Semelhança de triângulos

As três proposições a seguir estabelecem as condições suficientes usuais para que dois triângulos sejam semelhantes. Por tal razão, as mesmas são conhecidas como os casos de semelhança de triângulos usuais.

O item (c) da proposição acima é o famoso teorema de Pitágoras.

O exemplo a seguir utiliza o item (d) da proposição para resolver geometricamente uma equação do segundo grau de raízes positivas.

Para terminar esta seção, estabelecemos a recíproca do teorema de Pitágoras.

Relações métricas em um triângulo qualquer

Dado um ângulo agudo XOY = toma-se um ponto P qualquer do lado OY e traça-se a perpendicular PA ao lado OX.

A Lei dos Cossenos A Lei dos Cossenos é uma relação muito útil que envolve os três lados do triângulo e o cosseno de um dos ângulos. A demonstração é bastante simples. Escolhemos inicialmente um dos ângulos do triângulo ABC. Seja A o ângulo escolhido. Caso A < 90o

Seja D a projeção do vértice B sobre a reta AC. Imaginando que o triângulo ABC não seja retângulo em C, a figura pode ser uma das seguintes:

Sejam AB = c, AC = b e BC = a. Como A < 90o então D está na semirreta AC. Seja AD = x. Assim

DC = |b- x|.

No triângulo BDC o teorema de Pitágoras nos dá: a2 = h2 + |b-x|2 = h2 + b2 + x2 - 2bx .

No triângulo BDA temos, pelo mesmo teorema, h2 =x2-b2. Substituindo ficamos com

a2 = c2 - x2 + b2 + x2 - 2bx

a2 = b2 +c2 - 2bx Entretanto, em qualquer uma das figuras tem-se x/c = cosA, ou seja, x = c cosA. Substituindo esse valor de x na última relação encontramos

a2 = b2 +c2 - 2bc cosA

Caso A > 90o

Seja D a projeção do vértice B sobre a reta AC. Neste caso, D está na semirreta oposta à semirreta AC como na figura a seguir.

Como no caso anterior seja AD = x e seja = 1800-A o ângulo externo de vértice A do triângulo. A aplicação do teorema de Pitágoras nos triângulos BDC e BDA fornecem as relações:

a2 = h2 + |b+x|2 = h2 + b2 + x2 + 2bx ,

h2 = c2 -x2

A substituição de h2 na primeira relação dá a2 = b2 + c2 + 2bx.

Porém, neste caso, cos = x/c e, consequentemente, cosA =-x/c, ou seja,

x =-c cosA.

Substituindo na relação anterior ficamos com a2 = b2 + c2 + 2b(-c

cosA), ou seja, a2 = b2 +c2 - 2bc cosA

que coincide exatamente com a relação do caso anterior.

Esta é a Lei do Cosseno para o ângulo A (ou para o lado a). E o que ocorre se o ângulo A for reto? A relação a2 = b2 +c2 - 2bc cosA continua válida porque, neste caso, cosA = 0 e o que resta é a2 = b2 +c2 , o teorema de Pitágoras. As outras versões desta relação são obtidas simplesmente trocando convenientemente os nomes das letras que representam os lados e os ângulos do triângulo. Elas são:

b2 = a2 +c2 - 2ac cosB

c2 = a2 +b2 - 2ab cosC

Determine o maior ângulo do triângulo cujos lados medem 5,

6 e 7.

O maior ângulo do triângulo é oposto ao maior lado. Temos então a situação da figura a seguir: O ângulo que queremos calcular é oposto ao lado que mede 7. Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo temos:

72 = 52 + 62 -2.5.6cos

As contas fornecem cos = 1/5 e portanto = 78,5o.

Determinação da natureza de um triângulo Um triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo se seu maior ângulo for, respectivamente, agudo, reto ou obtuso. Decorre imediatamente da Lei dos Cossenos no triângulo ABC as seguintes e úteis relações:

A < 90o a2 < b2 + c2

A = 90o a2 = b2 + c2

A > 90o a2 > b2 + c2

Em um triângulo de lados a, b e c, se a é o maior lado, a comparação de a2 com b2 + c2 fornece a natureza desse triângulo.

A Lei dos Senos A Lei dos Senos resolverá, principalmente, o caso de obter outros elementos de um triângulo onde os ângulos são conhecidos e apenas um lado é conhecido. A Lei dos Senos possui também forte relacionamento com a circunferência circunscrita ao triângulo, como veremos a seguir. A figura a seguir mostra o triângulo ABC, com lados a, b e c, inscrito em uma circunferência de raio R.

Como de hábito, o ângulo BAC do triângulo será representado simplesmente por A. Traçamos o diâmetro BD. Assim, o ângulo BCD é reto e os ângulos BAC e BDC são iguais, pois subtendem o mesmo arco BC. O seno do ângulo BDC é igual a Então, ou seja,

Esta relação mostra que a razão entre um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita e, naturalmente, essa relação vale qualquer que seja o lado escolhido. A Lei dos Senos no triângulo ABC é escrita assim:

onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.

O teorema de Menelaus

O teorema de Menelaus é uma relação bem diferente das anteriores. Ele não envolve ângulo algum, mas é uma especialista em calcular razões. O enunciado do teorema é o seguinte:

Dado um triângulo ABC uma reta transversal corta as retas AB, BC, e CA nos pontos L, M e N, respectivamente. Então,