Matrices y Sistemas Lineales - Christian Páez Páez

8/15/2019 Matrices y Sistemas Lineales - Christian Páez Páez

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Matrices y sistemas lineales

Christian Páez PáezEscuela de Matématica,

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Este libro se distribuye bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento - No Comercial - Sin obra derivada 3.0 Unported

License. Esta licencia permite copiado y distribución gratuita, pero no permite venta ni modificaciones de este material. Ver http://creativecommons.org/

Límite de responsabilidad y exención de garantía: El autor ha hecho su mejor esfuerzo en la preparación de este material. Esta edición se proporciona

“tal cual”. Se distribuye gratuitamente con la esperanza de que sea útil, pero sin ninguna garantía expresa o implícita respecto a la exactitud o completitud

del contenido.

La Revista digital Matemática, Educación e Internet es una publicación electrónica. El material publicado en ella expresa la opinión de sus autores y no

necesariamente la opinión de la Revista, ni la del Instituto Tecnológico de Costa Rica.




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Correo Electrónico: [email protected]

Escuela de Matemática

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Apdo. 159-7050, Cartago

Teléfono (506)25502225

Fax (506)25502493

Páez Páez Christian.

- Matrices y sistemas lineales/Christian Páez P. - 1ra ed.

- Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2013.

92 pp.

ISBN Obra Independiente: 978-9968-641-15-9

1. Matrices. 2. Determinantes. 3. Sistemas lineales.


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Prólogo

Este libro de matrices y sistemas lineales surge de apuntes que se han utilizado en varias oportu-nidades en cursos que se imparten a nivel universitario, principalmente, en el curso álgebra linealpara Computación del Tecnológico de Costa Rica.

Gracias a sugerencias y observaciones que han realizado profesores y estudiantes, este libro pre-senta una estructura en el desarrollo de los contenidos con la que se espera ayudar a los estu-diantes de álgebra lineal, principalmente. El gran número de ejercicios resueltos con detalladaexplicación, las demostraciones de teoremas expuestas y justificadas en cada uno de sus pasosrealizados y, además, los ejercicios propuestos en cada una de las secciones, pretenden que losestudiantes se apropien de destrezas y habilidades importantes en su formación académca.

La teoría se desarrolla considerando aspectos de rigurosidad y formalidad, pero no alcanza elnivel de formalismo que en matemática pura se espera, sino que dicha rigurosidad va de la manocon la población a la que va dirigo lo desarrollado en el libro: estudiantes de Ingenierías y deenseñanza de la matemática.

Cartago, 2013. EL AUTOR


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Contenido

1 Introducción 2

2 Matrices 3

2.1 Conceptos básicos y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Tipos de matrices y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Matrices no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Reducción de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Determinantes 38

3.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Determinantes e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Sistemas lineales 60

4.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Método de Gauss–Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Ejemplos (ejercicios resueltos) 75

6 Bibliografía 92


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1 Introducción

Asociados con las herramientas más importantes del Álgebra Lineal se encuentran los temas rela-cionados con matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales, que permiten estudiar

con mayor detalle muchas áreas de las matemáticas.

Por ejemplo, las matrices juegan un papel importante en áreas como: las ciencias sociales y natu-rales, los negocios, diversas ingenierías, computación y, además, matemáticas pura y aplicada.

Se estudiarán y desarrollarán temas relacionados con el álgebra de las matrices, aplicaciones deestas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y temas relacionados con determinantesy sus aplicaciones. En cada uno de los capítulos se presentan ejemplos resueltos, teoremas, de-mostraciones y ejercicios propuestos. El último capítulo contiene una importante variedad deejercicios resueltos asociados con los temas desarrollados.


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2 Matrices

Las matrices, sus propiedades y aplicaciones, son de los temas más importante en el estudio delálgebra lineal. Este tipo de objetos matemáticos permiten representar en forma ordenada y con-

veniente variada información con el fin de facilitar su lectura.Por ejemplo, usualmente las calificaciones finales de los estudiantes en los diversos cursos delTEC son mostradas en forma tabular. En la tabla que se muestra se presentan las calificaciones detres estudiantes del curso de álgebra lineal para computación impartido en algún semestre previo.

EP1 EP2 EP3 NF

Ana Lucía 70 78 94 80Ricardo 47 58 65 55Ernesto 68 72 66 70

En esta tabulación de datos EP1, EP2, EP3 y NF significan, respectivamente, calificación del primerexamen parcial, calificación del segundo examen parcial, calificación del tercer examen parcial y

nota final.Determinar la calificación de Ricardo en el tercer examen parcial o determinar la nota final deAna Lucía sería muy sencillo con ayuda de esta tabulación. Si quedan claramente definidos losencabezados y el orden para los nombres de los estudiantes, el arreglo anterior se puede resumirmediante la representación de tres filas y cuatro columnas de números reales que se muestra acontinuación:

70 78 94 8047 58 65 5568 72 66 70

Se definirán algunos conceptos básicos relacionados con el tema de matrices, tipos especiales dematrices, operaciones que se definen entre matrices; además, se estudiará el concepto de matriz

inversa y se definirán las operaciones elementales sobre las filas de alguna matriz.

2.1 Conceptos básicos y definiciones

Se iniciará con la definición de algunos conceptos básicos relacionados con matrices y aspectosvarios de notación.


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Matrices

Una matriz en R es un arreglo rectangular de números reales distribuidos en filas y columnas.

Definición 2.1 (Matriz en R)

En general, una matriz real A que tiene m filas y n columnas es un ordenamiento de númerosreales de la forma:

A =

a11 a12 a13 · · · a1 j · · · a1na21 a22 a23 · · · a2 j · · · a2n

... ...

... ...

...ai1 ai2 ai3 · · · ai j · · · ain...

... ...

... ...

am1 am2 am3 · · · am j · · · amn

donde ai j ∈R, ∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Si una matriz A tiene m filas y n columnas se dice que A es de tamaño m×n o que A es deorden m×n. Si m = n, se dice que A es de orden nCada número real ai j del ordenamiento es llamado elemento de A o entrada de A

A(i) representa la i-ésima fila de A; así,

A(i) =

ai1 ai2 ai3 · · · ain

A( j) representa la j-ésima columna de A; así,

A( j) =

a1 j

a2 j

a3 j...

am j

El elemento ai j, entrada de A que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna,a

es tambiéndenotado como Ai jEl conjunto formado por todas las matrices de tamaño m×n con entradas reales es denotadocomo M m×n (R). Si m = n, simplemente se escribe M n (R)

aEn casos de ambigüedad, con respecto al número de fila o de columna, es válida la notación ai, j

Notación


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Considere la matriz B, definida por

B =

−5 3 0 −71 0,75 −31 0,5

ln 2 e−7 4 cos e

1 Determine el tamaño de B

2 Enuncie, en caso de existir, el valor de B23

, B41

, B11

, B14

, B34

y B31

, respectivamente.

3 Determine el valor de la expresión siguiente: B13· B

32 + B

33

B22

Ejemplo 2.1

1 B es de tamaño 3×4, ya que B tiene tres filas y cuatro columnas.

2 B23

= −31 B

41 no existe

B11

= −5 B

14 = −7

B34

= cos e

B31

= ln 2

3 B13· B

32 + B

33

B22

= 16

3 , ya que

B13 ·

B32

+ B

33

B22= 0

·e−

7 + 4

0,75

= 0 + 16

3

= 16

3

Solución

La matriz D, definida por

D =

8

0

π

−7

es una matriz de tamaño 4×1 en la que D

11 + D

41

D

31

5 + D21

+ 2 D31

= 11π

5 , ya que

Ejemplo 2.2


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Matrices

D11 + D41 D315 + D

21

+ 2 D31

=

8 +−7 ·π5 + 0

+ 2 ·π

= 1 ·π

5 + 2π

= π

5 + 2π

= 11π

5

Ejemplo 2.2 - continuación

La matriz C , definida porC =

−7 21 −3 −1 0 es una matriz de tamaño 1×5, en la que C

14 = −1

Ejemplo 2.3

Sea A ∈M 3 (R

). Determine la matriz A, de manera explícita, si se tiene que:

Ai j =

(−1) j+12i si i = 1, 2, 3, j = 1

i (−1)i+ ji + j −1 si i = 1, 2, 3, j = 2, 3

Ejercicio 2.1

Sean A, B∈M m

×n (R). Se dice que A y B son iguales, y se escribre A = B, si se cumple que

Ai j = Bi j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Definición 2.2 (Igualdad de matrices)

De acuerdo con la definición anterior, para determinar si dos matrices son iguales se debe cumplirque dichas matrices tengan el mismo tamaño y que, además, todas sus entradas correspondientessean iguales.


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Determine, de ser posible, valores para las incógnitas x, y, z ∈ R de manera que se cumpla, respec-

tivamente, la igualdad entre cada par de matrices.1

E =

−5 −7 y 0,5

−√ 16 x−1

F =

z + 1 −√ 491 cos

π

3

− ln e4 y−2 x

2

A =

x2−1 92 −52 2

y z + y −3 −1

D =

3 (−3)4 −25 y + z y 2 yz −1

Ejercicio 2.2

Sea A ∈M m×n (R). La matriz transpuesta de A, denotada como At , es la matriz de tamaño n×m, talque

At

i j = A ji ,∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

Definición 2.3 (Matriz transpuesta de una matriz)

Con base en lo anterior, se puede asegurar que la matriz transpueta de A es aquella matriz que seobtiene a partir de A luego de escribir cada fila i como columna i. En general, si

A =

a11 a12 a13 · · · a1na21 a22 a23 · · · a2n

..

.

...

...

...

am1 am2 am3 · · · amn

se tiene que

At =

a11 a21 · · · am1a12 a22 · · · am2a13 a23 · · · am3

... ...

...a1n a2n · · · amn

Si D ∈M 4×2 (R), tal que Di j = (−1

)i+ j

(2

j− i) Min (i, j)

,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ 4, j = 1, 2, determine lo que sepide en cada caso.

1 D

2 Dt

3 Dt t

4 D(1)

5 D(2)

6 D(2)

7 Dt (2)

8 Dt (1)

9 D(2)t

Ejercicio 2.3


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Matrices

Demuestre que si A ∈M m×n (R

), entonces A

t t = A

Ejemplo 2.4

Para demostrar que

At t

= A, con A ∈ M m×n (R), basta demostrar (entrada por entrada) que At t

i j= Ai j ,∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Veamos:∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n se tiene que

At t i j

= At ji

definición 2.3

= Ai j definición 2.3

Así,

At t

i j= Ai j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

∴

At t

= A

Solución

2.2 Tipos de matrices y resultados

Frecuentemente, se estará trabajando con matrices que presentan cierta particularidad; algunasde ellas se definen a continuación.

Una matriz A es una matriz cuadrada si, y solo si, A ∈M n (R)Definición 2.4 (Matriz cuadrada)

La definición anterior indica que una matriz cuadrada es aquella que posee igual número de filasy de columnas; es decir, un arreglo de números de tamaño n×n. Si A es una matriz de tamañon×n, se dice que A es de orden n. Toda matriz cuadrada A de orden n es un arreglo de la forma

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... ...

. . . ...

an1 an2 · · · ann

Los elementos a11, a22, a33, . . . , ann conforman lo que se denomina diagonal principal1 de A.

1En adelante se empleará simplemente el término diagonal de A para hacer referencia a estos elementos; note que estees un concepto exclusivo para matrices cuadradas.




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Se dice, además, que el elemento Ai j está bajo la diagonal de A si se cumple que i > j; similar-mente, si i < j se dice que el elemento Ai j está sobre la diagonal de A.

Enuncie alguna matriz B que cumpla, simultáneamente, las condiciones siguientes:

Los elementos de su diagonal son entradas de la forma 2λ, con λ ∈ Z B es de orden 6.

Los elementos sobre su diagonal son menores que la suma de los elementos de la diagonal.

Bi j = j− i,∀i, j con i > j

Ejercicio 2.4

Una matriz A es una matriz columna si, y solo si, A ∈M m×1 (R)Definición 2.5 (Matriz columna)

En general, una matriz columna de tamaño m×1 es un arreglo de m filas y 1 columna de la forma

a11

a21

a31.

..am1

Una matriz A es una matriz fila si, y solo si, A ∈M 1×n (R)Definición 2.6 (Matriz fila)

En general, una matriz fila de tamaño 1×n es un arreglo de 1 fila y n columnas de la forma

a11 a12 a13 · · · a1n

Una matriz A es una matriz identidad si, y solo si, los elementos de su diagonal son todos igualesa 1 y sus restantes elementos son iguales a 0.

Definición 2.7 (Matriz identidad)

La matriz identidad de orden n será denotada como I n; de esta manera, se tiene que

I ni j =

1 si i = j0 si i = j ∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n


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Matrices

1 La matriz identidad de orden 5 es la matriz

I 5 =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

2 La matriz identidad de orden 2 es la matriz

I 2 =

1 0

0 1

Ejemplo 2.5

Sea A ∈M m×n (R). La matriz A es una matriz nula si, y solo si, todas sus entradas son iguales a 0.Definición 2.8 (Matriz nula)

La matriz nula de tamaño m×n será denotada como O m×n (si m = n se denota como O n); de estamanera, se tiene que

O m×ni j = 0,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

1 La matriz nula de tamaño 2×5 es la matriz

O 2×5 =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2 La matriz nula de tamaño 1×4 es la matriz

O 1×4 = 0 0 0 0 3 La matriz nula de orden 3 es la matriz

O 3 =

0 0 00 0 0

0 0 0

Ejemplo 2.6




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Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz diagonal si, y solo si, todos los elementos de A que noestán en su diagonal son iguales a 0.

Definición 2.9 (Matriz diagonal)

Con base en la definición anterior, si A es una matriz diagonal de orden n, se cumple que

Ai j =

aii si i = j0 si i = j donde aii ∈R,∀i ∈N con 1 ≤ i ≤ n

Es decir, A es de la forma

A =

a11 0 0 · · · 00 a22 0 · · · 00 0 a33 · · · 0... ... ... . . . ...0 0 0 · · · ann

Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz triangular superior si, y solo si, Ai j = 0, ∀i, j con i > jDefinición 2.10 (Matriz triangular superior)

De esta manera, si A es una matriz triangular superior todos los elementos de A que están bajo sudiagonal son iguales a 0; es decir, A es de la forma

A =

a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n...

... ...

. . . ...

0 0 0 · · · ann

Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz triangular inferior si, y solo si, Ai j = 0, ∀i, j con i < jDefinición 2.11 (Matriz triangular inferior)

Así, si A es una matriz triangular inferior todos los elementos de A que están sobre su diagonalson iguales a 0; es decir, A es de la forma

A =

a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0

... ...

... . . .

...an1 an2 an3 · · · ann


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Matrices

Enuncie una matriz como ejemplo para cada uno de los primeros cuatro enunciados y responda

la pregunta del último del ellos.1 Matriz triangular superior de orden 5.

2 Matriz diagonal de orden 4.

3 Matriz triangular inferior de orden 2.

4 Matriz triangular superior e inferior, simultáneamente, y de orden 3.

5 ¿Cuáles son los tipos en los que se puede clasificar la matriz O 4?

Ejercicio 2.5

2.3 Operaciones con matrices

En esta sección se estudiarán las operaciones que se definen en el conjunto M m×n (R) y algunas desus propiedades más relevantes.

Sean A, B∈M m×n (R). Se define la suma de A y B, denotada como A + B, como la matriz de tamañom×n dada por

A + B

i j =

A

i j +

B

i j ,

∀i, j

∈N con 1

≤i

≤m, 1

≤ j

≤n

Definición 2.12 (Adición de matrices)

En términos generales,2 si A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... ...

...am1 am2 · · · amn

y B =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n

... ...

...bm1 bm2 · · · bmn

entonces

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n

... ...

...am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

2 −4 0 1−1 3 5 −2

−8 −3 7 11

+

13 −10 11 −14 15 10 8

7 0 4 −3

=

15 −14 11 03 18 15 6

−1 −3 11 8

Ejemplo 2.7

2Observe que la adición de matrices con tamaños diferentes no está definida.




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Sean A ∈M m×n (R) y λ ∈R. Se define el producto de λ y A, denotado como λ · A, como la matriz detamaño m×n dada por

λ · Ai j = λ · Ai j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Definición 2.13 (Multiplicación de un número real por una matriz)

Así, si λ ∈R y A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... ...

...am1 am2 · · · amn

entonces3

λ A =

λa11 λa12 · · · λa1nλa21 λa22

· · · λa2n

... ... ...λam1 λam2 · · · λamn

Si k , r ∈R−5

−1 3 r 0 2 + k −5

=

5 −15 −5r

0 −10−5k 25

Ejemplo 2.8

Sean A, B ∈M m×n (R). Se define la resta de A y B, denotada como A− B, como la matriz de tamañom×n dada por A− B = A + (−1 · B)

Definición 2.14 (Sustracción de matrices)

En términos generales, A− Bi j = Ai j − Bi j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n; de esta manera, si

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... ...

...a

m1 a

m2 · · ·

amn

y B =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n

... ...

...b

m1 b

m2 · · ·

bmn

entonces

A− B =

a11−b11 a12−b12 · · · a1n−b1na21−b21 a22−b22 · · · a2n−b2n

... ...

...am1−bm1 am2−bm2 · · · amn−bmn

3Usualmente, se escribre λ A en vez de λ · A.




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Matrices

Considere las matrices y realice, si está definida, la operación que se indica en cada caso.

A =

2 −1 50 3 4

1 −2 −6

B = 7 −4 11

8 1 0

C =

−5 42 3

−1 −1

D =

−1 2 0−4 5 −6

7 0 10

1 A + D

2 D + A

3 A + D + 2C

4 A−5I 35 O 3

×2 +C

6 O 3×2 + A

7 ( A + D)t

8 At + Dt

9 D− D10 D−2I 311 B− B12 2 D

− D

13 3 B +C

14 5 B−2 B

15 B−2C t

16 (3 A)t + D

17 −2 ( A + D)18 −2 A−2 D19 C

−I 2

20 Bt −C 21 C − Bt

Ejercicio 2.6

Si α, β ∈R y A, B,C ∈M m×n (R), entonces:1 A + B = B + A la adición es conmutativa en M m×n (R)

2 A + ( B +C ) = ( A + B) +C la adición es asociativa en M m×n (R)

3 A +O m×n = O m×n + A = A O m×n es el elemento neutro aditivo en M m×n (R)

4 A + (− A) = (− A) + A = O m×n en M m×n (R) toda matriz posee matriz opuesta aditiva5 α (β A) = (αβ) A

6 α A + α B = α ( A + B)

7 α A + β A = (α + β) A

8 1 A = A

Teorema 2.1

Para demostrar que A + B = B + A basta probar que, entrada por entrada,

A + Bi j = B + Ai j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Veamos:∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n se tiene que

Demostración resultado (1)




20/97

A + B

i j =

A

i j +

B

i j definición 2.12

= Bi j + Ai j conmutatividad de la adición en R= B + Ai j definición 2.12

Así, A + Bi j = B + Ai j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

∴ A + B = B + A

Demostración resultado (1) - continuación

Para demostrar que se cumple la igualdad α A + α B = α ( A + B) basta probar que, entrada por

entrada, α A + α Bi j = α ( A + B)i j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nVeamos:∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n se tiene que

α ( A + B)i j = α A + Bi j definición 2.13= α

Ai j + Bi j

definición 2.12

= α Ai j + α Bi j distributividad de · respecto de + en R= α Ai j + α Bi j definición 2.13= α A + α Bi j definición 2.12

Así, α ( A + B)i j = α A + α Bi j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

∴ α A + α B = α ( A + B)


Demuestre los demás resultados del teorema 2.1.

Ejercicio 2.7

Sean A, B ∈M m×n (R) y α ∈R. Demuestre las propiedades siguientes.

1 A− B = − B + A2 α A−α B = α ( A− B)

3 (α A)t = α At

4 ( A + B)t = At + Bt

5 ( A− B)t = At − Bt

Ejercicio 2.8


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21/97

Matrices

Sean A ∈M 1×n (R) y B ∈M n×1 (R). Se define el producto de A y B, denotado como A · B, como elnúmero real dado por

AB =n

∑k =1

A1k Bk 1

Definición 2.15 (Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna)

En términos generales, si A =

a11 a12 · · · a1n

y B =

b11

b21...

bn1

entonces4

AB = a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1nbn1

Si A =

2 −7 0 −1 4 y B =

3

5

15

−20

entonces AB = −27, ya que

AB =

2 −7 0 −1 4

3

5

15

−20

= (2) (3) + (−7) (5) + (0) (15) + (−1)(−2) + (4)(0)= 6−35 + 0 + 2 + 0= −27

Ejemplo 2.9

Sean A ∈M m× p (R) y B ∈M p×n (R). Se define el producto de A y B, denotado como A · B, como lamatriz de tamaño m×n dada por

ABi j = p

∑k =1

Aik Bk j ,∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

Definición 2.16 (Multiplicación de matrices)

Como el elemento de AB que está en la fila i y columna j se obtiene multiplicando5 la i-ésima filade A con la j-ésima columna de B, el producto de estas dos matrices existe si, y solo si, el númerode columnas de A es igual al número de filas de B.

4Observe que la multiplicación de una matriz fila por una matriz columna (en ese orden) está definida, únicamente,cuando ambas matrices poseen el mismo número de elementos.

5Otra forma de escribir este resultado es ABi j = A(i) B( j),∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n


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22/97

Considere las matrices A =

2 −1 43 5 −7

y B =

−3 4 1 −10 9 0 21 6 −2 5

Como A tiene 3 columnas ( A es de tamaño 2×3) y B tiene 3 filas ( B es de tamaño 3×4), el producto AB está definido; además, AB es de tamaño 2×4 y se tiene que AB =

−2 23 −6 16−16 15 17 −28

ya

que

AB =

A(1) B(1) A(1) B(2) A(1) B(3) A(1) B(4)

A(2) B(1) A(2) B

(2) A(2) B(3) A(2) B

(4)

= −

6 + 0 + 4 8

−9 + 24 2 + 0

−8

−2

−2 + 20

−9 + 0−7 12 + 45−42 3 + 0 + 14 −3 + 10−35

=

−2 23 −6 16−16 15 17 −28

Note que el producto BA no está definido en este caso, ya que el número de columnas de B no esigual al número de filas de A.

Ejemplo 2.10

Considere las matrices y realice, si está definida, la operación que se indica en cada caso.

A = −1 0 −2 B =

4 1 15 −3 0

1 2 0

C =

2 12 1

1 2

D =

1 −3−1 2

0 2

F = 4−4

G =

21

0

1 CF −3G2 DI 2

3 I 2 D

4 I 3 D

5 ( AD)t

6 At Dt

7 Dt At

8 Gt D + 2F

9 −2 ( BC )10 (−2 B)C 11 (C − D) F 12 CF − DF

13 AG

14 GA− Bt

15 2FA− (C + D)t

16 AC + AD

17 (C + D) A

18 A (C + D)

Ejercicio 2.9


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23/97

Matrices

Axioma 1 Si A, B, D ∈M m×n (R) ,C ∈M n× p (R) y F ∈M r ×m (R), entonces:1 A = B ⇒ A + D = B + D

2 A = B ⇒ FA = F B3 A = B ⇒ AC = BC

Si A, B ∈M m×n (R) ,C ∈M n× p (R) , D ∈M p×s (R) y F ∈M r ×m (R), entonces:1 FA+ FB = F ( A + B) distributividad de · respecto de + en matrices (por la izquierda)

2 AC + BC = ( A + B)C distributividad de · respecto de + en matrices (por la derecha)

3 ( AC ) D = A (CD) asociatividad de la multiplicación de matrices

4 I m A = A = AI n I es el elemento neutro multiplicativo en matrices

Teorema 2.2

Para demostrar que se cumple la igualdad FA + FB = F ( A + B) es suficiente probar que, entradapor entrada,

FA+ FBi j = F ( A + B)i j ,∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ nVeamos:∀i, j ∈ N con 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ n se tiene que

FA+ FBi j = FAi j + FBi j definición 2.12

=m∑

k =1

F ik Ak j +m∑

k =1

F ik Bk j definición 2.16

=m

∑k =1

F ik Ak j + F ik Bk j

m

∑k =1

ak +m

∑k =1

bk =m

∑k =1

ak + bk

=m

∑k =1

F ik Ak j + Bk j

dist. de · respecto de + en R

=m

∑k =1

F ik A + Bk j definición 2.12

= F ( A + B)i j definición 2.16

Así, FA+ FBi j = F ( A + B)i j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ n∴ FA + FB = F ( A + B)


Demuestre los demás resultados del teorema 2.2.

Ejercicio 2.10


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24/97

Sean A, B

∈M

m×n (R) ,C

∈M

n× p (R) , D

∈M

r ×m (R)

y α∈R

. Demuestre las propiedades siguientes.1 I t n = I n

2 O r ×m A = O r ×n

3 AO n× p = O m× p

4 ( AC )t = C t At

5 DA− DB = D ( A− B)6 AC − BC = ( A− B)C

7 (α A)C = A (αC ) = α ( AC )

Ejercicio 2.11

2.4 Matrices no singulares

Algunas matrices cuadradas cumplen con ciertas condiciones que nos dirigen hacia un estudiomás detallado respecto de ellas y de algunas de las propiedades que satisfacen. Las matrices nosingulares poseen una serie de aplicaciones sumamente importantes en el estudio de esta materia.

Sea A ∈M n (R). Si existe alguna matriz A de orden n, tal que AA = I n y A A = I n, entonces se diceque A es una matriz no singular o invertible.

Definición 2.17 (Matriz no singular)

Si A es una matriz no singular de orden n, toda matriz A que satisfaga AA = I n y A A = I n esllamada una inversa de A y denotada como A−1; de esta manera, si A es una matriz no singular deorden n se cumple que AA−1 = A−1 A = I nSi A no posee matriz inversa alguna, se dice que A es singular.

Si se tiene que A =

3 3 −12 2 −1

3 2 −1

entonces A−1 =

0 −1 11 0 −1

2 −3 0

es una matriz inversa de A,

ya que

AA−1 = 3 3 −12 2 −1

3 2 −1 0 −1 11 0 −1

2 −3 0

=

0 + 3−2 −3 + 0 + 3 3−3 + 00 + 2−2 −2 + 0 + 3 2−2 + 0

0 + 2−2 −3 + 0 + 3 3−2 + 0

Ejemplo 2.11


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25/97

Matrices

= 1 0 00 1 0

0 0 1

= I 3

y, además

A−1 A =

0 −1 11 0 −1

2 −3 0

3 3 −12 2 −1

3 2 −1

=

0−2 + 3 0−2 + 2 0 + 1−13 + 0−3 3 + 0−2 −1 + 0 + 16−6 + 0 6−6 + 0 −2 + 3 + 0

=

1 0 00 1 0

0 0 1

= I 3

es decir, AA−1 = A−1 A = I 3

Ejemplo 2.11 - continuación

Si A es una matriz no singular de orden n, entonces la matriz inversa de A es única.

Teorema 2.3 (Unicidad de la matriz inversa de una matriz no singular)

Como la matriz A es no singular de orden n, existe al menos una matriz de orden n que es inversade A. Supongamos que B y C son dos matrices inversas de la matriz A, tales que B = C ; es decir, secumplen los resultados siguientes:

AB = BA = I n (2.1)

AC = CA = I n (2.2)

Por otra parte, se tiene que: B = BI n I es el elemento neutro multiplicativo

= B ( AC ) resultado (2.2)

= ( BA)C asociatividad de la multiplicación de matrices

= I nC resultado (2.1)

= C I es el elemento neutro multiplicativo

Demostración


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26/97

Así, B = C (⇒⇐)

∴ Si A es una matriz no singular, A−1 es única.

Demostración - continuación

Determine, en caso de existir, A−1 si se tiene que A =

2 −20 4

Ejemplo 2.12

Supongamos que A es no singular y que A−1 =

a b

c d

Como A es no singular, se debe cumplir que AA−1 = I 2 y que A−1 A = I 2Veamos (considerando la primera de las igualdades):

AA−1 = I 2

⇔

2 −20 4

a b

c d

=

1 0

0 1

⇔ 2a−2c 2b−2d

4c 4d = 1 0

0 1 ⇔

2a−2c = 12b−2d = 04c = 0

4d = 1

⇔

a = 1

2

b = 1

4

c = 0

d = 1

4

De esta manera, si A−1 =

1

2

1

4

0 1

4

entonces AA−1 = I 2

Solución


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27/97

Matrices

Ahora, es necesario determinar si con la matriz A−1 encontrada anteriormente se satisface la igual-dad A−1 A = I 2 o no.

Veamos:

A−1 A =

1

2

1

4

0 1

4

2 −20 4

=

1

2

(2) +

1

4

(0)

1

2

(−2) + 1

4

(4)

(0) (2) +

1

4

(0) (0)(−2) + 1

4

(4)

=

1 + 0 −1 + 1

0 + 0 0 + 1

=

1 0

0 1

= I 2

Así, A−1 A = I 2

∴ A es no singular y, además, A−1 =

1

2

1

4

0 1

4

Solución - continuación

Determine, en caso de existir, la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes.

1 D =

1 −1

3 0

2 F =

0 −1 11 0 −1

2 −3 0

3 G =

2 −1

4 −2

Ejercicio 2.12

Si A, B ∈M n (R), tal que A y B son matrices no singulares, entonces AB es una matriz no singular y( AB)−1 = B−1 A−1

Teorema 2.4

Demuestre el teorema 2.4.

Ejercicio 2.13


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28/97

El teorema que se enuncia a continuación simplifica el proceso de comprobación relacionado conla no singularidad de toda matriz que sea invertible; su demostración requiere temas que se anali-zan posteriormente y está desarrollada en el Ejemplo 5.16.

Sean A, B ∈M n (R), si BA = I n necesariamente AB = I nTeorema 2.5

Anteriormente, para determinar si alguna matriz cuadrada A es no singular se debía encontraruna matriz B del mismo orden que A tal que satisficiera las condiciones AB = I y BA = I ; con esteteorema, esta comprobación se reduce a considerar cualquiera de las dos igualdades, ya que conuna de ellas se garantiza la otra.

Si A ∈M n (R), tal que A es una matriz no singular, entonces A−1

−1= A

Teorema 2.6


Ejercicio 2.14

Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz simétrica si, y solo si, A = At Definición 2.18 (Matriz simétrica)

Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz antisimétrica si, y solo si, A = − At Definición 2.19 (Matriz antisimétrica)

Sean A∈M n (R), B,C

∈M n

×m (R) y D, F

∈M r

×n (R), tal que A es una matriz no singular. Demuestre

las propiedades siguientes.

1 I −1n = I n

2 At −1

= A−1

t 3 AB = AC ⇒ B = C 4 DA = FA⇒ D = F

Ejercicio 2.15




29/97

Matrices

Sea A ∈ M n (R). La matriz Ak , con k ∈ N, representa la k -ésima potencia de A y se define de lamanera siguiente:

1 A0 = I m

2 Ak = A · A · A · · · A (k veces A)

3 A−k = A−1

k , siempre que A sea no singular

Definición 2.20 (Potencia en matrices)

Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz periódica si, y solo si, ∃ p ∈ Z+, tal que A p+1 = ADefinición 2.21 (Matriz periódica)

Si A es una matriz periódica, el menor enteropositivo p con el que se satisfaga la igualdad A p+1

= Ase llama período de A

Sea A ∈M n (R). La matriz A es una matriz idempotente si, y solo si, A2 = ADefinición 2.22 (Matriz idempotente)

Sea A ∈M m (R). La matriz A es una matriz nilpotente si, y solo si, ∃n ∈ Z+, tal que An = O mDefinición 2.23 (Matriz nilpotente)

Si A es nilpotente, el menor entero positivo n con el que se satisfaga la igualdad An

= O m se llamaíndice de nilpotencia.

2.5 Matrices elementales

El procedimiento realizado en el ejemplo 2.12 para la obtención de la matriz inversa de algunamatriz no singular es, en muchas ocasiones, de manejo algebraico laborioso.Se desarrollarán procedimientos que permiten obtener dicha matriz inversa de una forma máseficiente que la mencionada; además, se definirá el concepto de matriz equivalente que es desuma importancia en el desarrollo de temas posteriores.

Sea A ∈M m×n (R). Una operación elemental sobre las filas de A es cualquiera de las tres siguientes:1 k Fi Modificar la fila i de A multiplicándola por un número real k , k = 02 Fi ↔F j Intercambiar las filas i y j de A3 k F j + Fi Modificar la i-ésima fila de A sumándole k veces la fila j

Definición 2.24 (Operación elemental sobre las filas de una matriz)


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30/97

Una matriz B es equivalente por filas con una matriz A, si B se obtiene a partir de A mediante una

secuencia finita de operaciones elementales sobre sus filas.

Definición 2.25 (Matrices equivalentes por filas)

Si la matriz B es equivalente por filas con la matriz A se escribe A ∼ B.

Considere la matriz P definida como

P =

2 −5 1 −31 0 −1 5

−4 1 3 2

Son equivalentes por filas con P las matrices siguientes:

R =

−4 1 3 2−2 0 2 −10

2 −5 1 −3

Se realiza: P F 1↔F 3∼ −2F 2∼ R

Z =

2 −5 1 −31 0 −1 5

−4 1 3 2

Se realiza: P 4F 2∼ 14 F 2∼ P F 1↔F 3∼ F 1↔F 3∼ Z = P

B =

2 −5 1 −30 −9 5 −41 18

−11 13

Se realiza: P

2F 1+F 3∼ −2F 3+F 2∼ F 2↔F 3∼ B

F =

2 −5 1 −31 0 −1 5

−4 1 3 2

Se realiza: P 3F 1+F 2∼ −3F 1+F 2∼ F = P

H =

−10 1 9 −28−3 0 3 −15

−2 −19 13 −40

Se realiza: P F 1↔F 3∼ −3F 2∼ 2F 2+F 1∼ 4F 3∼ F 1+F 3∼ H

Ejemplo 2.13

Con base en las operaciones realizadas en la matriz P del ejemplo anterior para la obtención de

las matrices Z

y F

, se puede definir un concepto importante para operaciones elementales: elconcepto de operación elemental inversa.

Se dice que una operación elemental es inversa de otra si aplicando ambas operaciones a algunamatriz A, de manera secuencial, se obtiene como resultado la matriz A.

Definición 2.26 (Operación elemental inversa)

En general, para cada una de las operaciones elementales sobre las filas de alguna matriz suoperación elemental inversa está definida, respectivamente, de la manera siguiente:


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31/97

Matrices

1 k Fi Operación elemental inversa: 1

k Fi, con k = 0

2 Fi ↔

F j Operación elemental inversa: Fi ↔

F j

3 k F j + Fi Operación elemental inversa: −k F j + Fi

Considere las matrices R, B y H del ejemplo 2.13 y, a partir de estas, obtenga la matriz P del mismoejemplo utilizando el resultado de la definición anterior.

Ejercicio 2.16

Una matriz elemental de orden n, denotada como E , es toda matriz que se obtiene de la matriz I ndespués de aplicarle una, y solo una, operación elemental.

Definición 2.27 (Matriz elemental)

Una matriz elemental de orden n sedicequeesdel tipo a, tipo b o tipo c si se realiza, respectivamente,a la matriz I n la operación elemental a, b o c de la definición 2.24; asimismo, toda matriz elementalde orden n se denota, de manera más específica y basados en el tipo que sea, como E a, E b o E c

Son matrices elementales de orden 3 las matrices siguientes:

1 E a =

1 0 00 −5 0

0 0 1

2 E b =

0 0 10 1 0

1 0 0

3 E a =

1 0 00 1 0

0 0 k

4 E c =

1 0 00 1 0

−2 0 1

5 E a =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

k

6 E c =

1 k 00 1 0

0 0 1

Ejemplo 2.14

Si A ∈M m×n (R) y B se obtiene de A luego de efectuarle una operación elemental sobre sus filas,entonces existe una matriz elemental E de orden m, tal que B = E A, donde E se obtiene de I mdespués de efectuar la misma operación elemental realizada en A para la obtención de B.

Teorema 2.7




32/97

Para demostrar lo que se enuncia, basta probar que las igualdades mencionadas son válidas paracada uno de los tres únicos casos que existen; específicamente, se deben contemplar los tres tipos

de operaciones elementales definidas y verificar, respectivamente, la igualdad entre la matriz B yla matriz E A.Se desarrollará el caso que contempla la operación elemental k FiVeamos:Sean k ∈R, k = 0 y A, B ∈M m×n (R). Suponga que la matriz B se obtiene de la matriz A después derealizar la operación k Fr En este caso, A y B difieren únicamente en su r -ésima fila; específicamente, ∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n, se tiene que Bi j =

Ai j si i = r k Ai j si i = r

Sea E ∈M m (R) la matriz elemental que se obtiene de I m luego de efectuar la operación elemental

k

Fr ; en este caso, ∀i, j

∈N

con 1

≤i≤

m

, 1

≤ j≤

m

, E i j =

1 si i = j, i = r k

si i

= j

= r

0 si i = jSe quiere probar que EAi j = Bi j, ∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nPartiendo del primer miembro de la igualdad, ∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, se tiene que:

EAi j =m

∑t =1

E it At j= E i1 A1 j + E i2 A2 j + · · ·+ E ii Ai j + · · ·+ E im Am j= 0 · A

1 j + 0 · A2 j + · · ·+ E ii Ai j + · · ·+ 0 · Am j= E ii Ai j

= 1 · Ai j si i = r k · Ai j si i = r

=

Ai j si i = r k Ai j si i = r

= Bi j

Así, EAi j = Bi j ,∀i, j ∈N con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

∴ El resultado de efectuar la operación elemental k Fi sobre las filas de toda matriz A, es el mismoque realizar la multiplicación EA, donde E es la matriz elemental obtenida al aplicarle a I laoperación elemental k Fi

Demostración

Demuestre los dos casos restantes del teorema 2.7.

Ejercicio 2.17


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33/97

Matrices

Considere la matriz A definida como A = 3 −2 0 −5

0 3 −3 21 5 4 −1

y las matrices elementales de

orden 3 E a, E b y E c definidas por E a =

1 0 00 1 0

0 0 −4

, E b =

1 0 00 0 1

0 1 0

y E c =

1 0 −30 1 0

0 0 1

1 Determine las matrices P, Q y R que se obtienen a partir de A, después de realizar, respecti-vamente, la operación elemental −4F3, F2 ↔F3 y −3F3 + F1

2 Verifique que se cumplen las igualdades siguientes:

P = E a A

Q = E b A

R = E c A

3 Con base en el teorema anterior, obtenga la matriz U que se obtiene de A después de re-

alizarle, secuencialmente, las operaciones elementales sobre filas siguientes: A −3F 3+F 1∼ −4F 3∼

F 2↔F 3∼ −2F 1+F 2∼ U .

Ejercicio 2.18

Si A, B ∈M m×n (R) y B es equivalente por filas con A, entonces existe una matriz C de orden m, talque B = CA, donde C es la matriz producto de un número finito de matrices elementales de ordenm.

Teorema 2.8


Ejercicio 2.19

Toda matriz elemental E de orden n es invertible y su inversa E −1 es una matriz elemental, que

se obtiene aplicando a I n la operación elemental inversa de la operación que le fue efectuada a I npara determinar E .

Teorema 2.9

Si E es una matriz elemental de orden n, entonces E se obtiene de I n después de efectuarle algunaoperación elemental sobre sus filas.Sea E la matriz que se obtiene de I n después de realizarle la operación elemental inversa de laefectuada en I n para la obtención de E .

Demostración




34/97

Si a la matriz E se le realiza la operación elemental efectuada en I n para la obtención de E ,

el resultado sería esta matriz identidad, ya que el efecto de realizar de manera simultánea unaoperación elemental y su operación elemental inversa es la obtención de una matriz sin cambioalguno.De esta manera y basados en el teorema 2.7, EE = I n, lo que nos indica que E es la matriz inversade E .∴ Toda matriz elemental E posee como inversa la matriz elemental E −1 que se obtiene aplicandoa la identidad la operación elemental inversa de la aplicada en dicha identidad para la obtenciónde E .

Demostración - continuación

Las matrices elementales de orden tres E =

1 0 −30 1 00 0 1

y E = 1 0 30 1 0

0 0 1

son mutua-mente inversas, ya que:

E E =

1 0 −30 1 0

0 0 1

1 0 30 1 0

0 0 1

=

1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 3 + 0−30 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 0 + 0

0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1

= 1 0 00 1 0

0 0 1

= I 3

Note que para obtener E se aplica a la matriz I 3 la operación elemental inversa de la aplicada ala misma identidad para la obtención de E .

Ejemplo 2.15

Demuestre que “es equivalente por filas con" es una relación de equivalencia.

Ejercicio 2.20

2.6 Reducción de matrices

Los conceptos y resultados enunciados anteriormente dan lugar a aplicaciones importantes den-tro del estudio del álgebra matricial; el concepto de matriz reducida por filas contempla varios de


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35/97

Matrices

los resultados mencionados y permite simplicidad en varios cálculos que se presentarán.

Sea A ∈ M m×n (R). Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas, si A cumple, si-multáneamente, las condiciones siguientes:

Cualquier fila que contenga entradas distintas de cero precede a toda fila nula (en caso deexistir alguna).

La primera entrada distinta de cero de cada fila es el único elemento no nulo de su columna.

El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se encuentra en alguna columna posterior ala que contiene la primera entrada no nula de la fila que le precede.

Definición 2.28 (Matriz escalonada reducida por filas)

Son matrices escalonadas reducidas por filas las siguientes:

1

1 2 −3 00 0 0 1

0 0 0 0

2

0 0

0 0

3 1 0 −4 7 30 1 5 2 1

4

1 0 00 1 0

0 0 1

5

0 1 0 7 0

0 0 1 2 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Ejemplo 2.16

El teorema que se enuncia a continuación muestra un resultado importante en el estudio del álge- bra matricial; se garantiza que toda matriz se puede llevar, con base en operaciones elementalessobre sus filas, a una matriz escalonada reducida por filas.

Si A ∈M m×n (R), entonces existe una única matriz escalonada reducida por filas R, tal que A ∼ R.Teorema 2.10




36/97


Ejercicio 2.21

La matriz escalonada reducida por filas que es equivalente por filas con la matriz A definida como

A =

1 2 −1 0 −7 5−6 −12 0 1 19 −4

2 4 2 −1 1 −8−8 −16 −6 3 3 22

está dada por R =

1 2 0 0 −3 10 0 1 0 4 −40 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0

ya que:

A =

1 2 −1 0 −7 5−6 −12 0 1 19 −42 4 2 −1 1 −8

−8 −16 −6 3 3 22

6F 1

+F 2

−2F 1+F 38F 1+F 4∼

1 2 −1 0 −7 50 0 −6 1 −23 260 0 4 −1 15 −180 0 −14 3 −53 62

− 16

F 2∼

1 2 −1 0 −7 50 0 1 − 1

6

23

6 − 13

3

0 0 4 −1 15 −180 0 −14 3 −53 62

F 2+F 1

−4F 2+F 3

14F 2+F 4∼

1 2 0 − 16 − 19

6

2

3

0 0 1

−1

6

23

6 −13

3

0 0 0 − 13 − 1

3 − 2

3

0 0 0 2

3

2

3

4

3

−3F 3∼

1 2 0 − 16 − 19

6

2

3

0 0 1 − 16

23

6 − 13

3

0 0 0 1 1 2

0 0 0 2

3

2

3

4

3

1

6F 3+F 1

1

6F 3+F 2

− 23

F 3+F 4∼

1 2 0 0 −3 10 0 1 0 4 −40 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0

= R

Ejemplo 2.17


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37/97

Matrices

Demuestre que la única matriz de orden n escalonada reducida por filas que posee inversa es la

matriz I n

Ejercicio 2.22

Si A ∈M n (R), entonces A es equivalente por filas con la matriz I n si, y solo si, A es una matriz nosingular.

Teorema 2.11

Sean A, R

∈M n (R), tales que A

∼ R, siendo R una matriz escalonada reducida por filas.

Como A ∼ R, existe un número finito de matrices elementales E 1, E 2, . . . , E k , tales que E k · . . . · E 2 · E 1 · A = R

Con base en el teorema 2.9, las matrices E 1, E 2, . . . , E k son invertibles y sus inversas respectivas E −1

1 , E −1

2 , . . . , E −1k son, también, matrices elementales; de esta manera:

E k · . . . · E 2 · E 1 · A = R⇒ E −1

1 · E −1

2 · . . . · E −1k · E k · . . . · E 2 · E 1 · A = E −11 · E −12 · . . . · E −1k · R

⇒ A = E −11 · E −1

2 · . . . · E −1k · R

De la última implicación, se tiene que la matriz A es invertible si, y solo si, la matriz E −11

· E −1

2

·. . .

· E −1k · R también lo es.Con base en el teorema 2.4, dado que las matrices E −1

1 , E −1

2 , . . . , E −1k son invertibles, el producto

E −11 · E −1

2 · . . . · E −1k · R es envertible si, y solo si, R es invertible; luego, A es invertible si, y solo si, R

lo es.Como R es una matriz de orden n escalonada reducida por filas, R es no singular si, y solo si, R esla matriz I n∴ Si A es una matriz de orden n, A es no singular si, y solo si, A ∼ I n

Demostración

Observe que:

E k · . . . · E 2 · E 1 · A = I n

⇒ A−1

= E k · . . . · E 2 · E 1⇒ A−1 = E k · . . . · E 2 · E 1 · I n

De esta manera, para obtener la matriz A−1 se aplican a I n las mismas operaciones elementalesque se deben aplicar a A para la obtención de I nEn el jemplo que se enuncia a continuación se muestra una estrategia, fundamentada en la de-mostración del teorema anterior, para determinar si alguna matriz es no singular y, simultánea-mente, hallar su inversa (en caso de existir).


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38/97

Para determinar la matriz inversa, en caso de existir, de la matriz A = 3 1 2

2 −1 03 2 3

se pueden

seguir procedimientos similares al siguiente:

3 1 2 1 0 02 −1 0 0 1 0

3 2 3 0 0 1

−F 2+F 1∼

1 2 2 1 −1 02 −1 0 0 1 0

3 2 3 0 0 1

−2F 1+F 2−3F 1+F 3∼

1 2 2 1 −1 00 −5 −4 −2 3 0

0 −4 −3 −3 3 1

−F 2+F 3

∼ 1 2 2 1 −1 00

−5

−4

−2 3 0

0 1 1 −1 0 1

F 2↔F 3∼ 1 2 2 1 −1 00 1 1 −1 0 1

0 −5 −4 −2 3 0

−2F 2+F 15F 2+F 3∼

1 0 0 3 −1 −20 1 1 −1 0 1

0 0 1 −7 3 5

−F 3+F 2∼

1 0 0 3 −1 −20 1 0 6 −3 −40 0 1 −7 3 5

Como la matriz A es equivalente por filas con la matriz I 3, entonces A es una matriz no singular y

su inversa es la matriz A−1 =

3 −1 −26 −3 −4

−7 3 5

, matriz que se obtuvo de I 3 después de realizar

las mismas operaciones elementales que las efectuadas en A para la obtención de I 3

Ejemplo 2.18

Utilizando operaciones elementales sobre filas determine, en caso de existir, la matriz inversa decada una de las matrices siguientes.

1 F =

1 0 40 −1 0

4 0 1

2 Z =

1 1 12 1 −1

1 0 −2

Ejercicio 2.23


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39/97

Matrices

3 H = 5 10 −25

2 −1 3−4 2 −6

4 B =

cos α sen α−sen α cos α

5 A =

−2 −11 3

6 J =

8 −1 −3−5 1 2

10 −1 −4

7 G =

2 −6 12 16−1 3 −3 −7

1 −2 6 60 4 3 −6

8 L =

a11 a12

a21 a22

9 P =

−5 4 −310 −7 6

8 −6 5

Ejercicio 2.23 - continuación

Sea A ∈M m×n (R). Si R es la matriz escalonada reducida por filas equivalente con A, se define elrango de A, denotado como r ( A), como el número de filas no nulas que posee la matriz R.

Definición 2.29 (Rango de una matriz)

Si A es la matriz definida por A =

1 2 −1 0 −7 5

−6

−12 0 1 19

−4

2 4 2 −1 1 −8−8 −16 −6 3 3 22

se tiene que r ( A) = 3, yaque su matriz escalonada reducida por filas equivalente por filas (ver ejemplo 2.17) está dada por

R =

1 2 0 0 −3 10 0 1 0 4 −40 0 0 1 1 2

0 0 0 0 0 0

Ejemplo 2.19

Verifique que r ( A) = 2, si se tiene que A =

3 −9 −4 6 −12−2 6 5 −4 8

1 −3 0 2 −4−1 3 3 −2 4

Ejercicio 2.24


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40/97

A ∈M m×n (R), entonces r ( A)≤ mTeorema 2.12

A ∈M n (R) es no singular si, y solo si, r ( A) = nTeorema 2.13

2.7 Ejercicios

2.25 Considere las matrices

A = 2 3 −1−3 4 5 B = 0 −2 1−5 0 3 C = 3 24 −1

De las dos operaciones que se enuncian, realice la única que es posible efectuar y, además, justifique por qué la otra no está definida.

1 −2C + At B 2 ABt + 3C

2.26 Sea k = 0 y sean A, B,C y D matrices definidas por:

A =

1 0

0 1

3 0

B =

−1 0 1−1 0 1

2 1 2

C =

k 2 0

−1 0 3

D =

−k 10 3

De las operaciones que se enuncian, realice aquella que esté bien definida. Justifique por qué las otras tresno se pueden realizar.

1 ( AC )t + B−1

2 (CB)t − D−13 ( BA)−1 +C t

4 (CA)−1− Dt

2.27 Encuentre dos matrices cuadradas A y B no nulas de orden 2 tales que AB = O 2

2.28 Considere las matrices siguientes:

A = 1 −1 03 2 1

−2 0 −1 B = 17 11 −24−15 0 5

2 5 −9 C = 5 −11 −25 4 −1

−3 −4 −4

1 Calcule 2 A−C

2 Si se sabe que (2 A−C )−1 = 12 10 −275 4 −11

−4 −3 9

, determine una matriz X de tamaño 3×3 con

entradas reales, tal que 2 AX − B = CX


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41/97

Matrices

2.29 Considere las matrices siguientes:

A = −2 1

0 3 , B = 3 1 4

2 0

−5 , C =

−3 20 1

1 −

5

Calcule:

1 B−2C t

2 AB

3 ( AB)C

4 A ( BC )

5 AC t

62

3 A

2.30 Encuentre la matriz X que satisface la ecuación A X t +C

= D, donde:

A =

1 −1 00 1 0

0 0 3

, C =

1 23 4

0 5

, D =

1 13 0

1 3

2.31 Para cada una de las matrices que se enuncian determine su inversa (si existe):

1 A =

2 −3

7 11

2 A =

4 3 3−1 0 1

−3 −2 −2

3 A =

a b

c d

con ad −cb = 0

4 A =

2 −2 11 1 −2

−1 0 1

5 A =

−1 62 −12

6 A =

−11 2 2−4 0 1

6 −1 −1

7 A = 3 −2 −1−4 1 −2

2 0 1

8 A =

1 2 32 5 7

−2 −4 −5

9 A =

1 0 22 −1 3

4 1 8

10 A =

−1 2 −32 1 0

4 −2 5

11 A =

0 1 −14 −3 4

3 −3 4

12 A =

1 −2 1 01 −2 2 −30 1 −1 1

−2 3 −2 3

13 A =

1 2 3 1

1 3 3 2

2 4 3 3

1 1 1 1

2.32 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 = O n×n, demuestre que I n − A es una matriz nosingular.

2.33 Si A ∈M m×m (R), tal que A2 = A, demuestre que ∀k ∈N, A + I m

k = I m +

2

k −1

A


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42/97

2.34 Determine si A =

4 3 3−1 0 −1

−4 −4 −3

es involutiva o no.

2.35 Pruebe que A =

1 −3 −4−1 3 4

1 −3 −4

es nilpotente y determine su índice de nilpotencia.

2.36 Verifique que las matrices M y N son idempotentes, con:

M =

2 −2 −4−1 3 4

1 −2 −3

, N =

−1 3 51 −3 −5

−1 3 5

2.37 Dé un ejemplo de una matriz cuadrada de orden 3 que sea antisimétrica.

2.38 En M n (R

) se define una relación R de la siguiente manera:∀ A, B ∈M n (R) , AR B ⇔∃P ∈M n (R) , tal que A = P−1 BP

Demuestre que R es una relación de equivalencia.

2.39 Sean A, B ∈M n×n (R), tales quee A y B son simétricas. Demuestre que:

1 A + B es simé trica.

2 AB no siempre es simétrica.

3 A2 es simétrica.

4 An es simétrica para todos los valores enteros de n posibles.


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3 Determinantes

Un concepto importante asociado con las matrices cuadradas es el concepto de determinante,concepto de mucha utilidad por sus variadas aplicaciones: cálculo de áreas, cálculo de matrices

inversas, cálculo de volúmenes y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, entre otros.Dado que cada matriz cuadrada está relacionada con un único número real, el determinantepuede ser considerado como una función que tiene como dominio el conjunto de la matricescuadradas y cuyo codominio es el conjunto de los números reales.

3.1 Definiciones básicas

Algunos de los conceptos más relevantes en el estudio de los determinantes son enunciados acontinuación. Las definiciones que se consideran son de suma importancia para el desarrollo decontenidos posterios, relacionados con ciertas propiedades que se cumplen cuando se calculan

determinantes.

Si A es una matriz de orden 1, tal que A = (a11), su determinante, denotado como | A|, det ( A) o|a11|, se define como | A| = a11

Definición 3.1 (Determinante de una matriz de orden 1)

Si A ∈M n (R), se define el menor del elemento ai j de A, denotado por M Ai j, como el determinantede la matriz que se obtiene a partir de A luego de eliminar su i-ésima fila y su j-ésima columna.

Definición 3.2 (Menor de un elemento)

Considere la matriz A definida como A =

a b

c d

Para la matriz A se tiene que:

M A11 = |d | = d M A12 = |c| = c M A21 = |b| = b M A22 = |a| = a

Ejemplo 3.1




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Si A ∈M n (R), se define el cofactor del elemento ai j de A, denotado por Ai j, como el número dadopor

Ai j = (−1)i+ j M Ai j

Definición 3.3 (Cofactor de un elemento)

Si A ∈M n (R), se define la matriz de cofactores de A, denotada como A, como la matriz de orden ndada por

A

i j = Ai j,∀i, j, con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n

Definición 3.4 (Matriz de cofactores)

Con base en la matriz del ejemplo 3.1, se tiene que:

A11 = (−1)1+1 M A11 = (−1)2 d = 1 ·d = d A12 = (−1)1+2 M A12 = (−1)3 c = −1 ·c = −c A21 = (−1)2+1 M A21 = (−1)3 b = −1 ·b = −b A22 = (−1)2+2 M A22 = (−1)4 a = 1 ·a = a

De esta manera, A =

A11 A12

A21 A22

=

d −c

−b a

Ejemplo 3.2

Sea A ∈M n (R) con n ≥ 2, el determinante de A se define, de manera recursiva, como el númeroreal dado por

| A| =n

∑ j=1

A1 j A1 j

Definición 3.5 (Determinante de una matriz de orden n)

Considere la matriz del ejemplo 3.1 y verifique que el determinante de toda matriz de orden dosestá dado por a bc d

= ad −bc

Ejemplo 3.3


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Para cada una de las matrices que se enuncian calcule, respectivamente, el valor de su determi-

nante.

1 A =

2 −3

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Matrices y Sistemas Lineales - Christian Páez Páez