DAFTARISI1 PENDAHULUAN 31.1 Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Diferensial Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 SISTEMKERANGKATAKINERSIA 72.1 Sistem Koordinat dipercepat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Sistem Koordinat Berotasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Dinamika Partikel pada Sistem Koordinat Berotasi . . . . . . 102.4 Efek Rotasi Bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Efek Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Efek Dinamik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 KOORDINATUMUM 173.1 Kendala (constraint) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Koordinat Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Derajat Kebebasan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Kecepatan Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Percepatan Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Energi kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Momentum Umum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 LAGRANGAN 334.1 Persamaan Lagrange dari Konsep Gaya Umum. . . . . . . . 334.1.1 Gaya Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Penurunan Persamaan Lagrangedari Konsep Gaya Umum . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Persamaan Lagrange dari Prinsip dAlembert . . . . . . . . . 414.2.1 Pergeseran Maya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112 DAFTARISI4.2.2 Penurunan Persamaan Lagrangedari Prinsip dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Potensial Bergantung Pada Kecepatan. . . . . . . . . . . . . 465 HAMILTONAN 515.1 Prinsip Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Penurunan Persamaan Lagrange dari Prinsip Hamilton . . . . 535.3 Fungsi Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4 Persamaan Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 TRANSFORMASIKANONIK 596.1 Transformasi Kanonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Fungsi Pembangkit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Kurung Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4 Teori Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62BAB1PENDAHULUANSebelum membahas lebih jauh tentang mekanika, ada baiknya kita mereviewpengetahuan kita tentang diferensial.1.1 DiferensialParsialAndaikan z adalah suatu fungsi yang mengandung dua buah variabel x dany, maka secara matematis kita dapat menuliskanz sebagaiz = f(x, y). (1.1)Diferensial parsialz terhadapx dituliskan sebagaizx fx fx zx, (1.2)dan nilainya diperoleh dengan memandang y sebagai konstanta. Sebaliknya,diferensial parsialz terhadapy dituliskan sebagaizy fy fy zy, (1.3)dan nilainya diperoleh dengan memandangx sebagai konstanta.Contoh:Jikaz = x3y exy, maka dengan mudah akan kita dapatkanzx= zx = 3x2y yexyzy= zy = x3xexy34 BAB1. PENDAHULUANSelanjutnya, mudah pula didapatkan2zxy= zyx = 3x2exyxyexy.Kitajugadapat meninjausuatufungsi yangmengandunglebihdaridua variabel. Misalkan suhuTpada suatu ruangan bergantung pada titik(x, y, z) dan berubah setiap saatt. Kita dapat menuliskanTsebagaiT= T(x, y, z, t).UngkapanTzmenunjukkanlajuperubahanTterhadapz, denganxdanytetap, padasaatt tertentu.Seringkali turunan parsial dituliskan di dalam tanda kurung dengan sub-skrip variabel tertentu, ini menunjukkan turunan parsial tersebut dihitungpada kondisi subskrip variabel berupa konstanta.Contoh:z = x2y2Dengan menggunakan koordinat polar, kita ingat bahwax = r cos ,y = r sin ,sehingga kita dapat menulis ulangz dalam berbagai bentuk, yaituz = r2cos2 r2sin2,z = 2x2x2y2= 2x2r2,z = x2+y22y2= r22y2,dan akan kita perolehzr = 2r(cos2 sin2),zr x= 2r,zr y= 2r.1.2. DIFERENSIALTOTAL 5Gambar1.1: GarisSinggung1.2 DiferensialTotalGambar 1.1 merupakan kurva pada bidang (x, y) dengan persamaan kurvay = f(x). Selanjutnya kita perolehy

=dydx=ddxf(x), (1.4)sebagai kemiringankurvapadatitik(x, y). Di dalamkalkulusxdiar-tikan sebagai perubahanx dan ysebagai perubahanyterkait perubahanx tersebut.Berdasarkan denisidydx= limx0yx, (1.5)makadx dapat didenisikan sebagai variabel bebasdx = x. (1.6)Akantetapi dytidaklahsamadengany. BerdasarkanGambar1.1danpersamaan (1.4) dapat dilihat bahwa y adalah perubahany di sepanjangkurvadandy=y

dxadalahperubahanydi sepanjanggariskemiringan(gradien). Dalam hal ini dikatakan bahwady adalah pendekatan tangensialuntuk y. Dari Gambar 1.1 jelas bahwadymerupakan pendekatan untukyjikaxsangatkecil. Denganbahasamatematis, ungkapanini dapatdinyatakan dengan persamaan (1.5) yang mengatakan bahwady/dx adalahlimit y/x ketika x 0, artinya selisih antara y/x dandy/dx akan6 BAB1. PENDAHULUANmendekati nol ketika x 0. Sebut saja selisih tersebut dengan, makayx=dydx + ;0 ketika x 0 (1.7)Atau karenadx = x, makay = (y

+)dx ;0 ketika x 0 (1.8)Untuk sebuah fungsi dengan dua variabel misalnya z = f(x, y), maka f/xdanf/y di suatu titik, masing-masing menyatakan kemiringanzdi titiktersebutpadaarahxdany. Perubahanzterhadapperubahanxdanydapat dicari dengan mendenisikan terlebih dahuludz =zxdx +zydy (1.9)sehinggaz =_fx +1_x +_fy+2_y= dz +1x +2y (1.10)(1 dan 2 0 ketika x dan y 0)Secara umum dapat dikatakan berlaku untuk setiap fungsi dari banyak vari-abel misalnyau = f(x, y, z, ), makadf=fxdx +fydy +fzdz +... (1.11)du merupakan pendekatan yang baik untuk u jika turunan parsial fbersi-fat kontinyu dandx, dy, dz dan seterusnya bernilai sangat kecil.BAB2SISTEMKERANGKATAKINERSIA2.1 SistemKoordinatdipercepatGambar 2.1: Hubunganantaravektor posisi untukduasistemkoordinatyangmengalamigeraktranslasimurnirelatifsatuter-hadapyanglainDalamGambar2.1diperlihatkansebuahsistemkoordinat(kerangka)Oxyz danOxyz. SistemkoordinatOxyz diasumsikansebagaikoordinatyang diam, sementara sistem koordinat Oxyz diasumsikan bergerak relatifterhadap koordinat pertama.Andaikan

R(t)posisi pangkal sistemkoordinatOxyz, r(t)posisi se-buah benda diukur dari koordinat Oxyz, danr (t) posisi benda yang samadilihat dari Oxyz. Maka terlihat bahwar(t) =

R(t) +r

(t)78 BAB2. SISTEMKERANGKATAKINERSIADari persamaan ini didapatkanv(t) =

V (t) +v (t)dana(t) =

A(t) +a

(t)JikakerangkaOxyz tidakdipercepat relatif terhadapkerangkaOxyz,maka

A(t) = 0 dan a(t) =a

(t).Jika kerangka Oxyzinersial, maka di sana berlaku hukum Newton, yaitu

F= ma = ma

.Jadi, Oxyz pun inersial.Jika sistem Oxyz mengalami percepatan, yakni

A(t) = 0, maka

F= m

A(t) +ma

(t),atau

F m

A(t) = ma

(t).Sebagai persamaan gerak dilihat dari kerangka Oxyz.Selanjutnya, kita dapat menuliskan persamaan terakhir ini sebagai

F = ma

(t).Jadi, jikadilihatdari kerangkaacuanOxyz, seolah-olahterdapatgayatambahan m

A(t) sehingga gaya total yang diderita oleh benda adalah

F =

F m

A(t).Gaya tambahan m

A(t) ini disebut sebagai gaya inersial atau gaya ktif.Gaya ini misalnya gaya dorongan ke belakang yang kita rasakan ketika bisyang kita naiki bertambah cepat.2.2 SistemKoordinatBerotasiDitinjausebuahbendabergerakyangdiamati dari duasistemkoordinatdengantitikpangkal yangsama. SistemOxyz diam, sedangkanOxyzberotasi terhadap suatu sumbu.2.2. SISTEMKOORDINATBEROTASI 9Gambar2.2: SistemKoordinatBerotasiAndaikan (i,j,k) vektor-vektor satuan untuk Oxyzdan (i

,j

,k

) vektor-vektor satuanuntukOxyz. Karenapangkal koordinatnyasamamakaposisi bendaitudilihatdari keduasistemkoordinatituadalahrdanr

,denganr = r

atauxi +yj +zk = x

i

+y

j

+z

k

Jadi,dxdti +dydtj +dzdtk =dx

dti

+dy

dtj

+dz

dtk

atauv = v

+x

ddti

+y

j

+z

k

Vektor v adalah kecepatan benda dilihat dari kerangka Oxyzdan v

adalahkecepatan benda dilihat dari kerangka Oxyz.Dapat ditunjukkan bahwav = v + r

dengan = n, yaitu kecepatan sudut perputaran kerangka Oxyzrelatifterhadap kerangka Oxyz. Percepatan benda a (diukur dari kerangka Oxyz )dan a

(dilihat dari Oxyz ) memenuhi persamaana =a

r

ddt + 2 v + ( r

) (2.1)10 BAB2. SISTEMKERANGKATAKINERSIASuku r

ddt disebutsebagai percepatantransversal, suku2 v disebutpercepatanCoriolis, dansuku ( r

)disebutpercepatansentripetal.2.3 Dinamika Partikel pada Sistem Koordinat Bero-tasiDari pembahasan sebelumnya, kerangka Oxyz adalah kerangka inersial, makadalam kerangka tersebut berlaku hukum Newton

F= ma,dengan

Fadalahjumlahansemuavektorgayariil (mempunyai arti sis)yang bekerja pada partikel.Dalam pandangan kerangka acuan tak inersial, hukum Newton dapat ditu-liskan sebagai

F m

A02m v

m r

m ( r

) = ma

.TampakbahwahukumNewtonjugaberlakudi kerangkaacuanOxyzdengan catatan adanya gaya inersial atau ktif sebesarm

A02m v

m r

m ( r

),sebagai gaya tambahan untuk gaya sis

F.Penulisan Hukum II Newton dalam kerangka acuan Oxyz tersebut menya-takan persamaan gerak dinamis partikel pada kerangka acuan tak inersial.Gaya-gayainersialdinamakansebagaimanasebutanuntukpercepatannya,yaituGaya Coriolis

F

cor = 2m v

(2.2)Gaya Transversal

F

trans = m r

(2.3)Gaya Sentrifugal

F

centif= m ( r

). (2.4)Adapungayaktif m

A0muncul ketikakerangkaacuanjugamengalamigerakan translasi.Seorangpengamattakinersial padakerangkaacuandipercepat, yangmelihat partikel dipercepat sebesar a

harus memasukkan semua gaya-gayainersial yangmuncul bersama-samadengangayasis untukmenghitung2.3. DINAMIKAPARTIKEL PADASISTEMKOORDINAT BEROTASI11Gambar2.3: Gaya-gayainersialyangbekerjapadasebuahmassamyangbergerakradialkeluarpadasebuahbidangyangberotasidengankecepatansudut searahsumbuz(keluarbidangkertas)danpercepatansudut < 0gerakanpartikel yangbenar. Dengankatalain, pengamat semacaminimemahami persamaan geraknya sebagai

F = ma

,dengancatatanpenjumlahanvektorgaya-gayayangbekerjapadapartikeldiberikan oleh

F =

F +

F

cor +

F

trans +

F

centrif m

A0.Gaya Coriolis menjadi gaya yang menarik untuk dipelajari. Gaya ini hanyamuncul jika partikel bergerak dalam sistem koordinat berotasi. Arah gayaCoriolis selalu tegaklurus vektor kecepatan partikel dalam sistem yang ber-gerak. Gaya ini penting dalam penghitungan lintasan partikel. Efek Coriolismemegang peranan kunci dalam sirkulasi udara di sekitar sistem bertekananrendah atau tinggi pada permukaan bumi.Gayatransversal muncul hanya jika terdapat percepatan sudut pada sis-tem koordinat yang berotasi. Gaya ini selalu tegak lurus vektor jari-jari r

dalam sistem koordinat yang berotasi.Gayasentrifugalmunculakibatrotasiterhadapsuatusumbu. Gayainiselalu berarah keluar dari sumbu rotasi dalam arah tegak lurus.Ilustrasi dari ketiga gaya ini tampak pada Gambar 2.3.12 BAB2. SISTEMKERANGKATAKINERSIA2.4 EfekRotasiBumi2.4.1 EfekStatikDitinjausebuahpartikel yangdiampadapermukaanbumi. Kitaanggappartikel tersebut sebagai bandul di ujung sebuah tali. Selanjutnya kita pilihpusat sistem koordinat berada pada bandul tersebut, sehingga kita dapatkanr

= 0. Vektor kecepatan sudut berada pada arah sumbu rotasi bumi dannilainya bisa dianggap konstan, sehingga bernilai nol. Untuk kasus statis,maka persamaan gerak menjadi:

F m

A02m v

m r

m ( r

) = ma

(2.5)

F m

A0 = 0 (2.6)Gaya Fdiberikan oleh penjumlahan semua vektor gaya, termasuk gaya iner-sial m

A0, sebagaimana tampak pada Gambar 2.4Gambar2.4: Vektorgayayangbekerjapadabandul yangdigan-tungdekatdenganpermukaanbumipadasudutlintangArah bandul tidak tepat menuju ke pusat bumi, karena ada gaya inersialm

A0 yang menyimpangkan bandul menjauh dari sumbu rotasi bumi. Gayaini juga berlawanan dengan percepatan kerangka acuan. Besar gaya inersialini sama dengan besar gaya sentripetalmA0 = mre2cos denganre adalah radius bumi dan sudut lintang geosentris.Gayaini bernilai maksimumsaatberadadi ekuator(=0)danbernilaiminimumsaatberadadi kutub(=900). Percepatansentripetal pada2.4. EFEKROTASIBUMI 13daerahekuatornilainyasekitar3, 4 10( 3)gatausekitar1%g. Gayategang tali menyeimbangkan gaya gravitasimg0 dan gaya inersialm

A0.(

T +mg0) m

A0 = 0Padahal, ketikakitamenggantungkansebuahbandul, kitaberpikirbahwagayategangtali Tmenyeimbangkangayagravitasi lokal, sehinggasecaravektorkitadapatkanbahwamgmerupakanpenjumlahandarigayagravi-tasiyangriil(mg0)dangayainersial(m

A0). Jumlahanvektortersebutditunjukkan oleh Gambar 2.5Gambar2.5: Relasivektorantaragayagravitasisejati,gayainer-sial,dangayagravitasiterukur.Jadi, tali bandul tadi tidak berarah ke pusat bumi, tetapi menyimpangsejauh (sudut yang cukup kecil).Kita dapatkanmg0mg m

A0 = 0 (2.7)g = g0

A0. (2.8)Vektormg0 arahnya menuju pusat bumi.Dari gambar di atas, kita dapatkansin mre2cos =mgKarena kecil, makasin=re2gsin cos =re22gsin 214 BAB2. SISTEMKERANGKATAKINERSIANilai lenyappadadaerahekuator(=0)danpadadaerahkutub(=900). Penyimpanganmaksimumgarisbandul beradapadasudutlintang = 450, yaitu

max =re22g 1, 710(3)radian 0, 1derajat.Bentuk bumi sebagaimana tali bandul berarah normal terhadap permukaanbumi pada sebarang titik. Hasil keseluruhan adalah mendekati bentuk elipsseperti tampak pada Gambar 2.6.Gambar2.6: Vektorpercepatangravitasiterukurg2.4.2 EfekDinamikPersamaan gerak yang telah didapatkan di atas, yaitu

F m

A02m v

m r

m ( r

) = ma

Dapat ditulis ulang dalam bentukm

r

=

F +mg0m

A02m r

m ( r

)dengan

Fmewakili semua gaya yang bekerja selain akibat gravitasi. Namun,dari kasus statik di atas, kombinasimg0m

A0 = mg, sehingga persamaangeraknya dapat ditulis ulang sebagaim

r

=

F +mg 2m r

m ( r

).2.4. EFEKROTASIBUMI 15Ditinjau gerak sebuah peluru. Jika tidak terdapat hambatan udara maka

F= 0. Selanjutnya, sukum ( r

) bernilai sangat kecil dibandingkansukuyanglain, sehinggakitadapat mengabaikannya. Persamaangerakpeluru menjadim

r

= mg 2 r

dengan suku terakhir berupa gaya Coriolis.Untuk memecahkan persoalan di atas, dipilih arah sumbu-sumbu koordinatOxyz sedemikianrupasehinggasumbuz adalahvertikal, yaitusearahdengantali bandul (percepatangravitasi terukur), sumbux arahtimur,dan y arah utara, sebagaimana disajikan Gambar 2.7.Gambar2.7: Sumbu-sumbukoordinatuntukmenganalisisgerakpeluruKita dapatkang = gk

Komponen kecepatan sudutx= 0 y= cos z= sin Hasil kali produk silang diberikan oleh

r

= ( z

cos y

sin )i

+ x

sin j

+ ( x

cos )k

.16 BAB2. SISTEMKERANGKATAKINERSIAKita dapatkan komponen percepatan sebagai x

= 2( z

cos y

sin ) (2.9) y

= 2( x

sin ) (2.10) z

= g + 2 x

cos (2.11)Komponen kecepatannya x

= 2(z

cos y

sin ) + x

0(2.12) y

= 2x

sin + y

0(2.13) z

= gt + 2x

cos + z

0. (2.14)Konstantaintegrasi x

0, y

0, z

0merupakankomponenkecepatanmula-mula.Denganmenyubstitusi keduarumpunpersamaandi atas, diperolehper-cepatan arahx sebagai x

= 2gt cos 2( z

0 cos y

0 sin )dengan mengabaikan suku2. Kecepatan arah x diperoleh sebagai x

= gt2cos 2( z

0 cos y

0 sin ) + x

0Akhirnya kita dapatkan posisi arahx sebagai fungsit, yaitux

(t) =13gt3cos t2( z

0 cos y

0 sin ) + x

0t +x

sehingga posisi arahy danz diperoleh sebagaiy

(t) = y

0t x

0t2sin +y

0(2.15)z

(t) = 12gt2+ z

0t + x

0t2cos +z

0(2.16)dengan catatan suku2diabaikan.Ketiga persamaan posisi di atas, setiap suku yang mengandung menyata-kan efek rotasi bumi pada gerak peluru dalam koordinat yang diam terhadapbumi.BAB3KOORDINATUMUM3.1 Kendala(constraint)Seluruh masalah dalam mekanika secara prinsip dapat dikembalikan ke HukumNewton, yang dinyatakan dalam persamaand2ri(t)dt2=1mi__

Fi+n

j

Fij__, (3.1)dengani =1, 2, 3, ..., nadalahindeks/nomorpartikel, Fiadalahgayaluar total yang bekerja pada partikel nomor i, dan Fijadalah gaya interaksiyang dialami oleh partikel nomori akibat keberadaan partikel nomorj.Hukum Newton tersebut selalu dikaitkan dengan sistem koordinat karte-sian, sehingga solusinya selalu dalam sistem koordinat kartesian. Kenyata-annya, tidaksemuapermasalahangerakdapatdipecahkandenganmudahapabila dilakukan di dalam sistem koordinat kartesian.Contoh:a. Persoalan gerak dengan gaya sentral lebih mudah dipecahkan apabilasistem koordinat polar yang digunakanb. Persoalanbanyakpartikel lebihmudahdipecahkandenganmenggu-nakan sistem koordinat pusat massa.1718 BAB3. KOORDINATUMUMJika persamaan (3.1) dinyatakan dalam komponen menjadid2xi(t)dt2=1mi__

Fix +n

jFijx__d2yi(t)dt2=1mi__

Fiy +n

jFijy__(3.2)d2zi(t)dt2=1mi__

Fiz +n

jFijz__Prosedur penyelesaiannya seolah-olah tampak jelas:memasukkan komponen-komponen gaya yang terlibat, mencari jawaban persamaan diferensial, danyang terakhir menentukan tetapan-tetapan berdasarkan syarat awal.Tetapi, tidaksemuanyasederhana. Masalahmuncul apabilaterdapatkendala-kendala (constraints). Kendala-kendala ini membatasi partikel-partikeluntuk saling bebas.Jenis-jenisKendala:a. Kendala HolonomikApabila kendala dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan yangmenghubungkan posisi-posisi partikel dalam bentukf(r1, r2, r3, , rn) = 0maka kendala semacam ini disebut sebagai kendala holonomik.Contoh:1. SuatusistemNpartikelyangmembentukbendategar. Dalamhal ini berlaku persamaan(rirj)2cij = 0dengancijtetapan-tetapan.2. Sebuah manik-manik yang diuntai pada seutas kawat yang berben-tuk lingkaran berjari-jaria. Dalam hal ini berlaku persamaanx2+y2a2= 0 dan z = tetapan3.2. KOORDINATUMUM 19b. Kendala NonholonomikKendala Nonholonomik adalah kendala yang tidak holonomik. Artinya,kendala yang tidak dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan se-perti di atas.Contoh:1. Sebuah benda yang dikungkung dalam tangki berbentuk silinderberjari-jaria dan tinggih mengalami kendalax2+y2a2< 0 dan 0 < z< h.2. Sebuah benda yang berada di luar sebuah bola berjari-jaria ter-kekang oleh kendala yang hanya dapat dituliskan dalam bentukketidaksamaanx2+y2+z2a2 03.2 KoordinatUmumAdanyakendalamengakibatkanduamasalahdalampenyelesaianmasalahmekanika. Pertama, koordinatxi, yi,danzitidak lagi bebas satu dari yanglainsehinggapersamaan-persamaan(3.2)tidakbebassatudariyanglain.Kedua, adanyagayakendalayangtidakdapatditentukanterlebihdahulusebab gaya tersebut termasuk ke dalam masalah yang harus diselesaikan.Untuk kendala yang holonomik, masalah pertama dapat diselesaikan de-nganmemperkenalkankoordinatumum. SistemKoordinatUmumadalahsistemkoordinatyangbisadiinterpretasikansebagaisistemkoordinatter-tentu sesuai dengan keinginan kita.Olehkarenaitupertama-tamakitaperlumengenal sistemkoordinatumumterlebihdahulu. SistemKoordinatUmumbiasanyadinotasikanse-bagai:qi; i = 1, 2, 3, 4, ..., nNilai n bergantung pada jumlah partikel dari sistem yang ditinjau dan jugabergantung pada dimensi ruang yang ditinjau.Contoh:1 partikelJika dinyatakan dalam Koordinat Kartesius 3 dimensi : x, y, zJika dinyatakan dalam Koordinat Umum : q1, q2, q3 n = 32 partikelJika dinyatakan dalam Koordinat Kartesius 3 dimensi:20 BAB3. KOORDINATUMUMpartikel 1 : x1, y1, z1partikel 2 : x2, y2, z2Jika dinyatakan dalam Koordinat Koordinat Umum : q1, q2, q3, ..., q6n = 6N partikelJika dinyatakan dalam Koordinat Kartesius 3 dimensi:partikel 1 : x1, y1, z1partikel 2 : x2, y2, z2partikel 3 : x3, y3, z3...partikelN: xN, yN, zNJika dinyatakan dalam Koordinat Umum: q1, q2, q3, ..., q3N n = 3NUntuksistemyangtersusunatas Npartikel, di dalamsistemKoordinatKartesian diperlukan 3Nkoordinat untuk menggambarkan kongurasi sis-tem (yakni posisi masing-masing partikel), yaitu(x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, ..., xN, yN, zN),sedangkan dalam sistem Koordinat Umum dinyatakan oleh:(q1, q2, q3, ..., q3N).Karena (x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, ..., xN, yN, zN) dan (q1, q2, q3, ..., q3N)merepresentasikansistemyangsama, sehinggakeduahimpunantersebutharus dapat dihubungkan.Ini berarti:q1= q1(x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, ..., xN, yN, zN, t)q2= q2(x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, ..., xN, yN, zN, t)...q3N= q3N(x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, ..., xN, yN, zN, t) (3.3)Kebanyakan ketergantungan qi terhadap waktu t secara eksplisit terjadi apa-3.2. KOORDINATUMUM 21bila koordinatqi bergerak. Ungkapan sebaliknya:x1= x1(q1, q2, q3, ..., q3N, t)y1= y1(q1, q2, q3, ..., q3N, t)z1= z1(q1, q2, q3, ..., q3N, t)...zN= zN(q1, q2, q3, ..., q3N, t) (3.4)Secara matematis persamaan (3.3) menggambarkan transpormasi koordinatdari Koordinat Kartesian ke Koordinat Umum, sedangkan persamaan (3.4)menggambarkan transpormasi sebaliknya.Satu pengertian agar ungkapan persamaan (3.3) dan (3.4) diatas dipenuhiadalah bahwa:|j| =(q1, q2, q3, ..., q3N)(x1, y1, z1, ..., zN) = 0|j| =q1x1q2x1...q3Nx1q1y1q2y1...q3Ny1. . .. . .. . .q1zNq2zN...q3NzN= 0 (3.5)Determinan diatas dinamakan Jacobian dari transformasi (3.3).Contoh:Koordinat Polar 2 dimensi seperti tampak pada Gambar 3.1.r = _x2+y2 = tan1_yx_tx = r cos( +t)y = r sin( +t) (3.6)denganq1 = r danq2 = .sehingga : q1 = _x2+y2danq2 = tan1_yx_t.22 BAB3. KOORDINATUMUMGambar3.1: SistemKoordinatPolarJacobian diperoleh sebagai|j| =(q1, q2)(x, y)|j| =q1xq2xq1yq2y =xq1yq21yq1xq21=x2q31+y2q31=x2+y2q31=x2+y2(x2+y2)_x2+y2|j| =1q1= 0Atau,|j| =(r, )(x, y)|j| =rxxryy =xryr2yrxr2|j| =1r = 03.3. DERAJATKEBEBASAN 233.3 DerajatKebebasanDalam sistem yang ditinjau seperti bahasan sebelumnya, jumlah koordinatumum menunjukkan derajat kebebasan sistem (degrees of freedom). Hal iniberarti terdapat 3Nderajat kebebasan.Apabila terdapatk buah persamaan kendalaf1(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0f2(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0....fk(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0 (3.7)Makaderajat kebebasansistemmenyusut menjadi 3N k. Dalamhalini diperlukan sistem koordinat umum yang terdiri dari 3N kkoordinat,katakanlah (q1, q2, ..., q(3Nk)).Terdapat transformasi koordinatr1 = r1(q1, q2, ..., q(3Nk))ri = ri(q1, q2, ..., q(3Nk))rN= rN(q1, q2, ..., q(3Nk)) (3.8)Tinjau sistem berupa partikel tunggal. Jika partikel bergerak bebas dalamruang, maka dikatakan partikel tersebut tidak mengalami kendala, sehinggaderajat kebebasannya berjumlah tiga, yaitux = x(q1, q2, q3)y = y(q1, q2, q3)z = z(q1, q2, q3)Jika partikel tersebut hanya dapat bergerak dalam bidang xy, maka derajatkebebasannya berkurang menjadi dua, yaitux = x(q1, q2)y = y(q1, q2)Jika partikel tersebut hanya dapat bergerak dalam arah x, maka derajatkebebasannya berkurang lagi menjadi satu, yaitux = x(q)Contoh:24 BAB3. KOORDINATUMUM1. Duabuahkelerengbesi disambungdenganbatangtegaryangpan-jangnyal, sehingga membentuk semacam barbel. Persamaan kendalauntuk dua kelereng itu adalah(x1x2)2+ (y1y2)2+ (z1z2)2= l2Derajat kebebasannya adalah (3)(2) - (1) = 5. Koordinat umum yangdapatdipakai misalnya(X, Y, Z, , )dengan(X, Y, Z)adalahkoor-dinatpusatmassadan(, )menyatakanorientasibarbelitu, yaknigaris lintang dan garis bujur.2. Sebuah manik-manik yang diuntai pada seutas kawat yang berbentuklingkaran berjari-jaria memiliki persamaan kendalax2+y2a2= 0 dan z = tetapan.Derajat kebebasannya adalah (3)(1) - (2) = 1. Jadi diperlukan sebuahkoordinat umum. Koordinat umum ini misalnya adalah , yaitu sudutyang dibentuk oleh vektor posisi manik-manik dan sumbuX.3.4 KecepatanUmumSetelah mendenisikan sistem koordinat umum, maka kita perlu melengkapipengertian-pengertiankecepatanumum, percepatanumum, danlain-lainagar kita bisa membahas persoalan gerak dengan menggunakan sistem ko-ordinat umum.Kecepatan umum merupakan turunan koordinat umum terhadap waktu.Komponen kek dari kecepatan umum adalah:ddtqk = qk; k = 1, 2, 3, ..., 3N (3.9)Dalam koordinat polar:r = _x2+y2 = tan1_yx_tkecepatan umum: q1= r laju radial q2= laju tangensial3.5. PERCEPATANUMUM 25Karena sistem koordinat umum dan sistem koordinat kartesian saling terkait,maka hal yang sama juga terjadi antara kecepatan, percepatan, dan lain-laindi dalam sistem koordinat kartesian. x1=dx1(q1, q2, q3, , q3N, t)dt=x1t+x1q1dq1dt+x1q2dq2dt+... +x1q3Ndq3Ndt=x1t+x1q1 q1 +x1q2 q2 +... +x1q3N q3N x1=x1t+3N

j=1x1qj qj(3.10)Dengan cara yang sama didapatkan: y1 =y1t+3N

j=1y1qj qj(3.11) z1 =z1t+3N

j=1z1qj qj(3.12)sehingga x1 q1=x1q1; x1 q2=x1q2; ... ; x1 q3N=x1q3N.Secara umum dapat dituliskan: xi qj=xiqj; yi qj=yiqj; zi qj=ziqj.3.5 PercepatanUmumPercepatan umum merupakan turunan kecepatan umum terhadap waktu.Komponen kek dari percepatan umum adalah:d2dt2qk = qk; ; k = 1, 2, 3, ..., 3N (3.13)26 BAB3. KOORDINATUMUMDitinjau koordinatx1: x1=d x1dt=d x1(q1, q2, q3, ..., q3N, t)dt= x1t+3N

j=1 x1qj qjSubstitusi persamaan (3.10) diperoleh x1=t_x1t+3N

i=1x1qi qi_+3N

j=1qj_x1t+3N

i=1x1qi qi_ qj=2x1t2+3N

i=12x1tqi qi +3N

i=1x1qi qit+3N

j=12x1tqj qj +3N

j=1_3N

i=12x1qjqi qi_ qj +3N

j=1_3N

i=1x1qi qiqj_ qjPerhatikanbahwaindeks i danj hanyasekedar indeks boneka(dummyindex). Jadi, indeks pada suku keempat dapat dibuat dalam i. Selanjutnyadapat disederhanakan sebagai berikut: x1=2x1t2+3N

i=12x1tqi qi +3N

i=1x1qi qit+3N

i=12x1tqi qi +3N

j=1_3N

i=12x1qjqi qi_ qj +3N

j=1_3N

i=1x1qi qiqj_ qj x1=2x1t2+ 23N

i=12x1tqi qi +3N

i=1x1qi qit+3N

j=1_3N

i=12x1qjqi qi_ qj +3N

j=1_3N

i=1x1qi qiqj_ qjSelanjutnya, perhatikan suku terakhir. Perlu diingat bahwa qiqj= 0 (3.14)Jadi, suku terakhir bernilai 0.3.5. PERCEPATANUMUM 27Akhirnya, diperolehpercepatanyangdinyatakandalamkoordinatumumsebagai x1 =2x1t2+ 23N

i=12x1tqi qi +3N

i=1x1qi qit+3N

j=1_3N

i=12x1qjqi qi_ qj(3.15)Dengan cara yang sama diperoleh y1 =2y1t2+ 23N

i=12y1tqi qi +3N

i=1y1qi qit+3N

j=1_3N

i=12y1qjqi qi_ qj, (3.16)dan z1 =2z1t2+ 23N

i=12z1tqi qi +3N

i=1z1qi qit+3N

j=1_3N

i=12z1qjqi qi_ qj(3.17)Contoh:Dalam koordinat polarx = r cos( +t)y = r sin( +t)Pertama, tinjaukomponenx. Secaraeksplisit, xmerupakanfungsi darivariabelr, , dant. Jika diturunkan terhadap waktu diperoleh x =dxdt=xrdrdt+xddt+xtdtdt x = r cos( +t) r sin( +t) r sin( +t) (3.18)Jika diperhatikan, persamaan (3.18) secara eksplisit merupakan fungsi dari5 variabel, yaitu x = x(r, r, , , t), sehingga jika diturunkan terhadap waktusekali lagi, diperoleh x = xdt= xrdrdt+ x rd rdt+ xddt+ x ddt+ xtdtdt=_0 sin( +t) sin( +t)_ r + [cos( +t)] r +_ r sin( +t) r cos( +t) r cos( +t)_ +_r sin( +t)_+_ r sin( +t) r cos( +t) r2cos( +t)_ x = 2 r sin( +t) 2 r sin( +t) + r cos( +t) r2cos( +t) +2r cos( +t) r sin( +t) r2cos( +t) (3.19)28 BAB3. KOORDINATUMUMSekarang bandingkan jika ditinjau dalam koordinat umumMisal: q1 = r danq2 = Kecepatan diperoleh sebagai x =xt+3N

j=1xqj qj=xt+xr r +x x = r sin( +t) + r cos( +t) r sin( +t) (3.20)Tampak bahwa hasilnya sama dengan persamaan (3.18).Adapun percepatan diperoleh sebagai x =2xt2+ 2_2xtr r +2xt_+_xr r +x_+_2xr2 r2+2xr r +2xr r +2x22_=_2xt2_+ 2_2xtr r +2xt_+_xr r +x_+_2xr2 r2+ 22xr r +2x22_= r2cos( +t) + 2_ sin( +t) r r cos( +t)_+_ r cos( +t) r sin( +t)_+_0 2 sin( +t) r r cos( +t)2_ x = r2cos( +t) 2 r sin( +t) 2r cos( +t) + r cos( +t) +r sin( +t) 2 r sin( +t) r2cos( +t) (3.21)Tampak bahwa hasilnya juga sama dengan persamaan (3.19).Selanjutnya, dengan cara yang sama untuk komponen y dapat dibandingkannilai y dan y dengan dua cara sebagaimana di atas.3.6. ENERGIKINETIK 293.6 EnergikinetikUntukNpartikel, energi kinetiknya dinyatakan olehT =N

i=112miv2i=12m1v21 + 12m2v22 +... + 12mNv2N=12m1( x21 + y21 + z21) + 12m2( x22 + y22 + z22) +... + 12mN( x2N + y2N + z2N)=123N

i=1mi x2i+ 123N

i=1mi y2i+ 123N

i=1mi z2iT =123N

i=1mi( x2i+ y2i+ z2i ) (3.22)Dalam koordinat umum dapat dituliskan sebagaiT=3N

i=13N

j=112Aij qi qj +3N

i=1Bi qi +T0(3.23)dengan Aij, Bi, T0 pada umumnya merupakan fungsi dari q1, q2, q3, ..., q3N, t.Jikasistemkoordinat qibersifatortogonal (vektor-vektorbasisnyasalingortogonal) maka: Aij = 0 untuki = jdanBi = T0 = 0.Perhatikan Gambar 3.2. Vektorr dinyatakan sebagair = x x +y yr = q1 q1 +q2 q2Vektor kecepatan:v =drdt= x x + y y= q1 q1 + q2 q2Energi kinetikT=12m( x x + y y)( x x + y y) =12m( x2+ y2)30 BAB3. KOORDINATUMUMGambar3.2: Vektorposisi dilihatdari KoordinatKartesiusdanKoordinatUmumT =12m( q1 q1 + q2 q2)( q1 q1 + q2 q2)=12m( q21 + q1 q2 q1 q2 + q2 q1 q2 q1 + q22)=12m( q21 + q22 + 2 q1 q2 q1 q2)T =12m( q21 + q22 + 2 q1 q2 cos )T =123N

i=13N

j=1Aij q1 q2=12(A11 q21 +A12 q1 q2 +A21 q2 q1 +A22 q22)Dalam koordinat umum:A11= A22 = mA12= A21 = mcos sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk matrikAij =_m mcos mcos m_.3.7. MOMENTUMUMUM 31Adapun dalam koordinat KartesiusA11= A22 = mA12= A21 = 0sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk matrikAij =_m 00 m_.3.7 MomentumUmumDalam koordinat kartesian: p = mv ;

L = r p; T=12mv2px= mvx = m x Lx = ypzzpypy= mvy = m y Ly = zpxxpzpz= mvz = m z Lz = xpyypxpx =T x; py =T y; pz =T z .T=12m(v2x +v2y +v2z)Tvx= mvx = pxTvy= mvy = pyTvz= mvz = pzContoh: Dalam koordinat polar ( 2 dimensi)x = r cos y = r sin 32 BAB3. KOORDINATUMUM x = r cos r sin y = r sin +r cos T =12mv2=12m( r2+r2 2)L= mr2 Dalam koordinat umumDenisi:pi =T qi(3.24)Pada kasus ini: q1 = r danq2 = , sehinggapr=T r= m rp=T = mr2 = LJadi momentum umum bisa mencakup momentum sudut.BAB4LAGRANGAN4.1 Persamaan Lagrange dari Konsep Gaya Umum4.1.1 GayaUmumTinjau N parikel dengan posisi (x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, :xN, yN, zN)di dalam sistem Koordinat Kartesian atau oleh himpunan: (q1, q2, q3, , q3N)di dalamsistemKoordinatUmum. Jikamasing-masingpartikel bergesersejauh (x1, y1, z1, ..., xN, yN, zN), maka kerja yang dilakukan oleh gayayang bekerja pada partikel:W = Fx1 x1 +Fy1 y1 +Fz1 z1 +... +FxN xN +FyN yN +FzN zN=N

i=1(Fxi xi +Fyi yi +Fzi zi)W = Fxi xi +Fyi yi +Fzi zi; i = 1, 2, 3, ..., Ndenganxi, yi, zi dapat dinyatakan dalam pergeseran di dalam sistem ko-ordinat umumqix1=x1q1q1 +x1q2q2 +x1q3q3 +... +x1q3Nq3Nxi=3N

j=1xiqjqj(4.1)3334 BAB4. LAGRANGANAnalogyi=3N

j=1yiqjqj(4.2)zi=3N

j=1ziqjqj(4.3)MakaW =N

i=1(Fxi xi +Fyi yi +Fzi zi)=

_Fxixiqjqj +Fyiyiqjqj +Fziziqjqj_=

_Fxixiqj+Fyiyiqj+Fziziqj_qjW =N

j=1Qjqj(4.4)Jadi, Gaya Umum diperoleh sebagaiQj =3N

i=1_Fxixiqj+Fyiyiqj+Fziziqj_(4.5)JikagayaFibersifatkonservatif, gayatersebutdapatdinyatakandengangradien dari fungsi skalar (potensial)

F= V (4.6)Fxi = Vxi; Fyi = Vyi; Fzi = Vzi. (4.7)denganV= V (x1, y1, z1, ..., xN, yN, zN) dan = ix + jy + kz.HubunganantaragayaumumdenganpotensialQ =

Vxixiqj+Vyiyiqj+VziziqjQ = Vqj(4.8)4.1. PERSAMAANLAGRANGEDARIKONSEPGAYAUMUM 35Contoh:Gerak sebuah partikel dalam ruang 2 dimensi.F= md2rdt2

F = Fx x +Fy y

F = Fr r +Fdengan x = r cos sin y = r sin + cos dan r = xcos + y sin = xsin + y cos sehingga diperolehFx= Fr cos F sin Fy= Fr sin +F cos danFr= Fx cos +Fy sin F= Fx sin +Fy cos Qj =

_Fxixiqj+Fyiyiqj_ = Fxxqj+Fyyqj(4.9)Jika dipilihq1 = r danq2 = , maka diperolehQ1= Fxxr+FyyrQ2= Fxx+FyyDenganx = r cos y = r sin 36 BAB4. LAGRANGANmakaxr= cos x= r sin yr= sin y= r cos sehingga diperoleh gaya umum sebagaiQ1= Fx cos +Fy sin = FrQ2= rFx sin +rFy cos = rF = momen gayadanW = Fxx +Fyy= Q1q1 +Q2q2= Q1r +Q2W = Frr +rFJika partikel bergerak dalam arah radial, maka = 0 W= Frr.Jika partikel bergerak dalam arah tangensial, makar = 0 W= rF.4.1.2 PenurunanPersamaanLagrangedariKonsepGayaUmumSetelah menggeneralisasikan momentum dan gaya umum, ungkapan mekanikadi dalam sistem kordinat umum akan lengkap jika terdapat persamaan gerak,yaitu mengubah persamaan gerak dalam sistem koordinat kartesian (HukumNewton) ke persamaan gerak dalam koordinat umum (Persamaan Lagrange).Hukum dinamika gerak dalam koordinat kartesian diperoleh dari

F=d pdt; (4.10)4.1. PERSAMAANLAGRANGEDARIKONSEPGAYAUMUM 37sehinggaddtpx=ddt_T qk_ =ddt qk_

12mi( x2i+ y2i+ z2i )_=ddt

12mi_ xi xi qk+ yi yi qk+ zi zi qk_ddtpx=ddt

12mi_ xi xi qk+ yi yi qk+ zi zi qk_Ingat bahwa zi qk=ziqk.ddtpk=

mi_ xi xi qk+ yi yi qk+ zi zi qk+ xiddt_xiqk_+ yiddt_yiqk_+ ziddt_ziqk__= Qk +_mi xiddt_xiqk_+mi yiddt_yiqk_+mi ziddt_ziqk__(4.11)ddt_xiqk_=ddt_xiqk_+ddq_xiqk_ q +... +ddq3N_xiqk_ q3N=2xitqk+3N

l=12xiqlqk q1=qk_xit+3N

l=1xiql qk_ddt_xiqk_=qk_ ddtxi_ =qk xi(4.12)Analogddt_yiqk_=qk yi(4.13)ddt_ziqk_=qk zi(4.14)38 BAB4. LAGRANGANddtpk= Qk +

mi_ xiqk xi + yiqk yi + ziqk zi_= Qk +

mi12_qk x2i+qk y2i+qk z2i_= Qk +

12miqk( x2i+ y2i+ z2i )= Qk +qk

12mi( x2i+ y2i+ z2i )ddtpk= Qk +qkT (4.15)ddtpk=ddtT qkddtpk= Qk +qkTmakaddtT qk= Qk +qkTddtT qkqkT = Qksehingga_ ddt qkqk_T= Qk(4.16)dikenal sebagai Persamaan umum dinamika di dalam sistem koordinat umum.Jika gaya konservatif, makaQk = VqkdenganV= V (q1, q2, q3, ...). (4.17)Jika disubstitusikan ke persamaan dinamika (4.16), diperoleh_ ddt qkqk_T= Vqk(4.18)4.1. PERSAMAANLAGRANGEDARIKONSEPGAYAUMUM 39Dengan mengingat bahwa Vhanya fungsi q saja (tidak mengandung turunanq), makaVqk= 0;V qk= 0 ddtV qk= 0Dengan demikianVqk=ddtV qkVqksehingga persamaan dinamika dapat ditulis_ ddt qkqk_T =_ ddt qkqk_V_ ddt qkqk_(T V ) = 0diperolehddtL qkLqk= 0 (4.19)sebagai persamaan Lagrange, denganL = T V .Karenaditurunkandenganasumsi gayaQkbersifatkonservatif, makadinamikasetiapsistemkonservatifmemenuhi persamaanLagrange. Akantetapi, kebanyakansistemdi alamini sistemyangnonkonservatif tidakmemenuhi persamaan Lagrange.Jikakoordinatumumdiganti dengankoordinatkartesian, persamaanLa-grange menjadi :Hukum Newton: q1 = x; q2 = y; q3 = zddtL qkLqk= 0ddtL x Lx= 0ddtL y Ly= 0ddtL z Lz= 040 BAB4. LAGRANGANDalam koordinat KartesianT= T( x, y, z)V= V (x, y, z)L x=T x V x=T x= pxLx=Tx Vx= Tx= Fxsehinggaddtpx= FxddtL x Lx= FxFx = 0ddtpy= Fyddtpz= FzJadi,ddtL qkLqk= 0

F=ddt pContoh: Gerak partikel dalam 2 dimensi.Koordinat umum: q1 danq2.Persamaan Lagrange:ddtL q1Lq1= 0ddtL q2Lq2= 0Dalam Koordinat Kartesian (x, y)Fx =ddtpx; Fy =ddtpyDalam Koordinat Polar (r, ), energi kinetik:T =12m( x2+ y2+ z2)=12m( r2+r2 2)T =12m r2+ 12mr2 24.2. PERSAMAANLAGRANGEDARIPRINSIPDALEMBERT 41dan Energi potensialV= 0 (karena partikel bebas), sehingga LagranganLdiperoleh sebagaiL = T V=12m r2+ 12mr2 2PersamaangerakpartikeldiperolehdaripersamaanEuler-Lagrange, yaitudalam arahr sebagaiddtL r Lr= 0ddtT r Tr= 0ddtm r mr2= 0m r mr2= 0dan persamaan gerak dalam arah diperoleh sebagaiddtL L= 0ddtT T= 0ddtmr2 0 = 0ddtmr2 = 0mr2 = konstanMomentum sudut = konstan4.2 PersamaanLagrangedariPrinsipdAlembert4.2.1 PergeseranMayaKonsep pergeseran nyata partikel nomori dinyatakan olehdri =riq1dq1+riq2dq2+... +riq3Nkdq3Nk+rit dt (4.20)ataudri =3Nk

=1riqdq+rit dt (4.21)Pergeseranmayasuatusistemadalahperubahankongurasi (posisi atauorientasi) sistem sebagai akibat pergeseran innitesimal ri(i = 1, 2, ..., N)42 BAB4. LAGRANGANyang konsisten dengan gaya-gaya dan kendala yang bekerja pada sistem itupada saatt. Hal yang penting di sini adalah pergeseran maya terjadi tanpamembutuhkan waktu.Pergeseran maya dinyatakan sebagairi =3Nk

=1riqq+rit t (4.22)Pada partikel nomori bekerja gaya

Fi =

F(a)i+

fkidengan

F(a)iadalah gaya luar total yang bekerja pada partikel nomori dan

fkiadalah gaya kendala yang bekerja pada partikel nomori.Jika sistem dalam keadaan setimbang, maka berlaku

Fi = 0untuk setiapi, sehingga usaha maya diperoleh sebagai

Fi ri= 0

i

F(a)i ri +

i

fki ri= 0 (4.23)Bilasistemyangditinjausedemikianrupasehinggagayakendalategaklu-rus terhadap pergeseran maya yang mungkin, maka suku kedua persamaanterakhir lenyap. Jadi,

i

F(a)i ri = 0 (4.24)4.2.2 PenurunanPersamaanLagrangedariPrinsipdAlembertPrinsip dAlembert merupakan perluasan prinsip usaha maya dengan menam-bahkan suku tambahan untuk gaya total pada tiap partikel.Jika sistem di atas tidak dalam keadaan setimbang maka

Fi = 0, akan tetapi

Fi = pi(4.25)

Fi pi = 0 (4.26)

F(a)i+

fiddt pi = 0 (4.27)4.2. PERSAMAANLAGRANGEDARIPRINSIPDALEMBERT 43sehingga usaha semu diperoleh sebagai

i

F(a)i+

fiddt pi ri = 0Dengan asumsi bahwa gaya kendala selalu tegak lurus terhadap pergeseranmaya, maka didapat

i

F(a)iddt pi ri = 0Karena r1, r2, ..., rN tidak bebas satu dari yang lain (akibat adanya kendala),maka tidak serta merta dapat disimpulkan bahwa

i

F(a)iddt pi = 0Permasalahan ini dapat diatasi dengan transformasi koordinat:

Rq= 0dipilihqbebas satu dari yang lain sehinggaR = 0.Usaha semu dapat ditulis ulang sebagai

i

F(a)i ri =

imiri ri(4.28)Pertama-tama, perhatikan ruas kiri.

i

F(a)i

riqq=

_

i

F(a)iriq_q=

Qq(4.29)dan diperolehQ =

i

F(a)iriq(4.30)44 BAB4. LAGRANGANsebagai GayaUmum dalam bentuk yang agak berbeda.Selanjutnya, perhatikan ruas kanan.

imiri ri=

imiri

riqq=

i

miririqq=

_

imiririq_q

imiri ri=

imi_ ddt_ririq_ riddt_ riq__q(4.31)Untuk menyelesaikan persamaan 4.31 dapat dilakukan langkah berikut:ddtriq=q_rit_ =

irq(4.32)selanjutnya,

ir =dridt=

riqdqdt+ritdtdt

ir =

riq q+rit(4.33)danri q=

riq q q=

riqri q=riq(4.34)4.2. PERSAMAANLAGRANGEDARIPRINSIPDALEMBERT 45Jikapersamaan4.32, 4.33, dan4.34disubstitusi kepersamaan4.31akandihasilkan

imiri ri=

imi_ ddt_ri

irq_ ri

irq_q=

_

iddt_mi ri

irq_

imi ri

irq_q=

_

iddtqTi

iqTi_q

imiri ri=

_ ddt_ Tq_Tq_q(4.35)denganTadalah energi kinetik.Jika ruas kanan dan kiri persamaan 4.31 disamakan, akan diperoleh

Qq=

_ ddt_ Tq_Tq_q(4.36)

_Qddt_ Tq_+Tq_q= 0 (4.37)Karena qbebas linier, maka kuantitas yang berada dalam kurung bernilainol, yaituQ =ddt_ Tq_Tq(4.38)yang merupakan bentuk Hukum II Newton dalam koordinat umum.Jika gaya-gaya diturunkan dari fungsi potensial skalarV ,

Fi = iV (4.39)maka gaya umum dapat dituliskan sebagaiQ =

i

Fi

irq=

iiV

irq(4.40)Pada akhirnya, gaya umum berubah menjadiQ = Vq(4.41)46 BAB4. LAGRANGANSelanjutnya, persamaan 4.38 menjadiddt_ Tq_(T V )q= 0 (4.42)Jika sistem yang ditinjau adalah konservatif, maka fungsi potensial Vbukanfungsiyangsecaraeksplisitbergantungpadawaktu, sehinggapotensial Vtidakbergantungpadaturunankoordinat umum. Olehkarenaitu, kitadapat memasukkan kuantitasVpada suku yang pertamaddt_(T V )q_(T V )q= 0 (4.43)Kita dapatkan fungsi baruL = T V (4.44)yang dikenal sebagai Lagrangan (L).Akhirnya, kita dapatkan persamaan Lagrange sebagaiddt_ Lq_Lq= 0 (4.45)4.3 PotensialBergantungPadaKecepatanDidesikanu(q1, q2, q3, ..., q3N, q1, q2, q3, ..., q3N)Sedemikian rupa sehingga berkait dengan gaya umumQkmakaQk =ddtu qkuqkWalaupungayatersebuttakkonservatif, namumdalambentukyangda-pat dituliskan seperti di atas mempunyai persamaan dinamika sistem yangmemenuhi persamaan Lagrange.ddtT qkTqk= QkSubstitusikanQkddtT qkTqk=ddtu qkuqkddt qk(T U) qk(T U) = 0ddt qkL qkL = 04.3. POTENSIALBERGANTUNGPADAKECEPATAN 47diperoleL = T UdenganU=fungsi potensial umum.Contohnya adalah gaya elektromagnet

F= q

E +qvc

B (4.46)Komponen gaya Lorentz yang mengandung kecepatan adalah gaya magnetikFb = qvc

B =qc(v

B)denganv = xi + yj + zk (4.47)

B = Bxi +Byj +Bzk (4.48)sehingga

Fbx =qc( yBz zBy) (4.49)

Fby =qc( zBx xBz) (4.50)

Fbz =qc( xBy yBx) (4.51)DariQk =ddtu qkuqkdiperoleh

Fbx =ddtu x ux(4.52)

Fby =ddtu y uy(4.53)

Fbz =ddtu z uz(4.54)Makau yang memenuhi adalahu =qc(x zBy +y xBz +z yBx)Kembali ke gaya Lorentz

F= q

E +qc(v

B)48 BAB4. LAGRANGANMenurutteori elektromagnetik, EdanBdapatditulisdalambentuktu-runan dari potensial skalar dan potensial vektorA

E = 1c At(4.55)

B =

A (4.56)Jadi dapat dituliskan

F= q qc At+qcc (

A)Dengan menggunakan identitas

A(

B

C) =

B(

A

C)

C(

A

B)diperoleh

F= qcddt

Aqc(c v

A)yaitu

Fx = qcddt

Axx_q qcv

A_(4.57)

Fy = qcddt

Ayy_q qcv

A_(4.58)

Fz = qcddt

Azz_q qcv

A_(4.59)Jadi bentuk potensial dari F adalahu = q qcv

AMaka fungsi LagrangeL = T U (4.60)L =12mv2q +qcv

A (4.61)Momentum Umum pq =L qk px =L x= m x +qcAx(4.62) py =L y= m y +qcAy(4.63) pz =L z= m z +qcAz(4.64)4.3. POTENSIALBERGANTUNGPADAKECEPATAN 49Jadi, p = mv +qc

AJadi momentum partikel bermuatanq yang bergerak dalam medan elektro-magnetik tidak sama denganmv, tetapimv +qc

A.50 BAB4. LAGRANGANBAB5HAMILTONANPenurunan persamaan Lagrange yang sudah dijelaskan pada bab sebelum-nya, diawali dari tinjauan keadaan sistem pada saat tertentu dan pergeseransemuterhadapkeadaantersebut, yaitudari PrinsipDiferensialsepertiPrinsip DAlembert. Namun, dimungkinkan juga untuk mendapatkan per-samaanLagrangedari suatuprinsipyangmeninjauseluruhgeraksistemantarawaktut1dant2, danvariasi semuyangkecil dari geraktersebut.Prinsip ini dikenal sebagai Prinsip Integral.5.1 PrinsipHamiltonKongurasi sistem pada saat tertentu dijelaskan oleh nilai n buah koordinatumum q1, ..., qn, dan terkait dengan titik tertentu pada Koordinat Kartesian,dengan q membentuk n buah sumbu koordinat. Ruang berdimensi n ini dise-but sebagai Ruang Kongurasi. Ruang ini tidak mempunyai hubungan yangsesuai dengan ruang sis 3 dimensi, sebagaimana koordinat umum tidak se-lalu terhubung dengan koordinat posisi. Lintasan dalam ruang kongurasitidak mempunyai kemiripan dengan lintasan sembarang partikel pada ruangsis. Setiap titik pada lintasan ini mewakili kongurasi sistem keseluruhanpada beberapa waktu tertentu.PrinsipIntegralHamiltonmenjelaskangeraksistemmekaniksemacamini untuk semua gaya (kecuali gaya kendala), yaitu diturunkan dari sebuahpotensialskalarumumyangmungkinberupafungsikoordinat,kecepatan,danwaktu. Sistem-sistemsemacaminidisebutsebagaisistemmonogenik.Jikapotensial berupasebuahfungsi yanghanyamerupakanfungsi posisisaja, maka sistem monogenik ini merupakan fungsi yang konservatif. Untuksistem monogenik, Prinsip Hamilton dinyatakan sebagai:5152 BAB5. HAMILTONANGambar5.1: LintasanSistemTitikdalamRuangKonsgurasiGerakansuatusistemdari waktut1ket2sedemikianrupasehinggamerupakan integral garis (disebut sebagai aksi atau integral aksi),I =_t2t1Ldt, (5.1)denganL = T Vbernilai konstan untuk lintasan yang sebenarnya.Hal ini berarti bahwa, semua lintasan yang mungkin suatu sistem titikberpindah dari posisi awal saat t1 ke posisi berikutnya saat t2, sesungguhnyaia berpindah sepanjang lintasan sedemikian rupa sehingga nilai integral padapersamaan (5.1) bernilai tetap (stasioner). Integral sepanjang lintasan yangdiberikan mempunyai nilai yang sama dengan semua lintasan di sekitarnya,perhatikan Gambar 5.1.Dengankatalain, PrinsipHamiltondapat dinyatakansebagai Gerakyang sedemikian rupa sehingga variasi integral garisIdarit1 ket2 bernilai0.I = _t2t1L(q1, ..., qn, q1, ..., qn, t)dt = 0 (5.2)Ketika kendala sistem berupa kendala yang holonomik, Prinsip Hamilton(5.2)sesuai danmemenuhi syaratuntukPersamaanLagrange(4.19)atau(4.45). Jadi, telah ditunjukkan bahwa Prinsip Hamilton didapatkan secaralangsung dari Persamaan Lagrange. Namun, pada bahasan lain akan ditun-jukkan sebaliknya: Persamaan Lagrange didapat dari prinsip Hamilton.5.2. PENURUNANPERSAMAANLAGRANGE DARI PRINSIP HAMILTON535.2 PenurunanPersamaanLagrangedari PrinsipHamiltonMasalah mendasar dalam kalkulus variasi adalah membawa kasus fungsi fsebagai fungsi yangtakbergantungpadavariabel yidanturunannya yi.Tentu saja semua kuantitas tersebut ditinjau sebagai fungsix.Variasi integralJdinyatakan sebagaiJ = _21f(y1(x), y2(x), ..., y1(x), y1(x), ..., x)dx (5.3)Seperti sebelumnya, persamaanini diperolehdenganmeninjauJsebagaifungsi denganparameteryangmelabeli himpunankurvayangmungkiny1(x, ). Didapatkany1(x, ) = y1(x, 0) +1(x),y2(x, ) = y2(x, 0) +2(x),. .. .. .dengany1(x, 0), y2(x, 0),danseterusnyaadalahsolusimasalahekstrimum,dan 1, 2 dan seterusnya adalah fungsi yang tak bergantung x, yang lenyapdi titik-titik ujung dan kontinyu pada turunan kedua. Selain itu, semuanyasembarang.VariasiJdiberikan dalam bentukJd =_21

i_fyiyid +f yi yid_dx (5.4)Kemudian kita integralkan per-bagian suku kedua persamaan (5.4)_21f yi2yixdx =f yiyi21 _21yiddx_f yi_dx (5.5)dengan suku pertama lenyap, karena semua kurva melalui titik ujung yangtetap. Substitusi persamaan (5.5) pada persamaan (5.4),JmenjadiJ =_21

i_fyiddxf yi_yidx, (5.6)54 BAB5. HAMILTONANdengan variasiyi adalahyi =_yi_d. (5.7)Karenayiadalahvariabel yangindependen, variasi yijugaindependen(yakni, fungsi i(x) akan independen satu dengan yang lain). Oleh karenaitu, syaratJbernilai 0 adalah koesienyi lenyap secara terpisahfyiddxf yi= 0, i = 1, 2, ..., n. (5.8)Persamaan(5.8)mewakili perumumanyangbersesuaianpersamaan(5.8)untuk beberapa variabel, dan dikenal sebagai Persamaan Diferensial Euler-Lagrange. Solusi persamaan ini merepresentasikan kurva-kurva sedemikianrupa sehingga integral pada persamaan (5.3) menghasilkan variasi sama de-ngan 0.Integral dalam Prinsip HamiltonI =_21L(qi, qi, t)dt, (5.9)mempunyai bentuk seperti (5.3) dengan transformasix tyi qif(yi, yi, x) L(qi, qi, t)Dalam menjabarkan persamaan (5.8), kita mengasumsikan variabel yi adalahindependen. Syarat terkait yangberhubungandenganprinsipHamiltonadalah koordinat umumqi bersifat independen, mengharuskan kendala bersi-fat holonomik. Persamaan Euler-Lagrange yang berhubungan dengan inte-gralIkemudian menjadi Persamaan LagrangeddtL qiLqi= 0, i = 1, 2, ..., n. (5.10)Jadi, persamaanLagrangedapatditurunkandariPrinsipHamiltonuntuksistem monogenik dengan kendala holonomik.5.3. FUNGSIHAMILTON 555.3 FungsiHamiltonTinjau fungsiHsebagai berikutH(q, q, t) 3N

k=1 qkL qkL (5.11)H(q, q, t) =3N

k=1 qkpkL (5.12)Jika H diturunkan terhadap waktu (t)dHdt=

qkL qk+ qkddtL qkdLdtDari Lagrange:ddtL qk=LqkL(q, q, t) dLdt=Lt+Lqdqdt+L qd qdtMakadHdt=

__ qkL qk+ qkddtL qk__Lqkdqkdt+L qkd qkdt__Lt=

__ qkL qk+ qkddtL qk__Lqk qk +L qk qk__LtdHdt= Lt(5.13)Jika Ltidakbergantungpadawaktusecaraeksplisit L=L(q, q) makadHdt= 0 H = konstan;Hmerupakan suatu konstanta.Andaikan qk adalah sistem koordinat yang ortogonal yang berakibat Tbersi-fat kuadratik terhadap qk T

12Ak q2kdan qkL qk= 2T.H =3N

k=1 qkL qkL= 2T L ; L = T V= 2T T +VH = T +V (5.14)Jadi H mempunyai arti sis sebagai energi mekanik sistem apabila sistem ko-ordinat yang dipakai adalah sistem koordinat ortogonal. Jika kita menggu-nakan sistem koordinat ortogonal dimana fungsiL tidak bergantung waktu56 BAB5. HAMILTONANsecaraeksplisitmakafungsi HamiltonHmerupakanenergi mekanikyangbersifat kekal.Contoh:1. Kasus osilator harmonik satu dimensiEnergi Kinetik T=12m x2Energi Potensial V=12kx2Lagrangan diperoleh sebagaiL = T VL =12m x2 12kx2Persamaan geraknya:ddtL x Lx= 0m x +kx = 0Persamaan HamiltonH =

qkL qkL= x L qk_12m x2 12kx2_= x(m x) 12m x2+ 12kx2H =12m x2+ 12kx22. Gerak benda dalam sebuah bidang karena gaya sentral (gaya rotasi)L = T V=12mv2V (r)=12m( r2+r22) V (r)Persamaan GerakddtL qkLqk= 05.4. PERSAMAANHAMILTON 57Persamaan gerak terhadap rddtL r Lr= 0ddtm r _mr2Vr_= 0m r mr2+dVdr= 0m r = mr2dVdrm r = mr2f(r)5.4 PersamaanHamiltonTelah didenisikan fungsi Hamilton yang bergantung pada fungsi Lagrange.DengandemikiandapatdituliskanpersamaangerakdalambentukfungsiHamiltonH(q, q, t) =3N

k=1 qkL qkL(q, q, t) (5.15)H(q, q, t) =3N

k=1 qkpkL(q, q, t) (5.16)Sebelum dituliskanHsebagai fungsi (q, q, t). Namun karena q danp salingterkait, maka H dapat dituliskan sebagai fungsi q, p, t. Dengan menganggapq, p, t saling bebas, maka variasiH(q, p, t) .H(q, q, t) =

Hqkqk +

Hpkpk +

HttKarenaH = qkpkL(q, q, t), makaH =

qkpk +

pk qkL(q, q, t)=_

qkpk +

pk qk_

Lqkqk

L qk qk

Lt tH =

qkpk

pkqkLt t (5.17)58 BAB5. HAMILTONANDiperoleh persamaan Hamilton sebagai:(1) pk: qk =Hpk(5.18)(2) qk: pk = Hqk(5.19)(3) t :Lt= Ht(5.20)Persamaan (5.18) menyatakan sebagai kombinasi momentumpkPersamaan (5.19) menyatakan dinamika atau persamaan gerak partikelOlehkarenaitu, dapatdikatakanbahwapersamaanHamiltonmerupakanalternatif lain untuk memecahkan persoalan gerak partikel.BAB6TRANSFORMASIKANONIK6.1 TransformasiKanonikJika fungsi Hamilton dinyatakan dalam sistem koordinat di mana salah satufungsi atau beberapa koordinatnya bersifat siklik, maka jumlah persamaangerak yang diperoleh akan berkurang sebanyak jumlah koordinat siklik yangada. Oleh karena itu, sebelum memecahkan persaman Hamilton sebaiknyadituliskan fungsi Hamilton tidak sistem koordinat yang mengandung koor-dinat siklik.Misal:Sistem koordinat lama (2D) dinyatakan oleh (qk, pk) ditransformasikandalam koordinat baru (Qk, Pk). Maka transformasi koordinat diperoleh(qk, pk) (Qk, Pk)denganQk = Qk(q, p, t) (6.1)Pk = Pk(q, p, t) (6.2)Contohnya(x, y) (r, ) Padaprinsipnyakoordinat (Q, P) dapatdipilihsembarang. Andaikan(Q, P)dipilihsedemikianrupasehinggater-dapat suatu fungsiK(Q, P) yang memenuhi persmanaan:Qk =KPk(6.3)Pk = KQk(6.4)5960 BAB6. TRANSFORMASIKANONIKMaka transformasi (qk, pk) (Qk, Pk) dinamakan transformasi kanonik.Jelas bahwa fungsi K merupakan fungsi Hamilton didalam sistem koordinatbaru.Newtonian analisis gaya Lagrange analisis energi Hamilton analisis energi Persamaan gerak diperoleh dari persamaan Hamilton,sebagai berikut: qk =Hpk(6.5) pk = Hqk(6.6)6.2 FungsiPembangkitPersamaan LagrangeddtL qkLqk= 0Dapat diturunkan dari persamaan aksiII =_t2t1L(q, q, t)dtPersamaan Lagrange akan diperoleh apabila variasi dari fungsi aksi tersebut= 0.I = 0 ddtL qkLqk= 0Dari denisi fungsi Hamilton diperoleh_t2t1Ldt = 0 (6.7)_t2t1_

pi qiH(q, q, t)_dt = 0 (6.8)Dalamprinsipvariasi dipersyaratkanbahwavariasi di duatitikawal danakhir sama dengan NOL. Oleh karena itu persamaan diatas harus berbedamenurut:

pi qiH(q, q, t) =

QiPiK(Q, P, t) +dFdt6.3. KURUNGPOISSON 61DenganFsembarang fungsi_t2t1_

pi qiH(q, q, t)_dt =_t2t1_

QiPiK(Q, P, t)_dt +_t2t1dFdtdt(6.9)=_t2t1_

QiPiK(Q, P, t)_dt + (F(t2) F(t1))(6.10)Fungsi Ftersebutseringdinamakanfungsi Pembangkitdari transformasikanonik. Agar F berpengaruhterhadaptransformasi kanonik, maka Fharuslah merupakan fungsi dari ke-2 sistem koordinat F(q, p, Q, P, t).PadaumumnyaFmerupakanfungsi dari koordinatdanmomentumdariF(q, p, t), namumtransformasi kanonikmembuatsebagiandari koordinatsaling bergantung.Dalam bentuk praktisF= F(q, Q, t) (6.11)F= F(q, P, t) (6.12)F= F(p, Q, t) (6.13)F= F(p, P, t) (6.14)6.3 KurungPoissonKurung Poisson dua buah fungsi u, v terhadap variabel kanonik q, p diden-isikan sebagai[u, v]q,p =uqivpiupivqi(6.15)Dari denisi tersebut, didapatkan kurung Poisson memenuhi[qj, qk]q,p = 0 = [pj, pk]q,p(6.16)dan[qj, pk]q,p = jk = [pj, qk]q,p(6.17)Jadi, beberapa hubungan yang dipenuhi dalam kurung Poisson di antaranya:[u, u] = 0, (6.18)[u, v] = [v, u], sifat antisimetri (6.19)[uv, w] = [u, w]v +u[v, w], (6.20)[au +bv, w] = a[u, w] +b[v, w], sifat linear (6.21)62 BAB6. TRANSFORMASIKANONIKdengana danb adalah konstanta.Sifat selanjutnya,[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0 (6.22)Persamaan(6.22)pentinguntukmendenisikanasal kurungPoisson. Bi-asanya dinyatakan dalam bentuk identitas Jacobi, yang menyatakan bahwajikau, v, danwadalahtigabuahfungsi yangkontinyupadaturunanke-dua, maka jumlah permutasi siklik kurung Poisson dobel dari ketiga fungsibernilai nol.6.4 TeoriHamilton-JacobiPada bahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa transformasi kanonik da-pat digunakan sebagai prosedur umum untuk memecahkan masalah mekanika.Telahdijelaskanduacara. JikaHamiltonanbersifatlestari (conserved),makasolusi dapat diperolehdenganmentrasformasi ke dalamkoordinatkanonik baru yang semuanya bersifat siklik, yaitu mendapatkan persamaanbaru dengan solusi yang mudah. Alternatif lain adalah mencari suatu trans-formasi kanonik dari koordinat dan momentum (q, p) saatt ke dalam suatuhimpunankuantitaskonstanyangbaru, yangmungkinmenjadi 2nbuahnilai awal (q0, p0) saat t = 0. Dengan transformasi semacam itu, persamaantransformasiyangmenghubungkanvariabelkanoniklamadanbarumeru-pakan solusi masalah mekanika yang diharapkanq = q(q0, p0, t)p = p(q0, p0, t)Persamaanini memberikankoordinatdanmomentumsebagai fungsi nilaiawal koordinat dan momentum, serta waktu. Prosedur yang kedua bersifatlebihumum, khususnyasebagaimanaiaapplicable, tidakterikat prinsip,bahkan ketika Hamiltonan mengandung waktu.Ditinjau variabel baru bersifat konstan terhadap waktu untuk memenuhiHamiltonan yang ditransformasi bernilai 0. Persamaan geraknyaKPi=Qi = 0,KQi=Pi = 0. (6.23)6.4. TEORIHAMILTON-JACOBI 63Sebagaimana telah diketahui, Hamiltonian baruKharus terhubung de-ngan Hamiltonian yang lamaHdan fungsi pembangkitF, oleh persamaanK = H +Ft, (6.24)dan akan bernilai 0 jika fungsi pembangkit memenuhiH(q, p, t) +Ft= 0. (6.25)Adalah tepat untuk membuatFsebagai fungsi koordinat lamaqi, mo-mentumkonstanyangbaruPj, danwaktu(dalambahasansebelumnya,hal ini dinyatakan sebagai F2(q, P, t)). Untuk menuliskan dalam persamaan(6.25)sebagaimanafungsi denganvariabel yangsama, kitagunakanper-samaanpi =F2qi(6.26)sehingga persamaan (6.25) menjadiH_q1, ..., qn, F2qi, ..., F2qn_+F2t= 0. (6.27)Persamaan(6.27)dikenal sebagai PersamaanHamilton-Jacobi, meru-pakan persamaan diferensial parsial dalam (n +1) variabel (q1, ..., qn, t) un-tuk fungsi pembangkit yang diharapkan. Kita gunakanSuntuk solusi F2,danSdikenal sebagai Fungsi Prinsip Hamilton.Andaikan terdapat solusi persamaan (6.27) dalam bentukF2 S = S(q1, ..., qn, 1, ..., n+1, t), (6.28)dengankuantitas1, ..., n+1merupakan(n + 1)konstantaintegrasiyangsalingbebas satusamalain. Solusi semacamini dikenal sebagai solusilengkappersamaandiferensial ordepertama. Salahsatukonstantainte-grasi pasti bukan merupakan solusi, untuk ituStidak akan muncul dalampersamaan(6.27), hanyaturunanparsialnyaterhadapqatautyangter-masuk. Oleh karena itu, jikaSmerupakan salah satu dari beberapa solusipersamaan diferensial, maka S+ juga merupakan solusi, dengan sebarangkonstanta.Salahsatudari (n + 1) konstantaintegrasi dalampersamaan(6.28)hanyamunculsebagaikonstantatambahanpadaS. Konstantatambahanini tidakmempunyai arti padafungsi pembangkit, karenahanyaturunanparsial fungsi pembangkit yang muncul pada persamaan transformasi.64 BAB6. TRANSFORMASIKANONIKOleh karena itu, solusi lengkap persamaan (6.27) dapat dituliskan dalambentukS = S(q1, ..., qn, 1, ..., n, t), (6.29)dantidakadanbuahkonstantaintegrasi independenyangsemata-matatambahan.Persamaan(6.29)menyatakanSsebagai fungsi Nkoordinat, waktut,dann buah kuantitas independeni. Kita mendapatkann buah konstantaintegrasi menjadi momentum konstan yang baruPi = i(6.30)Pilihan seperti ini tidak berlawanan dengan pernyataan awal bahwa momen-tum yang baru terhubung dengan nilai awalq danp saatt = 0. Persamaantransformasin dinyatakan sebagaipi =S(q, , t)qi, (6.31)denganq, adauntukmelengkapi kuantitas. Saat t =0, hal itumeru-pakannpersamaanmenghubungkannbuahdengannilaiawal qdanp,kemudianmemudahkankitamenghitungkonstantaintegrasi. Separoper-samaan transformasi yang lain, yang mengandung koordinat konstan yangbaru, muncul dalam bentukQi = i =S(q, , t)i. (6.32)Konstantadapatdiperolehdari syaratawal, hanyadenganmenghitungnilai pada ruas kanan persamaan (6.32) saat t = 0 dengan nilai awal qi yangdiketahui. Persamaan(6.32) dapat diganti untukmelengkapi qjsebagaifungsi, , tqj = qj(, , t), (6.33)yang akan menyelesaikan masalah koordinat sebagai fungsi waktu dan syaratawal.Setelah mendiferensiasi persamaan (6.31),persamaan (6.33) dapat dis-ubstitusi ke dalamq, sehinggadidapatkanmomentumpisebagai fungsi, , tpi = pi(, , t). (6.34)Persamaan (6.33) dan persamaan (6.34) merupakan solusi lengkap persamaangerak Hamilton.6.4. TEORIHAMILTON-JACOBI 65Fungsi PrinsipHamiltonkemudianmenjadi pembangkit transformasikanonik ke dalam koordinat dan momentum konstan; ketika menyelesaikanpersamaan Hamilton-Jacobi,kita bersamaan dalam mendapatkan suatu so-lusi masalah mekanika. Dalam bahasa matematis, kita telah membuat kese-taraan antara 2n persamaan gerak kanonik, yang berupa persamaan difer-ensial orde pertama, dengan persamaan Hamilton-Jacobi, yang berupa per-samaan diferensial parsial orde pertama.Bahasanlebihlanjutdalamkasussisdari fungsi prinsipHamiltonSdilengkapiolehpengujianturunantotalterhadapwaktu,yangdapatdihi-tung dalam bentukdSdt=Sqi qi +St , (6.35)karena Pi konstan terhadap waktu. Dengan menggunakan persamaan (6.31)dan (6.27), hubungan ini dapat ditulis ulang sebagaidSdt= pi qiH = L, (6.36)sedemikianrupasehinggafungsi prinsipHamiltonberbedadari integralwaktu tak-tentu Lagrangan hanya oleh konstantaS =_Ldt + konstanta. (6.37)Sekarang, prinsip Hamilton merupakan sebuah pernyataan tentang inte-gral L. Dari sini kita mendapatkan penyelesaian masalah melalui persamaanLagrange.Ketika Hamiltonan secara secara eksplisit tidak bergantung pada waktu,fungsi prinsip Hamilton dapat ditulis dalam bentukS(q, , t) = W(q, ) at, (6.38)denganW(q, ) disebut sebagai fungsi karakteristik Hamilton.Arti sis Wdapat dipahami dengan menuliskannya dalam turunan totaldWdt=Wqi qi. (6.39)Bandingkan persamaan (6.39) ini dengan hasil substitusi persamaan (6.38)dalam persamaan (6.31), diperolehpi =Wqi, (6.40)66 BAB6. TRANSFORMASIKANONIKoleh karena itudWdt= pi qi. (6.41)Jika diintegralkan akan diperolehW=_pi qidt =_pidqi. (6.42)