MATRIKS - · PDF fileMencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 3 x 3 (Pengayaan) a. Mencari Determinan. Jika matriks Contoh : ... elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P 2

1 |SMA SANTA ANGELA

MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui data atau informasi

dalam bentuk tabel, seperti tabel pertandingan sepakbola, tabel absensi

kelas, tabel harga tiket kereta api dan sebagainya.

Contoh : 1. Tabel Pertandingan Sepakbola

Negara Menang Seri Kalah

Indonesia 4 1 0

Malaysia 4 0 1

Singapura 3 1 1

Laos 2 1 2

2. Tabel Absensi Kelas

Nama Sakit Ijin Alpa

Anita 3 2 1

Beno 0 2 1

Citra 2 1 0

3. Tabel Harga Tiket Kereta Api Bandung-Yogyakarta ( Dalam Ribuan )

Kereta Eksekutif Bisnis Ekonomi

Mutiara selatan 220 120 75

Lodaya 200 100 60

2 |SMA SANTA ANGELA

Notasi matriks dari tabel-tabel diatas adalah sbb :

( ) [ ]

( )

Pengertian atau Definisi Matriks

B. Ordo (Ukuran) Suatu Matriks

Adapun contoh-contoh matriks adalah sebagai berikut :

(

) [

]

Pengertian Ordo (Ukuran) Matriks

Matriks adalah

𝑅2×4

Ordo (ukuran) Matriks adalah

3 |SMA SANTA ANGELA

C. Jenis-Jenis Matriks

Adapun jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut :

1. Matriks baris

2. Matriks kolom (lajur)

3. Matriks persegi

4. Matriks persegi panjang

5. Matriks Segitiga

Matriks segitiga Atas

Matriks segitiga Bawah

6. Matriks Diagonal

7. Matriks Identitas

8. Matriks Simetris

9. Matriks Nol

Contoh : Tentukan termasuk jenis matriks yang mana matriks-matriks berikut ini :

( ) [

]

(

)

[

] (

) [

]

(

) [

]

(

)

D. Transpos Suatu Matriks

Lambang transpos suatu matriks adalah ̅ Transpose suatu matriks adalah

Contoh :

4 |SMA SANTA ANGELA

(

) ( )

*

+ * +

E. Kesamaan Dua Matriks

Contoh : 1. Tentukan nilai a, b dan c dari matriks-matriks berikut :

[

] [

]

2. Tentukan nilai a, b, c dan d dari matriks berikut :

*

+ *

+

3. Diberikan kesamaan matriks :

[

] [

]

Tentukan nilai dari ( )

Jawab :

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A=B) jika dan hanya jika :

1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B

2. Semua elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B

mempunyai nilai yang sama 𝑎𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗

5 |SMA SANTA ANGELA

F. Operasi Aljabar Pada Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Syarat :

1. Matriks-matriks dapat dijumlahkan apabila memiliki ordo yang sama

2. Unsur-unsur yang dijumlahkan adalah unsur-unsur yang seletak.

Contoh : Diketahui matriks-matriks :

*

+, *

+ , *

+ , *

+, dan

*

+

Tentukan hasil penjumlahan matriks berikut ini :

a. dan

b. ( ) dan ( )

c. , dan ( )

d. ( ) dan

Jawab :

a. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Operasi Matriks

PENJUMLAHAN

PENGURANGAN

PERKALIAN

PEMANGKATAN

6 |SMA SANTA ANGELA

b. ( ) ( ) *( ) ( )+ ( )

( ) ( )

( ) *( ) ( )+ ( ) ( ) ( )

( )

c. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Kesimpulan :

Jika A, B, C dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama,

maka dalam penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. Sifat

2. Sifat

3. Sifat

4. Lawan

5.

7 |SMA SANTA ANGELA

2. Pengurangan Matriks

Syarat :

1. Matriks-matriks dapat dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama

2. Unsur-unsur yang dikurangkan adalah unsur-unsur yang seletak.

Contoh :

1. Diketahui matriks-matriks : *

+, *

+ ,

*

+. Tentukan ( ) dan ( )


+, *

+.

Tentukan ( ) dan


+, *

+ ,

*

+.

Apabila , tentukanlah nilai Jawab :

8 |SMA SANTA ANGELA

3. Perkalian Matriks

Contoh :

1. Diketahui : matriks-matriks *

+, *

+,

*

+ dan [

]. Tentukan dan


+, *

+ , *

+

Tentukanlah :

a. dan

b. ( ) dan ( )

c. ( ) dan ( )

d. ( )( ) dan ( )

e. ( )

f. ( ) dan

g. ( ) dan

Jawab :

2 a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b. ( ) *( ) ( )+ ( ) ( ) ( )

( )

Dua Matriks A dan B dapat dikalikan dan menghasilkan matriks C, jika

dan hanya jika :

1. Matriks-matriks berbentuk matriks persegi.

2. 𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 𝐶𝑚×𝑛

9 |SMA SANTA ANGELA

( ) ( ) *( ) ( )+ ( ) ( )

( )

c. ( ) ( ) *( ) ( )+

( ) ( ) ( )

( ) *( ) ( )+ *( ) ( )+

( ) ( ) ( )

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) *( ) ( )+ ( ) ( )

e. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f. ( ) *( ) ( )+ ( ) ( )

( ) ( ) ( )

g. ( ) *( ) ( )+ ( ) ( )

( ) ( ) ( )

10 |SMA SANTA ANGELA

Kesimpulan :

4. Pemangkatan Matriks

Syarat : Karena pemangkatan adalah perkalian berulang, maka

matriks bisa dipangkatkan apabila berupa matriks-matriks persegi.

Contoh :


+, *

+.

Tentukan ( )2 dan 2 2.

2. Tentukan nilai dan dalam persamaan berikut ini :

a. (

) sehingga 2

b. (

) sehingga 2

3. Jika [

], maka tentukanlah 2

Jawab :

Jika A, B, C dan I adalah matriks-matriks yang berordo sama,

maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut ini :

1. Sifat

2. Sifat

3. Sifat

4.

5.

6.

7.


G. Determinan dan Invers Matriks

Pada pokok bahasan matriks di kelas XII ini pembahasan difokuskan

pada mencari determinan dan invers matriks berordo 2 x 2 dan

ditambahkan materi pengayaan yaitu mencari determinan dan invers

matriks berordo 3 x 3. Determinan matriks berlaku pada matriks persegi

saja.

1. Mencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 2 x 2

a. Mencari Determinan Notasi atau lambang determinan suatu matriks ditulis : “ det

( ), | | atau

Contoh :

1. Jika (

) dan (

). Tentukan determinan

dari matriks .

2. Tentukan nilai dari persamaan berikut |

| |

|

3. Diketahui :

(

) dan (

) . Jika determinan A dan

determinan B sama maka tentukanlah nilai yang memenuhi.

Jika matriks 𝐴 (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) maka determinan dari matriks A

dapat ditentukan oleh :

det (𝐴) |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| 𝑎𝑑 𝑏𝑐

Catatan :

1. Matriks Singular adalah matriks yang determinannya sama

dengan 0 dan tidak memiliki invers.

2. Matriks Non-Singular adalah matriks yang determinannya

tidak sama dengan 0 dan memiliki invers.


4. Diketahui matriks :

(

) dan (

) . Tentukanlah nilai yang memenuhi

persamaan ( )

5. Tentukan jumlah akar-akar dari persamaan |

|

Jawab :

b. Mencari Invers.

Contoh :

1. Jika *

+ dan *

+. Tentukanlah :

a. ( ) dan ( )

b. dan

c. dan

d. ∙ dan ∙

e. ( ) dan ( )

f. Apakah ( ) ∙ dan ( ) ∙ ?

2. Diberikan : (

) dan (

). Tentukanlah :

a. ∙ ( ) b. 2

Jawab :

1. a. ( ) ( ) ( ) ( )

𝐴

det (𝐴) (𝑑 𝑏 𝑐 𝑎

)

Jika matriks 𝐴 (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) dengan a, b, c, d ∈ bilangan real

maka invers dari matriks A dapat ditentukan oleh :


( ) ( ) ( ) ( )

b. ( ) ( )

( ) ( )

c. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d. ∙ ( ) ( ) ( )

∙ ( ) ( ) ( )

e. ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

f. Kesimpulan :


2. Mencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 3 x 3

(Pengayaan)

a. Mencari Determinan.

Contoh : Carilah determinan dari matriks-matriks berikut ini :

a. [

] (

)

Jawab :

Jika matriks 𝐴 (𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

) (𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ∈ 𝑅)

maka determinan dari matriks A dapat ditentukan dengan

aturan sarrus :

et (𝐴)

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

𝑎 𝑏𝑑 𝑒𝑔 ℎ

(𝑎𝑒𝑖 𝑏𝑓𝑔 𝑐𝑑ℎ) (𝑐𝑒𝑔 𝑎𝑓ℎ 𝑏𝑑𝑖)


b. Mencari Invers.

Contoh : Carilah invers dari matriks-matriks berikut :

a. [

] b. (

)

Jawab :

𝐾𝑖𝑗 ( )𝑖+𝑗 |𝑝 𝑞𝑟 𝑠

| ( )𝑖+𝑗 (𝑝𝑠 𝑞𝑟)

𝐴

det(𝐴) 𝐴𝑑𝑗 (𝐴)

Jika matriks 𝐴 (𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

) (𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 ∈ 𝑅) maka

invers dari matriks A dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai

berikut :

1. Mencari determinan dari matriks det (𝐴)

2. Mencari kofaktor dari matriks A, dengan cara :

3. Mencari Adjoin dari matriks A, dengan cara :

Adj (𝐴) (𝐾 𝐾2 𝐾3

𝐾 2 𝐾22 𝐾32

𝐾 3 𝐾23 𝐾33

)

4. Mencari invers dengan cara :


H. Persamaan Matriks Berbentuk dan

Mencari matriks dari persamaan matriks berbentuk

dan

( ) ( )

Kesimpulan :

Contoh : 1. Tentukan matriks yang memenuhi persamaan :

a. (

) (

) b. (

) (

)

2. Jika (

) ( ) (

) maka tentukanlah nilai (

)

3. Carilah matriks dari persamaan berikut :

(

) (

) (

)

Jawab :


I. Aplikasi Matriks Pada Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear baik yang dua variabel maupun yang tiga

variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks. Metode yang

dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode

“ATURAN CRAMER”

1. Sistem Persamaan Linear Dua variabel (SPLDV)

Perhatikan SPLDV berikut ini !

{

Cara mencari determinan matriks koefisien dan determinan variabel-

variabelnya adalah :

|

| ; |

| ;

| |

Contoh :

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini :

a. {

b. {

Jawab :

Langkah-langkah menyelesaikan sistem persamaan linear dengan

metode “Aturan Cramer” adalah :

1. Mencari determinan dari matriks koefisien dan determinan dari

variabel-variabel 𝑥 𝑦 dan 𝑧 𝑫 𝑫𝒙 𝑫𝒚 𝑫𝒛

2. Mencari nilai 𝑥 𝑦 dan 𝑧 dengan cara :

𝒙 𝑫𝒙

𝑫 ; 𝒚

𝑫𝒚

𝑫 ; 𝒛

𝑫𝒛

𝑫


2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Perhatikan SPLTV berikut ini !

{

ℎ

Cara mencari determinan matriks koefisien dan determinan variabel-

variabelnya adalah :

ℎ

ℎ

( ℎ) ( ℎ )

ℎ

ℎ

( ℎ) ( ℎ )

( ) ( )

ℎ

ℎ

( ℎ) ( ℎ )

Contoh : Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini :

b. {

b. {

Jawab :


Latihan 1

1. Diketahui

53101

35230

54211

P

Tentukan :

a. elemen-elemen baris ke-2

b. elemen-elemen kolom ke-2

c. elemen-elemen kolom ke-4

d. elemen baris ke-1 kolom ke-3

e. elemen baris ke-3 kolom ke-5

f. ordo P

2. Diketahui

6204

0413

1532

X

Tentrukan :

a. ordo X

b. elemen-elemen baris ke-2

c. 3.2x

d. 1.3x

e. 2.3x


3. Diketahui

423

151

520

642

A

Tentukan letak elemen :

a. –2 b. 5 c. 6 d. 3 e. 0

4. Berikut ini termasuk jenis matriks apa ?

a.

10

21A b. 201B

c.

334

031

003

C d.

400

040

004

D

5. Berikan contoh lain dari matriks :

a. simetris b. segitiga bawah

c. segitiga atas d. diagonal

Latihan 2 (Kesamaan dan Transpose Matriks)

1. Tentukan x dan y dari :

a.

52

93

58

33

y

x b.

xy

x

0

14

30

12

1

c.

35

24

32

14

x

xy

x

y d.

4

12

yx

yx

2. Tentukan a, b, c dan d dari :

a.

46

25

43

625 b

b

a b.

8

6

2

210

c

a

bda

cb


c.

52

3

21

3

a

db

cd

b

a d.

58

151

23

43

cadb

dbca

3. Tentukan transposenya dari :

a.

054

321A b.

521

305

124

B

4. Tentukan c jika

cb

aA

32

44,

14224

26

ba

abcB dan

TBA

Latihan 3 (Operasi Matriks)

1. Sederhanakanlah

a.

5

3

2

10 b.

510

43

51

12 c. 31

2

5

d.

74

32

51

20 e.

753

143

824

315

f.

53

21

40

37

12

45 g.

01

24

15

27

34

12

h. 454312 i.

yxx

xy

xyy

xyx

45

3

532

2

2. Tentukan x jika

32

41

54

32x

3. Tentukan x jika

36

27

53

14x


a.

11

30

51

48

dc

ba


b.

51

04

53

24

dcc

aba

5. Jika

13

52A dan

02

41B , maka tentukan :

a. 2A + 2B b. 3A – 2B c. )(2

1BA

d. –4(A – B)

6. Tentukan matriks X jika:

a.

810

642X b.

03

67

45

232X

c.

42

31

010

152X d.

12

130

2

1

10

01X


a.

54

75

3

13

1

22

c

b

d

a

b.

64

23

642

284

2

1

3

14

cb

c

db

ab

ca

8. Diketahui

cb

aA

32

4 dan

7

1232

ba

abcB . Jika

TBA 2 , maka

tentukan nilai c!

9. Sederhanakan !

a.

2

543 b.

40

1321

c.

3

1

2

1

98

64


d.

1

5

14

30 e.

12

53

01

43

f.

203

412

31

42

g.

30

24

13

524

301 h.

332

514

421

207

364

125

10. Diketahui

42

13X . Jika XXX .2 dan XXXX ..3 maka

tentukan :

a. 2X b.

3X

11. Jika

243

021A dan

00

11

24

B maka tentukan :

a. TBA)( b.

TAB)(

12. Tentukan a jika

1

12

34

12

3

54

3

1

ac

c

bb

d

Latihan 4 (Invers Matriks Berordo 2 x 2)

1. Tentukan determinannya !

a.

23

35A b. B =

32

64 c.

13

32C d.

32

54D

2. Tentukan inversnya ! (jika ada)

a.

35

11A b.

04

15B c.

63

84C d.

58

610D


3. Tentukan x jika

xx

xP

2

8 singular

4. Tentukan matriks X jika :

a.

1514

58

02

54X b.

12

34

43

21X

c.

14

28

41

23X d.

210

514

28

14

12X

Latihan 5 (Invers Matriks Berordo 3 x 3 / Pengayaan) 1. Tentukan determinan dari :

a.

130

123

021

A b.

211

033

124

B c.

214

301

425

C

2. Tentukan x jika 35

312

104

13

x

3. Diketahui

143

110

224

X . Tentukan :

a. 21M b. 33M c. 12A d. 22A e. Adj(X)

4. Tentukan inversnya dari :

a.

011

231

204

P b.

210

433

125

Q

Documents

MATRIKS - · PDF fileMencari Determinan dan Invers Matriks Berordo 3 x 3 (Pengayaan) a. Mencari Determinan. Jika matriks Contoh : ... elemen baris ke-3 kolom ke-5 f. ordo P 2