Embed Size (px)
Citation preview
30-11-2010
1
Movimentos oscilatórios
Prof. Luís C. Perna
Movimento Periódico
Um movimento periódico é um movimento em que um corpo:
Percorre repetidamente a mesma trajectória.
Passa pela mesma posição, com a mesma velocidade e a mesma
aceleração, ao fim de um intervalo de tempo igual a um período, T.
Quando a trajectória é percorrida em ambos os sentidos, o
movimento periódico toma a designação:
de movimento oscilatório (se é relativamente lento);
ou movimento vibratório (se é rápido).
Quando o sistema oscila em torno de uma posição de equilíbrio
designa-se por oscilador.
30-11-2010
2
Análise do movimento de um
corpo ligado a uma mola.
Força deformadora – força que
provoca a deformação
(compressão ou distensão) na
mola em equilíbrio.
Força elástica (força
restauradora) – força que tende a
levar a mola, de novo, à sua
posição de equilíbrio, opondo-se,
em cada instante, à força
deformadora.
Força deformadora e força elástica
À coordenada de posição x
chama-se elongação. Esta
corresponde à medida da
deformação da mola
relativamente à sua posição de
equilíbrio.
À elongação máxima chama-se
amplitude.
Considera-se elongação positiva
quando (x > 0) na distensão
e elongação negativa quando
(x < 0) na compressão.
Elongação e amplitude
30-11-2010
3
Verifica-se experimentalmente,
que a intensidade da força
deformadora quer distenda quer
comprima a mola elástica, é
directamente proporcional ao
alongamento ou compressão
produzidos na mola (x) – Lei de
Hooke.
Lei de Hooke
xkFelást
http://virtual.unilestemg.br/laboratorio/praticas/leihooke1.swf
O sinal negativo indica que a força
elástica tem sentido oposto ao do
alongamento ou compressão,
relativamente à posição de equilíbrio.
k é a constante de elasticidade da
mola, e é uma medida da rigidez ou grau
de elasticidade da mola.
As molas “duras” ou fortes têm valores
elevados de k.
k, exprime-se no sistema SI, em Newton
por metro, N m-1.
Lei de Hooke
xkFelást
30-11-2010
4
A força elástica realiza trabalho porque tende a levar a mola à
sua posição de equilíbrio.
A força elástica realiza:
Trabalho negativo – sempre que mola é deformada (comprimida ou
distendida), uma vez que actua em sentido oposto ao deslocamento.
Trabalho positivo – sempre que a mola regresse à posição de
equilíbrio (depois de deformada), uma vez que actua no sentido do
deslocamento.
Trabalho da força elástica
O trabalho da força elástica na compressão e na distensão da
mola pode ser calculado a partir da área do seguinte gráfico:
Cálculo do trabalho da força elástica
2
2
1xkW
elástF
30-11-2010
5
Movimentos Harmónicos Simples (MHS). São movimentos
periódicos devido a forças que obedecem à Lei de Hooke.
Exemplos:
• as vibrações de um diapasão;
• as vibrações dos átomos numa molécula;
• as vibrações do cristal de quartzo de um relógio;
• as pequenas oscilações de um pêndulo, etc.
Movimento Harmónico Simples
Aplicando a segunda Lei de Newton ao oscilador harmónico simples,
e como o atrito é desprezável, a força resultante é igual à força
elástica. A aceleração é:
MHS - Aceleração
xkam xm
ka
Esta expressão mostra que a aceleração do movimento não é
constante.
Num movimento harmónico simples, a aceleração é, em cada
instante, proporcional e de sentido contrário à elongação do
oscilador.
30-11-2010
6
Como a aceleração não é
constante as equações cinemáticas
não podem ser aplicadas.
Se o bloco é largado de uma posição
x = A, então a aceleração inicial é
–kA/m.
Quando um bloco passa pela posição
de equilíbrio, a = 0.
O bloco continua até x = -A onde a
sua aceleração é +kA/m.
MHS – Análise da Aceleração
xm
ka
No MHS durante uma oscilação, a
velocidade varia em módulo e em
sentido.
À medida que o oscilador se
aproxima da posição de equilíbrio, a
velocidade aumenta. Nessa posição,
a velocidade é máxima.
Nas posições extremas, a
velocidade é nula e o oscilador
inverte o sentido do movimento.
MHS – Análise da Velocidade
30-11-2010
7
MHS - Frequência angular
2
2
d x ka x
dt m
Definindo uma “nova” constante,
(frequência angular) tal que:
m
k2
m
k
A frequência angular, , é uma característica do oscilador
depende apenas das suas propriedades mecânicas:
massa do corpo e da constante de elasticidade da mola a que
está ligado.
Lei do Movimento Harmónico Simples
2
2
d x ka x
dt m
m
k2
m
k
xdt
xda 2
2
2
Equação diferencial
A é a amplitude da oscilação
é frequência angular do oscilador
0 é a fase inicial ou fase na origem: determina o afastamento da posição de equilíbrio no instante t = 0 s do oscilador.
é o ângulo de fase ou simplesmente fase)( 0 t
A solução desta equação diferencial é: )(sin 0 tAx
LEI do MHS
30-11-2010
8
Uma experiência sobre MHS
A caneta ligada ao corpo m
oscilante, traça uma curva
sinusoidal no papel que se
move.
Isto, comprova a curva
correspondente à função
sinusoidal encontrada
anteriormente.
Velocidade e aceleração de um oscilador harmónico simples
A velocidade e a aceleração de um oscilador harmónico simples
obtém-se, tal como acontece para qualquer movimento, por
derivação da lei geral do movimento.
)(cos 0 tAvdt
dxv
)(sin 0 tAx
xtAadt
dva 2
0
2 )(sin
m
kCom
30-11-2010
9
Posição, Velocidade e aceleração de um oscilador harmónico simples
tAv cos tAa sin2tAx sin
Velocidade e aceleração para intervalos de tempo correspondentes a quartos de período
tAv cos tAa sin2tAx sin
t x v a
0 0 A 0
T/4 A 0 - A2
T/2 0 - A 0
3T/4 -A 0 A2
T 0 A 0
30-11-2010
10
Período e frequência do MHS
O período, T, é o intervalo de tempo ao fim
do qual o oscilador retoma a mesma posição.
Portanto, )()( Ttxtx
00 )(sin)(sin TtAtA
Como a função seno retoma o seu valor quando a fase se altera de 2,será:
00 )(2 Ttt
22 TT
m
kComo: Frequência angular, então:
k
mT 2 Período
m
kf
2
1 Frequência
Período e frequência do MHS
k
mT 2 Período
m
kf
2
1 Frequência
A expressão do período de oscilação mostra que este:
Aumenta com o aumento da massa m;
Diminui com o aumento da constante elástica da mola, k.
O período,T, e a frequência, f, são independentes da amplitude, A.
Diz-se que as oscilações são isócronas.
Um oscilador harmónico simples executa oscilações isócronas.
30-11-2010
11
Energia do oscilador harmónico simples
No movimento oscilatório, há
transformação de energia
potencial elástica em energia
cinética e vice-versa.
Considerando desprezável o
efeito do atrito, durante o
movimento há conservação da
energia mecânica.
elásticaEpEcEm
Energia potencial elástica
Sabemos do 10º ano, que o trabalho realizado por uma força
conservativa (peso) é simétrico da variação da energia
potencial (gravítica).
.gravitPEpW
elásticaFEpW
elástica
Logo:
Como a força elástica é uma força conservativa, é possível definir
que o trabalho da força elástica seja simétrico da variação da
energia potencial elástica (Epelást.).
30-11-2010
12
Energia potencial elástica
Escolhendo a posição de equilíbrio como ponto de referência para a
energia potencial, o trabalho realizado pela força elástica entre a
posição de equilíbrio e um qualquer ponto de coordenada x, é:
)]0()([ ..
)0(
.elástelást
x
FEpxEpW
elást
)()0( ..
)0(
.
xEpEpW elástelást
x
Felást
)(.)0(
.
xEpW elást
x
Felást
2
. 2
1xkW
elástFComo: e 2mk
Então temos: 2
.2
1xkEpelást
22
.2
1xmEpelást ou
Energia potencial elástica
A expressão mostra-nos que:
A energia potencial elástica
é tanto maior quanto maior
for a elongação.
Nas posições extremas
onde o oscilador inverte o
sentido do movimento a
energia potencial elástica é
máxima.
Na posição de equilíbrio a
energia potencial elástica é
nula.
22
.2
1xmEpelást
30-11-2010
13
Energia cinética
No movimento harmónico simples, a velocidade é:
)(cos 0 tAv
Substituindo, na expressão da energia cinética,
2
2
1mvEc )(cos
2
10
222 tAmEc
Na posição de equilíbrio, o oscilador possui apenas energia cinética.
Nesse ponto o módulo da velocidade é máximo:
22
..2
1AmEcAv máxmáx
ou )(2
1 222 xAmEc Demonstra-se mais á frente
Energia mecânica
)(sin2
1)(cos
2
10
22
0
222 tAktAmEm
)(sin2
1)(cos
2
10
22
0
22 tAktAkEm
elástEpEcEm A energia mecânica será:
1cossin 22 2mk Como: e
A energia mecânica do oscilador será:
2
2
1AkEm 22
2
1AmEm
30-11-2010
14
Energias cinética, potencial e mecânica
Gráficos da energia potencial e cinética
Gráficos da energia potencial e da energia cinética em função da
elongação.
)(2
1 22 xAkEc 2
.2
1xkEpelást
2mk 2
2
1AkEm
30-11-2010
15
Energia do oscilador em função do tempo Na figura seguinte podemos observar graficamente a energia em
função do tempo.
Em qualquer instante, a sua soma tem sempre o mesmo valor: a
energia mecânica do oscilador.
)(2
1 222 xAmEc 22
.2
1xmEpelást 2mk
Movimento harmónico amortecido
Um movimento harmónico simples, com amplitude constante, pressupõe
que não haja perdas de energia; no entanto, na prática, há sempre
perdas de energia devido ao atrito ou à resistência do ar.
Quando a amplitude da oscilação vai diminuindo, dizemos que o movimento
é amortecido.
A oscilação amortecida deve-se a uma força de amortecimento quese opõe ao sentido do movimento; o seu trabalho é negativo,levando a uma diminuição da energia mecânica do sistema.
Simulação
30-11-2010
16
Movimento harmónico amortecido
Os efeitos de amortecimento
são muitas vezes provocados
deliberadamente.
Por exemplo, no sistema de
suspensão dos automóveis os
amortecedores estão ligados a
molas de suspensão.
Quando um carro é sujeito a
vibrações violentas, estas são
amortecidas por este sistema,
que reduz a sua amplitude,
diminuindo as oscilações.
O pêndulo gravítico
O pêndulo gravítico simples é constituído
por um pequeno corpo de massa m
suspenso de um fio de comprimento L.
A massa do fio é muito menor do que a
massa do corpo e, por isso desprezável.
O fio, considerado inextensível, é suspenso
de um ponto fixo. Deste modo, o corpo
descreve, no plano vertical um movimento
de vaivém numa trajectória curvilínea.
30-11-2010
17
O pêndulo gravítico, um exemplo de MHS
Quando o corpo é afastado da sua
posição de equilíbrio de um ângulo ,
passa a ter um movimento oscilatório
em torno da posição vertical.
As forças que actuam no pêndulo são:
-Tensão, T.
- Peso, P.
Em qualquer posição, há uma força
que puxa o corpo para a posição de
equilíbrio.
Que força restauradora é essa?
É a componente tangencial do peso. sinPFt
O pêndulo gravítico, um exemplo de MHS
Se considerarmos apenas
pequenas oscilações, isto é,
valores de 10º é válido
fazer a seguinte aproximação na
componente tangencial do peso:
mgmgFt sin
Mas o valor de é tal que: s
Ou seja:
s
E, como o ângulo é muito pequeno, tem-se s x e:
xmg
smg
Ft
30-11-2010
18
O pêndulo gravítico, um exemplo de MHS
A força restauradora segue a lei de Hooke:
xmg
Ft k
mg
onde
xkFt
O movimento do pêndulo é harmónico simples, mas apenas para pequenas oscilações ou seja quando .x
O período do movimento é:
l
g
xg
at
xat
2
g
lT 2
k
mT 2
2
g
m
k
O pêndulo gravítico, um exemplo de MHS
O período das pequenas oscilações depende do
comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade;
O período não depende da massa do oscilador e, por isso,
diz-se que as oscilações são isócronas.
g
lT 2
