MỤC LỤC MỞ ĐẦU - hus.vnu.edu.vn (367).pdf · tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab. Em cũng xin gửi lời cảm ơn PTN tính toán trong KHVL, các thầy

Mô hình Ising và ứng dụng cho các chất sắt từ

Luận văn tốt nghiệp 1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

CHƢƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING ........................................................ 5

1.1: Đặc điểm của chất sắt từ. ..................................................................................... 5

1.2:Hiện tượng chuyển pha vật liệu sắt từ. ................................................................ 6

1.2.1.Pha và chuyển pha. ............................................................................................ 6

1.2.2.Phân loại chuyển pha ......................................................................................... 6

1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ. ............................................................................. 7

1.3 : Mô hình Ising cho chất sắt từ. ............................................................................. 9

1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều. ...................................................... 13

1.3.3. Mô hình Ising ba chiều. ................................................................................... 15

1.3.4. Năng lượng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising ..................... 19

1.3.5 : Kết luận .......................................................................................................... 21

CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN TRAO

ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG ............................................................... 22

2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự. ................................................... 22

2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự. ..................................................... 22

2.1.2. Mô hình Ising mất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ thức

Callen. ....................................................................................................................... 24

2.1.3: Phương trình đại số cho mô men từ trên một nút mạng nhận bằng phương

pháp biến đổi tích phân. ............................................................................................ 26

2.2: Phương pháp Monte Carlo [5] ........................................................................... 34

2.2.1: Thuật toán Metropolis .................................................................................... 34

2.2.2: Áp dụng cho mô hình Ising hai chiều ............................................................. 37



CHƢƠNG 3 : KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ........................................................ 40

3.1: Đường cong từ nhiệt m(t) khi có và không có từ trường ngoài. ........................ 41

3.1.1: Mạng hai chiều ............................................................................................... 41

3.1.2: Mạng ba chiều (z=6) ...................................................................................... 45

3.2. Đường biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha Curie vào xác suất p ............. 47

3.2.1 : Mạng hai chiều .............................................................................................. 47

3.2.2: Mạng ba chiều ................................................................................................ 48

3.3 : Sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường ngoài h ở nhiệt độ thấp. ..................... 49

3.3.1: Mạng hai chiều ............................................................................................... 49

3.3.2: Mạng ba chiều ................................................................................................ 51

3.3.3:Áp dụng mô hình Ising có tích phân trao đổi thăng giáng cho chuyển phameta

từ ................................................................................................................................ 54

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 57

PHỤ LỤC ................................................................................................................. 58



LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Bạch Hương Giang và GS.TS Bạch

Thành Công đã tận tình hướng dẫn và động viên trong suốt quá trình thực hiện luận

văn để em có thể hoàn thành tốt đề tài “ Mô hình Ising và ứng dụng với các chất sắt

từ” .

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Th.S Nguyễn Văn Chinh –bộ môn Lý

Sinh –Học viện Quân Y đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình em thực hiện những

tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn PTN tính toán trong KHVL, các thầy cô trong bộ

môn Vật lý chất rắn và các thầy cô trong Khoa Vật lý – Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, các thầy cô công tác tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã trang bị kiến

thức chuyên môn cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp em hoàn thành

luận văn này.

Cám ơn đề tài NAFOSTED 103.02.2012.73 đã giúp đỡ tính toán trên máy tính

để thực hiện thành công luận văn này.

Cuối cùng em xin gửi những lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh,

động viên trong suốt quá trình em học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

Hà Nội ngày 01 tháng 08 năm 2014

Người thực hiện

Nguyễn Thị Kim Oanh



MỞ ĐẦU

Vật liệu từ được phát hiện cách đây hàng nghìn năm và ứng dụng tiêu biểu

nhất trong thời kì đó là kim la bàn. Chính la bàn đã tạo điều kiện cho ngành hàng

hải phát triển, góp phần tìm ra các lục địa mới. Việc phát hiện ra loại vật liệu này

với những tính chất đặc biệt của nó đã tạo bước ngoặt lớn trong tiến bộ của loài

người. Ngày nay, các vật liệu từ được ứng dụng rộng rãi trong các thiết bị hiện đại

của cuộc sống xung quanh chúng ta như điện thoại, la bàn, ổ cứng, ti vi… Song

song với sự phát triển của các loại vật liệu từ là sự phát triển của ngành từ học

nghiên cứu các tính chất và các hiện tượng của vật liệu đó. Một hiện tượng quen

thuộc và nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học chính là hiện tượng

chuyển pha của vật liệu từ. Các mô hình lý thuyết giải thích hiện tượng từ một cách

hiện tượng luận đã được đưa ra như mô hình lý thuyết trường phân tử Weiss (1907)

giải thích hiện tượng sắt từ, mô hình Neel (1904-2000) giải thích hiện tượng phản

sắt từ và feri từ ….Tuy nhiên việc phát triển các mô hình vi mô để giải thích được

bản chất lượng tử của các hiện tượng từ luôn là nhiệm vụ cần thiết.

Hiện nay, quá trình từ hóa trong vật liệu có cạnh tranh tương tác như quá trình

cạnh tranh giữa phản sắt từ và sắt từ trong hợp chất, hợp kim perovskite pha tạp, sắt

từ pha tạp …đang được nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới nghiên cứu. Đặc biệt

là quá trình từ hóa ở nhiệt độ thấp với ảnh hưởng của từ trường ngoài trong vật liệu

đa tinh thể. Ví dụ như công trình nghiên cứu của R. Mahendiran [15] khảo sát sự

phụ thuộc của mô men từ vào trường ngoài của vật liệucho kết quả khá lý thú là tồn

tại của bước nhảy của mô men từ ở nhiệt độ thấp gần 0 độ Kelvin.Các nhảy bậc

trong đường cong từ hóa ở nhiệt độ thấp trong môi trường có tồn tại cạnh tranh

tương tác đã được khảo sát trong mô hình Ising hai chiều [7].

Mô hình Ising (1920) là mô hình toán học đơn giản cho hiện tượng từ trong cơ

học thống kê. Mô hình này bao gồm các biến độc lập được gọi là spin có thể nhận

một trong hai giá trị là 1 hoặc -1. Các biến spin được sắp xếp trong mạng tinh thể tại

các nút mạng và chỉ tương tác với những lân cận của nó do nhà khoa học Ersnt



Ising (1900-1998) xây dựng cùng với một số lý thuyết được nêu trong các công

trình khoa học ở trên là cơ sở để giải thích cho quá trình chuyển pha từ trong các hệ

từ pha tạp mạnh và có cạnh tranh tương tác.

Trong luận văn này, tôi tiếp tục phát triển lý thuyết trên khảo sát quá trình từ

hóa của vật liệu sắt từ dưới tác dụng của trường ngoài khác nhau và cho các hệ thực

(hệ hai chiều, hệ ba chiều) mất trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết với thực

nghiệm. Các tính toán được thực hiện trong gần đúng phương pháp trường trung

bình dựa trên đẳng thức Callen và khảo sát kết quả dựa trên phương pháp Monte

Carlo là phương pháp tính toán lý thuyết kết hợp với mô phỏng.

Phƣơng pháp nghiên cứu

- Dựa trên mô hình Ising và hệ thức Callen thực hiện các bước biến đổi giải

tích theo cơ học thống kê để xây dựng được biểu thức mô men từ tỉ đối trên một nút

mạng phụ thuộc vào các thông số như nhiệt độ, từ trường ngoài đặt vào, xác suất

thăng giáng… Từ đó sử dụng phần mềm hỗ trợ Mathlab tính toán số thu được kết

quả về sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối vào nhiệt độ và vào từ trường ngoài phù

hợp với lý thuyết chuyển pha và thực nghiệm đã đo được.

- Ngoài ra sử dụng phương pháp Monte Carlo áp dụng cho một số trường hợp

cụ thể để thu được kết quả tương tự so với phương pháp giải tích.

Cấu trúc luận văn

Bên cạnh phần mục lục, mở dầu cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau:

Chương 1: Tổng quan về mô hình Ising.

Chương 2: Ứng dụng mô hình Ising cho quá trình chuyển pha.

Chương 3: Kết quả và thảo luận.

Kết luận

Danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục

Danh mục hình có trong luận văn:



Hình1.1: Đường cong từ trễ.

Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ.

Hình 1.3: Mô hình Ising 1D



Hình3.1: Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4, h=0, p=0.5 và các giá trị

0.6(1); 0.8(2); 0.98(3); 1(4); 1.001(5); 1.02(6); 1.1(7); 1.106(8)

Hình 3.2 : Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 và các giá trị

0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.11(5); 1.19(6)

Hình 3.3:Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5, h=0.02 và các giá trị

0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.19(5); 1.25(6)

Hình 3.4 : Đường cong từ nhiệt với z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá trị

1.19(1); 1.3(2); 1.401(3); 1.43(4); 1.45(5); 1.5(6)

Hình 3.5: Đường cong từ hóa với Z=4 , p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h

Hình 3.6 : Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên mộtnút mạng m vào

nhiệt độ t khi z=6,p=0.5, h=0 và các giá trị ∆

0.6(1); 0.8(2); 1(3); 1.2(4); 1.5(5); 1.56(6)

Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút mạng mvào

nhiệt độ t khi z=6, p=0.5, h=0.002 và các giá trị

0.6(1); 0.8(2); 1.2(3); 1.5(4); 1.56(5)

Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng p với z=4, 1.01

và 1.1 khi h=0

Hình 3.9 : Sự phụ thuộc nhiệt độphụ thuộc tc vào xác suất thăng giáng với z=4,

=1.15 ở h=0, h=1.2 và h=1.5.

Hình 3.10 :Đồ thị phụ thuộc của (p-t) với z=6, h=0, =1.005 và =1.15

Hình 3.11:Sự phụ thuộc của nhiệt độtc vào xác suất p với z=6, =1.15, h=0, h=1.5,

h=1.6 và h=1.8

Hình 3.12: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trườngvới z=4, ∆=1.03,

t= 0.01 và các giá trị thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45



Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường

vớiz=4,p=0.2,t=0.01và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi lần lượt là

1.02(1); 1.03(2); 1.04(3)

Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=4,

p=0.2, ∆=1.02 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001

Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mô men từ vào từ trường vớiz=6, t=0.01,

p=0.2 và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi 1.02(1); 1.038(2); 1.04(3)

Hình 3.16: Đồ thị (m-h) với z=6, Delta=1.04, t=0.01 và p=0.1, p=0.3, p=0.5

Hình 3.17: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ vào từ trường với z=6,

p=0.1, ∆=1.04 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001, t=0.0001.

Hình 3.18 : Đồ thị biểu diễn m theo h với z=4, t=0.01, delta=1.04,p=0.1

Hình 3.19:Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô ment từ tỷ đối m vào từ trường h

khi z=4,t=0.01,delta=1.04,p=0.5 bằng phương pháp Callen và Monte Carlo

Hình 3.20: Đồ thị so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm cho mômen từ(trong đơn

vị µB ) trên một nút mạng theo từ trường.



CHƢƠNG 1: SẮT TỪ VÀ MÔ HÌNH ISING

1.1: Đặc điểm của chất sắt từ.

- Sắt từ là các chất có từ tính mạnh và có mômen từ nguyên tử lớn (ví dụ như

sắt là 2,2 μB, Gd là 7 μB...). Nhờ tương tác trao đổi các mômen từ nguyên tử định

hướng song song với nhau theo từng vùng (gọi là các đômen từ tính). Mômen từ

của một đơn vị thể tích trong mỗi vùng đó gọi là từ độ tự phát - có nghĩa là các chất

sắt từ có từ tính nội tại ngay khi không có từ trường ngoài. Đây là các nguồn gốc cơ

bản tạo nên các tính chất của chất sắt từ.

-Hiện tượng từ trễ: Khi từ hóa một khối chất sắt từ các mômen từ sẽ có xu

hướng sắp xếp trật tự theo hướng từ trường ngoài do đó từ độ của mẫu tăng dần đến

độ bão hòa khi từ trường đủ lớn (khi đó các mômen từ hoàn toàn song song với

nhau). Khi ngắt từ trường hoặc khử từ theo chiều ngược, do sự liên kết giữa các

mômen từ và các đômen từ, các mômen từ không lập tức bị quay trở lại trạng thái

hỗn độn như các chất thuận từ mà còn giữ được từ độ ở giá trị khác không. Có

nghĩa là đường cong đảo từ sẽ không khớp với đường cong từ hóa ban đầu, và nếu

từ hóa và khử từ theo một chu trình kín của từ trường ngoài, ta sẽ có một đường

cong kín gọi là đường cong từ trễ. Và trên đường cong từ trễ, ta sẽ có các đại lượng

đặc trưng của chất sắt từ như sau:

Hình1.1: Đường cong từ trễ

http://vi.wikipedia.org/wiki/T%C6%B0%C6%A1ng_t%C3%A1c_trao_%C4%91%E1%BB%95i

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=T%E1%BB%AB_%C4%91%E1%BB%99_t%E1%BB%B1_ph%C3%A1t&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%AB_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%C3%B4men_t%E1%BB%AB

http://vi.wikipedia.org/wiki/Thu%E1%BA%ADn_t%E1%BB%AB

http://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BB%AB_tr%E1%BB%85



* Từ độ bão hòa: là từ độ đạt được trong trạng thái bão hòa từ, có nghĩa làtất

cả các mômen từ của chất sắt từ song song với nhau.

* Từ dư: là giá trị từ độ khi từ trường được đưa về 0.

* Lực kháng từ: là từ trường ngoài cần thiết để khử mômen từ của mẫu về 0,

hay là giá trị để từ độ đổi chiều. Đôi khi lực kháng từ còn được gọi là trường đảo từ.

* Từ thẩm: là một tham số đặc trưng cho khả năng phản ứng của các chất từ

tính dưới tác dụng của từ trường ngoài. Từ thẩm của các chất sắt từ có giá trị lớn

hơn 1 rất nhiều, và phụ thuộc vào từ trường ngoài .

* Nhiệt độ Curie: là nhiệt độ mà tại đó, chất bị mất từ tính. Ở dưới nhiệt độ

Curie, chất ở trạng thái sắt từ, ở trên nhiệt độ Curie, chất sẽ mang tính chất của chất

thuận từ

1.2:Hiện tƣợng chuyển pha vật liệu sắt từ.

1.2.1.Pha và chuyển pha.

Pha là một trạng thái của vật thể với các tính chất và đối xứng đặc trưng. Ta có

thể đưa ra một số ví dụ như pha rắn, pha lỏng của kim loại và hợp kim, pha sắt từ,

thuận từ của các vật liệu từ…..

Chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối xứng này sang mức độ đối

xứng khác hình thành các tính chất mới của vật liệu. Đối xứng ở đây có thể là đối

xứng tinh thể (chuyển pha rắn lỏng…) cũng có thể là đối xứng của tham số vật lý

khác(đối xứng mômen từ trong chuyển pha sắt từ-thuận từ…)

1.2.2.Phân loại chuyển pha

Có nhiều cách phân loại chuyển pha. Năm 1933, theo phân loại của

Ehrenfest [1] chuyển pha bậc n là chuyển pha trong đó có các hàm thế nhiệt động

thay đổi liên tục khi đi qua điểm chuyển pha (T=Tc) và đạo hàm bậc n của các thế

nhiệt động theo nhiệt độ liên tục tại điểm chuyển pha và đạo hàm bậc n+1 bị gián

đoạn.

http://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%99_t%E1%BB%AB_h%C3%B3a

http://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_%C4%91%E1%BA%A3o_t%E1%BB%AB&action=edit&redlink=1

http://vi.wikipedia.org/wiki/Tham_s%E1%BB%91

http://vi.wikipedia.org/wiki/Nhi%E1%BB%87t_%C4%91%E1%BB%99



Trên thực tế chỉ có chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2.

Theo lý thuyết Landao đưa ra năm 1937,chuyển pha gắn với tính chất đối xứng

của hệ và Landao đã đưa ra các tham số trật tự gắn đặc trưng cho hệ vật lý. Khi pha

đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng khác thì tham số trật tự

cũng thay đổi giá trị.

Chuyển pha loại 1: là sự biến đổi của hệ trong đó khối lượng riêng, các thế

nhiệt động (trừ entanpi tự do G), entropi biến đổi gián đoạn ở điểm chuyển pha,

nhiệt chuyển pha có giá trị khác không.Ở chuyển pha loại 1 sự sắp xếp mạng tinh

thể (thay đổi kích thước giữa các nguyên tử và góc giữa các mặt tinh thể) xảy ra

trong khoảng nhiệt độ rất hẹp. Hệ quả là đối xứng tinh thể thay đổi đôt ngột và đồng

thời trạng thái tinh thể, nội năng và các đại lượng nhiệt động khác thay đổi xuất

hiện bước nhảy thể tích và thu (tỏa)nhiệt chuyển pha.Ví dụ:sự bay hơi, nóng chảy,

kết tinh …

Chuyển pha loại 2: là sự biến đổi pha của hệ trong đó khối lượng riêng và tất

cả các thế nhiệt động biến đổi một cách liên tục, còn đạo hàm bậc hai của entanpi tự

do G theo các thông số vật lý của hệ (hệ số giãn nở,nhiệt dung…) biến đổi gián

đoạn.Tại điểm chuyển pha loại 2 không phân biệt được các pha. Nhiệt chuyển pha

bằng không.Ví dụ biến đổi trạng thái sắt từ sang thuận từ, từ trạng thái siêu dẫn

sang trạng thái thông thường khi không có từ trường ngoài là chuyển pha loại 2.

1.2.3: Chuyển pha sắt từ-thuận từ.

Khi đặt vật rắn vào từ trường ngoài mà vật thay đổi tính chất vật lý, ta nói vật

rắn có tính chất từ. Các đại lượng vĩ mô đặc trưng cho tính chất từ của vật rắn là :

+Mô men từ: là đại lượng đặc trưng cho độ mạnh yếu của nguồn từ.

Xét một mạch điện kín có dòng điện cường độ I chạy qua, mômen từ gây ra

bởi dòng điện trong mạch xác định bởi biểu thức :

(1.1)

m= 𝐼. 𝑑𝑆



Đối với nguyên tử, mômen từ của nguyên tử chủ yếu được gây nên bởi

mômen quỹđạo L và mômen spin S của các lớp vỏ điện tử không lấp đầy.

+Độ từ hóa (từ độ): là đại lượng vật lý được xác định bằng mômen từ của vật

liệu trên một đơn vị thể tích:

(1.2)

Trong đó: 𝑚 là mômen từ của các hạt vi mô trong đơn vị thể tích ∆𝑉

+ Độ từ cảm: là đại lượng đặc trưng cho mômen từ do từ trường H gây ra trên

một đơn vị thể tích. Mối liên hệ giữa độ từ hóa và từ trường H có thể được biểu diễn

dưới dạng:

(1.3)

Với: χ<0: Chất được gọi là nghịch từ có 𝑀 cùng phương ngược chiều 𝐻

χ>0: Chất được gọi là thuận từ có 𝑀 cùng phương cùng chiều với 𝐻

Chất thuận từ và nghịch từ có đặc điểm chung là: chỉ có từ tính tồn tại khi có

từ trường ngoài đặt vào và độ cảm từ χ nhỏ.

-Quá trình chuyển pha sắt từ-thuận từ:

Khi không có từ trường ngoài và ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ Curie chất có từ

tính rất mạnh gọi là chất sắt từ có trật tự từ tự phát. Nguồn gốc của sắt từ là do các

spin điện tử thuộc các lớp điện tử không lấp đầy(f,d). Tương tác giữa các mômen từ

là hệ quả của tương tác giữa các điện tử trên các nguyên tử khác nhau hoặc giữa các

điện tử linh động và các điện tử định xứ trong từng nguyên tử. Hiệu ứng của tương

tác này là sự chuyển dời từ các điện tử từ nguyên tử này sang nguyên tử khác hay

dẫn đến sự phân cực của các điện tử linh động tạo nên tương tác gián tiếp giữa các

mômen từ định xứ.

Xét hệ sắt từ đẳng hướng khi không có từ trường ngoài, ta tăng dần nhiệt độ từ

T=0K.

𝑀 = 𝑚

∆𝑉

𝑀 =χ𝐻



* Tại T=0K ở trạng thái cơ bản, các spin định hướng song song theo một

phương tùy ý.

* Cho nhiệt độ tăng dần: càng có thêm nhiều spin định hướng không có trật

tự(do chuyển động nhiệt phá vỡ sự song song của các spin) nhưng tương tác trao

đổi vẫn còn đủ mạnh để giữ các spin song song trong một miền nào đó gọi là các

đám từ. Các đám từ khác nhau thì định hướng khác nhau.

* Tiếp tục tăng nhiệt độ: khi T=Tc xảy ra sự cạnh tranh mạnh giữa hai xu

hướng:

. Tạo trật tự từ (do tương tác trao đổi)

. Phá vỡ trật tự từ(do chuyển động nhiệt)

* Khi T>Tc, các spin định hướng một cách tùy ý, vật liệu bị mất từ tính và ở

trạng thái thuận từ.

Hình 1.2: Sự thay đổi định hướng của đám spin theo nhiệt độ.

1.3: Mô hình Ising cho chất sắt từ.

Mô hình Ising là một trong mô hình đơn giản nhất và phổ biến nhất trong biểu

diễn tương tác và được đề xuất đầu tiên bởi Ernst Ising vào năm 1925 với sự tham

gia của giáo sư Wilhelm Lenz [18]. Mô hình Ising là mô hình toán học cho chất sắt

từ. Ising chỉ ra rằng trong không gian một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha

và ông cũng tranh luận rất nhiều trong hệ mô hình chất sắt từ hai chiều và ba

chiều[16]. Vấn đề này được sang tỏ vào năm 1941 khi Kramers và Wannier đưa ra

mô hình toán học và tính toán cho bài toán này.Đến 1944, Lars Onsager đưa ra lời

giái chính xác cho mô hình Ising khi không có từ trường ngoài[18].



Xuất phát toán học của mô hình: Coi như một mạng toán học có N nút mạng

với một spin S ở mỗi nút. Spin có thể nhận hai giá trị+1 spin lên ( spin up) và -1spin

xuống (spin down).Do vậy có tổng 2N trạng thái trong hệ. Tại vị trí thứ i bất kì trong

mạng tinh thể được biểu diễn bởi một biến spin Si. Năng lượng tương tác được định

nghĩa:

ij

, 1

{ }N

I i i j i ii j i

E S J S S B S

(1.4)

Trong đó: I: Biểu thị mô hình Ising.

Jij :thông số năng lượng và ta đặt ɡµB =1.

˂i,j>: cặp spin lân cận gần nhau. Jij là hằng số tương tác trao đổi.Để

đơngiản,ta đặt Jij = J và chỉ xét tương tác giữa lân cận gần nhất.

Nếu J > 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin xếp song song, tương tác là

tương tác sắt từ.

Nếu J < 0 khi đó trong trạng thái cơ bản các spin đối song song,tương tác là

phản sắt từ.

Để đơn giản ta cho J > 0, xét sự kết hợp của các spin trong từ trường ngoài B.

Ta coi các spin nằm dọc theo trục z khi từ trường ngoài B=Bz. Khi ở trong từ trường

ngoài không đổi Bi= B > 0 năng lượng tương tác trở thành

, 1

{ }I i i j ii j i

E S J S S B S

(1.5)

Tổng thống kê Z có dạng :

Z = … 𝑒−𝛽𝐸𝑖{𝑆𝑖} +1𝑠𝑁=−1

+1𝑠2=−1

+1𝑠1=−1

(1.6)

1.3.1 Chuyển pha trong mô hình một chiều.

Trong không gian một chiều, mô hình Ising được xem xét là một chuỗi các các

điểm trên một đường thẳng gồm N nút mạng, mỗi nút là một spin nguyên tử.

Hình 1.3 : Mô hình Ising 1D 1 2



Áp dụng điều kiện tuần hoàn biên cho các spin, các spin chỉ tương tác với các

spin lân cận ở trong từ trường ngoài B. Ta có thể viết:

1

1 1

{ }N N

I i i i ii i

E S J S S B S

(1.7)

Theo điều kiện biên tuần hoàn:

SN+1 = S1 (1.8)

Tổng thống kê Z được viết dạng :

Z= … exp[ 𝛽 (𝑁𝑖=1 𝐽𝑆𝑖𝑆𝑖+1

+1𝑠𝑁=−1

+ 𝐵+1𝑠2=−1

+1𝑠1=−1

𝑆𝑖)] (1.9)

Kramer và Wannier biểu diễn tổng thống kê Z một cách rõ ràng như sau :

Z= … exp[ 𝛽 (𝑁𝑖=1 𝐽𝑆𝑖𝑆𝑖+1

+1𝑠𝑁=−1

+1

2𝐵(+1

𝑠2=−1+1𝑠1=−1

𝑆𝑖 + 𝑆𝑖+1))] (1.10)

Kết quả là ta phải tính giá trị của các ma trận (2 x 2). Trong đó ma trận P là ma

trận được xác định như sau :

<S|P|S‟> = exp { β [ JSS‟ + 1

2𝐵 𝑆 + 𝑆′ ]} (1.11)

Trong đó S và S‟ là độc lập với giá trị ± 1. Ta có các ma trận cơ sở :

<+1|P|+1> = exp [ β( J + B ) ]

<-1|P|-1> = exp [ β( J – B ) ]

<+1|P|-1> = <-1|P|+1> = exp [ - βJ ] (1.12)

Biểu diễn ma trận P trong dạng :

P = 𝑒𝛽(𝐽+𝐵) 𝑒−𝛽𝐽

𝑒−𝛽𝐽 𝑒𝛽 (𝐽−𝐵) (1.13)

Ta có thể viết Z như sau :

Z= … < 𝑆1 𝑃 𝑆2 >< 𝑆2 𝑃 𝑆3 > ⋯ < 𝑆𝑁 𝑃 𝑆𝑁 >+1𝑠𝑁=−1

+1𝑠2=−1

+1𝑠1=−1

= < 𝑆1 𝑃𝑁 𝑆1 >+1

𝑆1=−1

= Tr 𝑃𝑁



= 𝜆+𝑁 + 𝜆−

𝑁 (1.14)

Với 𝜆+𝑁 , 𝜆−

𝑁 là hai giá trị của P 𝜆+𝑁>𝜆−

𝑁 . Z chính là vết của ma trận năng lượng

thứ N với kết quả của điều kiện biên tuần hoàn cho công thức (1.5).

Det 𝑒𝛽(𝐽+𝐵) − 𝜆 𝑒−𝛽𝐽

𝑒−𝛽𝐽 𝑒𝛽 (𝐽−𝐵) − 𝜆 =𝜆2 − 2𝜆𝑒𝛽𝐽 cosh 𝛽𝐵 + 2 sinh(2𝛽𝐽)=0 (1.15)

Kết quả là :

𝜆± = 𝑒𝛽𝐽 [cosh 𝛽𝐵 ± 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝛽𝐵 − 2𝑒−2𝛽𝐽 sinh(2𝛽𝐽)(1.16)

Khi B = 0

𝜆+ = 2 cosh (βJ) (1.17)

𝜆− = 2 sinh (βJ) (1.18)

Trở lại trường hợp chung với B ≠ 0. Trong trường hợp này 𝜆−/𝜆+ ≤ 1 giống

trường hợp J = B = 0. Trong giới hạn nhiệt động ( N→∞ ), chỉ có giá trị 𝜆+ là thích

hợp. Chúng ta sử dụng (𝜆−/𝜆+ )<1 và năng lượng tự do Helmholt trên spin là :

- 𝐹

𝑁𝑘𝐵𝑇 = lim𝑁→∞

1

𝑁ln 𝑍

= lim𝑁→∞

1

𝑁ln{𝜆+

𝑁[1 + 𝜆−

𝜆+)𝑁 }

= ln 𝜆+ + lim𝑁→∞

1

𝑁ln[1 +

𝜆−

𝜆+)𝑁

= ln 𝜆+ (1.19)

Vì vậy năng lượng tự do Helmholtz trên 1 spin là :

𝐹

𝑁 = -

𝑘𝐵𝑇

𝑁𝑙𝑛𝑍 =-𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛𝜆+

=-J-𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛[cosh 𝛽𝐵 + 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝛽𝐵 − 2𝑒−2𝛽𝐽 sinh 2𝛽𝐽 (1.20)

Độ từ hóa của một spin là:

m = 𝑀

𝑁=

1

𝛽𝑁

𝜕𝑙𝑛𝑍

𝜕𝐵



m=-1

𝑁

𝜕𝐹

𝜕𝐵=

sinh (𝛽𝐵 )

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝛽𝐵 − 2𝑒−2𝛽𝐽 sinh (2𝛽𝐽 )

(1.21)

Khi trường ngoài bằng 0 (B=0) độ từ hóa bằng 0 (m=0) ở mọi nhiệt độ. Có

nghĩa là trong trường hợp này sẽ không có độ từ hóa tự phát và trong mô hình Ising

một chiều không có tính sắt từ. Nguyên nhân là do ở một nhiệt độ bất kì, quá trình

xảy ra theo hai khuynh hướng cạnh tranh đối lập nhau: Xu hướng sắp xếp các spin

thẳng hàng để năng lượng là cực tiểu và xu hướng sắp xếp ngẫu nhiên để entropy là

cực đại.Trên tất cả, xu hướng để năng lượng tự do là cực tiểu với F= E – TS. Trong

mô hình một chiều, xu hướng sắp xếp thẳng hàng của các spin luôn mất đi do không

có đủ spin lân cận.

Kết luận: Trong mô hình Ising một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha

theo nhiệt độ.

1.3.2: Lời giải chính xác cho mô hình hai chiều.

Trong mô hình Ising hai chiều với mạng spin được coi là mạng vuông lý

tưởng có số lân cận là 4. Dẫn dắt từ phép biến đổi giải tích thông qua ma trận

chuyển giao, Lars Onsager đã đưa ra lời giải chính xác cho mô hình hai chiều vào

1944[17].


Hamiltonian có thể viết dưới dạng :

H = -J ( 𝑆𝑖 ,𝑗𝑆𝑖+1,𝑗 + 𝑆𝑖 ,𝑗 +1𝑆𝑖,𝑗 )𝑖 ,𝑗 – h 𝑆𝑖 ,𝑗𝑖 ,𝑗 (1.22)

j

1j

1j 1j

1j

1 2 3

N



Trong đó mỗi spin tương ứng với một nút mạng trong không gian hai chiều.

Hamiltonian có thể viết dưới dạng :

H = [𝐸(𝜇𝑗 , 𝜇𝑗 +1)𝑛𝑖=1 + 𝐸 𝜇𝑗 ] (1.23)

Trong đó :

E(𝜇𝑗 , 𝜇𝑘) = − 𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖𝑘 𝑛𝑖=1 (1.24)

E(𝜇𝑗 ) =−𝐽 𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖+1,𝑗 − ℎ 𝑆𝑗𝑖 ,𝑗𝑛𝑖=1 (1.25)

Với 𝜇𝑗 là tập hợp các spin theo một cột :

𝜇𝑗 = { 𝑆1𝑗 , 𝑆2𝑗 , … . . , 𝑆𝑛𝑗 } (1.26)

Khi đó ma trận chuyển giao P là một ma trận 2𝑛 × 2𝑛 dạng :

< 𝜇𝑗 𝑃 𝜇𝑘 > = exp {-β[E(𝜇𝑗 , 𝜇𝑘) + E(𝜇𝑗 )]} (1.27)

Hàm tổng thống kê :

Z = Tr(Pn) (1.28)

Giống như bài toán mô hình một chiều ta cần phải tìm trị riêng của P. Theo

giới hạn nhiệt động, kết quả cuối cùng tính trong từ trường B=0 ta có:

g(T) = -kT ln[2cosh(2βJ)] - 𝑘𝑇

2𝜋 𝑑∅

𝜋

0ln

1

2(1+ 1 − 𝐾2𝑠𝑖𝑛2∅ ) (1.29)

Trong đó :

K = 2

cosh 2𝛽𝐽 coth (2𝛽𝐽 ) (1.30)

Năng lượng trên một spin là :

𝜀(𝑇) = -2Jtanh(2βJ) + 𝐾

2𝜋

𝑑𝐾

𝑑𝛽

sin 2 ∅𝑑∅

∆(1+∆)

𝜋

0 (1.31)

Với ∆ = 1 − 𝐾2 𝑠𝑖𝑛2 ∅

Độ từ hóa :

m = {1-[sinh(2𝛽𝐽)]−4}1

8 (1.32)



KhiT>TC tồn tại sự mất trật tự khi B=0. Điều kiện của nhiệt độ tới hạn xảy ra

quá trình chuyển pha là :

2tanh2(2𝛽𝐽) = 1

kTC≈ 2,269158 J

Khi T=TC nhiệt chuyển pha trên một spin là :

𝐶(𝑡)

𝑘=

2

𝜋(

2𝐽

𝑘𝑇𝐶)2 − ln 1 −

𝑇

𝑇𝐶 + ln

𝑘𝑇𝐶

2𝐽 − 1 +

𝜋

4 (1.33)

Kết luận: Trong mô hình Ising hai chiều xảy ra hiện tượng chuyển pha từ sắt

từ sang thuận từ.

1.3.3. Mô hình Ising ba chiều.

Mô hình Ising ba chiều hiện nay chưa có lời giải chính xác. Dưới đây là lời

giải mô hình Ising ba chiều cho hệ orthorhombic đơn giản. Mô hình Ising ba chiều

các nguyên tử chiếm giữ không gian trong mạng dạng hình lập phương.

Hình1.5: Mô hình Ising 3D

Chúng ta xét với mạng orthorhombic đơn giản có m hàng và n cột vị trí trong

một mặt phẳng. Mỗi vị trí được xác định trong hệ thống mạng bởi các chỉ số (i,j,k).

Mỗi vị trí có hai loai nguyên tử,tất cả chúng có định hướng đối song song với nhau.

Trong mô hình ba chiều, mômen từ spin S=1/2, chỉ tương tác với các spin lân cận.

Trong một mặt, năng lượng tương tác là +J giữa nguyên tử với nguyên tử không lân

cận khác trong một hàng và +J‟ giữa các nguyên tử không lân cận khác trong một



cột. Năng lượng giữa các spin lân cận trong một hàng và một cột là –J, -J‟trong một

mặt phẳng.Năng lượng +J”(-J”) là năng lượng tương tác giữa nguyên tử với nguyên

tử không lân cận(lân cận) với hai mặt phẳng lân cận với mặt phẳng chứa nguyên

tử.Các nguyên tử không lân cận hay lân cận có sự sắp xếp các spin đối song song

hoặc là song song. Hamiltonian của mô hình Ising ba chiều hệ orthorhomic đơn

giản là

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , 1, , , 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

' "n m l n m l n m l

H J S S J S S J S S

(1.34)

Xác suất tìm thấy mạng Ising orthorhombic đơn giản ở nhiêt độ T tỉ lệ với

exp{-Ec/kBT}, trong đó Ec là tổng năng lượng của hệ và kB là hằng số Boltzmann.

Biểu thức xác suất dạng :

(nc.J + nc‟.J‟ + nc”.J”)/kBT (1.35)

Ở đây nc, nc‟ và nc” là các số nguyên phụ thuộc vào hình dạng của mạng. Nó

phù hợp với giá trị biến thiên K≡ J/kBT, K‟ ≡ J‟/kBT và K” ≡J”/kBT thay thế cho J,

J‟, J”.Xác suất mạng không gian có thể viết lại:

exp{ncK + nc‟K‟ + nc”K”} (1.36)

Trong đó Z là hàm tổng thống kê của mạng

Z = 𝑒{𝑛𝑐𝐾+𝑛𝑐′ 𝐾′+𝑛𝑐"𝐾"}

𝑡𝑜à𝑛𝑘ℎô𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛

Thế Hàm nhiệt động học,hệ mô hình Ising trong mạng orthorhombic đơn giản

có thểtìm thông qua hàm tổng thống kê Z nhưng vấn đề trở nên phức tạp hơn trong

hệ Ising hai chiều khi giới hạn tổng Z là 2m-n-1

. Theo như phát triển của Kaufman

chúng ta coi như mỗi spin đều có thuộc tính giống nhau. Tất cả các nguyên tử đều

chỉ có một loại spin là +1,trong khi đó còn có loại khác là -1. Vì vậy tương tác giữa

hai nguyên tử lân cận với spin là 𝜇, 𝜇′ là: -𝜇𝜇′𝐾 (hoặc là – 𝜇𝜇′𝐾′ hoặc là – 𝜇𝜇′𝐾")

cho các hàng lân cận (hoặc các cột hay các mặt). Cấu hình của một chất từ tính có

thể được chỉ rõ bởi trạng thái có giá trị của 𝜇 tại mọi vị trí hoặc xét đến cấu hình của

cả chuỗi. Trong một mặt có n nguyên tử trong một hàng và có l mặt, có 2n-l

cấu hình



1≤ 𝜈 ≤ 2n-l

. Khi đó cấu hình của mô hình Ising orthorhombic đơn giản được biểu

diễn bởi tập hợp { ν1,ν2, …, νm }.

Năng lượng tương tác trong hàng thứ i của tất cả mọi mặt phẳng đều được

biểu diễn bởi E‟(νi). Năng lượng tương tác giữa hai hàng lân cận trong tất cả các

mặt là E(νi, νi+1). Năng lượng tương tác giữa hàng thứ i trong hai mặt lân cận biểu

diễn là E „‟(νi). Vậy kết quả năng lượng trong tinh thể biểu diễn là:

, 1

1 1 1

'( ) ''( ) ( )m m m

c i i i ii i i

E E E E

(1.37)

Dựa trên đối xứng, ta thấy rằng spin trong hàng thứ m trong mọi mặt phẳng

của tinh thể tác động với hàng trước đó trong cùng một mặt. Chúng ta ưu tiên áp

dụng cho mô hình tinh thể hình trụ theo Onsager và Kaufman. Tuy nhiên, trong

trường hợp tinh thể 3D, có l hình trụ đồng trục đối xứng với l mặt trong khi trong

mô hình 2D chỉ có duy nhất một hình trụ. Ta có thể viết lại như sau:

11 1

2

3

( ) exp{ ( , ) / },

( ) exp{ '( ) / },

( ) exp{ ''( ) / },

i i

i i

i i

v v i i B

v v i B

v v i B

V E v v k T

V E v k T

V E v k T

(1.38)

Tìm thấy xác suất của cấu hình tỉ lệ :

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1

/

3 2 1 3 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )c B

m m m m m

E k T

v v v v v v v v v v v v v v v ve V V V V V V V V

(1.39)

Hàm tổng thống kê trở thành:

1 1 1 1 1 2 1

1 2

3 2 1 3 2 1 3 2 1

, ,...

( ) ( ) ( ) ...( ) ( ) ( ) ( )m m m m m

m

m

v v v v v v v v v v v v

v v v

Z V V V V V V trace V V V (1.40)

Từ mỗi vị trí i: 1 ≤ 𝑣𝑖 ≤ 2𝑛−𝑙 chúng ta tìm được V1, V2 và V3 có ma trận 2n-l

chiều và V2, V3 là đường chéo. V1, V2 và V3 trở thành:



3 , , 1

1 1

2 , 1,

1 1

21 ,

1 1

exp{ ''. '' '' } exp{ ''. ''}

exp{ '. ' ' } exp{ '. '}

(2sinh 2 ) exp{ . }

n l

r s r s

r s

l n

r s r s

s r

n l l n

r s

s r

V K s s K A

V K s s K A

V K K C

(1.41)

Ở đây , ,'' , 'r s r ss s và Cr,s và bộ bốn ma trận 2n-l

chiều:

,

,

,

'' 1 1 ... 1 '' 1 ... 1,

' 1 1 ... 1 ' 1 ... 1,

1 1 ... 1 1 ... 1,

r s

r s

r s

s s

s s

C C

(1.42)

Có n-l nhân tố trong các tích số với s‟‟, s‟ và C ở vị trí (r,s).s‟‟, s‟ và C sinh ra

từ ma trận Pauli:

𝑠′′ ≡ 0 −11 0

, 𝑠′ ≡ 1 00 −1

, ≡ 0 11 0

, 1 = 1 00 1

(1.43)

K* được định nghĩa bởi:

2 tanh .Ke K (1.44)

Để đơn giản ta bắt đầu sử dụng phương pháp chéo hóa ma trận, chúng ta đặt

số lớn nhất giữa K, K‟ và K‟‟ như tiêu chuẩn cho định nghĩa của K*.Chúng ta xác

định được V1 là hệ số vô hướng :

1 ,

1 1

exp{ *. } exp{ *. }l n

r s

s r

V K C K B

(1.45)

Hàm tổng thống kê được biểu diễn theo biểu thức dưới đây:

2

2 23 2 1

1

(2sinh 2 ) . ( ) (2sinh 2 )

n lm n l m n l

m m

i

i

Z K trace V V V K

(1.46)

Với i là trị riêng của ma trận V≡V3.V2.V1

Từ tổng thống kê (1.46) ta có thể tính được năng lượng thống kê, tham số

nhiệt động của hệ spin.



1.3.4.Năng lƣợng tự do , mô men từ , độ từ hóa trong mô hình Ising

Trong mô hình Ising 1D, Erst Ising giả thiết tất cả các spin của nguyên tử đều

tạo cặp và có hướng ngược nhau được mô tả ở hai trạng thái đặc trưng là trạng thái

lên (spin up) và xuống (spin down)do đó từ trường được tạo ra bởi nguyên tử này

lại bị phá hủy bởi từ trường của nguyên tử khác nên khi xét một lượng lớn các điện

tử sắp xếp có spin theo hướng ngược nhau thì từ trường tổng cộng bằng 0 – không

có từ tính.

Wilhelm Lenz giả thuyết: vật liệu có tính sắt từ do các nguyên tử không tạo

cặp và có thể tạo ra được từ trường. Từ trường tạo thành tác dụng lên các hạt tích

điện làm các hạt tích điện này dịch chuyển theo hai hướng: Một hướng các hạt di

chuyển cùng chiều từ trường – các hạt này có mang năng lượng thấp, hướng còn lại

các hạt di chuyển theo hướng chống lại từ trường – các hạt này mang năng lượng

cao.Giả sử vật liệu sắt từ được đặt trong một từ trường và được giữ ở nhiệt độ

không đổi, khi đó từ trường này tạo ra trong mạng tinh thể một độ từ hóa nhất định

do spin tại các nút mạng có xu hướng ở trạng thái “up”. Những kết quả tính toán và

thực nghiệm cho thấy, độ từ hóa tạo thành này phụ thuộc vào từ trường và nhiệt độ:

khi từ trường tác dụng giảm, ở vùng nhiệt độ cao mạng tinh thể trở về trạng thái

không từ hóa (thuận từ), ngược lại ở vùng nhiệt độ thấp khi từ trường giảm về 0 độ

từ hóa của mạng tinh thể vẫn khác 0 (do một số lượng nhỏ các spin vẫn ở trạng thái

up). Độ từ hóa này được gọi là độ từ hóa tự phát.

Xét tại vị trí thứ j (bất kỳ) trong mạng tinh thể với một biến spin độc lập jS

1,...j N , trong đó jS chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc -1 (hai trạng

thái có thể có tại mỗi vị trí của mạng tinh thể). Với mỗi giá trị của jS tại một vị trí

của mạng tinh thể cho ta một trạng thái (cấu hình) của hệ do đó khi xét với mạng

tinh thể với N nút mạng sẽ có tất cả 2N trạng thái.

Giả thiết rằng, chỉ có tương tác giữa những lân cận gần nhất và tương tác giữa

các nút mạng với trường ngoài đóng góp vào năng lượng của hệ, khi đó năng lượng

tổng cộng của hệ được xác định bằng Hamiltonian.



,

jk j k j

j k j

H H S J S S hS

(1.47)

Trong đó: jkJ là các thông số năng lượng phụ thuộc vào cường độ tương tác

giữa những lân cận gần nhất và h là trường ngoài. Số hạng thứ nhất trong (1.47) lấy

theo tổng tất cả các cặp lân cận gần nhất trong mạng tinh thể, số hạng thứ hai lấy

theo tổng tất cả các nút mạng.

Khi đó tổng thống kê Z hay hàm phân bố các trạng thái của hệ với

Hamiltonian (1.6) có dạng:

1

, , ,H S

jkZ Z J h N e

(1.48)

Trong đó: 1

Bk T , k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ (nhiệt độ tuyệt

đối), H là Hamiltonian của hệ.

Xác suất tồn tại một trạng thái bất kỳ của hệ được xác định theo công thức:

H Se

P SZ

(1.49)

Từ biểu thức của hàm phân bố (1.7) ta có năng lượng tự do của mỗi spin được

xác định theo công thức:

1, , lim ln , , ,jk jk

NF F J h Z J h N

N

(1.50)

Ở đây giới hạn N được gọi là giới hạn nhiệt động học.

Khi đó mô men từ được xác định theo công thức:

, ,M h F h

h

(1.51)

Quá trình chuyển pha của hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising được thể hiện

thông qua sự gián đoạn của biểu thức năng lượng tự do F hay trong đạo hàm của

nó. Do đó để kiểm chứng các hệ vật lý mô tả bằng mô hình Ising có quá trình

chuyển pha hay không cần xác định được tính gián đoạn hay liên tục của của hàm F

hay F‟.



1.3.5 : Kết luận

Như vậy đối với mô hình một chiều không xảy ra quá trình chuyển pha, vật

liệu không có từ tính. Với mô hình hai chiều và ba chiều xảy ra quá trình chuyển

pha từ sắt từ sang thuận từ, vật liệu có từ tính. Trong những không gian có số chiều

lớn hơn 4 mô hình Ising được giải thích bằng lý thuyết trường. Mô hình Ising chỉ

xem xét các spin trong mối tương tác trao đổi với các spin lân cận nhất của nó với

số lân cận gần nhất này được xác định bằng biểu thức Z=2d ( d là số chiều của mô

hình )



CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH ISING MẤT TRẬT TỰ VỚI TÍCH PHÂN

TRAO ĐỔI THĂNG GIÁNG VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này chúng ta cùng xây dựng biểu thức tính mô men từ theo hệ

thức

Callen và phương pháp Monte CarlO cho mô hình Ising mất trật tự.

2.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising mất trật tự.

2.1.1: Hệ thức Callen cho mô hình Ising trật tự.

Hamiltonian cho mô hình Ising cho mạng spin tuần hoàn trong không gian với

trường ngoài h được viết như sau [13]:

2j k j

j k j

JH S S h S

(2.1)

Ở đây, tổng được lấy với j chạy từ 1 đến N và sử dụng điều kiện biên tuần

hoàn j j NS S .

Trong đó: ,j kS S lần lượt là biến spin tại các nút mạng thứ ,j k .

,j k : Là những lân cận gần nhất.

h : Là ký hiệu của trường ngoài (tính trong đơn vị năng lượng).

J : Là tích phân trao đổi giữa những lân cận gần nhất

Giá trị trung bình thống kê của biến spin tại một vị trí j bất kỳ của mạng tinh

thể được xác định:

H

j

j H

TrS eS

Tre

(2.2)

Với :1

, B

B

kk T

là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối (K).

Trước hết Hamiltonian trong (2.1) có thế tách thành hai thành phần: số hạng

thứ nhất ký hiệu là jH - bao gồm tất cả các liên kết tại vị trí j của mạng tinh thể và

số hạng thứ hai – ký hiệu là 'H không phụ thuộc vào vị trí j .

Khi đó Hamiltonian trong biểu thức (2.1) có thể viết lại:



'jH H H (2.3)

Với: j j k j j j

k

H J S S h S S E và j k

k

E J S h

(2.4)

Hj là từ trường tại vị trí j ( jE là hàm phụ thuộc vào biến số lân cận của spin

tại vị trí j : kS do đó jE không phụ thuộc vào vị trí j ).

Trong mạng tinh thể spin tại các vị trí ,j k khác nhau là các biến có thể giao

hoán cho nhau do đó ta có:

, 0j kS S (2.5)

Suy ra:

, ' , , 0j j j jH H H H H H H (2.6)

Từ (2.2) ta có:

1 1

'N N

i i j ji i j

Tr tr tr tr Tr tr

(2.7)

Trong đó:

1

1i

jS

tr

là viết tắt của vết liên quan đến các thông số tại vị trí j

và 'Tr được xác định bằng công thức:

1

'N

ii j

Tr tr

(2.8)

Từ biểu thức (2.3), (2.7), (2.8) biểu thức (2.2) trở thành:

'

'

'

'

j

j

H H

jj

j H

HH

jj

H

Tr tr S e

STre

Tr e tr S e

Tre

(2.9)

Thêm vào vế phải của (2.9) biểu thức:

1

j

j

H

j

H

j

tr e

tr e

khi đó (2.9) trở thành:



'

'

1'

1'

1

j

j

j

j

j

j

j

j

H

jjHH

j j HH

j

H

jH H j

j HH

j

H

jjH

HH

j

tr S eS Tr e tr e

Tre tr e

tr S eTr tr e

Tre tr e

tr S eTre

Tre tr e

(2.10)

Bằng cách sử dụng phương trình (2.7), (2.4) ta có thể xác định được biểu thức

trong dấu ngoặc của phương trình (2.10):

1 1

2 2jj j j j

EH S E E

j jtr e tr e e e

(2.11)

1 1

2 21

( )2

j jj j jE EH S E

j jj jtr S e tr S e e e

(2.12)

Thay vào phương trình (2.11) ta thu được:

tanh 1tanh

2 2

Hj j

j H

Tr e E ES

Tre

(2.13)

Biểu thức (2.13) là hệ thức Callen trong mạng spin tuần hoàn trong không gian

có số chiều bất kỳvới spin 1

2S [10,13]

Vận dụng những tính toán giải tích dựa trên hệ thức Callen với mô hình Ising

sẽ xác định được một số các tham số nhiệt động học như: mô men từ tổng cộng,

nhiệt độ chuyển pha Curie, độ cảm từ...

2.1.2. Mô hình Isingmất trật tự với tích phân trao đổi thăng giáng và hệ

thức Callen.

Trong thực tế chúng ta gặp những hệ spin mất trật tự tương tác (trong hệ có

thể có các loại tương tác sắt từ ( Jij >0) hoặc phản sắt từ (Jij<0) hay nhiều loại sắt từ

khác nhau). Để khảo sát hệ spin mất trật tự loại này ta có thể sử dụng mẫu Ising mất

trật tự.

Hamiltonian của mô hình Ising mất trật tự được viết dưới dạng:



ij

ij

1

2i j B j

j

H J S S g h S (2.14)

Trong đó :

Si , Sj là các spin ở vị trí thứ i và j của mạng.

h : kí hiệu từ trường bên ngoài

Jij : tích phân trao đổi của nút mạng thứ i và j là lân cận gần nhất nhưng có thể

có giá trị khác nhau J và 'J với xác suất p và (1-p). Jij được coi như biến thăng

giáng và tuân theo qui luật xác suất sau :

ij ij ij( ) [ ] (1 ) [ ']P J p J J p J J (2.15)

(1 )J J ; ' (1 )J J (2.16)

0 1p

J : đặc trưng cho trao đổi sắt từ với xác suất là p

'J : đặc trưng cho trao đổi phản sắt từ với xác suất (1-p) khi ∆> 1, còn khi

1 nó cũng là trao đổi sắt từ nhưng với cường độ nhỏ hơn.

J, ∆ : là giá trị trung bình của tích phân trao đổi và độ thăng giáng của nó.

Để xây dựng phương trình xác định giá trị trung bình thống kê của mômen

từcủa mô hình Ising, chúng ta có thể sử dụng hệ thức Callen tính toán giá trị trung

bình của spin ở vị trí bất kì trong mạng tinh thể có số chiều bất kì và spin tùy ý. Đối

với spin tùy ý hàm tanh(x) trong (2.13) được thay bằng hàm Brillouin BS(x):

( )

k s k rrS B E

(2.17)

Với k kj j k

j

E J S g hS ; 1

Bk T

Trong đó Bs(x) là hàm Brillouin:

1 1 1( ) 1 1

2 2 2 2s

xB x cth x cth

S S S S

(2.18)



kS là biến spin ở nút mạng k. Khi S=1/2 hàm Brillouin có dạng hàm tanh(𝛽𝐸𝑘 )

đã biết ở trên theo công thức (2.13). Hai dấu ngoặc trong công thức (2.17) có nghĩa

là trung bình thống kê với Hamiltonian Ising H và trung bình theo hàm phân bố

ngẫu nhiên P(Jij)

... ( ...) / ( )H HTr e Tr e

(2.19)

ij ij ij ij( ) ( ) ( )

rL J p J L J dJ (2.20)

2.1.3: Phƣơng trình đại số cho mômen từ trên một nút mạng nhận bằng

phƣơng pháp biến đổi tích phân.

Biến đổi Fourier cho vế phải của công thức (2.11) dẫn đến phương trình tích

phân cho mô men từ [6] :

0

( ) Im exp(k s kr rm S F t iE t dt

(2.21)

0

2( ) ( )sin( )s SF t B x tx dx

(2.22)

Dễ dàng biểu diễn biểu thức (2.22) dưới dạng:

22

2 1( )

( )2 1

s

S tsh

SF t

S tsh sh S t

S

(2.23)

Khi lấy giá trị spin S=1

2thì (2.22) có dạng:

1/2

0

sin x( ) tanh( )

2

tdtB x x

tsh

(2.24)

Khi spin S=1 thì công thức (2.22) trở thành :



1

0

2 ( ) 4 3( ) sin( )2 ( ) 1

tch

sh xB x tx dt

sh x sh t

(2.25)

Sử dụng biến đổi chuỗi Fourier áp dụng cho trường hợp spin S=1/2 thì giá trị trung

bình trong công thức (2.21) được biểu diễn như sau :

exp( exp( ) exp(k kj jrj

r

iE t ikt h it J S

(2.26)

Bằng phép khai triển hàm số mũ trong biểu thức chúng ta có được phương trình tính

mômen từ trên một nút mạng là :

1 2

10 ...

...n

n

z z

n j j j

n j j r

m A S S S

(2.27)

Vế phải là tổng của các hàm tương quan giữa n spin khác nhau và z là số spin lân

cận gần nhất. Hệ số Ancó dạng tường minh là:

0

( ) ( )sin

2sinh

2

z n n

n

a x b x nA hx dx

x

(2.28)

Với a(x)=p cos𝛼(1+∆ )x+(1-p) cos 𝛼 (1-∆ )x (2.29)

b(x)= p sin 𝛼 (1+∆ )x + (1-p) sin 𝛼 (1-∆ )x (2.30)

Một số đại lượng thứ nguyên trong (2.28) , (2.29), (2.30) có ý nghĩa như sau:

𝛽𝐽 = 𝛼 ; 𝛽𝑔𝜇𝐵ℎ = 𝛼ℎ và ℎ =𝑔𝜇𝐵ℎ

𝐽 (2.31)

Trong gần đúngtrường hiệu dụng hàm tương quannhiều spin trong công

thức(2.26) có thể coi gần đúng là :

1 1

...z

n

k k kr

S S S m

(2.32)



Theo lý thuyết trường hiệu dụng tương đương với gần đúng Orstein-Zernick

mômen từ trung bình m là nghiệm của phương trình đại số (hệ quả của (2.27)) sau:

0

( , , , , )z

n n

z n

n

m C A p z h m

(2.33)

Biểu thức (2.28) (2.33) sử dụng để tính sự phụ thuộc của mômen từ tỉ đối

vào nhiệt độ ở các trường ngoài khác nhau và sự phụ thuộc của xác suất thăng giáng

vào nhiệt độ trong quá trình cạnh tranh giữa sắt từ và phản sắt từ.

Trong đó n

zC hệ số nhị thức. Biến đổi từ phương trình trong trường hợp

không có từ trường ngoài ( h=0) ta có phương trình xác định điểm Currie:

11 ( , , , ,0) 0czA p z ; c

b c

J

k T (2.34)

Phương trình (2.33)cho mômen từ có thể biến đổi để nhận được phương trình

đại số tường minh hơn và giải được nghiệm kỳ dị tốt hơn bằng phương pháp thong

thường. Ta viết lại công thức (2.27), (2.28) như sau:

0

Im

sinh2

zi htdtm a ibm

t e

(2.35)

Sử dụng khai triển nhị thức Newton cho công thức (2.35) ta được :

00

Im ( )

sinh2

zn z n z i htz

n

dtm C a ibm e

t

(2.36)

Với:

cos 1 sin 1 (1 )[cos (1 ) sin (1 ) ](2.37)a ibm p t mi t p t im t

Đặt :

2222 11 mprmpr ,2 2

1cosh ,sinh

1 1

p m

r m m

(2.38)

2

1 1)1( mpr (2.39)

Khi đó ta có:



1

cosh cosh 1 sinh sinh 1

cosh cosh 1 sinh sinh 1

a ibm r i t i t

r i t i t

(2.40)

Sử dụng công thức lượng giác cho hàm hypebolic:

cosh cosh sinhxsinh coshx y y x y

Công thức (2.44) trở thành:

/2

21 cosh 1 1 cosh 1zzz

a ibm m p i t p i t (2.41)

Sử dụng các công thức khai triển [7]:

1

22 22

0

1cosh 2 cosh 2

2

nn k n

n nnk

x C n k x C

(2.42)

1

2 12 12 2

0

1cosh cosh 2 2 1

2

nn k

nnk

x C n k x

(2.43)

Từ các công thức (2.42), (2.43) sử dụng phương pháp truy hồi ta được:

( )

2

( )0

1cosh 1 cosh 2

22

n f n

n knn f n

k

nx C f n k f n n k t

(2.44)

Với:

0 2

1 2 1

f n khi n k

f n khi n k

(2.45)

Khi đó công thức (2.41) trở thành:

/2

2

0

1 cosh 1 1 cosh 1 2.46zzz z nn n n z n

z

n

a ibm m C p i t p i t

Thay vào biểu thức (2.35) ta được biểu thức xác định mô men từ tỷ đối trên

một nút mạng bất kỳ (hay phương trình đại số cho giá trị trung bình spin trên một

nút mạng):

/2

2

00

Im 1 1 cosh 1 cosh 1 2.47

sinh2

i htz

z z nn n n z n

z

n

dtm m C p p i t i t

te

Sử dụng công thức khai triển (2.44) ta được biểu thức xác định mô men từ tỷ đối

như sau:



2/22

0 0

0

2

0

/22

1 1 Im

sinh2

11 cosh 1 2

22

11 cosh 1 2

22

1

n f ni ht

z z nn nz

n

zknn f n

n

z n f n

lz n f nz n f n

l

zn kz n

dtm m C p p

t

nC f n k f n i t n k

z nC f z n l f z n i t z n l

m C C C

e

2 2

20 0 0

0

1

2

1 12 2

1Im cosh 1 2 1 2

2sinh

2

cosh 1 2 1 2

n f n z n f nz nnz

lz n f n z f n

n k l

i ht

p p

n z nf n k f n f z n l f z n

i t n k i t z n kt

i t n k i t z n l

e

(2.48)



Xét tích phân:

0

0

1Im cosh 1 2 1 2 2 2

2sinh

2

cosh 1 2 1 2 2 2 2

Imcosh 2 2 2 2 2 2 2

2sinh

2

cosh 2 2 2 2 2 2 2

i ht

i ht

dtI i t n k t z n l z k l

t

i t n k t z n l n z l k

dti z k l z k n l z k l

t

i z k l z k l z n k l

e

e

0

Imexp{ 2 2 2 2 2 2 2 }

4sinh

2

exp{ t[ 2 2 ( 2 2 2 ) ] ( 2 2 )}

exp{ 2 2 2 2 2 2 2 2 }

exp{ [ 2 2 2 ( 2 2 ) ] ( 2 2 )

dti t z k l z k n l h z k l

t

i z k l z k n l h y z k l

i t z n k l z k l h z n k l

i t z n k l z k l h y z k l

2 2

0

2 2

2 2 2

2 2 2

}

1= sin 2 2 2 2 2

4sinh

2

sin 2 2 2 2 2

sin 2 2 2 2 2 2

sin 2 2 2 2 2 2

z k l

z k l

z n k l

z n k l

dtt z k l z k n l h

t

t z k l z k n l h

t z k k l z k n l h

t z n k l z k n l h

e

e

e

e

Để xác định tích phân I chúng ta sử dụng tích phân :

0

sin' tanh

sinh 2 2

ax aI

x

(2.50)

Khi đó ta xác định được tích phân (2.47):

(2.49)



2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1tanh 2 2 2 2 2

4

tanh 2 2 2 2 2

tanh 2 2 2 2 2

tanh 2 2 2 2 2

z k l

z n k l

z k l

z n k l

I z k l z k n l h e

z n k l z k l h e

z k l z k n l h e

z n k l z k l h e

(2.51)

Hay :

1, , , , , , , , , , , , , ,

4

, , , , , , , , , , , , , ,

I X z n k l h X z n k l h

Y z n k l h Y z n k l h

(2.52)

Trong đó:

2 2, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2

z k lX z n k l h z n l z n k l h e

(2.53)

2 2 2, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2

z n k lY z n k l h z n k l z k l h e

(2.54)

Thay vào công thức (2.48) ta được : Phương trình đại số cho giá trị trung bình

spin trên một nút mạng (hay mô men từ tỷ đối trên một nút mạng thứ j bất kỳ của

mạng tinh thể) với hệ số X, Y được xác định theo (2.53), (2.54)

2 22

2 20 0 0

11

2

1 12 2

, , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , ,

n f n z n f nz nnz

n k l

z n z n f n z f nn k l

p pm m C C C

n z nf n k f n f z n l f z n

X z n k l h X z n k l h

Y z n k l h Y z n k l h

(2.55)

Mặt khác theo (2.38):

tanh atanh m m ta có:

1/2 /21 1

1 1

e e m mm e e

m me e

(2.56)

Thay vào biểu thức (2.53), (2.54) ta được:



/2

1, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 2

1

z k lm

X z n k l h m z n k l z n k l hm

(2.57)

21, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2

1

zn k l

mY z n k l h m z n k l z k l h

m

(2.58)

Khi đó thay vào công thức (2.55) ta có:

2 22 2

2 20 0 0

11

2

1 12 2

, , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , ,

n f n z n f nz n znz

n k lz n z n f n z f n

n k l

p pm C C C m

n z nf n k f n f z n l f n

X z n k l h m X z n k l h m

Y z n k l h m Y z n k l h m

(2.59)

Hay có thể viết:

2 2

2 20 0 0

1

2

1 12 2

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

n f n z n f nz nnz

n k lz n z n f n z f n

n k l

p pm C C C

n z nf n k f n f z n l f n

X z n k l h m X z n k l h m Y z n k l h m Y z n k l h m

(2.60)

Với các hệ số X, Y được xác định bằng biểu thức:

, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 1 (2.61)k l z k l

X z n k l h m z k l z n k l h m m

, , , , , , , tanh 2 2 2 2 2 1 1 2.62n k l z n k l

Y z n k l h m z n k l z k l h m m

Còn :

, Bg h

J hJ

Biểu thức (2.60) (2.61) và (2.62) được sử dụng để tính sự phụ thuộc của mô

men từvào từ trường ngoài ở nhiệt độ thấp

Vậy :Mômen từ tỷ đối của mỗi nút mạng bất kỳ trong mạng tinh thể phụ thuộc vào

nhiệt độ, trường ngoài, các tham số thăng giáng và số spin lân cận gần nhất (hay

mạng tinh thể của mô hình).



2.2: Phƣơng pháp Monte Carlo [5]

2.2.1: Thuật toán Metropolis

Thuật toán Metropolis được sử dụng khá phổ biến trong cơ học thống kê để

tính giá trị trung bình của các đại lượng tuân theo một phân bố thống kê nào đó.

Thuật toán đó có thể mô tả như sau:

Gỉa thiết ta có không gian (có thể là nhiều chiều) chứa tập hợp các điểm của

biến X phân bố với mật độ xác suất là w(X). Thuật toán Metropolis tạo ra chuỗi số

các điểm X0, X1…lần lượt được rà soát bởi các bước nhảy ngẫu nhiên trong không

gian X. Quy luật của các bước nhảy ngẫu nhiên thực hiện trong không gian cấu hình

là như sau: cho rằng bước nhảy bắt đầu từ Xn, để tiếp theo là Xn+1 phải thử nghiệm

bước nhảy với điểm mới Xt. Điểm mới này sẽ được chọn bằng cách thuận tiện nhất

thí dụ có khả năng như nhau trong một hình hộp đa chiều kích thước bé δ xung

quanh điểm Xn. Bước nhảy thử nghiệm được chấp nhận hay không chấp nhận phụ

thuộc vào tỉ lệ xác suất :

w( )

w( )

t

n

Xr

X

(2.64)

Nếu r > 1 khi đó bước nhảy được chấp nhận và khi đó ta đặt Xn+1 = Xt.

Nếu r < 1 bước nhảy được chấp nhận với xác suất r. Quá trình nhảy này được

thực hiện bằng cách so sánh r với số ngẫu nhiên phân bố đồng nhất trong khỏang

[0 , 1] và được chấp nhận nếu r .

Nếu bước nhảy thử không được chấp nhận (loại bỏ) chúng ta đặt Xn+1=Xn .

Tìm ra giá trị Xn+1 chúng ta có thể tiếp tục xây dựng giá trị Xn+2 bằng cách

tương tự sử dụng bước nhảy ngẫu nhiên từ Xn+1. Điểm X0 tùy ý có thể dùng là điểm

bắt đầu cho bước nhảy ngẫu nhiên.

Tính toán hàm trọng số thống kê w( )X là việc mất thời gian nhất trong phương

pháp Monter- Carlo sử dụng thuật toán Metropolis. Thuật toán bước nhảy ngẫu

nhiên nêu trên sinh ra tập các điểm tuân theo phân bố w( )X ,điều này có thể chứng

minh như sau: ta xét một tập các bước nhảy ngẫu nhiên xuất phát từ các điểm khởi



đầu khác nhau và chuyển động độc lập qua không gian X. Nếu Nn(X) là mật độ các

bước nhảy tại X sau n lần lặp thì tổng các bước nhảy từ điểm X đến điểm Y ở lần

lặp tiếp theo là:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.65)

( ) ( )

nn n n

n

N X P Y XN X N X P X Y N Y P Y X N Y P X Y

N Y P X Y

Ở đây ( )P X Y là xác xuất mà bước nhảy bắt đầu từ X và tới Y. Phương trình (2.65)

cho thấy khi cân bằng (khi không có sự thay đổi trong phân bố) thì

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n e

n e

N X N X P Y X

N Y N Y P X Y

(2.66)

và khi hệ chưa cân bằng ( ( ) 0N X -có quá nhiều bước nhảy tại X hoặc nếu

( )

( )

n

n

N X

N Ylớn hơn giá trị cân bằng) thì sự thay đổi của N(X) lái hệ hướng về phía cân

bằng . Có thểchứng minh rằng sau một số lớn lần lặp n, mật độ các bước nhảy tại X

sẽ có giá trị cân bằng ( )eN X . Ta cũng cần chỉ ra rằng xác xuất chuyển dời của thuật

toán Metropolis cũng tiến tới giá trị cân bằng Ne(X)~w(X). Xác suất bước nhảy từ

X đến Y là

( ) ( ) ( )P X Y T X Y A X Y (2.67)

Trong đóT(X-Y) là xác xuất thực hiện bước nhảy thử từ X đến Y và

là xác xuất bước nhảy thử đó được chấp nhận. Nếu chỉ sau một bước nhảy từ X đến

được

điểm Y ( nếu điều này xẩy ra trong hình lập phương đa chiều kích thước δ

xung quanh điểm X) thì:

( ) ( )T X Y T Y X (2.68)

Như vậy phân bố cân bằng của các bước nhảy ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện ( xem

(2.66), (2.68)):

( ) ( )

( ) ( )

e

e

N X A Y X

N Y A X Y

(2.69)

Nếu w( ) w( )X Y thì ( ) 1A Y X và:



w( )

( )w( )

XA X Y

Y (2.70)

Nếu w( ) w( )X Y thì ( ) 1A X Y và:

w( )

( )w( )

XA Y X

Y (2.71)

Nói một cách khác khi phân bố các bước nhảy là cân bằng thì

( ) w( )

( ) w( )

e

e

N X X

N Y Y (2.72)

Trên kia chúng ta thảo luận về các bước nhảy thử Xt xung quanh điểm Xn, tuy

nhiên chúng ta có thể xét các điểm bất kỳ và xem xét sự chuyển theo qui luật

w( ) ( ) ( )

w( ) ( ) ( )

X T Y X A Y X

Y T X Y A X Y

(2.73)

Thêm vào đó một cách chọn là ( ) w( )T X Y Y không phụ thuộc vào X và

A=1. Cách chọn này có vẻ là cách chọn hiệu quả nhất vì không có một bước nhảy

thử nào bị “lãng phí” qua sự loại bỏ. Tuy nhiên cách chọn đó là không thực tế vì

nếu chúng ta biết cách chọn w(X) cho bước nhảy thử thì không cần sử dụng thuật

tóan để bắt đầu bước nhảy đó.

Còn một câu hỏi nữa phải trả lời đó là “ nếu bước nhảy được thực hiện xung

quanh Xn ta phải chọn kích thước của bước nhảy δ”. Để trả lời câu hỏi đó ta giảthiết

rằng Xn ứng với xác suất w(Xn) lớn nhất (vị trí Xn có độ hiện thực cao nhất). Nếu δ

là lớn thì w(Xt) bé hơn w(Xn) rất nhiều và so đó sẽ rất nhiều bước nhảy thử sẽ bị

loại bỏ như vậy giá trị lấy mẫu của w(X) rất kém hiệu quả. Nếu δ là rất bé thì nhiều

bước nhảy thử sẽ được chấp nhận nhưng bước nhảy ngẫu nhiên sẽ không đi được xa

và do đó việc lấy mẫu cho w(X) cũng không tốt. Một qui tắc thường được sử dụng

là: kích thước của bước nhảy thử được coi là tốt sao cho khoảng một nửa số các

bước nhảy thử sẽ được chấp nhận.

Khi áp dụng thuật toán Metropolis để lấy mẫu phân bố cần làm sao để các

bước nhảy ngẫu nhiên X0, X1, X2, … không phải không phụ thuộc vào nhau: có

nghĩa là Xn+1 cần ở lân cận Xn. Các điểm đo không phải là độc lập thống kê với

nhau. Điều này cần chú ý thí dụ khi tính tích phân:



( ) ( )

( )

dXw X f XI

dXw X

(2.74)

bằng cách tính trung bình đại lượng f(X) trên tập hợp các điểm của các bước

nhảy ngẫu nhiên công thức độ lệch toàn phương (hay độ tản mạn) sau cho f(X) là

không đúng vì f(Xi) không phải là độc lập thống kê :

2

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1N N

I f i i

i i

f fN N N N

Điều đó có thể kiểm chứng bằng cách tính hàm tự tương quan sau

2

22( )

i i k i

i i

f f fC k

f f

Ở đây .... ký hiệu lấy trung bình theo các bước nhảy ngẫu nhiên:

1

1( ) ( )

N k

i i k

i

f X f XN k

Do C(0)=1 nên giá trị C khi 0k có nghĩa rằng các f(Xi) là không độc lập.

Trên thực tế khi tính tích phân và độ lệch của nó sử dụng các điểm dọc theo bứơc

nhảy ngẫu nhiên phân cách bởi các khỏang cố định thì các khỏang nên chọn sao cho

không có sự tương quan giữa các điểm được sử dụng để tính. Khỏang lấy phù hợp có thể

đánh giá từ giá trị k mà C(k) là nhỏ ( thí dụ 0 ).

2.2.2: Áp dụng cho mô hình Ising hai chiều

Trong phần này ta sử dung phương pháp Monte-Carlo để tính các tính chất

nhiệt động của hệ từ tính sử dụng mô hình Ising.

Mô hình Ising là tập hợp các bậc tự do spin tương tác với nhau trong trường

ngoài. Chúng ta xét các spin tương tác trong mô hình hai chiều. Các spin ở các vị trí

nút mạng của mạng vuông gồm Nx Nynút. Các spin được kí hiệu hoặc là Sij với i, j

là số chỉ hai hướng trong không gian (hàng và cột) hay sử dụng ký hiệu với là

kí hiệu vị trí chung. Mỗi spin có trạng thái lên (up) 1S hoặc xuống (down)



1S . Điều này ứng với trường hợp spin S=1/2 trong mạng vuông 2 chiều và

chúng ta coi spin là bậc tự do cổ điển.

Halmitonnian của mô hình Ising:

H J S S B S

(2.75)

Ở đây kí hiệu là tổng của các cặp spin lân cận với tương tác trao đổi có

độ lớn là J. Vì vậy spin ở vị trí i tương tác với spin ở các vị trí 1i j và ij 1 . Ta

cũng giả thiết mạng spin có điều kiên biên tuần hòan ( nút i=Nx trùng với nút i=1,

nút j=Ny trùng với nút j=1, mạng spin có cấu trúc topo là hình xuyến trụ).

Khi J > 0 năng lượng là thấp nhất khi các spin lân cận có định hướng song

song cùng chiều, hệ mang tính sắt từ.

Khi J < 0 năng lượng là thấp nhất khi các spin lân cận có định hướng song

song ngược chiều, hệ mang tính phản sắt từ.

B ký hiệu từ trường ngoài. Số hạng tương tác với từ trường ngoài cho thấy các

spin có xu hướng sắp xếp song song cùng hướng với nó.

Để thuận tiện, ta tính cặp giá trị năng lượng trao đổi J và năng lượng trong từ trường

B theo đơn vị nhiệt độ như vậy sự tăng nhiệt độ trong hệ (đốt nhiệt) ứng với sự

giảm của cường độ tương tác . Cấu hình của hệ thống được đặc trưng bởi giá trị của

x y sN N N biến spin và trọng số thống kế của một cấu hình spin S bất kỳ trong

2 sN cấu hình của tập hợp thống kê, đó là:

( )

ω( )H Se

SZ

(2.76a)

Với hàm tổng thống kê Z:

( )( , ) H S

S

Z J B e

(2.76b)

Ta quan tâm đến mô- men từ của hệ mà theo nhiệt động lực học thì:

log( )

S

ZM S S

B

(2.77)



Độ cảm từ :

2

2( )S

MS S M

B

(2.78)

Năng lượng : ( ) ( )S

E S H S

(2.79)

Nhiệt dung hệ trong từ trường không đổi :

2 2( ) ( )BS

C S H S E

(2.80)

Trong giới hạn mạng rộng vô hạn ( ,x yN ) chúng ta có thể giải quyết được

mô hình Ising một cách chính xác (lời giải của Onsager). Khi trường ngoài B=0,

biểu thức cho năng lượng được tính bởi biểu thức:

'1

2(coth 2 ) 1 ( )sE N J J K

(2.81)

Nhiệt dung trong trường không đổi :

2 ' '1 1 1

2( coth 2 ) 2 ( ) 2 ( ) (1 ) ( )

2B SC N J J K E K

(2.82)

Còn mô men từ được tính bởi biểu thức:

2 1/4 2 4 1/8

2 1/2

(1 ) (1 6 )

(1 )s

z z zM N

z

khi CJ J

(2.83a)

M=0 Khi CJ J

(2.83b)

Trong các biểu thức trên thì các ký hiệu có ý nghĩa như sau:

2

sinh 22 1

cosh 2

J

J , 2' 2 tanh 2 1J (2.84)

/2

1 2 2 1/20

( )(1 sin )

dK

,

/22 2 1/2

1

0

( ) (1 sin )E d

(2.85)

Còn 2Jz e và Jc=0.4406868 là giá trị tới hạn của J khi 1 .



K1 là hàm có kỳ dị logarit. Như vậy tất cả các hàm nhiệt động có kỳ dị tại

điểm Jc tương ứng với sự chuyển pha. Điều đó được thể hiện rõ qua (285a,b).

Để tính số cho mô hình Ising ta phải tính các tổng theo các cấu hình spin

trong (2.79)-(2.89). Điều này hầu như không thể trên thực tế (thí dụ cho mạng spin

gồm 16x16 nút có cả thẩy2256

~ 1077

cấu hình spin). Do đó ta có thể sử dụng thuật

toán Metropolis để tạo cấu hình spin với S với xác suất ( )S và tính trung bình các

đại lượng nhiệt động theo các cấu hình đó. Thực hiện thuật toán Metropolis , chúng

ta cần tạo ra bước nhảy từ S đến tS bằng cách thay đổi tất cả các spin một cách

ngẫu nhiên. Điều này cho chúng ta một cấu hình rất khác từ cấu hình S và có xác

suất bị loại trừ cao. Bước nhảy càng nhỏ kết quả càng chính xác vì vậy chúng ta

xem xét một cấu hình thử từ một cấu hình khác trước đó bằng cách thay đổi đảo

ngược giá trị của một spin thôi. Để làm việc này ta rà sóat một cách hệ thống qua

tòan bộ mạng spin xem mỗi spin tại 1 thời điểm có quay hay không. Như vậy ta

xét hai cấu hình S và tS chỉ khác nhau bởi sự quay của một spin, ijS S . Sự chấp

nhận của bước nhảy thử này phụ thuộc vào hàm trọng số:

( ) ( )( )

( )tH S H StS

r eS

(2.86)

Nếu r > 1 hay r < 1 nhưng lớn hơn một số η ngẫu nhiên phân bố đồng nhất

trong khỏang [0,1] thì spin S sẽ đảo ngược còn nếu nhỏ hơn (r <η) thì spin sẽ

không thực hiện dịch chuyển.

Từ Hamiltonian ban đầu (2.77) ta thấy chỉ có mỗi spin ijS S có đóng góp

vào tỷ số xác xuấtr . Sau một vài tính toán toán học ta có:

2 ( )S Jf B

r e ; 1 1 ij 1 ij 1i j i jf S S S S

f là tổng của bốn spin lân cận của spin bị đảo ngược. f nhận 5 giá trị khác

nhau 0, 2, 4 nên r có thể có 10 giá trị khác nhau (có hai giá trịkhác nhau của S )



CHƢƠNG 3 : KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN

Trong chương này, xuất phát từ phương trình xác định mô men từ nhận được

dựa trên đẳng thức Callen như đãtrình bày ở trong chương hai (công thức (2.32)

hoặc (2.61),(2.62) và (2.63)). Các phương trình này có thể giải bằng lập trình sử

dụng phần mềm mathlab. Ngoài ra ta có thể tính trực tiếp mô men từ m theo

phương pháp Monte Carlo. Ta thu được một số kết quả về sự phụ thuộc của mô men

từ tỉ đốijS

mS

phụ thuộc vào nhiệt độ và các trườngngoài khác nhau.

3.1:Đƣờng cong từ nhiệt m(t) khi có và không có từ trƣờng ngoài.

Đường cong từ nhiệt là đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối

vào nhiệt độ. Từ đường cong từ nhiệt ta có thể xác định được điểm chuyển pha của

chất. Quá trình chuyển pha sắt từ - thuận từ xảy ra khi mômen từ 0m tại nhiệt

độchuyển pha Currie Tc. Ta sử dụng phương trình (2.33) để tính toán đường từ

nhiệt.

3.1.1: Mạng hai chiều

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ tỉ đối vào nhiệt độ Bk Tt

J

(đạilượng không thứ nguyên cho mạng spin hai chiều với số lân cận z=4, không có

trường ngoài (h=0), p=0.5 và tham số thăng giáng khác nhau được chỉ ra trên

hình 3.1

Hình3.1 : Đường cong từ nhiệt với các tham số z=4,h=0, p=0.5và các giá trị

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

m

t

0.8

0.6

0.98

1

1.001

1.02

1.1

1.106



Từ đồ thị ta thấy các đường cong từ hóa giảm dần, vùng nhiệt độ mà hệ có

tính sắt từ thu hẹp dần khi giá trị thăng giáng ∆ của tích phân trao đổi tăng dần từ

0.6 1.106 . Và khi tăng lên, giá trị mômen từ cực đại cũng giảm dần.

+ Với giá trị 1 đường cong từ hóa là một đường cong mômen từ giảm đơn

điệu khi nhiệt độ tăng và có một nhiệt độ chuyển pha Tc từ trạng thái sắt từ sang

thuận từ. Tại nhiệt độ T <Tc chất mang tính sắt từ do các spin có xu hướng sắp xếp

song song trong các đômen. Hiện tượng này là hiện tượng từ hóa tự phát và bão hòa

từ ngay khi từ trường ngoài bằng 0. Khi tăng dần nhiệt độ, năng lượng nhiệt dần

phá hủy cấu trúc trật tự từ làm cho các mô men từ nguyên tử không còn song song

với nhau, trạng thái bão hòa từ dần mất đi nên mô men từ giảm dần khi nhiệt độ

tăng. Nhiệt độ tăng đến giá trị nhất định TTc trạng thái sắt từ bị phá vỡ và thay

bằng trạng thái thuận từ, các spin sắp xếp hỗn loạn không có trật tự, mô men từ

m=0.

Tại nhiệt độ T=Tc là nhiệt độ xảy ra quá trình chuyển pha từ sắt từ sang thuận

từ.

+ Với 1 , xảy ra hiện tượng cạnh tranh tương tác sắt từ và phản sắt từ ( xem

công thức 2.16). Chúng ta thấy tồn tại hai điểm chuyển pha ở hai nhiệt độ khácnhau

(một nhiệt độ thấp và một nhiệt độ cao) ở đó có mômen từ m≈ 0. Xét nhiệt độ trong

vùng sắt từ, khi ta giảm dần đến nhiệt độ thấp TC1 có m≈ 0 hệ chuyển từ tínhsắt từ

(FM) sang phản sắt từ (AF). Khi tăng nhiệt độ đến giá trị nhiệt độ cao TC2 hệ hoàn

toàn mất tính sắt từ và chuyển thành thuận từ. Hiện tượng có hai điểm chuyểnpha

này được gọi là chuyển pha từ trở lại.

Khảo sát đường cong từ nhiệt với các trường ngoài khác nhau. Khi ta đặt thêm

từ trường ngoài h ≠ 0 , hệ sẽ chịu tác động của từ trường ngoài, quá trình chuyển

pha thay đổi phụ thuộc vào độ lớn trường ngoài ta đặt vào. Đường cong từ nhiệt khi

đặt trong các giá trị từ trường ngoài khác nhau có dạng như hình dưới :



Hình 3.2 : Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5 , h=0.002 và các giá trị

0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.11(5); 1.19(6)

Hình 3.3 :Đường cong từ nhiệt với z=4, p=0.5, h=0.02 và các giá trị

0.8(1); 1(2); 1.02(3); 1.106(4); 1.19(5); 1.25(6)

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

m

t

1 2 3 4 5 60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

m

t



2 4 6 80,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

m

t

1.19

1.3

1.401

1.43

1.45

1.5

Hình 3.4: Đường cong từ nhiệt với z=4 , h=0.2 , p=0.5 với các giá trị

1.19(1); 1.3(2); 1.401(3); 1.43(4); 1.45(5); 1.5(6)

Các hình (3.2), (3.3), (3.4) khảo sát quá trình chuyển pha của các giá trị thăng

giáng của tích phân trao đổi trong khoảng 0.8 1.5 và từ trường ngoài tăng từ

h=0.002 đến h=0.02 và h=0.2. Ta thấy rằng khi từ trường ngoài tăng lên, pha sắt từ

ngày càng chiếm ưu thế so với pha phản sắt từ, vùng sắt từ ngày càng được mở

rộng. Điểm xảy ra chuyển pha giữa sắt từ sang thuận từ ngày càng “ nhòe” rộng và

giá trị nhiệt chuyển pha lúc này xác định bằng độ dốc nhất của đường cong mômen

từ theo nhiệt độ.

Ngay tại nhiệt không tuyệt đối t=0, hệ luôn tồn tại một mômen từ dư do tác

dụng của từ trường ngoài đặt vào làm cho một số spin có xu hướng sắp xếp theo

hướng của từ trường. Từ trường càng lớn thì giá trị mômen từ dư càng lớn. Khi tiếp

tục tăng nhiệt độ, năng lượng chưa đủ lớn để phá vỡ tác dụng của từ trường ngoài

nhưng có tác dụng làm cho liên kết các spin lỏng lẻo và có xu hướng quay dần theo

hướng của từ trường, giá trị mômen từ tăng và đật đến giá trị cực đại. Tiếp tục

tăngnăng lượng nhiệt đủ lớn có tác dụng phá vỡ cấu trúc của mô hình, đa số các

spin sắp xếp theo các hướng hỗn độn khác nhau làm cho mô men từ giảm.



Hình 3.5 mô tả các đường cong từ nhiệtkhi các trường ngoài có các giá trị

khác nhau.

2 4 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 h=0

h=0.002

h=0.02

h=0.04

h=0.07

h=0.08

m

t

Hình 3.5: Đường cong từ hóa với Z=4 , p=0.5 , delta=1.02 và các giá trị của h

Từ hình (3.5) ta thấy so sánh thấy rõkhi tăng giá trị của h, vùng sắt từ mở rộng

dần, giá trị mômen từ ban đầu tại nhiệt độ t=0 tăng và ở gần điểm chuyển pha vẫn

tồn tại mô men từ khác 0. Tại h=0 ta có thể tìm được hai nhiệt độ chuyển pha Curie

chính xác. Với các giá trị h ≠0 , nhiệt độ chuyển pha xác định bằng độ dốc nhất của

đường cong mô men từ với trục nhiệt độ.

3.1.2: Mạng ba chiều (z=6)

Đường cong từ nhiệt khi không có trường ngoài h=0 và có trường ngoài 0h

với p=0.5 và độ thăng giáng của tích phân trao đổi có các giá trị khác nhau được

chỉ ra trên hình 3.6 và hình 3.7. Các đường cong có dạng tương tự như trường hợp

hai chiều nhưng điểm chuyển pha cao (thấp) trong trường hợp 3 chiều lớn hơn (nhỏ

hơn) so với trường hợp hai chiều nếu lấy cùng tham số p, và h.



1 2 3 4 50,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

m

t

0.6

0.8

1

1.2

1.5

1.56

Hình 3.6 : Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một

nút mạng m vào nhiệt độ t khi z=6 ,p=0.5, h=0 và các giá trị ∆

0.6(1); 0.8(2); 1(3); 1.2(4); 1.5(5); 1.56(6)

1 2 3 4 5 60,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

m

t

0.6

0.8

1.2

1.5

1.56

Hình 3.7: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mô men từ trên một nút

mạng m vào nhiệt độ t khi z=6, p=0.5, h=0.002 và các giá trị

0.6(1); 0.8(2); 1.2(3); 1.5(4); 1.56(5)



3.2. Đƣờng biểu diễn phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha Curie vào xác suất p

3.2.1 : Mạng hai chiều

Khảo sát sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha vào xác suất thăng

giáng p. Ta có đường biểu diễn sự phụ thuộc như sau (hình 3.8) trong trường

hợp mạng hai chiều z=4:

0,48 0,52 0,56 0,600,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

t C

p

1.005

1.15

Hình 3.8: Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng p với

z=4, 1.005 và 1.15 khi h=0

Trên đồ thị phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào xác suất thăng giáng (khi thăng

giáng 1 vùng có cạnh tranh giữa hai pha trạng thái sắt từ và phản sắt từ) ta thấy

có một vùng giá trị của p mà khi cp p sẽ tồn tại hai giá trị của của nhiệt độ

chuyển pha TC1 và TC2 với cùng một giá trị xác suất p. Khi giá trị của p nằm ngoài

khoảng trên thì chỉ tìm được một nhiệt độ chuyển pha TC và chỉ xảy ra một quá

trình chuyển pha. Khi tăng thì giá trị của p tại đó tìm được hai nhiệt độ chuyển

cũng tăng lên, với 1.005 thì xác suất tới hạn p≥0.484, khi 1.15 thì xác suất

p≥0.545. Khi tăng ta thấy nhiệt độ TC2 giảm đi, tức là quá trình chuyển pha từ

trạng thái sắt từ sang thuận từ ở xảy ra ở nhiệt dộ thấp tăng, vùng sắt từ sẽ bị thu

hẹp dần ( phù hợp với kết quả của đồ thị hình 3.1) do các thăng giáng phản sắt từ

được tăng cường.



Khi thay đổi từ trường ngoài đặt vào, ta có đồ thị biểu diễn mối liên hệ của

nhiệt độ chuyển pha và xác suất thăng giáng.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5 h=0

h=1.2

h=1.3

h=1.5

t C

p

Hình 3.9 :Sự phụ thuộc của nhiệt độ tc vào xác suất p

với z=4,=1.15,h=0, h=1.2 và h=1.5

3.2.2: Mạng ba chiều

0.40 0.44 0.48 0.520.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

t C

p

1.005

1.15

Hình 3.10 : Đồ thị phụ thuộc (p-t )với z=6,h=0, 1.005 và 1.15



0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0 h=0

h=1.5

h=1.6

h=1.8

t C

p

Hình 3.11: Sự phụ thuộc của nhiệt độ tc vào xác suất p

với z=6, =1.15, h=0, h=1.5 ,h=1.6 và h=1.8

3.3 : Sự phụ thuộc mômen từ vào từ trƣờng ngoài h ở nhiệt độ thấp.

3.3.1: Mạng hai chiều

Khảo sát sự thay đổi của mô men từ với trường ngoài trong trường hợp ∆> 1ở

nhiệt độ thấp ta thu được kết quả sau.

0.00 0.04 0.08 0.12 0.160.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p=0.2

p=0.4

p=0.45

m

h

Hình 3.12: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường

với z=4, ∆=1.03, t= 0.01 và các giá trị thăng giáng p=0.2 ; p=0.4; p=0.45



0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

m

h

1.02

1.03

1.04

Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường với

z=4,p=0.2,t=0.01và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi lần lượt là

1.02(1); 1.03(2); 1.04(3)

Từ hình (3.12) (3.13) ta thấy xác định mômen từ tăng đột ngột tại một vài giá

trị hc của từ trường, đây là hiện tượng nhảy bậc đặc trưng cho quá trình quay đột

ngột đám spin phản sắt từ trở thành đám sắt từ. Do trong hệ có tương tác sắt từ

(FM) và phản sắt từ(AF) cho nên ta có thể giả thiết ban đầu trong mạng có các đám

spin phản sắt từ và sắt từ. Khi tăng từ trường ngoài đặt vào các đám spin phản sắt từ

dần quay theo hướng của từ trường ngoài dọc theo hướng của các đám sắt từ (FM)

làm mômen từ tăng dần, khi tiếp tục tăng từ trường đến một giá trị tới hạn hc một số

lớn các đám phản sắt từ đột ngột đảo hướng song song với từ trường làm mômen từ

tăng nhảy bậc. Quá trình này là quá trình từ hóa loại I theo lý thuyết nhiệt động học

và vật lý thống kê. Khi ta thay đổi độ thăng giáng của tích phân trao đổi thì từ

trường tới hạn xảy ra hiện tượng nhảy bậc cũng tăng. Hình 3.15 cho thấy đối với

mạng spin hai chiều ta thấy có hai bước nhảy của mômen từ ở 1 0.032ch và

2 0.071ch khi p=0.2, 1.02 và bước nhảy càng sắc nét ở nhiệt độ thấp.



0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.120.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t=0.01

t=0.001

t=0.0001

m

h

Hình 3.14: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mômen từ vào từ trường

với z=4, p=0.2, ∆=1.02 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001,

t=0.0001.

3.3.2: Mạng ba chiều

Đối với mạng ba chiều quá trình từ hóa loại I có thể xảy ra ở nhiệt độ thấp với

3 bước nhảy (xem hình 3.16). Khi độ thăng giáng của tích phân trao đổi tăng

đường cong từ hóa và các từ trường tới hạn có xu hướng dịch về phía từ trường cao.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

m

h

1.02

1.038

1.04

Hình 3.15: Đường biểu diễn sự phụ thuộc mômen từ vào từ trường với

z=6, t=0.01, p=0.2 và các giá trị ∆ của tích phân trao đổi

1.02(1); 1.038(2); 1.04(3)



0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p=0.1

p=0.3

p=0.5

m

h

Hình 3.16: Đồ thị (m-h) với z=6, Delta=1.04, t=0.01

vàp=0.1, p=0.3, p=0.5

Hình 3.16 cho thấy khi 1 xác suất p của tương tác sắt từ bé tăng thì độ lớn

mômen từ trong trường bé chưa bão hòa tăng còn giá trị từ tới hạn, số bước nhảy

các mômen từ như cũ hay giá trị từ trường tới hạn không phụ thuộc xác suất thăng

giáng .

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.300.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

t=0.01

t=0.001

t=0.0001

m

h

Hình 3.17: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của mômen từ vào từ trường

với z=6, p=0.1, ∆=1.04 và các giá trị của nhiệt độ t=0.01, t=0.001,

t=0.0001.



Sử dụng phương pháp Monte Carlo để tính sự thuộc thuộc của mômen từ vào

từ trường ngoài ta cũng thu được kết quả tương tự như khi tính toán theo hệ thức

Callen (xem hình 3.18) và lập trình bằng Mathlab.

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 Callen

Monte Carlo

m

h

Hình 3.18 : Đồ thị biểu diễn m theo h với z=4, t=0.01, 1.04 ,p=0.1bằng

phương pháp Monte Carlovà phương pháp Callen-Mathlab

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Callen

Monte Carlo

m

h

Hình 3.19:Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của mômen từ tỷ đối m vào từ

trường h khi z=4,t=0.01,delta=1.04,p=0.5bằng phương pháp Callen và

Monte Carlo



3.3.3:Áp dụng mô hình Ising có tích phân trao đổi thăng giáng cho chuyển

pha meta từ

Sử dụng lý thuyết quá trình từ hóa loại I cho mẫu Ising mất trật tự chúng tôi so

sánh giữa tính toán lý thuyết và kết quả thực nghiệm của Y.Y.Wu et al [12] cho

chuyển pha meta từ trong Pr 0.5 Ca0.5 Mn0.97 Ga0.03 O3 đo ở nhiệt độ T=2.5 (K)

0 2 4 6 80.0

0.5

1.0

1.5

2.0

ly thuyet

thuc nghiem T=2.5 K

m

H(T)

Hình 3.20: Đồ thị so sánh giữa lý thuyết và thực nghiệm cho mômen từ

(trong đơn vị µB ) trên một nút mạng theo từ trường

với z=6, t=0.01, 1.04 , p=0.34

Bảng số liệu so sánh bước nhảy mô men từ và từ trường tới hạn.

Kết quả lý thuyết minh họa khá tốt ba bước nhảy quan sát bằng thực nghiệm .

Nhìn chung độ lớn của các bước nhảy mômen từ là tương đối phù hợp. Hai từ

trường tới hạn cao có giá trị phù hợp với nhau còn từ trường tới hạn thứ nhất có sự

( )Bm ( )cH T

Lý thuyết Thực nghiệm Lý thuyết Thực nghiệm

0.80542 0.80617 1.93973 3.41884

0.49491 0.2389 4.84954 5.24766

0.41722 0.44822 7.43599 7.23436



khác biệt đáng kể giữa lý thuyết và thực nghiệm. Điều này có thể nguyên nhân là do

trạng thái ban đầu của mẫu đo phụ thuộc rất mạnh vào điều kiện thực nghiệm.



KẾT LUẬN

Luận văn đã khảo sát mô hình Ising cho hệ spin với tích phân trao đổi thăng

giáng có thể có các giá trị dương (trao đổi sắt từ), âm (trao đổi phản sắt từ) phụ

thuộc vào độ thăng giáng ∆. Luận văn đã thu được một số kết quả sau:

1.Khi ∆> 1 có sự cạnh tranh giữa tương tác sắt từ và phản sắt từ dẫn tới đường

cong mô men từ phụ thuộc nhiệt độ khác 0 trong một vùng nhiệt độ hữu hạn (có hai

điểm chuyển pha TC1 thấp và TC2 cao) hiện tượng này được gọi là hiện tượng

chuyển pha từ trở lại (Reentrant phase transition). TC1 là điểm ứng với quá trình

chuyển từ pha sắt từ sang phản sắt từ khi giảm nhiệt độ và TC2 là điểm ứng với

chuyển pha sắt từ sang thuận từ khi tăng nhiệt độ. Hiện tượng Chuyển pha trở lại

xảy ra cả trong hệ 2 và 3 chiều. Cho mỗi giá trị ∆> 1 khi không có trường ngoài

(h=0) tồn tại một giá trị tới hạn pc khi p> pc mới xảy ra hiện tượng chuyển pha từ

trở lại, còn khi h≠ 0 và tùy thuộc vào độ lớn của h có thể tồn tại một hoặc hai giá trị

tới hạn của 𝑝𝑐1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑝𝑐2.

2.Trong trường hợp có chuyển pha từ trở lại (trường hợp độ thăng giáng 1 )

ở nhiệt độ thấp gần hệ có quá trình chuyển pha loại một trong từ trường ngoài với

sự xuất hiện các bước nhảy bậc của mômen từ (độ lớn mô men từ tăng đột ngột) ở

các giá trị từ trường tới hạn hc khác nhau. Số bước nhảy và độ lớn mỗi bước nhảy

phụ thuộc vào xác suất thăng giáng và số chiều của mạng (thể hiện qua số lân cậ

gần nhất). Mạng 2 (3) chiều có số bước nhảy là 2 và 3 khi xác xuất của tương tác sắt

từ là p <=0.5.

3. Kết quả lý thuyết về quá trình từ hóa loại một và kết quả thựcnghiệm đối

với mẫu đa tinh thể perovskite Pr 0.5 Ca0.5 Mn0.97 Ga0.03 O3[12 ]đo ở nhiệt độ T=2.5

K là khá phù hợp ứng với mạng spin 3 chiều (z=6, t=0.01, 1.04 và p=0.34).



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Hữu Đức , Vật lý chuyển pha – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội , Hà

Nội, 2003.

2. Nguyễn Phú Thùy,Vật lý các hiện tượng từ– NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội,

Hà Nội,2004.

3. Thân Đức Hiền –Lưu Tuấn Tài Từ học và vật liệu từ– NXB Bách Khoa, Hà Nội,

12/2008.

4. Nguyễn Hoàng Nghị , Cơ sở từ học và các vật liệu từ tiên tiến- NXB Khoa học

và kỹ thuật, 12/2012.

5. Nguyễn Thị Trang , khóa luận tốt nghiệp “Hệ spin Ising thăng giáng”, ĐHKH

Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội, khóa K53.

6. Steven E.Koonin and Dawn C.Meredith ,Computational physics - NXB Addison

Wesley(1990).

7. B.T.Cong, P.N.A.Huy, N.H.Long and D.D.Long Bull.Mater.Sci.26 (2003)151.

8. Cong B T, JMMM 117 (1992) 126.

9. Cong B T, Hieu V T and Tuan N A JMMM 140-144(1995) 259.

10. Coutinho-Filho Mauricio D and Rezende Sergio M New trends in magnetism

(Singapore : World Scientific) (eds) 1990.

11. H.B. Callen, Phys. Lett. 4 (1963) 161.

12. Y.Y.Wu et al, “Magnetic field-induced metamagnetic transition of Pr 0.5 Ca0.5

Mn0.97 Ga0.03 O3 “JAP 110 (2011) 013907 .

13. Classical Monte Carlo & Metropolis algorithm (internet source)

14. Revista Brasileira de Fisica, 11(1981) L3.

15. R. Mahendiran et al “UltrasharpMagnetization Steps in Perovskite manganites”

PRL 89 (2002)

16. E. Ising, Z. Phys. 31, 253 (1925)

17. Lecture 18 The Ising Model(internet source).

18. Stephen G.Brush “ History of the Lenz-Ising model” RMP 39(10/1967)



19. Zhi-dong Zhang, “conjectures on exact solution of three-dimensional (3D)

simple orthorhombic Ising lattices”, Shenyang National Laboratory for

Materials Science, Institute of Metal Research and International Centre for

Materials Physics, Chinese Academy of Sciences.

Documents

MỤC LỤC MỞ ĐẦU - hus.vnu.edu.vn (367).pdf · tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab. Em cũng xin gửi lời cảm ơn PTN tính toán trong KHVL, các thầy