S A D R A J

1. FUNKCIJA, VRSTE I STRUKTURA MEHANIZAMA ...................................................................... 3

1.1. Funkcija mehanizma ......................................................................................................... 3 1.2. Vrste mehanizama .............................................................................................................. 5 1.3. Struktura mehanizama ...................................................................................................... 6

2. ANALIZA POLUNIH MEHANIZAMA ................................................................................................ 12

2.1. Poluni etvorougao ............................................................................................................ 12 2.2. Trenutni pol. Inverzno kretanje ...................................................................................................... 15 2.3. Grafike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja ........................................................ 18

2.3.1. Poziciona analiza. Poloaj pokretne take ........................................................................ 18 2.3.2. Dva beskonano bliska poloaja pokretne take ................................................................ 18 2.3.3. Grafike metode odredjivanja brzine ................................................................................... 19 2.3.4. Prenosna funkcija prvoga reda ........................................................................................... 21 2.3.5. Tri beskonano bliska poloaja pokretne take .................................................................. 23 2.3.6. Grafike metode odredjivanja ubrzanja ............................................................................... 23

2.4. Analitike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja ..................................................... 26 2.4.1. Poziciona analiza ............................................................................................................... 26 2.4.2. Analitika metoda odreivanja brzina i ubrzanja ................................................................ 27

2.5. Korienje programskih paketa za kinematsku analizu mehanizama ........................................... 31 2.6. Merni postupak odreivanja poloaja, brzina i ubrzanja lanova realnih mehanizama ................. 31 2.7. Kinematika kretanja kroz tri beskonano bliska poloaja .............................................................. 33

2.7.1. Bresse-ovi krugovi .............................................................................................................. 33 2.7.2. Euler-Savary-jeva jednaina ............................................................................................... 36 2.7.3. Tangenta na rulete i centar krivine ..................................................................................... 38 2.7.4. Raspored taaka P-A-A0-Aw ............................................................................................... 39 2.7.5. Prevojni i povratni krug kod etvorolanih mehanizama .................................................... 40 2.7.6. Ekstremum prenosne funkcije prvoga reda ........................................................................ 41

2.8. Putanje taaka spojke. Teorema Roberts-ebieva ..................................................................... 42

3. SINTEZA POLUNIH MEHANIZAMA .................................................................................................. 44 3.1. Sinteza mehanizama za vodjenje ................................................................................................. 45 3.2. Sinteza mehanizama za prenos .................................................................................................... 49

3.2.1. Sinteza mehanizama sa povratnim kretanjem .................................................................... 49 3.2.2. Sinteza mehanizama kao generatora funkcije .................................................................... 52 3.2.3. Ugao prenosa ..................................................................................................................... 56

4. MEHANIZMI S KOTRLJANJEM ........................................................................................................... 57 4.1. Zupasti prenosnici sa nepokretnim osama .................................................................................. 58 4.2. Planetni prenosnici ........................................................................................................................ 59

4.2.1. Kinematika planetnih prenosnika ........................................................................................ 60 4.2.2. Putanje taaka planetnog toka .......................................................................................... 63

4.3. Diferencijalni prenosnici ................................................................................................................ 65 4.4.1. Jednostepeni diferencijalni prenosnici ................................................................................ 66 4.4.2. Dvostepeni diferencijalni prenosnici ................................................................................... 67 4.4.3. Talasni prenosnik (Harmonic drive) .................................................................................... 70

Teorija maina i mehanizama

2

5. BREGASTI MEHANIZMI ...................................................................................................................... 74

5.1. Vrste bregastih mehanizama ........................................................................................................ 74 5.2. Analiza bregastih mehanizama ..................................................................................................... 78 5.3. Sinteza bregastih mehanizama ..................................................................................................... 81

5.3.1. Izbor prenosne funkcije ...................................................................................................... 81 5.3.2. Poluprenik osnovnog kruga .............................................................................................. 84 5.3.3. Konstrukcija profila bregaste ploe ..................................................................................... 87

6. MEHANIZMI SA PREKIDNIM KRETANJEM ........................................................................................ 88 6.1. Mehanizam sa maltekim krstom ................................................................................................... 88 6.2. Mehanizam sa zvezdastim tokom ................................................................................................. 96 6.3. Mehanizmi sa skakavicom .............................................................................................................. 97

7. DINAMIKA MEHANIZAMA .................................................................................................................... 98 7.1. Sile i momenti ................................................................................................................................. 99

7.1.1. Pogonske sile i momenti ..................................................................................................... 99 7.1.2. Tehnoloke sile i momenti ................................................................................................... 101 7.1.3. Sile i momenti u zglobovima ................................................................................................ 102

7.2. Kinetostatika ................................................................................................................................... 104 7.2.1. Grupa druge klase ............................................................................................................... 106 7.2.2. Grupa tree klase ................................................................................................................ 108 7.2.3. Grupa etvrte klase ............................................................................................................. 110 7.2.4. Grupa prve klase ................................................................................................................. 110

7.3. Sile i momenti inercije ..................................................................................................................... 111 7.3.1. Translatorno kretanje ........................................................................................................... 111 7.3.2. Rotaciono kretanje ............................................................................................................... 111 7.3.3. Napadna taka rezultujue sile inercije lana ...................................................................... 112

7.4. Metod ekvivalentnih masa ............................................................................................................... 115 7.4.1. Statika zamena masa ......................................................................................................... 115 7.4.2. Dinamika zamena masa ..................................................................................................... 116

7.5. Uravnoteenje rotora ....................................................................................................................... 118 LITERATURA .............................................................................................................................................. 122

3

1. FUNKCIJA, VRSTE I STRUKTURA MEHANIZAMA

1.1. Funkcija mehanizma

Osnovna funkcija mehanizma je prenos sile i kretanja ili voenje take po zadatoj putanji, odnosno, tela kroz zadate poloaje. U zavisnosti od toga koja od ovih funkcija dominira, razlikuju se dve osnovne grupe mehanizama:

a) mehanizmi za prenos i

b) mehanizmi za voenje.

Mehanizmi za prenos imaju zadatak da silu ili kretanje prenesu od pogona do izvrnog dela maine ili nekog drugog mehanizma po utvrenoj prenosnoj funkciji.

Prenosna funkcija je zavisnost izlazne koordinate za kruno, odnosno s za pravolinijsko kretanje vodjenog lana, i ulazne koordinate pogonskog lana (slika 1.1):

( )= ; ( )= ss . (1.1)

Sl.1.1.

Prvi izvod prenosne funkcije ', odnosno S', po ulaznoj koordinati predstavlja prenosnu funkciju prvoga reda:

=

dd ; = d

dss . (1.2)

Kako, u optem sluaju, ulazna koordinata zavisi od vremena =(t), to se brzina vodjenog lana i=& , odnosno ivs =& , moe izraziti pomou prenosne funkcije prvoga reda:

ui dtd

dd

dtd =

=== & ;

(1.3)

ui sdtd

dds

dtdssv ==== & ,

gde je: u - pogonska ugaona brzina. Drugi izvod prenosne funkcije po ulaznoj koordinati predstavlja prenosnu funkciju drugoga reda:

2

2

dd= ; 2

2

dsds = . (1.4)

4

U optem sluaju, ubrzanje vodjenog lana iii == &&& , odnosno iii sva &&& == , moe se formulisati izrazima: ( )

ui2ui

uiu

iuiii dt

ddt

ddt

d + =+=== &&& i (1.5)

ui2uiii ssas +== &&&

odakle se, za konstantnu ugaonu brzinu u = const., dobija: 2uii =&& ; 2uii ss =&& . (1.6)

Moe se uoiti da su prenosna funkcija prvoga reda i funkcija brzine sline funkcije, sa faktorom slinosti u (pogonska ugaona brzina), kao i da su za u = const. prenosna funkcija drugoga reda i funkcija ubrzanja sline funkcije, sa faktorom slinosti 2u . Jednaine (1.1) do (1.6) vae za krunu ulaznu koordinatu, odnosno za klasine pogonske motore sa rotacionim kretanjem. Na slian nain mogu se izvesti i odgovarajue jednaine za sluaj kada je ulazna koordinata linijska, odnosno kada je pogon linearni motor.

Prenosne funkcije mehanizama su u optem sluaju nelinearne i mogu biti progresivne, progresivne sa regresivnim delom i li povratne funkcije. Sve ove funkcije mogu biti i sa periodima mirovanja (tabela 1.1).

Tabela 1.1.

5

Mehanizmi za voenje imaju zadatak da provedu taku, odnosno telo, kroz zadate poloaje. U koordinatnom sistemu - xyz (slika 1.2a) zadati su poloaji take Ci kroz koje je potrebno provesti taku mehanizma u zadatom smeru.

a) b) c)

Sl.1.2.

Poloaj tela u prostoru definisan je poloajem njegovih triju nekolinearnih taaka (ne lee na istoj pravoj). Zadatak mehanizma za voenje tela u prostoru svodi se stoga na voenje taaka A, B i C kroz zadate poloaje Ai, Bi i Ci, odnosno voenje trougla ABC kroz zadate poloaje AiBiCi (slika 1.2b). Poloaj pokretne ravni u odnosu na nepokretnu pri ravanskom kretanju definisan je poloajem dveju taaka A i B, odnosno poloajem dui AB , pa se voenje ravni svodi na voenje dui AB kroz zadate poloaje (slika 1.2c).

1.2. Vrste mehanizama

Govorei o funkciji mehanizama izvrili smo njihovu podelu na mehanizme za prenos i mehanizme za voenje. U zavisnosti od pravaca osa obrtanja lanova, mehanizmi mogu biti:

- ravni; ose obrtanja su paralelne, lanovi mehanizma kreu se u medjusobno paralelnim ravnima, - sferni; sve ose obrtanja seku se u jednoj taki, a kretanje lanova mehanizma vri se u koncetrinim

kalotama, i

- prostorni; ose obrtanja se mimoilaze, a lanovi mehanizma realizuju prostorno kretanje. Na slici 1.3 prikazani su primeri ravnog (a), sfernog (b) i prostornog (c) polunog mehanizma.

a) b) c)

Sl. 1.3.

Sl. 1.4.

Dva susedna lana mehanizma, meusobno povezana zglobom, ine kinematski par (slika 1.4). Kod ravnih mehanizama mogu se sresti etiri tipa kinematskih parova:

- rotacioni par (slika 1.4), - prizmatini par (slika 1.7c), - kotrljajni par (slika 1.7b) i - bregasti par (slika 1.7a).

6

Prema vrsti kinematikih parova koje sadre, mehanizmi mogu biti:

- poluni, sastavljeni od rotacionih i prizmatinih parova, - kotrljajni (zupasti) i - bregasti. Na slici 1.5. prikazani su primeri ravnih, sfernih i prostornih polunih, zupastih i bregastih mehanizama.

Sl.1.5.

U narednim poglavljima bie obradjena analiza i sinteza ravnih polunih, zupastih i bregastih mehanizama. U okviru zupastih mehanizama nee biti obraivani klasini zupasti prenosnici, koji se izuavaju u Mainskim elementima, ve samo mehanizmi sa nelinearnom prenosnom funkcijom, kao i planetni i diferencijalni prenosnici.

1.3. Struktura mehanizama

Sl.1.6.

Od oblika zgloba zavisi vrsta mogueg relativnog kretanja izmedju lanova (rotacija, translacija i l i rotacija i translacija). Broj moguih relativnih kretanja u zglobu definie se brojem stepeni slobode kretanja zgloba (f). Razlika broja stepeni slobode kretanja slobodnog tela (b) i broja stepeni slobode kretanja u zglobu (f) definie broj ogranienja kretanja uvedenih zglobnom vezom (u):

u = b - f . (1.7)

Broj stepeni slobode kretanja slobodnog tela u prostoru je b=6 (tri mogue translacije i tri rotacije), a pri kretanju u ravni b=3 (dve mogue translacije i jedna rotacija). U tabeli 1.2. dat je pregled najee korienih zglobova, sa brojem stepeni slobode kretanja u zglobu, vrstama moguih relativnih kretanja i simbolima za njihovo prikazivanje u kinematskim shemama.

Vrsta mehanizama

Poluni Kotrljajni(zupasti) Bregasti

Ravni mehanizmi

Sferni mehanizmi

Prostorni mehanizmi

Elementi mehanizama su lanovi, zglobovi i organi. Broj, vrsta i raspored elemenata definiu strukturu mehanizma.

Zglobnom vezom se obezbedjuje da lanovi kinematskog para sve vreme relativnog kretanja budu u medjusobnom kontaktu. Dva lana mehanizma mogu biti medjusobno vezana samo jednim zglobom. lan mehanizma moe imati dva zgloba (binarni lan), tri zgloba (ternerni lan) ili vie zglobova (slika 1.6).

7

Tabela 1.2.

Medjusobna veza lanova u zglobovima kinematskih parova ostvaruje se:

- po povrini (nii kinematski parovi - rotacioni (slika 1.4) i prizmatini par (slika 1.7c)), - po liniji (vii kinematski par - kotrljajni par (slika 1.7b)), ili - u taki (vii kinematski par - bregasti par (slika 1.7a)).

a) b) c)

Sl. 1.7.

Broj ograni-enja

Brojstepeni slobod

EMA ZGLOBA simbol

3

1

2

2

3

4

5

5

5

5

4

4

3

3

2

1

1

1

8

Tabela 1.3.

Rotacioni i prizmatini par, koji po definiciji imaju dodir po povrini, mogu konstruktivno biti izvedeni tako da se dodir izmeu lanova ostvaruje u takama ili po linijama, kako je to prikazano u tabeli 1.3. Prizmatini par sa pokretnom vodjicom (slika 1.7c) naziva se kulisni par. Manji, kompaktniji lan takvog para naziva se kulisni kamen, a vodjica kulisom. Kliza u prizmatinom paru sa nepokretnom voicom (kliza 3 na slici 1.9) naziva se klip.

Krivaja je lan mehanizma koji se moe okrenuti za pun krug (2) oko nepokretne leine take. Balansijer ili etalica je lan mehanizma koji se moe ogranieno kretati oko nepokretne leine take za ugao i < 2. Spojka je opte pokretni lan mehanizma, zglobno vezan za dva pokretna lana mehanizma.

Postolje je lan mehanizma koji se moe smatrati nepokretnim.

a)

b) Sl.1.8.

Organi vre pomonu funkciju, a dodaju se mehanizmu kako bi poboljali njegovu osnovnu funkciju. U organe spadaju: opruge, amortizeri, graninici i sl. Svoju osnovnu funkciju mehanizam moe ostvariti i bez organa, mada se bez njih ukupni zadatak mehanizma ne ispunjava optimalno.

Konstrukcioni crtei mehanizama su veoma sloeni. Konstrukcija, izrada i oblik zavise od brojnih uslova. Za kinematsku analizu i sintezu potrebne su jednostavne sheme. U tabelama i na dosad prikazanim slikama ve su korieni pojedini simboli za prikazivanje kretanja, zglobova i strukture mehanizama. U tabeli 1.4. dat je pregled simbola, koji e u narednim poglavljima biti korieni za prikazivanje strukturnih i kinematskih shema mehanizama.

Rotacioni par u=2

Vrsta dodira po povrini po liniji u taki

Prizmatini par u=2

Vie lanova, medjusobno povezanih zglobovima, ine kinematski lanac. Kinematski lanac je otvoren ako je poslednji lan vezan samo jednim lanom mehanizma (slika 1.8a, levo). Ukoliko je poslednji lan vezan za dva ili vie lanova mehanizma kinematski lanac je zatvoren (slika 1.8a, desno). Mehanizam se esto definie kao zatvoreni kinematski lanac sa jednim lanom koji se moe smatrati nepokretnim (slika 1.8a, desno).

Roboti i manipulatori sadre otvorene i zatvorene kinematske lance, a esto u toku rada menjaju svoju strukturu. Prikazani dvononi hoda sa obe noge na tlu (slika 1.8b, desno) predstavlja zatvoreni kinematski lanac, a sa jednom nogom na tlu (slika 1.8b, levo) otvoreni kinematski lanac.

9

Tabela 1.4.

Pokretni zglobovi bie oznaavani velikim slovima: A, B, C..., nepokretni zglobovi jo i sa indeksom (0) nepokretnog lana (postolja): A0, B0,... Na slici 1.9. prikazan je konstrukcioni crte klipnog mehanizma i njegova strukturna i kinematska shema.

Sl.1.9.

Zglob Pokretan Nepokretan

Jedno-struki

Vie-struki

Rot

acio

ni

par

Priz

mat

ini

par

K

lipni

Kul

isni

Bre

gast

i p

ar

Kot

rljaj

ni

par

10

lanovi mehanizama obeleavaju se arapskim brojevima ili malim slovima (a,b,c,...), njihove duine malim slovima, a uglovi kojima se definie njihov poloaj pisanim grkim slovima (, , , , ...). Kod sloenih mehanizama kao i kod primene numerikih metoda lanovi mehanizma bie obeleavani sa Ii (nepokretni lan - postolje sa I0), delovi lanova izmeu pojedinih taaka nosie u indeksu oznake ovih taaka (npr. deo izmedju taaka A i C - IAC). U tom sluaju poloaj lanova bie definisan uglovima i, merenim od pravca pozitivnog smera x-ose, gde je indeks i - redni broj lana u mehanizmu. Relativni poloaj dva lana bie obeleen uglovima ik (indeksi i, k su redni brojevi lanova), merenim u pozitivnom matematikom smeru.

Definicije, termini i simboli koji se koriste u literaturi iz oblasti Teorije maina i mehanizama usaglaavaju se i utvruju u Komisiji za terminologiju IFToMM-a (Internacionalna federacija za teoriju maina i mehanizama). Broj stepeni slobode kretanja mehanizma predstavlja broj potrebnih koordinata da bi njegov poloaj bio jednoznano odreen. Imajui u vidu da mehanizmi imaju jedan nepokretan lan, broj stepeni slobode kretanja moe se formulisati izrazom:

( ) =

=i

zunbF

11 (1.8)

gde je n - broj lanova, i - broj zglobova, a u - broj njihovih ogranienja.

Za prostorne mehanizme (svaki lan ima 6 stepena slobode kretanja) se ova relacija u razvijenom obliku moe predstaviti izrazom:

( ) 12345 zz2z3z4z51n6F = (1.9) gde je: z1 - broj kinematskih parova (zglobova) 1. klase (sa f=5),

z2 - broj kinematskih parova (zglobova) 2. klase (sa f=4), z3 - broj kinematskih parova (zglobova) 3. klase (sa f=3), z4 - broj kinematskih parova (zglobova) 4. klase (sa f=2), z5 - broj kinematskih parova (zglobova) 5. klase (sa f=1),

Prelazom sa prostornih na ravne mehanizme, svaki lan i svaki kinematski par gube po 3 stepena slobode kretanja odakle sledi da svaki lan ravnog mehanizma ima 3 stepena slobode kretanja i obrazuje sa susednim lanovima kinematske parove pete (oduzimaju 2 stepena slobode kretanja) ili etvrte klase (oduzimaju 1 stepen slobode kretanja). Stoga se strukturna formula za odredjivanje broja stepeni slobode ravnih mehanizama moe predstaviti izrazom:

( ) 45 zz21n3F = . (1.10) Mehanizam e izvoditi jednoznano definisano kretanje ako je broj pogonskih elemenata jednak broju stepeni slobode kretanja.

U praksi se, medutim, javljaju i mehanizmi kod kojih je broj stepeni slobode kretanja jednak nuli ili ak manji od nule, a koji se ipak kreu. Njihova pokretljivost je uslovljena specifinim dimenzijama lanova mehanizma.

Na slici 1.10. prikazani su primeri mehanizama koji imaju broj stepeni slobode kretanja jednak nuli, ali se mogu kretati ako je ispunjen uslov (slika 1.10a):

l1 = l2 = l3 i l1 II l2 II l3 (1.11)

odnosno za drugi mehanizam (slika 1.10b):

l 1 = l2 ; l 1 II l 2 ; lA C =lB D. (1.12)

a) b)

Sl.1.10.

Poto duine lanova predstavljaju uslov pokretljivosti, to ovi mehanizmi moraju biti veoma tano izradjeni.

11

Uoimo jo, da bi mehanizam na slici 1.10.a. mogao da funkcionie i bez jedne krivaje, odnosno mehanizam na slici 1.10.b. i bez jedne spojke, to znai da mehanizam vri definisano kretanje i bez ovih lanova. Ovakvi lanovi mehanizma su sa aspekta funkcije mehanizma suvini, a njihove veze pasivne. Mehanizam prikazan na slici 1.11.a. moe da funkcionie i bez tokia ako lan 2 klizi po ekvidistanti krive brega, na odstojanju jednakom polupreniku tokia (slika 1.11.b). Toki je u ovom sluaju suvian lan i ne treba ga uzimati u obzir pri izraunavanju broja stepeni slobode kretanja i drugih kinematskih veliina. U ovom sluaju, toki se moe smatrati organom, jer ima pomonu funkciju pretvaranja trenja klizanja u trenje kotrljanja.

a) b)

Sl.1.11.

Ukoliko se kod ravnih mehanizama, kod kojih je primenom obrasca za ravne mehanizme dobijeno F=1, primeni obrazac za prostorne mehanizme, dobija se negativan broj stepeni slobode kretanja. Ova razlika je posledica uslova za izvoenje ravnih mehanizama, koja proizilazi iz definicije ravanskog kretanja (paralelnost osa obrtanja), a koju obrazac za prostorne mehanizme ne podrazumeva; ovakav mehanizam se ne moe kretati ukoliko nije obezbedjena paralelnost osa obrtanja. esto se, zbog tekoa dovoljno tanog realizovanja ove paralelnosti, zglobovi A i B izvode kao sferni, a ne kao to je uobiajeno kod ravnih mehanizama kao cilindrini (slika 1.12).

Sl.1.12. Sl.1.13.

U robotici se ee primenjuju otvoreni kinematski lanci, sa vie stepeni slobode kretanja. Zbog mogue promene strukture ovih mehanizama u toku rada, menja se i broj stepeni slobode kretanja. Broj stepeni slobode kretanja hvataa na slici 1.13. kada je bez objekta je F=1, a kada uhvati objekat F=0.

12

2. ANALIZA POLUNIH MEHANIZAMA

Kinematski lanac sastavljen od rotacionih i prizmatinih parova naziva se poluni mehanizam.

Najjednostavniji ravanski poluni mehanizam je otvoreni kinematski lanac, koji sadri samo jedan kinematski par i u kome je jedan od lanova nepokretan. Ovakav kinematski par, koji moe biti rotacioni ili prizmatini, predstavlja prema klasifikaciji ruskog naunika Assur-a grupu prve klase (slika 2.1).

Prema Assur-u, svaki poluni mehanizam sa F=1 obrazuje se tako to se pogonskom i nepokretnom lanu dodaju kinematski lanci koji zadovoljavaju uslov da im je stepen slobode kretanja jednak nuli:

( ) 023213 121 === znzznF p 23

1pnz =

odakle sledi i odredjeni broj kombinacija broja pokretnih lanova (np) i zglobova, koje zadovoljavaju ovaj uslov:

np 2 4 6 ...

z1 3 6 9 ...

Po istoj klasifikaciji, grupa druge klase je kinematski par sa dva pokretna lana (dijada), grupa tree klase je etvorolani kinematski lanac bez zatvorene strukture, a grupa etvrte klase etvorolani kinematski lanac, koji moe imati i zatvorenu strukturu (slika 2.1).

Sl. 2.1.

Grupe druge, tree i etvrte klase, u zavisnosti od zastupljenosti rotacionih i prizmatinih parova, mogu biti razliitih modifikacija. Na slici 2.2 prikazane su modifikacije grupe druge klase. Grupa prve klase ima jedan stepen slobode kretanja, dok grupe druge, tree i etvrte klase, uz pretpostavku da su slobodni zglobovi stalni (nepokretni), imaju broj stepeni slobode kretanja jednak nuli.

Sl. 2.2.

Poluni mehanizmi formiraju se dodavanjem grupa viih klasa grupi prve klase i postolju. Broj stepeni slobode kretanja polunog mehanizma jednak je broju grupa prve klase u mehanizmu.

2.1. Poluni etvorougao

Osnovni poluni mehanizam, poluni etvorougao (slika 1.3a), sastoji se od jedne grupe prve i jedne grupe druge klase. Poluni etvorougao ima etiri lana, od kojih je jedan nepokretan, kao i etiri rotaciona zgloba.

Poloaj lanova mehanizma definisan je uglovima , i (slika 2.11). Poluni etvorougao ima jedan stepen slobode kretanja pa je za jednoznano definisanje poloaja svih lanova mehanizma potrebno i dovoljno poznavati jednu od koordinata (, ili ), odnosno mehanizam treba da ima jedan pogonski lan. Iz prethodnog zakljuka je proistekao i zahtev da bi mehanizam trebalo da ima najmanje jedan lan koji moe da se okrene za pun krug (2).

13

Karakteristini poloaji polunog etvorougla su unutranji i spoljanji postoljni poloaj (slika 2.3a), kao i spoljanji i unutranji mrtvi poloaj (slika 2.3b).

a)

b) Sl. 2.3.

Na osnovu ovih karakteristinih poloaja, kao i uslova zatvorenosti kinematskog lanca, izveden je kriterijum Grashof-a koji glasi:

Da bi najmanje jedan lan mehanizma mogao da se okrene za pun krug (2), zbir duina najkraeg i najdueg lana mora biti manji od zbira duina preostala dva lana:

( ) =

+4

12

iiminmax lll (2.1)

gde su li - duine lanova mehanizma. Mehanizmi koji ne zadovoljavaju Grashof-ov kriterijum su dvobalansijeri.

U zavisnosti od toga koji je lan mehanizma najkrai, razlikujemo tri osnovna tipa polunih etvorouglova (slika 2.4):

a) jednokrivajni mehanizam (slika 2.4a); najkrai lan a je zglobom vezan za postolje d i moe se okrenuti za pun krug (krivaja), dok je kretanje lana b ogranieno (balansijer);

b) dvobalansijerni mehanizam (slika 2.4b); najkrai lan mehanizma, spojka c, moe se okrenuti za pun krug, dok je kretanje lanova a i b ogranieno (balansijeri).

c) dvokrivajni mehanizam (slika 2.4c); najkrai lan mehanizma je postolje d, a lanovi a i b se mogu okretati za pun krug (krivaje).

Sl. 2.4.

14

Iz osnovnih tipova polunog etvorougla mogu se modifikacijom rotacionog u prizmatini par dobiti dva modifikovana poluna mehanizma - klipni i kulisni mehanizam.

Klipni mehanizam

Kruno voenje take B moe biti realizovano i pomou klizaa i krune voice iji bi centar krivine bila taka B0 (slika 2.5a).

a) b) c)

Sl.2.5.

Ako rastojanje BB0 , kruna putanja take B postaje pravolinijska (slika 2.5b), a dobijeni mehanizam predstavlja ekscentrini klipni mehanizam, gde je ekscentrinost (e) rastojanje take A0 od pravca kretanja klizaa. Za e=0 (slika 2.5c) dobija se centrian klipni mehanizam.

Kulisni mehanizam Kruno vodjenje take B moe se realizovati i ako je deo spojke krunog oblika (poluprenika 0BB ), koji prolazi kroz kulisni kamen vezan za taku B0 (slika 2.6a). Taka B, vezana za kulisni kamen, uvek je centar krunice, dakle, kree se po prvobitnoj krunoj putanji.

a) b) c)

Sl.2.6.

Ako rastojanje oBB , krunica postaje prava (slika 2.6b), a dobijeni mehanizam je ekscentrini kulisni mehanizam, gde je ekscentricitet (e) rastojanje take A od pravca kulise. Za e=0 (slika 2.6c) dobija se centrian kulisni mehanizam. Mogui oblici kulisnog mehanizma prikazani su na slici 2.7.

Sl.2.7.

Na slian nain moe se od osnovnih tipova polunog etvorougla dobiti vei broj modifikovanih polunih etvorougova (slika 2.8).

15

Sl.2.8.

2.2. Trenutni pol. Inverzno kretanje

Promena poloaja jednog tela u odnosu na drugo telo naziva se kretanje. Kretanje pokretnog tela u odnosu na nepokretno naziva se apsolutno, a u odnosu na takoe pokretno telo relativno kretanje.

Poloaj tela pri ravanskom kretanju definisan je poloajem dveju taaka, pa se problem ravanskog kretanja krutog tela svodi na prouavanje ravanskog kretanja tapa.

tap AB moe se iz jednog proizvoljnog poloaja 11BA prevesti u drugi poloaj 22BA obrtanjem oko take preseka simetrala dui 21AA i 21BB za ugao koji grade pravci ova dva poloaja tapa (slika 2.9a). Ako umesto konanih rastojanja 21AA i 21BB posmatramo beskonano bliske poloaje, tj. ako se take A1 i A2 odnosno B1 i B2 poklapaju (slika 2.9b), onda se simetrale dui 21AA i 21BB poklapaju s normalama putanja taaka A i B, a presena taka normala s trenutnim polom P. Ovakvo opte-ravansko kretanje moe se stoga predstaviti obrtanjem tapa oko trenutnog pola P.

a) b)

Sl.2.9.

16

Ako je trenutni pol nepokretna taka, tap vri rotaciono kretanje, a putanje taaka su kruni lukovi (slika 2.10.a). Ukoliko je trenutni pol u beskonanosti, tap se kree translatorno; pri translatornom kretanju tap AB ostaje sve vreme kretanja paralelan samom sebi (slika 2.10.b). Specijalan sluaj translatornog kretanja tapa du sopstvenog pravca naziva se klizanje (slika 2.10.c).

Sl.2.10.

Zglobovi su, po definiciji, trenutni polovi relativnog kretanja susednih lanova, koji nose oznake lanova na koje se odnose (slika 2.11a), pri emu redosled indeksa nije od znaaja (npr. P12 P21). Prema Kennedy-jevoj teoremi, tri pola apsolutnog i relativnog kretanja dvaju lanova (dva apsolutna i njihov relativni pol) lee na istom pravcu pa se stoga apsolutni trenutni pol 20 lana 2 (spojka) u odnosu na lan 4 tj. 0 (postolje) nalazi u preseku pravaca koji prolaze kroz polove 32-30 i 12-10. Relativni pol 31 lanova 1 i 3 nalazi se u preseku pravaca 10-30 i 12-23. Shema, po kojoj se odredjuju poloaji polova, predstavljena je grafom (slika 2.11b), u kome su lanovi mehanizma predstavljeni takama, a polovi duima izmeu ovih taaka.

a) b)

Sl.2.11.

Pri opte-ravanskom kretanju spojke, sa promenom poloaja taaka A i B i trenutni pol P menja svoj poloaj (slika 2.12a). Geometrijsko mesto promene poloaja pola u nepokretnoj ravni naziva se nepokretna ruleta (kn), a u pokretnoj ravni pokretna ruleta (kp) (slika 2.12b). Za sluaj relativnog kretanja, obe rulete su pokretne, a taka njihovog dodira je relativni trenutni pol (slika 2.12c).

a) b) c)

Sl.2.12.

17

Za analizu geometrije i kinematike kretanja koristi se koordinatni sistem iji je koordinatni poetak u trenutnom polu P, sa tangentom na rulete (t) kao apscisom, i njihovom normalom (n) kao ordinatom (slika 2.13).

a) b) Sl.2.13.

U sluaju da rulete zamene uloge, tj. da nepokretna ruleta postane pokretna i obrnuto, takvo kretanje nazivamo inverznim, a mehanizam kojim se ostvaruje takvo kretanje - kinematski suprotnim mehanizmom. Npr. za krug koji se kotrlja po nepokretnoj pravoj, inverzno kretanje izvodi prava koja se kotrlja po nepokretnom krugu (slika 2.14).

Sl.2.14. Sl.2.15.

Kinematski suprotan polunom etvorouglu je mehanizam kod koga postolje i spojka menjaju uloge (slika 2.15) pa je stoga kinematski suprotan jednokrivajnom mehanizmu takoe jednokrivajni mehanizam (slika 2.16.a), a kinematski suprotan dvokrivajnom mehanizmu dvobalansijerni mehanizam (slika 2.16.b).

Sl.2.16.

18

Kulisni mehanizam je kinematski suprotan klipnom mehanizmu (slika 2.17).

Sl.2.17.

2.3. Grafike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja

Za pozicionu i analizu stanja brzina i ubrzanja koriste se grafike, analitike i numerike metode. Grafike i analitike metode razvijene su pre svega za analizu jednostavnijih mehanizama (etvorolanih), ali je njihova primena mogua i kod sloenijih mehanizama. Numerike metode su razvijene prvenstveno radi primene kod sloenih polunih mehanizama.

2.3.1. Poziciona analiza. Poloaj pokretne take

Najjednostavniji postupak pozicione analize je grafiki postupak; realizuje se crtanjem kinematske sheme za niz uzastopnih poloaja mehanizma (slika 2.18).

Geometrijsko mesto taaka kroz koje prolazi pokretna taka naziva se putanja ili trajektorija (slika 2.19). Kretanje take definie se oblikom putanje i zakonom puta. Poloaj take u datom trenutku odredjen je njenim koordinatama A[qi(t)].

Sl.2.18. Sl.2.19.

2.3.2. Dva beskonano bliska poloaja pokretne take

Iz prirode kretanja proizilazi da u dva beskonano bliska trenutka, pokretna taka zauzima dva beskonano bliska poloaja na putanji. Brzina take predstavlja prvi izvod vektora poloaja take po vremenu:

rdtrdv &rrr == (2.2)

a vektor brzine je odreen:

- intezitetom v = ds/dt,

- pravcem (u pravcu tangente na putanju) i

- smerom (u smeru kretanja take).

Take A1 i A2 (slika 2.20) su dva susedna bliska poloaja take A. Brzina, dakle, definie dva beskonano bliska poloaja pokretne take. Intezitet brzine kod rotacionog kretanja moe biti izraen i kao proizvod rastojanja = AA0 i ugaone brzlne : =v , (2.3) jer je: = dds i

dtd== & . Sl.2.20.

19

2.3.3. Grafike metode odredjivanja brzina

Ukoliko je poznata brzina zglobne take A opte-pokretnog lana (spojke) polunog etvorougla A0ABB0 (slika 2.21a), za odredjivanje brzine zglobne take B ili bilo koje druge take spojke (C) moe se koristiti nekoliko metoda:

a) metod trenutnog pola

a) b) c)

Sl.2.21.

Za odredjivanje brzine take A, kao take krivaje (1) koja realizuje obrtno kretanje, moe se koristiti izraz (2.3): 100 = AAv A . Taka A, medjutim, pripada i spojci (2) sa kojom se obre oko trenutnog pola 20 pa se njena brzina moe izraziti i preko ugaone brzine spojke (20):

20=PAv A . (2.4)

Poto se najpre iz prethodne jednaine odredi ugaona brzina spojke (20), mogu se odrediti i brzine svih ostalih taaka spojke, npr. take koja vodi konac na mehanizmu za obrazovanje petlje pri ivenju ivaom maini (slika 2.21b) ili vodjene take mehanizma za promenu dohvata kod portalno-obrtnih lukih dizalica (slika 2.21c):

20= PBvB ; 20=PCvC . (2.5)

Iz prethodnih jednaina je mogue formirati odnos:

2020 ==== tgPCv

PBv

PAv CBA . (2.6)

Vektori brzina svih taaka spojke na pravcu koji prolazi kroz trenutni pol i pokretnu taku zavravaju se na pravoj koja spaja vrh brzine pokretne take i pol brzine i koja se esto naziva -linija, a po tome se i cela metoda esto naziva i metodom -linije (slika 2.21a).

Isti metod, metod trenutnog pola, moe se realizovati i pomou zaokrenutih brzina zaokrenutih za 90o (slika 2.22). Pri tome vrhovi zaokrenutih brzina formiraju trougao (mnogougao) slian trouglu koji formiraju pokretne take (rafirani trouglovi).

Sl.2.22.

20

b) metod brzina klizanja Iz uslova da su projekcije brzina pokretnih taaka, na pravce koje definiu te take, meusobno jednake (slika 2.23), sledi da je:

KBA v cosv cosv == ; 'KC1A v cosv cosv == , pri emu su vK i vK brzine klizanja u pravcu AB , odnosno AC .

Sl.2.23.

c) Euler-ova metoda Pomeranje spojke iz jednog poloaja u drugi moe se realizovati translacijom spojke do novog poloaja take A, a zatim rotacijom take B oko take A. Odavde sledi da se brzina take B (slika 2.24) moe izraziti i kao zbir brzine take A ( Av ) i brzine take B oko take A

(ABv ):

ABAB vvv

rrr += . (2.8) Brzina take B je upravna na tap 0BB , a brzina

ABv upravna na

tap AB , pri emu je:

20= ABv AB . (2.9) Sl.2.24.

Ova metoda se moe primeniti i na zaokrenute brzine (slika 2.25): ABAB vvv +=

rrr. (2.10)

Sl.2.25.

Stanje brzina moe biti prikazano i planom brzina, kao i planom zaokrenutih brzina (slika 2.25b). Polazei od centra O i nanosei najpre Av , a zatim i pravac za Bv kroz O odn. pravac za ABv

r kroz vrh Av , dobijaju

se intenziteti brzina vB i ABv , a analognim postupkom i inteziteti brzina vC i ACv .

21

Sve navedene metode mogu se primeniti i na klipni mehanizam, pri emu se pravac vektora brzine take B poklapa s pravcem kretanja klizaa (slika 2.26a,b i slika 2.27a,b).

Sl.2.26.

Sl.2.27.

Kada se kulisni kamen okree oko take B0, kulisa vri opte-ravansko kretanje, pa se sve navedene metode mogu primeniti i na kulisni mehanizam (slika 2.28a).

Sl.2.28.

Ukoliko se kulisni kamen okree oko take A, izvodei sloeno kretanje, mora se najpre odrediti prenosna brzina rap vvv

rrr = (slika 2.28b), a zatim, na osnovu nje i -linije, i brzina bilo koje druge take na kulisi (K), koja se okree oko B0.

2.3.4. Prenosna funkcija prvoga reda

Prenosna funkcija prvoga reda moe se grafiki odrediti kao odnos rastojanja pola 31 (H) od pola 10 (A0), odnosno, od pola 30 (B0), prikazanih na slici 2.29c. Kako se relativno kretanje lanova 1 i 3 moe predstaviti kotrIjanjem ruleta k1 i k3, kruto vezanih za lanove 1 i 3 (slika 2.29a,b), relativni pol H31 kao njihova zajednika dodirna taka ima brzinu (slika 2.29a):

3010 == qpvH (2.11) odakle sledi:

pdp

qp

+===

10

30 . (2.12)

22

a) b) c)

Sl.2.29.

Na osnovu orijentacije dui p i q moe se odrediti i predznak prenosne funkcije prvoga reda. Ako su p i q istoga predznaka (pol 31 lei van dui 10-30), funkcija je pozitivna (slika 2.30a), ako su p i q razliitog znaka (pol 31 lei izmeu polova 10 i 30), funkcija je negativna (slika 2.30b), a kada je p=0 (pol 1031), funkcija je jednaka nuli (slika 2.30c).

a) b) c)

Sl.2.30.

Prenosna funkcija prvoga reda jednokrivajnog mehanizma je promenljivog predznaka (slika 2.31a), dok je prenosna funkcija prvoga reda dvokrivajnog mehanizma uvek pozitivna (slika 2.31b).

a) b)

Sl.2.31.

Prenosna funkcija prvoga reda klipnog mehanizma je:

10===

B

u

i vvddss . (2.13)

Kako je 100 == HAvv HB (slika 2.32), to sledi:

LUHAs = 0 (2.14) (3.42) gde je UL - razmera u kojoj je nacrtan mehanizam. Prenosna funkcija u ovom sluaju nije bezdimenziona veliina, jer definie odnos parametara pravolinijskog i krunog kretanja.

Sl.2.32.

23

2.3.5. Tri beskonano bliska poloaja pokretne take

Tri beskonano bliska poloaja pokretne take (slika 2.33) definisana su drugim izvodom vektora poloaja take po vremenu odn. ubrzanjem:

22

dtrd

dtvda

rrr == . (2.15)

Kako je vektor brzine Tvvrr = , gde je Tr ort tangente, ubrzanje e biti:

dtTdvT

dtdva

rrr += . (2.16)

Imajui u vidu da je:

NvNKvKvdtds

dsTd

dtTd rrr

rr==== , (2.17)

gde je NKr - vektor krivine krive linije (Kr ), N - ort glavne normale, a

Sl.2.33. - poluprenik krivine, dobija se konano:

NvTdtdva

rrr +=2

. (2.18)

Iz jednaine (2.18) vidi se da ubrzanje ima dve, meusobno normalne komponente: NT aaarrr += (2.19)

- tangencijalnu Tar

u pravcu tangente Tr i

- normalnu Nar

, usmerenu ka sreditu krivine putanje.

2.3.6. Grafike metode odredjivanja ubrzanja

Ako je poznato stanje brzina (odeljak 2.3.3.) i ubrzanje zglobne take A, moe se odrediti i ubrzanje zglobne take B ili proizvoljne take C u ravni spojke polunog etvorougla A0ABB0 (slika 2.34).

Sl.2.34. Sl.2.35.

Taka B se kree po krunoj putanji te stoga ima normalnu i tangencijalnu komponentu ubrzanja (2.19):

BTBNB aaarrr += . (2.20)

Normalna komponenta ubrzanja take B je usmerena od B ka B0 i ima intenzitet:

BBv

BBa0

2B2

300BN == (2.21)

dok je tangencijalna komponenta intenziteta:

300 = &BBaBT (2.22) i upravna je na pravac 0BB .

S druge strane, ubrzanje take B se, Euler-ovom metodom, moe izraziti zbirom: ABT

ABNA

ABAB aaaaaa

rrrrrr ++=+= . (2.23)

24

Normalna komponenta ubrzanja take B oko A, intenziteta:

( )ABvABa

ABA

BN

2220 == , (2.24)

usmerena je od B ka A.

Kako je stanje brzina poznato, normalne komponente ubrzanja se mogu izraunati izrazima (2.21) i (2.24), ili odrediti grafikim postupkom, korienjem Tales-ove teoreme (slika 2.35).

Reenje jednaina (2.20) i (2.23) dobija se u preseku pravaca tangencijalnih komponenti ubrzanja (slika 2.34).

Ubrzanje proizvoljne take C u ravni spojke moe se odrediti na vie naina. Ako je poznato ubrzanje taaka A i B, ubrzanje Ca

r se dobija primenom prethodnog postupka, iz jednaina:

ACT

ACNAC aaaa

rrrr ++= (2.25)

BCT

BCNBC aaaa

rrrr ++= .

Ako ubrzanje take B nije poznato, onda se najpre mora odrediti ubrzanje take B. Umesto take B moglo bi se odrediti i ubrzanje take Q koja se poklapa sa trenutnim polom (slika 2.50), a zatim, kao druga jednaina za odredjivanje ubrzanja take C koristiti:

QCT

QCNQC aaaa

rrrr ++= . (2.26) Ako je poznat poloaj trenutnog pola ubrzanja Pa ( 0=aPa

r), onda se, zbog (2.81), za odredivanje ubrzanja

Car

kao druga jednaina moe koristiti:

PCT

PCNC aaa

rrr += . (2.27)

Ako je poznat poloaj trenutnog centra krivine C0 putanje take C (slika 2.62), onda se za odredivanje ubrzanja Ca

r kao druga jednaina moe koristiti:

CTCNC aaarrr += . (2.28)

Ubrzanje take B klipnog mehanizma ima samo tangencijalnu komponentu, u pravcu kretanja take B ( 0=BNar

), to donekle pojednostavljuje postupak odredjivanja ubrzanja Bar

(slika 2.36).

Sl.2.36.

25

Kod kulisnog mehanizma sa opte-ravanskim kretanjem kulise (slika 2.37) ubrzanje take C, koja pripada kulisi, a poklapa se sa takom B0, moe se odrediti na osnovu jednaina:

ACT

ACNAC aaaa

rrrr ++= CTCNC aaa

rrr += . (2.29) Kako taka C lei na povratnom krugu (slika 2.57), centar krivine putanje take C, taka C0, lei na polovini rastojanja PC .

Sl.2.37.

Kod kulisnog mehanizma sa rotacijom kulise KB0 (slika 2.38a), apsolutno ubrzanje kulisnog kamena ima normalnu i tangencijalnu komponentu, koje se mogu odrediti vektorski i uneti u plan ubrzanja (slika 2.38c).

a) b) c)

Sl.2.38.

Prema Coriolis-ovoj teoremi je:

AcorArApA aaaarrrr ++= ( ApTApNAp aaa

rrr += ), (2.30)

a koriolisovo ubrzanje se moe odrediti analitiki, vektorskim proizvodom:

( )ArpAcor va rrr = 2 (2.31) a kod ravnog kretanja i grafikim postupkom (slika 2.38b) poto je: == tg

AB

v

0

pp , a = tgva ArAcor 2 .

Poto je vrednost Apv poznata (slika 2.38a), moe se odrediti normalna komponenta ubrzanja ApNar

:

AB

va pApN

0

2

= , (2.32)

kao i pravac tangencijalne komponente ApTar

( ApTApNAp aaarrr += ). Unoenjem Acora

r u plan ubrzanja, tako da

zatvori poligon (slika 2.38c), uz poznate pravce za ApTar

, kao i Arar

(paralelno kulisi), dolazi se do ubrzanja

Apar

take A kulise, a na osnovu njega i do ubrzanja bilo koje druge take na kulisi (K).

aa A O

K

26

Razmere. Fizike veliine se predstavljaju na crteu duima, u razmeri:

- za duinu c

L cmcmU =

- za brzinu c

v cms/cmU = (2.33)

- za ubrzanje c

a cms/cmU

2

= ,

gde indeks c oznaava veliinu na crteu.

Fizika veliina se dobija sa crtea kada se odgovarajua duina pomnoi razmerom:

Lc Ull = ; vc Uvv = ; ac Uaa = . (2.34) Za konstrukciju normalne komponente ubrzanja vai:

( ) ( )( ) ( )22

22

2

2

v

LN

v

L

L

v

c

cN U

UaUU

lv

Ul

Uv

rv

ac

==== , (2.35)

odakle sledi da je:

( )L

va U

UU2

= . (2.36)

Ovaj uslov e biti ispunjen samo ako se brzina i normalna komponenta ubrzanja take A predstave na crteu duinom krivaje mehanizma.

2.4. Analitike metode pozicione i analize stanja brzina i ubrzanja

2.4.1. Poziciona analiza

Poloaj lanova mehanizma zavisi od poloaja pogonskih lanova i strukture mehanizama, a definie se jednainom:

( ) 0= jif (2.37) koja proistie iz uslova zatvorenosti kinematskog lanca i u kojoj j predstavlja sve koordinate kojima se definiu poloaji lanova mehanizma. Generalisane koordinate j obuhvataju dakle: - nezavisno promenljive (pogonske) veliine qk, iji je broj jednak broju stepeni slobode kretanja i

- od njih zavisne veliine i, kojima se definie poloaj ostalih lanova mehanizma.

27

Analitiki postupak se primenjuje u sluajevima kada se moe postaviti eksplicitna zavisnost izmeu koordinata vodjenih i pogonskih lanova mehanizma:

( ) 0= ki q . (2.38) Poloaj polunog etvorougla odreen je pogonskim uglom (slika 2.39). Prenosnom funkcijom nultoga reda () definie se poloaj lana 3, a funkcijom () poloaj lana 2. Najee primenjivana analitika metoda poloajne analize polunog etvorougla je vektorska metoda. lanovi mehanizma na slici 2.39. predstavljeni su vektorima konstantnog intenziteta (a

r, b

r, c

r i d

r), dok

intenzitet vektora fr

zavisi od poloaja mehanizma. Poloaj vektora fr

definisan je prenosnom funkcijom (), koja istovremeno predstavlja i prenosnu fukciju ekvivalentnog kulisnog mehanizma (slika 2.6c). Vektorska metoda kinematske analize polunih mehanizama bie opisan u kompleksnoj notaciji, mada se za analizu mogu koristiti i dekartova i matrina notacija.

Sa slike 2.39 sledi:

fadrrr += , (2.39)

odnosno:

+= ii efeadr , (2.40) odakle se, razvijanjem u obliku:

( ) ( )+++= sini cosf sini cosadr (2.41) Sl.2.39. i rastavljanjem na imaginarni i realni deo, dobija sistem jednaina:

+= cosf cosad (2.42)

+= sinf sina0 iz kojeg sledi:

f cosad cos = ;

f sina ins = (2.43)

odnosno:

d cosa sina gt = . (2.44)

Korienjem kosinusne teoreme (trougao br

, cr

, fr

) dobija se prenosna funkcija (), iz jednaine:

( )fc

bcfcos +=

2

222

, (2.45)

gde je += cosda adf 222 , dok se prenosna funkcija () dobija razvijanjem jednaine:

+= iii ebefec (2.46) na realni i imaginarni deo, u obliku:

b sinf sincsin = . (2.47)

28

2.4.2. Analitika metoda odreivanja brzina i ubrzanja

Diferenciranjem vektora poloaja take B (slika 2.40):

bdcarBrrrrr +=+= (2.48)

po vremenu, dobija se: =+= iiiB eibeiceiar &&&&r , (2.49)

gde je: == &aavA 10 == &ccvAB 20

Sl.2.40. == &bbvB 30 .

Jednaina (2.49) predstavlja analitiku interpretaciju grafike Euler-ove metode (ABAB vvv += ); proizvod

imaginarne jedinice i i kompleksnog broja z:

+

== 2ii2i ezezezi vektorski se moe interpretirati kao zakretanje vektora ekvivalentnog kompleksnom broju z, za ugao /2 u matematiki pozitivnom smeru.

Uporeivanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane jednaine (2.49), nakon sreivanja, dobija se sistem jednaina:

( ) ( ) =+ sina sinb sinc &&& (2.50) ( ) ( ) =+ cosa cosb cosc &&&

ija su reenja:

==

oscb- cosc sinb sinc -

oscb- cosa sinb sina

&&

& , (2.51)

==

oscb- cosc sinb sinc -

cosa oscc sina sinc-

&&

& , (2.52)

odnosno:

( )( )

==sinsin

ca &&20

(2.53) ( )( )==

sinsin

ba &&30 .

Brzina zglobne take B se sada moe odrediti relacijom:

30= bvB . (2.54)

29

Brzina proizvoljne take K u ravni spojke (slika 2.41), iji je poloaj definisan vektorom poloaja Krr

:

+=+= iiK elealarrrr

, (2.55)

odreuje se, nakon diferenciranja prethodnog izraza ( = && ), iz jednaine: +== iiKK eileiarv &&&

rr, (2.56)

to predstavlja analitiku interpretaciju izraza AKAK vvvrrr += .

Sl.2.41.

Dvostrukim diferenciranjem vektora poloaja take B ( Br

r) po vremenu, dobija se:

=+== iiiiiiBB ebeibeceiceaeiaar 222 &&&&&&&&&r&&r , (2.57)

to predstavlja analitiku interpretaciju izraza:

BNBTABN

ABTANAT

ABAB aaaaaaaaa

rrrrrrrrr +=+++=+= . (2.58)

Uporeivanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane jednaine (2.57), nakon sredjivanja, dobija se:

( ) ( ) A cosb cosc cosa sina sinb sinc =++=+ 222 &&&&&&&&& (2.59)

( ) ( ) B sinb sinc sina cosa cosb cosc =++=+ 222 &&&&&&&&& . Reenja ovog sistema jednaina su ugaona ubrzanja lanova 2 i 3:

( )+===

sin sinB cosA

c1

2020 &&&

(2.60)

( ) +=== sin sinB cosAb13030 &&& . Ubrzanje proizvoljne take K u ravni spojke odreuje se dvostrukim diferenciranjem jednaine (2.55):

( ) ( ) += iiK eileiaa 22 &&&&&&r , (2.61)

to predstavlja analitiku interpretaciju grafike metode za odreivanje ubrzanja.

Da bi se vektori, koji predstavljaju reenje prethodne jednaine, mogli uneti u odgovarajuoj razmeri na kinematsku shemu mehanizma, potrebno je prethodno odrediti intenzitete vektora i uglove I koje oni zaklapaju sa pozitivnim smerom x-ose:

22ImRe iii aaa += ;

Im

Re

i

ii a

a tg arc= (2.62)

pri emu su aRe i aIm realni i imaginarni delovi ubrzanja odgovarajuih taaka.

30

Kod klipnog mehanizma (slika 2.42) vektor poloaja take B moe se formulisati jednainom:

bisecear iiB +=+= r

, (2.63)

odakle se diferenciranjem po vremenu dobija izraz za brzinu take B:

Bii

B vseiceiarr&&&&r ==+= , (2.64)

Dvostrukim diferenciranjem vektora poloaja take B po vremenu dobija se izraz za ubrzanje take B:

Biiii

B asececeaeiarr&&&&&&&&&&r ==+= 22 , (2.65)

to se svodi na poznati izraz, korien kod grafikih metoda: ABN

ABTANATB aaaaa

rrrrr +++= . (2.66)

Sl.2.42. Sl.2.43.

Na slian nain se kod kulisnog mehanizma (slika 2.43) mogu formulisati izrazi za vektor poloaja i brzinu take A:

+== iiA ebdiearr

, (2.67)

+== iiiA eibebeiar &&&&r (2.68)

odnosno:

ApArAa vvvrrr += .

Dvostrukim diferenciranjem vektora poloaja po vremenu dobija se:

( ) ( ) ++= iiA eibbebbr &&&&&&&&&r 22 , (2.69) odnosno:

( )corpTpNrcorrpTpN AAAAAAAAA

aaaaaaaaarrrrrrrrr +++=+++= , (2.70)

jer se pored uobiajenih komponenti ubrzanja, javlja i Coriolis-ovo ubrzanje, upravno na pravac kulise (br

):

pArAcor v b a == 22 && . (2.71)

31

2.5. Korienje programskih paketa za kinematsku analizu mehanizama

Za kinematsku analizu mehanizama mogu se koristiti i specijalizovani programski paketi za modeliranje kretanja krutih tela. Na slici 2.44. prikazan je model centrinog klipnog mehanizma, dimenzija a = 4 cm i c = 16 cm, u programskom paketu WORKING MODEL 2D, kao i njime dobijeni dijagrami poloaja, brzine i ubrzanja klizaa za ugaonu brzinu pogonske krivaje 10=8,4 s-1=const.

Sl.2.44.

2.6. Merni postupak odreivanja poloaja, brzina i ubrzanja lanova realnih mehanizama

Poloaji, brzine i ubrzanja lanova realnih mehanizma mogu se odrediti i odgovarajuim mernim uredjajima. Na narednoj fotografiji prikazan je realni klipni mehanizam, dimenzija a = 4 cm i c = 16 cm, za iji kliza je kruto vezan odgovarajui dava puta koji odredjuje poloaje klizaa.

Sl.2.45.

Ucrtavanjem vie sukcesivnih poloaja klizaa sB(t) dobijen je dijagram promene poloaja klizaa (slika 2.46):

32

sB [mm]

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.46. Iz prethodnog dijagrama se softverskim diferenciranjem moe dobiti i dijagram promene brzine klizaa vB(t):

vB [m/s]

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.47. a narednim diferenciranjem i dijagram promene ubrzanja klizaa aB(t):

aB [m/s2]

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.48. Vrednosti ubrzanja klizaa mogu se i direktno izmeriti, korienjem davaa ubrzanja:

aB [m/s2]

-15-10

-5

0

5

10

15

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97 103 109

Sl.2.49.

Ovaj dijagram odstupa od prethodnog dijagrama, dobijenog dvostrukim diferenciranjem zakona puta, zbog uticaja zazor u zglobovima.

33

2.7. Kinematika kretanja kroz tri beskonano bliska poloaja

2.7.1. Bresse-ovi krugovi

Posmatrajmo ubrzanje take A, iji je poloaj definisan polarnim koordinatama (r,) u koordinatnom sistemu tPn (slika 2.50b).

a) b)

Sl.2.50.

Ako je poznato ubrzanje neke take A pokretne ravni (slika 2.50a), onda se ubrzanje bilo koje take B u ravni moe odrediti kao zbir ubrzanja take A i ubrzanja take B oko take A, prema Euler-ovom obrascu:

ABAB aaa

rrr += . (2.72) Neka je poznato ubrzanje neke take Q pokretne ravni (slika 2.50b), koja se u datom trenutku poklapa sa trenutnim polom P. Ubrzanje take A se u tom sluaju moe izraziti relacijom:

QAQA aaa

rrr += . (2.73) Ubrzanje take Q, u optem sluaju, ima normalnu i tangencijalnu komponentu. Kako se taka Q, u posmatranom trenutku, poklapa sa polom P, njena brzina je jednaka nuli, a samim tim je i normalna komponenta ubrzanja jednaka nuli (2.18).

Taka P je povratna taka putanje take Q, a tangenta na putanju take Q (u ovom trenutku) poklapa se sa normalom ruleta (slika 2.50b).

Ubrzanje take A oko take QP ima normalnu komponentu usmerenu od take A prema taki Q i tangencijalnu komponentu, upravnu na pravac AP , iji je smer odredjen smerom ugaonog ubrzanja & . Njihovi intenziteti su:

22 == rPAaQAN (2.74)

== && rPAaQAT . Za analizu kretanja take A pogodnije je poznavati normalnu i tangencijalnu komponentu ubrzanja ove take. Normalna komponenta ubrzanja take A je u pravcu PA , poto centar krivine putanje take A, taka A0, lei na pravcu PA (slika 2.50a), pa je:

== sinar sinaaa QQQANAN 2 . (2.75) Ukoliko se taka A u posmatranom trenutku kree pravolinijski, normalna komponenta ubrzanja je jednaka nuli, pa se iz prethodne jednaine dobija:

02 = sinar Q , (2.76) odnosno,

== sind sina

r WQ2 . (2.77)

Odnos 2Qa ima dimenziju duine, a jednaina (2.77), geometrijsko mesto taaka koje nemaju normalnu

34

komponentu ubrzanja, predstavlja jednainu kruga, prenika 2=Q

wa

d (slika 2.51). Centar ovoga kruga lei na normali, a krug prolazi kroz koordinatni poetak P. Take koje lee na ovom krugu opisuju prevoj tj. imaju pravolinijsku putanju u najmanje tri beskonano bliska poloaja, pa se ovaj krug naziva prevojni krug (kw). Sve take koje lee na prevojnom krugu obeleavamo indeksom w. Taka preseka normale (n) i prevojnog kruga (kW) naziva se prevojni pol (W).

Analizom kretanja pokretne take kroz etiri beskonano bliska poloaja ustanovljeno je da jedna od taaka prevojnog kruga realizuje pravolinijsku putanju u najmanje etiri beskonano bliska poloaja, a poznata je pod imenom Ball-ova taka ili taka undulacije (UB). Za stacionarnu vrednost prenika prevojnog kruga (dw=const.) Ball-ova taka se poklapa sa prevojnim polom (BW).

Na slici 2.51. prikazana je i promena oblika putanje u zavisnosti od poloaja take u pokretnoj ravni.

Sl.2.51. Sl.2.52.

Na slici 2.52. prikazana je skica i kinematska shema mehanizma motora SUS, iji je broj stepeni slobode kretanja jednak nuli, a mehanizam je pokretljiv samo zahvaljujui pravolinjskom (horizontalnom) pomeranju take C (lei na prevojnom krugu lana 4) koje omoguuje translatorno pomeranje (klizanje) lana 5.

Tangencijalna komponenta ubrzanja take A upravna je na pravac PA (slika 2.50b), pa je:

=== cosar cosaaPAa QQQATAT && . (2.78)

Za sluaj kada je 0=ATa dobija se:

== cosd cosa

r gQ

g & . (2.79)

Odnos &Qa ima dimenziju duine, a jednaina (2.79), geometrijsko mesto taaka koje nemaju tangencijalnu

komponentu ubrzanja, predstavlja jednainu kruga, prenika = &Q

ga

d (slika 2.53). Centar kruga se nalazi na

pozitivnom ili negativnom delu tangente, to zavisi od smera ugaonog ubrzanja & , a krug prolazi kroz koordinatni poetak (P). Brzine taaka koje lee na ovom krugu dostiu u tom trenutku ekstremum, odnosno prelaze iz reima rasta u reim opadanja i obrnuto, pa se ovaj krug naziva prelazni krug (kg). Taka preseka tangente (t) i prelaznog kruga (kg) naziva se prelazni pol (G).

Sl.2.53.

35

Prelazni i prevojni krug (kw i kg) seku se u takama P i Pa (slika 2.54). Taka Pa je pol ubrzanja, koji nema ubrzanje, dok je taka PQ singularna taka, poto, kao to je na slici 2.50. pokazano, ona ima ubrzanje (aQ).

Sl.2.54.

Posmatrajmo ubrzanje take A u odnosu na taku Pa: aa

a

PAT

PANPA aaaa

rrrr ++= . (2.80) Kako je 0=

aPar

, sledi:

aa PAT

PANA aaa

rrr += (2.81) gde je: 2aPAN APa a = i = &aPAT APa a , odakle se dobija:

24 += &aA APa . (2.82) Ugao koji ubrzanje Aa

r zaklapa sa potegom aAP odreujemo iz odnosa:

2== &

a

a

PAN

PAT

aa tg . (2.83)

Kako ugao ne zavisi od poloaja take (r,), to je i ugao izmeu potega WPa i ubrzanja war

, potega

GPa i ubrzanja Gar

, kao i potega QPa i ubrzanja Qar

, takoe . Sa slike 2.54. sledi i odnos:

2== & tg

dd

g

w . (2.84)

Prevojni krug (kw) i prelazni krug (kg) po svome autoru nose naziv Bresse-ovi krugovi.

36

2.7.2. Euler-Savary-jeva jednaina

Neka u poloaju (1) mehanizma taka A1 (slika 2.55) i centar krivine njene putanje (A0) lee na pravoj koja sa tangentom zaklapa ugao . Ako je rastojanje rAP =11 i o01 rAP = , onda je poluprenik krivine take A:

rr = 0 . (2.85)

a) b)

Sl.2.55.

Taka A1, okretanjem za mali ugao d oko take A0 (slika 2.55b), prelazi u beskonano bliski poloaj A2; novi poloaj trenutnog pola (P2) lei na pravoj kroz A2 i A0 (slika 2.55a). Polovi P1 i P2 su beskonano bliski (na nepokretnoj ruleti), pa se moe rei da pol P2 lei na tangenti ruleta. Kao to se sa slike 2.55.b. vidi, taka A1 moe dospeti u poloaj A2 i zaokretanjem oko pola P1 (za ugao d). Iz trougla P1P2A0 sledi:

( )( )+= dsinr

d sindp 0 (2.86)

odnosno, kako je sin d d i ( )( ) + sindsin : = sin

rddp 0 . (2.87)

Sa druge strane je:

== drdAA 21 , (2.88) pa smenom veliina iz jednaina (2.85) i (2.88) u jednainu (2.87) sledi:

=

= sindp

dr sindp

dr0

1

==

=

sindpd

rrrrrr

rr 000

0

11

odnosno:

=

sindpd

rr 011 . (2.89)

Zamenom ' = d/dp u jednaini (2.89) dobija se:

=

sinrr 0

11 . (2.90)

U sluaju da se centar krivine nalazi u beskonanosti (ro ), tj. da se taka kree pravolinijski, jednaina (2.90) bi trebalo da predje u jednainu prevojnog kruga. Uporedivanjem jednaina (2.90) i (2.76) dobija se:

== ddpdw

1 , (2.91)

pa se konano moe napisati jednaina:

37

= sindrr wo111 (2.92)

koja se prema autorima naziva Euler-Savary-jeva jednaina.

Iz jednaine (2.91) neposredno sledi: ==u

dtddtdp

dw (2.93)

gde u predstavlja brzinu promene poloaja trenutnog pola, a ugaonu brzinu. Specijalni sluajevi Euler-Savary-jeve jednaine javljaju se kada je:

a) ro : centar krivine je u beskonanosti, poluprenik krivine , taka se u datom trenutku kree pravolinijski, a Euler-Savary-jeva jednaina dobija oblik:

Sl.2.56.

b) r : taka lei u beskonanosti. Iz Euler-Savary-jeve jednaine sledi: = sindr Wo . (2.96)

Centar krivine putanje take (u beskonanosti) lei na krugu prenika dw, iji je centar na negativnom delu normale, a koji prolazi kroz koordinatni poetak i naziva se povratni krug (kr).

Povratni krug (kr) je simetrian prevojnom krugu (kw) i u sluaju inverznog kretanja on postaje prevojni krug. Povratni krug je dakle prevojni krug kinematski suprotnog mehanizma.

Sl.2.57.

d) r = 0 : taka se poklapa sa trenutnim polom P. Iz Euler-Savary-jeve jednaine, smenom: = sindr Ww

i rr = 0 , dobija se: w

w

w0 rrrr

r1

r1

r1

==

rr

rrrr

w

w0

==+

rr

r

w =

2

(2.97)

odakle sledi da je za r=0 i =0, to znai da sve take koje se poklapaju da trenutnim polom P u tom trenutku opisuju putanju polu- prenika krivine =0.

Sl.2.58.

= sindr W . (2.94) Dobija se dakle jednaina prevojnog kruga (kw). Napomenimo jo, da je brzina prevojnog pola = ww dv , odnosno, kako sledi iz jednaine (2.93), brzina prevojnog pola jednaka je brzini promene poloaja trenutnog pola:

== ww dvu . (2.95)

38

d) = 0 : taka lei na tangenti, pa kako je rw=0, iz (2.97) sledi da je = -r to znai da sve take koje lee na tangenti opisuju kruni luk iji se centar poklapa sa trenutnim polom P.

Sl.2.59.

2.7.3. Tangenta na rulete i centar krivine

Kako taka, centar krivine njene putanje i pol (P) lee na polnom pravcu, to se trenutni pol moe odrediti ako su poznate dve take (A i B) i centri krivina njihovih putanja (A0 i B0), u preseku pravaca 0AA i 0BB .

Sl.2.60.

Zatim se pravci PH i 0PB (slika 2.61) usvoje za koordinatne ose i kosouglog koordinatnog sistema P. Jednaina prave koja prolazi kroz take A0 i B0 moe se u tom koordinatnom sistemu napisati u obliku:

10=+

PBPH. (2.98)

Sl.2.61.

Tekue koordinate take A0 (=PU i = 0UA ) mogu se na osnovu odnosa koji vae u trouglu A0PU:

( ) =

=+ sin sinsinPA 0 (2.99)

izraziti kao:

( )+=

sin sinPA0

( )+=

sin sinPA0 . (2.100)

Uoimo i taku HAB (slika 2.60), koja se dobija u preseku pravaca AB i 00BA . Dok taka P vai za celu ravan spojke (sve take u njoj), poloaj take H zavisi od poloaja odgovarajueg para pokretnih taaka. Pol H je kolinearni pol, a pravac PH predstavlja osu kolineacije.

Polazei od ovih odnosa, moe se odrediti tangenta na rulete bez konstruisanja samih ruleta, kao i centar krivine putanje bilo koje take u pokretnoj ravni. Prema ovom postupku, konstrukcija tangente se moe sprovesti tako to se najpre pronadju take P i H, pomou taaka A, A0, B i B0.

39

Unoenjem vrednosti za i i daljim reavanjem jednaine (2.98) sledi: ( )

+= 0PB

sinPA

sin sinPH 0

11 . (2.101)

Analogno, za pravu kroz B i A (slika 2.61), dobija se:

( )

+= PB sin

PAsin

sinPH11 (2.102)

odakle sledi:

( ) ( )PB

sinPA

sinPB

sinPA

sin0

+=+0

. (2.103)

Kako je PA = rA ; PB = rB ; oPA = rAo ; oPB = rBo , sledi, nakon sreivanja jednaine (2.103):

( )

=+

sin

rrsin

rr BBAA 00

1111 , (2.104)

odnosno, u optem sluaju:

Cconst. sinrr

==

0

11 , (2.105)

ili

=

sinC

rr 0

11 . (2.106)

Ova jednaina moe predstavljati Euler-Savary-jevu jednainu kada bi na desnoj strani bio izraz C=1/dw i ako bi se ugao () merio od pravca tangente na rulete. Ovaj uslov je ispunjen kada tangenta (t) zaklapa ugao sa pravcem 0PB , odnosno ugao (+) sa pravcem 0PA , kako pokazuje slika 2.61.

Konstrukcija centra krivine putanje take (npr. take C pokretne ravni) sprovodi se tako to se najpre odrede take P i HAB, na osnovu poznatih taaka A0, A, B i B0 (slika 2.62).

Tangenta na rulete u taki P zaklapa sa jednim polnim pravcem isti ugao koji, orijentisan u suprotnom smeru, osa kolineacije zaklapa sa drugim polnim pravcem.

Taka C0 mora leati na pravcu PC. Taka HCB se nalazi u preseku pravca BC i pravca koji zaklapa ugao sa pravcem PC. Spajanjem taaka HCB i B0, u preseku sa

Sl.2.62. pravcem PC, dolazi se do centra krivine C0.

Konstrukcija tangente i centra krivine poznata je kao Bobillier- ova konstrukcija.

2.7.4. Raspored taaka P-A-A0-Aw

Poloaj take Aw, take na prevojnom krugu (kw), na pravcu P-A-A0 zavisi od poloaja ovih taaka. Uvoenjem smene rrx w = u jednainu (2.97) dobija se:

2rx = . (2.107)

Grafiko reenje ove jednaine (2

0 PAAAAA w = ) moe se nai uz pomo Tales-ove teoreme (slika 2.63.a,b) ili konstrukcijom prikazanom na slici 2.63.c. Konstrukcija sa slike 2.63.a. koristi se kada je r < , a konstrukcija sa slike 2.63.b. kada je r > . Konstrukcija sa slike 2.63.c. koristi se u oba sluaja.

40

Sl.2.63.

Pri poznatom rasporedu taaka P-A-A0, potraimo poloaj take Aw pomou konstrukcije c. Najpre se postave prave, proizvoljnih pravaca, iz taaka A0 i P, sa presekom u taki oznaenoj sa H. Prava, paralelna sa pravcem 0HA , koja prolazi kroz taku P, preseca pravu HA u taki N. U preseku pravca P-A-A0 i pravca koji prolazi kroz taku N, a paralelan je sa pravcem PH , nalazi se taka Aw.

Dokaz ovog postupka proizilazi iz slinosti trouglova PHA NAA0, odnosno HAA0 PAN, odakle sledi odnos:

PAAA

AHNA

AAPA w==

0, (2.108)

odnosno: 2

0 PAAAAA w = , (2.109) to odgovara jednaini (2.107).

Ako je poznat pravac tangente (t) i normale (n), kao i poloaj bar jedne take na prevojnom krugu (Aw), povlaenjem normale na poteg take Aw (slika 2.51) moe se odrediti prenik prevojnog kruga (dw), a time i smer normale i tangente u sistemu tPn, jer kao to je ve pokazano, prevojni krug se uvek nalazi na pozitivnoj strani normale.

2.7.5. Prevojni i povratni krug kod etvorolanih mehanizama

Sl.2.60.

Kao to je ve u odeljku 2.7.3. pokazano, koordinatni sistem Ptn moe se definisati i bez poznavanja ruleta. Pravac tangente (t) zaklapa isti ugao sa pravcem PB kao i osa kolineacije PH sa pravcem PA (slika 2.64). Na nain kako je to ve opisano (slika 2.63c), dolazi se do taaka Aw i Bw na prevojnom krugu (kw). Povlaenjem normale na wPB iz Bw, dobija se na normali (n) prevojni pol (W), ime je odreen prenik prevojnog kruga (dw). Kako se prevojni krug uvek nalazi na pozitivnoj strani normale, to poloaj prevojnog pola slui za orijentisanje koordinatnog sistema Ptn.

Kod klipnog mehanizma (slika 2.65), taka B se kree pravolinijski pa lei na prevojnom krugu (kw), a kod kulisnog mehanizma (slika 2.66), kinematski suprotnog klipnom mehanizmu, taka B0 lei na povratnom krugu (kr), na osnovu koga odredjujemo i prevojni krug (istog prenika, na pozitivnoj strani normale).

41

Sl.2.65. Sl.2.66.

2.7.6. Ekstremum prenosne funkcije prvoga reda

Poloaj mehanizma u kome prenosna funkcija prvoga reda ima ekstremum dobija se iz uslova:

( ) 02 =+=

= pddp

dd (2.110)

odakle sledi da prenosna funkcija prvoga reda dostie ekstremum (max) u trenutku kada je 0== ddpp .

Tangenta na rulete k1 i k3 dobija se nanoenjem ugla r (koji osa kolineacije zaklapa sa pravcem spojke) na pravac postolja, ali u suprotnom smeru (slika 2.67). Za mali prirataj pogonskog ugla dr taka H31 prei e u poloaj H1 (na tangenti tr); umesto zaokretanja krivaje za ugao dr, zaokrenuli smo postolje u suprotnom smeru za isti ugao. Kako je NAHAp 00 = , a rdpHN = i dpNH1 sledi:

( )pp

dpdp

HNNH

ctgd ctgr

1rrr

====+ (2.111)

Sl.2.67. Sl.2.68.

Iz prethodne jednaine sledi da prenosna funkcija prvoga reda ima ekstremum kada je 0 ctg r = , odnosno, kada spojka i osa kolineacije grade prav ugao (slika 2.68).

42

2.8. Putanje taaka spojke. Teorema Roberts-ebieva

Take koje lee u ravni spojke polunog etvorougla opisuju zatvorene putanje, iji oblik zavisi od poloaja take u ravni (slika 2.69).

Sl.2.69. Sl.2.70.

U optem sluaju, putanje taaka spojke polunog etvorougla su tricirkularne krive estoga reda, putanje taaka spojke klipnog mehanizma su krive etvrtog reda, a kod mehanizma sa dva klizaa (slika 2.70) putanje svih taaka su elipse.

Teorema Roberts-ebiev-a govori o mogunostima za viestruku realizaciju putanja taaka spojke polunih mehanizama. Za realizaciju putanje bilo koje take spojke nekog polunog etvorougla mogu se formirati jo dva nova poluna etvorougla.

Poloaj take K u ravni spojke polaznog mehanizma A0ABB0 definisan je trouglom AKB (slika 2.71). Formirajmo paralelograme A0AKA1 i B0BKA2, a zatim, iznad dui A1K i A2K, trouglove A1KB1 i A2KB2, sline trouglu AKB, i konano, paralelogram B1KB2C0. Ako se dokae da je taka C0 nepokretna, tada zaista postoje dva nova etvorougla A0A1B1C0 i B0A2B2C0 ije take K opisuju istu putanju kao i taka K polaznog etvorougla. Dokaz teoreme se dakle moe svesti na dokaz da poloaj take C0 ne zavisi od poloaja polaznog mehanizma. Pri dokazu prethodne tvrdnje polazi se od definisanja poloaja take C0 vektorom 00CA , kao zbirom konturnih vektora:

11100 bcaCArrr ++= , (2.72)

a) b)

Sl.2.71.

43

odnosno:

( ) ( ) ( )+++ ++= iii ebeceaCA 11100 (2.73) gde je a1 = m, a iz slinosti trouglova sledi da je:

cm

mc =

1

1 ; cm

nm =

2

2 (2.74)

odnosno:

acmc =1 ; bc

mb =1 (2.75)

jer je: n2 = b , m2 = b1 i m1 = a.

Smenom vrednosti za a1, b1 i c1 u (2.73) dobija se, posle sredjivanja ( ccmma ==1 ):

( ) ++= iiii ebeceaecmCA 00 . (2.76)

Kako je:

.constebecead iii =++= r , (2.77) sledi da je:

.constedcmCA i00 == (2.78)

Analognim postupkom se dobija:

.constedcnCB i == 00 , (2.79)

na osnovu ega se moe zakljuiti da je:

A0B0C0 ABK . (2.80) Primenom teoreme Roberts-ebiev-a na klipni mehanizam (slika 2.72) dolazi se do zakljuka da je za realizaciju putanje bilo koje take spojke klipnog mehanizma mogue formirati jo jedan novi klipni mehanizam (drugi mehanizam koji se dobija opisanom konstrukcijom je bekonano velikih dimenzija).

Sl.2.72.

Da bi se odredio pravac klizanja zgloba B1 novog klipnog mehanizma A0A1B1, odnosno njegov centar krivine C0, bez traenja drugog mehanizma, dovoljno je iskoristiti posledicu konstrukcije prikazane na slici 2.72, da je ovaj pravac klizanja pod uglom u odnosu na pravac klizanja polaznog mehanizma.

44

3. SINTEZA POLUNIH MEHANIZAMA

Oblast sinteze mehanizama bavi se kreiranjem novih reenja mehanizama za realizovanje odgovarajuih tehnolokih procesa, pretvaranjem koncepta kretanja u mehanizam i mainu.

Tipini zahtevi koje sintezom mehanizama treba realizovati su: - vodjenje nekog tela kroz odredjeni broj zadatih poloaja, - vodjenje neke take du zadate putanje ili kroz odredjeni broj zadatih poloaja i - realizovanje zadate funkcionalne zavisnosti pomeranja vodjenog lana od pomeranja pogonskog lana

mehanizma (mehanizmi za prenos). tako da razlikujemo sintezu mahanizama za voenje i sintezu mehanizama za prenos, mada, ponekad, ove dve funkcije mehanizma nisu deljive.

Postupak sinteze mehanizama sastoji se iz: a) strukturne sinteze - izbora ili sinteze: - tipa mehanizma (poluni, bregasti, planetni) i - strukture mehanizma (broj lanova, niih i viih kinematskih parova, kinematska ema) i b) dimenzione sinteze - odredjivanje vrednosti dimenzija lanova mehanizma (duina i uglova) kojima bi se

najpriblinije mogao realizovati postavljeni zadatak sinteze.

Sintezom se esto ne moe doi do reenja mehanizma koje zadatu funkcionalnu zavisnost (slika 3.1.b) odn. putanju (slika 3.1.a) realizuje egzaktno ve samo do reenja koje u odredjenom broju diskretnih poloaja realizuje tane vrednosti zadate funkcionalne zavisnosti odn. putanje; ovi poloaji se uobiajeno nazivaju tanim poloajima. Drugim reima, zadata i realizovana funkcija odn. putanja, poklapaju se samo u pojedinim takama. Ogranien je broj problema za koje egzistiraju egzaktna reenja sinteze (realizovanje pravolinijske putanje, putanj oblika konusnih preseka i nekih krivih vieg reda uproenih karakteristika) za razliku od pribline sinteze kojom se moe realizovati, na odredjenom intervalu, skoro svaka funkcionalna zavisnost odn. putanja.

a) b)

Sl.3.1.

Za reavanje problema sinteze mehanizama razvijene su najpre grafike metode, zbog nelinearnosti problema koje je trebalo reavati.

Zatim su razvijene analitike metode; teilo se dobijanju reenj u zatvorenom obliku, poto ona nude velike mogunosti analize dobijenih reenja, pa su stoga reavani pre svega problemi sinteze mehanizama sa manjim brojem lanova i manjim brojem zadatih tanih poloaja.

Razvoj raunarske tehnike i neposredni tehnoloki problemi ohrabrili su poetkom 60-tih godina prologa veka, posebno u USA, razvoj numerikih postupaka sinteze koji su potisnuli grafike metode (pojedine numerike i analitike metode su razvijene i na osnovu grafikih konstrukcija). Primenom raunara u procesu sinteze eliminisani su nedostaci grafikih postupaka, vezani za tanost i brzinu dobijanja reenja, zadatke sinteze mogue je reavati u veem broju tanih poloaja, reeni su zadaci koji bi za grafiku sintezu bili suvie komplikovani, ali je uvodjenje numerikih metoda donelo probleme druge vrste od kojih neki ni do danas nisu kvalitetno reeni (osnovnu tekou numerikih postupaka predstavlja izbor dovoljno dobrog poetnog reenja ovih iterativnih postupaka). Nedostaci analitikih postupaka sinteze mehanizama doveli su do razvoja tzv. optimalne sinteze mehanizama (nelinearno programiranje).

U narednim odeljcima bie prikazane osnovne metode sinteze, razvijene do tri poloaja, ime se stvara osnova za dalje prouavanje ove problematike.

45

3.1. Sinteza mehanizama za vodjenje

Mehanizmi za voenje imaju zadatak da neko telo (npr. haubu automobila na slici 3.2a), ili taku (slika 2.69a), provedu kroz zadate poloaje. Neka je poloaj pokretnog tela pri ravnom kretanju definisan poloajem dveju taaka ovog tela (C i D), koje se, u optem sluaju, ne poklapaju sa zglobovima kojima je ovo telo vezano za ostale lanove mehanizma (prikazani u krugu na slici 3.2a). Take Cj (C1, C2,... Cn) i Dj (D1, D2,... Dn) su homologne take i predstavljaju sukcesivne poloaje take C odn. D. Ugao izmeu dva sukcesivna poloaja pokretne ravni (slika 3.2b) je ugao izmeu dva susedna poloaja tapa CD (j,j+1).

a) b)

Sl.3.2.

tap CD (slika 3.2b) moe iz poloaja CjDj prei u poloaj Cj+1Dj+1 na dva naina:

- rotacijom tapa (ravni) za ugao j,j+1, a zatim paralelnim pomeranjem do poloaja Cj+1Dj+1 ili - rotacijom tapa (ravni) oko pola Pj,j+1 za ugao j,j+1; pol se nalazi u preseku simetrala dui 1jjCC + (cj,j+1)

i 1jj

DD + (d j,,j+1).

Uoimo jo, da je j,j+1 + j+1,j= 2.

Dva poloaja pokretne ravni

Ukoliko elimo da ovu ravan vodimo spojkom polunog etvorougla (slika 3.3a,b), a poloaj ravni je zadat poloajem zglobnih taaka spojke (A i B na slici 3.3a) u dva homologna poloaja (slika 3.3c), putanje taaka A i B su krunice sa centrom u A0, odnosno B0. Simetrala dui 21AA (a12) je geometrijsko mesto taaka A0, a simetrala dui 21BB (b12) geometrijsko mesto taaka B0 to znai da postoji bezbroj reenja. Postojanje velikog broja reenja prua mogunost za postavljanje dodatnih kinematskih, dinamikih i konstruktivnih uslova. U sluaju A0B0P12 dobija se trivijalno reenje, kada mehanizam ne postoji, a zadatak voenja se obavlja rotacijom trougla ABP12 oko pola P12.

a) b) c)

Sl.3.3.

46

U optem sluaju, kada je poloaj ravni zadat proizvoljnim homolognim takama Cj i Dj, gde je j=1,2 (slika 3.2a), mogue je dodatno zadati zglobne take spojke (A i B), odnosno take postolja (A0 i B0). Ako su zadate take A i B0 (slika 3.4), tada je geometrijsko mesto taaka A0 simetrala a12, a geometrijsko mesto taaka B1, odnosno B2 su kraci ugla 12, ija je simetrala b12, a teme P12.

Sl.3.4. Tri poloaja pokretne ravni

Pokretna ravan zadata je parom taaka u tri homologna poloaja. Ukoliko su odabrane take (A,B) zglobne take, njihove putanje su krunice oko A0 odnosno B0. Taka A0 nalazi se u preseku simetrala a12, a13 i a23, a taka B0 u preseku simetrala b12, b13 i b23 (slika 3.5).

Sl.3.5. Sl.3.6.

U optem sluaju, poloaj pokretne ravni je definisan proizvoljnim takama Cj i Dj, gde je j=1,2,3. U preseku simetrala cjk i djk (jk, k=1,2,3) nalaze se polovi Pjk. Relativni poloaji pokretne ravni definisani su polovima P12, P13 i P23 koji ine trougao polova (slika 3.6). Postupak sinteze se nadalje provodi razmatranjem kretanja pokretne ravni u odnosu na trougao polova (slika 3.7).

Taka koja se poklapa sa polom P23 pripada poloaju 2 i 3pokretne ravni. Poloaj te take, kada se ravan nalazi u poloaju 1, dobija se njenim okretanjem oko polova P12 i P13, odnosno, preslikavanjem take P23 dobija se taka P'23; take P23 i P'23 su simetrine u odnosu na osu 1. Ose (stranice trougla polova) nose oznaku ponovljenog indeksa temena.

Homologne take A2 i A3, za proizvoljno odabranu zglobnu taku A1, dobijaju se preslikavanjem oko ose 1, a zatim oko ose 2, odn. ose 3. U preseku krunica, iji su centri temena trougla polova, nalazi se osnovna taka A123. Take A1 i A2 su homologne take, jer je:

23212231231223112 PAPPAPPAP , (3.1) Sl.3.7.

47

odnosno, ponovnim preslikavanjem take P'23 oko ose 1, odredjen je poloaj homologne take A2. Na slian nain moe se dokazati da je i taka A3 homologna taka.

Ugao 212112 APA= (slika 3.8) moe se izraziti kao: += 2212 , (3.2)

odakle sledi da je ugao:

212

12=+= , (3.3)

odn. 2jk

jk

= . (3.4)

Leina taka A0 nalazi se u preseku simetrala ajk, koje su istovremeno i simetrale uglova jk, pa je: ==

212 , (3.5)

odnosno:

ikik = . (3.6)

Na slici 3.9 prikazan je postupak odredjivanja poloaja take A123 i homolognih taaka Aj, ako je zadata leina taka A0. Sprovoenjem istog postupka za taku B0 dobija se traeni poluni etvorougao.

Sl.3.8. Sl.3.9.

Specijalni sluajevi se javljaju izborom specifinih poloaja zglobne take A0: a) A0 Pjk ; zbog jk = 0, suprotna stranica trougla polova je geometrijsko mesto osnovne i jedne od

homolognih taaka (slika 3.10a); b) A0 lei na stranici trougla polova; zbog jk = 0, osnovna i dve homologne take (slika 3.10b) poklapaju

se sa polom koji se ne nalazi na ovoj stranici;

48

c) A0 ; homologne take Aj lee na pravoj, a taka A123 dobija se prethodno opisanim postupkom (prenoenjem ugla jk=jk). Kako se du 13123PA vidi pod istim uglom iz temen trougla P12 i P23 , to je geometrijsko mesto taaka A123 krunica opisana oko trougla polova u123 (slika 3.10c).

Geometrijska mesta homolognih taaka (Aj) su krunice u1, u2 i u3, dobijene preslikavanjem krunice u123 u odnosu na odgovarajue ose, kao to je prikazano na slici 3.11.

Preslikane krunice se seku u taki H123, koja je, istovremeno, presek visina trougla polova.

a) b) c)

Sl.3.10.

Homologna taka Aj dobija se preslikavanjem take A123 (slika 3.12). Zahvaeni ugao izmeu pravca "s" (postavljenog kroz take A1 i H123) i pravca povuenog kroz H123 paralelno sa "a" (pravac leine take A0) jednak je zbiru ugla 21 ( 1312323 PHP ), ugla - 21 ( 1231213131231 APPPHA = ) i ugla zahvaenog izmeu pravca "a" i visine h1 (900- ). Kako je zbir ovih uglova jednak 90o, sledi da prava "s" uvek prolazi kroz taku H123, pa se homologne take nalaze u preseku prave "s", upravne na "a", i odgovarajuih krunica uj.

Sl.3.11. Sl.3.12.

49

d) zglob B ; homologne take Bj, kao i osnovna taka B123, (slika 3.13) lee u beskonanosti. Taka B0 se nalazi na krunici opisanoj oko trougla polova. Pravci relativnog klizanja "sj" upravni su na pravce beskonanosti homolognih taaka.

Iz kinematske suprotnosti sa prethodnim sluajem sledi da se take Hj dobijaju preslikavanjem take H123 i da lee na krugu u123. Pravci relativnog klizanja odreeni su takama B0 i Hj.

Sl.3.13.

3.2. Sinteza mehanizama za prenos

Sinteza mehanizama za prenos obuhvata metode sinteze mehanizama sa povratnim kretanjem, generatora funkcije, brzine i sl.

3.2.1. Sinteza mehanizama sa povratnim kretanjem

Vodjeni lan mehanizma esto ima zadatak da, za jedan obrt pogonskog lana, realizuje zadato povratno kretanje (tabela 1.1.), kao to je to npr. sluaj kod mehanizma brisaa vetrobranskog stakla automobila (slika 3.14).

Sl.3.14.

50

Povratno kretanje vodjenog lana moe biti rotaciono (slika 3.15a) ili translatorno (slika 3.15b). Prenosna funkcija (), odnosno s(), treba u tom sluaju da zadovolji postavljene uslove samo u krajnjim poloajima O (O), odnosno so(O), dok je preostali tok prenosne funkcije proizvoljan (slika 3.15c).

Sl.3.15.

Spoljanji i unutranji mrtvi poloaj jednokrivajnog mehanizma (slika 3.16) mogu se formulisati izrazima:

( ) debeca ss i i r=++ (3.7) ( ) ( ) ( ) debeca osos i i r=+ ++ .Zadatkom sinteze najee se trae dimenzije mehanizma za zadato o (hod krivaje izmedju spoljanjeg i unutranjeg mrtvog poloaja mehanizma), o (hod balansijera) i d=A0B0. Da bi iz jednaina (3.7) odredili a, a kasnije i (a+c), eliminiimo najpre b i s, mnoenjem prve jednaine sa

)e( o i i sabiranjem sa drugom jednainom,ime se dobija:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )oosos i i i e1decaeca ++ =+ . (3.8) Sl.