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SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O USO DA CÂMARA ESCURA COMO
CONTEXTO PARA O ENSINO DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Material do Professor
INTRODUÇÃO
Apresentamos como produto educacional roteiros de atividades investigativas
para o ensino da Semelhança de Triângulos a partir da Câmara Escura de Orifício e do
Teorema de Tales a partir da medição de altura de forma indireta através da sombra. O
ensino destes tópicos se dá dentro de uma sequência didática que permite apresentar aos
alunos temas iniciais de Óptica Geométrica e explorar seus esquemas sobre temas mais
básicos da Geometria.
Desta forma, podemos dividir a sequência didática em dois momentos: no
primeiro momento, são trabalhadas investigações que tratam d os princípios da óptica
geométrica e das leis da reflexão a fim de fornecer um contexto para o ensino da
Geometria bem como as ideias e subsunçores que os alunos usarão para explicar a
formação da imagem na Câmara Escura de Orifício e a formação das Sombras. Estas
investigações servem também para avaliar as concepções dos alunos sobre temas como
retas, segmentos de retas, ângulos e medidas de ângulo a fim de avaliar se esses
conceitos estão bem estruturados e reforçá-los através de situações onde o uso de seus
esquemas sobre eles são necessários, como por exemplo, representar a trajetória descrita
pela luz através de raios de luz que são segmentos de reta orientados ou avaliar a lei da
reflexão através da medida do ângulo entre o feixe refletido e o espelho, no segundo
momento, são apresentados temas da Geometria, como Semelhança de Triângulos e
Teoremas de Tales, a partir do contexto criado pela Óptica, mais especificamente das
consequências dos princípios desta.
Essas atividades são voltadas ao Ensino Fundamental, momento em que os
alunos devem ter contato com os temas da Geometria Plana. No 9º ano do Ensino
Fundamental, está prevista a apresentação da Semelhança de Triângulos e o Teorema de
Tales na grade das aulas de Matemática no mesmo ano em que os alunos têm aulas de
introdução à Óptica nas aulas de Ciências, o que torna o 9º ano um bom momento para
apresentação conjunta e interdisciplinar dos temas. Outra oportunidade seria trabalhar
com alunos da Educação de Jovens e Adultos onde o trabalho harmonicamente
articulado dos dois temas tornaria o ensino-aprendizagem mais dinâmico e significativo.
As atividades promovem o envolvimento dos alunos através das situações
propostas e da interação com os equipamentos usados. Os roteiros prezam pelo trabalho
em grupo de forma a permitir a troca de saberes e negociação de significados onde os
alunos precisavam ser ativos na aprendizagem, fazendo observações e propondo
explicações. Propõem situações em que os alunos usam e aprimoram seus esquemas
cognitivos sobre Geometria e fortalecem subsunçores úteis para a formalização
posterior dos conteúdos geométricos e também para o ensino de Física no Ensino
Médio. Então podemos dizer que é capaz de gerar benefícios mútuos para a Física e a
Matemática.
As vantagens do uso do produto estão em contextualizar os conteúdos
matemáticos trabalhando-os fora do ambiente unicamente matemático ao tempo em que
apresenta tópicos inicias da Óptica Geométrica permitindo que criem esquemas para os
conceitos que serão reforçados durante o Ensino Médio. Mas um empecilho ao seu uso
seria o tempo de uso. A previsão de uso de toda a sequência é de sete aulas, mas vale
ressaltar que os roteiros em que são trabalhados a Semelhança de Triângulos e Teorema
de Tales podem ser usados separadamente a depender da necessidade e tempo
disponível do professor.
Como os roteiros são construídos para que os alunos observem o fenômeno e
então escrevam suas observações, façam previsões ou expliquem o observado, um dos
obstáculos com qual o professor pode se deparar é a dificuldade para interpretar as
questões e para construir respostas. Nas questões em que se pedem para explicar o
observado, é comum que alguns alunos respodam o efeito como sendo a causa. A
quantidade e a necessidade de se construir respostas a todo momento pode gerar
desânimo entre os alunos, mas é uma ferramenta crucial para que externalizem suas
ideias e para que sejam avaliadas suas dificuldades e progresso.
1. Sobre a estrutura das aulas e a avaliação
As atividades de investigação devem ser realizadas em grupo para promover a
troca de conhecimento e discussão entre os alunos, mas é importante que eles construam
as respostas de forma individual. O professor deve assumir o papel de mediador durante
as atividades guiando a sequência da atividade e orientando sobre quando e quais
questões os alunos devem responder ou em que momento só observar ou interagir e
manipular os equipamentos. O professor deve acompanhar e verificar o preenchimento
dos questionários buscando, quando convir, a interferência dialógica para a construção
dos conhecimentos e dos significados com os alunos.
Após a realização das investigações, depois dos alunos terem contato com as
situações, feito suas observações, proposto explicações, o professor deve formalizar os
conteúdos trabalhados. Tanto os conteúdos trabalhados da Óptica Geométrica como os
da Geometria devem ser passados ou reforçados para os alunos. Principalmente nas
investigações 1, 2 e 3. Sugere-se que a primeira formalização de parte do conteúdo se dê
após a primeira investigação que podemos chamar de um momento de discussão, a
segunda depois da investigação 3. Para as investigações 4 e 5, serão apresentadas a
Semelhança de Triângulos e o Teorema de Tales durante as atividades pois são
necessárias para a conclusão da atividade e por elas poderem ser usadas
independentemente do restante da sequência.
A sequência didática inteira está composta de cinco roteiros de atividades
investigativas em que são apresentados os objetivos buscados com a investigação, os
elementos da geometria trabalhados, os materiais necessários, roteiros para a construção
do equipamento usado (investigações 1, 4 e 5) e como deve se dá o desenvolvimento da
atividade. O tema da Óptica Geométrica que é o contexto para o trabalho com a
Geometria é introduzido por um texto de entrevista da luz.
A tabela 1.1 abaixo ilustra a sequência das atividades a ser seguida.
Atividade Objetivos
Óptica geométrica Geometria
Texto de
Apresentação. Apresentar aos alunos o tema de estudo
Investigação
1: Como a luz
pode ser
representada por
raios.
Explorar a propagação retilínea da
luz, usar os raios de luz para
representar a trajetória descrita pela
luz, diferenciar feixes divergentes,
convergentes e paralelos.
Explorar o conceito de reta,
segmento de retas e retas
paralelas.
Discussão
Formalizar e/ou revisar os conteúdos explorados na investigação 1.
Investigação
2: Você sempre
vê as reflexões em
Explorar a propagação retilínea da
luz, mostrar o princípio da
reversibilidade dos raios de luz,
Explorar a ideia de segmento
de reta.
espelhos?
mostrar a reflexão em espelhos
planos e motivar o surgimento de
ideias sobre o fenômeno.
Investigação
3: Como a luz é
refletida em um
espelho?
Identificar que o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de
reflexão e perceber o princípio da
independência dos raios de luz.
Trabalhar com segmentos de
retas, verificar e reforçar a
noção de ângulo e como
medir ângulos.
Discussão
Formalizar e/ou revisar os conteúdos explorados nas investigações
2 e 3.
Investigação
4: Câmara Escura
de Orifício.
Inferir o princípio de propagação
retilínea da luz e o princípio da
independência dos raios luminosos,
contextualizar a semelhança de
triângulos e comprovar a
propriedade fundamental dos
espelhos planos.
Explorar a ideia de figuras
semelhantes, construir a
semelhança de triângulos e
verificar a semelhança dos
triângulos na câmara e
classifica-la e no espelho
plano.
Investigação
5: Medindo
alturas
Explorar a propagação retilínea da
luz, usar os raios de luz para
representar a trajetória descrita pela
luz, explorar o Teorema de Tales.
Diferenciar retas paralelas e
retas transversais, explorar a
semelhança de triângulos,
trabalhar a noção de
proporções e apresentar
Teorema de Tales.
Tabela 1.1: Sequência de atividades.
Para a avaliação do aproveitamento do aluno, deve-se levar em conta sua
organização em grupo, participação das discussões, respostas dadas por escrito e
esboços montados. O que se deve avaliar é de certa forma, o percurso cognitivo durante
a situação ou situações na tentativa averiguar uma melhora conceitual, o que não
necessariamente significa compreensão total do tema.
Primeiro contato: aquecendo a turma!
O que vamos fazer?
Explique aos alunos que através de investigações simples vamos construir
conceitos de geometria e óptica geométrica. Vamos explorar temas como a propagação
da luz, espelhos planos, a semelhança de triângulos e o teorema de Tales que são muito
usados para construir relações métricas.
Mas antes vamos ter uma conversa...
Peça que os alunos imaginem um diálogo com a luz. Pode-se construir o diálogo
como se fosse uma entrevista onde os alunos fazem as vezes do entrevistador e os
alunos de entrevistado (a luz).
- Como você se chama?
- Luz, somente luz; no entanto, tenho vários apelidos...
- Que apelidos você tem?
- Essa é uma história um pouco longa... Mas vou tentar contá-la.
- Conte-me então.
- Tudo começou no primeiro dia, aliás, em plenas trevas... Já no final desse mesmo
dia, fui criada. Desde esse momento, sai por aí, refletindo, refratando, espalhando e
fazendo muito mais...
-Mas como você é capaz disso tudo, se é invisível?Quem é você? O que você é?
- Pois é... Já alaram bastante a meu respeito. Muitos, inclusive, discordam da minha
invisibilidade. Mas há uma verdade: só é possível acompanhar o meu rastro quando
existe algo no meu caminho.
- Como assim?
- É simples: quando saio do farol de um carro, num dia de chuva, só se vê o meu
facho porque as gotículas de água me refletem, isto é, me atrapalham. Só é possível ver
meu trajeto quando parto do farol de uma torre porque as partículas de poeira, em
suspensão, se colocam no meu caminho, desviando-me para todos os lados.
-Ah, entendi... Continue sua história.
- No inicio, os homens pré- históricos não estavam muito interessados nisso. Depois,
no século XVII, travou-se uma grande discussão acerca da minha natureza. Uns diziam
que eu constituiria em pequenas partículas porque, ao incidir em um espelho, era
refletida como uma bola de bilhar em uma mesa. Outros diziam que eu era onda, pois
alguns fenômenos luminosos apresentam características de ondas, como o som
produzido por cordas e membranas.
- Quer dizer então que você é uma onda?
-Bem, essa foi a conclusão dos cientistas até o final do século passado. Na verdade,
as pesquisas no início desse século apontaram novamente para a minha natureza
corpuscular.
-E, no final das contas, o que você é?
-Não posso responder, pois só é possível ao homem penetrar minha essência através
dos conceitos e das teorias que ele cria. A natureza representa um grande desafio à
capacidade humana de compreensão. Os debates e as discussões entre os cientistas são
decorrência dessa tentativa de entender minha essência.
-Isso quer dizer que a Ciência não chegou a uma conclusão definitiva sobre sua
natureza? Algumas vezes é vista como onda, outras como partícula?
-É, parece que você entendeu o espírito da situação. Hoje, para a Ciência, sou algo
com duas faces: uma ondulatória e outra particular. Talvez amanhã cheguem a outra
imagem sobre minha natureza. Por enquanto, me apresento com essa dupla identidade,
como um agente secreto.
Fonte do texto: FIGUEIREDO, A.; PIETROCOLA, M. Luz e cores- Física um outro lado,
FTD, São Paulo, 2000.
Após a leitura do texto peça que os alunos comentem sobre o que leram, sobre o
que é a luz e como se comporta. Esse é o momento de apresentar a luz como tendo um
comportamento dual- onda e partícula- e apresentar a Óptica como a área de estudo
voltada aos fenômenos relacionados à luz. Explique que iremos explorar temas
abordados pela Óptica geométrica, ramo que estuda os fenômenos ligados à propagação
da luz.
Depois da leitura do texto e da discussão inicie a Investigação 1.
Investigação 1: Como a luz pode ser representada por raios.
Fonte: adaptado de Active Learning in optics and photonics, 2006.
Objetivo: explorar a propagação retilínea da luz, usar os raios de luz para representar a
trajetória descrita pela luz, diferenciar feixes divergentes, convergentes e paralelos,
classificar as fontes de luz como puntiforme ou extensa.
Elementos da geometria: segmentos de reta e retas paralelas.
Equipamentos: 6 banquinhos idênticos, caneta laser, lâmpada pequena, suporte para
lâmpada, 5 tubos de PVC de ½” e 30 cm de comprimento, 10 m de barbante, fita
adesiva e pó de giz.
Montagem dos Tubos: Para usar os tubos prepare-os fixando com fita adesiva 2 metros
de barbante. Enrole o barbante no tubo para que os alunos usem durante a atividade
apenas o tamanho necessário.
Figura 1.1: materiais utilizados
Desenvolvimento: Delimite uma área de no mínimo 25 m² (sugestão de 5 × 5, em
metros). Monte e posicione o suporte e a lâmpada em um ponto central dessa área sobre
um banquinho. Distribua os demais banquinhos em posições aleatórias, como no
esquema da figura 1, sobre os quais repousam os tubos de PVC com o barbante
enrolado. Peça, então, que os alunos observem a lâmpada através do tubo. Em seguida,
peça-lhes que gire levemente o tubo para a direita e depois para a esquerda e pergunte-
lhes se eles conseguem ainda ver a lâmpada. Peça-lhes então que coloque os tubos nas
posições angulares em que se pode observar a lâmpada e fixe-o no banquinho através de
fitas adesivas. Feito isso nos 5 banquinhos, peça-lhes que estique o cordão a partir do
tubo até a extremidade do bulbo da lâmpada e averigue se o cordão é paralelo ao eixo
do tubo quando o cordão passa por cima deste. Fixe o barbante no suporte da lâmpada
com fita adesiva. Peça então que os alunos respondam as questões 1,2 e 3.
1. Que figura geométrica o cordão faz nesse momento? Uma reta ou uma
curva?
2. Se o tubo for girado levemente para a direita ou para esquerda, mudaria a
forma do cordão? Neste caso é possível observar a luz proveniente da
lâmpada?
3. Com base na questão anterior, como a luz se propaga, como uma reta
acompanhando o cordão esticado ou uma curva?
Em seguida, peça que olhem esquema da figura 1.2 e respondam a questão 4 e 5. Dê
uma volta pela sala e observe os esboços, mas sem interferir.
4. No diagrama da figura 1.2 esboce 5 raios de luz que começam no bulbo da
lâmpada e vão até os pontos de 1 a 5. Compare com o de seus colegas.
Figura 1.2: Esquema de disposição da lâmpada e dos alunos.
Nesse momento espera-se que o aluno seja capaz de formalizar sua resposta quanto
ao tipo de propagação da luz, desta forma, espera-se que eles desenhem retas ligando a
lâmpada aos pontos.
5. Descreva esses raios em palavras. Como eles são desenhados à medida que
a distância ao filamento aumenta?
Espera-se que eles descrevam que os raios são representados por retas que partem
do objeto (no caso a lâmpada) se tornam mais afastadas entre si com a distância. Isso
propicia a formação da ideia de uma fonte divergente.
Com os alunos de volta a suas posições, peça que eles observem agora a luz de um
laser que brilha através da sala.
Pode ser útil suspender pó de giz na sala de forma a melhor visualizar o caminho do
laser. Peça que eles respondam a pergunta 6. Novamente, peça que discutam, troquem
ideias e em seguida respondam a questão 7 e 8.
6. Você pode ver o feixe de laser bem sem o pó de giz no ar? Por que o pó de
giz torna o feixe mais visível? O que você viu foi a luz proveniente
diretamente do laser ou tem mais alguma coisa acontecendo?
7. Aponte as diferenças que você identificou entre a luz do laser e a da
lâmpada e a forma como elas atravessam a sala.
As duas últimas perguntas deve-se esperar respostas que revelem que o aluno já
começa a associar o fato de ver um objeto com a reflexão da luz, no caso da questão 6,
e que eles percebam que tanto na lâmpada e no laser, a luz se propaga em linha reta,
mas no caso do laser os raios são sempre em uma única direção, enquanto na lâmpada
os raios vão e várias direções.
8. Quais as diferenças entre as respostas de seus colegas e a sua?
Agora aponte o foco para o esquema como o da figura 2 e peça que respondam as
pergunta 9,10 e 11.
9. Com base em suas observações, esboce alguns raios deixando o laser no
esquema da figura 1.3.
Figura 1.3: Esquema de disposição do laser e dos pontos.
10. Você espera que o feixe do raio laser passe pelo ponto 1, 2, 3 ou em
nenhum? Qual a diferença entre os raios que você desenhou neste esboço e
no anterior?
Caso o aluno não consiga responder essa questão, peça-lhe que esboce os raios de
luz como se fosse trocado o laser por uma lâmpada incandescente como o da figura 1 e
depois compare com a do laser.
11. Você acha que existem outras situações nas quais os raios podem ser
representados como os saídos de um laser? Imagine um feixe de luz solar
que atinge a Terra, ele seria constituído de raios luminosos semelhantes aos
da lâmpada ou do laser?
Para finalizar a atividade peça que eles pesquisem como acontece um eclipse solar.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação os alunos podem
apresentar dificuldades em ler e interpretar as perguntas, necessidade de perguntar o
que deve ser feito mesmo antes de ler o material, dificuldade em construir respostas,
tentar explicar o fenômeno observado apenas relatando-o, desenhar apenas um raio de
luz saindo do laser.
Bibliografia utilizada na Investigação 1:
UNESCO. Active learning in optics and photonics (ALOP): training manual. 2006
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
Após a conclusão da Investigação 1 é hora de formalizar os conceitos
trabalhados comece falando sobre fontes de luz:
Fontes de luz
Se observarmos os objetos que nos rodeiam, verificamos que alguns deles emitem luz,
isto é, são fontes de luz, tais como o Sol, uma lâmpada acesa, a chama de uma vela.
Mas outros, apesar de não emitirem a luz podem ser vistos porque são iluminados pela
luz de alguma fonte de luz.
As fontes de luz podem ser:
Fonte de luz primário: corpo luminoso. Aquele que emite luz própria.
Fonte de luz secundária: corpo iluminado. É aquele que reenvia a luz recebida de
outros corpos luminosos.
Fonte de luz pontual: quando as suas dimensões são desprezíveis em relação a
distância que o separa do observador.
Fonte de luz extensa: quando suas dimensões não podem ser desprezadas em
relação a distância que o separa do observador.
Em seguida formalize o conceito de raio de luz para o aluno. Lembre-se que para
eles esse conceito não é tão trivial quanto possa parecer.
Raios de luz
Para representar graficamente a direção e o sentido de propagação da luz a partir de uma
fonte luminosa usamos segmentos de reta orientados. A esses segmentos de reta
chamamos de raios de luz.
Esses raios irão representar a trajetória da luz da fonte até o seu destino. Chamamos um
conjunto de raios de luz de feixe de luz.
Um feixe pode ser classificado como:
Se estivermos em um ambiente desprovido de partículas materiais não poderemos
enxergar um feixe de luz. Isso acontece porque só somos capazes apenas os objetos
iluminados, ou seja, o que vemos é a interação da luz com a matéria que ela iluminou.
Relembrando a geometria:
Retas: são figuras geométricas primitivas formadas por conjuntos de
pontos. O fato de serem primitivas significa que não existe uma definição para elas,
contudo, aceitamos que retas são linhas que não fazem curva.
Segmentos de reta: Um segmento de reta é apenas uma parte da reta.
Classificação das retas:
Paralelas: não tem nenhum ponto em comum.
Transversais: possui só um ponto em comum. Um exemplo de retas transversais
são as retas perpendiculares.
Coincidentes: possuem dois pontos e comum.
Diferencie os meios de propagação para que os alunos sejam capazes de melhor
avaliar as diferentes situações onde podem ou não ver um objeto.
Meios de propagação da luz
Podemos classificar os materiais quanto à capacidade de deixar ou não a luz passar.
Transparente:conseguimos ver os objetos nitidamente através dele.
Translúcido: não conseguimos enxergar muito bem através dele, a visualização
não é nítida.
Opaco: não conseguimos ver através dele
Com base em como a luz se propaga e com o que eles observaram na
investigação comente que se pode concluir que:
A luz em um meio homogêneo e transparente a luz se propaga em linha reta.
Chamamos o fato da luz se propagar em linha reta de Princípio de Propagação
Retilínea da Luz.
Dando continuidade aos estudos vamos as Investigações 2 e 3.
Investigação 2: Você sempre vê as reflexões em espelhos?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Objetivos: explorar o princípio de propagação retilínea da luz, mostrar o princípio da
reversibilidade dos raios de luz, mostrar a reflexão em espelhos planos e motivar o
surgimento de ideias sobre o fenômeno.
Elementos da geometria: segmentos de reta.
Equipamentos: espelho plano, suporte para montar o espelho em pé sobre uma
superfície horizontal (mesa), uma lâmpada com soquete e tecido preto.
Figura 2.1: materiais utilizados.
Desenvolvimento: monte o espelho plano sobre uma mesa e cubra-o com um tecido
preto e peça a três alunos voluntários para que se posicionem na frente do espelho como
mostra a figura 2.2.
Figura 2.2: Esquema de montagem.
Utilizando fita adesiva cada aluno deve marcar sua posição no chão ou local onde
estiverem como, por exemplo, a carteira. Posicione a lâmpada um pouco a direita e
ligue-a e depois a deixe desligada. Feito isso, os alunos devem se reunir em grupos e
responder as questões 1,2 e 3.
1. Você acha que a luz reflete no espelho? O que te faz achar isso?
2. O que o seu grupo acha? Escreva as ideias que o grupo elaborou que sejam
diferentes das suas.
Espera-se que os alunos consigam associar a imagem formada no espelho, e vista
por ele, ao fenômeno da reflexão dos raios de luz. Para facilitar a formação dessa ideia
é importante a negociação de saberes e entendimentos com os colegas, por isso, a
questão 2 se faz relevante.
3. Após o espelho ser descoberto, qual dos três estudantes poderá ver o reflexo
da lâmpada no espelho?
Chame-os de volta e descubra o espelho. Peça que respondam as questões 4 e 5.
4. Qual dos estudantes foi capaz de ver o reflexo da lâmpada? O que
aconteceu está de acordo com o que você esperava? Se não, explique o
porquê?
5. Desenhe os raios de luz que expliquem o que foi observado.
As respostas devem caminhar para a formação da ideia de que para ver a imagem
de um objeto, ele deverá receber um feixe de luz, proveniente do objeto, depois refletido
no espelho. Traçando-se os raios que atingem a extremidade do espelho e obtendo um
raio refletido que chega ao observador, é previsto que se note essa limitação.
Agora circunscreva com um pincel para quadro branco a região no espelho onde um
dos estudantes vê o reflexo da lâmpada. Em seguida, troque-o de lugar com a lâmpada.
Questione-o sobre o que ele percebeu e peça que comente para os colegas. Para que
todos consigam visualizar o esperado, deixe o espaço aberto para que cada um dos
alunos tome a posição do colega e observe.
Em seguida peça que respondam a questão 6.
6. Ao trocar de posição a lâmpada (objeto) e o aluno (observador) você
observou que ainda é possível ver o reflexo da lâmpada? E o reflexo da
lâmpada está novamente circunscrita? Como você explicaria isso?
A sexta questão pretende explorar a visualização da reversibilidade dos raios
luminosos. O ideal é que eles comentem sobre o caminho percorrido pela luz para
chegar ao observador.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação pode acontecer de
os alunos alterarem a resposta dada na questão 3 após observar o que acontece quando o
espelho é descoberto, para coibir essa ação comente que essa questão nada mais é do
que uma previsão e que eles não devem se preocupar em errar, mas devem dar o melhor
de si. Alguns alunos também podem demonstrar dificuldade em construir respostas.
Tente que na questão 5 eles não se restrinjam a desenhar somente o raio de luz que
chega ao observador que conseguiu vê o reflexo da lâmpada, mas que no desenho
explorem mais de um raio que sai da lâmpada o que pode facilitar a entendimento de
porque o(s) outro(s) não viram.
Bibliografia utilizada na Investigação 2:
ROBERTO, E. V. Aprendizagem ativa em ótica geométrica: experimentos e
demonstrações investigativas. Dissertação de Mestrado, IFSC- USP, 2009, p. 70-72.
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
Investigação 3: Como a luz é refletida em um espelho?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Objetivos: identificar que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão e
perceber o princípio da independência dos raios de luz.
Elementos da geometria: segmentos de reta, ângulos e medidas de ângulos.
Materiais : 4 espelhos planos, suportes, anteparos, 4 canetas-lasers, transferidores,
réguas e papel quadriculado.
Figura 3.1: materiais utilizados.
Desenvolvimento: Entregue os materiais listados para os grupos. A princípio peça que
eles observem a imagem da figura 3.2 e respondam as questões 1 e 2. Dê uma volta pela
sala e observe os esboços feitos pelos alunos sem interferir.
Figura 3.2: Esquema para um raio de luz incidindo sobre um espelho.
1. A figura 3.2 mostra um raio de luz incidindo com um ângulo de 45° em um
espelho plano. Como é o raio refletido? Desenhe a sua resposta.
2. O que os seus colegas de grupo acham? Quais ideias deles que são diferentes
da sua?
O intuito da questão 1 é averiguar o entendimento dos alunos sobre a reflexão a fim
de construir a lei da reflexão, então, não responder corretamente não atrapalha o
entendimento da atividade. A troca de informações proposta na questão 2 auxilia nessa
construção.
A seguir, peça que eles reproduzam a figura 3.1 com os materiais que foram
distribuídos para responder a questão 3.
Para facilitar a montagem, marque no papel milimetrado a posição onde devem
colocar o espelho e a fonte de luz de forma que a luz incida fazendo um ângulo de 45°
com o espelho.
Para a verificação peça que eles usem o transferidor para medir o ângulo formado
entre o raio refletido e o espelho.
Verifique se existe dificuldade para reproduzir a situação da figura 3.1. Auxilie
sugerindo que um dos alunos segure o espelho, outro segure o laser e outro faça então a
medida .
3. Incida um feixe de luz com um ângulo de 45° com o espelho. O que você
observou? Aconteceu o que você imaginava?
Conclua esta etapa desenhando no quadro negro um esquema contendo o espelho, o
feixe incidente e o feixe refletido e apresente a ideia de reta normal.peça para ser
respondido a questão 4.
4. Como a luz se reflete no espelho? Explique com uma frase.
5. O que acontece se o ângulo de incidência for mudado? Por exemplo, quando
for 30° ou 60°?
6. Na imagem abaixo quatro raios de luz incidem em quatro espelhos. Como
são os raios refletidos? Desenhe sua ideia.
Figura 3.3: Esquema para reflexão de feixes de luz incidente em espelhos planos.
7. Os desenhos dos seus colegas de grupo são diferentes do seu? Em que?
Na questão 6 o foco é a percepção do princípio da independência dos raios
luminosos. Se ao final das questões os alunos não chegarem ao entendimento correto o
professor pode complementar com a apresentação de imagens, mas espera-se que isso
não seja necessário.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação pode haver
dificuldade em manter o foco do aluno em realizar a atividade e não em “brincar com o
laser”, deve-se ficar atento a isso. Outra dificuldade consiste em utilizar a ferramenta
transferidor, se o aluno não souber usá-lo isso pode interferir no resultado, bem como
outras limitações inerentes aos materiais usados. Para reduzir estas dificuldades instrua
que o grupo coopere de forma a quem souber usar o transferidor ensinar a quem não
sabe.
Bibliografia utilizada na Investigação 3:
ROBERTO, E. V. Aprendizagem ativa em ótica geométrica: experimentos e
demonstrações investigativas. Dissertação de Mestrado, IFSC- USP, 2009, p. 70-72.
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
Após a realização das Investigações 2 e 3 e interessante discutir com os alunos a
fim de chegarmos a outras conclusões sobre o comportamento da luz chegando aos
outros princípios da Óptica Geométrica:
Quando um raio de luz atravessa o caminho de outro raio de luz ambos seguem
seus caminhos como se nada tivesse acontecido. Chamamos esse fato de Princípio
da Independência dos Raios de Luz.
O caminho que um raio de luz percorre não se modifica se invertermos as
posições da fonte e do observador, ou seja, a trajetória de ida e volta é a mesma.
Chamamos isso de Princípio da Reversibilidade dos Raios de Luz.
Relembrando a geometria:
Ângulo: podemos representar um ângulo da seguinte maneira:
As semirretas AO e OB de mesma origem são os lados e o ponto O é o vértice.
Podemos indicar esse ângulo por . Para medir o ângulo utilizamos o grau (°) como
unidade de medida.
O instrumento usado para medir ângulos é o transferidor.
Quando dois ângulos são iguais dizemos que eles são congruentes.
Após rever os conteúdos geométricos, formalize os conceitos sobre a reflexão:
Espelho plano
Quando raio de luz incide sobre uma superfície refletora como um espelho acontece
algo interessante, ele é refletido com o mesmo ângulo que incidiu. Isso é o que
chamamos de Lei da Reflexão. Além disso percebemos que o raio incidente, o raio
refletido e o que chamamos de reta normal estão situados no mesmo plano.
Em um espelho, as imagens parecem estar atrás do espelho. Isso acontece porque os
olhos e cérebro captam as imagens a partir dos raios luminosos que chegam até nos.
Então se prolongarmos os raios refletidos pelo espelho, veremos que tudo se passa
como se esses raios tivessem partido de pontos atrás do espelho. A imagem do objeto é
vista no ponto de encontro dos prolongamentos dos raios refletidos.
Fonte: www.educabras.com/enem/materia/fisica/optica/aulas/espelhos_planos
Depois dessa explanação vamos para a Investigação 4 e 5.
Investigação 4: Câmara Escura de Orifício
Objetivos: inferir o princípio de propagação retilínea da luz e o princípio da
independência dos raios luminosos, contextualizar a semelhança de triângulos e
comprovar a propriedade fundamental dos espelhos planos.
Elementos da geometria: retas, segmentos, propriedades métricas dos triângulos.
Materiais necessários: uma caixa de papelão grande o suficiente para uma pessoa
caber dentro (uma caixa de fogão ou máquina de lavar, por exemplo), fita adesiva ou
cola, papel madeira, lápis, grampeador, régua, papel cartão branco, tecido ou tnt preto,
figuras impressas.
Procedimento para a montagem da câmara escura: o primeiro passo é vedar, com a
fita adesiva, todas as possíveis entradas de luz da caixa como, por exemplo, as frestas do
fundo da caixa e possíveis furos, se a fita não for suficiente para vedar as frestas é
melhor recobri-las com o papel madeira. Depois, faça um furo com o lápis na caixa. O
furo deve estar no centro da caixa, horizontalmente, e verticalmente, a uns 10 cm do
fundo. A folha de papel cartão deve ser colada no lado oposto ao furo, pelo lado de
dentro da caixa usando a fita adesiva transparente ou a cola. O próximo passo é colocar
uma saia de tecido na borda da boca da caixa usando a fita adesiva ou grampeador. A
saia serve para impedir a entrada de luz. A câmara depois de montada deve ser
semelhante a mostrada na figura 4.1. O aluno deve se posicionar dentro da caixa e
observar o ambiente.
Figura 4.1: Câmara escura montada.
Desenvolvimento:
Apresente a câmara escura de orifício:
A câmara escura de orifício é uma ferramenta óptica muito antiga desenvolvida pelo
árabe Alhazen para acompanhar eclipses solares, mas que ao longo da história ela
também foi usada por pintores e desenhistas para copiar paisagens. Ao longo da história
já se construíram câmaras escuras de vários tamanhos inclusive do tamanho de quartos
inteiros, as chamadas salas escuras, mas só no final do século XVII foram construídas
as primeiras câmaras escuras portáteis.
Uma câmara escura de orifício é basicamente uma caixa ou sala completamente
escura onde a comunicação com o meio exterior se dá apenas por um pequeno orifício,
daí vem o seu nome. Na parede oposta é fixado um tecido ou papel branco para
funcionar como uma espécie de tela onde eram projetadas as imagens.
Apresente então a câmara construída explicando como foi montada. Em seguida,
peça que os alunos escolham algum objeto ou local para observar e então direcionem o
furo da caixa para ele. Eles devem entrar na caixa se posicionar de forma a observar a
imagem projetada na folha de papel cartão. Diga para eles se atentarem para todos os
detalhes possíveis e em seguida respondam as questões 1, 2 e 3.
1. O que você poderia dizer sobre a imagem projetada dentro da caixa? Quais
as características você poderia citar?
2. Tente explicar como a imagem é projetada na folha.
3. Para você o que explica o fato de a figura projetada ser semelhante ao
corpo considerado na forma e em colorido, mas apresentar-se invertida em
relação ao corpo?
O ideal é que eles apontem que a imagem formada é semelhante ao objeto, mas
invertida e que comentem sobre o seu tamanho na questão 1. As outras questões estão
abertas para a especulação dos alunos. Se eles afirmarem que os raios de luz que partem
do objeto e passam pelo orifício já estaremos num bom caminho.
Depois de os alunos brincarem um pouco com a câmara construída, deve-se
continuar as atividades agora com o uso de ilustrações como a da figura 7. Para dar
sequência, peça que eles respondam as questões 4 e 5. Certifique-se de que, a princípio,
façam seus esboços sozinhos e só depois troquem opiniões com os colegas e respondam
a questão 6. Dê uma volta pela sala e observe os esboços, mas sem interferir.
4. A figura 4.2 ilustra uma situação semelhante à presenciada no experimento
prático. Temos então, uma câmara escura de orifício direcionada para uma
vela. A imagem da vela será projetada na superfície oposta ao orifício.
Desenhe como seria a figura da vela projetada no lado oposto ao orifício da
câmara segundo sua experiência.
Figura 4.2: Ilustração de câmara escura de orifício.
5. Cada ponto de um objeto emite luz em todas as direções, mas para
determinar a posição da figura da vela projetada na câmara é suficiente
traçar apenas alguns raios de luz que partem do objeto, passam através do
orifício incidindo na parede oposta. Desenhe, na figura 4.2, alguns raios de
luz que partam da vela, atravessem o orifício e que formem a projeção
segundo sua previsão.
6. Todos os seus colegas desenharam a figura projetada e os raios da mesma
forma que você? Quais foram as diferenças?
Avalie se os alunos, ao desenhar, levaram em conta as propriedades da luz como a
propagação retilínea e a independência dos raios. Caso seja necessário, relembre essas
propriedades.
Espera-se que os alunos sejam capazes de usar o princípio de propagação retilínea da
luz e que percebam que de todos os raios emitidos pelos corpos, apenas alguns passam
pelo orifício e atingem a parede oposta. Mas de qualquer forma esse é o momento de
comentar seu funcionamento.
Explique que o funcionamento da câmara escura é consequência da propagação
retilínea da luz. Ressalte o fato de que os objetos reflete luz em todas as direções, mas
explique que somente aqueles raios que vinham na direção do orifício é que conseguirão
atravessá-lo e formar a imagem na parede. Então o orifício tem o papel de selecionar
alguns raios.
Depois dessa explanação é útil apresentar a imagem da figura 8 para que os alunos
comparem com seus esboços. Certifique-se que a figura 8 só seja apresentada aos alunos
depois que eles tenham respondido a questão 6 para que ela não influencie nas
respostas.
Figura 4.3: Somente alguns raios de luz refletidos atingem o orifício da câmara.
Mostre a figura 4.4 e explique que, por exemplo, o raio de luz que partiu do ponto mais alto
da vela (ponto A) atingiu a região inferior da tela (ponto A’), o raio de luz que partiu da parte
inferior (ponto B) atingiu a parte superior da tela (ponto B’).
Figura 4.4: Representação da imagem B'A' do objeto AB obtida na câmara.
Reassalte para os alunos que os raios se cruzam ao passar pelo orifício, seguindo seus
trajetos retilíneos o que faz com que a imagem projetada seja invertida em relação ao
objeto que neste caso é a vela.
Em seguida vamos explorar as propriedades geométricas da situação. Para iniciar,
peça para os alunos respondam a pergunta 7.
7. Na figura 9 os raios de luz que emanam da vela e chegam até a parede da
câmara formam dois triângulos, o triângulo ABO e o triângulo A’B’O, você
tinha percebido? Você seria capaz de apontar o que esses dois triângulos
tem em comum?
Nessa questão espera-se respostas como: os dois triângulos possuem o mesmo
vértice, os dois são formados pela mesmas retas, se o tamanho AB for mudado o A’B’
também mudará, etc.
Mas afinal, quais seriam essas semelhanças?
Nesse momento devem ser explicitadas as condições de semelhanças para triângulos:
Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos correspondentes sejam
congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de
proporcionalidade.
O primeiro passo para analisar a semelhança de dois triângulos é determinar a
correspondência dos lados e dos ângulos de cada triângulo. No quadro, desenhe
triângulos para fazer essa distinção.
Figura 4.5: Triângulos semelhantes.
Faça com que os alunos notem que todos os lados possuem a mesma razão de
proporcionalidade ½ e que os ângulos correspondentes são iguais ou congruentes.
Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma mais simples
conhecendo apenas alguns de seus elementos. Basta observar se eles se enquadram
em alguns dos casos de semelhança particulares.
Caso 1- Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois
ângulos correspondentes congruentes.
Caso 2- Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados proporcionais,
então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os
ângulos.
Caso 3- Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuem dois lados
proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes.
Depois dessa explanação, peça que os alunos analisem novamente a figura 9 e
respondam a questão 8.
8. Em qual dos casos de semelhança, apresentados pelo professor, você
classificaria os triângulos da figura 4.4?
O próximo passo é construir a relação matemática para os lados correspondentes
proporcionais através da figura 4.6:
Figura 4.6: Representação da imagem B'A' do objeto AB, seus tamanhos H e h e das
distâncias D e d obtida na câmara.
Comente que, como eles perceberam, na câmara escura houve a formação de dois
triângulos semelhantes, que tem um vértice em comum que fica bem no orifício e que
quando dois triângulos são semelhantes existe uma proporcionalidade entre seus lados
correspondentes.
Então temos que os tamanhos H e h, que são lados dos triângulos, são proporcionais
e então D e d que são as alturas desses triângulos devem apresentar a mesma razão de
proporção. Desta
Para continuar exemplificando o trabalho com triângulos, considere agora o espelho
plano representado na figura a 11 diante do qual se situa um objeto luminoso pontual P.
os raios luminosos PR e PQ incidem no espelho, respectivamente, normal e
obliquamente. O raio PR se refletirá sobre si mesmo, enquanto PQ dará origem a um
raio refletido obliquo em relação ao espelho.
Com base nessa figura peça que os alunos respondam a questão seguinte.
Figura 4.7: Espelho plano.
9. Na figura 4.7 a imagem de P é P’ que é obtida pelo cruzamento dos
prolongamentos dos raios refletidos. Observando os dois triângulos
formados PQR e P’QR, aponte o eles tem em comum. Explique.
Busque por respostas do tipo: o lado QR é comum aos dois triângulos, tem ângulos
iguais e por aí vai.
Após as respostas comente com os alunos a figura apresentando suas características.
Como :
O lado QR pertence aos dois triângulos.
Q R = (alternos internos)
Q R = (correspondentes)
Mas como = (lei da reflexão) tem-se que Q R = Q R.
E Q P = Q P’ = ângulo reto.
Desta forma temos dois ângulos que são congruentes e um lado congruente. O que
garante que os triângulos são congruentes. Comente que quando dois triângulos são
congruentes são semelhantes e com razão de proporcionalidade um.
Lembre sempre de ressaltar que duas coisas (dois ângulos, dois lados) são
congruentes quando tem a mesma medida.
Como os triângulos são congruentes PR = P’R o que significa que a distância do
objeto ao espelho é igual a distância da imagem ao espelho.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação algumas
dificuldades podem ser encontradas como o fato de nem todos os alunos caberem dentro
da câmara, o que depende do tamanho de caixa for usada, quanto maior a caixa melhor.
Durante as respostas os alunos podem apresentar problemas para entender as perguntas
ou construir respostas, além de alguns, em seus esboços, terem dificuldade de
representar raios de luz que condizem com o tamanho da imagem desenhada. O
professor não deve interferir nas respostas, mas pode reforçar que leiam bem as
questões e discutam em grupo sobre elas antes de respondê-las, pois a própria pergunta(
nesse caso a questão 5) instrui como o aluno deve proceder o esboço e a ordem para
montá-lo. Após a explanação sobre a semelhança de triângulos e responder a questão 8
é comum que os alunos queiram, na questão 9, classificar os triângulos quanto aos casos
de semelhança e não apontar e explicar o que eles tem em comum como é pedido.
Bibliografia utilizada na Investigação 4:
LUZ, A. M. R., Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
OLIVEIRA, M. P. P., Física em contextos: pessoal, social e histórico: energia, calor,
imagem e som., 1ª ed., São Paulo, FTD, 2010, p. 313-318.
VILLAS BOAS, N., DOCA, R. H., BISCUOLA, G. J., Física 2, 2ª ed., São Paulo,
Saraiva, 2013, p. 218.
SOUZA, J. R., Vontade de saber matemática, 9º ano, 2ª ed., São Paulo, FTD, 2012, p.
139-143.
Cinema na caixa (câmara escura - experimento de Física)- Movie in a box. Manual do
Mundo. Disponível em: http://www.manualdomundo.com.br/2012/05/cinema-na-caixa-
camara-escura/, visto em 29 de agosto de 2016.
Semelhança de Triângulos. Brasil escola. Disponível em:
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-triangulos.htm.
Investigação 5: Medindo alturas
Objetivo: explorar a propagação retilínea da luz, usar os raios de luz para representar a
trajetória descrita pela luz, explorar o Teorema de Tales.
Elementos da geometria: retas paralelas, triângulos, semelhança de triângulos,
proporções, Teorema de Tales.
Equipamentos: isopor, cartolinas, tintas guache marrom, palitos de churrasco, palitos
de dente, barbante, papelão, papel ofício, dois tons de verde de papel crepom, pistola de
cola quente, bastão de cola de silicone, cola para isopor, réguas.
Construindo a maquete:
Para montar a base da maquete use uma placa de isopor de aproximadamente 50 cm
x 50 cm. Use o papel crepom mais claro para cobrir a placa de isopor usando a cola de
isopor. A base também poderia ser pintada com tinta guache de verde, mas o benefício
de usar o papel é a facilidade para reutilizar a placa de isopor.
Para a montagem da árvore:
Tronco: para montar o caule use o papelão. Desenhe no papelão 2 contornos
aproximados de um tronco de árvore com alguns galhos. Recorte-os. Em um dos
troncos faça um corte reto no meio do caule que começa na parte de cima e vai
até a metade do tronco. No outro tronco faça também um corte central só que
começando de baixo até o meio. Em seguida encaixe-os. Reforce o encaixe com
cola, espere secar e pinte o tronco com tinta guache marrom.
Copa da árvore: depois de o tronco secar, amasse o papel oficio deixando-o em
formato de bola. Cole a bola de papel no centro dos galhos do tronco. Recorte
algumas tiras de papel crepom dos dois tons de verde. Pegue as tiras de papel
crepom, amasse como se fosse formar bolinhas e cole com a cola de silicone
sobre a bola de papel do centro. Alterne entre os tons de verde para dar um
efeito bonito. Preencha toda a bola central e uma parte dos galhos até conseguir
um bom volume.
Fixando a árvore: para fixar árvore na base de isopor cole, com cola quente,
palitos de dente por entre os buraquinhos do papelão na parte de baixo da árvore.
Assim a árvore poderá ser colocada e removida com facilidade do isopor sem a
necessidade de colá-la.
Figura 5.1: Maquete montada. A foto foi tirada após a maquete ter sido usada, por isso as
marcas da sombra.
Desenvolvimento: Após confeccionar a maquete de uma árvore em uma superfície
plana como mostrada na da figura 5.1.
Figura 5.2: Maquete.
Escolher um dia de sol para marcar a sombra da árvore com palitos de churrasco
pintando com tinta guache a sombra projeta na superfície do isopor. Se possível faça
isso acompanhado dos alunos e peça que um deles marque a sombra.
Feito isso use barbantes para demonstrar os triângulos formados, como ilustrado na
figura 5.2.
Aproveite o momento para questionar aos alunos sobre o que os triângulos formados
teriam de semelhante.
Feito isso, o próximo passo é medir, juntamente com os alunos, com régua a sombra
da árvore, a altura da vareta e sua sombra. Ressalte que os raios de Sol que atinge a
Terra são paralelos.
Após essas etapas peça que os alunos respondam as questões 1 e 2.
1. É possível descobrir a altura da árvore da maquete sem medi-la
diretamente? Qual a sua sugestão?
2. Antes de fazer qualquer medida, explique o que justifica a formação das
sombras da árvore e da vareta?
Em seguida, apresente aos alunos o Teorema de Tales no quadro:
Figura 5.3: Retas paralelas a, b e c interceptadas pelas transversais r e r’. Fonte:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm.
Se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas retas transversais então
os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais.
Agora, peça que eles respondam a questão de número 3, onde eles terão que
identificar quais são os feixes de retas paralelas e quais são as retas transversais.
Observe os desenhos dos alunos, mas não interfira.
Comente com os alunos que este teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e
matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.
Conte a eles sobre a lenda de que Tales usou ou desenvolveu o teorema a partir de um
experimento realizado através da observação de uma sombra de uma das pirâmides do
Egito, pirâmide Quéops. A partir disso, ele conseguiu calcular sua altura com base na
sombra que ela projetava e da sombra projetada por uma estaca.
3. Na figura abaixo, tente identificar quais retas formam o feixe de retas
paralelas e quais são as retas transversais mencionadas na definição do
Teorema de Tales.
Figura 5.4: Maquete com raios solares.
Figura 5.5: Maquete com os raios solares.
A partir da imagem 5.5 peça que os alunos observem que os raios solares que
chegavam à Terra estão na posição inclinada e são paralelos. Então os triângulos
formados pelas alturas, tamanhos das sombras e os raios solares são semelhantes, dessa
forma, existe uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos
objetos:
Ou
Após isso, peça que respondam a questão 4.
4. Realize os cálculos de proporções com os valores medidos e depois compare
com a altura verdadeira da árvore representada.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação uma dificuldade
possível de ser enfrentada está em conseguir marcar as sombras na maquete em um dia
de sol. Isso pode surgir pelo horário da aula da turma, como no caso de uma turma
noturna. Para combater esse empecilho o professor pode já levar a marcação da sombra
feita e explicar por que e como foi feito ou, usar uma outra fonte de luz como uma
lâmpada, mas neste caso é necessário explicar o porquê de se fazer isso e apontar as
diferenças entre a fonte de luz Sol e lâmpada já que as questões da atividade tratam de
raios solares.
Bibliografia utilizada na Investigação 5:
SOUZA, R. V. S., GOIS, A. M. D., Maquetes, o caminho para a compreensão do
teorema fundamental da semelhança de triângulos em situações problemas. Disponível
em:http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde
/2012/2012_uenp_mat_artigo_rosangela_vitorino_de_souza.pdf.
PAULA, E., FERNANDES, F. C. R., Educação matemática pela contextualização com
a astronomia, XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro
Latino Americano de Pós- Graduação- Universidade do Vale do Paraíba. Disponível
em: http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2009/anais/arquivos/RE_0976_1429_01.pdf
SOUZA, J. R., Vontade de saber matemática, 9º ano, 2ª ed., São Paulo, FTD, 2012, p.
126-134.
Teorema de Tales. Mundo Educação. Disponível em:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm.
Bibliografia utilizada:
FIGUEIREDO, A.; PIETROCOLA, M. Luz e cores- Física um outro lado, FTD, São
Paulo, 2000.
GEWANDSZNAJDER, F. Projeto Teláris: Ciências- 9º ano, 1ª ed., Ática, São Paulo,
2012.
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
SOUZA, J. R.de, Vontade de saber matemática, 8º ano, 2ª ed.,FTD, São Paulo, 2012.
Retas. Mundo Educação, Disponível em:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm, acesso em: junho de 2017.
Material do Aluno
Com o intuito de facilitar as atividades do professor, montamos roteiros das
investigações destinadas aos alunos. Neles constam os questionários a serem
respondidos pelos alunos nas investigações.
O que vamos fazer?
Através de investigações simples vamos construir conceitos de geometria e óptica
geométrica. Vamos explorar temas como a propagação da luz, espelhos planos, a
semelhança de triângulos e o teorema de Tales que são muito usados para construir
relações métricas.
Mas antes vamos ter uma conversa...
Imaginem um diálogo com a luz e acompanhe a entrevista abaixo:
- Como você se chama?
- Luz, somente luz; no entanto, tenho vários apelidos...
- Que apelidos você tem?
- Essa é uma história um pouco longa... Mas vou tentar contá-la.
- Conte-me então.
- Tudo começou no primeiro dia, aliás, em plenas trevas... Já no final desse mesmo
dia, fui criada. Desde esse momento, sai por aí, refletindo, refratando, espalhando e
fazendo muito mais...
-Mas como você é capaz disso tudo, se é invisível?Quem é você? O que você é?
- Pois é... Já alaram bastante a meu respeito. Muitos, inclusive, discordam da minha
invisibilidade. Mas há uma verdade: só é possível acompanhar o meu rastro quando
existe algo no meu caminho.
- Como assim?
- É simples: quando saio do farol de um carro, num dia de chuva, só se vê o meu
facho porque as gotículas de água me refletem, isto é, me atrapalham. Só é possível ver
meu trajeto quando parto do farol de uma torre porque as partículas de poeira, em
suspensão, se colocam no meu caminho, desviando-me para todos os lados.
-Ah, entendi... Continue sua história.
- No inicio, os homens pré- históricos não estavam muito interessados nisso. Depois,
no século XVII, travou-se uma grande discussão acerca da minha natureza. Uns diziam
que eu constituiria em pequenas partículas porque, ao incidir em um espelho, era
refletida como uma bola de bilhar em uma mesa. Outros diziam que eu era onda, pois
alguns fenômenos luminosos apresentam características de ondas, como o som
produzido por cordas e membranas.
- Quer dizer então que você é uma onda?
-Bem, essa foi a conclusão dos cientistas até o final do século passado. Na verdade,
as pesquisas no início desse século apontaram novamente para a minha natureza
corpuscular.
-E, no final das contas, o que você é?
-Não posso responder, pois só é possível ao homem penetrar minha essência através
dos conceitos e das teorias que ele cria. A natureza representa um grande desafio à
capacidade humana de compreensão. Os debates e as discussões entre os cientistas são
decorrência dessa tentativa de entender minha essência.
-Isso quer dizer que a Ciência não chegou a uma conclusão definitiva sobre sua
natureza? Algumas vezes é vista como onda, outras como partícula?
-É, parece que você entendeu o espírito da situação. Hoje, para a Ciência, sou algo
com duas faces: uma ondulatória e outra particular. Talvez amanhã cheguem a outra
imagem sobre minha natureza. Por enquanto, me apresento com essa dupla identidade,
como um agente secreto.
Fonte do texto: FIGUEIREDO, A.; PIETROCOLA, M. Luz e cores- Física um outro lado,
FTD, São Paulo, 2000.
Investigação 1: Como a luz pode ser representada por raios.
Fonte: adaptado de Active Learning in optics and photonics, 2006.
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Depois de visualizar a lâmpada através do tubo de PVC, responda:
1. Que figura geométrica o cordão faz nesse momento? Uma reta ou uma
curva?
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2. Se o tubo for girado levemente para a direita ou para esquerda, mudaria a
forma do cordão? Neste caso é possível observar a luz proveniente da
lâmpada?
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3. Com base na questão anterior, como a luz se propaga, como uma reta
acompanhando o cordão esticado ou uma curva?
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4. No diagrama da figura 1 esboce 5 raios de luz que começam no bulbo da
lâmpada e vão até os pontos de 1 a 5. Compare com o de seus colegas.
Figura 1: Esquema de disposição da lâmpada e dos alunos.
5. Descreva esses raios em palavras. Como eles são desenhados à medida que
a distância ao filamento aumenta?
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Depois de ver como a luz do laser se propaga, responda:
6. Você pode ver o feixe de laser bem sem o pó de giz no ar? Por que o pó de
giz torna o feixe mais visível? O que você viu foi a luz proveniente
diretamente do laser ou tem mais alguma coisa acontecendo?
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7. Aponte as diferenças que você identificou entre a luz do laser e a da
lâmpada e a forma como elas atravessam a sala.
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8. Quais as diferenças entre as respostas de seus colegas e a sua?
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9. Com base em suas observações, esboce alguns raios deixando o laser no
esquema da figura 2.
Figura 2: Esquema de disposição do laser e dos pontos.
10. Você espera que o feixe do raio laser passe pelo ponto 1, 2, 3 ou em
nenhum? Qual a diferença entre os raios que você desenhou neste esboço e
no anterior?
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11. Você acha que existem outras situações nas quais os raios podem ser
representados como os saídos de um laser? Imagine um feixe de luz solar
que atinge a Terra, ele seria constituído de raios luminosos semelhantes aos
da lâmpada ou do laser?
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Investigação 2: Você sempre vê as reflexões em espelhos?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Após observar a situação montada, o espelho coberto e a lâmpada e depois de
escolher os colegas voluntários, vamos responder algumas questões:
1. Você acha que a luz reflete no espelho? O que te faz achar isso?
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2. O que o seu grupo acha? Escreva as ideias que o grupo elaborou que sejam
diferentes das suas.
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3. Após o espelho ser descoberto, qual dos três estudantes poderá ver o reflexo
da lâmpada no espelho?
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Depois de descobrir o espelho e observar o que acontece, responda:
4. Qual dos estudantes foi capaz de ver o reflexo da lâmpada? O que
aconteceu está de acordo com o que você esperava? Se não, explique o
porquê?
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5. Desenhe os raios de luz que expliquem o que foi observado.
Figura 2.1: Esquema de montagem.
6. Ao trocar de posição a lâmpada (objeto) e o aluno (observador) você
observou que ainda é possível ver o reflexo da lâmpada? E o reflexo da
lâmpada está novamente circunscrita? Como você explicaria isso?
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Investigação 3: Como a luz é refletida em um espelho?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Seu grupo recebeu um conjunto de materiais, mas antes de usá-los responda as
questões 1 e 2.
1. A figura 3.1 mostra um raio de luz incidindo com um ângulo de 45° em um
espelho plano. Como é o raio refletido? Desenhe a sua resposta.
Figura 3.1: Esquema para um raio de luz incidindo sobre um espelho.
2. O que os seus colegas de grupo acham? Quais ideias deles que são diferentes
da sua?
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Agora sim vamos usar aqueles materiais. Faça sua representação da figura 3.1
sobre o papel milimetrado, nele já existem as marcações necessárias. Meça o ângulo
usando o transferidor. Se sentir dúvida em como medir usando o transferidor
consulte seus colegas de grupo, caso eles não possam te ajudar chame então o
professor.
3. Incida um feixe de luz com um ângulo de 45° com o espelho. O que você
observou? Aconteceu o que você imaginava?
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4. Como a luz se reflete no espelho? Explique com uma frase.
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5. O que acontece se o ângulo de incidência for mudado? Por exemplo, quando
for 30° ou 60°?
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6. Na imagem abaixo quatro raios de luz incidem em quatro espelhos. Como
são os raios refletidos? Desenhe sua ideia.
Figura 3.2: Esquema para reflexão de feixes de luz incidente em espelhos planos.
7. Os desenhos dos seus colegas de grupo são diferentes do seu? Em que?
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Investigação 4: Câmara Escura de Orifício
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
E aí, você viu a Câmara Escura de Orifício? Experimentou entrar nela?
A câmara escura de orifício é uma ferramenta óptica muito antiga desenvolvida pelo
árabe Alhazen para acompanhar eclipses solares, mas que ao longo da história ela
também foi usada por pintores e desenhistas para copiar paisagens. Ao longo da história
já se construíram câmaras escuras de vários tamanhos inclusive do tamanho de quartos
inteiros, as chamadas salas escuras, mas só no final do século XVII foram construídas
as primeiras câmaras escuras portáteis.
Uma câmara escura de orifício é basicamente uma caixa ou sala completamente
escura onde a comunicação com o meio exterior se dá apenas por um pequeno orifício,
daí vem o seu nome. Na parede oposta é fixado um tecido ou papel branco para
funcionar como uma espécie de tela onde são projetadas as imagens.
Agora responda algumas questões:
1. O que você poderia dizer sobre a imagem projetada dentro da caixa? Quais
as características você poderia citar?
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2. Tente explicar como a imagem é projetada na folha.
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3. Para você o que explica o fato de a figura projetada ser semelhante ao
corpo considerado na forma e em colorido, mas apresentar-se invertida em
relação ao corpo?
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4. A figura abaixo ilustra uma situação semelhante à presenciada no
experimento prático. Temos então, uma câmara escura de orifício
direcionada para uma vela. A imagem da vela será projetada na superfície
oposta ao orifício. Desenhe como seria a figura da vela projetada no lado
oposto ao orifício da câmara segundo sua experiência.
Figura 4.1: Ilustração de câmara escura de orifício.
5. Cada ponto de um objeto emite luz em todas as direções, mas para
determinar a posição da figura da vela projetada na câmara é suficiente
traçar apenas alguns raios de luz que partem do objeto, passam através do
orifício incidindo na parede oposta. Desenhe, na figura abaixo, alguns raios
de luz que partam da vela, atravessem o orifício e que formem a projeção
segundo sua previsão.
Figura 4.1: Ilustração de câmara escura de orifício.
6. Todos os seus colegas desenharam a figura projetada e os raios da mesma
forma que você? Quais foram as diferenças?
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Agora sua professora deve ter te entregue ou mostrado algumas figuras que
mostram como os raios de luz formam a imagem projetada na câmara. Essas figuras
são as figuras 4.3 e 4.4, com base nelas responda as questões 7 e 8.
7. Na figura 4.4 os raios de luz que emanam da vela e chegam até a parede da câmara
formam dois triângulos, o triângulo ABO e o triângulo A’B’O, você tinha
percebido? Você seria capaz de apontar o que esses dois triângulos tem em
comum?
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8. Em qual dos casos de semelhança, apresentados pelo professor, você
classificaria os triângulos da figura 4.4?
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9. Na figura 4.7 a imagem de P é P’ que é obtida pelo cruzamento dos
prolongamentos dos raios refletidos. Observando os dois triângulos
formados PQR e P’QR, aponte o eles tem em comum. Explique.
Figura 4.2: Espelho plano.
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Investigação 5: Medindo alturas
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Temos um problema que precisamos resolver! Sabe essa maquete que o professor
mostrou, precisamos medir a altura daquela árvore, mas não podemos medi-la
diretamente com a régua. Mas antes responda:
1. É possível descobrir a altura da árvore da maquete sem medi-la
diretamente? Qual a sua sugestão?
2. Antes de fazer qualquer medida, explique o que justifica a formação das
sombras da árvore e da vareta?
O teorema que seu professor apresentou foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e
matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.
Diz a lenda de que Tales usou ou desenvolveu o teorema a partir de um experimento
realizado através da observação de uma sombra de uma das pirâmides do Egito,
pirâmide Quéops. A partir disso, ele conseguiu calcular sua altura com base na sombra
que ela projetava e da sombra projetada por uma estaca.
Associando o que você do teorema de Tales com a figura 5.1, responda:
3. Na figura abaixo, tente identificar quais retas formam o feixe de retas
paralelas e quais são as retas transversais mencionadas na definição do
Teorema de Tales.
Figura 5.1: Maquete com raios solares.
Foi montada uma relação de proporção entre alturas da árvore e da vareta e o
tamanho da sombra da vareta, agora use essa relação para descobrir a altura da árvore.
4. Realize os cálculos de proporções com os valores medidos e depois compare
com a altura verdadeira da árvore representada.
Tamanho as sombra da árvore:______
Tamanho da sombra da vareta:______
Altura da vareta:______
Altura da árvore:______
