per això es fan servir els parèntesis. Per exemple si escrivim:

(3 + 5 ) x 2 =

el resultat correcte és: (8) x 2 = 16.

b) Utilitza parèntesis per obtenir com a resultat correcte 43 en una expressió del tipus:

1 + 2 + 4 x 7 =

c) Afegeix tots els parèntesis que vulguis però sense canviar res més per obtenir el resultats diferents en aquesta expressió:12:2 + 2 x 5 =


12:2 + 2 x 5 =

d) En aquestes operacions n’hi ha una que té un error en la jerarquia de les operacions troba’l i corregeix-lo afegint-hi els parèntesis necessaris:

a) 5 x 2 – 4 = 6

b) 6 – 3 + 2 = 5

c) 1 x 2 + 3 = 5

d) 8 + 1 : 3 = 3

e) 3 x 4 : 2 = 6

54. Calcula el valor de les expressions següents transformant primer en sumes multiplicacions o

divisions segons la prioritat:

a) 8 + 2·10 = b) 1 + 4·3 = c) 4 + 10:2 =

d) (8 + 2)·10 = e) (1 + 4)·3 = f) (4 + 10):2 =

g) 5·4 + 4 = h) 20:4 + 6 = i) 15:3 + 12 =

j) 5·(4 + 4) = k) 20:(4 + 6) = l) 15:(3 + 12) =

55. Escriu a cadascun dels punts suspensius el signe d’operació que hi correspongui:

a) 7 ... 7 ... 6 = 20

b) 5 ... 4 ... 6 = 7

c) 16 ... 5 ... 2 = 26

d) 2 ... 3 ... 6 = 12

e) 2 ... 4 .... 2 = 16

56. Resol:

a) 8 – 2 + 5 – 7 = 13 – 9 = 4 b) 5 + 9 – 6 – 3 = 14 – 9 = 5

c) 10 – 3 – 4 + 5 = d) 13 + 6 – 15 + 3 =

e) 12 + 5 – 9 – 6 = f) 22 – 4 – 6 =

57. Resol i compara cada resultat de l’esquerra amb el de la dreta:

a) 40 : 5 + 3 = 8 + 3 = 11 b) 40 : ( 5 + 3 ) = 40 : 8 = 5


c) 100 : 10 – 5 = d) 100 : ( 10 – 5 ) =

e) 48 : 12 – 4 = f) 48 : ( 12 – 4 ) =

g) 36 : 12 + 6 = h) 36 : ( 12 + 6 ) =

58. Calcula transformant primer en sumes i restes:

a) 19 + 2 · ( 6 – 3 ) =

b) 19 + 2 · 6 – 3 =

c) 30 – 4 · (5 – 2 ) =

d) 30 – 4· 5 – 2 =

e) 3 · ( 12 – 3 ) – 6 · ( 11- 7 ) =

f) 5 · ( 9 – 7 ) + 6 · ( 2+ 1 ) =

59. Escriu una expressió per a cada enunciat:

a)A 10, hi sumem el resultat de multiplicar quatre per 2:

b) A deu, hi sumem quatre, i el resultat, el multipliquem per dos:

60. Les files de primer.

La classe de primer té menys de 30 alumnes. Si els alumnes es reparteixen en 5 files, sobren dos alumnes; si es posen en 3 files, en sobra 1.Quants alumnes hi ha a primer?


61. L’aviaLa meva avia té quatre amigues. La primera li fa una visita cada tarda, la segona una tarda si i una tarda no, la tercera cada tres tardes i la quarta cada quatre tardes.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

El dia 1 de setembre es van trobar totes 5 i la meva avia els hi fa fer xocolata. Quants dies del mes de setembre ha de preparar la meva avia xocolata per cinc?

Poblemes de pàgines.

62. He llegit un llibre de 250 pàgines en 5 dies. Cada dia he llegit 10 pàgines més que el dia anterior. Quantes pàgines vaig llegir el primer dia?

63. El llibre de Llengua d’en Pere té 30 pàgines més que el seu llibre de matemàtiques Els dos llibres junts tenen 476 pàgines. Quantes pàgines té cada llibre?

64. Fent servir quatre quatres i les operacions de + ; – ; x i , potència i , obtén els números de l'1 al 10, per exemple:

(4+4) (4+4) = 8 8 = 1


65. Un vaixell va partir amb una tripulació de 160 persones i els queviures necessaris per a fer una travessia de 40 dies de durada. Després de 15 dies de navegació van recollir 40 passatgers.

a) Quantes racions de menjar porta el vaixell inicialment?

b) Quantes racions queden després de 15 dies de navegació?

c) Quants dies més va poder durar la travessia de manera que tant els tripulants com els passatgers recollits hi tinguessin ració completa de queviures?

66. Una decoradora va comprar 40 gerros de vidre a 70 € cadascun. A quin preu va vendre cadascun dels gerros si el guany total va ser de 800 €?


67. Calcula el valor de les expressions següents transformant-les prèviament en sumes:

a) 8 + 2 · 10 + 4 · 3 =

b) 4 + 10 : 2 + 8 + 2 x 10 =

c) ( 1 + 4 ) · 5 + ( 4 + 10 ) : 2 =

d) 5 · 4 + 4 – 20 : 4 + 6 =

e) 15 : 3 + 12 + 5 · ( 4 + 4) =

f) 20 + 15 : ( 3 + 12) =

68. Calcula transformant en sumes:

a) 6 + 4 · 3 + 5 · 3 + 8 · 4 =

b) 10 : 2 + 15 : 3 + 4 · 4 + ( 3 + 5 ) · 4 + 2 =

c) 6 + 4 · 5 + 8 : 2 + 18 : 9 =

69. En cada cas, col·loca els parèntesis on convingui per aconseguir el resultat que indiquem a

continuació:

a) 4 + 2 · 8 – 6 8 b) 4 + 2 · 8 – 6 42

c) 4 + 2 · 8 – 6 14 d) 4 + 2 · 8 – 6 12

70. Quatre amics van a dinar i cadascun menja : un primer plat que costa 3 € i un segon plat que costa 7 €. Alhora de calcular el que han gastat un dels amics, en Joan, fa els comptes sumant el que costen el primer i el segon plat i multiplicant aquesta suma per 4.

Comptes d’en Joan : 4 · ( 3 + 7 ) = 4 · 10= 40

Un altre amic, en Josep, també fa els comptes, calculant el que valen els quatre primers plats i els quatre segons i sumant desprès els resultats.

Comptes d’en Josep: 4· 3 + 4 · 7 + = 12 + 28 = 40

Aquestes dues maneres de calcular estan relacionades per la PROPIETAT DISTRIBUTIVA.


PROPIETAT DISTRIBUTIVA. Quan un nombre multiplica a una suma, multiplica a cada un dels seus sumands.

a·( b + c ) = a·b + a·c

Exemple: (5+20) · 4 = (25) · 4= 100 4·(5+20)= 4·5+4·20=20+80= 100

5 5 x 4 = 20 +20 20 x 4 = 80 25 100 X 4 100

La propietat distributiva ens permet fer operacions del tipus 6·( 3 + 5 ) de dues formes diferents:

Multiplicant 6x3 i 6x5 i sumant després: 6 x ( 3 + 5 ) = 6 x 3 + 6 x 5 = 18 + 30 = 48

En aquest cas es diu que hem aplicat la propietat distributiva.

El 6 que és el número que multiplica a cada sumand és diu el factor comú.

Fent primer el parèntesis i multiplicant el resultat per 6: 6 x ( 3 + 5 ) = 6 x 8 = 48

En aquest cas es diu que hem aplicat la prioritat de les operacions.

71. Calcula traient factor comú:

a) 3 · 4 + 3 · 6 =

c) 2 · 5 + 2 · 11 + 2 · 4

e) 10 · 3 + 10 · 15 – 10 · 14 =

72. Calcula de les dues maneres diferents les operacions següents:

a) 2· ( 12 + 15 ) = 2· 12 + 2 · 15 = 24 + 30 = 54 2 · ( 12 + 15 ) = 2 · 27 = 54

c) 3· ( 22 – 1 ) = 3· ( 22 – 1 ) =

d) 10 · ( 6 + 4 ) = 10 · ( 6 + 4 ) =

73. Tres amics van a dinar i cadascun menja: un primer plat que costa 3 €, un segon que costa 6 € i un postra que costa 2 € ., Fes el compte de dues maneres i escriu en linea les operacions indicades.


74. Volem fer rams de flors amb 5 clavells i 2 roses cadascun, Calcula de dues maneres diferents quantes flors es necessiten per fer-ne 7 d’iguals i escriu en linea les operacions indicades.

75. Pel aniversari de la Marta es volen preparar 14 bosses amb bombons. Cada bossa conté 8 de xocolata blanc, 5 de xocolata negra i 3 de xocolata amb menta. Calcula, de dues maneres diferents, quants bombons es necessiten i escriu en línea les operacions.

76. Busca les vuit diferències que hi ha entre els dos dibuixos.

77. La Maria té 21 anys i la seva amiga Marta 4 anys més que ella. Quants anys tenen entre totes dues?


78. Completa les operacions amb els nombres d’aquestes targetes:

79. Calcula la distància exacta que separa aquestes poblacions (hi ha un cas que no es pot resoldre).

a) Súria – Terrassa = ...

b) Súria – Martorell = ...

c) Súria – Balsareny = ...

d) Súria – Cardona = ...

e) Balsareny – Cardona = ...

f) Balsareny – Terrassa = ...

g) Balsareny – Martorell = ...

h) Cardona –Terrassa = ...

i) Cardona – Martorell = ...

j) Terrassa – Martorell = ...


80. Tria, en cada cas, la resposta que sembla més creïble:

a) A l’ascensor d’un hospital hi ha una placa on diu: “Càrrega màxima 10 persones o ...”

200 kg 400 kg 800 kg

b) L’alçària d’un edifici de 10 pisos és de ...

40 m 100 m 20 m

c) En un embús d’1 km hi ha al voltant de ...

200 cotxes 20 cotxes 2.000 cotxes

81. Fixa’t en el preu d’aquests objectes.

a) La Maria vol comprar dos bolígrafs , el rellotge i el paraigues i porta aquests diners.

3 bitllets de 10 €4 bitllets de 20 €3 bitllet de 5 €

Podrà comprar-ho tot? Quan li sobre o quan li falta?.

b) En Lluís compra el paraigua i paga amb 1 bitllet de 100 € quant li tornaran?

16 € 62,5 €

31,25 €

Matemàtiques 1r d'ESO. TEMA 1 .Nombres. USOS DELS NÚMEROS 26 -

LA LLETRA DEL DNI

Tots els documents nacionals d’identitat consten d’una seqüència de vuit xifres i d’una lletra associada.

La funció d’aquesta lletra, que s’assigna d’acord amb un algorisme força simple, és detectar errors que

es puguin commettre en l’escriptura de les xifres.

Càlcul de la lletra del DNILa lletra del DNI es determina així:

1r. Es caclula el residu de dividir per 23 el nombre

corresponent del DNI.

2n. S’assigna el valor obtingut la lletra corresponent

segons aquesta taula.

0 T 1 R 2 W 3 A 4 G 5 M

6 Y 7 F 8 P 9 D 10 X 11 B

12 N 13 J 14 Z 15 S 16 Q 17 V

18 H 19 L 20 C 21 K 22 E

Activitat 1. Troba la lletra que correspon a cada un dels següents nombres de DNI:

a) 55514240 b) 124 50909

c) 22457618 d) 46914037

Activitat 2. Si fas la divisió amb la calculadora obtens el quocient en forma decimal i no saps el residu.

Explica per escrit el procés que segueixes per calcular aquests residus amb la calculadora.

Activitat 3

18352676-X

Exped. 03-05-2006 Val. 03-05-2015

Exemple:

18352676 23

797942 182 216 097 056 10 X

GERARDA


Un programa informàtic conté una aplicació que quan s’escriu el DNI calcula automàticament la lletra

que correspon i verifica si coincideix amb la que hem introduïta. Què passarà en escriure cada un dels

nombres següents?

23590898-M

54000219-C

44802307-L

49284371-D

Activitat 4En victor ha buscat el DNI d’un client en una factura i en fer-ho ha vist que quan va guardar la factura

va fer un forat per arxivar-la justament sobre el DNI que busca, com pots veure a la fitxa. Ajuda’l a

recuperar la informació que ha perdut calculant aquesta última xifra que desconeix.

Un client ha fet la següent anotació del seu DNI:

A l’hora d’introduir el DNI a la fitxa de dades del client la Maite no te clar si la cinquena xifra és un

quatre o un 9. Esbrina-ho.

Activitat 5. Un dels errors més freqüents que es cometen a l’escriure el DNI és intercanviar dues xifres

consecutives. La introducció de la lletra serveix per corregir aquest error. Quin d’aquests DNI és el

correcte?

40422646-N 40422466-N

Activitat 6 . Perquè creieu que serveix la lletra que acompaña al número del DNI?

Anna Pujol Casadevall

Tel: 93 635 12 2

Plaça d’Emili Sagrea, 1

08830 Sant Boi de Llobregat

DNI: 48 615 92 CCompte corrent :

3113 1331 33 1001331133


Els codis de barres

Hi ha diferents codis de barres, el que més ens podem trobar és el que es coneix amb el

nom de EAN-13, i que consta de 13 dígits, tal com podeu veure :

Els dos primers dígits indiquen el país on el productor ha demanat el codi (84 és el

corresponent a Espanya), els 5 següents són el codi assignat a l’empresa i els 5 que

venen a continuació els assignats al producte. El darrer dígit és el que s’anomena dígit de

control, depèn dels altres dígits del codi i serveix per a detectar els errors que es puguin

cometre en la transmissió del codi.

Per calcular el dígit de control es procedeix de la manera següent:

1 Deixant de banda el dígit de control i començant per l’esquerra, separem les

xifres que ocupen lloc senar de les que ocupen lloc parell.

Lloc senar 8 1 3 5 7 9

Lloc parell 4 2 4 6 8 0

2 Sumem les xifres que ocupen lloc senar i li afegim el triple de la suma de les

que ocupen lloc parell:

8 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 3·( 4 + 2 + 4 + 6 + 8 + 0) = 105

3 El que li falta el nombre de l’apartat anterior per arribar el proper múltiple de 10

és el dígit de control:

110 – 105 = 5 dígit de control

4 Si el nombre obtingut a l’apartat 2, ja és múltiple de 10 el dígit de control és 0.


Activitat 1Calculeu el dígit de control que correspondria a la seqüència:

841071410585

Activitat 2És correcte el codi de barres 9788495295636

Activitat 3Calculeu el dígit que falta en la seqüència següent: 84100911___0049

Activitat 5Busqueu, cadascú, a casa vostra, un codi de barres i comproveu-ne el dígit de control.

Activitat 6El codi ISBN. La contraportada de tots els llibres porta un codi de barres i un nombre de

13 xifres anomenat ISBN (International Standard Book Number). Aquest codi identifica

cada llibre de manera única.

ISBN – 978 – 84 – 489 – 2052

Està format pels següents elements:

Prefixa 978

País 84

Editorial 489

Llibre 2052

Dígit de control 4

Comprova si el dígit de control de l’ISBN segueix la mateixa regla que el codi de barres

EAN – 13.

Activitat 7

Comprova el dígit de control d’un dels teus llibres de text.


JOCS kenken

1. Fent servir només números de l’1 al 4, sense repetir-ne cap, i amb la operació de la suma, escriu com es pot obtenir:

345 1 + 4

3 + 26

7

89

10

2. Fes el mateix, suposant que ho fem amb tres xifres i de les tres, n’hi ha dues iguals.

4 1+1+25

67

8

910

11

Els encreuats numèrics que et proposem de resoldre estan formats, de moment, per una graella que té 4X4 caselles.

Es tracta de situar els nombres de l’1 al 4 en cadascuna de les 4 files i 4 columnes de la graella, sense que se’n repeteixi cap.

En la graella hi apareixen blocs de caselles limitats per línies més gruixudes que tenen, en la cantonada superior esquerra, un número.

Aquest número és el resultat de sumar els nombres que hi ha en el bloc.

Abans de posar-nos a resoldre kenken’s, acabem l’exemple següent:


1. Com ho podeu fer per indicar una casella concreta d’una graella 4X4?

2. Abans de resoldre aquests dos encreuats, digueu en quins blocs poden haver-hi números repetits.

3. Expliqueu l’estratègia que us ha portat a situar el primer nombre en l’encreuat.

4. Expliqueu estratègies que hagueu fet servir per completar les dues graelles


Ara, en la cantonada superior esquerra, hi ha un número seguit del símbol de sumar o restar. Aquest número és el resultat, segons el símbol, de sumar o restar els nombres que hi ha en el bloc. En el cas de la resta s’entén que el resultat no és, necessàriament, el de restar la “primera” casella del bloc per la “segona”, si no que pot ser a l’inrevés.

Matemàtiques 1r. d'ESO. TEMA 2. Potències - 33 -

POTÈNCIES

En moltes ocasions hem de multiplicar un número per si mateix moltes vegades. En aquests casos en comptes d’escriure el número repetit, s’escriu:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46

on al número 4 se li diu BASE i al número 6 se li diu EXPONENT.

EXPONENT 6

46

BASE 4

Es llegeix quatre elevat a sis o quatre elevat a la sexta

Hi ha dues potències que tenen un nom especial:

Les potències d’exponent 2 s’anomenen quadrats.

7 2 es pot dir 7 elevat a 2 o 7 elevat al quadrat.

Les potències d’exponent 3 s’anomenen cubs.

4 3 es pot dir 4 elevat a 3 o 4 elevat al cub.

1) Completa posant la potència en números o amb una frase:

a) Cinc elevat a quatre= b) 27 =

b) Deu elevat a la cinquena = d) 102 =

c) Set elevat al cub = f) 84 =

d) Vuit elevat al quadrat = h) 83 =

2) Expressa com a producte i calcula:

a) 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 b) 32 =

c) 53= d) 64 =

e) 28 = f) 73 =

g) 35= h) 54=

i) 105 = j) 204 =

3) Calcula els quadrats dels 20 primers nombres naturals:

12= 1 22 = 32 = 42 =


52 =

62 = 72 = 82 = 92 =102 =

112 =122 = 132 = 142 =

152 =

162 =172 = 182 = 192 =

202 =

4) Calcula el cub dels deu primers nombres naturals:

13= 1 23 = 33 = 43 = 53 =

63 = 73 = 83 = 93 = 103 =

5) Posa en forma de potència:

a) 5x5x5x5x5x5b) 6x6x6c) 7x7x7x7d) 8x8e) 9x9x9x9x9x9x9x9f) 4x4x4x4g) 3x3x3x3x3

Potències d’exponent 0 i exponent 1.Qualsevol potència d’exponent 0 és igual a 1

3 0 =1; 459 0 = 1Qualsevol potencia d’exponent 1 és igual a la base.

7 1 = 7

6) Calcula:

a) 202 =b) 402=c) 302=d) 502=e) 503=f) 2002=g) 3002=h) 0’53=i) 0’62=j) 0’034=k) 303=


l) 105=m) 103=

n) 52

o) 63

p) 35

q) 40

r) 5s) 60

t) 7

7) E

a) 34

b) 52=103 =128=

8) Escriu en forma de potència, si és possible, els productes següents:

a) 7 · 7 · 7=b) 5 · 4 · 3=c) 6 · 6=

d) 3 · 5 · 7 · 9 =e) 9 · 9 · 9 · 9 =f) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =

perquè 52 = 25 perquè 42 = 16

perquè 33 = 27 perquè 23 = 8

9) Calcula aquestes arrels quadrades exactes:

a)b)c)d)

10) Calcula aquestes arrels:

a)b)c)d)

11) Completa la taula seguint l’exemple:

Base Exponent Potència Càlcul Valor2 3 23 2 · 2 · 2 83 413 65 22 5


12) Escriu les quatre primeres potències de 3, 10 i 100.

13) Expressa en forma de potència de base 10:

a) 100000000 = 10

b) 100000 = 10

c) 1000 = 10

d) 100 = 10

14) Expressa en forma de potències de base 2:

a)b)c)

15) Expressa en forma de potències de base 3:

a)b)c)

16) Expressa en forma de potències d’exponent 2:

a)

b)

c)17) Calcula:

a) 102 = 10 · 10 = 100 b) 103 = c) 104 =

d) 105 = e) 106= f) 107 =

g) 1010 = h) 1011 = i) 1012 =18) Expressa en forma de potència de base 10:

a) 10 000 = 104 b) 1000 000 = c) 10 000 000 =

d) 1 000 000 000 = e) 1 000 000 000 000 = f) 10 000 000 000 =

19) Expressa’n el resultat com a potència de base 10:

a) 10002 = 1 000 000 = 106 b) 1003 =

c) 10 0002 = d) 1005 =

e) 10004 = f) 10 0003 =

20) Expressa com a producte d’un nombre per una potència de base 10:

a) 72 000 000 = 72 · 105 b) 50 000 000 000 =

c) 8 240 000 000 = d) 30 000 000=

21) Escriu en forma de potència aquests productes:

a) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =b) 11 · 11 · 11 =c) 8 · 8 · 8 =d) 7 · 7 · 7 · 7 =e) 9 · 9 · 9 =f) 6 · 6 =g) 8 · 8 · 8 · 8 · 8 =h) 6 · 6 · 6 =i) 5 · 5 · 5 · 5 =

j) 3 · 3 · 3 · 3 =k) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 =l) 5 · 5 · 5 · 5 =

22) Calcula:

10 2 =10 5 =10 4 =10 7 =

23) Escriu com una única potència, de base 2 o de base tres, aquests productes:

2 4 · 2 3 =

3 2 · 3 2 =

2 5 · 2 3 =

27 · 24 · 26 = 24) Escriu com suma de potències de 10 aquests nombres. Fixa’t en l’exemple:

3254 = 3 x 103 + 2 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100

2432=

45324=

2860 =

25) Escriu ara aquests números com a suma de potències de 2

9= 23 + 20

11=

24=

36=

50=

Matemàtiques 1r. d'ESO. TEMA 3. Múltiples i divisors - 39 -

MÚLTIPLES I DIVISORS

A1. Quatre amics us heu de repartir 32 caramels. Calcula com ho has de fer:

El resultat de l’exercici anterior vol dir que el 32 és múltiple de 4 o bé que el 4 és divisor de 32.

A2. Tres amics us heu de repartir 17 caramels. Calcula com ho has de fer.

El resultat de l’exercici anterior vol dir que el 17 no és múltiple de 3 o bé que el 3 no és divisor de 17.

A3. Es poden fer caixes de 6 ampolles amb 358 ampolles, sense que en sobri cap?

I amb 396?

Els múltiples del 4 són tots els números de la taula de multiplicar del 4:

4 x 1 = 44 x 2 = 84 x 3 = 124 x 4 =164 x 5 = 204 x 6 = 24

4 x 20 = 80El 4 és un divisor de tots el números de la seva taula de multiplicar:

4:4 =1 8:4=212:4=316:4 = 420:4 = 524:4 = 6

80:4 =20


DIVISIBILITAT

MÚLTIPLES

Observa que 35 = 5 · 740 = 2 · 20

Es diu que 35 és múltiple de 5, i múltiple de 740 és múltiple de 2 i de 20.

A4. Discutiu amb els companys i el professor, i doneu una definició de múltiple d’un nombre.

Per indicar múltiples del nombre 6, per exemple, farem servir la notació M(6).

Així,M(6)= {12, 18, 60, 600,...}

indicarà que els nombres entre claus són múltiples de 6.

A5. Dóna 5 múltiples dels següents nombres:M(1)=

M(2)=

M(3)=

M(5)=

M(10)=

M(12)=

M(17)=

M(25)=

Quants múltiples té un nombre

Quin és el múltiple més gran que té un nombre

Els múltiples d’un nombre poden ser més petits que ell

A6. Encercla els nombres que són múltiples de 18


50, 6, 3, 4, 15, 9, 2, 24, 180, 18, 1, 36

A7. Posa els nombres següents a la columna que correspongui (un nombre pot estar a més d’una columna):

15, 30, 4, 9 , 80, 7, 14, 26, 18, 13, 150, 12, 120, 60, 13, 66

Múltiples de 2 Múltiples de 3 Múltiples de 4 Múltiples de 6 Múltiples d’ 11

DIVISORS

Recordem que

35 = 5 · 740 = 2 · 20

Es diu que

5 i 7 són divisors de 352 i 20 són divisors de 40.

A8. Discutiu amb els companys i el professor, i doneu una definició de divisor d’un nombre.

També es diu que 40 és divisible per 2 i per 20.

Per indicar divisors del nombre 6, per exemple, farem servir la notació D(6).

Així,D(6)= {1,2,3,6}

indicarà que els nombres entre claus són divisors de 6.


A9. Dóna els divisors dels següents nombres:

D(2)=

D(3)=

D(5)=

D(10)=

D(12)=

D(17)=

D(25)=

A10. Respecte a la quantitat de divisors d’un nombre, quina diferència hi ha amb la quantitat dels seus múltiples

Quin és el divisor que tenen tots els nombres

Els divisors d’un nombre poden ser més grans que ell

A11. Encercla els nombres que siguin divisors de 18

50, 6, 3, 4, 15, 9, 2, 24, 180, 18, 1, 36

A12. Omple la següent taula amb els nombres següents

20, 60, 1, 36, 5, 26, 4, 48, 6, 24, 3 , 2

Múltiples de 12 Divisors de 12 Ni múltiples ni divisors de 12


CRITERIS DE DIVISIBILITAT

Si ens donen un nombre, ens pot interessar saber si és divisible per un altre sense haver de fer la divisió. Ara mirarem d’establir criteris per saber si un nombre és divisible per 2, 3, 5 i 11.

A13. Omple la següent taula amb els nombres

24, 56, 188, 210, 104, 225, 300, 308, 420, 393, 534, 732, 66,132

Divisibles per 2

Divisibles per 3

Divisibles per 4

Divisibles per 5

Divisibles per 6

Divisibles per 11

Mira d’establir una regla per saber si un nombre és

Divisible per 2:

Divisible per 3:

Divisible per 4:

Divisible per 5:

Divisible per 6:

Divisible per 11:

NOMBRES PRIMERS

A14. Dibuixa tres rectangles d’àrea 12 cm2.

Dibuixa tres rectangles d’àrea 11 cm2. Què passa

A15. Escriu els divisors dels següents nombres:

D(3)=

D(12)=

D(17)=

D(27)=

D(11)=

En quins dos grups podries classificar aquests nombres


Definició: un nombre és primer si només té dos divisors diferents: l’ 1 i el nombre mateix.

Un nombre és compost si té més de dos divisors diferents.

A16. Encercla els nombres primers que hi ha a la següent llista:

17, 9, 4, 19, 5, 6, 7, 12, 15, 11, 2, 13, 20, 3, 8, 1, 18, 16, 10

A17. Saber si un nombre és primer no és fàcil si el nombre és gran.Anem a veure ara un mètode per trobar els nombres primers que hi ha als 100 primers nombres naturals. Aquest mètode es diu CRIBA D’ERATÒSTENES, i el seu nom és degut al savi grec d’aquest nombre que el va idear.

Segueix els següents pasos:

Sabem que el 2 és primer. En canvi, el 4, 6, 8,... són múltiples de 2, i per tant no són primers. Així, elimina de la llista aquests nombres comptant de 2 en 2.

El següent nombre de la llista és el 3, que ha de ser primer perquè no és múltiple de 2. En canvi, el 6, 9, 12, ... són múltiples de 3 i per tant no són primers. Així, elimina de la llista aquests nombres comptant de 3 en 3.

El següent nombre de la llista és el 5, que ha de ser primer perquè no és múltiple de 2 ni de 3. En canvi, el 10, 15, 20, ... són múltiples de 5 i per tant no són primers. Així, elimina de la llista aquests nombres comptant de 5 en 5.


El següent nombre de la llista és el 7, que ha de ser primer perquè no és múltiple de 2 ni de 3, ni de 5. En canvi, el 14, 21, 28, ... són múltiples de 7 i per tant no són primers. Així, elimina de la llista aquests nombres comptant de 7 en 7.

El següent nombre de la llista és el 11, que ha de ser primer perquè no és múltiple de 2 ni de 3, ni de 5, ni de 7. En canvi, el 22, 33, 44, ... són múltiples de 11 i per tant no són primers. Així, elimina de la llista aquests nombres comptant de 11 en 11.

Què observes Prova a fer el mateix amb el 13, 17,etc.

Els nombres que han sobreviscut són tots primers. Aquest són els nombres primers que hi ha en els 100 primers nombres naturals.

A18. Completa els buits:

Un nombre és ................................. d’un altre si s’obté multiplicant aquest darrer per un nombre natural.

Un nombre és ............................... d’un altre si, en dividir el segon entre el primer, la divisió és exacta.

Un nombre és........................................ si només té dos divisors diferents: la unitat i el nombre mateix.

Un nombre és ................... si té més de dos divisors diferents.

A19. Criteris de divisibilitatEn el tauler de l’activitat anterior tens els primers múltiples de 2, de 3, de 4, de 5 ...Anem a observar si tenen alguna cosa en comú els múltiples d’un mateix número.a) Com són tots els números de la taula de multiplicar del 2?

b) El número 379 pot ser a la taula de multiplicar del 2? Perquè? I 380? I 354?

c) Què tenen en comú tots els números de la taula de multiplicar del 2?

d) Què tenen en comú tots els números de la taula de multiplicar del 5?

e) I els múltiples de 10?

f) Escriu tres números de 4 xifres que siguin múltiples de 2, tres números de 4 xifres que siguin múltiples de 5 i tres números de 4 xifres que siguin múltiples de 10.


g) Escriu els múltiples de 3 de dues xifres del tauler. En cada un d’ells suma les xifres. El número que resulta en cada cas, és múltiple de 3?

h) Prova amb altres múltiples de 3 de més de dues xifres.

i)Utilitza les conclusions anteriors i escriu tres números de 4 xifres que siguin múltiples de 3.

j) Escriu les possibles xifres que falten en els números següents i que s’han substituït amb un asterisc sabent que són múltiples de 3:

3 * 46 54 * 67 2 * 19 3 * 123

k) Pots obtenir més d’una solució:

l) Escriu les possibles xifres que falten perquè els números següents estiguin a la vegada a la taula de multiplicar del 3 i del 5.

2 * 4 * 3 * 5 *

A20. Las regles de divisibilitat son criteris que serveixen per a saber si un número es divisible per un altre sense necessitat de realitzar la divisió.

Sense fer la divisió, sabries dir si 1325 és divisible per 2? I per 3? I per 5? Perquè?

A21. Divisible significa que al dividir-lo per aquest número el resultat es una divisió exacta amb residu zero. Por exemple, 30 es divisible por 5 perquè al dividir-lo entre 5 el residu es zero 30:5=6.

Posa un exemple d’un número divisible per 7 diferent de 7:

Les regles:

Un número es divisible per 2, 3 ó 5 si:2 si acaba en 0 o en xifra par

Exemples 50; 192; 24456;


3 si la suma de les seves xifres es múltiple de tres

Exemples: 834 ,ja que 8+3+4 =15 i 15 és un múltiple de 3; (3x5=15)

5 si acaba en 0 o en 5 Exemples 35; 70; 1115;

Més exemples de la Regla del 3 -> (la suma de les xifres ha de ser un múltiple de 3).

972---> 9+7+2= 18 ----> 3 x 6 = 18

12126---> 1+2+1+2+6= 12 ----> 3 x 4 =12;

DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS

Recordeu que un nombre compost és aquell que té més de dos divisors.

Anem a descompondre el nombre 30 com a producte de nombres més petits. Per exemple30 = 5 · 6

Podem continuar descomponent algun dels factors Com 5 és primer, ja no es pot descompondre més. Però el 6 sí que es pot:

6= 2 · 3

Per tant30= 5 · 2 · 3

Si us fixeu, cap dels factors es pot descomposar més, ja que tot són nombres primers. Això que hem fet és descomposar el nombre 30 en els seus factors primers.


A22. Prova a descomposar en factors primers els següents nombres

12=

40=

16=

25=

35=

13=

650=

Si el nombre és gran, és una mica complicat fer la descomposició “a pèl”. Ara anem a veure una regla que us estalviarà feina i facilitarà la descomposició.

Anem a fer la descomposició en factors primers del nombre 90.

Col·loqueu el 90 amb una línia al costat

90

Comencem amb el nombre primer més petit: el 2. És divisible 90 per 2 Com 90 acaba en 0, sí que ho és. De fet:

90

Ara col·loquem el 2 a la dreta del 90 i el 45 a sota:

90 2 45

Amb 45 fem el mateix. És divisible per 2 Com acaba en 5, no ho és. Per tant, ara provem amb el següent nombre primer , el 3. Com la suma de les

xifres de 45: 4+5=9 és un múltiple de 3, 45 també ho és:

45 3 0 15

Ara col·loquem el 3 a la dreta del 45 i el 15 a sota

90 245 315

Continuem. És 15 divisible per 3. Evidentment sí:

45

2

0


15 3 0 5

Seguim 90 245 315 3 5

Ara ens queda el 5, que és ja un nombre primer. Per tant és divisible per 5:

5 50 1

I com trobem un 1 a la columna de l’esquerra, acabem el procés:

90 245 315 35 51

Fixeu-vos que els nombres que hi ha a la dreta de la línia són tots primers.

Comproveu: 90=2 ·3 ·3 ·5

Normalment, això s’escriu: 90 = 2 · 32 · 5. Aquesta és la descomposició en factors primers de 90.

A23. Descompon en factors primers els nombres següents:100 252 288

360 540 800

CÀLCUL DEL MÀXIM COMÚ DIVISOR DE DOS NOMBRES.

A24. En un curs hi ha 20 alumnes i en un altre 16. Un professor vol fer grups de forma que els alumnes d’un curs s’enfrontin als de l’altre. Els grups han de tenir el mateix nombre d’alumnes i tothom ha de participar. Quin és el nombre màxim d’alumnes de cada grup

A25. Determina D(60) =

D(45) =


Escriu tots els divisors comuns a 60 i 45.

Hi ha algun nombre que sempre és divisor de qualsevol nombre? Quin?

Té “gràcia” plantejar-se quin és el divisor comú més petit entre dos nombres? Per què?

I quin és el més gran dels divisors comuns dels dos nombres

Aquest és el màxim comú divisor de 60 i 45. L’escriurem M.C.D.(60,45)=

A26. Escriu la definició de màxim comú divisor de dos nombres.

A27. Calcula amb aquest mètode el M.C.D.(30, 18).

A28. Calcula amb aquest mètode el M.C.D.(20, 16). Compara el resultat amb què has obtingut al problema anterior.

A29. Calcula amb aquest mètode el M.C.D.(375, 900).


Si els nombres són molt grans, aquest mètode és molt feixuc. Anem a veure una altra manera de calcular el màxim comú divisor de dos nombres.

Primer fem la descomposició factorial dels nombres 375 i 900:

375 3 900 2125 5 450 225 5 225 35 5 75 31 25 5

5 5 1

375 = 3 · 53 900 = 22 · 32· 52 M.C.D (375, 900) = 3 · 52

Per calcular el màxim comú divisor, hem de prendre els factors primers comuns elevats a l’exponent més petit:

tenim un 3 a la descomposició de 375 i un 32 a la descomposició de 900. Prenem el 3, ja que el seu exponent és 1, més petit que el 2 de 32

tenim un 53 a la descomposició de 375 i un 52 a la descomposició de 900. Prenem el 52, ja que el seu exponent és 2, més petit que el 3 de 53

el 900 també té un 22, però com el 2 no apareix a la descomposició de 375, no el tenim en compte.

Ara, multipliquem el 3 i el 52, i el resultat és el màxim comú divisor de 375 i 900:M.C.D. (900, 375) = 3· 52 = 75. Compara el resultat amb el que has trobat abans

amb l’altre mètode. Observa el dibuix

A30. Calcula:

M.C.D.(36,82).

M.C.D.(360,400).

M.C.D.(480,102).

M.C.D.(46,58).

M.C.D.(20,33) Què passa en aquest últim cas


Quant dos nombres tenen com a únic divisor comú l’1 es diu que són primers entre ells.

A31. Calcula :M.C.D.(36, 24)M.C.D.(25, 40)M.C.D.(220, 88)M.C.D.(45, 60)M.C.D.(84, 98)M.C.D.(60, 80)M.C.D.(48, 35)M.C.D.(60, 95)M.C.D.(60,18)M.C.D.(1764,2310)M.C.D.(660,385)M.C.D.(264,220)

CÀLCUL DEL MINIM COMÚ MÚLTIPLE DE DOS NOMBRES.

A32. D’una estació surten autocars cap a Múrcia cada 8 hores i cap a Saragossa cada 6 hores? Cada quantes hores surten a la vegada l’autocar de Múrcia i el de Saragossa?

Determina M(6) =

M(4) =

Escriu tots els múltiples comuns a 6 i 4.

Té sentit plantejar-se quin és el més gran dels múltiples comuns a 6 i 4? Per què?

Podries determinar quin és el més petit dels múltiples comuns a 6 i 4? Quin és?

Aquest és el mínim comú múltiple de 6 i 4. L’escriurem m.c.m.(6,4)=

A33. Escriu la definició de mínim comú múltiple de dos nombres.

Calcula amb aquest mètode el m.c.m.(10, 4).

Calcula amb aquest mètode el m.c.m. (8, 6). Compara el resultat amb què has obtingut al problema dels autocars.

Calcula amb aquest mètode el m.c.m.(35, 100).

Si els nombres són una mica grans, aquest mètode és pesat. Anem a veure una altra manera de calcular el mínim comú múltiple de dos nombres.

Primer fem la descomposició factorial dels nombres:

35 5 100 2


7 7 50 2 1 25 5

5 5 1

35 = 5 · 7 100 = 22 · 52 m.c.m(35,100) = 22 · 52· 7

Per calcular el mínim comú múltiple, hem de prendre els factors primers comuns elevats a l’exponent més gran, i els factors primers no comuns:

tenim un 5 a la descomposició de 35 i un 52 a la descomposició de 100. Prenem el 52, ja que el seu exponent és 2, més gran que el 1 de 5. Ja no hi ha més factors comuns

ara hem de prendre tots els altres factors que no estan repetits: 7, 22

Ara, multipliquem el 52,el 7 i el 22 i el resultat és el mínim comú múltiple de 35 i 100: m.c.m. (100, 35) = 52· 7· 22 = 700. Compara el resultat amb el que has trobat abans amb l’altre mètode.

A34. Calcula:m.c.m.(36,82). m.c.m.(30,40). m.c.m.(48,102).


A35. Calcula:

m.c.m.(36, 24)m.c.m.(25, 40)m.c.m.(220, 88)m.c.m.(45, 60)m.c.m.(84, 98)m.c.m.(60, 80)m.c.m.(48, 35)m.c.m.(60, 95)m.c.m.(60,18)m.c.m.(1764,2310)m.c.m.(660,385)m.c.m.(264,220)

A36.A37. Propietat: Si tenim dos nombres a i b es compleix que el producte dels dos nombres és igual al resultat de multiplicar el m.c.m.(a,b) i el M.C.D. (a, b) és a dir

a x b = m.c.m.(a,b) x M.C.D. (a, b)

Comprova la propietat anterior amb els nombres 50 i 12Comprova si passa el mateix amb 15 i 45.

A38. Sé que M.C.D. (22500 , 23716) = 4 . Troba el m.c.m.

A39. Conec el m.c.m (a,b) = 8820 i M.C.D.(a,b) = 7. Si sé que el nombre “a” és 245, quin és l’altre nombre?

EXERCICIS

A40. a) Quants alumnes pot tenir una classe si sabem que: és possible formar grups de treball de 6 alumnes, de manera que no quedi cap

alumne sense grup; i és possible formar grups de 15 alumnes, sense que en quedi cap sense grup;

b) Quin és el nombre més petit d’alumnes que pot tenir la classe?


A41. Tinc 30 caramels de menta i 20 de maduixa. Quantes bosses puc fer, de manera que siguin totes iguals,

amb els caramels de menta;

amb els caramels de maduixa;

amb els caramels de menta i els de maduixa? Quin és el nombre màxim de bosses que puc fer en aquest cas?

A42. Hem de col·locar 354 botons en capses de 6 unitats. És possible agrupar-los sense que ens en sobri cap? Per què?

A43. Dos atletes corren per una pista d’atletisme. El primer triga 12 s a fer una volta i el segon 15 s. Si tots dos surten alhora i estan 4 minuts corrent continuadament, en quins segons es troben?

A44. Volem dividir dues peces de tela de 120 m i 132 m en trossos que tinguin la mateixa llargària. Quina és la llargària màxima que poden tenir els trossos? Quants trossos obtindrem de cada peça de tela?

A45. Volem enrajolar una sala de 108 m de llargària i 10 m d’amplària amb rajoles QUADRADES de la major superfície possible. Quina serà la superfície d’una d’aquestes rajoles i quantes en necessitarem?

A46. Una de les dues campanes d’una església toca cada 30 minuts, mentre que l’altra ho fa cada 45 minuts. Si totes dues toquen juntes a les 8 hores del matí, quant tornaran a tocar juntes?

A47. En un club d’atletisme s’han inscrit 18 nois i 24 noies. Quants equips es poden fer si sabem que : tots els grups han de tenir el mateix nombre de membres

hi ha d’haver com més equips millor.

A48. L’Aleix és un alumne aplicat i quan comença el curs decideix repassar les matemàtiques cada dos dies, la física cada tres dies i la història cada cinc dies. Cada quantes dies ha de repassar les dues primeres assignatures alhora? I totes tres?

Matemàtiques 1r. d'ESO. TEMA 5. Decimals - 56 -

Documents

MATEMÀTIQUES PRIMER D’ESO · Web view1r. Es caclula el residu de dividir per 23 el nombre corresponent del DNI. 2n. S’assigna el valor obtingut la lletra corresponent segons