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Mathematik 2 / Differentialrechnung
64
4 Differentialrechnung
I do not know what I may appear to the world, but to myself
I seem to have been only a boy playing on the sea shore, and diverting myself now and then finding a smoother pebble
or a prettier sea shell than ordinary whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.
Sir Isaac Newton
Englischer Physiker, 1643-1727
4.1 Ziele
Nach diesem Kapitel verstehst du die Grundzüge der Differentialrechnung. Es ist wichtig, dass du zu jedem Zeitpunkt verstehst, was du rechnest. Ziel ist es nicht nur, stur die Differen-tialrechnung anzuwenden, sondern vielmehr sich ein Grundverständnis dieser Materie anzueignen.
• Funktionen können grafisch abgeleitet werden. • Prinzip zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt als Grenzwertprozess verstanden. • Polynomfunktionen können von Hand abgeleitet werden. • Funktionen können unter Benutzung der Ableitungsregeln von Hand und mit dem TR abgeleitet wer-
den. • Extrem- und Wendepunkte von Funktionen können rechnerisch bestimmt werden. • Extremwertprobleme können mathematisch formuliert und gelöst werden
4.2 Wo braucht man die Differentialrechnung?
Wenn wir uns mit dem Wetter befassen, so interessiert uns oft nicht den zur Zeit herrschenden Zustand, son-dern die zukünftige Entwicklung. Die grosse Frage ist, wie das Wetter in den nächsten Tagen und Wochen sein wird. Wir probieren anhand von Wolken, Luftdruck, Satellitenbildern und noch vielen anderen Informa-tionen, das Wetter vorhersagen zu können. Eine Warmfront zum Beispiel kündigt sich mit sehr hohen Schlei-erwolken an. Das Wetter ist zur Zeit noch schön, die Schleierwolken verdecken die Sonne kaum, sie sagen aber etwas über die Veränderung des Wetters aus. Die Warmfront wird Wolken und Regen mitbringen. Die Schleierwolken sagen uns also etwas über das Veränderungsverhalten des Wetters. Das Änderungsverhalten ist das interessante am Wetter und nicht der effektive Zustand. Kenntnis vom Ände-rungsverhalten lässt eine Aussage über das zukünftige Wetter zu. In der Elektronik trifft man häufig auf Regelsysteme. Das Charakteristische an Regelsystemen ist die Rück-führung (Rückkopplung) des Ist-Wertes (Ausgangswert) zum Soll-Wert (Eingangswert). Neben der einfa-chen negativen Rückführung, bei der der Ist-Wert den Soll-Wert entgegengesetzt beeinflusst (z.B. d.h. ein zu hoher Ist-Wert bewirkt eine Korrektur nach kleineren Werten), trifft man häufig auch auf differentielle Rückkopplung: Wenn der Ist-Wert schnell schwankt, so soll die Korrektur auch schnell von statten gehen. Ändert der Ist-Wert nur langsam, so soll die Korrektur ebenfalls nur langsam erfolgen. Die Information, wie schnell sich Grössen eines Systems verändern, ergibt sich aus der Differentialrechnung. Auch bei vielen anderen physikalischen, technischen und finanzmathematischen Systemen trifft man auf derartige differentielle Regelungsmechanismen. Das Änderungsverhalten ist oft viel wichtiger und interes-santer als der effektive Zustand, denn das Änderungsverhalten eines Systems lässt eine Aussage zu, wie es in der nahen Zukunft aussieht.
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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4.3 Grafisches Bestimmen der Ableitung einer Funktion
Um das Änderungsverhalten einer Funktion bestimmen zu können, braucht man ein Maß, das angibt, wie stark sich die Funktion an jeder Stelle ändert. Die Änderung an einer Stelle der Funktion ist gleich der Stei-gung der Tangenten an die Funktion an der entsprechenden Stelle. Bsp.: In der unten dargestellten Funktion soll das Änderungsverhalten an jeder Stelle grafisch bestimmt
werden. Dazu muss man an jeder Stelle die Steigung der Tangenten bestimmen. Wir beschränken uns allerdings auf einige Stellen und extrapolieren die Ergebnisse. Die Steigungswerte aus der oberen Gra-fik trägt man nun als neue Funktionswerte (y-Werte) ins untere Koordinatensystem ein. Durch Verbin-den der neuen Funktionswerte findet man eine neue Funktion, welche das Änderungsverhalten der ur-sprünglichen (oberen Funktion) beschreibt. Dieser neuen (unteren) Funktion sagt man Ableitung. Die Funktionswerte (y-Werte) der Ableitung sind also gerade die Steigungswerte der abzuleitenden Funk-tion!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
1
2
3
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3
-2
-1
1
2
3
x
( )f x
( )f x′
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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Aufgabe Bestimme bei folgender Funktion die Ableitung qualitativ, in dem an einigen Stellen die Steigung grafisch ermittelt wird. Trage diese Steigungswerte als y-Werte in das untere leere Koordinatensystem ein.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
( )y f x=
( )y f x′=
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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4.4 Rechnerisches Ableiten einer Funktion
Die Ableitung ( )f x′ einer Funktion ( )f x beschreibt die Steigung der Funktion ( )f x an allen definierten x-Stellen. Um die Ableitung von ( )f x zu finden, müsste man in jedem Punkt P die Steigung der entspre-chenden Tangenten an ( )f x finden, denn die Steigung der Tangente in P ist gerade der Ableitungswert an der Stelle x. Wir führen diesen Vorgang jedoch nur einmal durch und verallgemeinern den Befund auf belie-bige x-Koordinaten. Steigung der Sekante: (Differenzenquotient) Nun lassen wir Q auf P zuwandern: ∆x wird damit immer kleiner bis ∆x schlussendlich unendlich klein ist. (∆x wird nicht null, sonst hätte man eine Division durch null!). Auch ∆y wird unendlich klein und das Stei-gungsdreieck der Sekanten verschwindet (fast). Rechnerisch können wir daher im Punkt P die Steigung nicht direkt mit einem Steigungsdreieck der Tangenten berechnen, sondern wir müssen den Grenzübergang für u à x des Steigungsdreiecks der Sekanten betrachten. So erhalten wir die Steigung der Tangenten im Punkt P. Man spricht auch vom Differentialquotienten. oder Für jede definierte Stelle x erhält man dann formal die erste Ableitung ( )f x′ von ( )f x : (Differentialquotient)
Anstelle von ( )f x′ schreibt man häufig auch y′ oder dydx
. Die Schreibweise dydx
(gelesen: „dy nach dx“)
geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Sie leitet sich aus /x y∆ ∆ ab, beschreibt jedoch keinen Quotien-ten mehr, sondern muss als Ganzes gesehen werden.
( ) ( ) ( ) ( )oder
S
f fym
x u xf u x f x h x
h∆
∆
− −= =
−
+=
( ) ( )T lim
u x
f u f xm
u x→
− = −
( ) ( )T 0
limh
f x h f xm
h→
+ − =
x u x h= +
für u x→
Sekante
Tangente
( )f x
h x u x∆= = −
( ) ( )y v y f u f x∆ = − = −
( )Q |u v
( )P |x y
x
y
( ) ( ) ( )0
limh
f x h f xf x
h→
+ − ′ =
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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4.5 Ableitungen verschiedener Funktionsklassen
4.5.1 Einleitung
Die Steigung jeder Funktion an jedem Punkt des Definitionsbereiches zu rechnen wäre offensichtlich sehr aufwendig. Es stellt sich nun die Frage, ob es Ableitungsregeln für einzelne Funktionsklassen gibt. Tatsäch-lich ist dies der Fall. In diesem Kapitel werden exemplarisch einige Ableitungsregeln hergeleitet, andere werden ohne Herleitung wiedergegeben. 4.5.2 Ableitung von linearen Funktionen
Die lineare Funktion besitzt eine konstante Steigung über den ganzen Definitionsbe-reich. Der konstante Term c hat keinen Ein-fluss auf die Steigung, somit auch nicht auf die Ableitung. Das bestätigt auch der Diffe-rentialquotient. Berechnet man die Ablei-tung von ( )f x mx c= + ein, so folgt: 4.5.3 Ableitung von quadratischen Funktionen
Bei der quadratischen Funktion ist die Stei-gung je nach Stelle unterschiedlich. Der konstante Term c hat keinen Einfluss auf die Steigung, somit auch nicht auf die Ableitung. Das bestätigt auch der Differenti-alquotient. Berechnet man die Ableitung von
( ) 2f x ax bx c= + + ein, so folgt:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0
lim lim lim limh h h h
f x h f x m x h c mx c mx mh c mx c mhf x mh h h h→ → → →
+ − + + − + + + − − ′ = = = = =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
0
2 2 2 2 2
0 0
2
0 0
lim
2lim lim
2lim lim 2 2
h
h h
h h
f x h f xf x
h
a x h b x h c ax bx c ax axh ah bx bh c ax bx ch h
axh ah bh ax ah b ax bh
→
→ →
→ →
+ − ′ =
+ + + + − + + + + + + + − − − = = + +
= = + + = +
-3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
x
y
( ) 0.5 1f x x= +
Steigung überall 0.5
( ) 0.5f x′ =
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
( ) 20.5 1.5f x x x= + −
( ) 1f x x′ = +
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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4.5.4 Ableitung von Potenzfunktionen
Geg.: ( ) ( )0nf x c x n= ⋅ ≠ In Worten: Die Ableitung einer Potenzfunktion erhält man, indem der ursprüngliche Exponent n als Faktor
„nach vorne genommen wird“ und der Exponent um 1 erniedrigt wird. Bereits vorhandene Vor-faktoren c werden mitgenommen (siehe auch später Faktorregel).
Beispiele Man kann zeigen, dass die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auch für negative und gebrochenrationale Exponenten gültig ist (ausser für n = 0). Weiter kann man zeigen, dass bei Polynomfunktionen, d.h. bei Summen von Potenzfunktionen, jeder Summand separat abgeleitet werden darf. (siehe auch später Summenregel)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 3 2 3 2 0 3 2
1.5 3 0.5 0.5 4 1.5 0.5 4 1.5
2 2 1 1 1
2 7 3 1 4 2 3 7 2 3 1 4 6 14 3
5 4 1.5 3 5 0.5 4 1 1.5 15 2 1
3 4 2 3 4p r q p r q
f x x x x x f x x x x x x x x
f x x x x x f x x x x x x x
f x x x x f x p x r x q x
− − − − − −
− − − − −
′= + + + + → = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + +
′= + − + → = − ⋅ − − ⋅ + = − + +
′= + − → = ⋅ + ⋅ + ⋅
�
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 1
S
1 1 1 1
1 2 1
S0
... ...
... ...
...
lim lim
n n n n n n nn
n n n n n n n n
n n n
h h
c x n x h x h n x h h c xf x h f x c x h c xm
h h hc x c n x h c n x h c h c x c n x h c n x h c h
h hc n x c n x h c h
f x m
− − −
− − − −
− − −
→ →
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − ⋅+ − ⋅ + − ⋅ = = =
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅= =
= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
′⇒ = = ( )1 2 1 1
0...n n n nc n x c n x h c h c n x− − − −⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )1 0n nf x c x f x c n x n−′= ⋅ → = ⋅ ⋅ ≠
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
7 6
2 1
0
7
3 3 2 6
5 5 0
f x x f x x
f x x f x x x
f x x f x
′= → =
′= → = ⋅ =
′= = ⋅ → =
�
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 4 4
1 12 2
12
5 213 3 3
1 1 312 2 2
4 4 3 12
1 1 1 12 2 2
53 3 53
14 4 22
f x x f x x x
f x x x f x xxx
f x x f x x x
f x x f x x x
− − −
−
5−
− − − −
′= − → = − ⋅ − =
′= = → = = ⋅ =
′= ⋅ → = ⋅ =
′= − → = − ⋅ − =
�
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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Aufgaben 1. ( ) 23 2 4f x x x= − − ( )f x′ =
2. ( ) 5 32 2 8f x x x x= − + ( )f x′ =
3. ( ) 4 2 8p n zf x x x x= + + ( )f x′ =
4. ( ) 1f xx
= ( )f x′ =
5. ( ) 2
1f xx
= ( )f x′ =
6. ( )f x x= ( )f x′ =
7. ( ) 1f xx
= ( )f x′ =
8. Bsp.: Welche Steigung hat die Funktion ( ) 3 22f x x x= − an der Stelle x1 = −2?
Welche Steigung hat die Funktion ( )3
2xf x = an der Stelle x1 = −4?
9. Welche Steigung hat die Funktion ( ) 2 2f x x x= − an der Stelle x1 = 1?
10. An welchen Stellen hat die Funktion ( ) 3 22 23
f x x x= + die Steigung 6?
( ) ( ) ( ) ( )223 4 2 3 2 4 2 20f x x x f′ ′= − → − = ⋅ − − ⋅ − =
Mathematik 2 / Differentialrechnung
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Lösungen 1. ( ) 23 2 4f x x x= − − ( )f x′ = 6 2x −
2. ( ) 5 32 2 8f x x x x= − + ( )f x′ = 4 210 6 8x x− +
3. ( ) 4 2 8p n zf x x x x= + + ( )f x′ = 1 1 14 2 8p n zp x n x z x− − −⋅ + ⋅ + ⋅
4. ( ) 1f xx
= 1x−= ( )f x′ = ( ) 2 21 x x− −− = −
5. ( ) 2
1f xx
= 2x−= ( )f x′ = 32x−−
6. ( )f x x= 0.5x= ( )f x′ = 0.50.5x−
7. ( ) 1f xx
= 0.5x−= ( )f x′ = 1.50.5x−−
8. Bsp.: Welche Steigung hat die Funktion ( ) 3 22f x x x= − an der Stelle x1 = −2?
Welche Steigung hat die Funktion ( )3
2xf x = an der Stelle x1 = −4?
9. Welche Steigung hat die Funktion ( ) 2 2f x x x= − an der Stelle x1 = 1?
10. An welchen Stellen hat die Funktion ( ) 3 22 23
f x x x= + die Steigung 6?
( ) ( ) ( ) ( )223 4 2 3 2 4 2 20f x x x f′ ′= − → − = ⋅ − − ⋅ − =
( ) ( ) ( )2
223 1.5 4 1.5 4 242xf x x f′ ′= = → − = ⋅ − =
( ) ( )1 2 1 1f x x f′ ′= − → = −
( )
( )( )( )
2
2
2
2
1 2
Ableitung berechnen: 2 4
Ableitung mit Steigung gleichsetzen: 2 4 62 4 6 0
2 3 01 3 0
Die Funktion hat an den Stellen 1 und 3 die Steigung 6.
f x x x
x xx x
x xx x
f x x x
′ = +
+ =
+ − =
+ − =
− + =
= = −
g
g
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4.5.5 Ableitungen weiterer Funktionen
Um die Ableitung anderer Funktionen zu finden, müsste man wie beschreiben jeweils den Differentialquo-tienten berechnen. Das machen wir an dieser Stelle nicht. Ohne Herleitung sind im Nachfolgenden die Ablei-tungen einiger wichtiger Funktionen aufgelistet. Ausführlichere Ableitungstabellen sind jeder gängigen ma-thematischen Formelsammlung zu entnehmen. Ableitung von Exponentialfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion ( ) xf x e= ist eine spezielle Funktion. Ihre Basis e wurde gerade so ge-wählt, dass die Ableitung identisch ist mit der Funktion selbst. Diese Eigenschaft ist einmalig (abgesehen von der trivialen Funktion ( ) 0f x = ) Ableitung von trigonometrischen Funktionen Ableitung von Logarithmusfunktionen
-1
1
x
y
2π π
23π 2π
( )sinf x= ( )cosf x′ =
-1
1
x
y
2π π
23π 2π
( )cosf x= ( )sinf x′ = −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2
sin cos
cos sin
tan 1 tan
f x x f x x
f x x f x x
f x x f x x
′= ⇒ =
′= ⇒ = −
′= ⇒ = +
( ) ( )
( ) ( ) ( )allgemeine Exponentialfunktion
ln
x x
nx nx
f x e f x e
f x a f x n a a
′= ⇒ =
′= ⇒ = ⋅ ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1ln
1loglnb
f x x f xx
f x x f xb x
′= ⇒ =
′= ⇒ =⋅
Mathematik 2 / Differentialrechnung
73
4.6 Höhere Ableitungen
Wir wissen bereits, dass die Ableitung einer Funktion die Änderung der Funktion beschreibt und selbst wie-der eine Funktion ist. Es sollte demnach auch möglich sein, die Ableitung selbst wieder abzuleiten, d.h. also die Ableitung der Ableitung zu bestimmen. Man spricht dann auch von der zweiten Ableitung (der ursprüng-lichen Funktion). Die zweite Ableitung beschreibt also die Änderung der Änderung der ursprünglichen Funktion. Das tönt zunächst sehr kompliziert, ist es jedoch nicht. In physikalischem Kontext haben wir die-sen Sachverhalt schon bei der Bewegungslehre angetroffen: Die zweite Ableitung der Weg-Zeit-Funktion ist nichts anderes als die Beschleunigung, denn die Beschleunigung beschreibt ja die Änderung der Geschwin-digkeit (welche die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion ist). Dieses „Ableitungsspielchen“ kann man un-endlich weiter treiben. Bei der zweiten, dritten, vierten, etc… Ableitung spricht man dann von sogenannten höheren Ableitungen oder auch Ableitungen höherer Ordnung.
2. Ableitung: ( ) ( )f x f x′′ ′′ = 3. Ableitung ( ) ( )f x f x′′′ ′′′= etc….. Beispiele 4.7 Ableiten mit dem Taschenrechner
Ableiten mit dem TI-89/Voyage200:
1. ( )( ) ( )sin cosx x′ = d(sin(x),x) = cos(x)
2. ( )sin 0d xdy
= d(sin(x),y) = 0
3. ( )( ) ( )sin cosx x′′′ = − d(sin(x),x,3) = -cos(x) Ableiten mit dem TI-NSpire: Ableiten mit dem HP Prime: Ctrl+„Fähnchen“, Ableitungssymbol auswählen CAS-Mode, Toolbox, Calculus, Differential wählen
Differentialsymbol = 2nd+„8“
( )( )( )( )( )( )
3 2
2
IV
V
5 2
15 4 1
30 4
30
0
0
f x x x x
f x x x
f x x
f x
f x
f x
= + −
′→ = + −
′′→ = +
′′′→ =
→ =
→ =
� ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
IV
V
cos
sin
cos
sin
cos
sin
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
=
′→ = −
′′→ = −
′′′→ =
→ =
→ = −
� ( )
( )( )( )( )( )
1
2
3
4
IV 5
V 6
1
2
6
24
120
f x xx
f x x
f x x
f x x
f x x
f x x
−
−
−
−
−
−
= =
′→ = −
′′→ =
′′′→ = −
→ =
→ = −
�
TR auf RAD stellen!
Mathematik 2 / Differentialrechnung
74
4.8 Ableitungsregeln
Wenn eine Funktion aus mehreren Teilfunktionen besteht, welche ihrerseits abhängig sind von der unabhän-gigen Variablen (i.d.R. von x), so ist das Ableiten der ganzen Funktion nicht mehr ganz so einfach. Für sol-che Funktionen gibt es Regeln, wie man beim Ableiten vorgehen muss – die Ableitungsregeln. Wir werden die Ableitungsregeln nicht „von Hand“ lernen und durchführen, da unser Rechner dies kostenlos für uns macht. Die folgenden Seiten (S. 74 – S. 76) wurden aus „historischen Gründen“ im Skript belassen und wer-den in unserem HF Studium nicht weiter behandelt.
4.8.1 Summen-/Differenzenregel
Gegeben seien die Funktionen ( )f x und ( )g x . Die Summenregel besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen das Gleiche ergibt wie die Summe der Ableitung der einzelnen Teilfunktion. In anderen Worten: Das Ableiten und die Summenbildung dürfen vertauscht werden! resp. Bsp.:
4.8.2 Faktorregel
Gegeben ist die Funktion ( )f x und der konstante Vorfaktor k. Die Faktorregel besagt, dass die Ableitung des Produktes ( )k f x⋅ das Gleiche ergibt wie die Ableitung der Funktion ( )f x multipliziert mit dem Fak-tor k. In anderen Worten: Ein konstanter Faktor vor einer Funktion wird nicht abgleitet, d.h. er kann aus der Ableitung „herausgezogen“ werden! Bsp.:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′+ = + ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′− = −
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 2
1sin ln sin ln cos 1
cos cos 3 sin
x x x x x x xx
x x x x x x
′ ′ ′ ′− + = − + = − +
′ ′ ′+ = + = −
�
�
( ) ( )k f x k f x′ ′= ⋅ ⋅
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )3 3 2 2
5 sin 5 sin 5 cos
2 2 2 3 6
x x x
x x x x
′ ′⋅ = ⋅ = ⋅
′ ′⋅ = ⋅ = ⋅ =
�
�
Mathematik 2 / Differentialrechnung
75
4.8.3 Produkteregel
Gegeben ist eine Funktion ( ) ( ) ( )f x u x v x= ⋅ , welche ihrerseits aus zwei differenzierbaren Teilfunktionen ( )u x und ( )v x besteht. Dann ist die Ableitung:
(Kurzform) Bsp.: 4.8.4 Quotientenregel
Gegeben ist die Funktion ( ) ( )( )
u xf x
v x= . Sind ( )u x und ( )v x an der Stelle x differenzierbar und ( ) 0v x ≠ ,
so ist auch ( )f x an der Stelle x differenzierbar. Es gilt dann: (Kurzform) Bsp.:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x v x f x u x v x u x v x′ ′ ′= ⋅ → = ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 12 2
1 1 1 1 12 2 2 2 2
2 2
2
1
12
1 1 312 2 2
2 cos 2 4
cos sin
4 cos 2 sin
f x x x u x x u x
v x x x v x x
f x x x x x x x
f x x x u x x u x x
v x x v x x
f x x x x x
−
−
′= ⋅ = → =
′= = → =
′⇒ = ⋅ + ⋅ = + =
′= ⋅ = → =
′= → = −
′⇒ = ⋅ − ⋅
�
�
( )u v u v u v′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )2
u x u x v x u x v xf x f x
v x v x
′ ′⋅ − ⋅′= → =
2
u u v u vv v
′ ′ ′⋅ − ⋅ =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2
2
2 2
2 22 2
2 2
3 1 3 1 31
1 2
3 1 3 1 2 3 2 3
1 1
sinsin cos
cos
cos sin
cos cos sin sin 1cos cos
xf x u x x u xx
v x x v x x
x x x x xf xx x
xf x u x x u x x
x
v x x v x x
x x x xf x
x x
+ ′= = + → =+
′= + → =
⋅ + − + ⋅ − − +′⇒ = =+ +
′= = → =
′= → = −
⋅ − ⋅ −′⇒ = =
�
�
Mathematik 2 / Differentialrechnung
76
4.8.5 Kettenregel
Beim Bestimmen der Ableitung von Funktionen wie ( ) 2 1f x x= + oder ( ) ( )sinf t tω= ⋅ funktionieren die bisherigen Ableitungsregeln nicht, denn die Funktionen bestehen aus ineinander geschachtelten Funktio-nen (sog. innere und äussere Funktion). Die Reihefolge der Verkettung (d.h. was ist die innere, was die äus-sere Funktion) spielt eine entscheidende Rolle – nicht nur beim Ableiten. Bsp.: Gegeben ist eine verkettete (verschachtelte) Funktion ( ) ( )( )f x u v x= . Ist die innere Funktion v an der Stelle x und die äussere Funktion u an der Stelle ( )v x differenzierbar, so ist auch ( )f x an der Stelle x differen-zierbar. Es gilt dann:
(Ableitung von f = äussere Ableitung � innere Ableitung) Bsp.:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
22 2
2
22 2
sin innere Funktion: sin innere Funktion: sin
äussere Funktion: sin ... äussere Funktion: ...
2 sin 2 sin 4 0.757 2 sin 2 0.909 0.827
f x x x g x x x
f g
= =
= = = − = = =
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x u v x f x u v v x′ ′ ′= → = ⋅
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2
2
2
sin innere Funktion: innere Ableitung: 2
äussere Funktion: sin äussere Ableitung: cos
cos 2 cos 2
sin innere Funktion: sin innere Ableitung: cos
sin
f x x v x x v x x
u v v u v v
f x u v v x v x x x
f x x v x x v x x
x
′= = → =
′= → =
′ ′ ′⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅
′= = → =
=
�
�
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
12
äussere Funktion: äussere Ableitung: 2
2 cos 2 sin cos
1 innere Funktion: 1 innere Ableitung: 2
1äussere Funktion: äussere Ableitung: 2
u v v u v v
f x u v v x v x x x
f x x v x x v x x
u v v u v v
f x u v v x
−
′= → =
′ ′ ′⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
′= + = + → =
′= → =
′ ′ ′⇒ = ⋅
�
( ) ( )1 1 1
2 22 2 21 12 1 2 12 2
v x x x x x− − −
= ⋅ = + ⋅ = + ⋅
Mathematik 2 / Differentialrechnung
77
Aufgaben Leite folgende Funktionen mit dem Rechner ab:
� Wie gross ist die Steigung der Funktion ( ) 35 1
2 5xf x
x x+
=− +
an den Stellen 1 1x = und 2 3x = ?
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
x
f (x)
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3.5 2
3 1
2
3
2
2
2 2
2
21
sin 2
x
x
f x e x x
x xf xe
z xf xx x
xzf xx
f x x x x
−
−
= ⋅ −
+=
+=
−
=−
= ⋅ −
�
�
�
�
�
Mathematik 2 / Differentialrechnung
78
Musterbeispiel
� Wie lautet die Gleichung der Tangente an die Funktion ( ) 2
1f xx
= an der Stelle 2x = ?
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2Gegeben ist die Funktion 3 1.
Berechne die Tangente an die Funktion an der Stelle 2.
gemeinsamer Punkt des Graphen von und der Tangente:
P 2 | 2 P 2 | 3
Ableitung von : 2 3
Tangente hat d
f x x x
f x x
f
f
f x f x x
= − + +
=
=
′ = − +
g
g
g( )
( )
ie gleiche Steigung wie in P:2 1
Ansatz für Tangente: 1
Tangente geht ebenfalls durch P 2 | 3 3 2 5 5
fm f
y m x c x c x c
c c y x
′= = −
= ⋅ + = − ⋅ + = − +
= − + = ⇒ = − +
g
g
1 2 3 4
1
2
3
4
5
x
y
P
t
f
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
x
f (x)
Mathematik 2 / Differentialrechnung
79
Lösungen Leite folgende Funktionen mit dem Rechner ab:
� Wie gross ist die Steigung der Funktion ( ) 35 1
2 5xf x
x x+
=− +
an den Stellen 1 1x = und 2 3x = ?
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-1
1
2
x
f (x)
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3.5 2
3 1
2
3
2
2
2 2
2
21
sin 2
x
x
f x e x x
x xf xe
z xf xx x
xzf xx
f x x x x
−
−
= ⋅ −
+=
+=
−
=−
= ⋅ −
�
�
�
�
�
( ) 3.5 2.52 3
1 23.5 xf x x x ex x
′→ = + − +
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )
( )
3 2 3 2
2 23 3
5 2 5 5 1 3 2 10 3 27
2 5 2 5
1 0.875
3 0.40
x x x x x xf xx x x x
f
f
⋅ − + − + − − − +′→ = =− + − +
′→ =
′→ = −
( )( )5 4
2
3 1 xx x x ef x
x
−− − + +′→ =
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
3 2 2 2
22 2
2 2
22
2 2 2
4 3
1
2 1
1
2 sin 2 cos 2 4 1
x x z zf x
x x
x zf x
x
f x x x x x x x x
− + −′→ =
−
− +′→ =
−
′→ = ⋅ − + ⋅ − −
Mathematik 2 / Differentialrechnung
80
Musterbeispiel
� Wie lautet die Gleichung der Tangente an die Funktion ( ) 2
1f xx
= an der Stelle 2x = ?
( )( ) ( )
( )
( )
( )
3
P 2 | 2 P 2 | 0.25
Ableitung: ' 2
2 0.25
Tangente 0.25 (*)
Tangente geht ebenfalls durch Punkt P 2 | 0.25 0.25 0.25 2 0.75
Tangente 0.25 0.75
f
f x x
m f
y m x c x c
c c
y x
−
=
= −
′= = −
= ⋅ + = − ⋅ +
= − ⋅ + → =
= − +
g
g
g
g
g
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2Gegeben ist die Funktion 3 1.
Berechne die Tangente an die Funktion an der Stelle 2.
gemeinsamer Punkt des Graphen von und der Tangente:
P 2 | 2 P 2 | 3
Ableitung von : 2 3
Tangente hat d
f x x x
f x x
f
f
f x f x x
= − + +
=
=
′ = − +
g
g
g( )
( )
ie gleiche Steigung wie in P:2 1
Ansatz für Tangente: 1
Tangente geht ebenfalls durch P 2 | 3 3 2 5 5
fm f
y m x c x c x c
c c y x
′= = −
= ⋅ + = − ⋅ + = − +
= − + = ⇒ = − +
g
g
1 2 3 4
1
2
3
4
5
x
y
P
t
f
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
x
f (x)
Mathematik 2 / Differentialrechnung
81
4.9 Kurvendiskussion
4.9.1 Extrempunkte einer Funktion
Bei einem lokalen Extremwert (Minimum oder Maximum) der Funktion ( )f x ist die Tangentensteigung null. Das heisst, die erste Ableitung von ( )f x hat bei diesem lokalen Extremwert eine Nullstelle. Mit der zweiten Ableitung kann man zusätzlich bestimmen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Stellvertretend (und ohne Beweis) für andere Beispiele ist aus dem untenstehenden Graphen ersichtlich, dass an der Stelle, wo die Funktion ( )f x ein Minimum annimmt, die zweite Ableitung positiv ist. Ist die zweite Ableitung hingegen negativ, so hat ( )f x an dieser Stelle ein Maximum. Für das Bestimmen von Minima und Maxima einer Funktion können wir also folgende Bedingungen formu-lieren: Bsp.:
( ) ( )E E EKriterium für Minimalstelle : 0 und 0x f x f x′ ′′= >
( ) ( )E E EKriterium für Maximalstelle : 0 und 0x f x f x′ ′′= <
notwendige Bedingung hinreichende Bedingung
( ) 1 12
f x x′′ = −
( ) 21 34
f x x x′ = − −
( ) 3 21 1 3 1012 2
f x x x x= − − +
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
( )Hochpunkt
H 2 / 13.3−
( )TiefpunktT 6 | 8−
E1x E2x
Mathematik 2 / Differentialrechnung
82
Beispiel
Gegeben: ( ) 3 21 1 3 1012 2
f x x x x= − − + (Graph siehe vorangegangene Seite)
Gesucht: Extremwertstellen von ( )f x , Hoch- und Tiefpunkte von ( )f x .
( ) 2
2E1 E2
E
mögliche Extremwertstellen finden, in dem die erste Ableitung = 0 gesetzt wird:1 34
10 3 2, 64
für jedes den Funktionswert der zweiten Ableitung bestimmen:Funktionswert von
f x x x
x x x x
x
′ = − −
= − − ⇒ = − =
′g
�
�
( )
( ) ( )E1 E1
negativ Graph von hat an der entsprechenden Stelle ein MaximumFunktionswert von positiv Graph von hat an der entsprechenden Stelle ein Minimum
1 12
1 2 1 2 0 bei 2 hat 2
f ff f
f x x
f x x
′ →′′ →
′′ = −
′′ = ⋅ − − = − < ⇒ = −
g
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
E2 E2
ein Maximum
Hochpunkt H 2 | 2 H 2 |13.3
1 6 1 2 0 bei 6 hat ein Minimum2
Tiefpunkt T 6 | 6 T 6 | 8
f x
f
f x x f x
f
⇒ − − = −
′′ = ⋅ − = > ⇒ =
⇒ = −
Mathematik 2 / Differentialrechnung
83
4.9.2 Wendepunkte einer Funktion
Untersuchen wir die Funktion von S. 81 noch etwas genauer, so finden wir einen weiteren speziellen Punkt. Fährt man virtuell der Kurve entlang (d.h. von links unten nach rechts oben), so muss man zunächst nach rechts steuern, damit man „die Kurve im Maximum“ kriegt, dann etwas später muss man das Steuerrad nach links drehen um „durch das Minimum“ zu fahren. Dem Punkt, bei welchem das Steuerrad von rechts nach links (oder auch von links nach rechts) wechselt, sagt man Wendepunkt (weil sich dort die Krümmung von rechts nach links resp. umgekehrt ändert). Der entsprechende x-Wert heisst Wendestelle. Kriterium für eine Wendestelle:
( ) ( )W W WWendestelle : 0 und 0x f x f x′′ ′′′= ≠
( ) 1 12
f x x′′ = −
( ) 21 34
f x x x′ = − −
( ) 3 21 1 3 1012 2
f x x x x= − − +
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
E1x E2x
Wendepunkt
Wx
Wendestelle
zunehmende Steigung abnehmende Steigung
Rechts-kurve
Links-kurve
Mathematik 2 / Differentialrechnung
84
Beispiel
Gegeben: ( ) 3 21 1 3 1012 2
f x x x x= − − + (Graph siehe vorangegangene Seite)
Gesucht: Wendestellen von ( )f x , Wendepunkte von ( )f x . Zusatz: Wie lautet die Funktionsgleichung der Wendetangente?
( )
W
W
mögliche Wendestellen finden, in dem die zweite Ableitung = 0 gesetzt wird:1 12
10 1 22
für jedes den Funktionswert der dritten Ableitung bestimmen:Funktionswert von 0 Graph von
f x x
x x
xf
′′ = −
= − ⇒ =
′′′ ≠ →g
�
�
( ) ( )
( )( )
W
hat an der entsprechenden Stelle einen Wendepunkt1 0 bei 2 hat einen Wendepunkt2
8Wendepunkt W 2 | 2 W 2 |3
f
f x x f x
f
′′′ = ≠ ⇒ =
⇒ =
( )
Ansatz:
Steigung im Wendepunkt 2 4somit : 4
Wendepunkt liegt auf der Wendetangente, d.h.8 4 23
323
32somit: 43
y m x c
m fy x c
c
c
y x
= ⋅ +
′= = = −
= − +
= − ⋅ +
⇒ =
= − +
Wendepunkt
Wendetangente
-8 -4 4 8
-8
-4
4
8
12
x
y
Mathematik 2 / Differentialrechnung
85
Aufgabe
Gegeben: ( ) 4 21 2 89
f x x x= − +
Gesucht: a) Zeichne den Graphen! b) Extremwertstellen von f, Hoch- und Tiefpunkte des Graphen c) Wendestellen von f, Wendepunkte des Graphen d) Bestimme die Wendetangente im weiter links liegenden Wendepunkt. e) Trage die Hoch-/Tief- und Wendepunkte im Graphen ein!
-6 -4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Mathematik 2 / Differentialrechnung
86
Lösung a) Graph
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
3 2 2
3E1 E2 E3
E1 1
E2
Ableitungen:4 12 4 84 4 49 9 3 3
b) Extremwertstellen + Hoch-/Tiefpunkte:
4 4 0 3, 0, 39
3 8 0 bei 3 hat ein Minimum Tiefpunkt T 3 | 10 4 0 bei 0 hat e
f x x x f x x x f x x
x x x x x
f x ff x f
′ ′′ ′′′= − = − = − =
− = ⇒ = − = =
′′ − = > ⇒ = − ⇒ − −′′ = − < ⇒ = ( )( ) ( )
( ) ( )( )
E3 2
2W1 W2
W1 1
in Maximum Hochpunkt H 0 | 83 8 0 bei 3 hat ein Minimum Tiefpunkt T 3| 1
c) Wendestellen + Wendepunkte:
4 4 0 3, 33
83 3 0 bei 3 hat eine Wendestelle Wendepunkt W 3 | 33
83 33
f x f
x x x
f x f
f
⇒′′ = > ⇒ = ⇒ −
− = ⇒ = − =
′′′ − = − ≠ ⇒ = − ⇒ −
′′′ = ≠ ( )
( ) ( ) ( )
( )
W2 2
3
1
0 bei 3 hat eine Wendestelle Wendepunkt W 3 | 3
d) Wendetangente:
4 83 3 4 3 39 3
8 33
8 8W Tangente: 3 3 3 11 3 113 3
x f
m f
y x c
c c y x
⇒ = ⇒
′= − = ⋅ − − − =
= ⋅ +
∈ = ⋅ − + ⇒ = ⇒ = ⋅ +
-6 -4 -2 2 4
-2
2
4
6
8
10
x
y
1W 2W
H
1T 2T
Wendetangente
Mathematik 2 / Differentialrechnung
87
4.10 Extremwertprobleme
Musteraufgabe 1 Gegeben ist ein Karton mit quadratischer Grundfläche und den Seitenlängen 3 m. Wie muss man den Karton falten, d.h. wie gross müssen s und h gewählt werden, damit eine Kartonschachtel mit maximalem Volumen-inhalt entsteht? Nun möchten wir rechnerisch das Maximum von ( )V h finden. Dazu suchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung und überprüfen bei welchem Extremwert die zweite Ableitung negativ ist. Maximales Volumen erhält man, wenn die Höhe 0.5 m gewählt wird und die Grundseite 2 m. Das Volumen beträgt dann 2 m3.
s
h
3 m
s
h
h
3 m
( )( )
( )
2
22
2
3 2
Zielgrösse: (1)
Nebenbedingung: 2 3 3 2 (2)
Zielfunktion:
(2) in (1) 3 2
9 12 4
4 12 9
V s h
h s s h
V s h h h
h h h
V h h h h
= ⋅
+ = → = −
⇒ = ⋅ = − ⋅
= − + ⋅
= − +h (in m)
V (in m3)
( ) 3 24 12 9V h h h h= − +
.25 .5 .75 1 1.25 1.5
.5
1
1.5
2
( )
( )( ) ( )( ) ( )
21 2
1
2
,12 24 9 0 0.5 1.5
24 24
0.5 12 0 0.5 ist eine Maximalstelle 0.5 2
1.5 12 0 1.5 ist eine Minimalstelle 1.5 0
hV h h h h
V h h
V h V
V h V
′ = − + = ⇒ = =
′′ = −
′′ = − < ⇒ = =
′′ = > ⇒ = =
Mathematik 2 / Differentialrechnung
88
Musteraufgabe 2 Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 4 cm und der Höhe 6 cm. Dem Dreieck soll ein Rechteck so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Basis des Dreiecks liegt und die gege-nüberliegenden Eckpunkte des Rechtecks auf den Schenkeln des Dreiecks liegen. Bestimme das Rechteck, das den grössten Flächeninhalt hat. Nun suchen wir das Maximum der Zielfunktion ( )A x : Das Rechteck mit einer Grundlinie der Länge 2 cm und der Höhe 3 cm besitzt den grössten Flächeninhalt (6 cm2).
( )
( ) ( ) 2
Zielgrösse: (1)
6Nebenbedingung: Strahlensatz mit 22 2
32
26 1.5 (2)
Zielfunktion:(2) in (1) 6 1.5 1.5 6
A x y
y xll
yx
y x
A x x y x x x x
= ⋅
= = −
→ =−
→ = −
⇒ = ⋅ = ⋅ − = − +x l
6 cm
y
4 cm
( )
( ) ( ) 2
3 6 0 2
prüfen:2 3 0 2 ist eine Maximalstelle 2 1.5 2 6 2 6
A x x x
A x A
′ = − + = ⇒ =
′′ = − < ⇒ = = − ⋅ + ⋅ =
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
x (in cm)
A(x) (in cm2)
Mathematik 2 / Differentialrechnung
89
Aufgaben 1. Aus einem 36 cm langen Stück Draht soll das Kantengitter eines Quaders mit
quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Wie müssen die Grundseite s und die Höhe h gewählt werden, damit das Volumen maximal wird?
h
ss
Mathematik 2 / Differentialrechnung
90
2. Welche Abmessungen muss ein oben offenes zylindrisches Gefäss von 0.5 Liter Inhalt haben, wenn man zu seiner Herstellung möglichst wenig Blech verwen-den soll?
r
h
Mathematik 2 / Differentialrechnung
91
3. In der nebenstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Bauklotzes gezeichnet, dessen Inhalt A = 50 cm2 betragen soll. Der Umfang des Querschnitts sei mit U bezeichnet.
a) Bestimme die Funktion, wie man aus x den Umfang U berechnet. b) Bestimme x so, dass der Umfang U minimal wird. c) Wie gross ist der minimale Umfang Umin?
Mathematik 2 / Differentialrechnung
92
Lösungen 1. Aus einem 36 cm langen Stück Draht soll das Kantengitter eines Quaders mit
quadratischer Grundfläche hergestellt werden. Wie müssen die Grundseite s und die Höhe h gewählt werden, damit das Volumen maximal wird?
2. Welche Abmessungen muss ein oben offenes zylindrisches Gefäss von 0.5
Liter Inhalt haben, wenn man zu seiner Herstellung möglichst wenig Blech verwenden soll?
h
ss
( )( )( )( )( ) ( )
2
2 2
3 2
21 2
Zielgrösse: (1)
Nebenbedingung: 8 4 36 9 2 (2)
Zielfunktion:(2) in (1) 9 2
2 9
6 18 0 0, 3
12 18
0 18 0 3 18 0 Maximum wenn 3
Das maximale Volumen wird f
V s h
s h h s
V s h s s
V s s s
V s s s s s
V s s
V V s
= ⋅
+ = → = −
⇒ = ⋅ = ⋅ −
= − +
′ = − + = ⇒ = =
′′ = − +
′′ ′′= > = − < ⇒ =
( ) 3maxür 3 cm und 3 cm erreicht. 3 27 cms h V V= = = =
r
h
( )
( )
2
2 32
2 22
... Durchmesser des Gefässes (in cm) ... Höhe des Gefässes (in cm)
Fläche: Grundfläche Mantelfläche 2
500Nebenbedingung: 0.5 Liter 500 cm in cm
500 1000Zielfunktion: 2 i
r h
A r rh
r h hr
A r r r rr r
= + = π + π
π = = ⇒ =π ⋅
= π + π ⋅ = π +π ⋅
( )
( )
( ) ( )
2
2
3
n cm
1000Ableitung 0 setzen: 2 0
5.42 cm1000Test: 2 ; 5.42 18.85 0
A r rr
r
A r Ar
′= = π − =
⇒ =
′′ ′′= π + = >
ü
4 8 12 16 20 24
500
1000
1500
2000
r (in cm)
A (cm2)
Min (5.42 | 276.8)2
min
Wenn 5.42 cm und 5.42 cm,dann wird am wenigsten Blechbenötigt, 276.8 cm .
r h
A
= =
=
Mathematik 2 / Differentialrechnung
93
3. In der nebenstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Bauklotzes gezeichnet, dessen Inhalt A = 50 cm2 betragen soll. Der Umfang des Querschnitts sei mit U bezeichnet.
a) Bestimme die Funktion, wie man aus x den Umfang U berechnet. b) Bestimme x so, dass der Umfang U minimal wird. c) Wie gross ist der minimale Umfang Umin?
( )
( )
( )
2
2
2
2
a) Zielgrösse: 4 2 2 π 6 π 2 (1)π 25 πNebenbedingung: 50 4 (2)
2 2 8
Zielfunktion:25 π 5π 25(2) in (1) 6 π 2 62 8 4
5π 25b) 64
25 5π0 64
25 100 105π 24 5π 2464
U x y x x x x yxy x y x
x
U x x x x x xx x
U xx
U xx
x x
= + + + = + +
⋅= ⋅ − → = +
⇒ = + + ⋅ + = + +
′ = + −
′ = ⇒ = +
⇒ = = ⇒ =+ ++
( ) ( )3
min
cm 1.587 cm5π
50Test: ; 1.587 0
c) 31.51cm
U x Ux
U
≈
′′ ′′= >
=
ü
