Mathematik in der Theorie der Petri Netze

Joachim Wehler

München 1999

2

Beispiel: Petri Netz

p1

t3

p2

p3

p5

p4

t2t1

w-(t1,p1)

w+(t1,p3)

3

Definition: Petri Netz

Ein Stellen/Transitions Netz ist ein Tupel

N = ( T, P, w-, w+ ):

• T (Transitionen) und P (Stellen) disjunkte,

nicht-leere (endliche) Mengen

• Abbildungen

w-/+: T x P N.

Petri Netz (N, M): Netz N zusammen mit Anfangsmarkierung

M: P N.

4

Inzidenzabbildung

Inzidenzabbildung

w := w+ - w: T x P Z

induziert Z-lineare Abbildungen

• wT: CT(N) CP(N, Z), wT(t):= w(t, p)

• wP := wT*: CP(N) CT(N, Z) (dual).

Notation: CT(N) := Z(T), CP(N) := Z(P),

Ci(N, Z) := HomZ(Ci(N), Z), i = T, P.

N definiert Positivitätsbegriff.

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Zustandsübergang

Transition t ist aktiviert unter Markierung Mpre, wenn

Mpre(p) w-(t, p) für alle p P (nicht-linear)

Schalten einer aktivierten Transition bewirkt Markenfluß gemäß der Zustandsgleichung:

Mpost = Mpre + wT(t) (linear)

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Potentielle Erreichbarkeit

Notwendige Voraussetzung für die Erreichbarkeit einer Markierung Mpost in Petrinetz (N, Mpre) ist die Lösbarkeit der Zustandsgleichung über N:

M := Mpost - Mpre = wT(), CT(N)+.

Satz. Lösbarkeit über Z ist äquivalent mit

• rank wT = rank (wT, M ) =: r

• < minor (wT, r) > = < minor ((wT, M), r >.

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Moduln über Hauptidealringen

Beweis. Transformiere wT über Z auf Smith Normalform

M( n x m, Z )

mit r = rang wT and ai | ai+1, i = 1,...,r-1.

0

a

...

a

r

1

8

Beispiel (2)

Für Markierung Mpost := Mpre + p2* gilt

• rank (w) = 3 = rank (w, M )

• < minor (w, 3) > = < 2 >

< minor ((w, M ), 3) > = < 1 >

• Mpost = Mpre + w( t1 + (1/2)(t2 + t3) )

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Erhaltungssätze

• Modul der T-Flüsse, ZT(N, Z) := ker wT

• Modul der P-Flüsse, ZP(N, Z) := ker wP

Schaltfolgen zu T-Flüssen verändern die Markierung (den Zustand) des Petri Netzes nicht.

Die mit P-Flüssen gewichteten Markierungen sind invariant bei jeder Schaltfolge.

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Netzklassen

•S/T-Netze: Theorie der Moduln über Z,

Lineare Programmierung

•Gefärbte kommutative Netze: Ganze

Z-Algebren, Gröbner Theorie

11

Beispiel „Die tafelnden Philosophen“

12

„Die tafelnden Philosophen“ (2)

• C := Zn , C(p) = B(t) = C konstant

• sh: Zn --> Zn, sh(x) := x+1

nehmenlinks

denkend

zurücklegenlinks

nehmenrechts

zurücklegenrechts

essend

freie Gabelnhatlinks

hatrechts

sh

sh

13 42 5

13 42 5

2

1

3

41

2

3

54

13

Definition: Gefärbtes Petri Netz

Gefärbtes Netz N = ( T, P, B, C, w-, w+):

• T (Transitionen), P (Stellen)

• B = (B(t))tT (Schaltmodi), C = (C(p))pP

(Datentypen) Familien endlicher Mengen

• Familien w-= (w-(t, p))(t,p)TxP von Farbfunktionen

w-(t, p)) HomN(B(t)N, C(p)N) (analog w+).

Gefärbtes Petri Netz: Gefärbtes Netz mit Anfangsmarkierung.

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Definition: Farbenalgebra

Sei N = ( T, P, C, w, w ) ein homogenes gefärbtes Netz mit Farbenmenge C. Die von allen Farbfunktionen erzeugte assoziative Algebra

AZ := Z [ w( t, p), w( t, p) ](t,p)TxP EndZ (CZ)

heißt Farbenalgebra von N. Das Netz heißt kommutativ, wenn AZ kommutativ ist.

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Kategorie AZ-Mod

• AZ-Modulstruktur von CZ

AZ x CZ CZ, (a, c) a(c).

• Inzidenzabbildung auf dem Niveau der

Farbenalgebra

wT,A: CT(N, AZ) CP(N, AZ), t w(t, -)

• Inzidenzabbildung auf dem Niveau des

Farbenmoduls

wT,C = wT,A idC: CT(N, CZ) CP(N, CZ).

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„Die tafelnden Philosophen“ (3)

•Farbenmodul CZ = spanZ < 0,1,...,n-1 > freier

Z-Modul mit n Erzeugern

•Farbenalgebra AZ = Z [ sh ]

•Inzidenzabbildung

)A,4x5(M

sh1sh1

1100

0110

0011

1001

w C,T Z

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Berechnung von ker wT,A

1. Lifte Problem zu linearer Abbildung zwischen freien Moduln über Polynomringen.

2. Gröbner-Theorie über Polynomringen berechnet Kern.

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Farbenalgebra als ganze Z-Algebra

Jede Farbenfunktion

f := w+/-(t, p) AZ EndZ(CZ)

hat Minimalpolynom Pf Z [ t ]. Gauß:

Z [ f ] Z [ t ] / < Pf >.

Farbenalgebra ist ganz über Z:

AZ R / I,

I = < h1,...,hp > R := Z [ t1,...,tk ].

19

Lift über Polynomring

Studiere Inzidenzmatrix

mit

Die Restklassen von erzeugen ker wT,A.

21 nnA,T AA:w ZZ

).R,pnxn(M

h...h

...

h...h

H 22

p1

p1

,RRR:H,ww~via 221 npnn

w~kerR 1n

20

Gröbner Theorie

Buchberger Algorithmus berechnet Erzeugende eines Ideals von Polynomen.

Prinzip: Reduktion auf Kalkulation mit Monomen höchsten Grades.

Gröbner Theorie ist Grundlage der Algorithmischen Kommutativen Algebra: Faktorisierung von Idealen, Berechnung von Kernen, Syzygien, Normalisierungen ...

21

Toolunterstützung

Algorithmische Kommutative Algebra über Körpern:

• Macaulay 2:

www.math.uiuc.edu/Macaulay2

• Singular:

www.mathematik.uni-kl.de/~zca/Singular

22

„Die tafelnden Philosophen“ (4)

•ZP(N, AQ) = spanAQ

•ZT(N, AQ) = spanAQ

1

1

0

sh

sh1

,

0

1

1

1

1

1

1

1

1

23

Kommutatives Netz: Q-Erreichbarkeit

wT,C = wT,A idC: CT(N, CQ) CP(N, CQ)

•Farbenalgebra AQ:

AQ = i=1,..,k Ai mit lokalen Artin Algebren Ai,

im reduzierten Fall Zahlkörper Ai.

•Farbenmodul CQ:

CQ = i=1,..,k Ci mit Artin Moduln Ci, im

reduzierten Fall endlich-dimensionale

Vektorräume Ci über Zahlkörpern.

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Fitting Ideale

Satz. Sei A Dedekindring und

f: An Am

A-lineare Abbildung. Für y Am sind äquivalent:

• y im f

• rang f = rang (f, y) =: r und

< minor (f, r) > = < minor ((f, y), r) > ABeweis. Lokalisierungen eines Dedekindringes sind Hauptidealringe, Lokal-Global-Prinzip.

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Kommutatives Netz: Z-Erreichbarkeit wT,C = wT,A idC: CT(N, CZ) CP(N, CZ)

•Farbenalgebra AZ:

Reduktion, Normalisierung in Produktform,

Fitting Kriterium für wT,A über der

Normalisierung.

•Farbenmodul CZ:

Strukturtheorie torsionsfreier Moduln über

Dedekindringen (Spaltungssatz mit

invertierbarem Ideal).

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„Die tafelnden Philosophen“ (5)

Farbenalgebra

AZ = Z [ t ] / < tn - 1 >

Kreisteilungspolynom zerfällt

tn - 1= d|n d(t) Z [ t ]

Beispiel mit n = 6 Philosophen:

1(t) = t - 1, 2(t) = t + 1, 3(t) = t2 + t +1,

6(t) = t2 - t +1

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Spec Z [ t ] / < t6 - 1 >

Z

Q [ t ]

Q

6 [ t ]

1 [ t ]

2 [ t ]

3 [ t ]

1

11

p-1p-1

F2 [ t ] F5 [ t ]F3 [ t ]

2 3 5 ...

6 [ t ]6 [ t ]

3 [ t ]

3 [ t ]

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Algorithmen

• Gröbner Basis: Buchberger Algorithmus für Ideal I R := Z [ t1,...,tk ].

• Faktorisierung: Gianni-Trager-Zacharias Algorithmus für Primärzerlegung

I = I1 ... In

• Normalisierung: Grauert-Remmert-de Jong Algorithmus für die Normalisierung

Z [t1,...,tm] / J

von R / rad ( I ).

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Literatur

Reisig, Wolfgang, Rozenberg, Grzegorz (Eds.): Lectures on Petri nets I, II. Lecture Notes in Computer Science 1491, 1492. Springer, Berlin et al. 1998

Jensen, Kurt: Coloured Petri Nets. 3 Vols., Springer, Berlin et al., 1992, 1995, 1997

Vasconcelos, Wolmer: Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Springer, Berlin et al. 1998

Buchberger, Bruno; Winkler, Franz (Eds.): Gröbner Bases and Applications. London Mathematical Society Lecture Note Series 251. Cambridge University Press 1998