mats_12b_13a_GARCH1_2016

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016

http://slidepdf.com/reader/full/mats12b13agarch12016 1/23

12/B ÉS 13/A HÉT:

VOLATILITÁSMODELLEK I.

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


2

Tartalom

• Pénzügyi piacok stilizált tényei

• ARCH-modell és tulajdonságai

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


STILIZÁLT TÉNYEK

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


4

S&P500 napi árfolyamindex: Stés logaritmikus hozam: ut = log (St /St-1) A log-hozamok lényegében %-os változást

jelentenek:ut = log (St/St-1) ≈ St/St-1 – 1 = (St – St-1) / St-1

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


5

Tőzsdei árfolyamok alapmodellje:a geometriai Brown-mozgás

•

Kendall (1951): a logaritmizáltárfolyamok Brown-mozgást (véletlen

bolyongást) követnek

• Az árfolyamokat lényegében

lehetetlen előrejelezni• „Random walk down Wall Street”

• Valóban: a log-hozamok közel

autokorrelálatlanok.• AR(1)-modellt illesztve rájuk az

autoregresszív együttható kicsi (vagy

akár nem is szignifikáns)

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


6

Az alapmodell hiányosságai I. A hozamok nem normális eloszlásúak!

•

A Jarque-Bera teszt elveti anormalitást.

• Az eloszlás csúcsosabb a

normálisnál.• Sok kiugró negatív érték van:

• 20 év alatt a legnagyobb veszteség: 22%

(1987.10.19.),• azonos szórású normális eloszlás esetén

20 év alatt 4-5% lenne a legnagyobb

veszteség

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


7

Az alapmodell hiányosságai II. A hozamok valójában nem függetlenek!

•

A hozamok abszolútértékeinek sorozata

autokorrelált.

• Tehát a hozamok nemlehetnek függetlenek.

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


8

Nagy és kis volatilitású (szórású)

időszakok váltakoznak.Példa: az S&P500 1987-ben,

a fekete nap környékén

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


ARCH-MODELL

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


ARCH-típusú volatilitásmodellek

•

ARCH = autoregressive conditionalheteroscedasticity

• It-1: t-1. napon meglevő információ

• yt a t. napi hozam.

• Ezek a modellek a Var(yt|It-1) feltételes

varianciát modellezik.

• Megjegyzés: AR-modellek az előrejelzett

várható értéket modellezik.

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


A legegyszerűbb modell: ARCH(p)-modell

(Robert Engle, 1982)

•

ahol a vt változók:• függetlenek

• E(vt)=0

• Var(vt)=1

• sokszor azt is feltételezik, hogy vt standard normális

eloszlású.

t t t

t pt pt t t

vh

Lh

=

+=++++=−−−

ε

ε α α ε α ε α ε α α 2

0

22

22

2

110 )(...

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Heurisztikus magyarázat

• It-1: a (t-1). napon meglevő információ

•

E( εt | It-1 ) = 0 (tehát εt előrejelezhetetlen)• Ebből következően zéró várható értékű és autokorrelálatlan is

• Var( εt | It-1 ) = E (εt2 | It-1 ) = α0+ α1εt-1

2 + ...

•Ha vt standard normális, akkor εt|It-1 ~ N(0, ht).

t t t

t pt pt t t

vh

Lh

=

+=++++=−−−

ε

ε α α ε α ε α ε α α 2

0

22

22

2

110 )(...

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Alternatív felírás• εt

2 AR(p)-folyamatot követ:

εt

2 = α0+α

1ε

t-1

2++ αp

εt-p

2+wt

• ahol a wt sorozat már autokorrelálatlan

(ez a négyzetekre felírt AR-modell maradéktagja)

• Tehát:

• az εt2 folyamat autokorrelált,

• maga az εtfolyamat viszont nem az (mint láttuk előzőleg)!

• A modell a tőzsdei hozamok egyik fontos tulajdonságát

visszaadja!

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Nemnegativitási és stacionaritásifeltételek

•Nemnegativitási feltétel: α0 >0 és αi≥0 (1≤i≤p)• ekkor a variancia biztosan pozitív

•

Stacionaritási feltétel: α1+α2+...+αp<1• ez elégséges feltétel arra, hogy a folyamat kovariancia-

stacionárius legyen

•

ekkor a feltétel nélküli variancia:σ2=Var(ε)= α0 /(1- α1-α2-...αp)

• De „szigorúan” stacionárius ennél nagyobb paraméterek

esetén is lehet!

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Előrejelzés ARCH(p)-modellből

•

A folyamat lineárisan nem előrejelezhető.• A variancia előrejelzése:

E(εt+12|It)= εt+1|t

2 = α0+α1εt2++ αpεt-p+1

2

εt+k|t2 = α0+α1εt+k-1|t2++ αpεt+k-p|t2

• Belátható, hogy az előrejelzés az előrejelzési

horizont növekedésével a feltétel nélküli varianciához

tart (amennyiben az véges).

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Az ARCH(1)-folyamat negyedikmomentuma (kiegészítő anyag)

•Ha vt ~ N(0,1), akkor εt|It-1 ~ N(0,ht), ezértE(εt

4 | It-1 )= 3E2(εt2 | It-1 )=3(α0+α1εt-1

2)2

• Ebből a negyedik momentum:

• amit megoldva:

4

2

1

1

12

0

4

1

2

1

2

110

2

0

22

1101

44

4

3)1

21(3)2(3

)(3)|(()(

m E

E I E E E m

t t

t t t t

α

α

α

α ε α ε α α α

ε α α ε ε

+

−

+=++=

+===

−−

−−

)31)(1(

)1(32

11

1

2

04

α α

α α

−−

+=m

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Az ARCH(1)-folyamat csúcsossága(kiegészítő anyag)

• A csúcsossági mutató (kurtózis):

• A feltétel nélküli eloszlás csúcsosabb (ésvastagabb szélű), mint a normális eloszlás.

• Ez akkor is így van, ha a feltételes eloszlás (vt

eloszlása) normális!

• εt negyedik momentuma (és csúcsossága) csakα1

2<1/3 esetén véges!• Ezért pl. a négyzetes korrelogram becslése óvatossággal

kezelendő.

331

13

)1(

)31)(1(

)1(3

)( 2

1

2

1

2

0

2

1

2

11

1

2

0

2

4>

−

−=

−⋅

−−

+

=

α

α

α

α

α α

α α

ε t Var

m

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


18

Szimuláció (α0 =1, α1=0.8):a volatilitás klasztereződése

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


19

Szimuláció:egymást követő tagok ábrázolása

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Szimuláció:

a feltétel nélküli eloszlás csúcsosabbés vastagabb szélű a normális

eloszlásnál

0

200

400

600

800

-20 -10 0 10 20

Series : ARCHFOLY

Sample 1/04/1983 12/30/1988

Observations 1564

Mean 0.015327

Median 0.035028

Maximum 18.38301

Minimum -25.57800

Std. Dev . 2.174400

Skewness -0.587662

Kurtosis 24.53657

Jarque-Bera 30315.87

Probability 0.000000

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


21

Szimuláció: a folyamat

autokorrelálatlan,négyzete viszont autokorrelált

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Kis általánosítás: AR-modell ARCH-hibataggal

•

Ha a folyamat nem autokorrelálatlan, akkor afeltételes variancia mellett a feltételes várható

értéket is modellezni kell.

•

Például AR-modell ARCH-hibataggal:• yt = a0 + a1yt-1 + a2yt-2 + ... + apyt-p + εt

• ahol εt ARCH-folyamatot követ.

• Ezzel tehát a feltételes várható érték és afeltételes variancia együttesen modellezhető.

8/16/2019 mats_12b_13a_GARCH1_2016


Tananyag

•

Enders 3.1-3.2. alfejezet

Documents

mats_12b_13a_GARCH1_2016