Materi mata kulian Teori Graph3(27 Feb)

5/26/2018 Materi mata kulian Teori Graph3(27 Feb)

1/27

Graf(bagian 3)

Bahan Kuliah

TEORI GRAPH DAN APLIKASI27 februari 2014


2/27

TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasanEuler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubungdan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau

tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.

TEOREMA. Graf tidak berarah G adalah graf Euler

(memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiapsimpul berderajat genap.

Lanjutan Lintasan dan Sirkuit Euler ...


3/27

3

Beberapa Aplikasi Graf

(lintasan dan sirkuit Euler)

masalah jembatan Konigsberg (tahun 1736)

Persoalan tukang pos Cina (chinese postman

problem tahun 1962)


4/27

4

masalah jembatan Knigsberg (tahun 1736)

Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekalidan kembalilagi ke tempat semula?


5/27

C

A

B

D

Simpul (vertex)menyatakan daratan

Sisi (edge) menyatakan jembatan


6/27

"Apakah graf merupakan sirkuit Euler?

C

A

B

D


7/27

C

A

B

D

TEOREMA. Graf tidak berarah memiliki lintasan

Euler jika (graf semi-Euler) dan hanya jika terhubung

dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil

atau tidak ada simpul berderajat ganjilsama sekali.

TEOREMA.Graf tidak berarah G adalah graf Euler

(memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap

simpul berderajat genap.


8/27

8

Persoalan Tukang Pos Cina

(Chinese Postman Problem)

Dikemukakan oleh Mei Gan (berasal dari Cina) pada

tahun 1962.

Persoalan:seorang tukang pos akan mengantar surat kealamat-alamat sepanjang jalan di suatu daerah. Bagaimana ia

merencanakan rute perjalanannya supaya ia melewati setiap

jalan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat awal

keberangkatan?menentukan sirkuit Euler di dalam graf


9/27

9

Lintasan yang dilalui tukang pos:A,B, C,D,E,F, C,E,B,F,A.

B C

EF

8

5

3A D

8

2

1

6

4

4

2


10/27

10

Latihan

Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah

gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap

pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai

memasuki pintu yang mana saja?


11/27

11

Jawaban:

Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagaisisi.

Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titikasal)melewati sisi tepat sekalilintasan Euler

Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 6),selebihnya genappasti ada lintasan Euler

Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja

1 2 3

45 6

7


12/27

12

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

Lintasan Hamiltonialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam

graf tepat satu kali.

Sirkuit Hamiltonialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam gratepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang

dilalui dua kali.

Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton,

sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut grasemi-Hamilton.


13/27

13

(a) (b) (c)

(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton (misal: 3, 2, 1, 4)

(b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton

1 2

34

1

3

2

4

1 2

34


14/27

14

(a) (b)

(a)DodecahedronHamilton,

(b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton


15/27

15

TEOREMA. Syarat cukup supaya graf sederhana Gdengann ( 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat

iap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) n/2 untuk setiap

simpul vdi G).

TEOREMA. Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

TEOREMA.Di dalam graf lengkap Gdengan nbuah simpul

(n3), terdapat (n

1)!/2 buah sirkuit Hamilton.


16/27

16

Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit

Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidakmengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya..

(a) (b)

(a) Graf Hamilton sekaligus graf Euler

(b) Graf Hamilton sekaligus graf semi-Euler

6

5

4

1

3

2

5

1 2

34


17/27

17

Persoalan Pedagang Keliling

(travelling salesperson problem(TSP)

Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota.

Tentukan tur terpendek yang harus dilalui oleh seorang

pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal

dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi

ke kota asal keberangkatan.

==> menentukan sirkuit Hamilton yang

memiliki bobot minimum.


18/27

18


19/27

19

Aplikasi TSP:

1. Pak Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebarpada nbuah lokasi di berbagai sudut kota.

2. Lengan robot mengencangkan n buah mur padabeberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalurperakitan.


20/27

20

Jumlah sirkuit Hamilton di dalam graf lengkap dengan n simpul: (n1)!/2.

Graf di atas memiliki (4 1)!/2 = 3 sirkuit Hamilton, yaitu:

a b

cd

12

8

15

1095

a b

cd

12

8

15

10

a b

cd

12

15

95

a b

cd

81095


21/27

21

I1= (a, b, c, d, a)bobot = 12 + 8 + 15 + 10 = 45

I2= (a, c, d, b, a)

bobot = 5 + 15 + 9 + 12 = 41I3= (a, c, b, d, a)bobot = 5 + 8 + 9 + 10 = 32

Sirkuit Hamilton terpendek: I3= (a, c, b, d, a)

dengan bobot = 5 + 8 + 9 + 10 = 32.

Jika jumlah simpul n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit

Hamilton atau sekitar 6 1016penyelesaian.

a b

cd

12

8

15

10

a b

cd

12

15

95

a b

cd

81095


22/27

22

Berapa jumlah maksimum dan jumlah

minimum simpul pada graf sederhana yang

mempunyai 16 buah sisi dan tiap simpul

berderajat sama dan tiap simpul berderajat

4 ?


23/27

23

Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf teratur.

Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e = nr/2.

Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r. Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah

maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.

Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagibilangan bulat dari 32):

r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat grafsederhana.

r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat grafsederhana.

Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah(maksimum dan minimum).


24/27

Operasi pada graf

e12

e11

e10e7

e5

e4

e9

G

F

E

DC

B

e8

e7e6e5e3

e4

e2

e1

C D

E

A B

G1(E1,V1) G2(E2,V2)

e9E

e8

e7e6e5e3

e4

e2

e1

C D

A B

e12

e11

e10

G

F

G1G2


25/27

e7e5

e4E

B

DC

G1G2

e8

e6e3

e2

e1

C

E

A B

e12

e11

e10e9

G

F

E

DC

B

G1

G2

G2

G1

e12

e11

e10e7

e5

e4

e9

G

F

EDC

B

e8

e7e6e5e3

e4

e2

e1

C D

E

A B

G1(E1,V1) G2(E2,V2)


26/27

e9E

e8

e6e3

e2

e1

C D

A B

e12

e11

e10

G

F

G1G

2 (G

1G

2) (G

1G

2)

e9

E

e8

e7e6e5

e3

e4

e2

e1

C D

A B

e12

e11

e10

G

F

G1G2

e7e5

e4E

B

G1G2


27/27

a. Penghapusan Vertex

Contoh : G{A, C}

Ee8

e7e6e5

D

B

e12

e11

e10

G

F

e9 Ee8

e6e5e3

e1

C D

A B

e12

e11

e10

G

F

b. Penghapusan Ruas

Contoh : G{ e2, e4, e7}

e9E

e8

e7e6e5

e3

e4

e2

e1

C D

A B

e12e11

e10

G

F

Penghapusan ruas tidak menghapus vertex,

tapi penghapusan vertex akan menghapus ruas-ruas yang menghubunginya

Documents

Materi mata kulian Teori Graph3(27 Feb)