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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Mathematik I � InternationalesWirtschaftsingenieurwesen
Di�erenzialrechnung einer reellen Veränderlichen
Prof. Dr. Karin Melzer
15.04.09
Prof. Dr. Karin Melzer Mathematik I � Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Folgen
De�nition: FolgenWird jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl an zugeordnet, sospricht man von einer Zahlenfolge oder kurz Folge und schreibt{an} bzw. n 7→ an.
Beispiele für allgemeine Folgen und ihre Darstellung:an = n 1, 2, 3, . . .
an = 1
n 1, 12, 13, 14, . . .
an = nn+1
= 1 + 1
n1
2, 23, 34, 45, . . .
an = (−1)n n+1
n −2, 32,−4
3, 54, . . .
an = (n+1)n
nn =(n+1
n
)n=
(1 + 1
n
)n2, 9
4, 6427
, 625256
, . . .
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Folgen
Weitere Beispiele:
I Folge der nach Gröÿe geordneten Primzahlen:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
I Augenzahlen beim Würfelspiel (oder zufällig erzeugte Zahlen):2, 6, 1, 4, 3, 3, 5, . . .
I Rekursiv de�nierte Folge: a1 = 1, an =√an−1 + 1
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Eigenschaften von Zahlenfolgen
Eine Folge {an} heiÿtI nach oben beschränkt, wenn es einen Wert A ∈ IR gibt, so
dass für alle n ∈ IN gilt: an ≤ A
I nach unten beschränkt, wenn es einen Wert B ∈ IR gibt, sodass für alle n ∈ IN gilt: an ≥ B
I beschränkt, wenn alle Glieder der Folge zwischen zwei festenZahlen A ∈ IR und B ∈ IR liegen: A ≤ an ≤ B
bzw. wenn es ein K ∈ R gibt, so dass −K ≤ an ≤ K
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Eigenschaften von Zahlenfolgen
Eine Folge {an} heiÿtI monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend,
wenn für alle n ∈ IN gilt an ≤ an+1 bzw. an < an+1
I monoton fallend bzw. streng monoton fallend,wenn für alle n ∈ IN gilt an ≥ an+1 bzw. an > an+1
I alternierend, falls das Vorzeichen aufeinanderfolgender Gliederwechselt, d. h. falls gilt: an · an+1 < 0 für alle n ∈ IN
I konstant, falls für alle n ∈ IN gilt: an = c , c ∈ IR konstant
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Nullfolgen
I Anschauliche Erklärung:Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Glieder an sich (fürwachsendes n) immer mehr dem Wert Null nähern.
I Beispiel: an = 1
n ist eine Nullfolge.Betrachtet man z.B. das Glied a1.000.000, so hat dies nur nochden Wert 0,000001, ist also fast Null.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Nullfolgen
I Kann man berechnen, ab welchem Glied sich diese Folge bisauf 0,2 Einheiten der Null genähert hat?
I Bezeichnung für diesen Abstand (0,2) ist allgemein dergriechische Buchstabe ε (Epsilon). Also: Ab welchem Glied giltan < ε?
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Nullfolgen
Beispiel: an = 1
n
I Ab welchem Glied ist an = 1
n kleiner ε?
Also, ab welchem Glied gilt: 1
n < ε
Formel nach n umstellen: 1
ε < n
ε einsetzen: 1
0,2 < n
Wir erhalten: n > 5
I Ergebnis: Ab dem 6. Glied sind die Glieder der Folge an = 1
n
kleiner als 0,2.
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Nullfolgen: N(ε)
De�nition:Wir betrachten wieder eine Nullfolge und ein beliebiges ε:Die erste Zahl n, bei dem ein Glied kleiner als ε ist, nennt man N(ε).
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Nullfolgen: De�nition
Eine Folge {an} heiÿt Nullfolge, wenn ab einem bestimmten GliedN(ε) alle Glieder der Folge betragsmäÿig kleiner als ε sind und εbeliebig klein gewählt werden kann. Als Formel:|an| < ε für alle n > N(ε)
für ε beliebig klein.
Beispiel: Die Glieder der Folge an = 1
n werden kleiner als einbeliebiges ε. Die Folge ist somit eine Nullfolge.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Allgemein: konvergente Folgen (De�nition)
I Zur De�nition allgemein konvergenter Folgen benützen wirwieder den Begri� der ε-Umgebung.
I Eine andere Formulierung der De�nition von Nullfolgen:Eine Folge konvergiert gegen 0, wenn ab einem bestimmtenGlied alle Glieder einen Wert zwischen 0− ε und 0 + ε haben(d. h. die Glieder liegen in der Umgebung 0± ε), wobei εbeliebig klein gewählt werden darf.
I Genauso de�niert man allgemein konvergente Folgen:Eine Folge konvergiert gegen einen Wert a, wenn ab ei-nem bestimmten Glied alle Glieder einen Wert zwischena − ε und a + ε haben (d. h. in einer Umgebung a ± εliegen), wobei ε beliebig klein gewählt werden darf. a istder Grenzwert der Folge.
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Allgemein: konvergente Folgen (Beispiel)
Im Beispiel wurde a = 2 und ε = 0.25 gewählt:
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Zusammenhang: Nullfolge � allgemein konvergente Folge
Oberer Teil des Bildes: Folge, die gegen a = 2 konvergiert.Nun ziehen wir von jedem Glied den Wert 2 ab; wie man siehterhalten wir eine Nullfolge.
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Zusammenhang: Nullfolge � allgemein konvergente Folge
Diese wichtige Feststellung halten wir in einem Satz fest:
Die Folge {an} konvergiert genau dann gegen a, wenn die Folge{an − a} eine Nullfolge ist.
I Man schreibt: an → a (für n→∞) oder limn→∞ an = a
I Eine Folge {an}, die keinen endlichen Grenzwert a ∈ IR hat,heiÿt divergent.
I Unterscheidung:I wenn es einen �uneigentlichen Grenzwert� +∞ oder −∞ gibt:
�bestimmt divergent� (Folge wächst über alle Grenzen)I wenn kein Grenzwert existiert: �unbestimmt divergent�
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Grenzwerte von Folgen: Beispiele
I Beispiele für Nullfolgen:1
n , − 1
n , 1
n+1, 1
2n , 1
n2, 1
nkfür k ∈ IN
I{
(−1)nn2
}=
{−1, 1
4,−1
9, 1
16, . . .
}→ 0
(konvergiert alternierend gegen 0)
I {2n} = {2, 4, 6, 8, . . . } → ∞(bestimmt divergent, wächst über alle Grenzen)
I {(−1)n} = {−1, 1,−1, 1− 1, . . . }Kein Grenzwert (unbestimmt divergent)
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Rechenregeln für konvergente Folgen
Satz: Gegeben seien zwei konvergente Folgen:Die Folge {an}, die gegen a konvergiert, an → aDie Folge {bn}, die gegen b konvergiert, bn → b. Dann gilt:
an ± bn → a ± b
can → ca (c ∈ IR)
anbn → ab
anbn
→ ab
(bn 6= 0, b 6= 0)
arn → ar
Auÿerdem: an → 0, an > 0 =⇒ 1an→ +∞
an → 0, an < 0 =⇒ 1an→ −∞
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Beispiele: Gebrochen rationale Folgenglieder
�Kürzen� mit der höchsten gemeinsamen Potenz von Zähler &Nenner:
limn→∞
n + 1n
= limn→∞
(1 +
1n
)= lim
n→∞1 + lim
n→∞
1n
= 1
limn→∞
2n2 − n + 1n2 + 1
= limn→∞
2− (1/n) + (1/n2)1 + (1/n2)
= 2
limn→∞
n + 2n2 − 1
= limn→∞
1 + (2/n)n − (1/n)
= 0
limn→∞
1− n2
n + 3= lim
n→∞
(1/n)− n1 + (3/n)
= −∞
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Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Gebrochen rationale Folgenglieder
Bei gebrochen rationalen Ausdrücken gilt, was wir für gebrochenrationale Funktionen bereits festgehalten haben:an habe die Form bnx
n+···+b0cmxm+···+c0
I Grad(Zähler) < Grad(Nenner) =⇒ an → 0
I Grad(Zähler) = Grad(Nenner) =⇒ an → bncn
I Grad(Zähler) > Grad(Nenner) =⇒ an → ±∞
Dies gilt auch, wenn Wurzelfunktionen in Zähler oder Nennervorkommen.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Beispiel: Folgen mit Wurzeltermen
an =√n2 + n −
√n2 + 2n
Achtung: ∞−∞ ist i.A. nicht Null!Zu Binomischer Formel erweitern, umWurzel im Zähler zu eliminieren.
an =(√n2 + n −
√n2 + 2n)(
√n2 + n +
√n2 + 2n)√
n2 + n +√n2 + 2n
=(n2 + n)− (n2 + 2n)√n2 + n +
√n2 + 2n
=−n√
n2 + n +√n2 + 2n
Brüche immer zuerst kürzen mit derhöchsten Potenz! Hier: n (Wurzel).
=−1√
1 + 1
n +√1 + 2
n
n→∞−→ − 11 + 1
= −12
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
De�nition: Grenzwert einer Funktion
Eine Funktion y = f (x) sei in einer Umgebung von x0 de�niert. Giltdann für jede im De�nitionsbereich der Funktion liegende und gegendie Stelle x0 konvergierende Zahlenfolge {xn} mit xn 6= x0 stets
limn→∞
f (xn) = g
so heiÿt g der Grenzwert von y = f (x) an der Stelle x0.Man schreibt:
limx→x0
f (x) = g
Gelesen: Limes von f (x) für x gegen x0 gleich g .
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Anmerkungen: Grenzwert einer Funktion
I Die Funktion y = f (x) muss an der Stelle x0 nicht de�niertsein.
I Der Grenzübergang x → x0 bedeutet: x kommt der Stelle x0beliebig nahe, ohne sie jedoch jemals zu erreichen. Es ist stetsx 6= x0.
I Anschaulich: Der Funktionswert f (x) unterscheidet sichbeliebig wenig vom Grenzwert g , wenn man sich der Stelle x0nur genügend nähert.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen
f (x) und g(x): Funktionen mit limx→x0 f (x) = f , limx→x0 g(x) = g
limx→x0
C · f (x) = C · limx→x0
f (x) = C · f , C ∈ IR
limx→x0
[f (x)± g(x)] = limx→x0
f (x)± limx→x0
g(x) = f ± g
limx→x0
[f (x) · g(x)] = limx→x0
f (x) · limx→x0
g(x) = f · g
limx→x0
f (x)
g(x)=
limx→x0 f (x)
limx→x0 g(x)=
f
g, falls g 6= 0
limx→x0
n
√f (x) = n
√limx→x0
=n
√f
limx→x0
[f (x)]n =
[limx→x0
f (x)
]n= f n
limx→x0
[logy f (x)
]= loga
[limx→x0
f (x)
]= loga f
limx→x0
(ef (x)
)= e limx→x0
f (x) = ef
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
De�nition: Stetigkeit einer Funktion
Anschaulich: Kurve der Funktion kann ohne Absetzen gezeichnetwerden. Mathematisch:
Eine Funktion y = f (x) heiÿt an der Stelle x0 stetig, wenn derGrenzwert der Funktion an der Stelle vorhanden ist und mit demdortigen Funktionswert übereinstimmt:
limx→x0
f (x) = f (x0)
Voraussetzung ist, dass f (x) an der Stelle x0 und in einer gewissenUmgebung von x0 de�niert ist.Eine Funktion f (x) heiÿt stetig in einem Intervall (a, b), wenn f (x)für alle x ∈ (a, b) stetig ist.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Stetige Funktionen
Satz: Die elementaren Funktionen (Polynome, Wurzelfunktionen,Exponentialfunktion, Logarithmus, Winkelfunktionen und derenInversen) sowie alle über Grundrechenarten und/oder Verkettung(Hintereinanderausführung) daraus aufgebauten Funktionen sind inihrem De�nitionsbereich stetig.
I In diesem Sinn sind termde�nierte Funktionen immer stetig.
I Dies folgt aus den Rechenregeln für Grenzwerte.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Grenzwerte von ZahlenfolgenGrenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Eigenschaften stetiger Funktionen
Sei y = f (x) eine stetige Funktion, deren De�nitionsbereich dasIntervall [a, b]; a, b ∈ IR enthält. Dann gilt:
I f (x) nimmt in [a, b] jeden Funktionswert zwischen f (a) undf (b) an (�Zwischenwertsatz�).
I Haben f (a) und f (b) unterschiedliche Vorzeichen, so liegtzwischen a und b mindestens eine Nullstelle (Spezialfall vonoben).
I Die Funktion y = f (x) besitzt in [a; b] ein Maximum und einMinimum (nicht ±∞).
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: intuitiv
I Bekannt: Anstieg einer Geraden: Quotient der Kathetenlängeneines Steigungsdreiecks (Dy/Dx)
I Beispiel: Straÿensteigung 15% = 0, 15I Gerade im Koordinatensystem f (x) = mx + d =⇒ Anstieg mI Frage: Macht es Sinn, vom Anstieg einer Kurve zu sprechen?I Kurve kann Richtung ändern, in unterschiedlichen Punkten
unterschiedlich steil sein.I Frage: Macht es Sinn, vom Anstieg einer Kurve in einem
Punkt zu sprechen? Ja, vorausgesetzt, sie besitzt in demPunkt eine Tangente, (d. h. dort gibt es keinen Knick).
I Dann vereinbaren wir:Richtung der Kurve = Richtung der TangenteAnstieg der Kurve = Anstieg der Tangente
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: intuitiv
Sei f eine (reelle) Funktion. Die Ableitung von f an der Stelle x istder Anstieg der Tangente an den Graphen von f im Punkt(x , f (x)). Sie wird mit dem Symbol f ′(x) bezeichnet(ausgesprochen �f -Strich von x� oder �f -Strich an der Stelle x�).
Was noch fehlt:Wie berechnet man Abl.?Wann existiert die Abl.?
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Berechnung der Ableitung
Gegeben: reelle Funktion f und Stelle x0. Aufgabe: BerechneAnstieg der Tangente an f im Punkt (x0, f (x0)).1. Berechne Anstieg einer Sekante, d.h. einer Geraden, die f in
zwei Punkten schneidet: im Punkt (x0, f (x0)) und in einemNachbarpunkt (x0 + h, f (x0 + h)).D.h. gehe von x0 ein Stück h nach rechts oder links (je nach dem
Vorzeichen von h); Steigungsdreieck.
m(x0, h) =f (x0 + h)− f (x0)
h2. Berechne Grenzwert, wenn h gegen 0 geht. Dann strebt
Sekantensteigung gegen Tangentensteigung im Pkt. (x0, f (x0))
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Di�erenzenquotient
m(x0, h) =f (x0 + h)− f (x0)
h
I Da Zähler und Nenner dieser Gröÿe nichts anderes sind als dieDi�erenzen der Koordinaten der beiden Punkte der Sekante,wird diese Gröÿe Di�erenzenquotient genannt.
I Beispiel: Betrachte die Funktion f (x) = x2 und berechne dieAbleitung an der Stelle x0 = 3 als Grenzwert desDi�erenzenquotients.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: De�nition
De�nition: Die Funktion y = f (x) heiÿt an der Stelle x0 di�eren-zierbar, wenn der Grenzwert
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
existiert; f ′(x0) heiÿt Ableitung der Funktion f an der Stelle x0. Istf an jeder Stelle x0 ∈ Df di�erenzierbar, so heiÿt f di�erenzierbar.
Beispiele für Funktionen, die nicht di�erenzierbar sind: Funktionenmit �Knick�, z.B. Betragsfunktion; an Sprungstellen (dort giltlinksseitiger Grenzwert 6= rechtsseitiger Grenzwert) oder anUnendlichkeitsstellen.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Schreibweisen und Bezeichnungen (I)y = f (x) sei di�erenzierbar. Schreibweisen:
f ′(x) = y ′(x) =dydx
=dfdx
=df (x)dx
=ddx
f (x)
Sprechweisen/Anwendung:I f ′(x): �f-Strich-von-x�I df
dx : �d-f-nach-d-x� (�Di�erenzialquotient�; Historisch: df , dxheiÿen �Di�erenziale�; in der Vorstellung �unendlichklein�/in�nitesimal)
I y ′(x) oder dydx (�d-y-nach-d-x�) wenn man betonen will, dass
die abhängige Variable y heiÿt.I d
dx f (x) (�d-nach-d-x�), sinnvoll wenn es auÿer x noch andereSymbole gibt (z.B. a für eine feste Zahl/Konstante; Bsp.:ddua
3u2 = 2a3u).
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Schreibweisen und Bezeichnungen (II)
I Ableitung an einer bestimmten Stelle x0, z. B. x0 = 0:
f ′(0) = f ′(x)|x=0
Senkrechter Strich bedeutet: �an der Stelle�.I Ableitung ist selber wieder eine Funktion, d.h. kann selber ggf.
wieder abgeleitet werden −→ höhere Ableitung. Bsp.: 2. Abl.(f ′(x)
)′= f ′′(x) =
d2ydx2
=d2f (x)dx2
=d2
dx2f (x) =
(ddx
)2
�d-zwei-y-nach-d-x-Quadrat�, etc.I Physik: häu�g Punkt statt Strich, wenn Variable Zeit entspr.
s ′(t) = s(t)( s-Punkt-von-t), s ′′(t) = s(t)( s-zwei-Punkt-von-t)
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Berechnung der Ableitung für grundlegende Funktionen
Beispiele zur Berechnung der Ableitung mittels Di�erenzenquotientf (x) = ax + b =⇒ f ′(x) = af (x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2xf (x) =
√x =⇒ f ′(x) = 1
2√x
f (x) = 1
x =⇒ f ′(x) = − 1
x2, x 6= 0
Weitere Ableitungen:f (x) = x r =⇒ f ′(x) = r x r−1, r ∈ IRf (x) = sin x =⇒ f ′(x) = cos xf (x) = cos x =⇒ f ′(x) = − sin xf (x) = ex =⇒ f ′(x) = ex
f (x) = ln x =⇒ f ′(x) = 1
x
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Di�erenzierbarkeit und Stetigkeit
Jede in x0 di�erenzierbare Funktion ist in x0 auch stetig.
Anders ausgedrückt: f di�erenzierbar in x0=⇒6⇐=
f stetig in x0.
I Beispiel für eine Funktion, die stetig aber nicht di�erenzierbarist: f (x) = |x | an der Stelle x0 = 0
limh→0,h>0
f (x0 + h)− f (x0)h
= limh→0,h>0
h − 0h
= 1
limh→0,h<0
f (x0 + h)− f (x0)h
= limh→0,h<0
−h − 0h
= −1
Grenzwerte stimmen nicht überein: f ist in x0 = 0 nichtdi�erenzierbar.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitungen: Rechenregeln
Sind f , g in x0 di�erenzierbar, so sind auch c · f , f ± g und fg (falls
g(x0) 6= 0) in x0 di�erenzierbar und es gilt in x0:
(c · f (x))′ = c · f ′(x)(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g ′(x)
(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x) (Produktregel)(f (x)g(x)
)′=
f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)(g(x))2
(Quotientenregel)
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitungen: Rechenregeln
Eine Verknüpfung von Funktionen erreicht man auch durch dasHintereinander-Ausführen. Kann eine Funktion als Verkettung vonFunktionen aufgefasst werden, erhält man die Ableitung über dieKettenregel:Gilt y = f (g(x)), so erhält man die Ableitung als
y ′(x) = f ′ (g(x)) · g ′(x)Ableitung der �äuÿeren Funktion� mal Ableitung der �innerenFunktion�
Kettenregel in Di�erenzialschreibweise:
y = f (g(x)) ⇒ dydx = dy
du ·dudx
wobei in dieser Formel u für g(x) steht.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitungen: Kettenregel � Rechenschema
Gesucht: Abl. für y = f (g(x)) y = sin(x2)Substitution g(x) durch u ersetzen x2 = u
Äuÿere Funktion y = f (u) y = sin uÄuÿere Ableitung dy
du = . . . dydu = cos u
Innere Funktion u(x) = g(x) u(x) = x2
Innere Ableitung dudx = . . . du
dx = 2x
Kettenregel dydx = dy
du ·dudx
dydx = cos u · 2x
Rücksubstitution u durch g(x) ersetzen dydx = cos(x2) · 2x
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Ökonomische Interpretation
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0 kann alsÄnderungsrate von f an der Stelle x0 interpretiert werden, d. h.als Änderung des Funktionswerts pro kleiner (�in�nitesimaler�)Änderung des Arguments x in der Nähe der Stelle x0. Ist ∆x sehrklein, so gibt der Di�erenzenquotient ungefähr die Ableitung an:∆f /∆x ≈ f ′(x0) bzw.∆f = f (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ f ′(x0)∆x .Dies gilt umso genauer, je kleiner ∆x ist. (Anstelle von ∆x und ∆fwerden in diesem Zusammenhang auch die Bezeichnungen δx undδf oder dx und df verwendet.)In Worten: Ändert sich x um ∆x , so ändert sich f ungefähr umf ′(x0)∆x . Die Änderung ∆x spielt dabei die Rolle des bisherverwendeten h.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Ökonomische Interpretation
Folgende Fragen sollen jetzt behandelt werden:
I Wie ändert sich der Funktionswert (absolut/in Einheiten),wenn x um eine Einheit verändert wird?
I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wennx um eine Einheit verändert wird?
I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn xum ein Prozent verändert wird?
Die absolute Änderung der abhängigen Variablen informiert nurunzureichend über die Struktur der Reaktion auf eine Änderung vonx . Daher relative Gröÿen betrachten.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Ökonomische Interpretation
Beispiel: Der Preis eines Produkts wird um 1e erhöht.
I Folge: der Absatz sinkt um 10.000 Stück.
I Anhand der absoluten Gröÿen lässt sich nur wenig über dieReichweite der Nachfrageänderung erkennen. Es fehlt derVergleichmaÿstab:
I Betrug der Preis im Ausgangspunkt 10 oder 100e?
I Ist der Absatz von 50.000 auf 40.000 oder von 1.000.000 auf990.000 Stück gesunken?
Sinnvoller: relative Änderungen betrachten. Die letzte Gröÿe hatkeine Dimension � wie e oder �Stück� � , dies ermöglicht dieVergleichbarkeit von gleichartigen Werten.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Grenzfunktion, Änderungsrate, Elastizität
De�nition:Die Funktion f (x) sei di�erenzierbar. Dann heiÿen für f (x) 6= 0
f ′(x) Grenzfunktion
rf (x) =f ′(x)f (x)
Wachstumsrate oderrelative Änderungsrate
εf (x) = f ′(x) · xf (x)
Elastizität
der Funktion f an der Stelle x .
Gilt |εf (x)| > 1, so sagt man: y reagiert �elastisch�gilt |εf (x)| < 1, so sagt man: y reagiert �unelastisch�auf eine Änderung der unabhängigen Variablen an der Stelle x .
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Rechenregeln für die Elastizität
I εf ·g = εf + εg
I εf /g = εf − εg
I ε1/g = −εg
I εf −1(y) = 1εf
∣∣∣x=f −1(y)
= 1εf
(f −1(y)
)Beispiel für die letzte Regel:
f (x) = ex =⇒ f −1(x) = ln x
εf (x) = x =⇒ εf −1(x) =1x
∣∣∣∣x=f −1(x)
=1ln x
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Ökonomische Interpretation
Antwort:
I Wie ändert sich der Funktionswert (absolut/in Einheiten),wenn x um eine Einheit verändert wird?−→ Grenzfunktion f ′(x)
I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wennx um eine Einheit verändert wird?−→ Änderungsrate/Wachstumsrate rf (x)
I Wie ändert sich der Funktionswert relativ/in Prozent, wenn xum ein Prozent verändert wird?−→ Elastizität εf (x)
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Geometrische Interpretation
Bekannt: Die Ableitung ist die Steigung der Tangenten an denFunktionsgraphen.f ′(x) > 0f ′(x) < 0
bedeutet, der Graph von f (x)wächstfällt
an der Stelle x .
f ′(x) = 0 bedeutet, der Graph besitzt eine waagrechte Tangente.
Die Ableitung gibt Auskunft über weitere Eigenschaften:
I Monotonie
I Krümmung
I Extrempunkte
I Wendepunkte
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Monotonie
y = f (x) monoton
{wachsendfallend
}in [a; b]
⇔{f ′(x) ≥ 0f ′(x) ≤ 0
}für alle x ∈ [a; b].
y = f (x) streng monoton
{wachsendfallend
}in [a; b]
⇔{f ′(x) > 0f ′(x) < 0
}für alle x ∈ [a; b].
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Monotonie � Beispiel
I f (x) = ex
1+ex
f ′(x) = ex
(1+ex )2> 0 (da ex > 0)
=⇒ f (x) streng monoton wachsend.
I f (x) = 1 + 1
2x2
f ′(x) = x
{> 0 für x > 0< 0 für x < 0
=⇒ f (x) streng monoton
{wachsend auf (0;∞)fallend auf (−∞; 0)
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Krümmung
Fährt man den Graph einer Funktion entlang, so macht der Graphentweder eine Linkskurve oder eine Rechtskurve. Dazwischen�wendet� er die Richtung � es gibt einen Wendepunkt.
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung.
Für die Krümmung des Graphen gilt:
f ′′(x) > 0 ⇒ der Graph ist an der Stelle x linksgekrümmt.
f ′′(x) < 0 ⇒ der Graph ist an der Stelle x rechtsgekrümmt.
f ′′(x) = 0 ⇒ der Graph hat an der Stelle x evtl. einenWendepunkt, es müssen jedoch zusätzliche Bedingungen erfülltsein.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Extrempunkte
Als Extrempunkte gelten Maximal- und Minimalstellen. Manunterscheidet lokale und globale Extrempunkte: Die Funktion f hatin x0 ein
lokales Maximum: f (x) ≤ f (x0) in einer Umgebung von x0
lokales Minimum: f (x) ≥ f (x0) in einer Umgebung von x0
globales Maximum: f (x) ≤ f (x0) auf ganz Df
globales Minimum: f (x) ≥ f (x0) auf ganz Df
Wenn die 1. Ableitung gleich Null ist, ist dies ein Hinweis auf einenmöglichen Extrempunkt. Es müssen jedoch zusätzlicheBedingungen erfüllt sein.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Extrempunkte
Prüfung auf Maximum:
I f ′(x) = 0 und f ′′(x) < 0 (Rechtskurve) oder
I f ′(x) = 0 und f ′(x) hat an der Stelle einen Vorzeichenwechselvon + nach −, d. h. f ′(x) > 0 links von x0 und f ′(x) < 0rechts von x0
Prüfung auf Minimum:
I f ′(x) = 0 und f ′′(x) > 0 (Linkskurve) oder
I f ′(x) = 0 und f ′(x) hat an der Stelle einen Vorzeichenwechselvon − nach +, d. h. f ′(x) < 0 links von x0 und f ′(x) > 0rechts von x0
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Extrempunkte
Beispiel: Stelle mit f ′(x) = 0 aber kein Extremum
Betrachte f (x) = x3 an der Stelle x0 = 0.f ′(x) = 3x2 und damit: f ′(0) = 0 (notwendige Bedingung fürExtremum)
Trotzdem hat die Funktion kein lokales Extremum, sondern einen sogenannten Sattelpunkt. Die Funktion erfüllt nicht die zusätzlichenBedingungen (�hinreichende Bedingung�):
I f ′(x) > 0 für x < 0 und f ′(x) > 0 für x > 0(kein Vorzeichenwechsel).
I f ′′(x) = 6x → f ′′(0) = 0(weder Links- noch Rechtskurve; evtl. Wendepunkt).
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Extrempunkte
Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten:
1. Kandidaten bestimmen: alle Stellen, für die f ′(x) = 0 gilt
2. Überprüfung der Kandidaten:I Vorzeichenwechsel von f ′(x) oderI f ′′(x) > 0 oder f ′′(x) < 0
3. Funktionswerte berechnen: Hoch-/Tiefpunkt (x0|f (x0))wenn x0 Max./Min.Stelle ist: y = f (x0) berechnen.
4. Gegebenenfalls Ausnahmepunkte untersuchen:I Randpunkte bei Funktionen, die nur auf einem Intervall [a; b]
de�niert sind: f (a), f (b) mit den berechneten Extremwertenvergleichen.
I Stellen, an denen eine Funktion nicht di�erenzierbar ist
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Wendepunkt
Wenn die 2. Ableitung gleich Null ist, ist dies ein Hinweis auf einenmöglichen Wendepunkt (�notwendige Bedingung�). Es müssenjedoch zusätzliche Bedingungen erfüllt sein (�hinreichendeBedingung�).Notwendige Bedingung: f ′′(x) = 0Prüfung auf Wendepunkt/Hinreichende Bedingung:
I f ′′(x) wechselt an der Stelle x0 das Vorzeichen oder
I f ′′′(x) 6= 0
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Zusammenfassung: geom. Interpretation
Merkmal von f(x) Kriterium
streng monoton bzw.monoton wachsend
f ′(x) > 0 bzw. f ′(x) ≥ 0
streng monoton bzw.monoton fallend
f ′(x) < 0 bzw. f ′(x) ≤ 0
Linkskurve f ′′(x) > 0
Rechtskurve f ′′(x) < 0
Maximum f ′(x) = 0 und
{VZW von �+� nach ���oder f ′′(x) < 0
Minimum f ′(x) = 0 und
{VZW von ��� nach �+�oder f ′′(x) > 0
Wendepunkt f ′′(x) = 0 und
{VZW von f ′′(x)oder f ′′′(x) 6= 0
VZW = Vorzeichenwechsel
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Ableitung: Anwendungen
Übersicht:
I Nullstellenbestimmung (Newton-Verfahren)
I Berechnung von Grenzwerten: Grenzwertbestimmung fürx →∞ bzw. x → De�nitionslücke für unbestimmte Ausdrücke(Bernoulli-l'Hospital)
I Extremwertaufgaben
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Grenzwertberechnung: Regel von Bernoulli-de L'Hospital
Der Quotientf (x)g(x)
sei an der Stelle x0 vom Typ � 00� bzw. �∞∞ �
(so genannte �unbestimmte Ausdrücke�). Dann gilt:
limx→x0
f (x)g(x)
= limx→x0
f ′(x)g ′(x)
sofern der letzte Grenzwert (als reeller Grenzwert a oder als unei-gentlicher Grenzwert ∞ oder −∞) existiert.
Anmerkungen zur Regel von Bernoulli-de L'HospitalI Zähler und Nenner getrennt ableiten � keine Quotientenregel
(es geht nicht um die Ableitung der Funktion).I Evtl. muss das Verfahren mehrmals wiederholt werden.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Grenzwertberechnung: Regel von Bernoulli-de L'Hospital
Anmerkungen zur Regel von Bernoulli-de L'Hospital (Forts.)
I Regel gilt auch für x →∞ bzw. einseitige Grenzwerte, sofernder Typ � 0
0� bzw. �∞∞ � ist.
I Bei gebrochen rationalen Funktionen (Quotient zweierPolynome) ist es häu�g einfacher, den Bruch mit der höchstenPotenz zu kürzen (wie gehabt).
I Grenzwerte vom Typ �0 · ∞� bzw. �∞−∞� lassen sich mitder Regel ebenfalls berechnen, wenn man den Funktionstermin einen Quotienten umwandelt.Beispiel: f (x) = x2 · e−x Typ für x →∞: �∞ · 0�. Umwandelnin Bruch: f (x) = x2
ex vom Typ �∞∞ � und anschlieÿendBernoulli-de L'Hospital zweimal hintereinander anwenden.
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Grenzwert und StetigkeitAbleitung
Einführung: AbleitungBerechnung der AbleitungRechenregeln für AbleitungenÖkonomische InterpretationGeometrische InterpretationAnwendungen
Umformen von unbestimmten Ausdrücken
Umformungen für unbestimmte Ausdrücke der Form �∞−∞� bzw.�0 · ∞� für die Anwendung von Bernoulli-de L'Hostpital:
Unbestimmter Ausdruck Umformungen
1
u(x) −1
v(x)
mit u → 0, v → 0
}⇒ �∞−∞� 1
u− 1
v= v−u
u·v ⇒ � 00�√
u(x)−√
v(x)u →∞, v →∞
}⇒ �∞−∞� (
√u−
√v)(√u+√v)√
u+√v
= u−v√u+√v⇒ �∞∞ �
u(x) · v(x)mit u → 0, v →∞
}⇒ �0 · ∞� u · v =
{u/(1/v) ⇒ � 0
0� oder
v/(1/u) ⇒ �∞∞ �
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