IMAGEN DISPARADORA

MATEMÁTICA BÁSICA I

-ELIPSE

Semana 12 Sesión 02

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la unidad, el estudiante identifica el comportamiento de las relaciones binarias, las cuales grafica en el plano cartesiano, determina la ley de formación y aplica las propiedades de las relaciones binarias para resolver problemas vinculados a los diferentes campos de la ingeniería.

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

ESQUEMA DE LA UNIDAD

RECONOCIMIENTO DE CÓNICAS

HIPÉRBOLA

PARÁBOLA

ELIPSE

LA ELIPSE:

INTRODUCCIÓN

LA ELIPSE

DEFINICIÓN:“Es el lugar geométrico formado por el conjunto de puntos cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a”

LA ELIPSE

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS

“F1” y “F2”: a estos puntos se les denomina focos y se encuentran ubicados sobre el eje focal, designando a la distancia entre ellos como 2c.

“C”: Es el centro de la elipse, es el punto donde se intersecan los ejes mayor y menor, representa además el punto medio entre los focos y los vértices.

“V1” y “V2”: Son los vértices de la elipse, representan los puntos donde coinciden el eje focal y la elipse, y la distancia entre ellos es 2a.

“B1” y “B2”: Son los extremos del eje menor de la elipse, es decir son los puntos donde coinciden la elipse y el eje transversal (llamado también eje conjugado tomando en cuenta que el eje transversal es el segmento de recta perpendicular al eje focal en el centro del mismo).

Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor que pasa por cada foco, la elipse tiene 2 lados rectos.

Excentricidad: Se representa con la letra “e” y es la relación que existe entre la distancia focal (2c) y la longitud del eje mayor (2a).

LA ELIPSE

ECUACIÓN DE LA ELIPSE

De centro (0, 0)

LA ELIPSE

De centro

ECUACIÓN DE LA ELIPSE

LA ELIPSE

ECUACIÓN EN FORMA GENERAL

Partimos de:

𝑨𝒙𝟐+𝑩𝒚 𝟐+𝑪𝒙+𝑫𝒚 +𝑬=𝟎

obtenemos:

donde:

𝒃𝟐=𝑨

𝒂𝟐=𝑩

−𝟐𝒉𝒃𝟐=𝑪

−𝟐𝒌𝒂𝟐=𝑫

𝒃𝟐𝒉𝟐+𝒂𝟐𝒌𝟐−𝒂𝟐𝒃𝟐=𝑬

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

1) Determine en la ecuación: 9 + 16 < 18 < 64 < 71 = 0 a) vértices, b) focos, c) extremos del eje normal, d) lado recto, e) extremos del lado recto, f)excentricidad, g) rectas directrices y h) graficar

2) Determine en la ecuación: 25 + 16 + 100 < 96 < 156 = 0 a) vértices, b) focos, c) extremos del eje normal, d) lado recto, e) extremos del lado recto, f) excentricidad, g) rectas directrices y h) graficar. 

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

3) Determinar la ecuación de la elipse que satisface F1 (2; 0),

F2 (-2; 0) y una de sus directrices es x= 8.

4) Determinar la ecuación general de la elipse cuyo eje mayor de longitud 26 u, está sobre la recta : 4 < 3 + 17 = 0 y cuyo eje menor de longitud 10 u, está sobre la recta : 3 + 4 < 6 = 0

 

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

5) El techo de un pasillo de 20 m de ancho tiene la forma de una semielipse, tiene 18 m de altura en el centro y 12 m de altura en las paredes laterales. Hallar la altura del techo a 4 m de cualquier pared. (SUGERENCIA: Considerar el techo como la parte superior de una iglesia).

 

¡Ahora todos a practicar!

PROBLEMA RETO

Graficar la elipse de ecuación 9x2+25x2-215=0 e indicar las coordenadas de sus vértices, focos, extremos de su eje menor, así como la longitud de su lado recto, la distancia entre sus directrices y su excentricidad.