Tema 6. Sistemas lineales. Matrices - uah.es · Gauss M etodo de Gauss-Jordan C alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices. Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas

Tema 6.Sistemaslineales.Matrices

Sistemas deecuacioneslineales

Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta

Resolucion desistemaslineales

Matricesescalonadas yop. elementales

Metodo deGauss

Metodo deGauss-Jordan

Calculo de lainversa

Tema 6. Sistemas lineales. Matrices



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo 1. Ejemplo introductorio

Dos especies de insectos se crıan juntas en un recipiente delaboratorio. Todos los dıas se les proporcionan dos tipos dealimento A y B.

1 individuo de la especie 1 come: 5 unid. A + 3 unid. B.

1 individuo de la especie 2 come: 2 unid. A + 4 unid. B.

A los insectos se les suministra diariamente:

80 unid. A + 76 unid. B.

¿Cuantos insectos hay de cada especie?



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo 1. Interpretacion geometrica

5x + 2y = 803x + 4y = 76

}−→ x = 12 especie 1,

y = 10 especie 2.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ecuaciones lineales

Expresion general de una ecuacion lineal:

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b,

donde b ∈ R,ai ∈ R (i = 1, . . . , n) son los coeficientes,xi (i = 1, . . . , n) son las variables o incognitas.

Definicion

Una solucion de la ecuacion lineal anterior es una lista denumeros reales (s1, s2, . . . , sn) tales que

a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Sistemas de ecuaciones lineales

Definicion

Un sistema lineal de m ecuaciones y n incognitas es unacoleccion de m ecuaciones lineales:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

,

donde bi ∈ R,aij ∈ R son los coeficientes,xj son las variables o incognitas,i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Sistemas equivalentes

Definicion

Una solucion del sistema lineal anterior es una lista denumeros reales (s1, s2, . . . , sn) que son solucion de cada una desus m ecuaciones

Definicion

Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismoconjunto de soluciones.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Numero de soluciones

Teorema

Un sistema lineal puede tener cero, una o infinitas soluciones.

Definicion

Un sistema lineal se dice:

Incompatible: si no tiene solucion.

Compatible determinado: si tiene una solucion.

Compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Operaciones elementales

A un sistema lineal le podemos aplicar tres tipos detransformaciones, las operaciones elementales, que afectan asus ecuaciones pero dejan invariantes sus soluciones:

Tipo I: Ei ↔ Ej , i 6= j .

Tipo II: Ei → Ei + λEj , i 6= j .

Tipo III: Ei → βEi , β 6= 0.

Donde Ei es la ecuacion i del sistema.

Teorema

Sea B un sistema lineal obtenido a partir del sistema Amediante operaciones elementales, entonces A y B sonequivalentes.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo 2. Un ejemplo de eliminacion gaussiana

Ejemplo

x + 2y + 3z = 6

2x − 3y + 2z = 14

3x + y − z = −2

−→ x = 1, y = −2, z = 3.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo 2. Notacion matricial

En el ejemplo anterior:

x + 2y + 3z = 6

2x − 3y + 2z = 14

3x + y − z = −2

⇐⇒ AX = b,

donde

A =

1 2 32 −3 23 1 −1

, X =

xyz

, b =

614−2

.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Notacion matricial

En general:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

⇐⇒ AX = b,

donde

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

,X =

x1

x2...

xn

, b =

b1

b2...

bm

.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Notacion matricial

Definicion

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

es la matriz de coeficientes,

X =

x1

x2...

xn

es el vector incognita y

b =

b1

b2...

bm

es el vector de terminos independientes.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Definicion de matriz

Definicion

Una matriz sobre R es una estructura rectangular

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

,

donde aij ∈ R y se denominan elementos de la matriz.

Notacion

El conjunto de todas las matrices m × n con elementos en Rlas denotaremos por Mm×n.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Filas y columnas

Definicion

(ai1 ai2 . . . ain

)es la i-esima fila de A.

aj1

aj2...

ajm

es la j-esima columna de A.

aij es el elemento en la fila i y la columna j.

Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es unamatriz m × n.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Tipos particulares de matrices

Sea A ∈Mm×n. A es una matriz:

fila, si m = 1.

columna, si n = 1.

cuadrada, si m = n.La diagonal principal de A la forman los elementosa11, a22, . . . , ann.

diagonal, si aij = 0 ∀i 6= j .

triangular superior, si aij = 0 ∀i > j .

triangular inferior, si aij = 0 ∀i < j .

La matriz identidad In es la matriz diagonal de orden n conaii = 1 ∀i = 1, . . . , n.

La matriz nula 0m×n es la matriz m × n conaij = 0 ∀i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Igualdad de matrices

Definicion

Sean A ∈Mm×n y B ∈Mp×q. A es igual a B (A = B) si

m = p, n = q, aij = bij ∀i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.

Propiedades:

Reflexiva: A = A ∀A ∈M.

Simetrica: A = B ⇒ B = A ∀A,B ∈M.

Transitiva: A = B,B = C ⇒ A = C ∀A,B,C ∈M.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Suma de matrices

Definicion

Sean A = (aij),B = (bij) ∈Mm×n. Llamamos matriz suma deA y B a la matriz

C = A + B ∈Mm×n tal que cij = aij + bij

Sean A,B,C ∈Mm×n, se verifican las propiedades:

Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C ).

Conmutativa: A + B = B + A.

Existe neutro Om×n: A + Om×n = Om×n + A = A.

El opuesto de A es −A = (−aij):A + (−A) = −A + A = Om×n



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Producto de un escalar por una matriz

Definicion

Sean A = (aij) ∈Mm×n y λ ∈ R. La matriz λA es la matrizm × n cuyos elementos son λaij , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.

Sean A,B ∈Mm×n, λ, µ ∈ R, se verifican las propiedades:

Distributiva: λ(A + B) = λA + λB.

Distributiva: (λ+ µ)A = λA + µA.

Asociativa: (λ · µ)A = λ · (µA).

Existe neutro 1 ∈ R: 1A = A.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Producto de matrices

Definicion

Sean A ∈Mm×n y B ∈Mn×p. Llamamos matriz productode A por B a la matriz C = AB ∈Mm×p tal que

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj .

a11 a12 · · · a1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.ai1 ai2 · · · ain

.

.

.

.

.

.

.

.

.am1 am2 · · · amn

b11 · · · b1j · · · b1pb21 · · · b2j · · · b2p

.

.

.

.

.

.

.

.

.bn1 · · · bnj · · · bnp

=

c11 · · · c1pcij

cn1 · · · c1p



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Propiedades del producto de matrices

Sean A ∈Mm×n,B ∈Mn×p,C ∈Mp×q. Se verifican laspropiedades:

Asociativa: (AB)C = A(BC ).

Distributivas:Sean A,B ∈Mm×n,C ∈Mn×p, entonces

(A + B)C = AC + BC .

Sean A, inMm×n,B,C ∈Mn×p, entoncesA(B + C ) = AB + AC .

Existe neutro por la derecha In: AIn = A.

Existe neutro por la izquierda Im: ImA = A.

Asociativa: λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



No conmutatividad del producto de matrices

Observacion

El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo

Sean A =

3 −1 11 0 22 1 1

y B =

210

.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matriz inversa

Definicion

A ∈Mn es invertible si existe una matriz B tal que

AB = BA = In.

Diremos que B es la inversa de A.

Observacion

B debe pertenecer a Mn.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Propiedades de la inversa

Propiedades:

No toda matriz cuadrada tiene inversa.

Si A es invertible, entonces tiene una unica inversa y sedenota por A−1.

Si A es invertible, entonces A−1 tambien lo es y su inversaes A.

Si A y B son invertibles, entonces AB tambien lo es y suinversa es (AB)−1 = B−1A−1.

El calculo de la inversa lo abordaremos mas adelante.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matriz traspuesta

Definicion

Sea A = (aij) ∈Mm×n. La matriz B ∈Mn×m conB = (bij) = (aji ) se llama matriz traspuesta de A.

La denotamos por AT : AT = (aji ).

Propiedades:

(AT )T = A.

(A + B)T = AT + BT .

(AB)T = BT AT .

A invertible ⇒ AT invertible y (AT )−1 = (A−1)T .



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matriz simetrica

Definicion

Una matriz A ∈Mn se dice simetrica si

AT = A.

Ejemplo

A =

1 2 −12 0 3−1 3 7

es simetrica.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Objetivo

Objetivo: obtener un metodo util de resolucion de sistemaslineales.

Para lograrlo sistematizaremos el metodo de eliminacion deincognitas que aplicamos en la resolucion del sistema linealconsiderado anteriormente:

x + 2y + 3z = 6

2x − 3y + 2z = 14

3x + y − z = −2

−→ x = 1, y = −2, z = 3.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matriz ampliada

Sea el sistema lineal

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

A.

El metodo comenzara considerando la matriz ampliada A∗ delsistema A:

A∗ = (A|b) =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 . . . amn bm



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matrices escalonadas

Definicion

El primer elemento no nulo de cada fila de una matriz sedenomina pivote.

Observacion

Si todos los elementos de una fila son 0, dicha fila no tienepivote.

Definicion

La matriz A es escalonada cuando cumple las propiedades:

Si A tiene k filas en las que todos sus elementos son 0,estas son las ultimas k filas de A.

Todo pivote de A, excepto el de la primera fila, tiene masceros a su izquierda que el de la fila anterior.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matrices escalonadas reducidas

Definicion

La matriz A es escalonada reducida cuando es escalonada yademas cumple:

Todos los pivotes de A son iguales a 1.

Si un elemento de A que no es pivote esta situado en lamisma columna que un pivote, entonces es 0.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo. Matrices escalonadas

Ejemplo

¿Son escalonadas las siguientes matrices?

A =

1 0 3 40 1 −2 50 1 2 20 0 0 0

, B =

2 0 2 −4 2 70 1 7 4 0 60 0 5 −3 −2 −10 0 0 0 −1 20 0 0 0 0 0

C =

1 −3 9 0 2 0 60 0 0 1 −2 0 20 0 0 0 0 1 3



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo. Matrices escalonadas

¿Son escalonadas las siguientes matrices?

A =

1 0 3 40 1 −2 50 1 2 20 0 0 0

, B =

2 0 2 −4 2 70 1 7 4 0 60 0 5 −3 −2 −10 0 0 0 −1 20 0 0 0 0 0

A no es escalonada B es escalonada

C =

1 −3 9 0 2 0 60 0 0 1 −2 0 20 0 0 0 0 1 3

C es escalonada reducida



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Operaciones elementales

A una matriz A le podemos aplicar tres tipos de operacioneselementales que afectan a sus filas:

Tipo I: fi ↔ fj , i 6= j .

Tipo II: fi → fi + λfj , i 6= j .

Tipo III: fi → βfi , β 6= 0.

Donde fi es la fila i de la matriz A.

Definicion

Dos matrices A y B son equivalentes si se puede transformarla matriz A en la matriz B mediante una sucesion deoperaciones elementales.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Matrices equivalentes

Teorema

Para cada matriz A existe una matriz escalonada equivalente aA. Ademas para transformar A en una matriz escalonada solose necesitan operaciones elementales tipo I y II.

Ejemplo

Transformese la matriz A en una matriz escalonada equivalente.

A =

0 0 2 63 6 1 23 6 0 −10 0 1 5



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Teorema

Para cada matriz A existe una matriz escalonada reducidaequivalente a A.

Ejemplo

Encuentrese una matriz escalonada reducida equivalente a:

A =

0 0 2 63 6 1 23 6 0 −10 0 1 5



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Teorema

Para cada matriz A existe una y solo una matriz escalonadareducida equivalente a A.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Correlacion entre operaciones elementales

Dada la identificacion entre

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1n = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2n = b2

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amn = bm

Ay

A∗ =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 . . . amn bm

,



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Correlacion entre operaciones elementales

... se tiene tiene una correlacion entre las operacioneselementales que afectan al sistema lineal y las operacioneselementales que afectan a su matriz ampliada:

Tipo I: Ei ↔ Ej equivale a fi ↔ fj .

Tipo II: Ei → Ei + λEj equivale a fi → fi + λfj .

Tipo III: Ei → βEi equivale a fi → βfi , β 6= 0.

Teorema

Sean A y B dos sistemas lineales cada uno con m ecuaciones yn incognitas. Si las matrices ampliadas A∗ y B∗ sonequivalentes, entonces A y B son equivalentes, es decir, tienenlas mismas soluciones.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Numero de soluciones

Teorema

Sea A un sistema lineal con n incognitas cuya matriz ampliadaA∗ es escalonada reducida, entonces:

A es incompatible si A∗ tiene un pivote en la ultimacolumna.

A es compatible determinado si A∗ tiene n pivotes yninguno de ellos esta en la ultima columna.

A es compatible indeterminado si A∗ tiene menos de npivotes y ninguno de ellos esta en la ultima columna.

Observacion

Se tiene el resultado analogo para A∗ matriz escalonada.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Metodo de Gauss

Metodo de Gauss o de eliminacion gaussianapara resolver sistemas lineales

Sea AX = b.

Paso 1: Formar la matriz ampliada A∗.

Paso 2: Mediante operaciones operaciones elementales porfilas obtener una matriz C ∗ escalonada equivalente a A∗.

Paso 3: Resolver (en caso de que sea compatible) elsistema lineal correspondiente a C ∗ mediante sustitucionhacia atras.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo. Eliminacion gaussiana

Ejemplo

Resuelvase el siguiente sistema lineal mediante el metodo deeliminacion gaussiana:

x + 2y + 3z = 9

2x − y + z = 8

3x − z = 3



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Metodo de Gauss-Jordan

Metodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineales

Sea AX = b.

Paso 1: Formar la matriz ampliada A∗.

Paso 2: Transformar A∗ en su forma escalonada reducidaC ∗ mediante operaciones elementales por filas.

Paso 3: Para cada fila distinta de cero en C ∗ se despeja laincognita correspondiente al pivote de esa fila.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Variables basicas y libres

Definicion

Una columna pivote de una matriz A es aquella que esta en lamisma posicion que una columna de la forma escalonada oescalonada reducida de A que contiene a un pivote.

Definicion

Las incognitas o variables correspondientes a las columnaspivote se denominan variables basicas. Las restantes sedenominan variables libres

Observacion

Las variables que se despejan en el Paso 3 del metodo deGauss-Jordan son las variables basicas. Las demas son lasvariables libres.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo. Metodo de Gauss-Jordan

Ejemplo

Resuelvase el siguiente sistema lineal mediante el metodo deGauss-Jordan:

3x + 6y + z = 2

2x + 4y + 3z = 6

x + 2y + 3z = 6



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



¿Que procedimiento emplearemos en cada caso?

Sistemas incompatibles: Metodo de Gauss.

Sistemas compatibles determinados: Metodo de Gauss.

Sistemas compatibles indeterminados: Metodo deGauss-Jordan.

Ejemplo

Resuelvase el siguiente sistema lineal:

x + y − z = 1

2x + y + z = 2

4x + 3y − z = 0



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Recordamos la definicion

La inversa de una matriz A ∈Mn es una matriz A−1 ∈Mn

tal queAA−1 = A−1A = In

Teorema

Sean A,B ∈Mn.

Si AB = In, entonces BA = In.

SI BA = In, entonces AB = In.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Objetivo

Objetivo: Dada una matriz A, obtener un metodo practicopara calcular A−1.

Lo lograremos con el metodo de Gauss-Jordan para el calculode la inversa.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Metodo de Gauss-Jordan para el calculo de lainversa

Sea A ∈Mn. Buscamos B = (bij) ∈Mn tal que

AB = BA = In.

Notacion:

xj =

b1j

b2j...

bnj

, ej =

0...010...0

← j , j = 1, . . . , n.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Determinar B tal que

A

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n...

.... . .

...bn1 bn2 · · · bnn

=

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

equivale a

determinar n matrices x1, . . . , xn ∈Mn×1 tal queAxj = ej , j = 1, . . . , n.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Utilizaremos el metodo de Gauss-Jordan para resolver lossistemas Axj = ej , j = 1, . . . , n.

Observacion

Como todos tienen la misma matriz de coeficientes losresolveremos de forma simultanea.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Consideramos la matriz n × 2n

(A|e1 e2 · · · en) = (A|In)

y la transformamos a la forma escalonada reducida

(C |D).

La matriz (C |D) da lugar a n sistemas lineales

Cxj = dj , j = 1, . . . , n,

donde dj son las columnas de D.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Casos posibles:

1 C = In. Entonces xj = dj y B = D.

2 C 6= In. Entonces C tiene un fila llena de ceros (C ∈Mn

escalonada reducida) y D no (se obtiene haciendooperaciones elementales en In).

⇓Uno de los sistemas Cxj = dj no tiene solucion.

⇓Axj = ej tampoco tiene solucion.

⇓A no tiene inversa.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss




Metodo de Gauss-Jordan para el calculo de la inversa

Sea A ∈Mn.

Paso 1: Formar la matriz ampliada (A|In).

Paso 2: Transformar (A|In) en su forma escalonadareducida (C |D) mediante operaciones elementales porfilas.

Paso 3:

1 Si C = In, entonces A−1 = D.2 SI C 6= In, entonces A es singular y no existe A−1.



Op. elementales

Notacionmatricial

Matrices

Def. y tipos

Operaciones

Matriz inversa

Matriztraspuesta



Metodo deGauss



Ejemplo. Calculo de la inversa.

Calculense, en caso de que existan, las inversas de lassiguientes matrices:

A =

1 3 31 4 31 3 4

B =

1 3 31 4 31 5 3

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Tema 6. Sistemas lineales. Matrices - uah.es · Gauss M etodo de Gauss-Jordan C alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices. Tema 6. Sistemas lineales. Matrices Sistemas