MatriciProf. Walter Pugliese

Le matriciUna matrice è un insieme di numeri reali organizzati in righe e colonne.

• Se n è il numero delle righe e m e il numero delle colonne si dice che la matrice è di tipo n x m .

• I numeri che costituiscono una matrice si chiamano elementi e si rappresentano con una lettera minuscola (di solito corrispondente al nome della matrice) munita di un indice costituito da due numeri interi che rappresentano rispettivamente il numero di riga e di colonna dell’elemento:

𝐴 =𝑎$$ 𝑎$%𝑎%$ 𝑎%%

… 𝑎$(… 𝑎%)… …

𝑎)$ …… …… 𝑎)(

Esempio1:

𝐴 =

5 −3 04

12 2� −12

−34 0

5�

3 1

È una matrice di 3 righe e 4 colonne quindi è di tipo 3 x 4 e si ha per esempio che:

𝑎$$ = 5𝑎%: = −1𝑎:% = 0Esempio2:

𝐴 = 0 00 0

Setuttiglielementidiunamatricesonougualiazero,lamatricesidicenulla.

Esempio3:

𝐴 = 1 −2 05 B =3−12

Unamatricepuòancheavereunasolarigaepiùcolonneoppureunasolacolonnaepiùrighe.Matricidiquestotiposichiamanorispettivamentematricerigaematricecolonna;perriferirsiadessesiusaspessoancheilterminevettorerigaovettorecolonna

Matrice quadrataQuando il numero di righe è uguale a quello delle colonne, la matrice si dice quadrata ed il numero delle righe si dice ordine della matrice.

Esempio:

𝐴 =1 −3 52 0 10 4 7

È una matrice quadrata di ordine 3.Gli elementi in cui l’indice della riga è uguale della colonna costituiscono la diagonale principale della matrice: nell’esempio essi sono gli elementi 𝑎$$; 𝑎%%; 𝑎:: (in rosso). Gli elementi che si trovano sull’altra diagonale (0; 0; 5)costituiscono la diagonale secondaria.

Matrice trasposta

Se si scambiano le righe di una matrice con le sue colonne si ottiene un’altra matrice che si dice trasposta della prima.

La trasposta di una matrice 𝐴 si indica con il simbolo 𝑨𝑻.

È evidente che se una una matrice 𝐴 è di tipo n x m , allora 𝑨𝑻è di tipo m x n.

Esempio:

𝐴 =1−2

53

4 0allora 𝐴V = 1 −24

5 30

Matrice diagonale e matrice triangolare

Una matrice quadrata che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli che si trovano sulla diagonale principale, si dice matrice diagonale

𝐴 =1 0 00 5 00 0 −2

Se sono nulli tutti gli elementi che si trovano al di sopra oppure al di sotto della diagonale principale, la matrice si dice triangolare

𝐴 =1 7 30 5 60 0 −2

e 𝐵 =1 0 07 5 03 6 −2

sono matrici triangolari.

Addizione Due matrici 𝐴 e 𝐵 si possono sommare solo se sono dello stesso tipo; in questo caso:

La matrice somma 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 è matrice dello stesso tipo che si ottiene sommando gli elementi corrispondenti delle due matrici.

Esempio:

Le matrici

𝐴 = 3 1 − 2−5 40 e 𝐵 = 1 4 − 3

7 −28Sono entrambe del tipo 2 x 3, si ha che:

𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 3 + 1 1 + 4 − 2 − 3−5 + 7 4 − 20 + 8 = 4 5 − 5

2 28

Sottrazione

Chiamiamo opposta di una matrice 𝑀 la matrice 𝑀_i cui elementi sono gli opposti di quelli di 𝑀:

Se 𝑀 = 3 25 −1 la matrice opposta è 𝑀_ = −3 −2

−5 1La matrice differenza 𝑫 = 𝑨 − 𝑩 è la matrice che si ottiene sommando 𝑨 con l’opposta di 𝑩:

Siano 𝐴 = 3 1 − 2−5 40 e 𝐵 = 1 4 − 3

7 −28 allora

𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 3 − 1 1 − 4 − 2 + 3−5 − 7 4 + 20 − 8 = 2 −31

−12 6 − 8

Prodotto di una matrice per un numero reale

Si definisce prodotto di una matrice 𝑨 per un numero reale 𝒉 la matrice che ha per elementi quelli di 𝑨, ciascuno moltiplicato per 𝒉.

Esempio:

Siano ℎ = 5 e 𝐴 =1 0−2−1

32

allora ℎ d 𝐴 = 𝐴 d ℎ = 5 0−10−5

1510

Viceversa , se tutti gli elementi di una matrice hanno un fattore in comune, questo può essere messo in evidenza:

𝐴 = 4 8−2 6 = 2 d 2 4

−1 3

Prodotto tra matrici

Affinchè il prodotto tra due matrici 𝐴 e B possa essere eseguito occorre che il numero di colonne della matrice A sia uguale al numero di righe della matrice B. Si dice in questo caso che le due matrici sono confrontabili.

Il prodotto di due matrici confrontabili A e B, la prima di tipo n x p, la seconda di tipo p x m, è una matrice C di tipo n x m nella quale l’elemento 𝒄𝒊𝒌𝒔𝒊𝒐𝒕𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆:• Si moltiplicano i termini corrispondenti della riga i-esima e della colonna k-esima• Si sommano i prodotti ottenuti.

Esempio di prodotto tra matrici

Matrice identicaSi dice matrice identica una matrice quadrata di ordine n che ha tutti gli elementi uguali a zero tranne quelli che appartengono alla diagonale principale che sono uguali a 𝟏.

La matrice identica rappresenta l’elemento neutro della moltiplicazione tra matrici, cioe:𝑨 d 𝑰 = 𝑰 d 𝑨 = 𝑨

ESEMPIO:Consideriamo la matrice 𝐴 = 2 −5

3 4 e la matrice identica 𝐼 = 1 00 1

Si ha:

𝐴 d 𝐼 = 2 d 1 − 5 d 0 2 d 0 − 5 d 13 d 1 + 4 d 0 3 d 0 + 4 d 1 = 2 −5

3 4

𝐼 d 𝐴 = 1 d 2 + 0 d 3 1 d −5 + 0 d 40 d 2 + 1 d 3 0 d (−5) + 1 d 4 = 2 −5

3 4

CALCOLO DEL DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA

Ad ogni matrice quadrata 𝑨 di ordine n è possibile associare un numero reale che si chiama determinante di 𝑨 e che si indica con il simbolo

𝒅𝒆𝒕𝑨 𝒐𝒑𝒑𝒖𝒓𝒆 𝑨

Matrice di ordine 1:Il determinante di una matrice di ordine 1 è il numero stesso.Per esempio se 𝐴 = 3 allora 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 3

Matrice di ordine 2:Il determinante di una matrice di ordine 2è la differenza fra il prodotto degli elementi che appartengono alla diagonale principale e il prodotto degli elementi che appartengono alla diagonale secondaria.

Per esempio se 𝐴 = 1 4−3 2 allora det 𝐴 = 1 d 2 − −3 d 4 = 14

se 𝐵 =0 3$%

−1 allora det 𝐴 = 0 d (−1) − 3 d $%= − :

%

Matrice di ordine n:Questa regola può essere estesa al calcolo del determinante di una matrice quadrata qualsiasi, anche se, nei nostri esempi, ci limiteremo a matrici di ordine 3 o 4.Diamo prima alcune definizioni:• Si chiama minore complementare dell’elemento 𝒂𝒊𝒌 il determinante della matrice

che si ottiene da quella considerata sopprimendo la riga i-esima e la colonna k-esima.

• L’elemento 𝑎yz si dice di classe pari se 𝑖 + 𝑘 è un numero pari, si dice di classe dispari se 𝑖 + 𝑘 è un numero dispari.

• Si chiama complemento algebrico dell’elemento 𝒂𝒊𝒌, e si indica di solito con il simbolo 𝐴yz , il minore complementare di 𝑎yz se questo è di classe pari, il suo opposto se 𝑎yz è di classe dispari.

Regola (teorema di Laplace):Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.

Esempio

Consideriamo la matrice di ordine 3 𝐴 =2 130−1

2114

Risulterà allora (avendo scelto la riga 3 , più conveniente perché contiene uno zero) :

det 𝐴 =0 −1 + 2 11 + 1 −3 = 0 + 22 − 3 = 19

Elemento Minore complementare Complemento algebrico

𝒂𝟐𝟏 = 𝟎 1 31 4 = 1 −1

(opposto del minore complementare poiché 𝒂𝟐𝟏 è un elemento di classe dispari)

𝒂𝟐𝟐 = 𝟐 2 3−1 4 = 11 11

(uguale al minore complementare poiché 𝒂𝟐𝟏 è un elemento di classe pari)

𝒂𝟐𝟑 = 𝟏 2 1−1 1 = 3 −3

(opposto del minore complementare poiché 𝒂𝟐𝟏 è un elemento di classe dispari)