Materi Ringkasan soal dan pembahasan tentang Turunan kelas XI IPA

  • View
    1.876

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

upload by Dian

Text of Materi Ringkasan soal dan pembahasan tentang Turunan kelas XI IPA

  • 8Bab

    193

    Turunan Fungsi dan Aplikasinya

    Sumber

    : www.d

    uniac

    yber.

    com

    Pembahasan limit fungsi yang telah Anda pelajari diBab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan fungsimkarena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapat mempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebut misalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupanfungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat sertadapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasipermasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut.

    Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakanoleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jamv

    memenuhi persamaan Q x v x145

    2 2x 02 liter. Dengan

    memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.

    A. Konsep TurunanB. Menentukan Turunan

    FungsiC. Persamaan Garis

    Singgung pada KurvaD. Fungsi Naik dan Fungsi

    TurunE. Maksimum dan

    Minimum FungsiF. Turunan KeduaG. Nilai StasionerH. Menggambar Grafik

    Fungsi Aljabar

    Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; meng-gunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah; merancang model matematika yang berkaitan dengan ekstrim fungsi, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil yang diperoleh.

  • 194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

    Tes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.

    1. Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3). Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan pula cara mencarinya.

    2. sin ( ) = ....

    3. cos ( + ) = ....

    4. tan ( + ) = ....

    5. cos 2 = ....

    6. f(x) = 2x3 + 3x, tentukan f(x + 1) dan f (a + b).

    7. = ....

    8. Tentukan gradien garis singgung kurva

    di titik

    Diagram Alur

    Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut.

    Limit Turunan

    menghasilkanteori

    rumusLaju

    PerubahanFungsi

    IntervalFungsi Naik/Turun

    menentukan

    Gradien Titik BalikMaks./Min.

    danTitik Belok

    menentukan menentukan menentukan

    Aplikasi

    lim lim'x a x a

    f

    g

    f '

    g 'xa g

    x xx

    x x

    lim'

    lim''x a x a

    f '

    g

    f ''

    g ''x'a g '

    x x x

    x x

    menyelesaikan

    masalah

    lim)

    ( )x af x(

    g x( 0

    0

  • 195Turunan Fungsi dan Aplikasinya

    A. Konsep TurunanUntuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah

    dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah keduaadalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanikaterlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,pelajari uraian berikut.

    1. Garis SinggungAmati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap

    pada grafik y = f(ff x(( ) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(ff x(( ). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(ff a)) maka titik B berkoordinat (a +x, f(ff a +x)). Garis yang melalui A dan B mempunyai

    gradien (kemiringan)f f

    x

    a x$xx a$xx

    . Garis ini memotong

    grafik di dua titik A dan B yang berbeda.Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(ff x) mendekati

    titik A maka nilai x semakin kecil. Jika nilai x x mendekatixnol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya,garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalahgaris yang melalui A(a, f(ff a)) dengan gradien

    mf f

    xAB x

    a x$xx a$xx$ lxx

    lim0

    ...(1)

    Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x?

    Tentukan gradien garis singgung pada kurvaa. f(ff x) = x2 di titik dengan absis 2b. f(ff x) = x3 di titik dengan absis 3

    Jawab:

    a. mf f

    x xx

    x$xx $xx

    x$xx$xx$ lxx $

    lim lf f

    im0 0xx$x $ lxx

    2 2fxxx 2x$xx 2

    $ $$

    $$ l $ llim lim

    x x$$ l$ $$x$ $ $$

    x$$$x

    0

    2

    0

    44 4$ $$

    Jadi, gradien garis singgung kurva f(ff x) = x2 di titik denganabsis x = 2 adalahx m = 4.

    Contoh 8.1

    Gambar 8.1

    Gambar 8.2

    x

    y

    f(a + )

    f(a)

    y = f(x)

    a a + O

    A(a, f(a))

    B(a + , f(a + ))

    x

    y

    O

    y = f(x)B(a + , f(a + ))

    f(a) A(a, f(a))

    a a +

    f (a + )

  • 196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

    b. mf f

    x xx xx

    x$x $xxx

    x$x

    $xx$ lxx $lim lim

    0 0xx$x $ lxx

    3 3fxxx 3x$xx 3

    $ $$

    $

    $ l

    $ l

    lim

    lim

    x$$

    x$$

    x$x$$

    $ $

    0

    3 2 3 3

    0

    3 3 3 3$ $ x$ $ $$2

    27 9 $x$$ $$

    $ $ $

    $

    $ l

    $

    2 3 $0

    $$x$$

    $$ $$ x$$

    x$$x$$lim

    limxx$$$$ l

    $ $0

    227 2x x$xx$xx 2 7

    Jadi, gradien garis singgung kurva f(ff x) = x3 di titik denganabsis x = 3 adalahx m = 27.

    2. Kecepatan SesaatMisalkan, fungsi f(ff x) = 15x2 + 20x menyatakan jarakx

    (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah x jam perjalanan selama selang waktu 0 x 2. Kecepatan rata-xrata mobil itu selama perjalanannya adalah

    $$

    f$$

    x$$f f f

    2 0

    15 2 0 2 15 22 20 02

    50

    20

    km/jamSekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam

    selang c x x d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1.

    Amati tabel tersebut. Nilai $$

    f$x$$

    mendekat ke bilangan

    50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil(x mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan(sesaat) pada x = 1.x

    Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau x x dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada x = 1 ditulisx

    lim lim$ l $

    $$

    $ $

    $

    x x$ l$ $f$x$$$

    f $$ fx$$

    $$

    0 0$ l$ x$$$$2

    $$ f

    15 $ $

    $ $$$ l

    20 $

    500

    2

    $$x$$

    x$ $ $$x$$x$$

    lim 50

    Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.x

    Tabel 8.1

    Selang Waktu

    0 10,8 10,9 1

    0,99 10,999 1

    0,9999 11 1,00011 1,0011 1,011 1,5

    1 2

    35,000047,000048,500049,850049,985049,998550,001550,015050,150057,500065,0000

    $$

    f$x$$

  • 197Turunan Fungsi dan Aplikasinya

    Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakankecepatan sesaat v di x =x a? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.

    Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatansesaat v di x = a, yaitu

    v vf f

    xv

    a x$ a$$ lxx $ lx

    lim lim0 0$ lxxrata-rata

    ...(2)

    Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Andamenyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatansesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebut menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan.

    Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukan-nya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x3 + x2 , dengan f(x) dinyatakan dalam meter. a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 x 3.b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?

    Jawab:

    a. f x x f xx

    $ $

    6 3 3 6 2 2

    3 2119

    3 2 3 3

    Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

    b. lim

    lim

    $ l

    $ l

    $ $

    $ $

    x

    x

    f x f

    x

    x x

    0

    0

    3 2

    2 2

    6 2 2 $

    $ $ $

    $ l

    6 2 2

    6 8 12 6

    3 2

    0

    2 3

    x

    x x x

    xlim

    $ $ $

    $ $ $ l

    4 4 52

    6 37 76 76

    2

    0

    2

    x x

    x

    x xx

    lim

    Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.

    Contoh 8.2

    Sumber: Dokumentasi Penerbit

    Gambar 8.3Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti fungsif(x) = 15x2 + 20x. Berapakah kecepatan rata-ratanya?

  • 198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

    Coba Anda tunjukkan

    limcos

    $ l

    $ $

    $$

    $$x$$0

    10 .

    Tantanganuntuk AndaAnda

    3. Turunan Fungsi di x =x aJika fungsi y = f(ff x) terdefinisi di sekitar x =x a maka

    lim lim$ l $

    $$

    $ $x x$ l$ $

    y$$x$$$

    f f$$ x$$0 0$ l$ x$$$$

    .

    Jika lim$ l

    $$x$$

    y$$x$$0

    ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(ff x(( )

    di x = x a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsifturunan yang dilambangkan dengan f (x(( ). Untuk menyatakanturunan di x =x a dinyatakan dengan f (a). Jadi,

    ff f

    xf

    xxlim lim a a x$ a

    $$ a

    $ lxx l0f

    xx0 $

    latau

    fff f

    x a

    x a

    Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini.Jika f (x) = x2 x , tentukan f'(5).

    Jawab:

    ff f

    x

    ff

    x

    x

    ' lim

    ' lim

    a a a x$xx a$xx

    $ lxx

    $ lxx

    0

    0

    5 $$ $

    $ $

    $ l

    f$$$ x$$$ $$

    x$$

    $ $$ 0

    lim$$

    $ $ $$

    $ $ l $ l

    x$$$$x x$ $ $$