MatemtSolucionario2010 -IExamen de admisinMatemtica1TEMA
PPregunta N. 1En una biblioteca municipal existen en total 72
librosdematemticayliteratura,losqueestn en relacin de 5 a 3
respectivamente. El nmero de libros de literatura que deben
agregarse para que la relacin sea de 9 a 10 es:A) 21B) 22C) 23D)
24E) 25ResolucinTemaRazonesAnlisis y procedimientoN. de libros de
matemticaN. de libros de literaturaTotal de librosLo que se
tiene5(9) 3(9) 8(9)=72(Dato)Se observa que hay lo siguiente:45
libros de matemtica y27 libros de
literaturaLuego,siagregamosxlibrosdeliteratura,ten-dramos:45 libros
de matemtica27+x libros de literaturaPor condicin del problema,
tenemos 4592710=+ xx=23RespuestaElnmerodelibrosdeliteraturaquedeben
agregarse es 23. ALTERNATIVACPregunta N. 2Un libro se ofrece en
venta recargndose el r por ciento del precio del costo, pero a un
estudiante alcomprarlolerebajaronelpporciento.Siel vendedor no gan
ni perdi, cunto le rebajaron al estudiante?A) 100100 +( )rB)
rr+100100C) 100 +( )rrD) 10 011, +rE) 10 011, r2unI 2010 -IAcademia
CSAR VALLEJOResolucinTemaTanto por cientoAnlisis y
procedimientoSeaPC: Precio de costoPF: Precio fijadoSegn el
enunciado tenemosSi el vendedor no gan ni perdi, entonces(Precio de
costo) = (Precio de venta)Reemplazando, tenemos: P p r PC C= + (
)%( )% 100 100 1100100100100= + ( ) ( ) p r prr=+100100Equivale a
pr=+10 011,Observacin En el problema piden cunto le rebajaron al
estudiante, es decir, el p por ciento del precio fijado, para lo
cual senecesitaconocerelpreciodecosto,ynohabra alternativa. Sin
embargo, el problema slo debe pedir el valor de p. Considerando
eso, habra clave.RespuestaEl valor de p es 10 011, +r.
ALTERNATIVADPregunta N. 3Un deudor tiene que pagar al banco tres
letras. La primera de S/.80 000 pagadera dentro de 30 das; la
segunda de S/.200 000 pagadera en 60 das y la tercera de S/.400 000
con un plazo de 90 das. Dentro de qu tiempo (en das) debe ser
pagada una letra nica cuyo valor nominal sea la suma de los valores
nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de inters es
constante.A) 70 dasB) 71 dasC) 72 dasD) 73 dasE) 74
dasResolucinTemaRegla de descuentoAnlisis y procedimientoDe los
datos se tieneComo el valor nominal de la nica letra es igual a la
suma de los valores nominales de las tres letras
anterioresytodassondescontadasalamisma
tasa,aplicamostiempodevencimientocomn y obtenemos x =( )+( )+(
)3080000 60200000 90400000680000
x=74,11...ObservacinComoelproblemapideeltiempoendasse considerar 74
das.3unI 2010 -ISolucionario de
MatemticaRespuestaLanicaletraquedebepagarseesdentrode 74 das.
ALTERNATIVAEPregunta N. 4En cuntos sistemas de numeracin el nmero
1234 se escribe con tres cifras?A) 23B) 24C) 25D) 26E)
27ResolucinTemaNumeracinAnlisis y
procedimientoSielnmero1234seescribecontrescifrasen
elsistemadenumeracindebasen,entonces, tenemos100(n) 1234 <
1000(n)n2 1234 < n310 1234 1234 353,... ,... = < = nLuego,
los valores de n son 11 12 13 3535 10 25; ; ; ...; = nmeros
RespuestaHay 25 sistemas de numeracin, en los cuales el nmero
1234 se escribe con tres cifras. ALTERNATIVACPregunta N.
5Indiquelasecuenciacorrectadespusde
determinarsilaproposicinesverdadera(V) o falsa (F).I.La suma de un
nmero natural y un nmero entero es un nmero
natural.II.Seanaybdosnmerosenteros,entonces existe un nmero c
entero tal que a=bc.III.Lacantidaddeelementosdelconjuntode
losnmerosenterospositivosmltiplos de siete, es igual a la cantidad
de elementos del conjunto de los nmeros naturales.A) VVVB) VFFC)
FVVD) FFVE) FFFResolucinTemaConjuntosAnlisis y
procedimientoI.FalsaPorque no cumple en todos los casos.Ejemplo4:
es un nmero natural. 7: es un nmero entero.Entonces 4 7 3 + = (
)suma
(no es un nmero natural)II.FalsaPorque no cumple en todos los
casos. EjemploSi a=3 y b=6entonces, reemplazamos en a=b c.3=6
cc=0,5 (no es entero)III.VerdaderaComolosdosconjuntossoninfinitosy
sepuedeestablecerunarelacindeuno auno(bionvoca)entreloselementos de
ambos conjuntos; por lo tanto, tienen igual cantidad de
elementos.RespuestaLa secuencia correcta de las proposiciones es
FFV. ALTERNATIVAD4unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOPregunta N.
6Indique la secuencia correcta despus de determi-nar si la
proposicin es verdadera (V) o falsa (F).I.Si m y n son nmeros
enteros no divisibles por 3, entonces la suma o la diferencia de
ellos es un mltiplo de tres.II.Simynsonmltiplosde3conm > n >
0 entonces el cociente m/n es un mltiplo de tres.III. Si m y n son
mltiplos de tres con m, n > 0 entonces MCD (m, n) es un mltiplo
de tres.A) VVVB) VFVC) VFFD) FVFE)
FFFResolucinTemaDivisibilidadAnlisis y procedimientoI.Como m y n no
son divisibles por 3, entonces(m= 3o +1 m=3o +2) y (n=3o +1 n=3o
+2)Analizamos dos casos(*)Si los residuos son iguales m+n 3o y m
n=3o (*)Si los residuos son diferentes m+n = 3o y m n3oEntonces, la
suma o diferencia de m y n es un mltiplo de 3; por lo tanto, la
proposicin (I) es verdadera (V).II.Como m y n son mltiplos de 3 y m
> n >0, tomaremosunejemploparaanalizarsila proposicin es
verdadera (V) o falsa (F).Sean m=42 y n=21 ambos mltiplos de 3 (m
> n). = mn2 3oComosepuedeobservar,elcocienteno result 3o. Por lo
tanto, la proposicin (II) es falsa
(F).III.Comomynsonmltiplosdetresconm, n > 0. m=3k y n=3p; (k
> p).Luego, tenemos MCD(m, n)=MCD(3k; 3p)=3MCD(k, p)= 3opor
propiedad MCD(m, n)= 3oPorlotanto,laproposicin(III)esverda dera
(V).RespuestaLa secuencia correcta de las proposiciones es VFV.
ALTERNATIVABPregunta N. 7Sean los nmeros N1=63a+18a,
N2=8a33a+1donde la cantidad de los divisores de N1 es igual a la
cantidad de los divisores de N2 aumentado en 20. Entonces el valor
de 2a 1 esA) 1.B) 3.C) 5.D) 7.E) 9.ResolucinTemaNmeros primos y
compuestos5unI 2010 -ISolucionario de MatemticaAnlisis y
procedimientoPor dato tenemos los nmerosN1=63a+18ayN2=8a33a+1Cuyas
descomposiciones cannicas sonN1=26a+133a+1N2=23a33a+1Adems, por
condicin se tiene queCD(N1)=CD(N2)+20 (6a+2)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
2(3a+1)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20 (3a+1)(3a+2)=20=45
45 3a+1=4a=1Luego, 2a 1=2(1) 1=1.RespuestaPor lo tanto, el valor
de (2a 1) es 1. ALTERNATIVAAPregunta N. 8Determine el valor de a+b
c si se tiene que (ab)3=1c8ab.A) 1B) 2C) 1D) 2E)
3ResolucinTemaPotenciacinAnlisis y procedimientoPor dato1c8ab=ab
3Luego, por terminacin de cifra,b {1; 4; 5; 6; 9}(I)Tenga en cuenta
que si b=0, el numeral termi-nara en tres ceros.Adems 203 <
1c8ab < 303 a=2Luego1c82b=2b 31c800=2b 3 2b1c800=(2b
1)2b(2b+1)=825ooDe (I): b=4 c=3a+b c=3RespuestaEl valor de (a+b c)
es 3. ALTERNATIVAE6unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOPregunta N.
9Dada la siguiente relacin:y |y|=x |x|;
digaculdelassiguientesgrficaseslaquele corresponde:A)B) C) D)E)
ResolucinTemaGrfica de relacionesAnlisis y
procedimientoEnlaresolucindelproblema,aplicamosla definicin de
valor absoluto.xx xx x= aadems, cosa=cosb; entonces, a+b=2 de donde
ei(a+b)=ei(2)=1RespuestaLa proposicin verdadera es solo III.
ALTERNATIVACPregunta N. 13Sea S el conjunto solucin de la ecuacin,
en R, x x xx3 27 15 9135 + =log.Halle la cantidad de elementos de
S.A)0B)1C)2D)3E)4ResolucinTemaEcuacin logartmicaAnlisis y
procedimientoPara determinar el nmero de soluciones reales usaremos
grficas de funciones. Para ello reduci-mos las expresiones; as:x x
xx3 27 15 9135 + =logx > 0; x 1 ( )( )=x x x 1 3235logf(x)g(x)=x
> 0; x 1GraficamosSe observa que las grficas se cortan slo en un
punto; entonces, solo tiene una solucin real.RespuestaLa cantidad
de elementos de S es 0. ALTERNATIVAAPregunta N. 14SiA = 1 1 10 0 00
0 1. Calcule S=A42+A55.A) A =0 0 10 0 00 0 2B) A = 0 0 10 0 00 0
2C) A =0 0 10 0 00 0 2D) A =0 0 10 0 00 0 2E)A =0 0 10 0 00 0
310unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOResolucinTemaMatricesAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoPara determinar potencias de
una matriz, una de las formas es mediante el polinomio
caracterstico: P(x).Si A Rnn: P(x)=det(A xI)Hallemos el polinomio
caracterstico de A.P(x)=det(A xI) Pxxxx( ) = 1 1 10 0 00 0 10 00 00
0 Pxxxx( ) = ( ) ( )1 1 10 00 0 1P(x)=x x3Entonces, P(A)=A A3=f (f:
matriz nula)A3=AA3k=A; k Z+Reemplazamos en
A42+A55=(A3)14+(A3)18A=A+(A)A=A+A2Determinamos A21 1 10 0 00 0 11 1
10 0 00 0 11 1 00 0 00 0 1= = A A21 1 10 0 00 0 11 1 10 0 00 0 1+
=+ = 0 0 10 0 00 0 2RespuestaLa matriz A42+A55 es 0 0 10 0 00 0 2
ALTERNATIVABPregunta N. 15Dado el sistema 2x y+z=1x+4y+2z= 1Cul de
las siguientes ecuacionesI.x 5y z=2,II.3x+3y+3z=2,III.
5x+2y+4z=1,puede agregarse al sistema anterior de modo que el
conjunto solucin no vare?A) solo IB) I y IIC) I y IIID) solo IIE)
solo IIIResolucinTemaSistema de ecuaciones linealesAnlisis y
procedimientoReferencia y/o
contextoUnacaractersticadelossistemasesquesi
sumamosorestamoslasecuacionesenuna cantidad finita no se altera el
conjunto solucin.11unI 2010 -ISolucionario de MatemticaDel dato:2x
y+z=1x+4y+2z=1Al restar las ecuaciones 2xy+z=1x+4y+2z=1se obtiene x
5yz = 2.(*)Al sumar las ecuaciones 2xy+z=1x+4y+2z=1+se obtiene
3x+3y+3z=0.(**)Multiplicamos por 2 a la primera ecuacin y sumamos
con la segunda ecuacin. 4x2y+ 2z=2x + 4y+ 2z=1+Se obtiene 5x+2y+
4z=1.(***)Las ecuaciones que se obtienen (*), (**) y (***) son
equivalentes a las primeras.Entonces, podemos indicar que las
proposiciones I y III del problema coinciden con (*) y (***); en
cambio,IInocoincidecon(**);entonces,no podemos agregarlo al
sistema.RespuestaPodemos agregar las ecuaciones I y III.
ALTERNATIVACPregunta N. 16En relacin a un programa lineal, indique
la se- cuenciacorrecta,despusdedeterminarsila proposicin es
verdadera (V) o falsa (F):I.Las condiciones de no negatividad
significan que todas las variables de decisin deben ser
positivas.II.El nmero de puntos extremos de la regin admisible es
finito.III.Enunprogramalinealpuedenvariarselos
coeficientesdelafuncinobjetivayan mantenerse la solucin ptima.A)
VFVB) FFFC) FFVD) FVVE) VFFResolucinTemaProgramacin linealAnlisis y
procedimientoEn el problema debemos recordar las definiciones
bsicas de programacin lineal.I.FalsoSi x, y son variables de
decisin, entonces por la condicin de no negatividad se cumple que x
0; y 0II.VerdaderoPueselnmerodevrticesdetodaregin factible es
finito.III.VerdaderoPuesdadalareginfactibleSylafuncin
objetivof(x;y)=ax+by+c.Supongamos que(x1;y1)Seslasolucinptimadel
problema,entoncespuedesertambin solucin ptima de g(x; y)=cx+dy+k.
12unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJORespuestaLa secuencia correcta es
FVV. ALTERNATIVADPregunta N. 17Seala sucesina1=0, a2=1,a a a3 4
5123458= = = , , ;a a a6 7 8111621324364= = = ; ; ;...,entoncesla
sucesin {an} converge a:A) 712B) 58C) 23D) 1E)
ResolucinTemaSucesiones realesAnlisis y procedimientoPor dato se
tiene a1; a2; a3; a4; a5; a60;1; 12 34581116; ...Mltipliquemos por
3 y dividimos entre 3 a cada trmino. v130 332941583316; ; ; ; ; ;
...1302 122 122 122 122 121 21324356; ; ; ; ; ; ...+ + +Entonces,
tenemos la regla de formacina nnn -
,(
(((1321222;Tomando lmite:021321223lm lmnnnNa- - -
,(
,((
((( Es decir, {an} converge a 023.Respuesta[an] converge a 023
ALTERNATIVACPregunta N. 18Enuncolegioel60%aprobaritmtica,el32%
aproblgebraylosqueaprobaronaritmticay lgebra representan el 60% de
los que no aprobaron ningunodelosdoscursos.Si42aprobaron aritmtica
y lgebra, calcule el nmero de alumnos del colegio.A) 340B) 350C)
360D) 370E) 380ResolucinTemaConjuntosAnlisis y procedimientoLos
datos del problema representaremos grfica-mente mediante los
conjuntos.Por dato42=60%(8%N+42) N=35013unI 2010 -ISolucionario de
MatemticaRespuestaLa cantidad de alumnos del colegio es 350.
ALTERNATIVABPregunta N. 19Dadas las funcionesf={(3; 1), (2; 3), (5;
0), (4; 4), (1; 1)},g={( 4; 3), ( 2; 7), (0; 0), (1; 5), (2; 1)}
yh= {(1; 4), (3; 2), (5; 0), (7; 2)}.Determine la funcin compuesta
f o g o h.A) {(1; 0), (5; 1)}B) {(3; 3), (5; 4)}C) {(1; 1), (7;
1)}D) {(1; 1), (2; 3)}E) {(3; 1), (7; 1)}ResolucinTemaComposicin de
funcionesAnlisis y procedimientoPara la resolucin del problema
haremos uso del diagrama sagital.De la figura se deduce que la
funcin f g h o o = ( ) ( ) { }1 1 71 ; , ;RespuestaLa funcin
compuesta f o g o h es1 1 71 ; , ; . ( ) ( ) { }
ALTERNATIVACPregunta N. 20Considere la ecuacin matricialX1 32 74 01
2 =, donde X es una matriz.Calcule det(X).A) 6B) 7C) 8D) 11E)
19ResolucinTemaDeterminantesAnlisis y procedimientoReferencia y/o
contextoParalaresolucindelproblemaaplicamosla siguiente
propiedad:Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
|AB|=|A| |B|.Por dato se tiene que X1 32 74 01 2 = =X1 32 74 01 2
X1 32 74 01 2=|X| 1=8\|X|=8RespuestaEl determinante de la matriz X
es 8. ALTERNATIVAC14unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOPregunta N.
21Halle la medida del ngulo b indicado en la figura mostrada, donde
las rectas L1 y L2 son paralelas.A) 51B) 53C) 55D) 57E)
59ResolucinTemangulos determinados entre rectas paralelasAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoPara calcular la medida del
ngulo determinado entre rectas paralelas, podemos citar los
siguientes teoremas: L L 1 2// = + x L L 1 2180 // + + + = Dato: L
L 1 2//Indicando las medidas de los ngulos en A y B, aplicamos el
teorema:70+b+35+22=180\b=53RespuestaLa medida b es 53.
ALTERNATIVAB15unI 2010 -ISolucionario de MatemticaPregunta N. 22En
un tringulo ABC, denote por I al incentro y por O a la interseccin
de la bisectriz interior del ngulo A con la bisectriz exterior del
ngulo C. Si mAIC+ mCOA=150, halle mCOA.A) 20B) 25C) 30D) 35E)
40ResolucinTemaTringulosAnlisis y procedimientoReferencia y/o
contextoMedidas angulares determinadas por bisectricesA
Cqaaa2bbqIOBDato: m +m
AIC COAa b= 150+ =150IEn el IOC:b+90=aIIDe
I+II2b=60b=30mCOA=b=30RespuestaLa medida del ngulo COA es 30.
ALTERNATIVACPregunta N. 23En un cuadriltero ABCD, las
prolongaciones de los lados BA y CD se intersecan en M (A BM)
ylasprolongacionesdelosladosADyBCse intersecan en N (C BN). Si los
ngulos BAD y BCD miden 70 y 80 respectivamente, determine el ngulo
que forman las bisectrices interiores de los ngulos AMC y ANC.A)
90B) 100C) 105D) 110E) 115ResolucinTemaCuadrilteros y medidas
angulares determinadas por bisectrices.Anlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoxabbb
qqSegnelsiguientegrficopodemosrecordarel siguiente teorema para el
clculo de x: xa b=+216unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOPiden xDatos
mBAD=70mBCD=80QM y NQ: lneas
bisectricesbbqqAQCNDBx11080M100Indicando las medidas de los ngulos
en A y C, aplicamos el teorema: x =+ 110 1002 x=105RespuestaLa
medida del ngulo entre las lneas bisectrices es 105.
ALTERNATIVACPregunta N. 24EnlafiguramostradacalculeBF(encm),siel
lado del cuadrado mide2 3 +( )cm.A) 12B) 22C) 32
AC BDR RFD) 1E)2ResolucinTemaCircunferenciaAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoEn los problemas, cuando se
tiene una circunfe-rencia, se debe tener en cuenta que la distancia
del centro a cualquier punto de esta es constante e igual al
radio.Tringulo notable de 15 y 75.1575(2+ )a 3a2a a 330602aa15Piden
x.Del grfico tenemos lo siguiente:ASD es equiltero mSDA=60SDC es
isscelesmSCD=75 FBC: notable de 15 y 75A DB CSFR RR R3 2+7515x3060
RR x=1RespuestaEl valor de BF (en cm) es 1. ALTERNATIVAD17unI 2010
-ISolucionario de MatemticaPregunta N. 25En el tringulo issceles
ABC (AB=BC=10 cm), lacevianaAN(N BC)cortaalaaltura BM(M
AC)enelpuntoP.SiAC=16 cm yBN=2 cm,determineelreadelaregin
triangular APB (en cm2).A) 6B) 7C) 8D) 9E) 10ResolucinTemareas de
regiones triangularesAnlisis y procedimientoReferencia y/o
contextoPor relaciones de reas de regiones triangulares, al trazar
una ceviana en un tringulo:AA12= mnm nA1A2ABC Py al trazar una
bisectriz interior:Teorema de la bisectriz
interiormnca=EntoncesAA12= =mncam nA1A2ABCa
acaEnelproblemasepidecalcularelreadela regin APB.Como ABC es
issceles, AM=MC=8 y ABM (notable 53): BM=6a5SS24S 5kkaA
CBM86N82810PPor relacin de reas en ABN tenemos AAABPPBNABBN= =
51Sea A PBN=S.Entonces, A ABP=5S.Se observa NC=4BN, entoncesA
ANC=4A ABN=24S y A ABC=30S= 16 62Entonces, S = 85.Se pide A
ABP=5S=8 cm2.RespuestaEl rea de la regin triangular ABP es 8 cm2.
ALTERNATIVAC18unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOPregunta N.
26EnuntringuloABC,sobrelaprolongacin
deACsetomaelpuntoDdetalformaque 4mBAC=mCDB.Si 5mBAC=mACB,BD =103cm
y CD = 20310cm, halle AC (en cm).A) 10 3 B) 20C) 12 3D) 22E) 13
3ResolucinTemaSemejanza de tringulos Anlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoSe emplea la propiedad de las
antiparalelasaa ba=ab2De los datos: mCBD=aTambinBD =103 CD =
20310Piden AC.Empleamos la propiedad en ABD. 103203102= a5aaABC
D4a10320310Pero 10320310203102= +Luego, = + = + 2031020310 AC
.Entonces, AC=20.RespuestaPor lo tanto, AC en centmetros es 20.
ALTERNATIVABPregunta N. 27Halleelpermetrodelaseccinquedetermina un
plano secante a un tetraedro regular ABCD, sabiendo que pasa por
los puntos medios de AD y CD y es paralelo a BD (a: longitud de la
arista del tetraedro regular).A) a/2B) aC) 3/2aD) 2aE)
5/2aResolucinTemaPoliedros regulares19unI 2010 -ISolucionario de
MatemticaAnlisis y procedimientoReferencia y/o
contextoParapoderdeterminarseccionesplanas,esne-cesario conocer los
teoremas para determinar un plano, y uno de los criterios es la
determinacin de un plano por 2 rectas paralelas.Datosa: longitud de
la aristaM y N: puntos medios de AD y
CD.606060ABCDa/2a/2a/2a/2a/2a/2NMRSa/2a/2a/2a/2a/26060a/260606060606060Se
trazan MR y NS paralelos a BD.Luego, se observa que las regiones
ARM, RBS, CNS y MND son equilteras,
entoncesMR=RS=SN=MN=a2Porlotanto,elpermetrodelareginplana
determinada en el tetraedro regular es 2a.RespuestaEl permetro de
la regin plana es 2a. ALTERNATIVADPregunta N.
28Enunacircunferenciaderadio6 cm,setiene que la longitud de arco de
un ngulo centrala es 1 y la longitud de arco de un ngulo central
bes2.Si 1 23 = ylosngulosaybson complementarios, halle el valor del
mayor ngulo.A) 50B) 55C) 60D) 65E) 70ResolucinTemaLongitud de la
circunferenciaAnlisis y procedimientoReferencia y/o contextoUsamos
el resultado de Arqumedes para calcular la longitud de la
circunferencia.=2 rDatos: 1 23 = + =2Piden 6b1266aPor longitud de
arco, se tiene1=6y2=6b20unI 2010 -IAcademia CSAR
VALLEJOReemplazamos del dato 6 63 = , =18Luego, del dato inicial
tenemos + =2y =18Operamos 21018= =50RespuestaLa medida del mayor
ngulo es 50. ALTERNATIVAAPregunta N. 29En un tringulo, el rea de la
regin circular deter-minada por la circunferencia inscrita es 9 u2.
Si el rea de la regin triangular es 9 2 2222+( )u,determine el
permetro del tringulo.A)61 2 +( )uB)61 2 2 +( )uC)62 2 +( )uD)62 2
2 +( )uE)63 2 2 +( )uResolucinTemareasAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoUsamos el teorema de Euler para
calcular el rea de una regin triangular en funcin del inradio y el
semipermetro.rBC ASea 2p: permetro de la regin triangular
ABC.Dato:r2=9; luego r=3.Dato:AABC = 922 2926 4 222 2+( )= +( )u
u
Como A ABC=p r, entonces 3926 4 2 p = +( ) u 2 63 2 2 p = +( )
uRespuestaEl permetro es 2 63 2 2 p = +( ) u. ALTERNATIVAEPregunta
N. 30Considere un embudo compuesto por un tronco deconodealtura12
cmyradiosdesusbases 5R cm y R cm y un cilindro de radio R cm y
altura 5 cm. Si el embudo puede contener 129 cm3 de agua, halle R
(en cm).A)0,5B)1C)1,5D)2E)2,521unI 2010 -ISolucionario de
MatemticaResolucinTemaSlidos geomtricosAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoPara el clculo de volmenes de
slidos geom-tricos se deben conocer las longitudes de algunos
elementos; por ejemplo:V = Rg2RgV = + +[ ]hR r Rr32
2hRr12cm5cmRR5RPiden R.Del grfico tenemosVembudo=129cm3Vtronco de
cono+Vcilindro=129 1235 5 5 1292 22R R R R R( )+( )+( )( ) +(
)=124R2+5R2=129129R2=129R2=1\R=1RespuestaEl valor de R en
centmetros es 1. ALTERNATIVABPregunta N.
31SobreunrectnguloABCD,desdeunpunto exterior P, se traza el
segmento PB perpendicular al plano ABC, M y N son los puntos medios
de los segmentos AD y DC respectivamente.Si AB=PB, BC=4 y AB=2,
entonces la medida del diedro P MN B es:A) arctan 5(
)B)arctan52C)arctan53D)arctan54E) arctan5522unI 2010 -IAcademia
CSAR VALLEJOResolucinTemangulo diedroAnlisis y
procedimientoReferencia y/o
contextoHaremosusodelteoremadelastresperpendi-culares.1DCABP1TSbqMbb22N112DatosPB
ABCDM y N: puntos mediosDelgrficoenelpuntoT,podemosindicarla medida
del ngulo diedro. = tan2BT (I)Del grficotan = =12532 ABS y STM:
not532 : de donde AS=1ySM=1Luego,BT = 6 55 en (I):tan =53
=arctan53RespuestaLa medida del ngulo diedro esarctan53.
ALTERNATIVACPregunta N. 32Labasedeunastadebanderaesdeconcreto
yestformadapordosprismashexagonales
regularesconcntricospuestosunosobreotro. El primero tiene 1,20 m y
el segundo 0,80 m de lado; la altura de cada uno de ellos es 0,30
m. Si ambos prismas tienen un hueco central cilndrico de radio de 8
cm, entonces la cantidad de con-creto utilizado para construir esta
base (en m3) es aproximadamenteA) 1,55B) 1,57C) 1,59D) 1,61E)
1,63ResolucinTemaPrisma regular y cilindro de revolucinAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoRecordemos que el volumen tanto
del prisma re-gular y cilindro de revolucin se calculan como el
producto del rea de la base y su respectiva altura.Dato:El radio de
la base del hueco cilndrico es 8 cm que equivale a 0,08 m.Sea VT:
volumen totalVT=VP(1)+VP(2)
Vcilindro0,080,80,31,20,60,3P2P10,0823unI 2010 -ISolucionario de
MatemticaEntonces VT =( ) + 1 2 346 0 30 8 34622,,( , )0,3
(0,08)20,6Consideramos 3 1 73 3 14 = = , , y VT=1,12104+0,49824
0,0120576VT=1,6072 Aproximamos, VT=1,61RespuestaLa cantidad de
concreto utilizado en m3, aproxi-madamente, es 1,61.
ALTERNATIVADPregunta N. 33EnuntringuloABC,a=sen27;c=cos26,
m(A+C)=15330ysen 17400= .Calcule
elreaaproximadadelareginlimitadaporel tringulo ABC (en u2).A) 97
54000B) 107 54000C) 117 54000D) 227 54000E) 327
54000ResolucinTemaTransformaciones trigonomtricasAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoA CBc abS: rea de la regin
triangular ABC S = ac2senEn el problema tenemosA CB26 30sen27 cos
26 S = 1227 26 26 30 sen cos sen ' S = ( )142 27 26 26 30 sen cos
sen ' S = +( )1453 1 26 30 sen sen sen 'Dato: sen 17400= S =
+1445740055 S =32780005RespuestaEl rea aproximada es 32780005.
ALTERNATIVANCPregunta N. 34Determine la suma de todas las
soluciones que se encuentran en el intervalo [0; 2] de la ecuacin
2sen3x+sen2x 2senx 1=0.A) 5B) 52C) 3D) 32E) 3424unI 2010 -IAcademia
CSAR VALLEJOResolucinTemaEcuaciones trigonomtricasAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoFactorizacinCircunferencia
trigonomtricaFactorizamos la ecuacin:2 2 1 03 2sen sen sen x x x +
=
;0 x 2sen2x(2senx+1) (2senx+1)=0(2senx+1)(sen2x 1)=0I.sen ; x x
= =1276116 II. sen x x = = 12III.sen x x = = 132Entonces,
x1+x2+x3+x4=5.RespuestaLa suma de soluciones es 5.
ALTERNATIVAAPregunta N. 35Calcule el valor de:E =( ) arc sen cos
2335A) 13B) 11C) 9D) 7E) 5ResolucinTemaFunciones trigonomtricas
inversasAnlisis y procedimientoSe aplicar la propiedad arc
sen(sen)= 2 2;PidenE= 2arc sen cos335E= 2arc sen cos 35 E= 2arc
sensen 10E=210 E= 5RespuestaEl valor de E es 5.
ALTERNATIVAEPregunta N. 36CuandoelngulodeelevacindelSolesde 60, un
poste inclinado en 15 desde la vertical proyectaunasombrade20
m.Determinela longitud del poste.A) 26,1B) 25,5C) 24,5D) 23,2E)
22,5ResolucinTemaTeorema de senos y cosenosAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextongulos verticalesTringulos
notables25unI 2010 -ISolucionario de MatemticaConsideramos el
siguiente caso:4560 752015lneaverticalFP
AxEneltringuloAFP,medianteelteoremade senos tenemos xsen sen 602045
= = x20 6045sensen x=24,5 mRespuestaLa longitud del poste es 24,5
m. ALTERNATIVACPregunta N. 37Despusdeunarotacindeejes,laecuacin 5x2
8xy+5y2 9=0 representa una elipse cuyos focos tienen como
coordenadas F1(a; b), F2(c; d). Calcule ac+bd.A) 2B) 3C) 4D) 6E)
8ResolucinTemaTraslacin y rotacin de ejesAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextoClculo del ngulo de giro ():Si
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0cot 2 = A CBEcuaciones de rotacin de ejes:
x=x'cos y'sen y=x'sen+y'cosDatos: 5x2 8xy+5y2 9=0 (I)Focos: F1(a;
b); F2(c; d)De la ecuacin tenemosA=5;B= 8yC=5Calculamos el ngulo de
giro (): cot cot 2 25 580 = ==A CB Establecemos que 2=90
=45Aplicamos las ecuaciones de rotacinx=x cos ysenx=22 ( ) x y '
'(II)y=x sen+ycosy=22 + ( ) x y ' ' (III)Reemplazando (II) y (III)
en (I) obtenemos(x)2+9(y)2=9 x y ' '( )+ ( )=22223 11Se tiene
quea=3 y b=126unI 2010 -IAcademia CSAR VALLEJOdebido(a)2=(b)2+(c)2
c= 2 2Graficamos la elipse xy''( )+ ( ) =22231Los focos se
denotanF1( c'; 0)yF2(c'; 0)XYxq=45F c d2( ; )F a b1( ; )X'Y'Se
observa queF1(a; b)=F1( c'; 0) a= c'; b=0F2(c; d)=F2( c'; 0) c= c';
d=0Piden ac+bd.ac+bd=( )( )2 2 2 2 +(0)(0)\ac+bd= 8RespuestaEl
valor de ac+bd es 8. ALTERNATIVAEPregunta N. 38Si A, B y C son los
ngulos agudos de un tringulo, calcule el valor de la siguiente
expresin:FA B CA B C=+ + sen sen sensen sen sen2 2 2A) 0 B) 1 C)
2D) 4 E) 8ResolucinTemaTransformaciones trigonomtricasAnlisis y
procedimientoReferencia y/o contextosen sen 2sen2 2 + =+ coscos cos
2sen2sen2 = + sen2=2sencosSi A+B+C=180 sen(A+B)=senCycos(A+B)=
cosCPiden FA B CA B C=+ + sen sen sensen sen sen2 2 2 FA B A B CA B
C=+ + 2 2 sen( )cos( ) sensen sen sen FC A B C CA B C= + 2 2 sen
cos( ) sen cossen sen senFactorizando obtenemos FC A B CA B C= + [
] 2sen cos( ) cossen sen senPor reduccin al primer cuadrante se
tiene FC A B A BA B C= + [ ] 2sen cos( ) cos( )sen sen sen27unI
2010 -ISolucionario de MatemticaTransformamos FC A BA B C= [ ] 2 2
sen sen sen( )sen sen sen FA B CA B C= 4 sen sen sensen sen
sen\F=4RespuestaPor lo tanto, el valor de F es 4.
ALTERNATIVADPregunta N. 39De un crculo de papel de radio 10 cm se
corta un sector circular POQ y pegando los bordes OP y OQ se
obtiene un envase cnico.Calcule el ngulo del sector POQ para que el
envase tenga una profundidad de 8 cm.A) 23B) 56C) 65D) 43E)
85ResolucinTemaLongitud de arcoAnlisis y procedimientoReferencia
y/o contextoDado un sector circular, generamos un cono de altura de
8 cm.10cm10cmqPQLO8cm6cm 6cmPO10cm 10cmLQAl desarrollar el cono
L=2(6 cm).L=12 cmDel primer grficoL=10 cmReemplazando obtenemos 12
10 cm cm = = 65RespuestaLamedidadelnguloexpresadoenradianes es 65.
ALTERNATIVACPregunta N. 40Simplificando la expresin siguiente:K =
+tan tan tan tan tan 343 107197 73163se obtiene:A) tan 17 B) cot 17
C) tan 34D) tan 51 E) cot 3428unI 2010 -IAcademia CSAR
VALLEJOResolucinTemaReduccin al primer cuadranteAnlisis y
procedimientoPiden K = +tan tan tan tan tan 343 107197 73163 K = +
+tan( ) tan( )tan( ) tan 360 17 180 73180 17 73((tan( )) 180 17 K
=++tan tan tan tan ( tan )17 7317 7317\K= tan
17RespuestaSimplificando la expresin K se obtiene tan17.
ALTERNATIVAA
