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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Mathematisches Modellieren
im Unterricht
Katja Maaß
Pädagogische Hochschule Freiburg
Institut für Mathematische Bildung Freiburg
Winterthur, den 24.11.12
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Struktur
• Warum Realitätsbezüge?
• Modellierungsprozess
• Welche Aufgaben?
• Und im Unterricht?
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Warum Realitätsbezüge?
Annika fährt mit ihren Eltern in den Urlaub. Das Urlaubsziel, die Nordsee, ist 640 km entfernt. Pro Stunde schaffen sie ungefähr 80 km. Wie lange brauchen sie, um ihr Urlaubsziel zu erreichen?
Annika fährt mit ihren Eltern in den Urlaub. Leider gibt es einen Stau, das Auto steckt fest. Im Radio wird durchgesagt, dass der Stau 20 km lang ist. Wie viele Menschen stecken wohl in diesem Stau, fragt sich Lina.
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Warum Realitätsbezüge?
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Marko: Ich rechne trotzdem mal los, weil das Thema ist ja egal, man muss nur wissen , wie das Ganze geht. Also, wenn der für was anderes gespart hätte, und ich hätte das gar nicht gewusst, wär‘s auch egal gewesen. Weil, das brauche ich ja gar nicht.
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Warum Realitätsbezüge?
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I: Fällt dir gar nichts ein, wo du Mathe sonst noch brauchst? S: Doch wenn ich zum Kiosk geh und mir was hole, muss ich das auch zusammenrechnen. I: Und noch was anderes, als wie beim Einkaufen? S: Ja beim Einkaufen halt muss ich auch gucken wie viel Geld ich zurückbekomme. (Schüler Klasse 4)
I: Und kannst du denn das was du in Mathe lernst auch in der Freizeit oder im Alltag benutzen? S: Nein, eigentlich nicht. Halt bei den Hausaufgaben. (Schüler Klasse 3)
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Warum Realitätsbezüge?
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Was bedeutet die Aussage „Im Berufsverkehr sitzen durchschnittlich 1,2
Personen im PKW“?
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Warum Realitätsbezüge?
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• eine bessere Umwelterschließung
• Höheres Interesse für Mathematik
• Erwerb von Problemlösestrategien
• Verbessertes Verständnis von Mathematik (z.B.
Operationsverständnis,…)
• Den Nutzen von Mathematik für das Leben/Beruf
erkennen
• Mathematik zum Lösen von komplexen Problemen
aus der Realität verwenden können und dadurch
Wozu braucht man Mathematik?
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Wozu braucht man Mathematik? • Basis vieler Wissenschaften
• Grundlage für viele Dinge des Alltags.
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Natu
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Psycholo
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Psycho
Technik
TECH
Geschäftsangele
gen
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GELD
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GRAPHIK GP
S
GPS
Flu
gsic
heru
ng
FLUG
Landkart
en
KARTEN
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Wozu braucht man Mathematik?
Bedeutung von
Mathematik
Technisierung
Mathematik weniger sichtbar
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Relevanz-
paradoxon
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Wie wird Mathematik auf die Realität
angewendet?
Mathematik Realität
nicht exakt
oft unkalkulierbar
komplex
selten in Formeln erfassbar
abstrakt
logisch
sehr exakt
formal
eindeutig
Wie passt die „exakte Mathematik“ auf die Realität?
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Struktur
• Warum Realitätsbezüge?
• Modellierungsprozess
• Welche Aufgaben?
• Und im Unterricht?
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Modellierungsprozess
Modelle dienen einem Zweck:
• vorhersagen
• erklären
• beschreiben
• vorschreiben
Grundlage: Modell, das mathematisch erfasst werden kann.
Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der Realität, die nur
gewisse einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigt.
deskriptiv
normativ
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Problem Realität
Modell
Lösung Realität
?
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Stau Annika möchte mit ihren Eltern in die Sommerferien fahren. Doch leider geht es nicht vorwärts. Stau! Seit Stunden stehen sie auf der Autobahn fest, im Radio hört Annika, dass der Stau 20 km lang ist. Annika ist durstig, doch endlich kommt jemand vom Roten Kreuz und bringt Wasser. Wie viele Menschen müssen in so einem Stau eigentlich versorgt werden?
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Modellierungsprozess
Reales
Problem
Mathematische
Lösung
Situationsmodell
Mathematisches
Modell
verstehen
Vereinfachen
Mathe-
matisieren
mathematisch
arbeiten
validieren Realität
Mathematik
Interpretierte
Lösung
interpretieren = 30.000
Genauigkeit?
Modell
angemessen?
30.000 Personen auf der Autobahn
3 Personen/Auto
PKW-Länge: 4 m
Abstand: 1 m
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Modellierungsprozess
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Reales
Problem
Mathematische
Lösung
Realmodell
Mathematisches
Modell
vereinfachen
mathematisieren
mathematisch
arbeiten
validieren
Realität
Mathematik
Interpretierte
Lösung
interpretieren
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Zähneputzen
Nach dem Zähneputzen ist auf einem
Backenzahn ein Bakterium übrig
geblieben.
Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass
die Anzahl der Bakterien nach eine
Stunde verdoppelt wird.
Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder
4 Stunden vorhanden? Stelle eine
Funktionsgleichung auf.
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Zähneputzen
• Zahnärzte empfehlen, die Zähne mindestens morgens und abends zu putzen, am besten jedoch nach jeder Mahlzeit, da sich mit jeder Speise Bakterien auf den Zähnen absetzen, die sich anschließend vermehren.
• Welche Konsequenzen hat es, wann man nach einer Mahlzeit 6, 12, 24, 48 Stunden die Zähne nicht putzt? Entwickle ein geeignetes mathematisches Modell, das zeigt, wie schnell sich Bakterien vermehren und somit zu Zahnproblemen führen können.
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Struktur
• Warum Realitätsbezüge?
• Modellierungsprozess
• Welche Aufgaben?
– Umfassende Aufgaben
– Aufgaben zum Einführen
• Und im Unterricht?
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Ein wunderschöner
mathematischer Morgen • Schüler sollen eigene Fragen zum typischen Morgen sammeln:
– "Wie viel Zahnbürsten verbrauche ich in meinem Leben?",
– "Wie viel Liter und was trinke ich / die Klasse / die Schule
jeden Morgen zum Frühstück?".
• Partnerarbeit
– Informationen beschaffen
– Fragen beantworten
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Ein wunderschöner
mathematischer Morgen • Poster erstellen
• Gallery walk
• Klasse 6-10
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Ein wunderschöner
mathematischer Morgen • Reflexion und Bewertung der Poster
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Unterschriften sammeln gegen ein neues Gesetz
Erst vor kurzem, am 25. April 2006, hat die spanische Opposition dem Kongress 4.000.000
Unterschriften gegen ein neues Gesetz vorgelegt, das von der Regierung unterstützt wurde.
Alle Zeitungen in Spanien veröffentlichten Fotos der großen Kisten und
der 10 Kleinlastwagen, die für den Transport der Unterschriften zum Kongress nötig waren.
Kann das stimmen?
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Und wie finden die Schüler das?
• Schülermeinungen
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Hinführen zum Modellieren
• Es gibt viele Arten von Aufgaben, die
geeignet sind, um Schüler in das
Modellieren einzuführen.
– Teilschritte im Modellieren üben
– Aufbau von Größenvorstellungen
– Aufgaben nicht zu offen wählen
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Hannah‘s Fahrt zur Großmutter Die Zugfahrt von Stuttgart nach Ulm dauert 1
Stunde und 15 Minuten und kostet für sie als
Jugendliche hin und zurück 16 €. rwachsene
müssten dafür 32 € zahlen.
Um zum Hauptbahnhof in Stuttgart zu
kommen, nimmt Hannah die S-Bahn. Hier
findet sie im Internet folgende Preise:
• Einzelfahrschein: 2 €,
• Fahrschein für Hin- und Rückfahrt: 3 €
• Tageskarte: 5 €.
Auch in Ulm muss Hannah noch einmal ein
Stück mit dem Bus fahren. Hier gibt es nur
Einzelfahrscheine für 1 € und Tageskarten
für 3 €.
Wie hoch sind die Fahrtkosten für
Hannah?
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Creative Commons from Wikimedia:
Many thanks to ArtVandelay13
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Wassertropfen
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Aus: Schweizer
Zahlenbuch 5, Klett und
Balmer Verlag Zug
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Wetter
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Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug
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Eisdiele In Leos Wohnort Grübelfingen gibt es vier Eisdielen.
Leo steht – wie so oft in diesem Sommer mal wieder
vor seiner Lieblingseisdiele, dem Eiscafe Sorrento.
Eine Kugel Eis kostet 1,20 €.
Er fragt sich, für wie viel Geld der Besitzer wohl
an einem heißen Sommersonntag Eis verkauft.
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Leo geht wie folgt vor:
Er fragt am nächsten Tag seine drei besten Freunde, wie viel Kugeln Eis sie
am Sonntag gekauft haben und erhält folgende Antworten:
Markus: 3 Kugeln, Peter: 5 Kugeln Uli: 4 Kugeln
Als Durchschnitt errechnet Leo (3+4+5): 3 = 4 Kugeln pro Tag. Er
multipliziert das Ergebnis mit der Anzahl der Einwohner von Grübelfingen
(30 000) und teilt, da es vier Eisdielen gibt, das Ergebnis durch 4. Pro Tag
werden in der Eisdiele Sorrento also 30000 Kugeln verkauft.
Einnahmen: 30000 *1,20 € = 36000 €
Was meinst du dazu? Wie würdest du vorgehen?
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Flugzeuge
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Aus: Schweizer Zahlenbuch 5, Klett und Balmer Verlag Zug
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Aufgaben – woher?
• Schulbuchaufgaben
• „Mathematische Brille“ aufsetzen
• Aus der Literatur
– Bücher zum Modellieren
– Istron-Reihe (www.franzbecker.de)
– www.stratum-projekt.de
(Modellierungseinheiten, Kl. 6,
Hauptschule)
– www.offeneAufgaben.de 42
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Struktur
• Warum Realitätsbezüge?
• Modellierungsprozess
• Welche Aufgaben?
• Und im Unterricht?
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Und im Unterricht?
• Unterrichtsmethoden wählen, die den
Schülern Freiraum lassen: Z. B.
– Einstieg im Plenum – Brainstorming
– Erarbeitung in Gruppen
– Schüler präsentieren ihre Lösung
– Reflexion
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Und im Unterricht?
• Grundsätzlich – die Methode allein
macht es nicht
– Gruppenarbeit ist nicht per se gut
• Es kommt auf die Haltung der
Lehrperson an.
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Und im Unterricht?
• Die Schüler können
das nicht.
• Hoffentlich finden die
Schüler die richtige
Lösung.
• Ich muss alle Fehler
vor der Präsentation
verbessern.
• Was kann ich tun, um
den Schülern zu
helfen?
• Ich bin gespannt
darauf, welche
Lösungswege die
Schüler finden…
• Aus Fehlern kann
man lernen.
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Wie kann ich den Schülern
helfen? • Aufgabenauswahl
• Metakenntnisse über den
Modellierungsprozess
• Prinzip der minimalen Hilfe
• Kompetenzen gezielt fördern
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Metakognition im Unterricht
• Wissen über Modellierungsprozesse, Strategien
• Reflexion
• Unterschiedliche Vorgehensweisen diskutieren.
• Eigenen Selbstüberwachung fördern
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Wie kann ich den Schülern
helfen? • Aufgabenauswahl
• Metakenntnisse über den
Modellierungsprozess
• Prinzip der minimalen Hilfe
• Kompetenzen gezielt fördern
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Prinzip der minimalen Hilfe
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Motivation
Fragen, Rückmeldung
Strategische Hilfe
Inhaltliche Hilfe
Weniger ist mehr!
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Wie kann ich den Schülern
helfen? • Aufgabenauswahl
• Metakenntnisse über den
Modellierungsprozess
• Prinzip der minimalen Hilfe
• Kompetenzen gezielt fördern
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Kompetenzen gezielt fördern
• Beispiel: Wie können Schüler lernen, ihre
Ergebnisse auf einem Plakat zu
präsentieren?
• Klarheit über Unterrichtsziele
– Heute geht es darum ein Plakat zu zeichnen
– Danach: Vergleich der Plakte
– Methoden als Hilfe – Post-its: Jeder wird genötigt,
etwas zu notieren.
– Diskussion / Fazit
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Und im Unterrichtalltag?
• Die Schüler wollen das nicht.
• Ich habe im Unterricht dazu
keine Zeit.
• Die Eltern wollen das nicht.
• Modellieren kann man nicht
abprüfen.
• Ich habe schlechte Erfahrung
damit gemacht, deshalb lasse
ich es.
• Nicht jedes Thema kann allen
gefallen.
• Beim Modellieren lernt man
viel Mathematik.
• Wie kann ich die Eltern richtig
informieren?
• Wie kann ich modellieren
prüfen?
• Ich lasse mir Zeit und probiere
immer mal wieder was. Es ist
klar, dass nicht alles gleich
klappt.
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Drei Zugänge im Schulalltag
• Größere Aufgaben zwischen 2 Einheiten
• Immer mal wieder kleinere
Realitätsbezüge/offene Aufgaben in den
Einheiten
• Einheiten überwiegend offen /
realitätsbezogen gestalten
Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Schreibe auf, was du deiner Meinung nach
durch die realitätsbezogenen Aufgaben gelernt
hast.
„Sehr viel: 1. Mathe kommt überall vor. 2.
Mathe kann Spaß machen. 3. Jeder Mensch
braucht Mathe. 4. Welchen Handy-Anbieter ich
nehme. 5. …Lauter wichtige Dinge eben.“
Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Materialien
• www.offeneAufgaben.de
• www.stratum-projekt.de
• Istron-Reihe: Materialien für einen realitätsbezogenen
Unterricht, Band 0 – 14, Verlag Franzbecker
• Maaß (2007): Mathematisches Modellieren. Cornelsen
Scriptor
• Greefrath, Gilbert (2006): Modellieren lernen. Aulis-Verlag
• Leuders, Timo, Maaß, Katja (2007): Und man braucht sie doch! Nützlichkeit von Mathematik erfahrbar machen, Praxis der Mathematik in der Schule, Februar 2007.
• Leuders, Timo, Maaß, Katja (2005): Modellieren bildet…, Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 3.
• Greefrath, Gilbert (2010): Didaktik des Sachrechnens
•
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Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg IMBF
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
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