Medida e Integracion

Medida deLebesgue en Rn

Medida Exterior

Medida de Lebesgue

JJ IIJ I

1. Medida Exterior

La integral de Lebesgue surge del desarrollo de la integral de Riemann, ante las dificultadesencontradas en las propiedades de paso al lmite para calcular la integral de una funcion definidacomo lmite puntual de una sucesion de funciones.

La teora de Lebesgue se basa en un concepto mas general de lo que es la medida de unconjunto que la definicion eucldea de volumen, y lleva a la definicion de una familia de conjuntosmedibles que incluye a los conjuntos medibles Jordan, y a la construccion de una integral quepuede aplicarse en contextos mas variados que la de Riemann (funciones no acotadas, dominiosde integracion no acotados, ...) y que tiene mejor comportamiento frente a las operaciones delmite de funciones. La integral de Lebesgue frente a la de Riemann supone un paso comparablea la construccion de los numeros reales frente a los racionales.

Vamos a empezar el estudio por la construccion de la medida de Lebesgue, y luego desarrol-laremos su concepto de integral.

Definicion (Medida Exterior de Lebesgue).Sea A un subconjunto cualquiera de Rn. Se define la medida exterior de Lebesgue de A como

m(A) = inf{n=1

v(Qn), A n=1

Qn, Qn rectangulos cerrados}

donde el nfimo se toma entre todas las familias numerables de rectangulos que recubren a A


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Medida de Lebesgue

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m es una funcion de conjunto, definida en P(Rn), la familia de todos los subconjuntos deRn, y con valores en [0,]. Quiza convenga recordar algunas de propiedades de las operacionesen [0,] que nos pueden surgir:

Si a es un numero real, a+ = y a = Si a es un numero real, a > 0, entonces a = Si a es un numero real, a < 0, entonces a = En general 0 , son indeterminaciones

Observaciones:

1. La definicion puede hacerse indistintamente con rectangulos abiertos, cerrados, o semia-biertos.

En efecto, si llamamos

n(A) = inf{n=1

v(Sn), A n=1

Sn, Sn rectangulos abiertos}


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Medida de Lebesgue

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es evidente que n(A) m(A), ya que si {Sn}n es una familia de rectangulos abiertos querecubre a A, la familia de sus adherencias Qn = Sn es una familia de rectangulos cerradosque tambien recubre a A y la serie de los volumenes de los Qn es la misma que la de losSn

{n=1

v(Sn), A n=1

Sn, Sn rectangulos abiertos}

{n=1

v(Qn), A n=1

Qn, Qn rectangulos cerrados}

Recprocamente, sea > 0, y sea {Qn}n una familia de rectangulos que recubre a A talque

n=1

v(Qn) m(A) + /2. Para cada n N podemos escoger un rectangulo abierto

Sn que contenga ea Qn, y tal que v(Sn) v(Qn) + /2n+1. Entonces A n=1

Sn, y la

serien=1

v(Sn) n=1

v(Qn) +

2n+1 m(A) +


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Medida de Lebesgue

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Tomando nfimos entre todas las posibles familias de rectangulos abiertos que recubren aA, tenemos

n(A) m(A) + y como esto es cierto para todo > 0, tiene que ser n(A) m(A). Con la desigualdadde antes se tiene el resultado.

2. Los conjuntos A Rn con m(A) = 0 son los conjuntos de medida cero definidos en elestudio de la integral de Riemann.

3. Ademas, la medida exterior generaliza el concepto de volumen de un rectangulo: si R esun rectangulo en Rn, m(R) = v(R)En efecto, una desigualdad es trivial, ya que si R es un rectangulo, y definimos Q1 = R, y

Qn = si n 2, entonces R

n=1Qn y m(R)

n=1

v(Qn) = v(R)

Por otro lado, sea {Qn}n una familia numerable de rectangulos abiertos que recubra aR. Como R es compacto, esta familia tiene que admitir un subrecubrimiento finito, de

modo que R k

j=1

Qnj . Pero entonces sabemos que v(R) k

j=1

v(Qnj) n=1

v(Qn).

Tomando nfimos entre todas las familias de rectangulos abiertos que recubren a R, setiene v(R) m(R)


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Medida de Lebesgue

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El siguiente teorema recoge las propiedades mas importantes de la medida exterior de Lebesgue:

En la Teora de la Medida abstracta se pretende construir un procedimiento para medir conjuntos

y para integrar funciones definidas en los subconjuntos de un espacio . Dado un espacio , una

medida exterior es una funcion de conjunto definida en el conjunto de todos los subconjuntos

de que sea no negativa y verifique las tres primeras propiedades del teorema que viene a

continuacion. Las otras dos propiedades son propias de la medida de Lebesgue, y de algunas

otras medidas en espacios topologicos o espacios metricos, que dotan a la estructura formada

por el espacio y la medida de mejores propiedades de tipo topologico y geometrico, pero no son

imprescindibles para la coherencia de la teora y la construccion de una integral.


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Medida de Lebesgue

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Teorema (Propiedades de la medida exterior).

1. m() = 02. Si A B, m(A) m(B) (monotona)3. Sea {An}n una familia numerable de conjuntos; entonces

m(n=1

An) n=1

m(An) (subaditividad)

4. m(A) = inf{m(G), G abierto, A G} (regularidad)5. Para todo conjunto A y todo x Rn, m(x + A) = m(A)

(invariancia por traslaciones)

Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)


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Medida de Lebesgue

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1) y 2) son triviales. Para demostrar 3), sea > 0, y consideremos para cada An una familianumerable de rectangulos {Qnm}mN tal que

An

m=1

Qnm y

m=1

v(Qnm) < m(An) +

2n

Entonces la familia de todos los rectangulos {Qnm,m N, n N} verifican=1

An n=1

( m=1

Qnm

)

y se tiene

m(n=1

An) n=1

( m=1

v(Qnm)

)

n=1

(m(An) +

2n

)= +

n=1

m(An)

Como esto es cierto para todo > 0, se deduce que

m(n=1

An) n=1

m(An)


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Medida de Lebesgue

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Para demostrar 4), una desigualdad es trivial, ya que si A G entonces por 2) la medidaexterior de A es menor que la de G, as que

m(A) inf{m(G), G abierto, A G}Para la otra desigualdad, consideramos la definicion de la medida exterior con rectangulos

abiertos: dado > 0, sea {Qn}n una familia de rectangulos abiertos tales que

A n=1

Qn yn=1

v(Qn) m(A) +

Basta definir G =n=1

Qn, que es un abierto que contiene a A, y

m(G) n=1

v(Qn) m(A) +

Entonces

inf{m(G), G abierto, A G} m(G) m(A) + para cualquier > 0 de donde se deduce que


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Medida de Lebesgue

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inf{m(G), G abierto, A G} m(A)

Por ultimo, para demostrar 5) sean A Rn, y x Rn. Si {Qn}n es una familia de rectangulosque recubre a A, entonces {x + Qn}n es una familia de rectangulos que recubre a x + A, demodo que

m(x+ A) n=1

v(x+Qn) =n=1

v(Qn)

luego m(x+ A) m(A)Analogamente m(A) = m(x+ x+ A) m(x+ A), por lo que se tiene la igualdad.J(Volver al enunciado)

Sin embargo la medida exterior falla en cambio en una propiedad fundamental respecto alvolumen: no es cierto en general que si A y B son conjuntos disjuntos, se tenga m(A B) =m(A)+m(B), aunque hay que reconocer que tampoco es facil encontrar ejemplos de conjuntosconcretos para demostrar que la igualdad es falsa.

Si queremos conseguir que esta propiedad se verifique, debemos prescindir de algunos con-juntos. Esto da lugar a la definicion de una familia de subconjuntos de Rn, para los cuales sise verifica la propiedad, que llamaremos conjuntos medibles - Lebesgue. La definicion original


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Medida de Lebesgue

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de esta familia de conjuntos no es la que damos aqu, que se debe a Caratheodory, pero estaresulta mucho mas comoda que la definicion de Lebesgue. La comprobacion de que ahora sse verifica esta propiedad la haremos despues, junto con el estudio del resto de las propiedadesfundamentales de esta clase de conjuntos.


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Medida de Lebesgue

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2. Medida de Lebesgue

Definicion (Conjuntos Medibles Lebesgue).Un conjunto A se dice medible Lebesgue (en adelante conjunto medible) si verifica la siguientepropiedad:

Para todo conjunto E se verifica la igualdad

m(E) = m(E A) +m(E \ A)

AE A

E \A

E

Llamamos M a la familia de los conjuntos de Rn que son medibles.Se llama medida de Lebesgue en Rn a la restriccion de la medida exterior m aM: m :M

[0,], m(A) = m(A).En el captulo siguiente veremos como se puede construir un conjunto no medible en la recta

real. Y una vez encontrado uno, es facil imaginar infinitos conjuntos distintos no medibles, en larecta o en el cualquier espacio Rn

Algunas de las propiedades de los conjuntos medibles, y de sus medidas se recogen en elsiguiente teorema:


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Medida de Lebesgue

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Teorema (Propiedades de los conjuntos medibles - Lebesgue).

1. Si A M, entonces Ac M2. Si A y B son medibles, entonces A B M; y por tanto A \B M3. Si A y B son medibles, entonces A B M; y si ademas A B tiene medida finita,

m(A B) = m(A) +m(B)m(A B)

4. SiA1, . . . , Ak es una familia finita de conjuntos medibles, entonceski=1

Ai M yki=1

Ai M

5. Si {Ai}i es una familia numerable de conjuntos medibles, disjuntos dos a dos, entoncesi=1

Ai M. Ademas m(i=1

Ai) =i=1

m(Ai)

6. Si {Ai}i es una familia numerable de conjuntos medibles, entoncesi=1

Ai M yi=1

Ai M

7. Todo conjunto A con m(A) = 0 es medible

8. Si A M, para todo x Rn, x+ A M y m(x+ A) = m(A)


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Medida de Lebesgue

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Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)(1) Supongamos que A es medible, y sea E un conjunto cualquiera de Rn. Entonces EAc =

E \ A y E \ Ac = E A, luego

m (E Ac) +m(E \ Ac) = m(E \ A) +m(E Ac) = m(E)

as que Ac es medible tambien.

(2) Sean ahora A y B medibles, y sea E un conjunto cualquiera de Rn. Por ser A medible

m(E) = m(E A) +m(E \ A) (1)

Y por ser ahora B medible,

m(E A) = m(E A B) +m(E A \B) (2)

de donde sustituyendo en la ecuacion (1) queda

m(E) = m(E A B) +m(E A \B) +m(E \ A) m(E A B) +m(E \ (A B))


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Medida de Lebesgue

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A

B

EA

\B

E \A

A B

puesto que

(E A \B) (E \ A) = E \ (A B)

as que A B es medible.Y como A \B = A (Bc), tambien es medible.

(3) Sean ahora A y B dos conjuntos medibles. Por (1), sus complementarios Ac y Bc sonmedibles; por (2), la interseccion de los complementarios Ac Bc es medible; y otra vez por (1)el complementario de este conjunto A B = (Ac Bc)c es medible.

En cuanto a la formula para la medida de una union de conjuntos, utilizando que A es mediblecon el conjunto E = A B tenemos


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Medida de Lebesgue

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m(A B) = m((A B) A) +m((A B) \ A) = m(A) +m(B \ A)y utilizando ahora que A es medible, con E = B

m(B) = m(B A) +m(B \ A)si m(A B) es finita, podemos despejar en la segunda ecuacion la medida de B \ A y sustituiren la primera ecuacion, y queda

m(A B) = m(A) +m(B)m(A B)

(4) Sea ahora A1, . . . , Ak una familia finita de conjuntos medibles. Para cada N entre 2 y kpodemos poner

Ni=1

Ai =

(N1i=1

Ai

) AN

Razonando por induccion, para N = 1, A1 es medible. Si N1i=1 Ai es medible, entoncesaplicando la propiedad (3), Ni=1Ai es tambien medible. Repitiendo el proceso hasta N = k 1se obtiene que la union ki=1Ai es medible.


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Medida de Lebesgue

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Y poniendo

ki=1

Ai =

(ki=1

Aci

)cy aplicando las propiedades (1) y (3), tambien la interseccion ki=1Ai es medible.

(5) Sea {An}n una familia numerable de conjuntos medibles disjuntos dos a dos (es decir,An Am = si n 6= m). Y sea A = n=1An

La idea es estudiar las uniones finitas de conjuntos An, e intentar ver lo que ocurre si n tiendea

Consideramos la familia de conjuntos Bk = kn=1An. Por la propiedad (4), los conjuntos Bkson medibles. Ademas verifican para cada k N

Bk = Bk1 Ak y Bk1 Ak = luego

Bk Ak = Ak y Bk \ Ak = Bk1Sea E un conjunto cualquiera de Rn.Sabemos que

m(E) = m(E Bk) +m(E \Bk) (3)


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Medida de Lebesgue

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Utilizando ahora que Ak es medible

m(E Bk) = m(E Bk Ak) +m(E Bk \ Ak) = m(E Ak) +m(E Bk1)

Repitiendo el proceso con Bk1

m(E Bk1) = m(E Ak1) +m(E Bk2)

Y sustituyendo arriba

m(E Bk) = m(E Ak) +m(E Ak1) +m(E Bk2)

Y si lo repetimos k veces,

m(E Bk) =k

n=1

m(E An)

Sustituyendo en la ecuacion (3)

m(E) =k

n=1

m(E An) +m(E \Bk) k

n=1

m(E Ak) +m(E \ A)


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Medida de Lebesgue

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puesto que Bk A, y entonces (E \ A) (E \Bk)Como esta desigualdad es cierta para todo k, tiene que ser cierta tambien para la serie, y

m(E) n=1

m(E An) +m(E \ A)

m(

n=1

E An)

+m(E \ A) =

= m(E (

n=1

An))

+m(E \ A) =

= m(E A) +m(E \ A)Por tanto A es medible.Ademas si en esta ultima cadena de desigualdades ponemos en particular E = A, tenemos

m(A) n=1

m(A An) +m(A \ A) =n=1

m(An) m(A)

Luego efectivamente

m

( n=1

An

)=

n=1

m(An)


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Medida de Lebesgue

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(6) Sea ahora {An}n una familia numerable de conjuntos medibles (no necesariamente dis-juntos dos a dos), y sea A = n=1An

La idea para demostrar que A es medible es escribirlo como union de conjuntos disjuntos dosa dos, para lo cual basta definir

B1 = A1, B2 = A2 \ A1, . . . , Bn = An \ (n1i=1 Ai)

B1 = A1

B2 = A2 \A1

B3 = A3 \ (A1 A2)

A1

A2

A3

Ahora los conjuntos Bn son conjuntos medibles disjuntos dos a dos, y su union es medible,as que A = n=1Bn = n=1An es medible

Por otro lado aplicando la propiedad (1) el conjunto n=1An = (n=1Acn)c tambien es medible.(7) Sea A un conjunto de Rn de medida cero. Si E es un conjunto cualquiera de Rn, entonces


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como E A A, m(E A) m(A) = 0, luego m(E A) = 0 tambien y como E \ A E, m(E \ A) m(E)

Sumando las dos ecuaciones

m(E A) +m(E \ A) 0 +m(E)

Por tanto A es medible.

(8)Para terminar, sea A medible, y sea x un punto fijo de Rn. Sabemos que la medidaexterior es invariante por traslaciones, luego para cualquier conjunto E Rn se tiene

m(E) = m(x+ E) = m((x+ E) A) +m((x+ E) \ A) == m(x+ (E (x+ A))) +m(x+ (E \ (x+ A))) == m(E (x+ A)) +m(E \ (x+ A))

As que x + A es tambien medible. Y ya sabemos que m(A) = m(A) = m(x + A) =m(x+ A)J(Volver al enunciado)


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Ademas se tiene el siguiente resultado para sucesiones monotonas de conjuntos:

Proposicion (Sucesiones monotonas).

9. Sea {An}n una sucesion no decreciente de conjuntos medibles (An An+1 para todo n).Entonces

m(n=1

An) = limnm(An)

10. Sea {An}n una sucesion no creciente de conjuntos medibles (An An+1 para todo n), ytal que existe algun n0 con m(An0)


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Medida de Lebesgue

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(9) Supongamos primero que existe k0 N tal que m(Ak0) = . Como para todo k k0Ak0 Ak, entonces m(Ak) = y por tanto limnm(An) =

Por otro lado, como Ak0

n=1An, tambien m(

n=1An) =, y se tiene la igualdad.

Supongamos entonces al contrario que todos los conjuntos An tienen medida finita.

Poniendo A0 = , podemos escribirn=1

An =n=1

(An \ An1)Los conjuntos An \ An1 son medibles, disjuntos dos a dos, y m(An \ An1) = m(An)

m(An1). Aplicando la aditividad de la medida de Lebesgue,

m(n=1

An) = m(n=1

(An \ An1)) =n=1

m(An \ An1) = limN

Nn=1

m(An \ An1) =

= limN

n=1

m(An)m(An1) = limN

m(AN)

(10) Sea ahora {An}nN decreciente, y sea n0 tal que m(An0)


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Medida de Lebesgue

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Utilizando quen=1

An es medible, y que esta contenido en A1, se tiene

m(A1) = m(A1 (n=1

An)) +m(A1 \n=1

An) =

= m(n=1

An) +m(n=1

(A1 \ An))

Ahora la sucesion {A1 \ An}n es creciente, con lo que aplicando el apartado (1)

m(A1) = m(n=1

An) + limn

m(A1 \ An) =

= m(n=1

An) + limn

(m(A1)m(An)) =

= m(n=1

An) +m(A1) limn

m(An)

luego

m(n=1

An) = limn

m(An)


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Medida de Lebesgue

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J(Volver al enunciado) Observaciones:

La propiedad (10) no es cierta si para todo n N, m(An) = . Como ejemplo, senAn = [n,) en R:

An+1 An para todo n, luego es una sucesion decreciente.m(An) = para todo n, luego limnm(An) =Y sin embargo

n=1

An = luego su medida es 0.Solo falta ver que los conjuntos An as definidos son medibles.

Para ver esto ultimo, vamos a utilizar los resultados anteriores para conocer en lo posiblecuales son los conjuntos medibles de Rn (hasta el momento solo tenemos como ejemplo losconjuntos que ya conocemos de medida cero).

Los resultados fundamentales son los dos siguientes:

Proposicion.Todo rectangulo R Rn es medible.Demostracion:


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Sean R un rectangulo y E un subconjunto cualquiera de Rn. Por la definicion de la medidaexterior de E, dado un > 0, existe una familia numerable de rectangulos Qn tales que

E 8

n=1

Qn yn=1

v(Qn) < m(E) +

Entonces

m(E) m(E R) +m(E \R)

m((

n=1

Qn) R)+m((

n=1

Qn) \R)

n=1

(m(Qn R) +m(Qn \R))

El conjunto QnR es un rectangulo, y por tanto su medida exterior coincide con su volumen,m(Qn R) = v(Qn R)


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Medida de Lebesgue

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Qn

R

Qn R

Sn1

Sn2

Y el conjunto Qn\R se puede descomponer como una union finita de rectangulos Sn1 , . . . , Snknque no se solapan, de modo que

m(Qn \R) = m(kni=1

Sni ) kni=1

v(Sni )

Sustituyendo en la serie

m(E) m(E R) +m(E \R)

n=1

[v(Qn R) +

kni=1

v(Sni )

]=

=n=1

v(Qn) m(E) +


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Medida de Lebesgue

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Como esta desigualdad se verifica para cualquier > 0, tiene que ser

m(E) = m(E R) +m(E \R)as que R es medible.

Teorema.Todo conjunto abierto de Rn puede ponerse como union numerable de rectangulos.

Demostracion:

Si G es un conjunto abierto de Rn, para cada punto x G existira una bola centrada en xcontenida en G. Podemos construir un rectangulo Qx que contenga a x y este contenido en labola, y tal que los vertices de Qx tengan todas sus coordenadas racionales.

Si llamamos Q a la familia de todos los rectangulos posibles en Rn que tiene todos sus verticescon todas sus coordenadas racionales, Q es numerable, y podemos poner

G ={Q Q, Q G}

que sera como mucho una union numerable de rectangulos.

Como consecuencia de ambos teoremas:


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Medida de Lebesgue

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Corolario 1.

1. Todo conjunto abierto de Rn es medible.

2. Todo conjunto cerrado es medible.

3. Cualquier conjunto que se pueda obtener mediante una cantidad numerable de operacionesconjuntistas de union, interseccion o diferencia de conjuntos abiertos o cerrados, es medible.(Esta familia de conjuntos recibe el nombre de -algebra de Borel de Rn)

4. Todo conjunto medible Jordan es tambien medible Lebesgue. (El recproco no es cierto)

Demostracion:Los tres primeros apartados se deducen directamente de los dos ultimos teoremas, utilizando laspropiedades de los conjuntos medibles.

Para el ultimo apartado, si A es un conjunto medible Jordan, basta poner el conjunto A comounion de su interior y la parte de la frontera que este en A:

A = A0 (Fr(A) A)Aqu A0 es medible por ser un conjunto abierto, y Fr(A) A es un subconjunto de la fronterade A. Como A es medible Jordan su frontera es un conjunto de medida cero, luego Fr(A) Atambien tiene medida cero, y por tanto es medible - Lebesgue. As que A es medible - Lebesgue.

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