Akar-Akar Persamaan

Definisi akar :

Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut

dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x)

Sebagai contoh, penyelesaian analitik untuk fungsi kuadratik f(x) = x + x2 + c = 0

diberikan oleh

Hasil perhitungan dari rumus ABC merupakan akar-akar bagi persamaan tersebut. Akar-

akar tersebut memberikan nilai-nilai x yang menjadikan persamaan itu sama dengan nol. Namun

untuk bentuk-bentuk persamaan non-linear dengan derajat, terkadang akan ditemukan kesulitan

untuk mendapatkan akar-akarnya. Sehingga untuk persamaan non-linear menggunakan metode-

metode lain yang bukan dengan menggunakan rumus ABC.

Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f(x) = 0 adalah

membuat gambar grafik fungsi dan mengamati di mana ia memotong sumbu x. Titik ini yang

mewakili nilai x di mana f(x) = 0, memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar.

Metode grafis

Metode pertama untuk menyelesaikan persamaan non-linear adalah metode grafik.

Metode grafik merupakan metode sederhana untuk mendapatkan akar perkiraan dari

persamaan f(x)=0 dengan membuat plot dari fungsi dan mengamatinya di mana fungsi

tersebut memotong sumbu x. Di titik ini, yang merepresentasikan nilai x yang membuat

f(x)=0, memberikan hampiran kasar bagi akar persamaan itu.

Misal : x4 – 3x – 2 = 0 f(x) = x4

x4 = 3x + 2 y(x) = 3x + 2

f(x) = y(x)

x f(x) x f(x)

2

0

16

0

-3

0

-7

2

X1 2 =

-2 16 3 11

Gunakan pendekatan grafis untuk menentukan koefisien hambatan c yang diperlukan oleh

penerjun payung dengan masa m = 68,1 kg agar mempunyai kecepatan 40 m/detik setelah jatuh

bebas untuk waktu t = 10 detik. Catatan : percepata yang disebabkan gravitasi adalah 9,8

m/detik2.

Penyelesaian :

Kita dapat menentukan akar persamaan dengan memakai parameter t = 10, g = 9,8 ; v = 40

dan m = 68,1

F(c) = (1 – e-(c/68,1)10) -40 atau

F(c) = (1 – e -0,146943c) – 40 ............. (1)

Beragam nilai c dapat disubstitusikan ke ruas kanan persamaan ini untuk menghitung

C F(c)

4 34,11540

20

0

-10

akar

2

4

2

0

1

6

1

2

8

4

-8

-

1

2

-3 -2 -1 1 2 3 4-4

f(x) = x4

y(x) = 3x + 2

8

12

16

20

17,653

6,067

-2,269

-8,401

Titik-titik ini dirajah (diplot) pada gambar di atas. Kurva yang dihasilkan memotong sumbu c

antara 12 dan 16. Pemeriksaan visual rajahan tersebut menyediakan taksiran akar kasar sebesar

14,75. Kesahihan taksiran grafis dapat diperiksa dengan mensubstitusikannya ke persamaan (1)

untuk menghasilkan

F(14,75) = (1 – e (-0,146943)(14,75)) – 40

= 0,059

Yang dekat ke nol. Kesahihan ini dapat pula diperiksa dengan mensubstitusikannya ke

persamaan ..... bersama dengan nilai-nilai parameter dari contoh ini untuk memberikan

V = (1 – e –(14,75/68,1)10) = 40,059

Yang sangat dekat ke kecepatan jatuh 40 m/detik yang dikehendaki.

Kesulitan metode ini barangkali adalah usaha untuk membuat plot grafik fungsinya. Selain

itu, metode ini juga tidak cukup akurat karena dapat saja tebakan akar satu orang dengan orang

yang lainnya berbeda.

Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat ternbatas karena kurang tepat. Namun, metode

grafis ini dapat dimanfaatkan untuk memperoleh taksiran kasar dari akar. Taksiran-taksran ini

dapat diterapkan sebagai terkaan awal untuk metode numerik. Misalnya, perangkat lunak

komputer TOOLKIT elektronik yang menyertai naskah ini memboekan untuk menggambarkan

fungsi pada suatu rentang tertentu. Gambaran ini dapat digunakan untuk memilih terkaan yang

mengurung akar sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan penggambaran

akansangat meningkatkan kegunaan perangkat lunak tersebut.

f(x)

xxl Xu

f(x)

xxl Xu

f(x)

xxl Xu

f(x)

xxl Xu

Selain menyediakan terkaan kasar untuk akar, tafsiran grafis merupakan sarana yang

penting untuk memahami sifat-sifat fungsi dan mengantisipasi kesukaran-kesukaran yang

tersembunyi dari metode-metode numerik.

(a) (b) (c) (d)

Gambar di atas memperlihatkan sejumlah cara di mana akar dapat muncul dalam suatu

selang yang ditentukan oleh batas bawah xl dan batas atas xu. Gambar (b) melikiskan kasus di

mana satu akar tunggal dikurung oleh nilai-nilai f(x) yang positif dan negatif. Gambar (d), di

mana f(xl) dan f(xu) juga berseberangan dengan sumbu x, memperlihatkan tiga akar muncul

dalam selang (interval) itu. Umumnya jika f(xl) dan f(xu) mempunyai tanda yang berlawanan,

maka dalam selang itu terdapat akar sebanyak bilangan ganjil. Seperti ditunjukkan pada gambar

(a) dan gambar (c), jika f(xl) dan f(xu) bertanda sama, maka antara nilai-nilai tersebut tidak

terdapat akar atau terdapat akar sebanyak bilangan genap.

Walaupun perampatan (generalisasi) ini biasanya benar, tetapi terdapat kasusu di mana hal

tersebut tidak berlaku. Misalnya, akar ganda, yakni fungsi yang bersinggungan terhadap sumbu

x (gambar a) dan fungsi terkontinu (gambar b) dapat melanggar prinsip-prinsip ini. Contoh dari

fungsi yang mempunyai akar ganda adalah persamaan derajat tiga (cubic equation) f(x) = (x – 2)

(x – 2)(x – 4). Perkatikan bahwa x = 2 membuat dua faktor polinom ini sama dengan nol. Oleh

karena itu, x = 2 dinamakan akar ganda.

METODE PENCARIAN AKAR

a. Metode bagi dua

Metode ini dapat dilakukan dengan memperhatikan bagan berikut :

[a,b]]

bagi dua di

[a,c]]

[c,b]]

f(a)f(c) < 0 ?

Selang baru: [a,b]←[c,b]Selang baru: [a,b]←[a,c]

Ya tidak

Selang yang baru dibagi dua lagi dengan cara yang sama. Begitu seterusnya sampai selang

yang baru sudah sangat kecil. Kondisi berhenti dapat dipilih salah satu dari tiga kriteria

berikut :

1. Lebar selang baru : , dalam hal ini adalah nilai toleransi lebar selang yang

mengukur akar.

2. Nilai fungsi di hampiran akar : f(c) = 0. Beberapa bahasa pemrograman membolehkan

pembandingan dua buah bilangan riil, sehingga perbandingan f(c) = 0 dibenarkan. Tetapi,

dapat pula kita uji f(c) = 0 dengan menghampiri nilai f(c) < epsilon mesin.

3. Galat relatif hampiran akar : , dalam hal ini adalah galat relatif

yang diinginkan.

Teorema 3.1

Jika menerus di dalam selang dengan dan sehingga

dan , maka selalu berlaku dua ketidaksamaan berikut:

(i) dan

(ii) ,

Bukti:

Misalkan pada iterasi ke – r kita mendapatkan selang yang panjangnya setengah

panjang selang sebelumnya, .

Jadi,

Jelaslah bahwa

....

Pada iterasi ke – r, posisi cr (akar hampiran) dan s (akar sejati) adalah seperti diagram berikut:

Berdasarkan diagram di atas jelaslah bahwa

Selanjutnya,

Jadi, selisih antara akar sejati dengan akar hampiran tidak pernah lebih dari setengah epsilon.

Dengan mengingat kriteria berhenti adalah , maka dari (i) terlihat bahwa

Sehingga

Yang dalam hal ini R adalah jumlah iterasi (jumlah pembagian selang) yang dibutuhkan untuk

menjamin bahwa c adalah hampiran akar yang memiliki galat kurang dari .

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = di dalam selang [0,1] dan !

Penyelesaian : Tabel berikut adalah tabel yang menggunakan metode bagi dua.

Jumlah iterasi yang dibutuhkan :

Jadi, dibutuhkan minimal 17 kali iterasi (r = 0 sampai dengan r = 16) agar galat akar hampiran

kurang dari

I A c b f(a) f(c) f(b) selang baru lebarnya

0 0,000000 0,500000 1,000000 1,000000 0,398721 -2,281718 [c,b] 0,500000

1 0,500000 0,750000 1,000000 0,398721 -0,695500 -2,281718 [a,c] 0,250000

2 0,500000 0,625000 0,750000 0,398721 -0,084879 -0,695500 [a,c] 0,125000

3 0,500000 0,562500 0,625000 0,398721 0,173023 -0,084879 [c,b] 0,062500

4 0,562500 0,593750 0,625000 0,173023 0,048071 -0,084879 [c,b] 0,031250

5 0,593750 0,609375 0,625000 0,048071 -0,017408 -0,084879 [a,c] 0,015625

6 0,593750 0,601563 0,609375 0,048071 0,015581 -0,017408 [c,b] 0,007813

7 0,601563 0,605469 0,609375 0,015581 -0,000851 -0,017408 [a,c] 0,003906

8 0,601563 0,603516 0,605469 0,015581 0,007380 -0,000851 [c,b] 0,001953

9 0,603516 0,604492 0,605469 0,007380 0,003268 -0,000851 [c,b] 0,000977

10 0,604492 0,604980 0,605469 0,003268 0,001210 -0,000851 [c,b] 0,000488

11 0,604980 0,605225 0,605469 0,001210 0,000179 -0,000851 [c,b] 0,000244

12 0,605225 0,605347 0,605469 0,000179 -0,000336 -0,000851 [a,c] 0,000122

13 0,605225 0,605286 0,605347 0,000179 -0,000078 -0,000336 [a,c] 0,000061

14 0,605225 0,605255 0,605286 0,000179 0,000051 -0,000078 [c,b] 0,000031

15 0,605255 0,605270 0,605286 0,000051 -0,000014 -0,000078 [a,c] 0,000015

16 0,605255 0,605263 0,605270 0,000051 0,000018 -0,000014 [c,b] 0,000008

Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0,605263

b. Metode Newton-Rhapson

Diantara semua metode pencarian akar, metode Newton-Rhapsonlah yang paling terkenal dan

paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena

konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.

Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu:

1. Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri

Dari gambar di atas, gradien garis singgung di adalah

Atau

Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah

2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor

Uraikan di sekitar ke dalam deret Taylor:

Yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi

Dan karena persoalan mencari akar, maka , sehingga

atau

Kondisi iterasi berhenti bila

Atau bila menggunakan galat relatif hampiran

Dengan dan adalah toleransi galat yang diinginkan.

Contoh :

Tentukan akar persamaan f(x) = x2 – 2x – 3 = 0 dengan Metode Newton Rhapson,

dan tebakan awal x0 = 2!

Penyelesaian :

f(x) = x2 – 2x – 3

f’(x) = 2x – 2

Prosedur iterasi Newton-Rhapson :

Tabel Iterasinya :

R

0 2,000000 0,000000

1 3,500000 1,500000

2 3,050000 0,450000

3 3,000610 0,049390

4 3,000000 0,000610

5 3,000000 0,000000

Jadi, hampiran akarnya x = 3,000000