Upload
pal4dreamnet
View
240
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
www.pal4dream.net
Citation preview
�U??O{U�d�«
w½U¦�« ¡e?'«
Íu�U��« w�U��« n?BK�
wLKF�«
WO�UŽ bL×� Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎ UI�M�ò nÝu¹ rOŠd�« b³Ž s�Š Æœ
qL'« nÝu¹ bL×� Æ√ `�U� bL×� Æœ r$ wLKŠ bL×� Æ√
W½UHŽ ËeŽ Æœ
ÊuH�R*«
5D�K� W�˜
w�UF�« rOKF��«Ë WO�d��« …—«“Ë
5D�K� W�Ëœ w� w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë —d�
Â≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—b�« ÂUF�« s� Î «¡bÐ UNÝ—«b� w� wLKF�« Íu½U¦�« w½U¦�« nBK� UO{U¹d�« »U²� f¹—bð
ÂUF�« ·«d?ýù«
hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z?¼UM*« W?M' fOz—
5ÝU¹ Õö� Æœ ∫Z¼UM*« e�d� ÂUŽ d¹b�
Z¼UM*« e�d�
hL(« uÐ√ dLŽ Æœ ∫ÍuÐdð ·«dý≈
WOMH�« …dz«b�«
…dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈
ÍËUL×� ‰UL ∫WŽU³DK� VÝu;« œ«bŽ≈Ë rOL?Bð
ÊUŠdÝ ÊU�ž ¡«dOÝ ¨d�UŽ œuL×� dLÝ ¨w�¹b�« Í“u� ÊUNLÝ√ ∫bOCMð
UO{U¹d�« ÃUNM* wMÞu�« o¹dH�«
—UH�« “UMNý jO³{ ”UO�« Æœ åÎ UI�M�ò bF�� 5D� Æœ
dÐUł U½UO� WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ
pA qz«Ë q³I� bL×� Ê«bLŠ bL×� Æœ
∫W×IM*« W��M�« ¡«dŁ≈ o¹d�
…bFÝ uÐ√ qOLł Æ√ ∫ÂUŽ ·«dý≈
…dŽUOÝ bLŠ√ …dłU$ bFÝ√ `�U� bL×� Æœ
W½U³ý fO� lOЗ vN²M� w�UF� qOLł
WOd���« WO�U��« WFD�«
?¼ ±¥≥± Ø Â ≤∞±∞
Z¼UM*« ed�Øw�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“u� WþuH×� l?³D�« ‚uIŠ lOLł
WM¹b*« ed� WNł s� 5LO�« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√≠b¼UF*« Ÿ—Uý≠ÊuOB*« wŠ≠ Z¼UM*« ed�
5D�K� ≠ tK�« «— ≠ ∑±π »Æ ’
´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fU� ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥μ∞ ÊuHKð
[email protected] ∫w½Ëd²J�ô« Ê«uMF�« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²J�ô« W×HB�«
b?ONL�
oOIײ� ªWOMOD�KH�« WO�uB)« wŽ«d¹ ÃUNM� l{Ë …—Ëd{ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë √—
ÎU ÒLN� ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD�K� ÃUNM� ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA�« 5Ð t½UJ� cšQ¹ v²Š wMOD�KH�« VFA�« UŠuLÞ
…«œ√Ë ¨w½U�½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1b�«Ë rOI�« aOÝd²� Î UÝUÝ√Ë ¨wMOD�KH�« VFAK� WOMÞu�« …œUO��« ¡UM³�
Æ…—«“uK� WO�L)« WD)« ΔœU³� UN²�Ý— w²�« W�«b²�*« W¹dA³�« œ—«uLK� WOLMð
w�uð «c� ªlL²−*« ·«b¼√ oIײð UN�öš s� w²�« ¨rOKF²K� W�Ozd�« WKOÝu�« t½√ w� ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË
v�Ë_« …«œ_«Ë ¨rKF²K� jOÝu�« —bB*« t½_ ªÃUNM*« d�UMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²J�UÐ W�Uš W¹UMŽ …—«“u�«
rKF²�«Ë ¨WOK;« W�UI¦�«Ë ¨»uÝU(«Ë ¨X½d²½ù« ∫rKF²�« qzUÝË s� ÁdOž v�≈ W�U{≈ ¨V�UD�«Ë rKF*« bOÐ
Æ…bŽU�*« jzUÝu�« s� U¼dOžË ¨ÍdÝ_«
X Ół=uÔð w²�« ¨©±≤≠±® WOÝ—b*« V²J�« lOLł nO�Qð WKŠd� ÂU9SÐ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë X�U bI�
l�¨wMI²�«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U�½ù« ÂuKF�«Ë¨ wLKF�« ∫tŽËd� lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦�« w½U¦�« nB�« V² oO³D²Ð
«uM��« w� WK�Uýd¹uDð WDš cOHMðvKŽ ÎUO�UŠ …—«“u�« qLFðË Æ©≤∞∞∑ Ø ≤∞∞∂®wÝ«—b�« ÂUF�« W¹«bÐ
¨©±≤≠±®·uHBK� V²J�« lOLł WFł«d�® W¹d¹uDð WDA½√∫w¼Ë¨ ôU−� WFЗ√ wDGð ¨W�œUI�« Àö¦�«
Z¼UM* WOKOK%Ë WO1uIð UÝ«—œ® WOK³I²�� WDA½√˨©WMOF*« qzUÝu�«Ë rKF*« W�œ√® WO�ULJ²Ý« WDA½√Ë
UJ³A�« ‰U−� w� WO²×²�« WOM³�« lOÝuð® W¹“«u� WDA½√Ë ¨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI�√ YŠU³*« lOLł w� Àö¦�« qŠ«d*«
Æ©W�UF�« W¹u½U¦�« ÊUײ�« WO�¬ 5�%Ë ¨w½Ëd²J�ù« rOKF²�«Ë
…eO— ÎUÐU² ¥μ∞ »—UI¹ U¼œbŽË ¨dAŽ wMŁô« ·uHBK� e$√ w²�« rKF*« W�œ√Ë WOÝ—b*« V²J�« bFðË
ªwIDM�Ë qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ U�uKF�Ë ·—UF� s� tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²�«Ë rOKF²�« WOKLŽ w� WOÝUÝ√
VO�UÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu�«Ë ¨f¹—b²�« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýR� sLC²ð ¨WŽuM²� «d³š dO�u²�
ÆÁöŽ√ …—uc*« WO�L)« WD)« ΔœU³� l� ¡ö²ðË ¨.uI²�«
Êu�uI¹ s¹c�« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²�« W—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²J�« WFł«d� r²ðË
w ªd¹uD²�«Ë q¹bF²K� WKÐU WO³¹d& UF³Þ WFЫd�« v�≈ v�Ë_« s� UF³D�« …—«“u�« ÈdðË ¨UN�¹—b²Ð
wMOD�KH�« wÝ—b*« »U²J�« WLO Ê≈ Æ…UO(« «—UN�Ë włu�uMJ²�«Ë wLKF�« ÂbI²�« w� «dOG²�« l� ¡ö²ð
V²J�« œ«bŽ≈ ‰U−� w� 5BB�²*« s� sJ2 œbŽ d³√ W—UA� s�Ë ¨œuNł s� tO� ‰c³¹ U� —«bI0 œ«œeð
WO−NM0 ¨WFł«d*« s� WFÝ«u�« UOKLF�« ‰öš s� ¨rOKF²�« w� ÎUÒ¹d¼uł Î «dOOGð ÊuŁb×¹ s¹c�« ¨WOÝ—b*«
ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc�« sÞu�« w�dÞ w� ëdšù«Ë nO�Q²�« w�U−� w� Z¼UM*« ed� UN�Ý—
ULEM*«Ë U�ÝR*« v�≈ d¹bI²�«Ë dJA�« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF�¹ô w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë Ê≈
ÆZ¼UM*« ŸËdA* w�U*« UNLŽb� ªUJO−KÐ W�uJŠ W�U�ÐË WI¹bB�«Ë WOÐdF�« ‰Ëb�«Ë ¨WO�Ëb�«
w�¹—U²�« wMÞu�« qLF�« «c¼ “U$≈ w� X—Uý w²�« ¨WOMÞu�« W¹uÐd²�« «¡UHJ�UÐ d�H²� …—«“u�« Ê√ UL
¨…eOL*« r¼œuN−Ð rN²—UA� vKŽ r¼dJAðË ¨WOÝ—b*« V²J�« œ«bŽSÐ ÂuIð w²�« ¨W¹uÐd²�« ÊU−K�« ‰öš s�
5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5H�R*«Ë ¨—«dù«Ë ¨Z¼UM*«ed�Ë ¨W¹—«“u�« Z¼UM*« ÊU' qLAðË ¨tFu� V�Š yq
s� WOÝ—b*« V²J�« ¡«dŁ≈ w� 5—UA*«Ë ¨5FÐUD�«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5�UÝd�«Ë ¨5LLB*«Ë ¨qLF�« Uý—uÐ
ÆoO³D²�« ¡UMŁ√ Ê«bO*«
w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë
Z¼UM*« e?�d�
WOLKF�« YŠU³LK� W�UF�« …—«œù«
 ≤∞±∞ ÊU�O½
W bI
ÆÆÆ bFÐË 5*UF�« »— tK� bL(«
nBK� UO{U¹d�« »U² s� w½U¦�« ¡e'« ¡«eŽ_« UM²³KD�Ë ¨ ULKF*«Ë 5LKF*« UMzö�e� ÂbI½ Ê√ U½d�¹
wMOD�KH�« ÃUNM*« WDš sL{ UO{U¹d�« Y׳* W�bF*« WC¹dF�« ◊uD)« o�Ë ¨wLKF�« Íu½U¦�« w½U¦�«
ƉË_«
Æ ôUL²Šô«Ë ¨WOÞËd�*« ŸuDI�«Ë ¨tðUIO³DðË q�UJ²�« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ ¡e'« «c¼ qL²A¹
q�UJ²�«Ë ¨ÊU1— ŸuL−�Ë Wze−²�«Ë ¨œËb;« dOž q�UJ²�« UM�b ©tðUIO³DðË q�UJ²�«® WFЫd�« …bŠu�« w�
œËb;« q�UJ²�« UIO³DðË ¨q�UJ²�« ‚dÞË ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�«Ë ¨t�«ušË œËb;«
ÆWO½«—Ëb�« Âu−(«Ë UŠU�*« w�
¨bz«e�« lDI�«Ë ¨hUM�« lDI�«Ë ¨T�UJ*« lDI�« s� ö UM�b ©WOÞËd�*« ŸuDI�«® W��U)« …bŠu�« w�Ë
Æ»U×�½ô« l{Ë w�Ë wÝUOI�« l{u�« w�
dOG²*«Ë ¨eOÐ W¹dE½Ë ‰öI²Ýô«Ë ◊ËdA*« ‰UL²Šô« UM�b © ôUL²Šô«® WÝœU��« …bŠu�« w�Ë
ÆwFO³D�« l¹“u²�«Ë ¨s¹b(« «– l¹“uðË ¨ULNFuðË qB²*«Ë qBHM*« wz«uAF�«
¨WOLKF�« Wb�« vKŽË ¨ U¹dEM�«Ë rO¼UHLK� wIDM*« q�K�²�« vKŽ UM�dŠ bI� ¨»uKÝ_« YOŠ s� U�√
l� WŽuM*« WK¦�_«Ë WO×O{u²�« ÂuÝd�« p�– s� ÎôbÐ U½bL²Ž«Ë ¨ U¹dEM�« 5¼«dÐ vKŽ bz«“ eOdð ÊËœ
ÆsJ�√ UL¦OŠ ¨q×K� W�UŽ UO−Oð«d²Ý« l{Ë
qC�√ oOIײ� …œ«e²Ýô«Ë oLF²�«Ë W�dF*« vKŽ ’d(« q ÊuB¹dŠ W�UF�« W¹u½U¦�« W³KÞ Ê√ UM²ŽUMI�Ë
s¹—UL²�« s� WŽuL−0 …bŠË q UMF³ð√ ¨WOF�U'« rNðUÝ«—b� Î «bON9 W�UF�« W¹u½U¦�« ÊUײ�« w� ZzU²M�«
w� …œ—«u�« «—UN*«Ë 5½«uI�«Ë ULOLF²�«Ë rO¼UH*« wDGð w²�« WO�UI*«Ë WOŽu{u*« WŽuM*« WK¾Ý_«Ë
ÆÀö¦�« «bŠu�« œuMÐ s� bMÐ q W¹UN½ w� qzU�*«Ë s¹—UL²�« v�≈ W�U{ùUÐ ¨…bŠu�«
5LKF�Ë ¨ U�dA�Ë 5�dA� ¨Ê«bO*« w� UMzö�“ s� ÂbI²½Ë ¨ÕU$Ë oO�uð q W³KD�« UMzUMÐ_ vML²½
¨d¹bI²�«Ë «d²Šô« qJÐ ¨»U²J�« «c¼ «œu�� ¡«dŁ≈ w� «u—Uý s¹c�« sÞu�« UE�U×� lOLł s� ¨ ULKF�Ë
‚b� qJÐ rNNOłuðË ¡«eŽ_« UM²³KÞ rOKF²Ð WKO³M�« rNðdO�� ‰UL≈ w� rNI�u¹ Ê√ qłË eŽ v�u*« 5KzUÝ
…b¹bł WF³Þ —«b�ù cOHM²�« l{u� »U²J�« l{Ë bFÐ Z¼UM*« ed* WFł«d�« W¹cG²�« .bIðË ¨t½U�√Ë
ÆW×IM�
oO�u²�« w�Ë tK�«Ë
ÊuH�R*«
U???¹u??²;«
W��U��« …b?Šu�«
WÝœU��« …b?Šu�«
W??FЫd�« …b?Šu�«t?ðUIO³DðË q???�UJ²�«
≥
œËb;« dOž q�UJ²�« ±≠¥
∏ ÊU1— ŸuL−�Ë Wze−²�« ≤≠¥
±¥
œËb;« q�UJ²�« ≥≠¥
±∏
œËb;« q�UJ²�« hzUBš ¥≠¥
≤≤
q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�« μ≠¥
≤∏ WOFO³D�« WOÝ_«Ë W?OL²¹—UžuK�« U½«d²�ô« ∂≠¥
≥¥ q????�UJ²�« ‚d???Þ ∑≠¥
¥μ
œËb;« q�UJ²�« UIO³Dð ∏≠¥
μ∂
W�UŽ s¹—U9
W?OÞËd�L�« Ÿu?DI�«
∂± WOÞËd�*« ŸuDI�« μ
∂≤ T�UJ*« lDI�« ±≠μ
∂∑ h�U?M�« l?DI�« ≤≠μ
∑≤ b???z«e�« l???DI�« ≥≠μ
∑∂ W�UŽ s¹—U9
ôUL²Šô«
∑π qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« ±≠∂
∏μ s¹b(« Ë– l¹“u²�« ≤≠∂
π∞ qB²*« wz«uAF�« dOG²*« ≥≠∂
π¥ wFO³D�« l¹“u²�« ¥≠∂
±∞∞ W�UŽ s¹—U9
±∞≤ wL�«d²�« Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł ∫o×K�
±∞¥
lł«d*«
≤
t?ðUIO³DðË q???�UJ²�« ¥
…b???????Šu???????�«
”
’
»
©”® Ω ’
≥
(Indefinite Integral) œËb;« dOž q�UJ²�« ±≠¥
WI²A*« UM�b�²Ý«Ë ¨ÂuKF� Ê«d²�ô v�Ë_« WI²A*« œU−¹≈ ÎUÝUÝ√ X�ËUMð w²�« q{UH²�« WOKLŽ o³Ý ULO UMdFð
ªtOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ÂuKF� Ê«d²�« vM×M* ”UL*« qO�Ë ¨„dײ� r' WOE×K�« WŽd�« œU−¹≈ UNM� …dO¦� UIO³Dð w
vLðË ¨v�Ë_« t²I²A� XLKŽ Íc�« Ê«d²�ô« œU−¹≈ Í√ ¨q{UH²�« WOKLF� WOJF�« WOKLF�« ·dF²MÝ bM³�« «c¼ wË
wL½ UM½S ¨o²A*« Ê«d²�ô« ÂuKF� Ê«d²�« q{UHð sŽ "UM�« Ê«d²�ô« UMOLÝ UL�Ë Æq�UJ²�« WOKLŽ WOKLF�« Ác¼
u¼ ≥” Ê«d²�ô« Îö¦L ¨©WI²A*« fJŽ Ë√® WI²ALK� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« v�Ë_« t²I²A� XLKŽ Íc�« wK�_« Ê«d²�ô«
Æ«cJ¼Ë ¨”U²ł Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ ”Uł Ê«d²�ô«Ë ¨≤”≥ Ê«d²�ö� ©WI²A*« fJŽ Ë√® wz«bÐ Ê«d²�«
∫ÂUŽ tłuÐ
∫n¹dFð
Æ©”® Ω ©”®Ó ÊU� «–≈ ©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ U½«d²�« ©”®Â Ê«d²�ô« vL¹
Æ©”® Ê«d²�ö� WOz«bÐ U½«d²�« WŁöŁ V²�√ Æ≤ Ω ©”® sJO� ∫©±® ‰U¦�
∫©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« WOðü« U½«d²�ô« s� Ïq� ÊuJ¹ q{UH²�« w UMðU�uKF� s�
”≤ Ω ©”® ±
Â
≤ ´ ”≤ Ω ©”® ≤
Â
± ≠ ”≤ Ω ©”® ≥
Â
Æ©”® Ω ≤ Ω ©”® ≥ÓÂ Ω ©”®
≤ÓÂ Ω ©”®
±ÓÂ Ê_ p�–Ë
Ác¼ s� wzUN½ô œbŽ błu¹ l�«u�« wË ª≤ Ω ©”® Ê«d²�ö� Èdš√ WOz«bÐ U½«d²�« błuð t½√ kŠô
ÆwIOIŠ œbŽ ?ł YOŠ ¨ ?ł ´ ”≤ W�UF�« …—uB�« c�²ð UN½√ b$ UNO q�Q²�UÐË ¨ U½«d²�ô«
≤ Ω ©”® Ê«d²�ö� œËb;« dOž q�UJ²�« …—uB�« Ác¼ vLðË
¥
∫n¹dFð
œËb;« dOž q�UJ²�« ÊS ©©”® Ω ©”®Ó Ê√ Í√® ¨©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« ©”®Â ÊU� «–≈
WŽuL−� u¼ ¨” ‰«œ ©”® q�UJð ∫√dIÔ¹Ë ¨”s©”® ∫ e�d�UÐ t� e�d¹ Íc�«Ë ¨©”® Ê«d²�ö�
ÆwIOIŠ œbŽ ?ł ¨ ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ∫ ∫Ê√ Í√ ©”® Ê«d²�ö� WOz«b³�« U½«d²�ô« lOLł
∫5O�U²�« s¹œËb;« dOž 5K�UJ²�« s� Îö� błË√ ¨q{UH²�« w pðU�uKF� «b�²ÝUÐ ∫©≤® ‰U¦�
”s ”≤
U� ∫ » ”s ≥”¥
∫ √
≥”¥ Ω ©?ł ´ ¥”®
”s
s
Ê_ ?ł ´ ¥” Ω ”s ≥”¥
∫ √
”≤
U� Ω ©?ł ´ ”Uþ® ”s
s
Ê_ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤
U� ∫ »
∫WOðü« œËb;« dOž q�UJ²�« bŽ«u� W×� s� oIײ�« pMJ1 WËdF*« ‚UI²ýô« 5½«u� vKŽ œUL²ŽôUÐ
∋ ?ł ¨ ¨ ?ł ´ ” Ω ”s ∫ ±
∋ ?ł ±≠ ≠ wIOIŠ œbŽ Ê ?ł ´ ± ´ Ê
±´Ê”
Ω ”s
Ê” ∫ ≤
∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U²ł≠ Ω ”s
”Uł ∫ ≥
∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”Uł Ω ”s
”U²ł ∫ ¥
∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s
”≤
U� ∫ μ
∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U²þ≠ Ω ”s
”≤
U²� ∫ ∂
∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U� Ω ”s
”Uþ ”U� ∫ ∑
∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U²�≠ Ω ”s
”U²þ ”U²� ∫ ∏
μ
∫WOðü« Ò’«u)« W×� s� oIײ�« pMJ1 UL�
∋ ¨ ”s
©”® ∫ Ω ”s
©”® ∫ ±
”s
©”®?¼ ∫ ∓ ”s
©”® ∫ Ω ”s ©©”®?¼ ∓ ©”® ® ∫ ≤
©5½«d²�« s� d¦�√ qLA²� WO�U)« Ác¼ rOLFð sJ1Ë®
∫WOðü« …œËb;« dOž ö�UJ²�« bł ∫©≥® ‰U¦�
”s ≥”∏ ∫ » ”s μ ∫ √
”s ©∑ ´
≤≠”μ ≠ ≤”≥®
∫ œ ”s ©”U²ł ´
¥”∂® ∫ ?ł
?ł ´ ”μ Ω ”s μ
∫ √
”s ≥” ∫ ∏ Ω ”s ≥”∏
∫ »
?ł ´ ¥”≤ Ω ?ł ´
¥
¥”
× ∏ Ω
”s ”U²ł
∫ ´ ”s ¥”∂ ∫ Ω ”s ©”U²ł ´
¥”∂ ® ∫ ?ł
≤ ?ł ´ ”Uł ´
± ?ł ´
μ
μ”∂
Ω
≤
?ł ´ ±
?ł Ω ?ł YOŠ ¨ ?ł ´ ”Uł ´ μ
μ”∂
Ω
”s ∑
∫ ´ ”s ≤≠” ∫ μ ≠ ”s ≤”
∫ ≥ Ω ”s ©∑ ´
≤≠”μ ≠ ≤”≥®
∫ œ
?ł ´ ”∑ ´
±≠
±≠”
× μ≠ ≥
≥”
× ≥ Ω
?ł ´ ”∑ ´ ±≠”μ ´
≥” Ω
∫ UIO³Dð
rK ÔŽ «–≈ Ê«d²�« vM×M� W�œUF� œU−¹≈ q¦� ¨…œbF²� WOzU¹eOË WOÝbM¼ UIO³Dð w œËb;« dOž q�UJ²�« Âb�²¹
∫WO�U²�« WK¦�_« w 5³²¹ UL� ¨tŽ—Uð rK ÔŽ «–≈ „dײ� rł WŽdÝ œU−¹≈ Ë√ ¨tOKŽ WDI½ W¹√ bMŽ t� ”UL*« qO�
∂
¨”≤ u¼ tOKŽ ©’¨”® WDI½ Í√ bMŽ t� ”UL*« qO� ÊU� «–≈ ©”® Ê«d²�ô« …bŽU� bł ∫©¥® ‰U¦�
Æ©μ ¨ ≤® WDIM�UÐ d1 ©”® Ê«d²�ô« vM×M� ÊU�Ë
”≤ Ω ©”® Ó Ω ”UL*« qO�
?ł ´ ≤” Ω ”s ”≤
∫ Ω ©”® ∴
¨vM×M*« W�œUF� oI% WDIM�« Ác¼ ÊS ©μ ¨ ≤® WDIM�UÐ d1 ©”® Ê«d²�ô« vM×M� Ê√ U0Ë
± Ω ?ł UNM�Ë ¨ ?ł ´ ≤
©≤® Ω μ Ê–≈ ¨ μ Ω ©≤® Ê√ Í√
± ´ ≤” Ω ©”® ∴
∫bł Æ≤
ÀØrݱ ´ Ê≤ Ω Ÿ—U²Ð rOI²� jš w q�_« WDI½ s� ÊuJ�« s� rł „d% ∫©μ® ‰U¦�
≥ Ω Ê bMŽ q�_« WDI½ sŽ r'« WŠ«“≈ » ≥ Ω Ê bMŽ r'« WŽdÝ √
± ´ Ê≤ Ω
Ês
Ÿs
Ω Ÿ—U²�« √
?ł ´ Ê ´ ≤
Ê Ω Ês
©± ´ Ê≤® ∫ Ω Ÿ ∴
∞ Ω ?ł UNM�Ë ¨ ?ł ´ ∞ ´ ∞ Ω ∞ ÊS ¨∞ Ω Ê bMŽ ∞ Ω Ÿ Ê≈ YOŠË
Ê ´ ≤
Ê Ω Ÿ Ê√ Í√
ÀØrݱ≤ Ω ≥ ´ ≤
≥ Ω
≥ Ω Ê
¸ Ÿ ∴
Ê ´ ≤
Ê Ω Ês
·s
Ω Ÿ »
± ?ł ´
≤
≤
Ê
´ ≥
≥
Ê
Ω Ês
©Ê´≤
Ê® ∫ Ω · ∴
∞ Ω Ê U�bMŽ ¨ ∞ Ω · Ê≈ YOŠË
∞ Ω ± ?ł UNM�Ë
± ?ł ´ ∞ Ω ∞ ∴
≤
Ê ≤
±
´ ≥
Ê ≥
±
Ω · Ê√ Í√
≤
≥ × ≤
±
´ ≥
≥ × ≥
±
Ω
≥ Ω Ê
¸ · ∴
rÝ ±≥[μ Ω ¥[μ ´ π Ω
∑
©±≠¥® s¹—U9
∫W�UŠ q� w ©”® Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ ©”®Â Ê«d²�ô« Ê√ s� oI% ±
≤
©≤” ´ ±®
≤” ≠ ±
Ω ©”® ≤” ´ ±
”
Ω ©”®Â √
≤”U²ł ”≤ Ω ©”® ≤”Uł Ω ©”®Â »
∫WOðü« …œËb;« dOž ö�UJ²�« s� Îö� bł ≤
”s ≥
©”≤®
±
∫ » ”s ©μ ´ ≥”®
∫ √
’s ’ √
≤’ ∫ œ ”s ©
”
√ ≤
± ´ ” √® ∫ ?ł
”s ©” U²ł≥ ≠ ”Uł≤®
∫ Ë ”s ± ≠ ”
± ≠ ≥”
∫ ?¼
”s © ”≤
Uł ≠ ±
” Uł
® ∫ Õ
”s ©”≤
Uþ∂ ´ ∂® ∫ “
∫W�UŠ q� w …UDF*« ◊ËdA�« oI×¹ Íc�« ©”® Ê«d²�ô« błË√ ≥
≥ Ω ©±® ∑ ´ ”∏ ≠ ≤”∂ Ω ©”® Ó √
μ Ω ©≤® ¨ ∏ Ω ©≤® Ó ∏ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î »
∫…bŽUI�UÐ vDF¹ ©’¨ ”® tOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ©”® Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� ÊU� «–≈ ¥
Æ©≤≠ ¨ ≥® WDIM�UÐ d1 ÁUM×M� ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”® Ê«d²�ô« …bŽU� błËQ ¨≤ ≠ ”∂ ≠ ≤”≥ Ω
”s
’s
”UL*« qO� ÊU�Ë ¨©∞ ¨ ¥® WDIM�UÐ d1 ©”® Ê«d²�ô« vM×M� ÊU�Ë ¨
”
√
μ Ω ©”® Î X½U� «–≈ μ
ÆvM×M*« W�œUF� b− ¨± ÍËU¹ WDIM�« Ác¼ bMŽ vM×MLK�
¨± Ω ” bMŽ μ ÍËUð WOK×� ÈdG� WLO� ©”® Ω ’ Ê«d²�ö� ÊU�Ë ¨¥ ≠ ”∂ Ω ©”® Î X½U� «–≈ ∂
ÆÊ«d²�ö� WOK;« vLEF�« WLOI�«Ë vM×M*« W�œUF� b−
¨ÀØrݱ∂ Ω ©∞®Ÿ ÊQÐ ÎULKŽ ©Ê®· WŠ«“ù« Ê«d²�« bł Æ≤
Ê≥ Ω Ÿ—U²Ð rOI²� jš w rł „dײ¹ ∑
ÆrÝπ Ω ©∞® ·
∏
(Partition & Riemann Sum) ÊU1— ŸuL−�Ë Wze−²�« ≤≠¥
ŸuL−�Ë Wze−²�« bM³�« «c¼ w ·dF²MÝË ¨œËb;« dOž q�UJ²�« u¼ q�UJ²K� ÎU�uNH� oÐU�« bM³�« w UMdFð
ÆœËb;« q�UJ²�« u¼Ë q�UJ²K� dš¬ ÂuNH� .bI²� ΫbON9 ÊU1—
∫Wze−²�«
∫n¹dFð
¨{Ê
” ¨ÆÆƨ≤
” ¨±
” ¨∞
”} Ω Ê
σ WŽuL−*« ÊS WOIOI(« œ«bŽ_« s� WIKG� …d² ›» ¤ X½U� «–≈
Æ›» ¨ ¤ …d²HK� WO½u½ Wze& vLð ¨ » Ω Ê
” > ÆÆÆ > ≤
” > ±
” > ∞
” Ω YOŠ
Ω∞
”±
”≤
”±≠
—
”—
”±≠Ê
”Ê
” Ω »
± ≤ — Ê
©±≠¥® qJA�«
∫tM� 5³²¹Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²HK� Ê
σ Wze−²�« ©±≠¥® qJA�« `{u¹
±
” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨ ∞
”
≠ ±
” UN�uÞË ¨›±
” ¨ ∞
”¤ w¼ v�Ë_« WOze'« …d²H�« ±
≤
” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨ ±
”
≠ ≤
” UN�uÞË ¨›≤
”¨±
”¤ w¼ WO½U¦�« WOze'« …d²H�«
⋮
—
” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨ ±≠—
” ≠ —
” UN�uÞË ¨›—
”¨±≠—
”¤ w¼ WOz«d�« WOze'« …d²H�«
⋮
Ê
” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨±≠Ê
” ≠ Ê
” UN�uÞË ¨›Ê
”¨±≠Ê
”¤ w¼ ©…dOš_«® WO½uM�« WOze'« …d²H�«
± ´ Ê ÍËU¹ Wze−²�« d�UMŽ œbŽË ¨Ê ÍËU¹ Êσ Wze−²�« sŽ W&UM�« WOze'« «d²H�« œbŽ ≤
«d²H�« 5F ›±∞ ¨ ±≠¤ WIKG*« …d²HK� WOŁöŁ Wze& {±∞ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±≠ } Ω ≥
σ X½U� «–≈ ∫©±® ‰U¦�
ÆUN�«uÞ√Ë ≥
σ sŽ W&UM�« WOze'«
≥ Ω ©±≠® ≠ ≤ Ω UN�uÞË ›≤ ¨ ±≠¤ w¼ v�Ë_« WOze'« …d²H�«
± Ω ≤ ≠ ≥ Ω UN�uÞË ›≥ ¨ ≤¤ w¼ WO½U¦�« WOze'« …d²H�«
∑ Ω ≥ ≠ ±∞ Ω UN�uÞË ›±∞ ¨ ≥¤ w¼ W¦�U¦�« WOze'« …d²H�«
π
ÆW¹ËU²� dOž oÐU�« ‰U¦*« w WOze'« «d²H�« ‰«uÞ√ Ê√ kŠô
›» ¤ WIKG*« …d²HK� Êσ Wze−²�« sŽ W&UM�« WOze'« «d²H�« lOLł ‰«uÞ√ UNO ÊuJð w²�« W�U)« W�U(« wË
wË ¨WLE²M� WO½u½ Wze& Êσ Wze−²�« wL½ UM½S
Ê
≠ »
Ω Ê
”Δ Ω ÆÆÆ Ω ≤
”Δ Ω ±
”Δ Ê√ Í√ ¨W¹ËU²�
∫ÊuJ¹ W�U(« Ác¼
Ω ∞
”
± × Ê
≠ »
´ Ω …bŠ«Ë WOzeł …d² ‰uÞ ´ Ω ±
”
≤ × Ê
≠ »
´ Ω 5²Ozeł 5ðd² ‰uÞ ´ Ω ≤
”
⋮
— × Ê
≠ »
´ Ω «d²H�« s� © — ® ‰uÞ ´ Ω —
”
∫wK¹U2 Îö� błËQ ¨›≤∞¨±≤≠¤ WIKG*« …d²HK� WLE²M� Wze& ±∂
σ X½U� «–≈ ∫©≤® ‰U¦�
±∂
σ sŽ W&UM�« WÝœU�« WOze'« …d²H�« » ±∂
σ Wze−²�« √
≤ Ω ±∂
©±≤≠® ≠ ≤∞
Ω Ê
≠ »
Ω WOze'« …d²H�« ‰uÞ √
{≤∞ ¨ ±∏ ¨ÆÆƨ ∏≠ ¨ ±∞≠ ¨ ±≤≠ } Ω ±∂
σ ∴
›∂
” ¨ μ
”¤ w¼ ±∂
σ sŽ W&UM�« WÝœU�« WOze'« …d²H�« »
— × Ê
≠ »
´ Ω —
”
≤≠ Ω μ × ±∂
≥≤
´ ±≤≠ Ω μ
”
∞ Ω ∂ × ±∂
≥≤
´ ±≤≠ Ω ∂
”
›∞ ¨ ≤≠¤ w¼ WÝœU�« WOze'« …d²H�« ∴
ÆWLE²M� Wze& μ
σ sJ²�Ë ¨›∑ ¨ ≤¤ WIKG*« …d²H�«vKŽ ÎUdF� ÎU½«d²�« ± ´ ”≤ Ω ©”® sJO� ∫©≥® ‰U¦�
WOze'« «d²H�« U¼bŽ«u� w²�« öOD²*« rÝ—« rŁ¨t�U−� vKŽ ©”® vM×M� rÝ—« √
Æ «d²H�« pKð U¹«bÐ bMŽ ©”® Ê«d²�ô« rO� UNðUŽUHð—«Ë ¨ μ σ sŽ W&UM�«
Æ©√® ŸdH�« w öOD²*« UŠU� ŸuL−� błË√ »
±∞
± Ω μ
≤ ≠ ∑
Ω Ê
≠ »
Ω WOze'« …d²H�« ‰uÞ √
{∑ ¨ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ } Ω μ
σ
…d²H�« vKŽ ©”® vM×M� q¦1 ©≤≠¥® qJA�«
öOD²*« q¦9 WKKE*« WIDM*«Ë ¨›∑¨≤¤
¨μ σ sŽ W&UM�« WOze'« «d²H�« U¼bŽ«u� w²�«
pKð U??¹«b??Ð bMŽ Ê«d??²??�ô« rO� UNðUŽUHð—«Ë
Æ «d²H�«
”
μ
’
±∂
±≤
∏
¥
¥≥≤ ∂ ∑
± ´ ”≤ Ω ©”®
©≤≠¥® qJA�«
∫wðü« ‰Ëb'« ÊÒuJ½ öOD²*« UŠU� ŸuL−� œU−¹ù »
WOze'« …d²H�«
›—
” ¨ ±≠
—
”¤
WOze'« …d²H�« ‰uÞ
—
”ΔqOD²*« ŸUHð—«
©±≠
—
”®
qOD²*« WŠU�
—
”Δ × ©±≠
—
”®
›≥ ¨ ≤¤±μ Ω ©≤® μ
›¥ ¨ ≥¤±∑ Ω ©≥® ∑
›μ ¨ ¥¤±π Ω ©¥® π
›∂ ¨ 줱±± Ω ©μ® ±±
›∑ ¨ ∂¤±±≥ Ω ©∂® ±≥
¥μ
WFÐd� …bŠË ¥μ Ω öOD²*« UŠU� ŸuL−� ∴
—
”Δ × ©±≠
—
”®
μ
∑±Ω
—
Ω oÐU�« ‰U¦*« w öOD²*« lOLł UŠU� ŸuL−� Ê√ kŠô
Æμ σ Wze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� ¨ŸuL−*« «c¼ q¦� vL¹
ÊUL¹— ŸuL−� ∫n¹dFð
¨›» ¨ ¤ …d²HK� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎUdF� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
Wze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� ÊS ª›—
”¨±≠
—
”¤ WOze'« …d²HK� wL²M¹ — *” œbF�« ÊU�Ë
—
”Δ × © — *”® Ê
∑±Ω
—
Ω © ¨ Ê σ®  ∫wK¹ UL� ·dF¹ ¨© ¨
Ê σ®  e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨
Ê σ
∫WGOB�« ÊU1— ŸuL−� c�²¹ ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ÊuJð U�bMŽ W�U)« W�U(« wË
© — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »
Ω © ¨ Ê σ® Â
±±
Ê«d²�ö� WLE²M*« WO½uM�« Wze−²�« vKŽ ¨ÊU1— ŸuL−0 WIKF²*« UÐU(« w ΫbŽUB Êü« s� dB²IMÝ
Æ≤ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô Íc�« œËb(« dO¦�
…d²HK� ¥ σ WLE²M*« Wze−²K� W³M�UÐ π ´ ”≤ ´
≤” Ω ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� błË√ ∫©¥® ‰U¦�
∫5²Oðü« 5²�U(« s� >q� w ›∂ ¨ ≤≠¤
—
” Ω — *” –U�ðUÐ √
≤
—
” ´ ±≠—
”
Ω — *” –U�ðUÐ
»
{∂¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ∞ ¨ ≤≠} Ω ¥ σ
© — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »
Ω © ¨ Ê σ® Â
∫ —
” Ω — *” √
©—
”® ¥
∑±Ω
—
¥
©≤≠®≠∂
Ω © ¨ ¥ σ® Â ∴
©©¥
”® ´ ©≥
”® ´ ©≤
”® ´ ©±
”® ®≤ Ω
©©∂® ´ ©¥® ´ ©≤® ´ ©∞® ®≤ Ω
©μ∑ ´ ≥≥ ´ ± ∑ ´ π®≤ Ω
≤≥≤ Ω ±±∂ × ≤ Ω
∫ ≤
—
” ´ ±≠
—
”
Ω — *” »
© ≤
—
” ´ ±≠
—
”
® ¥
∑±Ω
—
≤ Ω © ¨ ¥ σ® Â ∴
©©μ® ´ ©≥® ´ ©±® ´ ©±≠® ® ≤ Ω
©¥¥ ´ ≤¥ ´ ±≤ ´ ∏® ≤ Ω
±∑∂ Ω ∏∏ × ≤ Ω
±≤
…d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ¨ ›± ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� ”μ Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©μ® ‰U¦�
∫błËQ ¨›± ¨ ∞¤
≤
©± ´ Ê® Ê
Ω —Ê
∑±Ω
—
ÊQÐ ÎULKŽ ¨—
” Ω — *” Ϋc�²� © ¨
Ê σ® Â √
© ¨ Ê σ® Â
∞ ← Ê
»
± Ω ” rOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ?ł
Ê
±
Ω Ê
≠ »
Ω …bŠ«u�« WOze'« …d²H�« ‰uÞ
— × Ê
≠ »
´ Ω —
” Ω — *” √
Ê
—
Ω — × Ê
±
´ ∞ Ω
© — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω © ¨ Ê σ® Â
© Ê
—
® Ê
∑±Ω
—
Ê
±
Ω
—
Ê
∑±Ω
—
≤
Ê
μ
Ω
Ê
—μ
Ê
∑±Ω
—
Ê
±
Ω
≤
Ê≤
Êμ ´ ≤
Êμ
Ω
≤
©± ´ Ê® Ê
× ≤
Ê
μ
Ω
Ê≤
μ
´
≤
μ
Ω
©Ê≤
μ
´
≤
μ
®
∞ ← Ê
Ω © ¨ Ê σ® Â
∞ ← Ê
»
≤
μ
Ω ∞ ´
≤
μ
Ω
WKKE*« WIDM*« WŠU� w¼ WÐuKD*« WŠU*« ?ł
rzU� YK¦� WŠU� ÍËUðË ©≥≠¥® qJA�« w
μ Ω tŽUHð—«Ë ¨± Ω tðbŽU� ‰uÞ W¹Ë«e�«
”
’
±
”μ
Ω ©
”®
∞
μ
©≥≠¥® qJA�«
WFÐd� …bŠË
≤
μ
Ω
≤
μ × ±
Ω WŠU*« ∴
…d²HK� Ê σWze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� W¹UN½ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½
UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ÎU¹œbŽ ÍËUð ›± ¨ ∞¤
Ʊ Ω ” rOI²*«Ë
±≥
…d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ›≤ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF�
≤” Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©∂® ‰U¦�
∫błËQ ¨›≤ ¨ ∞¤
∂
©±´Ê≤® ©±´Ê®Ê
Ω ≤—
Ê
∑±Ω
—
ÊQÐ ÎULKŽ ¨ —
” Ω — *” «c�²� © ¨
Ê σ®Â √
© ¨ Ê σ® Â
∞ ← Ê
»
Ê
≤
Ω Ê
≠ »
Ω …bŠ«u�« WOze'« …d²H�« ‰uÞ √
Ê
—≤
Ω — × Ê
≤
´ ∞ Ω — × Ê
≠ »
´ Ω —
” Ω — *”
© — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω © ¨ Ê σ® Â
≤—
≤
Ê
¥
Ê
∑±Ω
—
Ê
≤
Ω © Ê
—≤
® Ê
∑±Ω
—
Ê
≤
Ω
≤—Ê
∑±Ω
—
≤
Ê
¥
× Ê
≤
Ω
≤
Ê≥
¥ ´ ʱ≤ ´ ≤
Ê∏
Ω
∂
©± ´ Ê≤® ©± ´ Ê® Ê
× ≤
Ê
¥
× Ê
≤
Ω
©ø«–U*® ≥
∏
Ω ≤
Ê≥
¥ ´ ʱ≤ ´ ≤
Ê∏
∞ ← Ê
Ω © ¨ Ê σ® Â
∞ ← Ê
»
©≤≠¥® s¹—U9
›≥ ¨ ±≠¤ …d²HK� WOÝUL)« WLE²²*« Wze−²�« V²�« ±
ÆWze−²�« Ác¼ sŽ W&UM�« …dAŽ WÝœU�« WOze'« …d²H�« błËQ ¨›≥ ¨ ≤≠¤ …d²HK� WLE²M� Wze& ≤∞
σ X½U� «–≈ ≤
∫WOðü« ôU(« s� >q� w Ê σ Wze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� błË√ ≥
±≠—
” Ω — *” ¨ ›∂ ¨ ∞¤ …d²HK� WLE²M� Wze&
¥ σ ¨ ≥ Ω ©”® √
—
” Ω — *” ¨ ›¥ ¨ ≤≠¤ …d²HK� WLE²M� Wze&
∂ σ ¨” ≠ ≤ Ω ©”® »
≤
—
” ´ ±≠
—
”
Ω — *” ¨ ›¥ ¨ ∞¤ …d²HK� WLE²M� Wze&
¥ σ ¨
≤” ´ ∂ Ω ©”® ?ł
błËQ ¨…d²H�« ÁcN� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ¨›μ ≤≠¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎUdF� ± ≠ ”≥ Ω ©”® ÊU� «–≈ ¥
±≠—
” Ω — *” Ϋc�²� »
—
” Ω — *” Ϋc�²� √ ∫© ¨
Ê σ® Â
błËQ ¨…d²H�« ÁcN� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ¨›≥¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� ± ´
≤” Ω ©”® ÊU� «–≈ μ
© ¨ Ê σ® Â
∞ ← Ê
błË√ rŁ ¨ ±≠
—
” Ω — *” Ϋc�²� © ¨
Ê σ® Â
±¥
(Definite Integral) œËb;« q�UJ²�« ≥≠¥
∫n¹dFð
X½U�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ¨›» ¨ ¤ vKŽ * ΫœËb×�Ë ÎUdF� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
Ê«d?²�ô« Ê≈ ‰UI¹ t½S ¨›—
” ¨ ±≠
—
”¤ ∋ — *” rO� lOL' W¹ËU???²�Ë …œułu� © ¨
Ê σ® Â
∞ ← Ê
©”® Ê«d²�ö� œËb;« q�UJ²�« …—u�c*« W¹UNM�« vLðË ¨›» ¨ ¤ …d²H�« vKŽ q�UJ²K� qÐU� ©”® © ¨
Ê σ® Â
∞ ← Ê
Ω ”s ©”®
»
∫ Ê√ Í√ ª”s ©”®
»
∫ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ
∫ UEŠö�
Æt� ÍuKF�« b(« » wL½Ë q�UJ²K� wKH�« b(« wL½¨ ”s ©”® »
∫ œËb;« q�UJ²�« w ±
¨» ¨ s¹œbF�« vKŽË Ê«d²�ô« …bŽU� vKŽ ”s ©”®
»
∫ œËb;« q�UJ²�« WLO� n�u²ð ≤
¨dš¬ dOG²� Í√ tK×� q×¹ Ê√ sJ1Ë q�UJ²�« WOKLŽ w W�Uš WOL¼√ t� fOK ” dOG²*« U�√
∫Ê√ Í√ ¨ÆÆÆ ¨ Ÿ ¨ ’ q¦�
a�≈ ÆÆÆ Ω Ÿs ©Ÿ®
»
∫ Ω ’s ©’®
»
∫ Ω ”s ©”®
»
∫
b(« Ê√ Í√ ¨» > Ê√ ÷«d²« sLC²¹ ÁöŽ√ w œ—«u�« ”s ©”®
»
∫ œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Ê≈ ≥
∫5O�U²�« 5H¹dF²�« Âb�²½ Èdš_« ôU(« wË Æt� ÍuKF�« b(« s� dG�√ q�UJ²K� wKH�«
”s ©”®
»
∫ ≠ Ω ”s ©”®
» ∫ ≤ ∞ Ω ”s ©”®
∫ ±
›» ¨ ¤ vKŽ V�UÝ dOž ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ¥
”s ©”® »
∫ œËb;« q�UJ²�« ÊS q�UJ²K� ÎöÐU�Ë
Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� q¦1
5LOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë ©”®
Æ©¥≠¥® qJA�« kŠô Æ » Ω ” ¨ Ω ”
”
’
»
©”®
Ω ’
©¥≠¥® qJA�«
∫Ê≈ YO×Р¨ ‰ ÊUOIOIŠ Ê«œbŽ błË «–≈ jIË «–≈ ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ œËb×� Ê«d²�« ©”® Ê≈ ‰UI¹ *Æ›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL'  ≥ ©”® ≥ ‰
±μ
Æ”s ¥
≤
∞
∫ œU−¹ù œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Âb�²Ý« ∫©±® ‰U¦�
›≤ ¨ ∞¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ sJ²�
© — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω © ¨ Ê σ® Â
XÐUŁ ©”® Ê_ ª›—
” ¨ ±≠
—
”¤ ∋ — *” rO� lOL' ¥ Ω ©
— *”® Ê≈ YOŠË
∏ Ω Ê¥ × Ê
≤
Ω ¥
Ê
∑±Ω
—
Ê
≤
Ω © ¨ Ê σ® Â ∴
∏ Ω ”s ¥
≤
∞
∫ Ê√ Í√ ¨ ∏ Ω © ¨Ê σ® Â
∞ ← Ê
∴
©∞≠≤®¥ Ω ∏ Ω ”s ¥
≤
∞
∫ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠô
©wKH�« b(« ≠ ÍuKF�« b(«® × XÐU¦�« Ê«d²�ô« WLO� Ω
∫ÂUŽ tłuÐ
∫…bŽU
© ≠ »® ?ł Ω ”s ?ł
»
∫ ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨›» ¨ ¤ ∋ ” lOL' ¨ ?ł Ω ©”® ÊU� «–≈
∫s� q� WLO� błË√ ∫©≤® ‰U¦�
”s π
≤
∞
∫ » ”s ∂
≤
±≠ ∫ √
±∏ Ω ≥ × ∂ Ω ©©±≠®≠≤®∂ Ω ”s ∂
≤
±≠ ∫ √
π≤ Ω ©∞≠≤® π Ω ”s π
≤
∞
∫ »
∫W¹dE½
Æ…d²H�« pKð vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÊuJ¹ t½S ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈
±∂
”s ”
»
∫ œU−¹ù œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Âb�²Ý« ∫©≥® ‰U¦�
Æ©œËbŠ dO¦�® qB²� t½_ ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� qÐU� ” Ω ©”® Ê«d²�ô«
— ” Ω — *” sJ²�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze&
Ê σ sJ²�
© —
”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω © — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω © ¨ Ê σ® Â
© — × Ê
≠ »
´ ®
Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω —
”
Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
Ω
›≤
©± ´ Ê® Ê
× Ê
≠ »
´ ʤ Ê
≠ »ÿ
Ω › —
Ê
∑±Ω
—
× Ê
≠ »
´
Ê
∑±Ω
—¤
Ê
≠ »ÿ
Ω
Ê
± ´ Ê
×
≤
≤
© ≠ »®
´ © ≠ »® Ω
©
Ê
± ´ Ê
×
≤
≤
© ≠ »®
´ © ≠ »® ®
∞ ← Ê
Ω ”s ”
»
∫ ∴
≤
≤
≠ ≤»
Ω
≤
≤
© ≠ »®
´ © ≠ »® Ω
∫WO�U²�« …bŽUI�« v�≈ q�u²�« sJ1 ÂUŽ tłuÐ
∫…bŽU
ÊS ¨ ±≠ ≠ wIOIŠ œbŽ Ê ¨›» ¨ ¤ vKŽ ÎUdF� Ê
” Ω ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈
± ´ Ê
±´Ê
≠
±´Ê
»
Ω ”s
Ê
”
»
∫
∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� >q� WLO� bł ∫©¥® ‰U¦�
o½s o½ √
¥
± ∫ » ”s
¥”
≥
± ∫ √
μ
≤¥≤
Ω
μ
μ
± ≠ μ
≥
Ω
± ´ ¥
±´¥
± ≠ ±´¥
≥
Ω ”s ¥”
≥
± ∫ √
≥
±¥
Ω
≤
≥
≤
≥
± ≠ ≤
≥
¥
Ω
± ´
≤
±
±´
≤
±
± ≠ ±´
≤
±
¥
Ω o½s o½ √
¥
± ∫ »
∫W¹dE½
©”® Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈
ÊuJ¹ ©”®?¼ ÊS ¨›» ¨ ¤ …d²H�« w ” rO� s� WON²M� WŽuL−� «bŽ ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL'
”s ©”®
»
∫ Ω ”s ©”®?¼
»
∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU�
±∑
vKŽ q�UJ²K� qÐU� ©”® Ê√ 5³ ¨›± ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� ›”¤ Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©μ® ‰U¦�
”s ›”¤
±
∞ ∫ błË√ rŁ ›± ¨ ∞¤
›± ¨ ∞ ¤ ∋ ” lOL' ∞ Ω ©”®?¼ Ê√ ÷dHÐ
vKŽ qB²� ©”® Ê√ Í√ ¨± Ω ” bMŽ «bŽ ›± ¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ©”®?¼ Ω ©”® ÊuJ¹
Æ…bŠ«Ë WDI½ bMŽ qB²� dOž ©”® W�U(« Ác¼ wË ¨U¼bŽ sJ1 ◊UI½ bMŽ «bŽ U� t�U−�
XÐUŁ Ê«d²�« t½_ ¨›± ¨ ∞¤ vKŽ q�UJ²K� qÐU� ∞ Ω ©”® ?¼ Ê≈ YOŠË
›± ¨ ∞¤ vKŽ q�UJ²K� qÐU� ›”¤ Ω ©”® Ê–≈
dH� Ω”s ∞
±
∞ ∫ Ω ”s ›
”¤
±
∞ ∫ ÊuJ¹Ë
©≥≠¥® s¹—U9
¨ — *” ?� U� —UO²šUÐ
≤
Ê
±
´ ¥ Ω © ¨ Ê σ®  ÊU�Ë ¨›μ ¨ ≤¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ±
∫błËQ ¨›μ ¨ ≤¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ YOŠ
”s ©”®
≤
μ
∫ » ”s ©”®
μ
≤
∫ √
∫s� >q� œU−¹≈ w œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Âb�²Ý« ≤
”s ©± ≠ ≤”®
¥
≤
∫ ?ł ”s ©± ´ ”®
≥
±
∫ » ”sμ
≤
∞
∫ √
∫s� >q� WLO� błË√ ≥
”s ≥”
±[≥
±[≥
∫ œ ’s μ’
≤
≤≠ ∫ ?ł ”s ∂
≤
±≠ ∫ » ”s
≤”
±
∏
≤
∫ √
∫W�UŠ q� w …UDF*« …d²H�« vKŽ q�UJ²K� WO�U²�« U½«d²�ô« s� >q� WOKÐU� w V³�« 5Ð ¥
›± ¨ ≤≠ ¤ …d²H�« vKŽ ¨ ≥ ´ ≤” Ω
©”® √
› ≤ ¨ ∞ ¤ …d²H�« vKŽ
¨ ” Uł Ω
©”® »
›≤ ¨ ∞ ¤ …d²H�« vKŽ
± ” ¨ ≤”
± Ω ” ¨ μ
Ω
©”® ?ł
›≤ ¨ ± ¤ …d²H�« vKŽ
› ± ´ ” ¤ Ω
©”® œ
∫WO�U²�« ôU(« s� >q� w » Vłu*« XÐU¦�« 5Ž μ
∞[≤μ Ω Ÿs »
Ÿ
±
∞
∫ ?ł ≤¥ Ω ”s
”
»
±
∫ » ±μ Ω ”s
»
≥
∞[μ
∫ √
±∏
œËb;« q�UJ²�« hzUBš ¥≠¥
∫hzUB)« Ác¼ s�Ë ¨ ôU(« s� dO¦� w U½«d²�ô« iF³� tÐUŠ qONð w bŽUð WLN� hzUBš œËb;« q�UJ²K�
∫©±® W ÒO�Uš
©”® ?ł Ê«d²�ô« ÊS ¨wIOIŠ œbŽ Í√ ?ł ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
”s ©”®
»
∫ ?ł Ω ”s ©”® ?ł
»
∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÊuJ¹
∫ÊU¼d³�«
›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ sJ²�
© ?ł ¨ Ê σ® Â
∞ ← Ê
Ω ”s ©”® ?ł
»
∫
©© — *”® ?ł
Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
®
∞ ← Ê
Ω
©© — *”®
Ê
∑±Ω
—
?ł × Ê
≠ »ÿ
®
∞ ← Ê
Ω
”s ©”®
»
∫ ?ł Ω ©
© — *”® Ê
∑±Ω
—
Ê
≠ »ÿ
®
∞ ← Ê
× ?ł Ω
”s ≤”≥
¥
± ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�
”s ≤”
¥
± ∫ ≥ Ω ”s ≤”≥
¥
± ∫
∂≥ Ω
≥
∂≥
× ≥ Ω
≥
≥
± ≠ ≥
¥
× ≥ Ω
∫©≤® W ÒO�Uš
¨©”®?¼ ´ ©”® ∫5½«d²�ô« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨©”® ÊU� «–≈
∫ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� ÊU½uJ¹ ©”®?¼ ≠ ©”® ”s
©”®?¼
»
∫ ∓ ”s
©”®
»
∫ Ω ”s
©©”®?¼ ∓ ©”® ®
»
∫
Æ5½«d²�« s� d¦�_ WO�U)« Ác¼ rOLFð sJ1Ë
±π
”s ©”≤ ≠
≤”®
≥
∞ ∫ WLO� błË√ ∫©≤® ‰U¦�
”s ”≤
≥
∞ ∫ ≠ ”s ≤”
≥
∞ ∫ Ω ”s
©”≤ ≠ ≤”®
≥
∞ ∫
≤
≤
∞ ≠ ≤
≥
× ≤ ≠
≥
≥
∞ ≠ ≥
≥
Ω
∞ Ω π ≠ π Ω
∫©W�U{ù« WO�Uš® ©≥® W ÒO�Uš
pK²� wL²M𠜫bŽ√ WŁöŁ W¹√ ¨ ?ł ¨ » ¨ X½U�Ë ¨WIKG� …d² vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
∫ÊS ¨…d²H�«
”s ©”®
»
?ł ∫ ´ ”s
©”®
?ł
∫ Ω ”s
©”®
»
∫
”s ¸≤ ≠ ”¸
μ
∞ ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�
≤ ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ≤
μ ≥ ” ≥ ≤ ≤ ≠ ”
Ω ¸≤ ≠ ”¸
”s ©≤ ≠ ”®
μ
≤ ∫ ”s
©” ≠ ≤®
≤
∞ ∫ Ω ”s ¸≤ ≠ ”¸
μ
∞ ∫ ∴
©≤ ≠ μ®≤ ≠
≤
≤
≤ ≠ ≤
μ
´
≤
≤
∞ ≠ ≤
≤
≠ ©∞ ≠ ≤®≤ Ω
∂[μ Ω ∂ ≠ ±∞[μ ´ ≤ ≠ ¥ Ω
”s ©”®
∂
π ∫ ≠ ”s
©”®
∂
± ∫ ∫bŠ«Ë q�UJð …—u� w V²�√ ∫©¥® ‰U¦�
”s ©”®
π
∂ ∫ ´ ”s
©”®
∂
± ∫ Ω ”s
©”®
∂
π ∫ ≠ ”s
©”®
∂
± ∫
”s ©”®
π
± ∫ Ω
≤∞
∫©W½—UIL�« WO�Uš® ©¥® W ÒO�Uš
rO� lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ÊU�Ë ¨ ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨ ©”® ÊU� «–≈
∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ”
”s ©”®?¼
»
∫ ≤ ”s
©”®
»
∫
∫W−O²½
∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL' ∞ ≤ ©”® ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
∞ ≤ ”s ©”®
»
∫
Æ5K�UJ²�« s� >q� WLO� »UŠ ÊËœ ¨”s ”≤
∂
±≠ ∫ ≤ ”s
©μ ´ ≤”®
∂
±≠ ∫ Ê√ 5Ð ∫©μ® ‰U¦�
lOL' ”≤ Ê«d²�ô« ≤ ©μ ´ ≤”® Ê«d²�ô« Ê√ s¼d³½ Ê√ WM¹U³²*« W×� U³Łù wHJ¹
›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ¨ ∞ ≤ ”≤ ≠ μ ´ ≤” —«bI*« Ê√ Í√ ¨ ›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ”
?ł ¥ ≠ ≤
» eOL*« b$ ”≤ ≠ μ ´ ≤” wFOÐd²�« —«bI*« …—Uý≈ w Y׳K�
…—Uý≈ fH½ —«bI*« …—UýS V�UÝ eOL*« Ê≈ YOŠË ¨ ±∂≠ Ω μ × ± × ¥ ≠ ≤
©≤≠® Ω eOL*«
∋ ” lOL' Vłu� —«bI*« Ê√ Í√ ¨ ” rO� lOL' ≤” q�UF�
∋ ” lOL' ∞ ≤ ”≤ ≠ μ ´ ≤” Ê√ Í√
›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ”≤ ≤ μ ´ ≤” ∴
”s ”≤
∂
±≠ ∫ ≤ ”s
©μ ´ ≤”®
∂
±≠ ∫ ⇐
¥ ¨ ≤ 5²LOI�« 5Ð lI¹ ”s ©”≥
Uł ´ ≥®
∞ ∫ Ê√ 5Ð ∫©∂® ‰U¦�
± ”≥
Uł dH� ∴ ø«–U* ± ”Uł dH�
¥ ”≥
Uł ´ ≥ ≥ ∴
”s
¥
∞ ∫ ≥ ”s
©”≥
Uł ´ ≥®
∞ ∫ ”s
≥
∞ ∫ ∴
¥ ≥ ”s
©”≥
Uł ´ ≥®
∞ ∫ ≥ ≥ ∴
≤±
”s
± ´ ≤”
± ≠ ”≤
¥
± ∫ q�UJ²�« …—Uý≈ 5Ž ∫©∑® ‰U¦�
lOL' W³łu�
± ´ ≤”
± ≠ ”≤
Ω ©”® Ê«d²�ô« …—Uý≈
©μ≠¥® qJA�« kŠô Æ
≤
±
< ” rO�
›¥ ¨ ±¤ …d²H�« w W³łu�
± ´ ≤”
± ≠ ”≤
Ê«d²�ô« …—Uý≈ ∴
∞ < ”s
± ´ ≤”
± ≠ ”≤
¥
± ∫ ∴
≤
±
≠ ≠ ≠ ´ ´ ´j³�« …—Uý≈
≤
±
´ ´ ´ ´ ´ ´ÂUIL�« …—Uý≈
≤
±
≠ ≠ ≠ ´ ´ ´ ©”® …—Uý≈
∞
´
∞
©μ≠¥® qJA�«
©¥≠¥® s¹—U9
∫s� Îö� błËQ ∏ Ω ”s ©”®?¼
μ
± ∫ ¨∂ Ω ”s
©”®
μ
± ∫ ¨¥≠ Ω ”s
©”®
≤
± ∫ ÊU� «–≈ ±
”s ©©”®?¼ ≠ ©”®‚¥®
μ
± ∫ ?ł ”s
©”®
μ
≤ ∫ » ”s
©”® ≥
≤
± ∫ √
∫bŠ«Ë q�UJð …—u� w V²�√ ≤
”s ©”®
≥
± ∫ ≠ ”s
©”®
∑
± ∫ » ”s
©”®
∂
≤≠ ∫ ´ ”s
©”®
≥
∂ ∫ √
∫Ê√ 5Ð WO�U²�« ôU(« s� >q� w ö�UJ²�« »UŠ ÊËœ ≥
∞ ≤ ”s ©”Uł ´ ±®
π≤
∞ ∫ » ∞ ≤ ”s ¸μ ≠
≤”¸
∂
±≠ ∫ √
± ≥ ”s
≤” ´ ±
±
±
∞ ∫ ≥
≤
±
œ ”s ©μ ´ ”≥®
¥
± ∫ ≥ ”s
©∂ ´ ”≤®
¥
± ∫ ?ł
∫s� >q� WLO� bł ¥
”s ¸≤ ≠ ”¸
∞
≥≠ ∫ ?ł ”s≤
©μ ≠ ”≤®
≤
± ∫ » ”s
≤ √≤∞
±≠ ∫ √
”s ©”®
≤
∞ ∫ WLO� błËQ
± > ” ≥ ∞ ± ´ ≤”
≤ ≥ ” ≥ ± ” ≠ ≤
Ω ©”® ÊU� «–≈ μ
ø”s ©”®?¼ μ
≥
± ∫ WLO� UL ¨π Ω ”s
©”® ≥
≥
± ∫ ÊU�Ë ¨±π Ω ”s
©©”®?¼∑ ´ ©”® ¥®
≥
± ∫ ÊU� «–≈ ∂
ø?ł rO�ØWLO� UL ∞ Ω ”s ©” ≠ ±®”
?ł
∞ ∫ ÊU� «–≈ ∑
± Ω ”s ©”®
±
∞ ∫ ¨∞ Ω ©±® Ω ©∞® ∫Ê≈ YO×Ð ¨©”® WO½U¦�« Wł—b�« s� œËb(« dO¦� błË√ ∏
≤≤
(Fundamental Theorem of Calculus) q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�« μ≠¥
rNð U� v�≈ W¹dEM�« Ác¼ WOL¼√ œuFðË ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« rKŽ U¹dE½ r¼√ ÈbŠ≈ bM³�« «c¼ w ·dF²MÝ
nA²�« b�Ë ªÈdš√ WNł s� œËb;« q�UJ²�« WLO� »UŠË ¨WNł s� …œËb;« dOž ö�UJ²�« œU−¹≈ w tÐ
q{UH²�« rKŽ fÝ√ wF{«Ë UL¼—U³²ŽUÐ ¨o×Ð ¨s¹d¹bł ULNKFł U2 ¨s¹œdHM� eM³¹ôË sðuO½ ÊU*UF�« W¹dEM�« Ác¼
Æq�UJ*« Ê«d²�ô« vL¹ U� ·dF²½ W¹dEM�« ÁcN� ΫbON9Ë ¨dAŽ lÐU�« ÊdI�« w q�UJ²�«Ë
∫n¹dFð
¨’s ©’®
”
∫ Ω ©”® Ê«d²�ô« ÊS ¨› »¨ ¤ …d²H�« vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
Æ› »¨ ¤ …d²H�« vKŽ ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« vL¹ ¨» ≥ ” ≥
Æ›μ ¨ ±¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ± ´ ≤”≥ Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ∫©±® ‰U¦�
» ≥ ” ≥ ’s ©’®
”
∫ Ω ©”®
μ ≥ ” ≥ ± ’s ©± ´
≤’≥®
”
± ∫ Ω
’s ±
”
± ∫ ´ ’s ≤’
”
± ∫ ≥ Ω
©± ≠ ”®± ´
≥
≥
± ≠ ≥”
× ≥ Ω
≤ ≠ ” ´≥” Ω ± ≠ ” ´ ± ≠
≥” Ω
± > ” ≥ ∞ ”≥
≤ ≥ ” ≥ ± ”¥ ≠ ∂
Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©≤® ‰U¦�
›≤ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« ± ∫błËQ
øW�U(« Ác¼ w ©”® l� ©”® Ó W�öŽ U� ¨©”® Ó ≤
≤ ≥ ” ≥ ∞ ’s ©’®
”
∫ Ω ©”®
∫ÊS ± > ” ≥ ∞ X½U� «–≈ ∫ÎôË√
’s ’
”
∞ ∫ ≥ Ω ’s ’
≥
”
∞ ∫ Ω ©”®
≤”
≤
≥
Ω
≤
≤
∞ ≠ ≤”
× ≥ Ω
≤≥
∫ÊS ≤ ≥ ” ≥ ± X½U� «–≈ ∫ÎUO½UŁ
’s ©’¥ ≠ ∂®
”
± ∫ ´ ’s ’
≥
±
∞ ∫ Ω ©”®
©≤
≤
± ≠ ≤”
® ¥ ≠ ©± ≠ ”®∂ ´
≤
©≤
∞ ≠ ≤
±® ≥
Ω
≤
μ
≠ ≤”≤ ≠ ”∂ Ω
± > ” ≥ ∞ ≤”
≤
≥
≤ ≥ ” ≥ ±
≤
μ
≠ ≤”≤ ≠ ”∂
Ω ©”® ∴
bMŽ qB²� ©”® q�UJ*« Ê«d??²??�ô« sJ�Ë ¨± Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®
Ê√ ‰U¦*« «c??¼ w k??Šô
Æ©p�– s� oI%® ± Ω ”
∫ÂUŽ tłuÐ
∫W¹dE½
ÊuJ¹ ’s ©’®
”
∫ Ω ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® ÊU� «–≈
Æ›» ¨ ¤ vKŽ ÎöB²�
∫…bŽUI�UÐ vDF¹ ›¥¨±¤ …d²H�« vKŽ ·dF*« ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« ÊU� «–≈ ∫©≥® ‰U¦�
Æ» ¨ 5²ÐU¦�« błËQ
≤ > ” ≥ ± » ´ ”≤
¥ ≥ ” ≥ ≤ ≤ ´ ≤”
Ω ©”®
’s ©’®
”
± ∫ Ω ©”®
dH� Ω ’s ©’®
±
± ∫ Ω ©±® ⇐
≤≠ Ω » UNM�Ë ∞ Ω » ´ ± × ≤ ∴
≤ Ω ” bMŽ qB²� uN ›¥ ¨ ±¤ vKŽ qB²� ©”® Ê«d²�ô«
©≤® Ω ©”®
´ ≤ ←
”
Ω ©”®
≠ ≤ ←
”
∴
≤ ´ ¥ Ω » ´ ¥ ∴
±≠ Ω ÊuJð i¹uF²�UÐË ≤ Ω » UNM�Ë
≤¥
Æ›¥ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ·dF*« ¸ ≥ ≠ ” ¸ Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« bł ∫©¥® ‰U¦�
Æ©”® Ó błË√ rŁ
≥ ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ≥
¥ ≥ ” > ≥ ≥ ≠ ”
Ω ©”®
’s ©’®
”
∞ ∫ Ω ©”®
∫ÊS ≥ ≥ ” ≥ ∞ X½U� «–≈ ∫ÎôË√
’s ©’ ≠ ≥®
”
∞ ∫ Ω ’s
©’®
”
∞ ∫ Ω ©”®
©p�– s� oI%®
≤
≤”
≠ ”
≥ Ω
∫ÊS ¥ ≥ ” > ≥ X½U� «–≈ ∫ÎUO½UŁ
’s ©≥ ≠ ’®
”
≥ ∫ ´ ’s
©’ ≠ ≥®
≥
∞ ∫ Ω ©”®
π ´ ”≥ ≠
≤
≤”
Ω ©≥ ≠ ”®≥ ≠
≤
π ≠ ≤”
´
≤
π
Ω
≥ ≥ ” ≥ ∞
≤
≤”
≠ ”
≥
¥ ≥ ” > ≥ π ´ ”≥ ≠
≤
≤”
Ω ©”® ∴
≥ ” ∞ ¨ ”
≠ ≥
¥ ” ≥ ≥ ≠ ”
©ø«–U*® ≥ Ω ” dH�
Ω ©”® Ó ∴
¤¥ ¨ ∞ › ∋ ”
©”® Ω ©”® Ó Ê√Ë ¨ ›¥ ¨ ∞ ¤ vKŽ qB²� ©”® Ê√ kŠô
∫q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�«
’s ©’®
”
∫ Ω ©”® ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ∫ÎôË√
lOL' ©”® Ω ©”® Ó ÊuJ¹Ë ‚UI²ýö� qÐU� ©”® ÊS ¨ Ê«d²�ö� q�UJ*« Ê«d²�ô« u¼
©”® Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ ©”® Ê√ Í√ ¨¤ » ¨ › ∋ ”
∫ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ ©”® qB²*« Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« ©”®Â ÊU� «–≈ ∫ÎUO½UŁ
»
¸ ©”®Â …—uB�« vKŽ ‚dH�« «c¼ V²J¹Ë ¨© ®Â ≠ ©»®Â Ω ”s ©”®
»
∫
≤μ
ÍœR¹ «c¼Ë ¨t� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ qB²� Ê«d²�ô q�UJ*« Ê«d²�ô« Ê≈ ‰uI�« W¹dEM�« Ác¼ s� ‰Ë_« rI�« sLC²¹
WIKG� …d² vKŽ qB²� Ê«d²�ô œËb;« q�UJ²�« »U( t½√ ÃU²M²Ý« sLC²¹ Íc�« W¹dEM�« s� w½U¦�« rI�« v�≈
WI¹dDÐ U½œËe¹ «c¼Ë ª© ®Â ≠ ©»®Â Ω ”s ©”®
»
∫ ÊuJO ©”®Â t� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« b$ Ê√ wHJ¹ ¨›» ¨ ¤
q�UJ²�« n¹dFð vKŽ WLzUI�«Ë ¨œËb;« q�UJ²�« »U( U¼U½bL²Ž« w²�« v�Ë_« WI¹dD�« s� W�uNÝ d¦�√ Èdš√
ÆÊU1— ŸuL−� W¹UN½ t½QÐ œËb;«
ÊU�Ë vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ∫©μ® ‰U¦�
Æ©≥® błËQ ¨ ” ´ ≤” Ω ’s©’®
”
∞
∫ Ω ©”®
qB²� ©”® Ê_ ©”® Ω ©”® Ó
” ´ ≤” Ω ©”® Ê√ U0Ë
± ´ ”≤ Ω ©”® Ó ∴
± ´ ”≤ Ω ©”® ∴
∑ Ω ± ´ ≥ × ≤ Ω ©≥® UNM�Ë
?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’®
”
≤
π
∫ Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©∂® ‰U¦�
vKŽ qB²� ÊQÐ ÎULKŽ ¨ Ê«d²�ô« …bŽU�Ë ¨ ?ł XÐU¦�« WLO� błËQ
?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’®
”
≤
π
∫ Ω ©”®
?ł ´ ≤
π
U²ł ´ ≤
π
Uł Ω ’s ©’®
≤
π
≤
π
∫ Ω ©≤
π
® ∴
±≠ Ω ?ł UNM�Ë ¨?ł ´ ∞ ´ ± Ω dH� ∴
vKŽ qB²� Ê«d²�« Ê√ U0Ë
©”® Ω ©”® Ó ∴
”Uł ≠ ”U²ł Ω ©”® Ë√ ¨©”® Ω ”Uł ≠ ”U²ł ∴
≤∂
Ê«d²�ö� ©”®Â ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« V²�U ¨›± ±≠¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� μ ≠ ≤” Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©∑® ‰U¦�
Æ”s ©”®
±
±≠ ∫ błË√ rŁ ©”®
?ł ´ ”μ ≠
≥
≥”
Ω ”s ©μ ≠
≤”® ∫
”μ ≠
≥
≥”
Ω ©”®Â u¼ ©”® Ê«d²�ö� ©”®Â WOz«b³�« U½«d²�ô« bŠ√ ÊuJO
≥
≤∏
≠ Ω ©μ ´
≥
±
≠ ® ≠ ©μ ≠
≥
±
® Ω ©±≠®Â ≠ ©±®Â Ω ”s ©”®
±
±≠ ∫ ∴
¨› ≤
π
¨ ∞ ¤ …d²H�« vKŽ ”Uł ´ ”U²ł Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ∫©∏® ‰U¦�
”s
©”Uł ´ ”U²ł®
≤
π
∞
∫ błË√ rŁ
’s ©’ Uł ´ ’ U²ł®
”
∞ ∫ Ω ’s
©’®
”
∞ ∫ Ω ©”®
”
∞ ǀ ©’ U²ł ≠ ’ Uł® Ω
©± ≠ ∞® ≠ ©” U²ł ≠ ” Uł® Ω
± ´ ” U²ł ≠ ” Uł Ω
≤
π
∞ ǀ ©” U²ł ≠ ” Uł® Ω ”s
©”Uł ´ ”U²ł®
≤
π
∞
∫ ∴
©∞U²ł ≠ ∞Uł® ≠ ©≤
π
U²ł ≠ ≤
π
Uł® Ω
≤ Ω ©±≠® ≠ ± Ω
”s ¸”¸
±
±≠ ∫ błË√ ∫©π® ‰U¦�
∞ > ” ≥ ±≠ ”≠
± ≥ ” ≥ ∞ ”
Ω ¸”¸
”s”
±
∞
∫ ´ ”s”
≠
∞
±≠ ∫ Ω ”s ¸”¸
±
±≠ ∫ ∴
± Ω
≤
±
´
≤
±
Ω
±
∞ ǀ
≤
≤”
´
∞
±≠ǀ
≤
≤”
≠
Ω
≤∑
©μ≠¥® s¹—U9
∫WOðü« U½«d²�ô« s� >qJ� q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ±
¥ ≥ ” ≥ ± ” √ Ω ©”® √
π ≥ ” ≥ ∞ ¨ ”Uł ´ ” Ω ©”® »
≤ > ” ≥ ±≠ ”≥
≥ ≥ ” ≥ ≤ ” ≠ ∏
Ω ©”® ?ł
≤ ≥ ” ≥ ∞ ¸± ≠ ”¸ Ω ©”® œ
Æ ”Uł ´ ± √ Ω ’s ©’®
”
≤
π ≠
∫ Ω ©”® q�UJ*« t½«d²�« Ê≈ YO×Ð vKŽ qB²� Ê«d²�« ©”® ≤
Æ©∞® Ó ¨ ©∞® błË√
≤ > ” ≥ ∞ ≤”
μ ≥ ” ≥ ≤ ´ ”¥
Ω ©”® q�UJ*« t½«d²�«Ë ¨›μ ¨ ∞¤ vKŽ qB²� Ê«d²�« ©”® ≥
©≤® ?ł ”s ©”®
μ
∞
∫ » XÐU¦�« WLO� √ ∫błË√
± > ’ ≥ ∞ ’
≤ ≥ ’ ≥ ± ’ π Uł
Ω ©’® YOŠ ’s ©’®
”
∞
∫ Ω ©”® ÊU� «–≈ ¥
©≤
≥
® Î ©≤
±
® Ó s� Îö� błË√
∫WOðü« ö�UJ²�« s� Îö� błË√ μ
”s ©
≥≠”±∏ ≠ ≤
±
”
≤
≥
≠ ”≤®
π
±
∫ √
”s ¸≥ ≠ ”≤¸
∂
≤≠ ∫ »
”s ”≤
U�
≥
π
∞
∫ ?ł
”s ›≤ ´ ”¤
≥
±
∫ œ
≤∏
W?????OFO³D�« W ÒO?????? ÒÝ_«Ë W?OL²¹—UžuK�« U½«d²ô« ∂≠¥
(Natural Logarithmic and Exponential Functions)
∫wFO³D�« wL²¹—UžuK�« Ê«d²ô« ∫ÎôË√
ø”s ”
±
∫ Í√ ¨±≠ΩÊ UNO ÊuJð w²�« W�U(« sŽ «–UL¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´
± ´ Ê
±´Ê”
Ω ”s Ê
” ∫ Ê√ rKFð
vKŽ qB²� Ê«d²�« ∞ < ” ¨ ”
±
Ω ©”® Ê«d²�ô« Ê√ kŠö½ ‰«R�« sŽ WÐUłû�
∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ
±
”
±
∫ Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« ÊS rŁ s�Ë ªt�U−� s� WIKG� …d² W¹√
WŠU� tK¦9 ± ≤ ” dOG²LK� WLO� Í√ bMŽ Ê«d²�ô« «c¼ WLO�Ë ¨t� wz«bÐ Ê«d²�« u¼
Æ©∂≠¥® qJA�« w WKKE*« WIDM*«
’
Ÿ
± ”
Ÿ
± Ω ©Ÿ®
©∂≠¥® qJA�«
∫wK¹ U� ∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ
±
”
±
∫ Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« hzUBš s�
dH� Ω ©±®‰ ±
©q�UJ²�«Ë q{UH²�« w WOÝUÝ_« W¹dEM�«® ”
±
Ω ©”®Ó‰ ≤
∞ < ” lOL' ∞ < ©”®Ó‰ ∴
ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� u¼Ë t�U−� vKŽ b¹«e²� Ê«d²�« ©”®‰ Ê√ Í√
≤”
±≠
Ω ©”®Î‰ ≥
∞ < ” lOL' ∞ > ©”®Î‰ ∴
Æt�U−� vKŽ qHÝú� dFI� ©”®‰ Ê«d²�ô« vM×M� Ê√ Í√
UL� w³¹dIð qJAÐ ©”®‰ vM×M� rÝ— sJ1 ¨hzUB)« ÁcNÐ W½UF²ÝôUÐ
Íc�« wL²¹—UžuK�« Ê«d²�ô« vM×M0 „d�c¹ ªqJA�« «c¼Ë ¨©∑≠¥® qJA�« w
ÆÎUIÐUÝ pF� d�
’
”
±
©∑≠¥® qJA�«
Ê√Ë ¨WOL²¹—UžuK�« U½«d²�ô« WKzUF� ÎöF wL²M¹ ©”®‰ Ê«d²�ô« Ê√ ÊUO³ð sJ1Ë
ÆÎU³¹dIð ≤[∑ t²LO�Ë ÎUIÐUÝ t²dFð Íc�« ©?¼® ÍdO³OM�« œbF�« u¼ Ê«d²�ô« «cN� ”UÝ_«
≤π
∫n¹dFð
Á«b�Ë ¨W³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� t�U−� Ê«d²�« u¼ ”?¼
u� Ω ©”® wFO³D�« r²¹—UžuK�« Ê«d²�«
∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ
±
”
±
∫ Ω ”
?¼
u� tðbŽU�Ë ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−�
UN²LKFð w²�« UNð«– UL²¹—UžuK�« 5½«u� ”?¼
u� Ω ©”® wL²¹—UžuK�« Ê«d²�ô« vKŽ o³DM𠨉U(« WFO³DÐË
∫Ê√ Í√ ¨ÎUIÐUÝ
»?¼
u� ´ ?¼
u� Ω » ?¼
u� ±
»?¼
u� ≠ ?¼
u� Ω »
?¼
u� ≤
?¼
u� Ê Ω
Ê
?¼
u� ≥
∫W¹dE½
”
±
Ω ©”® Ó ÊS ∞ < ” ¨ ”
?¼
u� Ω ©”® ÊU� «–≈ ±
?ł ´ ¸”¸ ?¼
u� Ω ”s ”
±
∫ ≤
∫ÂUŽ tłuÐË
∫ÊS ¨‚UI²ýö� qÐU�Ë ¨ ∞ < ©”®Ÿ YOŠ ª©”®Ÿ ?¼
u� Ω ©”® ÊU� «–≈ ±
©”® Ÿ
©”® ÓŸ
Ω ©”®ÓŸ ×
©”® Ÿ
±
Ω ©”® Ó
?ł ´ ¸©”® ¸ ?¼
u� Ω ”s
©”®
©”®
Ó
∫ ≤
”s ”
μ
∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�
”s ”
±
∫ μ Ω ”s ”
μ
∫
??ł ´ ¸”¸
?¼
u�μ Ω
≥∞
”s ”
±
≤ ?¼
?¼
∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�
≤ ?¼
?¼
¸ ¸”¸ ?¼
u� Ω ”s ”
±
≤ ?¼
?¼
∫
≤ ?¼
?¼
¸ ”?¼
u� Ω
?¼ ?¼
u� ≠ ≤
?¼ ?¼
u� Ω
± Ω ?¼ ?¼
u� Ω ?¼ ?¼
u� ≠ ?¼ ?¼
u�≤ Ω
”s
’s
błËQ ”≤
U²ł?¼
u� Ω ’ X½U� «–≈ ∫©≥® ‰U¦�
Ó ©”≤
U²ł® × ”≤
U²ł
±
Ω ”s
’s
” Uþ≤≠ Ω ”
Uł
≠ × ”
U²ł≤ × ”≤
U²ł
±
Ω
”s
± ´ ≤”
”≤
∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦�
©± ´ ≤”® ÂUI*« WI²A� u¼ ©”≤® j³�«
?ł ´ ©± ´ ≤”®
?¼
u� Ω ”s
± ´ ≤”
”≤
∫ ∴
”s ”
U²þ ∫ błË√ ∫©μ® ‰U¦�
”s
”
Uł
Ó©”
Uł®
∫ Ω ”s
”
Uł
”
U²ł
∫ Ω ”s ”
U²þ ∫
?ł ´ ¸”Uł¸ ?¼
u� Ω
≥±
∫wFO³D�« Òw ÒÝÔ_« Ê«d²�ô« ∫ÎUO½UŁ
ªdþUMð Ê«d²�« u¼ ”
?¼
u� Ω ©”® wFO³D�« wL²¹—UžuK�« Ê«d²�ô«
¨
´
Á«b????�Ë ¨ t�U−� ©”®±≠ wJŽ Ê«d??²??�« t??� ÊuJO
Ê«d²�ô« vM×M* ”UJF½« u¼ ÁUM×M�Ë ¨”
?¼ Ω ©”®±≠ tðbŽU�Ë
Æ©∏≠¥® qJA�« dE½« Æ” Ω ’ rOI²*« w wL²¹—UžuK�«
’
”
±
”
?¼
u� Ω ’
” Ω ’
”
?¼ Ω ’
©∏≠¥® qJA�«
o³DMðË ¨wFO³D�« wÝ_« Ê«d²�ô« ”
?¼ Ω ’ Ê«d²�ô« wL½
∫UNM�Ë ¨ÎUIÐUÝ UN²LKFð w²�« fÝ_« 5½«u� tOKŽ
Ê≠Â
?¼ Ω Ê
?¼ õ Â
?¼ ≤ Ê´Â
?¼ Ω Ê
?¼ × Â
?¼ ±
± Ω ∞
?¼ ¥ Ê Â
?¼ Ω
Ê
©Â
?¼® ≥
∫W¹dE½
”
?¼ Ω ”s
’s
ÊS ”
?¼ Ω ’ X½U� «–≈ ±
?ł ´ ”
?¼ Ω ”s ”
?¼ ∫ ≤
∫ÊU¼d³�«
”
?¼ Ω ’ ±
∫Z²M¹ ¨5dDK� wFO³D�« r²¹—UžuK�« cšQÐ
” Ω ?¼?¼
u� ” Ω ”
?¼?¼
u� Ω ’
?¼
u�
∫Z²M¹ ¨” v�≈ W³M�UÐ W�œUF*« wdÞ ‚UI²ýUÐË
± Ω ”s
’s
’
±
”
?¼ Ω ’ Ω ”s
’s
∴
”
?¼ Ω ©”
?¼® ”ss
Ê√ U0 ≤
”
?¼ Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« ”
?¼ ∴
?ł ´ ”
?¼ Ω ”s ”
?¼ ∫ Ê√ Í√
≥≤
∫wK¹ UL� WIÐU��« W¹dEM�« rOLFð sJL¹Ë
©”®Ó„ × ©”
®„
?¼ Ω ”s
’s
ÊS ‚UI²ýö� qÐU� ©”®„ ¨ ©”
®„
?¼ Ω ’ X½U� «–≈ ±
?ł ´ ©”
®„
?¼ Ω ”s ©”®Ó„ Æ
©”
®„
?¼ ∫ ≤
∫wK¹ U2 q� w ”s
’s
błË√ ∫©∂® ‰U¦�
± ´
”
?¼
”
?¼
?¼
u� Ω ’ ?ł
≤
π
Ω ” bMŽ ”
Uł
?¼ Ω ’ » ”
?¼ ” Ω ’ √
”
?¼ ” Ω ’ √
”
?¼ ´ ”
?¼ ” Ω ± ×
”
?¼ ´ ”
?¼ × ” Ω ”s
’s
≤
π
Ω ” ”
Uł
?¼ Ω ’ »
”U²ł × ”
Uł
?¼ Ω ”s
’s
∞ Ω ∞ × ±
?¼ Ω
≤
π
U²ł × ≤
π
Uł
?¼ Ω”s
’s
≤
π Ω
”
¸ ∴
± ´
”
?¼
”
?¼
?¼
u� Ω ’ ?ł
Ó
©± ´
”
?¼
”
?¼
® ×
©± ´
”
?¼
”
?¼
®
±
Ω ”s
’s
≤
©± ´
”
?¼®
©
”
?¼®
”
?¼ ≠
”
?¼ × ©± ´
”
?¼®
× ”
?¼
± ´
”
?¼
Ω
± ´
”
?¼
±
Ω ≤
©± ´
”
?¼®
”≤
?¼ ≠
”
?¼ ´
”≤
?¼
× ”
?¼
± ´
”
?¼
Ω
∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ ‰«R�« qŠ sJ1Ë
± ´
”
?¼
”
?¼
?¼
u� Ω ’
©± ´ ”
?¼® ?¼
u� ≠ ”
?¼ ?¼
u� Ω
©± ´ ”
?¼® ?¼
u� ≠ ” Ω
± ´
”
?¼
±
Ω
± ´
”
?¼
”
?¼ ≠ ± ´
”
?¼
Ω ”
?¼ ×
± ´
”
?¼
±
≠ ± Ω ”s
’s
∴
≥≥
∫WOðü« ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ∫©∑® ‰U¦�
”s ”
U²ł ”
Uł
?¼
∫ » ”s ≥”
?¼ ≤”
≥
∫ √
”s Ó ©≥”® ×
≥”
?¼ ∫ Ω ”s ≥”
?¼ ≤”
≥ ∫ √
?ł ´ ≥”
?¼ Ω
”s Ó ©”Uł® ”
Uł
?¼
∫ Ω ”s ”
U²ł ”
Uł
?¼
∫ »
?ł ´ ”
Uł
?¼ Ω
©∂≠¥® s¹—U9
∫wK¹ U2 Ìq� w ”s
’s
błË√ ±
≥
©” ?¼
u�® Ω ’ » ©”≤ ´ ≤”®
?¼
u� Ω ’ √
”
?¼
u� ” ≠ ” Ω ’ œ ”≤
Uł ?¼
u� Ω ’ ?ł
©” ?¼
u�® ?¼
u� Ω ’ Ë ”
?¼
u� ´ ±
”
?¼
u� ”
Ω ’ ?¼
≥” ?¼
u� ≤”
?¼ Ω ’ Õ
± ≠ ”
?¼
± ´ ”
?¼
Ω ’ “
’´
”
?¼ Ω ’
?¼ ´ ”
?¼ Í ≥
©± ´ ≤”®
” √
?¼
u� Ω ’ ◊
”
” Ω ’ ‰ ≥
©± ´ ≤”®
” √ Ω ’ „
©‰ ¨ „ 5ŽdH�« w 5dD�« r²¹—Užu� cš ∫œUý—≈®
∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ≤
”s
± ´ ”
≤
?¼
”≤
?¼
∫ » ”s ”≤
U� ”
Uþ
?¼ ∫ √
”s ”
≤
?¼≤
?¼
∞
∫ œ ”s ”
?¼ √
≤
±
∫ ?ł
©j³�« w ± ≠©±´”® Ω” l{ ∫œUý—≈® ”s
± ´ ”
”
∫ Ë ”s
¥ ´ ”≤ ´ ≤”
± ´ ”
∫ ?¼
∫W�œUF*« oI×¹ ”
≥
?¼©”≤ ´ ±® Ω ’ Ê«d²�ô« Ê√ 5Ð ≥
∞ Ω ’
π ´ ”s
’s
∂ ≠ ≤”s
’≤s
(Methods of Integration) q????�UJ²�« ‚d???Þ ∑≠¥
q�UJ²�« w WOÝUÝ_« bŽ«uI�« ÈbŠù dýU³*« oO³D²�« ÊUJ�ùUÐ ÊuJ¹ b� ¨U� q�UJð ¡«dł≈ pM� VKD¹ U�bMŽ
∫q¦� ÎUIÐUÝ pF� d� w²�«
¨ ?ł ´ ¸”¸ u� Ω ”s
”
±
∫ Ë√ ¨?ł ´ ”
Uþ Ω ”s ”≤
U� ∫ Ë√¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´
± ´ Ê
±´Ê”
Ω ”s Ê
” ∫
Æa�≈ ÆÆÆË√
∫UNM� Èdš√ ‚dÞ Â«b�²Ý« sJL*« sL WOÝUÝ_« q�UJ²�« bŽ«uI� dýU³*« oO³D²K� lC�ð ô w²�« ôU(« w U�√
Æi¹uF²�UÐ q�UJ²�« ±
Æ¡«eł_UÐ q�UJ²�« ≤
ÆWOze'« —uJ�UÐ q�UJ²�« ≥
∫‚dD�« Ác¼ s� >qJ� `O{uð wK¹ ULOË
(Integration by Substitution) i¹uF²�UÐ q�UJ²�« ∫ÎôË√
∫’s ¨ ”s Ê«e�d�« ∫bON9
©’ ¨ ”® WDIM�« bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® Ω ’ ÊU� «–≈
vKŽ ’ WK{UHðË ¨” WK{UHð ÊUOL¹Ë ¨’s ”s s¹e�d�« ·dF½ UM½S
Æ ”s ©”®Ó Ω ’s ¨”Δ Ω ”s ∫«cJ¼ ¨VOðd²�«
uN ’s e�d�« U�√ ¨”Δ Í√ ” w dOG²K� dš¬ e�— u¼ ”s e�d�« Ê≈
WDIM�« bMŽ vM×MLK� ”UL*« v�≈ W³M�UÐ ” w dOG²K� dþUM*« ’ w dOG²�«
s� W³¹d� ÊuJð ’Δ ÊS dHB�« s� W³¹d� ”Δ ÊuJð U�bMŽË ¨©’ ”®
Æ©π≠¥® qJA�« dE½« ¨’s
’
”
”
©’ ¨ ”®
”s
’Δ
’s
©”® Ω ’
©π≠¥® qJA�«
ÆVOðd²�« vKŽ ”s ¨’s t�UI�Ë tDРΫd� ”s
’s
—U³²Ž« n¹dF²�« «c¼ UM� `O²¹Ë
qNÝ√ …—uBÐ b¹bł dOG²0 dš¬ q�UJð v�≈ vDF*« q�UJ²�« q¹u% vKŽ ÂuI¹ i¹uF²�UÐ q�UJ²�« »uKÝ√ Ê≈
i¹uF²�« ÊS ”s ©”® Ó ?¼ Æ©©”®?¼® ∫ …—uB�« vKŽ »uKD*« q�UJ²�« ÊU� «–≈ Îö¦L ªWOK�_« …—uB�« s�
qNÝ√ …dOš_« …—uB�«Ë ª”s ©”® Ó ?¼ Ω ’s Ê_ ’s ©’® ∫ …—uB�« v�≈ q�UJ²�« ‰u×¹ ©”®??¼ Ω ’
Æv�Ë_« …—uB�« s�
≥¥
”s μ
©≥ ´ ”≤® ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�
≥ ´ ”≤ Ω ’ Ê√ ÷dH½
≤
’s
Ω ”s
UNM�Ë ”s
≤ Ω ’s ∴
?ł ´ ±≤
∂
’
Ω ≤
’s
μ
’ ∫ Ωq�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐ
?ł ´ ±≤
∂
©≥ ´ ”≤®
Ω
”s ©≥ ´ ”≤® ≥
©”≥ ´ ≤”® ∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�
”≥ ´ ≤” Ω ’ Ê√ ÷dH½
”s ©≥ ´ ”≤® Ω ’s ∴
?ł ´ ¥
¥’
Ω ’s ≥’ ∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐË
?ł ´ ¥
¥
©”≥ ´ ≤”®
Ω
”s
©≤ ´ ”≥®U²ł ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�
©≤ ´ ”≥® Ω ’ Ê√ ÷dH½
≥
’s
Ω ”s UNM�Ë ”s
≥ Ω ’s ∴
?ł ´ ’Uł ≥
±
Ω ’s
’U²ł ≥
±
∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐË
?ł ´ ©≤ ´ ”≥®Uł ≥
±
Ω
”s ”U²ł ”≤
Uł ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦�
”Uł Ω ’ Ê√ ÷dH½
”s ”U²ł Ω ’s ∴
?ł ´ ≥
≥’
Ω ’s
≤’ ∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐË
?ł ´ ≥
” ≥
Uł
Ω
≥μ
≥∂
∫…bŽU
?ł ´
©» ´ ” ®Â
Ω ”s ©» ´ ” ® ∫ ÊS ¨ ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ∫ ÊU� «–≈
∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ∫©μ® ‰U¦�
”s ∑´”
μ
?¼ ∫ ?ł ”s
©± ´ ”μ®≤
U� ∫ » ”s μ
©¥ ´ ”≥® ∫ √
?ł ´ ∂
∂
”
Ω ”s μ” ∫ √
?ł ´
≥ × ∂
∂
©¥ ´ ”≥®
Ω ”s μ
©¥ ´ ”≥® ∫ ∴
?ł ´ ±∏
∂
©¥ ´ ”≥®
Ω
?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤
U� ∫ »
?ł ´ μ
©± ´ ”μ®Uþ
Ω ”s
©± ´ ”μ®≤
U� ∫ ∴
?ł ´ ”
?¼ Ω ”s ”
?¼ ∫ ?ł
?ł ´ μ
∑´”
μ
?¼
Ω ”s ∑´”
μ
?¼ ∫ ∴
”s
”≤
Uł ´ ± √
”U²ł ”Uł≤
≤
π
∞
∫ błË√ ∫©∂® ‰U¦�
”≤
Uł ´ ± Ω ’ Ê√ ÷dH½
”s
”U²ł ”Uł≤ Ω ’s
’ √
’s
∫ Ω œËb;« dOž q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐ
’s
≤
± ≠
’ ∫ Ω
?ł ´ ”≤
Uł ´ ± √ ≤ Ω ?ł ´ ≤
±
’ ≤ Ω
≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω
≤
π
∞
¸ ”≤
Uł ´ ± √ ≤ Ω »uKD*« œËb;« q�UJ²�« ∴
≥∑
U�bMF ’ b¹b'« dOG²*« l� q�UJ²�« w —«dL²ÝôUÐ ÎUC¹√ œËb;« q�UJ²�« »UŠ sJ1 ∫WEŠö�
≤ Ω ≤
π
≤
Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ≤
π
Ω ” U�bMŽË ¨± Ω ∞ ≤
Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ”
≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω
≤
±
¸ ≤
±
’≤ Ω œËb;« q�UJ²�« ∴
”s ”
©”
?¼
u�® U²ł
?¼
±
∫ błË√ ∫©∑® ‰U¦�
”
?¼
u� Ω ’ Ê√ ÷dH½
’s
” Ω ”s
UNM�Ë ”s ”
±
Ω ’s
∴
± Ω ?¼
?¼
u� Ω ’ ÊuJð ?¼ Ω ” U�bMŽË ¨ ∞ Ω ±?¼
u� Ω ’ ÊuJð ± Ω ” U�bMŽË
’s
” × ”
’U²ł
±
∞
∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ ¨i¹uF²�UÐ ∴
’s
’
U²ł
±
∞
∫ Ω
±
∞
¸ ’
Uł Ω
± Uł Ω ∞ Uł ≠ ± Uł Ω
”s
” ≥
U²ł
∫ błË√ ∫©∏® ‰U¦�
”s
”≤
U²ł Æ ”U²ł
∫ Ω ”s
”≥
U²ł
∫
”s
©”≤
Uł ≠ ±®”U²ł
∫ Ω
”s
”U²ł Ω ’s ÊuJ¹
”
Uł Ω ’ Ê√ ÷dHÐË
’s
©≤’ ≠ ±®
∫ Ω ”s
”≥
U²ł
∫ ∴
?ł ´ ≥
≥
’
≠ ’ Ω
©q(« W×� s� oI%® ?ł ´ ≥
”≥
Uł
≠ ”Uł Ω
≥∏
©±≠∑≠¥® s¹—U9
∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ±
”s ”≥ ≠
≥” √ ©± ≠ ≤”®
∫ » ”s
μ
©¥ ´ ≤”®”
∫ √
”s
”
±
Uł ≤≠”
∫ œ ”s ”Uł ´ ± √ ”U²ł
∫ ?ł
”s
”
≤
©” ?¼
u�®
∫ Ë ”s
©∂ ≠ ”¥ ´ ≤”® Uł ©≤ ´ ”®
∫ ?¼
”s
± ´ ” √
± ´ ” √ Uł
∏
≥
∫ Õ
”s
± ´ ”≥ ´ ≥” √
± ´ ≤”
≤
∞
∫ “
”s
μ ´ ”≤ √
μ´ ”
≤ √?¼
∫ Í ”s ≤
©± ´ ”
?¼®
”
?¼
∫ ◊
∫WO�U²�« ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ≤
”s
”≤
Uł
∫ » ”s ± ≠ ”≤
≥√
∫ √
”s ”U²ł ≠ ±
±
∫ œ ”s
”≥
U²ł ”≤
Uł
∫ ?ł
”s
±μ
©± ´ ”®≤”
∫ Ë ”s
”Uþ ”≥
U�
≥
π
∞
∫ ?¼
©©”Uþ ´ ”U�® vKŽ r�«Ë »d{« ∫œUý—≈® ”s
”U�
∫ “
©” ´ ± Ω ’ l{ ∫œUý—≈® ”s
” ´ ± √
”
∫ Õ
≥π
(Integration by Parts) ¡«eł_UÐ q�UJ²�« ∫ÎUO½UŁ
∫ÊS ” dOG²LK� W³M�UÐ ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« ?¼ ¨ ÊU� «–≈ t½√ rKF½
”s
s
× ?¼ ´ ”s?¼s
× Ω ©?¼ × ® ”ss
∫ÊuJ¹ ” v�≈ W³M�UÐ 5dDK� q�UJ²�« ¡«dłSÐË
”s ”s
s
?¼
∫ ´ ”s ”s
?¼s
∫ Ω ?¼ ×
s
?¼
∫ ´ ?¼s
∫ Ω
∫Ê√ Í√
s
?¼ ≠ ?¼ × Ω ?¼s
`C²¹ UL� ¨ ö�UJ²�« iFÐ »UŠ w UN�«b�²Ý« sJ1Ë ¨¡«eł_UÐ q�UJ²�« …bŽU� …bŽUI�« Ác¼ vLð
∫WO�U²�« WK¦�_« s�
”s”Uł ”
∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�
Ê√ ÷dH½ ”s”Uł Ω ?¼s ” Ω
”U²ł≠ Ω ”s”Uł
∫ Ω ?¼ ”s Ω s≠
s
?¼
∫ ≠ ?¼ Ω ?¼s
∫ sJ�
”s”U²ł
∫ ´ ”U²ł ”≠ Ω ”s”Uł ”
∫ ∴
?ł ´ ”Uł ´ ”U²ł ”≠ Ω
”s ¥ ´ ” √ ”
∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�
”s ¥ ´ ” √ Ω ?¼s
≠
” Ω Ê√ ÷dH½
≤
≥
©¥ ´ ”® ≥
≤
Ω ”s ≤
±
©¥ ´ ”®
∫ Ω ?¼ ”s Ω s
”s ≤
≥
©¥ ´ ”® ≥
≤
∫ ≠ ≤
≥
©¥ ´ ”®” ≥
≤
Ω ”s ¥ ´ ” √ ”
∫ ∴
?ł ´ ≤
μ
©¥ ´ ”® × ±μ
¥
≠ ≤
≥
©¥ ´ ”® ” ≥
≤
Ω
¥∞
∫w�U²�« ‰U¦*« w UL� ¨…d� s� d¦�√ ¡«eł_« WI¹dÞ oO³Dð q�UJ²�« ¡«dł≈ VKD²¹ Ê√ sJ1
”s ”U²ł ≤”
∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�
”s ”U²ł Ω ?¼s ≤” Ω Ê√ ÷dH½
”Uł Ω ”s ”U²ł
∫ Ω ?¼
”s ”≤ Ω
”s ”Uł ”≤
∫ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł
≤”
∫ ∴
”s ”Uł ”
∫ ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω
qB×M ©±® ‰U¦� w UL� ¨Èdš√ …d� ¡«eł_UÐ q�UJ²�« Âb�²½ ”s ”Uł ”
∫»U(Ë
∫WOzUNM�« W−O²M�« vKŽ
?ł ´ ©”Uł ´ ”U²ł ”≠® ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł
≤”
∫
?ł ´ ”Uł≤ ≠ ”U²ł ”≤ ´ ”Uł ≤” Ω
”s”
?¼
u�
?¼
±
∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦�
”s Ω Ës ”
?¼
u� Ω Ê√ ÷dH½
” Ω Ë ”s ”
±
Ω
”s ”
±
× ”
∫ ≠ ”
?¼
u� ” Ω ”s”
?¼
u�
∫ ∴ ?ł ´ ” ≠ ”
?¼
u� ” Ω
?¼
±
¸ ” ≠ ”
?¼
u� ” Ω ”s”
?¼
u�
?¼
±
∫ ∴
± Ω ©± ≠ ±
?¼
u�® ≠ ©?¼ ≠ ?¼
?¼
u� ?¼® Ω
∫w�U²�« ‰U¦*« w UL� ¨UF� ¡«eł_«Ë i¹uF²�« w²I¹dÞ oO³D²Ð ôU(« iFÐ w q�UJ²�« »UŠ sJ1Ë
¥±
”s ” √ Uł
∫ błË√ ∫©μ® ‰U¦�
≤’ Ω ” ∴ ” √ Ω ’ Ê√ ÷dH½
’s ’≤ Ω ”s ∴
’s ’
Uł ’≤
∫ Ω ”s ” √ Uł
∫ ÊuJ¹ ¨i¹uF²�UÐ
’s ’
Uł ’
∫≤ Ω
∫WOzUNM�« W−O²M�« vKŽ qB×M ©±® ‰U¦� w UL� ¨¡«eł_« WI¹dÞ Âb�²½ ’s ’
Uł ’
∫ »U(Ë
’s ’
Uł ’
∫≤ Ω ”s ” √ Uł
∫
?ł ´ ©’Uł ´ ’U²ł ’≠®≤ Ω
?ł ´ © ” √ Uł ´ ” √ U²ł ” √ ≠®≤ Ω
©≤≠∑≠¥® s¹—U9
∫wK¹ U2 Ìq� w ¡«eł_UÐ q�UJ²�« WI¹dÞ Âb�²Ý« ±
”s ”≥ U²ł©± ´ ”≤®
π
∞
∫ » ”s ”≤Uł ”
∫ √
”s ”
?¼ ≤”
∫ œ ”s ”
?¼
u� ”
∫ ?ł
”s ”
Uł ”
?¼
∫ Ë ”s ”
?¼
u� ±∞”
∫ ?¼
∫WO�U²�« ö�UJ²�« błË√ ≤
”s
” ≠ ± √ ”
±
∞
∫ ?ł ”s
©”
?¼
u�® Uł
∫ » ”s ”≤
U²� ” U²þ ”
∫ √
”s
©”® Ó ”
≤
±
∫ WLO� VŠU ∏ Ω ©≤® ¨ μ Ω ©±® ≥ Ω ”s
©”®
≤
±
∫ ÊU� «–≈ ≥
Æ” W�ôbÐ ’ błËQ ¨”Uþ ”U� ” Ω ”s
’s
X½U� «–≈ ¥
¥≤
Integration by Partial Fractions WOze'« —u�J�UÐ q�UJ²�« ∫ÎU¦�UŁ
ÊuJ¹ YOŠ ¨a�≈ÆÆƨ
± ´ ≤”
”≤
¨
≤ ´ ”≤
≤
q¦� WO³½ U½«d²�« ö�UJð b$ Ê√ UMFD²Ý« oÐUÝ bMÐ w
Æ ?ł ´ ¸©”® ¸ ?¼
u� Ω ”s
©”®
©”®
Ó
∫ …bŽUI�« «b�²ÝUÐ p�–Ë ¨ÂUI*« WI²A* ÎU¹ËU� j³�«
ÂuIðË ¨o³Ý U2 rŽ√ WO³½ U½«d²�« ö�UJð œU−¹ù WOze'« —uJ�UÐ q�UJ²�« WI¹dÞ ·dF²MÝ ¨bM³�« «c¼ w
Ë√ v�Ë_« Wł—b�« s� WO�Ë√ q�«uŽ v�≈ w³M�« Ê«d²�ô« w ÂUI*« qOK% vKŽ WI¹dD�« Ác¼ w WOÝUÝ_« …dJH�«
`C²¹ UL� ¨ÁöŽ√ w —u�c*« ŸuM�« s� d¦�√ Ë√ 5O³½ 5½«d²�« ŸuL−� W¾O¼ w w³M�« Ê«d²�ô« WÐU²� rŁ ¨WO½U¦�«
ªWO�U²�« WK¦�_« s�
q�«uŽ v�≈ qOKײ�« q³I¹Ë ≥ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô œËbŠ dO¦� t�UI� w³½ Ê«d²�« q�UJð œU−¹≈ vKŽ dB²IMÝË
ÆWHK²�� WODš
”s
≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”
≥ ≠ ”μ
∫ bł ∫©±® ‰U¦�
©≥ ≠ ”® ©± ´ ”® Ω ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ÂUI*«
≥ ≠ ”
»
´
± ´ ”
Ω
≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”
≥ ≠ ”μ
lC½
©≥ ≠ ”® ©± ´ ”®
©± ´ ”® » ´ ©≥ ≠ ”®
Ω
©≥ ≠ ”® ©± ´ ”®
© ≥ ≠ »® ´ ” ©» ´ ®
Ω
5D³�« ÊS ÎUC¹√ ÊU¹ËU²� 5�UI*«Ë ÊU¹ËU²� 5dD�« w 5O³M�« 5½«d²�ô« Ê√ U0Ë
W¹ËU²� ULNO WNÐUA²*« œËb(« ö�UF� ÊuJðË 5¹ËU²� ÊU½uJ¹
©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ μ Ω » ´ ∴
©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥≠ Ω ≥ ≠ »
≥ Ω » ≤ Ω ∫ Ê√ Z²M¹ ÎUF� 5²�œUF*« q×ÐË
”s ©≥ ≠ ”
≥
´
± ´ ”
≤
® ∫ Ω ”s
≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”
≥ ≠ ”μ
∫ ∴
?ł ´ ¸≥ ≠ ”¸
?¼
u� ≥ ´ ¸± ´ ”¸
?¼
u�≤ Ω
¥≥
”s ” ≠
≥”
± ≠ ”≥ ´ ≤”≤
∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�
©± ≠ ≤”®” Ω ” ≠
≥” ÂUI*«
©± ´ ”® ©± ≠ ”®” Ω
± ´ ”
?ł
´
± ≠ ”
»
´ ”
Ω ” ≠
≥”
± ≠ ”≥ ´ ≤”≤
lC½
©± ´ ”® ©± ≠ ”® ”
©” ≠ ≤”®?ł ´ ©” ´
≤”®» ´ ©± ≠ ≤”®
Ω
©± ´ ”® ©± ≠ ”® ”
≠ ” ©?ł ≠ »® ´ ≤” ©?ł ´ » ´ ®
Ω
∫Z²M¹ 5D³�« w WNÐUA²*« œËb(« ö�UF� …«ËU0
©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤ Ω ?ł ´ » ´
©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥ Ω ?ł ≠ »
©≥® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ±≠ Ω ≠
±≠ Ω ?ł ¨ ≤ Ω » ± Ω ∫Ê√ Z²M¹ ôœUFL�« q×Ð
”s ©± ´ ”
±
≠
± ≠ ”
≤
´ ”
±
® ∫ Ω ”s ” ≠
≥”
± ≠ ”≥ ´ ≤”≤
∫ ∴
?ł ´ ¸± ´ ”¸
?¼
u� ≠ ¸± ≠ ”¸
?¼
u�≤ ´ ¸”¸
?¼
u� Ω
”s ” ≠
≤”
± ´ ≤”≤ ≠
≥”≤
∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�
‰uB×K� WLI�« ÎôË√ Íd$ «c� ªÂUI*« Wł—œ s� d³�√ j³�« Wł—œ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö¹
ÆÂUI*« Wł—œ s� dG�√ UNO j³�« Wł—œ WO³½ U½«d²�« vKŽ
∫ÊuJ¹ ÎU³½Uł 5³� u¼ UL�
”≤
” ≠ ≤” ± ´
≤”≤ ≠ ≥”≤
≤”≤ ≠ ≥”≤
±
´ ≠
” ≠
≤”
±
´ ”≤ Ω ” ≠
≤”
± ´ ≤”≤ ≠
≥”≤
”s © ” ≠ ≤”
±
´ ”≤® ∫ Ω ”s ” ≠
≤”
± ´ ≤”≤ ≠
≥”≤
∫ ∴
¥¥
”s ” ≠
≤”
±
∫ ´ ≤
” Ω
∫Ê√ ÷dH½ ”s ” ≠
≤”
±
∫ q�UJ²�« ¡«dłùË
± ≠ ”
»
´ ”
Ω
©± ≠ ”®”
±
Ω ” ≠
≤”
±
©± ≠ ”® ”
©”®» ´ ©± ≠ ”®
Ω
©± ≠ ”® ”
≠ ” ©» ´ ®
Ω
∞ Ω » ´ ⇐
± Ω » ±≠ Ω Ê√ Í√ ± Ω ≠
”s ©± ≠ ”
±
´ ”
±≠
® ∫ Ω ”s ” ≠
≤”
±
∫ ∴
¸± ≠ ”¸
?¼
u� ´ ¸”¸
?¼
u�≠ Ω
?ł ´ ¸± ≠ ”¸
?¼
u� ´ ¸”¸
?¼
u� ≠ ≤” Ω ”s
” ≠ ≤”
± ´ ≤”≤ ≠
≥”≤
∫ ∴
©≥≠∑≠¥® s¹—U9
∫WOze'« —uJ�« WI¹dÞ Â«b�²ÝUÐ WOðü« ö�UJ²�« bł ±
”s
≤ ´ ”≥ ´ ≤”
≥ ´ ”
∫ » ”s ≤” ≠ ±
±
∫ √
”s ”μ ≠
≤”¥ ≠ ≥”
±μ ≠ ”μ ≠ ≤”¥
∫ œ ”s ” ´
≤”
± ´ ≤”
∫ ?ł
”s
± ≠ ≤”
”≤ ´ ≤” ≠
¥”
∫ Ë ”s ”¥ ≠
≥”
∏ ´ ”≤ ´ ≤”
∫ ?¼
Æ© ≥
±
” Ω ’ l{∫œUý—≈® ”s
± ≠ ≥
±
”
± ´ ≥
±
”
∫ błË√ ≤
”s
≤ ≠ ”
?¼ ≠ ”
≤
?¼
”
?¼
∫ błË√ ≥
¥μ
œËb;« q�UJ²�« UIO³Dð ∏≠¥
5OÝbM¼ 5IO³Dð WA�UM0 UM¼ wH²JMÝË ªU¼dOžË W¹œUB²�«Ë WOzU¹eOË WOÝbM¼ …œbF²� UIO³Dð œËb;« q�UJ²K�
ÆWO½«—Ëb�« ÂUł_« Âu−ŠË W¹u²*« oÞUM*« UŠU� ∫UL¼
∫W¹u²�L�« oÞUML�« UŠU�� ∫ÎôË√
t³ýË ¨YK¦*«Ë ¨qOD²*« ∫q¦� ¨WFKC*« W¹u²*« oÞUM*« UŠU� »UŠ WOHO� WIÐUÝ «uMÝ w XdFð
c�²ð ô W¹u²� oÞUM� UŠU� »UŠ w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« q�UJ²�« U½œËe¹Ë ªa�≈ÆÆƨ·d×M*«
ÊU1— ŸuL−� .bIð bMŽ ÎUIÐUÝ U½błË bI¨ÎUFKC� ÎöJý …—ËdC�UÐ
¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ t½√ © ¨ Ê
σ®Â
ÊU1— ŸuL−� ÊS ¨…d²H�« Ác¼ w UMO�« —u×� ‚u ÁUM×M� lI¹Ë
—u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� V¹dI²�UÐ q¦1
Æ©±∞≠¥® qJA�« k?Šô Æ» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO�«
”
’
»
©”® Ω ’
©±∞≠¥® qJA�«
∫ÊS ∞ ← Ê U�bMŽË
ÆWIDM*« pKð WŠU� Ω ”s
©”®
»
∫ Ω © ¨ Ê
σ®Â
∞ ← Ê
∫W¹dE½
WIDM*« WŠU� ÊS UMO�« —u×� ‚u ÁUM×M� lI¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
∫…bŽUI�UÐ vDFð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;«
”s
©”®
»
∫ Ω WŠU*«
≤” Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU� bł ∫©±® ‰U¦�
≥ Ω ” ¨ ± Ω ” 5LOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë
©±±≠¥® qJA�« kŠôÆ›≥¨ ±¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ≤” Ω ©”®
≥
±
¸ ≥
≥”
Ω ”s ≤”
≥
±
∫ Ω WŠU*« ∴
WFÐd� …bŠË ≥
≤∂
Ω
’
”
≥
∞
≤
” Ω
©”
®
±
©±±≠¥® qJA�«
¥∂
©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈ t½S ¨WIÐU�« W¹dEM�« vKŽ œUL²ŽôUÐ
lI¹ Ê«d²�ô« vM×M� ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²H�« vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU�
ª©±≤≠¥® qJA�« kŠô ¨…d²H�« Ác¼ w UMO�« —u×� X% tK�UJÐ
UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ÊS
∫wðQ¹ UL� UNÐUŠ sJ1 ¨ » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë
”
’
»
©”®
≠ Ω ’
©”®
Ω ’
©±≤≠¥® qJA�«
©”® ≠vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� Ω WŠU*«
» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë
¸ ”s
©”®
»
∫ ¸ Ω ”s
©”®
»
∫≠ Ω ”s
©”® ≠
»
∫ Ω WŠU*« ∴
”Uł Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� bł ∫©≤® ‰U¦�
Æ›π≤¨ π¤ …d²H�« w UMO�« —u×�Ë
Æ©±≥≠¥® qJA�« kŠôÆ›π≤¨ π¤ ∋ ” lOL' ∞ ≥ ”Uł Ω ©”®
”s ”Uł
π≤
π
∫ ≠ Ω WŠU*« ∴
π≤
π
¸ ”U²ł Ω
WFÐd� …bŠË ≤ Ω
’
”
π
”Uł Ω ’
π≤
©±≥≠¥® qJA�«
UMO�« —u×�Ë ≤ ≠ ” Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©≥® ‰U¦�
Æ≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë
∞ Ω ©”® U�bMŽ UMO�« —u×� lDI¹ ©”® vM×M�
≤ Ω ” Í√ ∞ Ω ≤ ≠ ” U�bMŽ Í√
›≥ ¨ ∞¤ …d²HK� wL²Mð ≤ Ω ” Ê≈ YOŠË
Æ›≥ ¨ ≤¤ ¨›≤ ¨ ∞¤ ÊU²Ozeł ÊUðd² UNMŽ QAM¹ t½S
Æ©±¥≠ ¥® qJA�« kŠô
’
”
≥
≤≠
≤
≤≠” Ω’
≤
Â
±
Â
©±¥≠¥® qJA�«
¥∑
≤
 WIDM*« WŠU� ´ ±
 WIDM*« WŠU� Ω WÐuKD*« WŠU*« ∴
¸ ”s ©≤ ≠ ”®
≥
≤
∫ ¸ ´ ¸ ”s ©≤ ≠ ”®
≤
∞
∫ ¸ Ω
¸ ≥
≤
¸ ©”≤ ≠ ≤
≤”
® ¸ ´ ¸ ≤
∞
¸ ©”≤ ≠ ≤
≤”
® ¸ Ω
WFÐd� …bŠË ≤[μ Ω ¸ ≤
±
¸ ´ ¸ ≤≠ ¸ Ω
ÆW¹u²*« WÝbMN�« bŽ«u� «b�²ÝUÐ WÐUłù« W×� s� oI%
∫ÂUŽ tłuÐ
©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WŠU*« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈
∫WO�U²�« «uD)UÐ UNÐUŠ sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë
Æ›» ¨ ¤ …d²H�« w Ê«d²�ô« —UH�√ b$ ±
Æ©±® r�— …uD)« w błË w²�« —UH�_UÐ WOzeł «d² v�≈ ›» ¨ ¤ …d²H�« Δe$ ≤
Æ©≤® r�— …uD)« w WOzeł …d² q� vKŽ ©”® Ê«d²�ö� œËb;« q�UJ²�« b$ ≥
ÆWÐuKD*« WŠU*« u¼ "UM�« ÊuJO WIÐU�« …œËb;« ö�UJ²K� WIKD*« rOI�« lL$ ¥
Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©¥® ‰U¦�
Æ UMO�« —u×�Ë ” ≠ ≥” Ω ©”®
∞ Ω ©”® U�bMŽ UMO�« —u×� lDI¹ vM×M*«
∞ Ω ” ≠ ≥” U�bMŽ
±≠ ¨ ± ¨ ∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ©± ≠ ≤”® ” ∴
Æ©±μ≠¥® qJA�« kŠô
±
’
”
±≠
©±μ≠¥® qJA�«
¸ ”s
©” ≠ ≥”®
±
∞
∫ ¸ ´ ¸ ”s
©” ≠ ≥”®
∞
±≠
∫ ¸ Ω WÐuKD*« WŠU*« ∴
¸ ±
∞
¸ © ≤
≤”
≠ ¥
¥”
® ¸ ´ ¸ ∞
±≠
¸ © ≤
≤”
≠ ¥
¥”
® ¸ Ω
WFÐd� …bŠË ≤
±
Ω ¥
±
´ ¥
±
Ω ¸ ¥
±
≠ ¸ ´ ¸ ¥
±
¸ Ω
¥∏
∫sOOM×M� sOÐ WŠU�L�«
YOŠ › » ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐUI�« ©”®?¼ ¨ ©”® 5½«d²�ô« wOM×M� —ËU−*« ©±∂≠¥® qJA�« 5³¹
Æ›» ¨ ¤ ∋” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® 5LOI²*«Ë 5OM×M*« 5Ð WIDM*« WŠU� ÊuJð W�U(« Ác¼ w
¨©±∂≠¥® qJA�« w WKKE*« WIDM*« w¼Ë ¨» Ω ” ¨ Ω ”
UNM� ÎUŠËdD� UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð WŠU*« ∫ÍËUð
UMO�« —u×�Ë ©”®?¼ vM×M� 5Ð WŠU*«
”s
©”®?¼
»
∫ ≠ ”s
©”®
»
∫ Ω
”s
©©”®?¼ ≠ ©”® ®
»
∫ Ω
”
’
»
©”®
Ω ’
©”®?¼ Ω ’
©±∂≠¥® qJA�«
∫ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©μ® ‰U¦�
≤ Ω ” ¨ ±≠ Ω ”∫5LOI²*«Ë ≤ Ω ©”®?¼ ¨≥ ´ ≤” Ω ©”®
≤ Ω ©”®?¼ ≤ ≥ ´ ≤” Ω ©”®
›≤¨ ±≠¤ ∋ ” rO� lOL'
Æ©±∑≠¥® qJA�« kŠô
’
”
≤±≠
∑
≥
≥ ´ ≤” Ω ©”®
≤ Ω ©”®
?¼
©±∑≠¥® qJA�«
”s
©©”®?¼ ≠ ©”® ®
≤
±≠
∫ Ω WŠU*« ∴
”s
©≤ ≠ ≥ ´ ≤”®
≤
±≠
∫ Ω
ÆWFÐd� «bŠË ∂ Ω ©≥
¥≠
® ≠ ≥
±¥
Ω
≤
±≠
¸ ©” ´ ≥
≥”
® Ω
∫ÂUŽ tłuÐ
∫W¹dE½
rO� lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨©”® ÊU� «–≈
ÍËUð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ”
Ɣs
©©”®?¼ ≠ ©”® ®
»
∫
¥π
Æ≤ ´ ” Ω ©”®?¼ ¨ ¥ ≠ ≤” Ω©”® ∫5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©∂® ‰U¦�
©”®?¼ Ω ©”® U�bMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹
≤ ´ ” Ω ¥ ≠ ≤” U�bMŽ Í√
∞ Ω ∂ ≠ ” ≠ ≤”
≥ ¨ ≤≠ Ω ” UNM�Ë ¨ ∞ Ω ©≤ ´ ”® ©≥ ≠ ”® ∴
©±∏≠¥® qJA�« s� kŠö½
’
”
≥
≤ ´ ” Ω ©”®
?¼
¥≠
μ
¥ ≠ ≤” Ω ©”®
©±∏≠¥® qJA�«
›≥¨ ≤≠¤ ∋ ” lOL' ©”® ≤ ©”®?¼ Ê√
”s
©©¥ ≠ ≤”® ≠ ©≤ ´ ”®®
≥
≤≠
∫ Ω 5OM×M*« 5Ð WŠU*« ∴
≥
≤≠
¸ © ≥
≥”
≠ ”∂ ´ ≤
≤”
® Ω
WFÐd� …bŠË ∂
±≤μ
Ω ©≥
∏
´ ±≤ ≠ ≤ ® ≠ ©π ≠ ±∏ ´ ≤
π
® Ω
” Ω ©”®?¼ ¨≥”
¥
±
Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©∑® ‰U¦�
©”®?¼ Ω ©”® U�bMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹
” Ω ≥”
¥
±
U�bMŽ Í√
∞ Ω ”¥ ≠ ≥”
≤≠ ¨ ≤ ¨ ∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ©¥ ≠ ≤”®” ∴
Æ©±π≠¥® qJA�« ?EŠô
’
≤
≤ ” Ω ©”®
?¼
≥” ¥
±
Ω ©”®
≤≠
≤≠
”≤
Â
±
Â
©±π≠¥® qJA�«
©≤
® WIDM*« WŠU� ´ ©±
® WIDM*« WŠU� Ω WÐuKD*« WŠU*«
”s
© ≥”
¥
±
≠ ” ®
≤
∞
∫ ´ ”s ©” ≠ ≥”
¥
±
®
∞
≤≠
∫ Ω
≤
∞
¸ ±∂
¥”
≠ ≤
≤”
´
∞
≤≠
¸ ≤
≤”
≠ ±∂
¥”
Ω
WFÐd� …bŠË ≤ Ω ± ´ ± Ω
μ∞
∫ÂUŽ tłuÐ
wOM×M� 5Ð …—uB;« WŠU*« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� ©”®?¼¨ ©”® ÊU½«d²�ô« ÊU� «–≈
∫WOðü« «uD)UÐ UNÐUŠ sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë 5½«d²�ô«
Æ›» ¨ ¤ …d²H�« sL{ 5OM×M*« lÞUIð ◊UI½ 5F½ ±
ÆWIÐU�« lÞUI²�« ◊UIMÐ WOzeł «d² v�≈ ›» ¨ ¤ …d²H�« Δe$ ≤
ÆWOzeł …d² q� vKŽ ?¼ ¨ 5½«d²�ô« ‚dH� œËb;« q�UJ²�« b$ ≥
ÆWÐuKD*« WŠU*« u¼ "UM�« ÊuJO WIÐU�« …œËb;« ö�UJ²K� WIKD*« rOI�« lL$ ¥
Æ UMO�« —u×�Ë ¨¥≠”≤Ω©”®?¼ ¨≤”
¥
±
Ω©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©∏® ‰U¦�
U�bMŽ ©”®?¼ ¨©”® ÊUOM×M*« lÞUI²¹
¥ ≠ ”≤ Ω ≤”
¥
±
U�bMŽ Í√ ©”®?¼ Ω ©”®
∞ Ω ≤
©¥ ≠ ”® ∴ ∞ Ω ±∂ ´ ”∏ ≠ ≤”
w vM×M*« lDI¹ rOI²*« Ê√ Í√ ¨ ¥ Ω ” UNM�Ë
¨WKKE*« WIDM*« w¼ WÐuKD*« WIDM*« Æ…bŠ«Ë WDI½
5²IDM� v�≈ UN²ze& sJ1Ë ©≤∞≠¥® qJA�« w
—u×� lDI¹ ¥ ≠ ”≤ rOI²*« Ê√ kŠô Æ≤
 ±
Â
≤ Ω ” bMŽ UMO�«
’
”
¥
¥≠
¥
±
Â
≤
Â
¥ ≠ ”≤ Ω ©”®
?¼
≤” ¥
±
Ω ©”®
≤
©≤∞≠¥® qJA�«
≤
 WŠU� ´ ±
 WŠU� Ω WÐuKD*« WŠU*«
¸ ”s
©©¥ ≠ ”≤® ≠ ≤”
¥
±
®
¥
≤
∫ ¸ ´ ¸ ”s ≤”
¥
±
≤
∞
∫ ¸ Ω
¸ ¥
≤
¸ ©”¥ ´ ≤” ≠
±≤
≥”
® ¸ ´ ¸ ≤
∞
¸ ±≤
≥”
¸ Ω
¸ ›©∏ ´ ¥ ≠ ±≤
∏
® ≠ ©±∂ ´ ±∂ ≠ ±≤
∂¥
®¤ ¸ ´
±≤
∏
Ω
WFÐd� …bŠË ≥
¥
Ω ≥
≤
´ ≥
≤
Ω ¸ ›©¥ ´ ≥
≤
® ≠ ©≥
±∂
®¤ ¸ ´
≥
≤
Ω
∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ WÐuKD*« WŠU*« »UŠ sJ1 t½√ kŠô
©ø«–U*® WFÐd� …bŠË ≥
¥
Ω ”s
©¥ ≠ ”≤®
¥
≤
∫ ≠ ”s ≤”
¥
±
¥
∞
∫ Ω WÐuKD*« WŠU*«
μ±
©±≠∏≠¥® s¹—U9
∫wK¹ U2 W�UŠ q� w 5MOF*« 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¨©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU� błË√ ±
≤ Ω ” ¨ ∞ Ω ” ¥ ´ ”≤ Ω ©”® √
≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” Ω ©”® »
∏ Ω ” ±≠ Ω ” ”
≥√ Ω ©”® ?ł
± Ω ” ≤
±
Ω ” ”
≤
?¼ Ω ©”® œ
Æ∏ Ω ” rOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¥ ≠ ” √ Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU� błË√ ≤
≤” ≠ ”¥ Ω ’ ¨ ≤” Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ≥
¨ UMO�« —u×�Ë ¨ ”
√ Ω ’ vM×M*UÐ …œËb;«Ë ‰Ë_« lÐd�« w WF�«u�« WIDM*« WŠU� błË√ ¥
Æ≤ ≠ ” Ω ’ rOI²*«Ë
∫WO�U²�« oÞUM*« s� ÒÌq� WŠU� błËQ ¨” ≠ ≤ Ω ©”®?¼ ¨ ≤” ≠ ”≤ Ω ©”® ÊU� «–≈ μ
Æ?¼ vM×M�Ë ¨ vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« √
Æ UMO�« —u×�Ë ?¼ vM×M�Ë vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« »
Æ «œUB�« —u×�Ë ?¼ vM×M�Ë vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« ?ł
¨ ± ≠ ” Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« vM×M�Ë ¨
± ´ ”
∏
Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∂
Æμ Ω ” rOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë
∫wK¹ ULO WKKE*« oÞUM*« s� ÒÌq� WŠU� błË√ ∑
’
”
±
±
± Ω ’
√ ´ ”
√
’
”
± Ω ’
≤
π
”≤
U²ł Ω ’
±
”
π
”Uł Ω ’
”U²ł Ω ’
’
Æ©≤≠ ¨ ±≠® ?ł ¨©≥ ¨ ±® » ¨©± ¨ μ® tÝ˃— Íc�« YK¦*« WŠU� »U( q�UJ²�« Âb�²Ý« ∏
rOI²*«Ë ¨≤” Ω ’ vM×M*« 5Ð …—uB;«WIDM*« WŠU� rI¹ ?ł Ω ’ rOI²*« qF& w²�« ?ł WLO� bł π
Æ5¹ËU²� 5L� v�≈ ¥ Ω ’
…bŠË ±≤ ÍËUð ∞ < ¨
≤”
Ω ’ ¨ ” √ Ω ’ 5OM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU� X½U� «–≈ ±∞
ø WLO� UL ¨WFÐd�
μ≤
∫WO½«—Ëb�« ÂU�ł_« Âu−Š ∫ÎUO½UŁ
«c¼ ‰uŠ WK�U� …—Ëœ U¼«u²� w XÐUŁ rOI²� s� …bŠ«Ë WNł w UN�UL²Ð WF�«Ë W¹u²� WIDM� —«œ «–≈
WK¦�_« kŠô ÆÊ«—Ëb�« —u×� XÐU¦�« rOI²*« vL¹Ë ¨ÎUO½«—Ëœ ÎULł vL¹ ⁄«dH�« w ÎULł b�uð UN½S ¨rOI²*«
Æ©≤± ≠ ¥® qJý w WO�U²�« WO×O{u²�«
Ê«—Ëb�« —u×�
œ
?ł »?ł »?ł
WLzU� W¹dz«œ W½«uDÝ√rzU� Ídz«œ ◊Ëd��…d�
»
©≤±≠¥® ∫qJA�«
iFÐ Âu−Š »UŠ WOHO� WIÐU�« p²Ý«—œ w XdFð b�Ë
w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« q�UJ²�« U½œËe¹Ë ¨ UL−*« Ác¼
ÆÂUŽ tłuÐ WO½«—Ëb�« ÂUł_« Âu−Š »UŠ
q�UJ²K� qÐUI�« ©”® Ê«d²�ô« vM×M� ©≤≤≠¥®qJA�« q¦1
«–S Æ…d²H�« Ác¼ vKŽ UMO�« —u×� ‚u l�«u�«Ë ›» ¨ ¤ vKŽ
¨ UMO�« —u×�Ë ¨©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« d¹Ëbð -
¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë
ø"UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š u¼ UL
”
’
»
©”®
Ω ’
—
”± ≠ —
”
— *”
©≤≤≠¥® qJA�«
ÆÊ
σ sŽ W&UM�« WOz«d�« WOze'« …d²H�« w¼ ›—
”¨±≠—
”¤ sJ²�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê
σ sJ²�
Z²Mð ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ›—
”¨±≠
—
”¤ vKŽ W�UI*« ©WOÝ√d�« W×¹dA�«® WKOD²*« WIDM*« d¹Ëbð bMŽ
sŽ "UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š Ê–≈ ÊuJ¹Ë ¨©±≠—
” ≠—
”® × © — *”®
≤
π Ω UNL−Š WLzU� W¹dz«œ W½«uDÝ√
r−Š ÊS ∞←Ê U�bMŽË ¨©±≠—
” ≠—
”® × © — *”®
≤
πÊ
∑±Ω
—
V¹dI²�UÐ ÎU¹ËU� vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« d¹Ëbð
”s
©”®≤ π
»
∫ Ωw½«—Ëb�« r'«
∫W¹dE½
ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL' ∞ ≤ ©”® ¨›»¨ ¤vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈
5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¨©”® vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š
”s
©”®≤
»
∫ π Ω ∫u¼ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ”
μ≥
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ Ê«—Ëb�« Âu−×K� UM²Ý«—œ bMŽ dB²IMÝË
¨ ”
√ Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ∫©π® ‰U¦�
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë
©≤≥≠¥® qJA�« kŠô¨ ›¥¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ©”®
”s
©”®≤
¥
∞
∫ π Ω © ® w½«—Ëb�« r−(«
”s ≤
© ”
è
¥
∞
∫ π Ω
”s ”
¥
∞
∫ π Ω
W³FJ� …bŠË π ∏ Ω
¥
∞
¸ ≤
≤”
× π Ω
”
’ ”
√ Ω ©”®
¥
©≤≥≠¥® qJA�«
¨”≤Uł Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ∫©±∞® ‰U¦�
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≤
π Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë
›≤
π
¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ”≤Uł Ω ©”®
©≤¥≠¥® qJA�« kŠô
”
’
”≤Uł Ω ©”®
≤
π
©≤¥≠¥® qJA�«
”s
©”®≤
≤
π
∞
∫ π Ω © ® w½«—Ëb�« r'« r−Š
”s ”≤≤
Uł
≤
π
∞
∫ π Ω
”s
©”¥U²ł ≤
±
≠ ≤
±
®
≤
π
∞
∫ π Ω
W³FJ� …bŠË ¥
≤π
Ω
≤
π
∞
¸ ©”¥ Uł ∏
±
≠ ” ≤
±
® π Ω
Æ≥
o½ π ≥
¥
u¼ o½ U¼dD� nB½ w²�« …dJ�√ r−Š Ê√ U³Łù œËb;« q�UJ²�« Âb�²Ý« ∫©±±® ‰U¦�
ÆU¼dD� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ W¹dz«œ nB½ WIDM� Ê«—Ëœ sŽ …dJ�« Z²Mð
o½ U¼dD� nB½Ë wÝUO� l{Ë w …dz«œ nB½ ©≤μ≠¥® qJA�« q¦1
≤
o½ Ω ≤’ ´
≤” ∫…dz«b�« W�œUF�
μ¥
≤” ≠
≤
o½ √ Ω ’ ∴
”
’
≤” ≠
≤
o½ √ Ω ’
o½o½ ≠
©≤μ≠¥® qJA�«
w½«—Ëb�« r'« r−Š Ω …dJ�« r−Š
”s ≤’
o½
o½≠
∫ π Ω
”s
©≤” ≠
≤
o½®
o½
o½≠
∫ π Ω
ÆW³FJ� …bŠË ≥
o½ π ≥
¥
Ω ©
o½
o½≠
¸ ©≥
≥”
≠ ” ≤
o½®® π Ω
∫sO½«d²« wOM×M� sOÐ …—uB×� WIDM� Ê«—Ëœ sŽ ZðUM�« w½«—Ëb�« r�−�« r−Š
∫W¹dE½
›» ¨ ¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® YO×Ð ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ?¼ ¨ ÊU� «–≈
…—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š ÊS
”s
©©”®≤
?¼ ≠ ©”®≤
®
»
∫ π ÍËU¹ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U�
WK�U� …—Ëœ ¨≤” Ω ©”®?¼ ¨
≤” ≠ ”≤ Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« —«œ «–≈ ∫©±≤® ‰U¦�
ø"UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š UL ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ
∫5OM×M*« lÞUIð jI½ b$
≤” Ω ≤” ≠ ”≤ U�bMŽ ©”®?¼ Ω ©”®
±¨ ∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ”≤ ≠ ≤”≤
©≤∂≠¥® qJA�« kŠô
”s
©©”®≤
?¼ ≠ ©”®≤
®
±
∞
∫ π Ω © ® w½«—Ëb�« r−(«
”s
©¥” ≠
≤
©≤” ≠ ”≤®®
±
∞
∫ π Ω
”s
©≥”¥ ≠
≤”¥®
±
∞
∫ π Ω
©
±
∞
¸ ¥” ≠ ≥
≥”¥ ® × π Ω
W³FJ� …bŠË ≥
π
Ω
”
’
≤” Ω ©”®??¼
≤”≠”≤ Ω ©”®
± ≤
©≤∂≠¥® qJA�«
μμ
©≤≠∏≠¥® s¹—U9
5LOI²*«Ë UMO�« —u×�Ë ¨”≤ Ω ’ rOI²*UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ b�u²*« r'« r−Š błË√ ±
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ”
UMO�« Í—u×�Ë ¨¥ Ω ’ ¨∂ Ω ” 5LOI²*UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ≤
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨ «œUB�«Ë
Í—u×�Ë ¨”≤U²ł Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ≥
ø UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨›¥
π
¨ ∞ ¤ …d²H�« w «œUB�«Ë UMO�«
—u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≤”¥ Ω ’ TUJ*« lDI�«Ë ¨”¥ Ω ’ rOI²*« 5Ð …—uB;« WIDM*« —«œ «–≈ ¥
ø"UM�« r'« r−Š UL ¨ UMO�«
vM×M�Ë ¨± Ω ’ rOI²*«Ë ¨ «œUB�« —u×� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š bł μ
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨”Uþ Ω ’ Ê«d²�ô«
¨ ≤ Ω ≤’ ´
≤” ¨ ¸”¸ Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;«Ë w½U¦�«Ë ‰Ë_« 5FÐd�« w WF�«u�« WIDM*« —«œ «–≈ ∂
ø"UM�« r'« r−Š u¼ UL ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ
©≤ ¨ ≤® ?ł ¨ ©± ¨ ±® » ¨©≤ ¨ ∞® YOŠ ¨ ?ł » √ WO¦K¦*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ∑
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ
¨
≤”
Ω ©”®?¼ ¨ ” √ Ω ©”® wOM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š ÊU� «–≈ ∏
ø XÐU¦�« WLO� UL ¨W³FJ� …bŠË π μ
±≤
ÍËU¹ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨∞ ≠
Æq�_« WDI½ w 5²ÝUL²� 5ðdz«œ wHB½ —ËU−*« qJA�« q¦1 π
UHB½ —«œ «–≈ WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??�« r'« r−Š VŠU
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ 5ðdz«b�«
”
’
¥≤
μ∂
W�UŽ s¹—U9
∫wK¹ U2 >q� w W×O×B�« WÐUłù« e�— ‰uŠ …dz«œ l{ ±
ÊS ¨›μ¨≤≠¤ …d²HK� Ê σ Wze−²�« sŽ W&UM�« WOz«d�« WOze'« …d²H�« w¼ ›
—
”¨±≠—
”¤ X½U� «–≈ ±
∫ÍËU¹ ©±≠—
” ≠ —
”®
Ê
∑±Ω
—
≥≠ œ ∑ ?ł ≥ » ∑≠ √
¨ ±≠—
” Ω — *” ¨›± ¨≤≠¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze&
Ê
σ X½U� «–≈ Æ›± ¨ ≤≠¤ ∋ ” ¨≤” Ω ©”® sJO� ≤
∫ÍËU¹ © ¨ ≥
σ® Â ÊS
¥ œ ≥ ?ł μ » ± √
¨WLE²M� WOŽUЗ Wze& ¥
σ X½U�Ë
¥ > ” ≥ ∞ ≥
∏ ≥ ” ≥ ¥ ± ≠ ”
Ω ©”® ÊU� «–≈ ≥
—
” Ω — *” Ϋc�²� © ¨
¥
σ ® Â błËQ
≥∂ œ ±∏ ?ł ≥≤ » ≤∏ √
¨›≥ ¨ ±¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ¨ÎöB²� ← ›≥ ¨ ±¤∫ ÊU� «–≈ ¥
∫ÍËU¹ ”s
©”®
≥
±
∫ ÊS ¨ Ê≤
Ê∑ ≠ μ
≠ ≤≠ Ω © ¨ Ê σ®  ÊU�Ë
μ[μ≠ œ ±[μ ?ł ¥[μ≠ » ≤≠ √
∫ÍËU¹ ”s ¸”¸
≤
≤≠
∫ μ
≤ œ ± ?ł ¥ » dH� √
∫ÍËUð ”s
©± ´ ©”® ≤®
≥
±
∫ —«bILK� WLO� d³�√ ÊS ¨ vKŽ ÎöB²� ©”® ÊU�˨μ ≥ ©”® ÊU� «–≈ ∂
±≥ œ ≤≤ ?ł ±± » ±∞ √
”s
± ´ ≤”
μ ≠ ”≤
≤
±
∫ q�UJ²�« ∑
Áb¹b% sJ1 ô œ dH� ?ł V�UÝ » Vłu� √
∫ÍËU¹ ©» ´ ® —«bI*« ÊS » Ω ”≤
U²ł
π
π≠
∫ ¨ Ω ”s ”≤
Uł
π
π≠
∫ ÊU� «–≈ ∏
π ≤ œ π ≤≠ ?ł dH� » ± √
μ∑
ÍËU¹ ”s
©”®
μ
∑
∫ ÊS ±≤ Ω ”s
©”®
∑
±
∫ ¨ ±∞ Ω ”s
©”® ≤
μ
±
∫ ÊU� «–≈ π
∑ œ ∑≠ ?ł ≤≤ » ≤ √
∫u¼ ›≥¨ ±¤ …d²H�« vKŽ ”≤ ´ ≥”¥ Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« ±∞
≤ ≠ ≤” ´
¥” œ ≤ ´ ≤” ´
¥” ?ł ≤ ´ ≤”±≤ » ”≤ ´
≥”¥ √
∫ÍËU¹ ©”® Ó ÊS ¨’s
©’≤ ≠ ≤®
¥
”
∫ Ω ©”® ÊU� «–≈ ±±
”≤ ≠ ≤ œ ≤ ≠ ”≤ ?ł dH� » ≤
” ≠ ”≤ √
∫ÍËU¹ ”s
©”≠®
≤≠
≥≠
∫ ÊS ¨∏ Ω ”s
©”®
≥
≤
∫ ÊU� «–≈ ±≤
∏≠ œ ¥ ?ł ∏ » ± √
∫ÍËU¹ ”s
©≤”® Ó ”
±
∞
∫ ÊS ¨± Ω ©∞® ¨ μ Ω ©±® ÊU� «–≈ ±≥
≤≠ œ ± ?ł ¥ » ≤ √
∫ÍËU¹ ©∞® Ó ÊS ¨©≤ ´ ”≤® ?¼
u� ≠ ”
≥
?¼ Ω ©”® ÊU� «–≈ ±¥
∞[μ œ ≥ ?ł ≤ » ± √
∫ÍËUð ?ł ÊS ”s©μ ≠ ”®
?ł
∏
∫ Ω ”s
©”®
∑
≥
∫ ÊU� «–≈ ±μ
≤≠ œ ±≤ ?ł ¥ » ≥ √
∫ÊS * ∋ ¨ ”U²ł ’ Ω ”s
’s
ÊU� «–≈ ±∂
”Uł
?¼ Ω’ œ ”
U²ł≠
?¼ Ω’ ?ł ”
U²ł
?¼ Ω’ » ”
Uł≠
?¼ Ω’ √
∫ÍËU¹ ”s
”≥ ´ ≥”
± ´ ≤”
≤
±
∫ ±∑
∑?¼
u� ≠ ≤?¼
u� œ ≤?¼
u� ≠ ∑?¼
u� ≥
±
?ł ©≤?¼
u� ≠ ∑?¼
u�® ≥
±
» ©≤?¼
u� ≠ ∑?¼
u�®≥ √
¨ ∏ Ω ±
 WŠU� X½U� «–S ¨› ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ©”® vM×M� —ËU−*« qJA�« q¦1 ±∏
∫ÍËU¹ ”s
©”®
∞
∫ ∫ÊS ¨WFÐd� «bŠË ∂ Ω ≤
 WŠU�
”
’
±
Â
≤
Â
©”®
≤ œ ±¥ ?ł ≤≠ » ±¥≠ √
μ∏
¨” ≤
±
Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« rzUI�« Ídz«b�« ◊Ëd�*« r−Š ±π
∫ÍËU¹ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë
¥
π
œ π ≤
≥
?ł π ¥
π
» π ∏
π
√
¨©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« ≤
” » ´ ≥
” Ω ©”® Â ÊU� «–≈ ≤∞
øUL¼ VOðd²�« vKŽ » ¨ s� q� w²LO� ÊS ¨≤∞ Ω ”s
©”®
≤
∞
∫ ¨∂ Ω ©±® ÊU�Ë
≤∞ ¨ ∂ œ ≥ ¨ ¥≠ ?ł ≥≠ ¨ ¥ » μ ¨ ± √
œËb;« q�UJ²�« n¹dFð «b�²ÝUÐ błËQ ¨ ›≥ ¨ ≤≠¤ ∋ ” ¨ ”≤≠ π Ω ©”® ÊU� «–≈ ≤
Ɣs
©”®
≥
≤≠
∫
∫WOðü« ôU(« s� q� w ” W�ôbÐ ’ WLO� błË√ ≥
∞ Ω ± ≠ ”∂ ´ ”s
’s
’
√ ≤
±
» ”μ U²ł ’≥ ≤
Uł Ω ”s
’s
√
≤
π
Ω ” bMŽ ∑≠ Ω ’ YOŠ ¨”≤
U²� ´ ”∏ Ω ”s
’s
?ł
Æ„ WLO� błËQ ¨∞ Ω ’∏ ≠ Ó’≤ ´ Î
’ W�œUF*« oI% ”
„
?¼ Ω ’ X½U� «–≈ ¥
Æ» ¨ s� q� WLO� bł ¨ ∑ Ω ©≥® ¨ ” » ´ ≤” Ω ’s
©’®
”
∫ sJO� μ
¨¥ ÍËU¹ tOKŽ WF�«u�« ©μ ¨±® WDIM�« bMŽ ©”® Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� ÊU� «–≈ ∂
Æ©”® …bŽU� błËQ ¨∏ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î X½U�Ë
WU*«Ë ÀØÂ¥ WOz«b²Ðô« WŽd�« X½U� «–≈ Æ≤
ÀØ ≤ ≠ ʱ≤Ω W�öF�UÐ vDF¹ Ÿ—U²Ð rOł „dײ¹ ∑
ÆW�d(« ¡bÐ s� Ê«uŁ μ bFÐ WŽuDI*« WU*« błËQ ¨Â ≤∏ w¼ Ê«uŁ ≥ bFÐ WŽuDI*«
≥ > ” ≥ ∞ μ ´ ≤”≥
∑ ≥ ” ≥ ≥ ±∞ ´ ”≤
Ω ©”® sJO� ∏
Æt�U−� vKŽ ©”® Ê«d²�ö� ©”® q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ∫ÎôË√
Æ©¥® ¨ ©∞® s� q� WLO� » ’s
©’®
”
∞
∫
≥ ← ”
√ ∫błË√ ∫ÎUO½UŁ
’s
©’®
∑
∞
∫ ”ss
œ ’s
©’®
”
∞
∫ ”ss
?ł
μπ
∫wK¹ UL� ÎUdF� q�UJ*« t½«d²�« ÊU�Ë ¨›∂ ¨ ±¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® ÊU� «–≈ π
ø» ¨ 5²ÐU¦�« s� >q� WLO� UL
≤ > ” ≥ ± ≥ ≠ ”
∂ ≥ ” ≥ ≤ ± ´ ”≤ ≠ ≤” »
Ω ©”®
∫WOðü« ö�UJ²�« s� >q� WLO� bł ±∞
”s ≤”U²ł ≤”
≥
Uł ”≤ ∫ » ”s
± ´ ” √ ”
≥
∞
∫ √
”s
”≤
U²�
”Uł
≥
π
∂
π
∫ œ ”s ”Uł©”U²ł® ≤
U²ł ∫ ?ł
”s
©”
?¼
u� ´ ≥®”
±
?¼
±
∫ Ë ”s ”Uþ ” ≥
U� ∫ ?¼
”s
∂ ´ ”μ ≠ ≤”
”
∫
Õ ”s ” U²ł
”
?¼ ∫ “
”s
©± ≠ ”®”
± ´ ”μ ≠ ≤”≥
∫ ◊
Æ© ”
?¼ ≠± √ Ω ’ l{∫œUý—≈® ”s ”
?¼ ≠± √ ∫ Í
Æ©”
≠
?¼ w ÂUI*«Ë j³�« s� Îö� »d{« ∫œUý—≈® ”s
”
?¼ ´±
±
∫ „
Æ∏ Ω ’ ¨ ± Ω ’ ¨ ≥” Ω ’ UOM×M*«Ë «œUB�« —u×� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ±±
bMŽ Ê«d²�ô« ”U2Ë ¨ «œUB�« —u×�Ë ¨≥ ´ ≥” Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WŠU*« błË√ ±≤
ƉË_« lÐd�« w WF�«u�«Ë ©¥ ¨±® WDIM�«
¨≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨”¥ ≠ ≥” Ω ©”® vM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU� błË√ ±≥
Æ UMO�« —u×�Ë
Æ5OŁ«bŠô« s¹—u;«Ë ¨μ Ω ’ ´ ” ¨∏ ´ ≤” Ω ’¥ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WŠU*« błË√ ±¥
Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¨¸± ≠ ”≤¸ Ω ©”® vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« WŠU� błË√ ±μ
∫błËQ ”
≠
?¼ Ω ©”®Â¨ ”
?¼ Ω ©”® ÊU� «–≈ Ω±∂
Æ≤ Ω ” rOI²*«Ë ¨©”®Â vM×M�Ë ¨©”® vM×M� 5Ð …—uB;«Ë ¨‰Ë_« lÐd�« w WF�«u�« WŠU*« √
ø"UM�« r'« r−Š UL UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ WIÐU�« WIDM*« —«œ «–≈ »
od*« qJA�« w WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š b??łË√ ±∑
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ
”
’
≤≠
≤≠≤’≥ Ω ”
∞
≤’ Ω ”
vM×M� 5??Ð …—u??B??;« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??�« r'« r−Š b??łË√ ±∏
…—Ëœ ≤
?¼ Ω ’ rOI²*«Ë ¨ «œU??B??�« —u×�Ë ¨ ”
≤
???¼ Ω ’ Ê«d²�ô«
Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U�
∂∞
W?OÞËd�L�« Ÿu?DI�« μ
…b???????Šu???????�«
( C o n i c S e c t i o n s )
…dz«œ
h�U½ lD�
T�UJ
� l
D�
bz«“ lD�
∂±
(Conic Sections) WOÞËd�*« ŸuDI�« μ
v�≈ ÊUOL²M¹ ÊöJA�« Ê«c¼Ë ¨T�UJ*« lDI�«Ë …dz«b�« UNM�Ë ¨W¹u²�*« WOÝbMN�« ‰UJý_« iFÐ ÎUIÐUÝ X�dFð
rzU� Ídz«œ ◊Ëd� l ÚDÓ� s� UNOKŽ ‰uB(« sJ1 w²�« WOÞËd*« ŸuDI�« vL�ð WOÝbMN�« ‰UJý_« s� WŽuL−�
∫©±≠μ® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ¨◊Ëd*« ”√dÐ d1 ô Ìu²�0 ÃËœe�
T�UJ� lD� …dz«œ
◊Ëd*« rÝ«Ë— bŠ_ Ì“«u� lÞUI�« Èu²�*« ◊Ëd*« —u×� vKŽ ÍœuLŽ lÞUI�« Èu²�*«
bz«“ lD� h�U½ lD�
◊Ëd*« —u; Ì“«u� lÞUI�« Èu²�*« ◊Ëd*« rÝ«Ë— s� Í_ Ì“«u� dOžË —u;« vKŽ qzU� lÞUI�« Èu²�*«
©±≠μ® qJA�«
W�dŠË ¨ UÝbF�«Ë U¹«d*« q¦� ¨WHK²� WOLKŽË WOJK�Ë WOzU¹eO� UÝ«—œ w� …dO³� WOL¼√ WOÞËd*« ŸuDIK�Ë
»dF�«Ë o¹džù« ¡ULKŽ v�≈ ‰UJý_« ÁcN� v�Ë_« UÝ«—b�« œuFðË ª…—c�« w� U½Ëd²J�ù« W�dŠË V�«uJ�«
¨T�UJ*« lDI�« ∫WO�U²�« WOÞËd*« ŸuDI�« WÝ«—œ w� q{UH²�«Ë WOKOKײ�« WÝbMN�« ΔœU³� Âb²�MÝË ¨5LK�*«Ë
Æbz«e�« lDI�«Ë ¨h�UM�« lDI�«Ë
∂≤
(The Parabola) T�UJ*« lDI�« ±≠μ
ΫbFÐ ¨tO� W²ÐUŁ WDI½ sŽ ¨UNM� q� bF³ð YO×Ð Ìu²�� w� WF�«u�« ◊UIM�« lOLł WŽuL−� u¼ T�UJ*« lDI�«
ÆtO� ÂuKF� rOI²�� sŽ U¼bF³� ÎU¹ËU��
∫Èdš√ …—U³FÐË
∫n¹dFð
Èu²�*« w� W²ÐUŁ WDI½ sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð Ìu²�� w� „dײð WDIM� *wÝbMN�« q;« u¼ T�UJ*« lDI�«
ÆtO� XÐUŁ rOI²�� sŽ U¼bF³� ÎU¹ËU��
YO×Ð Íu²�*« w� „dײð Ê WDIM�«Ë ¨Íu²�*« w� ¨ÂuKF� rOI²�� ‰ ¨W²ÐUŁ WDI½ » ¨©≤≠μ® qJA�« wH�
Õu²H*« vM×M*« vL�Ô¹ ªÊ WDIMK� WHK²� ŸU{Ë√ WŁöŁ
≥
Ê ¨≤
Ê ¨±
Ê Æ‰ sŽ U¼bFÐ ÎU¹ËU�� » sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹
∫wL�Ô½ UL� ¨ÎU¾�UJ� ÎUFD� UN�U¦�√Ë ≥
Ê ¨≤
Ê ¨±
Ê WŁö¦�« ◊UIM�« lL−¹ Íc�«
Æ…—R³�« ©»® W²ÐU¦�« WDIM�« ◄
ÆqO�b�« ©‰® XÐU¦�« rOI²�*« ◄
Æ”√d�« qO�b�«Ë …—R³�« 5Ð W�U�*« nB²M� w� WF�«u�« ©—® WDIM�« ◄
ÆqŁUL²�« —u×� ”√d�«Ë …—R³�UÐ —U*« rOI²�*« j)« ◄
±Ê
‰
»—Ω≤
Ê
≥Ê
…—R³�«”√d�«
qO�b�«
qŁUL²�« —u×�
©≤≠μ® qJA�«
∫T�UJL�« lDI�« W�œUF�
Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ√ vKŽ ÊUF�«Ë …—R³�«Ë ©∞¨∞® ”√d�« YOŠ ¨wÝUO� l{Ë w� T�UJ*« lDI�«
¨lDI�« WײH� WMJL*« WFЗ_« U¼U&ö� ÎUI�Ë T�UJ*« lDI�« U¼c²¹ Ê√ sJ1 ŸU{Ë√ WFЗ√ błuð ¨W�U(« Ác¼ w�
∫wK¹ UL� UN×O{uð sJ1Ë
ÆW{ËdH*« ◊ËdA�« Ë√ ◊dA�« WII×� Íu²�*« w� WDIM�« tLÝdð Íc�« —U�*« u¼ Ìu²�� w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« *
∂≥
∫©vKŽ√ v�≈ Õu²H� lDI�«® ‰Ë_« l{u�«
…—R³�« Ê√ Í√ ¨Vłu*« ÍœUB�« —u;« vKŽ …—R³�«Ë ¨©∞¨∞® ”√d�«
X½U� «–≈ ¨l{u�« «c¼ w� Æ©≥≠μ® qJý dE½« ¨∞ < ¨© ∞® »
» Ê Ω Ë Ê ∫ÊS� ¨T�UJ*« lDI�« vKŽ U� WDI½ ©’¨”® Ê
qŁUL²�« —u×�
©’
¨”
®Ê
”√d�«
qO�b�«
”
© ≠¨”
®Ë
© ¨∞® »
…—R³�«
©∞¨∞® —
’
©≥≠μ® qJA�«
≤
© ≠ ’® ´ ≤” √ Ω ´ ’ ∴
≤
´ ’≤ ≠ ≤’ ´
≤” Ω ≤
´ ’≤ ´ ≤’
’ ¥ Ω ≤” ∫UNM�Ë
∫Èdš_« WŁö¦�« ŸU{Ë_« w� T�UJ*« lDI�« ôœUF� ‚UI²ý« sJ1 WKŁU2 WI¹dDÐË
∫©qHÝ√ v�≈ Õu²H� lDI�«® w½U¦�« l{u�«
Ê√ Í√ ¨V�U��« ÍœUB�« —u??;« vKŽ …—R³�«Ë ©∞ ¨ ∞ ® ”√d??�«
Æ©¥≠ μ® qJA�« dE½« ¨∞ < ¨ © ≠ ¨ ∞® …—R³�«
qŁUL²�« —u×�
©’
¨”
®Ê
”√d�«
qO�b�«
”
© ¨”
®Ë
© ≠¨∞®»…—R³�«
©∞¨∞® —
’
©¥≠μ® qJA�«
∫w¼ l{u�« «c¼ w� W�œUF*«
’ ¥≠ Ω ≤”
—u×� w� ”UJF½« u¼ l{u�« «c??¼ w� T�UJ*« lDI�« Ê√ k??Šô
ƉË_« l{u�« w� T�UJ*« lDIK� UMO��«
∫©5LO�« v�≈ Õu²H� lDI�«® Y�U¦�« l{u�«
…—R³�« Ê√ Í√ Vłu*« wMO��« —u;« vKŽ …—R³�«Ë ©∞ ¨ ∞® ”√d�«
Æ©μ≠μ® qJA�« dE½« ¨ ∞ < ¨ ©∞ ¨ ®
∫w¼ l{u�« «c¼ w� W�œUF*«
qŁUL²�« —u×�
©’
¨”
®Ê
…—R³�«
”√d�«
qO�b�«
©∞¨∞®—
©∞ ¨ ®»
©’
¨ ≠®Ë
’
”
©μ≠μ® qJA�«” ¥ Ω
≤’
∂¥
∫©—U�O�« v�≈ Õu²H� lDI�«® lЫd�« l{u�«
…—R³�« Ê√ Í√ ¨V�U��« wMO��« —u;« vKŽ …—R³�«Ë ©∞ ¨ ∞® ”√d�«
Æ©∂≠ μ® qJA�« dE½« ¨ ∞ < ¨©∞ ¨ ≠®
∫w¼ l{u�« «c¼ w� W�œUF*«
qŁUL²�« —u×�
©’
¨”
®Ê
…—R³�«
”√d�«
qO�b�«
©∞¨∞®—
©∞ ¨ ≠ ®»
©’
¨ ®Ë
”
’
©∂≠μ® qJA�«
” ¥≠ Ω ≤’
—u×� w� ”UJF½« u¼ l{u�« «c??¼ w� T�UJ*« lDI�« Ê√ k??Šô
ÆY�U¦�« l{u�« w� T�UJ*« lDIK� «œUB�«
¨t²�œUF� błË ¨lDIK� ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« Æ©≥ ¨ ∞® tð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— T�UJ� lD� ∫©±® ‰U¦�
ÆtKO�œ W�œUF� p�c�Ë
w³¹dI²�« qJA�« c²¹ T�UJ*« lDI�«
Æ©∑≠μ® qJý w� 5³*«
l{u�« «c??¼ w� lDIK� W�UF�« W�œUF*«
∫…—uB�« vKŽ w¼
∞ < ’ ¥ Ω ≤”
≥ Ω ©…—R³�«Ë ”√d�« 5Ð bF³�«® Ê≈ YOŠË
’±≤ Ω ≤” ∴
≥≠ Ω ’ w¼ qO�b�« W�œUF�
qŁUL²�« —u×�
”√d�«
qO�b�«
”
≥≠ Ω ’
© ≥¨∞®»
…—R³�«
©∞¨∞®—
’
©≥≠ ¨ ∞®
©∑≠μ® qJA�«
Æt²�œUF� błË√ rŁ ¨lDIK� ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« Æμ Ω ’ rOI²�*« tKO�œË ¨©∞¨∞® tÝ√— T�UJ� lD� ∫©≤® ‰U¦�
w³¹dI²�« qJA�« c²¹ T�UJ*« lDI�«
Æ©∏≠μ® qJý w� 5³*«
qŁUL²�« —u×�
”√d�«
qO�b�«
”
© μ ≠¨∞®»
…—R³�«
©∞¨∞®—
’
μ Ω ’©μ¨∞®
©∏≠μ® qJA�«
W�U�*« nB²M� w� lI¹ ”√d??�« Ê√ U0
¨qO�b�«Ë …—R³�« 5Ð
∂μ
∫w¼ l{u�« «c¼ w� T�UJ*« lDIK� W�UF�« …—uB�«Ë ¨©μ≠¨ ∞® » …—R³�« ∴
’ ¥≠ Ω ≤”
μ Ω ©…—R³�«Ë ”√d�« 5Ð bF³�«® Ê≈ YOŠË
’≤∞≠ Ω ≤” ∴
w� ¨T�UJ*« lDIK� qŁUL²�« —u×� W�œUF�Ë ¨qO�b�« W�œUF�Ë ¨…—R³�«Ë ¨”√d�« s� Îö� błË√ ∫©≥® ‰U¦�
∫5²Oðü« 5²�U(« s� >q�
”¥≠ Ω ≤’ » ”±∞ Ω
≤’ √
W�UF�« …—uB�« l³²ð ”±∞ Ω ≤’ W�œUF*« √
” ¥ Ω ≤’
∫Ê√ Z²M²�½ ¨5²�œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË
≤[μ Ω UNM�Ë ±∞ Ω ¥
∫ÊuJ¹ ¨T�UJ*« lDI�« q¦1 Íc�« ©π≠μ® qJA�« s�
©∞ ¨ ∞® — ”√d�«
©∞ ¨ ≤[μ® » …—R³�«
≤[μ≠ Ω ” ∫w¼ qO�b�« W�œUF�
∞ Ω ’ Í√ ¨ UMO��« —u×� u¼ qŁUL²�« —u×�
qŁUL²�« —u×�
”√d�«
qO�b�«
©∞¨∞®—
©∞ ¨ ≤[μ ®» …—R³�«
’
”
≤[μ≠ Ω ”
∞ Ω ’
©π≠μ® qJA�«
”¥≠ Ω ≤’ W�œUF*« »
¨” ¥≠ Ω ≤’ W�UF�« …—uB�« l³²ð
∫Ê√ Z²M²�½ ¨5²�œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË
∫ÊuJ¹ ¨©±∞≠μ® qJA�« WEŠö0Ë ± Ω
©∞ ¨ ±≠® » …—R³�« ¨© ∞ ¨ ∞® — ”√d�«
± Ω ” ∫w¼ qO�b�« W�œUF�
∞ Ω ’ Í√ ¨ UMO��« —u×� u¼ qŁUL²�« —u×�
qŁUL²�« —u×�
…—R³�«
”√d�«
qO�b�«
©∞¨∞®—
©∞ ¨ ±≠ ®»
’
”
± Ω ”
∞ Ω ’
©±∞≠μ® qJA�«
∂∂
©±≠μ® s¹—U9
∫W�UŠ q� w� t� ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—«Ë ¨wK¹ U2 >q� w� T�UJ*« lDI�« W�œUF� V²�« ±
¥≠ Ω ’ qO�b�«Ë ¨©∞ ¨ ∞® ”√d�« » ©∞ ¨ ≤® …—R³�«Ë ¨©∞ ¨ ∞® ”√d�« √
≤≠ Ω ” qO�b�«Ë ¨©∞ ¨ ≤® …—R³�« œ ± Ω ’ qO�b�«Ë ¨©±≠ ¨ ∞® …—R³�« ?ł
∫WO�U²�« W¾�UJ*« ŸuDI�« s� >qJ� qŁUL²�« —u×� W�œUF�Ë ¨qO�b�« W�œUF�Ë ¨…—R³�«Ë ¨”√d�« s� Îö� błË√ ≤
”≤≠ Ω ≤’ »
≤”∏ Ω ’ √
Æ WLO� błËQ� ¨”∏ Ω ≤’ v�UJ*« lDIK� ÎUÝU2 ´ ” Ω ’ rOI²�*« ÊU� «–≈ ≥
q;« Ê√ 5РƱ ≠ ?¼≤ U²ł Ω ’ ¨?¼ Uł Ω ” ÊuJð YO×Ð Èu²�*« w� ©’ ¨ ”® Ê WDIM�« „dײð ¥
Ætð—RÐË tÝ√— 5ŽË ¨T�UJ� lD� u?¼ Ê WDIMK� wÝbMN�«
lDI�« …—R³Ð —U*« rOI²�*« j)«Ë ¨’¥ Ω ≤” T�UJ*« lDI�« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU�� błË√ μ
r−Š błËQ� ¨WK�U� …—Ëœ UMO��« —u×� ‰uŠ WIDM*« Ác¼ —«œ «–≈Ë ÆqŁUL²�« —u×� vKŽ ÎU¹œuLŽ T�UJ*«
Æ"UM�« r�'«
∂∑
(The Ellipse) hU?M�« l?DI�« ≤≠μ
∫n¹dFð
5²²ÐUŁ 5²DI½ sŽ UN¹bFÐ ŸuL−� ÊuJ¹ YO×Ð Èu²�*« w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« u¼ h�UM�« lDI�«
ÆULNMOÐ bF³�« s� d³�√ ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� ÍËU�¹ tO�
≤
» Ê ±
» Ê ÊuJ¹ YO×Ð ©’¨”® Ê WDIM�« tLÝdð Íc�«Ë ¨©±±≠μ® qJA�« w� 5³*« oKG*« vM×M*« vL�¹
∫wL�½ tO�Ë ¨ÎUB�U½ ÎUFD� ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI�©’¨”®Ê
…—RÐ
e�d*« ˱
»
…—RÐ
≤
»
”√—
±
—
”√—
≤
—
±
„
≤
„
©±±≠μ® qJA�«
Æ5ð—R³�« ≤»¨
±» 5²²ÐU¦�« 5²DIM�« ◄
Æh�UM�« lDI�« e�d� 5ð—R³�« 5Ð W�U�LK� WHBM*« ©Ë® WDIM�« ◄
5ð—R³�UÐ —U*« j)« lÞUIð U²DI½ UL¼Ë ¨≤—¨
±— 5²DIM�« ◄
Æh�UM�« lDI�« wÝ√— ¨vM×M*« l�
Æh�UM�« lDIK� d³�_« —u;« 5Ý√d�« 5Ð WK�«u�« ≤
— ±
—
fl
WLOI²�*« WFDI�« ◄
dG�_« —u;« lDI�« vKŽ U¼U�dÞË ¨e�d*UÐ …—U*«Ë ¨d³�_« —u;« vKŽ W¹œuLF�« ≤„
±„
fl
WLOI²�*« WFDI�« ◄
Æh�UM�« lDIK�
∫hUM�« lDI�« W�œUF�
s¹—u;« bŠ√ vKŽ o³DM� d³�_« —u;«Ë ¨©∞¨∞® q�_« WDI½ e�d*« YOŠ ¨wÝUO� l{Ë w� h�UM�« lDI�«
Æ5OŁ«bŠù«
∫ÊUF{Ë W�U(« Ác¼ w� h�UM�« lDIK�
—u;«Ë ¨©∞ ¨ ∞® q�_« WDI½ e�d*« ∫‰Ë_« l{u�«
Æ UMO��« —u×� vKŽ o³DM� d³�_«
q�_« WDI½ Áe�d� ÎUB�U½ ÎUFD� ©±≤≠μ® qJA�« 5³¹
Æ UMO��« —u×� vKŽ o³DM� d³�_« Á—u×�Ë ¨©∞ ¨ ∞®
”
’
©∞¨?ł®±
»
©’¨”®Ê
©∞¨?ł≠®≤
»©∞¨ ≠®≤
— ©∞¨ ®±
—
©±≤≠μ® qJA�«
Æ©∞ ¨ ?ł≠® ≤
» ¨ ©∞ ¨ ?ł® ±
» 5ð—R³�« Ê√ ÷dH½
¨h�UM�« lDI�«vKŽ WDI½ W¹√ ©’ ¨ ”® Ê X½U� «–S�
U²ÐUŁ Ϋ—«bI� ÍËU�¹ 5ð—R³�« sŽ UN¹bFÐ ŸuL−� ÊS�
≤ Ω ≤
» Ê ´ ±
» Ê ∫Ê√ Í√ ¨ ≤ sJO�Ë
∂∏
≤ Ω ≤’ ´
≤
©?ł ´ ”® √ ´ ≤’ ´
≤
©?ł ≠ ”® √ ∴
∫W�œUF*« vKŽ qB×½ ¨jO�³²�«Ë 5�dD�« lOÐdðË d�¹_« ·dD�« v�≈ s¹—c'« bŠ√ qIMÐ
©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ± Ω ≤
?ł ≠ ≤
≤’
´ ≤
≤”
©h�UM�« lDI�« n¹dFð® ?ł≤ < ≤ Ê√ WEŠö0Ë
≤
?ł < ≤
UNM�Ë ¨ ?ł < ÊuJ¹
∫W�œUF*« vKŽ qB×½ ¨©±® W�œUF*« w� i¹uF²�UÐË ª≤
» sJO�Ë Vłu� —«bI� ≤
?ł ≠ ≤
Ê√ Í√
± Ω ≤
»
≤’
´ ≤
≤”
¨©∞ ¨ ≠® ≤
— ¨©∞ ¨ ® ±
— 5Ý√d�« w� UMO��« —u×� lDI¹ h�UM�« lDI�« Ê√ kŠô
©» ≠ ¨ ∞® ¨©» ¨ ∞® 5²DIM�« w� «œUB�« —u×� lDI¹Ë
o³DM� d³�_« —u;«Ë ¨©∞¨∞® q�_« WDI½ e�d*« ∫w½U¦�« l{u�«
Æ©±≥≠μ® qJA�« w� UL� ¨ «œUB�« —u×� vKŽ
q�u²�« sJ1 ‰Ë_« l{u�« w� U¼UM�b²Ý« w²�« UNð«– WI¹dD�UÐ
∫w¼Ë w½U¦�« l{u�« w� h�UM�« lDI�« W�œUF� v�≈
± Ω ≤
»
≤”
´ ≤
≤’
”
’
©?ł¨∞®±
»
©?ł≠¨∞®≤
»
© ¨∞®±
—
© ≠¨∞®≤
—
©∞¨»®©∞¨»≠®
©±≥≠μ® qJA�«
∫ UEŠö�
≤
?ł ´ ≤
» Ω ≤
w¼ ?ł ¨ » ¨ ‰«uÞ_« 5Ð W�öF�« ±
Æt� qŁU9 «—u×� UL¼ h�UM�« lDI�« «—u×� ≤
Æ» < ¨»≤ Ω dG�_« —u;« ‰uÞË ¨ ≤ Ω h�UM�« lDIK� d³�_« —u;« ‰uÞ ≥
ÊS� ¨≤
” ÂUI� w¼ ≤
X½U� «–≈Ë ¨≤
ÎULz«œ q¦1 5²IÐU��« h�UM�« lDI�« w²�œUF� w� d³�_« ÂUI*« ¥
¨≤
’ ÂUI� w¼ ≤
X½U� «–≈ U�√ ¨©wMOÝ h�U½ lD�® UMO��« —u×� vKŽ ÎUI³DM� ÊuJ¹ d³�_« —u;«
Æ©ÍœU� h�U½ lD�® «œUB�« —u×� vKŽ ÎUI³DM� ÊuJ¹ d³�_« —u;« ÊS�
∂π
∫n¹dFð
?ł
Ω ?¼ Ê√ Í√
?ł
W³�M�« u¼ ¨ ?¼ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨h�UM�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô«
> ?ł ¨ ÊU²³łu� ¨ ?ł Ê_ ± > ?¼ > ∞ Ê√ kŠô
Æ…dz«œ s� »d²I¹ h�UM�« lDI�« ÊS� ∞ ← ?¼ U�bMŽË
ÆWLOI²�� WFD� s� »d²I¹ h�UM�« lDI�« ÊS� ± ← ?¼ U�bMŽË
w²�œUF� Ë ¨5Ý√d�«Ë ¨ 5ð—R³�« ∫s� Îö� 5Ž ¨± Ω ±∂
≤’
´ ≤μ
≤”
t²�œUF� h�U½ lD� ∫©±® ‰U¦�
Æh�UM�« lDI�« vM×M� rÝ—« rŁ ªULNO�uÞË s¹—u;«
∫tO�Ë ©∞¨∞® Áe�d� wMOÝ h�U½ lD� u¼ lDI�«
μ Ω UNM�Ë ¨ ≤μ Ω ≤
¥ Ω » UNM�Ë ±∂ Ω ≤
»
π Ω ±∂ ≠ ≤μ Ω ≤
» ≠ ≤
Ω ≤
?ł sJ�
≥ Ω ?ł ∴
”
’
©∞¨ ≥®±
»©∞¨ ≥≠®≤
»©∞¨ μ≠®≤
— ©∞¨ μ®±
—
©¥¨ ∞®
©¥≠¨ ∞®
dG�_« —u;«
d³�_« —u;«
©∞¨∞®
©±¥≠μ® qJA�«
©∞¨≥≠® ≤
» ¨ ©∞¨≥® ±
» ∫UL¼ ÊUð—R³�«
©∞ ¨ μ≠® ≤
— ¨ ©∞ ¨ μ® ±
— ∫UL¼ ÊUÝ√d�«
±∞ Ω ≤ Ω t�uÞË ∞ Ω ’ ∫w¼ d³�_« —u;« W�œUF�
∏ Ω »≤ Ω t�uÞË ∞ Ω ” ∫w¼ dG�_« —u;« W�œUF�
Æ©±¥≠μ® qJA�« dE½«
¨©∞ ¨ ¥≠® ¨©∞ ¨ ¥® ÊU²DIM�« ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� Íc�« h�UM�« lDI�« W�œUF� błË√ ∫©≤® ‰U¦�
Æ©≥≠ ¨ ∞® ¨©≥ ¨ ∞® 5²DIM�« bMŽ ÍœUB�« —u;« lDI¹Ë
©wMOÝ h�U½ lD�® UMO��« —u×� vKŽ ÁUð—RÐË ¨©∞¨∞® Áe�d� lDI�«
± Ω ≤
»
≤’
´ ≤
≤”
…—uB�« t²�œUF� c²ð ∴
∑∞
¥ Ω ?ł ≥ Ω »
≤μ Ω ±∂ ´ π Ω ≤
?ł ´ ≤
» Ω ≤
sJ�
μ Ω ∴
± Ω π
≤’
´ ≤μ
≤”
W�œUF*« ∴
Æ©±μ≠μ® qJA�« dE½«
”
’
©∞¨ ¥®±
»©∞¨ ¥≠®≤
» ©∞¨ μ®±
—
©≥¨ ∞®
©≥≠¨ ∞®
©∞¨ μ≠®≤
—
©±μ≠μ® qJA�«
t²�œUF� Íc�« h�UM�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô«Ë ¨5ð—R³�«Ë ¨5Ý√d�« 5Ž ∫©≥® ‰U¦�
ÆlDI�« vM×M� rÝ—« rŁ ¨≤≤μ Ω ≤’π ´
≤”≤μ
± Ω ≤μ
≤’
´ π
≤”
∫Z²M¹ ≤≤μ vKŽ ≤≤μ Ω ≤’π ´
≤”≤μ W�œUF*« w�dÞ WL�IÐ
± Ω ≤
»
≤”
´ ≤
≤’
…—uB�« vKŽ w¼Ë
∫tO�Ë ©∞¨∞® Áe�d� ÍœU� h�U½ lD� u¼ lDI�« Ê√ Í√
≥ Ω » UNM�Ë π Ω ≤
» ªμ Ω UNM�Ë ¨≤μ Ω ≤
±∂ Ω π ≠ ≤μ Ω ≤
» ≠ ≤
Ω ≤
?ł sJ�
¥ Ω ?ł ∴
©¥ ∓ ¨ ∞® Í√ ©?ł ∓ ¨ ∞® ∫UL¼ ÊUð—R³�« ∴
©μ ∓ ¨ ∞® Í√ © ∓ ¨ ∞® ∫ UL¼ ÊUÝ√d�«
∞[∏ Ω μ
¥
Ω ?ł
Ω ?¼ Íe�d*« ·ö²šô«
Æ©±∂≠μ® qJA�« dE½«
”
’
©∞¨ ≥®©∞¨ ≥≠®
©¥¨ ∞®±
»
©μ¨ ∞®±
—
©μ≠¨ ∞®≤
—
©¥≠¨∞®≤
»
©±∂≠μ® qJA�«
∑±
©≤≠μ® s¹—U9
∫WO�U²�« ôU(« s� >q� w� h�UM�« lDI�« W�œUF� błË√ ±
Æ «bŠË ∂ d³�_« Á—u×� ‰uÞË ©∞ ¨ ±∓® ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� √
Æ∞[μ Íe�d*« t�ö²š«Ë ©≤∓ ¨ ∞® ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� »
Æ©≤ ¨ ≥® WDIM�UÐ d1Ë ¨©∂≠ ¨ ∞® ¨ ©∂ ¨ ∞® ÁUÝ√— ?ł
∫WOÝUÝ_« Ád�UMŽ tOKŽ ÎU×{u� ¨wK¹ U2 >q� w� h�UM�« lDI�« rÝ—« ≤
±≤ Ω ≤’¥ ´
≤”≥ » ± Ω ¥
≤’
´ π
≤”
√
©¥≠ ¨ ∞® ¨ ©¥ ¨ ∞® 5²DIM�« sŽ UN¹bFÐ ŸuL−� ÊuJ¹ YO×Ð ¨Èu²�*« w� ©’ ¨ ”® Ê WDIM�« „dײð ≥
ÆWDIM�« ÁcN� wÝbMN�« q;« W�œUF� błË√ ÆÎULz«œ «bŠË ±∞ ÍËU�¹
ÆtOKŽ WF�«u�« ©≥ ¨ ≤≠® WDIM�« bMŽ ¨μ∂ Ω ≤’¥ ´
≤”μ h�UM�« lDIK� ”UL*« W�œUF� błË√ ¥
¨Èu²�*« w� „dײð w²�« ©’ ¨ ”® Ê WDIMK� wÝbMN�« q;« W�œUF� błË√ μ
øW�œUF*« Ác¼ q¦9 «–U� Æ ?¼U²ł ≥ Ω ’ ¨ ?¼Uł ≤ Ω ” YO×Ð
ŸUHð—«Ë Â≥∞ ”uI�« …bŽU� ‰uÞ ÊU� «–S� ªwI�√ d³�_« Á—u×� h�U½ lD� nB½ qJý t� ”uI� d�ł ∂
Æ…bŽUI�« e�d� s� Â∂ bFÐ vKŽ ”uI�« ŸUHð—« b−� ¨Â±∞ wI�_« —u;« ‚u� ”uI�« w� WDI½ vKŽ√
—u×� ‚u� WF�«u�« ±Ω ≤
»
≤’
´ ≤
≤”
h�UM�« lDI�UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r�'« r−Š Ê√ 5Ð ∑
Æ≤
» π ≥
¥
ÍËU�¹ UMO��« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ UMO��«
∑≤
(The Hyperbola) b???z«e�« l???DI�« ≥≠μ
∫n¹dFð
5²DI½ sŽ UN¹bFÐ 5Ð oKD*« ‚dH�« ÊuJ¹ YO×Ð Èu²�*« w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« u¼ bz«e�« lDI�«
ÆULNMOÐ bF³�« s� dG�√ ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� ÍËU�¹ tO� 5²²ÐUŁ
YO×Ð ©’¨”® Ê WDIM�« tLÝdð Íc�«Ë ¨©±∑≠μ® qJA�« w� 5³*« 5Žd� s� ÊuJ*« Õu²H*« vM×M*« vL�¹
∫wL�½ tO�Ë Î«bz«“ ÎUFD� ¨ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� ¸ ±
» Ê ≠ ≤
» Ê ¸ ÊuJ¹
Æ5ð—R³�« ≤
» ¨±
» 5²²ÐU¦�« 5²DIM�« ◄
Æbz«e�« lDI�« e�d� 5ð—R³�« 5Ð W�U�LK� WHBM*« ©Ë® WDIM�« ◄
Æbz«e�« lDI�« wÝ√— ≤
— ¨±
— ÊU²DIM�« ◄
ÆlÞUI�« —u;« 5Ý√d�« 5Ð WK�«u�« ≤
— ±
—
fl
WLOI²�*« WFDI�« ◄
©’¨”®Ê
˱
—≤
—±
»≤
»
…—RД√—
…—RД√—e�d�
©±∑≠μ® qJA�«
∫bz«e�« lDI�« W�œUF�
s¹—u;« bŠ√ vKŽ o³DM� lÞUI�« —u;«Ë ¨©∞¨∞ ® q�_« WDI½ e�d*« YOŠ ¨wÝUO� l{Ë w� bz«e�« lDI�«
Æ5OŁ«bŠô«
∫ÊUF{Ë W�U(« Ác¼ w� bz«e�« lDIK�
—u???;«Ë ¨©∞¨∞® q???�_« WDI½ e??�d??*« ∫‰Ë_« l{u�«
Æ©wMOÝ bz«“ lD�® UMO��« —u×� vKŽ o³DM� lÞUI�«
Æ©±∏≠μ® qJA�« dE½«
”
©∞¨?ł®±
»©∞¨?ł≠®≤
» ©∞¨ ≠®≤
— ©∞¨ ®±
—
’
©’¨”®Ê
©»¨∞®
©» ≠¨∞®
©±∏≠μ® qJA�«
ÊuJ¹ bz«e�« lDI�« vM×M� vKŽ WF�«Ë ©’¨”® Ê WDI½ Í_
≤ Ω ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� Ω ¸ ±
» Ê ≠ ≤
» ʸ
≤ ∓ Ω ±
» Ê ≠ ≤
» Ê
∫Ê√ Z²M¹ i¹uF²�UÐË
≤∓ Ω ≤’ ´
≤
©?ł ≠ ”® √ ≠ ≤’ ´
≤
©?ł ´ ”® √
∑≥
∫W�œUF*« vKŽ qB×½ ¨—UB²šô«Ë W¹d³'« UOKLF�« ¡«dł≈ bFÐ
∫ …—uB�« vKŽ W�œUF*« `³Bð ¨≤
≠ ≤
?ł Ω ≤
» i¹uF²ÐË ± Ω ≤
≠ ≤
?ł
≤’
≠ ≤
≤”
± Ω ≤
»
≤’
≠ ≤
≤”
‰uÞ Ê√Ë ¨©∞¨ ≠® ≤
— ¨ ©∞¨ ® ±
— 5Ý√d�« w� UMO��« —u×� lDI¹ l{u�« «c¼ w� bz«e�« lDI�« Ê√ kŠô
¨≤
»≠ Ω ≤’ W�œUF*« `³Bð ¨dH� Ω ” i¹uF²Ð t½_ p�–Ë ª «œUB�« —u×� lDI¹ ô t½√Ë ¨ ≤ lÞUI�« —u;«
bz«e�« lDI�« e�d� s� lÞUI�« —u;« vKŽ W¹œuLF�« WLOI²�*« WFDI�« wL�MÝ UMMJ�Ë ª w� UN� qŠ ô W�œUF� w¼Ë
Æ»≤ ÍËU�¹ t�uÞË ¨bz«e�« lDIK� o�«d*« —u;« ¨©» ¨ ∞® ¨ ©»≠ ¨ ∞® 5²DIM�« 5Ð qBð w²�«Ë
Æ©±π≠μ® qJA�« kŠô
o³DM� lÞUI�« —u??;«Ë ¨©∞ ¨ ∞ ® q�_« WDI½ e�d*« ∫w½U¦�« l{u�«
Æ©≥≤≠μ® qJA�« dE½« Æ©ÍœU� bz«“ lD�® «œUB�« —u×� vKŽ
”
©?ł¨∞®±
»
© ¨∞®±
—
’
© ≠¨∞®≤
—
©?ł≠¨∞®≤
»
©∞¨»≠® ©∞¨»®
©±π≠μ® qJA�«
∫w¼ bz«e�« lDI�« W�œUF� ÊuJð W�U(« Ác¼ w�
± Ω ≤
»
≤”
≠ ≤
≤’
∫ UEŠö�
Æ≤
» ´ ≤
Ω ≤
?ł ∫w¼ bz«e�« lDI�« w� ?ł ¨ » ¨ ‰«uÞ_« 5Ð W�öF�« ±
Æ»≤ Ω o�«d*« Á—u×� ‰uÞË ¨ ≤Ωbz«e�« lDIK� lÞUI�« —u;« ‰uÞ ≤
Æt� qŁU9 «—u×� UL¼ bz«e�« lDI�« «—u×� ≥
Æbz«e�« lDI�« W�œUF� w� Vłu*« b(« ÂUI� w¼ ≤
¥
∫n¹dFð
?ł
W³�M�« u¼ ¨ ?¼ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨bz«e�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô«
± > ?¼ YOŠ h�UM�« lDI�« ·öÐ ¨± < ?¼ ÊuJð bz«e�« lDI�« w� t½√ kŠô
∑¥
bz«e�« lDIK� ¨Íe�d*« ·ö²šô«Ë ¨s¹—u;« w�uÞË ¨5ð—R³�«Ë ¨5Ý√d�« ∫s� Îö� 5Ž ∫©±® ‰U¦�
ÆlDI�« vM×M� rÝ—« rŁ ª± Ω π
≤’
≠ ±∂
≤”
∫tO�Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� ÎUOMOÝ Î«bz«“ ÎUFD� W�œUF*« q¦9
¥ Ω UNM�Ë ¨±∂ Ω ≤
≥ Ω » UNM�Ë π Ω ≤
»
≤μ Ω π ´ ±∂ Ω ≤
» ´ ≤
Ω ≤
?ł
μ Ω ?ł ∴
bz«e�« lDI�« vM×M� ©≤∞≠μ® qJA�« q¦1
”
©∞ ¨μ®±
»©∞ ¨μ≠®≤
» ©∞ ¨¥≠®≤
— ©∞ ¨¥®±
—
’
©≥ ¨∞®
©≥≠ ¨∞®
©≤∞≠μ® qJA�«
©∞ ¨ ¥∓® UL¼ ÊUÝ√d�«
©∞ ¨ μ∓® UL¼ ÊUð—R³�«
∏ Ω ¥ × ≤ Ω ≤ Ω lÞUI�« —u;« ‰uÞ
∂ Ω ≥ × ≤ Ω »≤ Ω o�«d*« —u;« ‰uÞ
¥
μ
Ω
?ł
Ω ?¼ Íe�d*« ·ö²šô«
¨©∞ ≥≠® ©∞¨≥® ÁUÝ√—Ë ¨©∞ μ≠® ©∞ μ® ÁUð—RÐ Íc�« bz«e�« lDI�« vM×M� rÝ—« ∫©≤® ‰U¦�
Æt²�œUF� błË√ rŁ
vKŽ ÊU²F�«Ë ©∞ ¨μ∓® tOð—RÐ Ê√ U0Ë ¨© ∞ ¨∞® Ω ©≤
∞ ´ ∞
¨ ≤
μ≠ ´ μ
® Ω e�d*« UOŁ«bŠ≈
Æ©≤±≠μ® qJA�« dE½« ¨wÝUO� l{Ë w� wMOÝ bz«“ lD� uN� UMO��« —u×�
∫w¼ bz«e�« lDI�« W�œUF�
± Ω ≤
»
≤’
≠ ≤
≤”
”
©∞ ¨μ®±
»©∞ ¨μ≠®≤
» ©∞ ¨≥≠®≤
— ©∞ ¨≥®±
—
’
©≤±≠μ® qJA�«
≥ Ω Ω e�d*« bMŽ ”√d�« bFÐ
μ Ω ?ł Ω e�d*« sŽ …—R³�« bFÐ
≤
» ´ ≤
Ω ≤
?ł sJ�
±∂ Ω ≤
» UNM�Ë ¨ ≤
» ´ π Ω ≤μ ∴
± Ω ±∂
≤’
≠ π
≤”
∫w¼ bz«e�« lDI�« W�œUF� ∴
∑μ
Íe�d*« t�ö²š«Ë ¨±≤ tOð—RÐ 5Ð bF³�«Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� Íc�« bz«e�« lDI�« W�œUF� bł ∫©≥® ‰U¦�
Æ «œUB�« —u×� vKŽ o³DM� lÞUI�« Á—u×�Ë ¨ ≤
≥
Ω ?¼
¨ «œUB�« —u×� vKŽ o³DM� lÞUI�« Á—u×�Ë ¨©∞ ¨ ∞® u¼ bz«e�« lDI�« e�d� Ê√ U0
∫…—uB�« t²�œUF� c²ð Ê–≈
± Ω ≤
»
≤”
≠ ≤
≤’
∂ Ω ?ł UNM�Ë ¨±≤ Ω ?ł≤
?ł
Ω ?¼ Íe�d*« ·ö²šô«
¥ Ω UNM�Ë
∂
Ω ≤
≥
∴
≤
» ´ ≤
Ω ≤
?ł Ê√ U0Ë
≤∞ Ω ≤
» UNM�Ë ≤
» ´ ≤
©¥® Ω ≥∂ ∴
± Ω ≤∞
≤”
≠ ±∂
≤’
w¼ W�œUF*« ∴
©≤≤≠μ® qJA�« dE½«
”
©∂¨∞®±
»
© ¥¨∞®±
—
’
©¥≠ ¨∞®≤
—
©∂≠ ¨∞®≤
»
©≤≤≠μ® qJA�«
©≥≠μ® s¹—U9
w� Íe�d*« ·ö²šô«Ë ¨s¹—u;« s� q� ‰uÞ p�c�Ë ¨5ð—R³�«Ë ¨5Ý√d�«Ë ¨e�d*« UOŁ«bŠ≈ błË√ ±
∫W�UŠ q� w� vM×M*« rÝ—« rŁ ¨WO�U²�« …bz«e�« ŸuDI�« s� >q�
± Ω ∂¥
≤”
≠ ≥∂
≤’
» ± Ω ≤μ
≤’
≠ ±¥¥
≤”
√
±¥¥ Ω ≤’±∂ ≠
≤”π ?ł
∫wK¹U� w� ÁUM×M� rÝ—« rŁ ¨bz«e�« lDI�« W�œUF� błË√ ≤
Ʊ∓ Ω ’ bMŽ «œUB�« —u×� lDI¹Ë ©≤∓ ¨ ∞® ÊUð—R³�«
ÆtOKŽ WF�«u�« ©≤
≥
¨ μ≠® WDIM�« bMŽ ± Ω ¥
≤’
≠ ±∂
≤”
∫bz«e�« lDIK� ÍœuLF�«Ë ”UL*« W�œUF� błË √ ≥
∑∂
W�UŽ s¹—U9
∫WOðü« WK¾Ý_« s� ÌqJ� W×O×B�« WÐUłù« d²š« ±
∫w¼ ¨©≥ ¨ ∞® tð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— Íc�« T�UJ*« lDI�« W�œUF� ±
”±≤Ω ≤’ œ ”¥ Ω
≤’ ?ł ’±≤ Ω ≤” » ’¥ Ω
≤” √
∫w¼ ¨≤ Ω ” tKO�œË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— Íc�« T�UJ*« lDI�« W�œUF� ≤
”∏≠ Ω ≤
’ œ ”¥≠ Ω ≤’ ?ł ”∏ Ω
≤
’ » ”≤ Ω ≤’ √
∫w¼ ¨ ≤
±
Íe�d*« t�ö²š«Ë ¨©∞ ¨ ≤≠® ¨ ©∞ ¨ ≤® ÁUÝ√— Íc�« h�UM�« lDI�« W�œUF� ≥
± Ω ≤
≤”
´ ¥
≤’
» ± Ω ≤
≤’
´ ¥
≤”
√
± Ω ≥
≤’
´ ¥
≤”
œ ± Ω ≤
≤’
≠ ¥
≤”
?ł
∫u¼ ¨± Ω ≤±
≤’
≠ ¥
≤”
bz«e�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô« ¥
μ
≤
œ ≤
μ
?ł ¥
≤μ
» μ √
∫w¼ ¨∞ Ω ”¥ ≠ ≤’ T�UJ*« lDIK� qO�b�« W�œUF� μ
±≠ Ω ” œ ± Ω ” ?ł ≤≠ Ω ” » ≤ Ω ” √
∫w¼ ¨©≥ ¨ ≤® WDIM�UÐ d1Ë ¨©∞ ¨ ≤® tOð—RÐ ÈbŠ≈Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� Íc�« bz«e�« lDI�« W�œUF� ∂
≤ Ω ≤’¥ ≠
≤”μ » ≥ Ω ≤’≥ ≠
≤” √
≥ Ω ≤”≥ ≠
≤’ œ ≥ Ω ≤’ ≠
≤”≥ ?ł
©±≠ ¨ ≤® WDIM�« bMŽ μ Ω ≤’≥ ≠
≤”≤ t²�œUF� Íc�« bz«e�« lDIK� ÍœuLF�«Ë ”UL*« W�œUF� błË√ ≤
©¥ ¨ ∞® WDIM�« sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð wð—UJ¹b�« Èu²�*« w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« W�œUF� błË√ ≥
Æπ Ω ’ rOI²�*« sŽ U¼bFÐ ≥
≤
ÎU¹ËU��
UOŁ«bŠ≈ błË√ Æ©∂¨∞® WDIM�« w� «œUB�« —u×� ÊUFDI¹ ≥∂ Ω≤’¥´
≤”π h�UM�« lDIK� ÊUÝU2 ¥
Æ”UL²�« w²DI½
Æ”UL²�« WDI½ 5ŽË ¨≥ ≠ ” Ω ’ rOI²�*« Í“«u¹ Íc�«Ë ¨”±≤ Ω ≤’ ¡v�UJ*« lDIK� ”UL*« W�œUF� błË√ μ
Æ©≥ ¨ ¥≠® ¨ ©≤ ¨ ∂® 5²DIM�UÐ d1Ë ¨ÊUOŁ«bŠù« Ê«—u;« UL¼ Á«—u×� Íc�« h�UM�« lDI�« W�œUF� błË√ ∂
± Ω ¥
≤’
´ π
≤”
h�UM�« lDI�UÐ …—uB;« WIDM*« s� ÍuKF�« nBM�« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r�'« r−Š błË√ ∑
Æ UMO��« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ
∑∑
∫…bzUHK� w�U{≈ ◊UA½
∫UND�Ð√ s� ‚dÞ …bŽ błu¹ ÎUOKLŽ h�UM�« lDI�« ¡UA½ù
∫vË_« WI¹dD«
ÆÈuI*« ‚—u�« s� Õu� vKŽ ©s¹—UL�� Ë√® 5ÝuÐœ X³Ł ±
ÆVÝUM� ‰uDÐ ÎUDOš dCŠ√ ≤
f�ö¹ ’U???�— rK� q??F??ł«Ë ¨5??Ýu??Ðb??�« ‰u??Š j??O??)« —d??� ≥
vM×M*« ÊuJO� ΫœËbA� jO)« vI³¹ YO×Ð „dײ¹Ë ¨jO)«
Æ»uKD*« vM×M*« u¼ ’U�d�« rK� tLÝd¹ Íc�«
∫WO½U¦« WI¹dD«
∫WO�U²�« «uD)« l³ð« ± Ω ≤
»
≤’
´ ≤
≤”
h�UM�« lDI�« rÝd�
Æh�UM�« lDIK� qŁUL²�« Í—u×� Êö¦1 s¹b�UF²� s¹—u×� rÝ—« ±
WŁöŁ 5Ž ¨©W�UHý …dD�� Ë√® ‚—u??�« s� lO�— j¹dý vKŽ ≤
Æ Ω ’ Ê ¨ » Ω ” Ê Ê≈ YO×Ð ’ ¨” ¨Ê ◊UI½
—u×� vKŽ ” WDIM�« vI³ð YO×Ð ©…dD�*« Ë√® j¹dA�« „dŠ ≥
Æ «œUB�« —u×� vKŽ ’ WDIM�«Ë ¨ UMO��«
WHK²*« UNŽU{Ë√ w� Ê WDIM�« UNK¦9 w²�« ◊UIM�« 5Ð q� ¥
Æ»uKD*« h�UM�« lDI�« vM×M� ÊuJ²O�
Ê
”
’
∑∏
ôU??????L??????²??????Šô« ∂
…b???????Šu???????�«
•πμ
σ
≤ ≠ μ σ
≤ ´ μμ
∑π
qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« ±≠∂
5²O�U²²� 5ðd� bI½ WFD� XOI�≈ «–≈ Îö¦L ÆWOIOIŠ œ«bŽQÐ WOz«uAF�« »—U−²�« ZzU²½ jЗ r²¹ ÊUOŠ_« s� dO¦ w
5Nłu�« vKŽ ÊUð—u� dNEð U�bMŽ ≤ WLOI�« c�²¹ dOG²*« œbF�« «c¼ ÊS ¨5ðd*« w …d¼UE�« —uB�« œbŽ kŠu�Ë
Æ…—u� W¹√ dNEð ô U�bMŽ dH� WLOI�«Ë ¨jI …bŠ«Ë …—u� dNEðU�bMŽ ± WLOI�«Ë¨5¹uKF�«
©±≠∂® qJA�« w wLN��« jD�*UÐ p�– `O{uð sJ1Ë
ª ⊇ {≤¨±¨∞} Á«b�Ë ¨Ω t�U−� ÎU½«d²�« q¦1 Íc�«
ÆÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ê«d²�ô« «c¼ q¦� vL�¹Ë
©„ ¨ „®
©’ ¨ „®
©„ ¨ ’®
©’¨ ’®
∞
±
≤
©±≠∂® qJA�«
∫ÂUŽ tłuÐ
∫n¹dFð
ÆÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ¨bFK� ÏWKÐU� WOIOI(« œ«bŽ_« s� ÏWOzeł ÏWŽuL−� Á«b�Ë ¨Ω t�U−� Íc�« Ê«d²�ô« vL�¹
∫…œôu�« q�K�ðË fM'« YOŠ s� bO�«u� WŁöŁ WEŠö� WÐd& w ∫©±® ‰U¦�
ÆΩ V²« √
ÆwLNÝ jD�0 qÒ¦L WŁö¦�« bO�«u*« w UM³�« œbŽ q¦1 ΫdOG²� ÊU «–≈ »
øÁ«b� UL p�c ÊU Ê≈ øqBHM� wz«uAŽ dOG²� q¼ ?ł
¨ Ë » »¨ Ë Ë » ¨ Ë » Ë ¨ » Ë Ë ¨ Ë Ë Ë} Ω Ω √
{» » » ¨ » » Ë ¨ » Ë »
dOG²LK� wLN��« jD�*« q¦1 ©≤≠∂® qJA�« »
Ë Ë Ë
» Ë Ë
Ë » Ë
Ë Ë »
Ë » »
»Ë »
» » Ë
» » »
∞
±
≤
≥
©≤≠∂® qJA�« jI bŠ«Ë wIOIŠ œbFÐ Ω d�UMŽ s� dBMŽ q jÐd¹ Ê√ U0 ?ł
ÊS w�U²�UÐË ªbFK� WKÐUI�« ⊇ {≥¨≤¨±¨∞} WŽuL−*« Á«b�Ë ¨Ω t�U−� Ê«d²�« ∴
ÆqBHM� wz«uAŽ dOG²�
∏∞
…d¼UE�« ◊UIM�« œbŽ 5Ð oKD*« ‚dH�«vKŽ ‰b¹ Íc�« qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« u¼ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�
œd½ Íd−Š ¡UI�≈ bMŽ 5¹uKF�« 5Nłu�« vKŽ
Æ Èb� bł √
Ʊ œbF�« w¼ Ê«d²�ô« w UNð—u� w²�« Ω d�UMŽ lOLł s� ÊuJ*« Õ ÀœU(« V²√ »
{μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ } Ω Èb� √
{©μ¨∂® ¨©∂¨μ®¨©¥¨μ®¨©μ¨¥®¨©≥¨¥®¨©¥¨≥®¨©≤¨≥®¨©≥¨≤®¨©±¨≤®¨©≤¨±®} Ω Õ »
∫n¹dFð
¨—
” WLOI�« c�²¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊS ¨{Ê
” ÆÆÆ ≤
” ±
” } Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈
Æ—
” œbF�UÐ WD³ðd*« Ω d�UMŽ lOLł s� ÊuJ*« ÀœU(« ‰UL²Š« ÍËU�¹ ¨©—
”®‰ e�d�UÐ UN�e�d¹Ë
¡UCOÐ «d l³Ý vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� ŸUł—≈ ÊËœ w�«u²�« vKŽ «d ÀöŁ V×Ý WÐd& w ∫©≥® ‰U¦�
WÐu×�*« ¡UCO³�« «dJ�« œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ÿ ÊU «–≈ ¨s¹Ë«dLŠ 5ðdË
Æ©±® ‰ bł » ÆŸ Èb� bł √
{≥ ¨ ≤ ¨ ±} Ω Ÿ Èb� √
Æ¡«dLŠ Àö¦�« «dJ�« ÊuJð Ê√ sJ1 ô t½_ ªÎ«dH� WLOI�« c�²¹ ô Ÿ Ê√ kŠô
©{» ” ” ¨ ” » ” ¨” ” »}® ‰ Ω ©±®‰ »
∑
∑
× ∏
±
× π
≤
´ ∑
±
× ∏
∑
× π
≤
´ ∑
±
× ∏
≤
× π
∑
Ω
±≤
±
Ω μ∞¥
¥≤
Ω
∫©w�UL²Šô« l¹“u²�«® n¹dFð
¨{Ê
” ¨ ÆÆÆ ¨ ≤
” ¨ ±
” } Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈
WŽuL−*« wL�½ UM½S ¨WKÐUI*« ôUL²Šô« ©Ê
”®‰¨ÆÆÆ ¨©≤
”®‰ ¨©±
”®‰ X½UË
Æ qBHM*« wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« {©©Ê
”®‰ ¨Ê
”®¨ÆÆƨ©©≤
”®‰ ¨≤
”® ¨©©±
”®‰ ¨±
”®}
∏±
UNðôUL²Š« Á«b�Ë ¨ rO� WŽuL−� t�U−� Ê«d²�« u¼ qBHM*« wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« Ê√ kŠô
Æw�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł vL�¹ Íc�« w�U²�« ‰Ëb'UÐ Ê«d²�ô« «c¼ qO¦9 sJ1Ë ÆWKÐUI*«
—
”±
”≤
”ÆÆÆÊ
”
©—
Ө䩱
Ө䩲
”®‰ÆÆÆ©Ê
”®‰
Ê ¨ ÆÆÆ ¨ ≤ ¨ ± Ω — rO� lOL' ¨ ∞ ≤ ©—
”®‰ ± ∫ Ê√ kŠô
± Ω ©—
”®‰
Ê
∑±Ω
—
≤
bMŽ 5¹uKF�« 5Nłu�« vKŽ …d¼UE�« jIM�« ŸuL−� vKŽ ‰b??¹ wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�
Æ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ÊuJ ¨5LE²M� œd½ Íd−Š ¡UI�≈
{±≤ ¨ ±± ¨ ±∞ ¨ π ¨ ∏ ¨ ∑ ¨ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ } Ω Èb�
≥∂
±
Ω ©{©± ¨ ±)}® ‰ Ω ©≤®‰
≥∂
≤
Ω ©{©± ¨≤® ¨ ©≤ ¨±®}® ‰ Ω ©≥®‰
≥∂
≥
Ω ©{©± ¨ ≥® ¨ ©≤ ¨ ≤® ¨ ©≥ ¨ ±®}® ‰ Ω ©¥®‰
⋮
≥∂
±
Ω ©{©∂ ¨ ∂®}® ‰ Ω ©±≤®‰
∫ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ∴
±≤ ±± ±∞ π ∏ ∑ ∂ μ ¥ ≥ ≤—
”
≥∂
±
≥∂
≤
≥∂
≥
≥∂
¥
≥∂
μ
≥∂
∂
≥∂
μ
≥∂
¥
≥∂
≥
≥∂
≤
≥∂
±
©—
”®‰
{©”≤¨μ®¨©”¨¥®¨©∞[±¨≤®} u¼ w�UL²Šô« tF¹“uð ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©μ® ‰U¦�
Æ” WLO� błËQ
± Ω ©—
”®‰
≥
∑±Ω
—
± Ω ©μ®‰ ´ ©¥®‰ ´ ©≤®‰ ∴
± Ω ”≤ ´ ” ´ ∞[±
∞[≥ Ω ” UNM�Ë ∞[π Ω ”≥
∏≤
∫©qBHML�« wz«uAF�« dOG²L�« luð® n¹dFð
e�d¹Ë ¨ wz«uAF�« dOG²*« l�uð ÊS ¨{ Ê
” ÆÆÆ ≤
” ±
”} Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈
©—
”®‰ × —
”
Ê
∑±Ω
—
Ω © ® ∫«cJ¼ ·dF¹¨© ® e�d�UÐ t�
ÆdOG²*« «c¼ U¼c�²¹ w²�« rOIK� wÐU�(« jÝu�« u¼ wz«uAF�« dOG²*« l�uð Ê√ kŠô
«d lЗ√ vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ «d ÀöŁ V×Ý WÐd& w ∫©∂® ‰U¦�
WÐu×�*« ¡UCO³�« «dJ�« œbŽ vKŽ ‰b¹ Ÿ wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–≈ ¨s¹Ë«œuÝ 5ðdË ¡UCOÐ
Æ©Ÿ® błËQ
≥
±
Ω ©¡«œuÝ …dJ�«® ‰ ¨ ≥
≤
Ω ∂
¥
Ω ©¡UCOÐ …dJ�«® ‰ ¨ {≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ } Ω Ÿ Èb�
≤∑
±
Ω
≥
©≥
±
® Ω ©{” ” ”}® ‰ Ω ©∞®‰
π
≤
Ω
≤
©≥
±
® × ©≥
≤
® × ≥ Ω ©{» ” ” ¨ ” » ” ¨ ” ” »}® ‰ Ω ©±®‰
π
¥
Ω ≥
±
×
≤
©≥
≤
® × ≥ Ω ©{» » ” ¨ » ” » ¨ ” » »}® ‰ Ω ©≤®‰
≤∑
∏
Ω
≥
©≥
≤
® Ω ©{» » »}® ‰ Ω ©≥®‰
©—
”®‰ × —
”
≥
∑±Ω
—
Ω ©Ÿ®
≤ Ω ≤∑
μ¥
Ω ≤∑
∏
× ≥ ´ π
¥
× ≤ ´ π
≤
× ± ´ ≤∑
±
× ∞ Ω
Æ≤ ÍËU�¹ WÐu×�*« ¡UCO³�« «dJ�« œbF� wÐU�(« jÝu�« ÊS «d*« s� ΫdO³ ΫœbŽ WÐd−²�« X¹dł√ «–≈ t½√ wMF¹ «c¼Ë
∫wK¹ UL ÎUHKG� μ∞ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ∫©∑® ‰U¦�
ÆdO½U½œ ±∞ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM� yq Íu²×¹ UHKG� ±∞
ÆbŠ«Ë —UM¹œ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM� yq Íu²×¹ UHKG� ±∞
Æ—UM¹œ nB½ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM� yq Íu²×¹ ÎUHKG� ±μ
Æez«uł W¹√ vKŽ Íu²% ô Wž—U w�U³�«Ë
ÆÎUOz«uAŽ UHKG*« Ác¼ bŠ√ V×Ý bMŽ tOKŽ qB% Íc�« mK³LK� pF�uð błË√
∏≥
∫ÊuJ¹ …ezU'« WLO� q¦1 Íc�« wz«uAF�« dOG²*« u¼ Ê√ ÷dHÐ
{±∞ ¨ ± ¨ ∞[μ ¨ ∞} Ω Èb�
μ∞
±μ
Ω ©⁄—U nKG*«®‰ Ω ©∞®‰
μ∞
±μ
Ω ©—UM¹œ nB½ …ezU'«®‰ Ω©∞[쮉
μ∞
±∞
Ω ©—UM¹œ …ezU'«®‰ Ω ©±®‰
μ∞
±∞
Ω ©dO½U½œ ±∞ …ezU'«®‰ Ω ©±∞®‰
©—
”®‰ × —
”
¥
∑±Ω
—
Ω © ® ∴
Ϋ—UM¹œ ≤[≥μ Ω μ∞
±∞
× ±∞ ´ μ∞
±∞
× ± ´ μ∞
±μ
× ∞[μ ´ μ∞
±μ
× ∞ Ω
∫W¹dE½
∫ÊS Ω wMOF�« ⁄«dH�« vKŽ 5dF� 5Oz«uAŽ s¹dOG²� „ ¨ ÊU «–≈
©„® ∓ © ® Ω ©„ ∓ ® ±
∋ »¨
YOŠ ¨ » ´ © ®
Ω ©» ´
® ≤
∏ Ω ©„® ¨ μ Ω © ® YO×Ð ¨Ω wMOŽ ⁄«d vKŽ 5Oz«uAŽ s¹dOG²� „ ¨ ÊU «–≈ ∫©∏® ‰U¦�
∫błËQ
©∂ ´ „≥ ≠ ¥® » ©≥ ´ ≤® √
±≥ Ω ≥ ´ μ × ≤ Ω ≥ ´ © ® ≤ Ω ©≥ ´ ≤® √
∂ ´ ©„® ≥ ≠ © ® ¥ Ω ©∂ ´ „≥ ≠ ¥® »
≤ Ω ∂ ´ ∏ × ≥ ≠ μ × ¥ Ω
∏¥
©±≠∂® s¹—U9
‰œ «–≈ ÆŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ ÊUðd tM� X³×Ý ¨¡«œuÝ …bŠ«ËË ¡UCOÐ «d ≥ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ±
WÐu×�*« ¡«œu��« «dJ�« œbŽ vKŽ wz«uAF�« dOG²*«
l�uð bł ?ł wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²« » Èb� 5Ž √
ÊUðd tM� X³×Ý ¨¡«dLŠ «d XÝË ¨¡UCOÐ «d ÀöŁË ¨¡«œuÝ …bŠ«Ë …d vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ≤
WÐu×�*« ¡UCO³�« «dJ�« œbŽ vKŽ „ wz«uAF�« dOG²*« ‰œ «–≈ ¨…bŠ«Ë WFœ
„ l�uð bł ?ł „ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł V²« » „ Èb� 5Ž √
q³Ið w²�« œ«bŽ_« œbŽ vKŽ  dOG²*« ‰œ «–≈ Æ…bŠ«Ë WFœ {∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤} WŽuL−*« s� Ê«œbŽ dO²š« ≥
s¹—U²�*« s¹œbF�« w ¥ vKŽ WL�I�«
 dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł V²« »  wz«uAF�« dOG²*« Èb� 5Ž √
 dOG²*« l�uð bł ?ł
d−(« wI�√ Æ∂ r�d�« s¹dšü« 5Nłu�« vKŽË ¨≥ r�d�« tM� ÁułË ¥ vKŽ »u²J� ÍœUŽ dOž œd½ d−Š ¥
5²O�d�« w s¹d¼UE�« 5L�d�« ŸuL−� l�uð V�Š« Æ5²O�U²²� 5ðd�
ø WLO� UL {© ≤ ¨ 쮨©∞[± ¨ ®} u¼ wz«uAŽ dOG²* w�UL²Šô« l¹“u²�« ÊU «–≈ μ
ÊUË ¨5ðd� W¹œUŽ dOž bI½ WFD� ¡UI�≈ bMŽ …—uB�« —uNþ «d� œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∂
ø…bŠ«Ë …d� Ác¼ bIM�« WFD� ¡UI�≈ bMŽ WÐU²J�« —uNþ ‰UL²Š« UL ¨±[∂ Ω l�uð
‰UHÞ√ WŁöŁ UN¹b� WKzUŽ w —uc�« ‰UHÞ_« œbŽ l�uð V�Š« ∑
dNþ «–S ¨∞[∑ Ω UNO ÍuKF�« tłu�« vKŽ …—uB�« —uNþ ‰UL²Š« W¹œUŽ dOž œuI½ WFD� h�ý w�d¹ ∏
q−�¹ ÊU²ÐU² dNþ «–≈Ë ¨±∞≠ œbF�« q−�¹ ÊUHK²�� ÊUNłË dNþ «–≈Ë ¨≤∞ œbF�« q]
−�Ô¹ ÊUð—u�
h�AK� q−�*« œbF�« l�uð V�Š« Æ¥∞≠ œbF�«
ÊUË ¨©ŸUł—« ÊËœ® `OÐUB*« Ác¼ h× - «–≈ ÆW(U� ∏ UNM� WOzUÐdN `OÐUB�±∞ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ π
`�U� ÕU³B� ‰Ë√ tO dNE¹ Íc�« h×H�« r�— vKŽ ‰b¹ wz«uAF�« dOG²*«
l�uð bł ?ł dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ » Èb� 5Ž √
∫ÊUË ¨ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±∞
± Ω ” ” ?ł
≤ Ω ” ” ?ł≥
¥ ¨≥ Ω ” ¨ ©±´”®?ł
Ω ©”®‰
©≥ ´ ≤® V�Š« ?ł dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ÊÒu » ?ł WLO� bł √
∏μ
(Binomial Distribution) s¹b(« Ë– l¹“u²�« ≤≠∂
ŸuMÐ j³ðd¹ Íc�« ¨s¹b(« «– wz«uAF�« dOG²*« vL�*« WKBHM*« WOz«uAF�« «dOG²*« bŠ√ bM³�« «c¼ w ”—bMÝ
∫WO�U²�« hzUB)« UN� w²�« WOz«uAF�« »—U−²�« s� ’Uš
Æ…—dJ²*« ôËU;« s� 5F� œbŽ s� WÐd−²�« ÊuJ²ð ±
ÆWKI²��Ë WKŁUL²� ÎUFOLł ôËU;« Ác¼ ≤
ÆÎöA vL�¹Ë tŽu�Ë ÂbŽ Ë√ ÎUŠU$ vL�¹Ë 5F� ÀœUŠ Ÿu�Ë ∫5²−O²½ ÈbŠSÐ W�ËU×� q wN²Mð ≥
ÆW�ËU×� q w XÐUŁ ÕU−M�« ‰UL²Š« ¥
Æs¹b(« «– l¹“u²�« s¹b(« Í– wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« vL�¹Ë
◊UI½ ¥ —uNþ «d� œbŽ q¦1 wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–≈ ¨WO�U²²� «d� ±∞ rE²M� œd½ d−Š ¡UI�≈ bMŽ Îö¦L
…d� œdM�« d−Š w�d� WKI²��Ë WKŁUL²� ôËU×� ±∞ s� W½uJ� WÐd−²�« Ác¼ —U³²Ž« sJ1 t½S ¨ÍuKF�« tłu�« vKŽ
Ê≈ Æ ∂
±
u¼Ë ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� W�ËU×� q w ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ÀœU(« Ÿu�Ë ‰UL²Š« ÊuJ¹Ë ¨…bŠ«Ë
∫Ê_ s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²� u¼ dOG²*« «c¼
Æ…bŠ«Ë …d� rE²M*« œdM�« d−Š w�d� ôËU×� ±∞ s� ÊuJ²ð WÐd−²�« ±
ÆWKI²��Ë WKŁUL²� ÎUFOLł ôËU;« ≤
Æ©qA® p�– dOž Ë√ ©ÕU$® ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ∫UL¼ ÊU²−O²½ W�ËU×� qJ� ≥
Æ ∂
±
u¼ XÐUŁ W�ËU×� q w ÕU−M�« ‰UL²Š« ¥
ÊU²MŁ«Ë ¡UCOÐ «d∂ tO ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ «d μ V×Ý WÐd& w ∫©±® ‰U¦�
Ë– vz«uAŽ dOG²� Ê√ 5³ ¨WÐu×�*« ¡UCO³�« «dJ�« œbŽ v�≈ e�d¹ ÊU «–≈ ªÊ«Ë«œuÝ
ÆÁ«b� błË s¹bŠ
¨‚ËbMB�« s� …d V×�� WKI²��Ë WKŁUL²� ôËU×� μ w¼ Ác¼ ŸUł—ù« l� V×��« WÐd&
Æ¥
≥
Ω ∏
∂
Ω XÐUŁ UNM� q w ©ÀœU(« ÕU$® ¡UCOÐ …d —uNþ ‰UL²Š«Ë
Æs¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²� ∴
{μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Á«b�
Æ ± Ω Ê U�bMŽ s¹b(« Ë– l¹“u²�« s� W�Uš W�UŠ u¼ ∫w�u½dOÐ l¹“uð
∏∂
‰UL²Š« Ê_ ªs¹bŠ «– ÊuJ¹ ô wz«uAF�« dOG²*« ÊS ŸUł—≈ ÊËœ ‰U¦*« «c¼ w V×��« ÊU «–≈ t½√ kŠô
ÆfL)« ôËU;« w XÐUŁ dOž ©¡UCOÐ —uNþ® ÕU−M�«
…bŠ«u�« …d*« w ·bNK� t²ÐU�≈ ‰UL²Š« ÊUË ¨ «d� ÀöŁ XÐUŁ ·b¼ vKŽ —UM�« qł— oKÞ√ «–≈ ∫©≤® ‰U¦�
∫·bN�« qłd�« UNO VOB¹ w²�« «d*« œbŽ vKŽ ‰b¹ wz«uAF�« dOG²*« ÊUË ¨ μ
¥
u¼
ø Èb� U� » øs¹bŠ Ë– q¼ √
Æ5ðd� ·bN�« qłd�« VOB¹ Ê√ ‰UL²Š« V�Š« ?ł
ÕU−M�« ‰UL²Š«Ë WKI²��Ë WKŁUL²� Àö¦�« ôËU;« Ê_ ªs¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²� √
μ
¥
Ω …d� q w XÐUŁ ©·bN�« WÐU�≈®
Æ{≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Èb� »
©jI 5ðd� ·bN�« WÐU�≈®‰ Ω ©≤®‰ ?ł
©{’ · ’ ¨’ ’ · ¨· ’ ’}® ‰ Ω
±≤μ
¥∏
Ω
±
©μ
±
® ×
≤
©μ
¥
® × ≥ Ω
ÍËU�¹ UNM� q Ÿu�Ë ‰UL²Š« Ê√Ë ¨©≥
≤ ® U¼œbŽ ‚dDÐ r²ð 5ðd� ·bN�« WÐU�≈ Ê√ kŠô
∫ÊuJO ¨
±
©μ
±
® ×
≤
©μ
¥
®
±≤μ
¥∏
Ω
±
©μ
±
® ×
≤
©μ
¥
® × ©≥
≤ ® Ω ©≤®‰
©5MŁ« 5MŁ« …–ušQ� WHK²�� ¡UOý√ WŁöŁ oO«uð œbŽ wMF¹ ©≥
≤ ® e�d�« Ê√ dcð®
∫ÂUŽ tłuÐ
∫W¹dE½
ÊS ¨ Ω W�ËU×� q w ÕU−M�« ‰UL²Š«Ë ¨Ê Ω ôËU;« œbŽ YOŠ s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈
{ʨÆÆƨ≤ ¨±¨∞} ∋ — ¨ —
≠ Ê
© ≠±® ×
—
× ©Ê
— ® Ω ©—®‰ ÍËU�¹ «d*« s� — w ÕU−M�« ‰UL²Š«
…bŠ«ËË ¡«dLŠ «d ÀöŁ tO ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ «d ±∞ X³×Ý ∫©≥® ‰U¦�
WÐu×�*« ¡«œu��« «dJ�« œbŽ vKŽ s¹b(« Ë– wz«uAF�« dOG²*« ‰œ «–≈ ª¡«œuÝ
©∑®‰ ¨©¥®‰ ¨©≤®‰ ∫s� Îö V�Š« » ø Èb� U� √
∏∑
{±∞¨ÆÆÆƨ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Èb*« √
±∞ Ω Ê ¥
±
Ω Ω ©¡«œuÝ —uNþ®‰ Ω ©ÕU−M�«®‰ »
∏
©¥
≥
® ×
≤
©¥
±
® × ©±∞
≤ ® Ω
≤≠±∞
©¥
±
≠±® ×
≤
©¥
±
® × ©±∞
≤ ® Ω ©≤®‰
∂
©¥
≥
® ×
¥
©¥
±
® × ©±∞
¥ ® Ω ©¥®‰
≥
©¥
≥
® ×
∑
©¥
±
® × ©±∞
∑ ® Ω ©∑®‰
UNM� ‰«RÝ Í√ sŽ W×O×� WÐUł≈ V�UD�« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨WK¾Ý√ W²Ý s� ÊUײ�« n�Q²¹ ∫©¥® ‰U¦�
ÊUײ�ö� V�UD�« «c¼ ÂbIð «–S ª∞[∏ u¼
øjI bŠ«Ë ‰«RÝ sŽ W×O×� WÐUł≈ V�UD�« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« U� √
ød¦_« vKŽ 5�«RÝ sŽ W×O×� WÐUł≈ V�UD�« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« U� »
UÐUł≈ V�UD�« «c¼ UNMŽ VO−¹ w²�« WK¾Ý_« œbŽ vKŽ ‰b¹ wz«uAŽ dOG²� Ê√ ÷dHÐ
∞[∏ Ω ¨ ∂ Ω Ê YOŠ ¨s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊuJ¹ W×O×�
μ
©∞[≤® × ±
©∞[∏® × ©∂
± ® Ω ©±®‰ √
©≤®‰ ´ ©±®‰ ´ ©∞®‰ Ω ©≤≥—®‰ »
¥
©∞[≤® ≤
©∞[∏® × ©∂
≤ ® ´ μ
©∞[≤® × ±
©∞[∏® × ©∂
± ® ´ ∂
©∞[≤® × ∞
©∞[∏® × ©∂
∞ ® Ω
¨◊UI½ ¥ s¹dš¬ 5NłË s� q vKŽË ¨…bŠ«Ë WDI½ tM� ÁułË WŁöŁ s� q vKŽ œd½ d−Š qL×¹ ∫©μ® ‰U¦�
‰b¹ s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–S ª «d� ≥ d−(« «c¼ wI�√ Æ◊UI½ μ ”œU��« tłu�« vKŽË
Æ© ® bł rŁ¨ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ÊÒuJ ◊UI½ ¥ —uNþ «d� œbŽ vKŽ
tO s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²�
≥
±
Ω ∂
≤
Ω ©◊UI½ ¥ —uNþ®‰ Ω ©ÕU−M�«® ‰ Ω ¨ ≥ Ω Ê
∏∏
{≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Èb�
≤∑
∏
Ω
≥
©≥
≤
® ×
∞
©≥
±
® × ©≥
∞ ® Ω ©∞®‰
≤∑
±≤
Ω
≤
©≥
≤
® ×
±
©≥
±
® × ©≥
± ® Ω ©±®‰
≤∑
∂
Ω
±
©≥
≤
® ×
≤
©≥
±
® × ©≥
≤ ® Ω ©≤®‰
≤∑
±
Ω
∞
©≥
≤
® ×
≥
©≥
±
® × ©≥
≥ ® Ω ©≥®‰
∫u¼ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł
≥ ≤ ± ∞ —
≤∑
±
≤∑
∂
≤∑
±≤
≤∑
∏
©—®‰
©—®‰ × —
≥
∑∞Ω
—
Ω © ®
± Ω ≤∑
≤∑
Ω ≤∑
±
× ≥ ´ ≤∑
∂
× ≤ ´ ≤∑
±≤
× ± ´ ≤∑
∏
× ∞ Ω
∫Ê√Ë ¨ ± ÍËU�¹ © ® Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½
Æ©…bŠ«u�« W�ËU;« w ÕU−M�« ‰UL²Š« × ôËU;« œbŽ® ≥
±
× ≥ Ω ±
∫ÂUŽ tłuÐ
∫W¹dE½
¨ Ω …bŠ«u�« W�ËU;« w ÕU−M�« ‰UL²Š«Ë ¨Ê Ω ôËU;« œbŽ tO s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈
× Ê Ω © ® ∫…bŽUI�UÐ vDF¹ l�uð ÊS
μ ÍËU�¹ ŸuL−� —uNþ «d� œbŽ vKŽ ‰b¹ ÊU «–≈ Æ…d� ±∏ ÊULE²M� œd½ «d−Š wI�√ ∫©∂® ‰U¦�
Æ© ® błËQ
¨ ±∏ Ω Ê tO s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²�
©{©± ¨ ¥® ¨©≤ ¨ ≥® ¨ ©≥ ¨ ≤® ¨©¥ ¨ ±® }®‰ Ω ©◊UI½μ Ω ŸuL−*«® ‰ Ω
π
±
Ω ≥∂
¥
Ω
≤ Ω π
±
× ±∏ Ω × Ê Ω © ® ∴
∏π
©≤≠∂® s¹—U9
∫błËQ ∞[≤ Ω ¨ ∑ Ω Ê tO s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±
© ® » ©≥®‰ √
l� w�«u²�« vKŽ «d?? w½ULŁ X³×Ý Æs??¹Ë«œu??Ý 5ðdË ¨¡UCOÐ «d?? Àö??Ł vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ≤
∫błËQ WÐu×�*« ¡«œu��« «dJ�« œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ÆŸUł—ù«
©μ®‰ ©≤®‰ ©±®‰
j³C�UÐ …d� ±≤ w μ s� dG�√ œbŽ —uNþ ‰UL²Š« V�Š« ¨WO�U²²� …d� ≤∞ rE²M*« œdM�« d−Š ¡UI�≈ WÐd& w ≥
∫‰UL²Š« V�Š« ¨‰UHÞ√ ∂ UN¹b� WKzUŽ w ¥
q�_« vKŽ d– qHÞ WKzUF�« w ÊuJ¹ Ê√ » jI —u– ‰UHÞ√ ¥ UN¹b� ÊuJ¹ Ê√ √
V�ŠU ¨lMB*« «c¼ ÃU²½≈ s� ÎUOz«uAŽ dO�U�� μ dO²š«Ë ¨ÎU³OF� dO�U�LK� lMB� ÃU²½≈ s� •±∞ ÊU «–≈ μ
5LOKÝ q�_« vKŽ UNM� ÊUMŁ« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š«
¨μ r�d�« ”œU��« tłu�« vKŽË ¨¥ r�d�« s¹dš¬ 5NłË vKŽË ¨± r�d�« tM� ÁułË WŁöŁ vKŽ V² œd½ d−Š ∂
WO�U²²� …d� ±∏ d−(« «c¼ wI�√
øq�_« vKŽ …d� dAŽ WF³Ý ± r�d�« —uNþ ‰UL²Š« U� » øjI «d� ÀöŁ μ r�d�« —uNþ ‰UL²Š« U� √
¥ r�d�« —uNþ «d� œbŽ l�uð V�Š« ?ł
dOž rNðœôË ÊuJð s¹c�« ‰UHÞ_« œbŽ ‰U¦�√ ∑ ÍËU�¹ WOFO³Þ rNðœôË ÊuJð s¹c�« ‰UHÞ_« œbŽ ÊU «–≈ ∑
∫‰UL²Š« V�ŠU ¨ÎUOz«uAŽ ‰UHÞ√ ¥ dO²š«Ë ¨WOFO³Þ
WOFO³Þ dOž q�_« vKŽ r¼bŠ√ …œôË ÊuJð Ê√ » ÆWOFO³Þ jI rNM� 5MŁ« …œôË ÊuJð Ê√ √
jI bŠ«Ë «—UOš W�Lš UNM� qJ� œbF²� s� —UO²šô« Ÿu½ s� …dI ≤μ s� ÊuJ� ÊUײ�ô V�UÞ ÂbIð ∏
∫błËQ ¨ U�öŽ lЗ√ UNM� …dI qJ� ÊUË ¨WOz«uAŽ …—uBÐ UNMŽ V�UÞ »Uł√ «–S ª`O×� UNM�
∏∞ W�öF�« vKŽ V�UD�« qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« √
π∞ u¼ “UO²�ô« W�öF� v½œ_« b(« ÊQÐ ÎULKŽ “U²2 d¹bIð vKŽ V�UD�« qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« »
V�UD�« W�öŽ l�uð ?ł
∫błË√ ¨…d� ≤∞ ÎUF� ÊU²FDI�« XOI�√ ¨∞[∑ ULNM� Ìq w …—uB�« —uNþ ‰UL²Š« bI½ U²FD� π
jI «d�μ WÐU²Ë …—u� dNEð Ê√ ‰UL²Š« » jI «d� ∑ ÊUð—u� dNEð Ê√ ‰UL²Š« √
ÊUð—u� UNO dNEð w²�« «d*« œbŽ l�uð œ jI «d� ≥ ÊU²ÐU² dNEð Ê√ ‰UL²Š« ?ł
q�√ V�Š« ª¡«œuÝ …bŠ«ËË s¹ËUCOÐ 5ðd vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� Èdš_« uKð …bŠ«u�« «d V×�ð ±∞
∞[∑π vKŽ b¹e¹ q�_« vKŽ …bŠ«Ë ¡UCOÐ …d —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹ Ê√ ÊULC� V×�ð Ê√ V−¹ w²�« «dJ�« s� œbŽ
π∞
(Continuous Random Variable) qB²*« wz«uAF�« dOG²*« ≥≠∂
«c¼ wË ÆbFK� ÏWKÐU� WOIOI(« œ«bŽ_« s� ÏWŽuL−� Á«b� Íc�« qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« ©±≠∂® bMÐ w UMdFð
¨›» ¤ WOIOI(« œ«bŽ_« s� …d² Á«b� ÊuJ¹ Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²*« vL�¹ dš¬ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ·dF²MÝ bM³�«
dOG²*« p�cË ¨qB²� wz«uAŽ dOG²� u¼ wzUÐdN ÕU³B* …UO(« …d² ‰uÞ vKŽ ‰b¹ Íc�« wz«uAF�« dOG²*« ∫Îö¦L
ÆÎUC¹√ qB²� wz«uAŽ dOG²� u¼ rNðœôË bMŽ ‰UHÞ_« ©q² Ë√® ¨‰«uÞ√ vKŽ ‰b¹ Íc�« wz«uAF�«
∫n¹dFð
¨ ›» ¨ ¤ t�U−� Íc�« „ Ê«d²�ô« wL�½ UM½S ¨ ›» ¨ ¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±
∫ÊU «–≈ jIË «–≈ ¨ vz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� qÐUI*« t�U−�Ë
± Ω ”s ©”®„
»
∫ » ›» ¨ ¤ ∋ ” ∀ ¨ ∞ ≤ ©”®„ √
›»¨ ¤ ⊇ ›œ ¨ ?ł¤ YOŠ ¨ ”s ©”®„
œ
?ł
∫ Ω ©œ ≥ ” ≥ ?ł®‰ ≤
¨›± ¨ ∞¤ ∋ ” ¨”≤ Ω ©”®„ ÊUË ¨›±¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©±®‰U¦�
Æ dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« „ Ê«d²�ô« Ê√ 5³
›± ¨ ∞¤ ∋ ” ∀ ¨ ∞ ≤ ©”®„ √
± Ω
±
∞
¸ ≤” Ω ”s ”≤
±
∞
∫ Ω ”s ©”®„
±
∞
∫ »
Æ wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ©”®„ ∴
∫ UEŠö�
WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d??²??�« Ê√ n¹dF²�« s??� `C²¹ ±
Ê«d²�« u¼ ›» ¨ ¤ t�U−� Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²LK�
5LOI²�*«Ë UMO��« —u×� l� ÁUM×M� dB×¹ ¨V�UÝ dOž
Æ…bŠ«Ë WFÐd� …bŠË UN²ŠU�� WIDM� » Ω ” ¨ Ω ”
”
»
©”®„©”®„± Ω WŠU�*«
©≥≠∂® qJA�«
∞ Ω ”s ©”®„
± ”
±”
∫ Ω ©±
”®‰ Ω ›»¨ ¤ ∋ ±
” WLOI�« qB²*« wz«uAF�« dOG²*« c�²¹ Ê√ ‰UL²Š« ≤
π±
∫błËQ ≤”≥ Ω ©”®„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ¨›∞¨±≠¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�
©≤
±
≠ > ”®‰ » ©∞ ≥ ” ≥ ≤
±
≠®‰ √
”s ≤
”≥
∞
≤
± ≠
∫ Ω ©∞ ≥ ” ≥ ≤
±
≠®‰ √
∏
±
Ω ©∏
±
≠® ≠ ∞ Ω
∞
≤
± ≠
¸ ≥” Ω
©≤
±
≠ > ” ≥ ±≠®‰ Ω ©≤
±
≠ > ”®‰ »
∏
∑
Ω ± ´ ∏
±
≠ Ω
≤
± ≠
±≠
¸ ≥” Ω ”s ≤
”≥
≤
± ≠
±≠
∫ Ω
∫w�U²�« u×M�« vKŽ Èdš√ WI¹dDÐ ©»® ŸdH�« qŠ sJ1Ë
”s ≤
”≥
∞
≤
± ≠
∫ ≠ ± Ω ”s ≤
”≥
≤
± ≠
±≠
∫ Ω ©≤
±
≠ > ”®‰
∏
∑
Ω ∏
±
≠ ± Ω
›≥ ¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦�
± > ” ≥ ∞ ”
≤ > ” ≥ ±
≥ ≥ ” ≥ ≤ ©”≠≥®
Ω ©”®„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë
©≤ ≥ ”®‰ bł » Æ WLO� bł √
± Ω ”s
©”®„
≥
∞
∫ √
± Ω ”s
©”≠≥®
≥
≤
∫ ´ ”s
≤
±
∫ ´ ”s ”
±
∞
∫ ∴
± Ω
≥
≤
¸ ©≤
≤”
≠ ”≥® ´ ©± ≠ ≤® ´
±
∞
¸ ≤
≤”
π≤
± Ω ©¥ ≠ ¥[μ® ´ ´ ≤
±
≤
±
Ω UNM�Ë ± Ω
≤
± > ” ≥ ∞ ” ≤
±
≤ > ” ≥ ± ≤
±
≥ ≥ ” ≥ ≤ ©”≠≥® ≤
±
Ω ©”®„ ∴
”s
≤
±
≤
±
∫ ´ ”s ” ≤
±
±
∞
∫ Ω ”s ©”®„
≤
∞
∫ Ω ©≤ ≥ ”®‰ »
©± ≠ ≤® ≤
±
´
±
∞
¸ ≤” ¥
±
Ω
¥
≥
Ω ≤
±
´ ©∞ ≠ ¥
±
® Ω
∫©qB²L�« wz«uAF�« dOG²L�« luð® n¹dFð
dOG²*« l�uð ·dF½ UM½S ¨„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ›» ¨ ¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈
”s
©”®„ × ”
»
∫ Ω © ® ∫«cJ¼ wz«uAF�«
∫WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�
∞ > ” ≥ ±≠ ” ´ ±
± ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ± Ω ©”®„
©μ ´ ≤® » © ® √ ∫błËQ
”s
©≤” ≠ ”®
±
∞
∫ ´ ”s
©≤” ´ ”®
∞
±≠
∫ Ω ”s ©”® „ ”
±
±≠
∫ Ω © ® √
±
∞
¸ ©≥
≥”
≠ ≤
≤”
® ´
∞
±≠
¸ ©≥
≥”
´ ≤
≤”
® Ω
∞ Ω ©≥
±
≠ ≤
±
® ´ ©≥
±
≠ ≤
±
® ≠ Ω
π≥
©μ® ´ © ≤® Ω ©μ ´ ≤® »
μ ´ © ® ≤ Ω
μ Ω μ ´ ∞ × ≤ Ω
©≥≠∂® s¹—U9
w WMO³*« …d²H�« vKŽ ·dF� qB²� wz«uAŽ dOG²* WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ÊuJ¹ Ê√ `KB¹ WO�U²�« U½«d²�ô« Í√ ±
∫W�UŠ q
›± ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ≤” Ω ©”®„ √
›¥ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ¥
±
Ω ©”®„ »
ÍdO³OM�« œbF�« ?¼ ¨›?¼ ¨ ±¤ ∋ ” ¨
”
±
Ω ©”®„ ?ł
›≤ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨¸± ≠ ”¸ Ω ©”®„ œ
∫WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�« u¼ ©”≠±® ” ?ł Ω ©”®„ ÊUË ¨›± ¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ≤
© ® bł ?ł ©≤
±
≥ ” ≥ ∞®‰ bł » ?ł WLO� ?bł √
∫błËQ ¨” ≤
±
Ω ©”®„ u¼ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ¨›≤ ¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ≥
wz«uAF�« dOG²*« l�uð » ©± ≥ ”®‰ √
∫u¼ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�« qB²� wz«uAŽ dOG²� w¼ wzUÐdN “UN' …UO(« ‰uÞ …d² X½U «–≈ ¥
UŽU��UÐ ” ¨ ±∞∞∞∞ ≥ ” ≥ ≤∞∞∞ ¨ ≥”
Ω ©”®„
ÆWŽUÝ ≥∞∞∞ s� q�√ “UN'« «c¼ qLF¹ Ê√ ‰UL²Š« » WLO� bł √
∫u¼ wzUÐdN pKÝ dD� ‰uD� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ÊU «–≈ μ
± < ?ł ¨ rK� ?ł ¨rK�± 5Ð ÕË«d²¹ pK��« «c¼ dD� ‰uÞ ÊUË ¨” ≥
≤
Ω ©”®„
Æ?ł WLO� bł √
ørK� ±[μ s� dG�√ pK��« ◊UI½ ÈbŠ≈ bMŽ dDI�« ‰uÞ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U� »
ørK� ±[∏ s� d³√ pK��« ◊UI½ ÈbŠ≈ bMŽ dDI�« ‰uÞ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U� ?ł
π¥
(Normal Distribution) wFO³D�« l¹“u²�« ¥≠∂
l¹“u²�« rÝ« w�UL²Šô« tF¹“uð vKŽ oKD¹ Íc�« WKB²*« WOz«uAF�« «dOG²*« r¼√ bŠ√ bM³�« «c¼ w ”—bMÝ
¨Ê«“Ë_« Ë√ ¨‰«uÞ_« ∫q¦� ¨WOFO³Þ d¼«uE� W¹—«dJ²�« UF¹“u²�« s� ΫdO¦ dO³ bŠ v�≈ rzö¹ l¹“uð u¼Ë ªwFO³D�«
ÆWOŽUL²łô«Ë WOFO³D�« ÂuKF�« w UOKLF�« iFÐ "«u½ p�cË ¨ÊU�½ô« w ¡Uc�« ö�UF� Ë√
s� œbŽ Ád¹uDð w „—UýË ¨Â±∑≥≥ ÂUŽ (De-Moivre) d«u1œ w�½dH�« r�UF�« wFO³D�« l¹“u²�« nA²«
ÆtLÝUÐ ÎU½UOŠ√ l¹“u²�« vL�¹ Íc�« (Gauss) ”ËUł w½U*_« r�UF�« r¼dNý√ s� ¡ULKF�«
∫WOðü« W�UF�« …—uB�« c�²¹ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« Ê≈
∞ > ” > ∞≠ ¨
≤
© σμ
≠ ”
®
≤
±
≠
?¼
σ π
≤ √±
Ω ©”®„
©l�u²�«® wÐU�(« jÝu�« μ ¨ÍdO³OM�« œbF�« ?¼ ¨WO³¹dI²�« W³�M�« π YOŠ
Æ” wz«uAF�« dOG²LK� Í—UOF*« ·«d×½ô« σ ¨wz«uAF�« dOG²LK�
ÆÊ«d²�ô« «cN� ÂUF�« w½UO³�« qO¦L²�« `{u¹ ©¥≠∂® qJA�«
©©”®„¨”®
”μ”
©¥≠∂® qJA�«
∫wFO³D�« l¹“u²�« vM×M� ’«uš
tłuÐ qB²*« wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ’«uš vKŽË ¨oÐU��« w½UO³�« qO¦L²�«vKŽ œUL²ŽôUÐ
∫wFO³D�« l¹“u²�« vM×M* WOðü« WLN*« hzUB)« v�≈ q�u²�« sJ1 ¨ÂUŽ
‰«uM*« Ω jOÝu�« Ω wÐU�(« jÝu�« ÊuJ¹ tOË ª μ wÐU�(« tDÝË ‰uŠ qŁUL²� vM×M*« ±
Æ”d'« qJý tKJý t³A¹ ≤
∞ Ω ©”®„
∞∓ ← ”
Ê√ Í√ ¨ UMO��« —u×� s� vM×M*« UdÞ »d²I¹ ≥
Æ…bŠ«Ë …bŠË ÍËU�ð vM×M*« X% WF�«u�« WOKJ�« WŠU�*« ¥
Æσ Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë μ wÐU�(« jÝu�« ∫©5²LKF*«® s¹d²�«—U³�« vKŽ vM×M*« bL²F¹ μ
Æ©∂≠∂® ¨©μ≠∂® 5KJA�« kŠô
”≤∞Ω
±
μ ≥∞Ω ≤
μ ¥∞Ω ≥
μ
μ wÐU�(« jÝu�« w WHK²��Ë ¨ σ Í—UOF*« ·«d×½ô« w W¹ËU�²� WOFO³Þ UOM×M� WŁöŁ ∫©μ≠∂® qJA�«
πμ
”
μ Ω ±
σ
±∞ Ω ≤
σ
±μ Ω ≥
σ
μ∞Ω
μ
σ Í—UOF*« ·«d×½ô« w WHK²��Ë ¨ μ wÐU�(« jÝu�« w W¹ËU�²� WOFO³Þ UOM×M� WŁöŁ ∫©∂≠∂® qJA�«
Í—UOF� ·«d×½« sL{ UNM� •∂∏ w�«uŠ ÊuJ¹ YO×Ð wFO³D�« l¹“u²�« qJý c�²ð w²�« «œdH*« Ÿ“u²ð ∂
WŁöŁ sL{ UNM� •ππ w�«uŠË ¨5¹—UOF� 5«d×½« sL{ UNM� •πμ w�«uŠË ¨jÝu�« w³½UłvKŽ bŠ«Ë
Æ©∑≠∂® qJA�« kŠôÆW¹—UOF� U«d×½«
”
•∂∏
σ ≠ μ σ ´ μμ
•πμ
σ
≤ ≠ μ σ
≤ ´ μμ
•ππ
σ
≥ ≠ μ σ
≥ ´ μμ
©∑≠∂® qJA�«
∫Í—UOFL�« wFO³D�« l¹“u²�«
q¹u% ÊS ¨σ Í—UOF� ·«d×½«Ë μ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ” ÊU «–≈
l¹“u²�« l³²¹ Ÿ wz«uAŽ dOG²� v�≈ ” wz«uAF�« dOG²*« ‰u×¹ ¨
σμ ≠ ”
Ω Ÿ W�œUF*« oË W¹—UOF� rO� v�≈ ” rO�
Ác¼ w wFO³D�« l¹“u²�« wL�½ Æ…bŠ«Ë …bŠË ÍËU�¹ Í—UOF� ·«d×½«Ë ΫdH� ÍËU�¹ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�«
≤Ÿ ≤
±
≠
?¼
π
≤ √±
Ω ©Ÿ®„ ∫j�Ð_« …—uB�« ÌczbMŽ WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« c�²¹Ë ªÎU¹—UOF� ÎUOFO³Þ ÎUF¹“uð W�U(«
dOG²LK� 5²LO� Í√ 5Ð …—uB;«Ë Í—UOF*« wFO³D�« vM×M*« X% WF�«u�« WŠU�*« WdF� s� UMMJ9 ‰Ë«bł błuð
¨∞ Ω Ÿ 5Ð …—uB;«Ë Í—UOF*« vM×M*« X% WŠU�*« wDF¹ UL¼bŠ√ ∫‰Ë«b'« ÁcN� ÊUFzUý ÊUŽu½ „UM¼Ë ¨Ÿ
X% W??F??�«u??�« WŠU�*« lOLł wDF¹ d???šü«Ë ªŸ ????� W³łu� WLO� W???¹√Ë
Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł vL�¹Ë ¨ Ÿ —U�¹ v�≈ Í—UOF*« vM×M*«
Æ©»U²J�« W¹UN½ w o×K*« dE½√® Æ»U²J�« «c¼ w ÁbL²FMÝË ¨wL«d²�«
¨∞[∏¥±≥ w¼Ë ¨©± Ω Ÿ ® X% WŠU�*« 5³¹ ¨©∏≠∂® qJA�«
± ≥ Ÿ WLO� ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« WŠU�*« Ác¼ q¦9Ë
Ÿ
∞[∏¥±≥
± Ω Ÿ
∞ Ω Ÿ
©∏≠∂® qJA�«
π∂
∫ s� Îö błË√ Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł «b�²ÝUÐ ∫©±® ‰U¦�
©∞[μ≠ ≤ Ÿ®‰ » ©±[π≤ ≥ Ÿ®‰ √
∞[π∑≤∂ Ω©±[π≤ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« Ω ©±[π≤ ≥ Ÿ®‰ √
©π≠∂® qJA�« kŠô ±[π≤∞
∞[π∑≤∂
Ÿ
©π≠∂® qJA�«
¨…dýU³� ‰Ëb'« s� ±[π≤ Ω Ÿ X% WŠU�*« U½błË
¨±[π Ω Ÿ n� lÞUIð bMŽ l�«u�« œbF�« v�≈ dEM�UÐ p�–Ë
∞[π∑≤∂ œbF�« u¼Ë ¨∞[∞≤ œuLF�«Ë
©∞[μ≠ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« ≠ ± Ω ©∞[μ≠ ≤ Ÿ®‰ »
∞[∂π±μ Ω ∞[≥∞∏μ ≠ ± Ω
©±∞≠∂® qJA�« kŠô
∞[μ≠Ÿ
©±∞≠∂® qJA�«
©∞[±μ > Ÿ > ±≠®‰ błË√ ∫©≤® ‰U¦�
©∞[±μ Ω Ÿ ® ¨©±≠ Ω Ÿ ® 5Ð WŠU�*« Ω ©∞[±μ > Ÿ > ±≠®‰
©±≠ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« ≠ ©∞[±μ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« Ω
∞[¥∞∞π Ω ∞[±μ∏∑ ≠ ∞[μμπ∂ Ω
©±±≠∂® qJA�« kŠô
±≠ ∞[±μŸ
©±±≠∂® qJA�«
∫wK¹ U2 >q w Ÿ WLO� błË√ ∫©≥®‰U¦�
∞[∂∂≤∏ ÍËU�ð UN�u WŠU�*« » ∞[∏¥∏μ ÍËU�ð UN²% WŠU�*« √
∞[≥π ÍËU�ð Ÿ≠ ¨ Ÿ 5Ð WŠU�*« ?ł
∞[∏¥∏μ Ω Ÿ X% WŠU�*« √
Í—U??O??F??*« wFO³D�« l??¹“u??²??�« ‰Ëb????ł v???�≈ Ÿu??łd??�U??Ð
bMŽ lIð UN½√ b??$ ∞[∏¥∏μ WŠU�*« s??Ž Y׳�«Ë
±[∞≥ Ω Ÿ ∴ ∞[∞≥ œuLŽË ± Ω Ÿ n� lÞUIð
©±≤≠∂® qJA�« kŠô
Ÿ
∞[∏¥∏μ
©±≤≠∂® qJA�«
π∑
∞[∂∂≤∏ Ω Ÿ ‚u WŠU�*« »
∞[≥≥∑≤ Ω ∞[∂∂≤∏ ≠ ± Ω Ÿ X% WŠU�*« ∴
∞[¥≤≠ Ω Ÿ ‰Ë«b'« s�
©±≥≠∂® qJA�« kŠô
Ÿ
∞[∂∂≤∏
Ÿ
©±≥≠∂® qJA�«
∞[≥π Ω Ÿ≠ ¨ Ÿ 5Ð WŠU�*« ?ł
©Ÿ ® ‚u WŠU�*« ´ © Ÿ ≠® X% WŠU�*«
∞[∂± Ω ∞[≥π ≠ ± Ω
∞[≥∞μ Ω ≤
∞[∂±
Ω © Ÿ ≠® X% WŠU�*« ∴
∞[≥∞μ ´ ∞[≥π Ω © Ÿ ® X% WŠU�*« ∴
∞[∂πμ∞ Ω
∞[μ± Ω Ÿ ‰Ë«b'« s�
©±¥≠∂® qJA�« kŠô
Ÿ
∞[≥π
Ÿ ≠
©±¥≠∂® qJA�«
WŽUÝ ±≥∞∞ u¼ l½UB*« b??Š√ UN−²M¹ w²�« WOzUÐdNJ�« `OÐUB*« —ULŽ_ wÐU�(« jÝu�« ∫©¥® ‰U¦�
dO²š«Ë wFO³D�« l¹“u²�« l³²ð —ULŽ_« Ác¼ X½U «–S ÆWŽUÝ≤∞∞ Á—«bI� Í—UOF� ·«d×½UÐ
øWŽUÝ ±∏∞∞ vKŽ b¹eð …b� ÎU(U� vI³¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ÎUOz«uAŽ `OÐUB*« bŠ√
WŽUݱ∏∞∞ vKŽ b¹eð …b� ÎU(U� ÕU³B*« vI³¹ Ê√ ‰UL²Š«
Æ©±μ≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« Ω
σμ ≠ ”
Ω Ÿ
≤[μ Ω ≤∞∞
±≥∞∞≠±∏∞∞
Ω
±∏∞∞±≥∞∞”
≤[μ∞
©±μ≠∂® qJA�«
©≤[μ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« ≠ ± Ω ©≤[μ Ω Ÿ ® ‚u WŠU�*«
∞[ππ≥∏ ≠ ± Ω
∞[∞∞∂≤ Ω
∞[∞∞∂≤ Ω »uKD*« ‰UL²Šô« ∴
π∏
jÝuÐ ¨wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ rNðU�öŽ l¹“uð ÊU??Ë ¨ÂU??Ž ÊUײ�ô V�UÞ ∏∞∞ ÂbIð ∫©μ® ‰U¦�
∫∏ Ω Í—UOF� ·«d×½«Ë ∑∞ Ω wÐU�Š
Æ∏∞ sŽ rNðU�öŽ qIð s¹c�« W³KD�« œbŽ błË√ √
øtO ÕU−M�« W³�½ w¼ UL ∂∞ w¼ ÊUײ�ô« w ÕU−M�« W�öŽ X½U «–≈ »
V�UD�« UNOKŽ qB×¹ W�öŽ q�√ w¼ UL ¨“U²2 d¹bIð W³KD�« s� •±∞ qC√ wDŽ√ «–≈ ?ł
øs¹“U²L*« W¾ s� ÊuJO�
∏∞ sŽ rNðU�öŽ qIð s¹c�« W³KD�« W³�½ √
©±∂≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« w¼
±[≤μ Ω ∏
∑∞ ≠ ∏∞
Ω
σμ ≠ ”
Ω Ÿ
∏∞∑∞ ”
©±∂≠∂® qJA�«
∞[∏π¥¥ Ω ©±[≤μ Ω Ÿ® X% WŠU�*«
∞[∏π¥¥ Ω W³KD�« W³�½ ∴
ÎU³�UÞ ∑±∂ ≈ ∏∞∞ × ∞[∏π¥¥ Ω W³KD�« œbŽ ∴
∂∞ W�öF�« ‚u WŠU�*« Ω ÕU−M�« W³�½ »
©±∑≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« w¼Ë
±[≤μ≠ Ω ∏
∑∞ ≠ ∂∞
Ω
σμ ≠ ”
Ω Ÿ ∂∞ ∑∞
©±∑≠∂® qJA�«∞[±∞μ∂ Ω ©±[≤μ≠ Ω Ÿ® X% WŠU�*«
∞[∏π¥¥ Ω ∞[±∞μ∂ ≠ ± Ω ©±[≤μ≠ Ω Ÿ® ‚u WŠU�*« ∴
• ∏π[¥¥ Ω ∞[∏π¥¥ Ω ÕU−M�« W³�½ ∴
Æ©±∏≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« rNK¦9 s¹“U²L*« W¾ ?ł
W¹—UOF*« W�öF�«Ë ” w¼ s¹“U²L*« W¾H� v½œ_« b(« Ê√ ÷dHÐË ¨∞[±∞ Ω WKKE*« WŠU�*«
∞[π∞ Ω ∞[±∞ ≠ ± Ω Ÿ X% WŠU�*« ÊuJ¹ Ÿ w¼ UN� WKÐUI*«
±[≤∏ ≈ Ÿ WLO� ‰Ë«b'« s�
σμ ≠ ”
Ω Ÿ sJ�
∏
∑∞ ≠ ”
Ω ±[≤∏ ∴
”∑∞
• ±∞
©±∏≠∂® qJA�«
∏∞ ≈ ∏∞[≤¥ Ω ±∞[≤¥´∑∞ Ω ±[≤∏ × ∏ ´ ∑∞ Ω ”
ππ
©¥≠∂® s¹—U9
∫s� Îö błËQ ¨Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ÿ ÊU «–≈ ±
©±[¥≤ ≥ Ÿ®‰ » ©±[±≥ ≤ Ÿ®‰ √
©∞[∂ ≥ ¸Ÿ ¸®‰ œ ©≤[∞± ≥ Ÿ ≥ ±[≥μ≠®‰ ?ł
∫wK¹ U2 Ì q w WLO� błËQ ¨Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ÿ ÊU «–≈ ≤
∞[± Ω ©≤ ≥ Ÿ ≥ ®‰ ?ł ∞[∑π∂∑ Ω © ≥ Ÿ®‰ » ∞[¥≤≥∂ Ω © ≥ Ÿ ≥ ∞®‰ √
±[¥ Ω σ Í—UOF� ·«d×½«Ë ¨μ[∂ Ω μ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ” ÊU «–≈ ≥
∫wK¹ U2 Îö błËQ
©¥[¥ > ”®‰ » ©∑[μ < ”®‰ √
±∞∞ Ω wÐU�(« jÝu�« Ê≈ YO×Ð wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ lL²−*« w ¡U??c??�« ö�UF� l¹“uð ÊU?? «–≈ ¥
∫rNzU– ö�UF� lIð s¹c�« ’U�ý_« W³�½ b− ¨±μ Ω Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë
±≤μ ¨ ∑μ 5Ð œ π∞ X% ?ł ±≤∞ ‚u » ±≥μ ‚u √
rG ∞[∞≤ ÍËU�¹ Í—UOF� ·«d×½«Ë rG ¨±[∞± ÍËU�¹ wÐU�Š jÝuÐ dJ��« s� ÎUÝUO√ Z²M¹ lMB� w ÃU²½≈ jš μ
ÆrG ±[∞≥ s� q�√ Êeð w²�« ”UO_« W³�½ błË√ √
ÆrG ±[∞≤ s� d¦√ Êeð w²�« ”UO_« W³�½ błË√ »
ÆrG ±[∞μ ¨rG± 5Ð UN½«“Ë√ ÕË«d²ð w²�« ”UO_« W³�½ błË√ ?ł
u¼ UL ∞[∞¥¥∂ Ω ©μ±[±μ > ”®‰ ÊU «–S ªμ≤ Ω μ wÐU�Š jÝuÐ wFO³Þ l¹“uð t� vz«uAŽ dOG²� ∂
ø” dOG²LK� Í—UOF*« ·«d×½ô«
s� d³√ rOI�« s� •∑±[≥∑ ÊU «–S ª≥[π u¼ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ vz«uAŽ dOG²* Í—UOF*« ·«d×½ô« ∑
ødOG²*« rOI� wÐU�(« jÝu�« u¼ UL ≤¥π[∏
vKŽ UN½“Ë b¹e¹ «Ëœ_« s� •μ ÊUË ¨wFO³D�« l¹“u²�« l³²ð lMB� w W−²M*« «Ëœ_« Ê«“Ë√ X½U «–≈ ∏
rž ≤μ sŽ UN½“Ë qI¹ «Ëœ_« s� •±∞ ÊUË ¨rž ∏μ
Æ «Ëœ_« Ê«“Ë_ Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë wÐU�(« jÝu�« s� Îö błËQ √
ÆULNMOÐ Ê«“Ë_« s� •∑μ lI¹ YO×Ð jÝu�« ‰uŠ 5KŁUL²*« 5½“u�« bł »
Á—«bI� wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ U� XOÐ v�≈ ‰u�uK� VOK(« Ÿ“u� t�dG²�¹ Íc�« s�e�« ÊU «–≈ π
—«b�vKŽ ÎUO�u¹ XO³�« p�– v�≈ VOK(« qIM¹ Ÿ“u*« «c¼ ÊUË ¨ÊU²IO�œ Á—«bI� Í—UOF� ·«d×½«Ë WIO�œ ±≤
∫ÎUM�“ Ÿ“u*« UNO ‚dG²�¹ w²�« ÂU¹_« œbŽ ©V¹dI²�UЮ u¼ UL ¨©ÎU�u¹ ≥∂μ® WM��«
øWIO�œ ±≥ ¨ π 5Ð dB×M¹ ?ł øozU�œ ±∞ sŽ qI¹ » øWIO�œ ±∑ vKŽ b¹e¹ √
±∞∞
W�UŽ s¹—U9
∫WO�U²�« WK¾Ý_« s� ÌqJ� W×O×B�« WÐUłù« e�— d²š« ±
∫u¼ l�uð ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨?ł Ω ©”®„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ¨›≥ ¨±¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±
p�– dOž œ ≤ ?ł ≤
±
» ± √
∫u¼ 5ð—u� —uNþ «d� œbŽ l�uð ÊuJ¹ ¨…d�±≤ 5²LE²M� bI½ w²FD� ¡UI�≈ WÐd& w ≤
≥ œ ¥ ?ł ≤ » ∂ √
∫u¼ l�uð ÊS ¨{©”≤ ¨μ® ¨©∞[± ¨ ≥® ¨©” ¨≤®} ∫u¼ wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ÊU «–≈ ≥
≥π
±∞
œ ±∞
≥π
?ł ≥
±∞
» ∞[≥ √
∫d¦_« vKŽ «d� μ ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹ «d� ∂ rE²M� œd½ d−Š ¡UI�≈ bMŽ ¥
μ
©∂
±
® ≠ ± » ∂
μ
√
∂
©∂
μ
® ≠ ± œ
∂
©∂
±
® ≠ ± ?ł
ªŸUł—≈ ÊËœ Èdš_« uKð …bŠ«Ë «d tM� X³×Ý ª¡«dLŠ «d μ ¨¡UCOÐ «d ≥ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ μ
∫u¼ Èb� ÊS ¨¡«dLŠ …d ‰Ë√ UNO dNEð Íc�« V×��« r�— vKŽ ‰b¹ wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–S
{¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±} » {≥ ¨ ≤ ¨ ±} √
{¥} ?ł {μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±} ?ł
ÍËU�¹ Ê√ sJ1 ô WO�U²�« œ«bŽ_« bŠ√ ÊS ¨{¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±} Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∂
∫ dOG²LK� l�u²�«
≥[μ∏ œ ≥ ?ł ±[μ » ¥ √
tłË_« vKŽ —u� ÀöŁ dNEð Ê√ ‰UL²Š« ÊuJ¹ ¨WO�U²²� «d??� ÀöŁ WLE²M� bI½ WFD� ¡UI�≈ WÐd& w ∑
∫u¼ v�Ë_« WO�d�« w …—u� dNþ «–≈ W¹uKF�«
¥
±
œ ∏
±
?ł ≥
≤
» ≤
±
√
∫ÍËU�¹ ©≤
® ÊS {≤ ¨ ±} Á«b� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∏
≤
©©≤®‰ × ≤® ´ ≤
©±®‰® × ± »
≤
©©≤®‰® × ≤ ´
≤
©©±®‰® × ± √
©≤®‰¥ ´ ©±®‰ × ± œ
≤
©©≤®‰ × ≤ ´ ©±®‰® × ± ?ł
±∞±
Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ÊuJ¹ Ê√ sJ1 ô ÎU½«d²�« q¦1 WO�U²�« WO½UO³�« ÂuÝd�« bŠ√ π
∫›±¨∞¤ Á«b�
”
±
≤
”
±
±
”
±
©”®„
±
≤
”
±
±
≤
≥
±
≥
≤
©”®„ ©”®„ ©”®„
√»?łœ
∫ÍËU�¹ ©„ ≠ ≤ ´ μ® ÊS ÊUOz«uAŽ Ê«dOG²� „ ¨ YOŠ ≤≠ Ω ©„® ¨ ≥ Ω © ® ÊU «–≈ ±∞
π œ ±≥ ?ł μ » ∏ √
ŸUł—ù« l� Èdš_« uKð …bŠ«Ë ‚ËbMB�« s� «dJ�« X³×Ý Æ¡«dLŠ «d ¥Ë ¨¡UCOÐ «d ∂ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ≤
øW¦�U¦�« W³×��« w ¡«dLŠ …d ‰Ë√ dNEð Ê√ ‰UL²Š« U� √
øWFЫd�« W³×��« w WO½U¦�« …dLK� ¡«dLŠ …d dNEð Ê√ ‰UL²Š« U� »
Í√ sŽ t²ÐUł≈ bMŽ …dþUM*« wN²MðË ¨WO�U²²� WK¾Ý√ sŽ WÐUłù« „d²A*« s� VKD¹ ¨WO½u¹eHKð …dþUM� w ≥
„d²ALK� q−�¹ …dþUM*« ¡UN²½« bMŽË ÆW×O×� UÐUł≈ WK¾Ý√ WŁöŁ sŽ t²ÐUł≈ bMŽ Ë√ ¨W¾ÞUš WÐUł≈ ‰«RÝ
¨≥
≤
ÍËU�¹ WŁö¦�« WK¾Ý_« s� Í√ sŽ 5d²A*« bŠ√ VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊU «–S ÆW×O×B�« tðUÐUł≈ œbŽ
Æ„d²A*« «cN� q−�*« œbF�« l�uð błËQ
∫u¼ wz«uAŽ dOG²* WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ÊU «–≈ ¥
©≤
±
≥ ” ≥ ≥
±
®‰ V�ŠU ¨ ± ≥ ” ≥ ∞ ”≤ Ω ©”®„
«d� ≥ WFDI�« Ác¼ XOI�√Ë ¨π
¥
ÍËU�¹ WLE²M� dOž bI½ WFD� ¡UI�≈ bMŽ …—u� —uNþ ‰UL²Š« ÊU «–≈ μ
∫WÐU²J�« —uNþ «d� œbŽ q¦1 wz«uAF�« dOG²*« ÊUË ¨WO�U²²�
Æ© ® V�Š« » Æ wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²« √
∫u¼ wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ÊU «–≈ ∂
∫błËQ ¨Vłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ ¨ ± ≥ ” ≥ ∞ ¨ Ê
”≥ Ω ©”®„
∞[μ Ω © ≥ ”®‰ YO×Ð WLO� ?ł l�uð » Ê WLO� √
ÍËU�¹ Í—UOF� ·«d×½«Ë ¨μ∞ ÍËU�¹ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« U� h× w »öD�« U�öŽ l³²ð ∑
X½UË VOðd²�« vKŽ ¨ ?¼ ¨ œ ¨ ?ł ¨ »¨ U¾ fLš sL{ ÎUO�“UMð »öD�« U�öŽ XHM� «–S ª±∞
Æ U¾H�« Ác¼ s� W¾ q ÍbŠ 5F ªw�«u²�« vKŽ •±∞ ¨•≤∞ ¨ •¥∞ ¨ •≤∞ ¨ •±∞ ∫w¼ UN³�½
±∞≤
∞[∞π ∞[∞∏ ∞[∞∑ ∞[∞∂ ∞[∞μ ∞[∞¥ ∞[∞≥ ∞[∞≤ ∞[∞± ∞[∞∞Ÿ
∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ≥[∑≠
∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ≥[∂≠
∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ≥[μ≠
∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ≥[¥≠
∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ≥[≥≠
∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∑ ≥[≤≠
∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞π ∞[∞∞∞π ∞[∞∞∞π ∞[∞∞±∞ ≥[±≠
∞[∞∞±∞ ∞[∞∞±∞ ∞[∞∞±± ∞[∞∞±± ∞[∞∞±± ∞[∞∞±≤ ∞[∞∞±≤ ∞[∞∞±≥ ∞[∞∞±≥ ∞[∞∞±≥ ≥[∞≠
∞[∞∞±¥ ∞[∞∞±¥ ∞[∞∞±μ ∞[∞∞±μ ∞[∞∞±∂ ∞[∞∞±∂ ∞[∞∞±∑ ∞[∞∞±∏ ∞[∞∞±∏ ∞[∞∞±π ≤[π≠
∞[∞∞±π ∞[∞∞≤∞ ∞[∞∞≤± ∞[∞∞≤± ∞[∞∞≤≤ ∞[∞∞≤≥ ∞[∞∞≤≥ ∞[∞∞≤¥ ∞[∞∞≤μ ∞[∞∞≤∂ ≤[∏≠
∞[∞∞≤∂ ∞[∞∞≤∑ ∞[∞∞≤∏ ∞[∞∞≤π ∞[∞∞≥∞ ∞[∞∞≥± ∞[∞∞≥≤ ∞[∞∞≥≥ ∞[∞∞≥¥ ∞[∞∞≥μ ≤[∑≠
∞[∞∞≥∂ ∞[∞∞≥∑ ∞[∞∞≥∏ ∞[∞∞≥π ∞[∞∞¥∞ ∞[∞∞¥± ∞[∞∞¥≥ ∞[∞∞¥¥ ∞[∞∞¥μ ∞[∞∞¥∑ ≤[∂≠
∞[∞∞¥∏ ∞[∞∞¥π ∞[∞∞μ± ∞[∞∞μ≤ ∞[∞∞μ¥ ∞[∞∞μμ ∞[∞∞μ∑ ∞[∞∞μπ ∞[∞∞∂∞ ∞[∞∞∂≤ ≤[μ≠
∞[∞∞∂¥ ∞[∞∞∂∂ ∞[∞∞∂∏ ∞[∞∞∂π ∞[∞∞∑± ∞[∞∞∑≥ ∞[∞∞∑μ ∞[∞∞∑∏ ∞[∞∞∏∞ ∞[∞∞∏≤ ≤[¥≠
∞[∞∞∏¥ ∞[∞∞∏∑ ∞[∞∞∏π ∞[∞∞π± ∞[∞∞π¥ ∞[∞∞π∂ ∞[∞∞ππ ∞[∞±∞≤ ∞[∞±∞¥ ∞[∞±∞∑ ≤[≥≠
∞[∞±±∞ ∞[∞±±≥ ∞[∞±±∂ ∞[∞±±π ∞[∞±≤≤ ∞[∞±≤μ ∞[∞±≤π ∞[∞±≥≤ ∞[∞±≥∂ ∞[∞±≥π ≤[≤≠
∞[∞±¥≥ ∞[∞±¥∂ ∞[∞±μ∞ ∞[∞±μ¥ ∞[∞±μ∏ ∞[∞±∂≤ ∞[∞±∂∂ ∞[∞±∑∞ ∞[∞±∑¥ ∞[∞±∑π ≤[±≠
∞[∞±∏≥ ∞[∞±∏∏ ∞[∞±π≤ ∞[∞±π∑ ∞[∞≤∞≤ ∞[∞≤∞∑ ∞[∞≤±≤ ∞[∞≤±∑ ∞[∞≤≤≤ ∞[∞≤≤∏ ≤[∞≠
∞[∞≤≥≥ ∞[∞≤≥π ∞[∞≤¥¥ ∞[∞≤μ∞ ∞[∞≤μ∂ ∞[∞≤∂≤ ∞[∞≤∂∏ ∞[∞≤∑¥ ∞[∞≤∏± ∞[∞≤∏∑ ±[π≠
∞[∞≤π¥ ∞[∞≥∞± ∞[∞≥∞∑ ∞[∞≥±¥ ∞[∞≥≤≤ ∞[∞≥≤π ∞[∞≥≥∂ ∞[∞≥¥¥ ∞[∞≥μ± ∞[∞≥μπ ±[∏≠
∞[∞≥∂∑ ∞[∞≥∑μ ∞[∞≥∏¥ ∞[∞≥π≤ ∞[∞¥∞± ∞[∞¥∞π ∞[∞¥±∏ ∞[∞¥≤∑ ∞[∞¥≥∂ ∞[∞¥¥∂ ±[∑≠
∞[∞¥μμ ∞[∞¥∂μ ∞[∞¥∑μ ∞[∞¥∏μ ∞[∞¥πμ ∞[∞μ∞μ ∞[∞μ±∂ ∞[∞μ≤∂ ∞[∞μ≥∑ ∞[∞μ¥∏ ±[∂≠
∞[∞μμπ ∞[∞μ∑± ∞[∞μ∏≤ ∞[∞μπ¥ ∞[∞∂∞∂ ∞[∞∂±∏ ∞[∞∂≥∞ ∞[∞∂¥≥ ∞[∞∂μμ ∞[∞∂∂∏ ±[μ≠
∞[∞∂∏± ∞[∞∂π¥ ∞[∞∑∞∏ ∞[∞∑≤± ∞[∞∑≥μ ∞[∞∑¥π ∞[∞∑∂¥ ∞[∞∑∑∏ ∞[∞∑π≥ ∞[∞∏∞∏ ±[¥≠
∞[∞∏≤≥ ∞[∞∏≥∏ ∞[∞∏μ≥ ∞[∞∏∂π ∞[∞∏∏μ ∞[∞π∞± ∞[∞π±∏ ∞[∞π≥¥ ∞[∞πμ± ∞[∞π∂∏ ±[≥≠
∞[∞π∏μ ∞[±∞∞≥ ∞[±∞≤∞ ∞[±∞≥∏ ∞[±∞μ∂ ∞[±∞∑μ ∞[±∞π≥ ∞[±±±≤ ∞[±±≥± ∞[±±μ± ±[≤≠
∞[±±∑∞ ∞[±±π∞ ∞[±≤±∞ ∞[±≤≥∞ ∞[±≤μ± ∞[±≤∑± ∞[±≤π≤ ∞[±≥±¥ ∞[±≥≥μ ∞[±≥μ∑ ±[±≠
∞[±≥∑π ∞[±¥∞± ∞[±¥≤≥ ∞[±¥¥∂ ∞[±¥∂π ∞[±¥π≤ ∞[±μ±μ ∞[±μ≥π ∞[±μ∂≤ ∞[±μ∏∑ ±[∞≠
∞[±∂±± ∞[±∂≥μ ∞[±∂∂∞ ∞[±∂∏μ ∞[±∑±± ∞[±∑≥∂ ∞[±∑∂≤ ∞[±∑∏∏ ∞[±∏±¥ ∞[±∏¥± ∞[π≠
∞[±∏∂∑ ∞[±∏π¥ ∞[±π≤≤ ∞[±π¥π ∞[±π∑∑ ∞[≤∞∞μ ∞[≤∞≥≥ ∞[≤∞∂± ∞[≤∞π∞ ∞[≤±±π ∞[∏≠
∞[≤±¥∏ ∞[≤±∑∑ ∞[≤≤∞∂ ∞[≤≤≥∂ ∞[≤≤∂∂ ∞[≤≤π∂ ∞[≤≥≤∑ ∞[≤≥μ∏ ∞[≤≥∏π ∞[≤¥≤∞ ∞[∑≠
∞[≤¥μ± ∞[≤¥∏≥ ∞[≤μ±¥ ∞[≤μ¥∂ ∞[≤μ∑∏ ∞[≤∂±± ∞[≤∂¥≥ ∞[≤∂∑∂ ∞[≤∑∞π ∞[≤∑¥≥ ∞[∂≠
∞[≤∑∑∂ ∞[≤∏±∞ ∞[≤∏¥≥ ∞[≤∏∑∑ ∞[≤π±≤ ∞[≤π¥∂ ∞[≤π∏± ∞[≥∞±μ ∞[≥∞μ∞ ∞[≥∞∏μ ∞[μ≠
∞[≥±≤± ∞[≥±μ∂ ∞[≥±π≤ ∞[≥≤≤∏ ∞[≥≤∂¥ ∞[≥≥∞∞ ∞[≥≥≥∂ ∞[≥≥∑≤ ∞[≥¥∞π ∞[≥¥¥∂ ∞[¥≠
∞[≥¥∏≥ ∞[≥μ≤∞ ∞[≥μμ∑ ∞[≥μπ¥ ∞[≥∂≥≤ ∞[≥∂∂π ∞[≥∑∞∑ ∞[≥∑¥μ ∞[≥∑∏≥ ∞[≥∏≤± ∞[≥≠
∞[≥∏μπ ∞[≥∏π∑ ∞[≥π≥∂ ∞[≥π∑¥ ∞[¥∞±≥ ∞[¥∞μ≤ ∞[¥∞π∞ ∞[¥±≤π ∞[¥±∂∏ ∞[¥≤∞∑ ∞[≤≠
∞[¥≤¥∑ ∞[¥≤∏∂ ∞[¥≥≤μ ∞[¥≥∂¥ ∞[¥¥∞¥ ∞[¥¥¥≥ ∞[¥¥∏≥ ∞[¥μ≤≤ ∞[¥μ∂≤ ∞[¥∂∞≤ ∞[±≠
∞[¥∂¥± ∞[¥∂∏± ∞[¥∑≤± ∞[¥∑∂± ∞[¥∏∞± ∞[¥∏¥∞ ∞[¥∏∏∞ ∞[¥π≤∞ ∞[¥π∂∞ ∞[μ∞∞∞ ∞[∞
wL «d²�« Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł ∫o×K�
Ÿ
±∞≥
wL «d²�« Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł lÐUð
∞[∞π ∞[∞∏ ∞[∞∑ ∞[∞∂ ∞[∞μ ∞[∞¥ ∞[∞≥ ∞[∞≤ ∞[∞± ∞[∞∞Ÿ
∞[μ≥μπ ∞[μ≥±π ∞[μ≤∑π ∞[μ≤≥π ∞[μ±ππ ∞[μ±∂∞ ∞[μ±≤∞ ∞[μ∞∏∞ ∞[μ∞¥∞ ∞[μ∞∞∞ ∞[∞
∞[μ∑μ≥ ∞[μ∑±¥ ∞[μ∂∑μ ∞[μ∂≥∂ ∞[μμπ∂ ∞[μμμ∑ ∞[μμ±∑ ∞[μ¥∑∏ ∞[μ¥≥∏ ∞[μ≥π∏ ∞[±
∞[∂±¥± ∞[∂±∞≥ ∞[∂∞∂¥ ∞[∂∞≤∂ ∞[μπ∏∑ ∞[μπ¥∏ ∞[μπ±∞ ∞[μ∏∑± ∞[μ∏≥≤ ∞[μ∑π≥ ∞[≤
∞[∂μ±∑ ∞[∂¥∏∞ ∞[∂¥¥≥ ∞[∂¥∞∂ ∞[∂≥∂∏ ∞[∂≥≥± ∞[∂≤π≥ ∞[∂≤μμ ∞[∂≤±∑ ∞[∂±∑π ∞[≥
∞[∂∏∑π ∞[∂∏¥¥ ∞[∂∏∞∏ ∞[∂∑∑≤ ∞[∂∑≥∂ ∞[∂∑∞∞ ∞[∂∂∂¥ ∞[∂∂≤∏ ∞[∂μπ± ∞[∂μμ¥ ∞[¥
∞[∑≤≤¥ ∞[∑±π∞ ∞[∑±μ∑ ∞[∑±≤≥ ∞[∑∞∏∏ ∞[∑∞μ¥ ∞[∑∞±π ∞[∂π∏μ ∞[∂πμ∞ ∞[∂π±μ ∞[μ
∞[∑μ¥π ∞[∑μ±∑ ∞[∑¥∏∂ ∞[∑¥μ¥ ∞[∑¥≤≤ ∞[∑≥∏π ∞[∑≥μ∑ ∞[∑≥≤¥ ∞[∑≤π± ∞[∑≤μ∑ ∞[∂
∞[∑∏μ≤ ∞[∑∏≤≥ ∞[∑∑π¥ ∞[∑∑∂¥ ∞[∑∑≥¥ ∞[∑∑∞¥ ∞[∑∂∑≥ ∞[∑∂¥≤ ∞[∑∂±± ∞[∑μ∏∞ ∞[∑
∞[∏±≥≥ ∞[∏±∞∂ ∞[∏∞∑∏ ∞[∏∞μ± ∞[∏∞≤≥ ∞[∑ππμ ∞[∑π∂∑ ∞[∑π≥π ∞[∑π±∞ ∞[∑∏∏± ∞[∏
∞[∏≥∏π ∞[∏≥∂μ ∞[∏≥¥∞ ∞[∏≥±μ ∞[∏≤∏π ∞[∏≤∂¥ ∞[∏≤≥∏ ∞[∏≤±≤ ∞[∏±∏∂ ∞[∏±μπ ∞[π
∞[∏∂≤± ∞[∏μππ ∞[∏μ∑∑ ∞[∏μμ¥ ∞[∏μ≥± ∞[∏μ∞∏ ∞[∏¥∏μ ∞[∏¥∂± ∞[∏¥≥∏ ∞[∏¥±≥ ±[∞
∞[∏∏≥∞ ∞[∏∏±∞ ∞[∏∑π∞ ∞[∏∑∑∞ ∞[∏∑¥π ∞[∏∑≤π ∞[∏∑∞∏ ∞[∏∂∏∂ ∞[∏∂∂μ ∞[∏∂¥≥ ±[±
∞[π∞±μ ∞[∏ππ∑ ∞[∏π∏∞ ∞[∏π∂≤ ∞[∏π¥¥ ∞[∏π≤μ ∞[∏π∞∑ ∞[∏∏∏∏ ∞[∏∏∂π ∞[∏∏¥π ±[≤
∞[π±∑∑ ∞[π±∂≤ ∞[π±¥∑ ∞[π±≥± ∞[π±±μ ∞[π∞ππ ∞[π∞∏≤ ∞[π∞∂∂ ∞[π∞¥π ∞[π∞≥≤ ±[≥
∞[π≥±π ∞[π≥∞∂ ∞[π≤π≤ ∞[π≤∑π ∞[π≤∂μ ∞[π≤μ± ∞[π≤≥∂ ∞[π≤≤≤ ∞[π≤∞∑ ∞[π±π≤ ±[¥
∞[π¥¥± ∞[π¥≤π ∞[π¥±∏ ∞[π¥∞∂ ∞[π≥π¥ ∞[π≥∏≤ ∞[π≥∑∞ ∞[π≥μ∑ ∞[π≥¥μ ∞[π≥≥≤ ±[μ
∞[πμ¥μ ∞[πμ≥μ ∞[πμ≤μ ∞[πμ±μ ∞[πμ∞μ ∞[π¥πμ ∞[π¥∏¥ ∞[π¥∑¥ ∞[π¥∂≥ ∞[π¥μ≤ ±[∂
∞[π∂≥≥ ∞[π∂≤μ ∞[π∂±∂ ∞[π∂∞∏ ∞[πμππ ∞[πμπ± ∞[πμ∏≤ ∞[πμ∑≥ ∞[πμ∂¥ ∞[πμμ¥ ±[∑
∞[π∑∞∂ ∞[π∂ππ ∞[π∂π≥ ∞[π∂∏∂ ∞[π∂∑∏ ∞[π∂∑± ∞[π∂∂¥ ∞[π∂μ∂ ∞[π∂¥π ∞[π∂¥± ±[∏
∞[π∑∂∑ ∞[π∑∂± ∞[π∑μ∂ ∞[π∑μ∞ ∞[π∑¥¥ ∞[π∑≥∏ ∞[π∑≥≤ ∞[π∑≤∂ ∞[π∑±π ∞[π∑±≥ ±[π
∞[π∏±∑ ∞[π∏±≤ ∞[π∏∞∏ ∞[π∏∞≥ ∞[π∑π∏ ∞[π∑π≥ ∞[π∑∏∏ ∞[π∑∏≥ ∞[π∑∑∏ ∞[π∑∑≤ ≤[∞
∞[π∏μ∑ ∞[π∏μ¥ ∞[π∏μ∞ ∞[π∏¥∂ ∞[π∏¥≤ ∞[π∏≥∏ ∞[π∏≥¥ ∞[π∏≥∞ ∞[π∏≤∂ ∞[π∏≤± ≤[±
∞[π∏π∞ ∞[π∏∏∑ ∞[π∏∏¥ ∞[π∏∏± ∞[π∏∑∏ ∞[π∏∑μ ∞[π∏∑± ∞[π∏∂∏ ∞[π∏∂¥ ∞[π∏∂± ≤[≤
∞[ππ±∂ ∞[ππ±≥ ∞[ππ±± ∞[ππ∞π ∞[ππ∞∂ ∞[ππ∞¥ ∞[ππ∞± ∞[π∏π∏ ∞[π∏π∂ ∞[π∏π≥ ≤[≥
∞[ππ≥∂ ∞[ππ≥¥ ∞[ππ≥≤ ∞[ππ≥± ∞[ππ≤π ∞[ππ≤∑ ∞[ππ≤μ ∞[ππ≤≤ ∞[ππ≤∞ ∞[ππ±∏ ≤[¥
∞[ππμ≤ ∞[ππμ± ∞[ππ¥π ∞[ππ¥∏ ∞[ππ¥∂ ∞[ππ¥μ ∞[ππ¥≥ ∞[ππ¥± ∞[ππ¥∞ ∞[ππ≥∏ ≤[μ
∞[ππ∂¥ ∞[ππ∂≥ ∞[ππ∂≤ ∞[ππ∂± ∞[ππ∂∞ ∞[ππμπ ∞[ππμ∑ ∞[ππμ∂ ∞[ππμμ ∞[ππμ≥ ≤[∂
∞[ππ∑¥ ∞[ππ∑≥ ∞[ππ∑≤ ∞[ππ∑± ∞[ππ∑∞ ∞[ππ∂π ∞[ππ∂∏ ∞[ππ∂∑ ∞[ππ∂∂ ∞[ππ∂μ ≤[∑
∞[ππ∏± ∞[ππ∏∞ ∞[ππ∑π ∞[ππ∑π ∞[ππ∑∏ ∞[ππ∑∑ ∞[ππ∑∑ ∞[ππ∑∂ ∞[ππ∑μ ∞[ππ∑¥ ≤[∏
∞[ππ∏∂ ∞[ππ∏∂ ∞[ππ∏μ ∞[ππ∏μ ∞[ππ∏¥ ∞[ππ∏¥ ∞[ππ∏≥ ∞[ππ∏≤ ∞[ππ∏≤ ∞[ππ∏± ≤[π
∞[πππ∞ ∞[πππ∞ ∞[ππ∏π ∞[ππ∏π ∞[ππ∏π ∞[ππ∏∏ ∞[ππ∏∏ ∞[ππ∏∑ ∞[ππ∏∑ ∞[ππ∏∑ ≥[∞
∞[πππ≥ ∞[πππ≥ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ± ∞[πππ± ∞[πππ± ∞[πππ∞ ≥[±
∞[πππμ ∞[πππμ ∞[πππμ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ≥ ∞[πππ≥ ≥[≤
∞[πππ∑ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππμ ∞[πππμ ∞[πππμ ≥[≥
∞[πππ∏ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ≥[¥
∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ≥[μ
∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ≥[∂
∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ≥[∑
Ÿ
±∞¥
»U²J�« —«d�≈ w� sO�—UAL�« ¡ULÝ√
1- Thomas Calculus, 10th Edition‚ Addison Wisely, 2000
2- Calculus with Analytic Geometry‚ Edwards & Penny‚ 4th Edition‚ Prentice hall 1994
3- Calculus, Howard Anton, 6th Edition‚ John Wiley, 1999
4- Calculus, One & Several Variables, S.L.Salas, Einar hille, 4th Edition‚ 1982,
5- Probability Kubais Fahady, J. Shamoon
6- Intoduction to Probability Theory & Statistical Inference‚ Harold J. Larson, 3th Edition
7- Basic Statistics for Business & Economics‚ Lind, Marchal, & Williams, 4th Edition
8- Complete Business Statistics, Amir D. Aczel & Jayavel Sounderpandian 5th Edition, 2002
9- Understandable Statistics, C.H. Brase & C.P. Brase, 7th Edition, 2003
lł«dL�«
bOý— ‰ULł ≠
`�U� .dJ�« b³Ž ≠
wHO� dÝUł ≠
oO�u𠉜UŽ ≠
Ê«bLŠ vM� ≠
rÝU� nODK�« b³Ž œULŽ ≠
Ê«b¹“ q�U� ÷U¹— ≠
—u½ tK�« b³Ž bL×� ≠
œu¹“ b¹d� sLŠd�« b³Ž ≠
b�«Ë bLŠ√ ≠
…dOLŽ uÐ√ ”UM¹≈ ≠
V�Už ÊU½bŽ ≠
hOM� o×Ý« vHDB� ≠
‘dÞ_« UMO� s¹d�½ ≠
WMÝU�Š bOL(« b³Ž tM¹œ— ≠
t²Ð«uŁ s�Š tMOLÝU¹ ≠
ÊuÐe�« rFM*« b³Ž UDŽ ≠
WIÞUIÞ œuL×� bL×� ≠
…d�ULŠ s�Š »u¹√ ≠
ŸËbŽœ »uIF¹ bL×� ≠
d³ł VO¼Ë ≠
r�UÝ rOJ(« b³Ž ≠
—bÐ WKONÝ ≠
WK−Š uÐ√ tK�« dB½ ≠
d�UŽ W¹ËUF� ≠
d�U½ uÐ√ rÝUÐ ≠
`�U� wLE½ bL×� ≠
W�öÝ k�U(« b³Ž ≠
5ÝU¹ WMOJÝ ≠
«—UAÐ wLN� ≠
dLŽ√ W¹œU� ≠
Ê«bLŠ wKŽ bL×� ≠
tŽ—«u� ‰œUŽ ≠
s�O×� qOKš ≠
Õö� ÂöŠ√ ≠
uMŠ vÝu� nÝu¹ ÂU²š ≠
rK¹uÝ ÊULOKÝ ÊUL¦Ž r�UÝ ≠
—u½ 5�√ dLŽ rOŠd�« b³Ž ≠
t½U³ý rOŠd�« b³Ž fO� ≠
ÁœË«uŽ bLŠ√ ≠
dJÝ ÂU²š ≠
ÊU�u� q�√ ≠
U�dŽ ¡«b½ ≠
Õö*« ÂU�²Ð« ≠
UýUÐ uÐ√ vM³� ≠
tO³Ž uÐ√ b¹d� rO¼«dÐ≈ ≠
n�«Ë bL×� ≠
w�KÐUM�« —ULŽ ≠
‰UŠ— d¼UÞ ≠