Mekanik og Termodynamik Dispositioner

Mekanik og Termodynamik Dispositioner

Michael Lind Mortensen, illio

20. januar 2011

Indhold

1 Dynamik og energi for rotationel bevægelse 51.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Rotationel bevægelse - Perspektiv . . . . . . . . . . . 51.2.2 Kinetisk energi af et stift roterende legeme . . . . . . 81.2.3 Inertimomentet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Kraftmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5 Rotationel analog til Newtons 2. lov . . . . . . . . . . 111.2.6 Kombineret translatorisk og rotationel bevægelse . . . 131.2.7 Arbejde og effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Impulsmoment og gyroskopet 192.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Sammenhæng med kraftmoment . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Samlede størrelse af impulsmoment for et legeme . . . 212.2.4 Impulsmomentbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.5 Gyroskopet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Mekanisk ligevægt og elasticitet 283.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Ligevægt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.2 Tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3 Elasticitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.4 Begrænsninger ved Hookes lov . . . . . . . . . . . . . 38

4 Gravitation og planetbevægelse 404.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Newtons Gravitationslov . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.2 Vægt og vægtløshed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.3 Gravitationel Potentiel Energi . . . . . . . . . . . . . . 444.2.4 Sorte huller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.5 Satelitbaner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.6 Keplers love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Periodisk bevægelse 525.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.1 Periodiske bevægelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

5.2.2 Simpel harmonisk bevægelse . . . . . . . . . . . . . . 545.2.3 Energien i harmonisk bevægelse . . . . . . . . . . . . . 575.2.4 Penduler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.5 Dæmpede svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Fluid mekanik 636.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Densitet og Tryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Dybde og Pascals lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2.3 Opdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2.4 Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2.5 Turbulens og viskositet . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.6 Kontinuitetslignignen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2.7 Bernoullis ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2.8 Reynolds tal & Poiseuilles lov . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Temperatur, termisk udvidelse, varme og faseovergange 797.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.2 Termisk udvidelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.3 Varme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2.4 Faseovergange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8 Kinetisk gasteori og tilstandsligninger 928.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.2.1 Tilstandsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2.2 Idealgasligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2.3 Van der Waals gasligning . . . . . . . . . . . . . . . . 958.2.4 pV-diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2.5 Kinetisk gasteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2.6 Udledelse af trykformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2.7 Energi i kinetisk gasteori . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2.8 Anvendelse: Varmekapacitet . . . . . . . . . . . . . . . 1028.2.9 Krafterne mellem to molekyler . . . . . . . . . . . . . 1048.2.10 Faseovergange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9 Varmekapacitet for gasser og faste stoffer, CP og CV 1069.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.2.1 Varmekapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3

9.2.2 Estimering af molær varmekapacitet vha. kinetisk ga-steori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.2.3 Varmekapacitet af en idealgas . . . . . . . . . . . . . . 117

10 Termodynamikkens første hovedsætning, termodynamiskeprocesser 12510.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.2.1 Termodynamikkens 1. hovedsætning . . . . . . . . . . 12510.2.2 Termodynamiske processer . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2.3 Termodynamik og idealgasser . . . . . . . . . . . . . . 134

11 Termodynamikkens anden hovedsætning, Carnot-cyklen, en-tropi. 14211.1 Disposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211.2 Detaljer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

11.2.1 Reversible og irreversible processer . . . . . . . . . . . 14311.2.2 Varmemaskinen og dens effektivitet . . . . . . . . . . 14411.2.3 Otto-cyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14611.2.4 Kølemaskinen og dens effektivitet . . . . . . . . . . . . 14911.2.5 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.2.6 Termodynamikkens 2. hovedsætning . . . . . . . . . . 15311.2.7 Carnot-cyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4

1 Dynamik og energi for rotationel bevægelse

1.1 Disposition

1. Rotationel bevægelse - Perspektiv Paralleller til linear mekanik Korte definitioner Stift legeme

2. Kinetisk energi af et stift roterende legeme Husk def. Inertimoment

3. Inertimomentet Kan slås op i bogen Parallel-akse Teoremet Kort nævn Vinkelret-akse Teoremet

4. Kraftmoment Vektordefinition Udregning af kraftmomentet

5. Rotationel analog til Newtons 2. lov Husk: Gælder kun for stift legeme.

6. Kombineret translatorisk og rotationel bevægelse Kinetisk energi Rullende friktion

7. Arbejde og effekt

1.2 Detaljer

Her følger detaljerne for denne givne disposition.

1.2.1 Rotationel bevægelse - Perspektiv

Nu hvor emnet handler om rotationel bevægelse, så lad os starte med at fåde mest basale definitioner på plads her.

5

Paralleller til linear mekanikRotationel bevægelse har mange ligheder imellem sig og linear mekanik.Faktisk kan de samme formler fra linear mekanik mere eller mindre brugesher, såfremt man blot laver en simpel variabelomskrivning som følger:

x⇒ θ

v ⇒ ω

a⇒ α

m⇒ I

Hvor den sidste ovenfor er Inertimomentet I, som jeg kommer ind på senere.

Det betyder følgende formler for konstant-acceleration fra linear meka-nik:

x = x0 + v0xt+ 12axt

2

x− x0 = 12(vx + v0x)t

vx = v0x + axt

v2x = v2

0x + 2ax(x− x0)

Bliver til følgende i rotationel bevægelse med konstant acceleration:

θ = θ0 + ω0zt+ 12αzt

2

θ − θ0 = 12(ωz + ω0z)t

ωz = ω0z + αzt

ω2z = ω2

0z + 2αz(θ − θ0)

Herudover gælder der samme sammenhæng mellem position, hastighedog acceleration som normalt, altså at (om en rotationel akse z):

ωz = θ′z

= dθ

dtαz = ω′z

= dωzdt

= d2 θ

dt2

6

Korte definitionerUdover sammenhængen med linear mekanik, så er der også en række vigtigegrundlæggende definitioner vi lige kort skal opsummere.

Da alle definitioner i rotationel bevægelse bygger på (9.1):

θ = s

r

Hvor s er længden af en bue på cirklen i cirkelbevægelsen.Så skal man være opmærksom på at alle formler antager vinkler opskri-

ves i radianer og intet andet. Ellers fås forkerte resultater.

Moving on..Hastigheden af et givent punkt på et stift legeme der roteres er som

følgende:

v = rω

Hvorved punkter ind mod centrum har en lavere linear hastighed end læn-gere ude på legemet. Vær opmærksom på her, at der med ω menes skalar-værdien af ωz. Altså kan ω aldrig være negativ.Hastighedsvektoren ~v er altid en tangent til cirklen med retning i rotations-retningen.

Udover denne definition har vi også atan og arad, henholdsvis den tan-gentielle og centripetale acceleration.

Den tangentielle acceleration atan er altid parallel til hastighedsvekto-ren ~v og bidrager til at ændre magnituden af hastighedsvektoren (i.e. denabsolutte hastighed). atan defineres derfor som ændring i hastighed over tid:

atan = dv

dt

= rdω

dt= rα

Hvor vi har indsat udtrækket for v ovenfor.arad, som altid peger ind mod rotationsaksen, er forbundet til ændringer

af hastighedsvektorens retning og kan udledes til at være:

arad = v2

r(1)

= ω2r (2)

7

Stift legeme

Et stift legeme er en idealisering af virkelige legemer, hvor man ignorerereffekter af deformering. Sagt på en anden måde betyder det, at afstandenmellem to punkter på legemet er den samme uafhængig af bevægelse.

Et legeme vil ofte kunne antages at være et stift legeme, såfremt detbevæger sig med en non-relativistisk hastighed (i.e. markant mindre endlysets hastighed).

Denne idealisering gør visse beregninger nemmere og udledninger, så somberegning af den kinetiske energi.

1.2.2 Kinetisk energi af et stift roterende legeme

Et stift legeme er en masse i bevægelse, hvorved den har en kinetisk energi.Denne energi kan udregnes vha. vinkelhastigheden ω, samt konceptet afInertimomentet I.

En formel for kinetisk energi bestående af disse komponenter kan findesved at forestille os legemet som bestående af en mængde partikler med mas-ser m1,m2, . . . ,mn og vinkelrette distancer r1, r2, . . . , rn til rotationsaksen.

Som vi så tidligere, så når et stift legeme roterer, så er hastigheden afdet i’te partikel:

vi = riω

Hvor ω er vinkelhastigheden af det stive legeme. Alle partikler har sammeω da legemet ellers ikke ville være stift, men har varierende vi og ri. Vi kanså opskrive den kinetiske energi af hver af disse partikler således:

Ki = 12miv

2i

= 12mir

2i ω

2

Hvor vi har indsat formlen for vi ovenfor.Den totale kinetiske energi K for det stive legeme er nu summen af alle

partiklers kinetiske energi, altså:

K =∑i

Ki

=∑i

12mir

2i ω

2

= 12(∑i

mir2i )ω2

Udtrykket i parantes ovenfor er nu det vi kalder Inertimomentet I, altsåsummen af alle partiklers masse gange deres kvadrerede afstand til rota-tionsaksen.

8

Man kan altså opskrive den kinetiske energi af et stift roterende legemesom:

K = 12Iω

2

Hvor I så afhænger af legemets form, samt rotationsaksen.

1.2.3 Inertimomentet

Inertimomentet har således stor betydning for den kinetiske energi i rota-tionsbevægelsen. Vi ved også, at et legemes kinetiske energi svarer til denmængde arbejder skulle til for at sætte den i bevægelse. Så vi kan se atjo større inertimoment, jo sværere er det at sætte en rotation i gang, menligeledes jo sværere er det at stoppe den igen.

Værdier for I kan findes i bogen, men disse er for legemer der er uni-forme - altså hvor densiteten antages at være den samme overalt i det fastemateriale af legemet. Det gør at man blot kan placere rotationsaksen nedigennem midten af legemet og så bruge en simpel værdi for I som f.eks.I = 1

2MR2 for en solid cylinder.I virkeligheden vil uniform densitet ofte være en urealistisk antagelse og

i virkeligheden har et legeme mangle inertimomenter, alt afhængig af rota-tionsaksen der vælges.

Parallel-akse TeoremetVælges en anden rotationsakse P end ned gennem massecentrum CM , såkan inertimomentet her nemt udregnes vha. Parallel-akse teoremet således:

IP = ICM +Md2

Hvor M er massen af legemet og d er distancen mellem P og CM .Beviset for dette teorem udelades grundet tilgængelig tid.

1.2.4 Kraftmoment

Nu vi har set på hvordan rotationel bevægelse fungerer statisk med konstantacceleration ved et stift legeme, så lad os nu gå videre og kigge på dyna-miken i rotationel bevægelse, startende med konceptet af et kraftmoment,eller Torque, som det kaldes på engelsk.

Kraftmomentet er i hvor høj grad en given kraft har tendens til at rotereet legeme omkring en akse. Ligesom der i linear mekanik skal bruges en

9

kraft for at skubbe eller hive et legeme i bevæglse, så skal der her bruges etkraftmoment for at hive eller skubbe på en løftestangs-arm for at skabe enrotation omkring aksen.

I den sammenhæng er ikke blot størrelsen af kraften og retningen vigtig,men også hvor den bliver pålagt. Dette illustreres af ovenstående tegning.Her kan vi se 3 forskellige krafter pålagt en skruenøgle, hvor det er tydeligtkraft ~Fb ville være den mest effektive, hvorimod en kraft som kraft ~Fc villevære helt nyttesløs.

Et kraftmoment skal således bruge en løftestangsarm, en retning og enmagnitude af kraften, hvorved vi kan opskrive definitionen af kraftmoment-vektoren således:

~τ = ~r × ~F

Hvor ~F er kraftvektoren, ~r er positionsvektoren til punktet hvorpå kraft-vektoren påføres og ~τ er det resulterende kraftmoment. Vi kan således ogsåse, at ~τ er vinkelret i forhold til både ~r og ~F , og dens præcise retning kanfindes vha. højre-hånds reglen.

En illustration af kraftmoment konceptet kan ses her:

10

Hvis man så vil udregne magnituden af dette kraftmoment ~τ så kan detgøres på 3 forskellige måder:

τ = Fl

τ = Fr sin(φ)τ = Ftanr

Hvor l = r sin(φ) er løftestangsarmen, F er magnituden af kraftvektoren ~Fog Ftan er det tangentielle komponent af F vinkelret på ~r. Her skal man dogførst beslutte sig for hvilken retning af kraftmoment er positiv (i.e. er meduret eller mod uret den positive retning).

Enheden for kraftmoment er Newton meter (Nm), hvilket ofte skrivessom Joule (J) når vi taler om energi eller arbejde. Men da det her hver-ken handler om energi eller arbejde, så noterer man blot kraftmoment somNewton meter.

1.2.5 Rotationel analog til Newtons 2. lov

Med definitionen på et kraftmoment på plads, så kan vi nu gå videre og ud-lede en af de fundamentale sætninger i rotationel dynamik af stive legemer.

Vi vil vise at vinkelaccelerationen af et roterende stift legeme er direktepropertionel til summen af alle kraftmoment-komponenter langs rotations-aksen. Denne proportionalitetsfaktor er Inertimomentet I. Vi prøver altsåpå at vise følgende: ∑

τz = Iαz

Hvis vi forstiller os vi har et legeme bestående af et stort antal partikler,hver med masse mi og distance ri til rotationsaksen z. Så kan vi bruge dissetil at bevise ovenstående.

Vi tager udgangspunkt i partikel 1 med masse m1 og afstand r1 til rota-tionsaksen. Den resulterende kraft på denne partikel har et komponent F1,rad

11

i den radiale retning, et komponent F1,tan der tangerer cirklen med radiusr1 hvori partiklen bevæger sig og et komponent F1z langs rotationsaksen.

Situationen er illustreret herunder:

Vi kan se at kun F1,tan bidrager med et kraftmoment mht. z-aksen, hvorvedvi bruger Newtons anden lov herpå:

F1,tan = m1a1,tan

Vi ved fra tidligere, at vi kan udtrykke den tangentielle acceleration somatan = rα, hvorved ovenstående bliver:

F1,tan = m1r1αz

Vi ganger herefter begge sider med r1, hvorved vi får:

F1,tanr1 = m1r21αz

Vi kan nu se, delen ovenfor med m1r21 er det samme som I1, altså inertimo-

mentet for den partikel. Derved får vi:

τ1z = I1αz

= m1r21αz

Denne opstilling kunne vi så lave for alle partikler i legemet og tage summenheraf som følgende: ∑

τiz = (∑

mir2i )αz

Den venstre side af ligningen er nu det samlede kraftmoment mht. rota-tionsaksen på alle partikler og den højre side er I =

∑mir

2i , det samlede

inertimoment for legemet omkring rotationsaksen, ganget med vinkelacce-lerationen, som er den samme for alle partikler i legemet da det er et stiftlegeme.

12

Altså har vi i sidste ende: ∑τz = Iαz

Som er den rotationelle analog af Newtons 2. lov for et stift legeme. Vi kanligeledes se at denne konklusion passer overens med vores initielle kommen-tarer ang. parallelerne til linear mekanik (i.e. det at kunne bytte m om medI og a om med α.)

Her bør det nævnes at az skal angives i rad/s2 grundet vi udledte denfra atan = rαz, samt at

∑τz kun indeholder eksterne kraftmomenter, da

interne kraftmomenter imellem partikler udligner hinanden pga. Newtons 3.lov og antagelsen om et stift legeme. (i.e. Interne krafter som ethvert paraf partikler udøver på hinanden i et stift legeme, er lig med hinanden ogmodsatrettede)

1.2.6 Kombineret translatorisk og rotationel bevægelse

Indtil videre har vi kun kigget på situationer med en stationær rotationelakse. Men hvad nu hvis rotationsaksen bevæger sig? I sådan et tilfælde talervi om, at legemet laver en kombineret translatorisk og rotationel bevægelse.

Når man skal beskrive sådanne situationer, så ved vi (fra bogen) atman til enhver tid kan beskrive enhver bevægelse af et stift legeme, somen kombination af translatorisk bevægelse af massecentrumet og rotationelbevægelse om en akse igennem massecentrumet.

Kinetisk energi

Hvor vi godt nok ikke har tænkt os at forsøge et bevis for at ovenståendegælder i alle tilfælde af bevægelse, så kan vi dog lave et bevis for at detgælder for den kinetiske energi af et stift legeme med både translatorisk ogrotationel bevægelse.

I tilfælde af kombineret translatorisk og rotationel bevægelse, så vil denkinetiske energi af legemet bestå af den kinetiske energi for bevægelsen afmassecentrum, samt den kinetiske energi for rotation omkring en akse igen-nem massecentrum. Altså er den samlede kinetiske energi:

K = 12Mv2

cm + 12Icmω

2

Dette kan vi bevise:

For at bevise ovenstående skal vi først tænke på det stive legeme somværende bestående en en stor mængde partikler. Hver af disse partikler harså igen en masse mi og en linear hastighedsvektor ~vi.

13

Denne hastighedsvektor ~vi er så vektorsummen af hastighedsvektoren formassecentrumet, samt hastighedsvektoren af partiklen relativ til massecen-trumet, altså:

~vi = ~vcm + ~vi′

Den kinetiske energi af denne partikel er så den velkendte 12miv

2i , som vi

også kan skrive som:

Ki = 12mi(~vi · ~vi)

Tager vi nu vektorsummen skreven ovenfor, så kan vi omskrive dette til:

Ki = 12mi( ~vcm · ~vi′) · ( ~vcm · ~vi′)

= 12mi( ~vcm · ~vcm + 2 ~vcm ·~i′ + ~vi

′ · ~vi′)

= 12mi(v2

cm + 2 ~vcm · ~vi′ + v′2i )

Vi har altså nu et udtryk for den kinetiske energi af en partikel. For at få densamlede kinetiske energi må vi så summere henover alle partikler. Dette gørvi ved at udtrykke de enkelte dele af ovenstående udregning som separatesummer og trække fælles faktorer udenfor summerne:

K =∑

Ki

=∑

(12miv

2cm) +

∑(mi ~vcm · ~vi′) +

∑(12miv

′2i )

= 12(∑

mi)v2cm + ~vcm · (

∑mi~vi

′) +∑

(12miv

′2i )

Her kan vi så se at∑mi bare bliver tilM da det er summen af alle partiklers

masser. Det midterste term går helt ud da∑mi~vi

′ er M gange hastigheds-vektoren for massecentrum relativt til sig selv, hvilket er 0 pr. definition.Og sidst men ikke mindst har vi det sidste term, som er identisk til det viallerede har vist til at være den kinetiske energi for et stift roterende legeme,altså: ∑

(12miv

′2i ) = 1

2Icmω2

Vi får derved i sidste ende, at den samlede kinetiske energi er:

K = 12Mv2

cm + 12Icmω

2

14

Rolling without slippingEt vigtigt eksempel på kombineret translatorisk og rotationel bevægelse er“rolling without slipping” eller rulning uden at glide på grimt dansk.

Rolling without slipping går ud på, at f.eks. et hjul ikke skrider imensdet roteres og fører en bil fremad. For at der er “rolling without slipping”, såskal der være øjeblikkelig stilstand (i.e. ~v1 = 0 der hvor hjulet er i kontaktmed vejen, således den ikke glider.)

Vi kalder den resulterende hastighedsvektor på dette sted for ~v1, hvor~v1 er i kontakt med vejen relativt i forhold til massecentrum og hvor ~v1

′ erdet rotationelle komponent, som så derved må have samme magnitude som~vcm, men med omvendt fortegn.

Hvis hjulets radius er R og vinkelhastigheden er ω, så er magnituden af~v1′ = Rω, hvorved vi skal have:

vcm = Rω


Rullende friktion

Et andet problem indenfor rotationelle bevægelser er konceptet af rul-lende friktion.

Lad os antage vi har en perfekt stiv sfære rullende ned af en perfektstiv hældning. Vi ville her have en situation hvor normalkraften passerer opigennem centrum af sfæren og derved ikke skaber noget kraftmoment, oggrundet der ikke er nogen glidning ved kontaktpunktet, så vil friktion ikkeudføre noget arbejde på sfæren.

En mere realistisk situation er dog, at sfæren eller hældningen er de-formerbar til en vis grad, så der derved vil dannes et form for “pile up”

15

foran sfæren. Dette “pile up” resulterer i at kontaktfladen nu ikke blot eret punkt, men nu nærmere et helt område, hvor normalkraften og friktio-nen så arbejder imod sfæren ved at normalkraften skaber et modsatrettetkraftmoment og friktionen skaber glidning, således mekanisk energi går tabt.Kombinationen af disse effekter er det vi kalder rullende friktion.

Konceptet illustreres herunder, omend deformeringen er voldsomt over-drevet (i virkeligheden kan vi oftest ignorere effekter fra rullende friktion):

1.2.7 Arbejde og effekt

Sidst men ikke mindst skal vi kigge lidt på det at udøve et arbejde på etroterende legeme.

Lad os forestille os vi har en tangentiel kraft ~Ftan der udøves på kantenaf en roterende disk. Denne disk roterer så en infinitesimal vinkel dθ omkringen fastsat akse i løbet af et infinitesimalt tidsinterval dt.

Arbejdet dW der udøves af ~Ftan når et punkt på diskens kant bevægersig en distance ds er:

dW = Ftands

Hvis dθ måles i radianer, så bliver ds = Rdθ og vi får:

dW = FtanRdθ

Som vi kan se er FtanR nu det kraftmoment τz der udøves af kraften ~Ftan,så vi får:

dW = τzdθ

Det totale arbejde W udført af dette kraftmoment under en vinkelafvigelsefra θ1 til θ2 er så:

W =∫ θ2

θ1τzdθ

16

Hvis kraftmomentet er konstant for vinkelafvigelsen ∆θ = θ2 − θ1 så kanfølgende formel benyttes i stedet:

W = τz∆θ

Arbejde W har her enheder af Joules.

Når man udfører et arbejde på et roterende stift legeme, så resultererdet i en forøgelse af den kinetiske energi, svarende til mængden af arbejdeudført.

Dette kan bevises ret nemt.

Tager vi τz til at være det resulterende kraftmoment på et legeme, såhar vi, at τz = Iαz jvf. den rotationelle analog af Newtons 2. lov.

Vi kan så bruge dette til at modificere integralet i formlen for W :

τzdθ = (Iαz)dθ

= Idωzdt

dθ

= Idθ

dtdωz

= Iωzdωz

Siden vi bestemte τz til at det resulterende kraftmoment, så er integralet iformlen forW det totale arbejde der udføres på det rotationelle stive legeme.Formlen bliver således:

Wtot =∫ ω2

ω1Iωzdωz

= 12Iω

22 −

12Iω

21

Ændringen i et roterende stift legemes kinetiske energi svarer altså til detarbejde der udføres herpå udefra.

Ud fra definitionen af arbejde W på roterende legemer, kan man ogsådefinere effekten P . Man tager bare følgende:

dW = τzdθ

Og dividerer begge sider med dt således man får:

dW

dt= τz

dθ

dt

17

Hvor P = dWdt , altså arbejde pr. tid. Og hvor ωz = dθ

dt , således vi får:

P = τzωz

Altså har vi, at når et kraftmoment τz arbejder på et legeme, der roterermed vinkelhastighed ωz, så er dets effekt (arbejde pr. tid) lig med produktetaf τz og ωz.

18

2 Impulsmoment og gyroskopet

2.1 Disposition

1. Impulsmoment Definition

2. Sammenhæng med kraftmoment Ændring af impulsmoment pr. tid er ækvivalent med kraftmo-

ment

3. Samlede størrelse af impulsmoment for et legeme Husk: symmetriakse påkrævet Ændring af total impulsmoment pr. tid er ækvivalent med sum-

men af kraftmomenter

4. Impulsmomentbevarelse

5. Gyroskopet Anvendelser Præcession Præcessions vinkelhastigheden

2.2 Detaljer


2.2.1 Impulsmoment

Vi skal til dette emne kigge på konceptet af impulsmoment og gyroskopet.Impulsmoment er den rotationsmæssige ækvivalent af impuls ~p = m~v i linearmekanik.

DefinitionFor en partikel med masse m, hastighedsvektor ~v, impuls ~p = m~v og enpositionsvektor ~r for et selvvalgt origo O, så er impulsmomentet ~L defineretsom:

~L = ~r × ~p= ~r ×m~v

Værdien for impulsmomentet afhænger altså af det valgte origo O og enhe-derne for ~L er kg ·m2/s. Konceptet illustreres herunder, med impulsmomen-tet vinkelret på xy-planet (fordi m~v er i xy-planet og krydseproduktet giveren vektor vinkelret på planet):

19

Hvilken retning impulsmomentet er i kan findes vha. højre-hånds reglen.

Magnituden af et impulsmoment ~L kan nu udregnes som:

L = mvl

= mvr sin(φ)

Hvor l er den vinkelrette linje fra linjen af ~v til origo O, som vist på illustra-tionen. Dette l fungerer så som løftestangs-arm for impulsvektoren ~p ligesommed kraftmoment, som er defineret som τ = ~r × ~F .

2.2.2 Sammenhæng med kraftmoment

Denne sammenhæng med kraftmoment er også yderst relevant her, da vikan vise at ændringstakten (i.e. ændring pr. tid) af impulsmoment af enpartikel er lig med kraftmomentet for den resulterende kraft der udøves påden.

Dette kan vi se ved at differentiere ~L i forhold til tid:

d~L

dt=(d~r

dt×m~v

)+(~r ×md~v

dt

)= (~v ×m~v) + (~r ×m~a)

Det første led ovenfor bliver 0 da det indeholder vektorproduktet af ~v medsig selv, så det led går ud. I det andet led derimod kan vi erstatte m~a med~F hvorved vi får udtrykket for kraftmoment:

d~L

dt= ~r × ~F

= ~τ

For en partikel arbejdet på af en resulterende kraft ~F .

20

2.2.3 Samlede størrelse af impulsmoment for et legeme

Vi kan nu bruge udtrykket for magnituden af impulsmomentet til at bestem-me det totale impulsmoment for et stift legeme roterende omkring z-aksenmed vinkelhastighed ω.


Vi starter altså med at tage en tynd skive af legemet liggende i xy-planet.Hver partikel heri bevæger sig så rundt i en cirkel med centrum i origo ogdens hastighedsvektor ~vi = ~riω er så konstant vinkelret på positionsvektoren~ri. Derved har vi at vinklen φ = 90, hvorved sin(90) = 1, så udtrykket formagnituden af impulsmomentet for partiklen bliver:

Li = miviri

= mi(riω)ri= mir

2i ω

Ud fra tegningen kan vi se, at retningen af impulsmomentet så er ud afpapiret (i.e. z+) grundet højre-hånds reglen.

Det samlede impulsmoment af denne tynde skive af legemet er nu sum-men af impulsmomenter for alle partikler, altså:

L =∑

Li

= (∑

mir2i )ω

21

Hvor vi kan se det første led, nemlig summen ovenfor, er definitionen på detsåkaldte inertimoment I, således vi kan omskrive ovenstående til:

L = Iω

Hvor I er inertimomentet af skiven omkring z-aksen.Altså kan vi udregne det samlede impulsmoment for denne tynde skive

vha. ovenstående og vil kunne gøre det for alle andre tynde skiver parallelletil xy-planet. Men hvad nu hvis et punkt ikke er i xy-planet, således ~r fordet punkt har et z-komponent. Så vil impulsmomentet herpå nemlig have etkomponent der er vinkelret på z-aksen.

For at løse dette skal vi antage, at z-aksen er en såkaldt symmetriakse,altså hvor to punker på hver sin side af aksen med samme distance er iden-tiske. Ved at gøre dette sikrer vi, at hvor enkelte partikler på hver side afaksen kan have impulsmomenter der ikke peger i retning af rotationsaksen,så vil deres vektorsum gør det. Dette illustreres herunder:

Således kan vi sige, at har vi et stift legeme der roterer omkring en symme-triakse, så kan vi udregne det totale impulsmoment som:

~L = I~ω

Analog til før kan vi igen udregne ændringen af impulsmoment pr. tidfor en mængde partikler, hvilket er summen af alle kraftmomenter på departikler, eller:

∑~τ = d~L

dt

Hvor summen ovenfor vel og mærke kun indeholder eksterne kraftmomenter,da de interne annulerer hinanden grundet Newtons 3. lov.

22

Hvis dette system af partikler er et stift legeme roterende om en sym-metriakse z, så er Lz = Iωz og I er konstant. Derudover hvis aksen har enfast retning, så vil vektorne ~L og ~ω kun ændre sig i magnitude, men ikke iretning. I det tilfælde får vi så at:

∑~τ = d ~Lz

dt

= Id ~ωzdt

= Iαz

Hvilket er den rotationelle analog af Newtons 2. lov.

Hvis vi arbejder med en situation hvor vi har et stift legeme, men ikkehar en symmetriakse. Så vil ~L generelt ikke være paralellel til rotationsaksen.I stedet vil enkelte partiklers impulsmomenter Li forme en kegle omkringrotationsaksen hvorved der skal et eksternt resulterende kraftmoment til atholde rotationen i gang. Denne situation illustreres herunder:

2.2.4 Impulsmomentbevarelse

Konceptet af impulsmomentet former basisen for konceptet af impulsmo-mentbevarelse, som er en lov der gælder for alle niveaur, helt fra atomartniveau op til bevægelser af galakser.

Princippet følger direkte af:

∑~τ = d~L

dt

For hvis∑~τ = 0, så må d~L

dt = 0 og ~L må derved være konstant. Vi kansåledes opskrive dette som:

23

Når det resulterende eksterne kraftmoment der udø-ves på systemet er 0, så er det totale impulsmoment afsystemet konstant og bevaret.

Dette resultat kender vi fra ting som en isskøjteløber der roterer omkringsig selv (z-aksen), hvor den eneste eksterne kraft på hende er hendes vægt,som ikke udøver et kraftmoment i forhold til z-aksen.

Lad os så antage hun til at starte med har hendes arme og ben ude,hvorved hendes inertimoment Icm = I1 er stort, og så hun pludselig vælger attrække arme og ben til sig, resulterende i et væsentligt mindre inertimomentIcm = I2.

Denne ændring sker imens hun stadig intet eksternt kraftmoment har påhende, hvorved Lz = Icmωz er konstant, så den eneste mulighed er at hendesvinkelhastighed ωz forøges når hendes inertimoment Icm formindskes, da:

I1ω1z = I2ω2z

2.2.5 Gyroskopet

Sidst men ikke mindst skal vi kigge lidt på gyroskopet, som er en enhed tilat måle og vedligeholde orientering. Vi kender dem fra en række forskelligeting i dagligdagen, som f.eks. store ting som i fly (til automatpiloten), menogså i mindre ting som en Wii Remote og visse telefoner som iPhone 4 ogMotorole Droid Pro.

På illustrationen nedenfor kan ses et simpelt gyroskop:

Hvis vi i dette tilfælde holder aksen med svinghjulet horisontal og så giverslip, så vil vi se at den falder til jorden grundet tyngdekraften på svinghjulet(i.e. ~w). Tager vi i stedet først og roterer svinghjulet inden vi giver slip, så vilden derimod ikke falde, men i stedet sandsynligvis bevæge svinghjulet rundtom z-aksen i en jævn cirkulær bevægelse. Denne ikke-intuitive bevægelsekaldes Precession.

24

PræcessionFor at forstå præcession skal vi huske konceptet af impulsmomentbevarelsemed formlen: ∑

τz = d~L

dt

Lad os starte med at bruge denne til at undersøge situationen hvor sving-hjulet ikke bevæger sig på forhånd.

Vi tager origo O til at være pivoten og antager af svinghjulet er symme-trisk, med masse M og inertimoment I omkring svinghjulets akse. Sving-hjulets akse er initielt x-aksen. De eneste eksterne krafter på gyroskopet ernormalkraften ~n der udøves på pivoten (som vi forresten antager er frik-tionsløs) og vægten ~w på svinghjulet der udøves ved dets massecentrum i enafstand på r fra pivoten.

Normalkraften udøver intet kraftmoment på pivoten og vægten udøveret kraftmoment ~τ i y-retningen. Initielt er der ingen rotation og det initielleimpulsmoment ~Li er 0. Fra formlen for impulsmomentbevarelse har vi, at iet kort tidsinterval dt efter dette, er ændringen d~L af impulsmomentet:

d~L = ~τdt

Denne ændring er i y-retningen, da τ er i y-retningen. For hvert yderligeretidsinterval dt vil impulsmomentet ændre sig med yderligere d~L i y-retningenfordi kraftmomentet er konstant. Dette konstant stigende horisontale im-pulsmoment betyder, at gyroskopet roterer ned ad hurtigere og hurtigererundt om y-aksen indtil den rammer standen eller bordet den står på. Æn-dringen af impulsmomentet kan illustreres således for x og y:

Hvis vi nu i stedet kigger på hvad der vil ske hvis svinghjulet oprindeligtvar i bevægelse, så har vi et initielt impulsmoment ~Li der ikke er 0 og sidensvinghjulet roterer omkring dens symmetriakse, så følger ~Li også denne akse.Men hver ændring af impulsmomentet d~L er vinkelret på denne akse, da~τ = ~r × ~w er vinkelret på denne akse. Dette resulterer i en ændring af ~L,men ikke i dens magnitude.

Resultatet er derved, at aksen ikke falder og at aksen med svinghjuletroterer rundt om z-aksen. Dette kan ses herunder:

25

Som vi også kan se er ændringen af ~Li for hver iteration således, at den nyeLi+1 = ~Li + d~L, som er en infinitesimal ændring, hvorved kun retning ogikke magnitude ændres.

Derved vil gyroskopet præcessisere rundt, teoretisk set for evigt underantagelsen af en friktionsløs pivot.

Præcessions vinkelhastigheden

Den infinitesimale ændring d~L = ~τdt resulterer altså blot i at svinghju-lets akse roteres en lille vinkel dφ som vist herunder:

Denne vinkel dφ kan så skrives som dφ = |d~L||~L|

, og ændringsraten med hvilken

aksen bevæger sig er så dφdt , som vi kalder præcessions vinkelhastigheden Ω

og skriver som:

Ω = dφ

dt

=|d~L||~L|dt

= τzLz

= wr

Iω

26

Altså er præcessions vinkelhastigheden omvendt proportional til vinkelha-stigheden af spinnet omkring aksen, således et hurtigt spindende svinghjulresulterer i et gyroskop der præcissere langsomt og det at formindske spin-net får præcisseringen til at gå hurtigere. Vi kan desuden se, at forøger vivægten af svinghjulet, så skulle præcessionen gerne være hurtigere.

En antagelse vi har lavet ved gennemgangen er gyroskopet er dog, at ~Lkun er associeret med spinnet af svinghjulet, hvilket egentlig ikke er sandtda der også vil være et vertikalt komponent af impulsmomentet ved præces-sionen. Vi kan dog ignorere dette faktum såfremt præcessions vinkelhastig-heden Ω er markant mindre end vinkelhastigheden på svinghjulet ω, hvilketvi fint kan antage da store værdier af ω resulterer i små værdier af Ω.

Var det ikke tilfældet ville vi dog opleve effekter heraf som en hoppenop og ned, hvor den jævne cirkelbevægelse ikke længere ville være tilstede.

Et komplet schematic på et gyroskop kan ses herunder:

27

3 Mekanisk ligevægt og elasticitet

3.1 Disposition

1. Ligevægt 1. betingelse

∑ ~F = ~0 2. betingelse

∑~τ = ~0 for ethvert punkt

Statisk ligevægt

2. Tyngdepunkt Reminder: Massecentrum udledning Bevis: Massecentrum lig med Tyngdepunkt Find tyngdepunktet og Støtteområde

3. Elasticitet Stress, Strain og Elastisitetsmodulus Tensile stress Bulk stress Shear stress

4. Begrænsninger ved Hookes Lov Proportionalitetsgrænsen Elastiskse grænse Plastik deformation, Plastik adfærd og Permanent sæt. Fracture Point/Breaking Point Elastisks Hysterese

3.2 Detaljer


3.2.1 Ligevægt

Vi har i mange emner brugt meget tid på at diskutere hvordan legemerbevæger sig i respons til de krafter der arbejder på dem. Men ofte vil vihellere have et legeme er stabilt og bliver stående hvor det skal uden ataccelerere.

Et legeme der gør det siger vi er i ligevægt. For at et legeme er i ligevægter der 2 betingelser der skal gælde.

28

1. betingelse

Den første betingelse siger at vektorsummen af alle eksterne krafter ud-ført på legemet skal være ~0. Dette kan skrives således i vektorform:∑

~F = ~0

Eller således for de enkelte komponenter∑Fx = 0∑Fy = 0∑Fz = 0

2. betingelse

Den anden betingelse siger, at legemet ikke må have nogen tendens tilat ville rotere. Dette kommer af, at et stift legeme der ikke roterer om-kring et givent punkt har intet impulsmoment omkring det punkt, altså at~L = ~0. Hvis legemet ikke skal begynde at rotere, så skal ændringsraten afimpulsmomentet, d~Ldt også være 0.

Det betyder altså at∑~τ = ~0 for ethvert punkt, ellers er der ikke ligevægt.

Statisk ligevægtFor at der er ligevægt skal både betingelse 1 og 2 være opfyldt. Men derkan sagtens være ligevægt selvom legemet er i bevægelse. F.eks. er et fly iligevægt såfremt det flyver fremad med konstant hastighed, retning og højde.

Hvis et legeme står helt stille og opfylder betingelse 1 og 2, så siger videt er i statisk ligevægt. Flyet er derved ikke i statisk ligevægt.

3.2.2 Tyngdepunkt

I mange ligevægtsproblemer er den primære kraft der udøves på et objectsdens vægt. Vægten kommer selvfølgelig af tyngdekraften, som ~w = m~g, oger distribueret udover hele legemet. Så hvordan udregner vi et kraftmomentaf vægten?

Jo, det gør vi ved at antage, at alt vægten er placeret i et punkt, kaldettyngdepunktet.

Tyngdeaccelerationen ~g falder med højden, men hvis vi kan ignoreredette fald (grundet højden af legemet), så kan vi antage at et legemes tyng-depunkt er det samme som dens massecentrum.

29

Reminder: Massecentrum udledningBlot lige for at få det på plads inden vi går videre, så kan vi lige udlede hvadværdien for massecentrum er.

For en mængde n af partikler med masser m1,m2, . . . ,mn og koordina-ter (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . . , (xn, yn, zn), så kan vi udregne koordinater formassecentrum som:

xcm = m1x1 +m2x2 + . . .+mnxnm1 +m2 + . . .+mn

=∑imixi∑imi

ycm = m1y1 +m2y2 + . . .+mnynm1 +m2 + . . .+mn

=∑imiyi∑imi

zcm = m1z1 +m2z2 + . . .+mnznm1 +m2 + . . .+mn

=∑imizi∑imi

Hvilket til sammen laver en positionsvektor ~rcm, som så er vores massecen-trum:

~rcm =∑imi~ri∑imi

Bevis: Massecentrum lig med TyngdepunktHvis vi så nu forestiller os kraftmomentet fra tyngdekraften på et arbitrærtlegeme som set herunder:

30

Vi antager tyngdeaccelerationen ~g er den samme ved ethvert punkt af lege-met. Hver partikel i legemet oplever nu en gravitationelt kraft og den totalevægt af legemet er summen af alle disse partiklers vægt.

En typisk partikel i legemet har masse mi og vægt ~wi = mi~g. Hvis ~ri erpositionsvektoren for denne partikel i forhold til et arbitrært origo O, så erkraftmoment vektoren ~τi af vægten ~wi i forhold til O følgende:

~τi = ~ri × ~wi

= ~ri ×mi~g

Det totale kraftmoment for alle partikler er så:

~τ =n∑i

τi

= ~r1 ×m1~g + ~r2 ×m2~g + . . .+ ~ri ×mi~g

= (m1 ~r1 +m2 ~r2 + . . .+mn ~rn)× ~g

=(

n∑i

mi~ri

)× ~g

Tager vi nu det her og dividerer med∑ni mi, samt ganger med M , så får vi:∑n

i mi~ri∑ni mi

×M~g

Ser vi på resultatet her, så kan vi se at den første del blot er positionsvek-toren rcm og anden del er vægten af hele legemet ~w = M~g. Derved får vi atovenstående bliver:

~τ =∑ni mi~ri∑ni mi

×M~g

= rcm × ~w

Det totale gravitationelle kraftmoment er altså det samme som havde altvægten været placeret i massecentrum, som vi kalder tyngepunktet.

Vi får derved følgende sætning:

Hvis ~g har samme værdi på alle punkter af et legeme,så er dets tyngdepunkt lig med dets massecentrum.

31

Find tyngdepunktet og StøtteområdeHvis vi ikke arbejder med en simpel form, så kan det ofte være nødvendigtat bruge andre midler end massecentrum til at vurdere tyngdepunktet. Ennem eksperimentiel fremgangsmåde er at hænge et objekt op fra en fingere.lign. Her tegner man så en streg ned fra ophængningspunktet, vender ob-jektet om og gør det for et andet punkt også. Derved får man 2 linjer dermødes et givent sted. Der hvor de mødes er der hvor tyngdepunktet er.

En anden måde at gøre det på er hvis et givent objekt har flere støt-tepunkter, som f.eks. 2 snore det hænger i eller 2 hjul på en vej. Her ertyngepunktet så et sted imellem disse støttepunkter hvis legemet er i lige-vægt. Er det ikke dette vil det pågældende legeme vælte, som f.eks. for de3 køretøjer herunder, hvor kun den første er i ligevægt:

3.2.3 Elasticitet

Det bringer os så videre til anden del af spørgsmålet, nemlig elasticitet.Hvor stive legemer gør visse beregninger og udledninger nemmere, så er

det en idealiseret model der ikke reelt holder i virkeligheden. I virkelighedenkan legemer deformeres i mindre eller højere grad, alt afhængig af materiale.

Der er grundlæggende 3 måder hvorpå vi kan få deformation:

Tensile stress: Hvor legemet bliver strakt eller sammenpresset vha. krafterder udøves på dets ender.

Bulk stress: Hvor legemet bliver presset fra alle sider, som legemer i envæske.

Shear stress: Hvor legemet bliver revet fra hinanden vha. modsatrettedekrafter der udøves på hver side af legemet (f.eks. en saks igennem etbånd)

For hver af disse måder har vi to koncepter:

32

Stress: Beskriver styrken af den kraft der skaber deformationen, på en“kraft pr. enhedsareal”s basis

Strain: Beskriver den resulterende deformation.

Når stress og strain er små nok, så vil vi ofte se at de to er direkteproportionale, hvor deres proportionalitetskonstant så kaldes for en elastiskmodulus.

Dette generelle mønster kan formuleres således:

StressStrain = Elastisitetsmodulus

Ovenstående mønster er det vi kalder Hooke’s lov, som dog ikke er en lov,da det kun gælder i et begrænset antal tilfælde, som jeg vil komme ind påom lidt.

Vi har oftests set Hooke’s lov som formuleringen til brug ved strækningog sammentrækning af fjedre, altså:

F = −kx

Men den gælder også for andre ting end fjedre, omend den på ingen mådegælder generelt.

Tensile stressLad os starte med at kigge på tensile stress.

Tensile Stress, eller trækspænding, er hvor et legeme trækkes eller pressesi dets ender, som vist for objektet herunder:

33

Vi har altså en trækningskraft F⊥ der trækker objektet med ligelig magni-tude i modstridende retninger, hvorved der sker en deformation i form af ∆loveni den eksisterende længde l0. Vi siger at objektet er i spænding.

Tensile stress defineres så, som denne kraft F⊥ over tværsnitsarealet afobjektet, altså:

Tensile stress = F⊥A

Enheden af Tensile stress er så Pascal (Pa), hvilket er lig med 1N/m2.

Objektet ovenfor får således en ny længde l = l0+∆l, hvor at strækningenhar fundet sted i hele objektet og ikke blot i enderne. Vi siger derfor nu atobjektet har oplevet et strain, som er:

Tensile strain = l − l0l0

= ∆ll0

Da Tensile strain er forholdet mellem to længder er det en enhedsløs værdi.

Eksperimenter har vist, at for tilstrækkeligt små værdier for tenstilestress, så er stress og strain proportionale. Elasticitetsmodulusen ved Tensilestress kalder vi Young’s modulus og den defineres som:

Y = Tensile StressTensile Strain

= F⊥/A

∆l/l0

= F⊥A

l0∆l

Enhenden af Young’s Modulus er så Pascal (Pa) og jo større værdi forYoung’s Modulus jo sværere er det at strække et givent materiale da derskal en stor stress til for at pålægge et bestemt strain.

Hvis objektet ikke bliver trukket, men i stedet presset, så vær opmærk-som på alt det ovenstående stadig gælder, omend ∆l nu går den anden vejselvfølgelig. Dette koncept ses herunder:

34

Bulk StressHvis vi så kigger på Bulk stress nu, så er den anderledes i det, at alt pressetkommer ligeligt fra alle sider, hvilket resulterer i objektet bliver presset tilen mindre volumen.

Man kalder således ofte også bulk stress for “volume stress”, og bulkstrain for “volumen strain”.

Hvis et givent objekt er nedsunket i en væske, så udøver væsken en kraftdirekte vinkelret på objektet fra alle sider. Kraften F⊥ pr. areal som væskenudøver på objektet kaldes for trykket p i en væske:

p = F⊥A

For en given væske forøges trykket i væsken pr. dybde, således der er forskelpå trykket når objektet lige akkurat er nedsunket i væsken og ved 200 metersdybde.

Dette tryk resulterer så i en volumen deformering, hvor volume stresser forskellen i tryk ∆p og volume strain er den forholdsmæssige ændring ivolumen ∆V for objektet, i forhold til den oprindelige volumen V0, altså:

Volumen strain = ∆VV0

Ligesom med Tensile strain, så er Volumen strain et enhedsløst tal.

Når Hookes Lov gælder, så er elasticitetsmodulusen her så Bulk modulus,

35

eller Volumen modulus:

B = Volume StressVolume Strain

= − p

∆V/V0

Vi skriver minus foran udtrykket da ∆V altid er negativ og ∆p altid erpositiv.

Konceptet kan ses herunder:

Det reciproke af bulk modulusen kaldes Kompressabilitet og betegnes k:

k = 1B

= −∆V/V0∆p

= − 1V0

∆V∆p

Kompressabilitet er altså det fraktionelle fald i volumen pr. enheds stigningaf tryk. Enheden for Kompressabilitet er Pa−1.

For at et materiale gælder der så, at jo mindre bulk modulus og jo højerekompressabilitet, jo nemmere er det at sammenpresse et materiale til mindrevolumen..

36

Shear stressSidst men ikke mindst har vi shear stress, hvor et objekt deformeres vha.to modsatrettede tangentielle krafter, som trækker objektet i to forskelligeretninger.

Et eksempel er en saks der klipper et bånd over. En illustration af kon-ceptet kan ses herunder:

Vi har altså at shear stress er defineret således:

Shear stress =F‖A

Altså som det tryk der pålægges tangentielt i begge retninger ud fra objektetmed tværsnitsareal A. Enheden for Shear stress er kraft pr. enhedsareal.

Shear strain er således forholdet mellem forskydningen x skabt af shearstress og den transverse dimension h, altså:

Shear strain = x

h

Igen er strain her et enhedsløst tal. Hvis Hookes lov gælder har vi så densåkaldte shear modulus, som så er:

S = Shear StressShear Strain

=F‖/A

x/h

=F‖A

h

x

Shear modulus værdier er typisk 13 til 1

2 størrelse af Young’s modulus, ogdet bør nævnes, at Shear stress, shear strain og shear modulus kun givermening for faste stoffer.

37

3.2.4 Begrænsninger ved Hookes lov

Sidst men ikke mindst, lad os kigge på nogle begrænsninger ved Hookes Lov.Hookes Lov, omend nyttig, gælder kun for et begrænset område. Der er

selvfølgelig den simple overvejelse, at Hookes lov ikke kan gælde generelt,da vi derved ikke ville kunne knække ting eller rive ting i stykker. Så der erhelt sikkert et break point af en art, men vi kan faktisk være mere præcisend det.

Vi kan undersøge Hookes Lovs gyldighed, ved at plotte Stress i forholdtil Strain, for et givent materiale under spænding. Det er hvad der er gjortherunder:

Som vi kan se gælder Hookes Lov kun op til det vi kalder Proportiona-litetsgrænsen (Proportional limit), hvorefter Stress og Strain ikke længereer proportionelle. Vi snakker altså under 1% deformering hvor Hookes Lovgælder, derefter gælder den ikke.

Fra det punkt af fejler Hookes Lov, og efter den Elastiske grænse, somogså vises på grafen, så vil en given deformering af materialet være perma-nent og eventuelt fjernelse af spændingen til det punkt vil ikke lede strainned til 0% igen. Man har altså pålagt materialet så meget stress, at det isidste ende er blevet permanent deformeret. Denne adfærd kaldes for Pla-stikadfærd og resulterer i et nyt “Permanent sæt”, i.e. et nyt startpunkt forStrain hvis materialet bliver udsat for spænding påny.

Alt yderligere spænding efter den elastiske grænse vil resultere det mankalder Plastisk deformering og ved et vis punkt vil selve materialet begyndeat falde fra hinanden til trods for stress holdes konstant, eller sågar falder.Det er det vi ser til sidst på grafen.

Desuden kan også ses at der defineres et “Fracture point”, “Breakingpoint” eller hvad man nu vil kalde det. Det er det tidspunkt til hvilket ma-terialet vil decideret knække. Alt afhængig af hvor tæt dette punkt er på den

38

Elastiske grænse kalder vi materialet for Duktilt eller Skrøbeligt. Materialeti grafen ovenfor er f.eks. Duktilt, hvorimod noget som strenge på en guitarer Skrøbelige.

Sidst men ikke mindst kan ses Stress vs. Strain plottet nedenfor forvulkaniseret gummi:

Plottet viser at hvor gummiet tager en given mængde stress for at nå tilet bestemt strain, så skal den bruge mindre for at komme tilbage. Der skalaltså mere kraft til for at deformere materialet end der skal til for at detkommer tilbage til dets initielle tilstand.

Sådanne materialer er yderst nyttige i shock absorberende enheder. Kon-ceptet hvorved ovenstående virker hedder Elastisks Hysterese.

39

4 Gravitation og planetbevægelse

4.1 Disposition

1. Newtons Gravitationslov

2. Vægt og vægtløshed Tilsyneladende vægtløshed (kredsløb)

3. Gravitationel potentiel energi Escape speed

4. Sorte huller Schwartzchild radius

5. Satelitbaner Udledning af hastighed, periode og mekanisk energi

6. Keplers love 1. lov: Ellipsebaner (kort) 2. lov: Sekterhastighed 3. lov: Omløbstid (kort) Bevægelse om fælles massemidtpunkt

4.2 Detaljer


4.2.1 Newtons Gravitationslov

Dette emner handler om gravitation og planetbevægelse, så lad os startemed at kigge på den grundlæggende lov inden for dette felt, nemlig NewtonsGravitationslov.

Newton siger, at enhver partikel i universet tiltrækker enhver anden par-tikel i universet med en kraft der er direkte proportionel til produktet afmasserne af disse partikler og invers proportionelt til kvadratet af distancenimellem dem - eller som formel:

Fg = Gm1m2r2

Hvor Fg er magnituden af gravitationskraften på begge partikler m1 og m2,og G er gravitationskonstanten, som udelukkende afhænger af det enheds-system vi bruger (SI eller CGS f.eks).

Konceptet illustreres herunder:

40

Det betyder således, at vi til enhver tid påvirkes af gravitationskraften fraalle partikler i universet, men fordi ting som kæmpemæssige stjerner erså langt væk, så er deres påvirkning af os negligjerbar. I stedet er blotpåvirkningen af jorden dominerende for objekter på jorden og solen, voresstjerne, er dominerende for jorden selv.

Newtons Gravitationslov betyder også, at jorden til enhver tid løfter sigop imod os hvis vi falder imod den. Men fordi dens masse er så meget størreend vores, så er dens acceleration så meget mindre, hvorved denne effektikke er visuelt påviselig.

Vi omtalte ovenfor gravitationsloven som værende gældende for 2 par-tikler, men den gælder i lige så høj grad for 2 sfæriske symmetriske massedi-stributioner, da resultatet her er det samme som havde deres masser væretsamlet i deres massemidtpunkter. Dette gælder dog kun hvis det ene af de toobjekter vi måler for er uden for den andens sfære, da vi ellers har effekterfra masser på begge sider (i.e. beregningen gælder ikke hvis en partikel erhalvvejs inde mod jordens centrum, da der her også er masse på vej ud modoverfladen).

Så hvis vi modellerer jorden som et sfærisk symmetrisk legeme med mas-se mE , så kan vi udregne den kraft den udøver på en partikel eller et andetsfærisk symmetrisk legeme med masse m og distance r imellem deres mas-semidtpunkter, som:

Fg = GmEm

r2

Alt dette kan bevises, omend jeg ikke har tænkt mig at forsøge det.Beviset står i bogen. Konceptet illusteres dog herunder:

41

At dette resultat er nyttigt kan nemt ses ved at observere, at alle størrehimelske objekter er sfæriske. Det bliver de nemlig hen af vejen af sig selvhvis massen er stor nok, da alle partikler forsøger at tiltrække hinanden ogminimere distancerne imellem sig, hvorved legemer naturligt vil forsøge atforme sig til en sfære.

Dette fænomen er mindre til stede i små himelske objeter som kometerog små måner, da masserne her er for små.

4.2.2 Vægt og vægtløshed

Det bringer os så videre til konceptet af vægt. Hvor man på jorden, i normaletilfælde, ville betegne vægten som den gravitationelle kraft der pålægges etobjekt grundet dens masse og tyngdeaccelerationen (i.e. ~w = m~g), så er enmere korrekt betegnelse:

Vægten af et legeme er den totale gravitationelle kraftudført på legemet af alle andre legemer i universet

Grunden til vores simple betegnelse virker er, at vi nær jordens overflade kanignorere effekten fra andre legemer i universet, da de bidrager i negligjerbargrad sammenlignet med jorden.

Ligeledes ville vi kunne ignorere effekten fra jorden, hvis vi havde ståetpå månen f.eks.

Hvis vi igen modellerer jorden som et sfærisk symmetrisk legeme, medradius RE og masse mE , så kan vi udregne vægten w for et mindre legeme

42

med massen m ved jordens overflade (i.e. RE fra centrum af jorden), som:

w = Fg = GmEm

R2E

Her kan vi se at det er samme grundlæggende formel som den vi benænvteførst, hvorved vi kan trækkem væk og se at tyngdeaccelerationen ved jordensoverflade må være:

g = GmE

R2E

Vi kan således også tage formlen for vægt ovenfor og erstat RE med r,således vi kan udregne hvad vægten af et givent legeme er i en afstand r fracentrum af jorden:

w = Fg = GmEm

r2

Vægten af et legeme falder altså omvendt proportionalt med kvadratet afdets afstand til jordens centrum.

VægtløshedDet er dog ikke af denne grund, at astronauter i kredsløb om jorden virkervægtløse. Man kunne tro det ud fra ovenstående, men for reelt have havevægt 0 skulle en astronaut være uendeligt langt fra enhver anden masse,således dennes samlede eksterne gravitationelle krafter var 0.

I stedet skyldes den tilsyneladende vægtløshed hos astronauter i kredsløb,at de i virkeligheden er i gang med frit fald omkring jorden. Den tilsynela-dende vægt af en person i kredsløb om jorden er

~w = ~w0 −m ~arad

= m~g0 −m ~arad

Hvor w0 er vægten havde personen stået stille på jordens overflade og ~arader den centripetale acceleration, der peger ind mod centrum af den jævnecirkulære bevægelse (i.e. jorden).

Vi ved så her, at hvis personen er i kredsløb om jorden, så er ~arad ligmed tyngdeaccelerationen ~g0, i.e.:

~g0 = ~arad

og den tilsyneladende vægt er derved

~w = m~g0 −m ~arad

= ~0

Derved er en person i kredsløb om jorden tilsyneladende vægtløs. Dette gæl-der uanset formen af kredsløb omkring jorden og gælder uanset om personener i kredsløb alene eller inde i et rumfartøj.

43

4.2.3 Gravitationel Potentiel Energi

Det bringer os så videre til et koncept vi skal bruge, nemlig den gravitatio-nelle potentielle energi.

Vi har det simple udtryk for potentiel energy, nemlig U = mgy. Mendette udtryk antager vi har en fastbestemt retning og magnitude af dengravitationelle kraft, hvilket vi ved vi ikke har grundet Newtons gravita-tionslov:

Fg = GmEm

r2

Hvor tyngdekraften afhænger af afstanden til jordens centrum r.

Vi skal derfor have et nyt udtryk for gravitationel potentiel energi, somvi får ved at antage vi har et legeme med masse m udenfor jordens sfæreog så udregner det arbejde Wgrav der udøves af den gravitationelle kraftnår legemet bevæger sig direkte væk fra eller hen mod jordens centrum frar = r1 til r = r2. Det arbejde er givet ved:

Wgrav =∫ r2

r1Frdr

Hvor Fr er det radiale komponent af gravitationskraften ~F , altså kompo-nenten med retning direkte ud fra centrum af jorden. Da ~F peger indadmod jordens centrum, så er Fr altid negativ. Det er altså blot den negativeækvivalent af Fg, i.e.:

Fr = −GmEm

r2

Så hvis vi nu tager dette udtryk og indsætter for Fr i formlen for Wgrav, såfår vi:

Wgrav =∫ r2

r1Frdr

= −GmEm

∫ r2

r1

dr

r2

= GmEm

r2− GmEm

r1

Dette kan vi så bruge til at udtrykke den tilsvarende gravitationelle poten-tielle energi U , da Wgrav = U1 − U2. Hvis vi kigger på udtrykket ovenfor,kan vi så se, at den gravitationelle potentielle energi må være:

U = −GmEm

r

Vi kan således se, at bevæger et legeme sig væk fra jorden vil r forøges,

44

den gravitationelle kraft udøver negativt arbejde og U forøges. Når legemetbevæger sig mod jorden vil r formindskes, den gravitationelle kraft udø-ver positivt arbejde og U formindskes. Dette illustreres også ud fra grafenherunder:

Vi kan nu bruge generelle energirelationer sammen med dette, til atudlede forskellige ting vi har behov for, som f.eks. escape speed for jorden.

Escape speedEscape speed, eller undvigelseshastigheden, som det hedder på dansk, erden minimum hastighed der skal til for at et legeme kan flygte fra en planetfuldstændig.

Vha. formlen for gravitationel potentiel energi og formlen for energibe-varelse, kan vi finde et udtryk for undvigelseshastigheden for jorden somfølger.

Vi starter med energibevarelsen hvor punkt 1 er det sted hvor legemetsendes afsted fra (f.eks. en kanon) med en given hastighed v1. Ved dettepunkt er distancen til jordens centrum r1 = RE og massen af legemet er m.Punkt 2 er så et sted uendeligt langt fra jorden med r2 = ∞ og v2 = 0. Vihar altså:

K1 + U1 = K2 + U2

Hvor K1 er den normale formel for kinetisk energi, U1 er den gravitationellepotentielle energi og både K2 og U2 er 0, da vi ikke ønsker der skal væremere kinetisk energi tilbage ved r2 =∞ og fordi U2 hertil er defineret til at

45

være 0. Ergo får vi:

12mv

21 +

(−GmEm

RE

)= 0

⇓

v1 =√

2GmE

RE

Hvilket er jordens undvigelseshastighed. Erstattes mE og RE med ækvi-valente værdier for andre planeter, så kan det også bruges til at udregneundvigelseshastigheden for disse.

4.2.4 Sorte huller

Det bringer os så videre til sorte huller. Sorte huller er interessante himmel-ske legemer i det at de er så massive på så lille et område, at deres graviationgør intet kan undslippe dem - ikke engang lys.

Dette opstår når undvigelseshastigheden for det pågældende legeme erså høj, at det overstiger lysets hastighed. Ud fra formlen for undvigelsesha-stighed kan vi se, at undvigelse kun afhænger af massen og af radius af etgivet legeme, og altså ikke af det materiale der forsøger at slippe væk fralegemet.

Schwarzchilds radiusHar vi således et sfærisk legeme med masse M , så kan vi udregne til hvilkenradius legemet skal være mindre end for at blive et sort hul. Denne radiuskaldes for Schwarzchilds radius (RS) og kan udledes vha. Einsteins generellerelativitetsteori. Den kan også findes, lidt ved en tilfældighed, ved at sætte vi formlen for undvigelseshastighed til lysets hastighed c og løse for radiusenR, således man får:

c =√

2GMRS

⇓

RS = 2GMc2

Så hvis et givent sfærisk, ikke-roterende, legeme med masseM har en radiusmindre end RS , så kan intet - selv ikke engang lys, undvige fra legemet.

Desuden vil alt inden for en radius af RS fra centrum af det sorte hulblive trukket mod det sorte hul i sådan en grad at det ikke kan undvige.Kanten hvortil RS går kaldes for Event Horizon af det sorte hul.

46

Da lys ikke kan slippe ud fra sorte huller, så kan man ikke observere demdirekte. I stedet observerer man hvorledes deres gravitationskraft påvirkerandre legemer i nærheden af dem o.lign. Eksempelvis mener man der eksi-sterer et enormt sort hul i centrum af mælkevejen. Noget man har observeretved at se hvorledes en del andre objekter roterer omkring dette tilsynela-dende usynlige objekt.

4.2.5 Satelitbaner

Vi har allerede talt om hvorledes satellitter holder dem selv i kredsløb oghvorfor det ikke er ægte vægtløshed, men jeg har til gengæld intet sagt omhvilken hastighed et kredsløb har, hvad perioden for et kredsløb er e..er hvadden totale mekaniske energi er for et kredsløb.

Vi har et satelitkredsløb om jorden herunder:

Som vi kan se er accelerationen vinkelret i forhold til hastighedsvektoren,hvorved hastigheden er konstant i en jævn cirkelbevægelse (OBS: Dette ek-sempel er for cirkulære kredsløb, omend principperne også gælder for ikke-cirkulære kredsløb).

Satelittens acceleration har magnituden arad = v2

r og er altid rettet indadmod cirklens centrum. Den resulterende gravitationskraft på en satelit medmasse m er:

Fg = GmEm

r2

Og har samme retning som accelerationen.

47

Tager vi nu og benytter Newtons anden lov (i.e.∑ ~F = m~a) så har vi:

GmEm

r2 = mv2

r

Hvorefter vi isolerer for v:

v =

√GmE

r

Som er hastigheden for en satelit i en given afstand r fra jordens centrum.

Dette udtryk bringer os så direkte videre til udtrykket for perioden af ensatelits kredsløb. Hvis vi opskriver hastigheden v som distancen 2πr vandreti en revolution, divederet med perioden T , så kan vi bruge det til at udregneT :

v = 2πrT

⇓

T = 2πrv

= 2πr√

r

GmE

= 2πr3/2√GmE

Altså kan vi se at større kredsløb resulterer i langsommere hastigheder andlængere perioder - hvilket er hvad vi intuitivt forventede.

Sidst men ikke mindst kan vi udregne den komplette mekanisk energiE = K + U for et cirkulært kredsløb direkte:

E = K + U

= 12mv

2 +(−GmEm

r

)= 1

2

(GmE

r

)− GmEm

r

= −GmEm

2rDen mekaniske energi i et cirkulært kredsløb er altså negativ og lig medhalvdelen af den potentielle energi.

4.2.6 Keplers love

Sidst men ikke mindst skal vi kigge kort på Keplers 3 love.

48

Fælles for dem alle er, at Kepler selv fandt frem til dem emperisk ogat de så senere er blevet bevist af Newton til at være udledninger fra hansgenerelle 3 love og gravitationsloven. At forsøge bevis af noget som helst afdette har jeg dog ikke tænkt mig. I stedet nævnes blot de 3 love herunder:

1. lov: EllipsebanerKeplers første lov siger, at alle planeter bevæger sig i elliptiske kredsløb,med solen som et fokus af ellipsen. Konceptet illustreres herunder:

En cirkel er så et “special-case” af en ellipse. Vi har altså her en planet Pder er i kredsløb omkring solen S, hvor S′ så blot er et andet fokuspunkthvor der ikke er noget. Halvstoraksen a er halvdelen af bredden i kredsløbetog ea er distancen mellem hvert fokuspunkt og centrum af ellipsen. e erher eccentriciteten for kredsløbet, hvor e = 0 betyder en cirkulær bevægelseog hvor de fleste planeter i virkeligheden har tæt på cirkulære bevægelser(f.eks. e = 0.007 for Venus). Det punkt hvor P er tættest på solen kalder viPerihelion og det sted hvor den er længst fra kalder vi for Aphelion.

Der gælder nu, at for hvert punkt på ellipsen vil summen af distancerneS til P og S′ til P være den samme.

Newton har senere bevist at de eneste mulige lukkede kredsløb er ellipserog cirkler, hvorved Kepler havde ret.

2. lov: Sektorhastighed

Keplers 2. lov siger, at linjen fra solen til en given planet spænder ligeligareal i ligelig tid.

49

Hvad det betyder er, at arealet en planet spænder med solen for 2 in-stanser af planetens position over en given tid, er den samme for den sammetidsforskel et andet sted i kredsløbet. Konceptet vises herunder:

Dette kan også mere præcist formuleres som at der i det lille tidsinterval dt,i en linje fra solen S til planeten P drejes en vinkel dθ. Området der spændesaf dette har længden r, længden på kredsløbsstykket rdθ og derved arealetdA = 1

2r2dθ. Dette ses nedenfor:

Denne udspænding af areal pr. tid kaldes for sektorhastigheden og skrivessom:

dA

dt= 1

2r2dθ

dt

Keplers 2. lov siger således at sektorhastigheden er den samme for alle punk-ter af kredsløbet. Dette sker ved at r er lille når planeten er tæt på solen,hvorimens dθ

dt og vice-versa når planeten er langt fra solen.

Det kan også vises at konklusionen om at sektorhastigheden er konstantbetyder at impulsmomentet i forhold til solen er konstant, omend jeg ikkevil vise dette.

3. lov: OmløbstidKeplers 3., og sidste, lov siger at perioden af planeterne er proportional tillængden af den halvestorakse for dets kredsløb i 3/2.

Eller skrevet mere matematisk:

T = 2πa3/2√GmS

50

Dette er blot en mere generel udgave af den vi allerede har vist for cirkulærekredsløb og så med ændringen af mE til mS da det her er solen vi er ikredsløb omkring og ikke jorden.

Bevægelse om fælles massemidtpunktSom en sidste bemærkning skal siges, at vi igennem alt dette har antagetat solen (o.lign. stjerner) er faste legemer der forbliver på samme positionkonstant.

Det kan naturligvis ikke være tilfældet, da en planet udøver en gravita-tionel kraft på solen med samme styrke men modsat retning, hvorved solentrækkes mod planeten. Så i virkeligheden har vi, at planeterne og solen ro-terer om et fælles central massemidtpunkt, der ligger tæt ved solen.


Grunden til vi kan ignorere denne effekt er, at solens masse er ca. 750 gangestørre end den totale masse af alle planeter i hele solsystemet. Derved vilsolen ikke variere kraftigt fra dette massemidtpunkt.

Viden om denne rotation omkring et massemidtpunkt er dog blevet brugtaf astronomer til at detektere planeter omkring stjerner, simpelthen vedat detektere denne slingring (wobbling) af stjernen, så hvor den for voresberegningsmæssige interesser er ligegyldig, så hjælper den til at detekterenye planeter o.lign. objekter omkring stjerner.

51

5 Periodisk bevægelse

5.1 Disposition

OBS: Her kunne også siges noget om tvungne oscilleringer og resonans, meni så fald holder jeg det til hvad jeg kan fra hukommelsen.

1. Periodiske bevægelser Genoprettende krafter Amplitude, Periode, Frekvens og Vinkelfrekvens

2. Simpel harmonisk bevægelse Definition x(t) diff ligning (+hastighed/acceleration) Periode og frekvens

3. Energien i harmonisk bevægelse

4. Penduler Det simple pendul Det fysiske pendul

5. Dæmpede svingninger Over-, under- og kritisk dæmpning Energien

6. Definition af dæmpning (diff. lign)

5.2 Detaljer


5.2.1 Periodiske bevægelser

Dette emne omhandler konceptet af periodiske bevægelser. En periodiskbevægelse opstår når vi har en forskydning fra ligevægtstilstanden og engenoprettende kraft der forsøger at bringe systemet tilbage til ligevægt.

Et typisk eksempel er en fjeder der trækkes ud fra dens ligevægtstilstandog så gives slip fra. Her vil vi se at en genoprettende kraft vil forsøge at træk-ke fjederen tilbage mod ligevægt. Når den når til denne ligevægtstilstand vilder ikke være nogen krafter der udøves på den i den retning, men fordiden allerede er i bevægelse vil den overskyde ligevægtstilstanden og gå modvenstre indtil accelerationen i den anden retning har sænket dens hastighed

52

tilstrækkeligt til den ændrer retning. Denne oscilering frem og tilbage sker iteorien for evigt, hvis det ikke var pga. friktion.


Amplitude, Periode, Frekvens og VinkelfrekvensVi har en række betegnelser/koncepter i periodiske bevægelser.

Amplitude: Amplituden af en bevægelse, skrevet A, er den maksimale for-skydning bevægelsen kan lave i en given retning. Det er altid en positivværdi og en komplet cyklus defineres som vandringen fra A, igennemO (ligevægt), til −A, tilbage igennem O og tilbage til A. En vandringfra A til −A kaldes en halvcyklus.

Periode: Perioden T er tiden for en cyklus. Den er altid positiv.

53

Frekvens: Frekvensen f er antallet af cykluser pr. sekund. Enheden forfrekvens er Hz.

Vinkelfrekvens: Vinkelfrekvensen ω = 2πf og har enheden rad/s.

Vinkelfrekvensen bør ikke misforstås for at være vinkelhastigheden ω,omend den i visse tilfælde fungerer sådan.

Vi kan desuden se forholdet mellem T og f er reciprokt:

f = 1T

T = 1f

Samt at definitionen for vinkelfrekvens kan skrives som:

ω = 2πf

= 2πT

5.2.2 Simpel harmonisk bevægelse

Det bringer os så videre til konceptet af en simpel harmonisk bevægelse.En simpel harmonisk bevægelse er en hvor den genoprettende kraft er

direkte proportional til forskydningen fra ligevægt. Et eksempel på dette eren ideal fjeder ved Hooke’s lov:

Fx = −kx

Hvor x er forskydningen og k er en kraftkonstant med enheden N/m.

Harmonisk bevægelser er vigtige, ikke fordi konstruktionen er bredt gæl-dende i virkeligheden, men fordi mange typer bevægelser kan antages atvære simple harmoniske bevægelser, hvorved det giver en god approksima-tion, såfremt amplituden er lille nok.

I tilfældet med Hookes lov må amplituden f.eks. ikke være så stor, atHookes lov ikke længere er i effekt, hvilket den kun er i et ret begrænset feltaf det mulige stress du kan pålægge en fjeder.

Bruges Newtons 2. lov på Hookes lov får vi nu:

F = ma = md2x

dt2= −kx

Hvor vi kan dividere medm på begge sider og få et udtryk for accelerationen:

ax = d2x

dt2= − k

mx

Vi har altså en differentialligning vi kan løse for at finde en funktion forx afhængig af tiden x(t).

54

x(t) diff ligningFor at finde en funktion for x(t) skal vi finde et x for hvilket den andenafledte heraf er − k

mx. Da vi ved x skal oscilere i cykluser fra A til −A ogtilbage igen, så kan vi regne ud vi skal bruge en eller anden oscillerendefunktion, som en sinusfunktion eller cosinusfunktion.

Vi skal desuden bruge at:

ω =

√k

m

ω2 = k

m

Den rigtige løsning til differentialligningen er som følger, hvilket vi kanverificere:

x = A cos(ωt+ φ)

Hvor A er amplituden, ω er vinkelfrekvensen, t er tiden og φ er faseforsky-delsen (i.e. vandret forskydelse).

Propper vi den ind i vores differentialligning ovenfor kan vi verificerehvorvidt det er en korrekt løsning. Så vi opskriver lige de to differentialer iforhold til t herunder:

x′ = dx

dt= −ωA sin(ωt+ φ)

x′′ = d2x

dt2= −ω2A cos(ωt+ φ)

Hvor vi desuden har vx = x′ og ax = x′′, forhåbentligt. Indsætter vi udtryk-ket i differentialligningen, og bruger formlerne for ω ovenfor, så får vi

d2x

dt2= − k

mx

⇓

−ω2A cos(ωt+ φ) = − kmx

− kmA cos(ωt+ φ) = − k

mx

Og da x = A cos(ωt+ φ) er de to udtryk lig med hinanden, hvorved vi harverificeret at det er en korrekt løsning.

Et plot for x(t) ses herunder:

55

Periode og frekvensSom tidligere nævnt er perioden T og frekvensen f reciproke af hinanden,altså at:

f = 1T

T = 1f

Men når vi ved frekvensen er antal cykluser pr. sekund, så kan vi også skriveden om til følgende for en simpel harmonisk bevægelse:

f = ω

2π = 12π

√k

m

Hvilket leder til følgende udtryk for perioden T i en simpel harmonisk be-vægelse:

T = 1f

= 2πω

= 2π√m

k

Altså kan vi se, at jo større masse m, jo lavere acceleration og derved jolængere tid til at gennemføre en komplet cyklus. Desuden kan vi se en stive-re fjeder (i.e. en med højere k) udøver mere pres ved en given forskydning xhvorved accelerationen mod ligevægt bliver større, hastigheden bliver størreog perioden T bliver mindre.

En anden vigtig observation er også, at ingen af ovenstående udtryk in-deholder amplituden A, men kun masse m og kraftkonstanten k. I simpelharmonisk bevægelse er perioden og frekvensen nemlig uafhængig af ampli-tuden A, da større A betyder forskydningen er større, hvilket betyder denrestorerende kraft er kraftigere, hvorved den gennemsnitlige hastighed overhele cyklusen forøges.

NTS: Angular SHMNote-to-self: Der findes en rotationel ækvivalent af Hookes lov for en spiral-fjerder brugt i ure o.lign. Beskrivelse og løsning for denne er 100% det sammesom for normal simpel harmonisk bevægelse, blot med omregningen fra li-near mekanik til rotationel mekanik, i.e. Fx = −kx bliver τz = −κθ og Θ i

56

stedet for amplituden A., således forskydningen θ skrives som:

θ = Θ cos(ωt+ φ)

Der bliver sikkert ikke spurgt til det, men just in case.

5.2.3 Energien i harmonisk bevægelse

Da de eneste krafter der udøves horisontalt i ovenstående harmonisk be-vægelse er fjederkraften og da de vertikale krafter udøver intet arbejde påfjederen (i.e. de udligner hinanden), så er den totale mekaniske energi afsystemet bevaret.

Vi kan altså sige at vi har energibevarelse i systemet, hvorved E = K+Uer konstant (OBS: U er den elastiske potentielle energi fra sektion 7.2):

E = 12mv

2x + 1

2kx2 = constant

Vi kan således se at E ved x = A (i.e. top amplituden) er 100% potentiel, ogved x = 0 er 100% kinetisk, men siden vi har energibevarelse, så er energienved x = A den samme som ovenstående, således vi kan skrive:

E = 12mv

2x + 1

2kx2 = 1

2kA2 = constant

Vi kan verificere gyldigheden af dette statement ved at indsætte værdi-erne for vx og x ovenfor, bruge ω2 = k

m og huske på at sin2(α)+cos2(α) = 1,således:

E = 12mv

2x + 1

2kx2

= 12m [−ωA sin(ωt+ φ)]2 + 1

2k [A cos(ωt+ φ)]2

= 12kA

2 sin2(ωt+ φ) + 12kA

2 cos2(ωt+ φ)

= 12kA

2

Nedenfor er et plot af energien i forhold til forskydning x. Som vi kan seer E = K + U konstant:

57

5.2.4 Penduler

Der findes andre ting end lige netop fjedre der er approksimationsmæssigtharmoniske bevægelser. To eksempler på dette er det simple pendul og detfysiske pendul.

Det simple pendulDet matematiske pendul er en idealiseret model hvor vi har et objekt hæn-gende fra en masseløs, ustrækkelig streng. Objektet har massem og bevægersig i en cirkulær bane med L som længden af strengen og bevæger sig envinkel θ hvilket resulterer i en buelængde på x = Lθ.


58

Den restorerende kraft er i dette tilfælde så det tangentielle komponenttil den resulterende kraft:

Fθ = −mg sin θ

Men som vi kan se er den altså ikke proportionel til forskydningen x = Lθ,så hvorfor er dette alligevel et eksempel på harmonisk bevægelse? Fordi θog sin(θ) for små vinkler er meget tæt på hinanden. Tager vi f.eks. θ = 0.1rad (ca. 6), så er sin(θ) = 0.0998, altså kun 0.2% anderledes.

Så med den approksimation kan man i stedet skrive den restorerendekraft op som:

Fθ = −mgθ

= −mg xL

= −mgLx

Hvor den i den sidste variant ovenfor ligner Hookes lov mistænkeligt meget,blot hvor k = mg

L . Fra det kan vi udregne vinkelfrekvensen, frekvensen ogperioden til at være:

ω =

√k

m=

√mg/L

m=√g

L

f = ω

2π = 12π

√g

L

T = 2πω

= 1f

= 2π√L

g

Her kan man lægge mærke til, at massen m ikke indgår i nogen af oven-stående formler. Det skyldes at den restorerende kraft er proportional til mhvorved Newtons 2. lov kommer til at have m på begge sider, hvorved deudligner hinanden. Det er samme begrundelse der ligger bag hvorfor tingmed forskellige masser falder med samme hastighed i et vacuum.

Endnu engang vær dog opmærksom på, at ovenstående kun gælder forsmå vinkler, som illustreret herunder:

59

Det fysiske pendulDet fysiske pendul er ethvert reelt pendul med en krop af en bestemt stør-relse, modsat det idealiserede simple pendul hvor vi antager al massen ersamlet et sted.

Jeg vil ikke gå i detaljer om hvordan det fysiske pendul virker, men prin-cippet her er dog det samme. Det fysiske pendul er approksimerbart simpeltharmonisk såfremt vi arbejder med små vinkler.

(Note-to-self: Det er basalt set bare som det simple pendul, men medden rotationelle terminologi i stedet - i.e. τz i stedet for Fx, I i stedet for mo.lign.)

En illustration af det fysiske pendul er herunder:

5.2.5 Dæmpede svingninger

Som en af de sidste ting vil jeg lige snakke om dæmpede svingninger. Alleoscilleringssystemer vi har talt om ovenfor er idealiseret i den forstand, atde blankt ignorere ting som friktion o.lign. I virkeligheden vil der altid væ-re en dæmpning af en svingning, hvor man vil se et fald i amplituden over tid.

Udover vores normale Fx = −kx så får vi altså også en yderligere dæmp-ningningskraft fra friktion Fx = −bvx, hvor b er styrken af dæmpningskraf-ten (minustegnet er der fordi dæmpningen altid skal være i negativ retningaf hastigheden). Skriver vi dette op som den resulterende kraft og bruger

60

Newtons 2. lov, så får vi: ∑Fx = −kx− bvx⇓

−kx− bvx = max

−kx− bdxdt

= md2x

dt2

Vi har altså nu en differentialligning hvortil vi skal bruge et udtryk for x forat få en ny x(t). Denne løsning x er:

x = Ae−(b/2m)t cos(ω′t+ φ)

Og vinkelfrekvensen ω′ er:

ω′ =

√k

m− b2

4m2

Som vi kan se afviger x(t) ovenfor i forhold til hvordan den er udendæmpning. Amplituden A ganges med en faldende eksponentiel faktor ba-seret på tid, b og m, således jo større værdier for b, jo større dæmpning.

Over-, under- og kritisk dæmpning

Desuden kan vi se at ω′ vil blive 0 for b = 2√km:

k

m− b2

4m2

⇓k

m− (2√km)2

4m2

⇓k

m− k

m= 0

Når ω′ = 0 kalder vi det for kritisk dæmpning, fordi systemet ikkelængere vil oscillere og nu bare falder tilbage til ligevægt med det samme.

Til sammenligning har vi andre tilstande som f.eks. overdæmpning,hvor b > 2

√km hvorved oscilleringen går tilbage til ligevægt langsommere

end ved kritiske dæmpning (den vil sidde og vibrere omkring ligevægten).Vi har, sidst men ikke mindst, underdæmpning som er den “normale”situation hvor amplituden bliver mindre for hver cyklus.

Forskellige niveauer af dæmpning er plottet i følgende graf af x over t:

61

EnergienModsat for det idealistiske tilfælde, så er den mekaniske energi dog ikke be-varet når vi indkorporerer dæmpning. Tager vi udtrykket for total mekaniskenergi igen, så har vi:

E = 12mv

2x + 1

2kx2

For at finde denne energis ændring over tid differentierer vi i forhold til t:

dE

dt= mvx

dvxdt

+ kxdx

dt

Det første differentiale her er så ax og det næste er vx, hvorved vi får:

dE

dt= mvxax + kxvx

= vx(max + kx)

Fra de første formler med dæmpning havde vi at:

max = −kx− bvx⇓

max + kx = −bvx

Hvilket vi kan indsætte, således vi får:

dE

dt= vx(−bvx) = −bv2

x

Derved kan vi altså se, at den samlede mekaniske energi falder i forhold tildæmpningsfaktoren b.

62

6 Fluid mekanik

6.1 Disposition

OBS: Han spørger sikkert om Reynolds tal og Poiseuilles lov, der-for har jeg kort skrevet om dem til sidst

1. Densitet og Tryk Definitioner (tryk og densitet)

2. Dybde og Pascals love

3. Opdrift Overfladespænding

4. Flow Ideal væske Flow lines, Flow tubes Steady flow, Streamline, Laminar flow og Turbulent flow

5. Turbulens og viskositet

6. Kontinuitetslignignen Bevis den.

7. Bernoullis ligning Bevis den.

6.2 Detaljer


6.2.1 Densitet og Tryk

I dette emne skal vi kigge på fluid mekanik, eller væskemekanik, startendemed 2 grundlæggende definitioner, nemlig densitet og tryk.

DensitetDensiteten af et homogent materiale er defineret som massen m pr. enhedsvolumen V , eller:

ρ = m

V

Det er dog ikke alle materialer der er homogene (f.eks. jorden.. eller os),så der vil vi typisk udregne en gennemsnitlig densitet i stedet.

Enheden for densitet er kg/m3.

63

TrykNår en væske er i stilstand udøver den en kraft vinkelret på enhver overfladei kontakt med den, som f.eks. et legeme nedsunket i væsken.

Hvis vi definerer et lille styk af en flade i væsken med areal dA, så siger viat en vinkelret normalkraft dF⊥ udøver ligelig kraft på begge sider af denneflade, som vist herunder:

Vi definerer således tryk som normalkraften pr. enhed areal, eller:

p = dF⊥dA

Hvis trykket er det samme på alle punkter af en flade i væsken (i.e. fladenikke er så stor af den vandrer igennem store dybder), så er trykket på dennesamlede flade:

p = F⊥A

SI-enheden er tryk er Pascal (Pa), som er N/m2.

Man har desuden defineret enheden atmosfærisk tryk (pa), som er tryk-ket ved havets overflade og svarer til 1atm = 1.013·105Pa eller ca. 1.013 bar.

Når der pålægges et tryk i en væske vil vi opleve legemers volumeni den væske bliver mindre. Dette skyldes bulk stress eller volumen stress,skaber en deformering. Dette bliver et problem hvis man ikke er skabt tilat fungere i væksen, f.eks. hvis et menneske opholder sig i 500 meters dybde.

Det lægger faktisk op til et interessant eksperiment, som de kære Myth-busters lavede for lidt tid siden. De tog en gammeldags dykkerdragt (sådanen med rør op til overfladen for at få luft) og så lavede de en fake-personud af grisekød og puttede “ham” i denne dragt. De nedsank herefter denne

64

til ca. 90 meters dybde, alt imens de sørgede for at udligne trykket udefravha. tryk indefra. Når denne dragt så var nede i ca. 90 meters dybde, såcuttede de luften derned til, således trykket indefra forsvandt og i løbet afrelativt få sekunder, så havde trykket fra vandet omkring dragten presserhele denne “mand” op i hjelmen med blod og indvolde udover det hele. Heledenne person blev altså knust helt op i hjelmen og hjelmen flækkede tilmed.

Så hvis der er en ting jeg har lært af det afsnit, så var det: Ik’ lav grinmed væsketryk! Det kan dræbe grusomt og voldsomt.

6.2.2 Dybde og Pascals lov

Det bringer os videre til tryks dybdeafhængighed og Pascals lov. Hvis vikunne antage vægten af en væske var negligjerbar, så ville trykket være detsamme overalt i væsken. Det kan vi bare umiddelbart ikke, da der er storforskel på trykket ved vandoverfladen og 5 km højde, og der er stor forskelpå vandoverfladen og 500 meters dybde i vand.

Tryk afhængig af dybde

Så vi skal udlede en sammenhæng mellem trykket ρ i en væske i stilstandog den lodrette elevation y vi har i væsken, dette kaldes også for Pascalsførste lov. Vi starter med at overveje et tyndt element af væske (nærmestsom en kasse) nede i en samlet større væske. Dette tynde element, eller ski-ve, har tykkelse dy, bunden og toppen af elementet har begge arealet A ogelementets bund og top er henholdsvis i elevation y og y + dy i forhold tilbunden af væsken.

Volumen af væskeelementet er derved dV = Ady, massen er dm = ρdV =ρAdy og vægten er dw = dmg = ρgAdy. Sidst men ikke mindst er trykketunder elementet p hvorved den samlede kraft på bunden er pA og trykketovenpå elementet er p+dp, hvorved den samlede nedadgående kraft er −(p+dp)A.

Et samlede overblik over situationen og et frit-legeme diagram er herun-der:

65

Vi ved vækseelementet er i ligevægt da væsken ellers ikke ville være istilstand, så der skal gælde at summen af krafter i y-aksen skal være 0, altså∑ ~Fy = ~0, hvorved vi kan opskrive situationen således:

pA− (p+ dp)A− pgAdy = 0⇓

pA− (p+ dp)A− pgAdyA

= 0A

⇓p− (p+ dp)− pgdy = 0

⇓−dp− pgdy = 0

⇓−pgdy = dp

⇓dp

dy= −pg

Altså kan vi se, at forøges y så falder p, hvilket er forventeligt da vi satte y =0 til at være bunden af væsken. Så hvis p1 og p2 er trykket ved henholdsviselevation y1 og y2, samt g og ρ holdes konstant, så har vi:

p2 − p1 = −ρg(y2 − y1)

Ofte vil vi dog hellere tætte elevation i forhold til dybden af en position ivæksen fremfor afstanden til bunden, så vi kan skrive denne formel om.

Hvis vi tager punkt 1 til at være et arbitrært niveau i en væske og laderp være trykket til det sted, så tager vi punkt 2 til at være overfladen afvæsken hvor trykket er p0. Dybden af punkt 1 under væskens overflade er

66

så h = y2 − y1 og formlen bliver så:

p0 − p = −ρg(y2 − y1) = ρgh

⇓p = p0 + ρgh

Så trykket i en væske afhænger altså kun af dybden, densiteten, tyngdeacce-lerationen og trykket ved overfladen af væsken. Formen af beholderen medvæsken er derved ligegyldig.

En illustration af ovenstående omskrivning af formlen er her:

Pascals lovFormlen ovenfor med trykket afhængig af dybden siger så også, at vi kanforøge trykket i en væske ved at forøge overfaldetrykket. Dette kan vi na-turligvis ikke gøre ved verdenshavene f.eks. men for en væske i et stempelf.eks. kan man.

Denne overvejelser er grundlaget bag en anden af Pascals love, som siger:

Tryk tilført til en indelukket væske/gas forbedeles ufor-mindsket til enhver del af væsken/gassen og væggene afden omkringliggende beholder

Tager vi eksemplet med en hydralisk lift, så har vi en sådan opstilling ne-denfor:

67

Vi har altså en lille kraft pålagt den lille overflade, som så skaber et trykder bliver fordelt i hele væsken, hvorved den resulterer i en større kraft påden større overflade, eller skrevet op som en formel:

p = F1A1

= F2A2

Hvorved kraften F2 bliver:

F2 = A2A1F1

Altså har hydralikliften fungeret som en kraft multiplikationsenhed, der harganten en faktor svarende på forskellen mellem arealer på kraften.

6.2.3 Opdrift

Vi iler videre og tager fat på Opdrift. Opdrift er et koncept coined af Ar-chimedes. Ifølge Archimedes er opdrift:

Når et legeme er komplet eller delvist nedsunket i envæske vil væsken udøve en opadgående kraft på legemetsvarende til vægten af den væske legemet har forskudt.

Vi kan nemt argumentere for dette er korrekt. Lad os forestille os etarbitrært stykke væske i stilstand nede i den samlede væske. Væskestykkehar masse m og derved vægt w = mg. Den komplette væske er i stilstand,derved må summen af alle y-komponenter af kraft være 0.

Så for at balancere vægten ud må der være en opadgående kraft ~B (forbouyancy), med samme magnitude som ~w.

68

Erstattes hele dette væskeelement med et tilsvarende fast element i denforstand at vægten er den samme og formen er den samme, så vil alle kraf-terne også være de samme, hvorved der stadig vil være en opdriftskraft ogdet faste element vil være i ligevægt.

Hvis elementet derimod vejede mere end den væske den forskød, så villeden ikke være i ligevægt, men i stedet synke nedad, da vægten af den derforvil være større end opdriftskraften, som har magnitude af vægten af vandetder forskydes, ikke af elementet det forskydes af.

Konceptet ses herunder:

Generelt kan man sige, at alting med densitet lavere end væsken børhave opdrift (i.e flyde) og alt med større densitet end væsken bør synke.

OverfladespændingRelateret hertil er konceptet af en overfladespænding. Overfladespænding ernoget vi ser når insekter tilsyneladende lander på vand, eller ved det at vikan lade en papirclip flyde på vand, til trods for dens densitet er sådan atden ikke burde kunne flyde.

Overfladespænding eksisterer fordi væskemolekylerne tiltrækkes af hin-anden og hvor et væskemolekyle nede i væsken tiltrækkes ligeligt i alle ret-ninger, og derved er i ligevægt, så er det ikke tilfældet for en molekyle vedoverfladen. Ved overfladen bliver molekylet tiltrukket af volumen af væske oghar derfor tendens til at strække sit overfladeareal ud, hvorved der kommerspænding på hele overfladen. Konceptet illustreres herunder:

69

6.2.4 Flow

Det bringer os så videre til konceptet af flow i en væske eller en gas.Flow af væsker og gasser er generelt ekstremt kompliceret, men vi kan

bruge nogle idealiserede modeller for at forsøge at analysere på flows. Entypisk idealisering er at fokusere på ideal væske, som er væsker der erukompresselige således densiteten af dem ikke kan ændre sig og hvor deydermere har ingen intern friktion (i form af viskositet).

Det er selvfølgelig en idealisering og den holder ikke reelt i virkeligheden,omend det er en tæt på korrekt approksimation for væsker og den kan bru-ges for visse situationer med gasser (OBS: hvis forskellene i tryk i forskelligedele af kassen ikke er for store). Antagelsen om ingen intern friktion kangenerelt ikke tages i praksis men virker for nu. Friktion skyldes viskositet,som er en form af shear stress når to lag af væske glider henover hinandeni f.eks. et rør e.lign.

Et flow deles så yderligere op i nogle logiske dele:

Flow line: En flow line er den vej en individual partikel bevæger sig i flowet.

Flow tubes: Flow lines der passerer gennem et givent imaginert område ivæsken former en flow tube. Dette koncept illustreres herunder

70

Derudover er der desuden en række koncepter for et flow:

Ideal væske: Et ideal væske var som sagt en ukompresselig væske hvordensitet er konstant og der er ingen intern friktion (viskositet)

Steady flow: Et steady flow er et hvor de overordnede flow mønstre ikkeændrer sig over tid. Det vil sige partiklerne i et flow overordnet setfølger de samme flow lines og et map af væskehastigheder til forskelligepositioner vil forblive konstante.I et steady flow kan enkelte flow lines i en flow tube heller ikke brydeud af flow tubens imaginære vægge.

Sreamline: Et streamline er en kurve hvor hvilket dens tangent til enhvertid peger i retning af det overordnede flows hastighdsvektor. Hvis flowmønstre ændrer sig over tid vil flow lines og streamlines ikke passesammen, hvorved vi ikke kan have et steady flow (da de her altid eridentiske).

Laminar flow: Et laminart flow er et hvor tilstødende lag af væske glidernemt forbi hinanden og flowet er et steady flow.

Turbulent flow: Som kontrast hertil er et turbulent flow et hvor der ikkeer noget fastsat flow mønster og mønsteret konstant ændrer sig.

6.2.5 Turbulens og viskositet

Hvor der er situationer hvor viskositet og turbulens kan ignoreres, så er detlangt fra alle tilfælde. Så inden vi går videre bør vi lige hurtigt notere disseto koncepter og hvordan de fungerer.

ViskositetViskositeten af en væske er dens interne friktion, hvor en del af væsken kanmodarbejde den anden dels bevægelse. Det er grunden til det er hårdt at roi en kano f.eks., men det er på samme tid også grunden til du overhovedetkan. Ligesom når du ruller noget ned af en skrænt, så skal der være friktionfor at det roterer, ligeledes skal der være viskositet i en væske for at den gørmodstand når du prøver på at manipulere den.

71

Viskositeten bliver ofte også omtalt som hvor tyktflydende en væske er,så f.eks. vand er mindre tyktflydende en honning og honning er mindre tykt-flydende end lava.

Viskositeten giver os nogle interessante effekter når en væske stor visko-sitet presses igennem et rør. Her vil vi nemlig opleve at væsken har tendenstil at sætte sig fast på overfladen af røret, således vi vil se at der er forskelpå hastigheden af de enkelte dele af flowet i røret. Konceptet er illusteretherunder:

Den maksimale hastighed af væsken er derved i centrum af røret, hvorimodhastigheden ude ved kanterne er 0 fordi væsken klæber til overfladen.

Man kan se det som at væsken er bygget op af en række flow tubes derhver især udøver friktion på hinanden, således man i mange tilfælde skalpålægge ekstra tryk på en beholder med en tyktflydende væske og tyngde-kraften ikke er nok. Når man gør det med f.eks. en ketchup flaske, så brugerman Pascals lov da man netop pålægger et pres, som resulterer i et forhøjettryk ved en anden overflade.

I min gennemgang af Bernoullis ligning om lidt ignorerer vi dog disseeffekter, men det er vigtigt at pointere resultaterne fra Bernoullis ligningikke gælder hvis viskositet skal tages med i betragtning.

TurbulensTurbulens i et flow er noget der sker hvis hastigheden af flowet når overen given kritisk værdi, således flowet ikke længere er laminart. Når et flowbliver turbulent kommer det til at bevæge sig højst irregulert og vil ændremønster ofte. Hvorvidt en væske (eller gas) har tendens til at blive turbulentkommer an på dens viskositet. Jo højere viskositet, jo mindre tendens til atblive turbulent.

Men antaget viskositeten ikke er mikroskopisk, så er den primære kildetil turbulent flow hvis flowet når over en given kritisk hastighed. Et flow kan

72

sagtens være laminart ved lave hastigheder, og så blive turbulent ved højere.Det ser vi f.eks. herunder for røg der kommer op fra nogle insense lys, hvorflowet starter med at være laminart, men så skifter og bliver turbulent nåren given hastighed er nået.

6.2.6 Kontinuitetslignignen

Med det på plads kan vi tage fat i kontinuitetsligningen.Kontinuitetsligningen bygger på, at massen af en væske ikke ændrer sig

når den er i et flow.

Illustrationen ovenfor er den grafiske illustration der skal bruges til udled-ninging.

Vi ser på en del af et flow tube mellem to stationære tværsnit med arealerA1 og A2. Flow hastighederne ved disse sektioner er henholdsvis v1 og v2.Inten flow linje bryder udenfor væggen af flow tuben og ingen bryder ind,da flow hastighedsvektoren er tangent til væggen.

73

I løbet af et lille tidsinterval dt bevæger væsken ved A1 sig distancenv1dt, så en cylinder af væske med højde v1dt og volument dV1 = A1v1dtflyder ind i tuben igennem A1.

I løbet af dette tidsinterval vil en cylinder af volumen dV2 = A2v2dt haveflydt ud af tuben igennem A2.

Hvis vi så antager vi har en idealvæske, så har vi samme densitet ρ overdet hele. Massen af væske dm1 der flyder ind i røret ved A1 i tiden dt er sådm1 = ρA1v1dt. Ligeledes er massen af væske dm2 der flyder ud af røret vedA2 i samme tidspunkt dm2 = ρA2v2dt.

For et steady flow ved vi, at den totale masse ie tuben er konstant,således dm1 = dm2. Opskriver vi dette får vi:

dm1 = dm2

ρA1v1dt = ρA2v2dt

Eller:

A1v1dt = A2v2dt

Fordi ρ er konstant. Av ovenfor kaldes så for Volume flow rate, altså hvormeget volumen pr. tid tværsnittet af tuben tager ind., i.e.:

Av = dV

dt

Mass flow rate er så hvor meget masse pr. tid tværsnittet af tuben tager ind,i.e. og fås ved bare at gange ρ på igen:

Mass flow rate = dV

dtρ

= ρAv

Kontinuitetsligningen fortæller os altså, at volume flow rate og mass flowrate har samme værdi hele vejen langs en given tube. Og hvis tværsnitsare-alet af tuben formindkes, så vil hastigheden forøges for at sikre volume flowrate og mass flow rate stadig er den samme.

74

6.2.7 Bernoullis ligning

Det bringer os videre til den sidste ligning jeg vil kigge på, nemlig Bernoullisligning, som bygger videre på Kontinuitetsligningen.

Ifølge kontinuitetsligningen kan hastigheden variere i et flow. Trykketkan dog også variere, alt afhængig af om højden af flowet ændrer sig ogtrykket afhænger ligeledes også af hastigheden af flowet. Bernoullis ligningbeskriver denne sammenhæng mellem tryk, flow hastighed og højde for flowsder er idealvæsker, i.e. fast densitet og ingen viskositet.

Vi starter lige med at skrive Bernoullis ligning op, så kan vi udlede denbagefter. Bernoullis ligning siger:

p1 + ρgy1 + 12ρv

21 = p2 + ρgy2 + 1

2ρv22

For at udlede Bernoullis ligning skal vi bruge work-energy teoremetdW = dK + dU . Vi har så følgende situation:

Så vi har væske der til en eller anden initiel tid ligger imellem de 2 tværsnita og c. Hastighederne ved disse steder er henholdsvis v1 og v2.

I det korte tidsinterval dt bevæger væsken der initielt er ved a sig fra atil b (en distance på ds1 = v1dt) og væsken der initielt er ved c bevæger sigfra c til d (en distance på ds2 = v2dt). Grundet Kontinuitetsligningen vedvi, at Volume flow rate er den samme for tværsnittene A1 og A2, hvorved

75

volumen der passerer tværsnittene er dV = A1ds1 = A2ds2.

Nu kan vi så udregne arbejdet der udøves på væskeelementet i løbet af ti-den dt. Vi har antaget der ingen viskositet er, så de eneste ikke-gravitationellekrafter i spil er trykket fra væsken omkring væskeelementet. Trykket ved de2 ender A1 og A2 er henholdsvis p1 og p2, således trykket på ved a på tvær-snittet er pA1 og det modsatrettede tryk ved d på tværsnittet er pA2 (OBS:det modarbejder bevægelsen af væsken). Det resulterende arbejde er derved:

dW = p1A1ds1 − p2A2ds2

= (p1 − p2)dV

Fordi dV var dV = A1ds1 = A2ds2, hvorved de to går ud med hinanden.

Arbejdet dW er grundet andre krafter end tyngdekraften, så den er ligmed en ændring i total mekanisk energi for væskeelementet. Den mekaniskeenergi for væskesektionen b til c ændrer sig ikke, så lad os kigge på a til bog c til d.

I begyndelsen af dt vil væsken imellem a og b have volumen A1ds1, masseρA1ds1 og kinetisk energi 1

2ρA1ds1v21

I slutningen af dt vil væsken imellem c og d have den kinetiske ener-gi 1

2ρA2ds2v22. Den resulterende kinetiske energi dE i tidsintervallet dt er

derved:

dK = 12ρA2ds2v

22 −

12ρA1ds1v

21

= 12ρdV v

22 −

12ρdV v

21

= 12ρdV (v2

2 − v21)

Og så mht. til den potentielle energi, der har vi ved begyndelsen af dt atden potentielle energi for massen mellem a og b er dmgy1 = ρdV gy1 og vedslutningen af dt at massen mellem c og d har den potentielle energi dmgy2 =ρdV gy2. Den resulterende ændring i potentiel energi dU i tidsintervallet dter derved:

dU = ρdV gy2 − ρdV gy1

= ρdV g(y2 − y1)

76

Kombineres alle disse udtryk i work-energy teoremet fås:

dW = dK + dU

⇓

(p1 − p2)dV = 12ρdV (v2

2 − v21) + ρdV g(y2 − y1)

⇓ ..Divider dV ud

p1 − p2 = 12ρ(v2

2 − v21) + ρg(y2 − y1)

Hvor vi så kan rykke alle elementer med index 1 til venstre og alle elementermed index 2 til højre, og så får vi Bernoullis ligning:

p1 + ρgy1 + 12ρv

21 = p2 + ρgy2 + 1

2ρv22

6.2.8 Reynolds tal & Poiseuilles lov

Vi kopierer bare direkte fra noterne, af hensyn til tid:

Love om væsker

I Young & Freedman kapitel 14 udledtes først Pascals lov, der relaterertrykket i forskellige højder i en fluid med konstant massetæthed ρ:

p2 − p1 = −ρg(y2 − y1)

Denne lov gælder dog kun for en stationær væske, og for at beskrive en væ-ske, der bevæger sig, må vi ty til Bernoullis ligning. Denne relaterer trykket,højden og væskens hastighed for to punkter på en “flow tube”

p1 + ρgy1 + 12ρv

21 = p2 + ρgy2 + 1

2ρv22

og reducerer til Pascals lov, hvis væsken står stille. Bernoullis ligning erudledt under den antagelse, at den mekaniske energi er bevaret, og er såle-des ikke gyldig, hvis der er friktion i væsken eller mellem væsken og densomgivelser.

I det udleverede uddrag fra lærebogen Mekanik, betragtes laminar strøm-ning i et rør med radius R, længde L og trykkene p1 og p2 i hver ende. Herudledes, at hastighedsprofilen har den funktionelle form

v(r) = 14η

(p1 − p2L

)(R2 − r2)

77

hvor η er viskositeten af væsken. Ved at integrere v(r) op over hele tvær-snittet af røret kan man således finde den samlede volumenstrøm

Q = πR4

8η

(p1 − p2L

)kendt som Poiseuilles lov.

Reynolds talFølgende er taget direkte fra Wikipedia pga. tidsmangel:

Reynolds tal, også kaldet Reynolds konstant, er en vigtig dimensionsløsenhed indenfor strømningsmekanikken. Tallet bruges til at forudsige om enstrømning bliver laminar eller turbulent. For cirkulære rør gælder det, at enstrømning bliver laminar, hvis Reynolds tal er under 580, og turbulent, nårReynolds tal er over 750. Reynolds tal beregnes for cirkulære rør som:

Re = vmRhη

hvor vm er middelhastigheden af flowet, Rh er den hydrauliske radius (hy-draulisk diameter divideret med 2) og η er væskens viskositet.

Reynolds tal er opkaldt efter Osborne Reynolds, som fremsatte begrebeti 1883.

78

7 Temperatur, termisk udvidelse, varme og fase-overgange

7.1 Disposition

1. Temperatur Temperatur, Termisk Ligevægt, Insulatorer & Ledere Termodynamikkens 0. lov

2. Termisk udvidelse Lineær udvidelse Volumen udvidelse Visning af sammenhæng mellem α og β Termisk stress

3. Varme Varme vs. Temperatur Specifikke varmekapacitet Konduktion, konvektion og varmestråling

4. Faseovergang Definition Smelte og fordampningsvarme Sublimering, Overophedning- og overnedkøling

7.2 Detaljer


7.2.1 Temperatur

Emnet her handler om en hel del ting, nemlig temperatur, termisk udvidelse,varme og faseovergange. Vi starter med at kigge på nogle grundlæggendeprincipper

Temperatur, Termisk Ligevægt, Insulatorer & Ledere En tempe-ratur er noget vi måler ud fra en given variabel der ændrer sig grundet var-mepåvirkning. Det kan f.eks. være volumen af væske der udvider sig grundetvarmepåvirkning, eller et tryk der forøges mm. Alle disse giver os mulighedfor at måle et kvantitativt tal, som tallet for temperaturen.

79

Dette gør vi så vha. et såkaldt termometer, som vi f.eks. kunne finde påat nedsænke i en kop varm kaffe. Når vi så gør det vil kaffen og termomete-ret udveksle varmeenergi indtil de når samme temperatur og derved er i detman kalder Termisk ligevægt. Altså taber kaffen egentlig lidt varme nårtemperaturen måles. Det skal siges, at det egentlig ikke er kaffens tempera-tur man måler, men derimod termometerets. Vi sørger blot for termometeretopnår termisk ligevægt, hvorefter vi ser hvad termometerets temperatur er.

Havde der været en såkaldt insulator imellem termometeret og kaffen,så havde de udvekslet varmeenergi langsommere, hvorved kaffen ville kunnehave “holdt på varmen” længere tid (omend den ville have tabt varmeenergitil alle andre områder i nærheden, men det ser vi bort fra lige nu).

En ideal insulator er så en insulator hvor der tillades ingen varmeenergiudveksling, hvorved systemet aldrig kan komme til termisk ligevægt. Sådanen insulator er dog bare en idealisering, da ingen sådan insulator eksisterer.

Termodynamikkens 0. lovEn vigtig grundlæggende sætning fra thermodynamikken bygger på det hermed insulatorer og idealle insulatorer. Sætningen lyder som følger:

Hvis C initielt er i termisk ligevægt med både A ogB, så er A og B i termisk ligevægt med hinanden

Altså en form for termodynamisk transitivitet (i.e. A er i termisk ligevægtmed C, som er i termisk ligevægt med B, ergo A er i termisk ligevægt medC).

Måden man viser dette på er ved at observere tre systemet A, B og C derinitiel ikke var i termisk ligevægt, og så placere dem i en ideelt insulerendebox med en ideel insulator mellem A og B og termiske ledere (i.e. en dertillader termisk udveksling igennem sig) imellem C og begge af de andresystemer.

Dette illustreres herunder:

80

Herefter venter man til C er i termisk ligevægt med A og B, og spørgsmåleter nu om A og B er i termisk ligevægt også.

Det kan man så tjekke ved ar rykke konstruktionen rundt så C adskillesfra A og B med en ideel insulator og A og B sættes sammen med en leder,som herunder:

Og hvis Termodynamikkens 0. lov så gælder, så skulle der helst ikke skenoget.. hvilket der heller ikke gør, ifølge de eksperimenter som bogen refe-rerede i hvert fald (OBS: Dog ikke lige helt sikker på hvordan de har testetdet eftersom ideel insulatorer ikke eksisterer.. men det er sikkert bare insu-latorer der i praksis er ideele de har brugt, da de først udveksler varme efterekstremt lang tid).

Her kan det også nævnes at C i den første opstilling kommer til at havesamme temperatur som A og B, så havde det været et termometer kunneman have målt A og B’s temperatur sådan, simpelthen ved at vente til derkom termisk ligevægt. Havde C kun været i kontakt med en af A eller Bhavde resultatet igen været det samme, da ligevægt først ville opnås når dehavde samme temperatur. Ergo har vi også kriteriet for termisk ligevægt:

To systemer er i termisk ligevægt hvis og kun hvis dehar samme temperatur

7.2.2 Termisk udvidelse

Det bringer os så videre til konceptet af termisk udvidelse.De fleste materialer udvider sig når de udsættes for temperaturstigning.

Hvordan de udvider sig kommer dog helt an på materialet. Der er grund-læggende to typer termisk udvidelse, nemlig lineær udvidelse og volumenudvidelse:

Lineær udvidelseLineær termisk udvidelse er hvor alle lineære dimensioner af et objekt udvi-der sig som resultat af temperaturændringen.

81

Lad os forestille os vi har en stav af et givent materiale, hvor denne stavhar længden L0 ved en eller anden initiel temperatur T0 (f.eks. stuetempera-tur). Når temperaturen så ændrer sig med ∆T , så ændrer længden sig med∆T .

Eksperimentielle resultater har vist at hvis bare ∆T ikke er større endca. 100K, så er ∆L direkte proportionel til ∆T og til startlængden L0.

Den lineære termiske udvidelse er så:

∆L = αL0∆T

Hvor α er koefficienten for lineær expansion og afhænger af materialet (i.e.jo mindre den er, jo mindre termisk udvidelse). Enhenden for α er K−1.

Lineær expansion sker i alle lineære dimensioner (med få undtagelser i vir-keligheden), så eksempelvis huller i materialer udvider sig også udad somillustreret herunder:

Expansionen kan også forklares på molekylebasis hvis vi ser krafterne mel-lem atomer som værende fjedre.

Vi ved atomer har krafter der tiltrækker dem til hinanden, men kommerto atomer så tæt på hinanden at deres elektronbaner overlapper vil krafterneimellem dem være frastødende. Der er således en ligevægtsafstand herindeimellem hvor to atomer kan danne et molekyle, og hvis disse atomer afvigerblot lidt fra denne ligevægtstilstand vil de oscillere.

Hvert atom vibrerer altså omkring denne ligevægtstilstand. Når tempe-raturen så stiger, så vil energien og amplituden af denne vibration forøges.

82

Krafterne imellem atomerne (som vi her kigger på som strenge) er ikkesymmetriske, i den forstand at de er nemmere at strække end at sammen-presse. Så af den grund vil vi se at amplituden af vibrationen forøges og dengennemsnitlige distance mellem atomer forøges - resultatet heraf er termiskudvidelse langs alle lineære dimensioner.


Volumen udvidelseDet bringer os så videre til den anden type af termisk udvidelse, nemligvolumen udvidelse. Både faste stoffer og væsker laver en volumen udvidelsenår de udsættes for temperaturændringer.

Ligesom med lineær udvidelse gælder der, at hvis ∆T ikke er for stor (ca.op til 100 K), så er forøgelsen i volumen ∆V approksimerbart proportionalmed både temperaturændringen ∆T og den initielle volumen V0:

∆V = βV0∆T

Konstanten β kaldes så for koefficienten for volumen udvidelse og variererafhængig af materiale. Enheden er K−1.

For væsker vil de desuden typisk være væsentligt større, således væskergenerelt udvider volumen mere ved temperaturændring end faste stoffer gør.

Ligesom med α for lineær udvidelse, så varierer β også afhængig af starttemperaturen og gælder kun for relativt lave hastigheder.

Visning af sammenhæng mellem α og βDer er en generel sammenhæng mellem koefficienten for volumen udvidelseog koefficienten for lineær udvidelse, når vi taler om faste stoffer. For atfinde frem til denne sammenhæng antager vi en terning af materiale medlængde L, således volumen V = L3. Ved den initielle temperatur har vi såstartværdierne V0 og L0.

83

Når temperaturen bliver hævet med dT vil sidelængderne forøges meddL og volumen forøges med en mængde dV givet ved:

dV = dV

dLdL = 3L2dL

Nu erstatter vi L og V med deres initielle værdier L0 og V0. Desuden brugervi formlen for lineær udvidelse. Vi har således at dL er:

dL = αL0dT

Siden V0 = L30, betyder det at dV også kan udtrykkes som:

dV = 3L20αL0dT = 3αV0dT

Dette er konsistent med den infinitesimale version af formlen for volumenudvidelse dV = βV0dT , hvis og kun hvis:

β = 3α

Termisk stressTermisk udvidelse er dog ikke uden sine konsekvenser.

Hvis vi holder et givent materiale fast i en position så det ikke kanudvide- eller sammentrække sig, og det så herefter udsættes for en tempe-raturændring, så får vi såkaldt termisk stress.

Dette er yderst problematisk i sådanne ting som brokonstruktion, da vipå den ene side gerne vil holde beton og metal fast, men på den anden sideheller ikke vil risikere materialet tager skade eller decideret går i stykkerpga. termisk stress.

For at udregne den termiske stress på et materiale vi holder fast, såudregner vi mængden med hvilkent materialet ville udvide sig (hvis detkunne) og finder herefter stress niveauet der skal til for at føre det tilbagetil dets oprindelige dimensioner.

Lad os forestille os vi har en stang med længde L0 og tværsnitareal A.Denne holdes nu til en konstant længde, alt imens temperaturen sænkes (i.e.∆T < 0), hvilket resulterer i tensile stress (i.e. fordi den prøver på at trækkesig sammen men ikke kan).

Den forholdsmæssige ændringen i længden hvis staven havde været fritil at sammentrække sig er:(∆L

L0

)termisk

= α∆T

Både ∆L og ∆T er her negativ. Spændingen (Tension) må altså forøgesmed en mængde F så det lige akkurat er nok til at generere en tilsvarende

84

men omvendt forholdsmæssig ændring i længden. Denne forholdsmæssigeændring i længden kan udregnes fra Young’s Modulus:

Y = F/A

∆L/L0

⇓(∆LL0

)spænding

= F

AY

Da det vi gerne vil opnå er, at den totale forholdsmæssige ændring i længdener 0, så kan vi sætte op at summen af disse ændringer skal være 0:(∆L

L0

)termisk

+(∆LL0

)spænding

= α∆T − F

AY= 0

Herefter isolerer vi tensile stress i denne og får:

α∆T − F

AY= 0

⇓ FA

= −Y α∆T

Hvilket er den termiske stress.

Så hvis ∆T er negativ, så er F og F/A positive, således en trækkraft(tensile force) er nødvendig for at vedligeholde dens længde. Hvis ∆T deri-mod er positiv, så er F og F/A negative, hvorved den nødvendige kraft erkompressende.

Hvis der er forskelle i temperaturen i et legeme, så kan det yderligereforværre termisk stress. Det ses ofte til daglig hvis man smider en isterningi et glas vand eller hvis man hælder kogende vand ned i en glasskål. Hervil man ofte se, at glaskålen knækker fordi de kolde og varme områder afglasset skaber så meget termisk stress imellem sig at glasset flækker.

7.2.3 Varme

Det bringer os så videre til konceptet af varme.Hvis vi nedsænker noget koldt i noget varmt, f.eks. en ske i en kop te, så

vil der påbegynde en udveksling af varmeenergi indtil disse to genstande eri termisk ligevægt (i.e. det varme te har fået lidt lavere temperatur og skeenhar samme temperatur som teen).

Denne udveksling af energi kaldes for varmestrøm eller varmeoverførsel.

Det er vigtigt at pointere forskellen på varme og temperatur her. Tem-peratur er en kvantitativ måling af niveauet af “hotness” eller “coldness”.

85

Det afhænger altså af tilstanden af det man forsøger at måle det på. I mod-sætning hertil er varme noget der udveksles. Systemer kan udveksle varmei form af varmeoverførsel af energi, men et system har ikke en varme i denforstand. Man kan tilføje varme til et system ved at tilføje energi i en elleranden forstand, hvorved temperaturen vil stige. Men varme er altså en slagsenergi der udveksles og ikke en iboende egenskab af legemer.

Specifikke varmekapacitet

Lad os gå videre og kigge på hvordan vi så måler denne varme. Vi brugersymbolet Q som mængden af varme.

Vi har så, at mængden af varme Q der skal til for at hæve temperaturenaf en massem af et givent materiale fra T1 til T2, er approksimerbart propor-tional til temperaturændringen ∆T = T2 − T1. Det er desuden proportionaltil massen af materialet.

Dette betyder altså at hvis du ville varme vand til te, så vil du skulletilføre dobbelt så meget varme hvis du tager 2 kopper, som hvis du tager enfor samme temperaturinterval.

Alt afhængig af materiale tager det også mere eller mindre energi athæve temperaturen. For vand tager det 4190J at hæve temperaturen 1 K,men kun 910J at hæve temperaturen af aluminium med 1 K.

Sætter vi alt dette sammen får vi forholdet:

Q = mc∆T

hvor c er en værdi vi kalder den Specifikke varmekapacitet, og som variererfra materiale til materiale. Man siger c er den varmemængde i J der skal tilfor at forøge temperaturen af et stof med 1 K.

Specifik varmekapacitet varierer også afhængig af temperatur, men i re-lativt lille grad, således vi oftests ignorer denne variation. Nedenfor er plottetdenne variation for vand:

86

Konduktion, Konvektion og Varmestråling

Nu vi så har kigget på hvordan en given nødvendig varmeenergi Q udreg-nes, så kan vi lige hurtigt kigge på hvordan man så ville overføre varmeenergimellem systemer.

Overordnet er der 3 muligheder: Konduktion, Konvektion og Varmestrå-ling.

KonduktionVarmeoverførsel grundet konduktion opstår når en del af et legeme bliveropvarmet (f.eks. af en flamme eller lignende) og den varme så “vandrer”igennem materialet.

Det er f.eks. konduktion der finder sted når en ske nedsænkes i varm teog skeen bliver varm.

På det atomare niveau fungerer konduktion ved at atomer i de varmereregioner har mere kinetisk energi i gennemsnit, hvorved de vibrerer og maserderes køligere naboer, hvilket overfører noget af deres energi. Disse bliver såogså varmere og maser deres naboer, hvorved denne proces bliver ved indtilsystemerne er i termisk ligevægt.

Metaler har så den yderligere fordel, at de kan bruge deres såkaldte“frie” elektroner til at lette konduktionen af varme. Dette har så også denbivirkning at en metalstang ved 293 K vil føles koldere end en træpind ved293 K. Dette skyldes ikke at metallet er koldere, men nærmere fordi varmenfra dine hænder nemmere kan føres ind i metallet, hvorved du vil føle enkøling i hånden imens du forsøger at komme i termisk ligevægt med metallet.

Ved konduktion definerer vi desuden værdien Varmeledningsevne k somer materialets evne til at lede varme ved konduktion. En god leder harsåledes høj værdi for k, hvor en god insulator har lav værdi for k. (Og enideal insulator har k = 0)

KonvektionEn anden måde at overføre varmeenergi på er igennem konvektion. Konvek-tion er varmeoverførsel vha. bevægelser af væsker fra en region af et legemetil et andet. Der findes mange eksempler på konvektionssystemer som køle-systemet i biler eller dit eget blod.

I tilfælde af konvektionen ikke sker naturligt med ved en pumpe, så kal-des det en påtvunget konvektion. Det er f.eks. tilfældet for vores blodomløb,der kræver hjertet til at føre blodet rundt og derved føre temperaturstignin-ger rundt i kroppen.

87

Det er også konvektion der er i spil når jeg forsøger at varme vandet imit badekar op igen, efter at have siddet der i flere timer. Det nye varmevand vil så sprede sig blandt det køligere, indtil vandet samlet er nået til enny termisk ligevægt med mig.

VarmestrålingEn sidste mulighed er varmeoverførsel ved varmestråling. Varmestråling erden varmeoverførsel der kommer fra elektromagnetiske bølger, lys osv.

Det er altså den varmeoverførsel der er tilstede hvis de to involveredelegemer ikke er i en væske sammen og ikke fysisk rør ved hinanden (lufter et dårlig medie til konduktion, så den varmeoverførsel virker kun hvislegemerne er fysisk forbundet).

Eksempler på varmestråling er lys fra solen (og stjerner generelt), engrill, en pære, mit 42” fjernsyn, radiatorer og meget meget mere.

Alt afhængig af temperatur bruges forskellige typer stråling:

ca. 295 K: Alle varmekilder (inkl. levende ting) udsender energi i form afinfrarød stråling, når vi er omkring en stuetemperatur. (hvis de ikkegjorde ville vi ikke kunne bruge heat-vision f.eks.). Intet af dette lyser synligt dog.

ca. 1073 K: Ved denne temperatur er det stadig primært infrarød stråling,men temperaturen er dog på en sådan måde, at en vis mængde afstrålingen bliver synlig stråling, således legemet der afgir det kommertil at forekomme rødglødende.

ca. 3273 K: Ved denne temperatur er legemet så opvarmet, at det vil fo-rekomme hvidglødende og den primære stråling vil komme fra visueltlys. Denne temperatur er der hvor glødetråden i en glødelampe er.

7.2.4 Faseovergange

Det bringer os så til det sidste jeg vil snakke om, nemlig faseovergange.

DefinitionEn faseovergang er når et materiale går fra en materialefase til en anden,f.eks. fra væske til gas eller fra fast stof til vækse.

Hvis vi har noget is ved 273.15 K (0 grader Celcius - frysepunktet forvand) og normal atmosfærisk tryk, så hvis vi tilføjer varmeenergi hertil, såvil temperaturen ikke stige over 273.15 K. I stedet vil dele af isen blive tilvand og resten af isen vil forblive is.

Tog vi nu og tilførte varme til isen stille og roligt, således termisk lige-vægt bibeholdes nogenlunde, så ville alt isen smelte inden temperaturen steg

88

fra 273.15 K. Altså kræver det ekstra varmeenergi at lave en faseovergang.

Smelte- og fordampningsvarme Varmen pr. enhed masse der skal tilfor at skifte fase til/fra fast og flydende kaldes for Smeltevarmen (Heat offusion) og skrives som Lf .

For at smelte en masse m af materiale med smeltevarme Lf kræves derså Q varmeenergi givet ved:

Q = ±mLf

Plus/Minus delen skyldes at processen er reversibel. Hvis vi vil fryse enmasse m af materiale skal vi fjerne varmeenergi fra systemet.

Udover dette har hvert materiale et smeltepunkt, som er det samme ni-veau som dets frysepunkt. Har et materiale denne temperatur kan man seden situation at væske og fast stof eksisterer på samme tid i samme legeme- dette kalder vi for faseligevægt.

Denne præcis samme konstruktion gælder for faseskift mellem væske oggas, hvor vi i stedet definerer et fordampningsvarme Lv (i.e. v for vapor),hvorved vi skal bruge varmeenergi Q for at lave en masse m af materiale omfra væske til gas hvis fordampningsvarmen er Lv:

Q = ±mLv

Plus/Minus delen skyldes igen at processen er reversibel og igen har allematerialer også et kogepunkt, hvor et legeme med denne temperatur igenoplever faseligevægt.

Faseligevægten ved faseskift fra væske til gas er dog typisk noget læn-gerevarende, da det kræver relativt lidt energi at bringe en væske til denskogepunkt, men meget energi at få dannet hele væsken om til gas.

Et plot af temperatur T over tid for vand vises herunder, hvor varmee-nergi er blevet tilføjet med jævn hastighed:

89

Som vi kan se er temperaturen ved faseovergange konstant (antaget trykketer det).

Sublimering, Overophedning- og overnedkøling

Sidst men ikke mindst har vi koncepterne af sublimering, verophedningog overnedkøling.

Sublimering er når et materiale går direkte fra fast form til gas. Til dettehar vi en værdi Sublimeringsvarmen Ls, som er den varme pr. enheds masseder skal til for at lave materialet om fra fast form til gas.

Eksempler på materialer der er sublime er tøris, der tydeligt går direktefra fast stof til gas, selv ved stuetemperatur og normalt atmosfærisk tryk.

Overophedning er når en væske bliver opvarmet til over ens normalekogepunkt, således at den mindste forstyrrelse af væsken resulterer i lokalkogning med bobler til følge. Grunden til væsken kan nå til dette forhøjedekogepunkt uden at se ud til at koge er, at overfladespændingen forhindrerden normale dannelse af bobler og udgydelse af damp.

Resultat er, at hvis du bryder denne overfladespænding imens væsken eroverophedet, så kan du risikere en pludselig “eksplosion” af damp og vandgrundet den lokale kogning.

Det er et koncept der ofte tales om i forhold til opvarmning af vand imikrobølgeovne, da det her kan forekomme at væsken kommer over koge-punktet uden det er tydeligt ved at kigge på den.

Overnedkøling er så når noget som meget rent vand køles ned til adskil-lige grader under frysepunktet uden at fryse (noget som normal vand ikke

90

kan). Den resulterende tilstand kaldes for en overnedkølet tilstand. Hvisvandet herefter irriteres eller små støvpartikler e.lign. falder ned i det, så vildet øjeblikkeligt krystalisere i løbet af et sekund eller mindre.

91

8 Kinetisk gasteori og tilstandsligninger

8.1 Disposition

OBS: Han viste til spørgetime tiltræknings-/frastrødnings kraften mellemto atomer, så det kan tænkes han spørger om det. Derfor er grafen herforplaceret sidst i spørgsmålet.

Det samme er grafen for et pT diagram for faseovergange.

1. Tilstandsligninger Tilstandsvariable

2. Idealgasligningen Empirisk udledelse Antagelser (høj T , lavt p) Udledning af densitet Idealgasligningen for konstant masse

3. Van der Waals gasligning

4. pV-diagrammer Tjek om en gas følger idealgasligningen Kritisk temperatur (Tc)

5. Kinetisk gasteori Formål (hvorfor bruge den) Antagelser

6. Udledelse af trykformel Hastigheder Antallet af kollisioner Impulsændring Korrektion for hastighedsantagelse

7. Energi i kinetisk gasteori Kinetisk energi af n mol af en ideal gas Kinetisk energi af en molekyle

8. Anvendelse: Varmekapacitet Find dK og dQ og sæt lig med hinanden, isoler CV . Frihedsgrader (monoatomer 3/2R, diatomer 5/2R, polyatomer

7/2R)

92

8.2 Detaljer


8.2.1 Tilstandsligninger

Det her emne omhandler de termiske effekter på et system, baseret ud fraen række modeller for virkeligheden, kaldet tilstandsligninger.

TilstandsvariabelEn tilstandsvariabel er en given variabel der beskriver tilstanden af et sy-stem, det kan være tryk p, densitet ρ, temperatur T eller noget helt flere.

Samler man sådanne tilstandsvariabler i en ligning der beskriver sam-menhængen mellem dem, så har man lavet en tilstandsligning. Tilstandslig-ninger kan bruges som approksimationer på virkeligheden for at forudsigenogle ting omkring stoffer og eventuelt aktivt skabe et stof med bestemteegenskaber man ønsker.

8.2.2 Idealgasligningen

En af de mest simple tilstandsligninger er den for en idealgas.Vi kan nemt udlede gasligningen emperisk fra de resultater bogen taler

om er fundet gennem eksperimenter.

Empirisk udledelseHvis vi starter med massen af en gas, så fremfor at regne i masse direkte,så vil vi hellere regne ud fra antallet af mol n, hvor sammenhængen mol nog den totale masse mtot er:

mtot = nM

hvor M er molarmassen (i.e. massen pr mol for et stof).

Eksperimenter på gasser har ledt til en række konklusioner:

• Volumen V er proportional til antallet af mol n. (I.e. hvis vi fordob-ler antallet af mol og holder tryk og temperatur konstant, så vil Vfordobles)

• Volumen V er omvendt proportional til det absolutte tryk p. (I.e hvistrykket fordobles imens n og T holdes fast, så vil gassen blive sam-menpresset til halvdelen af volumen) - altså er pV konstant når n ogT er det.

• Trykket p er proportional til den absolutte temperatur T . (I.e. hvis vifordobler den absolutte temperatur T , imens vi holder V og n konstant,

93

så vil trykket fordobles) - altså er p lig med T gange en konstant nårn og V er konstant.

Hvis vi samler det her i et udtryk får vi idealgasligningen:

pV = nRT

hvor R er en proportionalitetskonstant kaldet gaskonstanten, som har sam-me værdi for alle gasser antaget høje nok temperaturer. Den bedst kendteværdi for R er R = 8.314J/mol ·K

AntagelserIdealgasligningen er en approksimation på virkligheden, altså en idealiseretmodel. Derved gælder den kun under visse antagelser. Disse antagelser er:

Højt T og lavt p: Idealgasligningen er bedst approksimerende hvis tem-peraturen af gassen er meget høj og gassen på samme tid har lavt tryk,således gas molekyler er langt fra hinanden og bevæger sig hurtigt.

Ingen volumen: Idealgasligningen antager desuden at alle molekyler i engas kan opfattes som punkter, altså således de ikke har nogen volumen.

Kun kinetisk energi: Idealgasligningen antager derudover også, at mole-kyler kun har energi i form af deres kinetiske energi.

Ingen vekselvirkning: Idealgasligningen tanger at molekyler ikke intera-gerer med hinanden, således kollisoner af molekyler er ligegyldige.

Hvis en gas ikke opfører sig som en idealgas så kan dette ses ved at plotteet pV-diagram, som jeg vil kigge på hurtigt om lidt.

Udledning af densitetHvis vi hellere vil udtrykke idealgasligningen i form af den totale masse, såkan vi indsætte n = mtot

M på n’s plads:

pV = mtot

MRT

Hvis vi nu observerer at densitet udregnes som ρ = mtot/V , så kan vi om-skrive ovenstående ved at få ρ = mtot/V til at stå alene således:

ρ = mtot/V = pM

RT

Som så er udtrykket for densiteten af en idealgas.

94

Idealgasligningen for konstant masseObserverer vi yderligere, at for et konstant antal mol n, så er nR konstant.Men det betyder også at pV/T er konstant, da de afhænger indbyrdes afhinanden. Derved kan man for samme gas i to forskellige tilstande medkonstant masse (i.e. konstant n) opskrive følgende sammenhæng:

p1V1T1

= p2V2T2

= konstant

På den måde går R f.eks. ud.

8.2.3 Van der Waals gasligning

Idealgasligningen er dog på ingen måde perfekt og der er flere andre gas-ligninger man kunne bruge. En af disse er Van der Waals gasligning derforsøger at kompensere for fejlkilder i den såkaldte kinetiske gasteori, somjeg kommer ind på om lidt.

Specifikt er problemet at den kinetisk gasteori ignorerer masserne afmolekylerne i sig selv, samt de tiltrækningskrafter der er imellem dem. Detbetyder at under visse omstændigheder, så vil trykket vurderes højere i gas-sen end det reelt er grundet tiltrækningskrafter molekylerne imellem dertrækker dem sammen.

Van der Waals gasligning ser således ud:(p+ an2

V 2

)(V − nb) = nRT

Så forskellen mellem Van der Waals gasligning og idealgasligningen er dekorrektioner der laves på p og V .

a og b ovenfor er emperiske konstanter, afhængig af gassen, hvor b ervolumen af en mol af molekyler for gassen og a er en konstant der afhængeraf tiltrækningskraften mellem atomer i et mol af molekyler af gassen.

Den totale volumen af molekylerne er derved nb, så fratrukket den sam-lede volumen giver det V − nb volumen at bevæge sig på.

Faldet i tryk grundet tiltrækningskraften molekyler imellem er proportio-nal til n2/V 2, hvorved approksimationsevnen af Van der Waals gasligningenafhænger af denne sammenhæng.

Er nV tilstrækkelig lille (i.e. gassen er fortyndet) så er den gennemsnitlige

distance mellem molekyler så stor, at korrektionen opnået af Van der Waalsgasligningen er ligegyldig.

Som eksempel kan tages CO2 hvor idealgasligningen siger et mol af enidealgas ved 273.15 K, med tryk p = 1atm fylder V = 0.0224m3, så vil

95

Van der Waals gasligning kun vurderer 532 Pa lavere end idealgasligningenhvorved volumen vil være 0.5% større.

8.2.4 pV-diagrammer

Som jeg talte om tidligre så kan man benytte pV-diagrammer (tryk overvolumen) til at vurdere hvorvidt en gas er en idealgas eller el. Man kan i dethele taget bruge pV-diagrammer til at visualisere et systems afhængighed aftryk, volumen og temperatur for forudvalgte temperaturkonstante kurver.

Hver kurve i et sådan pV-diagram kaldes så en isoterm, hvor man typiskrækkefølgen af isotermer ud fra lavest til højest temperatur.

Et eksempel på et pV-diagram for en idealgas ses herunder:

Her kan man tydeligt se at p, T og V er indbyrdes afhængig på en ren ogpæn måde, hvor man direkte kan aflæse volumen ud fra værdier p og T .

Som kontrast hertil kan man lave et pV-diagram for en gas der ikkeopfylder idealgasligningen, hvorved den vil se mere ud som følger:

Hvor Tc er den såkaldte kritiske temperatur, hvilket er temperaturen hvorfaseovergange ikke længere finder sted uanset ændring af tryk eller volumen.

96

Under denne temperatur kan vi se, at der er områder hvor vi kan forøgevolumen af gassen uden at overøge trykket. Det er de såkaldte faselige-vægtstilstande hvor der sker faseovergang mellem gas og væske.

Ligeledes kan vi se at når en gas er blevet lavet om til en væske grundetlav volumen og temperatur, så skal der pludselig ekstremt meget tryk tilfor at kompresse volumen ned yderligere, da det er væsentligt sværere atkompresse en væske end en gas.

Sidst men ikke mindst kan vi se, at isotermen for temperaturen T4 op-fører sig nærmest ligesom en idealgas isoterm, hvilket er i overensstemmelsemed vores antagelser om modellen, netop af idealgasligningen er en fin ap-proksimation antaget høje temperaturer.

8.2.5 Kinetisk gasteori

Det bringer os så videre til et af hovedemner i dette spørgsmål, nemligkinetisk gasteori.

Hvor en tilstandsligning beskriver sammenhængen mellem forskellige til-standsvariabler, så beskriver en gasteori en molekylær model - altså en modelfor hvordan molekyler fungerer i en gas, hvorfra man så kan udlede tilstands-ligninger til en sådan gasteori.

En gasteori har også stor nytte i forhold til at kunne designe stoffermed forskellige ønskede egenskaber, eller forudsige forskellige egenskaber påbaggrund af teoretisk viden om molekylerne.

Vi skal kigge på den nogenlunde simple kinetiske gasteori, som er enmolekylærmodel for en idealgas.

AntagelserDen kinetiske gasteori repræsenterer en gas som bestående af et stort antalpartikler der flyver rundt i en lukket beholder. Vi repræsenterer altså mole-kyler som punkter, som jeg også tidligere har nævnt.

Vi har en række antagelser i modellen:

1. En beholder med volumen V indholder et stort antal N af identiskemolekyler, hver med masse m.

2. Molekylerne opfører sig som punkt partikler, hvorved deres størrelseer lille sammenlignet med den gennemsnitlige afstand imellem dem ogsammenlignet med dimensionerne af beholderen.

3. Molekylerne er i konstant bevægelse og overholder Newtons bevægel-seslove.

4. Hver molekyle kolliderer til tider med beholderens vægge, hvor dissekollisioner er perfekt elastiske (i.e. ingen kinetisk energi går tabt)

97

5. Beholderens vægge er perfekt stive, uendeligt massive og bevæger sigikke.

Med disse antagelser på plads kan vi gå videre med selve modellen.

8.2.6 Udledelse af trykformel

Vi starter med at udlede en formel for trykket. For god ordens skyld skrivervi lige formlen op først:

p = F

A= Nmv2

x

V

For at udlede denne formel skal vi kigge på hvordan tryk opstår i kassen.Tryk opstår i en gas når molekylerne kolliderer med omkringliggende lege-mer, i dette tilfælde en lukket beholder. Der er altså en direkte sammenhængmellem antallet af kollisioner og trykket det giver.

Når en molekyle i kinetisk gasteori kolliderer med væggen vil det vin-kelrette hastighedsvektor-komponent blive flipped, således det får modsatretning men samme magnitude (i.e. kollision med de lodrette vægge giverflipning af x-komponent vx). Dette vises herunder:

Målet er nu at finde antallet af kollisioner pr. enheds tid for et giventareal A af væggen. Herefter kan vi finde den totale impulsændring associeretmed de her kollisioner og fra det udregne den kraft der skal til for at skabedenne impulsændring. Herfra kan vi så udlede en formel for trykket.

Til at starte med antager vi alle molekyler i gassen har samme magnitu-de af deres x-komponent af hastighed |vx|. Det er som sådan ikke en korrekt

98

antagelse, men fint nok for vores udledning her. Vi kan korrigere resultatetbagefter.

Som sagt har vi, at for hver kollision med væggen vil det vinkelrettehastighedsvektor-komponent blive flipped, hvorved kollisioner med en verti-kal væg flipper hastighedsvektoren fra −|vx| til +|vx|.

Derved har vi en ændring i impuls fra −m|vx| til +m|vx| og den samledeændring i impuls er derved

m|vx| − (−m|vx|) = 2m|vx|

Hvis en molekyle vil kollidere med et givent vægareal A i løbet af detkorte tidsinterval dt, så må afstanden fra molekylen til væggen, i starten afdt, ikke være mere end |vx|dt og molekylen skal være på vej mod væggen.

Så antallet af molekyler der kolliderer med et givent vægareal A i tidendt, svarer til mængden af molekyler i en cylender med baseareal A og længde|vx|dt, hvor molekylernes hastighedsvektors x-kompoent peger mod væggen.

Volumen af denne cylinder er så A|vx|dt og antaget antallet af molekylerpr. volumen er uniform, så betyder det antallet af molekyler i cylineren er:(

N

V

)(A|vx|dt)

I gennemsnit vil halvdelen af disse til enhver tid have retning mod væggen,så antallet af kollisioner med A i tidsrummet dt er:

12

(N

V

)(A|vx|dt)

Vi viste før, at en kollision betyder 2m|vx| impulsændring, så den samledeimpulsændring for kollisionerne i cylinderen er:

dPx = 12

(N

V

)(A|vx|dt)(2m|vx|)

= NAmv2xdt

V

Tager vi herefter ændringen af impuls over tid, så får vi:

dPxdt

= NAmv2x

V

Ifølge Newtons 2. lov svarer ændringen i impuls til kraften der udøves afvægarealet A på molekylerne. Ved Newtons 3. lov har vi så, at der må væreen modsatrettede og lige stor kraft den anden vej, hvilket er den kraft mo-lekylerne udøver på vægarealet A.

99

Da tryk er er magnituden af den kraft der udøves på væggen pr. enhedsareal, så får vi at trykket er:

p = F

A= Nmv2

x

V

Trykket p afhænger altså af antallet af molekyler pr. volumen (N/V ), mas-sen af molekylet og hastigheden af molekylerne.

Korrektion for hastighedsantagelseSom nævnt før, så var det en ukorrekt antagelse at sige hastigheden af allemolekyler i x-komponentet var |vx|. Vi kunne dog have rettet det ved atsamle alle molekyler med samme x-komponent magnitude |vx| i grupper også udregnet de enkelte deles bidrag til trykket.

Resultatet af dette er dog bare at erstatte |vx|2 med |vx|2av i formlen fortrykket.

Grundet vores model, så kan vi dog antage de enkelte komponenter afhastighedsvektoren er det samme. Hvis vi vil udregne hastigheden af enmolekyle, så udregner vi blot:

v2 = v2x + v2

y + v2z

hvor vi kan tage gennemsnittet heraf over alle molekyler:

(v2)av = (v2x)av + (v2

y)av + (v2z)av

Og da de er de samme betyder det, at:

(v2x)av = 1

3(v2)av

Med den ændring bliver trykformlen ovenfor til:

p =13Nm(v2)av

V

8.2.7 Energi i kinetisk gasteori

Vi kigger nu på energien i den kinetiske gasteori.

100

Kinetisk energi af n mol af en ideal gas

Fra udtrykket for tryk kan vi så finde et udtryk for den gennemsnitligetranslatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas.

Vi starter med:

p =13Nm(v2)av

V

som er trykformlen med hastighedskorrektionen.Denne kan vi så skrive om til:

pV = 13Nm(v2)av = 2

3N[m(v2)av

]Det sidste led i klammerne ligner nu mistænkeligt meget den translatoriskekinetiske energi af et enkelt molekyle og N er antallet af molekyler. Dervedfår vi at ovenstående bliver

pV = 23Ktr

Hvis vi nu sammenligner dette med idealgasligningen, så havde vi derpV = nRT . For at de to formler er i overensstemmelse må den gennemsnit-lige translatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas således være:

Ktr = 32nRT

Vi kan altså se her, at den kinetiske energi er direkte proportional til tem-peraturen T

Kinetisk energi af en molekyleFra ovenstående kan man også finde den kinetiske energi af et molekyle, hvorjeg dog ikke har tænkt mig at gøre dette. I stedet skrives blot resultatet:

Ktr

N= 1

2m(v2)av = 32kT

hvor k er Boltzmanns konstant, som er konstant for alle stoffer.

Altså kan vi se den gennemsnitlige translatoriske kinetiske energi af etmolekyle kun afhænger af temperaturen og ikke at hverken volumen, masse,typen af molekyle e.lign.

101

8.2.8 Anvendelse: Varmekapacitet

Nu vi har kigget på gasteorier, så kan vi se hvad sådan en reelt kan brugestil.

Vha. en gasteori kan vi forsøge at forudsige forskellige egenskaber ved etgivent stof. I dette tilfælde molar varmekapaciteten, med konstant volumen,af et materiale CV .

Vi starter med at kigge på udtrykket for en translatoriske kinetiske energiovenfor, nemlig:

Ktr = 32nRT

Ved en lille hævelse af temperaturen dT her, vil vi altså se en lille hævelseaf den kinetiske energi dKtr, således:

dKtr = 32nRdT

Fra definitionen af molar varmekapacitet har vi desuden et udtryk for dQmed temperaturændring dT :

dQ = nCV dT

hvor dQ er den varmeenergi der skal til for at ændre temperaturen dT . Såhvis Ktr repræsenterer den samlede molekylære energi (som den simple ki-netisk gasteori antager), så skal dQ og dKtr være lig med hinanden, hvorvedvi kan skrive dem op og isolere CV :

nCV dT = 32nRdT

⇓

CV = 32R

Altså skulle den molare varmekapacitet ved konstant volumen, ifølge denkinetiske gasteori, være lig med 3

2R for alle gasser der kan repræsenteressom punkter.

Frihedsgrader

Resultatet ovenfor er forbavsende spot on når det kommer til monoa-tomare gasser, altså gasser hvor atomer ikke er bundet til hinanden. Menved diatomare gasser (i.e. 2 atomer er bundet til hinanden) og polyatomaregasser (i.e. adskillige atomer er bundet til hinanden), er det langt fra.

Dette skyldes at diatomer og polyatomer har flere frihedsgrader, såledesde har flere komponenter der spiller ind i deres kinetiske energi. Det være sig

102

f.eks. kinetiske energi ved rotation (i.e. fordi atomer kan rotere om hinandeni et molekyle) og vibration imellem dem.

Mængden af frihedsgrader svarer til antallet af de komponenter der skaltil at for at forklare en molekyles bevægelse fuldstændig.

Konceptet der er i spil her hedder “Equipartition of Energy” (obs: hvisder findes en oversættelse kunne jeg ikke finde den). Konceptet siger, at forhver komponent af bevægelse, er der en associeret kinetisk energi af 1

2kT ,hvor k er Boltzmanns konstant.

For et monoatomer molekyle er det derved 3 frihedsgrader (de 3 x,yog z komponenter af hastighedsvektoren), for diatomare molekyler kommeryderligere to med for rotation og for polyatomare molekyler kommer deryderligere 2 igen for polyatomere pga. vibrationen. Derved får vi følgendemolare varmekapaciteter jvf. Equipartition of Energy:

CV = 32R (monoatomar)

CV = 52R (diatomar)

CV = 72R (polyatomar)

Den molare varmekapacitet er dog varmeafhængig, således der for visse mo-lekyler vil opstå flere frihedsgrader som temperaturen stiger. Dette koncepter illustreret ved grafen herunder der plotter CV overfor T for hydrogen gasH2. Vibration kan således også bidrage til energien for diatomare gasser,såfremt temperaturen bare er høj nok.

103

OBS: For god ordens skyld kan nævnes at CV for faste stoffer går modCV = 3R for tilstrækkeligt store temperaturer. Dette kaldes for Dulong ogPetits regel.

8.2.9 Krafterne mellem to molekyler

To molekyler kan ses som værende to objekter der på den ene side tiltrækkerhinanden men på den anden side frastøder hinanden hvis de kommer for tætpå. Vi kan plotte denne tiltræknings-/frastødningskraft som vist herunder.Denne graf er udelukkende med fordi jeg ved forelæseren kunne finde på atspørge om det.

Relateret hertil er Van der Waals interaktionen, som gælder for diatomaremolekyler, som vi har fået en formel der kan approksimere. Denne formelser således ud:

U = U0

[(R0r

)12− 2

(R0r

)6]

Hvor U0 er en positiv konstant i enhed J . R0 er ligevægtsafstanden mellemto atomer og r er den nuværende afstand. Hvis to atomer er meget langt frahinanden, så er U = 0 og hvis de er i ligevægtsafstanden så er U = −U0.

104

Kraften fra det første atom på det sidste er så den negativt afledede afden potentielle energi ovenfor:

Fr = −dUdr

= 12U0R0

[(R0r

)13−

(R0r

)7]

Potentiel energi og kraft er plottet for Van der Waals interaktionen og voresapproksimationen herunder:

8.2.10 Faseovergange

Dette ekstra afsnit er udelukkende med for hurtigt at kunne skimme fase-overgangenes afhængighed af tryk og temperatur, i form af et pT diagram,som det herunder:

Som vi kan se er den kritiske temperatur Tc med på grafen, som er det punkthvor faseovergange ikke længere finder sted ved forøgelsen af trykket. Tc forvand er f.eks. 647.4 K.

Ligeledes er der det såkaldte Triple point, som er et særligt sted hvorstoffets fast, flydende og gasform kan eksistere på samme tid.

Resten af grafen skulle gerne være rimelig selvforklarende.

105

9 Varmekapacitet for gasser og faste stoffer, CPog CV

9.1 Disposition

1. Varmekapacitet Def. Varme Varmemængde og specifik varmekapacitet Molær varmekapacitet CV og CP

2. Estimering af molær varmekapacitet vha. kinetisk gasteori Kort om kinetisk gasteori (Formål, Antagelser, Kort om udled-

ning af tryk) Kinetisk energi af n mol af en ideal gas Kinetisk energi af en molekyle Find dK og dQ og sæt lig med hinanden, isoler CV . Frihedsgrader Dulonge og Petits regel

3. Varmekapacitet af en idealgas Termodynamikkens 1. hovedsætning (kort) Idealgas: Indre energi afhænger kun af T Forskellen mellem CV og CP . Udledning af sammenhængen mellem CV og CP Forholdet mellem CV og CP (γ)

9.2 Detaljer


9.2.1 Varmekapacitet

I dette spørgsmål skal vi kigge på konceptet af varmekapacitet.Så lad os starte med at kigge på konceptet af varme:

106

Def. Varmemængde

Hvis vi nedsænker noget koldt i noget varmt, f.eks. en ske i en kop te, såvil der påbegynde en udveksling af varmeenergi indtil disse to genstande eri termisk ligevægt (i.e. det varme te har fået lidt lavere temperatur og skeenhar samme temperatur som teen).

Denne udveksling af energi kaldes for varmestrøm eller varmeoverførsel.

Det er vigtigt at pointere forskellen på varme og temperatur her. Tem-peratur er en kvantitativ måling af niveauet af “hotness” eller “coldness”.Det afhænger altså af tilstanden af det man forsøger at måle det på. I mod-sætning hertil er varme noget der udveksles. Systemer kan udveksle varmei form af varmeoverførsel af energi, men et system har ikke en varme i denforstand. Man kan tilføje varme til et system ved at tilføje energi i en elleranden forstand, hvorved temperaturen vil stige. Men varme er altså en slagsenergi der udveksles og ikke en iboende egenskab af legemer.

Varmemængde og specifik varmekapacitet

Lad os gå videre og kigge på hvordan vi så måler denne varme. Vi brugersymbolet Q som mængden af varme.

Vi har så, at mængden af varme Q der skal til for at hæve temperaturenaf en massem af et givent materiale fra T1 til T2, er approksimerbart propor-tional til temperaturændringen ∆T = T2 − T1. Det er desuden proportionaltil massen af materialet.

Dette betyder altså at hvis du ville varme vand til te, så vil du skulletilføre dobbelt så meget varme hvis du tager 2 kopper, som hvis du tager enfor samme temperaturinterval.

Alt afhængig af materiale tager det også mere eller mindre energi athæve temperaturen. For vand tager det 4190J at hæve temperaturen 1 K,men kun 910J at hæve temperaturen af aluminium med 1 K.

Sætter vi alt dette sammen får vi forholdet:

Q = mc∆T

hvor c er en værdi vi kalder den Specifikke varmekapacitet, og som variererfra materiale til materiale og har enheden J/kg ·K (i.e. varme pr. masse pr.temperaturændring). Man siger c er den varmemængde i J der skal til forat forøge temperaturen af et stof med 1 K.

Specifik varmekapacitet varierer også afhængig af temperatur, men i re-lativt lille grad, således vi oftests ignorer denne variation. Nedenfor er plottetdenne variation for vand:

107

Molær varmekapacitetRelateret hertil er konceptet af molær varmekapacitet.

Det kan til tider være mere praktisk at notere masse som en mængde afmol n fremfor en masse mtot af materiale, hvor molarmassenM så er massenpr. mol for et givent materiale, således masse kan opskrive som:

m = nM

Tager vi samme formel som til specifik varmekapacitet og indsætter voresnye m, så får vi:

Q = nMc∆T

HvorMc så oftests skrives som C som vi kalder den molære varmekapacitet.Altså bliver formlen:

Q = nC∆T

Q er så her den varmetilførsel der skal til for at ændre temperaturen af nmol med ∆T Kelvin.

Den molære varmekapacitet C har så enheden J/molK (i.e. varme pr.mol pr. temperaturændring).

Reel måling af den molære varmekapacitet (og den specifikke for densags skyld) kan være enormt svært at gøre eksperimentielt. Vi vil kun kiggepå det teoretisk her. Har man først den ene varmekapacitet, så følger denanden selvfølgelig naturligt, da C = Mc, men har man ikke det må manbruge andre metoder.

Hvis man forsøger at måle varmekapaciteten for et fast materiale, så vilman ofte gøre det for konstant tryk, således det man egentlig måler er denmolære varmekapacitet under konstant tryk CP (og den tilsvarende cp forspecifik varmekapacitet). Dette er ofte nemmest at gøre, da man bare kanantage materialet er ved atmosfærisk tryk, hvilket i mange tilfælde vil være

108

sandt for de fleste materialer.

En gas derimod er svær at holde ved konstant tryk, så derfor holderman i stedet den ved konstant volumen, ved f.eks. at holde gassen i enlukket beholer. Derved måler man i virkeligheden den molære varmekapa-citet ved konstant volumen, CV (ellre cV for den specifikke varmekapacitet).

For faste stoffer er forskellen mellem CV og CP tilstede men ikke mar-kant, men for gasser er den betydningsfuld. Forskellen mellem disse to kom-mer jeg ind på lidt senere.

9.2.2 Estimering af molær varmekapacitet vha. kinetisk gasteori

Det bringer os så videre til en metode hvormed vi kan estimere den molærevarmekapacitet af et molekyle teoretisk - vi kan benytte en gasteori.

Jeg vil ikke bruge alt for lang tid på at forklare den kinetiske gasteori idette emne, men vil dog sige hovedtrækkene i hvordan man udleder formlenfor tryk og så mere eller mindre bare skrive translatorisk kinetisk energi afn mol af en idealgas og translatorisk kinetisk energi af et gasmolekyle op.

Det er denne sidste sætning for translatorisk kinetisk energi for et gas-molekyle vi skal bruge.

Hvor en tilstandsligning beskriver sammenhængen mellem forskellige til-standsvariabler, så beskriver en gasteori en molekylær model - altså en modelfor hvordan molekyler fungerer i en gas, hvorfra man så kan udlede tilstands-ligninger til en sådan gasteori.

En gasteori har også stor nytte i forhold til at kunne designe stoffermed forskellige ønskede egenskaber, eller forudsige forskellige egenskaber påbaggrund af teoretisk viden om molekylerne.

Vi skal kigge på den nogenlunde simple kinetiske gasteori, som er enmolekylærmodel for en idealgas.

AntagelserDen kinetiske gasteori repræsenterer en gas som bestående af et stort antalpartikler der flyver rundt i en lukket beholder. Vi repræsenterer altså mole-kyler som punkter, som jeg også tidligere har nævnt.

Vi har en række antagelser i modellen:

1. En beholder med volumen V indholder et stort antal N af identiskemolekyler, hver med masse m.

2. Molekylerne opfører sig som punkt partikler, hvorved deres størrelseer lille sammenlignet med den gennemsnitlige afstand imellem dem og

109

sammenlignet med dimensionerne af beholderen.

3. Molekylerne er i konstant bevægelse og overholder Newtons bevægel-seslove.

4. Hver molekyle kolliderer til tider med beholderens vægge, hvor dissekollisioner er perfekt elastiske (i.e. ingen kinetisk energi går tabt)

5. Beholderens vægge er perfekt stive, uendeligt massive og bevæger sigikke.

Med disse antagelser på plads kan vi gå videre med selve modellen.

Udledelse af trykformelVi starter med at udlede en formel for trykket. For god ordens skyld skrivervi lige formlen op først:

p = F

A= Nmv2

x

V

For at udlede denne formel skal vi kigge på hvordan tryk opstår i kassen.Tryk opstår i en gas når molekylerne kolliderer med omkringliggende lege-mer, i dette tilfælde en lukket beholder. Der er altså en direkte sammenhængmellem antallet af kollisioner og trykket det giver.

Når en molekyle i kinetisk gasteori kolliderer med væggen vil det vin-kelrette hastighedsvektor-komponent blive flipped, således det får modsatretning men samme magnitude (i.e. kollision med de lodrette vægge giverflipning af x-komponent vx). Dette vises herunder:

110

Målet er nu at finde antallet af kollisioner pr. enheds tid for et giventareal A af væggen. Herefter kan vi finde den totale impulsændring associeretmed de her kollisioner og fra det udregne den kraft der skal til for at skabedenne impulsændring. Herfra kan vi så udlede en formel for trykket.

Til at starte med antager vi alle molekyler i gassen har samme magnitu-de af deres x-komponent af hastighed |vx|. Det er som sådan ikke en korrektantagelse, men fint nok for vores udledning her. Vi kan korrigere resultatetbagefter.

Som sagt har vi, at for hver kollision med væggen vil det vinkelrettehastighedsvektor-komponent blive flipped, hvorved kollisioner med en verti-kal væg flipper hastighedsvektoren fra −|vx| til +|vx|.

Derved har vi en ændring i impuls fra −m|vx| til +m|vx| og den samledeændring i impuls er derved

m|vx| − (−m|vx|) = 2m|vx|

Hvis en molekyle vil kollidere med et givent vægareal A i løbet af detkorte tidsinterval dt, så må afstanden fra molekylen til væggen, i starten afdt, ikke være mere end |vx|dt og molekylen skal være på vej mod væggen.

Så antallet af molekyler der kolliderer med et givent vægareal A i tidendt, svarer til mængden af molekyler i en cylender med baseareal A og længde|vx|dt, hvor molekylernes hastighedsvektors x-kompoent peger mod væggen.

Volumen af denne cylinder er så A|vx|dt og antaget antallet af molekylerpr. volumen er uniform, så betyder det antallet af molekyler i cylineren er:(

N

V

)(A|vx|dt)

I gennemsnit vil halvdelen af disse til enhver tid have retning mod væggen,så antallet af kollisioner med A i tidsrummet dt er:

12

(N

V

)(A|vx|dt)

Vi viste før, at en kollision betyder 2m|vx| impulsændring, så den samledeimpulsændring for kollisionerne i cylinderen er:

dPx = 12

(N

V

)(A|vx|dt)(2m|vx|)

= NAmv2xdt

V

Tager vi herefter ændringen af impuls over tid, så får vi:

dPxdt

= NAmv2x

V

111

Ifølge Newtons 2. lov svarer ændringen i impuls til kraften der udøves afvægarealet A på molekylerne. Ved Newtons 3. lov har vi så, at der må væreen modsatrettede og lige stor kraft den anden vej, hvilket er den kraft mo-lekylerne udøver på vægarealet A.

Da tryk er er magnituden af den kraft der udøves på væggen pr. enhedsareal, så får vi at trykket er:

p = F

A= Nmv2

x

V

Trykket p afhænger altså af antallet af molekyler pr. volumen (N/V ), mas-sen af molekylet og hastigheden af molekylerne.

Korrektion for hastighedsantagelseSom nævnt før, så var det en ukorrekt antagelse at sige hastigheden af allemolekyler i x-komponentet var |vx|. Vi kunne dog have rettet det ved atsamle alle molekyler med samme x-komponent magnitude |vx| i grupper også udregnet de enkelte deles bidrag til trykket.

Resultatet af dette er dog bare at erstatte |vx|2 med |vx|2av i formlen fortrykket.

Grundet vores model, så kan vi dog antage de enkelte komponenter afhastighedsvektoren er det samme. Hvis vi vil udregne hastigheden af enmolekyle, så udregner vi blot:

v2 = v2x + v2

y + v2z

hvor vi kan tage gennemsnittet heraf over alle molekyler:

(v2)av = (v2x)av + (v2

y)av + (v2z)av

Og da de er de samme betyder det, at:

(v2x)av = 1

3(v2)av

Med den ændring bliver trykformlen ovenfor til:

p =13Nm(v2)av

V

Energi i kinetisk gasteori Vi kigger nu på energien i den kinetiske ga-steori.

112

Kinetisk energi af n mol af en ideal gas

Fra udtrykket for tryk kan vi så finde et udtryk for den gennemsnitligetranslatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas.

Vi starter med:

p =13Nm(v2)av

V

som er trykformlen med hastighedskorrektionen.Denne kan vi så skrive om til:

pV = 13Nm(v2)av = 2

3N[m(v2)av

]Det sidste led i klammerne ligner nu mistænkeligt meget den translatoriskekinetiske energi af et enkelt molekyle og N er antallet af molekyler. Dervedfår vi at ovenstående bliver

pV = 23Ktr

Hvis vi nu sammenligner dette med idealgasligningen, så havde vi derpV = nRT . For at de to formler er i overensstemmelse må den gennemsnit-lige translatoriske kinetiske energi af n mol af ideal gas således være:

Ktr = 32nRT

Vi kan altså se her, at den kinetiske energi er direkte proportional til tem-peraturen T

Kinetisk energi af en molekyleFra ovenstående kan man også finde den kinetiske energi af et molekyle, hvorjeg dog ikke har tænkt mig at gøre dette. I stedet skrives blot resultatet:

Ktr

N= 1

2m(v2)av = 32kT

hvor k er Boltzmanns konstant, som er konstant for alle stoffer.

Altså kan vi se den gennemsnitlige translatoriske kinetiske energi af etmolekyle kun afhænger af temperaturen og ikke at hverken volumen, masse,typen af molekyle e.lign.

113

Estimering af molær varmekapacitetNu vi har kigget på den kinetiske gasteori, så kan vi se hvad sådan den reeltkan bruges til.

Vha. den kinetiske gasteori kan vi forsøge at forudsige molar varmeka-paciteten, med konstant volumen, af et materiale CV .

Vi starter med at kigge på udtrykket for en translatoriske kinetiske energiovenfor, nemlig:

Ktr = 32nRT

Ved en lille hævelse af temperaturen dT her, vil vi altså se en lille hævelseaf den kinetiske energi dKtr, således:

dKtr = 32nRdT

Fra definitionen af molar varmekapacitet har vi desuden et udtryk for dQmed temperaturændring dT :

dQ = nCV dT

hvor dQ er den varmeenergi der skal til for at ændre temperaturen dT . Såhvis Ktr repræsenterer den samlede molekylære energi (som den simple ki-netisk gasteori antager), så skal dQ og dKtr være lig med hinanden, hvorvedvi kan skrive dem op og isolere CV :

nCV dT = 32nRdT

⇓

CV = 32R

Altså skulle den molare varmekapacitet ved konstant volumen, ifølge denkinetiske gasteori, være lig med 3

2R for alle gasser der kan repræsenteressom punkter.

Frihedsgrader

Resultatet ovenfor er forbavsende spot on når det kommer til monoa-tomare gasser, altså gasser hvor atomer ikke er bundet til hinanden. Menved diatomare gasser (i.e. 2 atomer er bundet til hinanden) og polyatomaregasser (i.e. adskillige atomer er bundet til hinanden), er det langt fra.

Dette skyldes at diatomer og polyatomer har flere frihedsgrader, såledesde har flere komponenter der spiller ind i deres kinetiske energi. Det være sigf.eks. kinetiske energi ved rotation (i.e. fordi atomer kan rotere om hinanden

114

i et molekyle) og vibration imellem dem.

Mængden af frihedsgrader svarer til antallet af de komponenter der skaltil at for at forklare en molekyles bevægelse fuldstændig.

Konceptet der er i spil her hedder “Equipartition of Energy” (obs: hvisder findes en oversættelse kunne jeg ikke finde den). Konceptet siger, at forhver komponent af bevægelse, er der en associeret kinetisk energi af 1

2kT ,hvor k er Boltzmanns konstant.

For et monoatomer molekyle er det derved 3 frihedsgrader (de 3 x,yog z komponenter af hastighedsvektoren), for diatomare molekyler kommeryderligere to med for rotation og for polyatomare molekyler kommer deryderligere 2 igen for polyatomere pga. vibrationen. Derved får vi følgendemolare varmekapaciteter jvf. Equipartition of Energy:

CV = 32R (monoatomar)

CV = 52R (diatomar)

CV = 72R (polyatomar)

Den molare varmekapacitet er dog varmeafhængig, således der for visse mo-lekyler vil opstå flere frihedsgrader som temperaturen stiger. Dette koncepter illustreret ved grafen herunder der plotter CV overfor T for hydrogen gasH2. Vibration kan således også bidrage til energien for diatomare gasser,såfremt temperaturen bare er høj nok.

115

Dulong og Petits regel

Hvis vi nu ikke har at gøre med en gas, men derimod et fast stof, så ved vihvert atom er bundet til hinanden i og omkring deres ligevægtsposition. Mankan se det som at der er fjedre imellem hvert atom i et molekyle og atomerneså kan vibrere omkring dette ligevægtspunkt. Dette illustreres nedenfor:

Hvert atom har så 3 frihedsgrader (grundet de 3 komponenter af deres ha-stighedsvektorer). Ifølge Equipartition of Energy reglen, så betyder det dehver især har kinetisk energi 1

3kT hvor k er Boltzmanns konstant.Udover dette har de dog også potentiel energi fra deres elastiske deforma-

tion, som er lig med deres kinetiske energi, da vibrationrene tilnærmelsesviser en harmonisk bevægelse (i.e. den gennemsnitlige kinetiske energi i et atomer lig med den gennemsnitlige potentielle energi).

Derved kan vi forvente at hvert atom har gennemsnitlig 32kT kinetisk

energi og gennemsnitlig 32kT potentiel energi, hvorved den samlede energi

er 3kT pr atom.Det leder derved til en molær varmekapacitet på:

CV = 3R

Hvilket numerisk er:

CV = 3(8.314J/mol ·K) = 24.9J/mol ·K

Hvilket gælder for et ideelt monoatomart fast stof (f.eks. Aluminium, Blyosv... men ikke f.eks. Stål), antaget temperaturen er høj nok.

Dette kaldes også for Dulong og Petits regel. Ved lave temperaturer vilEquipartition of Energy ikke gælde, hvorved den molære varmekapacitet ervæsentligt lavere. For alle monoatomere stoffer gælder Dulong og Petits regeldog hvis temperaturen blot er høj nok, som denne graf herunder illusterer:

116

9.2.3 Varmekapacitet af en idealgas

Det bringer os så videre til den sidste del her, hvor jeg vil tale om varmeka-pacitet af en idealgas.

Termodynamikkens 1. hovedsætning (kort)For at kunne tale om varmekapaciteten i en idealgas, samt forholdet mellemCV og CP , så skal vi først lige kigge på nogle principper i Termodynamikkens1. hovedsætning.

Et termodynamisk systemEt termodynamisk system er enhver samling af objekter der er relevante atopfatte som værende et system og som har potentiale til at udveksle energimed sine omgivelser.

Et system i denne forstand skal altså kunne omtales som en enhed, så-ledes den kan have en tilstand eller state. Derved kan vi beskrive systemetvha. tilstandsvariabler og sammenhængen mellem disse vha. en tilstandslig-ning.

En proces der ændrer denne tilstand kalder vi så for en termodynamiskproces.

Arbejde og VarmestrømEnergirelationerne i enhver termodynamisk proces omtaler vi så som en var-memængde Q som tilføres til eller fjernes fra et system og en arbejdsmængdeW som laves af eller på systemet.

Hvis varmemængden Q er positiv er det varme ind i systemet og hvisden er negativ er det ud af systemet (0 betyder selvfølgelig ligevægt). Hvis

117

arbejdsmængden W er positiv betyder det arbejde udført af systemet påomgivelserne og hvis den er negativ betyder det arbejde udført på systemet(f.eks. hvis en gas bliver kompresset af dens omgivelser).

Konceptet vises herunder:

Fortegnet for W er i dette tilfælde anderledes end for mekanik, hvorW var mængden af arbejde udført på legemet fra andre krafter, hvormedpositiv W var det vi ser som negativ W her. Det er dog konventionen fortermodynamik, så det er den vi følger.

Indre energi og Termodynamikkens 1. hovedsætning

Siden alle materialer beståer af atomer og molekyler, og hver af dissehar en kinetisk energi og en potentiel energi defineret for dem, så kan videfinere den indre energi af et termodynamisk system som værende summenaf den kinetiske energi for alle partikler heri, samt summen for den potentielleenergi af alle partikler heri.

Dette gælder dog kun potentielle energier der rent faktisk opstår somfølger af interaktion mellem systemet og dets omgivelser, og ikke f.eks. gravi-tationel potentiel energi.

Vi bruger symbolet U for indre energi og en ændring af tilstanden foret system kan så ske at ændre den indre energi fra en startværdi U1 til enslutværdi U2 hvorved ændringen i indre energi er: ∆U = U2 − U1

118

Selvom at summere over kinetisk og potentiel energi er den rigtige, ellermest virklighedsnære, måde at tælle indre energi op på, så er de dog ikkeen særlig operationel måde. Af den grund definerer man i stedet den indreenergi som forskellen mellem varmemænden Q og arbejdet W , således vi fårsammenhængen vi kalder termodynamikkens 1. hovedsætning:

∆U = Q−W

Som vi så til tider hellere vil arbejde med som:

Q = ∆U +W

Vi får altså en konstruktion hvor det at tilføje varmeenergiQ til et systemforøger dets indre energi med ∆U og det at udføre arbejde W formindskerden indre energi med ∆U .

Eksempler på dette vises for 3 systemer herunder:

Spørgsmålet er så nu, om vi vha. indre energi har løst problemet medflere stier til samme tilstande. Det kan vi ikke umiddelbart svare på teoretisk,men eksperimentielt nævner bogen at alle resultater på dette har været klareog utvetydige:

Indre energi ∆U = Q −W er sti-uafhængig. Ændrin-gen i indre energi af et system i løbet af en termody-namisk proces afhænger udelukkende af den initielle ogden endelige tilstand, ikke af stien imellem dem.

Idealgas: Indre energi afhænger kun af T

Da vi kigger på idealgasser her, så skal vi også bruge en observation ang.indre energi i idealgasser.

For idealgasser gælder der nemlig den sammenhæng, at den interne ener-gi U kun afhænger af temperaturen og ikke af hverken volumen eller tryk.

119

Vi kan argumentere for dette faktum vha. et eksempel. Kigger vi på etfri ekspansion eksperiment, så har vi en termisk isoleret beholder med stivevægge og hvor beholderen er delt op i to dele vha. en partition.

Et af disse “kamre” har så en idealgas og den anden er lavet om til etvacuum.

Når denne partition brydes vil gassen udvide sig for at fylde begge kamre.Denne udvidelse udfører intet arbejde da udvidelsen ikke flytter på væggeneog der sker ingen varmeføring igennem isoleringen.

Så både Q ogW er 0 og den indre energi U er derved konstant. Konceptetvises herunder:

Indtil videre er ovenstående gældende for alle materialer, ikke blot gasser.Ser vi på temperaturændringen, så kan vi overveje hvorvidt en fri-ekspansionsom ovenstående resulterer i en temperaturændring? Vi kan således opskrivekonsekvenserne herunder:

Ja: Hvis en fri-ekspansion resulterer i en temperaturændring, alt imens denindre energi forbliver den samme, så må det betyde den interne energiafhænger af både temperatur og tryk, eller temperatur og volumen,men helt sikkert ikke temperatur alene.

Nej: Hvis en fri-ekspansion derimod ikke resulterer i en temperaturændring,så ved vi den indre energi U kun afhænger af temperaturen T , da Uholdes konstant til trods for p og V alt imens ændrer sig.

Eksperimenter har undersøgt det her for lav-densitets gasser og derestemperatur ændrede sig ikke! Sådan en gas er grundlæggende en idealgas,hvorved vi kan konstatere generelt for idealgasser:

Den indre energi U af en idealgas afhænger udeluk-kende af dens temperatur T og ikke dens tryk p ellervolumen V

OBS: For ikke-idealgasser vil en fri-ekspansion ofte resulterer i et faldi temperatur til trods for konstant indre energi U . Det skyldes at U ikkeblot afhænger af temperatur her. Det er tydeligt hvis du ser på atomer i

120

en gas, da deres interne energi er summen af potentiel energi og kinetiskenergi. Når gassen udvider sig forøges afstanden mellem atomer, hvorvedden potentielle energi forøges. Men fordi den indre energi ikke må ændresig, så må den kinetiske energi falde, og den kinetiske energi har direktesammenhæng til temperaturen af en gas.

Forskellen mellem CV og CPSom jeg sagde under gennemgangen af molær varmekapacitet, så har vi 2eksperimentielle måder at måle varmekapacitet på. Vi kan måle varmekapa-citeten ved konstant volumen, således vi finder den molære varmekapacitetved konstant volumen CV , eller vi kan måle varmekapaciteten ved konstanttryk, således vi finder den molære varmekapacitet ved konstant tryk CP .

At forsøge at finde CV giver mest mening for gasser (i.e. det er nemt atplacere gassen i en beholder og på den måde begrænse volumen), hvor atfinde CP giver mest mening for faste stoffer (i.e. det er nemt at styre trykketved faste stoffer).

Vi forestiller os nu CV og CP for en idealgas.For at måle CV ville vi hæve temperaturen af en ideal gas imens den

var i en stiv container med konstant volumen (note: vi ignorerer altså ter-misk expansion af containeren). For at måle CP derimod ville vi lade engassen udvide sig lige akkurat nok for at holde trykket konstant med tem-peraturstigningen.

Disse to CV og CP er nu forskellige grundet Termodynamikkens 1. hoved-sætning. I en konstant-volumen temperaturstigning udfører systemet intetarbejde W og ændringen i indre energi er derved ∆U = Q.

I en konstant-tryk temperaturstigning derimod udfører systemet et ar-bejde når volumen bliver forøget, ellers kunne trykket ikke forblive konstant,grundet idealgaslignigen p = nRT/V . Ifølge Termodynamikkens 1. hoved-sætning betyder det, at varmemængden Q bliver:

Q = ∆U +W

Da indre energi i en idealgas udelukkende afhænger af temperaturen T , såvil en given stigning i temperatur resulterer i den samme stigning i indreenergi ∆U uanset proces.

Derved kan vi se, at CP varmekapaciteten må være større end CV var-mekapaciteten, da der skal bruges ekstra energi for at lave arbejdet W derskal bruges til udvidelsen.

Vi har altså at CP > CV .

121

Dette koncept vises også herunder som et pV-diagram, hvor vi tydeligtkan se begge når til samme sluttemperatur T2 og slut indre energi U2, menCP processen skal bruge mere varmeenergi for at nå dertil pga. arbejdet W :

OBS: En undtagelse hertil er hvis W er negativt (f.eks. ved vand mellem0 og 4 grader Celcius, hvor volumen formindskes ved opvarmning). I dettilfælde er CP < CV . Men generelt forøges volumen ved opvarmning, hvorvedCP > CV gælder for det meste.

Udledning af sammenhængen mellem CV og CPSå vi ved nu at CP > CV , men kan vi se noget mere præcist om hvor megetstørre. Det viser sig, at det kan vi sagtens.

Vi starter med at kigge på konstant volumen tilfældet CV .Vi placerer n mol af en idealgas ved temperatur T i en konstant-volumen

container.Vi sætter den herefter i termisk kontakt med et varmere legeme.En infinitesimal mængde varme dQ vil herefter flyde ind i gassen og dens

temperatur stiger med en infinitesimal mængde dT .Vi har desuden definitionen på molær varmekapacitet ved konstant vo-

lumen, som siger:

dQ = nCV dT

Vi ved så processen her hæver trykket af gassen, men gassen udførerintet arbejde (dW = 0) fordi volumen er konstant.

Termodynamikkens 1. hovedsætning i differentialform er så:

dQ = dU + dW

Siden vi ved dW = 0, så bliver dQ = dU og vi kan nu omskrive formlen formolær varmekapacitet til:

dU = nCV dT

122

Hvis vi så nu kigger på konstant tryk situationen med CP og med sammetemperaturændring dT , så placerer vi den samme gas i en cylinder medet stempel således vi kan regulerer den løbende akkurat nok til at holdekonstant tryk når gassen udvider sig.

Endnu engang sætter vi denne i kontakt med et varmere legeme og nårvarme strømmer ind i gassen vil gassen udvide sig ved konstant tryk oggassen udfører et arbejde.

Ved definitionen af CP har vi at molær varmekapacitet for konstant tryker:

dQ = nCPdT

Arbejdet der udføres for at udvide gassen er så dW = pdV .Dette arbejde kan vi også udtrykke i form af idealgasligningen pV =

nRT , men fordi p er konstant så er ændringen i V proportional til ændringeni T , så vi kan skrive:

dW = pdV = nRdT

Vi har nu værdier for dW , dU og dQ, så vi indsætter dem i Termodyna-mikkens 1. hovedsætning:

dQ = dU + dW

nCPdT = nCV dT + nRdT

Her er det vigtigt at pointere, at vi kun kan indsætte dU = nCV dT fordiden indre energi af en idealgas kun afhænger af temperaturen uanset proces.Normalvis ville vi ikke kunne da CV er molær varmekapaciteten for konstantvolumen, og volumen er ikke konstant her.

Tager vi nu det sidste udtryk her og dividerer hvert led med ndT , så fårvi:

CP = CV +R

Altså er CP større end CV med præcis konstanten R, såfremt vi taler omidealgasser.

Det skal siges denne sammenhæng ikke gælder generelt, da ikke alt kanbetegnes som en idealgas, men selv ved mange normale gasser er det en finapproksimation, der kun giver nogle få procents afvigelse fra realiteten.

123

Forholdet mellem CV og CP (γ)

Sidst men ikke mindst kan man definere forholdet mellem CV og CP somforholdet mellem varmekapaciteter, som vi skriver som gamma (γ):

γ = CPCV

Ligesom man kan forudsige værdier for CV og CP , så kan man ogsåforudsige værdier for γ, som f.eks. for en ideal monoatomar gas med CV =32R:

CP = CV +R = 32R+R = 5

2R

Hvorved γ bliver:

γ = CPCV

=52R32R

= 53 = 1.67

Hvilket passer med tabelværdier for γ. Noget estimeringen for en diatomarversion også gør (γ = 1.40)

124

10 Termodynamikkens første hovedsætning, ter-modynamiske processer

10.1 Disposition

1. Et termodynamisk system

2. Arbejde og Varmestrøm Udledning af arbejde i volumenændring Visualisering af arbejde i pV-diagrammer Veje mellem termodynamiske tilstande

3. Indre energi & Termodynamikkens 1. hovedsætning Indre energi og 1. hovedsætning Cykliske processer og isolerede systemer

4. Termodynamiske processer Den adiabatiske proces Den isochore proces Den isotermiske proces Den isobare proces

5. Termodynamik og idealgasser Idealgas: Indre energi afhænger kun af T Forskellen mellem CV og CP . Sammenhængen mellem CV og CP (resultat) Forholdet mellem CV og CP (γ) Den adiatiske proces for en idealgas Udledning af sammenhæng mellem V og T

10.2 Detaljer


10.2.1 Termodynamikkens 1. hovedsætning

Dette emner handler om en af de fundamentale sætninger i termodynamik-ken, nemlig Termodynamikkens 1. hovedsætning. Der er også en Termody-namikkens 0. hovedsætning, men det vil vi ikke gennemgå noget om her -det kan der findes noget om tidligere i dispositionerne.

125

Et termodynamisk systemEt termodynamisk system er enhver samling af objekter der er relevante atopfatte som værende et system og som har potentiale til at udveksle energimed sine omgivelser.

Et system i denne forstand skal altså kunne omtales som en enhed, så-ledes den kan have en tilstand eller state. Derved kan vi beskrive systemetvha. tilstandsvariabler og sammenhængen mellem disse vha. en tilstandslig-ning.

En proces der ændrer denne tilstand kalder vi så for en termodynamiskproces.

Arbejde og VarmestrømEnergirelationerne i enhver termodynamisk proces omtaler vi så som en var-memængde Q som tilføres til eller fjernes fra et system og en arbejdsmængdeW som laves af eller på systemet.

Hvis varmemængden Q er positiv er det varme ind i systemet og hvisden er negativ er det ud af systemet (0 betyder selvfølgelig ligevægt). Hvisarbejdsmængden W er positiv betyder det arbejde udført af systemet påomgivelserne og hvis den er negativ betyder det arbejde udført på systemet(f.eks. hvis en gas bliver kompresset af dens omgivelser).

Konceptet vises herunder:

Fortegnet for W er i dette tilfælde anderledes end for mekanik, hvorW var mængden af arbejde udført på legemet fra andre krafter, hvormed

126

positiv W var det vi ser som negativ W her. Det er dog konventionen fortermodynamik, så det er den vi følger.

Udledning af arbejde i volumenændring Vi kan så nu udlede et ud-tryk for mængden af arbejde der skal til for at udføre en ændring af volumeni en cylinder med et stempel, som vist herunder:

Som vi kan se har cylinderen et tværsnitsareal på A hvorved kraften derudøves på dette areal er F = pA. Når stemplet så rykkes en infinitesimaldistance dx, så udføres følgende infinitesimale mængde arbejde:

dW = Fdx = pAdx

Men da Adx er volumen af denne forøgelse, så kan vi også skrive dette omtil:

dW = pdV

I en ændring af volumen fra V1 til V2 giver det så følgende udtryk for arbejdetW :

W =∫ V2

V1pdV

Hvorved vi skal have et udtryk for trykket p, da trykket typisk kan variere.

Hvis trykket holdes konstant bliver udtrykket for W i stedet til:

W = p(V2 − V2)

Visualisering af arbejde i pV-diagrammer

Arbejdet W kan også visualiseres i et pV-diagram ved at notere start ogslut tryk på en isoterm, samt start og slut volumen. Herefter vil arbejdet Wvære arealet under kurven.

Tre eksempler vises herunder:

127

Alt afhængig om det er en volumen udvidelse eller kompression, så vilarealet enten være henholdsvis positivt eller negativt.

Veje mellem termodynamiske tilstandeNår et termodynamisk system skifter tilstand, så gør den det ligesom viså ved pV-diagrammerne for arbejde, simpelthen ved at skifte til en andenposition på den isoterm (eller på en anden isoterm).

Men man kunne så spørge sig selv, har den vej man tager igennem til-standende betydning for mængden af arbejdeW og varmemængden Q? Hvisman kigger på nedenstående eksempel, så har vi en situation hvor vi ønskerat gå fra tilstand 1 til tilstand 2

Der er så 3 måder vi kan gøre det på her, startende fra tilstande 1 med trykp1 og volumen V1 og gående mod tilstand 2 med tryk p2 og volumen V2:

1. Vi kunne holde trykket p1 konstant imens vi udvider systemets vo-lumen til V2 således vi ville være ved tilstand 3, hvorefter vi holdervolumen V2 konstant imens vi sænker trykket (sandsynligvis ved atsænke temperaturen) indtil vi når til tilstand 2.At gøre det på den måde ville give arealet under kurven i arbejde W :

128

2. Vi kunne også gøre det ved at sænke trykket fra p1 til p2 (igen sand-synligvis ved at sænke temperaturen) og så lade systemet udvide sinvolumen indtil vi når tilstand 2 med volumen V2. Så ville arbejde Wvære volumen under den mindre vandrette kurve.

3. En sidste mulighed var at sænke tryk og volumen simultant, for dervedat tage den kurvede rute. Det ville så give arbejde W svarende tilarealet under den kurve.

Vi kan altså se mængden af arbejde W afhænger meget af hvilken rutevi tager, hvorved vi må konkludere, at det ikke giver mening at tale omarbejde W som en tilstandsvariabel, ligesom det ikke giver mening at taleom varmemængde Q på den måde.

129

I stedet definerer vi noget kaldet den indre energi af et termodynamisksystem.

Indre energi og 1. hovedsætning

Siden alle materialer beståer af atomer og molekyler, og hver af dissehar en kinetisk energi og en potentiel energi defineret for dem, så kan videfinere den indre energi af et termodynamisk system som værende summenaf den kinetiske energi for alle partikler heri, samt summen for den potentielleenergi af alle partikler heri.

Dette gælder dog kun potentielle energier der rent faktisk opstår somfølger af interaktion mellem systemet og dets omgivelser, og ikke f.eks. gravi-tationel potentiel energi.

Vi bruger symbolet U for indre energi og en ændring af tilstanden foret system kan så ske at ændre den indre energi fra en startværdi U1 til enslutværdi U2 hvorved ændringen i indre energi er: ∆U = U2 − U1

Selvom at summere over kinetisk og potentiel energi er den rigtige, ellermest virklighedsnære, måde at tælle indre energi op på, så er de dog ikkeen særlig operationel måde. Af den grund definerer man i stedet den indreenergi som forskellen mellem varmemænden Q og arbejdet W , således vi fårsammenhængen vi kalder termodynamikkens 1. hovedsætning:

∆U = Q−W

Som vi så til tider hellere vil arbejde med som:

Q = ∆U +W

Vi får altså en konstruktion hvor det at tilføje varmeenergiQ til et systemforøger dets indre energi med ∆U og det at udføre arbejde W formindskerden indre energi med ∆U .

Eksempler på dette vises for 3 systemer herunder:

130

Spørgsmålet er så nu, om vi vha. indre energi har løst problemet medflere stier til samme tilstande. Det kan vi ikke umiddelbart svare på teoretisk,men eksperimentielt nævner bogen at alle resultater på dette har været klareog utvetydige:

Indre energi ∆U = Q −W er sti-uafhængig. Ændrin-gen i indre energi af et system i løbet af en termody-namisk proces afhænger udelukkende af den initielle ogden endelige tilstand, ikke af stien imellem dem.

Cykliske processer og isolerede systemerTo special cases for Termodynamikkens 1. hovedsætning er lige værd atnævne.

Cykliske processer: En proces er cyklisk hvis den før eller siden ledertilbage til dens initielle tilstand, hvorved den har skabt en loop.Da sluttilstanden er den samme som den initielle tilstand, så må densamlede ændring i indre energi være nul, i.e. ∆U = 0. Ergo gælder der,at U1 = U2 og at Q = W - altså skal alt arbejde udført kompenseresfor vha. varmeenergi ind i systemet.

Isolerede systemer: Et isoleret system er et der udøver intet arbejde pådets omgivelser og som har ingen varmestrøm til eller fra sine omgivel-ser. For enhver proces i et isoleret system gælder der så, atW = Q = 0og derved at U2 = U1 = ∆U = 0 - altså kan man sige at den indreenergi i et isoleret system er konstant.

10.2.2 Termodynamiske processer

Der er overordnet 4 forskellige typer processer i termodynamikken: Adiabati-ske processer, isochore processer, isotermiske processer og isobare processer.

Et hurtigt overblik over de forskellige processer og hvordan de skifterfase er herunder i form af et pV-diagram for en konstant mængde ideal gas:

131

Stien hver proces følger hedder henholdsvis en adiabat, en isochor, en isobarog en isoterm.

Adiabatisk processerEn adiabatisk proces kan blive opsummeret hurtigt som en “ingen varme”proces, da processen ikke kan tilføre eller fjerne varmeenergi fra et system.Altså er Q = 0.

Man kan opnå dette i praksis ved enten at isolere systemet så processerpå det sker tilnærmelsesvist adiabatisk eller ved at udføre processen over såkort tid at hvad varmeoverførsel der måtte være er negligjerbar.

For alle adiabatiske processer gælder der altså (grundet termodynamik-kens 1. hovedsætning):

∆U = −W

Når et system udvider sig adiabatisk er W positiv hvorved den indre energiformindskes, hvor det modsatte sker hvis W er negativ ved kompression.

Man kan vise at en adiabatisk proces i en idealgas altid vil hæve tempe-raturen hvis den kompresser systemet og altid vil sænke temperaturen hvisden udvider systemet. Det bevis vil jeg kigge på senere.

Man kan se en adiabatisk proces på et pV-diagram som den der altidvandrer fra isoterm til isoterm, således dens kurve altid er stejlere end iso-termerne den krydser med.

Isochore processer

En isochorisk proces kan hurtigt opsummeres som “konstant volumen”processen. Som navnet antyder så er det en proces hvor volumen holdes

132

konstant, hvorved der ikke kan udføres noget arbejde - i.e. W = 0. Dervedfår vi for Termodynamikkens 1. hovedsætning:

∆U = Q

Ved en isochorisk proces gemmes alt tilført varmeenergi altså som indreenergi.

Et eksempel på en isochorisk proces er det at varme en gas i en konstant-volumen beholder.

Da en isochor proces har konstant volumen, så vandrer den kun vertikaltpå et pV-diagram, som set ovenfor.

Isotermiske processer

En isotermisk proces kan hurtigt opsummeres som “konstant tempera-tur” processen.

For at en proces skal være isoterm skal varmeenergi ind og ud af sy-stemet vandre så langsomt, at termisk ligevægt bibeholdes. Generelt holdesingenting fast i en isotermisk proces og man kan identificere dem på pV-diagrammer som de hyperbler der er plottet for forskellige temperaturer. Enisotermisk proces vandrer altså blot ned af en af disse hyperbler.

For visse systemer vil man se, at den indre energi afhænger udelukkendeaf temperaturen T og ikke af tryk eller volumen. Det er f.eks. tilfældet foren idealgas, som jeg vil snakke om om lidt.

Isobare processer

En isobarisk proces kan hurtigt opsummeres som “konstant tryk” pro-cessen. Som navnet antyder holdes trykket konstant. Det betyder ikke nogetfor om systmet kan udføre arbejde eller udveksle varmeenergi, men det be-tyder derimod at det bliver væsentligt nemmere at udregne arbejde W , datryk p derved er konstant. Så arbejde W udregnes pludseligt som:

W = p(V2 − V1)

Et eksempel på en isobar proces er det at koge vand ved konstant tryk.

En isobar proces kan identificeres på et pV-diagram som den der vandrerhorisontalt (den kan ikke vandre vertikalt, da trykket er konstant).

133

10.2.3 Termodynamik og idealgasser

Termodynamikkens 1. hovedsætning har nogle interessante konsekvenser iforhold til idealgasser og påvirker bl.a. forholdet mellem de molære varme-kapaciteter CP (varmekapacitet ved konstant tryk) og CV (varmekapacitetved konstant volumen).

Desuden har adiabatiske processer ved idealgaser det konkrete forhold,at en udvidelse af volumen altid resulterer i et temperaturfald og en kom-pression af volumen altid resulterer i en temperaturstigning.

Vi starter dog med en vigtig detalje omkring den indre energi i en ide-algas.

Idealgas: Indre energi afhænger kun af T

Da vi kigger på idealgasser her, så skal vi også bruge en observation ang.indre energi i idealgasser.

For idealgasser gælder der nemlig den sammenhæng, at den interne ener-gi U kun afhænger af temperaturen og ikke af hverken volumen eller tryk.

Vi kan argumentere for dette faktum vha. et eksempel. Kigger vi på etfri ekspansion eksperiment, så har vi en termisk isoleret beholder med stivevægge og hvor beholderen er delt op i to dele vha. en partition.

Et af disse “kamre” har så en idealgas og den anden er lavet om til etvacuum.

Når denne partition brydes vil gassen udvide sig for at fylde begge kamre.Denne udvidelse udfører intet arbejde da udvidelsen ikke flytter på væggeneog der sker ingen varmeføring igennem isoleringen.

Så både Q ogW er 0 og den indre energi U er derved konstant. Konceptetvises herunder:

Indtil videre er ovenstående gældende for alle materialer, ikke blot gasser.Ser vi på temperaturændringen, så kan vi overveje hvorvidt en fri-ekspansionsom ovenstående resulterer i en temperaturændring? Vi kan således opskrivekonsekvenserne herunder:

134

Ja: Hvis en fri-ekspansion resulterer i en temperaturændring, alt imens denindre energi forbliver den samme, så må det betyde den interne energiafhænger af både temperatur og tryk, eller temperatur og volumen,men helt sikkert ikke temperatur alene.

Nej: Hvis en fri-ekspansion derimod ikke resulterer i en temperaturændring,så ved vi den indre energi U kun afhænger af temperaturen T , da Uholdes konstant til trods for p og V alt imens ændrer sig.

Eksperimenter har undersøgt det her for lav-densitets gasser og derestemperatur ændrede sig ikke! Sådan en gas er grundlæggende en idealgas,hvorved vi kan konstatere generelt for idealgasser:

Den indre energi U af en idealgas afhænger udeluk-kende af dens temperatur T og ikke dens tryk p ellervolumen V

OBS: For ikke-idealgasser vil en fri-ekspansion ofte resulterer i et faldi temperatur til trods for konstant indre energi U . Det skyldes at U ikkeblot afhænger af temperatur her. Det er tydeligt hvis du ser på atomer ien gas, da deres interne energi er summen af potentiel energi og kinetiskenergi. Når gassen udvider sig forøges afstanden mellem atomer, hvorvedden potentielle energi forøges. Men fordi den indre energi ikke må ændresig, så må den kinetiske energi falde, og den kinetiske energi har direktesammenhæng til temperaturen af en gas.

Forskellen mellem CV og CPSom jeg sagde under gennemgangen af molær varmekapacitet, så har vi 2eksperimentielle måder at måle varmekapacitet på. Vi kan måle varmekapa-citeten ved konstant volumen, således vi finder den molære varmekapacitetved konstant volumen CV , eller vi kan måle varmekapaciteten ved konstanttryk, således vi finder den molære varmekapacitet ved konstant tryk CP .

At forsøge at finde CV giver mest mening for gasser (i.e. det er nemt atplacere gassen i en beholder og på den måde begrænse volumen), hvor atfinde CP giver mest mening for faste stoffer (i.e. det er nemt at styre trykketved faste stoffer).

Vi forestiller os nu CV og CP for en idealgas.For at måle CV ville vi hæve temperaturen af en ideal gas imens den

var i en stiv container med konstant volumen (note: vi ignorerer altså ter-misk expansion af containeren). For at måle CP derimod ville vi lade engassen udvide sig lige akkurat nok for at holde trykket konstant med tem-peraturstigningen.

135

Disse to CV og CP er nu forskellige grundet Termodynamikkens 1. hoved-sætning. I en konstant-volumen temperaturstigning udfører systemet intetarbejde W og ændringen i indre energi er derved ∆U = Q.

I en konstant-tryk temperaturstigning derimod udfører systemet et ar-bejde når volumen bliver forøget, ellers kunne trykket ikke forblive konstant,grundet idealgaslignigen p = nRT/V . Ifølge Termodynamikkens 1. hoved-sætning betyder det, at varmemængden Q bliver:

Q = ∆U +W

Da indre energi i en idealgas udelukkende afhænger af temperaturen T , såvil en given stigning i temperatur resulterer i den samme stigning i indreenergi ∆U uanset proces.

Derved kan vi se, at CP varmekapaciteten må være større end CV var-mekapaciteten, da der skal bruges ekstra energi for at lave arbejdet W derskal bruges til udvidelsen.

Vi har altså at CP > CV .

Dette koncept vises også herunder som et pV-diagram, hvor vi tydeligtkan se begge når til samme sluttemperatur T2 og slut indre energi U2, menCP processen skal bruge mere varmeenergi for at nå dertil pga. arbejdet W :

OBS: En undtagelse hertil er hvis W er negativt (f.eks. ved vand mellem0 og 4 grader Celcius, hvor volumen formindskes ved opvarmning). I dettilfælde er CP < CV . Men generelt forøges volumen ved opvarmning, hvorvedCP > CV gælder for det meste.

136

Udledning af sammenhængen mellem CV og CPSå vi ved nu at CP > CV , men kan vi se noget mere præcist om hvor megetstørre. Det viser sig, at det kan vi sagtens.

Vi starter med at kigge på konstant volumen tilfældet CV .Vi placerer n mol af en idealgas ved temperatur T i en konstant-volumen

container.Vi sætter den herefter i termisk kontakt med et varmere legeme.En infinitesimal mængde varme dQ vil herefter flyde ind i gassen og dens

temperatur stiger med en infinitesimal mængde dT .Vi har desuden definitionen på molær varmekapacitet ved konstant vo-

lumen, som siger:

dQ = nCV dT

Vi ved så processen her hæver trykket af gassen, men gassen udførerintet arbejde (dW = 0) fordi volumen er konstant.

Termodynamikkens 1. hovedsætning i differentialform er så:

dQ = dU + dW

Siden vi ved dW = 0, så bliver dQ = dU og vi kan nu omskrive formlen formolær varmekapacitet til:

dU = nCV dT

Hvis vi så nu kigger på konstant tryk situationen med CP og med sammetemperaturændring dT , så placerer vi den samme gas i en cylinder medet stempel således vi kan regulerer den løbende akkurat nok til at holdekonstant tryk når gassen udvider sig.

Endnu engang sætter vi denne i kontakt med et varmere legeme og nårvarme strømmer ind i gassen vil gassen udvide sig ved konstant tryk oggassen udfører et arbejde.

Ved definitionen af CP har vi at molær varmekapacitet for konstant tryker:

dQ = nCPdT

Arbejdet der udføres for at udvide gassen er så dW = pdV .Dette arbejde kan vi også udtrykke i form af idealgasligningen pV =

nRT , men fordi p er konstant så er ændringen i V proportional til ændringeni T , så vi kan skrive:

dW = pdV = nRdT

137

Vi har nu værdier for dW , dU og dQ, så vi indsætter dem i Termodyna-mikkens 1. hovedsætning:

dQ = dU + dW

nCPdT = nCV dT + nRdT

Her er det vigtigt at pointere, at vi kun kan indsætte dU = nCV dT fordiden indre energi af en idealgas kun afhænger af temperaturen uanset proces.Normalvis ville vi ikke kunne da CV er molær varmekapaciteten for konstantvolumen, og volumen er ikke konstant her.

Tager vi nu det sidste udtryk her og dividerer hvert led med ndT , så fårvi:

CP = CV +R

Altså er CP større end CV med præcis konstanten R, såfremt vi taler omidealgasser.

Det skal siges denne sammenhæng ikke gælder generelt, da ikke alt kanbetegnes som en idealgas, men selv ved mange normale gasser er det en finapproksimation, der kun giver nogle få procents afvigelse fra realiteten.

Forholdet mellem CV og CP (γ)

Sidst men ikke mindst kan man definere forholdet mellem CV og CP somforholdet mellem varmekapaciteter, som vi skriver som gamma (γ):

γ = CPCV

Ligesom man kan forudsige værdier for CV og CP , så kan man ogsåforudsige værdier for γ, som f.eks. for en ideal monoatomar gas med CV =32R:

CP = CV +R = 32R+R = 5

2R

Hvorved γ bliver:

γ = CPCV

=52R32R

= 53 = 1.67

Hvilket passer med tabelværdier for γ. Noget estimeringen for en diatomarversion også gør (γ = 1.40)

138

Den adiatiske proces for en idealgas

Hvis vi nu kigger på hvordan en adiabatisk proces ville fungere i enidealgas, så kan vi observere en række ting.

Først og fremmest, siden det er en adiabatisk proces, så er varmeud-vekslingen med omgivelser Q = 0. Det er selvfølgelig en idealisering, da detikke kan være tilfældet, men processer kan være tilnærmelsesvist adiabati-ske hvis et system er meget velisoleret eller hvis processen er så hurtig atvarmeudveksling ikke når at forekomme i nogen betydelig grad.

Siden Q = 0, så er ændringen af den indre energi ∆U = −W . Når en gasudvider sig i denne proces, så vil det altså udføre positivt arbejde, som vilbetyde fald i indre energi og derved fald i temperatur. Så hvis starttilstandena er på en isotherm i et pV-diagram, så vil sluttilstanden b være på en lavereisotherm, som vist på nedenstående pV-diagram.

Ud fra samme logik, vil en kompression af gassen resulterer i negativt ar-bejde W , hvorved ændringen af indre energi ∆U er positiv og temperaturenstiger. I så fald “vandrer” vi fra en lavere isotherm til en højere.

Et eksempel på en adiabatisk proces er når man åbner en colaflaske, såvil gassen lige ovenover væsken udvide sig så hurtigt at det er en tilnær-melsesvis adiabatisk proces, hvorved arbejdet W er positivt, ændringen iindre energi ∆U er negativ og temperaturen falder så voldsomt at gassenkondenserer som en lille sky.

Udledning af sammenhæng mellem V og TVi kan udlede en sammenhæng mellem volumen V og temperaturen T for en

139

infinitesimal adiabatisk proces i en idealgas, for derved at undersøge hvor-dan udvidelse og kompression påvirker temperaturen.

Vi ved fra tidligere at en idealgas’ indre energi udelukkende afhænger aftemperaturen, således vi kan opskrive en infinitesimal ændring af den indreenergi, uafhængig af proces, som:

dU = nCV dT

Derudover har vi, at arbejdet der udføres under processen er dW = pdV ogden indre energi for en adiabatisk proces er dU = −dW . Vi har derfor:

nCV dT = −pdV

Hvis vi nu gerne vil fjerne tryk fra formlen (da vi leder efter sammenhængenmellem V og T ), så kan vi bruge idealgasligningen p = nRT/V og indsætte:

nCV dT = −nRTV

dV

Rykker vi lidt rundt på det så får vi:

dT

T+ R

CV

dV

V= 0

Delen med RCV

ovenfor kan så udtrykkes på baggrund af forholdet mellemCV og CP kaldet γ:

R

CV= CP − CV

CV= CPCV− 1 = γ − 1

Indsætter vi det ovenfår får vi så:dT

T+ (γ − 1)dV

V= 0

Fordi γ > 1 for alle idealgasser, så betyder at dT og dV altid vil have mod-satte fortegn, hvilket betyder en stigning i temperatur altid vil betyde etfald i volumen, og en stigning i volumen altid vil betyde et fald i temperatur.

Så vi har altså, at dV > 0 (udvidelse) betyder fald i temperatur ogdV < 0 (kompression) betyder stigning i temperatur.

Vi kan udlede et sammenhæng her der er lidt nemmere at arbejde med,ved at integere ovenstående, så vi får:

lnT + (γ − 1) lnV = konstantlnT + lnV γ−1 = konstant

ln(TV γ−1) = konstant

140

Og så fordi logaritmen ikke ændrer på forholdet mellem dem, så får vi:

TV γ−1 = konstant

For den initielle tilstand 1 og sluttilstand 2 kan vi så opskrive:

T1Vγ−1

1 = T2Vγ−1

2

Som gælder for adiabatiske processer på en idealgas.

Man kan også gå videre og vise at ovenstående til sidst kan laves til enformel for arbejde i en adiabatisk proces med idealgasser. Men det har jegdog ikke tænkt mig. For god ordens skyld ser formlen dog sådan her ud:

W = nCV (T1 − T2)

141

11 Termodynamikkens anden hovedsætning, Carnot-cyklen, entropi.

11.1 Disposition

1. Reversible og irreversible processer

2. Varmemaskinen og dens effektivitet Generelt Effektiviteten

3. Otto-cyklen Effektiviteten af Otto-cyklen

4. Kølemaskinen og dens effektivitet Generelt Effektiviteten af kølemaskinen Eksempel: Køleskab

5. Entropi Definition af entropi Makroskopisk vs. mikroskopisk syn

6. Termodynamikkens 2. hovedsætning Kelvin-Planck’s definition Clausius’ definition Entropi definitionen

7. Carnot-cyklen 2 isoterme og 2 adiabatiske Vis pV diagram Effektiviteten af Carnot-cyklen Carnots kølemaskine Carnot i forhold til 2. hovedsætning

8. Entropi igen (unfinished) Entropi i en reversibel proces Entropi i en irreversibel proces Entropi i en cyklisk proces

142

11.2 Detaljer


11.2.1 Reversible og irreversible processer

Emnet her handler om termodynamikkens 2. hovedsætning, som modsat denførste ikke handler om givne egenskaber ved ting i termodynamikken, menderimod nærmere sætter begrænsninger op for hvad der er muligt og hvadder ikke er muligt.

I vores snak om termodynamikkens 2. hovedsætning skal vi først kiggepå konceptet af reversible og irreversible processer.

En irreversibel proces er alle virkelige processer vi ser i naturen. Strøm-men af varme fra et varmt til et koldt område er en irreversible proces. Friekspansion af en gas er en irreversibel proces. Friktion fra bevægelser hvorden mekaniske energi omdannes til varme er irreversible.

Et yderligere eksempel er er en isblok ved 273.16 K vi propper i envarm metalbox. Metalboxen og isen vil udveksle varme indtil de når termiskligevægt hvorefter de vil stoppe. Denne proces kan ikke gå den anden vej,ergo er den ikke reversible.

Mere eller mindre alle virkelige processer man kan komme i tanke om erirreversible.

Reversible processer er så lige netop det modsatte. Altså idealiseringervi ikke ser i naturen, men som vi kan skabe vha. ydre påvirkning. Et systemder gennemgår en reversible proces er altid tæt på at være i termodynamiskligevægt med sig selv og omgivelserne, hvor en ændring af tilstanden af etsådan system så kan modvirkes vha. en infinitesimal ændring i tilstanden afsystemet.

En reversible proces er en idealisering der aldrig reelt kan opnås i denvirkelige verden, da ændringer ikke kan ske på et system hvis det er i ter-modynamisk ligevægt. Men hvis vi holder temperatur og trykændringer me-get små, så kan vi holde systemer tæt på termodynamisk ligevægt, hvorvedvi kan lave processerne næsten helt reversible. Reversible processer kaldesogså til tider for ligevægtsprocesser.

Læg dog mærke til, at store ændringer som fri ekspansion o.lign. ikkekan “løses” vha. en infinitesimal ændring af tilstanden af systemet, hvorvedsådan en handling altid vil være irreversibel.

Et eksempel på en reversible proces kunne igen være en isblok i en me-talboks ved 273.16 K, hvor metalboksen denne gang har samme temperatur,således vi kan forhøje eller formindske temperaturen af boksen med en in-

143

finitesimal mængde dT , hvor vi så vil kunne smelte og genfryse vandet vedvarmeoverførsel til og fra boksen.

Boks-eksemplerne vises herunder:

11.2.2 Varmemaskinen og dens effektivitet

En af de primære ting vi ønsker at opnå i nutidens verden er skabelsen afmekanisk energi igennem anden energi. F.eks. skabelsen af mekanisk energiigennem en forbrændingsmotor så vi kan køre vores biler, eller skabelsen afenergi igennem atomkraft så vi kan få el.

En typisk nutidig måde at skabe energi på er ved at forbrænde et ellerandet for derved at skabe mekanisk energi. En maskine der gør dette kaldesen varmemaskine.

En varmemaskine er enhver maskine der transformerer varme delvist omtil arbejde eller mekanisk energi. Den simpleste form for maskine vi kan ana-lysere er en hvor materialet der arbejdes på går igennem en cyklisk proces,således materialet slutter i samme tilstand som det startede. Et eksempel pådette er en dampturbine hvor vand bruges om og om igen. Et andet eksempeler en forbrændingsmotor, hvor brændstof godt nok ikke bruges igen, menhvor processen konstant bliver gentaget fra samme udgangspunkt, antagettilstrækkelig brændstof.

Et skematisk energi-flow diagram kan forklare de grundlæggende prin-cipper i en varmemaskine, som vist herunder:

144

Vi har altså en proces hvor maskinen absorberer varme QH fra en kilde medrelativ høj temperatur TH , udfører noget mekanisk arbejde W på det ogafviser en vis varmemængde |QC | til en kilde med lavere temperatur TC .Disse kilder kalder vi typisk for reservoirer. Vi antager disse reservoirers ertilstrækkeligt store til at de ikke ændrer temperatur selvom vi absorbererog giver varme fra/til dem.

Da en cyklisk varmemaskinen starter og slutter i samme tilstand, så erden initielle og sluttende indre energi den samme. Ifølge termodynamikkens1. hovedsætning ∆U = Q−W kræves det at enhver cyklisk proces opfylder:

∆U = 0 = Q−W

Altså skal Q = W .

Vi har desuden nogle konventioner i forhold varmemængdernes fortegn,hvor vi siger varme væk fra arbejdsområdet ud i et reservoir er negativ ogvarme ind i arbejdsområdet fra et reservoir er positiv. For en varmemaskinebetyder det QH er positiv og QC er negativ.

Disse værdier QH og QC er mængden af varme absorberet og afvist iløbet af en cyklus, så den resulterende varme pr. cyklus er:

Q = QH +QC = |QH ]− [QC ]

Som vi omtalte ovenfor, så grundet termodynamikkens 1. hovedsætning, såer Q = W for en cyklisk proces, hvorved arbejdet W bliver:

W = Q = QH +QC = |QH | − |QC |

145

Effektiviteten af en varmemaskine

Optimalt set ville vi selvfølgelig gerne lave al varmen fra QH om til arbej-de W , men dette kan vi ikke grundet thermodynamikkens 2. hovedsætning,som jeg kommer ind på om lidt.

Et sådan system ville være som det følgende, hvor vi bare ignorerer tabettil QC :

Men vi kan dog forsøge at gøre maskinen så effektiv som mulig ved atforøge de vi kalder den termiske effektivitet e af maskinen. Den termiske ef-fektivitet defineres som mængden af arbejdeW over mængden af absorberetvarme QH :

e = W

QH

Altså beskriver den termiske effektivtet hvor stor en brøkdel af energien errøget til reelt arbejde. Denne værdi er aldrig 1, da ingen maskine kan opnå100% effektivtet.

Indsætter vi nu vores værdier forW i termisk effektivtetsformlen, så kanvi opskrive den termiske effektivtet af en varmemaskine således:

e = W

QH= Q

QH= 1 + QC

QH= 1−

∣∣∣∣QCQH∣∣∣∣

11.2.3 Otto-cyklen

Otto-cyklen er en idealiseret model der beskriver de termodynamiske pro-cesser i en forbrændingsmotor.

En forbrændingsmotor fungerer ved at en blanding af luft og benzin-damp bliver ført ind i en cylinder igennem en ventil, imens et stempel inde

146

i cylinderen trækkes nedad fra en startvolumen på V til en slutvolumen pårV , hvor r kaldes for kompressionsforholdet, der typisk ligger mellem 8 og10 for moderne motorer.

Herefter lukkes ventilen og stemplet føres op til volumen V igen, såledesder sker en adiabatisk kompression af gassen i cylinderen. Herefter antæn-des gassen vha. et tændrør, hvilket resulterer i en tilnærmelsesvis adiabatiskudvidelse af gassen således stemplet ryger ned til rV igen og derved udførerarbejde. Til sidst føres åbnes en udstødningsventil og forbrændingsproduk-terne føres ud herigennem, hvorefter cyklussen starter forfra med nyt intake.

Hele processen illustreres herunder:

Otto cyklen er som sagt en idealiseret model på dette, hvor et pV-diagram for modellen vises herunder:

147

Som vi kan se tages blandingen af benzindamp og vand ind ved punkt aog kompresses adiabatisk til punkt b, Varme QH tilføjes herefter til syste-met vha. afbrænding langs bc, hvilket resulterer i en pludselig adiabatiskudvidelse og slagtilfælde på stemplet på cd. Gassen bliver herefter nedkølettil omkring temperaturen udenfor imellem da, og restprodukterne udsendesherefter igennem udstødningsrøret.

Effektiviteten af Otto-cyklenVi kan udregne effektiviteten af Otto-cyklen ved at observere bc og da erkonstant volumen, således QH og QC kan udregnes ud fra Q = nCV ∆T .Altså har vi:

QH = nCV (Tc − Tb)QC = nCV (Ta − Td)

Hvor QH > 0 og QC < 0.Indsætter vi nu dem i udtrykket for effektivitet af en varmemaskine, så

kan vi skrive som følger (vi eliminerer fælles faktoren nCV ):

e = QH +QCQH

= (nCV (Tc − Tb)) + (nCV (Ta − Td))(nCV (Tc − Tb))

= Tc − Tb + Ta − TdTc − Tb

For at simplificere det her udtryk yderligere, så kan vi benytte os af volumen-temperatur sammenhængen i en adiabatisk proces for en ideal-gas, som siger:

T1Vγ−1

1 = T2Vγ−1

2

Hvilket vi for dette tilfælde kan skrive for de to adiabatiske processer ab ogcd således med konstant volumen rV i udvidet tilstand og V i sammenpressettilstand:

Ta(rV )γ−1 = Tb(V )γ−1

Td(rV )γ−1 = Tc(V )γ−1

⇓Tar

γ−1 = Tb

Tdrγ−1 = Tc

De her udtryk for Tc og Tb kan vi så indsætte i effektivitetsformlen såledesvi får:

e = Tc − Tb + Ta − TdTc − Tb

= Tdrγ−1 − Tarγ−1 + Ta − TdTdrγ−1 − Tarγ−1

= (Td − Ta)(rγ−1 − 1)(Td − Ta)rγ−1

148

Dividerer vi så fællesfaktoren (Td − Ta) ud, så får vi effektiviteten:

e = 1− 1rγ−1

Som vi kan se er effektiviteten dårligere end 1 (obviously), hvor hvisvi indsatte værdier som r = 8 og γ = 1.4 (i.e forholdet mellem CV ogCP således γ = CP

CV), så ville vi få en effektivitet på e = 0.56 altså 56%

effektivitet.Dette viser dog ikke effektiviteten af en forbrændingsmotor i virkelighe-

den da Otto-cyklen blankt ignorerer friktion, antager blandingen af luft ogbenzindamp opfører sig som en idealgas, ignorerer turbulens, tab af varmetil motorens dele og omgivelserne mm. I virkeligheden har de fleste benzin-motorer en effektivitet på ca. 35%. - Og derudover er der affaldsprodukter iform af CO (carbonoxid), som forurene igennem udstødningen.

Man kunne være fristet til at forøge r for at få bedre effektivitet, meni praksis kan den typisk ikke hæves over 10 da det resulterer i så megetsammenpresning af gassen at når den antændes så eksploderer den fremfor atbrænde jævnt. Derved ødelægger man moteren når vi taler en benzinmotor.

11.2.4 Kølemaskinen og dens effektivitet

Nu vi har kigget på en varmemaskine, så kan vi også kigge på det modsattetilfælde, nemlig hvor vi forsøger at køle noget ned vha. en kølemaskine.

En kølemaskine er blot en varmemaskine der arbejder modrettet. Dentager varme fra et koldt sted (typisk inde i et køleskab f.eks.) og giver dettil et varmere sted (typisk luften i rummet hvor kølemaskinen står).

Hvor en varmemaskinen genererer et resulterende output af W arbejde,så kræver en kølemaskine et input af |W | arbejde (typisk i form af strøm fraen stikkontakt e.lign.). Så vi har altså for en kølemaskine at:

|QH | = −QH|W | = −W

I.e. arbejde og og energi til den varme kilde er negativ fordi det går ud afsystemet fremfor ind.

Ud fra termodynamikkens 1. hovedsætning for en cyklisk proces kan viså skrive:

QH +QC −W = 0−QH = QC −W

149

Hvor vi så kan omskrive det absolut til at være:

|QH | = QC + |W |

Altså har vi generelt, at den varme der gives i varme til varmekilden altider større end den varme vi tager fra QC . Af den grund kan man f.eks. hellerikke køle ens hus ved at holde et køleskab åbent, da den ville varme rummetmere end den kølte det.

Et flow-diagram for en kølemaskine er herunder:

Effektiviteten af en kølemaskine

Modsat en varmemaskine så gælder det ikke her om at maksimere ar-bejdet W på baggrund af QH . I stedet handler det her om at få så megetvarme fra QC man kan på W arbejde. Forholdet vi ønsker at kigge på erderfor |QC |/|W | - jo større det forhold er, jo mere effektiv en kølemaskine.

Vi kan altså opskrive effektiviteten for en kølemaskine således:

K = |QC ||W |

= |QC ||QH | − |QC |

Et eksempel på en kølemaskine er det velkendte køleskab, som der visesen schematic for herunder:

150

Hvor en kompresser tager væsken der netop har opsamlet varme |QC | frakøleskabet, sætter højt tryk på det så det bliver væsentligt varmere og be-væger sig langs kondensatoren indtil det når til ekspansionsventilen hvordets volumen forøges kraftigt, hvilket resulterer i en øjeblikkelig nedkølingsåledes det kan gå igennem fordamperen i køleskabet igen og tage varme framaterialerne derinde.

11.2.5 Entropi

Selvom bogen gør det lidt omvendt, så vil jeg lige hurtigt nævne hvad entropigår ud på konceptuelt, for ordentligt at kunne forklare termodynamikkens2. hovedsætning.

Definitionen på entropiVi kan se entropi som en kvantitativ måde at måle mængden af uorden ellerrandomness i et system på. Hvis man udfører en given irreversible procespå et system, så vil man derved permanent forøge mængden af randomnessi et system.

Det være sig f.eks. en fri ekspansion af en gas, hvor molekyler spredes udover et større område, hvilket forøger mængdne af uorden i deres positions-bestemmelse. Ligeledes forøges entropi ved opvarmning, da et system havdeen sortering af varme og kolde områder før opvarmning og efter opvarmninger i termisk ligevægt, hvorved denne sortering forsvinder.

Makroskopisk vs. mikroskopisk synMan kan se på mængden af entropi fra et makroskopisk og et mikroskopisksyn.

151

For at snakke om det mikroskopisk skal man dog først tale om makrosko-piske og mikroskopisk tilstande.

Et eksempel som bogen laver på det er det at kaste N mønter, hvor halv-delen lander med krone og den anden halvdel med plat. Den makroskopisktilstand af system vil du netop beskrive på den måde, netop som N mønterhvor N/2 landede som plat (eller krone).

Den mikroskopiske tilstand af systemet derimod, taler om tilstanden afenkelte komponenter. Altså at mønt 1 blev krone, mønt 2 blev plat osv.

Der er altid mange mikroskopisk tilstande der svarer til den samme ma-kroskopiske tilstand. Så som for N = 4 mønter, der er der 6 måder hvorpåder kan være et lige antal kroner og plat. Set fra det makroskopiske syns-punkt er det et og det samme, men set fra et mikroskopisk synspunkt forøgesmængden af mulige tilstande med en 2N for hver hævelse af N .

Vi siger således at den makroskopiske tilstand af et system er den, forhvilket der svarer til flest mikroskopiske tilstande. I.e. der er flere mikrosko-piske tilstande ved “lige antal kroner og plat” end ved “kun krone” (obs: derer kun 1 uanset hvad).

Da entropi er en kvantitativ måde at måle uorden på, så kan vi sige atjo flere tilstande vi har, jo mere uorden. Derved bliver den makroskopisketilstand altid den for hvilket uorden, i.e. entropi, er størst. Eller sagt sombogen siger det:

For ethvert system, så er den mest sandsynlige ma-kroskopiske tilstand den for hvilket der eksisterer detstørste antal tilsvarende mikroskopiske tilstande, hvil-ket også er den makroskopiske tilstand med den størsteuorden og den største entropi

Vi kan også opskrive det her matematisk ved at sige w er mængden afmulige mikroskopiske tilstande, hvorved entropien for en given makroskopisktilstand bliver:

S = k ln(w)

Hvor k er Boltzmanns konstant.

Egentlig giver det ikke mening at tale om entropi som et absolut term,men derimod om forskellen mellem start og sluttilstanden mht. entropi. Der-for vil man typiske skrive ovenstående om til:

∆S = S2 − S1 = k ln(w1)− k ln(w2) = k ln(w2w1

)

152

Så forskellen i entropi mellem to systemer er nu forskellen i antal af mi-kroskopiske tilstande.

Et eksempel på forøgelsen af antal mikroskopiske tilstande ses herunderved fri ekspansion:

11.2.6 Termodynamikkens 2. hovedsætning

Med de her to typer maskiner og grundlæggende forståelse for entropi påplads, så bringer det os til selve humlen i det her spørgsmål - nemlig Ter-modynamikkens 2. hovedsætning. Termodynamikkens 2. hovedsætning eregentlig flere sætninger i en, da det samme kan siges på flere ækvivalentemåder.

Tager vi dem en efter en, så har vi først Kelvin-Planck definitionen:

Kelvin-Planck definitionenKelvin-Planck definitionen på termodynamikkens 2. hovedsætning siger:

Det er umuligt for et system at gennemgå en proceshvormed den absorberer varme fra et reservoir ved enbestemt temperatur og konverterer dette 100% til meka-nisk energi, hvor systemet slutter i den samme tilstandden startede i

Altså siger Kevin-Planck definitionen at at alle maskiner har et tab tilomgivelserne og ingen har 100% effektivitet.

Begrundelsen for hvorfor dette holder generelt er, at skabes energi igen-nem en eller anden proces, så skabes det vha. en organiseret makroskopiskbevægelse, men resultatet er en forøgelse af tilfældig bevægelse af moleky-ler i legemet. Vi kan få noget af denne organisation tilbage vha. noget somen varmemaskine, men kun noget af det, da det at få det hele tilbage villebetyde vi kunne gå fra en tilstand med mere entropi til en med mindre, i.e.

153

vælge en makroskopisk tilstand der ikke har det største antal mikroskopisketilstande. Det ved vi, ud fra ovenstående diskussion, at vi ikke kan.

Clausius’ definitionEn alternativ definition på termodynamikkens 2. hovedsætning får vi fraClausis, der siger:

Det er umuligt for en proces at have som dets ene-ste resultat, overførslen af varme fra et koldere til etvarmere legem

Clausius’ definition siger altså at en kølemaskine altid vil skulle bruge ek-stern arbejde (strøm) for at kunne fungere. Du kan ikke lave en der udenvidere fører varmenergi fra et koldt til et varmt legeme. En sådan idealistiskmaskine kaldes en arbejdsløs kølemaskine.

Dette statement er ækvivalent til Kelvin-Planck definitionen omend detmåske ikke er så direkte tydeligt. Brundelsen ligger i, at vi kan tage denene definition og bruge den andens maskine til at skabe henholdsvis en100% effektiv maskine eller en arbejdsløs kølemaskine. Konceptet illustreresherunder:

154

Entropy definitionen

En sidste definition springer ud af konceptet af entropi.Entropi-defitionen siger:

Når alle systemer der tager del i en proces inklude-res, så vil entropien enten forblive konstant eller forøges

Eller omformuleret:

Der findes ingen proces for hvilket den totale entropifalder, når alle systemkomponenter i processen inklude-res

Hvilket giver intuitivt mening ud fra vores diskussion om entropi ovenforsamt diskussionen af den første formulering af termodynamikkens 2. hoved-sætning.

11.2.7 Carnot-cyklen

Ifølge termodynamikkens 2. hovedsætning kan vi altså ikke lave en maskineder er 100% effektiv. Men hvor tæt på kan man mon komme? Det er der enSadi Carnot der rent faktisk satte sig til at finde ud af for mange er sidenog resultatet var følgende:

Carnot-cyklen, som den kaldes, bruger udelukkende reversible processer,da det at konvertere arbejde til varme er en irreversible proces og en var-memaskine forsøger at konvertere noget af dette tilbage igen. Ved kun atbenytte reversible processer kan der så ideelt set opnås større effektivitet.

155

Varmestrøm ved et temperaturfald er en irreversible proces, hvorved var-meoverførsel i Carnotcyklen kun må finde sted når systemerne der vil over-føre varme har samme temperatur, i.e. når Carnotcyklen absorberer varmefra TH reservoiret, så skal moteren allerede være ved temperatur TH , ogligeledes når det uderskydende afgives til TC , så skal moteren have tempe-ratur af TC . Så altså enhver proces der involverer varmeoverførsel skal væreisotermisk ved TH eller TC .

Ligeledes så når moteren ikke har temperatur TH eller TC så skal hæv-ning eller sænkning af denne temperatur foregå ved en adiabatisk proces,da den ikke må modtage varme fra noget reservoir.

Vi har altså at alle processer i en Carnotcykel skal være reversible ogderved skal alle tilstande også være i termodynamisk og mekanisk ligevægt.

Cyklens trinVi fokuserer her på en Carnot-cykel der bruger en idealgas i en cylinder medet stempel, omend resultaterne generaliserer udover idealgasser.

Cyklens trin forklares herunder:

1. Gassen udvides isotermisk ved temperatur TH ved at absorbere varmefra QH , hvorefter adgangen til TH lukkes.

2. Gassen udvides yderligere adiabatisk indtil temperaturen TC opnås imotoren.

3. Gassen kompresses isotermisk ved temperatur TC og afgiver varme|QC | til det kolde reservoir, hvorefter adgang til TC lukkes igen.

4. Gassen kompresses ydereliger adiabatisk tilbage til dens initielle til-stand med temperatur TH .

Processen vises herunder, sammen med et pV-diagram:

156

Effektiviteten af Carnot-cyklen

Vi kan udregne effektiviteten af Carnot-cyklen i det specialtilfælde atgassen indeni er en idealgas. Vi skal altså finde forholdet QC/QH , for atkunne udregne e. Vi behøver altså kun se på de segmenter af processen derinteragerer med reservoirene, altså ab og cd.

For en idealgas har vi, at den indre energi U udelukkende afhænger aftemperaturen T og ikke af hverken tryk p eller volumen V . Derved vedvi også, at U er konstant i enhver isotermisk proces, da temperaturen herholdes konstant. Ergo:

Isotermiske processer:∆U = 0Q = W

Desuden har vi fra en opgave i bogen, at arbejdet for en isotermisk expansionved temperatur TH er:

W = nRTH ln(VbVa

)

Vi kan derved udregne arbejdet i del ab til at være:

QH = Wab = nRTH ln(VbVa

)

157

Og ligeledes for del cd:

QC = Wcd = nRTC ln(VdVc

)= −nRTC ln

(VcVd

)Fordi Vd er mindre end Vc bliver QC negativ (i.e. QC = −|QC |).

Forholdet mellem QH og QC er så:

QCQH

= −(TCTH

) ln(Vc/Vd)ln(Vb/Va)

Her kan vi igen bruge sammenhængen mellem tempetur og volumen for enadiabatisk proces med en idealgas, altså: T1V

γ−11 = T2V

γ−12 , hvilket her

bliver:

THVγ−1b = TCV

γ−1c

THVγ−1a = TCV

γ−1d

Dividerer vi den første af disse med den anden får vi:

V γ−1b

V γ−1a

= V γ−1c

V γ−1d

⇓VbVa

= VcVd

Altså kan vi se at de to logaritmer i vores udtryk er lig med hinanden,hvorved de går ud og vi får:

QCQH

= −TCTH

Eller:

|QC ||QH |

= TCTH

Vi kan herefter tage dette resultat og indsætte i formlen for effektivitet,hvorefter vi får effektiviteten af Carnots maskine til at være:

ecarnot = 1−∣∣∣∣QCQH

∣∣∣∣ = 1− TCTH

= TH − TCTH

Altså siger dette resultat, at effektiviteten af Carnots maskine afhængeraf forskellen mellem TH og TC . Jo større forskel, jo større effektivitet. Hvordet kunne se ud til man kunne få en effektivitet på 100% ved at sætteTC = 0, så kan det dog ikke lade sig gøre.

158

Carnots kølemaskineFordi ethvert trin af Carnots varmemaskine er reversibel, så kan man blotvende processen om, hvorefter man har en kølemaskine.

Effektiviteten af denne kølemaskine kan så findes ved først at omskriveeffektiviteten K således:

K = |QC ||QH | − |QC |

= |QC |/|QH1− |QC |/|QH |

Nu kan vi så indsætte vores resultat |QC |/|QH | = TC/TH heri og få:

Kcarnot = TCTH − TC

Her gælder det modsat varmemaskinen om at forskellen skal være lille.Jo mindre forskel, jo mere effektiv kølemaskine. At det er sådan kommernaturligt af, at man bruger energi på at pumpe vand tilbage igennem syste-met og udvide det så det gøres koldt. Jo mindre temperaturforskel der skalbruges, jo mindre kompresser og ekspansionsventil.

Carnot i forhold til 2. hovedsætning

Carnot-cyklen leder til en reformulering af 2. hovedsætning som:

Ingen maskine kan være mere effektiv end en Carnotmaskine der arbejder mellem samme to temperaturer

Denne sætning er sand, da vi ellers ville kunne bruge en Carnot kølema-skine sammen med en mere effektiv maskine, til at skabe en 100% effektivvarmemaskine.

Konceptet i dette bevis er vist herunder:

159

Altså tager Carnot kølemaskinen negativt arbejde −|W | og tager varme fraQC , sender |QH | til det varme reservoir, hvorefter den mere effektive maskinesender |QC | til det kolde reservoir. For at gøre dette tager den dog en størremængde varme QH +∆, hvorved dens output erW +∆, hvilket i sidste enderesulterer i et ∆ overskud af varme der konverteres helt til arbejde.

Dette bryder med Termodynamikkens 2. hovedsætning, hvorved det ik-ke kan lade sig gøre. Det omvendte bevis kunne også laves for en Carnotkølemaskine.

Carnot-maskinen sætter altså en øvre teoretiske grænse for effektivitetenaf en varme- og kølemaskine.

160

Documents

Mekanik og Termodynamik Dispositioner