Embed Size (px)
Citation preview
Determinandid
Determinantide arendusvalemid
Mati Valjas
Tallinna Tehnikaulikool
Determinandid – p. 1/19
Determinant
Olgu antud determinant
|A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
ai1 . . . aij . . . ain
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Determinandid – p. 2/19
Alamdeterminant
Def. Determinandi |A| elemendi aij algebraliseks täendiks ehkalamdeterminandiks nimetatakse determinati
Aij =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1,j−1 0 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 0 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
0 . . . 0 1 0 . . . 0
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 0 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . an,j−1 0 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Determinandid – p. 3/19
Arendusteoreem
Lause. Determinat on võrdne rea (veeru) elementide ja nendealgebraliste täiendite korrutiste summaga.Tõestus.
|A| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
ai1 . . . aij . . . ain
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
ai1 + 0 + . . .+ 0 . . . 0 + . . .+ aij + . . .+ 0 . . . 0 + . . .+ ain
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
Determinandid – p. 4/19
Toestus
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
ai1 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+ . . .+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . aij . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+ . . .
. . .+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 0 . . . ain
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Determinandid – p. 5/19
Toestus
Kasutades omadust võime igas liidetavas ühise teguri tuuadeterminandi märgi ette:
|A| = ai1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
1 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+ . . .+ aij
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+ . .
. . .+ ain
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 0 . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Determinandid – p. 6/19
Toestus
Kasutades omadust saame i-nda rea elemendi 1 kohale ja allajäävad elemendid teisendada nullideks. Vaatame konkteetsusemõttes esimeses liidetavas olevat determinanti. Liidame selleesimese rea elementidele juurde −a11 kordse i-nda rea, teiselereale −a21 kordse i-nda rea, . . . , viimasele reale −an1 kordsei-nda rea, seega:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
1 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 . . . a1j . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . .
1 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . anj . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= Ai1
Determinandid – p. 7/19
Toestus
Analoogiliselt, kõik ülejäänud liidetavateks olevad determinandidon võrdsed elemendile vastava algebralise täendiga, järelikult:
|A| = ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+ ainAin =
n∑
p=1
aipAip.
Determinandid – p. 8/19
Toestus
Analoogiliselt, kõik ülejäänud liidetavateks olevad determinandidon võrdsed elemendile vastava algebralise täendiga, järelikult:
|A| = ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+ ainAin =
n∑
p=1
aipAip.
Seda valemit nimetatakse determinandi arendusvalemiksi−nda rea järgi.
Determinandid – p. 8/19
Toestus
Analoogiliselt, kõik ülejäänud liidetavateks olevad determinandidon võrdsed elemendile vastava algebralise täendiga, järelikult:
|A| = ai1Ai1 + . . .+ aijAij + . . .+ ainAin =
n∑
p=1
aipAip.
Seda valemit nimetatakse determinandi arendusvalemiksi−nda rea järgi.
Arendusvalem j−nda veeru järgi on kujul:
|A| = a1jA1j + . . .+ aijAij + . . .+ anjAnj =
n∑
p=1
apjApj .
Determinandid – p. 8/19
Determinantide teooria pohivalemid
Asendame arendusvalemis i−nda rea elemnendid ai1, . . . , ainvastavate elementidega k−ndast reast ak1, . . . , akn, seega
ak1Ai1 + . . .+ akjAij + . . .+ aknAin =
n∑
p=1
akpAip = 0,
kuna kirjeldatud summa esitab determinandi, milles on kaksvõrdset rida.
Determinandid – p. 9/19
Determinantide teooria pohivalemid
Asendame arendusvalemis i−nda rea elemnendid ai1, . . . , ainvastavate elementidega k−ndast reast ak1, . . . , akn, seega
ak1Ai1 + . . .+ akjAij + . . .+ aknAin =
n∑
p=1
akpAip = 0,
kuna kirjeldatud summa esitab determinandi, milles on kaksvõrdset rida.
Need arendusvalemid saame kokku võtta järgmiselt:
ai1Ak1 + . . .+ aijAkj + . . .+ ainAkn =
n∑
p=1
aipAkp = |A|δik.
Determinandid – p. 9/19
Determinantide teooria pohivalemid
Need arendusvalemid saame kokku võtta järgmiselt:
ai1Ak1 + . . .+ aijAkj + . . .+ ainAkn =
n∑
p=1
aipAkp = |A|δik.
Determinandid – p. 10/19
Determinantide teooria pohivalemid
Need arendusvalemid saame kokku võtta järgmiselt:
ai1Ak1 + . . .+ aijAkj + . . .+ ainAkn =
n∑
p=1
aipAkp = |A|δik.
Kuna determinandi read ja veerud on samaväärsed, siis kehtibsamasugune valem veergude jaoks
a1iA1k + . . .+ ajkAjk + . . .+ aniAni =
n∑
p=1
apiApk = |A|δik.
Determinandid – p. 10/19
Determinantide teooria pohivalemid
Need arendusvalemid saame kokku võtta järgmiselt:
ai1Ak1 + . . .+ aijAkj + . . .+ ainAkn =
n∑
p=1
aipAkp = |A|δik.
Kuna determinandi read ja veerud on samaväärsed, siis kehtibsamasugune valem veergude jaoks
a1iA1k + . . .+ ajkAjk + . . .+ aniAni =
n∑
p=1
apiApk = |A|δik.
Neid valemeid nimetatakse determinantide teooriapõhivalemiteks .
Determinandid – p. 10/19
Miinor
Def. Determinandi |A| elemendile aij vastavaks miinoriksnimetatakse determinanti, mis saadakse esialgsestdeterminandist i− nda rea ja j−nda veeru elementide ärajätmisel, so
Mij =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Determinandid – p. 11/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
Võrreldes elemendile aij vastava alamdeterminandi Aij jamiinori Mij elemente, näeme, et suur osa neist langevad kokku.Seetõttu tekib küsimus, kuidas on omavahel seotudalamdeterminant ja miinor. Uurime kõigepealt elemendile a11vastavat alamdeterminanti
A11 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 0 . . . 0
0 a22 a23 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 an2 an3 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=∑
Pn
(−1)σa1α1a2α2
a3α3. . . anαn
=
=∑
Pn−1
(−1)τ1a2α2a3α3
. . . anαn=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a22 a23 . . . a2n
a32 a33 . . . a3n
. . . . . . . . . . . .
an2 an3 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= M11,
Determinandid – p. 12/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
A11 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 0 . . . 0
0 a22 a23 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . .
0 an2 an3 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=∑
Pn
(−1)σa1α1a2α2
a3α3. . . anαn
=
=∑
Pn−1
(−1)τ1a2α2a3α3
. . . anαn=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a22 a23 . . . a2n
a32 a33 . . . a3n
. . . . . . . . . . . .
an2 an3 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= M11,
kus Pn−1 on elementidest (2, 3, ..., n) moodustatudpermutatsioonide hulk ja τ = inv(α2, α3, . . . , αn). Järelikultelemendile a11 vastava algebralise täiendi ja miinori korral kehtibvõrdus A11 = M11.
Determinandid – p. 13/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
Uurime järgnevalt elemendile aij vastava alamdeterminandi Aij
ja miinori Mij vahelist seost.
Aij =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1,j−1 0 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 0 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
0 . . . 0 1 0 . . . 0
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 0 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . an,j−1 0 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
Determinandid – p. 14/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
= (−1)i−1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
0 . . . 0 1 0 . . . 0
a11 . . . a1,j−1 0 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 0 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 0 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . an,j−1 0 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
Determinandid – p. 15/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
= (−1)i−1(−1)j−1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 0 . . . 0 0 . . . 0
0 a11 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
0 ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 an1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
Determinandid – p. 16/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
Pärast lihtsustamist ja esimese rea ning veeru elementide ärajätmist saame
Aij = (−1)i+j
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (−1)i+jMij .
Determinandid – p. 17/19
Miinori ja alamdeterminandi seos
Pärast lihtsustamist ja esimese rea ning veeru elementide ärajätmist saame
Aij = (−1)i+j
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 . . . a1,j−1 a1,j+1 . . . a1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j+1 . . . ai−1,n
ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an1 . . . an,j−1 an,j+1 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (−1)i+jMij .
Järelikult elemendi aij algebralise täiendi ja miinori vahelineseos on:
Aij = (−1)i+jMij .
Determinandid – p. 17/19
Arenusvalem miinorite kaudu
Kasutades leitud seost saame arendusvalemid esitada kujul
|A| =
n∑
p=1
(−1)i+paipMip.
|A| =
n∑
p=1
(−1)p+japjMpj .
Determinandid – p. 18/19
Omadus 8
Arendades determinanti, mille kõik elemendid peadiagonaali allon nullid, esimese veeru järgi:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= a11
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a22 . . . a2n
. . . . . . . . .
0 . . . ann
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= . . . = a11a22 . . . ann.
Determinandid – p. 19/19
