Vorlesungszyklus - Mausdidaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/maus5.pdf · Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton. 2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton

Vorlesungszyklus - Maus

1

Funktionale Zusammenhänge

Funktionale

Zusammenhänge

2

Funktionale Zusammenhänge

Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:

3

Funktionale Zusammenhänge – Beispiele

Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:

Bremsweg

Bremsweg → Geschwindigkeit?

ODER

Geschwindigkeit → Bremsweg?

4


Füllhöhe

Würde grundsätzlich auch die Zuordnung

Füllhöhe → verstrichene Zeit

einen Sinn ergeben?

5


Füllhöhe



einen Sinn ergeben?

Es muss nicht immer sein:

6


Füllhöhe



einen Sinn ergeben?

Es muss nicht immer sein:

ISBN-Nummer

Buchtitel → Preis

ODER

Buchtitel → ISBN-Nummer → Preis

nach: Büchter & Henn

7

Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen

Unterschiedliche

Betrachtungsebenen

8


2 Betrachtungsebenen

quantitativ qualitativ

9


2 Betrachtungsebenen

Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung:

Je mehr mathematische Werkzeuge zur Verfügung stehen,

desto tiefer können Betrachtungen und Einsichten sein

qualitativ

quantitativ

nicht als Formel darstellbar

als Formeldarstellbar

Formel liefert eine Erklärung

für …

Formel liefert keine Erklärung

10


Es können nur grundsätzlicheAussagen getroffen werden, z.B.:

qualitativ

quantitativ


als Formel darstellbar


für …


11


Es können nur grundsätzlicheAussagen getroffen werden, z.B.:

Die Füllhöhe nimmt zu.

Da der Graph nicht gleichmäßig verläuft, wird es „Störungen“ geben.

qualitativ

quantitativ




für …


12


Möchte man tiefere Einsicht in den Vorgang gewinnen,benötigt man quantitative Informationen:

ZAHLEN

qualitativ

quantitativ




für …


13


Nun können etwa folgende Fragen beantwortet werden:

qualitativ

quantitativ




für …


14


Nun können etwa folgende Fragen beantwortet werden:

Wann wurde welche Füllhöhe erreicht?

Wie schnell steigt der Füllpegel ? (absolut bzw. durchschnittlich)

qualitativ

quantitativ




für …


15


Für einen solchen unregelmäßigen Verlauf wird es in der Regel keine „Formel“ geben, die diesen Verlauf beschreibt.

qualitativ

quantitativ




für …


16


Das Schnurproblem

17


Auf dem Boden wird an zwei vorgegebenen Punkten eine Schnur befestigt, die ein Meter länger ist als der Abstand zwischen den beiden Punkten. Anschließend wird die Schnur in der Mitte in die Höhe gezogen.

Frage: Was geschieht mit der „Schnurhöhe“, wenn die Länge der Schnur zunimmt?

18


begründeteVermutungen

aufstellen

nimmt ab

bleibt gleich

wird größer

qualitativ

quantitativ




für …


19


Sammeln von konkretenMessdaten

qualitativ

quantitativ




für …


20


Aufstelleneiner Formel

qualitativ

quantitativ




für …


21


22


23


Erklärung finden

qualitativ

quantitativ




für …


24


qualitativ

quantitativ


als Formeldarstellbar


für …


25

Schicke Überleitung

Um diese Schlussfolgerung ziehen zu können, müssen Schüler folgendes wissen bzw. erkennen können:

1. Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton.2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.

26


Und weiter gedacht:

Im Unterricht wird man schnell und oft auf Fragen stoßen, deren Antwort nicht ganz so leicht aus dem Funktionsterm „abgelesen“ werden kann, z.B. Fragen nach optimalen Verpackungsgrößen.

27


Fazit:

Der Schulunterricht in der Sekundarstufe wird schnell die Kenntnis des Funktionsbegriffs erforderlich machen.

28

Funktionsbegriff(e)

Funktionsbegriff(e)

29

Funktionsbegriff(e)

30

Funktionsbegriff(e)

31

Funktionsbegriff(e)

32

Funktionsbegriff(e)

33

Funktionsbegriff(e)

34

Funktionsbegriff(e)

35

Funktionsbegriff(e)

36

Funktionsbegriff(e)

Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen den Begriffen „Funktion“ und

„Abbildung“?

37

Funktionsbegriff(e)

38

Zwischenbilanz

Zwischenbilanz

39

Zwischenbilanz

Wie könnte nun ein guter Mathematikunterricht aussehen?

konkreter Kontext

(innermathematisch)

(außermathematisch)

konkrete Fragestellung

(erarbeiten lassen)

Funktionsterm(aufstellen lassen)

mathematischer Werkzeugkasten

40

Zwischenbilanz

Werkzeug

KV Extremwert-untersuchungen

Flächenberechnungen

Schnittwinkel-berechnungen

Tangenten bestimmen

Parameterunter-suchungen

…

41

Zwischenbilanz

Werkzeug

KV Extremwert-untersuchungen

Flächenberechnungen

Schnittwinkel-berechnungen

Tangenten bestimmen

Parameterunter-suchungen

…

42

Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

43

Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?

Kurvendiskussion?

JA!

Aber:

WIE?

44


Kurvendiskussion?

JA!

Aber:

WIE?Dazu zunächst ein Paar Expertenmeinungen aus

der Praxis zum Status Quo:

45


Der Mathematiker Pro Kommentar

Es werden zumindest technische Fertigkeiten vermittelt.

Dieser Aspekt gehört nicht zu den primären Zielen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte.

In vielen Fällen könnte dies auch von einem CAS übernommen werden.

In vielen Bundesländern ist dies auch schon gängige Praxis (z.B. Niedersachsen).

46


Der Mathematiker Contra Kommentar

Es werden keine Kurven diskutiert. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich.

47




Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.

48




Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.

Selten anwendungsrelevanteKontexte. Und wenn, dann sind das künstliche Scheinprobleme.

Stimmt. Dies gilt es zu ändern.

49

Der Mathematik-Didaktiker Pro Kommentar

--- ---

50

Kleiner Einschub:

Heuristik: ???

51

Kleiner Einschub:

Heuristik: Die Kunst

mit begrenztem Wissen

und wenig Zeit

zu guten Lösungen zu kommen.

52

Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar

Kein Erlernen und Erleben heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.

Stimmt. Die Schüler werden nicht aufgeforderteigene, andere , elegante, … Lösungsansätze zu finden.Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!Dies gilt es zu ändern.

53

Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar

Kein Erlernen und Erleben heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.

Stimmt. Die Schüler werden nicht aufgeforderteigene, andere , elegante, … Lösungsansätze zu finden.Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!Dies gilt es zu ändern.

Damit zusammenhängend: Dietypische Kurvendiskussion ist einseitig ergebnisorientiert angelegt.

Stimmt. Dies gilt es zu ändern.Auch in der Schule gilt: „Der Weg ist das Ziel.“

54

Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar

Typ ASchüler sind beschäftigt und im Allgemeinen nicht überfordert.

1. Seien wir ehrlich: manchmal ist es notwendig, dass man die Schüler auf einfache Weise lange beschäftigen kann. Aber: dies kann natürlich nicht der grundsätzliche Anspruch an einen Aufgabentyp sein.

2. Lieber das Niveau senken als sich Gedanken zu machen, wie man den Stoff vernünftig aufbereiten kann?

55

Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar

Typ AEs handelt sich um einen korrekturfreundlichenUnterrichtsgegenstand.

Das ist ein Aspekt der Arbeit eines Lehrers, der in der Praxis ein großes Gewicht besitzt.

Eine schriftlicheLeistungskontrolle sollte stets korrekturfreundlich konzipiert werden, ohne dabei anspruchslos zu sein.

56

Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar

Typ BEintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu

ändern.

57

Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar

Typ BEintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu

ändern.

Keine inhaltliche Tiefe. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.

58

Der Mathematik-Schüler Pro Kommentar

Typ AIm Gegensatz zu Beweisen und „Denksport-Aufgaben“ sind das „richtige“ Aufgaben:

„Und das ist auch gut so!“

„Brot für die Armen.“

Man weiß, was man machen soll und was für die Klausur zu lernen ist.

Solche Aufgaben(teile) muss es auch weiterhin geben!

59

Der Mathematik-Schüler Contra Kommentar

Typ BKeine umfassendenDenkanstrengungen:

Da lächelt der Mathematik-Didaktiker ´:

„Eine Kurvendiskussion, bei der es nichts zu entdecken gibt, langweilt mich.“

Dies gilt es zu ändern.

60


Zusammenfassung

61


Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen

Bei der Untersuchung von Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.

Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen Entdeckungsreisen“ gegeben sein.

Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogeneKontexte.

Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.

Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.

Mehr inhaltliche Tiefe.

Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!62


Der Weg zum Ziel

63


Es ist möglich, durch leichte Akzentverschiebungen und Ergänzungen den „herkömmlichen“ Aufgaben eine neue Qualität zu verleihen:

64


qualitative Analysis: Integration neuer Technologien: veränderte Aufgabenstellungen

stärkere Betonung nicht-algorithmischer

Elemente

GeogebraCAS…

aktive Mathematik:

Erkunden Vermuten Begründen Darstellen

65

Kurvendiskussion: Beispiel

Ein konkretes Beispiel

66


67


Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:

68



Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.

69




Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:

1.2.3.

70




Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:

1. Punkt (0/4) ablesen und Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen2. Schnittstelle 2 ablesen und in die entsprechende Gleichung einsetzen3. Per Geogebra / Funktionsplotter gezielt und (schriftlich) begründet ausprobieren

71


Die Aufgabe:

Die Vorteile:

72


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine „richtige“ Diskussion zur Folge haben.

73


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine „richtige“ Diskussion zur Folge haben.

Auch hier gibt es zumindest zwei unterschiedliche Herangehensweisen:

1. Wer will, kann hier den „sicheren“ Weg einer „normalen“ Kurvendiskussion gehen. Vorteil: Man wird durch die Abbildung zu Beginn der Aufgabe geleitet.

2. Mit Hilfe eines Funktionsplotters kann der Parameter a schnell variiert werden. Die beobachteten Invarianten müssen dann z.B. mit Hilfe des Funktionsterms begründet werden.

74


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:

fa´(-x) = -fa´(x).

Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:

75


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:

fa´(-x) = -fa´(x).

Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:

- Graph der Funktion selbst ist achsensymmetrisch zur y-Achse- Punkte mit demselben Abstand zum Ursprung haben bis auf das

Vorzeichen die gleiche Steigung

76


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Das „Bestimmen“ entspricht wieder demStandardkalkül und ist für jeden Schülermachbar. Das Ergebnis kann anhand derAbbildung überprüft werden.

Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnisder Definition von lokalen Extrema:

77


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Das „Bestimmen“ entspricht wieder demStandardkalkül und ist für jeden Schülermachbar. Das Ergebnis kann anhand derAbbildung überprüft werden.

Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnisder Definition von lokalen Extrema:

- mit Hilfe des Funktionsterms lässt sich begründen:- lokal um 0 herum sind alle Funktionswerte kleiner als fa(0)

78


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Die an sich mechanische Wendepunktberechnungwird in eine Frage eingebettet, deren Antwortnicht offensichtlich ist.

Zunächst können / sollen wieder mit Hilfe von Funktionsplottern begründetverschiedene Parameterwerte ausprobiert werden („Probieren mitSystem“ verlangt ebenfalls gewisse mathematische Fähigkeiten.)

In diesem Fall ist die Antwort negativ. Eine vernünftige Begründung kommtwahrscheinlich nicht ohne eine konkrete Berechnung der Koordinatenaus.

79


Die Aufgabe:

Die Vorteile: Dies ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe, die mitreinem Rechnen nichts zu tun hat.Der Schüler muss einen mathematischen Aufsatzschreiben. Dabei müssen

- wesentliche Aspekte erkannt und- in einer logischen Struktur- zusammenhängend

dargestellt werden.

Dies ist auch für leistungsstarke Schüler keine leichte Aufgabe.

80


Die Aufgabe:

im Original:

Die Vorteile:

81


Die Aufgabe:

im Original:

Die Vorteile: Aufgabenstellung und Graphik sichern nicht im schon a priori die Existenzdes Schnittpunktes für alle zugelassenen Parameterwerte. Dies musserst noch begründet werden.

82


Zwischenbilanz

83







Mehr Prozessorientierungbei der Aufgabenstellung.



Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte

echte und sinnvolle

anwendungsbezogene

Kontexte

85


echte und sinnvolle anwendungsbezogene Kontexte stellen Anforderungen an Schüler

und Lehrer

(häufige) Probleme

gründliche Auseinandersetzung mit dem Kontext

alle (!) Beteiligten können schnell überfordert sein

verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt werden

Mathematisieren adäquate Mathematisierung mit schulmathematischen Mitteln oft nicht möglich

86


echte und sinnvolle anwendungsbezogene Kontexte stellen Anforderungen an Schüler

und Lehrer

(häufige) Probleme

gründliche Auseinandersetzung mit dem Kontext

alle (!) Beteiligten können schnell überfordert sein

verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt werden

Mathematisieren adäquate Mathematisierung mit schulmathematischen Mitteln oft nicht möglich

Die Folge: Es gibt wenige wirklich geeignete Aufgaben …

1. mit relevantem Sachkontext2. aus der Erfahrungswelt der Schüler,3. welche die schulmathematischen Möglichkeiten nicht übersteigen.

87


ein gut erprobtes Beispiel

88


Das Objekt: Die Messdaten:

Eine 1-Liter-Milchtüte a = 7,1 cm, h = 19,7 cm

Die Frage: Eine Überraschung:

Wird bei der Herstellung der Verpackung darauf geachtet, möglichst wenig Material zu verbrauchen?

Die Messdaten ergeben ein Volumen von ungefähr 993 cm3.

Das Faltnetz: Aufatmen:

Eine gefüllte Milchtüte ist „bauchig“ und bietet ausreichend Platz.

Zu untersuchen:

Sind die Maße von a und h optimal?

89


Die Zielfunktion:

Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3

ergibt sich

?

90


ErinnerungIm „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).

91



Aber No.1:Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.

92



Aber No.1:Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.

Aber No.2:Der Funktionsgraph und seine Eigenschaften würden in keiner Weise diskutiert.

93


2 Nebenbemerkungen: 1. Das notwendige Kriterium führt in diesem Fall ohnehin auf eine Gleichung 4. Grades, die mit schulischen Mitteln nicht zu lösen ist.

2. Beim reinem Rechnen würden interessante Erkenntnisse verloren gehen.

94


Die Zielfunktion:


ergibt sich

Ein Bild vom Funktionsplotter hilft:

?

95


Die Zielfunktion: Begründung für das lokale Minimum – Teil 1


ergibt sichkleines a → ersten drei Summanden klein

letzte beiden Summanden groß

Ein Bild vom Funktionsplotter hilft: großes a → genau umgekehrt

Fazit: Für kleine und große a ist M(a) groß.

„Schluss“: Es ist plausibel, dass „zwischendrin“ ein Minimum angenommen wird.

?

96


Begründung für das lokale Minimum – Teil 2

Ableitungen →

2. Ableitung → Wegen a > 0 ist M´´ stetspositiv.

1. Ableitung → M´ ist also streng monoton steigend.

Bestätigung →

97


Begründung für das lokale Minimum – Teil 2 Begründung für das lokale Minimum – Teil 3

Ableitungen → Die Ausgangsfunktion M ist links von derNullstelle von M´ streng monoton fallend.

Die Ausgangsfunktion M ist rechts von derNullstelle von M´ streng monoton wachsend.2. Ableitung → Wegen a > 0 ist M´´ stets

positiv.

1. Ableitung → M´ ist also streng monoton steigend.

Damit besitzt M an der entsprechenden Stelleein Minimum.

Bestätigung → q.e.d.

(Die Existenz der Nullstelle wird durch den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gesichert.)

98


Schlussbetrachtungen:

Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1 abweicht.

Diese Abweichung zieht aber nur einen Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.

Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen von M´ nachvollziehen:

In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.

!

!

!

99


Schlussbetrachtungen:

Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1 abweicht.

Diese Abweichung zieht aber nur einen Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.

Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen von M´ nachvollziehen:

In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.

Ergebnis: Der gemessene Wert entspricht nicht dem theoretischen Optimum, der Unterschied scheint aber vernachlässigbar.

!

!

!

100


Schlussbilanz

101







Mehr Prozessorientierungbei der Aufgabenstellung.



Extremwertprobleme

Extremwertprobleme

103

Extremwertprobleme: Probleme

Häufig werden Extremwertprobleme ähnlich wie Kurvendiskussionen unterrichtet:

Funktionsgleichung aufstellen + Kurvendiskussion + Randwertbetrachtung+ Ergebnisinterpretation

Problem: Das Lösen von Extremwertproblemen wird gleichgesetzt mit dem Bestimmen von Extrempunkten mit Hilfe von notwendigem und hinreichendem Kriterium.

Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass diese Aufgaben nur auf diesem einen Weg gelöst werden kann.

„Lösung“: Einbeziehen von - elementaren mathematischen Methoden- historischen Lösungswegen- CAS, Geogebra, …

104

Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben

kleine

Stellschrauben

105


Manchmal hängt es an Kleinigkeiten, warum derUnterricht nicht wie gewünscht funktioniert.

106


Das isometrische Problem für Rechtecke

Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.

Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?

107





Mögliches Hindernis Nummer 1

Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:

108







Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?

109








Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.

110









Lehrer: Welche Größen genau meinst du?

111









Lehrer: Welche Größen genau meinst du?

Schüler: Seitenlängen, Flächeninhalt und Umfang.

112







Vorschlag

Zu Beginn der Aufgabe stets klar stellen (lassen), welche Größen variieren und welche nicht.

113






Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu beweisen.

114






Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu beweisen.

Vorschlag

Die Frage nach dem „Warum?“.

115


Das analytische Warum Das geometrische Warum

116

Kriterien auf dem Prüfstand

Ein Blick auf die Kriterien

einer Kurvendiskussion

117

Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht

118

Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium

Das Monotoniekriterium

• Eine auf einem Intervall

• differenzierbare Funktion

• mit überall positiver Ableitung

• ist dort streng monoton wachsend.

119


Das Monotoniekriterium





Merke:

Dieser Satz ist ein globaler Satz.

120


Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?





Merke:


121



• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:


• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,• ist dort streng monoton wachsend.

Merke:


122






dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.Merke:


123








Eine triviale Aussage?

124








Eine triviale Aussage? JA!

125








Eine triviale Aussage? JA!

Oder Merke dies:

Dieser Satz ist kein lokaler Satz. In diesem Sachzusammenhang gilt aber:

Der Wert des Merksatzes liegt nicht darin, was er sagt,

sondern darin, was er ausschließt!

126


Das Monotoniekriterium Was bedeutet in diesem Zusammenhang „lokal“?

• Eine auf einem Intervall „Lokal“ wird hier im Sinne von „an einer Stelle“ verwendet.




Merke:


Oder Merke dies:

Dieser Satz ist kein lokaler Satz.

127


Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?





Merke:


Oder Merke dies:


128



• Eine auf einem Intervall Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:

• differenzierbare Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0

positiv ist,• mit überall positiver Ableitung

• ist dort streng monoton wachsend. dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0

(also ein Intervall, welches x0 enthält),

Merke: in der die Funktion streng monoton wächst:


Oder Merke dies:


129



• Eine auf einem Intervall Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:

• differenzierbare Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0

positiv ist,• mit überall positiver Ableitung

• ist dort streng monoton wachsend. dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0

(also ein Intervall, welches x0 enthält),

Merke: in der die Funktion streng monoton wächst:


Oder Merke dies:


130



• Eine auf einem Intervall Wie könnte nun ein Funktionsgraph aussehen,

• differenzierbare Funktion der an einer Stelle x0 eine positive Ableitung besitzt,

• mit überall positiver Ableitung zu der es aber keine noch so kleine Umgebung gibt,

• ist dort streng monoton wachsend. in der die Funktion streng monoton wächst?

Merke: (Die Funktionsgleichung ist nicht von Interesse.)


Oder Merke dies:


131







Merke:


Oder Merke dies:

Dieser Satz ist kein lokaler Satz. Der Graph oszilliert umso schneller, je mehr er sich der Stelle x0 = 0 nähert.

132







Merke:


Oder Merke dies:


133







Merke:


Oder Merke dies:

Dieser Satz ist kein lokaler Satz. Die Funktion besitzt aber eine andere nützlicheEigenschaft: f wächst beim Durchgang durch die Stelle x0. Es gilt folgender Satz:

134


Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft

• Eine auf einem Intervall • Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,

• differenzierbare Funktion • so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,

• mit überall positiver Ableitung • in der gilt:

• ist dort streng monoton wachsend. • alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und

• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer

Merke: • als f(x0).


Merke:

Dieser Satz ist ein lokaler Satz.

135


Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft








Merke:


(Analoges gilt für eine negative Ableitung.)

136

Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema

Lokale Extrema

137


Die Definition

138


Das Auffinden

Für das Auffinden der Extrempunkte sind die Definitionen nicht geeignet:

1. Die Definitionen geben keine Anhaltspunkte, wo genau gesucht werden sollen.

2. Es werden keine Punkte ausgeschlossen.

139


Das Auffinden

Für das Auffinden der Extrempunkte sind die Definitionen nicht geeignet:

1. Die Definitionen geben keine Anhaltspunkte, wo genau gesucht werden sollen.

2. Es werden keine Punkte ausgeschlossen.

Es müssen also Eigenschaften derExtrempunkte gefunden werden, die dasAuffinden effizient gestalten:

140


Das Auffinden

Die Abbildung zeigt:

Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo

einen Extrempunkt besitzt,

dann gilt: die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.

141


Das Auffinden





(Alternative 1: Die Steigung an dieser Stelle hat den Wert 0.)

142


Das Auffinden





(Alternative 2: f besitzt an dieser Stelle eine waagerechte Tangente.)

143


Das Auffinden

Die Abbildung zeigt: Für das Suchen verwendet man allerdings die andere Richtung:


einen Extrempunkt besitzt,Man bestimme die Punkte mit f´(x0) = 0


und hoffe, dass es ein Extrempunkt ist.

144


Das Auffinden

Die Abbildung zeigt: Die Abbildung zeigt aber:


einen Extrempunkt besitzt,Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle 0 ist,


dann gilt: Die Funktion besitzt an dieser Stelle einen Extrempunkt oder einen Sattelpunkt.

145


Das Auffinden

Die Abbildung zeigt: Fazit:


einen Extrempunkt besitzt,Die Eigenschaft „f´(x0) = 0“ ist zwar ein notwendiges Kriterium („es muss so sein“),


es ist aber nicht hinreichend (im Sinne von „ausreichend“).

146


Das Auffinden

Die Abbildung zeigt: Neue Aufgabe


einen Extrempunkt besitzt,Finde ein zusätzliches Merkmal zur Unterscheidung von Extrem- und Sattelpunkten.dann gilt: die Ableitung der Funktion an

dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.

147


Das Auffinden

Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:

Handelt es sich um einen Hochpunkt, so ändert sich das Monotonieverhalten:

f steigt lokal links von xo streng monoton und fällt lokal rechts von x0 streng monoton:

Das Vorzeichen der Ableitung wechselt mithin von + nach -.

148


Das Auffinden

Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:


Bei einem Tiefpunkt verhält es sich natürlich genau umgekehrt:


f fällt lokal links von xo streng monoton und steigt lokal rechts von x0 streng monoton:


Das Vorzeichen der Ableitung wechselt mithin von - nach +.

149


Das Auffinden

Das Monotoniekriterium hilft hier weiter: Qualitätskontrolle dieses Merkmals:


Bei einem Sattelpunkt ändert sich das Monotonieverhalten gar nicht.



150


Das Auffinden

Damit ist mehr erreicht als ursprünglichvorgesehen:

Erstes hinreichendes Kriterium:

Es kann nicht nur zwischen Extrempunkt und Sattelpunkt unterschieden werden,

Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +),

sondern sogar zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

so hat f bei x0 ein lokales Maximum(Minimum).

151


Das Auffinden

Dieses Kriterium hat einen Nachteil: Erstes hinreichendes Kriterium:

Man kann sich bei der Untersuchung nicht auf die Stelle xo beschränken,


sondern muss eine ganze Umgebung von x0

einbeziehen.so hat f bei x0 ein lokales Maximum(Minimum).

Das ist sehr mühsam.

152


Das Auffinden

Dieses Kriterium hat einen Nachteil: Erstes hinreichendes Kriterium:

Man kann die Untersuchung auf Testeinsetzungen reduzieren.


Das ist sehr mathematisch nicht befriedigend.


153


Das Auffinden

Wünschenswert: Erstes hinreichendes Kriterium:

Ein Kriterium, welches sich ausschließlich der Stelle x0 bedient.



154

Zu Erinnerung:Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft








Merke:


(Analoges gilt für eine positive Ableitung.)

155


Das Auffinden

Wünschenswert: Nach der lokalen Trennungseigenschaft gilt:

Ein Kriterium, welches sich ausschließlich der Stelle x0 bedient.

Wenn die zweite Ableitung an der Stelle xo

positiv ist, dann wächst die erste Ableitung an dieser Stelle .

Und da die erste Ableitung bei x0 den Wert 0 hat, muss das Vorzeichen entsprechend von – nach + wechseln.

156


Das Auffinden

Zweites hinreichendes Kriterium: Erstes hinreichendes Kriterium:

Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ), Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +),

so besitzt f bei x0 ein lokales Minimum (Maximum).


157


Das Auffinden

Zweites hinreichendes Kriterium: Auch dieses 2. Kriterium hat einen Nachteil:

Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ), Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.


Beispiel: x4 besitzt ein lokales Minimum, die zweite Ableitung ist Null.

158


Das Auffinden

Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium: Auch dieses 2. Kriterium hat einen Nachteil:

Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.


Beispiel: Beispiel: x4 besitzt ein lokales Minimum, die zweite Ableitung ist Null.

159


Das Auffinden

Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium: f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum. Die Steigung von f wechselt aber umso rascher von positiven zu negativen Werten, je näher man dem Nullpunktkommt. Es gibt also kein Umgebung von Null mit einheitlichem Vorzeichen auf einer der beiden Seiten. Damit gibt es auch keine Vorzeichenwechsel bei 0.


Beispiel:

160


Das Auffinden

Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium: f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum. Die Steigung von f wechselt aber umso rascher von positiven zu negativen Werten, je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt also kein Umgebung von Null miteinheitlichem Vorzeichen auf einer der beiden Seiten. Damit gibt es auch keine Vorzeichenwechsel bei 0.


Beispiel:

161


Das Auffinden



Beispiel:

162


Das Auffinden



Beispiel:

163


Achtung! Merke! Beachte!

Folgendes bitte nie vergessen

den Schülern vermitteln

und immer wieder in Erinnerung rufen:

164


Das Auffinden

Die Abbildung zeigt: Neue Aufgabe


einen Extrempunkt besitzt,Finde ein zusätzliches Merkmal zur Unterscheidung von Extrem- und Sattelpunkten.dann gilt: die Ableitung der Funktion an

dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.

165


Das Auffinden

Zweites hinreichendes Kriterium: Erstes hinreichendes Kriterium:

Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ), Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das

Vorzeichen von + nach – (von – nach +),



166


Achtung! Merke! Beachte!

Beispielsweise kann „f´´(x0)>0“ allein kein hinreichendes Kriterium sein:

167


Zusammenfassung

168


Extrempunkte Formulierung Vorteil Nachteil(e)

hinreichendesKriterium 1

f´(x0) = 0 und

VZW von f´ bei x0

Funktioniert.Keine 2. Ableitung

notwendig.

Umständlich.Erfasst nicht alle lokalen Extrema.

hinreichendesKriterium 2

f´(x0) = 0 und

f´´(x0) ≠ 0

Leicht handhabbar, da nur x0

untersucht wird.

Erfasst nicht alle lokalen Extrema.

169

Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte

Wendepunkte- In aller Kürze -

170


In unserem Zusammenhang sinnvoll ist folgende

Definition

Wendestellen sind Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten der ersten Ableitung ändert.

Im Beispiel: Lokal links von x0 nimmt die Steigung zu, lokal rechts davon nimmt sie ab.

171


In unserem Zusammenhang sinnvoll ist folgende

Definition

Wendestellen sind Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten der ersten Ableitung ändert.

Im Beispiel: Lokal links von x0 nimmt die Steigung zu, lokal rechts davon nimmt sie ab.

Ein Vorteil: Mit dieser Definition kann man für das Auffinden von Wendepunkten die schon bekannten Sätze und Schlussweisen verwenden.

172


NotwendigesKriterium

Wendepunkte könne nur Punkte sein, bei denen die zweite Ableitung den Wert 0 hat.

Begründung: 1. Wäre f´´(x0) > 0, dann würde die erste Ableitung beim Durchgang durch x0 wachsen (lokale Trennungseigenschaft).

2. Die Ableitung könnte also lokal um x0 nicht ihr Monotonieverhalten ändern.

3. Gleiches gilt für f´´(x0) < 0.

173


Hinreichendes Kriterium

Die übrigen Überlegungen erfolgen analog zu denen beim Auffinden von lokalen Extrema.

174


Abschließende Bemerkung

Manchmal werden Wendestellen von f als lokale Extremstellen von f´definiert.

Ich persönliche lehne diese Betrachtungsweise ab. Der eigentliche Untersuchungsgegenstand ist die Funktion f. Die oben formulierte Definition entfernt sich in der Anschauung weiter als nötig von der Ursprungsfunktion.

175



Manchmal werden Wendestellen von f als lokale Extremstellen von f´definiert.

Außerdem hält diese Definition einer genaueren fachlichen Überprüfung nicht stand:

176



f´ hat an der Stelle x0 = 0 ein lokales Minimum.

f´ hat aber in keiner noch so kleinen Umgebung links oder rechts ein einheitliches Monotonieverhalten.

Mit dieser Definition würden Punkte zu Wendepunkten erklärt, die gar keine sind.

177


Zurück zur Übersicht

178


179


180


181


182


183

Königsdisziplin: Die Ableitung

Der Ableitungsbegriff

184


Die Einführung des Ableitungsbegriffs in der Schule ist äußerst vielschichtig und komplex.

Im Rahmen dieser Vorlesung werden zwei Aspekte näher beleuchtet.

Ableitung

185


Aspekt No.1

186


Gewichtung

wie sie ist …Ableitung

=

Steigung

Anwendungsbezug

Probleme

187


Gewichtung

… und wie sie sein sollte

„gemeinsamer Nenner“

Anwendung A Anwendung BAnwendung C= Steigung

...

188


189


Aspekt No.2

190


De

e

sche191


Was das ist?

De

e

sche192


Was das ist?

De

Das weiß kein Mensch.

e

sche193


Was das ist?

De

Das weiß kein Mensch.

e

sche

Aber es hat einen Namen…

194


Der

propädeutische

Grenzwert195


Rahmenplan: Grenzwert nur noch propädeutisch. Punkt.

(Propädeutik: Vorbildung, Vorübung, Vorunterricht)

Probleme: Was gehört da rein? Und was nicht?

Wie tief?

Wo fängt man an?

Wo hört man auf?

Und das ganze ohne Folgenbegriff?

196


Rahmenplan: Grenzwert nur noch propädeutisch. Punkt.

(Propädeutik: Vorbildung, Vorübung, Vorunterricht)

Probleme: Was gehört da rein? Und was nicht?

Wie tief?

Wo fängt man an?

Wo hört man auf?

Die folgenden Überlegungen stellen einen Vorschlag dazu dar.

Und das ganze ohne Folgenbegriff?

197


Eine Einführung

198


Eine Einführung

- Ohne störende Details -

199


Schritt 0 Einstieg Kommentar

200


Schritt 0 Einstieg Kommentar

Dieser Sachverhalt ist allen Schülern vertraut und nicht zu kompliziert.

Er ist offen formuliert und bietet viele Aspekte zumBesprechen und vertraut werden.

Ein Übergang zureigentlichen Fragestellung fehlt.

201


Schritt 1 Modellieren Kommentar

Um zu Beginn mit einem einfachen Beispiel arbeiten zu können

bietet sich der Anfahrvorgang an,

da sich der Zusammenhang von Zeit t (lat. tempus)und zurückgelegtem Weg s (lat. spatium) in etwa quadratisch verhält:

s(t) ~ t2

202


Schritt 1 Modellieren Kommentar

Um zu Beginn mit einem einfachen Beispiel arbeiten zu können

Diesen Schritt wirdman die Schüler sicherlich erst später und nicht bei der Einführung machen lassen.

bietet sich der Anfahrvorgang an,

da sich der Zusammenhang von Zeit t (lat. tempus)und zurückgelegtem Weg s (lat. spatium) nahezu quadratisch verhält:

s(t) = t2

203


Schritt 2a Erste Beobachtungen Kommentar

Der zurückgelegte Weg nimmt mit der Zeit zu.

Und zwar mit fortschreitender Zeit immer rascher.

Der Wagen wird also immer schneller.

204


Schritt 2a Erste Beobachtungen Kommentar

Der zurückgelegte Weg nimmt mit der Zeit zu.

Qualitative Betrachtungsebene!

Und zwar mit fortschreitender Zeit immer rascher.

Von Schülern sicher leicht zu erkennen.

Der Wagen wird also immer schneller.

205


Schritt 2b Genaueres Hinsehen Kommentar

Absolute Veränderungen:

Man sieht bei beiden Darstellungen: In gleichlangen Zeitabschnitten werden immer längere Wegstrecken zurückgelegt.

206



Absolute Veränderungen:

Wegstrecke in einem beliebigen Zeitabschnitt von t0 bis t1:s(t1) – s(t0)

207



Absolute Veränderungen: QuantitativeBetrachtungsebene!

Von Schülern sicher leicht zu erkennen.

Wegstrecke in einem beliebigen Zeitabschnitt von t0 bis t1:s(t1) – s(t0)

208

1. Analysis verständlich unterrichten: Rainer Dankwarts & Dankwart Vogel, Spektrum Akademischer Verlag, München 2006, 1. Auflage

2. Elementare Analysis: Andreas Büchter & Hans-Wolfgang Henn, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2010

3. Zum vereinfachten Grenzwertbegriff in der Differentialrechnung: Werner Blum, MU: Mathematikunterricht, Jahrgang 25, Heft 1, 1979, KlettVerlag Stuttgart, S. 42-50

209

Abschnitt Quelle

Funktionale Zusammenhänge Büchter & Henn

Kurvendiskussion Danckwerts & Vogel

Extremwertprobleme Danckwerts & Vogel

Kriterien Danckwerts & Vogel

Ableitung Danckwerts & VogelBlum

210

Documents

Vorlesungszyklus - Mausdidaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/maus5.pdf · Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton. 2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton